หนังสือฝึก คิด พิชิตคณิต PISA 17.11.2016

รูปท่ี 1 แสดงให้เห็นวา่ บนั ได 3 ขั้น สงู 60 เซนตเิ มตร
จะไดบ้ ันไดแตล่ ะขัน้ สงู 6_30 = 20 เซนตเิ มตร
รูปที่ 2 แสดงใหเ้ หน็ วา่ บันได 4 ขั้น สูง 72 เซนตเิ มตร
จะไดบ้ ันไดแต่ละขั้น สูง 7_42 = 18 เซนตเิ มตร
ในทำ�นองเดียวกัน เมื่อมบี ันได 14 ขัน้ สงู 252 เซนตเิ มตร
จะไดบ้ ันไดแตล่ ะขั้น สงู 2_1542 = 18 เซนติเมตร
2. นกั เรยี นไทยตอบค�ำ ถามได้ถกู ต้องเพยี ง 52.19 เปอร์เซน็ ต์ของจำ�นวนนักเรียนไทย
ทเ่ี ขา้ สอบ ในขณะทนี่ ักเรยี นญ่ปี นุ่ เกาหลี และจีน ตอบไดถ้ ูกต้องเกิน 80 เปอรเ์ ซน็ ตข์ อง
จำ�นวนนักเรียนแต่ละชาติที่เข้าสอบ แสดงให้เห็นว่าโจทย์ปัญหาข้อน้ีไม่ยาก เพราะความ
รู้ทางคณิตศาสตร์ท่ีนำ�มาใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาคือความรู้พ้ืนฐานเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต
ความสามารถในการใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิและการนึกภาพที่ถูกต้อง ร่วมกับทักษะและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการเชอ่ื มโยงความรทู้ างคณติ ศาสตรแ์ กป้ ญั หาในสถานการณ์
ตา่ ง ๆ นกั เรยี นควรจะหาค�ำ ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง แตป่ รากฎวา่ ยงั มนี กั เรยี นไทยอกี ประมาณครง่ึ หนงึ่
ท่ียังทำ�โจทย์ข้อนี้ไม่ได้ ทั้งน้ีอาจเป็นเพราะนักเรียนกลุ่มนี้ยังขาดความรู้และทักษะดังกล่าว
ข้างต้น ครผู ูส้ อนจึงตอ้ งตระหนักและใหค้ วามส�ำ คัญ โดยเฉพาะการประยกุ ตใ์ ช้ความรทู้ าง
คณิตศาสตร์กบั สถานการณ์ในชวี ติ จรงิ เพื่อให้นกั เรยี นไทยสามารถแกป้ ัญหาไดท้ ดั เทยี มกับ
ประเทศอืน่
3. การรบั รเู้ กยี่ วกบั ความสมั พนั ธข์ องสงิ่ ตา่ ง ๆ ในปรภิ มู เิ ปน็ สว่ นหนง่ึ ของความรสู้ กึ เชงิ
ปรภิ มู ิ ซงึ่ เปน็ ความสามารถของบคุ คลในการรบั รแู้ ละเขา้ ใจเกยี่ วกบั ขนาด รปู รา่ ง ต�ำ แหนง่
ทศิ ทาง ระยะทาง และความสมั พนั ธ์ของรปู และสง่ิ ต่าง ๆ อนั จะน�ำ ไปสกู่ ารคาดคะเนที่
ใกลเ้ คยี งกบั ความเปน็ จรงิ และการตดั สนิ ใจทส่ี มเหตสุ มผลเกย่ี วกบั ขนาด ต�ำ แหนง่ ทศิ ทาง และ
ระยะทางของส่งิ ต่าง ๆ รอบตวั การฝึกใหน้ กั เรยี นมที กั ษะดงั กลา่ วเปน็ สงิ่ จ�ำ เปน็ อย่างยิ่งใน
กจิ กรรมการเรยี นการสอนคณติ ศาสตร์ เพราะจะชว่ ยใหน้ กั เรยี นสามารถน�ำ คณติ ศาสตรไ์ ปใช้
แก้ปัญหาในสถานการณ์ตา่ ง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิง่ ในชวี ติ ประจ�ำ วัน ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

46 ฝึก คิด พิชติ คณติ PISA
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

4. ครผู สู้ อนอาจเพม่ิ ขอ้ มลู ในสถานการณโ์ จทยเ์ พอ่ื ฝกึ ทกั ษะการใชค้ วามรสู้ กึ เชงิ ปรภิ มู ิ
ในการแกป้ ัญหาใหก้ ับนักเรยี นได้ เช่น ก�ำ หนดสถานการณโ์ จทย์ ดงั นี้
แผนผังข้างล่างแสดงบันได 14 ขั้น ที่มีความสูงท้ังหมด 252 เซนติเมตร และมี
ความลกึ ทง้ั หมด 400 เซนตเิ มตร ถา้ บนั ไดขน้ั บนสดุ มคี วามกวา้ ง 88 เซนตเิ มตร ขน้ั บนั ไดทเ่ี หลอื
แต่ละขน้ั จะมคี วามกวา้ งเทา่ ใด

88 เซนติเมตร

ความสงู ทง้ั หมด 252 เซนตเิ มตร

ความลึกทง้ั หมด 400 เซนติเมตร

แนวคดิ ความลึกท้งั หมดของบนั ได 14 ข้ันคือ 400 เซนตเิ มตร บนั ไดขน้ั บนสุดมี
ความกวา้ ง 88 เซนติเมตร ขัน้ บนั ไดอนื่ ๆ ท่เี หลอื มคี วามกวา้ งเทา่ กนั หมด
จะได้ ความลกึ ท้งั หมดของบนั ได 13 ข้ัน คอื 3_1143200=–2848เซ=นต3เิ1ม2ตเรซนติเมตร
ดังนนั้ ความกวา้ งของบันไดแตล่ ะขนั้ คอื

ฝึก คิด พชิ ติ คณิต PISA 47
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ลกู เตา๋

(c)

รปู แสดงลูกเตา๋ 6 ลกู มีชอื่ ตดิ กำ�กับไวว้ ่า (a) (b) (b) (f)
(e)
(c) (d) (e) และ (f) เปน็ กฎของลกู เต๋าคอื จ�ำ นวนจุดท่ี (a)
อยูบ่ นหน้าตรงกันขา้ มสองหน้ารวมกนั ต้องเปน็ 7 เสมอ
(d)

ค�ำ ถามที่ 1 : ลกู เต๋า
จงเขียนจำ�นวนจดุ บนหนา้ ทอี่ ยดู่ ้านล่างของลูกเตา๋ ทอี่ ย่ใู นภาพ ลงในตารางข้างลา่ ง

(a) (b) (c)

(d) (e) (f) ไมม่ ีคะแนน

คะแนนเต็ม คำ�ตอบอ่ืนๆ

แถวบน (1 5 4) แถวลา่ ง (2 6 5) หรอื นกั เรียนอาจเขยี นจำ�นวนจุด
ดา้ นหน้าลูกเต๋าแทนตัวเลขก็ได้ ดังขา้ งลา่ ง

154
265

ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู
เน้ือหา : ปริภูมิและรปู ทรง ญปี่ นุ่ 78.90
แขนงวชิ า : จ�ำ นวน เกาหลี 69.04
สถานการณ์ : ในเชิงการอาชีพ ฮอ่ งกง-จีน 74.30
สมรรถนะ : - มาเกา๊ -จีน 72.36
แบบของข้อสอบ : สร้างคำ�ตอบแบบปิด ไทย 52.98

48 ฝกึ คิด พิชติ คณติ PISA
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะหแ์ ละแนวคิดในการแกโ้ จทย์ปญั หา

สถานการณ์โจทย์
สถานการณ์ในโจทย์ข้อน้ี เป็นการเชื่อมโยงการใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิมาช่วย
วิเคราะห์เงื่อนไขโจทย์ เพื่อหาคำ�ตอบที่ต้องการ โดยกำ�หนดภาพของลูกเต๋าวางเรียง
กันสองแถว แถวละ 3 ลกู รวมเปน็ 6 ลูก และมีชอื่ ตดิ ก�ำ กับไวเ้ ป็น (a), (b), (c), (d),
(e) และ (f) ลูกเต๋าทั้ง 6 ลกู ในภาพมีจดุ ปรากฏบนหนา้ ลกู เตา๋ แต่ละลูกท่หี งายขึ้นเป็น
จ�ำ นวนแตกตา่ งกนั โจทย์ก�ำ หนดกฎของลกู เต๋าให้มา แล้วใหห้ าจำ�นวนจุดบนหนา้ ที่
อยู่ด้านลา่ งของลูกเต๋าทอ่ี ยูใ่ นภาพ

ความรทู้ างคณติ ศาสตรท์ เ่ี กย่ี วขอ้ ง
ในการทำ�โจทย์ข้อนี้ นักเรียนต้องใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิและเข้าใจเงื่อนไขจาก
โจทย์ที่ว่า ลูกเต๋ามีลักษณะเป็นลูกบาศก์ที่มีจำ�นวนจุดอยู่บนหน้าทั้งหก ซึ่งเป็นไป
ตามกฎที่ว่า จำ�นวนจุดที่อยู่บนหน้าตรงกันข้ามสองหน้ารวมกันต้องเป็น 7 เสมอ
โดยนกั เรยี นจะตอ้ งมคี วามสามารถในการจนิ ตนาการและการนกึ ภาพ เพอ่ื หาจ�ำ นวนจดุ
ท่ีอยู่บนหน้าท่ีอยู่ด้านล่างซึ่งเป็นหน้าท่ีอยู่ตรงกันข้ามกับหน้าที่กำ�หนดให้ของลูกเต๋า
และเขียนคำ�ตอบให้สอดคล้องกับสัญลักษณ์ท่ีกำ�กับที่ลูกเต๋าแต่ละลูกท่ีวางเรียงกัน
ตามลำ�ดบั

แนวคิดในการแก้โจทยป์ ัญหา

ค �ำ ถาม ท่ี 1 จงเขียนจำ�นวนจุดบนหน้าที่อยู่ด้านล่างของลูกเต๋าที่อยู่ในภาพ ลงใน
ตารางขา้ งล่าง

(a) (b) (c)

154

26 5

(d) (e) (f)

ฝกึ คิด พชิ ิตคณติ PISA 49
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ พิจารณาจำ�นวนจุดบนหน้าลูกเต๋าแต่ละลูก จินตนาการและนึกภาพ
เพอ่ื หาจ�ำ นวนจดุ ทอ่ี ยบู่ นหนา้ ดา้ นลา่ งทเี่ ปน็ หนา้ ตรงกนั ขา้ ม โดยเมอ่ื รวมกนั แลว้ ตอ้ ง
เป็น 7 ได้ดงั นี้
ลกู เต๋า (a) มี 6 จดุ ปรากฏบนด้านบน ดังน้นั มจี ดุ บนหน้าทอ่ี ยดู่ ้านลา่ ง 1 จุด
ลูกเตา๋ (b) มี 2 จดุ ปรากฏบนดา้ นบน ดงั นั้นมจี ุดบนหน้าท่ีอยูด่ า้ นลา่ ง 5 จดุ
ลกู เต๋า (c) มี 3 จดุ ปรากฏบนดา้ นบน ดงั นน้ั มจี ดุ บนหน้าท่อี ยูด่ า้ นลา่ ง 4 จุด
ลูกเต๋า (d) มี 5 จดุ ปรากฏบนดา้ นบน ดงั นัน้ มีจุดบนหน้าที่อยดู่ า้ นล่าง 2 จดุ
ลกู เตา๋ (e) มี 1 จุด ปรากฏบนดา้ นบน ดังนนั้ มจี ุดบนหนา้ ที่อย่ดู ้านลา่ ง 6 จุด
ลูกเตา๋ (f) มี 2 จุด ปรากฏบนด้านบน ดงั น้ันมีจุดบนหน้าทอี่ ยูด่ ้านลา่ ง 5 จดุ

นำ�จ�ำ นวนจดุ ที่ได้บันทกึ ลงในตารางได้ดังน้ี
(a) (b) (c)

154

26 5

(d) (e) (f)

ข้อสังเกต/ขอ้ เสนอแนะ

เป็นท่นี า่ สงั เกตว่ามีนกั เรียนไทยเกอื บคร่ึงหนึ่งของจำ�นวนนกั เรยี นไทยท่เี ขา้ สอบ
ทีท่ ำ�ข้อสอบข้อนีไ้ มถ่ กู ตอ้ ง ท้ัง ๆ ทโี่ ดยเนื้อหาสาระแลว้ เป็นขอ้ สอบทีไ่ มย่ าก ซึง่ อาจเปน็
ไปได้ว่า
1. นักเรียนอ่านโจทย์ไม่เขา้ ใจ หรือมปี ญั หาในการมองภาพทีโ่ จทย์กำ�หนดให้
เพราะโจทยไ์ ด้ก�ำ หนดช่ือใหล้ กู เต๋าเป็น (a) , (b) , (c) , (d) , (e) และ (f) ซ่งึ เปน็ สญั ลักษณ์
กำ�กับไวใ้ นภาพของลูกเต๋าทง้ั หกท่เี รยี งกนั เป็นสองแถวแถวละสามลกู ในกลอ่ งใส
2. นกั เรยี นไม่ค้นุ เคยกับการเขียนค�ำ ตอบลงในตารางของข้อสอบขอ้ นี้ เพราะ
จะต้องมีการแปลงคำ�ตอบที่ได้จากการจินตนาการและนึกภาพท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขใน
โจทยม์ าเป็นสญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ ซง่ึ นกั เรียนจะตอ้ งใชค้ วามร้สู กึ เชงิ ปรภิ มู ิมาช่วย
ในการวิเคราะห์ นกั เรียนอาจสบั สนและไมอ่ ยากใชเ้ วลาในการคิดท�ำ ความเข้าใจเพ่อื หา
ค�ำ ตอบ

50 ฝึก คดิ พิชติ คณติ PISA
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

3. นักเรียนอาจเคยชนิ กับคำ�ว่า “แตม้ ” ในการบอกจ�ำ นวนจดุ บนลกู เต๋าตามท่ีเคย
เรียนมา เม่ือต้องใช้จำ�นวนจุดบนลูกเต๋าในการตอบ จึงสับสนว่าจะเขียนอย่างไรดี คือจะ
เป็นภาพของจดุ หรอื ตัวเลขท่แี ทนจ�ำ นวนจดุ จึงท�ำ ให้เสยี เวลาในการตดั สนิ ใจ ท�ำ ขอ้ สอบ
ได้ล่าช้าหรือไม่สมบูรณ์
ในการเรยี นการสอนคณติ ศาสตร์ ครสู ามารถใชล้ กู เตา๋ เปน็ สอ่ื การสอนเพอื่ ใหน้ กั เรยี น
มคี วามคนุ้ เคยกบั ลูกเตา๋ ครอู าจใช้ลูกเต๋าในการทบทวนเนื้อหาคณติ ศาสตรห์ ลายเร่อื ง เช่น
การบวก การลบ และการคูณ ทั้งน้ีเพ่ือให้นักเรียนได้ฝึกใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิเกี่ยวกับ
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีความเชื่อมโยงกับการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์บนด้านต่าง ๆ
ของรูปเรขาคณิตสามมติ นิ ัน้
ครูควรให้นักเรียนมีประสบการณ์ในการทำ�โจทย์ประเภทที่ต้องใช้การจินตนาการ
และนึกภาพถงึ ด้านท่มี องไม่เหน็ ของรูปเรขาคณิตสามมิตทิ วั่ ๆ ไป โดยสามารถวเิ คราะห์หา
คำ�ตอบตามเงือ่ นไขทโี่ จทยก์ ำ�หนด ตลอดจนสามารถน�ำ เสนอค�ำ ตอบในลกั ษณะท่ีแตกตา่ ง
ไปจากทน่ี กั เรียนคนุ้ เคยท่วั ๆ ไปดงั ตวั อยา่ งโจทย์ต่อไปนี้
มีลูกเต๋า 2 ลูก มีชอื่ ติดกำ�กบั ไวเ้ ปน็ (a) และ (b) เป็นกฎของลูกเต๋าคือ จำ�นวนจดุ ท่ี
อยบู่ นหน้าตรงกันขา้ มสองหนา้ รวมกันต้องเป็น 7 เสมอ
คำ� ถา มท่ี 1 เม่อื ทอดลูกเต๋า (a) และ (b) พรอ้ มกัน 6 ครัง้ ปรากฏหนา้ ท่ีหงายขน้ึ แสดง
จำ�นวนจุดบนลกู เตา๋ ทง้ั สอง เขียนผลลัพธเ์ ป็นค่อู ันดบั ไดด้ ังน้ี
(1, 3) , (2, 4) , (3, 6) , (4, 1) , (5, 2) และ (6, 5)
จงเขียนคูอ่ ันดับของจำ�นวนจุดบนลูกเตา๋ หน้าท่คี ว่�ำ ลงของแตล่ ะคู่อันดบั ขา้ งต้นตามลำ�ดับ
แนวคดิ เนื่องจากจ�ำ นวนจุดบนหน้าตรงกนั ขา้ มสองหน้าของลูกเตา๋ รวมกนั ต้องเป็น
7 จะได้คอู่ ันดับของหน้าท่คี ว�ำ่ ทงั้ 2 ลูกลงโดยพจิ ารณาจากแตล่ ะคู่อันดับทก่ี ำ�หนดใหด้ งั น้ี
จากคู่อันดับของจำ�นวนจุดบนหน้าท่ีหงายขึ้นของลูกเต๋า (a) และ (b) เป็นดังนี้ (1, 3),
(2, 4), (3, 6), (4, 1), (5, 2) และ (6, 5)
ดงั นัน้ จะหาคู่อนั ดับของจ�ำ นวนจุดบนหน้าทีค่ ว่ำ�ลงตามล�ำ ดบั ได้ดงั นี้
(1, 3) ตรงกันขา้ มกับ (6, 4)
(2, 4) ตรงกนั ข้ามกับ (5, 3)
(3, 6) ตรงกนั ข้ามกบั (4, 1)
(4, 1) ตรงกันขา้ มกบั (3, 6)
(5, 2) ตรงกันขา้ มกบั (2, 5) และ
(6, 5) ตรงกันขา้ มกบั (1, 2)
ดงั นน้ั คอู่ ันดับทตี่ ้องการคอื (6, 4), (5, 3), (4, 1), (3, 6), (2, 5) และ
(1, 2) ตามลำ�ดบั

ฝึก คดิ พชิ ิตคณติ PISA 51
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

คค�ำ ำ�ถถาามมทท่ี ี่22 ทอดลูกเต๋า (a) และ (b) โดยไม่ให้เห็นผลลัพธ์ ถ้าทราบเพียงว่าผลบวก
ของจำ�นวนจุดบนหน้าที่ควำ่�ลงเป็น 8 จงหาว่าคู่อันดับของจำ�นวนจุดบนหน้าที่หงายข้ึน
ของลูกเต๋าท้ังสองเป็นอะไรได้บ้าง และผลบวกของจำ�นวนจุดของแต่ละคู่อันดับท่ีหาได้
เปน็ เทา่ ไรบ้าง จงแสดงเหตุผลว่าท�ำ ไมจึงได้ผลบวกเป็นเช่นน้นั
แนวคิด พิจารณาคู่อนั ดบั ของจำ�นวนจดุ บนหนา้ ทคี่ ว�ำ่ ลง ซงึ่ มีผลบวกของจดุ บน
หนา้ ทั้งสองเป็น 8 ซง่ึ อาจเปน็ (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3) หรอื (4, 4) เม่ือใชก้ ฎของลูกเต๋า
ทว่ี ่าผลบวกของจำ�นวนจุดทีอ่ ยบู่ นหน้าตรงกันขา้ มตอ้ งเปน็ 7 จะไดค้ ่อู ันดบั ของจำ�นวนจดุ
บนหน้าท่ีหงายขึน้ เปน็ ดังนี้
(5, 1), (1, 5), (4, 2), (2, 4) และ (3, 3) ตามลำ�ดับ
และจะได้ว่าผลบวกของจ�ำ นวนจดุ ในแตล่ ะคอู่ นั ดบั เป็นดังน้ี
5 + 1, 1 + 5, 4 + 2, 2 + 4, 3 + 3
ซึ่งผลลพั ธ์ท่ีไดเ้ ปน็ 6 เทา่ กัน เหตุผลท่ไี ดผ้ ลลพั ธ์เปน็ 6 เทา่ กนั ทุกคอู่ นั ดับ เป็นเพราะวา่
ผลบวกของจ�ำ นวนจดุ ทอี่ ยบู่ นหนา้ ตรงกนั ตอ้ งเปน็ 7 ส�ำ หรบั ลกู เตา๋ แตล่ ะลกู เมอ่ื ทอดลกู เตา๋
สองลกู แตล่ ะครง้ั ผลบวกของจ�ำ นวนจดุ ทอี่ ยบู่ นหนา้ ตรงขา้ มของลกู เตา๋ ทง้ั สองจะเทา่ กบั 14
เสมอ แตเ่ ราทราบวา่ ผลบวกของจ�ำ นวนจุดทอี่ ยบู่ นหน้าท่คี ว่ำ�ลงของลูกเตา๋ ทง้ั สองเปน็ 8
ดังนั้น ผลบวกของจำ�นวนจุดที่อยู่บนหน้าที่หงายขึ้นของลูกเต๋าทั้งสองจึงเท่ากับ
14 – 8 = 6

52 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

คค�ำ �ำ ถถาามมทท่ี ี่33 ในการทอดลูกเต๋าสองลูก (a) และ (b) ถ้าทราบว่าผลบวกของจำ�นวนจุด
บนหนา้ ทคี่ ว�่ำ ลงของลกู เตา๋ ทง้ั สองเปน็ จ�ำ นวนทห่ี ารดว้ ย 5 ลงตวั จงหาวา่ ผลบวกของจ�ำ นวน
จดุ บนหนา้ ที่หงายขึ้นของลกู เตา๋ ทัง้ สองนนั้ เปน็ จ�ำ นวนใดไดบ้ ้าง
แนวคิด โจทยก์ ำ�หนดให้ผลบวกของจำ�นวนจดุ บนหน้าทคี่ ว�ำ่ ลงของลูกเตา๋ ท้งั สองเป็น
จำ�นวนทห่ี ารด้วย 5 ลงตัว ซ่ึงได้แก่ 5 และ 10
เนื่องจาก จำ�นวนจุดบนหน้าตรงกันขา้ มของลูกเตา๋ แตล่ ะลกู รวมกันต้องเปน็ 7
ดงั นนั้ จำ�นวนจุดบนหน้าตรงกันข้ามของลูกเต๋าสองลกู รวมกันตอ้ งเป็น 14
1. ถ้าผลบวกของจำ�นวนจุดบนหนา้ ลูกที่คว�ำ่ ของลูกเตา๋ ท้งั สองเป็น 5
จะไดผ้ ลบวกของจ�ำ นวนจุดบนหนา้ ทห่ี งายขนึ้ ของลกู เตา๋ ท้ังสองเปน็ 14 – 5 = 9
2. ในทำ�นองเดยี วกนั ถ้าผลบวกของจ�ำ นวนจุดบนหน้าลกู ทีค่ ว�ำ่ ของลกู เตา๋ ท้ังสอง
เปน็ 10 จะไดผ้ ลบวกของจ�ำ นวนจุดบนหน้าทห่ี งายข้ึนของลกู เตา๋ ทงั้ สองเป็น
14 – 10 = 4
ค�ำ ตอบจงึ เปน็ 9 และ 4

ฝกึ คิด พิชติ คณิต PISA 53
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

สามเหลี่ยม

สามเห61ลี่ยม
ค �ำ ถคาาํ มถาทจมี่งท1เขี่:1ยี ส:นาสวมางมเกหเหลลลมย่ี ่ยี ลมม้อ มรอบขอ้ ท่มี ีรูปตรงกับค�ำ อธิบายต่อไปนี้
สามเหลยี่ ม PQจงRเขยีเปน็นวงสกาลมเลหอลม่ียรอมบมขุมอฉทาี่มกีรูปมตีมรงมุ กับRคําเอปธน็บิ ามยมุ ตฉอาไปกนี้สว่ นของเสน้ ตรง RQ ส้นั กว่า
ส่วนสาขมอเหงลเสี่ยม้นตPQรRง เPปRน สาจมุดเหMลย่ี มเมปมุ ็นฉาจกุดมกมี ึ่งมุ กRลเาปงน ขมอุมงฉสาก่วนสวขนอขงอเงสเส้นนตรรงงRPQQสัน้ แกวลาะสจวนุดขNองเป็น
จดุ กเสง่ึ กนตลรางงขPอRงสจวุ่ดนMขอเงปเนสจน้ ดุ ตกรง่ึ งกลQาRงขจอดุงสวSนขออยงเภู่ สาน ยตใรนงสPาQมเหแลละย่ี จมดุ สNว่ เนปขน อจงุดเกสง่ึ น้ กตลารงงขMองNสว ยนาขวอกงวา่
สว่ นเสขน อตงรเงส้นQตRรจงดุ MS Sอยูภายในสามเหล่ียม สวนของเสนตรง MN ยาวกวาสว นของเสนตรง MS

1. P 2. Q

NM M
S
RS Q
P NR

3. R 4. S P
M
P R
MS N
QN Q

5. คะตแอนคบนะขเแตอ้ น็ม4น.เตม็
ไมค่มาํ คีไตมะอแบม่คตนออำ�ีคน่ืนตบะๆอแขบนอ้ อนนื่ 4ๆ.
R
S
NM

PQ

เลนกั ื้อษหณาะ:เฉปพราภิ ะูมขแิ อลงะขลเรน้อักูป้อืสษทหอณราบงะ:เฉปพราภิ ะมู ขิแอลงะขรอปู สทอรบง ประเทศ % ตอบถกู
แขนงวิชา : เรขาคแณขติ นงวิชา : เรขาคณติ ญ่ปี ุ่น ประเทศ %72ต.4อ0บถกู
สถานการณ์ : ในเชสงิ วถทิานยากศาารสณต ร: ์ ในเชิงวทิ ยาศาสตร เกาหลญี ี่ปนุ 637.21.400
สมรรถนะ : - สมรรถนะ : - ฮอ่ งกงเ-กจาีนหลี 656.31.100
แบบของขอ้ สอบ : เแลบอื บกขตอบงขอสอบ : เลอื กตอบ ไทย ฮอ งกง-จนี 476.52.100

ไทย 47.20

54 ฝกึ คดิ พชิ ติ คณติ PISA
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะหแ์ ละแนวคดิ ในการแกโ้ จทย์ปญั หา

สถานการณโ์ จทย์
สถานการณ์ในคำ�ถามที่ 1 ใหห้ ารปู สามเหลี่ยมท่มี ลี ักษณะตรงตามคำ�บรรยายท่ี
ใหม้ า มเี จตนาใหน้ ักเรยี นใช้ความสามารถในการสื่อสาร ส่ือความหมายท่เี ป็นนามธรรม
ในโจทย์ โดยแปลความหมายเป็นรูปธรรมด้วยการเขยี นรปู หรือวิเคราะหห์ าแบบจำ�ลอง
ทางเรขาคณติ ทมี่ สี มบตั สิ อดคลอ้ งกบั เงอื่ นไขในโจทยท์ กุ เงอ่ื นไข การวเิ คราะหข์ องนกั เรยี น
จะต้องใชค้ วามร้พู นื้ ฐานทางเรขาคณติ และความร้สู กึ เชิงปริภูมปิ ระกอบด้วย

ความรทู้ างคณติ ศาสตรท์ เ่ี ก่ยี วข้อง
ความรู้ที่นักเรียนจะต้องใช้ในการตอบคำ�ถาม คือ สมบัติของรูปเรขาคณิต
สองมติ พิ น้ื ฐานทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั จดุ มมุ สว่ นของเสน้ ตรง รปู สามเหลย่ี มตา่ ง ๆ และความรสู้ กึ
เชงิ ปริภมู ิ ตลอดจนความสามารถในการใชเ้ หตผุ ลแบบคดั ออก

แนวคิดในการแก้โจทย์ปญั หา
ค�ำ ถ ามท่ี 1 จงเขียนวงกลมลอ้ มรอบข้อทม่ี รี ูปตรงกับคำ�อธบิ ายต่อไปน้ี
สามเหลยี่ ม PQR เปน็ สามเหลีย่ มมมุ ฉาก มมี ุม R เป็นมมุ ฉาก สว่ นของเสน้ ตรง
RQ สัน้ กว่าสว่ นของเส้นตรง PR จดุ M เป็นจดุ ก่งึ กลางของส่วนของเสน้ ตรง PQ และ
จุด N เปน็ จดุ กึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง QR จุด S อยภู่ ายในสามเหลย่ี ม
ส่วนของเสน้ ตรง MN ยาวกวา่ ส่วนของเสน้ ตรง MS
แนวคดิ การแกโ้ จทย์ปัญหาน้ี นักเรยี นตอ้ งวิเคราะห์รปู เรขาคณติ แต่ละรปู โดยใช้
สมบตั ขิ องรปู เรขาคณติ สองมติ ทิ ี่เก่ยี วข้องร่วมกับความรูส้ ึกเชงิ ปริภมู ิเกีย่ วกับจุด ขนาด
ของมมุ และสว่ นของเสน้ ตรง เพอื่ พจิ ารณาหาวา่ แตล่ ะรปู มสี ว่ นใดขดั แยง้ กบั เงอื่ นไขโจทย์
ซง่ึ สามารถทำ�ได้โดยอา่ นโจทยไ์ ปทีละข้นั ตอน เมอ่ื พบวา่ มีส่วนทีไ่ ม่สอดคลอ้ งเงอื่ นไขใน
แตล่ ะขอ้ กต็ ัดรปู ท่ไี ม่ใช่ออกไป ดังตัวอย่างการพิจารณาตามลำ�ดบั ขอ้ ความในโจทย์ ดังน้ี
• สามเหลย่ี ม PQR เป็นสามเหลย่ี มมุมฉาก มมี มุ R เปน็ มมุ ฉาก
จากข้อกำ�หนดนี้ พบวา่ รูปข้อ 3 และ รูปขอ้ 5 ไม่สอดคล้องกับเงอ่ื นไข
กล่าวคือ รูปขอ้ 3 มมี ุม Q เป็นมุมฉาก และรปู ข้อ 5 ทรี่ ูปสามเหล่ยี ม PQR ไมใ่ ช่
รูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ดังนนั้ รปู ข้อ 3 และรูปขอ้ 5 จงึ ไมใ่ ชค่ �ำ ตอบของปัญหานี้

ฝึก คิด พชิ ติ คณติ PISA 55
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

• สว่ นของเส้นตรง RQ สน้ั กวา่ สว่ นของเส้นตรง PR
จากข้อก�ำ หนดน้ี พบว่า รปู ขอ้ 1 มสี ่วนของเสน้ ตรง RQ ยาวกว่าส่วนของเสน้ ตรง PR
ซึง่ ขดั แย้งกับเง่ือนไขในโจทย์ ดังนน้ั รูปขอ้ 1 จึงไมใ่ ช่ค�ำ ตอบของปญั หานี้
• จุด M เป็นจุดก่ึงกลางของส่วนของเส้นตรง PQ และจุด N เป็นจุดก่ึงกลางของ
สว่ นของเสน้ ตรง QR
จากขอ้ กำ�หนดนี้ พบวา่ รูปข้อ 2 จุด M และจุด N ไม่เป็นจดุ กึง่ กลางของสว่ นของ
เสน้ ตรง PQ และสว่ นของเสน้ ตรง QR ตามทโ่ี จทยก์ �ำ หนด ดงั นน้ั รปู ขอ้ 2 จงึ ไมใ่ ชค่ �ำ ตอบของปญั หาน้ี

จากการวิเคราะห์จึงเหลือรปู ขอ้ 4 ทค่ี วรเปน็ คำ�ตอบของโจทย์ แต่เพอ่ื ให้แนใ่ จ จึงควร
ตรวจสอบความสอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขท่ยี งั ไมไ่ ด้พจิ ารณาต่อ ตามท่โี จทย์กำ�หนดมาวา่ เป็นรปู ทม่ี ี
จดุ S อย่ภู ายในสามเหล่ยี มและส่วนของเส้นตรง MN ยาวกว่าส่วนของเสน้ ตรง MS
จากข้อกำ�หนดนี้ พบว่า รูปข้อ 4 มีลักษณะที่สอดคล้องกับเง่ือนไขทั้งสองประการ
หลงั น้ีและสอดคล้องกบั เงื่อนไขอน่ื ๆ ในโจทย์ทุกประการ
นน่ั คือ รปู ข้อ 4 เปน็ รูปเรขาคณติ ทเ่ี ป็นคำ�ตอบของปญั หา

56 ฝกึ คดิ พิชติ คณิต PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ข้อสงั เกต/ขอ้ เสนอแนะ

ครูควรให้นักเรียนเข้าใจและจดจำ�สมบัติของรูปสามเหลี่ยมแต่ละชนิดท่ีเก่ียวกับ
ความยาวของด้าน ขนาดของมุม และอาจฝึกให้นักเรียนจินตนาการและเขียนรูปตาม
เงอ่ื นไขท่ีครกู �ำ หนด เพื่อฝกึ ให้นักเรียนใช้ความรสู้ ึกเชิงปริภูมแิ ละความรสู้ ึกเชิงจำ�นวนใน
การจนิ ตนาการเก่ยี วกบั รปู เรขาคณิตสองมติ ิ เพอื่ ใหไ้ ดร้ ปู ทมี่ ีความสอดคล้องกับเงื่อนไขที่
ครูกำ�หนดใหท้ กุ ประการ
นอกจากความรู้เกยี่ วกับสมบัตติ ่าง ๆ ของรปู เรขาคณติ แล้ว นกั เรียนควรไดร้ บั การ
ฝกึ ฝนในการวเิ คราะหต์ รวจสอบสมบตั ติ า่ ง ๆ เหลา่ นน้ั เพอ่ื ยนื ยนั หรอื คดั ออกรปู เรขาคณติ
ทกี่ �ำ หนดให้ ซง่ึ เปน็ ทกั ษะทมี่ ปี ระโยชนใ์ นชวี ติ ประจ�ำ วนั ในการเลอื กสงิ่ ของทใี่ หป้ ระโยชน์
เหมาะกับจดุ ประสงค์ของการใชง้ าน เปน็ ทน่ี ่าสังเกตว่ามนี กั เรยี นไทยไม่ถึงคร่ึงของจำ�นวน
นกั เรยี นไทยทเ่ี ขา้ สอบตอบค�ำ ถามขอ้ นไ้ี ดถ้ กู ตอ้ ง บง่ บอกถงึ วา่ นกั เรยี นยงั ขาดความสามารถ
ในการใช้เหตุผลแบบคัดออก นักเรียนไม่ทราบจะเร่ิมต้นแก้ปัญหาอย่างไร จึงไม่สามารถ
ดำ�เนินการแก้ปัญหาจนได้คำ�ตอบสุดท้าย ซึ่งเป็นเรื่องที่ครูควรจัดประสบการณ์การ
เรยี นรเู้ พอื่ ใหน้ กั เรยี นไดพ้ บปญั หาและฝกึ แกป้ ญั หาในลกั ษณะท�ำ นองเดยี วกนั นใ้ี หม้ ากขน้ึ
โดยอาจใหน้ กั เรยี นมปี ระสบการณใ์ นการเขยี นรปู ตามเงอื่ นไขของโจทย์ และใชค้ วามรเู้ กยี่ ว
กบั สมบตั ทิ างเรขาคณติ วเิ คราะหผ์ ลทส่ี อดคลอ้ งกบั รปู ทสี่ รา้ งหรอื ใชโ้ จทยท์ �ำ นองเดยี วกนั
กับสถานการณ์ “สามเหลีย่ ม” ขา้ งตน้ หรอื อาจใชต้ ัวอยา่ งสถานการณ์ ดังตอ่ ไปน้ี
1. รูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก ABCD มีด้าน AB ยาวกว่าด้าน BC จุด M อยู่บน
ด้าน CD โดยที่ DM > CM จดุ X และจุด Y เป็นจุดกง่ึ กลางของสว่ นของเสน้ ตรง AM
และส่วนของเส้นตรง BM ตามลำ�ดับ จงเขยี นรปู ตามเง่อื นไขในโจทย์ แล้วหาวา่ ขอ้ ความ
ในขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นจรงิ
1) BM > AM
2) AX = MX
3) MY < MX
4) ∆ ADM =~ ∆ BCM
5) X∆YA=BM_12~ ∆ XYM
6) AB

ฝกึ คิด พิชิตคณติ PISA 57
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ข้อ 2), ข้อ 3), ขอ้ 5) และขอ้ 6)

2. จงเขยี นวงกลมลอ้ มรอบขอ้ ทมี่ รี ูปตรงกบั คำ�อธบิ ายตอ่ ไปนี้
รูปสามเหลย่ี ม ABC มีดา้ น AB ยาวกว่าดา้ น BC ส่วนของเส้นตรง CD
ต้งั ฉากกับด้าน AB และสว่ นของเส้นตรง DE ขนานกับด้าน BC

58 ฝึก คิด พิชิตคณิต PISA
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคิด ในการหาค�ำ ตอบข้อนี้ ครคู วรฝกึ ให้นักเรียนวเิ คราะหค์ ัดข้อท่ีไม่สอดคล้องกบั
เงอ่ื นไขโจทย์ โดยพจิ ารณาทีละเงื่อนไขกับทุกข้อจนเหลอื ข้อท่ีสอดคลอ้ งกบั
ทกุ เง่ือนไขโจทย์ ซ่ึงจะพบว่าคำ�ตอบข้อนค้ี อื ข้อ ง.

3. จงพิจารณาวา่ รูปในขอ้ ใดมลี ักษณะตรงตามเง่อื นไข ดงั นี้

รูปส่เี หลี่ยม ABCD มีมมุ D เป็นมมุ ฉาก จดุ M เปน็ จดุ ก่ึงกลางของดา้ น AD จุด N

เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB P เป็นจุดภายในรูปสี่เหลี่ยมและส่วนของเส้นตรง MP ยาวกว่า

ส่วนของเสน้ ตรง MN

..

CD DC

P M MP

BNA A
N
B

.B C .P D
M P C

M

AN D B NA

.A N B

แนวคดิ M
P

DC

ในการหาค�ำ ตอบขอ้ นี้ ครูควรฝึกให้นกั เรียนวิเคราะหค์ ัดขอ้ ท่ไี ม่สอดคล้องกับ
เงื่อนไขโจทย์ โดยพจิ ารณาทีละเง่อื นไขกบั ทกุ ข้อจนเหลือข้อท่สี อดคลอ้ งกับ
ทุกเง่ือนไขโจทย์ ซ่งึ จะพบวา่ ค�ำ ตอบข้อนี้คอื ขอ้ จ.

ฝึก คิด พชิ ติ คณติ PISA 59
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ชา่ งไม้

ช่างไมม้ กี ระดานยาว 32 เมตร และต้องการใชไ้ มน้ ้ีลอ้ มกรอบสวนหย่อม เขามแี บบ
สวนหย่อมท่คี ิดไว้ 4 แบบ ดังน้ี

คำ�ถามที่ 1: ช่างไม ้
จงเขียนวงกลมรอบคำ�วา่ “ใช”่ หรือ “ไม่ใช่” เพ่ือบอกว่าสวนหยอ่ มแต่ละแบบสามารถลอ้ มกรอบ
ดว้ ยไมก้ ระดาน 32 เมตรนไี้ ด้ใช่หรือไม่

แบบสวนหย่อม ตามแบบนี้สามารถลอ้ มกรอบ
สวนหยอ่ มดว้ ยไม้ 32 เมตร ไดใ้ ช่หรือไม่
คะแนนเตม็
แบบ 1 ใช่ / ไมใ่ ช่ ตอบถูกทัง้ 4 ขอ้ : ใช่ ไม่ไช่
แบบ 2 ใช่ / ไม่ใช่
แบบ 3 ใช่ / ไมใ่ ช่ ใช่ ใช่ ตามลำ�ดับ
แบบ 4 ใช่ / ไม่ใช่ ตอบถกู บางสว่ น

ตอบถกู 3 ขอ้
ไม่มคี ะแนน

ตอบถูก 2 ข้อหรือนอ้ ยกวา่

ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถูก
เน้อื หา : ปริภูมิและรูปทรง ญีป่ นุ่ 37.81
แขนงวิชา : เรขาคณิต เกาหลี 35.12
สถานการณ์ : ในเชิงการศึกษา ฮอ่ งกง-จีน 39.92
สมรรถนะ : การเชื่อมโยง มาเกา๊ -จีน 32.72
แบบของข้อสอบ : เลอื กตอบเชงิ ซ้อน ไทย 12.88

60 ฝึก คดิ พชิ ติ คณิต PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะห์และแนวคดิ ในการแก้โจทย69์ปญั หา

คซคเ คปรงึ่ซคสคเกทวววรขรสใาิึ่งําถจาวะาี่มาขนถใมนมากามจีคคานสมานวยรำย�ควรณสถณนรรวากาสณาทู้ ถาิตมทูมวันาวกถคาานติสขปรยาขขาาวนงขกณ3งถอารนอารอคกอคาว2ะางมกณโงงาณงรณสนจจยสบ3ารสณเํว์โาทการณ2่ิิติตงมวาจวนวน์ณยทานศงศตนันทเกขหรม้ีคมหี่าจโ์ราี้มขอายณจยสเีรตยะสีจเองรท์อ่อตจรจอนโสตตวงจยตมรบมะ่ิำงบ�นริเทขน์ทจทสคคมาท์าอ้เี่ะายา่ีจรงราใกเ่ีใสนมคหะขัวกากหีย่ ากน้ีารทอน้ะ่อวี่ยนมอรลําหน่ีมกัขสวักาถมบา่้ีเีกออแรรเขรนวาครถ้งาลาลยีถก้อียำ�รนงชานะองึมนงัวําีวพงแสวทวาดมาถเเิรนิเลี่มนัางคปึคงา้อลีอเวงชรรง็นชมอาาคาาา่ ่ชนชนมะะรงดดิ ่าปีไพห้ัหวรชังใมง้ัวสัเญรเร์านไช้ปสูปวปูมงซกหนวนนไเเงึ่รนรามปาชหชงขขรนหญาา่ายาาแงย้ีนชงซหค่อคไกอ่ากช่ึงณมามณมโงา่่องนทจิตไทงาติส้ีชมชนส่ีทมนี่มสาร้าตอเี้ีรยชีรงอ้ากง้งูอปไูปางงปกย่ีมมงมแงแอวญติตคนทบติบขสิอทำ�้ีเ่ีตหทิบบอ้รงก่ีเน้อาตปเ่ีาคงตี่ยปวงกางนํา่าวณน็งมบนังแขกทแีกกวกบไอันบ่ีณมตันาาบงรรรอบ้กรไจกูปทคมงูปจรําับใมิด�ำกะ�ลำดใกกีกดรลคดอไาะจิาดไอำ�งาดรรดกทบนงนคท้าบรทาาวทนิดรํางง้าาณี่มมงงี

ควคาวมารมู้ทรีู่นทั่ีกนัเกรเียรียนนจจะะตต้อองงใใชช้ใในนกการตอบคําำ�ถถาามม คือคือควาคมวยาามวยราอวบรรอูปบขรอูปงขรูปอง
รูปหหลาลยาเยหเลหี่ยลมย่ี มสมสบมัตบิขตั อขิงรอูปงรสูปามสเาหมลเี่ยหมลมยี่ ุมมฉมามุ กฉทา่ีกกลทาีก่วลวา่ ว“วเา่มื่อ“เเปมรือ่ ียเบปเรทียียบบเคทวียาบมคยวาาวมขอยงาว
ขอดงาดนา้ทนั้งทสงั้าสมาขมอขงอรูปงรสปู าสมาเหมลเห่ียลมยี่ มมุมมฉมุ าฉกาจกะจไดะวไดาว้ า่ ดาดนา้ ตนรตงรขงาขมา้ มมุมมฉมุ าฉกายกายวาทว่ีสทุดส่ี ”ดุ ”ในในกการาร
แแกก้ปปัญญหหาานนักักเรเรียียนนจจะะตต้อองงววิเิเคครราาะะหห์ร ูปเรขาคณิตสองมิติในนแแตตล่ละะแแบบบบทท่ีโี่โจจททยยก์กําำ�หหนนดดใหให ้
โดโยดใยชใค้ ชวคาวมาสมาสมาามรถาดรถา้ นดคาวนาคมวราสู้ มกึ รเูชสงิึกปเชรภิิงปมู ิรแิภลูมะิ ใชแค้ ลวะาใมชรคพู้ วน้ื าฐมารนูพท้ืนาฐงาเรนขทาคางณเรติ ขพาจิ คาณรณิตา
นแแวา่บบส1พมำ�รมาุมบิจบูปมาฉาแเาสร4ารล3รณรกขะถา้ าาแทนแงควคบำ�รําบาณวใมั้วบบรหาไาิตูปดม้คส34ทเ้ตยรำ�รมี่านขาาคทงีกมวาววรําคารทณาัว้ใรอณหไมต่ี ไหดบดอ้คยิตตักรํา้งาทงามูป่ากนว่ีมมมุยราจวีกทอแรเณะาป่ตีบลเรไอน็ปะหรดงม็นูบปังกกุมาเจอมาชยฉะกุรม่นแาเไเปเลปดกดะนนว้ตียบ่าเมาวชอมุมกนกแคฉับเไนาวดดคกาวียววมตดวาาายงิ่กมมแาับคยแวลควานขะาววอวแมารดงนมยอไ่ิงวมายบแนวาก้ลรขอวระูปอรนะแของดนอไบาวมเงชรนนกรูน่ปอูปร3ขะนสร2อดูป่ีเงหาเเแรชมนลบูปนต่ีย3บสรมร2ี่เสูปหม1าเแุลมมมบ่ียแฉตาบมลารรกถะ
แนแวนควคดิ ดิในในกกาารรแแกกโ้โจจททยยปป์ ญ ญั หหาา
ค แ�ำ บคแถบาํบา ถบสมาสาทมามี่ทม1าี่าร1รถถลลจอ้จอ งมงมเเกขขกยีรรียอนอนบวบวงดดงกกว้ว ลยยลมไไมรมมรอกก้ อบรรบะคะดคําดวา�ำ าานวนา่ “33ใ“2ช2ใ”เชมเ่”มหตตรรหือนรรนีไ้ือ“ดี้ไไใด“มช้ใไใหชมชร่ห่ใ” ชือรเไ”่ อืพมไเอ่ื มพบ่่อื อบกอวากสววา่ นสหวยนอหมยแอ่ ตมล แะตล่ ะ

แบบสวนหยอ ม ตามแบบนสี้ ามารถลอมกรอบสวนหยอมดวยไม 32 เมตร
แบบ 1 ได ใชหรอื ไม
แบบ 2 ใช / ไมใ ช
แบบ 3 ใช / ไมใช
แบบ 4 ใช / ไมใช
ใช / ไมใช

ฝึก คดิ พชิ ิตคณิต PISA 61
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

จากคำ�ถามโจทย์ท่ีให้วิเคราะห์ว่าช่างไม้สามารถนำ�ไม้กระดานยาว 32 เมตร
มาตัดต่อความยาวล้อมรอบสวนหย่อมในแต่ละรูปแบบของรูปใดได้บ้าง สำ�หรับสวน
หย่อมแบบ 1 และแบบ 3 สามารถใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิมองเห็นการเช่ือมต่อของ
ไมก้ ระดานเป็นกรอบรูปสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากไดด้ งั นี้
แนวคดิ พิจารณาแบบ 1 และ แบบ 3 ถา้ ลากสว่ นของเส้นตรงลอ้ มรูปให้เปน็
รปู สเ่ี หลีย่ มมมุ ฉาก จะเห็นไดว้ า่ ความยาวรอบรปู แตล่ ะแบบเท่ากบั ความยาวรอบรปู ของ
รปู สีเ่ หล่ยี มมมุ ฉากตามแบบ 4 ดังนี้

จะได้ความยาวรอบรปู ของแบบ 1 แบบ 3 และแบบ 4 แตล่ ะแบบเท่ากบั
2 (ความกวา้ ง+ความยาว) = 2 (6 + 10)
= 32 เมตร
ดังนั้นสามารถใช้ไม้กระดานยาว 32 เมตร ล้อมรอบสวนหย่อมแบบ 1 แบบ 3 และ
แบบ 4 ได้
ในการแก้ปัญหาแบบ 1 และแบบ 3 อาจใช้การจินตนาการและการนึกภาพ
มองส่วนต่อความยาวของส่วนของเส้นตรงในส่วนท่ีหักมุมตามแนวด่ิงและแนวนอน
เช่ือมโยงเป็นส่วนของเส้นตรงเดียวกันที่ยาวข้ึน ก็จะได้ความยาวและความกว้างของ
สวนหย่อมเทา่ กบั แบบ 4 ซึ่งเป็นรูปสีเ่ หลยี่ มมุมฉากท่สี ามารถหาความยาวรอบรปู ไดง้ ่าย

62 ฝึก คิด พิชติ คณติ PISA
สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

71

เป นสวนขสอ�ำ งหเรสบันนตกัรเงรเยีดนียทวกไี่ มันส่ ทา่ียมาาวรขถ้ึนใชคก้ ็วจาะมไดรสู้คกึวเาชมงิ ยปารวภิ แมู ลิ ะกคาวราจมนิ กตวนาางกขาอรงแสลวะนกหารยนอกึมภาพ
เทมาอกงับรแูปบแบบ4บ 1ซึง่ แเปลน ะรรูปปู สแีเ่ บหบล่ยี 3มมเมุปฉ็นารกปู ทแีส่ บามบา4รถหไดา้คควารมูอยาาจวอรธอบิ บารยูปกไาดรง วายิเคราะหค์ วามยาว
ของสว่ สนําตหอ่ รขับอนงสัก่วเนรียขนองทเ่ีสไม้นสตารมงทารี่หถกั ใมชุมคขวอางมรรูปูสึกเชเช่นิงใปนรแิภบูมบิ 1กาดรังจนินี้ ตนาการและ

การนึกภาพมองรูปแบบ 1 และรูปแบบ 3 เปนรูปแบบ 4 ได ครูอาจอธิบายการ

วเิ คราะหค วามยาวของสวนตอของสว นขแอบงเบสน1ตรงทีห่ ักมมุ ของรูป เชน ในแบบ 1 ดงั น้ี

a +a +b b cc++dd xx cc++d d
cc dd aa bb a +ab+ b
y

y

จากรปู ให a, b, c, d, x และ y เปนความยาวของสวนของเสน ตรงแตละสวนที่หกั มมุ
ของรูปในแบบ 1
จะได ความยาว เทากับ x + 2 (c + d) = 10 เมตร

ความกวาง เทากับ y + a + b = 6 เมตร

ดงั นั้น ความยาวรอบรูปเทา กบั 2 (ความยาว + ความกวา ง)
= 2 (10 + 6) เมตร
= 32 เมตร

จากแนวคิดในมมุ มองขางตน ก็จะสามารถบอกไดเชน กัน วาสามารถนาํ ไมก ระดาน
ยาว 32 เมตร ลอ มรอบสวนหยอมแบบ 1 และแบบ 3 ไดเ ชนเดียวกับแบบ 4

ฝึก คิด พิชิตคณติ PISA 63
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

สำ�หรบั แบบ 2 ไม่สามารถใช้ไมย้ าว 32 เมตรล้อมได้ เนอ่ื งจากเปน็ รูปส่ีเหล่ยี ม
ด้านขนานท่ีมีฐานยาว 10 เมตร สูง 6 เมตร ดงั รูป ดว้ ยเหตุผลดงั น้ี

แบบ 2 D C

AE รปู ส่เี หลย่ี มด้านขนาน ABCD
ลากสว่ นสงู DE
จะได้ AB = 10 เมตร และ
B DE = 6 เมตร

โดยสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและใช้ความรู้เก่ียวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส
กส็ ามารถวิเคราะหไ์ ด้วา่ AD > DE แสดงว่า AD ยาวมากกวา่ 6 เมตร ความยาวรอบรูป
ของรปู สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนาน ABCD จงึ มากกวา่ 2(10 + 6) = 32 เมตร
ดังน้ัน ช่างไม้ไม่สามารถใช้ไม้กระดานยาว 32 เมตร ล้อมกรอบสวนหย่อม
แบบ 2 ได้

ขอ้ สังเกต/ขอ้ เสนอแนะ
1. มีข้อสังเกตเก่ียวกับจำ�นวนนักเรียนไทยและประเทศอ่ืน ๆ ที่ทำ�ข้อสอบได้
ถูกตอ้ งต�ำ่ กว่า 50 เปอรเ์ ซ็นตข์ องนักเรียนที่เขา้ สอบแตล่ ะชาตติ ามท่รี ะบุ นา่ จะมีผลจาก
การไม่ค้นุ เคยการวเิ คราะห์รูปเรขาคณิตสองมติ ิในลกั ษณะของสถานการณน์ ี้ และยังขาด
ความสามารถทางดา้ นความรูส้ กึ เชงิ ปรภิ มู แิ ละการนกึ ภาพเกย่ี วกับเรอื่ งทีก่ ล่าวมาด้วย
ในการเรียนการสอนครูควรหารูปเรขาคณิตสองมิติที่ต้องอาศัยการจินตนาการ
หรือการนกึ ภาพ โดยการเขียนส่วนตอ่ ของรูปท่ีก�ำ หนดใหเ้ ปน็ รูปเรขาคณติ สองมติ ทิ งี่ า่ ย
ต่อการค�ำ นวณหาค�ำ ตอบมาฝกึ เพม่ิ เตมิ
2. ครอู าจเสรมิ แนวคดิ วเิ คราะหเ์ พอื่ ใหน้ กั เรยี นไดเ้ หน็ การมองรปู เรขาคณติ สองมติ ิ
ท่ีมีความยาวรอบรูปน้อยกว่าความยาวรอบรูปของแบบ 4 โดยกำ�หนดรูปหลายเหล่ียม
ABCDEF ดังรปู เปน็ แบบ 5 และใชส้ ถานการณโ์ จทยเ์ ดมิ ใหน้ กั เรยี นร่วมกนั อภปิ ราย
หาคำ�ตอบและบอกเหตผุ ล

64 ฝึก คิด พชิ ติ คณติ PISA
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ DP

QE จากการพิจารณา CPD
F C จะได้ CP + PD > CD ตามสมบัติของ
A
รูปสามเหล่ียม ท่ีกล่าวว่า “ผลบวกของ
ความยาวของดา้ นสองดา้ น ของรปู สามเหลย่ี ม
B ยาวกวา่ ดา้ นที่สาม”

จากเหตุผลข้างต้นจึงสรุปได้ว่า ความยาวรอบรูป ABCDEF น้อยกว่าความยาว
รอบรปู ABPQ
ดงั นน้ั สามารถใชไ้ ม้กระดานยาว 32 เมตร ล้อมรอบสวนหยอ่ มแบบ 5 ได้
3. ครูอาจใหค้ วามรเู้ กีย่ วกับการตัดต่อไมก้ ระดานใหไ้ ด้มมุ เป็นมมุ ฉากตามวิธีของ
ชา่ งไม้ ว่าในการสร้างรว้ั ตามแบบ 1 แบบ 3 และแบบ 4 ด้วยไม้กระดาน ซ่งึ ไมก้ ระดาน
จะมคี วามกวา้ งตา่ งจากการน�ำ ขดลวดมาหกั มมุ เปน็ มมุ ฉาก ชา่ งไมจ้ �ำ เปน็ ตอ้ งมวี ธิ กี ารตดั
ไม้ที่ไมใ่ ห้เสยี เนอ้ื ไม้และต่อให้ไดม้ มุ ฉาก โดยชา่ งไมจ้ ะต้องตัดไมโ้ ดยท�ำ มุม 45o แลว้ น�ำ
ปลายไม้ส่วนที่ตัดทั้งสองช้ินมาประกบกันเป็นมุมฉากดังรูป จึงจะทำ�ให้ไม้กระดานยาว
32 เมตร พอใช้ในการลอ้ มรอบสวนหยอ่ มตามแบบ 1 แบบ 3 และแบบ 4

a b 45o a

cd c
b
d

ฝึก คิด พชิ ติ คณติ PISA 65
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ครอู าจฝกึ ใหน้ กั เรยี นไดค้ นุ้ เคยการแกป้ ญั หาในท�ำ นองเดยี วกนั กบั ปญั หา“ชา่ งไม”้
ฝึกการนึกภาพและใช้ความรู้เก่ียวกับการแปลงทางเรขาคณิตหารูปท่ีง่ายต่อการค�ำ นวณ
ดงั ต่อไปนี้

1. D C

วินยั ตัดแผน่ ไม้รปู สี่เหลย่ี มจัตุรัส ABCD
ทีม่ ดี า้ นยาว 36 เซนตเิ มตร ให้ไดช้ ้นิ ส่วน
ตามรูปทีแ่ รเงาและมขี นาดดังรูป
จงหาพื้นทขี่ องชิ้นส่วนทีแ่ รเงา

AB

แนวคดิ C นึกภาพส่วนต่อของรูปตามแนวเส้นประ
(ดังรปู )
D จะได้พ้ืนทีข่ องรปู 1 เท่ากบั พื้นทีข่ องรปู a
พื้นท่ีของรปู 2 เท่ากับพื้นท่ขี องรูป b
และ พื้นท่ีของรูป 3 เทา่ กบั พนื้ ทีข่ องรปู c

AB

แสดงว่า ผลบวกของพ้นื ท่ีของรูป a, b และ c เทา่ กบั ผลบวกของพนื้ ทีข่ อง

รปู 1 , 2 และ 3
จะได้ พื้นทขี่ องชนิ้ สว่ นทแ่ี รเงาเท่ากบั 12 ของพนื้ ทข่ี องรปู ส่เี หลยี่ ม ABCD
62148x
ดังนัน้ พื้นที่ของชนิ้ สว่ นทแี่ รเงา เทา่ กบั 36 x 36
= ตารางเซนตเิ มตร

66 ฝกึ คิด พชิ ติ คณติ PISA
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

75

2. a 2a a กาํ หนดใหร ปู A มคี วามยาวรอบรปู เทา กับ
a a 80 เซนติเมตร a และ 2a แทนความยาว
ของดานตา ง ๆ ดงั รูป จงหาพนื้ ทข่ี องรปู A
2a A
2a

แนวคิด 2a a เขียนเสน ประตอ รูป A ใหเ ปนรปู สเี่ หลย่ี ม
a มมุ ฉาก ทําใหไ ด
a ความกวา ง 4a และความยาว 6a
a A
2a 2a

ความยาวรอบรปู เทา กับ 2(4a + 6a) = 20a
จะได 20a = 80
80
a = 20

ดงั น้ัน a = 4 เซนติเมตร
หาพื้นที่ของรูป A โดยการลบสว นท่ีตอออกจากรปู สี่เหลี่ยมมุมฉาก ดงั น้ี
พ้นื ทข่ี องรูปสี่เหล่ยี มมมุ ฉาก เทา กบั 4a × 6a = 24a2

พน้ื ท่ีของรปู A = 24a2 – 2(3a2)
= 24a2 – 6a2
= 18a2
= 18 × 42
= 18 × 16
= 288 ตารางเซนติเมตร

ฝึก คดิ พชิ ิตคณติ PISA 67
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ขอ้ เสนอแนะ ส�ำ หรับการหาพืน้ ทข่ี องรปู A

2 1 อาจเขยี นเส้นประแบ่งรปู A และใชก้ ารหมนุ
รูป 1 และรูป 2 มาปิดชอ่ งวา่ ง ท�ำ ใหไ้ ด้
A 3a รูปสเี่ หลีย่ มมุมฉากทม่ี ีความกวา้ ง 3a และ
ความยาว 6a ดงั รูป
6a

พ้นื ท่ีของรปู A เทา่ กับ 6a x 3a = 18a2
จากแนวคิดข้างต้น ได้ a ยาว 4 เซนติเมตร
ดังนั้น พื้นท่ีของรปู A = 18 x 16
= 288 ตารางเซนติเมตร

3. ปญั หา “การเขา้ เล่ม” จากขอ้ สอบ PISA ปี ค.ศ. 2006
คำ�ถามที่ 1 การเขา้ เลม่

รูป 1 แสดงวิธีการทำ�สมดุ เล่มเลก็ โดยมีขน้ั ตอนดงั นี้
• นำ�กระดาษแผ่นหน่ึงมาพบั ครงึ่ สองครงั้
• เย็บลวดท่ีขอบ ก
• ตัดกระดาษทีข่ อบ ข สองขอบให้เปิดออก
จะได้ สมุดเลม่ เล็กท่ีมแี ปดหนา้ ดังรปู 2

รปู 2

68 ฝึก คิด พิชติ คณิต PISA
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

รปู 2 แสดงด้านหน่งึ ของกระดาษที่ทำ�เป็นสมดุ ซึ่งมีเลขหน้าเขียนไว้กอ่ นแลว้
เส้นหนาคอื กระดาษส่วนทีถ่ ูกตัดหลังจากพับแลว้
จงเขยี นหมายเลข 1, 4, 5 และ 8 ลงในกรอบของแผนผงั ให้ถกู ต้อง เพื่อแสดงว่า
หนา้ ใดอย่ดู า้ นหลงั ของหน้า 2, 3, 6 และ 7

เฉลย เลขหนา้ ถกู ใสใ่ นต�ำ แหนง่ ที่ถกู ตอ้ ง (ไม่ตอ้ งสนใจวา่ หมายเลขจะหัวกลบั )
18

45
แนวคิด โดยปกตเิ ลขหนา้ หนงั สอื จะเรียงล�ำ ดับต่อเนอ่ื งกนั
ดงั นั้น เลขหน้าทไ่ี ม่ปรากฏในหน้าสมุด 2, 3, 6, 7 กจ็ ะต้องอยูด่ ้านหลงั
ของเลขหนา้ เหล่านี้ ซ่ึงจะเป็นตวั เลขก่อนหรือหลังดังนี้
เลขหนา้ 1 ต้องคู่กบั เลขหน้า 2
เลขหน้า 4 ตอ้ งคู่กบั เลขหน้า 3
เลขหนา้ 5 ต้องคูก่ ับ เลขหนา้ 6
เลขหน้า 8 ต้องคกู่ บั เลขหน้า 7

ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA 69
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

อนง่ึ ถา้ ครนู �ำ ปญั หานไี้ ปใหน้ กั เรยี นท�ำ ควรใหน้ กั เรยี นจนิ ตนาการนกึ ภาพหรอื
คาดคะเนบอกเลขหนา้ ทอี่ ยหู่ นา้ หลงั ของหนา้ ทมี่ องเหน็ กอ่ น หลงั จากนน้ั ครใู หน้ กั เรยี น
ท�ำ กิจกรรมใชก้ ระดาษ A4 เขียนเลขหน้าตามโจทย์และเลขหนา้ ดา้ นหลงั ตามทน่ี ึกไว้
เสร็จแลว้ ใหน้ ักเรียนลองตัดกระดาษตามข้นั ตอนรปู 1 ตรวจสอบวา่ หนา้ สมดุ เล่มเล็ก
เรียงหนา้ ได้ถกู ต้องจรงิ หรือไม่

70 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

โรงงาน

โรงงานหลงั หน่ึงมหี ลังคาเป็นทรงพีระมิด ดังรูป

และขา้ งลา่ งเป็นรปู ที่นักเรียนคณติ ศาสตร์ ทำ�แบบจ�ำ ลองของหลังคา พร้อมกับบอก
ระยะกำ�กบั ไว้ด้วย

พื้นเพดาน ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส คานที่รองรับน้ำ�หนักของหลังคา คือขอบของ
รูปเหล่ียมทรงตัน EFGHKLMN (ปริซึมรูปสี่เหลี่ยม) E เป็นจุดก่ึงกลางของส่วนของ
เส้นตรง AT จดุ F เปน็ จุดกึ่งกลางของสว่ นของเส้นตรง BT จดุ G เป็นจุดก่งึ กลางของ
ส่วนของเส้นตรง CT จดุ H เป็นจดุ ก่งึ กลางของสว่ นของเส้นตรง DT สันของพรี ะมดิ ทุก
ด้านยาว 12 เมตรเทา่ กัน

ฝึก คิด พชิ ิตคณิต PISA 71
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถามท่ี 1 : โรงงาน คะแนนเต็ม
จงคำ�นวณพนื้ เพดาน ABCD ตอบ 144 (ให้หน่วยมาแลว้ )
พื้นที่ของพืน้ เพดาน ABCD = ______________ ตารางเมตร
ไมม่ ีคะแนน
ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ ค�ำ ตอบอื่นๆ
เนือ้ หา : ปริภมู แิ ละรูปทรง ญป่ี ่นุ
แขนงวชิ า : การวดั เกาหลี % ตอบถูก
สถานการณ์ : ในเชงิ อาชีพ ฮ่องกง-จนี 81.60
สมรรถนะ : - ไทย 70.90
แบบของขอ้ สอบ : สรา้ งค�ำ ตอบแบบปิด 83.80
31.70

ค�ำ ถามท่ี 2 : โรงงาน คะแนนเตม็
จงค�ำ นวณความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง EF ตอบ 6 (ให้หนว่ ยมาแล้ว)
ความยาวของส่วนของเสน้ ตรง EF = ____________ เมตร
ไม่มีคะแนน
ตอบถูก 2 ข้อหรือนอ้ ยกวา่
ลกั ษณะเฉพาะของขอ้ สอบ ประเทศ
เนื้อหา : ปรภิ ูมแิ ละรปู ทรง ญี่ป่นุ % ตอบถกู
แขนงวชิ า : การวดั เกาหลี 85.60
สถานการณ์ : ในเชิงอาชีพ ฮ่องกง-จนี 80.00
สมรรถนะ : - ไทย 77.20
แบบของขอ้ สอบ : สรา้ งคำ�ตอบแบบปิด 54.70

72 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะหแ์ ละแนวคดิ ในการแกโ้ จทย์ปญั หา

สถานการณโ์ จทย์
ในสถานการณ์โจทย์ข้อนี้ กล่าวถึงโรงงานหลังหนึ่งท่ีหลังคามีลักษณะเป็น
ทรงพรี ะมดิ เมอ่ื นกั เรยี นคณติ ศาสตรท์ �ำ แบบจ�ำ ลองของหลงั คา พรอ้ มกบั บอกระยะก�ำ กบั
ไวจ้ ะได้รูปทรงพีระมดิ ที่มจี ุด T เปน็ จดุ ยอดและรูปสเี่ หลี่ยม ABCD เป็นฐานดงั นี้

พื้นเพดาน ABCD เป็นรปู สเี่ หลี่ยมจตั รุ ัส คานทีร่ องรบั นำ้�หนกั ของหลังคามีลักษณะเปน็
ขอบของรปู เหล่ียมทรงตัน EFGHKLMN ซง่ึ เป็นปรซิ ึมฐานส่เี หลี่ยม จดุ E, F, G และ H
เป็นจดุ กึง่ กลางของสัน AT, BT, CT และ DT ตามลำ�ดบั
จากรปู สนั ของพรี ะมดิ ทกุ สนั ยาว 12 เมตรเทา่ กัน และพื้นเพดาน ABCD เปน็
รูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีมีด้านยาวด้านละ 12 เมตร โจทย์ให้คำ�นวณหาพ้ืนท่ีของพื้นเพดาน
ABCD และความยาวของส่วนของเส้นตรง EF
ความร้ทู างคณิตศาสตรท์ ีเ่ กยี่ วขอ้ ง
ความรู้ทนี่ กั เรยี นจะต้องใช้ในการตอบคำ�ถาม คอื
1. ความสมั พนั ธข์ องรปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ นกั เรยี นตอ้ งใชค้ วามรสู้ กึ
เชงิ ปรภิ ูมใิ นการมองภาพดา้ นหน้า ด้านขา้ งและดา้ นบนของพีระมิด ที่ไดว้ ่า

ภาพดา้ นหนา้ และดา้ นขา้ ง เปน็ รูปสามเหล่ียมด้านเท่า คอื ∆TAB, ∆TBC, ∆TCD และ
∆TDA ในขณะท่ภี าพดา้ นบนเปน็ รูปส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัส ABCD

2. พน้ื ทผี่ วิ และปรมิ าตร นกั เรยี นตอ้ งหาพน้ื ทฐ่ี านของพรี ะมดิ ในการตอบค�ำ ถาม
ขอ้ 1 ซง่ึ ให้คำ�นวณหาพน้ื ทีข่ องเพดาน ABCD ทม่ี ีลกั ษณะเปน็ รูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัส

ฝกึ คดิ พชิ ิตคณติ PISA 73
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

3. สมบัตขิ องรูปสามเหลย่ี มใดๆ จากโจทย์ที่กำ�หนดใหจ้ ุด E, F, G และ H เปน็
จุดก่ึงกลางของแตล่ ะสัน นักเรียนอาจใชส้ มบัติของรปู สามเหลีย่ มท่กี ล่าววา่ “สว่ นของ
เส้นตรงท่ีลากเช่ือมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูปสามเหล่ียมใด ๆ จะขนานกับ
ด้านที่สามและยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม” ในการตอบคำ�ถามข้อ 2 โดยสมบัติ
ดงั กลา่ วข้างตน้ จะได้ว่า EF ยาวเปน็ ครงึ่ หนึ่งของ AB สมบัติน้นี ักเรยี นบางคนอาจไมไ่ ด้
เรยี นมากอ่ น เน่ืองจากเปน็ เนอ้ื หาท่ีอยู่ในสาระการเรียนรูเ้ พ่ิมเตมิ ถ้าครูนำ�โจทยข์ อ้ น้ีมา
ใช้กบั นักเรียน ครูอาจสอนสมบตั ิดังกล่าวเพ่มิ เตมิ ก็ได้
4. สมบัติของรูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว และสมบัติของสามเหล่ียมรูปด้านเท่า
รูปสามเหลีย่ มหน้าจ่ัว คือรปู สามเหลี่ยมท่ีมีด้านเท่ากัน 2 ดา้ น ซึ่งรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั
น้ีจะมีมุมท่ีฐานเทา่ กัน 2 มมุ สำ�หรับรปู สามเหลีย่ มดา้ นเทา่ คอื รูปสามเหลยี่ มท่ดี ้านเท่า
กันทกุ ด้าน ซึ่งมมุ ภายในทกุ มมุ ของรปู สามเหล่ยี มด้านเท่าจะมีขนาด 60 องศา

แนวคิดในการแก้โจทย์ปัญหา

คคำ��ำ ถถาามมที่ 1 จงคำ�นวณพน้ื เพดาน ABCD
พ้ืนท่ขี องพน้ื เพดาน ABCD = …………………………. ตารางเมตร
แนวคดิ โจทยบ์ รรทัดแรก สง่ั นกั เรียนว่า จงคำ�นวณพ้นื เพดาน ABCD
เนอ่ื งจากพืน้ เพดาน ABCD เปน็ รูปส่ีเหล่ยี จตั ุรัสท่มี ีแต่ละดา้ นยาว 12 เมตร

ดังนนั้ พืน้ ท่ีของพ้ืนเพดาน ABCD เทา่ กบั 12 x 12

= 144 ตารางเมตร

74 ฝึก คดิ พชิ ิตคณติ PISA
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

คคำ�ำ�ถถาามมทที่ ่ี 22 จงค�ำ นวณความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง EF การหาค�ำ ตอบขอ้ น้ี นกั เรยี น
สามารถท�ำ ได้ 2 แนวคดิ ดงั น้ี
แนวคิด 1 ถา้ นกั เรยี นทราบถงึ สมบตั ขิ องรปู สามเหลยี่ มทกี่ ลา่ ววา่ “สว่ นของเสน้ ตรง
ท่ลี ากเช่ือมจุดกง่ึ กลางของด้านสองด้านของ รปู สามเหล่ียมใด ๆ จะขนานกบั ดา้ นทส่ี าม
และยาวเป็นครึง่ หน่งึ ของด้านท่ีสาม”
นกั เรียนจะสามารถตอบคำ�ถามไดว้ า่ EF = 62112 ของ AB
= x 12
นน่ั คือ EF = เมตร

แนวคดิ 2 ถ้านกั เรียนไมท่ ราบถึงสมบัติของรปู สามเหล่ยี มตามแนวคดิ 1 นักเรยี น
สามารถใชส้ มบัติของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั และสมบตั ิของรูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ ไดด้ ังน้ี
จดเนะงั อ่ืนไดง้นั จ้ Tา∆EกT=จEดุFTFEเป=แน็ ลร1_2ะูป2สจ=าุดม6Fเหเลปเมีย่ ็นตมจรหดุ นกา้ึง่ จกัว่ลางของ TA และ TB ตามลำ�ดบั


( รูปสามเหลีย่ มท่มี ีด้านยาวเท่ากนั สองด้าน เป็นรปู สามเหลีย่ มหนา้ จว่ั )
เนือ่ งจาจกะ∆ไดT้ AAT^BBเป=็นTรA^ูปBสา=มTเหB^ลA่ยี =มด6้า0นºเท่า
( มE^TุมFภาแดเยลนังใะ่ือนนงแัน้Aจ^ตTาE่ลBกT^ะFเTมปE^มุ=น็ FขมAอ=มุ T^งเBรTดูปF^ยี=สEวา6กม0นั เºห)ล่ยี มด้านเท่า มีขนาดเท่ากบั 60º )

(

( มุมทฐี่ านของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว มขี นาดเทา่ กนั )
จะได้ TE^F = TF^E = 60º

( มมุ ภายในท้ังสามมุมของรปู สามเหลย่ี ม มขี นาดรวมกัน เท่ากับ 180º )
ดงั นั้น ∆TEF เป็นสามเหล่ยี มดา้ นเทา่

(ET^F = 60º, TE^F = T^FE = 60º)
จะได้ TE = EF = TF = 6
นั่นคอื EF เทา่ กบั 6 เมตร

ฝกึ คดิ พชิ ิตคณิต PISA 75
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ข้อสงั เกต/ข้อเสนอแนะ
จากการที่นักเรียนไทยตอบคำ�ถามท่ี 1 ได้ถูกต้องเพียง 31.70 เปอร์เซ็นต์
ของจำ�นวนนักเรียนไทยท่ีเข้าสอบ ข้อสันนิษฐานประการหนึ่งที่นักเรียนตอบไม่ได้
อาจเปน็ เพราะไมเ่ ข้าใจว่ารูปสเ่ี หลี่ยมจตั รุ ัส ABCD ท่เี ห็นในรูปเปน็ ฐานของพรี ะมดิ
นั้น คือ เพดานของโรงงาน ซึ่งแสดงว่านักเรียนไม่สามารถใช้การนึกภาพและความ
รูส้ ึกเชงิ ปรภิ มู ิถอดโครงสรา้ งของหลงั คาโรงงาน มาเปน็ รปู ของทรงสามมิตทิ ่กี �ำ หนด
ให้ได้
สำ�หรับคำ�ถามท่ี 2 ที่นักเรียนไทยมากกว่าครึ่งเพียงเล็กน้อยของจำ�นวน
นักเรียนไทยที่เข้าสอบตอบได้ถูกต้อง ก็น่าจะเป็นเพราะว่าไม่ทราบสมบัติของ
รปู สามเหลย่ี มใด ๆ กบั เสน้ ตอ่ จดุ กง่ึ กลางดา้ นตามทร่ี ะบมุ าขา้ งตน้ ซง่ึ ถา้ ไมท่ ราบกอ็ าจขาด
ความพยายามหาคำ�ตอบโดยใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวและรูปสามเหลี่ยม
ด้านเท่า อย่างไรกต็ าม หลังจากนักเรียนเข้าใจแนวคิดในการแก้ปญั หาสถานการณ์นี้
แลว้ ครูอาจขยายความรู้ตอ่ ไดว้ ่า แม้วา่ โจทย์จะกำ�หนดจุด E, F, G และ H ไม่ใช่
จดุ ก่งึ กลางของสนั เช่นให้ จุด E และ จดุ F เปน็ จุดท่ที ำ�ให้ TE : EA = 2 : 3 และ
TสแลFามะ:เใหFหBล้ส่ียัง=เมกด2ตา้ ว:น่า3เโทจ่าทนยกัหใ์เาชรคียส้ วนญั ากลมส็ ักยาษามวณาขรแ์อถสงใดชEง้คFสวว่ ไานดม้วขรา่อู้เกมงีย่ีคเสวว้นกาตบัมรยรงปูาแวสตเาปกม็นตเหา่ ง32ลจ่ียขามกอหทงนใี่ Aชา้ Bจใ้ นว่ั หแเชลน่นะังกสรูปนัอื
เรียน โดยขีดเสน้ ใต้ตัวอักษร เช่น เขียน AT แทนการเขยี นเปน็ AT ครูควรแจ้ง
ให้นักเรียนทราบว่า หนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มและโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์
หลายขอ้ อาจใชส้ ญั ลกั ษณท์ างคณติ ศาสตรต์ า่ ง ๆ กนั นกั เรยี นตอ้ งหดั วเิ คราะหค์ าดเดา
ใหถ้ กู ต้องว่า สญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์เหลา่ นน้ั แทนสิ่งใดตามท่เี คยเรียนมาแล้ว
นอกจากนี้ครูควรใช้การสนทนาชี้แนะให้นักเรียนหัดเป็นคนช่างสังเกตและ
หาความรู้รอบตัวเก่ียวกับสิ่งแวดล้อมใกล้ตัว ดังเช่นในสถานการณ์น้ี ครูอาจบอก
นกั เรยี นใหไ้ ปศกึ ษาหาความรเู้ กย่ี วกบั สงิ่ ตา่ ง ๆ ทเ่ี ปน็ โครงสรา้ งของหลงั คา เชน่ ขอื่
แป คาน จวั่ เพดาน และชายคา การศกึ ษานอ้ี าจให้นกั เรยี นมองได้ท้ังในแง่ของ
คณติ ศาสตร์ ศลิ ปะ และประโยชนข์ องการใชง้ าน ซงึ่ เปน็ การฝกึ เกยี่ วกบั ทกั ษะและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และความรสู้ กึ เชงิ ปริภมู ิ

ฝึก คิด พชิ ติ คณติ PISA 76
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ครูอาจหาโจทย์ให้นักเรียนไดฝ้ ึกเพิม่ เติม ดังตัวอยา่ งโจทยด์ ังน้ี
1. D ฝาผนงั ดา้ นข้างของบ้านวิทยามลี กั ษณะ

ดงั รูป ABCDE ความยาวของด้านตา่ ง ๆ
E C เป็นดังนี้ AE = BC = 3 เมตร

DE = 6.5 เมตร AB = 10 เมตร และ
A F B DF = 5.5 เมตร
ค�ำคถำ�าถมาทมที่ 1ี่ 1 จงหาความยาวของ AF
แนวคดิ AF2 = DE2 – (DF – BC)2
= 6.52 – (5.5 – 3)2
= 6.52 – (2.5)2
= 42.25 – 6.25
= 36
ดงั น้นั AF = 6 เมตร

คคำ�ำ�ถถาามมทท่ี 2่ี 2 ถา้ วิทยาตอ้ งการทาสีฝาผนงั ดา้ นขา้ งน้ี บรเิ วณทีต่ อ้ งทาสคี ิดเปน็ พื้นท่ี
กต่ี ารางเมตร
แนวคดิ รูป ABCDE ประกอบด้วย รปู สีเ่ หลย่ี มคางหมู AEDF และ
รปู ส่เี หล่ียมคางหมู BCDF

พ้นื ท่ขี องรูป ABCDE เทา่ กับ พน้ื ท่ีของรปู AEDF + พ้นื ทขี่ องรูป BCDF
= _12 x 6 (3 + 5.5) + _21 x 4 (3 + 5.5)
= _21 x (3 + 5.5) x (6 + 4)
= 5 x 8.5


= 42.5

ดงั นั้น ฝาผนงั ที่ต้องทาสมี พี ื้นท่ี 42.5 ตารางเมตร

77 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

87
2. ปญ2.หปาัญ“หกาาร“เกหาน็ รหเหอ็นสหูง”อสจงูา”กขจอากสขออ้บสPอIบSAPIปSAค.ปศี.ค2.ศ0.062006
ใค นำ�ครคถใ�ำ นูปาาํถรมถา1ปูมทารมทูปี่ 1น1ท่ี 1กั1ี่ นเ1รกัแยีกเลนรารกะียรเูปาหรเนรหูปน็ 1เเ็นหหห2หน็ลน็แขหอังลหค้าสละองาูงังรสลขคปู ูงา่อางง2ขหอเขอปงา หส็นงงูอลภสสาาางงูพมสวดาเาปา้มดนนดขภาใอนนางพรหใปูวนอาสร2ดูปงู ขหเห2ออ็นงเเหดสหียอี่ดน็ วส้าสกนงู ีด่ หันา ทอนเั้งดสียอวงกรปูันทง้ั สองรูป

แผนผงั ตอไปนี้ แสดงภาพของหลงั คาหอสงู ท่ีมองลงจากขางบน P1 – P5
เปนตแาํ ผแนหผนังงตต่อา ไงปนๆี้ หแาสตดาํ งแภหานพงขอซงึง่ หแสลังดคงดาหว ยอเสคูงรทื่อี่มงอหงมลางยจกาากกขบ้าางทบน(×)Pณ1 ต–ําแPห5นเงปบ็นน
ต�ำ แพหื้นนด่งินตเห่างลาๆนห้ี า้ผตทู �ำ ี่มแอหงนด่งูหอซสง่ึ แูงจสะดสงดามว้ ยารเคถรมอ่ื องงหเหมน็ายจกําานกวบนาดทา นข(Xอ)งหณลังตคำ�าแไหดนตง่าบงกนนัพืน้ ดิน
เหลา่ น้ี ผทู้ ีม่ องดหู อสงู จะสามารถมองเห็นจ�ำ นวนด้านของหลังคาไดต้ า่ งกัน

P2×
P1×

P3×

P5×
P4×

ฝกึ คิด พิชิตคณิต PISA 78
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

จงเขยี นวงกลมแสดงจำ�นวนด้านของหลงั คาที่จะสามารถมองเหน็ ได้จาก
ต�ำ แหน่งตา่ ง ๆ ในตารางขา้ งล่าง

ตำ�แหน่ง จ�ำ นวนด้านของหลงั คาที่สามารถมองเหน็ จากตำ�แหน่งตา่ ง ๆ
(จงวงรอบจำ�นวนทถ่ี กู ตอ้ ง)
P1
P2 12 3 4 มากกว่า 4
P3
P4 12 3 4 มากกวา่ 4
P5
12 3 4 มากกว่า 4

12 3 4 มากกว่า 4

12 3 4 มากกว่า 4

เฉลย จำ�นวนด้านของหลงั คาทส่ี ามารถมองเห็นจากต�ำ แหนง่ ต่าง ๆ
(จงวงรอบจ�ำ นวนท่ีถกู ตอ้ ง)
ตำ�แหน่ง
12 3 4 มากกวา่ 4
P1
P2 12 3 4 มากกว่า 4
P3
P4 12 3 4 มากกวา่ 4
P5
12 3 4 มากกวา่ 4

12 3 4 มากกว่า 4

79 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

89
ตแมจตตใวดาํธิาํํานาัวดนแแกหีอวาหหทแทจวมจตดวายค นนาำ�ธิ้านาัวม่ีคนนีส่าดิ กหนนกหีอรวองุดํางง ตทใวปูนายททคงตโดำ�นแคดี่ส่าึง่สดิ่มี่มีอดแลกใขงรำ�ุดยาบออชา้ห ูปตะาอโแมนงง้กดนใกจรรอสงตเแชหมยาะหาา่งฐบาลลกรทกยนแรอามล ะะลามะตตงนี่ม่ึงจเย่ีเรรเขหหาอ่ลําอสาหมะลกอแา่ละกงงนจ็นทยางงสเเี่หตยไะหสกดระฐี่ไ่วมม�ำนดไะ้นา้าหส็นนแดทตงนหจนไวาดหขจรัดม่ีไะวขนงาดนูปอดุ่ตด่าเรอจนข้ทจ่งงงสัดะางะอจPขตะเานหาดหไสุดง1เอำ�กดม้าลใทว้นเแงดับร้นPสเังาเ่าหหตหปูมดค1จในงกรดนลลสตื่อาาาํตับเงด่งวงัีย่มานนําลรจจทค่าม้าแมือ่หาวงำา�สนมี่าเหลกจนนหนกา4วหอาาสนดมลงึ่จวางกนกวรขงานุาีย่สดกสึ่งจนทูปนรอมาดบัทขวุ่ดถเม่ีขงม้านฐอ่ีมสด4มทฐออนาางเนองัาอ่มีสรนงงฐรขรงตนงถหก้นูปาอขอูปไเรนมบัตลหงปองแงดไอหรงัฐง็นยไลปังแงหคปางลัไงวรไยลเดนลาัจงยปูปนห้วังท้กคงัขุดังยับจ็นนค่ีดาจจี่อมังุดับราไท้าดุะจงุมดสปูมนรหี่จสุดมขกูงูปุมสนะมาลุมอ่ดีสาขสม้ันมุังขงามาอาคาขขอฐนมเมรงึ้นาอหางเนฐถาสองหฐนลารัน้มฐูงยาลห่ียนถาอขนู่ก่ียลมมนห้นึงับโมังอทโเดลอตทดหคง่ีเยังยำ�ยี่เกเน็าคกไหแกูไใิดมไาิดมหห็นับดขใตขต่น้ไไหจึ้นัด้ึนดดดั่งาได้้ดกา น

P2×
P1×

P3×

P5×
P4×

ดงั นั้น จากจดุ P1 สามารถมองเหน็ ดานของหลังคาได 4 ดาน

ฝกึ คิด พิชิตคณิต PISA 80
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ลูกอมสตี ่างๆ

แม่ใหเ้ รวตั หยิบลกู อมหนึ่งลูกจากถุง โดยเขามองไม่เหน็ ลกู อม จำ�นวนของลกู อม
แต่ละสที อี่ ยูใ่ นถุง แสดงในกราฟตอ่ ไปน้ี

คำ�ถามท่ี 1 : ลูกอมสีตา่ งๆ
จงหาความนา่ จะเปน็ ทเ่ี รวัตจะหยิบได้ลูกอมสีแดง
1. 10%
2. 20%
3. 25% คะแนนเตม็
4. 50% ตอบ ขอ้ 2. 20%

ไม่มคี ะแนน
คำ�ตอบอื่นๆ

8
6
4
2
0

ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู
เนื้อหา : ความไม่แนน่ อน ญป่ี ่นุ 63.99
แขนงวิชา : ความนา่ จะเป็น เกาหลี 72.82
สถานการณ์ : ส่วนตัว/สว่ นบคุ คล ฮอ่ งกง-จนี 71.60
สมรรถนะ : การท�ำ ใหม่ มาเก๊า-จีน 56.32
แบบของขอ้ สอบ : เลอื กตอบ ไทย 24.92

81 ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะหแ์ ละแนวคิดในการแก้โจทยป์ ญั หา

สถานการณโ์ จทย์
โจทยก์ �ำ หนดใหห้ ยบิ ลกู อมหนง่ึ ลกู จากถงุ โดยมองไมเ่ หน็ ลกู อม และใชก้ ราฟแทง่ แสดง
จ�ำ นวนลกู อมแตล่ ะสีทอ่ี ยูใ่ นถุงนนั้ แล้วใหห้ าความนา่ จะเป็นทจี่ ะหยบิ ได้ลกู อมสีแดง โดยมี
คำ�ตอบใหเ้ ลอื กในรูปเปอร์เซ็นต์
เนอ่ื งจากสถานการณท์ โ่ี จทยก์ �ำ หนดใหเ้ ปน็ การเชอ่ื มโยงความรเู้ รอ่ื งกราฟ ความนา่ จะเปน็
และร้อยละหรือเปอร์เซน็ ต์ในการแกป้ ญั หา โดยก�ำ หนดข้อมูลทตี่ อ้ งใช้ในการหาความน่าจะ
เป็นในรูปของกราฟแท่ง และกำ�หนดคำ�ตอบให้เลือกในรูปของเปอร์เซ็นต์ ซ่ึงแตกต่างจาก
สถานการณ์ที่นักเรียนคุ้นเคย นักเรียนต้องมีความเข้าใจและสามารถประยุกต์ใช้ทุกเร่ืองที่
เกีย่ วข้องจึงจะท�ำ โจทยข์ ้อนไ้ี ด้

ความร้ทู างคณิตศาสตรท์ เี่ ก่ียวข้อง

ความรทู้ ี่นักเรียนต้องใชใ้ นการตอบคำ�ถาม คอื
1. การอ่านและแปลความหมายจากการนำ�เสนอข้อมูลในรูปกราฟแท่งหรือแผนภูมิ
แท่ง เพื่อหาจำ�นวนลกู อมสตี ่าง ๆ ในถุง
2. การหาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ ซ่ึงหาไดจ้ าก
จำ�นวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นขอ ง เหตกุ ารณ์ เท่ากบั จ�ำ นวนผลลัพธท์ ้งั หมดทอี่ าจจะเกิดขึ้น
3. ความรู้เกี่ยวกับเศษส่วนท่ีเท่ากัน และการเขียนเศษส่วนในรูปของร้อยละหรือ
เปอร เ์ ซ4น็ .ตค์ วเช_า21มน่ ส=าม1_5า0ร=ถ1_ใ5น000กาเรขเียชนือ่ ไมดโ้เยปง็นครวอ้ายมลรใู้ะน5ข0อ้
หรือ 50%
1-3 เพ่อื หาคำ�ตอบ

ฝึก คิด พิชิตคณติ PISA 82
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ ในการแกโ้ จทย์ปญั หา

คค�ำ ำ�ถถาามมทที่ 1ี่ 1 จงหาความน่าจะเป็นทเ่ี รวัตจะหยบิ ได้ลูกอมสแี ดง
1. 10%
2. 20%
3. 25%
4. 50%
แนวคิด โจทย์ต้องการให้หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีหยิบได้ลูกอมสีแดง
ในการหยิบลูกอมหนง่ึ ลูกจากถุงโดยไมเ่ ห็นลกู อม
เนือ่ งจาก ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั
จ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์

จำ�นวนผลลพั ธ์ทงั้ หมดที่อาจจะเกดิ ขนึ้

ดังน้นั ความน่าจะเปน็ ที่จะหยบิ ไดล้ ูกอมสแี ดง
= จ�ำ นจว�ำ นนลวกู นอลมกู ทอั้งมหสมีแดดใงนถุง



โจทยแ์ สดงจำ�นวนลกู อมแต่ละสีด้วยกราฟแท่ง ซึง่ อา่ นจำ�นวนลูกอม

แต่ละสจี ากกราฟแท่งได้ดังน้ี

จ�ำ นวนลูกอมสแี ดง 6 ลูก สีสม้ 5 ลูก สีเหลอื ง 3 ลกู สีเขยี ว 3 ลูก
สนี �ำ้ เงิน 2 ลกู สชี มพู 4 ลูก สีม่วง 2 ลูก และสนี ้ำ�ตาล 5 ลกู

รวมลูกอมทุกสใี นถุงเท่ากับ 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 = 30 ลูก

เหตกุ ารณ์ทส่ี นใจ คือ หยบิ ได้ลูกอมสีแดง ซ่งึ มีทัง้ หมด 6 ลกู _15
3_60 =
ดังน้ัน ความนา่ จะเปน็ ท่จี ะหยบิ ได้ลูกอมสีแดง เท่ากบั หรอื 0.2
แตค่ ำ�ตอบทมี่ ใี หเ้ ลือกเขียนอยใู่ นรปู ของเปอรเ์ ซน็ ต์
และ _51 =15_000 เขียนได้เป็น 20%
ดังนัน้ ความน่าจะเปน็ ที่เรวตั จะหยบิ ไดล้ กู อมสีแดงเทา่ กับ 20%

83 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ข้อสงั เกต/ขอ้ เสนอแนะ

เนื่องจากหลักสตู รกลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ก�ำ หนดให้นักเรียนไดเ้ รียนรเู้ รอ่ื ง
การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 3 นักเรียนบางกลุ่มที่เข้าสอบ
ข้อสอบ PISA จงึ อาจยงั ไม่ไดเ้ รียนรเู้ รอื่ งการหาความนา่ จะเป็นโดยตรง แต่ด้วยสามัญสำ�นกึ
ทีน่ ักเรยี นไดเ้ คยพบเหน็ หรือไดเ้ รยี นรเู้ กีย่ วกับการคาดการณ์ หรอื โอกาสท่จี ะเกดิ เหตกุ ารณ์
ต่าง ๆ ในชีวิตประจ�ำ วนั วา่ เหตุการณ์นนั้ ๆ มโี อกาสเกิดข้นึ ได้หรือไม่ หรือมโี อกาสเกิดขึ้นได้
มากนอ้ ยเพยี งใด โดยอาศยั ความสามารถดา้ นความร้สู ึกเชิงจ�ำ นวนและสามญั สำ�นกึ เกีย่ วกับ
ความน่าจะเป็น ซึ่งการคาดการณ์ดังกล่าวเรามักพูดในรูปของร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ เช่น
โอกาสทีจ่ ะชนะ คอื ห้าสบิ ห้าสิบ หรือหกสิบสี่สบิ ดว้ ยประสบการณด์ ังกล่าวนักเรยี นทีไ่ มเ่ คย
เรียนเร่ืองการหาความน่าจะเป็น ก็อาจทำ�โจทย์ข้อน้ีได้ เพราะคำ�ตอบที่ให้เลือกอยู่ในรูป
ของเปอรเ์ ซน็ ต์ เมือ่ มลี ูกอมสีแดง 6 ลูก จากจ�ำ นวนลกู อมทัง้ หมด 30 ลูก โดยอาศัยความ
รสู้ กึ เชิงจำ�นวนทว่ี า่ 6 : 30 = 2 : 10 = 20 : 100 และสามัญส�ำ นึกเก่ียวกบั โอกาสหรือ
ความน่าจะเป็นย่อมสรุปคำ�ตอบได้ว่า โอกาสหรือความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกอมสีแดง
เทา่ กบั 20%
จากผลการสอบพบวา่ นกั เรยี นไทยตอบค�ำ ถามไดถ้ กู ตอ้ งเพยี ง 24.92 เปอรเ์ ซน็ ตข์ อง
จ�ำ นวนนกั เรยี นไทยทเ่ี ขา้ สอบ ทง้ั นอ้ี าจเปน็ ผลมาจากนกั เรยี นบางสว่ นไมท่ ราบความหมายของ
ค�ำ วา่ “ความนา่ จะเปน็ ” เนอ่ื งจากนกั เรยี นยงั ไมไ่ ดเ้ รยี นเรอ่ื งนโ้ี ดยตรง จงึ ไมท่ ราบวธิ กี ารหาค�ำ ตอบ
หรอื นกั เรยี นบางสว่ นอาจไมส่ ามารถเชอ่ื มโยงความรเู้ รอ่ื งกราฟแทง่ กบั การหาจ�ำ นวนลกู อมสตี า่ ง ๆ
ในถงุ รวมถงึ การก�ำ หนดตวั เลอื กทเ่ี ปน็ ค�ำ ตอบในรปู ของรอ้ ยละหรอื เปอรเ์ ซน็ ต์ กอ็ าจท�ำ ใหน้ กั เรยี น
จำ�นวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์
สบั สน เพราะความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณห์ าไดจ้ าก จำ�นวนผลลพั ธท์ ้ังหมดท่ีอาจจะเกดิ ขึน้

ซง่ึ สว่ นใหญค่ �ำ ตอบจะอยใู่ นรปู ของเศษสว่ น นกั เรยี นจงึ คนุ้ เคยกบั คา่ ความนา่ จะเปน็ ทอ่ี ยใู่ นรปู
ของเศษสว่ น เมอ่ื พบค�ำ ตอบทอ่ี ยใู่ นรปู เปอรเ์ ซน็ ตจ์ งึ เกดิ ความไมแ่ นใ่ จในการหาค�ำ ตอบ ท�ำ ใหไ้ ม่
พยายามในการหาค�ำ ตอบของโจทยข์ อ้ น้ี แมใ้ นหนงั สอื เรยี นคณติ ศาสตรท์ พ่ี ฒั นาโดย สสวท. จะ
มขี อ้ สรปุ ไวว้ า่ ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณอ์ าจเขยี นไดใ้ นรปู ของเศษสว่ น ทศนยิ ม รอ้ ยละหรอื
เ1น_ป21กั อเรรหยีเ์ ซนร็นอืไมต0ค่์ .5เนุ้ ชเห่นครยอืคกวบั5า0คม%า่ นคา่วแจาตะมใ่ เนนปทา่ น็ จาขะงอปเปงฏน็เบิหใตันตกิกุรไ็ปูามรเไ่ปณดอใ้ท์ ชรโี่เ์ค้ ซย�ำน็นตตเอห์ บรแใยี ตนญถ่รปาู้ 1นรกัอ้ เเยหรลรยี ะียนหญรรจู้ แอืกั ลเสปว้ งั ออเกอรตเ์กซแกน็ ลอ้ตะย์ เชจเอ่ืงึททม่า�ำโกยใับหง้
ความรกู้ ับสถานการณ์ในชวี ิตประจำ�วนั เช่น การพยากรณอ์ ากาศจะไดย้ ินอยู่เปน็ ประจำ�ว่า
โอกาสทฝ่ี นจะตกเปน็ กเี่ ปอรเ์ ซน็ ตข์ องพน้ื ท่ี ค�ำ กลา่ วนห้ี มายถงึ ความนา่ จะเปน็ ทฝ่ี นจะตกเปน็

ฝกึ คดิ พิชิตคณติ PISA 84
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

กี่เปอร์เซ็นต์ของพื้นท่ีนั่นเอง ดังนั้นในการเรียนการสอน ครูต้องให้ความสำ�คัญกับการ
เชอื่ มโยงความร้ไู ปประยุกต์ใช้กับสถานการณต์ ่าง ๆ ในชีวิตจริงด้วย
อยา่ งไรกต็ ามแมน้ กั เรยี นจะมคี วามรวู้ า่ ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณส์ ามารถเขยี นได้
ในรปู รอ้ ยละหรอื เปอรเ์ ซน็ ต์ แตถ่ า้ นกั เรยี นไมส่ ามารถเชอ่ื มโยงระหวา่ งเปอรเ์ ซน็ ตก์ บั เศษสว่ น
ได้ ก็จะเปน็ ปญั หาในการหาค�ำ ตอบอกี ลักษณะหน่ึงคือนักเรยี นขาดทกั ษะการเขียนเศษส่วน
ให้อยู่ในรูปร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ ซึ่งจะต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเศษส่วนที่เท่ากันที่มี
ตัวส่วนเปน็ 100 ทำ�ให้ไม่สามารถหาค�ำ ตอบที่ถกู ต้องได้ กรณเี ช่นนี้ในการจดั การเรยี นการ
สอน ถา้ นกั เรยี นมคี วามเขา้ ใจในการเปลย่ี นรอ้ ยละหรอื เปอรเ์ ซน็ ตใ์ หอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ นไดด้ กี วา่
ครอู าจแนะน�ำ เทคนคิ การน�ำ เปอรเ์ ซน็ ตจ์ ากตวั เลอื กมาท�ำ ใหอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ นแลว้ เทยี บเคยี ง
กบั คำ�ตอบที่นักเรยี นหาได้ ก็จะช่วยในการหาค�ำ ตอบได้เชน่ กนั
จะเหน็ ได้ว่าสถานการณ์ของโจทย์ข้อนี้ ไดส้ ะท้อนใหเ้ ห็นว่าการจดั การเรียนการสอน
ในหอ้ งเรยี นจ�ำ เปน็ ตอ้ งสอนใหน้ กั เรยี นรจู้ กั สงั เกตและวเิ คราะหส์ ถานการณท์ โี่ จทยก์ �ำ หนดใน
ลักษณะต่าง ๆ ทั้งวิธีการใช้คำ�ที่แตกต่างกันแต่มีความหมายเดียวกัน วิธีนำ�เสนอข้อมูลใน
รปู ตา่ ง ๆ แทนการบอกเปน็ จ�ำ นวนโดยตรง รวมถงึ การเชอ่ื มโยงความรทู้ ม่ี กี บั การปรบั มมุ มอง
ในการแก้ปัญหาให้หลากหลาย
เพื่อให้นักเรียนมีประสบการณ์ในการหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จาก
สถานการณ์โจทย์ในรูปแบบต่าง ๆ ท่ีต้องมีการเช่ือมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์มากกว่า
หน่ึงเร่ืองในการหาคำ�ตอบ ครูผู้สอนควรหาโจทย์ในลักษณะดังกล่าวมาให้นักเรียนฝึกทำ�ให้
มากขึ้น ดงั ตัวอย่าง

สถานการณ ์ มีลูกแก้วสีแดง สีเขียวและสีน้ำ�เงินอยู่ในถุง โดยอัตราส่วนระหว่างจำ�นวน
ลูกแก้วสแี ดงต่อจ�ำ นวนลกู แกว้ สเี ขียวเป็น 2 : 3 และจำ�นวนลูกแก้ว สีน�ำ้ เงนิ เป็นครึง่ หนง่ึ ของ
ผลรวมจ�ำ นวนลูกแก้วสแี ดงกับลูกแกว้ สีเขยี ว
คำ�ถามท่ี 1 ถ้ามลี ูกแก้วสแี ดงอยู่ในถงุ 20 ลกู และภาคหยบิ ลกู แก้วหน่งึ ลกู จากถุงโดย
มองไมเ่ หน็ ลูกแก้วในถงุ จงหาความนา่ จะเปน็ ทภี่ าคหยบิ ไดล้ ูกแก้วสีแดง
แนวคดิ ในถงุ มีลูกแกว้ สแี ดง 20 ลูก อัตราส่วนระหว่างจำ�นวนลูกแกว้ สแี ดงต่อ
จ�ำ นวนลูกแกว้ สีเขยี วเป็น 2 : 3 = 20 : 30
ดังนั้น ในถุงมีลูกแก้วสีเขยี ว 30 ลูก และมลี กู แกว้ สีน้�ำ เงิน เท่ากับ _21= (20 + 30)
25 ลูก
ดังนนั้ ในถงุ มลี ูกแกว้ ท้ังหมด เทา่ กับ 20 + 30 + 25
= 75 ลูก
ความนา่ จะเปน็ ทีภ่ าคจะหยบิ ไดล้ กู แกว้ สแี ดง เท่ากบั 72_05 = 1_45

85 ฝึก คิด พชิ ิตคณิต PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถามท่ี 2 ถา้ ในถงุ มีลูกแกว้ สแี ดงและสีเขียวรวมกัน 30 ลูก และภูมิหยิบลูกแกว้
หนึ่งลกู จากถุง โดยมองไมเ่ ห็นลกู แกว้ ในถุง จงหาความนา่ จะเปน็ ทภ่ี ูมิจะหยิบไดล้ ูกแก้ว
สนี �้ำ เงนิ
มแดคังวนีลนาูกวม้ันแคนกดิ า่้วใจน สะถีนเุงำ�้ปมเน็งลีในิทนูกภ่ีถแ21_มูงุกมxิจว้ ีลทะ3กูห้ัง0หแยกมิบ=ว้ดไสด13แี้ล50ดูกงแ+แลกลกู1ว้ ะ5สสีนีเ=�ำ้ขเยี งวิน4ร5วเมทลกา่กู นักับ3041_55ลกู = 13_

คค�ำ �ำ ถถาามมทที่ ่ี33 ถา้ ในถุงมลี กู แกว้ สีนำ�้ เงนิ 20 ลกู และพลหยบิ ลูกแกว้ หนึ่งลูกจากถุง
โดยมองไม่เห็นลกู แก้วในถุง จงหาความนา่ จะเปน็ ทพ่ี ลจะหยบิ ไดล้ กู แก้วสีเขียว
แนวคิด ในถงุ มีลกู แก้วสนี ้ำ�เงนิ 20 ลกู
ผลรวมของลกู แกว้ สแี ดงกบั ลกู แกว้ สเี ขียว เท่ากบั 2 x 20 = 40 ลกู
อัตราส่วนของจำ�นวนลกู แกว้ สีแดงต่อจำ�นวนลูกแก้วสเี ขยี ว เทา่ กับ 2 : 3
ดงั นน้ั มีลูกแก้วสีเขียวในถงุ เท่ากบั 53_60x 40 = 24 ลูก
ในถุงมลี กู แก้วทัง้ หมด 40 + 20 = ลกู 26_40
ความนา่ จะเป็นท่พี ลจะหยบิ ไดล้ ูกแก้วสีเขียว เท่ากบั = 25_

ฝกึ คิด พิชิตคณติ PISA 86
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แบบทดสอบวทิ ยาศาสตร์

ครูวิทยาศาสตร์ในโรงเรียนของเหม่ย หลิง ได้ทดสอบวิทยาศาสตร์โดยมีคำ�ตอบถูก
ชดุ ละ 100 คะแนน เหมย่ หลงิ ไดค้ ะแนนเฉลย่ี จากแบบทดสอบวทิ ยาศาสตรส์ ช่ี ดุ แรก เทา่ กบั 60
คะแนน ส่วนชดุ ทีห่ ้าเธอทำ�ได้ 80 คะแนน

คำ�ถามท่ี 1 : ลูกอมสตี า่ งๆ
ค่าเฉลีย่ ของคะแนนแบบทดสอบวทิ ยาศาสตร์ท้งั ห้าชุดของ เหม่ย หลงิ เทา่ กบั เท่าใด
คา่ เฉลยี่ : .................................................................

คะแนนเต็ม
ตอบ 64

ไมม่ ีคะแนน
คำ�ตอบอื่นๆ

ลกั ษณะเฉพาะของขอ้ สอบ ประเทศ % ตอบถูก
เนอ้ื หา : ความไมแ่ นน่ อน ญ่ปี ่นุ 62.62
แขนงวิชา : จำ�นวน เกาหลี 66.78
สถานการณ์ : ในเชิงการศึกษา ฮ่องกง-จีน 75.49
สมรรถนะ : การทำ�ใหม่ มาเกา๊ -จนี 69.39
แบบของขอ้ สอบ : ตอบส้ันๆ ไทย 16.79

87 ฝึก คิด พิชติ คณิต PISA
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวิเคราะห์และแนวคิดในการแกโ้ จทยป์ ญั หา

สถานการณ์โจทย์
สถานการณโ์ จทย์ข้อนเี้ ปน็ เรือ่ งการหาคา่ เฉล่ยี ของคะแนนจากแบบทดสอบหา้ ชุด โดยมี
คะแนนของแบบทดสอบเป็นดังนี้
1. คะแนนเฉล่ียของแบบทดสอบสี่ชดุ แรก คือ 60 คะแนน
2. คะแนนของแบบทดสอบชุดท่ีห้า คอื 80 คะแนน
ในการท�ำ โจทยข์ อ้ นน้ี กั เรยี นตอ้ งทราบวา่ ค�ำ วา่ “คา่ เฉลย่ี ” เปน็ ค�ำ ทใี่ ชพ้ ดู โดยทว่ั ไปหรอื
เปน็ ค�ำ ทใ่ี ชเ้ รยี กสนั้ ๆ ของคำ�วา่ “ค่าเฉล่ยี เลขคณิต”

ความรูท้ างคณติ ศาสตรท์ ่เี กย่ี วข้อง
ความรู้ท่ีนักเรียนต้องใช้ในการตอบคำ�ถามคือ ความรู้ทางสถิติเก่ียวกับการหา
คา่ เฉลย่ี เลขคณติ หรอื ใชค้ วามรเู้ รอ่ื งระบบสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี วเชอ่ื มโยงกบั ความรทู้ างสถติ ิ
เกีย่ วกบั การหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต

แนวคิดในการแกโ้ จทย์ปัญหา

ค�ำ ถาม ที่ 1 คา่ เฉลี่ยของคะแนนแบบทดสอบวิทยาศาสตร์ทง้ั หา้ ชดุ ของ เหมย่ หลงิ
เทา่ กับเทา่ ใด
โจทย์ต้องการให้หาค่าเฉลี่ยของคะแนนแบบทดสอบวิทยาศาสตร์ท้ังห้าชุดของ
เหม่ย หลิง เมอ่ื ก�ำ หนดคะแนนเฉลย่ี ของแบบทดสอบสี่ชดุ แรกเทา่ กับ 60 คะแนนและคะแนน
ของแบบทดสอบชุดที่หา้ คอื 80 คะแนน
แนวคดิ 1 เน่ืองจากคะแนนเฉลย่ี ของแบบทดสอบ 4 ชุดแรก เท่ากับ 60 คะแนน
ดงั นนั้ คะแนนรวมของแบบทดสอบ 4 ชุดแรก เท่ากับ 60 x 4
= 240 คะแนน
และเน่ืองจากคะแนนของแบบทดสอบชุดทีห่ ้า เท่ากับ 80 คะแนน
ดังนน้ั คะแนนรวมของแบบทดสอบทั้ง 5 ชดุ เท่ากับ 240 + 80
เทา่ กับ=3 _325200 คะแนน
จะได้ คะแนนเฉลย่ี ของแบบทดสอบท้ัง 5 ชุด

= 64 คะแนน
น่นั คือ ค่าเฉลี่ยของคะแนนแบบทดสอบวิทยาศาสตรท์ ง้ั หา้ ชดุ ของเหมย่ หลงิ
เท่ากบั 64 คะแนน

ฝึก คิด พิชติ คณติ PISA 88
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคิด 2 คจใหะ่า้เไฉดxล้ แี่ย6ทขx0อน งผคละบ==แว นก6นข_0แ4xอบงxคบ4ะทแดนสนอแบบสบ่ีชทุดดแรสกอบสเทชี่ ดุ่ากแับรก_4x



จะได้ ผลบวกของคะแนนแบบทดสอบทงั้ หา้ ชดุ เท่ากับ 240 + 80
==3_63252400คคะแะแนนนน
ดังนน้ั คา่ เฉลี่ยของคะแนนแบบทดสอบทัง้ หา้ ชดุ เท่ากบั

น่นั คือ คา่ เฉลย่ี ของคะแนนแบบทดสอบวทิ ยาศาสตรท์ ั้งหา้ ชุดของเหมย่ หลิง
เท่ากบั 64 คะแนน

ขอ้ สังเกต/ขอ้ เสนอแนะ
เป็นที่น่าสังเกตว่านักเรียนไทยส่วนใหญ่ตอบคำ�ถามไม่ได้ นักเรียนไทยที่ตอบถูก
มเี พยี ง 16.79 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนกั เรยี นไทยทเี่ ขา้ สอบ ซง่ึ ต�่ำ มากเมอ่ื เทยี บกบั นกั เรยี น
ญป่ี ุ่น เกาหลี และจีน ท่ตี อบถูกเกินกว่า 60 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนักเรยี นแตล่ ะชาตทิ ่ี
เข้าสอบ ท้ังที่ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์เล่ม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 3 ท่ี
พฒั นาโดย สสวท. เรอื่ งสถติ ิ ไดก้ ลา่ วถงึ โจทยท์ �ำ นองนไ้ี วท้ ง้ั ในตวั อยา่ งและแบบฝกึ หดั เพยี ง
แต่เนื้อหาดังกล่าวไดจ้ ดั ให้เรยี นในภาคเรยี นที่ 2 ของชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 3 นักเรียนที่เข้า
สอบจงึ อาจจะยงั ไมไ่ ดเ้ รยี น และถา้ อาศยั เพยี งความรพู้ นื้ ฐานเกย่ี วกบั คา่ เฉลยี่ ทเ่ี คยรมู้ าแลว้
สถานการณโ์ จทยข์ อ้ นกี้ น็ บั เปน็ เรอ่ื งยากส�ำ หรบั นกั เรยี นโดยทวั่ ไป เพราะนกั เรยี นจะตอ้ งใช้
ความสามารถในการน�ำ ความรทู้ ม่ี ไี ปประยกุ ตใ์ ชใ้ นสถานการณท์ ต่ี า่ งไปจากโจทยท์ นี่ กั เรยี น
เคยเรียน ซงึ่ มักเปน็ การหาคา่ เฉล่ยี จากข้อมูลท่ีโจทยก์ ำ�หนดให้โดยตรง เม่ือโจทย์ตอ้ งการ
หาค่าเฉล่ียของคะแนนแบบทดสอบท้ังห้าชุด โดยไม่ได้ให้คะแนนของแบบทดสอบท้ังห้า
ชดุ โดยตรง แตใ่ หค้ ะแนนเฉลย่ี ของแบบทดสอบสชี่ ดุ แรกเท่ากบั 60 คะแนน และคะแนน
ของแบบทดสอบชุดท่ีห้าคือ 80 คะแนน นักเรียนจึงหาค�ำ ตอบไม่ได้ แสดงวา่ นักเรียนขาด
ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการเชอื่ มโยงสงิ่ ทโี่ จทยก์ �ำ หนดใหก้ บั สง่ิ ทต่ี อ้ งการ
ใชใ้ นการหาค�ำ ตอบ คอื ไมส่ ามารถเชอื่ มโยงไดว้ า่ การหาผลบวกของคะแนนแบบทดสอบทงั้
ห้าชดุ จะต้องอาศัยการหาผลบวกของคะแนนแบบทดสอบสี่ชุดแรกรวมกับคะแนนของ
แบบทดสอบชุดท่ีห้า และผลบวกของคะแนนแบบทดสอบสีช่ ดุ แรกหาได้จากคา่ เฉลีย่ ของ
คะแนนแบบทดสอบสี่ชดุ แรก

89 ฝึก คดิ พชิ ติ คณิต PISA
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

เพ่ือให้นักเรียนมีพ้ืนฐานในการนำ�ความรู้เร่ืองการหาค่าเฉลี่ยไปใช้แก้ปัญหาใน
สถานการณท์ หี่ ลากหลาย ครผู สู้ อนควรฝกึ ใหน้ กั เรยี นมคี วามเขา้ ใจสตู รการหาคา่ เฉลยี่ และ
สามารถนำ�สตู รไปใชใ้ นสถานการณ์ตา่ ง ๆ ดงั นี้
ผลบวกของขอ้ มลู ท้ังหมด
คา่ เฉลี่ย = จำ�นวนข้อมูลทั้งหมด

1. ใหห้ าค่าเฉลี่ยเมอ่ื ก�ำ หนดขอ้ มลู ให้
2. ใหห้ าผลบวกของข้อมลู ท้ังหมด เม่ือก�ำ หนดค่าเฉลี่ยและจำ�นวนขอ้ มูล
3. ให้หาจ�ำ นวนขอ้ มลู เมื่อก�ำ หนดคา่ เฉล่ียและผลบวกของขอ้ มูลทั้งหมด

นอกจากการฝกึ พน้ื ฐานในการใชส้ ตู รแลว้ ครผู ู้สอนควรฝกึ ใหน้ กั เรยี นไดค้ ดิ
วิเคราะห์ในการนำ�สูตรไปประยุกต์ใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ ที่ซับซ้อนขึ้น เพ่ือเป็นการฝึก
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรใ์ นเร่อื งการแกป้ ัญหา การสื่อสาร การส่อื ความ
หมายและการนำ�เสนอ รวมถงึ การเชือ่ มโยงความร้ตู า่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ ดังตัวอยา่ ง

ตวั อย่าง ในการทดสอบวชิ าคณติ ศาสตรน์ กั เรยี น 12 คน คดิ คะแนนเฉลยี่ ได้ 25 คะแนน
ต่อมาตรวจพบวา่ มกี ารรวมคะแนนผิดไป 2 คน คือ นับคะแนนเกินไป 8 คะแนนหนงึ่ คน
และนับคะแนนขาดไป 2 คะแนนหนึง่ คน จงหาค่าเฉล่ียของคะแนนสอบทถ่ี กู ตอ้ ง

แนวคิด เนอ่ื งจาก ค่าเฉล่ีย = ผลบวกของข้อมูลทงั้ หมด
จำ�นวนขอ้ มลู ท้งั หมด
จใ หะ้ไxด้แ ทน2xผ5ลบ==วกข21_x5อ2งxคะ1แ2นน=สอ3บ00ของนักเรียน 12 คน
เน่ืองจาก มีการรวมคะแนนผดิ ไป 2 คน คอื
นับเกนิ ไป 8 คะแนน กับนับขาดไป 2 คะแนน
จะได้ คา่ x ทีถ่ กู ตอ้ ง เท่ากับ 300 – 8 + 2 = 294
ดงั น้นั คา่ เฉลย่ี ของคะแนนสอบท่ีถกู ต้อง เท่ากับ 2_1924 = 24.5 คะแนน

ฝกึ คิด พชิ ิตคณิต PISA 90
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ในการแกโ้ จทยป์ ญั หาขอ้ น้ี ครผู สู้ อนอาจใหน้ กั เรยี นใชว้ ธิ ที แ่ี ตกตา่ งจากแนวคดิ ทใ่ี หไ้ ว้
การฝึกให้นักเรียนได้คิดวิเคราะห์ในการแก้ปัญหาท่ีหลากหลายในสถานการณ์ต่าง ๆ ด้วย
ตนเอง จะทำ�ให้นักเรียนมีทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ สามารถนำ�ความรู้ไป
ประยกุ ต์ใช้ เพอื่ แกป้ ญั หาในสถานการณท์ แ่ี ตกต่างจากทีเ่ คยเรียนได้
ในการจัดการเรียนการสอนเร่ือง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต นอกจากการหาค่าเฉล่ียจาก
ข้อมูลที่กำ�หนดให้แล้ว ครูควรให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายเก่ียวกับความหมายของ
ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ตลอดจนความคิดรวบยอดในการตคี วามและการน�ำ ไปใช้ ดงั ข้อสอบ
PISA ปี 2006 ตอ่ ไปน้ี

ความสงู
หอ้ งเรยี นห้องหน่ึงมีนักเรยี นหญิง 25 คน ความสงู เฉล่ียของนกั เรยี นหญงิ กลมุ่ นเ้ี ป็น 130
เซนตเิ มตร
คค�ำ �ำ ถถาามมทท่ี ่ี11 จงอธิบายวธิ กี ารหาความสูงเฉล่ยี
...................................................................................................................
แนวคำ�ตอบ คอื ค�ำ อธิบายประกอบดว้ ยผลรวมของความสงู ของนักเรยี นแต่ละคน
แล้วหารด้วย 25
คค�ำ �ำ ถถาามมทท่ี ่ี22 จงเขยี นวงกลมล้อมรอบค�ำ ว่า “จรงิ ” หรือ “เทจ็ ” ในแตล่ ะประโยคตอ่ ไปน้ี

ประโยค จริง หรอื เท็จ
ถ้านกั เรียนหญงิ คนหนง่ึ ในห้องสงู 132 เซนติเมตร ต้องมีนักเรียนหญงิ จริง / เท็จ
อีกคนหน่ึงสงู 128 เซนตเิ มตร จริง / เทจ็
นกั เรียนหญิงสว่ นใหญ่ตอ้ งมคี วามสูง 130 เซนตเิ มตร จรงิ / เท็จ
ถ้าจัดลำ�ดบั เดก็ หญิงจากเต้ยี ที่สดุ ไปสูงทส่ี ุด นกั เรียนคนท่มี ีล�ำ ดับตรงกลาง
ตอ้ งมีความสงู 130 เซนตเิ มตร จริง / เทจ็

คร่ึงหนึง่ ของนักเรียนหญิงในห้องตอ้ งเตย้ี กวา่ 130 เซนตเิ มตร และอีกคร่ึงหนง่ึ
ต้องสงู กวา่ 130 เซนตเิ มตร

ค�ำ ตอบ คือ เป็นเทจ็ ทุกประโยค

คค�ำ ำ�ถถาามมทที่ ่ี33 มกี ารพบขอ้ ผดิ พลาดจากการวดั ความสงู ของนกั เรยี นคนหนง่ึ ซงึ่ ควรจะเปน็
120 เซนตเิ มตร ไม่ใช่ 145 เซนติเมตร ความสูงเฉล่ยี ของนักเรียนหญงิ ทถี่ กู ต้องควรเปน็
เทา่ ใด
1. 126 เซนติเมตร
2. 127 เซนติเมตร
3. 128 เซนตเิ มตร
4. 129 เซนตเิ มตร
5. 144 เซนตเิ มตร
ค�ำ ตอบ คอื ขอ้ 4. 129 เซนติเมตร

91 ฝึก คิด พชิ ติ คณิต PISA
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

101

กกาารรสสง ง่ ออออกก

กเปร็นาเกฟเซรงดตาินเฟอ่ ตปไตรนปอาเนงขไปนิแี้อนตสงร้ีดปแาสงรขขดะออ้งเทงขมปศอลู รมกะลูาเกทรสาศรง่ สองออกอขกอขงอปงรปะรเะทเศทเศซเดซแดลแนลดน์ดซ งึ่ ซเปึ่งเน็ปปนรปะรเะทเศททศทใี่ ช่ีใเ้ชงเนิ งินสกสกลุ ลุเซด

มลู คารวมของการสงออกรายปข องประเทศ การจําแนกชนดิ ของการสงออกของ
เซดแลนดใ นหนว ยลานเซด ระหวา งป 1996 - 2000 เซดแลนด ในป 2000
45 42.6
40 37.9

35 ผา ฝา ย อ่ืนๆ
26% 21%
30 25.4 27.1
25
20 20.4
ขนสตั ว เนื้อสตั ว
15 5% 14%

10 ยาสบู ชา
7% นํา้ ผลไม 5%
5 ขาว
9% 13%
0
1996 1997 1998 1999 2000

ป

คำ�ถคาาํมถทา่ี ม1ท:ี่ ก1:ารกสา่งรอสองอกอก
ในปี 1998 มลู คา่ รวมการสง่ ออกของประเทศเซดแลนดเ์ ปน็ เงนิ เทา่ ไร (หนว่ ยเปน็ ลา้ นเซด)
คำ�ตอบ : ...ค...ํา..ต..อ..บ...:............................................................................................................

คคะะแแนนนนเตเตม็ ็ม ไม่มคี ะแนน ไมม ีคะแนน
2ห7นเ2(.วไ1ป7มย็น.่ตล1)อ้2า แลง7น้าลใเสนะซห่เยซดนอด่วหมยหรร)รือบัแอื ลค22ะาํ77ยตอ11อม00บ0ร0ทับ0คีป่00�ำ0ด0ต0เอเศซบเษดซทแด่ีปหลัดรวหเือเศปรษ2อืนแ7ล.212้ว77.1 (ไมตอ งใสค�ำ ตอคบําอตนื่ อๆบอืน่ ๆ

ฝกึ คดิ พิชิตคณติ PISA 92
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถูก
เนอ้ื หา : ความไม่แนน่ อน ญป่ี ุ่น 64.65
แขนงวชิ า : จ�ำ นวน เกาหลี 64.65
สถานการณ์ : ในเชงิ การศกึ ษา ฮอ่ งกง-จนี 78.27
สมรรถนะ : การทำ�ใหม่ มาเกา๊ -จนี 82.43
แบบของขอ้ สอบ : สรา้ งคำ�ตอบแบบปิด ไทย 77.84

คำ�ถามทมี่ 2ลู ค: า่ กราวรมสก่งาอรอสก่งออกน�้ำ ผลไม้จากประเทศเซดแลนดใ์ นปี 2000 เปน็ เท่าไร
1. 1.8 ล้านเซด
2. 2.3 ล้านเซด
3. 2.4 ล้านเซด
4. 3.4 ล้านเซด
5. 3.8 ล้านเซด คะแนนเตม็
ตอบ 5. 3.8 ลา้ นเซด
ไมม่ ีคะแนน
คำ�ตอบอนื่ ๆ

ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู
เนื้อหา : ความไมแ่ น่นอน ญ่ีปนุ่ 54.93
แขนงวชิ า : สถิติ เกาหลี 54.47
สถานการณ์ : ชุมชนในท้องถนิ่ ฮอ่ งกง-จนี 68.33
สมรรถนะ : การท�ำ ใหม่ มาเก๊า-จีน 62.98
แบบของข้อสอบ : เลือกค�ำ ตอบ ไทย 31.48

93 ฝึก คิด พิชิตคณิต PISA
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวิเคราะหแ์ ละแนวคดิ ในการแก้โจทย์ปัญหา

สถานการณ์โจทย์
ในสถานการณโ์ จทยไ์ ดน้ �ำ เสนอขอ้ มลู การสง่ ออกของประเทศเซตแลนดด์ ว้ ยแผนภมู แิ ทง่
และแผนภูมริ ูปวงกลม ดังนี้
1. แผนภมู ิแทง่ แสดงมูลค่ารวมการส่งออกรายปี ในชว่ งปี ค.ศ. 1996 ถงึ ปี ค.ศ. 2000
2. แผนภูมริ ูปวงกลมแสดงการจำ�แนกชนดิ ของการสง่ ออกในปี ค.ศ. 2000
โจทย์มีค�ำ ถาม 2 ข้อ ค�ำ ถามข้อแรกเป็นค�ำ ถามท่สี ามารถหาค�ำ ตอบได้โดยตรงจากการ
อ่านแผนภมู แิ ท่ง สว่ นคำ�ถามท่ีสองต้องใชก้ ารเชือ่ มโยงขอ้ มลู จากแผนภูมแิ ท่งและแผนภูมริ ูป
วงกลมมาค�ำ นวณหาค�ำ ตอบ

ความร้ทู างคณิตศาสตรท์ เ่ี กี่ยวขอ้ ง
ในการท�ำ โจทย์ข้อนนี้ ักเรยี นตอ้ งใชค้ วามรพู้ ื้นฐานทางสถิติเร่ืองขอ้ มลู และการนำ�เสนอ
ขอ้ มลู ในรปู แผนภมู แิ ท่งและแผนภูมริ ปู วงกลม การอา่ นและการตคี วามหมาย รวมถงึ ความรู้
เรอื่ งเปอรเ์ ซน็ ตห์ รอื รอ้ ยละในการค�ำ นวนหาจ�ำ นวนหรอื ปรมิ าณจรงิ ของขอ้ มลู ทนี่ �ำ เสนอไวเ้ ปน็
เปอรเ์ ซ็นตใ์ นแผนภมู ิรปู วงกลม

แนวคดิ ในการแก้โจทย์ปัญหา
คคำ��ำ ถถาามมทที่ ี่11 โจทย์ถามวา่ ในปี ค.ศ. 1998 มูลค่ารวมการสง่ ออกของประเทศเซตแลนด์
เป็นเงนิ เท่าไร
แนวคิด ค�ำ ตอบของค�ำ ถามนห้ี าไดจ้ ากการอา่ นแผนภมู แิ ทง่ ซง่ึ น�ำ เสนอขอ้ มลู มลู คา่ รวม
ของการสง่ ออกรายปขี องประเทศเซตแลนดใ์ นหนว่ ยลา้ นเซต ในชว่ งปี ค.ศ. 1996 ถงึ ปี ค.ศ. 2000
จากแผนภมู จิ ะเหน็ วา่ ในปี ค.ศ. 1998 มมี ลู คา่ รวมการสง่ ออกเทา่ กบั 27.1 ลา้ นเซต
(หนว่ ยล้านเซต อ่านได้จากหวั ตาราง)
คคำ�ำ�ถถามที่ 2 โจทย์ถามว่า มูลค่ารวมการส่งออกนำ้�ผลไม้จากประเทศเซตแลนด์ ในปี
ค.ศ. 2000 เป็นเทา่ ไร
แนวคิด คำ�ตอบของคำ�ถามน้ีต้องใช้ข้อมูลท่ีอ่านจากท้ังแผนภูมิแท่งและแผนภูมิ
รปู วงกลม โดยในการหาคำ�ตอบจะตอ้ งทราบข้อมลู 2 อยา่ ง คอื

ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA 94
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

1. มลู ค่ารวมการสง่ ออกในปี ค.ศ. 2000 ซ่งึ แสดงไวใ้ นแผนภูมิแท่งคือ
42.6 ล้านเซต
2. เปอรเ์ ซน็ ตก์ ารสง่ ออกนำ้�ผลไม้ในปี ค.ศ. 2000 ซ่งึ แสดงไว้ในแผนภมู ิ
รูปวงกลม คอื 9%

เนอื่ งจากข้อมูลทีแ่ สดงไวใ้ นแผนภมู ริ ูปวงกลมเป็นการจ�ำ แนกชนดิ ของ
กขจ งึอาหรงสมมงู่ลาอนยค อ่ันค่ากรควขวาือมมอ มกวงเา่ลูาซรคตมสา่ แูลง่ร ลคอวน่าอมรดกกวใ์ขามน รอกปสงาง่ปี รคอรส.อะศ ่งกเ.อทน2อศำ้�0กเผ0ซน ล0ต้ำ�ไแผมเมลล้ใ่อืนนไมมปด้ีเ์ใีใปนคนอ.ปปศรีี.์เคคซ2..น็ศ0ศ.ต0. 2ก์020า00ร0เทส00ง่า่ อกเอบัท=ก่านก1_3ับำ�้90.ผ80ล31_xไ4ม0940้ 2ล9.%า้ 6นเซต
หรือประมาณ 3.8 ล้านเซต
ดังนัน้ ค�ำ ตอบ คอื ข้อ 5

ขอ้ สังเกต/ข้อเสนอแนะ
1. ในแง่ของเปอรเ์ ซ็นต์ นักเรียนไทยตอบคำ�ถามที่ 1 ไดถ้ ูกตอ้ งมากกว่านกั เรยี น
ญปี่ นุ่ และนกั เรยี นเกาหลี คอื นกั เรยี นไทยตอบค�ำ ถามที่ 1 ไดถ้ กู ตอ้ งถงึ 77.84 เปอรเ์ ซน็ ต์
ของจ�ำ นวนนกั เรยี นไทยทเี่ ขา้ สอบ ในขณะทน่ี กั เรยี นญปี่ นุ่ และนกั เรยี นเกาหลตี อบค�ำ ถาม
ท่ี 1 ได้ถูกต้องเท่ากันคือ 64.65 เปอร์เซ็นต์ของจำ�นวนนักเรียนแต่ละชาติที่เข้าสอบ
แตค่ �ำ ถามขอ้ ที่ 2 นักเรยี นไทยตอบคำ�ถามไดถ้ กู ต้องเพียง 31.48 เปอรเ์ ซ็นตข์ องจำ�นวน
นกั เรียนไทยทเ่ี ขา้ สอบ ตำ่�กว่านักเรียนญีป่ นุ่ และนักเรียนเกาหลที ตี่ อบไดถ้ กู ต้อง 54.93
และ 54.47 เปอร์เซ็นตข์ องจ�ำ นวนนกั เรียนแต่ละชาติทีเ่ ขา้ สอบตามลำ�ดับ ทง้ั นอ้ี าจเปน็
เพราะคำ�ถามที่ 1 สามารถหาคำ�ตอบได้โดยตรงจากการอ่านแผนภูมิแท่งซึ่งนักเรียน
ได้ฝึกทำ�โจทย์ลักษณะนี้ค่อนข้างมาก ส่วนคำ�ถามที่ 2 การหาคำ�ตอบต้องอาศัยการ
เชอ่ื มโยงขอ้ มลู จากแผนภมู แิ ทง่ และแผนภมู ริ ปู วงกลมแลว้ น�ำ มาคดิ ค�ำ นวณ แสดงใหเ้ หน็
ว่านักเรียนไทยขาดทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในด้านการแก้ปัญหาที่ต้อง
เช่ือมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์และข้อมูลท่ีได้รับจากการสื่อความหมาย นักเรียนมัก
คนุ้ เคยกบั การใชค้ วามรทู้ ลี ะเรอ่ื งในการแกป้ ญั หาอยา่ งตรงไปตรงมา เมอ่ื พบสถานการณ์
ท่ีต้องเชอื่ มโยงความรู้มากกว่าหนง่ึ เรอื่ งในการแก้ปญั หานกั เรยี นสว่ นใหญจ่ ึงท�ำ ไม่ได้

95 ฝึก คดิ พชิ ติ คณิต PISA
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)