MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

1. Cari nilai pemalar pengamiran, c bagi fungsi kecerunan yang berikut. (a) dy dx = 4x – 2, y = 7 apabila x = –1 (b) dy dx = – 6x – 6 x3 , y = 6 apabila x = –1 2. Diberi dy dx = 20x3 – 6x2 – 6 dan y = 2 apabila x = 1. Cari nilai y apabila x = 1 2 . 3. Cari persamaan lengkung bagi setiap fungsi kecerunan yang melalui titik berikut. (a) dy dx = 9x2 – 2, titik (1, 6) (b) dy dx = 10x – 2, titik (2, 13) (c) dy dx = 24x2 – 5, titik (1, 1) (d) dy dx = 18x2 + 10x, titik (–2, –10) Latihan Kendiri 3.4 3 BAB 3.2.4 91 Pengamiran 1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 1 2 dx (b) ∫ 5 3x3 dx (c) ∫ 1 ! x dx (d) ∫ ( 2 x3 – 3 x4 ) dx 2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x. (a) 5x2 – 3x3 x (b) 6x3 + 2x2 2x2 (c) (5 – 6x)3 (d) 1 4 ! 5 – 2x 3. Diberi dy dx = 10x + p x2 , dengan keadaan p ialah pemalar. Jika dy dx = 20 1 2 dan y = 19 apabila x = 2, cari nilai p. Seterusnya, cari nilai y apabila x = –2. 4. (a) Diberi dy dx = 4x3 – 15x2 + 6 dan y = –20 apabila x = 3, cari nilai y apabila x = –2. (b) Diberi dy dx = 2x + 2 dan y = 2 apabila x = 2. Cari nilai-nilai x apabila y = – 6. 5. Rajah di sebelah menunjukkan suatu lengkung yang melalui titik A(1, –1). Diberi fungsi kecerunan bagi lengkung tersebut ialah dy dx = 3x2 – 8x, cari persamaan bagi lengkung itu. 6. Diberi kecerunan normal bagi suatu lengkung pada satu titik ialah 1 6x – 2. Jika lengkung itu melalui titik (2, 2), cari persamaan bagi lengkung tersebut. 7. Diberi fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah ax + b. Kecerunan lengkung pada titik (–2, 8) ialah –7 dan kecerunan lengkung pada titik (0, 6) ialah 5. Cari nilai a dan nilai b. Seterusnya, cari persamaan bagi lengkung tersebut. 8. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kereta yang dipandu di sebuah jalan raya yang lurus. Diberi fungsi perubahan sesaran bagi kereta tersebut ialah ds dt = 10t – 2 dan s = 8 m apabila t = 1 s. Cari sesaran, dalam m, apabila t = 3 s. y A(1, –1) y = f(x) x O = 10t – 2 ds ––dt Latihan Formatif 3.2 Kuiz bit.ly/35pBrmA KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

92 Anda telah mempelajari bahawa kamiran tak tentu bagi suatu fungsi f(x) terhadap x ialah ∫ f(x) dx = g(x) + c, dengan keadaan g(x) ialah suatu fungsi x dan c ialah pemalar. Kamiran tentu bagi suatu fungsi f(x) terhadap x antara nilai batasan x = a dengan x = b pula boleh ditulis sebagai: ∫ b a f(x) dx = [g(x) + c] b a = [g(b) + c] – [g(a) + c] = g(b) – g(a) 3.3.1 Nilai kamiran tentu bagi suatu fungsi algebra 3.3 Kamiran Tentu Empangan Hidroelektrik Bakun di Sarawak merupakan sebuah stesen jana kuasa hidroelektrik terbesar di Malaysia. Bagaimanakah jurutera-jurutera pembinaan dapat memastikan empangan yang dibina mempunyai ciri-ciri keselamatan yang baik? Dengan mengaplikasikan kamiran tentu, jurutera-jurutera dapat menentukan luas permukaan dan isi padu air dalam kawasan takungan empangan. Hal ini membolehkan mereka menentukan ketebalan dinding empangan yang perlu dibina bagi menampung tekanan air dalam takungan tersebut. Sudut Informasi Luas di bawah suatu lengkung boleh ditentukan melalui pengamiran fungsi lengkung itu. Bagi suatu fungsi y = f(x): (a) Kamiran tak tentu, ∫ f(x) dx y y = f(x) x O (b) Kamiran tentu, ∫ f(x) dx y x O a b y = f(x) b a Cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 3 2 x2 dx (b) ∫ 4 –1 (3x2 + 2x) dx (a) ∫ 3 2 x2 dx = [x3 3 ] 3 2 = 33 3 – 23 3 = 19 3 (b) ∫ 4 –1 (3x2 + 2x) dx = [3x3 3 + 2x2 2 ] 4 –1 = [x3 + x2 ] 4 –1 = [43 + 42 ] – [(–1)3 + (–1)2 ] = 80 Penyelesaian Contoh 10 Cari nilai bagi (a) ∫ 2 1 1 dx (b) ∫ 2 1 0 dx KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

93 Pengamiran 3 BAB Cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 2 1 (x3 – 2x2 x2 ) dx (b) ∫ 4 2 (2x – 5)4 dx (a) ∫ 2 1 (x3 – 2x2 x2 ) dx = ∫ 2 1 ( x3 x2 – 2x2 x2 ) dx = ∫ 2 1 (x – 2) dx = [ x2 2 – 2x] 2 1 = [ 22 2 – 2(2)] – [ 12 2 – 2(1)] = – 2 – (– 3 2 ) = – 1 2 (b) ∫ 4 2 (2x – 5)4 dx = [(2x – 5)5 2(5) ] 4 2 = [(2(4) – 5)5 10 ] – [(2(2) – 5)5 10 ] = 243 10 – (– 1 10) = 122 5 Penyelesaian Contoh 11 3.3.1 Apakah sifat-sifat bagi kamiran tentu? Untuk mengetahui dengan lebih lanjut, mari ikuti penerokaan yang berikut. Berkumpulan Tujuan: Mengenal pasti sifat-sifat bagi kamiran tentu Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Klik pada semua petak untuk memaparkan rantau bagi setiap kamiran tentu itu. 3. Perhatikan rantau yang terbentuk dan catatkan nilai bagi setiap kamiran tentu itu pada sehelai kertas. 4. Kemudian, padankan setiap yang berikut dengan jawapan yang betul. ∫ 2 2 3x 2 dx ∫ 6 2 3x 2 dx ∫ 6 2 3(3x 2 ) dx ∫ 4 1 3x 2 dx + ∫ 6 4 3x 2 dx ∫ 6 2 (3x 2 + 6x) dx ∫ 6 1 3x 2 dx 3∫ 6 2 3x 2 dx ∫ 6 2 3x 2 dx + ∫ 6 2 6x dx –∫ 2 6 3x 2 dx 0 Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21 STEM ggbm.at/mqsxgymf PK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

94 5. Buat satu kesimpulan umum secara deduktif bagi setiap hasil yang diperoleh. 6. Setiap kumpulan melantik seorang wakil untuk membuat pembentangan mengenai hasil dapatan masing-masing di hadapan kelas. 7. Ahli daripada kumpulan yang lain boleh bertanyakan soalan kepada wakil kumpulan. Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, sifat-sifat bagi kamiran tentu adalah seperti berikut: Bagi suatu fungsi f(x) dan g(x), (a) ∫ a a f(x) dx = 0 (b) ∫ b a f(x) dx = – ∫ a b f(x) dx (c) ∫ b a kf(x) dx = k∫ b a f(x) dx, dengan keadaan k ialah pemalar (d) ∫ b a f(x) dx + ∫ c b f(x) dx = ∫ c a f(x) dx, dengan keadaan a , b , c (e) ∫ b a [f(x) ± g(x)] dx = ∫ b a f(x) dx ± ∫ b a g(x) dx Diberi ∫ 3 1 f(x) dx = 4, ∫ 5 3 f(x) dx = 3 dan ∫ 3 1 g(x) dx = 12. Cari (a) ∫ 1 3 f(x) dx (b) ∫ 3 1 [f(x) + g(x)] dx (c) ∫ 5 1 f(x) dx (a) ∫ 1 3 f(x) dx = –∫ 3 1 f(x) dx = – 4 (b) ∫ 3 1 [f(x) + g(x)] dx = ∫ 3 1 f(x) dx + ∫ 3 1 g(x) dx = 4 + 12 = 16 (c) ∫ 5 1 f(x) dx = ∫ 3 1 f(x) dx + ∫ 5 3 f(x) dx = 4 + 3 = 7 Penyelesaian Contoh 12 3.3.1 Diberi ∫ 5 2 f(x) dx = 12, cari nilai h jika ∫ 5 2 [hf(x) – 3] dx = 51. ∫ 5 2 [hf(x) – 3] dx = 51 h∫ 5 2 f(x) dx – ∫ 5 2 3 dx = 51 12h – [3x] 5 2 = 51 12h – [3(5) – 3(2)] = 51 12h – 9 = 51 h = 5 Penyelesaian Contoh 13 Sudut Informasi y y = f(x) x a K O b c H Jumlah luas rantau = Luas rantau K + Luas rantau H ∫ c a f(x) dx = ∫ b a f(x) dx + ∫ c b f(x) dx KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

1. Cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 4 2 x3 dx (b) ∫ 4 1 2 x2 dx (c) ∫ 5 1 (2x2 + 3x) dx (d) ∫ 6 2 ( 1 x3 – 2x) dx (e) ∫ 3 1 (3x – ! x ) dx (f) ∫ 5 3 (x – 1 ! x ) dx 2. Cari nilai bagi setiap kamiran tentu yang berikut. (a) ∫ 4 2 ( x3 + x2 x ) dx (b) ∫ 3 1 (5 + x2 x2 ) dx (c) ∫ 5 1 ( (2x + 3)(x – 2) x4 ) dx (d) ∫ 4 3 (3x – 4)2 dx (e) ∫ –1 –3 3 (5 – 3x)3 dx (f) ∫ 0 – 2 2 ! 3 – 2x dx 3. Diberi ∫ 5 2 f(x) dx = 3, cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 2 5 f(x) dx (b) ∫ 5 2 1 2 f(x) dx (c) ∫ 5 2 [3f(x) – 2] dx 4. Diberi ∫ 7 3 f(x) dx = 5 dan ∫ 7 3 k(x) dx = 7. Cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 7 3 [f(x) + k(x)] dx (b) ∫ 5 3 f(x) dx – ∫ 5 7 f(x) dx (c) ∫ 7 3 [f(x) + 2x] dx Latihan Kendiri 3.5 3 BAB 95 Pengamiran 3.3.1 3.3.2 Perkaitan antara had bagi hasil tambah luas segi empat tepat dengan luas di bawah suatu lengkung Berkumpulan Tujuan: Meneroka perkaitan antara had bagi hasil tambah luas segi empat tepat dengan luas di bawah suatu lengkung Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Katakan n ialah bilangan segi empat tepat di bawah suatu lengkung y = –x 2 + 6x. 3. Seret gelongsor n ke kiri dan ke kanan. Perhatikan luas rantau di bawah lengkung y = –x 2 + 6x pada setiap nilai n yang berbeza. 4. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah. Bilangan segi empat tepat, n Hasil tambah luas segi empat tepat di bawah lengkung Luas rantau di bawah lengkung yang sebenar 1 2   20 5. Bersama-sama ahli kumpulan, bincangkan perkaitan antara hasil tambah luas segi empat tepat dengan luas rantau di bawah suatu lengkung. 6. Bentangkan hasil dapatan yang diperoleh di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 4 Berkumpulan PAK-21 STEM ggbm.at/ck4ejqwb PK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

96 Daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa apabila bilangan segi empat tepat di bawah suatu lengkung y = f(x) bertambah, maka hasil tambah luas semua segi empat tepat di bawah lengkung itu menghampiri luas rantau di bawah lengkung yang sebenar. Perhatikan lengkung y = f(x) dalam rajah di sebelah. Luas di bawah lengkung y = f(x) antara x = a dengan x = b itu boleh dibahagikan kepada n jalur segi empat tepat yang tipis. Apabila bilangan jalur ini bertambah, maka lebar setiap jalur ini semakin kecil. Lebar setiap jalur segi empat tepat ini ditulis sebagai dx, dengan keadaan dx = b – a n . Didapati bahawa: Luas jalur segi empat tepat, dLi ≈ Panjang jalur segi empat tepat × Lebar jalur segi empat tepat ≈ yi × dx ≈ yi dx Luas n jalur segi empat tepat ≈ dL1 + dL2 + dL3 + … + dLn ≈ n ∑ i = 1 dLi ≈ n ∑ i = 1 yi dx Apabila bilangan jalur segi empat tepat adalah cukup besar, iaitu n ˜ ∞, maka dx ˜ 0. Secara amnya, Luas di bawah lengkung = had dx ˜ 0 n ∑ i = 1 yi dx = ∫   b a y dx Luas suatu rantau Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-x Rajah di sebelah menunjukkan rantau antara lengkung y = f(x) dengan paksi-x yang dibatasi oleh garis x = a dan x = b. Rumus bagi luas rantau L itu diberi oleh: L = ∫   b a y dx y y = f(x) x δx δL1δL2 δL3 ... δLn yn O a b δx δLi yi y y = f(x) x a b L O 3.3.2 3.3.3 Luas di bawah suatu lengkung dapat dikaitkan dengan had bagi hasil tambah luas trapezium. y y 1 0 ∆ x∆ x∆ x∆ x∆ x∆ x y2 y3 y4 y5 y6 Berdasarkan perkaitan tersebut, bina rumus bagi ∫ b a f(x) dx. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

97 Pengamiran 3 BAB 3.3.3 Berkumpulan Tujuan: Menentukan luas suatu rantau yang berada di atas dan di bawah paksi-x Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Perhatikan rantau di bawah lengkung y = 1 3 x 3 yang terpapar pada satah. 3. Gerakkan titik a pada x = 0 dan titik b pada x = 5. 4. Perhatikan kedudukan rantau yang terbentuk dan nilai bagi luas rantau itu. 5. Ulang langkah 3 dan 4 dengan mengubah titik a kepada x = –5 dan titik b kepada x = 0. 6. Catatkan nilai bagi kamiran tentu yang berikut berserta kedudukan rantaunya. (a) ∫ 5 0 1 3 x 3 dx (b) ∫ 0 –5 1 3 x 3 dx 7. Bincangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 5 Berkumpulan PAK-21 Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa: Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung dan paksi-x, • Jika rantau itu berada di bawah paksi-x, maka nilai bagi hasil kamiran adalah negatif. • Jika rantau itu berada di atas paksi-x, maka nilai bagi hasil kamiran adalah positif. • Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif. y y = f(x) x Nilai kamiran adalah positif Nilai kamiran adalah negatif O STEM Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut. (a) y (b) y = 2x2 3 6 x O y y = x2 – 6x + 5 2 5 x O (a) Luas rantau = ∫ 6 3 y dx = ∫ 6 3 2x2 dx = [2x3 3 ] 6 3 = 2(6)3 3 – 2(3)3 3 = 126 Maka, luas rantau berlorek ialah 126 unit2 . Penyelesaian Contoh 14 bit.ly/2FvKmYB Gunakan aplikasi Photomath untuk mencari kamiran bagi suatu fungsi. bit.ly/2QNZ3LJ PK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

98 (b) Luas rantau = ∫   5 2 y dx = ∫   5 2 (x2 – 6x + 5) dx = [ x3 3 – 6x2 2 + 5x] 5 2 = [ 53 3 – 6(5)2 2 + 5(5)] – [ 23 3 – 6(2)2 2 + 5(2)] = –9 Maka, luas rantau berlorek ialah 9 unit2 . Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2x2 – 6x. Cari luas bagi rantau yang berlorek itu. Katakan A mewakili rantau berlorek di bawah paksi-x dan B mewakili rantau berlorek di atas paksi-x. Luas rantau A = ∫   3 0 y dx = ∫   3 0 (2x2 – 6x) dx = [2x3 3 – 6x2 2 ] 3 0 = [ 2(3)3 3 – 3(3)2 ] – [ 2(0)3 3 – 3(0)2 ] = –9 Jadi, luas rantau A ialah 9 unit2 . Luas rantau B = ∫   6 3 y dx = ∫   6 3 (2x2 – 6x) dx = [2x3 3 – 6x2 2 ] 6 3 = [ 2(6)3 3 – 3(6)2 ] – [ 2(3)3 3 – 3(3)2 ] = 45 Jadi, luas rantau B ialah 45 unit2 . Maka, luas rantau berlorek = 9 + 45 = 54 unit2 y y = 2x2 – 6x 3 x O 6 Penyelesaian A y y = 2x2 – 6x 3 x O 6 B Contoh 15 3.3.3 Kaedah Alternatif Luas rantau berlorek = ∫ 3 0 (2x2 – 6x) dx  + ∫ 6 3 (2x2 – 6x) dx = –9 + 45 = 9 + 45 = 54 unit2 Sudut Informasi Tanda negatif pada hasil suatu kamiran hanya menunjukkan kedudukan luas rantau yang berada di bawah paksi-x. Oleh itu, tanda negatif tersebut boleh diabaikan. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

99 Pengamiran 3 BAB Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-y Rajah di sebelah menunjukkan rantau antara lengkung x = g(y) dengan paksi-y yang dibatasi oleh garis y = a dan y = b. Rumus bagi luas rantau L itu diberi oleh: L = ∫   b a x dy y x = g(y) x O a L b Berkumpulan Tujuan: Menentukan luas suatu rantau yang berada di sebelah kiri dan di sebelah kanan paksi-y Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Perhatikan rantau di bawah lengkung x = y 1 3 yang terpapar pada satah. 3. Gerakkan titik a pada y = 0 dan titik b pada y = 5. 4. Perhatikan kedudukan rantau yang terbentuk dan nyatakan sama ada nilai bagi luas rantau itu adalah positif atau negatif. 5. Ulang langkah 3 dan 4 dengan mengubah titik a kepada y = –5 dan titik b kepada y = 0. 6. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah. Nilai kamiran Kedudukan rantau ∫   5 0 y 1 3 dy ∫   0 –5 y 1 3 dy 7. Bersama-sama ahli kumpulan, bincangkan perkaitan antara tanda bagi nilai kamiran dengan kedudukan rantaunya. 8. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 6 Berkumpulan PAK-21 STEM Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa: Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung dan paksi-y, • Jika rantau itu berada di sebelah kiri paksi-y, maka nilai bagi hasil kamiran adalah negatif. • Jika rantau itu berada di sebelah kanan paksi-y, maka nilai bagi hasil kamiran adalah positif. • Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif. y x = g(y) x O Nilai kamiran adalah positif Nilai kamiran adalah negatif bit.ly/36rPW9W 3.3.3 PK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

100 3.3.3 Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut. (a) (b) y y2 = –x x O 4 1 y x = – (y + 1)(y – 3) x O (a) Diberi y2 = –x. Jadi, x = –y2 . Luas rantau = ∫   4 1 x dy = ∫   4 1 –y2 dy = [– y3 3 ] 4 1 = [– 43 3 ] – [– 13 3 ] = –21 Maka, luas rantau berlorek ialah 21 unit2 . (b) Diberi x = – (y + 1)(y – 3). Apabila x = 0, – (y + 1)(y – 3) = 0 y = –1 atau y = 3 Jadi, batas bagi rantau berlorek itu ialah y = –1 dan y = 3. Oleh itu, Luas rantau = ∫   3 –1 x dy = ∫   3 –1 – (y + 1)(y – 3) dy = ∫   3 –1 (–y2 + 2y + 3) dy = [– y3 3 + 2y2 2 + 3y] 3 –1 = [– 33 3 + 32 + 3(3)] – [– (–1)3 3 + (–1)2 + 3(–1)] = 9 – (– 5 3) = 32 3 Maka, luas rantau berlorek ialah 32 3 unit2 . Penyelesaian Contoh 16 Mencari penyelesaian dalam Contoh 16(a) dengan menggunakan kalkulator saintifik. 1. Tekan 2. Skrin akan memaparkan KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

101 Pengamiran 3 BAB 3.3.3 Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung x = y(y – 2)(y – 5). Cari luas bagi rantau yang berlorek itu. Katakan A mewakili rantau berlorek di sebelah kanan paksi-y dan B mewakili rantau berlorek di sebelah kiri paksi-y. Diberi x = y(y – 2)(y – 5). Apabila x = 0, y(y – 2)(y – 5) = 0 y = 0, y = 2 atau y = 5 Jadi, batas bagi rantau A ialah y = 0 dan y = 2 dan batas bagi rantau B ialah y = 2 dan y = 5. Oleh itu, Luas rantau A = ∫   2 0 y(y – 2)(y – 5) dy = ∫   2 0 (y3 – 7y2 + 10y) dy = [ y4 4 – 7y3 3 + 10y2 2 ] 2 0 = [ 24 4 – 7(2)3 3 + 5(2)2 ] – [04 4 – 7(0)3 3 + 5(0)2 ] = 16 3 – 0 = 16 3 Jadi, luas rantau A ialah 16 3 unit2 . Luas rantau B = ∫   5 2 y(y – 2)(y – 5) dy = ∫   5 2 (y3 – 7y2 + 10y) dy = [ y4 4 – 7y3 3 + 10y2 2 ] 5 2 = [ 54 4 – 7(5)3 3 + 5(5)2 ] – [ 24 4 – 7(2)3 3 + 5(2)2 ] = – 125 12 – 16 3 = – 63 4 Jadi, luas rantau B ialah 63 4 unit2 . Luas rantau berlorek = 16 3 + 63 4 = 253 12 Maka, luas rantau berlorek ialah 253 12 unit2 . y x = y(y – 2)(y – 5) x O Penyelesaian y x = y(y – 2)(y – 5) x O A B 2 5 Contoh 17 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

102 3.3.3 Luas rantau antara suatu lengkung dengan garis lurus Rantau berlorek seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.1(a) ialah rantau antara lengkung y = g(x) dengan garis lurus y = f(x) dari x = a hingga x = b. Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut: y y = g(x) y = f(x) x O a b = y y = g(x) x O a b – y y = f(x) x O a b Luas rantau berlorek Luas di bawah lengkung Luas di bawah garis y = g(x) y = f(x) Rajah 3.1(a) Rajah 3.1(b) Rajah 3.1(c) Maka, Luas rantau berlorek = ∫   b a g(x) dx – ∫   b a f(x) dx = ∫   b a [ g(x) – f(x)] dx Rantau berlorek dalam Rajah 3.2(a) pula menunjukkan rantau antara garis lurus y = f(x) dengan lengkung y = g(x) dari x = a hingga x = b. Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut: y y = g(x) y = f(x) x O a b = y y = f(x) x O a b – y y = g(x) x O a b Luas rantau berlorek Luas di bawah garis Luas di bawah lengkung y = f(x) y = g(x) Rajah 3.2(a) Rajah 3.2(b) Rajah 3.2(c) Maka, Luas rantau berlorek = ∫   b a f(x) dx – ∫   b a g(x) dx = ∫   b a [f(x) – g(x)] dx KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

103 Pengamiran 3 BAB 3.3.3 Dalam rajah di sebelah, lengkung y = –x2 + 2x + 8 bersilang dengan garis lurus y = x + 2 pada titik (–2, 0) dan (3, 5). Cari luas bagi rantau yang berlorek. Luas rantau = ∫   3 –2 (–x2 + 2x + 8) dx – ∫   3 –2 (x + 2) dx = ∫   3 –2 (–x2 + 2x + 8 – x – 2) dx = ∫   3 –2 (–x2 + x + 6) dx = [– x3 3 + x2 2 + 6x] 3 –2 = [– 33 3 + 32 2 + 6(3)] – [– (–2)3 3 + (–2)2 2 + 6(–2)] = 125 6 unit2 y y = x + 2 y = –x2 + 2x + 8 x O (–2, 0) (3, 5) Penyelesaian Contoh 18 Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus y = 1 2 x + 6 yang bersilang dengan lengkung y = 1 2 x2 + 3. Hitung luas rantau berlorek yang dibatasi oleh garis lurus dan lengkung itu. y = 1 2 x2 + 3 …1 y = 1 2 x + 6 …2 Gantikan 1 ke dalam 2, 1 2 x2 + 3 = 1 2 x + 6 1 2 x2 – 1 2 x – 3 = 0 x2 – x – 6 = 0 (x + 2)(x – 3) = 0 x = –2 atau x = 3 Luas rantau = ∫   3 –2 ( 1 2 x + 6) dx – ∫   3 –2 ( 1 2 x2 + 3) dx = ∫   3 –2 ( 1 2 x + 6) – ( 1 2 x2 + 3) dx = ∫   3 –2 ( 1 2 x – 1 2 x2 + 3) dx = [ x2 4 – x3 6 + 3x] 3 –2 = [ 32 4 – 34 6 + 3(3)] – [ (–2)2 4 – (–2)3 6 + 3(–2)] = 125 12 unit2 y x O y = x2 + 3 1 – 2 y = x + 6 1 – 2 Penyelesaian Contoh 19 Apakah kaedah lain yang boleh digunakan untuk menyelesaikan Contoh 18? Bincangkan. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

104 Luas rantau di antara dua lengkung Lengkung y = x2 dan y = 3 ! x bersilang pada titik (0, 0) dan (1, 1). Cari luas bagi rantau di antara dua lengkung itu. Luas rantau = ∫   1 0 3 ! x dx – ∫   1 0 x2 dx = ∫   1 0 (x 1 3 – x2 ) dx = [ 3x 4 3 4 – x3 3 ] = [3(1)4 3 4 – 13 3 ] – [3(0)4 3 4 – 03 3 ] = 5 12 unit2 Penyelesaian y x O y = 3 � x y = x2 (1, 1) 1 0 Contoh 20 3.3.3 1. Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut. (a) (b) (c) y x O y = 3x – x2 + 2 3 y x O y = x2 –3 2 1 – 2 y x O x = y2 + y – 6 1 –2 2. Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut. (a) (b) (c) y x –2 O y = –x(x + 3)(x – 4) y x O y = x2 – 4x + 5 y = –2x + 5 y x O y2 = 5x 2y = –x 3. (a) Jika lengkung y = –x3 – x2 menyilang lengkung y = –x – x2 pada titik (–1, 0), (0, 0) dan (1, –2), cari luas rantau di antara dua lengkung itu. (b) Diberi bahawa lengkung y = x2 – 4x dan y = 2x – x2 bersilang pada dua titik. Cari luas bagi rantau di antara dua lengkung itu. Latihan Kendiri 3.6 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

105 Pengamiran 3 BAB Perkaitan antara had bagi hasil tambah isi padu silinder dengan isi padu janaan daripada kisaran suatu rantau Berkumpulan Tujuan: Menentukan bentuk suatu bongkah apabila suatu rantau dikisarkan sepenuhnya melalui 360° pada suatu paksi Langkah: 1. Sediakan tiga buah tanglung kertas seperti yang ditunjukkan dalam gambar di sebelah. 2. Ceraikan bahagian tanglung dan ambil bahagian yang paling besar. 3. Perhatikan setiap rantau berlorek dalam rajah di bawah. Kemudian, lukis setiap rantau itu pada tiga tanglung kertas yang berbeza. (a) (b) (c) y x O y x O y x O 4. Guntingkan ketiga-tiga tanglung kertas itu mengikut bentuk rantau yang dilukis. 5. Buka tanglung tersebut dan tampalkan kedua-dua permukaan yang bertemu. 6. Kemudian, perhatikan ketiga-tiga bongkah yang terbentuk. Apakah perkaitan antara setiap bongkah tersebut dengan kisaran 360°? Aktiviti Penerokaan 7 Berkumpulan Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa suatu bongkah kisaran akan dijana apabila luas di bawah suatu rantau dikisarkan sepenuhnya melalui 360° pada suatu paksi. Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-x dapat ditentukan dengan membahagikan bongkah tersebut kepada n silinder mencancang dengan lebar dx. Perhatikan rajah yang berikut. y b y = f(x) x O a yn δx y b y = f(x) a x O yi δx δIi Apabila nilai dx adalah kecil, maka isi padu bongkah yang dijana ialah jumlah isi padu bagi semua silinder itu. Isi padu silinder, d Ii = Luas keratan rentas × Lebar silinder = πyi 2 × dx = πyi 2 dx 3.3.4 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

106 Isi padu n silinder = dI1 + dI2 + dI3 + … + dIn = n ∑ i = 1 dI i = n ∑ i = 1 πyi 2 dx Apabila bilangan silinder adalah cukup besar, iaitu n ˜ ∞, maka dx ˜ 0. Secara amnya, Isi padu bongkah janaan = had dx ˜ 0 n ∑ i = 1 πyi 2 dx = ∫   b a πy2 dx Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-y pula dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah yang sama seperti isi padu bongkah janaan apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-x. Bongkah tersebut dibahagikan kepada n silinder mengufuk dengan tinggi dy. Perhatikan rajah yang berikut. y b x = g(y) x O a y b x x = g(y) a O xn δy xi δy δIi Apabila nilai dy adalah kecil, maka isi padu bongkah yang dijana ialah jumlah isi padu bagi semua silinder itu. Isi padu silinder, dIi = Luas keratan rentas × Tinggi silinder = πxi 2 × dy = πxi 2 dy Isi padu n silinder = dI1 + dI2 + dI3 + … + dIn = n ∑ i = 1 dIi = n ∑ i = 1 πxi 2 dy Apabila bilangan silinder adalah cukup besar, iaitu n ˜ ∞, maka dy ˜ 0. Secara amnya, Isi padu bongkah janaan = had dy ˜ 0 n ∑ i = 1 πxi 2 dy = ∫   b a πx2 dy Sudut Informasi Nilai bagi isi padu janaan adalah sentiasa positif. 3.3.4 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

107 Pengamiran 3 BAB Isi padu janaan I bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung y = f(x) yang dibatasi oleh x = a dan x = b apabila dikisarkan melalui 360° pada paksi-x ialah: I = ∫   b a πy2 dx 3.3.5 Isi padu janaan bagi suatu rantau yang dikisarkan pada paksi-x atau paksi-y Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung y = 2x2 + 3, x = 0 dan x = 2 yang dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x. Isi padu janaan = ∫   2 0 πy2 dx = π ∫   2 0 (2x2 + 3)2 dx = π ∫   2 0 (4x4 + 12x2 + 9) dx = π [ 4x5 5 + 12x3 3 + 9x] 2 0 = π [( 4(2)5 5 + 4(2)3 + 9(2)) – ( 4(0)5 5 + 4(0)3 + 9(0))] = 75 3 5 π unit3 Penyelesaian y x O 2 y = 2x2 + 3 Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek dalam rajah di sebelah diputarkan melalui 360° pada paksi-y. y x O 1 4 y = 6 – x Contoh 21 Contoh 22 Isi padu janaan I bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung x = g(y) yang dibatasi oleh y = a dan y = b apabila dikisarkan melalui 360° pada paksi-y ialah: I = ∫   b a πx2 dy y x O x = g(y) b a y x O b y = f(x) a KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

108 3.3.5 Diberi y = 6 x Jadi, x = 6 y Isi padu janaan = ∫   4 1 πx2 dy = π ∫   4 1 ( 6 y ) 2 dy = π ∫   4 1 ( 36 y2 ) dy = π ∫   4 1 (36y–2) dy = π [36y–1 –1 ] 4 1 = π [– 36 y ] 4 1 = π [(– 36 4 ) – (– 36 2 )] = 27π unit3 Penyelesaian Dalam rajah di sebelah, lengkung y = 1 4 x2 bersilang dengan garis lurus y = x pada titik O dan A. Cari (a) koordinat bagi titik A, (b) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek itu dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x. (a) y = 1 4 x2 … 1 y = x … 2 Gantikan 1 ke dalam 2, 1 4 x2 = x x2 = 4x x2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0 x = 0 atau x = 4 Gantikan x = 4 ke dalam 2, kita peroleh y = 4. Maka, koordinat bagi titik A ialah (4, 4). y x O A y = x2 y = x 1 – 4 Penyelesaian Contoh 23 Apakah bentuk geometri yang akan terbentuk apabila rantau berlorek dalam setiap rajah di bawah dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x? (a) y x 3 y = x O (b) y x 3 y = 3 O KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

3 BAB 109 Pengamiran (b) Katakan I1 ialah isi padu janaan bagi garis lurus y = x dan I2 ialah isi padu janaan bagi lengkung y = 1 4 x2 daripada x = 0 hingga x = 4. I1 = ∫   4 0 π(x)2 dx I1 = π ∫   4 0 x2 dx I1 = π[x3 3 ] 4 0 I1 = π[( 43 3 ) – ( 03 3 )] I1 = 64 3 π unit3 I2 = ∫   4 0 π( 1 4 x2 ) 2 dx I2 = π ∫   4 0 1 16 x4 dx I2 = π[ x5 16(5) ] 4 0 I2 = π[( 45 80) – ( 05 80)] I2 = 64 5 π unit3 Maka, isi padu janaan = I1 – I2 = 64 3 π – 64 5 π = 8 8 15 π unit3 1. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek dalam setiap rajah yang berikut dikisarkan melalui 360°. (a) Pada paksi-x. (b) Pada paksi-y. y x 2 y = –x2 + 3x O y x y = 6 – 2x2 O 6 2. Hitung isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung y2 = –4x, y = 0 dan y = 2 dikisarkan melalui 360° pada paksi-y. 3. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh garis lurus y = 5 – x, lengkung y = –x2 + 4, paksi-x dan paksi-y dikisarkan sepenuhnya melalui paksi-x. 4. Dalam rajah di sebelah, lengkung y2 = 4 – x dan garis lurus y = x – 2 bersilang pada dua titik A dan B. Cari (a) koordinat bagi titik A, (b) koordinat bagi titik B, (c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung y2 = 4 – x dan garis lurus y = x – 2 itu diputarkan melalui 360° pada paksi-y. y x y y = x – 2 2 = 4 – x O A B Latihan Kendiri 3.7 3.3.5 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

110 1. Cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) ∫   3 –1 (2 – x)5 dx (b) ∫   2 –3 8x – 6x2 + 8 2 – x dx (c) ∫   3 –2 2x2 (x2 – x)dx 2. (a) Diberi ∫   3 0 f(x) dx = 2 dan ∫   5 2 g(x) dx = 7. Cari nilai bagi ∫   0 3 1 2 f(x) dx + ∫   5 2 3g(x) dx. (b) Jika ∫   7 1 k(x) dx = 10, cari nilai bagi ∫   3 1 [k(x) – 3] dx + ∫   7 3 k(x) dx. 3. Diberi luas rantau di bawah lengkung y = x2 + hx – 5 yang dibatasi oleh garis x = 1 dan x = 4 ialah 28 1 2 unit2 . Cari nilai bagi h. 4. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x2 dan garis lurus y = 4. Suatu garis lurus dilukis melalui titik H(0, 2) dengan kecerunan –1 dan bertemu dengan lengkung y = x2 pada titik K. Cari (a) koordinat titik K, (b) nisbah luas rantau P kepada luas rantau Q. 5. (a) Lakarkan graf bagi lengkung y = 6x + x2 . (b) Cari persamaan tangen kepada lengkung y = 6x + x2 pada asalan dan pada titik dengan keadaan x = 2. (c) Diberi bahawa kedua-dua tangen kepada lengkung itu bertemu pada titik A, cari koordinat titik A. Seterusnya, cari luas rantau yang dibatasi oleh garis-garis persamaan tangen dan lengkung tersebut. 6. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung y = x2 + 2, garis lurus x = 1 dan x = 2 yang diputarkan melalui 360° pada paksi-y. 7. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x2 + 4 dan tangen kepada lengkung itu pada titik P(1, 5). (a) Cari koordinat bagi titik Q. (b) Hitung luas rantau berlorek. (c) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung y = x2 + 4, paksi-y dan garis lurus y = 8 dikisarkan sepenuhnya pada paksi-y. 8. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y2 = 6 – x dan garis lurus 3y = 8 + 2x yang bersilang pada titik A. (a) Cari koordinat bagi titik A. (b) Hitung luas rantau berlorek Q. (c) Kira isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila luas rantau berlorek P diputarkan melalui 360° pada paksi-x. y x y = 4 y = x2 O P Q K H(0, 2) y x P(1, 5) y = x2 + 4 O Q y x 3y = 8 + 2x y2 = 6 – x O P A Q Latihan Formatif 3.3 Kuiz bit.ly/2Esl90x KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

111 Pengamiran 3 BAB 3.4.1 3.4 Aplikasi Pengamiran Pengamiran merupakan satu daripada cabang dalam bidang kalkulus dan mempunyai banyak aplikasi yang berguna dalam kehidupan seharian. Melalui pengamiran, kita dapat mencari luas suatu rantau yang berbentuk lengkung, menentukan jarak yang dilalui oleh suatu objek daripada fungsi halaju serta menyelesaikan banyak masalah dalam bidang ekonomi, biologi dan statistik. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pengamiran Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas bagi sebuah mangkuk berbentuk parabola yang fungsinya boleh diwakili oleh y = ax2 . Diameter dan kedalaman mangkuk itu masing-masing ialah 12 cm dan 2 cm. Tunjukkan bahawa a = 1 18. Seterusnya, cari isi padu, dalam sebutan π, bahagian dalaman mangkuk tersebut. 2 cm 12 cm Penyelesaian Contoh 24 Aplikasi Matematik Gantikan koordinat (6, 2) ke dalam persamaan y = ax 2 . Gunakan rumus ∫ 2 0 πx 2 dy. 2 . Merancang strategi Bentuk bahagian dalaman mangkuk itu diwakili oleh y = ax 2 . Diameter mangkuk = 12 cm. Kedalaman mangkuk = 2 cm. Cari nilai a bagi persamaan y = ax 2 . Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bahagian dalaman mangkuk itu. 1 . Memahami masalah 3 . Melaksanakan strategi Diberi y = ax2 . Apabila x = 6 dan y = 2, 2 = a(6)2 2 = 36a a = 1 18 Jadi, y = 1 18 x2 x 2 = 18y Isi padu dalaman mangkuk = ∫ 2 0 π(18y) dy = π[ 18y2 2 ] 2 0 = π[9(2)2 – 9(0)2 ] = 36π cm3 4 . Membuat refleksi ∫ 2 0 π ( y a ) dy = 36π π[ y2 2a ] 2 0 = 36π [ 22 2a – 02 2a] = 36π π 2 a = 36 a = 1 18 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

112 3.4.1 Dalam satu kajian, didapati bahawa kadar pertambahan luas bagi koloni bakteria pada agar-agar makmal boleh diwakili oleh dA dt = 2t + 5, dengan keadaan A ialah luas koloni bakteria, dalam cm2 , dan t ialah masa, dalam saat, apabila bakteria dikulturkan pada agar-agar. Diberi bahawa bilangan bakteria bagi setiap keluasan 1 cm2 ialah 1 000 000 sel dan koloni bakteria mempunyai ketebalan satu sel sahaja. Cari bilangan bakteria selepas 5 saat. Penyelesaian Contoh 25 Aplikasi Matematik Gunakan rumus ∫ 5 0 (2t + 5) dt. Cari bilangan bakteria dengan mendarabkan luas koloni bakteria dengan bilangan sel per cm2 . 2 . Merancang strategi Kadar pertambahan luas bagi koloni bakteria pada agar-agar makmal, dA dt = 2t + 5. Bilangan bakteria bagi keluasan 1 cm2 = 1 000 000 sel. Cari luas bagi koloni bakteria. Cari bilangan bakteria selepas 5 saat. 1 . Memahami masalah 3 . Melaksanakan strategi Luas koloni bakteria selepas 5 saat = ∫ 5 0 (2t + 5) dt = [ 2t2 2 + 5t] 5 0 = [t2 + 5t] 5 0 = [(52 + 5(5)) – (02 + 5(0))] = 50 cm2 Bilangan bakteria = 50 × 1 000 000 = 50 000 000 = 5 × 107 Maka, bilangan bakteria selepas 5 saat ialah 5 × 107 sel. 4 . Membuat refleksi Katakan u ialah masa yang diperlukan untuk menghasilkan 5 × 107 sel bakteria. [∫ u 0 (2t + 5) dt] × 1 000 000 = 5 × 107 [ 2t2 2 + 5t] u 0 = 5 × 107 1000000 [t2 + 5t] u 0 = 5 × 107 1000000 [(u2 + 5u) – 0] = 50 u2 + 5u = 50 u2 + 5u – 50 = 0 Dengan menggunakan kaedah pemfaktoran, kita peroleh (u + 10)(u – 5) = 0 u = –10 atau u = 5 Oleh sebab nilai u mestilah positif, maka u = 5 saat. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

3 BAB 113 Pengamiran 1. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas bagi sebuah tudung saji rotan berbentuk parabola yang boleh diwakili oleh persamaan y = –kx2 , dengan keadaan y adalah tinggi, dalam m, dan x ialah jejari, dalam m, tudung saji itu. (a) Tunjukkan bahawa k = 1 50. (b) Cari isi padu, dalam sebutan π, bahagian dalaman tudung saji itu. 2. Kadar penyusutan nilai harga bagi sebuah kereta dalam masa setahun diberi oleh S(t) = A 1 000 (20 – t), dengan keadaan A ialah nilai harga asal, dalam RM, kereta tersebut dan t ialah bilangan tahun kereta itu dibeli. (a) Diberi harga asal bagi sebuah kereta ialah RM48 000. Cari nilai harga kereta itu selepas 7 tahun. (b) Jika harga asal sebuah kereta ialah RM88 500, cari peratus susutan nilai harga kereta tersebut selepas 5 tahun. 50 cm 100 cm Latihan Kendiri 3.8 1. Sebuah kilang menghasilkan minyak masak sawit. Didapati bahawa sebuah tangki minyak yang berbentuk silinder di kilang tersebut mengalami kebocoran. Tinggi minyak dalam tangki itu berkurang dengan kadar 5 cmmin–1 dan kadar perubahan isi padu minyak dalam tangki terhadap tinggi minyak diberi oleh dV dh = 3 5 t – 6, dengan keadaan t ialah masa, dalam minit. Cari isi padu, dalam cm3 , minyak yang mengalir keluar daripada tangki itu selepas 0.5 jam. 2. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas sebuah penutup mesin yang dihasilkan oleh mesin pencetak 3D. Penutup itu diperbuat daripada sejenis bahan pencetak, iaitu filamen plastik. Bahagian dalam dan bahagian luar penutup itu masing-masing boleh diwakili oleh y = – 1 16 x2 + 2.8 dan y = – 1 20 x2 + 3. Anggarkan kos, dalam RM, filamen plastik yang digunakan untuk menghasilkan 20 penutup yang sama jika harga 1 cm3 filamen plastik ialah 7 sen. 3. Kadar penghasilan suatu mesin di sebuah kilang diberi oleh dK dt = 50[1 + 300 (t + 25)2 ], dengan keadaan K ialah bilangan mesin yang dihasilkan dan t ialah bilangan minggu mesin tersebut dalam tempoh pengeluaran. Cari (a) bilangan mesin yang dihasilkan selepas 5 tahun, (b) bilangan mesin yang dihasilkan pada tahun ke-6. 2.8 cm 3 cm 3.4.1 Latihan Formatif 3.4 Kuiz bit.ly/38MgTXK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

114 SUDUT REFLEKSI PENGAMIRAN Proses songsangan kepada pembezaan Kamiran tak tentu • ∫ ax n dx = axn + 1 n + 1 + c, n ≠ –1 • ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx • ∫ (ax + b)n dx = (ax + b) n + 1 a(n + 1) + c, n ≠ –1 Persamaan lengkung Diberi suatu fungsi kecerunan dy dx = f(x), maka persamaan lengkung bagi fungsi itu ialah y = ∫ f(x) dx. Kamiran tentu • ∫ b a f(x) dx = [g(x) + c] b a = g(b) – g(a) • ∫ a a f(x) dx = 0 • ∫ b a f(x) dx = – ∫ a b f(x) dx • ∫ b a kf(x) dx = k∫ b a f(x) dx • ∫ c a f(x) dx = ∫ b a f(x) dx + ∫ c b f(x) dx Luas di bawah lengkung Luas rantau L1 = ∫ b a y dx Luas rantau L2 = ∫ b a x dy Isi padu janaan Isi padu janaan = ∫ b a πy2 dx Isi padu janaan = ∫ b a πx2 dy Aplikasi y x y = f(x) O a b y x x = g(y) O a b y L1 x y = f(x) O a b y L2 x x = g(y) O a b KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz merupakan dua orang ahli matematik yang terkenal dengan sumbangan mereka dalam bidang kalkulus. Namun, kedua-dua tokoh ini terlibat dalam satu perbalahan intelektual yang dikenali sebagai Kontroversi Kalkulus. Buat satu kajian tentang sumbangan tokoh-tokoh ini dalam bidang kalkulus dan punca berlakunya kontroversi tersebut. Berdasarkan hasil dapatan anda, siapakah tokoh pertama yang mencipta kalkulus? Persembahkan hasil dapatan anda dalam satu folio grafik yang menarik. 115 Pengamiran 3 BAB 1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. TP 1 (a) ∫ x(x – 2)(x + 3) dx (b) ∫ 2 (2x – 3)3 dx 2. Diberi bahawa ∫ 2 (3x – 2)n dx = a(3x – 2)–2 + c. TP 2 (a) Cari nilai bagi a dan n. (b) Dengan menggunakan nilai n yang diperoleh di (a), cari nilai bagi ∫ 3 1 8 (3x – 2)n dx. 3. Diberi y = 3(2x + 1)2 5x – 1 , tunjukkan bahawa dy dx = 3(20x2 – 8x – 9) (5x – 1)2 . Seterusnya, cari nilai bagi ∫ 4 1 3(20x2 – 8x – 9) (5x – 1)2 dx. TP 2 4. Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan f(x) = 2x2 + 5x – r, dengan keadaan r ialah suatu pemalar. Jika lengkung tersebut melalui titik (1, 14) dan (–2, –16), cari nilai r. TP 3 5. Diberi ∫ 4 0 f(x) dx = 4 dan ∫ v 1 g(x) dx = 3, cari TP 3 (a) nilai bagi ∫ 2 0 f(x) dx – ∫ 2 4 f(x) dx, (b) nilai v jika ∫ 4 0 f(x) dx + ∫ v 1 [g(x) + x] dx = 19. 6. Diberi dV dt = 10t + 3, dengan V ialah isi padu, dalam cm3 , suatu objek dan t ialah masa, dalam s. Apabila t = 2, isi padu objek tersebut ialah 24 cm3 . Cari isi padu, dalam cm3 , objek tersebut apabila t = 5. TP 4 7. Dalam rajah di sebelah, garis lurus 3y = 4x – 13 menyilang lengkung 2y2 = x – 2 pada titik K. Cari TP 2 (a) koordinat titik K, (b) luas rantau berlorek. y x 3y = 4x – 13 2y2 = x – 2 O K Latihan Sumatif KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

116 8. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung permintaan pengguna, d(x) = (x – 4)2 dan lengkung penawaran pengeluar, s(x) = 3x2 + 2x + 4. Rantau M mewakili lebihan pengguna dan rantau N mewakili lebihan pengeluar. Titik P pula dikenali sebagai titik keseimbangan antara permintaan pengguna dengan penawaran pengeluar. Cari TP 3 (a) titik keseimbangan P, (b) lebihan pengguna pada titik keseimbangan P, (c) lebihan pengeluar pada titik keseimbangan P. 9. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung 4x = 4 – y2 yang menyilang garis lurus 3y = 18 + 2x pada titik P. TP 4 (a) Cari koordinat bagi titik P. (b) Hitung luas rantau berlorek A. (c) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek B diputarkan melalui 360° pada paksi-x. 10. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y + x2 = 4 dan garis tangen PR pada titik Q(1, 3). Cari TP 4 (a) koordinat bagi titik P, R dan S, (b) luas rantau berlorek, (c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung y + x2 = 4, paksi-y dan garis lurus yang selari dengan paksi-x dan melalui titik Q diputarkan melalui 360° pada paksi-y. 11. Diberi suatu lengkung dengan fungsi kecerunan f(x) = px2 + 6x, dengan keadaan p ialah pemalar. Jika y = 24x – 30 ialah persamaan tangen kepada lengkung tersebut pada titik (2, q), cari nilai p dan q. TP 4 12. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y2 = x + 28 yang bersilang dengan lengkung y = x2 – 4 pada titik K(–3, 5). TP 4 (a) Hitung luas rantau P. (b) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau Q diputarkan melalui 360° pada paksi-y. 13. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2x2 – 3x + c dan garis lurus x = 5. TP 4 (a) Cari nilai c dan koordinat bagi titik A. (b) Hitung luas rantau berlorek. (c) Cari isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung y = 2x2 – 3x + c dan paksi-x diputarkan melalui 180° pada paksi-x. O P Kuantiti (unit) d(x) = (x – 4) 2 s(x) = 3x2 + 2x + 4 M N Harga (RM) y x 4x = 4 – y2 3y = 18 + 2x O P A B y x y + x2 = 4 Q(1, 3) O P R S y x 10 y = x2 – 4 O Q K P y2 = x + 28 y x y = 2x2 – 3x + c x = 5 O A B(5, 33) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

14. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas sebuah bekas yang mempunyai permukaan dalaman berbentuk parabola dan penutup yang rata. Permukaan dalam bekas itu boleh diwakili oleh y = ax2 . Cari jisim beras, dalam kg, yang boleh disimpan dalam bekas tersebut jika penutup bekas itu dipasang dengan rapi. [Ketumpatan beras = 1.182 g/cm3 ] TP 4 15. Encik Razak bercadang untuk membina sebuah kolam renang di kediamannya. Diberi bahawa kedalaman kolam renang tersebut ialah 1.2 m dan sekata pada seluruh kolam. TP 5 (a) Diberi kadar pengisian air ke dalam kolam renang itu ialah dV dt = 3t2 + 14t, dengan keadaan V ialah isi padu air, dalam m3 , dan t ialah masa, dalam jam. Encik Razak mengambil masa 5 jam untuk mengisi air ke dalam kolam renang itu. Cari isi padu, dalam m3 , air di dalam kolam renang itu. (b) Encik Razak ingin mengecat dasar kolam renang itu dengan cat berwarna biru. Kos untuk mengecat ialah RM5 per m2 . Jika Encik Razak memperuntukkan RM1 000 untuk kos mengecat, adakah beliau dapat mengecat keseluruhan dasar kolam renang itu? Berikan sebab. 60 cm 30 cm 3 BAB 117 Pengamiran Pengenalan Emas merupakan sejenis logam berwarna kuning yang digunakan sebagai mata wang dan mempunyai pengaruh yang besar terhadap kehidupan manusia. Sifat fizikal emas yang berkilat dan tidak teroksida walaupun di dalam air telah menyebabkan barang perhiasan yang diperbuat daripada emas menjadi kegemaran ramai. Emas juga digunakan dalam pelbagai industri lain seperti industri pembuatan komputer, alat komunikasi, kapal angkasa, enjin pesawat jet, kapal terbang dan beberapa hasil pengeluaran yang lain. Harga emas pula sentiasa berubah mengikut masa. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah untuk lampiran Kerja Projek yang lengkap. Refleksi Melalui projek yang telah dijalankan, apakah perkara yang telah anda pelajari? Bagaimanakah anda dapat mengaplikasikan pengetahuan tentang pengamiran dalam kehidupan seharian? Berikan ulasan anda dalam bentuk lembaran pengurusan grafik yang menarik. bit.ly/2Z6DDPa PBP KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

PILIH ATUR DAN GABUNGAN BAB 4 bit.ly/2ZmlKdJ Senarai Standard Pembelajaran Pilih Atur Gabungan Televisyen litar tertutup IP:192.168.1.102 Telefon bimbit IP:192.168.1.103 Mesin Cetak IP:192.168.1.1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 118

bit.ly/34MyV94 Video mengenai Protokol Internet (IP) bit.ly/2HbHAvS Untuk maklumat lanjut: Al-Khalil Ibn Ahmad Al-Farahidi (718-791 M), seorang ahli matematik Arab dan ahli kriptografi yang menulis ‘Book of Cryptographic Messages’. Di dalam buku tersebut, penggunaan pilih atur dan gabungan digunakan untuk pertama kali bagi menyenaraikan semua perkataan Bahasa Arab yang mungkin dan tanpa vokal. Hasil kerja beliau dalam bidang kriptografi turut mempengaruhi Al-Kindi (801-873 M), yang telah menemui kaedah kriptoanalisis menggunakan analisis kekerapan. Kriptografi merupakan kajian linguistik yang berkaitan dengan kod rahsia yang dapat membantu seseorang memahami bahasa yang telah pupus. Kepentingan Bab Ini Secara amnya, pilih atur dan gabungan digunakan dalam penentuan nombor pin ATM, kod keselamatan bagi telefon bimbit atau komputer, pemilihan kombinasi baju serta seluar dan lain-lain. Penggunaannya meluas dalam bidang kejuruteraan, sains komputer, bioperubatan, sains sosial dan perniagaan. Tahukah anda setiap komputer atau peranti lain yang bersambung dengan Internet masing-masing mempunyai satu alamat Protokol Internet (Internet Protocol, IP) khas? Alamat Protokol Internet dicipta dan diuruskan oleh IANA (Internet Assigned Numbers Authority). Pada pandangan anda, bagaimanakah ahli pengatur cara membuat susunan pilih atur alamat Protokol Internet bagi sesuatu peranti? Komputer IP:192.168.1.100 Petua pendaraban Product rule Pilih atur Permutations Faktorial Factorial Susunan Arrangement Tertib Order Gabungan Combinations Objek secaman Identical object KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 119

120 Menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban 4.1.1 4.1 Pilih Atur Tujuan: Menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban dengan menggunakan gambar rajah pokok Langkah: 1. Kedai kegemaran anda menawarkan set sarapan pagi. Berdasarkan menu di sebelah, pilih satu jenis roti dan satu jenis kuah. 2. Dengan menggunakan gambar rajah pokok, senaraikan set yang mungkin bagi pilihan anda. 3. Kemudian, tentukan bilangan cara set tersebut boleh dipilih. 4. Tentukan bilangan cara yang boleh dipilih jika kedai tersebut menambah pilihan set dengan menawarkan empat jenis minuman. 5. Bincangkan hasil dapatan anda dengan rakan sekumpulan dan lantik seorang wakil untuk membentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan PAK-21 Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa pilihan yang dibuat dapat digambarkan dengan menggunakan gambar rajah pokok yang berikut. Roti canai Kuah kari Kuah dal Roti nan Roti jala Kuah kari Kuah dal Kuah kari Kuah dal {Roti canai, Kuah kari} {Roti canai, Kuah dal} {Roti nan, Kuah kari} {Roti nan, Kuah dal} {Roti jala, Kuah kari} {Roti jala, Kuah dal} Terdapat enam cara yang mungkin bagi memilih set sarapan pagi itu. Selain daripada menyenaraikan kesudahan yang mungkin, kaedah lain yang boleh digunakan adalah dengan mendarabkan bilangan kemungkinan bagi setiap peristiwa. 3 jenis roti × 2 jenis kuah = 6 cara memilih set Sekiranya kedai tersebut menambah pilihan set dengan menawarkan empat jenis minuman, bilangan cara memilih set sarapan pagi ialah: 3 jenis roti × 2 jenis kuah × 4 jenis minuman = 24 cara memilih set Kaedah seperti di atas dikenali sebagai petua pendaraban. Menu A • Roti canai • Roti nan • Roti jala Menu B • Kuah kari • Kuah dal Hairi mempunyai 3 buah motor dan 2 buah kereta. Bilangan cara untuk Hairi menaiki kenderaan ke kedai adalah seperti berikut: Motor atau Kereta 3 + 2 = 5 cara Kaedah untuk menentukan bilangan cara bagi peristiwa yang tidak berurutan dan saling eksklusif ini dikenali sebagai petua penambahan. Sudut Informasi KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

121 4 BAB (a) Tentukan bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan sekeping duit syiling secara serentak. (b) Cari bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi mengakses telefon bimbit jika pengulangan digit dibenarkan. (a) Bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan sekeping duit syiling secara serentak ialah 6 × 2 = 12. (b) Bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi mengakses telefon bimbit ialah 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. Penyelesaian Contoh 1 Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza secara linear Langkah: 1. Bentukkan kumpulan yang terdiri daripada empat atau enam orang ahli. 2. Setiap kumpulan akan menerima satu perkataan “TUAH” yang terdiri daripada huruf T, U, A dan H. 3. Setiap murid perlu menulis cara huruf bagi perkataan TUAH yang boleh disusun sekiranya ulangan huruf tidak dibenarkan pada sehelai kertas. 4. Kemudian, berikan kertas tersebut kepada rakan di sebelah dan setiap ahli kumpulan menulis jawapan pada sehelai kertas yang sama. 5. Ulang proses ini sehingga tiada lagi kemungkinan yang ada. 6. Seorang daripada ahli kumpulan perlu menyatakan bilangan cara susunan yang mungkin. T U A H Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21 4.1.1 4.1.2 Secara amnya, Petua pendaraban menyatakan bahawa jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam m × n cara. Penggunaan petua pendaraban juga boleh diperluaskan kepada lebih daripada dua peristiwa. Sudut Informasi 1. Terdapat 3 pilihan warna bagi sehelai kemeja dan 5 pilihan warna bagi sehelai seluar. Tentukan bilangan cara padanan kemeja dan seluar itu. 2. Berapakah bilangan cara set jawapan diperoleh jika terdapat 15 soalan betul atau salah? 3. Terdapat 4 jalan yang menghubungkan Kota A ke Kota B dan 5 jalan dari Kota B ke Kota C. Cari bilangan cara perjalanan pergi dan balik melalui Kota B yang boleh dilalui jika (a) menggunakan jalan yang sama, (b) tidak menggunakan jalan yang sama. Latihan Kendiri 4.1 Menentukan bilangan pilih atur Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza Berdasarkan Contoh 1(b), mengapakah penyelesaian diberikan sebagai 10 × 10 × 10 × 10? Jelaskan. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

122 4.1.2 Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa terdapat dua kaedah untuk mencari bilangan cara huruf-huruf dalam perkataan TUAH yang boleh disusun sekiranya ulangan huruf tidak dibenarkan. 4 pilihan 3 pilihan 2 pilihan 1 pilihan Senaraikan semua susunan yang mungkin. Daripada aktiviti tersebut, terdapat 24 cara yang boleh dibuat untuk menyusun huruf-huruf tersebut tanpa ulangan. Isikan kotak kosong di bawah. Kaedah 1 Kaedah 2 Daripada kaedah kedua: Bagi kotak pertama, terdapat empat cara huruf yang boleh diisi sama ada T, U, A atau H. Bagi kotak kedua, terdapat tiga cara, kotak ketiga pula terdapat dua cara dan seterusnya kotak keempat terdapat satu cara. Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara susunan yang mungkin ialah 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Bilangan cara menyusun huruf-huruf ini dikenali sebagai pilih atur. 4 × 3 × 2 × 1 juga dikenali sebagai faktorial dan boleh ditulis sebagai 4!. Secara amnya, Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diberi sebagai n!, dengan keadaan n! = n Pn = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1. Diberi 1! = 1. Mengapakah nilai 0! = 1? Bincangkan. Contoh 2 Cari bilangan cara menyusun semua huruf dalam perkataan BIJAK tanpa ulangan huruf. Diberi bilangan huruf, n = 5. Maka, bilangan cara menyusun semua huruf ialah 5! = 120. Penyelesaian Contoh 3 Menentukan pilih atur bagi 4 objek berbeza menggunakan kalkulator. 1. Tekan 2. Skrin akan memaparkan Ringkaskan yang berikut: (a) n! (n – 2)! (b) (n – 1)! n! Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) 11! 9! (b) 6! 4!2! (a) 11! 9! = 11 × 10 × 9! 9! = 11 × 10 = 110 (b) 6! 4!2! = 6 × 5 × 4! 4! × 2 × 1 = 6 × 5 2 × 1 = 15 Penyelesaian KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

123 4 BAB 4.1.2 Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza secara linear dan bulatan Langkah: 1. Bentukkan kumpulan yang terdiri daripada enam orang ahli. 2. Setiap kumpulan akan diberikan satu perkataan yang mengandungi tiga huruf berikut. A P I 3. Setiap kumpulan perlu menyenaraikan perkataan yang boleh dibentuk jika perkataan itu disusun secara (a) linear (b) membulat 4. Perhatikan setiap susunan yang terhasil secara linear dan membulat. Adakah bilangan susunannya sama atau berbeza? Apakah perkaitan antara pilih atur suatu objek secara linear dan bulatan? Jelaskan. 5. Bincangkan hasil dapatan kumpulan anda dan wakil kumpulan akan membentangkannya di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21 Daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa sekiranya perkataan API disusun secara linear, bilangan cara susunan yang mungkin ialah 3! = 6. Jika perkataan API disusun secara bulatan, didapati bahawa 3 pilih atur secara linear bersamaan dengan 1 pilih atur dalam bulatan. Jenis susunan Susunan Bilangan susunan Linear API IAP PIA AIP PAI IPA 6 Membulat A I P = I P A = P A I A P I = P I A = I A P 2 Jadi, bilangan cara susunan bagi perkataan API dalam bentuk bulatan ialah 3! 3 = 2. Secara amnya, pilih atur bagi n objek dalam bentuk bulatan diberi oleh: P = n! n = n(n – 1)! n = (n – 1)! Akses QR Video cara menyusun enam orang murid untuk duduk di sebuah meja bulat. bit.ly/2QiGcIg Tentukan bilangan cara menyusun enam orang murid untuk duduk di sebuah meja bulat. Diberi bilangan murid, n = 6. Maka, bilangan cara menyusun enam orang murid ialah (6 – 1)! = 120. Penyelesaian Contoh 4 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

124 4.1.2 Cari bilangan cara menyusun 12 butir manik pelbagai warna untuk membentuk seutas rantai mainan. Diberi bilangan manik, n = 12 dan setiap manik perlu disusun dalam bentuk bulatan. Didapati bahawa susunan manik mengikut arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan. Maka, bilangan cara menyusun 12 butir manik ialah (12 – 1)! 2 = 11! 2 = 19 958 400. Penyelesaian Contoh 5 Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa Anda telah mempelajari kaedah untuk mengira bilangan cara menyusun empat huruf bagi perkataan TUAH dengan mengisi kotak kosong sehingga memperoleh 4 × 3 × 2 × 1 = 24 bilangan cara susunan. Pertimbangkan pula perkataan BERTUAH. Katakan kita ingin memilih dan menyusun hanya empat huruf sahaja daripada perkataan tersebut berdasarkan rajah di sebelah. 1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) 8! 5! (b) 8! – 6! 6! (c) 4! 2!2! (d) 7!5! 4!3! 2. Cari bilangan cara menyusun semua huruf dalam perkataan berikut tanpa ulangan huruf. (a) SURD (b) LOKUS (c) VEKTOR (d) PERMUTASI 3. Berapakah bilangan cara menyusun tujuh orang pelanggan untuk duduk di sebuah meja bulat di sebuah restoran? 4. Tentukan bilangan cara menyusun lapan butir permata berlainan warna untuk membentuk seutas rantai. Latihan Kendiri 4.2 7 pilihan 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan Dalam kotak pertama, terdapat 7 cara huruf yang boleh diisi. Maka, kotak kedua mempunyai 6 cara, kotak ketiga mempunyai 5 cara dan kotak keempat mempunyai 4 cara. Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara susunan yang mungkin ialah 7 × 6 × 5 × 4 = 840. Bilangan pilih atur bagi 7 objek yang berbeza diambil 3 objek pada satu masa boleh diwakilkan dengan tatatanda 7 P4 . Perhatikan bahawa 7 × 6 × 5 × 4 juga boleh ditulis sebagai: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 3 × 2 × 1 = 7! 3! = 7! (7 – 4)! Jadi, 7 P4 = 7! (7 – 4)! = 840. Susunan objek bagi seutas gelang atau kalungan yang berbentuk bulatan tidak melibatkan arah jam dan lawan jam kerana keduaduanya adalah sama. Susunan boleh dikira seperti biasa dengan mencari pilih atur n objek dalam bentuk bulatan dan dibahagikan dengan 2, iaitu (n – 1)! 2 . Sudut Informasi KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

125 4 BAB 4.2.2 Secara amnya, Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa diberi oleh n Pr = n! (n – r)!, dengan keadaan r < n. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi 6 P4 . 6 P4 = 6! (6 – 4)! = 6! 2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2! 2! = 360 Penyelesaian Lapan orang ahli jawatankuasa sebuah persatuan dicalonkan untuk memegang jawatan sebagai Presiden, Naib Presiden dan Setiausaha. Cari bilangan cara pemilihan jawatan itu dapat dibentuk. Tiga daripada lapan orang ahli jawatankuasa yang tercalon perlu dipilih untuk memegang tiga jawatan. Maka, 8 P3 = 8! (8 – 3)! = 336. Penyelesaian Contoh 6 Contoh 7 Penyelesaian Contoh 7 dengan menggunakan kalkulator saintifik. 1. Tekan 2. Skrin akan memaparkan Pertimbangkan situasi yang berikut. Katakan empat huruf daripada perkataan BERTUAH ingin disusun dalam bentuk bulatan, berapakah bilangan susunan yang diperoleh? Jika perkataan BERTUAH disusun secara linear, maka bilangan pilih atur yang diperoleh ialah 7 P4 = 840. Namun, jika perkataan tersebut disusun dalam bentuk bulatan, empat susunan yang sama akan diperoleh. Maka, bilangan pilih atur bagi 4 daripada 7 huruf dalam bentuk bulatan ialah 7 P4 4 = 840 4 = 210. Secara amnya, Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa yang disusun dalam bentuk bulatan diberi oleh n Pr r . Tip Pintar Pilih atur suatu objek yang disusun dalam bentuk bulatan tidak mengambil kira sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam, maka bilangan pilih aturnya adalah seperti berikut. n Pr 2r Tentukan nilai n yang berikut. (a) n P2 = 20 (b) n + 2P3 = 30n (c) n + 1P4 = 10n P2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

126 4.1.2 Nadia membeli 12 butir manik pelbagai warna di Pasar Kraf Tangan Kota Kinabalu dan bercadang untuk membuat seutas gelang. Nadia mendapati bahawa gelang itu hanya memerlukan 8 butir manik sahaja. Berapakah bilangan pilih atur untuk menghasilkan gelang tersebut? Diberi jumlah manik ialah 12 butir dan 8 butir manik perlu disusun membentuk gelang. Didapati bahawa susunan mengikut arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan. Maka, bilangan pilih atur ialah 12P8 2(8) = 12P8 16 = 1 247 400. Penyelesaian Contoh 8 1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) 5 P3 (b) 8 P7 (c) 9 P5 (d) 7 P7 2. Dalam satu perlumbaan basikal, 9 orang peserta akan merebut tempat johan, naib johan dan ketiga. Tentukan bilangan pilih atur bagi tiga tempat utama tersebut. 3. Sebuah stadium mempunyai 5 pintu. Cari bilangan cara 3 orang boleh memasuki stadium itu dengan menggunakan pintu yang berlainan. 4. Cari bilangan cara nombor yang terdiri daripada 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan ulangan digit tidak dibenarkan. 5. Seorang pekerja di sebuah restoran perlu menyusun 10 biji pinggan di atas sebuah meja bulat tetapi meja tersebut hanya boleh memuatkan 6 biji pinggan sahaja. Cari bilangan pilih atur bagi menyusun pinggan-pinggan tersebut. Latihan Kendiri 4.3 Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman Langkah: 1. Setiap kumpulan diberikan satu perkataan yang terdiri daripada tiga huruf seperti berikut. A P A 2. Labelkan dua huruf A masing-masing sebagai A1 dan A2 , kemudian bina gambar rajah pokok. 3. Berdasarkan gambar rajah pokok yang dibina, senaraikan semua susunan yang mungkin bagi menyusun huruf-huruf itu. Berapakah bilangan susunannya? 4. Apabila A1 dan A2 adalah sama, berapakah bilangan susunannya? Apakah kaedah yang boleh digunakan untuk mencari bilangan susunan bagi perkataan yang melibatkan huruf secaman seperti huruf A dalam perkataan APA? 5. Lantik seorang wakil dan bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 4 Berkumpulan PAK-21 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

127 4 BAB 4.1.2 Hitung bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada perkataan SIMBIOSIS. Diberi n = 9. Bilangan objek secaman huruf S dan I adalah sama, iaitu 3. Maka, bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada perkataan SIMBIOSIS ialah 9! 3!3! = 10 080. Penyelesaian Contoh 9 Katakan huruf-huruf dalam perkataan SIMBIOSIS ingin disusun bermula dengan huruf S. Bagaimanakah anda dapat menentukan bilangan cara menyusun huruf-huruf itu tanpa ulangan? Daripada Aktiviti Penerokaan 4, hasil dapatan berikut diperoleh. P A2 A1 PA2 A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 PA1 A2 P A2 A1 PA2 A1 A1 P A2 A1 P A2 P A1 A2 PA1 Apabila A1 = A2 = A, dengan dua susunan yang sama dianggap sebagai satu susunan, 3 bilangan susunan diperoleh, iaitu APA, AAP dan PAA. Cara untuk memperoleh 3 bilangan susunan ini adalah dengan membahagikan jumlah susunan huruf-huruf dalam A1 PA2 dengan 2 huruf secaman A, iaitu 3! 2! = 3. Secara amnya, Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman diberi oleh P = n! a!b!c!…, dengan a, b dan c, … ialah bilangan objek bagi setiap objek secaman. Teroka GeoGebra berikut untuk melihat perwakilan secara grafik bagi pilih atur melibatkan objek secaman. ggbm.at/wkwwbm6b Bilangan susunan = 3 2 1 = 3 × 2 × 1 = 6 = 3 P3 = 3! 1. Tentukan bilangan cara menyusun semua huruf berbeza daripada setiap perkataan berikut. (a) CORONA (b) MALARIA (c) HEPATITIS (d) SKISTOSOMIASIS 2. Terdapat 5 batang pen biru dan 3 batang pen merah di dalam sebuah bekas. Cari bilangan cara semua pen itu dapat disusun dalam satu baris. 3. Terdapat 4 helai bendera berwarna putih dan 6 helai bendera berwarna kuning di dalam sebuah kotak. Cari bilangan cara bendera-bendera itu dapat dipasang pada suatu tiang yang mencancang. 4. Cari bilangan nombor ganjil yang dapat dibentuk daripada semua angka 3, 4, 6 dan 8 dengan semua angka selain 3 muncul tepat dua kali. Latihan Kendiri 4.4 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

128 4.1.2 4.1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan pilih atur dengan syarat tertentu Pertimbangkan tujuh objek dalam rajah di bawah. Katakan semua objek di atas ingin disusun mengikut syarat tertentu. Maka, setiap syarat yang berikut perlu dipertimbangkan terlebih dahulu. Jika semua bulatan perlu disusun dalam kelompok yang sama, • Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun satu kumpulan bulatan dan tiga segi tiga. • Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun empat bulatan dalam kelompoknya. • Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan susunan yang mungkin ialah 4! × 4! = 576. 2 Jika setiap bulatan dan segi tiga perlu disusun secara berselang-seli, • Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun empat bulatan. • Terdapat 3! = 6 cara untuk menyusun tiga segi tiga. • Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan susunan yang mungkin ialah 4! × 3! = 144. 1 Jika bulatan dan segi tiga perlu disusun dalam kelompok masing-masing, • Terdapat 4! × 3! = 144 cara untuk menyusun dengan keadaan kelompok bulatan berada di hadapan dan kelompok segi tiga berada di belakang. • Setiap objek itu juga boleh disusun dengan keadaan kelompok segi tiga berada di hadapan dan kelompok bulatan berada di belakang, iaitu 3! × 4! = 144. • Maka, bilangan susunan yang mungkin ialah 144 + 144 = 288. 3KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

129 4 BAB 4.1.3 Cari bilangan cara nombor 4 digit yang boleh dibentuk daripada digit-digit 1, 3, 4, 5, 6, 8 dan 9 jika digit yang dibentuk mestilah nombor ganjil dengan keadaan tiada digit yang berulang. Bagi membentuk suatu nombor ganjil, nombor tersebut mesti berakhir dengan digit ganjil. Terdapat empat pilihan dengan digit terakhir adalah ganjil, iaitu sama ada digit 1, 3, 5 atau 9. * * * 4 pilihan Apabila satu nombor ganjil telah dipilih, masih terdapat enam nombor lain yang boleh dipilih sebagai 3 digit di hadapan, iaitu 6 P3 × 4 P1 = 480. Maka, terdapat 480 nombor 4 digit yang memenuhi syarat tersebut. Penyelesaian Cari bilangan cara 5 orang pekerja, A, B, C, D dan E di sebuah syarikat yang boleh disusun di sebuah meja bulat dengan syarat A dan B mesti duduk bersebelahan. Apabila A dan B duduk bersebelahan, mereka dianggap sebagai satu unit. Maka, susunan bagi A dan B sebagai satu unit dan tiga orang yang lain ialah (4 – 1)! = 6 pilih atur. Kedudukan A dan B boleh saling bertukar dan ini memberikan 2 pilih atur, iaitu 6 × 2 = 12 susunan. Penyelesaian Cari bilangan cara susunan berbeza yang mungkin bagi semua huruf dalam perkataan SUASANA jika huruf vokal sentiasa bersama. Diberi bilangan huruf, n = 7 dan bilangan huruf secaman S dan A masing-masing ialah 2 dan 3. Untuk syarat huruf vokal sentiasa bersama, kelompokkan huruf vokal bagi membentuk satu susunan. AAAU S S N Jadi, bilangan susunan dengan 3 huruf yang lain ialah 4! 2! cara. Dalam kelompok huruf vokal pula terdapat 4 huruf yang boleh disusun dengan 4! 3! cara. Maka, bilangan susunan apabila huruf vokal sentiasa bersama ialah 4! 2! × 4! 3! = 48. Penyelesaian Contoh 10 Contoh 11 Contoh 12 Kaedah Alternatif Pertimbangkan bilangan pilihan bagi setiap kotak di bawah. 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan 4 pilihan Cara mengisi setiap kotak ialah 6 × 5 × 4 × 4 = 480. Maka, terdapat 480 nombor 4 digit yang memenuhi syarat tersebut. B C E D A B C D E A B E C D A B D C E A B D E C A B E D C A A C E D B A C D E B A E C D B A D C E B A D E C B A E D C B KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

130 4.1.3 Dua syarat bagi membentuk nombor 4 digit daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7 ialah nombor mestilah ganjil dan kurang daripada 5 000. Bagi membentuk nombor 4 digit, sediakan empat kotak kosong. Bagi nombor ganjil, kotak terakhir perlu terdiri daripada nombor ganjil. Bagi nombor kurang daripada 5 000, kotak pertama terdiri daripada digit yang kurang daripada 5. * * 3, 5 atau 7 ganjil 2 atau 3 , 5 000 1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi Cari bilangan cara nombor 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7 jika nombor tersebut adalah ganjil dan kurang daripada 5 000. Penyelesaian Contoh 13 Aplikasi Matematik Kes 1: 1 × 2 P1 × 3 = 6 Kes 2: 1 × 2 P1 × 2 = 4 Maka, bilangan pilih atur ialah 6 + 4 = 10. 4 . Membuat refleksi Kes 1: Digit 3 di kotak terakhir. Kotak pertama mempunyai 1 pilihan dan kotak terakhir mempunyai 3 pilihan. Baki pilihan digit yang ada ialah 2 bagi kotak kedua dan ketiga, iaitu 1 × 2 × 1 × 3 = 6 cara. Kes 2: Digit 3 di kotak pertama. Kotak pertama mempunyai 1 pilihan dan kotak terakhir mempunyai 2 pilihan. Baki pilihan digit yang ada ialah 2 bagi kotak kedua dan ketiga, iaitu 1 × 2 × 1 × 2 = 4 cara. Jadi, bilangan pilih atur = 6 + 4 = 10. Maka, bilangan nombor 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7 jika nombor tersebut adalah ganjil dan kurang daripada 5 000 ialah 10. 3 . Melaksanakan strategi * * 3, 5 atau 7 ganjil 2 , 5 000 * * 5 atau 7 ganjil 3 , 5 000 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Latihan Kendiri 4.5 4 BAB 131 Pilih Atur dan Gabungan 4.1.3 1. Satu set soalan mengandungi 5 soalan betul atau salah dan 5 soalan aneka pilihan yang terdiri daripada empat pilihan jawapan. Berapakah bilangan cara set jawapan yang diperoleh daripada set soalan itu? 2. Cari bilangan cara untuk membentuk kata laluan 3 digit bagi sebuah kunci jika (a) ulangan digit dibenarkan, (b) ulangan digit tidak dibenarkan. 3. Cari bilangan nombor yang berada di antara 5 000 dengan 6 000 yang dapat dibentuk daripada digit-digit 2, 4, 5, 7 dan 8 dengan keadaan ulangan digit tidak dibenarkan. Seterusnya, berapakah bilangan nombor genap yang diperoleh? 4. Sepasang suami isteri dan lapan orang anaknya menonton wayang di sebuah pawagam. Mereka ditempatkan pada baris yang sama. Cari bilangan cara keluarga itu boleh ditempatkan jika pasangan suami isteri itu (a) duduk bersebelahan, (b) duduk di kedua-dua hujung baris, (c) duduk berasingan. 5. Cari bilangan cara huruf-huruf daripada perkataan BAKU dan BAKA yang boleh disusun jika tiada pengulangan huruf dibenarkan. Adakah bilangan huruf yang boleh dibentuk adalah sama? Jelaskan. 6. Tentukan bilangan laluan yang boleh dilalui sekiranya suatu objek bergerak dari titik A ke titik B dengan syarat objek bergerak ke atas atau ke kanan. 7. Sekumpulan 7 orang kanak-kanak sedang berebut enam buah kerusi yang disusun dalam bentuk bulatan bagi satu permainan kerusi berirama. Kanak-kanak itu perlu mengelilingi bulatan mengikut lawan arah jam. Tentukan pilih atur kanak-kanak itu dalam permainan tersebut. A B 1. Cari bilangan cara huruf-huruf daripada perkataan TULAR dapat disusun jika (a) huruf vokal dan konsonan disusun secara berselang-seli, (b) susunan bermula dan berakhir dengan huruf vokal, (c) huruf konsonan dan vokal dalam kelompok masing-masing. 2. Cari bilangan cara nombor 4 digit yang lebih daripada 2 000 dapat dibentuk dengan menggunakan digit 0, 2, 4, 5, 6 dan 7 tanpa ulangan. 3. Cari susunan yang mungkin menggunakan semua huruf dalam perkataan TRIGONOMETRI jika G ialah huruf pertama dan E ialah huruf terakhir. 4. Sebuah keluarga yang terdiri daripada ayah, ibu dan 4 orang anak duduk bersama-sama mengelilingi sebuah meja bulat. Cari bilangan cara berlainan mereka boleh duduk jika (a) tanpa syarat, (b) ayah dan ibu duduk bersebelahan. Latihan Formatif 4.1 Kuiz bit.ly/35SM6qi KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

132 Sudut Informasi • Pilih atur ialah proses pemilihan objek yang mempertimbangkan susunan dan urutannya. Misalnya, memilih 2 daripada 5 orang murid untuk jawatan ketua kelas dan penolong ketua kelas. • Gabungan ialah proses pemilihan objek tanpa mempertimbangkan susunan dan urutannya. Misalnya, memilih 2 daripada 5 orang murid untuk menyertai suatu pertandingan. 4.2.1 4.2.2 4.2 Gabungan Membanding beza pilih atur dan gabungan Dalam pilih atur, anda telah mempelajari bahawa kedudukan bagi setiap objek dalam satu set adalah penting. Misalnya, kedudukan AB dan BA adalah dua pilih atur yang berbeza. Teliti masalah di bawah. Katakan anda mempunyai rakan bernama Aakif, Wong dan Chelvi. Anda diminta untuk memilih dua daripada tiga orang rakan anda untuk menyertai satu aktiviti berkayak. Berapakah bilangan cara anda boleh membuat pilihan? Adakah kedudukan rakan anda penting dalam pemilihan tersebut? Dengan menggunakan gambar rajah pokok, kita dapat menyenaraikan kemungkinan pilihan yang ada. Aakif Wong {Aakif, Wong} Chelvi {Aakif, Chelvi} Wong Aakif {Wong, Aakif} Chelvi {Wong, Chelvi} Chelvi Aakif {Chelvi, Aakif} Wong {Chelvi, Wong} Namun, adakah keputusan untuk memilih ‘Aakif dan Wong’ berbeza daripada memilih ‘Wong dan Aakif’? Dalam situasi di atas, adakah kedudukan suatu objek penting dalam membuat pemilihan? Berdasarkan rajah di sebelah, hanya terdapat 3 cara pemilihan sahaja kerana kedudukan objek adalah tidak penting. Maka, pemilihan yang mungkin ialah {Aakif, Wong}, {Aakif, Chelvi} atau {Wong, Chelvi}. Secara amnya, Apabila pemilihan suatu objek daripada suatu set dibuat tanpa mengambil kira susunan, pemilihan ini dikenali sebagai gabungan. Aakif Chelvi SAMA Chelvi Aakif Aakif Wong SAMA Wong Aakif SAMA Wong Chelvi Chelvi Wong Nyatakan sama ada situasi yang berikut melibatkan pilih atur atau gabungan. Jelaskan. Sebuah syarikat stesen televisyen menawarkan kepada pelanggan untuk memilih 7 saluran daripada 18 saluran yang ada. Latihan Kendiri 4.6 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

133 4 BAB 4.2.2 Sudut Informasi Gabungan boleh ditulis sebagai n Cr atau n ( ) r . n Cr juga dikenali sebagai pekali binomial. Tujuan: Menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang berbeza pada satu masa Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Perhatikan empat buah objek berbentuk haiwan dalam lembaran kerja yang disediakan. Objek tersebut akan digantung sebagai perhiasan di dalam kelas anda. 3. Secara berpasangan, senaraikan bilangan cara untuk menggantungkan setiap objek tersebut mengikut syarat yang berikut. (a) Susunan mengambil kira kedudukan. (b) Susunan tidak mengambil kira kedudukan. 4. Kenal pasti bilangan cara yang dapat disenaraikan jika anda dan pasangan memilih untuk menggantung (a) satu objek sahaja, (b) dua objek sahaja, (c) tiga objek sahaja. 5. Buat perbandingan bagi keputusan yang diperoleh dalam langkah 3(a) dan 3(b). Kemudian, tentukan senarai yang mempunyai objek yang sama tetapi susunan yang berbeza. 6. Apakah perbezaan yang dapat anda lihat dari segi susunan dan bilangan cara bagi kedua-dua kaedah menggantung objek-objek tersebut? Aktiviti Penerokaan 5 Berpasangan PAK-21 Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa tiga daripada empat objek dipilih untuk digantungkan di dalam kelas. Jika kedudukan diambil kira, maka 4 P3 = 4! (4 – 3)! = 24. Jika kedudukan tidak diambil kira, terdapat 3! = 6 kumpulan yang mempunyai bentuk yang sama. Oleh itu, bilangan cara bagi memilih objek untuk digantungkan tanpa mengambil kira kedudukan ialah 24 ÷ 6 = 4 atau 4! 3!(4 – 3)! = 4 atau 4 P3 3! = 4. Secara amnya, bilangan gabungan r objek yang dipilih daripada n objek berlainan diberi oleh: n Cr = n Pr r! = n! r!(n – r)! bit.ly/2Qi5o1J Buktikan bahawa n C0 = 1 dan n C1 = n, dengan keadaan n ialah integer positif. Menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang berbeza pada satu masa Mari teroka cara untuk menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang berbeza pada satu masa. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

134 4.2.2 Dalam sebuah kelab, 3 orang ahli jawatankuasa perlu dipilih daripada 10 orang calon. Cari bilangan cara pemilihan ahli jawatankuasa itu boleh dilakukan. 3 orang ahli jawatankuasa perlu dipilih daripada 10 orang calon. Maka, bilangan cara = 10C3 = 10! 3!(10 – 3)! = 10! 3!7! = 120 Penyelesaian Cari bilangan cara segi tiga yang dapat dibentuk daripada bucu-bucu sebuah heksagon. Heksagon mempunyai enam bucu. Bagi membentuk sebuah segi tiga, tiga bucu diperlukan. Maka, bilangan cara = 6 C3 = 6! 3!(6 – 3)! = 6! 3!3! = 20. Penyelesaian Contoh 15 Contoh 16 Bandingkan Contoh 15 dengan Contoh 7. Nyatakan perbezaan kedua-dua soalan yang menyebabkan Contoh 7 menggunakan pilih atur manakala Contoh 15 menggunakan gabungan. 1. Terdapat 12 orang pemain dalam pasukan bola baling sekolah. Tentukan bilangan cara seorang pelatih boleh memilih 5 orang pemain (a) sebagai penyerang 1, penyerang 2, penyerang 3, pertahanan 1 dan pertahanan 2, (b) untuk bermain di suatu pertandingan peringkat daerah. 2. Kelas 5 Al-Biruni mempunyai 25 orang murid. Tiga orang wakil dari kelas itu dipilih bagi menghadiri satu kem motivasi. Cari bilangan cara memilih wakil tersebut. 3. Berapakah bilangan cara bagi memilih empat huruf daripada set huruf P, Q, R, S, T dan U? 4. ABCDEFGH merupakan bucu-bucu bagi sebuah oktagon sekata. Cari bilangan pepenjuru yang dapat dibentuk daripada oktagon itu. Latihan Kendiri 4.7 Pasukan silat SMK Sari Baru terdiri daripada 8 orang murid. 2 orang murid akan dipilih untuk menjadi wakil pasukan dalam satu persembahan silat. Tentukan bilangan cara memilih 2 orang murid tersebut. 2 orang wakil perlu dipilih daripada pasukan silat yang terdiri daripada 8 orang ahli. Maka, bilangan cara = 8 C2 = 8! 2!(8 – 2)! = 8! 2!6! = 8 × 7 × 6! 2 × 1 × 6! = 28. Penyelesaian Contoh 14 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

135 4 BAB 4.2.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan dengan syarat tertentu Teliti situasi di bawah. Seorang ketua kelas ingin membahagikan 10 rakan anda kepada tiga kumpulan dengan setiap kumpulan terdiri daripada dua orang, tiga orang dan lima orang ahli. Cari bilangan cara pembahagian kumpulan itu. Adakah anda akan memperoleh jawapan yang berbeza sekiranya anda memilih lima orang atau tiga orang terlebih dahulu? Bandingkan jawapan anda dengan rakan yang lain. Satu pasukan bola sepak terdiri daripada 17 orang pemain tempatan dan tiga orang pemain import. Seorang jurulatih perlu memilih 11 orang pemain utama untuk bertanding dalam satu perlawanan dengan mengambil dua orang pemain import. Cari bilangan cara supaya 11 orang pemain utama boleh dipilih. Cara memilih dua orang daripada tiga orang pemain import, 3 C2 . Cara memilih sembilan orang daripada 17 orang pemain tempatan, 17C9 . Maka, bilangan cara = 3 C2 × 17C9 = 3! 2!(3 – 2)! × 17! 9!(17 – 9)! = 72 930 Penyelesaian Contoh 17 Perwakilan secara grafik untuk mencari bilangan cara gabungan. ggbm.at/hmrufjsm Kumpulan 1 Menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan dengan syarat tertentu (syarat perlu di ambil kira terlebih dahulu) Kumpulan 2 Kumpulan 3 Memilih dua orang daripada 10 orang. 10C2 = 10! 2!(10 – 2)! = 45 Maka, bilangan cara ialah 45. • Dua orang telah dipilih dalam Kumpulan 1. • Baki pilihan ialah lapan orang. • Memilih tiga orang daripada lapan orang. 8 C3 = 8! 3!(8 – 3)! = 56 Maka, bilangan cara ialah 56. • Lima orang telah dipilih dalam Kumpulan 1 dan Kumpulan 2. • Baki pilihan ialah lima orang. • Memilih lima orang daripada lima orang. 5 C5 = 5! 5!(5 – 5)! = 1 Maka, bilangan cara ialah 1. Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara ialah 45 × 56 × 1 = 2 520. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

136 Encik Samad perlu memilih tiga jenis motif batik daripada empat motif organik dan lima motif geometri. Cari bilangan cara memilih sekurang-kurangnya satu motif organik dan satu motif geometri. Cara memilih dua motif organik dan satu motif geometri, 4 C2 × 5 C1 . Cara memilih satu motif organik dan dua motif geometri, 4 C1 × 5 C2 . Maka, bilangan cara = 4 C2 × 5 C1 + 4 C1 × 5 C2 = 70. Penyelesaian Contoh 18 4.2.3 1. Dengan menggunakan rumus n Cr = n! (n – r)!r! , tunjukkan n Cr = n Cn – r . 2. Sebuah jawatankuasa yang terdiri daripada lima orang ahli perlu dipilih daripada lima orang lelaki dan tiga orang wanita. Cari bilangan jawatankuasa yang boleh dibentuk jika (a) tiada syarat, (b) mengandungi tiga orang lelaki dan dua orang wanita, (c) mengandungi tidak lebih daripada seorang perempuan. 3. Satu pasukan yang mengandungi lima orang ahli akan dipilih untuk ekspedisi ke sebuah pulau daripada empat orang perenang dan tiga orang bukan perenang. Cari bilangan cara pasukan itu boleh dibentuk jika bilangan perenang mesti melebihi bilangan bukan perenang. 4. Satu ujian Matematik yang mengandungi 10 soalan terdiri daripada empat soalan trigonometri dan enam soalan algebra. Calon dikehendaki menjawab hanya lapan soalan. Cari bilangan cara seorang calon menjawab sekurang-kurangnya empat soalan algebra. 5. Satu rombongan ke Melaka terdiri daripada 12 orang pengunjung. Cari bilangan cara untuk membawa 12 orang pengunjung itu jika (a) tiga buah kereta digunakan dan setiap kereta membawa empat orang, (b) dua buah van digunakan dan setiap van membawa enam orang. 1. 5 buah buku yang berbeza akan dibahagikan kepada 3 orang murid. 2 orang murid akan mendapat 2 buah buku manakala seorang murid akan mendapat sebuah buku. Berapakah bilangan cara untuk membahagikan kesemua buku itu? 2. Dalam satu peperiksaan, Singham dikehendaki menjawab dua soalan daripada tiga soalan di Bahagian A dan empat soalan daripada enam soalan di Bahagian B. Cari bilangan cara Singham boleh menjawab soalan-soalan tersebut. 3. Terdapat lima orang graduan lelaki dan enam orang graduan wanita yang menghadiri sesi temu duga kerja di sebuah syarikat. Cari bilangan cara bagi majikan memilih tujuh orang pekerja jika (a) semua graduan lelaki dan dua orang graduan wanita mendapat pekerjaan, (b) sekurang-kurangnya lima orang graduan wanita mendapat pekerjaan. Latihan Kendiri 4.8 Latihan Formatif 4.2 Kuiz bit.ly/2tKan3v KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

137 4 BAB SUDUT REFLEKSI PILIH ATUR DAN GABUNGAN Pilih Atur Tertib susunan adalah penting Gabungan Tertib susunan adalah tidak penting Petua Pendaraban Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam m × n cara Aplikasi • Bilangan pilih atur bagi n objek yang berlainan diwakilkan sebagai n! = n Pn • Bilangan pilih atur bagi n objek yang berlainan apabila r objek dipilih pada satu masa diwakilkan sebagai n Pr = n! (n – r)! Pilih Atur Membulat • Bilangan pilih atur membulat bagi n objek yang berlainan diwakilkan sebagai P = n! n = (n – 1)! • Bilangan pilih atur membulat bagi n objek yang berlainan apabila r objek dipilih pada satu masa diwakilkan sebagai P = n Pr r Objek Secaman Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman diwakilkan sebagai P = n! a!b!c!… Bilangan gabungan bagi n objek yang berlainan apabila r objek dipilih pada satu masa diwakilkan sebagai n Cr = n Pr r! = n! r!(n – r)! KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pilih Atur dan Gabungan

1. Bina satu infografik berkaitan perbezaan antara pilih atur dan gabungan. 2. Senaraikan dua masalah yang berlaku dalam kehidupan harian anda dan selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan konsep pilih atur dan gabungan yang telah dipelajari. 1. Cari bilangan cara kod empat huruf yang dapat dibentuk daripada huruf-huruf dalam perkataan SEMBUNYI dengan ulangan huruf tidak dibenarkan. Berapakah bilangan kod yang bermula dengan konsonan? TP 2 2. Hitung kemungkinan bagi seseorang untuk meneka kata laluan yang mengandungi enam karakter bagi sebuah komputer riba yang terdiri daripada semua nombor dan abjad. TP 3 3. Cari bilangan cara huruf-huruf dalam perkataan PULAS boleh disusun jika susunan TP 3 (a) tidak bermula dengan huruf S, (b) tidak berakhir dengan huruf S atau P. 4. Dalam pertandingan futsal, perlawanan boleh berakhir dengan menang, kalah atau seri. Jika Pasukan Futsal Helang Merah menyertai lima perlawanan futsal, cari bilangan cara perlawanan tersebut boleh berakhir. TP 4 5. Cari bilangan susunan yang mungkin dalam perkataan JANJANG jika huruf N dan huruf G mesti bersebelahan. 6. Sebuah kedai pakaian menjual empat saiz kemeja, iaitu saiz S, M, L dan XL. Jika stok kemeja yang terdapat di kedai tersebut ialah dua helai saiz S, tiga helai saiz M, enam helai saiz L dan dua helai saiz XL, cari bilangan cara bagi menjual semua kemeja di kedai tersebut. TP 3 7. Siew Lin membeli tujuh batang anak pokok yang berlainan jenis untuk menghias taman mini di rumahnya. Disebabkan ruang yang terhad, Siew Lin hanya boleh menyusun lima batang anak pokok sahaja dalam bentuk bulatan. Tentukan bilangan cara Siew Lin boleh menyusun semua anak pokok tersebut. TP 3 8. Cari bilangan cara enam orang, iaitu Amin, Budi, Cheng, Deepak, Emma dan Fakhrul agar mereka dapat duduk di sebuah meja bulat dengan syarat. TP 4 (a) Emma dan Fakhrul mesti duduk bersebelahan, (b) Emma dan Fakhrul tidak boleh duduk bersebelahan. 9. 12 kuntum bunga yang terdiri daripada tiga kuntum bunga berwarna merah, empat kuntum bunga berwarna biru dan lima kuntum bunga berwarna putih akan dilekatkan pada seutas tali untuk membuat kalungan bunga. Hitung bilangan cara untuk menyusun bunga-bunga itu dalam kalungan tersebut. TP 3 Latihan Sumatif 138 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

4 BAB (a) Pada pendapat anda, adakah permainan Sudoku ini menggunakan konsep pilih atur atau gabungan? Terangkan jawapan anda. (b) Berapakah cara yang mungkin untuk anda mengisi digit-digit dalam baris yang pertama dalam permainan Sudoku tersebut? (c) Berapakah cara yang mungkin untuk anda menyelesaikan permainan Sudoku tersebut? 139 Pilih Atur dan Gabungan 10. Satu ujian kemasukan ke sebuah sekolah swasta mengandungi enam soalan pada Bahagian A dan tujuh soalan pada Bahagian B. Calon perlu menjawab 10 soalan, dengan syarat sekurang-kurangnya empat soalan daripada Bahagian A dijawab. Cari bilangan cara seorang calon dapat menjawab 10 soalan ujian tersebut. TP 5 11. Satu jawatankuasa komuniti tempatan yang terdiri daripada tiga orang ahli dipilih daripada empat pasangan suami isteri. Cari bilangan cara jawatankuasa dapat dibentuk sekiranya TP 4 (a) tiada syarat dikenakan, (b) semua ahli dalam jawatankuasa terdiri daripada para suami, (c) tiada pasangan suami dan isteri dibenarkan memegang jawatan bersama. 12. Sebuah teksi mempunyai satu tempat duduk di bahagian hadapan dan tiga tempat duduk di bahagian belakang. Zara dan tiga orang sahabatnya ingin menaiki sebuah teksi, cari bilangan cara yang mungkin untuk mereka memilih tempat duduk jika TP 4 (a) tiada sebarang syarat, (b) Zara ingin duduk di bahagian hadapan, (c) Zara ingin duduk di bahagian belakang. 13. Terdapat 15 orang murid yang gemar menyelesaikan teka-teki. Mereka berjumpa antara satu sama lain untuk menyelesaikan teka-teki tersebut. Pada perjumpaan pertama, mereka saling bersalaman antara satu sama lain. Cari bilangan cara bersalaman yang berlaku jika TP 5 (a) kesemua mereka bersalaman antara satu sama lain, (b) tiga orang saling mengenali antara satu sama lain dan mereka tidak bersalaman sesama mereka. 14. Menggunakan bucu-bucu sebuah nonagon, cari bilangan TP 5 (a) garis lurus yang dapat dibentuk, (b) segi tiga yang dapat dibentuk, (c) segi empat yang dapat dibentuk. SUDOKU Sudoku ialah permainan yang berasaskan logik dan melibatkan peletakan nombor. Sudoku diperkenal pada tahun 1979 tetapi mula popular sekitar tahun 2005. Matlamat permainan Sudoku ialah memasukkan satu digit antara satu hingga sembilan dalam satu sel grid 9 × 9 dengan subgrid 3 × 3. Setiap baris, lajur dan subgrid hanya boleh diisi dengan digit satu hingga sembilan tanpa pengulangan. 3 7 1 9 5 9 8 6 6 3 4 8 3 1 7 2 6 6 2 8 4 1 9 5 8 7 9 5 3 7 6 1 9 5 9 8 6 8 6 3 4 8 3 1 7 2 6 6 2 8 4 1 9 5 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 8 7 9 Pilih Atur dan Gabungan

bit.ly/374RxTk Senarai Standard Pembelajaran Pemboleh Ubah Rawak Taburan Binomial Taburan Normal BAB 5 Malaysia mencipta sejarah apabila pemanah yang mewakili negara kita berjaya melayakkan diri ke peringkat akhir dalam Kejohanan Memanah Piala Asia 2019. Dalam pertandingan itu, seorang pemanah mesti memanah sebanyak 72 anak panah dalam 12 fasa dari jarak 70 meter. Masa yang diberikan untuk memanah tiga anak panah ialah dua minit manakala masa yang diberikan untuk menamatkan enam anak panah ialah empat minit. Pada pendapat anda, berapakah kebarangkalian yang mungkin bagi panahan itu? Adakah panahan itu bergantung kepada panahan sebelumnya? TABURAN KEBARANGKALIAN KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 140