หนังสือฝึก คิด พิชิตคณิต PISA 17.11.2016

2. นักเรียนอาจสับสนเก่ียวกับเวลาที่เป็นเวลาก่อนเท่ียงวันและหลังเที่ยงวัน เช่น
คำ�ถามข้อ 1 ถามว่าเวลา 1 ทุม่ ทซ่ี ดิ นียเ์ ป็นเวลาอะไรในเบอร์ลนิ นกั เรยี นอาจตอบว่าเป็น
เวลา 4 ท่มุ แทนที่จะตอบว่า 10 นาฬิกา ก็เปน็ ได้
สำ�หรบั ค�ำ ถามที่ 2 มีนกั เรยี นไทยตอบค�ำ ถามขอ้ น้ีไดถ้ ูกตอ้ งเพยี ง 8.41 เปอร์เซน็ ต์
ของจ�ำ นวนนกั เรียนไทยทเี่ ขา้ สอบเท่านัน้ และนกั เรยี นจากประเทศอนื่ ๆ คือ ญป่ี ุ่น เกาหลี
จีน – ฮ่องกง และจนี – มาเก๊า ตอบค�ำ ถามขอ้ นไี้ ด้ถูกต้อง 33, 28.89, 27.44 และ 16.95
เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนกั เรยี นแตล่ ะชาตทิ เี่ ขา้ สอบ ตามล�ำ ดบั ซง่ึ ถอื วา่ ตอบถกู นอ้ ยมากเมอ่ื
เทียบกับข้อสอบข้ออ่ืน ๆ จึงแสดงให้เห็นว่าข้อสอบข้อน้ีเป็นข้อสอบที่ยากสำ�หรับนักเรียน
ทกุ กลมุ่ ที่เขา้ สอบ ท้ังน้ีอาจเป็นเพราะว่า
1. นักเรียนอ่านโจทย์ไม่เข้าใจ เพราะไม่มีประสบการณ์ในการคุยผ่านอินเทอร์เน็ต
ขา้ มประเทศทมี่ เี วลาทอ้ งถ่ินไมต่ รงกัน
2. เงอ่ื นไขของโจทยค์ อ่ นขา้ งซบั ซอ้ น โดยก�ำ หนดชว่ งเวลาทค่ี ยุ ไมไ่ ดม้ ากกวา่ หนงึ่ ชว่ ง
เวลา ซงึ่ เปน็ เวลาเรยี นและเวลาเขา้ นอนของมารค์ และฮานส์ ในการหาค�ำ ตอบของค�ำ ถามที่
2 นี้ จะตอ้ งมกี ารเทยี บเวลาในแตล่ ะชว่ งเวลากลบั ไปกลบั มาระหวา่ งเวลาทซี่ ดิ นยี แ์ ละเวลาท่ี
เบอร์ลนิ ซ่งึ นักเรยี นมโี อกาสสบั สนและผิดพลาดไดง้ ่าย
ในหนังสือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 1 ที่
พัฒนาโดย สสวท. เร่ืองการวัด ไดม้ ีการใหพ้ น้ื ความรเู้ ร่อื งเวลาทอ้ งถิ่นในสว่ นตา่ ง ๆ ของโลก
มีตัวอย่างและโจทย์ปัญหาอยู่บ้าง แต่ก็ไม่ได้เน้นมาก ตัวอย่างท่ีให้ก็เป็นสถานการณ์ที่ไม่
ซับซ้อนนัก ดงั นน้ั ในการจัดการเรียนการสอนเรือ่ งการวดั เวลา ครูอาจเพิ่มเตมิ แบบฝกึ หดั
ให้นักเรียนได้วิเคราะห์เก่ียวกับเรื่องน้ีอย่างหลากหลายเพราะนอกจากจะเป็นสถานการณ์ที่
เก่ียวกับชีวิตจริงท่ีเกิดข้ึนเป็นประจำ�แล้ว นักเรียนยังได้ฝึกการจินตนาการในการหมุนเข็ม
นาฬกิ าตามไปขา้ งหนา้ เทา่ กบั จ�ำ นวนชว่ั โมงทเี่ รว็ กวา่ หรอื หมนุ เขม็ นาฬกิ ายอ้ นกลบั ไปเทา่ กบั
จำ�นวนชั่วโมงท่ีช้ากว่า ซึ่งถ้าไม่ได้ฝึกฝนก็เป็นเรื่องไม่ง่ายนักท่ีจะหาคำ�ตอบได้ถูกต้องโดย
เฉพาะสำ�หรับสถานการณ์โจทย์ที่ต้องพจิ ารณาช่วงเวลาหลายชว่ งในขณะเดียวกนั
ถา้ จะลดความซบั ซ้อนของค�ำ ถามที่ 2 โจทยอ์ าจบอกชว่ งเวลาท่ีทงั้ มาร์คและฮานส์
สามารถคยุ ไดใ้ นเวลาทอ้ งถนิ่ ของตน แลว้ ใหห้ าวา่ เขาทงั้ สองจะมเี วลาวา่ งตรงกนั ในชว่ งเวลา
ใดบา้ ง หรอื ถา้ จะใหโ้ จทยซ์ บั ซอ้ นมากขน้ึ โจทยอ์ าจก�ำ หนดใหม้ กี ารคยุ กนั ของเพอื่ นสามคน
ซงึ่ อยใู่ นประเทศท่มี เี วลาท้องถ่ินแตกต่างกนั

146 ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

โดยก�ำ หนดชว่ งเวลาทว่ี า่ งชว่ งเดยี วกอ่ น แลว้ จงึ ก�ำ หนดเวลาทว่ี า่ งมากกวา่ หนง่ึ ชว่ ง หลงั จาก
น้ันโจทย์อาจกำ�หนดช่วงเวลาท่ีเขาทั้งสามไม่สามารถคุยกันได้ เพ่ือให้หาช่วงเวลาท่ีเพ่ือน
ทัง้ สามคนนส้ี ามารถคยุ กันได้
ในกรณีท่ีนักเรียนมีปัญหาในการหาช่วงเวลาที่ต้องการ ครูอาจใช้นาฬิกาเรือนใหญ่
มาแสดงการหมุนเข็มนาฬิกาเพื่อหาเวลาที่เปล่ียนไปตามเวลาท้องถิ่นของแต่ละประเทศ
เช่น ถ้าประเทศ A มีเวลาทอ้ งถิน่ ช้ากวา่ ประเทศ B ตอ้ งการทำ�เวลาในประเทศ A ให้ตรง
กบั เวลาในประเทศ B กใ็ ห้หมุนเขม็ นาฬกิ าไปข้างหนา้ เทา่ กับจ�ำ นวนชวั่ โมงทีช่ า้ กว่า หรอื
ถา้ ต้องการท�ำ เวลาท้องถ่ินในประเทศ B ให้ตรงกบั เวลาทอ้ งถน่ิ ในประเทศ A ให้ กใ็ ห้หมุน
ทวนเข็มนาฬิกาย้อนหลังไปเท่ากับจำ�นวนช่ัวโมงที่เร็วกว่า เม่ือนักเรียนสามารถนึกภาพใน
จินตนาการ กส็ ามารถแก้ปัญหาในสถานการณ์โจทย์ต่าง ๆ ได้โดยงา่ ยขนึ้ และไมส่ ับสน

ตัวอย่างสถานการณ์ท่ีมีการคุยกันสามคนทางอินเทอร์เน็ต ตัวอย่างหน่ึงเป็นดังน้ี
มาร์ค อยู่ที่เมืองซิดนีย์ ประเทศออสเตรเลีย ฮานส์อยู่ท่ีกรุงเบอร์ลิน ประเทศเยอรมัน
ท้ังสองเป็นเพื่อนกับโจโจ๊ ซ่ึงอยู่ท่ีกรุงเทพฯ โจโจ๊ดูแผนภาพเวลาของโลกเพ่ือหาเวลาที่
เหมาะสมในการคุยกนั ทางอนิ เตอร์เนต็ กบั เพ่ือนท้งั สองในเวลาเดยี วกัน พบว่า

11 12 1 11 12 1
10 2 10 2
9 3 9 3
8 4 8 4

76 5 76 5

กรนี ิช เวลาเทยี่ งคนื เบอรล์ ิน เวลาตี 1

11 12 1 11 12 1
10 2 10 2
93 93
84 84

76 5 76 5

ซิดนยี เ์ วลา 10 โมงเช้า กรุงเทพฯ เวลา 7 โมงเช้า

ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA 147
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

คค�ำ ำ�ถถาามม มารค์ ฮานส์ และโจโจ๊ ตอ้ งไปเรียนเวลา 9.00 – 16.00 น. ยกเวน้ เวลา
พักเที่ยง 12.00 – 13.00 น. และจะเขา้ นอนเวลา 23.00 – 6.00 น. ในเวลาทอ้ งถนิ่ ของ
แตล่ ะคน จงเขียนเวลาทอ้ งถิน่ ทแ่ี ต่ละคนที่สามารถคยุ กันได้ ลงในตารางข้างลา่ งน ี้

สถานที่ เวลา

กรงุ เทพฯ

ซดิ นยี ์

เบอร์ลนิ

แนวคดิ 1. พิจารณาเวลาทมี่ ารค์ ฮานส์และโจโจ๊ คุยกนั ไม่ไดแ้ ละคยุ กันได้ตามเวลา
ทอ้ งถ่ินของแตล่ ะคนเป็นดังนี้

เวลานอน เวลากอ่ นไปโรงเรยี น เวลาเรยี น เวลาพกั เทีย่ ง เวลาเรียน
23.00 - 6.00 น. 6.00 - 9.00 น. 9.00 - 12.00 น. 12.00 - 13.00 น. 13.00 - 16.00 น.

ดังน้ัน เวลาที่มาร์ค ฮานส์ และโจโจ๊ สามารถคุยกันได้ตามเวลาท้องถิ่นของ
แต่ละคนเป็นดังนี้

เวลาตื่นนอนถงึ เวลาพกั เทีย่ ง เวลาเลิกเรียนถึง
เวลาไปโรงเรยี น เวลาเข้านอน

6.00 - 9.00 น. 12.00 - 13.00 น. 16.00 - 23.00 น.

2. ใช้เวลาของโจโจ๊ เป็นหลักเพื่อหาเวลาของมาร์คท่ีซิดนีย์จากหน้าปัดนาฬิกาท่ี
กำ�หนดให้ พบว่า เวลาทซี่ ิดนยี ์เรว็ กว่าเวลาทกี่ รงุ เทพฯ 3 ชวั่ โมง ดังนัน้ เวลาทโ่ี จโจว๊ า่ งคุย
ตรงกับเวลาท่ีซดิ นียห์ าได้ ดังน้ี
จากเวลาทกี่ รงุ เทพฯ หมุนเข็มนาฬกิ าไปข้างหน้า 3 ชัว่ โมงจะได้เวลาทซ่ี ดิ นยี ์ ดังนี้

เวลาที่กรุงเทพฯ ทโ่ี จโจอ๊ ยู่ เวลาทซ่ี ิดนียท์ มี่ าร์คอยู่

6.00 – 9.00 น. 9.00 – 12.00 น.
1126..0000 –– 2133..0000 นน.. 1159..0000 –– 216.0.000นน. .

จะได้ว่า เวลาที่โจโจ๊สามารถคยุ กบั มารค์ ไดใ้ นเวลาท่ซี ิดนยี ์ คือ 19.00 – 23.00 น.

148 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

3. จากเวลาที่โจโจ๊และมารค์ สามารถคุยกนั ได้ พจิ ารณาหาเวลาที่ฮานสส์ ามารถคุย
ได้ตามเวลาทอ้ งถน่ิ ของเบอร์ลิน ดังน้ี
จากหนา้ ปดั นาฬกิ าทกี่ �ำ หนดให้ พบวา่ เวลาทซ่ี ดิ นยี เ์ รว็ กวา่ เวลาทเี่ บอรล์ นิ 9 ชวั่ โมง
ดงั นั้น จากเวลาท่ซี ดิ นีย์ หมุนทวนเขม็ นาฬิกาย้อนไป 9 ชว่ั โมง จะได้เวลาท่ีเบอรล์ ิน
ดังนี้

เวลาทีซ่ ิดนยี ์ เวลาท่เี บอร์ลิน

19.00 – 23.00 น. 10.00 – 14.00 น.

ดังนั้น โจโจ๊และมาร์คสามารถคุยกับฮานส์ได้ในเวลาท้องถิ่นของเบอร์ลิน คือ
10.00 – 14.00 น.

4. เทียบเวลาท่เี บอรล์ ินท่ีฮานสค์ ยุ ไดก้ ับเวลาท่โี จโจแ๊ ละมารค์ สามารถคุยได้ ดงั นี้

เวลาทเ่ี บอร์ลนิ ทฮ่ี านสค์ ยุ ได้ เวลาที่เบอร์ลนิ ท่มี าร์คและโจโจ๊คุยได้
6.00 – 9.00 น. 10.00 – 14.00 น.
12.00 – 13.00 น.
16.00 – 23.00 น.

จากตารางข้างต้น พบว่า เวลาท่ีทั้งฮานส์ มาร์ค และโจโจ๊สามารถคุยกันได้ คือ
12.00 – 13.00 น. เวลาท้องถ่นิ ทเ่ี บอรล์ ิน
5. พจิ ารณาเพ่ือหาว่า 12.00 – 13.00 ที่เบอรล์ นิ จะเปน็ เวลาใดทก่ี รงุ เทพฯ และที่
ซิดนยี ์ หาไดด้ ังน้ี

จากหนา้ ปดั นาฬกิ า พบว่า เวลาทีก่ รงุ เทพฯ เรว็ กว่าเวลาท่ีเบอรล์ นิ 6 ช่วั โมง และ
เวลาท่ีซดิ นยี ์เรว็ กวา่ เวลาทีเ่ บอร์ลิน 9 ช่ัวโมง
ดังน้นั จะได้เวลาทก่ี รงุ เทพฯ และเวลาทีซ่ ดิ นยี ์ ดงั น้ี

เวลาที่เบอรล์ นิ เวลาทีก่ รุงเทพฯ เวลาทซี่ ิดนยี ์
12.00 – 13.00 น. 18.00 – 19.00 น. 21.00 – 22.00 น.

ดงั นัน้ ตารางเวลาท่ีมารค์ ฮานส์ และโจโจ๊สามารถคยุ กนั ได้พรอ้ มกัน คอื

สถานท่ี เวลาท้องถ่ิน
กรุงเทพฯ 18.00 – 19.00 น.
ซิดนยี ์ 21.00 – 22.00 น.
เบอรล์ นิ 12.00 – 13.00 น.

ฝกึ คดิ พชิ ติ คณิต PISA 149
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

พ้ืนที่ทวปี

ภาพขา้ งล่างคือ แผนท่ขี องทวีปแอนตารก์ ตกิ

ทวปี แอนตารก์ ติก
ข้วั โลกใต้

ภูเขาเมนซสี ์

กโิ ลเมตร 0 200 400 600 800 1000

150 ฝกึ คิด พิชิตคณติ PISA
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถามท่ี 1 : คยุ ผ่านอนิ เทอรเ์ น็ต
จงหาค่าโดยประมาณของพ้ืนท่ีของทวีปแอนตาร์กติก โดยใช้มาตราส่วนในแผนที่
อธิบายวิธีการประมาณหาพื้นที่น้ีด้วย (นักเรียนสามารถลากเส้นในแผนท่ีที่กำ�หนดมาให้ได้
ถ้ามันจะชว่ ยใหก้ ารประมาณง่ายขึ้น)

คะแนนเตม็

ค�ำ ตอบท่มี ีวธิ ีการถกู ต้องและได้คำ�ตอบถูกต้องด้วย เชน่ วธิ ใี ดวิธหี น่ึงต่อไปน้ี
- ประมาณการโดยการวาดรูปสเี่ หลีย่ มจตั ุรสั 1 รปู หรือรูปส่เี หล่ียมผืนผ้า 1 รูป ได้คำ�ตอบพื้นทรี่ ะหว่าง 12,000,000
ตร.กม. ถงึ 18,000,000 ตร.กม.
- ประมาณการโดยการวาดรูปวงกลม 1 รูป ได้คำ�ตอบพื้นท่ีระหวา่ ง 12,000,000 ตร.กม. ถงึ 18,000,000 ตร.กม.
- ประมาณการโดยการบวกพนื้ ท่รี ปู เรขาคณิตหลายๆ รูปเขา้ ดว้ ยกนั ได้คำ�ตอบพื้นทรี่ ะหวา่ ง 12,000,000 ตร.กม. ถงึ
18,000,000 ตร.กม.
- ประมาณการโดยใช้วธิ กี ารอ่นื ท่ถี กู ต้อง ได้คำ�ตอบพื้นทร่ี ะหว่าง 12,000,000 ตร.กม. และ 18,000,000 ตร.กม.
- ค�ำ ตอบถกู ต้อง (ระหวา่ ง 12,000,000 ตร.กม. และ 18,000,000 ตร.กม.) แตไ่ ม่แสดงวิธที ำ�

ได้คะแนนบางสว่ น

วธิ กี ารถกู ต้อง แตไ่ ด้คำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ งหรือไม่สมบูรณ์
- ประมาณการโดยการวาดรปู เรขาคณิต 1รปู หรือหลายรูปแตค่ ำ�ตอบทีไ่ ดไ้ ม่ถกู ต้อง หรอื ไมส่ มบรู ณ์
• วาดรปู ส่เี หลีย่ มผนื ผา้ 1 รปู เอาความยาวของดา้ นกว้างคูณความยาวของด้านยาว แตค่ ำ�ตอบมากกว่า
หรือ นอ้ ยกวา่ คา่ ประมาณการ (เชน่ 18,200,000)
• วาดรปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผ้า 1 รูป เอาความยาวของด้านกว้างคณู ความยาวของด้านยาว แต่จ�ำ นวนตวั เลขศนู ยไ์ ม่
ถกู ตอ้ ง (เชน่ 4,000 X 3,500 = 140,000)
• วาดรปู สเี่ หลย่ี มผืนผา้ 1 รูป เอาความยาวของด้านกว้างคูณความยาวของดา้ นยาว แตล่ ืมเปลีย่ นมาตราส่วน
เป็นตารางกิโลเมตร (เชน่ 12 ซม. X 15 ซม. = 180)
• วาดรูปส่เี หลี่ยมผนื ผา้ 1 รูป และบอกวา่ พ้นื ทเ่ี ท่ากับ 4,000 กม. X 3,500 กม. แต่ไมท่ ำ�อะไรต่อไป

หรอื ประมาณการโดยใชว้ ธิ กี ารอน่ื ท่ีถกู ต้อง - แต่คำ�ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่สมบูรณ์

ไม่มคี ะแนน

คำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ งอืน่ ๆ (ไมแ่ สดงวิธที �ำ และ คำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง) เชน่
• คำ�นวณหาความยาวเส้นรอบรปู แทนพ้ืนที่ เชน่ 16,000 กม. ได้จากความยาวรอบรูปแผนทีค่ อื 16 ครง้ั ของระยะ
1,000 กม.
• 16,000 กม.

ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู
เนอ้ื หา : ปริภมู แิ ละรูปทรง ญป่ี ุ่น 23.30
แขนงวชิ า : การวดั เกาหลี 15.20
สถานการณ์ : สว่ นตวั /ส่วนบคุ คล ฮ่องกง-จีน 26.70
สมรรถนะ : การทำ�ใหม่ ไทย 2.82
แบบของขอ้ สอบ : สร้างคำ�ตอบแบบปิด

ฝึก คิด พิชติ คณิต PISA 151
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวิเคราะห์และแนวคดิ ในการแก้โจทย์ปัญหา

สถานการณ์โจทย์
โจทยใ์ หห้ าคา่ โดยประมาณของพนื้ ทขี่ องทวปี แอนตารก์ ตกิ โดยก�ำ หนดแผนทขี่ อง
ทวีปซึ่งมีลักษณะเว้าแหว่ง ไม่เป็นรูปเรขาคณิตท่ีสามารถหาพื้นท่ีได้โดยง่ายจากสูตรที่
นักเรียนคุ้นเคย อีกทงั้ มาตราส่วนของแผนท่ที ีโ่ จทยก์ �ำ หนดมาใหไ้ มส่ ะดวกจะน�ำ มาใชไ้ ด้
โดยตรง จะต้องท�ำ การเทียบสว่ นก่อนนำ�มาใช้ กลา่ วคอื ก�ำ หนดความยาว 3 เซนติเมตร
แทนระยะทางจรงิ 1,000 กโิ ลเมตร โดยมขี ีดแบง่ เป็นชว่ งๆ 5 ชว่ ง แต่ละชว่ งแทน 200
กโิ ลเมตร ดงั น้ี

กิโลเมตร 0 200 400 600 800 1000

จะเหน็ วา่ ถา้ นกั เรยี นจะวดั ระยะทางจากมาตราสว่ นมาใชโ้ ดยตรง จะไมส่ ะดวกใน
การวดั ความยาวแตล่ ะชว่ ง แตส่ ามารถท�ำ ไดห้ ากใชก้ ารค�ำ นวณหาความยาวของแตล่ ะชว่ ง
ดซง่ึงั เนทนั้ า่ สกถบั าน_53กาเซรนณตโ์ เิจมทตยรข์ หอ้ รนอื ี้ ถ0า้ .ด6เู ผเซนิ นๆตกเิ มไ็ ตมรน่ า่ แจตะอ่มยปี า่ ญั งไหรากต็แาตมเ่ มกอื่ย็ จงั คะงหนา�ำคมา่ าโดใชยไ้ ปมรส่ ะะมดาวณกอขยอดู่งี
พนื้ ทขี่ องทวปี แอนตารก์ ตกิ โดยใชม้ าตราสว่ นทกี่ �ำ หนด กจ็ ะพบปญั หาในการน�ำ มาตราสว่ น
ท่ีกำ�หนดใหม้ าใช้หาระยะทางจรงิ จากการวดั ระยะในแผนท่ี

152 ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ทเี่ กยี่ วข้อง
ในการทำ�โจทย์ข้อน้ี นักเรียนจะต้องมีพื้นฐานความรู้และประสบการณ์ในการ
ประมาณพื้นท่ีของรูปท่ีมีลักษณะต่าง ๆ ที่ไม่สามารถคำ�นวณหาพ้ืนท่ีโดยตรงจากการใช้
สตู ร ในการประมาณพน้ื ทข่ี องรปู ทมี่ ลี กั ษณะเชน่ นอ้ี าจใชว้ ธิ เี ขยี นรปู เรขาคณติ ทง่ี า่ ยตอ่ การ
ค�ำ นวณพนื้ ทค่ี รอบคลมุ เนอื้ ทขี่ องรปู ทกี่ �ำ หนดให้ โดยพยายามใหส้ ว่ นทเ่ี กนิ ออกนอกรปู กบั
สว่ นทแ่ี หวง่ เขา้ ขา้ งในรปู มเี นอื้ ทพ่ี อ ๆ กนั แลว้ ค�ำ นวณพนื้ ทข่ี องรปู เรขาคณติ นนั้ เปน็ คา่ โดย
ประมาณของรปู ทตี่ อ้ งการ รปู เรขาคณติ ทนี่ ยิ มใชใ้ นการประมาณพน้ื ทไ่ี ดแ้ ก่ รปู สามเหลย่ี ม
รูปสเ่ี หลย่ี ม และรูปวงกลม โดยอาจเป็นรปู เดียวหรือหลายรูปประกอบกนั กไ็ ด้

แนวคิดในการแกโ้ จทย์ปญั หา
คคำ�ำ�ถถาามมทท่ี 1่ี 1 จงหาค่าโดยประมาณของพืน้ ทขี่ องทวีปแอนตารก์ ตกิ โดยใชม้ าตราสว่ นใน
แผนทอี่ ธบิ ายวธิ กี ารประมาณหาพนื้ ทนี่ ดี้ ว้ ย (นกั เรยี นสามารถลากเสน้ ในแผนทที่ ก่ี �ำ หนดมา
ใหไ้ ด้ ถ้ามันจะช่วยใหก้ ารประมาณงา่ ยขน้ึ ) ในคำ�ถามข้อนน้ี ักเรยี นตอ้ งท�ำ สองอยา่ ง คือ
อธบิ ายวธิ กี ารประมาณหาพนื้ ทขี่ องทวปี แอนตารก์ ตกิ และค�ำ นวณหาคา่ โดยประมาณของ
พน้ื ที่ของทวปี แอนตารก์ ติก ตามวิธที ี่อธิบายมา ซึ่งอาจใช้รูปเรขาคณติ ไดห้ ลายแบบ
ในทน่ี จี้ ะเสนอวิธหี าคำ�ตอบของโจทยข์ อ้ น้ี 3 แบบ ดงั น้ี
แนวคิด 1 ใชก้ ารคาดคะเนดว้ ยสายตาเขยี นวงกลมครอบคลมุ เนอ้ื ทสี่ ว่ นใหญข่ องแผนท่ี
โดยประมาณให้ส่วนท่ีเกินออกนอกวงกลมกับส่วนที่แหว่งเข้าในวงกลมมีเนื้อท่ีพอ ๆ กัน
ใหว้ งกลมท่ีไดม้ รี ัศมยี าว OA ดงั รูป

ฝกึ คดิ พิชิตคณิต PISA 153
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ทวปี แอนตาร์กติก A

ขวั้ โลกใต้

O

ภูเขาเมนซสี ์

กโิ ลเมตร 0 200 400 600 800 1000

วดั ความยาวของ OA ไดย้ าวประมาณ 6.5 เซนตเิ มตร

วดั มาตราสว่ นที่กำ�หนดใหไ้ ด้ความยาว 3 เซนตเิ มตร แทนระยะทาง 1,000 กิโลเมตร
OเมA่ือเแททยี นบรคะวยาะมทยาางวข6อ_3.ง5รศั xม1ี O,0A00ก≈ับม2า,ต16รา6ส≈่วน2ข,2อ0งแ0ผนกทิโลี่ เมตร
ดังน้นั
นัน่ คอื

จะได้ OA แทนระยะทางประมาณ 2,200 กิโลเมตร
ดังนั้น วงกลมทต่ี อ้ งการมีพ้ืนทป่ี ระมาณ π (OA)2 ตารางกโิ ลเมตร
≈≈ 12_752,2x102,,020000
x 2,200 ตารางกโิ ลเมตร
ตารางกโิ ลเมตร


นนั่ คือ ทวปี แอนตารก์ ติกมีพน้ื ทีป่ ระมาณ 15,210,000 ตารางกิโลเมตร

154 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคิด 2 ใชก้ ารคาดคะเนดว้ ยสายตาเขยี นรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก ABCD ใหค้ รอบคลมุ เนอ้ื ที่
สว่ นใหญ่ของแผนที่ โดยประมาณใหส้ ว่ นที่เกนิ ออกนอกรปู ส่เี หลีย่ มกบั ส่วนทแี่ หว่งเขา้ ในรปู
ส่เี หล่ยี มมีเนื้อทีพ่ อ ๆ กนั ดังรูป

AB

ทวีปแอนตารก์ ติก

ข้ัวโลกใต้

ภเู ขาเมนซสี ์

D C

กโิ ลเมตร 0 200 400 600 800 1000

ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA 155
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

วัดความยาวของด้านรูปสีเ่ หล่ยี มมุมฉาก ABCD ได้ AB ≈ 12.5 เซนติเมตร

และ BC ≈ 10.5 เซนตเิ มตร

วัดมาตราสว่ นทก่ี �ำ หนดให้ได้ความยาว 3 เซนติเมตร แทนระยะทาง 1,000 กโิ ลเมตร
11__2033..55
ดงั น้ัน AB แทนระยะทางประมาณ x 1,000 ≈ 4,200 กิโลเมตร
BC แทนระยะทางประมาณ x 1,000 ≈ 3,500 กโิ ลเมตร

จะได้ ABCD มีพ้นื ท่ปี ระมาณ 4,200 x 3,500 = 14,700,000 ตารางกิโลเมตร

ดังนน้ั ทวปี แอนตารก์ ตกิ มพี น้ื ที่ประมาณ 14,700,000 ตารางกโิ ลเมตร
แนวคิด 3 ใชก้ ารคาดคะเนดว้ ยสายตาเขยี นรปู สเี่ หลย่ี มมมุ ฉากสองรปู ใหค้ รอบคลมุ เนอ้ื ท่ี
ส่วนใหญ่ของแผนท่ี โดยประมาณใหส้ ว่ นทเี่ กินออกนอกรปู สี่เหลยี่ มกบั ส่วนทแี่ หว่งเข้าใน

รปู สเ่ี หล่ยี มแตล่ ะรูปมีเนื้อท่พี อๆ กัน ดังรปู

AB E
ทวปี แอนตาร์กตกิ

ข้วั โลกใต้
ภูเขาเมนซีส์

DC

กโิ ลเมตร 0 200 400 600 800 1000

G F

156 ฝกึ คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

วัดความยาวของดา้ นรูปสเี่ หลี่ยมมุมฉาก ABCD ได้ AB ≈ 4.4 เซนตเิ มตร

และ BC ≈ 7.5 เซนติเมตร

วดั ความยาวของด้านรปู สเ่ี หลีย่ มมมุ ฉาก BEFG ได้ BE ≈ 9 เซนติเมตร

และ EF ≈ 12 เซนติเมตร

วัดมาตราส่วนทีก่ ำ�หนดให้ได้ความยาว 3 เซนตเิ มตร แทนระยะทาง 1,000 กิโลเมตร
4_.47_x.351,0x310,000≈0
ดังน้ัน AB แทน ระยะทางประมาณ 1,500 กิโลเมตร
BC แทน ระยะทางประมาณ = 2,500 กโิ ลเมตร

จะได้  ABCD มพี ืน้ ทป่ี ระมาณ 1,500 x 2,500 ตารางกิโลเมตร

= 3,750,000 ตารางกโิ ลเมตร

วดั มาตราส่วนทีก่ ำ�หนดให้ได้ความยาว 3 เซนตเิ มตร แทนระยะทาง 1,000 กโิ ลเมตร
1__92xx1331,0,00000
ดังนั้น BE แทน ระยะทางประมาณ = 3,000 กิโลเมตร
EF แทน ระยะทางประมาณ = 4,000 กิโลเมตร

จะได้  BEFG มีพื้นทปี่ ระมาณ 3,000 x 4,000 ตารางกโิ ลเมตร

= 12,000,000 ตารางกิโลเมตร

ดงั นั้น ทวปี แอนตารก์ ตกิ มพี ื้นที่ประมาณ 3,750,000 + 12,000,000 = 15,750,000

ตารางกโิ ลเมตร

 

ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA 157
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ขอ้ สงั เกต/ขอ้ เสนอแนะ
ในการท�ำ โจทยข์ อ้ น้ี ควรเลอื กแนวคดิ ทเ่ี ออ้ื ตอ่ การคดิ ค�ำ นวณ กลา่ วคอื ถา้ จะเลอื ก
แนวคิด 1 อาจจะมีปัญหาว่าหาวงเวียนไม่ได้ในขณะน้ัน และการคิดคำ�นวณค่อนข้าง
ซบั ซอ้ น ดังน้นั แนวคดิ ทีค่ วรเลอื กจึงน่าจะเปน็ แนวคดิ 2 หรือแนวคดิ 3 ในการหาพน้ื ท่ี
โดยประมาณควรพจิ ารณาการน�ำ มาตราสว่ นทก่ี �ำ หนดใหม้ าใชใ้ หเ้ หมาะสม จากมาตราสว่ น
ทก่ี �ำ หนดมาใหใ้ นโจทยข์ อ้ นม้ี เี จตนาจะใหใ้ ชม้ าตราสว่ น 3 เซนตเิ มตร แทนระยะทาง 1,000
กโิ ลเมตร ถ้านกั เรยี นพยายามใช้มาตราสว่ นโดยวดั แตล่ ะช่วงยอ่ ย ๆ ทีก่ �ำ หนดมาให้ เพอ่ื
หาวา่ ระยะทางทต่ี อ้ งการเปน็ กชี่ ว่ งยอ่ ย แลว้ จงึ น�ำ มาค�ำ นวณเพอื่ หาระยะทางจรงิ กจ็ ะพบ
ปญั หามากจนนกั เรยี นอาจเกดิ ความทอ้ ใจ เพราะจะมคี วามยงุ่ ยากในการหาวา่ ระยะทางท่ี
ต้องการเปน็ ก่ีช่วงยอ่ ยในมาตราส่วนท่กี �ำ หนดให้
มีนักเรียนไทยทำ�ขอ้ สอบข้อนไ้ี ด้ถูกตอ้ งเพียง 2.82 เปอร์เซ็นต์ ของจำ�นวนนักเรียน
ไทยทเ่ี ขา้ สอบ แสดงวา่ นกั เรยี นอกี ประมาณ 97 เปอรเ์ ซน็ ต์ ไมส่ ามารถท�ำ ขอ้ สอบขอ้ นไ้ี ด้
ในท�ำ นองเดยี วกันนักเรยี นจากประเทศญ่ีป่นุ เกาหลี และจนี – ฮอ่ งกง ต่างก็ท�ำ ขอ้ สอบ
ขอ้ นไ้ี ดถ้ กู ตอ้ งไมเ่ กนิ 27 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนกั เรยี นทเี่ ขา้ สอบแตล่ ะชาติ ซง่ึ เปน็ จ�ำ นวน
เปอร์เซน็ ตน์ ้อยกวา่ จำ�นวนเปอร์เซ็นตท์ ท่ี ำ�ขอ้ สอบขอ้ อ่ืน ๆ ไดถ้ กู ตอ้ ง จึงถอื ได้ว่าข้อสอบ
ข้อนี้เป็นข้อสอบค่อนข้างยาก และความยากของข้อสอบก็น่าจะเป็นเพราะการกำ�หนด
มาตราส่วนของโจทย์ที่ยากต่อการนำ�ไปใช้ รวมทั้งโจทย์ในลักษณะทำ�นองนี้ นักเรียน
ส่วนใหญ่จะไม่ค่อยคุ้นเคยและได้ฝึกทำ�กันบ่อยนัก โดยเฉพาะอย่างย่ิง การหาพ้ืนท่ีโดย
ประมาณของแผนที่ ท่ีกำ�หนดมาตราส่วนท่ีไม่สามารถนำ�ไปใช้ได้ทันทีดังในข้อสอบเร่ือง
พนื้ ทท่ี วปี ครคู วรเพมิ่ เตมิ ประสบการณใ์ นการท�ำ โจทยท์ �ำ นองน้ี เชน่ การใหน้ กั เรยี นหาคา่
โดยประมาณของพน้ื ทขี่ องจงั หวดั ตา่ ง ๆ ในประเทศไทยจากแผนทโ่ี ดยก�ำ หนดมาตราสว่ นท่ี
ต่างไปจากมาตราสว่ นทก่ี ำ�หนดให้โดยท่วั ๆ ไป ตวั อยา่ ง จาก 1 : 100,000, 1 : 300,000
หรือ 1 : 15,000 อาจกำ�หนดมาตราส่วนเสยี ใหม่ เปน็ 3 : 100,000 หรือ 3 : 80,000
ดังตัวอยา่ งโจทยต์ ่อไปน้ี

158 ฝกึ คิด พิชติ คณิต PISA
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

พ้ืนทจ่ี ังหวัดสมุทรปราการ
ภาพขา้ งลา่ งคือแผนทขี่ องจงั หวดั สมทุ รปราการ

มาตราสว่ น 2.5 : 1,100,000
คำ�คถำ�าถมาม จงหาพ้ืนที่โดยประมาณของจังหวัดสมุทรปราการ โดยใช้มาตราส่วนใน
แผนท่ีและอธิบายวิธีการหาพ้ืนที่โดยประมาณด้วย นักเรียนสามารถลากเส้นในแผนที่ที่
ก�ำ หนดมาใหไ้ ด้ ถา้ จะมสี ว่ นช่วยในการหาคำ�ตอบ
แนวคดิ ใชก้ ารคาดคะเนดว้ ยสายตาเขียนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCD ใหค้ รอบคลมุ
เนื้อทีส่ ่วนใหญข่ องแผนท่ี โดยประมาณให้ส่วนท่ีเกนิ ออกนอกรูปส่ีเหลย่ี มกบั ส่วนทแี่ หวง่
เข้าในรปู สี่เหลยี่ มมีเนอ้ื ทีพ่ อ ๆ กัน ดงั รปู

ฝกึ คิด พชิ ิตคณิต PISA 159
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

173

D
C

A

A

B

มาตราสวน 2.5 : 1,100,000

วัดคววดั าคมวยามายวาขวอของดงด้าานนรรปูปู สสเ่ีีเ่ หหลลย่ี ย่ี มมมมมุ ฉมุ าฉกาAกBCADBCแไดลDะไดABCB้ ≈≈AB150.2≈เเซซนน1ตต0ิเเิ มมตตเรรซนตเิ มตร
นแผ่นั น คทือ่ีกําวหดั นระดยมะา บตนราแสผว นนท2ไี่ ด.5 2:.51,เ1ซ0น0ต,0เิ ม00ตร ระยะทแางลจะริงเBปCน 1,1≈005,0.020เเซซนนตติเิเมมตตรร
แนด ผงันั่ นนคดั้นทอืงั นกี่ ัน้AB�ำวBหCัดน ระแดแBAยททมCBะนานบแแตรรททนะระนนายแยรสระผะะะว่ทนทยยนาะะทาททงง2่ีไปาปาด.งง5รร้ปป2ะะรร:.มมะะ5ห1มมาาหห,รเณาา1ณรรซือณณ0ืออื น0ต5_,1115_50ิเ.000.ม.202222××1ต_0×.×x.x505ร1111212,1121,x22ร1.,.1.,55105ะ1..__055100ย00≈=1,0,ะ000,0ท,2400=00240า00.ง4900จ4รเกเกซิงซิโเเโินกลเซนซลปตเิโตนเนมลมเิ็นเิมตตตมตเตรมิเตรเิ1มรมตร,1ตตร0รร0,000 เซนติเมตร
จดะงั นไดั้น จAังBหCวDดั สมมพี ทุ น้ื รทปี่ปรารกะามรามหณีพร้ืน4ือ4ที่ป×ร5ะ2_ม.22า.29ณ.x5=1111,,0≈00077.2.662.ตต9าารรากางงิโกกลโิ ิโลเลมเเมมตตตรรร
จะได้  ABCD มพี ื้นท่ีประมาณ 44 x 22.9 = 1,007.6 ตารางกิโลเมตร
ดงั นน้ั จงั หวัดสมุทรปราการมีพื้นทีป่ ระมาณ 1,007.6 ตารางกโิ ลเมตร

160 ฝกึ คดิ พิชติ คณิต PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

หมายเหตุ ท่มี าของแผนที่ เป็นแผนที่ท่องเที่ยวจังหวดั สมทุ รปราการ ที่ใช้มาตราส่วน
1 : 300,000 เพ่อื นำ�มาเปน็ โจทย์ตวั อยา่ ง ไดย้ อ่ ใหแ้ ผนท่เี ล็กลงเล็กน้อยเพ่อื ใช้มาตราส่วน
2.5 : 1,100,000 และจังหวดั สมุทรปราการมพี ้ืนทจ่ี รงิ 1,004 ตารางกโิ ลเมตร
นอกจากในเร่ืองการกำ�หนดมาตราส่วนดังกล่าวข้างต้นแล้ว ในการจัดการเรียนการสอน
ในเรอ่ื งการวดั ครคู วรจดั กจิ กรรมใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ฝนการใชร้ ปู เรขาคณติ ประมาณพน้ื ทข่ี องรปู ทก่ี �ำ หนด
ใหอ้ ยา่ งหลากหลาย โดยใหน้ กั เรยี นน�ำ ผลของการประมาณพนื้ ทมี่ าอภปิ รายวา่ การประมาณพน้ื ที่
ของใครเหมาะสมพอทจี่ ะใชป้ ระมาณพนื้ ทไี่ ดด้ ี เพราะเหตใุ ดและเพอื่ ท�ำ ใหบ้ ทเรยี นนา่ สนใจยง่ิ ขนึ้
ครูอาจเชอ่ื มโยงการหาพ้นื ทโี่ ดยประมาณกับวชิ าอื่น ๆ เช่น ภมู ศิ าสตรแ์ ละชวี วิทยาด้วย

ฝกึ คดิ พิชิตคณิต PISA 161
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

สูงขึ้น

เยาวชนสงู ขนึ้
ในปี พ.ศ.2541 ความสูงเฉล่ียของเยาวชนชายและหญิงในประเทศเนเธอร์แลนด์แสดงได้
ดังกราฟตอ่ ไปนี้

ความสูงเฉลี่ยของเยาวชนชาย
ปี พ.ศ.2541
ความสูงเฉล่ียของเยาวชนหญิง
ปี พ.ศ.2541

ค�ำ ถามที่ 1 : สูงขน้ึ

ต้ังแตป่ ี พ.ศ. 2523 ถึงปี พ.ศ. 2541 ความสงู เฉลี่ยของเยาวชนหญงิ อายุ
20 ปี เพิม่ ข้นึ 2.3 เซนติเมตรเปน็ 170.6 เซนตเิ มตร อยากทราบว่าความสูงเฉล่ีย
ของเยาวชนหญิงอายุ 20 ปี เมอื่ ปี พ.ศ. 2523 เป็นเทา่ ไร
คำ�ตอบ: …………………………………………. เซนติเมตร คะแนนเตม็
ตอบ 168.3 เซนตเิ มตร (หน่วยให้มาแล้ว)
ไม่มีคะแนน
คำ�ตอบอ่นื ๆ

ลกั ษณะเฉพาะของขอ้ สอบ ประเทศ % ตอบถูก
เน้อื หา : การเปล่ยี นแปลงและความสมั พนั ธ์ ญี่ปุ่น 46.55
แขนงวชิ า : ฟงั กช์ ัน เกาหลี 81.94
สถานการณ์ : ในเชิงวทิ ยาศาสตร์ ฮ่องกง-จนี 72.98
สมรรถนะ : การท�ำ ใหม่ มาเก๊า-จีน 68.75
แบบของขอ้ สอบ : สร้างคำ�ตอบแบบปิด ไทย 26.06

162 ฝกึ คิด พิชิตคณติ PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

คำ�ถามที่ 2 : สูงข้ึน
จากกราฟ โดยเฉลี่ยเยาวชนหญงิ อายุเท่าไรจงึ จะมีความสูงมากกว่าเยาวชนชายในวยั เดียวกนั
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………

คะแนนเต็ม หรือ บอกว่าเด็กหญงิ สูงกว่าเดก็ ชาย เมือ่ อายุ 11 และ 12 ปี
(ถือวา่ เป็นค�ำ ตอบที่ถูกต้องตามภาษาสามัญ เพราะ
บอกช่วงอายจุ าก 11 – 13 ปี ไดถ้ ูกต้อง เชน่ หมายความถงึ ชว่ งอายุ จาก 11 – 13 ปี)
• ระหวา่ งอายุ 11 และ 13 ปี • เด็กหญิงสูงกว่าเดก็ ชาย เมอ่ื อายุ 11 และ 12 ปี
• จากอายุ 11 ถึง 13 ปี โดยเฉลีย่ เดก็ หญงิ สูงกวา่ เด็กชาย • อายุ 11 และ 12 ปี
• 11 – 13

ได้คะแนนบางส่วน ไมม่ ีคะแนน

คำ�ตอบท่ีเป็นเซท็ ย่อย (subset) ของ (11, 12, 13) ไม่อยใู่ น คำ�ตอบอน่ื ๆ เช่น
สว่ นทีไ่ ด้คำ�ตอบถกู เช่น • ปี พ.ศ. 2541
• เด็กหญงิ สูงกว่าเด็กชาย เมอ่ื อายุมากกวา่ 13 ปี
• 12 ถงึ 13 • เด็กหญิงสงู กว่าเดก็ ชาย จากอายุ 10 ถึง 11 ปี
• 12
• 13
• 11
• 11.2 ถงึ 12.8

ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู
เนอ้ื หา : การเปล่ียนแปลงและความสมั พนั ธ์ ญ่ปี นุ่ 62.71
แขนงวชิ า : ฟังก์ชนั เกาหลี 71.16
สถานการณ์ : ในเชงิ วิทยาศาสตร์ ฮ่องกง-จีน 75.46
สมรรถนะ : การท�ำ ใหม่ มาเก๊า-จีน 70.89
แบบของข้อสอบ : สรา้ งค�ำ ตอบแบบปดิ ไทย 42.20

คำ�ถาม 3 : อัตราแลกเปลย่ี น
จงอธบิ ายว่าลักษณะของกราฟเป็นอย่างไรท่ีแสดงว่า อตั ราการเพ่มิ ขน้ึ ของการเจรญิ เตบิ โตโดยเฉลีย่ ของ
เยาวชนหญงิ ลดลงหลงั จากอายุ 12 ปี
…………………………………………………………………………………………………………………………….................
………………………………………………………………………………………….......................................................

ฝกึ คิด พชิ ิตคณติ PISA 163
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คะแนนเต็ม

ค�ำ ตอบจะตอ้ งกลา่ วถึง “การเปลี่ยนแปลง” ของความชนั ของเสน้ กราฟความสูงเฉล่ยี ของเดก็ หญงิ ซึง่ อาจบอก
โดยตรง หรอื บอกเปน็ นัยว่ากราฟมีการเปลย่ี นแปลง ดงั นี้
อา้ งถึงความชันท่ลี ดลงของเส้นกราฟ จากอายุ 12 ปีเป็นต้นไป โดยใชภ้ าษาในชวี ิตประจำ�วนั ไม่ใช่ภาษา
คณิตศาสตร์ เชน่

• เสน้ กราฟไมพ่ ่งุ ขึน้ แตจ่ ะยดื ออกไปทางแนวนอน
• เส้นกราฟยืดออกไป
• เสน้ กราฟจะแบนราบ หลังอายุ 12 ปี
• เส้นกราฟของเดก็ หญิงเริม่ เป็นแนวราบ แต่เส้นกราฟของเด็กชายสงู ขน้ึ
• เสน้ กราฟเบนออกทางแนวนอน และเสน้ กราฟของเด็กชายสูงข้นึ เรอื่ ยๆ
หรือ อา้ งถึงความชันท่ีลดลงของเสน้ กราฟจากอายุ 12 ปขี ้นึ ไป โดยใชภ้ าษาทางคณิตศาสตร์
• จะเหน็ ได้วา่ ความชันลดลง
• อัตราของการเปลยี่ นแปลงของกราฟลดลงหลังจาก 12 ปีขน้ึ ไป
• [นกั เรียนหา มุมของเสน้ กราฟบนแกน X ก่อนและหลังอายุ 12 ปี]

โดยปกตถิ า้ มีคำ�วา่ “ความแตกต่าง” หรอื “อตั ราการเปลยี่ นแปลง” หรือ “ความชัน” ถอื วา่ ใชภ้ าษาคณติ ศาสตร์
หรือ เปรียบเทยี บการเจริญเตบิ โตทีเ่ กิดขน้ึ จรงิ กอ่ นอายุ 12 ปี และหลงั อายุ 12 ปี (อาจเปรียบเทียบโดยอ้อมก็ได้)

• จากอายุ 10 ถงึ 12 ปี มีการเจริญเติบโตประมาณ 15 ซม. แตจ่ ากอายุ 12 - 20 ปี มีการเจริญเติบโตประมาณ 17 ซม.
เท่านั้น

• อัตราการเจริญเตบิ โตเฉลยี่ จาก 10 ถงึ 12 มปี ระมาณ 7.5 ซม. ตอ่ ปี แต่จากอายุ 12 ถึง 20 ปี จะมีประมาณ 2 ซม.ตอ่
ปี เทา่ นั้น

ไม่มีคะแนน

นกั เรยี นบอกวา่ ความสูงของเด็กหญิงลดต่ำ�ลงกวา่ ความสูงของเดก็ ชาย แตไ่ มพ่ ดู ถงึ ความชนั ของกราฟเด็กหญิง หรือ ไม่
เปรียบเทยี บอตั ราการเจริญเติบโตของเด็กหญิงก่อนและหลงั อายุ 12 ปี เช่น

• เสน้ กราฟของหญิงลดต่�ำ ลงกวา่ เสน้ กราฟของชาย
ถ้านกั เรียนบอกวา่ กราฟของหญงิ มีความชันลดลก็ควรใหถ้ ูกได้ ตา่ งกบั บอกวา่ เสน้ กราฟของหญิงลดต�ำ่ กว่าเสน้ กราฟของ
ชาย เพราะค�ำ ถามนไี้ ม่ต้องดูการเปรยี บเทยี บของกราฟระหว่างชายและหญิง จงึ ไม่ต้องสนใจการอ้างอิงถงึ การเปรยี บเทียบ
นน้ั ใหต้ ดั สนิ จากค�ำ ตอบทเี่ หลอื
หรือ ค�ำ ตอบอ่ืนๆ ทไ่ี มถ่ กู เชน่ คำ�ตอบทไ่ี มอ่ ้างถงึ ลกั ษณะของกราฟ เพราะค�ำ ถามถามอย่างชดั เจนว่ากราฟแสดงอย่างไร
• เดก็ หญิงมีวุฒภิ าวะเรว็ กว่า
• เพราะวา่ เด็กหญิงเข้าสวู่ ยั ร่นุ กอ่ นเด็กชาย และมกี ารเจรญิ เตบิ โตเรว็ กว่า
• เดก็ หญิงไม่ค่อยเจริญเตบิ โตมากนกั หลังจากอายุ 12 ปี [บอกวา่ การเจรญิ เตบิ โตของเด็กหญงิ ช้าลงหลังจากอายุ 12 ปี

แตไ่ ม่ไดอ้ ้างถงึ กราฟ]

ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถูก
เนอ้ื หา : การเปลยี่ นแปลงและความสัมพนั ธ์ ญีป่ นุ่ 87.90
แขนงวชิ า : ฟังกช์ นั เกาหลี 86.90
สถานการณ์ : ในเชิงวิทยาศาสตร์ ฮ่องกง-จีน 82.00
สมรรถนะ : การเช่ือมโยง ไทย 68.30
แบบของขอ้ สอบ : สรา้ งค�ำ ตอบแบบอสิ ระ

164 ฝึก คิด พชิ ติ คณิต PISA
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวิเคราะหแ์ ละแนวคิดในการแก้โจทยป์ ญั หา

สถานการณ์โจทย์
สถานการณท์ โ่ี จทยก์ �ำ หนดเปน็ การน�ำ เสนอขอ้ มลู ในรปู กราฟเสน้ สองเสน้ โดยกราฟ
เส้นแรกแสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างอายุกับความสงู เฉลย่ี ของเยาวชนชายอายุ 10 ถงึ 20
ปี ในปี พ.ศ. 2541 กราฟเสน้ ที่สองแสดงความสมั พันธร์ ะหว่างอายุกบั ความสูงเฉลีย่ ของ
เยาวชนหญิงอายุ 10 ถึง 20 ปี ในปี พ.ศ. 2541 สำ�หรับคำ�ถามมี 3 ขอ้ ค�ำ ถามขอ้ แรกมี
ข้อมูลเพิ่มเติมให้ในคำ�ถามเพื่อใช้ในการหาคำ�ตอบโดยไม่ต้องใช้ข้อมูลที่สถานการณ์โจทย์
ก�ำ หนดให้ ส่วนค�ำ ถามท่ีสองและค�ำ ถามท่สี าม การหาคำ�ตอบตอ้ งอาศยั ประสบการณก์ าร
เชื่อมโยงความรู้ในการวิเคราะห์กราฟทกี่ �ำ หนดใหใ้ นสถานการณโ์ จทย์

ความรู้ทางคณิตศาสตร์ทีเ่ ก่ียวข้อง
ความรู้ที่นกั เรยี นจะต้องใชใ้ นการตอบคำ�ถาม คือ ความเข้าใจพน้ื ฐานทางสถิตใิ น
เรอ่ื งขอ้ มลู การน�ำ เสนอขอ้ มลู และกราฟ ในการแกโ้ จทยป์ ญั หานกั เรยี นตอ้ งมคี วามสามารถ
ในการอ่านแปลความหมาย และวิเคราะห์ข้อมูลจากการนำ�เสนอข้อมูลในรูปกราฟเส้น
เรานิยมใช้กราฟเส้นแสดงการเปลี่ยนแปลงของข้อมูลอย่างต่อเน่ือง ตามล�ำ ดับก่อนหลัง
ของเวลาที่ข้อมลู นัน้ ๆ เกดิ ขนึ้ กราฟเสน้ ท�ำ ใหส้ ังเกตเหน็ การเปล่ียนแปลงเกยี่ วกบั ขอ้ มลู
ได้รวดเร็ว ช่วยให้เห็นแนวโน้มและความสมั พนั ธ์ต่าง ๆ
นอกจากความรทู้ างคณติ ศาสตร์ นกั เรยี นจะตอ้ งมที กั ษะการใชภ้ าษาในการตคี วาม
และการแยกแยะประเด็นปัญหา โดยเฉพาะการให้ข้อมลู เพ่ิมเตมิ ในคำ�ถามท่ี 1 ซึ่งนักเรียน
จะตอ้ งหาค�ำ ตอบจากขอ้ มลู ทใ่ี หเ้ พม่ิ เตมิ โดยตรง สว่ นการตอบค�ำ ถามท่ี 2 และค�ำ ถามท่ี 3
ก็ต้องอาศัยทักษะการใช้ภาษาในการอธิบายเปรียบเทียบข้อมูลจากการอ่านกราฟและ
การวิเคราะห์ลักษณะของกราฟ ซ่ึงเป็นทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในด้าน
การสือ่ สารและการนำ�เสนอ
แนวคิดในการแก้โจทยป์ ัญหา
คค�ำ �ำ ถถาามมทที่ 1ี่ 1 ตง้ั แต่ปี พ.ศ. 2523 ถึงปี พ.ศ. 2541 ความสงู เฉลย่ี ของเยาวชนหญงิ อายุ 20
ปี เพิม่ ขน้ึ 2.3 เซนตเิ มตร เปน็ 170.6 เซนตเิ มตร อยากทราบว่าความสูงเฉลยี่ ของเยาวชน
หญงิ อายุ 20 ปี เมอื่ ปี พ.ศ. 2523 เปน็ เทา่ ไร

ฝกึ คดิ พิชติ คณติ PISA 165
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคิด ในค�ำ ถามกำ�หนดวา่ ตัง้ แต่ปี พ.ศ. 2523 ถงึ ปี พ.ศ.2541 ความสูงเฉล่ียของ
เยาวชนหญงิ อายุ 20 ปี เพ่มิ ข้นึ 2.3 เซนตเิ มตร เป็น 170.6 เซนติเมตร แสดงว่า
1) ในปี พ.ศ. 2541 ความสงู เฉลย่ี ของเยาวชนหญิงอายุ 20 ปี คือ 170.6
เซนติเมตร
2) ตัง้ แตป่ ี พ.ศ. 2523 ถึงปี พ.ศ. 2541 เยาวชนหญิงอายุ 20 ปี มีความสูง
เฉลย่ี เพ่มิ ขน้ึ 2.3 เซนติเมตร
โจทยต์ อ้ งการทราบวา่ ความสงู เฉลย่ี ของเยาวชนหญงิ อายุ 20 ปี เมอื่ ปี พ.ศ.
2523 เปน็ เท่าไร
จะเห็นว่าจากข้อมูลท่ีกำ�หนดในคำ�ถาม สามารถหาคำ�ตอบได้โดยไม่ต้อง
อาศยั การอา่ นจากกราฟ นนั่ คอื ความสงู เฉลยี่ ของเยาวชนหญงิ อายุ 20 ปี เมอื่ ปี พ.ศ. 2523
เท่ากับ 170.6 – 2.3 = 168.3 เซนตเิ มตร
ค�ำ ถามท่ี 2 จากกราฟ โดยเฉลย่ี เยาวชนหญิงอายุเทา่ ไรจงึ จะมีความสูงมากกวา่ เยาวชน
ชายในวัยเดยี วกนั
แนวคดิ เป็นคำ�ถามที่ต้องใช้ข้อมูลจากการอ่านและแปลความหมายของข้อมูลจาก
กราฟท่กี �ำ หนดใหใ้ นการตอบคำ�ถาม ดังนี้
1. กราฟเสน้ ทบึ แสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งอายกุ บั ความสงู เฉลยี่ ของเยาวชน
ชายในชว่ งอายุ 10 ถงึ 20 ปี ในปี พ.ศ. 2541
2. กราฟเส้นประแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอายุกับความสูงเฉล่ียของ
เยาวชนหญงิ ในชว่ งอายุ 10 ถึง 20 ปี ในปี พ.ศ. 2541
โจทย์ต้องการทราบว่า โดยเฉลี่ยเยาวชนหญิงอายุเท่าไร จึงจะมีความสูง
มากกว่าเยาวชนชายในวยั เดยี วกนั
จากกราฟเส้นท่กี �ำ หนดให้ เม่อื พิจารณาความสงู เฉล่ียของเยาวชนชายและ
เยาวชนหญิงในช่วงอายุ 10 ถึง 20 ปี จะเหน็ ไดว้ ่ากราฟความสูงเฉลีย่ ของเยาวชนหญิงอยู่
เหนอื กราฟความสูงเฉล่ยี ของเยาวชนชาย ในช่วงอายรุ ะหว่าง 11 ถงึ 13 ปี ดงั น้ันความสงู
เฉลย่ี ของเยาวชนหญงิ มากกว่าของเยาวชนชายในช่วงอายรุ ะหวา่ ง 11 ถึง 13 ปี

166 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถามทที่ ี่ 33 จงอธิบายวา่ ลกั ษณะของกราฟเป็นอย่างไรทีแ่ สดงว่า อตั ราการเพม่ิ ข้ึนของการ
เจริญเตบิ โตโดยเฉล่ียของเยาวชนหญิงลดลงหลงั จากอายุ 12 ปี
แนวคิด เป็นค�ำ ถามทต่ี อ้ งใช้ข้อมูลจากการอ่าน แปลความหมายและวิเคราะหข์ ้อมลู จาก
กราฟทแี่ สดงความสัมพันธร์ ะหวา่ งอายุกับความสูงเฉลีย่ ของเยาวชนหญิงในชว่ งอายุ 10 ถงึ 20
ปี ในปี พ.ศ. 2541
โจทยต์ อ้ งการใหอ้ ธบิ ายวา่ ลกั ษณะของกราฟเปน็ อยา่ งไรทแี่ สดงวา่ อตั ราการเพม่ิ ขน้ึ ของ
การเจริญเตบิ โตโดยเฉล่ียของเยาวชนหญงิ ลดลงหลงั จากอายุ 12 ปี ซง่ึ สามารถอธิบายได้ ดงั น้ี
แนวคิด 1 ลักษณะของกราฟท่ีแสดงว่าอัตราการเพ่ิมขึ้นของการเจริญเติบโตโดยเฉลี่ยของ
เยาวชนหญิงลดลงหลงั จากอายุ 12 ปี คอื กราฟที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างอายุกับความสูง
เฉล่ียของเยาวชนหญงิ หลังจากอายุ 12 ปี มีความลาดเอยี งเขา้ ใกล้แนวนอนมากกวา่ ชว่ งอายุ
กอ่ น 12 ปี
แนวคดิ 2 ลักษณะของกราฟที่แสดงว่าอัตราการเพิ่มขึ้นของการเจริญเติบโตโดยเฉล่ียของ
เยาวชนหญิงลดลงหลังจากอายุ 12 ปี คอื กราฟที่แสดงความสมั พนั ธ์ระหว่างอายุกบั ความสูง
เฉลี่ยของเยาวชนหญงิ หลังจากอายุ 12 ปี มีความชันค่อย ๆ ลดลงเมื่อเทียบกบั ความชันในช่วง
อายกุ ่อน 12 ปี
แนวคิด 3 ลักษณะของกราฟท่ีแสดงว่าอัตราการเพ่ิมขึ้นของการเจริญเติบโตโดยเฉล่ียของ
เยาวชนหญงิ ลดลงหลงั จากอายุ 12 ปี คอื การลดลงของอตั ราการเปลย่ี นแปลงของกราฟทแี่ สดง
ความสัมพนั ธ์ระหว่างอายุกบั ความสูงเฉลยี่ ของเยาวชนหญงิ หลังจากอายุ 12 ปี ซึง่ หาไดจ้ าก
การเปรียบเทยี บอตั ราการเพ่มิ ข้ึนของความสงู เฉล่ียของเยาวชนหญิงอายุระหว่าง 10 – 12 ปี
กับอตั ราการเพิ่มขนึ้ ของความสูงเฉลย่ี ของเยาวชนหญิงอายรุ ะหว่าง 12 – 20 ปี ดงั น้ี
จากกราฟ
เยาวชนหญงิ อายุ 10 ปี มคี วามสงู ประมาณ 141 เซนติเมตร
เยาวชนหญิงอายุ 12 ปี มคี วามสงู ประมาณ 156 เซนติเมตร
เยาวชนหญิงอายุ 20 ปี มคี วามสงู ประมาณ 173 เซนติเมตร
ดงั นนั้ เยาวชนหญงิ อายุ 10 – 12 ปี มคี วามสงู เฉลย่ี เพิ่มข้นึ ประมาณ
156 – 141 = 15 เซนตเิ มตร แสดงวา่ อตั ราการเพ่ิมขนึ้ ของความสงู เฉลยี่ ของเยาวชนหญงิ อายุ
ระหวา่ ง 10 ถงึ 12 ปี ประมาณ _125= 7.5 เซนติเมตรต่อปี และเยาวชนหญงิ อายุ 12 – 20 ปี
มีความสงู เฉลย่ี เพมิ่ ข้ึนประมาณ 173 – 156 = 17 เซนตเิ มตร แสดงว่าอตั ราการเพมิ่ ข้นึ ของ
ความสงู เฉล่ยี ของเยาวชนหญงิ อายรุ ะหว่าง 12 ถงึ 20 ปี ประมาณ _187 ≈ 2 เซนติเมตรต่อปี
น่ันคือ อัตราการเปลย่ี นแปลงของกราฟลดลงหลังจาก 12 ปีขึ้นไป

ฝกึ คิด พิชติ คณิต PISA 167
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ข้อสังเกต/ขอ้ เสนอแนะ

1. นกั เรียนไทยตอบคำ�ถามที่ 1 ได้ถูกตอ้ งเพยี ง 26.05 เปอร์เซน็ ตข์ องจำ�นวนนกั เรียน
ไทยทีเ่ ขา้ สอบ ทัง้ ท่ีข้อความในค�ำ ถามไดใ้ หข้ ้อมลู มาเพยี งพอทจี่ ะหาค�ำ ตอบไดโ้ ดยใช้ความรู้
เร่ืองการลบของจำ�นวนเท่านั้น ทั้งนี้อาจเป็นเพราะลักษณะของสถานการณ์ท่ีโจทย์กำ�หนด
กราฟเส้นมาให้ นักเรียนจึงมุ่งท่ีจะหาคำ�ตอบจากกราฟโดยไม่ได้พิจารณาข้อมูลท่ีให้มาใน
คำ�ถามให้ชัดเจน เมื่อไม่สามารถหาคำ�ตอบได้จากการอ่านกราฟ ประกอบกับการมีทักษะ
การอ่านทไ่ี มด่ ีพอ ทำ�ให้ไม่สามารถตีความและแยกแยะขอ้ มลู ทใ่ี หม้ าในคำ�ถามจึงหาคำ�ตอบ
ไมไ่ ด้ นอกจากนน้ี กั เรยี นอาจขาดประสบการณก์ ารแกโ้ จทยป์ ญั หาทกี่ �ำ หนดขอ้ มลู เพมิ่ เตมิ ไว้
ในค�ำ ถามโดยไมต่ อ้ งใช้ขอ้ มูลในสถานการณ์โจทย์ จงึ ไม่ไดพ้ จิ ารณาประเดน็ ปญั หาและข้อมลู
ในค�ำ ถามใหช้ ัดเจน
2. การหาค�ำ ตอบสำ�หรับค�ำ ถามท่ี 2 ใช้การสงั เกตชว่ งทีเ่ สน้ กราฟความสงู เฉล่ยี ของ
เยาวชนหญงิ อยเู่ หนอื เสน้ กราฟความสงู เฉล่ียของเยาวชนชาย ซ่งึ อยใู่ นชว่ งอายุ 11 – 13 ปี
แต่ค�ำ ตอบของนกั เรยี นบางคนไมค่ รอบคลมุ ชว่ งอายุดงั กล่าว ท�ำ ให้ไดค้ ะแนนเพียงบางสว่ น
เชน่ ตอบช่วงอายุ 11.2 ถึง 12.8 ปี, 12 ถึง 13 ปี หรอื ไม่ตอบเปน็ ช่วงอายุ เชน่ ตอบวา่
อายุ 11 ปี 12 ปี หรอื 13 ปี ครจู ึงควรเนน้ ยำ้�ให้นกั เรียนเขา้ ใจในเรอ่ื งความครบถว้ นของ
คำ�ตอบ ถึงแม้วา่ ลกั ษณะค�ำ ถามดเู หมือนจะมีค�ำ ตอบเดยี วก็ตาม
3. เนื่องจากแนวคิดในการตอบคำ�ถามที่ 3 ท่ีให้อธิบายลักษณะของกราฟเกี่ยวกับ
อัตราการเพ่ิมข้ึนของการเจริญเติบโตโดยเฉลี่ยของเยาวชนหญิงลดลงหลังจากอายุ 12 ปี
มีได้หลายแนวคิดเพ่ือให้เกิดการแลกเปลี่ยนเรียนรู้ในห้องเรียน ครูผู้สอนควรเปิดโอกาส
ให้นักเรียนได้เสนอแนวคิดในการหาคำ�ตอบ และช่วยกันพิจารณาว่าควรเลือกใช้แนวคิดใด
ในการตอบคำ�ถาม เพราะเหตุใด ซึ่งนักเรียนบางคนอาจเลือกใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิหรือ
ความชัน ด้วยวิธีสังเกตจากกราฟเส้นโดยตรง ซ่ึงอาจเห็นได้ง่ายในกรณีที่เส้นกราฟมีการ
เปลย่ี นแปลงใหเ้ หน็ อยา่ งชดั เจน ดงั ปรากฎในโจทยท์ ใ่ี หม้ า ถงึ แมว้ า่ นกั เรยี นจะไมค่ นุ้ เคยเกย่ี ว
กับความชนั ของเส้นกราฟ แตก่ เ็ ปรยี บเทยี บได้กับความหมายของความชนั ทใ่ี ชก้ นั โดยทว่ั ไป
ในชวี ติ จรงิ เชน่ ความชนั ของบนั ได หรอื ความชนั ของภเู ขา เปน็ ตน้ ส�ำ หรบั แนวคดิ 3 เป็นการเพิ่ม
มุมมองในการแก้ปัญหา โดยขยายความรู้ไปสู่เร่ืองอัตราการเปลี่ยนแปลงของกราฟท้ังน้ีการ
จัดการเรียนรู้ในลักษณะดังกล่าว จะช่วยเสริมสร้างทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
ให้กับนักเรียนได้หลายด้านคือ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสารและการนำ�เสนอ
การเชือ่ มโยง ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ และการมคี วามคิดริเริม่ สรา้ งสรรค์

168 ฝกึ คดิ พชิ ิตคณติ PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ท้ังนี้การจัดการเรียนรูในลักษณะดังกลาว จะชวยเสริมสรางทักษะและกระบวนการทาง
คณิตศาสตร ใหกับนักเรยี นไดห ลายดานคอื การแกปญหา การใหเ หตุผล การสอ่ื สารและ
การนาํ เสนอ
แโค ดลรยูผะขอกกใู้สแ้ึาานชนรปอโเ้ เสดแนเสลชคพยน้ลมคคื่อร่อใืะทบูมวผวชแใาารูโสัตเหปยสเสงมหอเิพ้นเงนลดมหานดค่ือักคบินทแมียควใเวัตาบทหราววาางิเียยบมากรนมดเงนใหดรันฝักหินนจูทยีมาึกเมทาสรแวาีปหกากาียถกงบรยาัดงคเนานับมะจใรเณนมนพสฝเาอื ดกีปติกกสบกงิ่มนิารเาถศหกเมรกะรทตาาัดาณอืเสนสิมาดรเงบตกไพง์ทเณินปกขรกากิ่ม่ีหท์ใรี่ยเอาเนมลาณรตวงแไงาอืกณคปกิมลทขกงานับเเะอใ่ีหหมรกนกทขกงลอี่ืยอลคกา้ังรา่างวารนาสากแนกยมรขฟทอหลแับอคี งงั้ใละลาวกดนแสแาสนาะรังอสลลยมมแาแตงดักะคฟศปลแวั สงษดดิักใอะสลไมนังณรดแดดยคศตเิลป้ดง่าเ์ิระวักัวดักไงว้ิ่มลตาอดดนิษยมคส่าเยดิ์เชทกณดรวงหาว่นาาราินงมยะงมๆงาทกตาสเจฟหชายรารามดมนงางรจกจาฟังาคาเๆใตายมดกหกอ่จังอืมก้นเาไตมงารปกักอใาือขกนหเไฟงรปร้ีนียใไาขนหปักนฟี้ เ้มเไไใรมปดาหียอืเก้อมมนงข่าาือไ้นนึกดกง

ระยะทาง (กม.)

เมอื ง ข 200 สมบัติ
160 สมศักด์ิ
120
80

40

เมอื ง ก 100.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 เวลา

คำ�ถาม
คาํ 52341ถ.....าถเใใสสเมมกมนน้ามมาือไอืกชบบรมงงว่าแตั4231ตั่เรงกทกว....แิแิเเะว่าดลลสใกเสเแลกรกมมนะินะมามละานัอือืกี่สกทรสบบะหงงมโิแาม1าัตัตใเลวรวศมงคกก3ศแิแิเา่เะขกัมือ.ดรกัลลง0รแอดใงินตทกดะะะ0ชลง์ิทร่กีสสสิ์าหข้อะสในิโมมงาววเชัตมลมง.ศศนาอ้อรเบขืองม–ักกัมทตัายอทตังดดกีตเราหู่1งริแา์ิ์ิสาราขงส4ว็ง่าลรเกวใมรม.งชแะน3นัว็อกบมาอวส0ทใเยนักตัีกะมนตัมาหูกนกิแากรอ่ืกงศราวลีก่.ากีค่เากังแวา่เะโิสนัรรกรดวลลสเัง้มเ็วันะดิ์เามจมใบมกกนิใมนือ่งศแดตตัค่ี่ีกทอเีใกกัตวรใิรคิโธาาดชล่ลล้ังแรงบิริ์้อเะาเแลเมาทใดมัตคแวะดยตา่ินีใตรระจรคกาั้งทลรดุรแนเใัะะารชทแลหงคหว็้เวีส่ะเวรรใวทะจวนลอั้งืา่ราุดนใากไงะกชมทนททาหันเ ่ี่สรวาาา(วหไเลวนงงาดมรนบกาเงรนิื่อทนนัททา้ วไทาา่งาาอมมนใางงยแเดบกงเว(ู่หลทไเันลามท่าะางาอรงใา่ถหยวดแจไ้ายรมหูลามดุเกาะวี งพถลจากั าาม)กี








ฝกึ คดิ พิชิตคณิต PISA 169
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คำ�ตอบ
1. 200 กิโลเมตร
2. 12.30 น. หา่ งจากเมอื ง ก 80 กิโลเมตร
3. สมศักด์ิ แวะระหวา่ งทาง 2 คร้งั ครัง้ แรกใช้เวลา 45 นาที ครง้ั ที่สองใช้
เวลา 30 นาที แต่สมบัติไม่แวะเลย
4. ไมเ่ ทา่ กนั สมศกั ดใ์ิ ชอ้ ตั ราเรว็ มากกวา่ เพราะสมศกั ดใ์ิ ชเ้ วลา (ไมร่ วมเวลาหยดุ พกั )
3 ช่ัวโมง 15 นาที ในการเดนิ ทาง 200 กโิ ลเมตร แต่สมบัตใิ ชเ้ วลา 4 ชว่ั โมง ใน
การเดินทาง 200 กโิ ลเมตร
5. ก(อโิ ลัตเรมาตเรรว็/ชัว่_รโะมเยวงะลทาาง = 2_010_21- 120 = 53_13 กโิ ลเมตร/ชัว่ โมง)


170 ฝกึ คดิ พิชิตคณิต PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

รอยเท้า

ในภาพเป็นรอยเท้าของชายคนหนงึ่

คnส�ำว=หามรจยับำ�าผนวชู้วขานอยคงรกคั้ง้าวขวาอม(งPสก)ัมาคพรอืกันร้าธะว์ nยในะแเทวลาละงาจหPานกเปง่ึ รนน็อายไทปขีตอาบมสสน้ ตู เรท้าหn_Pนงึ่ ไป=ถงึ 4ส0น้ 0เทโา้ ดถยดั ทไป่ี

P = ความยาวของกา้ ว (หนว่ ยเปน็ เมตร)

ค�ำ ถามท่ี 1 : รอยเทา้
ถา้ ใชส้ ตู รนก้ี บั การเดนิ ของสมรกั ษ์ ผซู้ ง่ึ กา้ วเทา้ ได้ 70 ครง้ั ในเวลาหนง่ึ นาที ความยาวของกา้ ว (P) ของ
สมรกั ษ์เปน็ เท่าไร จงแสดงวธิ ีทำ�

คะแนนเตม็ _12 ได้คะแนนบางสว่ น

ตอบว่า 0.5 m หรือ 50 cm, (ไม่จำ�เป็นต้องใส่หนว่ ย) แทนค่าตัวเลขในสตู รถกู ต้อง แตค่ ำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ งหรือไมม่ ีค�ำ
เชน่ ตอบ
• 70/P = 140 77__PP00
70 = 140P • = 140 [แทนตัวเลขในสูตรเพียงอย่างเดียว]
P = 0.5 • = 140
• 70/140
70 = 140P

ไมม่ คี ะแนน P = 2 [แทนคา่ ได้ถกู ต้อง แตค่ �ำ นวณออกมาไมถ่ ูกตอ้ ง]

ค�ำ ตอบอนื่ ๆ หรอื
• 70 cm ใชส้ ตู ร P = n/140 ได้ถกู ตอ้ ง แต่แสดงวธิ ีท�ำ ไม่ถกู ต้อง

ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู
เนือ้ หา : การเปลยี่ นแปลงและความสมั พนั ธ์ ญี่ปุ่น 40.85
แขนงวชิ า : ฟงั ก์ชนั เกาหลี 43.80
สถานการณ์ : ส่วนตัว/ส่วนบุคคล ฮอ่ งกง-จนี 62.21
สมรรถนะ : - มาเก๊า-จีน 60.17
แบบของขอ้ สอบ : สร้างค�ำ ตอบแบบอสิ ระ ไทย 17.30

ฝึก คดิ พิชิตคณิต PISA 171
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

คำ�ถามท่ี 2 : สงู ข้ึน
ภาคภูมิทราบว่าความยาวของก้าวของเขาเป็น 0.80 เมตร และสามารถใช้สูตรข้างต้นกับการ
ก้าวเท้าของภาคภูมิจงแสดงวิธีคำ�นวณหาอัตราเร็วของการเดินของภาคภูมิเป็นเมตรต่อนาที
และเป็นกโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง

ประเทศ % ตอบถูก
ญ่ปี ุ่น 33.93
คะแนนเต็ม เกาหลี 20.59
ฮ่องกง-จนี 45.35
คำ�ตอบถูกตอ้ ง (ไม่จำ�เป็นต้องใส่หนว่ ย) ทัง้ เมตรต่อนาที และ กิโลเมตร มาเกา๊ -จีน 42.04
ต่อช่ัวโมง :

n = 140 x 0.80 = 112
ในหนึ่งนาที เขาเดนิ ได้ 112 x 0.80 เมตร = 89.6 เมตร ไทย 9.08
อตั ราเรว็ ของการกา้ วเท้าของเขาเทา่ กับ 89.6 เมตรต่อนาที
ดังนนั้ อตั ราเรว็ ของการกา้ วเทา้ ของภาคภูมิเท่ากบั 5.38 หรือ 5.4 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง
ค�ำ ตอบตอ้ งถูกทงั้ สองคำ�ตอบ (89.6 และ 5.4) หรือ จะแสดงวธิ ที ำ�หรือไม่ก็ได้
ขอ้ สงั เกต: ยอมรบั คำ�ตอบทคี่ ลาดเคล่ือนจากการปัดเศษ เชน่ 90 เมตรต่อนาที และ 5.3 กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง (89 X 60) เชน่
• 89.6, 5.4
• 90, 5.376 กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง
• 89.8, 5376 เมตรตอ่ ชัว่ โมง [ข้อสังเกต ถา้ คำ�ตอบทสี่ องไมไ่ ด้ใส่หนว่ ย ควรให้คะแนนบางส่วน]

ไดค้ ะแนนบางส่วน
เหมอื นค�ำ ตอบถกู แต่ไมไ่ ด้คณู 0.80 เพื่อแปลงหน่วยจากจ�ำ นวนคร้ังของการกา้ วเทา้ ในหนง่ึ นาทเี ปน็ ระยะทางทกี่ ้าวได้
เปน็ เมตรในหนง่ึ นาที เช่น
• อัตราเรว็ ของการก้าวเทา้ เทา่ กบั 112 เมตรต่อนาที และ 6.72 กิโลเมตรต่อชัว่ โมง
• 112, 6.72 กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง
หรือ อัตราเร็วของการกา้ วเทา้ ในหนว่ ยเมตรต่อนาทีถกู ตอ้ ง (89.6 เมตรต่อนาท)ี แต่แปลงเป็นหน่วยกิโลเมตรต่อ
ชั่วโมง ไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไมใ่ ส่ เช่น
• 89.6 เมตรตอ่ นาที, 8960 กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง
• 89.6, 5376
• 89.6, 53.76
• 89.6, 0.087 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
• 89.6, 1.49 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง
หรือ ขั้นตอนถกู ต้อง (แสดงวธิ ที ำ�ชัดเจน) แต่การค�ำ นวณคลาดเคลื่อน เชน่
• n =140 x 0.8 = 1120; 1120 x 0.8 = 896 เขากา้ ว 896 เมตรตอ่ นาที, 53.76 กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง
• n =140 x 0.8 = 116; 116 x 0.8 = 92.8 92.8 เมตรต่อนาที -> 5.57 กิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมง
หรอื ตอบ 5.4 กโิ ลเมตรต่อช่วั โมงเพียงคำ�ตอบเดยี ว ไม่ไดต้ อบ 89.6 เมตรตอ่ นาที (ไมแ่ สดงวธิ ีทำ�) เช่น
• 5.4
• 5.376 กิโลเมตรต่อชัว่ โมง
• 5376 เมตรต่อชัว่ โมง ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ
เน้ือหา : การเปล่ียนแปลงและความสมั พันธ์
ไมม่ ีคะแนน แขนงวชิ า : ฟงั ก์ชนั
คำ�ตอบอน่ื ๆ สถานการณ์ : ส่วนตวั /ส่วนบคุ คล

สมรรถนะ : -
แบบของขอ้ สอบ : สรา้ งคำ�ตอบแบบอิสระ

172 ฝึก คดิ พิชิตคณิต PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะหแ์ ละแนวคดิ ในการแกโ้ จทยป์ ญั หา

สถานการณโ์ จทย์
ในสถานการณโ์ จทยข์ อ้ น้ี แสดงถงึ ความสมั พนั ธข์ องจ�ำ นวนครง้ั ของการกา้ วเทา้ ใน
เวลา หนง่ึ นาทกี บั ความยาวของการกา้ วเทา้ หนง่ึ กา้ ว (หนว่ ยเปน็ เมตร) ซง่ึ เปน็ สถานการณ์
ใกลต้ วั นกั เรยี นทค่ี วรเขา้ ใจถงึ ความสมั พนั ธน์ ว้ี า่ ระยะทางทเ่ี ดนิ ในชว่ งเวลาหนง่ึ จะไดร้ ะยะ
ทางมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับจำ�นวนครั้งของการก้าวเท้าและความยาวของการก้าวเท้า
แตล่ ะกา้ ว ความยาวของการกา้ วเทา้ ของแตล่ ะคนไมเ่ ทา่ กนั จ�ำ นวนครง้ั ของการกา้ วเทา้
ในเวลาหนึ่งนาทีของแต่ละคนก็จะไม่เท่ากัน ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับอัตราเร็วของการก้าวเท้า
ความสัมพันธ์ระหว่างจำ�นวนครั้งของการก้าวในเวลาหน่ึงนาที และความยาวของก้าว
(หน่วยเป็นเมตร) ผู้รู้สามารถนำ�มาประมวลโดยใช้ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เป็นสูตรได้
ยโดายวเขมอ่ืองกก�ำ้าหวน(หดในหว่ ้ ยnเปแน็ ทเมนตจรำ�)นวสน�ำ คหรรง้ั บั ขผอูช้งากยาไรดกส้า้ ูตวเรทา้ _ใnPนเ=วล1า4ห0นึง่ นาที และ p แทนความ

ความร้ทู างคณติ ศาสตร์ทเี่ กยี่ วขอ้ ง
ความร้ทู นี่ กั เรยี นจะตอ้ งใช้ในการตอบคำ�ถาม คอื
ใ แชล้ก้วาหรนแสงึ่ทคมนา่กคาถ่ารึงตเแชวั มแงิ ใ้เปนสรสน้ หมตนกวั ่ึงาแตรปวัหรรเทอืด�ำสยี ใตูวหร้เใก_นnPดิ คส=�ำ มถ1กา4าม0รทเชงั้จิงสะเอสมง้นีตขตัวอ้ แวั โปแจปรทสรยอเดก์ ง�ำียตหวัวนแแดลตคะ่นา่ ใขกั ชอเ้สรงมยีตนบวั กแัตปส็ขิ าอรมมงกาารใาหถร้
เทา่ กนั หาคา่ ของตวั แปรทเ่ี หลืออกี หนงึ่ ตวั ได้
นอกจากนย้ี ังใชค้ วามสมั พนั ธข์ องอัตราเรว็ ของการก้าวเทา้ เดนิ ทไี่ มไ่ ด้กำ�หนดมาใน
โจทย์ ดงั นี้
อัตราเร็วของการก้าวเท้าเดินคิดเป็นเมตรต่อนาที หมายถึง ระยะทางที่เดินได้
ในเวลาหนึ่งนาที (หน่วยเป็นเมตร) ซ่ึงเท่ากับ จำ�นวนคร้ังของการก้าวในเวลาหนึ่งนาที
คูณกับความยาวของก้าวหนึ่งก้าว (หนว่ ยเป็นเมตร)

ฝกึ คิด พชิ ิตคณิต PISA 173
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ ในการแกโ้ จทยป์ ัญหา
ค�ำ ถามท่ี 1 ถ้าใชส้ ูตรท่ีให้มากบั การเดินของสมรักษ์ ผ้ซู ่งึ ก้าวเทา้ ได้ 70 ครง้ั ในเวลาหน่งึ
แน นาทว ีคคดิ ว าม ย าวจจกขาะ�ำ อกหไดงสนก้ตูดา้ รใวห(้ p7_7 _nPPp0)0 nข =====อ ง11171_7ส444040ม0000ครpกัร้ังษ/เ์นปา็นทเีทแา่ ลไะร p แทนความยาวของกา้ วของสมรักษ์
น่ัน คอื ความยาวของก=า้ วข_12องหสรมอื รกั0.ษ5เ์ ปเม็นต0ร.5 เมตร

คำ�ถามท่ี 2 ภาคภมู ทิ ราบวา่ ความยาวของกา้ วของเขาเปน็ 0.80 เมตร และสามารถใชส้ ตู ร
ข้างต้นกับการก้าวเท้าของภาคภูมิ จงแสดงวิธีคำ�นวณหาอัตราเร็วของการเดินทางของ
ภาคภมู ิเป็นเมตรตอ่ นาที และเปน็ กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมง
แนวคิด ค�ำ ถามขอ้ นน้ี กั เรยี นจะตอ้ งเขา้ ใจถงึ ความสมั พนั ธว์ า่ ระยะทางทภ่ี าคภมู เิ ดนิ ได้
ในเวลาหนึง่ นาที จะเทา่ กบั ผลคูณของจำ�นวนคร้ังของการกา้ วในเวลาหน่ึงนาทกี บั ความยาว
ข องกา้ วกจขาำ�อกหงสนภูตดารใคหภ้ มู หิ น ่งึ ก_า้nPpว ซ่ึงสามารถแสดงวิธีท�ำ ไดด้ งั น้ี
= 140
= 0.80 เมตร และ n แทนจำ�นวนครงั้ ของ
จะได ้ 0_ .n8n0 == การกา้ วในเวลาหนึง่ นาที ของภาคภูมิ
140 0.80
140 x
= 112 ก้าว
ดังนนั้ ในเวลา 1 นาที ภาคภูมเิ ดนิ ได้ 112 กา้ ว
แสดงวา่ ในเวลา 1 นาที ภาคภูมเิ ดินทางได้ 112 x 0.80 = 89.6 เมตร
หรือเดินทางดว้ ยอัตราเร็ว 89.6 เมตรตอ่ นาที
จะได้ อัตราเร็วคดิ เป็น 89.6 x 60 = 5,376 เมตรตอ่ ชัว่ โมง
หรอื คดิ เปน็ 5.376 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง
น่นั คอื อัตราเร็วของการเดนิ ทางของภาคภมู ิ เทา่ กับ 89.6 เมตร/นาที หรือ 5.376
กิโลเมตร/ช่ัวโมง

174 ฝึก คิด พิชติ คณติ PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ขอ้ สงั เกต/ขอ้ เสนอแนะ
จากผลการสอบจะเหน็ วา่ มนี กั เรยี นไทยเพยี ง 17.30 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องนกั เรยี นไทยท่ี
เหไขมมา้ ่กาสลยอ้าขบแอเสทงดสา่ ูตงนวรน้ั ิธททีที่ใต่ีหำ�อ้ บ_nแPคต�ำ=่ถถ้าา1นม4ักท0เี่ร1ียวไน่าดมไถ้ มีคกู ่ควตาิดอ้ มมงหาสมกนัายนแอษิทยฐนา่ าคงนไ่ารไตดัวว้ 1แา่ 4ปน0รกั ตคเราอื ยีมอนขะไ้อไมรมส่ ูลาเทมกาี่โิดจรคถทวแยาป์กมลำ�สคหับวนสาดนม
ก็จะได้คำ�ตอบ หรืออาจหาค่าของตัวแปรไม่เป็นก็ได้
จากผลการสอบจะเหน็ วา่ มนี กั เรยี นไทยเพยี ง 9.08 เปอรเ์ ซน็ ตจ์ �ำ นวนของนกั เรยี น
ไทยทเ่ี ขา้ สอบเทา่ นนั้ ทต่ี อบค�ำ ถามท่ี 2 ไดถ้ กู ตอ้ ง จากการวเิ คราะหค์ �ำ ถาม คาดวา่ นกั เรยี น
ไม่เขา้ ใจค�ำ ถามทใ่ี ห้คำ�นวณหาอตั ราเรว็ ของการเดินทางของภาคภมู ิ ซึ่งไม่ตรงกบั ข้อความ
ในสถานการณโ์ จทยท์ ก่ี �ำ หนดให้ n แทนจ�ำ นวนครง้ั ของการกา้ วในเวลาหนง่ึ นาที และอาจ
ไม่ทราบถึงวิธีการหาอัตราเร็วของการเดินทางของภาคภูมิว่าจะหาได้อย่างไร จึงทำ�ให้
นักเรียนไมต่ อบหรอื ตอบผดิ
ในกรณที คี่ รนู �ำ สถานการณโ์ จทยป์ ญั หาในท�ำ นองนไี้ ปใชใ้ นการเรยี นการสอนครคู วร
ท�ำ ความเขา้ ใจกบั นกั เรยี นเกย่ี วกบั การใชค้ �ำ วา่ “เทา่ กบั ” แสดงผลการค�ำ นวณหรอื ผลลพั ธ์
ว่า โดยปกติแลว้ ทางคณิตศาสตรเ์ ม่ือใช้คำ�วา่ “เท่ากับ” ถือว่าเป็นคา่ จรงิ แต่ในทางปฏบิ ตั ิ
และในวิชาอื่น เช่น วิทยาศาสตร์ และสงั คมศาสตรม์ ักมีการอนุโลมใหเ้ ปน็ คา่ ประมาณได้
ซง่ึ ครคู วรฝกึ ใหน้ กั เรยี นไดต้ ระหนกั ในเรอ่ื งนแ้ี ละใชไ้ ดอ้ ยา่ งเหมาะสม นอกจากนคี้ รคู วรให้
นกั เรยี นรจู้ กั สงั เกตการเดนิ ของตวั เอง วา่ มคี วามสมั พนั ธข์ องตวั แปรอยา่ งทโี่ จทยก์ �ำ หนดมา
ใหห้ รอื ใกล้เคียงกันหรือไม่ หรือฝึกให้นักเรียนสงั เกตความสัมพันธข์ องส่งิ ทีอ่ ยู่รอบตวั หรอื
ในสถานการณท์ ก่ี �ำ หนดมาให้ และลองหาสตู รงา่ ย ๆ เกย่ี วกบั ความสมั พนั ธน์ น้ั แลว้ ใชส้ ตู ร
นน้ั ไปหาคา่ ของตวั แปรทเี่ กย่ี วขอ้ งเชน่ เดยี วกบั โจทย์ หรอื อาจเรม่ิ จากก�ำ หนดความสมั พนั ธ์
ใหใ้ นท�ำ นองเดยี วกบั ในหนงั สอื เรยี น เรอ่ื งสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี วตอนตน้ บทเรยี น เชน่
พิจารณาแบบรูปที่น�ำ ไปสูก่ ารค้นพบสตู รหรือสมการก็ได้ นอกจากนแ้ี ล้วครูจะสังเกตเหน็
วา่ นกั เรยี นหลายคนมกั มขี อ้ บกพรอ่ งในการแทนคา่ ตวั แปรและหาคา่ ตวั แปรไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง
ซึ่งเร่ืองน้ีมีความสำ�คัญอย่างยิ่งเพราะนักเรียนจะต้องนำ�ไปใช้ในวิชาคณิตศาสตร์
วิทยาศาสตร์ หรือวิชาอ่ืน ๆ ท่ีเก่ียวข้องมากข้ึนเรื่อย ๆ ครูจึงต้องให้ความสำ�คัญในการ
ฝึกฝนนกั เรียนใหม้ ากขึน้ ด้วย

ฝกึ คิด พิชติ คณิต PISA 175
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ครูอาจให้นักเรียนตรวจสอบระยะก้าวเดิน 1 ก้าวของนักเรียนเพ่ือใช้เป็นเครื่องมือในการ
ประมาณความยาวหรือระยะทาง อาจใหน้ กั เรียนน�ำ ความยาวของกา้ วเท้า 1 ก้าว ไปใช้
ประโยชน์ ดังตวั อย่างโจทย์ต่อไปนี้

1. ปกติวิทยาเดินไปโรงเรียน โดยใช้เวลาประมาณ 25 นาที ถ้าความยาวของก้าวเดิน
1 กา้ ว เท่ากบั 40 เซนตเิ มตร วิทยาจับเวลาดูพบว่า ในเวลา 1 นาที เขาเดินได้ 120 กา้ ว

คค�ำ ำ�ถถาามมทท่ี ี่11 อัตราเรว็ ในการเดินของวิทยาต่อช่วั โมงเป็นเทา่ ไร
แนวคดิ ในเวลา 1 นาที วิทยาเดนิ ได้ระยะทาง 120 x 0.4 เมตร
60 นาที วทิ ยาเดินได้ระยะทาง 120 x 0.4 x 60
= 2,880 เมตร
ดังนัน้ อตั ราเร็วในการเดนิ ของวิทยาเท่ากบั 2.88 กิโลเมตรต่อช่วั โมง

คค�ำ �ำ ถถาามมทท่ี ี่22 บ้านของวทิ ยาอยหู่ า่ งจากโรงเรียนประมาณก่กี โิ ลเมตร
แ นว คิด ในเว ล2า56น0 านทาี ทวิที วยทิ ายเดาเนิ ดไินดไร้ ดะร้ยะะยทะาทง=า_ง2,218,,8826080000x เเ2มม5ตตรร
ดังนน้ั บ้านของวิทยาอยหู่ ่างจากโรงเรียนประมาณ 1.2 กิโลเมตร

2. พลและก้องเป็นนักกรีฑาของโรงเรียนแห่งหน่ึง ในการทดสอบการวิ่งของแต่ละคน
เพื่อเก็บข้อมูลเป็นสถิติของตนเอง พบว่า พลทดสอบการว่ิงในระยะทาง 7.2 กิโลเมตร
ใช้เวลา 1.5 ชว่ั โมง ก้องทดสอบการวิ่งในระยะทาง 4.5 กิโลเมตร ใชเ้ วลา 1 ช่วั โมง

คคำ��ำ ถถาามมทที่ ่ี11 ถ้าให้ x แทนระยะทาง (เมตร) และ y แทน เวลา (นาท)ี จงเขียนสมการ
แสดงอตั ราเร็วโดยเฉล่ยี ของแต่ละคน
แนวคดิ อดอดตััตงังั นนรราา้้ันันเเรร็ว็วสสใใมมนนกกกกาาาารรรรคคววือือิง่ง่ิ ขข__yxออyxงง=พก=อ้ลง8เ70ท5เา่ทกา่ บักับ_7_,492,06050000 ==8075




176 ฝกึ คดิ พิชติ คณิต PISA
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คำ�ถามท่ี 2 ถา้ ในการวิง่ แข่งขันระยะทางท่ีเท่ากันครง้ั หน่งึ ใครนา่ จะถึงเสน้ ชยั ก่อน
เพราะเหตุใด
แนวคิด เอปัตรรยี าบเรเ็วทใยี นบกอาัตรวริง่าขเรอว็ งขพอลงพคลอืและ_yxก้อ=งด8ัง0น้ี


หมายความว่า พลวงิ่ ดว้ ยอัตราเรว็ โดยเฉลี่ย 80 เมตรตอ่ นาที
อตั ราเรว็ ในการว่งิ ของกอ้ ง คือ _yx = 75
หมายความว่า ก้องวง่ิ ด้วยอัตราเรว็ โดยเฉลย่ี 75 เมตรตอ่ นาที

ดังนน้ั พลนา่ จะถึงเส้นชยั ก่อนกอ้ ง เพราะวา่ ในเวลาเทา่ กนั พลวิ่งได้
ระยะทางมากกว่าก้อง

ค�ำ ถามท่ี 3 ถา้ ในการวิ่งแขง่ ขันระยะทาง 3 กโิ ลเมตร ใครจะถงึ เสน้ ชัยก่อน และ
จะถึงกอ่ นก่นี าที
__33,,8700050000
แนวคิด เวลาในการวิ่งของพล คือ = 37.5 นาที
เวลาในการวง่ิ ของกอ้ ง คอื = 40 นาที

ดงั นั้น พลนา่ จะวิ่งถึงเส้นชัยกอ่ นก้องเทา่ กบั 40 – 37.5 = 2.5 นาที

ค�ำ ถามท่ี 4 ในการวงิ่ ครงั้ หนง่ึ ถา้ ตอ้ งการให้ท้งั สองคนถึงเสน้ ชัยพรอ้ มกนั ใครจะต้อง
ต่อระยะทางใหก้ บั ใคร และต่อระยะทางใหก้ ่เี มตร
แนวคิด จากค�ำ ถามที่ 3 ในระยะทางทเี่ ท่ากนั พลวง่ิ ถงึ เส้นชัยก่อนกอ้ ง 2.5 นาที
ดังน้ัน พลควรต่อระยะทางใหก้ ้องในระยะทางท่ใี ช้เวลาวงิ่ 2.5 นาที
เน่ืองจาก ก้องว่ิงดว้ ยอัตราเร็ว 75 เมตรตอ่ นาที
ดงั นนั้ ในเวลา 2.5 นาที ก้องว่ิงได้ระยะทางเทา่ กบั
2.5 x 75 = 187.5 เมตร
นน่ั คอื ถ้าจะให้ทั้งสองคนวงิ่ เขา้ เส้นชัยพร้อมกนั พลตอ้ งตอ่ ระยะทางให้
ก้อง 187.5 เมตร

ฝึก คิด พิชติ คณิต PISA 177
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ความเร็วของรถแข่ง

กราฟต่อไปนแ้ี สดงใหเ้ ห็นการเปล่ยี นแปลงความเร็วของรถแข่งคันหน่งึ ทว่ี ิง่ ในสนามแขง่ ทางราบ
ระยะทาง 3 กโิ ลเมตร

ค ำ�ถามท่ี 1: รถแข่ง
ระยะทางโดยประมาณจากจุดปล่อยรถจนถึงจุดเรม่ิ ตน้ ของสว่ นท่ีเปน็ ทางตรงยาวทีส่ ดุ ของ
สนามแขง่ เป็นระยะทางเท่าไร
1. 0.5 กโิ ลเมตร คะแนนเต็ม
2. 1.5 กิโลเมตร ตอบ ข้อ 2. 1.5 กโิ ลเมตร
3. 2.3 กโิ ลเมตร ไมม่ คี คะ�ำแตนอนบอน่ื ๆ
4. 2.6 กิโลเมตร

ลกั ษณะเฉพาะของขอ้ สอบ ประเทศ % ตอบถูก
เนอื้ หา : การเปลย่ี นแปลงและความสัมพันธ์ ญปี่ นุ่ 82.20
แขนงวชิ า : ฟงั ก์ชนั เกาหลี 75.50
สถานการณ์ : สว่ นตัว/สว่ นบุคคล ฮ่องกง-จีน N/A
สมรรถนะ : - ไทย 34.60
แบบของข้อสอบ : เลือกตอบ

ค �ำ ถามท่ีอ2ตั :รราถเรแ็วขทง่ ่ีตำ�่ สดุ ในระยะท่สี องของรถแข่งคันนเ้ี กิดขึ้น ณ จดุ ไหน
1. ท่ีจดุ เริ่มต้น
2. ท่ปี ระมาณกโิ ลเมตรท่ี 0.8 ไคมะ่มคแตำ�ีคนอตะนบอแเบตนขอ็มน้อนื่ ๆ3. ที่ประมาณกโิ ลเมตร ท่ี 1.3
3. ท่ปี ระมาณกโิ ลเมตรที่ 1.3
4. คร่งึ รอบสนาม

ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถูก
เนอ้ื หา : การเปลยี่ นแปลงและความสมั พันธ์ ญี่ปุ่น 90.20
แขนงวชิ า : ฟังกช์ นั เกาหลี 90.90
สถานการณ์ : สว่ นตวั /ส่วนบคุ คล ฮอ่ งกง-จีน 89.50
สมรรถนะ : - ไทย 72.10
แบบของขอ้ สอบ : เลอื กตอบ

178 ฝึก คิด พิชิตคณิต PISA
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถามที่ 3: รถแขง่
อัตราเรว็ ของรถแขง่ ระหวา่ งกิโลเมตรที่ 2.6 และกโิ ลเมตรที่ 2.8 เป็นอย่างไร
1. อัตราเรว็ คงที่
2. อตั ราเร็วเพิม่ ขึน้ คะแนนเต็ม
3. อัตราเรว็ ลดลง ตอบ ข้อ 2. อตั ราเรว็ เพ่มิ ขนึ้
4. ไม่สามารถบอกอัตราเร็วไดจ้ ากกราฟ
ไม่มีคะแนน
คำ�ตอบอ่นื ๆ

ลักษณะเฉพาะของขอ้ สอบ ประเทศ % ตอบถูก
เน้ือหา : การเปลยี่ นแปลงและความสัมพนั ธ์ ญป่ี ุ่น 87.90
แขนงวชิ า : ฟังก์ชัน เกาหลี 86.90
สถานการณ์ : สว่ นตัว/ส่วนบคุ คล ฮ่องกง-จนี 82.00
สมรรถนะ : - ไทย 68.30
แบบของขอ้ สอบ : เลอื กตอบ

ค�ำ ถามท่ี 4: รถแขง่
ภาพต่อไปน้ี คอื ทางวิ่งของสนามแขง่ รถหา้ แบบด้วยกนั
สนามแขง่ รถที่ท�ำ ให้รถมอี ัตราเร็วสอดคล้องกบั กราฟข้างต้น สนามแขง่ ควรจะมลี ักษณะอยา่ งไร

S SB
A
คะแนนเต็ม
SC S ตอบ รปู B
D
S ไม่มีคะแนน
ค�ำ ตอบอื่นๆ
S: จุดปลอ่ ยรถ
E

ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู
เนือ้ หา : การเปลยี่ นแปลงและความสัมพนั ธ์ ญี่ปนุ่ 53.90
แขนงวชิ า : ฟงั ก์ชนั เกาหลี 32.80
สถานการณ์ : ส่วนตวั /สว่ นบุคคล ฮ่องกง-จีน 36.40
สมรรถนะ : - ไทย 17.54
แบบของข้อสอบ : เลอื กตอบ

ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA 179
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวิเคราะห์และแนวคิดในการแกโ้ จทย์ปญั หา

สถานการณ์โจทย์
กราฟที่กำ�หนดให้ในสถานการณ์น้ีแสดงถึงความสัมพันธ์ของอัตราเร็วของรถแข่ง
(กิโลเมตร/ช่ัวโมง) กับระยะทางที่รถแข่งว่ิงได้ (กิโลเมตร) ความสัมพันธ์นี้เกี่ยวข้องกับ
สถานการณใ์ นชวี ิตจริง นกั เรยี นควรมีสามญั สำ�นกึ เกยี่ วกับความสมั พนั ธ์ดงั กลา่ วน้ี โดย
รวู้ า่ ถ้าในเวลาคงที่ (1 หนว่ ยเวลา) รถคนั ใดแล่นด้วยอตั ราเร็วท่ีมากกวา่ ก็จะไดร้ ะยะทาง
ทมี่ ากกวา่ ถา้ รถวง่ิ ทางตรงจะใชอ้ ตั ราเรว็ สงู และเพม่ิ อตั ราเรว็ ขนึ้ ไดอ้ ยา่ งตอ่ เนอื่ งได้ แตถ่ า้
วงิ่ ทางโคง้ รถจะตอ้ งลดอตั ราเรว็ ลง ยง่ิ เปน็ ทางโคง้ มากอยา่ งทเ่ี รยี กวา่ โคง้ หกั ศอก รถกต็ อ้ ง
ลดอัตราเร็วลงอย่างมาก เพ่ือใหเ้ กิดความปลอดภยั นอกจากนแี้ ลว้ นกั เรียนควรรู้จักถึง
สภาพของทางวงิ่ ในสนามแขง่ รถทวั่ ไปทม่ี ลี กั ษณะเปน็ เสน้ โคง้ ปดิ เชงิ เดยี ว (simple closed
curve) ซึ่งกล่าวถึงไว้ในเน้ือหาตอนหน่ึงของหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์
เลม่ 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 1 ของ สสวท. และรจู้ กั การใช้อตั ราเร็วของผูข้ ับรถแขง่ ในสภาพ
ของทางวง่ิ รอบสนาม เช่น เมือ่ ขับรถเขา้ ทางตรงก็ใช้อัตราเร็วได้มาก เมื่อขับเขา้ ทางโคง้
ก็ลดอตั ราเร็ว และเมอ่ื ขับออกจากทางโคง้ เขา้ ทางตรงก็เพ่มิ อตั ราเร็วขึน้ ได้อีก

ความรทู้ างคณิตศาสตรท์ ่เี ก่ยี วข้อง
นกั เรียนจะต้องมคี วามรเู้ ร่อื งกราฟและความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณ ซึง่ มี
การเปลยี่ นแปลงทส่ี มั พนั ธก์ นั ระหวา่ งอตั ราเรว็ กบั ระยะทาง นกั เรยี นจะตอ้ งมคี วามสามารถ
อา่ นและแปลความหมายของกราฟโดยใชก้ ารนกึ ภาพไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ งวา่ กราฟทมี่ ลี กั ษณะ
เปน็ สว่ นของเสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกนนอน หรอื เปน็ สว่ นของเสน้ ตรงทไี่ มข่ นานกบั แกนนอน
หรอื แกนตงั้ หรอื กราฟมลี กั ษณะเปน็ เสน้ โคง้ กราฟในแตล่ ะลกั ษณะมคี วามหมายอยา่ งไร
ดงั ตวั อยา่ งการอา่ นและแปลความหมายของกราฟในบางชว่ งตงั้ แตจ่ ดุ ปลอ่ ยรถถงึ ระยะทาง
ประมาณกโิ ลเมตรท่ี 1.0 ต่อไปน้ี

180 ฝกึ คดิ พิชติ คณติ PISA
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

1. กราฟแสดงการว่ิงของรถแข่งในรอบท่ีสองเร่ิมจากจุดปล่อยรถ กราฟแสดง
อัตราเร็วของรถประมาณ 160 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และช่วงต่อมากราฟมีลักษณะเป็น
เส้นโค้งเอียงลาดลงมาตามแนวด่ิง จนถึงอัตราเร็วประมาณ 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
กราฟแสดงการรักษาอัตราเร็วของรถต่อระยะทางที่แสดงช่วงของระยะทางประมาณ
0.3 - 0.4 กโิ ลเมตร การแปลความหมายกราฟช่วงนี้ อธบิ ายได้ว่า เมอื่ รถคนั น้ีว่ิงในรอบ
ที่สองมาถึงจุดปล่อยรถใช้อัตราเร็วประมาณ 160 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ต่อจากน้ันรถคันนี้
ก็ลดอัตราเรว็ ลงเร่ือย ๆ จนถึงประมาณ 90 กิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมง แปลความได้ว่า รถกำ�ลัง
เล้ียวเข้าโคง้ ของสนามแขง่ ต้องใชค้ วามเร็วรถน้อยลงจึงจะปลอดภัย และรกั ษาอัตราเร็ว
90 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง เปน็ ระยะทางประมาณ 100 เมตร หรอื 0.1 กโิ ลเมตร
2. การพิจารณากราฟต่อจากข้อ 1 ระยะทางประมาณที่ 0.4 กิโลเมตรถึง 0.65
กโิ ลเมตร มลี ักษณะใกลเ้ คยี งสว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี อยี งขึ้นไปทางขวาของแกนนอน แสดงถงึ
การใชอ้ ตั ราเร็วของรถเพ่ิมขน้ึ จากประมาณ 90 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง ไปจนถงึ 160 กิโลเมตร
ต่อช่ัวโมง การแปลความกราฟช่วงนี้อธิบายได้ว่ารถกำ�ลังวิ่งออกจากทางโค้งของสนาม
เข้าสู่ทางตรงเปน็ ระยะทางประมาณ 0.25 กิโลเมตร เมื่อพิจารณากราฟต่อจากช่วงน้อี ีก
ประมาณ 0.5 กิโลเมตร กราฟเป็นส่วนหน่ึงของเสน้ ตรงทขี่ นานกับแกนนอนแสดงวา่ รถ
คันน้ใี ช้อัตราเรว็ คงทป่ี ระมาณ 160 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง ซึง่ แปลความหมายว่า รถวิ่งทาง
ตรงของสนามเป็นระยะทางประมาณ 500 เมตร
เมื่อพิจารณากราฟแสดงการวิ่งของรถแขง่ ครบ 1 รอบสนาม พบวา่ รถต้องวงิ่ เข้า
โคง้ 3 โคง้ และวิ่งทางตรงระหว่างโคง้ อีก 3 ช่วง ใช้ความรูส้ ึกเชิงปริภมู จิ นิ ตนาการลักษณะ
ของสนามแข่งได้เป็นรปู ปดิ ทมี่ ี 3 ด้าน 3 โค้งและมีด้านหน่งึ ยาวกวา่ อีกสองด้าน

ฝกึ คดิ พชิ ิตคณติ PISA 181
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ ในการแกโ้ จทย์ปัญหา
คำ�ถามท่ี 1 ระยะทางโดยประมาณจากจุดปล่อยรถจนถึงจุดเร่ิมต้นของส่วนท่ีเป็น
ทางตรงยาวทส่ี ุดของสนามแข่งเป็นระยะทางเทา่ ไร
แนวคิด จากกราฟจะเหน็ วา่ เมอื่ รถวง่ิ ทางตรงจะใชอ้ ตั ราเรว็ ประมาณ 160 กโิ ลเมตร
ต่อชั่วโมง เมื่อถึงระยะทางที่ 1.5 กิโลเมตร โดยประมาณ รถใช้อัตราเร็วประมาณ 160
กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมงอีกและแล่นตอ่ ไปจนถึงระยะทางประมาณ 2.3 กโิ ลเมตร ซ่ึงเปน็ ระยะ
ทางตรงทยี่ าวท่สี ดุ ของสนาม จงึ ไดค้ ำ�ตอบตรงกับคำ�ตอบข้อ 2
คำ�ถามท่ี 2 อัตราเรว็ ท่ีตำ่�ท่สี ุดในระยะท่สี องของรถแข่งคันนเี้ กิดขึ้น ณ จุดไหน
แนวคดิ จากการอ่านและแปลความหมายกราฟ จะได้ค�ำ ตอบตรงกบั คำ�ตอบข้อ 3
คือประมาณกโิ ลเมตรท่ี 1.3

ค�ำ ถามท่ี 3 อตั ราเรว็ ของรถแขง่ ระหวา่ งกโิ ลเมตรที่ 2.6 และกโิ ลเมตรท่ี 2.8 เปน็ อยา่ งไร
แนวคิด จากการอ่านและแปลความหมายกราฟ จะเห็นว่า รถแข่งเลี้ยวออกจาก
ทางโคง้ ของสนามเข้าสทู่ างตรงในช่วงกิโลเมตรท่ี 2.6 ถึง 2.8 ซงึ่ เห็นไดจ้ ากกราฟแสดง
อัตราเร็วของรถเพิ่มขน้ึ

ค�ำ ถามท่ี 4 ภาพตอ่ ไปนี้ คือ ทางว่ิงของสนามแข่งรถห้าแบบดว้ ยกัน สนามแขง่ รถท่ี
ทำ�ใหร้ ถมีอัตราเร็วสอดคล้องกับกราฟข้างต้น สนามแขง่ ควรจะมีลักษณะอย่างไร

S SB
A
S C S
S: จดุ ปลอ่ ยรถ S E D

182 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคิด จะเหน็ วา่ คำ�ถามท่ี 4 เป็นค�ำ ถามยอ้ นกลับของสถานการณท์ กี่ �ำ หนดมาให้
จากภาพข้างต้น จะเห็นวา่ รปู A และรูป E ไม่สอดคลอ้ งกับความสมั พนั ธ์
ในกราฟทีก่ ำ�หนดให้อย่างชัดเจน ดังน้ี
รูป A มีทางว่งิ ที่รถต้องลดอัตราเร็วตรงทางโคง้ มากกว่า 3 โคง้
รูป E ลกั ษณะของสนามมชี ว่ งโคง้ มากกว่า 3 โคง้
ส�ำ หรบั รูป B รูป C และรูป D มลี ักษณะของทางตรงและทางโคง้ โดยรวม
สอดคลอ้ งกบั กราฟ แตร่ ปู C และ รปู D ยงั มรี ายละเอยี ดของลกั ษณะทไ่ี มส่ อดคลอ้ ง ดงั น้ี
รูป C มีลักษณะไมส่ อดคลอ้ งกบั กราฟเพราะมสี ว่ นของเส้นตรงที่แสดงถงึ
ระยะทางตรงยาวเกือบเท่ากันท้ังสามช่วง และรูป D มีลักษณะไม่สอดคล้องกับกราฟ
เพราะจากกราฟ ทางโคง้ แรกจากจุดปล่อยรถต้องโคง้ นอ้ ยกว่าโคง้ ท่ีสอง สรุปไดว้ า่ รปู B
เป็นรูปทีม่ ีลกั ษณะสอดคลอ้ งกับกราฟมากที่สุด

ขอ้ สังเกต/ข้อเสนอแนะ
1. ครูอาจใช้คำ�ถามให้นักเรียนอ่านและแปลความหมายกราฟเพิ่มเติม เพื่อให้
นกั เรยี นใหเ้ หตุผลท่ยี อมรับได้ว่ามีความสมเหตสุ มผล เช่น
1) จากกราฟ ทจ่ี ุดปลอ่ ยรถ รถคันนใี้ ชอ้ ตั ราเรว็ ก่กี ิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมง
2) เป็นไปไดห้ รือไม่ท่รี ถจะเรมิ่ ต้นด้วยอตั ราเร็วเทา่ ทป่ี รากฏในกราฟ
ถ้าเป็นไปไมไ่ ด้ เหตุผลทนี่ า่ จะท�ำ ให้กราฟมีลกั ษณะเปน็ ดงั ท่โี จทย์ก�ำ หนด เปน็ อยา่ งไร
คำ�ถามสองข้อนี้ถามเพื่อให้นักเรียนสังเกตได้ว่า กราฟที่กำ�หนดเป็นกราฟของการ
วงิ่ ของรถแข่งในรอบท่สี อง ต�ำ แหนง่ ของจุดปลอ่ ยรถจงึ แสดงอัตราเรว็ ท่ี 160 กโิ ลเมตรตอ่
ชวั่ โมงได้ ถา้ โจทยไ์ มก่ �ำ หนดวา่ เปน็ การวงิ่ แขง่ ในรอบทส่ี อง อตั ราเรว็ เรม่ิ ตน้ ที่ 160 กโิ ลเมตร
ตอ่ ช่วั โมง กเ็ ปน็ ไปไมไ่ ด้ เพราะตอนเริม่ ต้นวิ่งรถจะต้องอยู่กบั ท่ี (มอี ัตราเร็วเปน็ ศูนย์) แลว้
คอ่ ย ๆ เพมิ่ อตั ราเรว็ ขึน้ ไปอย่างตอ่ เนอื่ ง
2. มีข้อสังเกตว่านักเรียนไทยตอบคำ�ถามท่ี 4 ได้ถูกต้องเป็นส่วนน้อยมาก คือ
ประมาณ 18 เปอร์เซ็นตข์ องจำ�นวนนกั เรยี นไทยทเ่ี ข้าสอบ และนักเรียนของประเทศอืน่ ๆ
ตามทร่ี ะบมุ า กม็ เี ปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนกั เรยี นทต่ี อบถกู นอ้ ยกวา่ ในค�ำ ถามท่ี 1 ถงึ ค�ำ ถาม
ที่ 3 สนั นษิ ฐานไดว้ า่ ค�ำ ถามท่ี 1 ถงึ ค�ำ ถามที่ 3 เปน็ การหาค�ำ ตอบจากการอา่ นกราฟโดยตรง
แตค่ �ำ ถามที่ 4 เปน็ สถานการณท์ นี่ กั เรยี นไมค่ นุ้ เคยกบั การเชอ่ื มโยงขอ้ มลู จากกราฟมาแปล
ความหมายให้อยู่ในรูปเรขาคณิตสองมิติ ซ่ึงนักเรียนจะต้องมีความเข้าใจถึงธรรมชาติใน
การขับรถบนเส้นทางตรงกับเส้นทางโค้งว่าการขับรถเข้าโค้งเพื่อไม่ให้รถว่ิงออกนอกโค้ง
จะต้องลดอัตราเรว็ ของรถให้น้อยลง ให้รถวิ่งอย่างชา้ ๆ เพื่อสามารถประคองรถใหอ้ ย่ใู น
เส้นทางได้ นอกจากนี้นักเรียนจะต้องใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิในการจินตนาการ และการ

ฝึก คดิ พิชติ คณติ PISA 183
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

นึกภาพถึงลักษณะของสนามแข่งรถที่สอดคล้องกับลักษณะของกราฟว่ามีความใกล้เคียง
กับแบบจำ�ลองทางเรขาคณิตใด โดยในสถานการณ์นี้นักเรียนน่าจะบอกได้ว่าสนามแข่ง
ต้องมี 3 โค้ง สอดคลอ้ งกับกราฟทมี่ กี ารลดอตั ราเร็วของรถ 3 ครั้ง และโคง้ ช่วงใดนา่ จะ
มีความโค้งมากที่สุด โดยอาศัยความรู้สึกเชิงปริภูมิวิเคราะห์ข้อมูลระหว่างกราฟกับแบบ
จำ�ลองทางเรขาคณติ สองมิตนิ ้ัน
3. ครอู าจเพม่ิ ทกั ษะในเรอื่ งการอา่ นและการแปลความหมายกราฟ โดยน�ำ กราฟที่
มอี ยใู่ นหนงั สอื เรยี นหรอื ในวารสารตา่ งๆ มาปรบั ใชใ้ หเ้ หมาะสมกบั ความรแู้ ละสถานการณ์
แวดล้อมของนักเรียน โดยเน้นเก่ียวกับการอ่านและการแปลความหมายท่ีสอดคล้องกับ
เร่อื งราวหรอื สถานการณใ์ นยคุ ปจั จบุ ันและกลบั กนั ดงั ตัวอยา่ งสถานการณ์ตอ่ ไปนี้
สถานการณท์ ่ี 1 กราฟต่อไปนี้แสดงการเคล่ือนที่ของรถยนต์คันหนึ่งในช่วงเวลา
a ชั่วโมง

คำ�ถามที่ 1 จงแสดงว่าระยะทางทร่ี ถยนต์คันนี้เคลือ่ นทไี่ ดแ้ ทนได้ดว้ ยพืน้ ทข่ี อง
รปู ส่เี หลี่ยม OABC
แนวคิด จากกราฟขา้ งตน้ แสดงว่ารถยนต์คนั นี้ขบั รถจากจดุ เร่ิมต้นและเพิม่
อตั ราเร็วอย่างสม่ำ�เสมอตอ่ ไปเป็นเวลา c ชวั่ โมงจนถึงอตั ราเร็ว b กิโลเมตรต่อชว่ั โมง
จากนน้ั ก็ขับรถยนต์ดว้ ยอตั ราเรว็ คงท่ี b กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมงต่อไปอกี d ช่วั โมง
จะหาระยะทางท่รี ถยนต์เคลือ่ นทไี่ ดด้ ังนี้
1) จะได้ระยะทางในเวลาช่วง c ชว่ั โมงแรกเท่ากบั _12 x c xb
ซึ่งเทา่ กับพื้นที่ของรูปสามเหล่ยี ม OAD

184 ฝกึ คดิ พชิ ิตคณิต PISA
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

2) จะไดร้ ะยะทางในเวลาช่วง d ชวั่ โมงตอ่ ไปเทา่ กบั d x b กิโลเมตร
ซึ่งเทา่ กับพนื้ ท่ขี องรูปสเี่ หลยี่ ม ABCD
จาก 1) และ 2) รถยนตเ์ คลือ่ นท่ไี ด้ในเวลา a ช่วั โมง เท่ากบั
_21 _2c
x c x b + (d x b) = + d b ซ่ึงเท่ากบั พ้ืนที่ของรปู สเี่ หลยี่ ม OABC

 
ดงั นนั้ ระยะทางทรี่ ถยนตค์ นั นี้เคลอื่ นทไ่ี ดแ้ ทนไดด้ ้วยพนื้ ที่ของรปู สี่เหล่ียม OABC

สถานการณท์ ่ี 2 (เป็นขอ้ สอบ PISA ปี ค.ศ. 2006)
ต ้องเหยเชีย้าบวเันบหรคนอึ่งย่านงกำ้�ฝะทนัอนอหกันไเปพขื่อับไมรถ่ใหเล้ชข่นนบั แรรมถะวหวา่ นง้ำ�ทฝานงแตมกวใจตมวั าหกนจึง่ นว่งิมตือดั สหั่นนา้จรึงถตัดนส�ำ้ินฝในจ
ขบั รถกลับบา้ น กราฟต่อไปนี้แสดงการบนั ทกึ อัตราเร็วของรถอยา่ งคร่าว ๆ

ค�ำ ถามท่ี 1 อัตราเร็วสูงสุดที่นำ้�ฝนขับในเช้าวันนน้ั เป็นเท่าไร
แนวคิด อา่ นจากกราฟตามแนวตงั้ จะไดว้ ่าอัตราเรว็ สงู สดุ เท่ากับ 60 กิโลเมตร
ตอ่ ช่วั โมง

ค�ำ ถามท่ี 2 เมือ่ น้ำ�ฝนเรม่ิ เหยยี บเบรคเพื่อไมใ่ ห้ชนแมว ขณะน้นั เปน็ เวลาเท่าใด
แนวคิด อา่ นจากกราฟตามแนวนอน จะไดว้ า่ เปน็ เวลา 9.06 น. หรอื เกา้ โมงหกนาที
คำ�ถามท่ี 3 สามารถบอกได้หรือไม่วา่ เสน้ ทางทน่ี ำ�้ ฝนขับรถกลับบ้านส้นั กวา่ เสน้ ทางที่
เธอออกจากบ้านถึงจดุ ทจี่ ะชนแมว จงใช้ขอ้ มูลจากกราฟอธิบายเพอื่
สนบั สนุนค�ำ ตอบของนกั เรียน

ฝกึ คดิ พชิ ติ คณติ PISA 185
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ 1 สามารถบอกได้ อธบิ ายไดด้ งั น้ี

1) หาระยะทางท่ีน�ำ้ ฝนขับรถออกจากบา้ นถึงจุดท่จี ะชนแมวได้ ดังน้ี
จากเวลา 9.00 น. – 9.01 น. เป็นเวลา 6_10 ช่วั โมง ใชอ้ ัตราเร็วเฉลย่ี
ไเทดา่้รกะยบั ะ_0ทา+2ง 16_210=x66
กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง
= 0.1 กิโลเมตร

จากเวลา 9.01 น. – 9.02 น. เปน็ เวลา 6_10 ชั่วโมง ใช้อัตราเร็วเฉลยี่
เทา่ กบั 1_2 +2 60= 36 กิโลเมตรต่อชัว่ โมง

ได้ระยะทาง 6_10 x 36 = 0.6 กโิ ลเมตร ช่วั โมง ใช้อัตราเร็ว
จากเวลา 9.02 น. – 9.06 น. เป็นเวลา 6_40
60 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง ได้ระยะทาง 6_40 x 60 = 4 กโิ ลเมตร

ดังนั้น ระยะทางจากบ้านถงึ จุดที่จะชนแมวเทา่ กับ

0.1 + 0.6 + 4 = 4.7 กโิ ลเมตร

2) หาระยะทางจากจุดท่ีจะชนแมว และขับรถกลบั ถึงบ้านได้ดังนี้
จากเวลา 9.06 น. – 9.08 น. เป็นเวลา 6_20 ชั่วโมง ใช้อตั ราเรว็ เฉลย่ี
ปไดรร้ ะะมยาะณทา1_ง2 6+2_2036x=2424=
จากเวลา 9.08 น. – 9.11 กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง ใชอ้ ตั ราเร็ว
0.8 กโิ ลเมตร
น. เป็นเวลา 6_30 ช่ัวโมง
จ36ากเกวิโลลาเม9ต.ร1ต1่อนช.ว่ั โ–ม9ง.1ไ2ดร้นะ.ยเปะทน็ าเวงลา6_306_10x
36 = 1.8 กโิ ลเมตร
ช่วั โมง ใช้อัตราเร็วเฉล่ีย

_362+ 0= 18 กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง ไดร้ ะยะทาง 6_10 x 18 = 0.3 กิโลเมตร

ฝกึ คดิ พิชิตคณิต PISA 186
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ดังนัน้ ระยะทางจากจดุ ทจี่ ะชนแมวถึงบ้านเทา่ กบั
0.8 + 1.8 + 0.3 = 2.9 กโิ ลเมตร
นั่นคอื เสน้ ทางที่น้�ำ ฝนขบั รถกลบั บา้ นคือ 2.9 กิโลเมตร ส้ันกว่าเสน้ ทาง
ท่ีเธอออกจากบ้านถงึ จดุ ทจี่ ะชนแมว คอื 4.7 กโิ ลเมตร

แนวคิด 2 สามารถบอกได้ อธิบายไดด้ ังนี้
เมอ่ื พิจารณากราฟ จะพบวา่ เวลาท่นี ้ำ�ฝนขบั รถออกจากบา้ นถึงเวลาที่เธอ
เบรคเพ่ือไม่ให้ชนแมว ใช้เวลาเกือบเท่ากับเวลาที่เธอขับรถกลับบ้านหลังจากท่ีเธอเบรค
เพ่อื ไมใ่ ห้ชนแมว คอื ประมาณ 6 นาทีเทา่ กนั ในขณะทช่ี ว่ งแรกของการขับรถน�้ำ ฝนใช้
อตั ราเร็วโดยเฉล่ยี สงู กวา่ การขบั รถในช่วงทีส่ องค่อนข้างมาก จึงประมาณได้ว่า เสน้ ทางท่ี
น้�ำ ฝนขับรถกลับบา้ นสน้ั กว่าเส้นทางทเ่ี ธอออกจากบา้ น ถึงจุดท่ีเธอเบรคเพื่อไม่ให้ชนแมว

แนวคิด 3 สามารถบอกได้ อธบิ ายไดด้ ังน้ี
เมอื่ พจิ ารณาพน้ื ทใ่ี ตก้ ราฟโดยใชค้ วามรสู้ กึ เชงิ ปรภิ มู ิ จะพบวา่ พน้ื ทใ่ี ตก้ ราฟ
ตัง้ แต่เวลา 9.00 น. ถึง 9.06 น. มากกว่าพน้ื ท่ีใตก้ ราฟต้งั แต่เวลา 9.06 น. ถึง 9.12 น.
กล่าวคือประมาณ 23.5 ตารางหน่วย กับ 14.5 ตารางหน่วย ตามล�ำ ดับ โดยหนึ่งตาราง
หน่วยจะเป็นตวั แทนของผลคณู ระหว่างเวลาหนง่ึ นาทีกบั อัตราเร็ว 12 กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง
หรือหนงึ่ ตารางหน่วย แทน 6_10 x 12 = 0.2 กโิ ลเมตร ซ่งึ สามารถสรปุ ได้ว่า ถา้ มีพ้ืนที่
ใต้กราฟมากกว่ากจ็ ะมรี ะยะทางมากกว่าตามไปดว้ ย โดยมอี ัตราส่วน 1 ตารางหนว่ ยต่อ
0.2 กโิ ลเมตร
ดงั นน้ั เสน้ ทางทน่ี �ำ้ ฝนขบั รถกลบั บา้ นสนั้ กวา่ เสน้ ทางทเ่ี ธอออกจากบา้ นถงึ
จดุ ที่จะชนแมว

ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA 187
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ทางเลื่อน

ทางขวาเปน็ รูปของทางลอื่ น
กราฟความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางกับเวลาต่อไปน้ี
แสดงการเปรียบเทยี บระหวา่ ง “การเดินบนทางเลอ่ื น”
กบั “การเดนิ บนพ้นื ทอ่ี ยูข่ ้างทางเลือ่ น”

ลกั ษณะเฉพาะของขอ้ สอบ
เนื้อหา : การเปลี่ยนแปลงและความสัมพนั ธ์
แขนงวิชา : -
สถานการณ์ : ในเชิงวทิ ยาศาสตร์
สมรรถนะ : การสะท้อน และสือ่ สารทาง

คณติ ศาสตร์
แบบของขอ้ สอบ : สร้างค�ำ ตอบแบบอิสระ
ค �ำ ถามท่ี 1 : ทางเลอื่ น
ตามกราฟข้างบน ถ้าถือว่าคนท้งั สองคนมรี ะยะกา้ วเทา่ ๆ กัน จงเขยี นเสน้ เพม่ิ ลงในกราฟ
ขา้ งบนแสดงระยะทางกบั เวลาของคนทยี่ ืนน่งิ ๆ อยบู่ นทางเลอื่ น

คะแนนเต็ม ไมม่ คี ะแนน

ยอมรบั เส้นท่อี ยูใ่ ต้เสน้ สองเสน้ ทใ่ี หม้ า แตเ่ สน้ น้นั ต้องอยใู่ กลเ้ ส้นทแี่ สดงถึง ค�ำ ตอบอนื่ ๆ
“คนที่เดนิ บนพ้ืน” มากกวา่ เสน้ แกนนอน

ประเทศ % ตอบถกู
ญป่ี ่นุ 46.78
เกาหลี 45.51
ฮอ่ งกง-จนี 48.46
มาเก๊า-จนี 37.31
ไทย 16.54

ฝึก คดิ พชิ ติ คณิต PISA 188
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะห์และแนวคิดในการแก้โจทยป์ ัญหา

สถานการณโ์ จทย์
โจทย์แสดงรูปทางเล่ือน และกราฟเส้นแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางจาก
จดุ เร มิ่ ตน้ ของทางเลอื่ นกบั เวลา มา 2 เสน้ โดยเสน้ หนงึ่ แสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งระยะทาง
จากจดุ เริม่ ตน้ ของทางเลอ่ื นกับเวลาที่คนเดนิ บนทางเล่ือน อกี เส้นหนึง่ แสดงความสมั พันธ์
ระหว่างระยะทางจากจุดเริ่มต้นของทางเล่ือนกับเวลาท่ีคนเดินบนพ้ืนท่ีอยู่ข้างทางเลื่อน
เพือ่ แสดงการเปรยี บเทยี บระหวา่ ง “การเดนิ บนทางเล่อื น” กับ “การเดนิ บนพนื้ ท่ีอยู่ข้าง
ทางเล่อื น”
จากสถานการณ์โจทย์ มสี ่งิ ทนี่ กั เรียนสงั เกตได้จากกราฟทใี่ หม้ าคอื ในระยะเวลา
ทเี่ ท่ากนั คนท่เี ดนิ บนทางเลือ่ นเคลือ่ นท่ไี ด้ระยะทางมากกว่าคนทีเ่ ดนิ บนพ้นื ทอ่ี ย่ขู า้ งทาง
เลอื่ น เมอื่ โจทยใ์ หเ้ งอื่ นไขวา่ คนทเ่ี ดนิ บนทางเลอ่ื นและคนทเี่ ดนิ บนพน้ื ทอ่ี ยขู่ า้ งทางเลอ่ื น
มรี ะยะกา้ วเทา่ ๆ กนั แสดงวา่ ระยะทางทคี่ นเดนิ บนทางเลอื่ นเคลอ่ื นทไี่ ดม้ ากกวา่ คนทเ่ี ดนิ
บนพน้ื ท่ีอยู่ข้างทางเล่ือน คือระยะท่ไี ด้จากการเคลื่อนทขี่ องทางเล่ือนในระยะเวลาน้นั


ความร้ทู างคณติ ศาสตร์ท่เี ก่ยี วข้อง
ความรูท้ ่ีนักเรยี นจะต้องใช้ในการตอบคำ�ถาม คอื
1. การใช้กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณในสถานการณ์ต่างๆ รวมถึง
การแปลความหมายและน�ำ ไปใชแ้ ก้ปญั หา
2. การเขียนกราฟแสดงความสมั พันธร์ ะหวา่ งปริมาณในสถานการณท์ ก่ี ำ�หนดให้
3. ความรู้สึกเชงิ จำ�นวนและความรู้สึกเชิงปริภมู ิ
ในการแก้โจทย์ปัญหาข้อน้ี นอกจากความรู้ทางคณิตศาสตร์ท่ีเกี่ยวข้องแล้ว
นกั เรยี นจะตอ้ งมที กั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการวเิ คราะหเ์ ปรยี บเทยี บกราฟ
ทแี่ สดงอตั ราเรว็ ทแ่ี ตกตา่ งกนั โดยเสน้ กราฟทแ่ี สดงอตั ราเรว็ ทมี่ ากกวา่ จะอยเู่ หนอื เสน้ กราฟ
ทีแ่ สดงอตั ราเรว็ น้อยกว่า

189 ฝึก คิด พิชติ คณติ PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ ในการแกโ้ จทย์ปญั หา
คำ�ถามทท่ี่ี 11 ตามกราฟขา้ งบน ถา้ ถอื วา่ คนทง้ั สองมรี ะยะกา้ วเทา่ ๆ กนั จงเขยี นเสน้ เพมิ่
ลงในกราฟข้างบนแสดงระยะทางกบั เวลาของคนทย่ี นื น่ิง ๆ อยู่บนทางเลอื่ น
แนวคิด จากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งระยะทางกบั เวลาทกี่ �ำ หนดใหใ้ นสถานการณ์
โจทย์แสดงให้เห็นว่าในระยะเวลาที่เท่ากัน คนที่เดินบนทางเล่ือนจะได้ระยะทางการ
เคลอื่ นทีจ่ ากจดุ เร่ิมต้นของทางเล่ือนมากกวา่ คนทีเ่ ดนิ บนพ้ืนข้างทางเลือ่ น ถ้าคนท้งั สอง
มีระยะก้าวเท่า ๆ กัน ระยะทางที่คนเดินบนทางเลื่อนเคล่ือนท่ีได้มากกว่าคนที่เดินบน
พนื้ ขา้ งทางเลอ่ื นยอ่ มไดม้ าจากการเคล่อื นที่ของทางเล่ือน ซง่ึ คนท่ยี ืนนิง่ ๆ บนทางเลื่อน
ก็จะเคลื่อนที่ได้เท่ากับระยะทางในการเคล่ือนที่ของทางเลื่อนน่ันเอง เมื่อคำ�ถามต้องการ
ให้เขียนเส้นเพิ่มลงในกราฟเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางกับเวลาของคนที่ยืน
น่งิ ๆ บนทางเลอ่ื นจงึ ท�ำ ได้ดงั นี้
1. ก�ำ หนดจุด T (t, 0) แสดงเวลา t นาที ณ จุดใดจุดหน่ึงบนแกนนอนของกราฟ
(แกนทีแ่ สดงเวลา)
2. จากจดุ T (t, 0) ลากเสน้ ขนานกบั แกนต้งั (แกนทแ่ี สดงระยะทางจากจดุ เริ่มตน้
ของทางเลอื่ น) ใหต้ ัดเส้นกราฟ “คนทเี่ ดินบนทางเลอ่ื น” ท่ีจุด A (t, a) และตัดเส้นกราฟ
“คนท่เี ดินบนพน้ื ” ท่จี ดุ B (t, b) โดย a > b > 0 ดังรปู

ระยะทางจากจดุ เรมิ่ ต้น คนทเี่ ดินบนทางเลื่อน
ของทางเล่ือน
A คนท่ีเดนิ บนพ้ืน
o (t, a) คนท่ยี นื นิง่ ๆ อย่บู นทางเลอ่ื น

B (t, b)
C (t, a - b)

T (t, 0) เวลา

ฝึก คิด พชิ ติ คณิต PISA 190
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ดังนั้น ในระยะเวลา t จะได ้
TA คอื ระยะทางท่ีคนเดนิ บนทางเลื่อนเคล่อื นที่ไดจ้ ากจดุ เรมิ่ ตน้ ของ
ทางเลอื่ น ณ เวลา t นาที
TB คือระยะทค่ี นเดินบนพน้ื ทอ่ี ยขู่ า้ งทางเล่ือนเคล่ือนท่ไี ดจ้ ากจดุ
เริม่ ต้นของทางเลอื่ น ณ เวลา t นาที
ถ้าคนท่ีเดินบนทางเล่ือนและคนท่ีเดินบนพ้ืนที่อยู่ข้างทางเลื่อนมีระยะก้าวเท่า ๆ
กนั แสดงว่า AB ซึ่งเป็นผลตา่ งระหว่าง TA กบั TB คือระยะทางทค่ี นยืนบนทางเล่อื น
เคลื่อนที่ไดจ้ ากจดุ เริ่มตน้ ของทางเลอ่ื นในเวลา t นาที
3. เม่ือต้องการเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางกับเวลาของคนที่
ยืนนิง่ ๆ อยบู่ นทางเลื่อน และทราบวา่ ณ เวลา t นาที คนที่ยนื น่งิ ๆ อยู่บนทางเล่อื นจะ
เคลื่อนทีไ่ ปได้เป็นระยะทาง a – b จงึ ก�ำ หนดจดุ C (t, a – b) บน TA ที่ท�ำ ให้ TC = AB
4. ให้ O แทนจดุ เรม่ิ ต้น ลาก OC จะได้ OC เป็นกราฟแสดงความสมั พันธ์ระหวา่ ง
ระยะทางของคนทีย่ นื นิง่ ๆ อยูบ่ นทางเลือ่ นเคลือ่ นท่ีไดก้ บั เวลา
ในกรณนี ี้ จะสงั เกตเห็นว่า “การเดินบนทางเล่อื นทีก่ ำ�ลังเคลอ่ื นไปจะมอี ตั ราการ
เคลื่อนที่มากกว่าการเดนิ บนพนื้ ทอ่ี ยู่ขา้ งทางเลอื่ น ในขณะท่กี ารเดินบนพ้ืนที่อยู่ขา้ งทาง
เลอ่ื นจะมอี ัตราการเคลอื่ นทม่ี ากกว่าการยนื นงิ่ ๆ อย่บู นทางเล่ือนท่ีก�ำ ลังเคล่อื นท่ีไป” ซงึ่
สังเกตได้จากกราฟวา่ AB < TB ดงั น้นั TC < TB นน่ั คอื OC อยใู่ ต้ OB และ OB อยู่ใต้
OA
5. ในทางปฏิบัติ นักเรียนสามารถใช้การวิเคราะห์และกำ�หนด OC ได้ตามแนว
ของคำ�ตอบท่ีเฉลยไว้ คือ ยอมรับเส้นที่อยู่ใต้สองเส้นที่ให้มา แต่เส้นนั้นต้องอยู่ใกล้เส้น
ที่แสดงถึง “คนทเี่ ดินบนพน้ื ” มากกวา่ เส้นแกนนอน ซึ่งไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งแสดงวธิ ีเขยี นกราฟ
อยา่ งทแ่ี สดงไวข้ า้ งตน้ ค�ำ ตอบตอ้ งการเพยี งความเขา้ ใจเกย่ี วกบั ความสมั พนั ธข์ องอตั ราการ
เคลอื่ นทข่ี องคนทเ่ี ดินบนทางเลือ่ น คนท่ีเดนิ บนพน้ื ทอี่ ยูข่ ้างทางเล่ือน และคนท่ยี ืนนิ่ง ๆ
อยูบ่ นทางเล่ือน

191 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ขอ้ สงั เกต/ขอ้ เสนอแนะ
1. การมปี ระสบการณใ์ นการใชท้ างเลอื่ น จะชว่ ยใหเ้ ขา้ ใจไดโ้ ดยงา่ ยวา่ ส�ำ หรบั คนทมี่ ี
ระยะกา้ วเท่า ๆ กนั และใช้เวลาในการเดนิ เทา่ กัน คนทีเ่ ดินบนทางเล่อื นจะเคลอื่ นทไ่ี ด้ระยะ
ทางจากจดุ เรมิ่ ตน้ มากกวา่ คนทเี่ ดนิ บนพน้ื ขา้ งทางเลอื่ น โดยระยะทางทเ่ี คลอื่ นทไี่ ดม้ ากกวา่
น้ันเปน็ ระยะทางที่ได้จากการเคล่อื นท่ขี องทางเลื่อน ซ่ึงก็คือระยะทางที่คนยืนน่งิ ๆ อยู่บน
ทางเลอื่ นเคลอื่ นทไี่ ดใ้ นชว่ งเวลาทเ่ี ทา่ กนั ส�ำ หรบั นกั เรยี นทไ่ี มม่ ปี ระสบการณเ์ กยี่ วกบั การใช้
ทางเลอื่ น อาจเปรยี บเทยี บใหเ้ หน็ ความสมั พนั ธด์ งั กลา่ วไดจ้ ากสถานการณเ์ รอื่ งการพายเรอื
ตามน�ำ้ และการพายเรือในนำ�้ นิ่ง ถ้าคนสองคนมคี วามสามารถในการพายเรือในน�ำ้ น่ิงได้
ระยะทางเทา่ กนั เมอ่ื พายเรอื ในระยะเวลาทเี่ ทา่ กนั คนทพี่ ายเรอื ตามน�้ำ จะไดร้ ะยะทางการ
เคลือ่ นทขี่ องเรือมากกวา่ คนท่ีพายเรือในน้ำ�นิ่ง ซ่งึ ระยะทางที่เรอื เคลอ่ื นที่ไดม้ ากกว่านนั้ เกดิ
จากการเคลือ่ นทข่ี องกระแสน�ำ้ ที่เรยี กกนั วา่ “อตั ราเรว็ ของกระแสน�ำ้ ” ซ่ึงก็คอื ระยะทางท่ี
เรอื เคลอ่ื นทต่ี ามน�ำ้ ในระยะเวลาหนง่ึ โดยคนทน่ี ง่ั บนเรอื ไมไ่ ดพ้ าย ส�ำ หรบั สถานการณเ์ กย่ี วกบั
การพายเรอื และกระแสนำ้�มตี ัวอย่างอยู่ในหนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ เลม่ 2
ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 3 ทพี่ ัฒนาโดย สสวท. เรื่องโจทย์ปญั หาเกี่ยวกบั เศษส่วนของพหุนาม
2. นกั เรยี นไทยตอบค�ำ ถามไดถ้ กู ตอ้ งเพยี ง 16.54 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนกั เรยี นไทย
ท่เี ขา้ สอบ นักเรยี นจากประเทศจนี ญป่ี นุ่ และเกาหลี ก็ตอบคำ�ถามได้ถูกต้องไม่ถงึ 50
เปอรเ์ ซ็นตข์ องจ�ำ นวนนกั เรียนแตล่ ะชาตทิ ่ีเขา้ สอบ สนั นิษฐานวา่ นักเรียนส่วนใหญท่ กุ ชาติ
ไม่สามารถวิเคราะห์ได้ว่า เส้นกราฟที่ต้องการลากควรเป็นอย่างไร จะต้องมีตำ�แหน่งอยู่
ประมาณเทา่ ใด ท้ังนีอ้ าจเปน็ เพราะนักเรยี นหลายคนไม่มีประสบการณใ์ นการใชท้ างเลือ่ น
ทำ�ให้ไม่สามารถประยุกต์ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในการอ่านกราฟและเช่ือมโยงได้ว่า
ณ เวลา t ใด ๆ ระยะหา่ งตามแนวแกนตง้ั ระหวา่ งเสน้ กราฟของ “คนทเ่ี ดนิ บนทางเลอ่ื น”กบั
เสน้ กราฟของ “คนทเี่ ดนิ บนพน้ื ” คอื ระยะทางทค่ี นที่ยืนน่งิ ๆ อย่บู นทางเลื่อนเคล่อื นทไี่ ด้
จากจดุ เร่ิมตน้ ของทางเล่ือนในเวลา t นาที และเมอ่ื สังเกตจากกราฟ จะเหน็ ว่า ระยะหา่ ง
ตามแนวแกนต้ังระหว่างเส้นกราฟท้ังสองน้อยกว่าระยะห่างระหว่างเส้นกราฟ “คนที่เดิน
บนพ้ืน” กบั แกนนอน แตจ่ ะน้อยกว่ากันไมม่ ากนัก เส้นกราฟทเ่ี ป็นคำ�ตอบจึงเป็นเสน้ ทอี่ ยู่
ใตเ้ สน้ สองเสน้ ที่ใหม้ าและอยูใ่ กลเ้ สน้ ท่ีแสดงถงึ “คนทเ่ี ดนิ บนพื้น” มากกวา่ เสน้ แกนนอน
3. เพื่อให้งา่ ยตอ่ การอธิบายถงึ ความสมั พันธร์ ะหวา่ งอัตราการเคลอ่ื นที่ของคนท่เี ดิน
บนทางเลอ่ื น คนทเ่ี ดนิ บนพื้นทอี่ ยูข่ า้ งทางเลอ่ื นและคนท่ยี ืนน่งิ ๆ อยู่บนทางเล่อื น

ฝกึ คิด พชิ ิตคณติ PISA 192
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ครูผู้สอนอาจใช้ข้อมูลเกี่ยวกับอัตราการเคลื่อนท่ีของทางเลื่อน เช่น 3 เมตร/นาที
และอัตราเร็วในการเดนิ ของคนท่วั ไปคือ 5 เมตร/นาที สรา้ งคำ�ถามที่น�ำ ไปสู่ความสัมพันธ์
ดังกลา่ ว และใช้เปน็ ค�ำ ถามในห้องเรียน ดงั ตวั อย่าง
ถา้ กำ�หนดให้อัตราการเคลื่อนทขี่ องทางเล่ือน คอื 3 เมตร/นาที
และอัตราเรว็ ในการเดินของคน คือ 5 เมตร/นาที
ใหน้ กั เรียนตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี
1. คนทยี่ ืนนงิ่ ๆ อยูบ่ นทางเล่อื นจะมอี ตั ราการเคลอ่ื นทเ่ี ปน็ เท่าใด
[3 เมตร/นาที]
2. คนทีเ่ ดินบนทางเล่ือนจะมีอัตราการเคลอื่ นที่เปน็ เท่าใด
[8 เมตร/นาท]ี
3. ในเวลา 3 นาที และ t นาที คนท่ยี นื นิง่ ๆ อยูบ่ นทางเลอื่ นจะเคลอื่ นทไี่ ด้
ระยะทางเทา่ ใด [9 เมตร และ 3t เมตร ตามลำ�ดับ]
4. ในเวลา 3 นาที และ t นาที คนท่ีเดนิ บนทางเลอื่ นจะเคลอ่ื นทไ่ี ดร้ ะยะทาง
เทา่ ใด [24 เมตร และ 8t เมตร ตามลำ�ดับ]
5. ในเวลา 3 นาที และ t นาที คนทเ่ี ดนิ บนพ้นื ทอี่ ยขู่ า้ งทางเลื่อนจะเคล่ือนท่ไี ด้
ระยะทางเทา่ ใด [15 เมตร และ 5t เมตร ตามล�ำ ดับ]
6. เม่อื อตั ราการเคลื่อนที่ของคนทีย่ นื น่ิง ๆ อย่บู นทางเลือ่ นเป็น 3 เมตร/นาที
ถ้า S1 แทนระยะทางการเคลอ่ื นที่เป็นเมตรของคนท่ยี ืนน่ิง ๆ อย่บู นทางเลอ่ื นในระยะเวลา
t นาที S1 และ t มีความสัมพันธ์กันอย่างไร และมีกราฟของความสัมพันธ์เป็นอย่างไร
เพราะเหตใุ ด
[S1 = 3t และเปน็ กราฟเส้นตรง เพราะความสมั พนั ธร์ ะหว่าง S1 และ t เป็นสมการ
เชงิ เสน้ สองตวั แปร]

ในกรณีท่นี กั เรยี นไมส่ ามารถหาความสัมพนั ธ์ระหว่าง S1 และ t ไดค้ รผู ้สู อนควรให้
นกั เรยี นย้อนกลบั ไปดูค�ำ ตอบของคำ�ถามขอ้ 3 และใช้คำ�ถามเชอื่ มโยงไปยังความรเู้ กี่ยวกบั
อัตราเรว็ ซง่ึ มีสูตรในการหา คอื
อตั ราเรว็ = อ_รตัะเยรวาะลเทารา็วงx เวลา
หรอื ระยะทาง =
จะได้ S1 = 3t

193 ฝึก คดิ พชิ ติ คณิต PISA
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ถา้ หาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง S1 และ t ไดแ้ ลว้ แตไ่ มท่ ราบวา่ กราฟของความสมั พนั ธ์
เปน็ อย่างไร กใ็ หน้ กั เรียนลองเขยี นกราฟของความสมั พันธ์ดู ซง่ึ นกั เรยี นอาจจะตอบค�ำ ถาม
ที่เหลือว่ากราฟของความสัมพันธ์เป็นเส้นตรง เพราะเขียนกราฟของความสัมพันธ์แล้วได้
เส้นตรง ก็เป็นคำ�ตอบท่ียอมรับได้ แต่ควรจะถามคำ�ถามให้เช่ือมโยงไปสู่เร่ืองกราฟของ
สมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ซ่ึงนกั เรียนเคยเรยี นมาแล้ว เพอื่ ให้นักเรียนใชเ้ ป็นเหตุผลในการ
ตอบวา่ กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรเป็นเสน้ ตรงโดยไม่ต้องเขยี นกราฟ
7. เมื่ออัตราการเคล่ือนท่ีของคนที่เดินบนทางเลื่อนเป็น 8 เมตร/นาที ถ้า S2
แทนระยะทางการเคลื่อนท่ีเป็นเมตรของคนที่เดินบนทางเลื่อนในระยะเวลา t นาที
S2 และ t มคี วามสมั พนั ธก์ นั อยา่ งไร และมกี ราฟของความสมั พนั ธเ์ ปน็ อยา่ งไร เพราะเหตใุ ด
[ S2 = 8t และเปน็ กราฟเส้นตรง เพราะความสัมพันธร์ ะหวา่ ง S2 และ t เป็นสมการเชงิ เส้น
สองตัวแปร ]
8. เมื่ออัตราการเคลื่อนท่ีของคนที่เดินบนพ้ืนท่ีอยู่ข้างทางเลื่อนเป็น 5 เมตร/นาที
ถ้า S3 แทนระยะทางการเคล่อื นทเ่ี ป็นเมตรของคนท่ีเดนิ บนพื้นท่ีอย่ขู ้างทางเลอื่ นในระยะ
เวลา t นาที S3 และ t มคี วามสมั พนั ธก์ นั อยา่ งไร และมกี ราฟของความสมั พนั ธเ์ ปน็ อยา่ งไร
เพราะเหตใุ ด [ S3 = 5t และเปน็ กราฟเสน้ ตรง เพราะความสมั พันธ์ระหว่าง S3 และ t เป็น
สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ]
การตอบค�ำ ถามทงั้ 8 ขอ้ เปน็ ตวั อยา่ งการวเิ คราะหส์ ถานการณโ์ จทยข์ า้ งตน้ ในลกั ษณะ
ยอ้ นกลบั เพราะกราฟของความสมั พนั ธใ์ นขอ้ 7 และ 8 คอื กราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งระยะ
ทางกบั เวลาที่แสดงการเปรียบเทยี บ “การเดนิ บนทางเลื่อน” กับ“การเดนิ บนพ้ืนท่อี ยขู่ า้ ง
ทางเล่ือน” ซ่ึงก�ำ หนดให้ในโจทย์ สว่ นกราฟในขอ้ 6 คือ กราฟแสดงความสัมพนั ธ์ระหว่าง
ระยะทางกับเวลาของ “คนท่ียนื นงิ่ ๆ อย่บู นทางเล่อื น” ที่โจทย์ตอ้ งการใหเ้ ขียนเสน้ เพ่ิมลง
ในกราฟทโี่ จทยก์ �ำ หนดให้ การเชอื่ มโยงความรจู้ ากการตอบค�ำ ถามไปสสู่ ถานการณโ์ จทยจ์ ะ
ช่วยให้นักเรียนเกิดความเข้าใจถึงความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการเคลื่อนท่ีของคนที่เดินบน
ทางเล่ือน คนท่เี ดินบนพื้นทอี่ ยู่ขา้ งทางเลอ่ื น และคนท่ยี ืนนง่ิ ๆ อยู่บนทางเลือ่ น ซึง่ เปน็
พนื้ ฐานส�ำ คัญในการตอบคำ�ถามข้อนี้
เพ่ือตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียนในเรื่องกราฟของความสัมพันธ์ระหว่าง
ระยะทางกับเวลา ทีแ่ สดงการเปรียบเทยี บระหว่างอตั ราเรว็ ทีม่ คี วามเกยี่ วข้องเชื่อมโยงกัน

ฝกึ คดิ พิชติ คณติ PISA 194
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ในลักษณะต่าง ๆ คลา้ ยกบั เรอื่ งทางเลือ่ นข้างตน้ ครผู สู้ อนอาจใช้สถานการณ์เรอ่ื ง
การพายเรอื มาใหน้ กั เรยี นได้ฝกึ วเิ คราะหค์ วามสัมพันธด์ งั กล่าว เช่น
สถานการณโ์ จทย์
ในการพายเรอื เราทราบวา่ มีอตั ราเรว็ ของกระแสน้ำ�ทชี่ ว่ ยให้เรอื แล่นได้เร็วขน้ึ
เมือ่ พายเรอื ตามน�้ำ เพราะกระแสน�้ำ ชว่ ยเพม่ิ อตั ราเรว็ ให้เรือ แตถ่ า้ พายเรือทวนน�ำ้ เรอื จะ
แลน่ ได้ชา้ ลงเพราะกระแสนำ�้ ตา้ นเรือ จึงมีขอ้ สรปุ ท่ีเป็นตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ วา่
อตั ราเรว็ ของเรอื ท่พี ายตามน�้ำ เทา่ กบั อัตราเร็วของเรือทพ่ี ายในน�ำ้ นิง่ + อัตราเร็ว
ของกระแสนำ้�
อัตราเรว็ ของเรือที่พายทวนน้ำ� เทา่ กับ อตั ราเร็วของเรอื ทีพ่ ายในนำ้�นง่ิ – อัตราเร็ว
ของกระแสน้�ำ
ตวั อย่างกราฟความสัมพันธร์ ะหว่างระยะทางกบั เวลาตอ่ ไปนี้
ข องคนสแอสงดคงนกาทรี่พเปายรเียรบอื เใทนยี ลบำ�รนะำ�้ หแวล่าะงเว“ล2ก1าา2เดรพียวากยันเรอื ดต้วายมอนตั ำ�้ร”าเรก็วับขอ“กงกาารรพพาายยเรใอืนทนว�้ำ นนนิง่ �้ำ ”
เทา่ กนั  

ระยะทางจากจดุ เริม่ ตน
ของการพายเรอื

เรือทพี่ ายตามนา้ํ
เรอื ทพ่ี ายทวนน้าํ

ตามกราฟขางบOน เวลา

ก คบั �ำ เถว าลคกมาบัําขทถเอวี่า1ลงมากทขา่ีอ1จรงพกงาเจาขรงยพียเขเานรยี ยือนเเสรเใสอืนน้ นในเนเพพน้ำ�ม่ิ่มิาํ้นนลล่ิง่ิงงงใในนกรการฟาขฟา งขบ้านงแบสนดงแคสวดามงสคัมวพานั มธสร ะัมหพวันางธร์ระะยะหทวาา่งงระยะทาง
คาํ ถามท่ี 2 จงเขียนเสนเพม่ิ ในกราฟขา งบนแสดงความสัมพันธระหวา งระยะทางกบั
ค�ำ ถาเมวทล าี่ ข2องเรจืองทเ่ีลขอียยนตเาสมนน้ ํ้าเโพดม่ิยคในนทกน่ี รั่งาบฟนขเร้าืองไบมไนดแพาสยดงความสัมพนั ธ์ระหว่างระยะทางกับ
เวลาขอแนงเวรคอื ดิ ทในล่ี กอายรแตกาโ มจทนย้ำ�ปโดญ ยหคานท่นี ่ังบนเรือไม่ได้พาย
คาํ ถามที่ 1 เน่ืองจาก
อตั ราเรว็ ของเรือทพ่ี ายในนํ้านง่ิ + อตั ราเร็วของกระแสนาํ้ = อตั ราเร็วของเรือที่พายตามนาํ้
ฝกึ คิด พิชแิตลคะณิต อPตั ISรAาเร็วของเรือทพี่ ายในน้ํานง่ิ – อตั ราเรว็ ของกระแสนํา้ = อตั ราเร็วของเรือทพ่ี ายทวนนา้ํ
195 สถาบนั สง่ เจสะริมไดก ารอสตั อรนาเวรทิ ็วยขาอศงเารสือตทรี่พแ์ าลยะใเนทนคโ้ํานนโง่ิ ล=ยี อ(สตั สรวาทเร.ว็)ของเรือทีพ่ ายตามนา้ํ – อัตราเรว็ ของกระแสนํ้า

หรือ อตั ราเร็วของเรอื ที่พายในนํา้ นิ่ง = อตั ราเรว็ ของเรือท่ีพายทวนนาํ้ + อตั ราเรว็ ของกระแสนํ้า
และ 2 อตั ราเร็วของกระแสนํ้า = อัตราเร็วของเรือท่พี ายตามนา้ํ – อัตราเร็วของเรือทีพ่ ายทวนน้าํ