Álgebra Trilce

Índice

Unidad I

Capítulo 1 Introductorio 4
Capítulo 2 Definiciones algebraicas I 9
Capítulo 3 Definiciones algebraicas II 14
Capítulo 4 Teoría de exponentes I 19
Capítulo 5 Repaso I 24
Capítulo 6 Teoría de exponentes II 28
Capítulo 7 Teoría de exponentes III 33
Capítulo 8 Teoría de exponentes IV 38
Capítulo 9 Notación de polinomios 43

Unidad II

Capítulo 10 Cambio de variable utilizando la notación de polinomios 48
Capítulo 11 Grados de expresiones algebraicas 53
Capítulo 12 Grados de un polinomio 58
Capítulo 13 Polinomios especiales 63
Capítulo 14 Multiplicación algebraica 68
Capítulo 15 Repaso II 73
Capítulo 16 Productos notables I 77
Capítulo 17 Productos notables II 82

Unidad III

Capítulo 18 Productos notables III 87
Capítulo 19 Productos notables IV 92
Capítulo 20 División algebraica I 97
Capítulo 21 Repaso III 102
Capítulo 22 División algebraica II 106
Capítulo 23 División algebraica III 111
Capítulo 24 División algebraica IV 117
Capítulo 25 Factorización I 123

Unidad IV

Capítulo 26 Factorización II 128
Capítulo 27 Factorización III 133
Capítulo 28 Repaso IV 138
Capítulo 29 Factorización IV 143
Capítulo 30 Factorización V 148
Capítulo 31 Fracciones algebraicas I 153
Capítulo 32 Fracciones algebraicas II 158
Capítulo 33 Fracciones algebraicas III 163

Álgebra

1 Capítulo

Introductorio

Lectura: Origen del álgebra

Es difícil establecer estrictamente el origen del álgebra, pero todo parece afirmar que
la primera obra sobre álgebra nació en Grecia y fue su autor Diofanto de Alejandría,
quien vivió aproximadamente por el año 250 de la era cristiana. Esa obra de
Diofanto permaneció aislada en la escuela griega. Ningún otro matemático se
dedicó a ella, y esa rama de la matemática desapareció con Diofanto.

En verdad, la cuna del Álgebra puede situarse en la civilización hindú, donde
aparecieron los rudimentos de esa ciencia y fue el pueblo árabe que tenía
un intercambio comercial con la India, allá por el año 750, el que tomó esos
conocimientos, los sistematizó, les aplicó el razonamiento deductivo de la
matemática griega, y de esa combinación resultó el Álgebra que, a través de
distintas evoluciones, se conoce en nuestros días; es decir, que puede considerarse
a los árabes los verdaderos creadores del Álgebra, y hasta tal punto es así, que el
vocablo Álgebra es de etimología árabe: se deriva de la palabra alchebr, que significa
“reducción”, “suma”.

FUENTE: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA- Repetto Linskens Fesquet

En este capítulo aprenderemos

.. Números enteros
.. Números positivos
.. Cero
.. Números negativos
.. Símbolos de agrupación
.. Notaciones

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TRILCE

4

Álgebra

Síntesis teórica

NÚMEROS ENTEROS

Se denotan por Se Enteros positivos
clasifican
Z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Z+ = {+1, +2, +3, ...}
en
Cero= {0}

Enteros negativos

Z– = {...–3, –2, –1}

Para
multiplicarlos se
toma en cuenta

Para sumarlos se Para la
toma en cuenta división

que

Dos números Dos números La multiplicación La multiplicación
enteros de mismo enteros de distintos de dos números de dos números
signo se suman y signos se restan y del mismo signo de distinto signo
se coloca el mismo se coloca el signo genera producto genera producto
signo que llevan.
del mayor. positivo negativo

Se aplica la misma regla que en
la multiplicación

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5

1 Capítulo
Saberes previos

1. Completa correctamente usando los símbolos 4. Efectúa las siguientes operaciones:
">": (mayor que) ó "<": (menor que).
• 15 6 • 17 19 • 11 3 • 65 + (35 – 18) –12 =
• 38 – 15 + (8 + 12 – 4) =

2. Efectúa las siguientes operaciones: • 43 – 16 + 24 – 6 =

• 3 + 7 = • 9 + 5 = 5. Efectúa las siguientes operaciones:
• 14 – 9 = • 15 – 8 =
• 3 + 7 × 5 =

3. Efectúa las siguientes operaciones: • 4 × 6 + 3 =

• 9 × 7 = • 8 × 6 = • (3 × 8 – 6) ÷ 3 =

• 64 ÷ 8 = • 54 ÷ 6 =

Aplica lo comprendido

1. Calcular: 4. Efectuar

• (+8) + (+4) = • (–3) . (+4) =
• (+11) + (–6) =
• (–4) + (–5) = • (+7) . (–8) =
• (–14) + (+7) =
• (–4) . (–9) =

• (+5) . (+10) =

2. Efectuar: 5. Simplificar

• +11 – 3 = • (–32) : (+8) =
• (+55) : (–11) =
• –7 – 5 = • (–36) : (–9) =
• (–49) : (+7) =
• +9 – 14 =

• (–8) + (–12) =

3. Calcular: =
=
• (–1) – (+2) = =
• –(–8) – (+5) = =
• 5 – 4 + 6 – 3 =
• –8+2–1+5 =

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6

Álgebra

Aprende más

1. Calcular: 9. Efectuar:
(15 – 5) ÷ (–7 + 5)
(+3) – (–2) + (+4) – (–3)

a) 10 b) 11 c) 12 a) –4 b) –5 c) –3
d) 13 e) 14 c) –20 d) –8 e) –9
c) 8
2. Calcular: c) 10 10. Si se sabe que:
c) 19
(–3) – (–4) + 8(–2) – (+3) c) –56 A = – (–1 + 2) – (–1 – 3)
c) –33
a) –18 b) –19 c) –12 B = – (–3 – 5) – (–2 – 7)
d) 44 e) 18
Hallar: B – A

3. Calcular: a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
–5 + 3 + 3 – 1 + 8

a) 4 b) 6 11. Si:
d) 9 e) 10 P = (–3)(–4) + (–1)(+2) ÷ (+2)(–2)
Q = 4 – [ 5 – (–3)(4 – 6)]
4. Efectuar:

(–4)(+2) + (+3)(–1) Hallar: P × Q

a) –10 b) 12 a) 70 b) 90 c) 50
d) –11 e) 11 d) 80 e) 60

5. Efectuar: 12. Efectuar:
{ (–5+2) + [ (–9) – (–3) ] – 3} : (–2)(+2)
(–3)(–2) – (+2)(–4) + (–1)(–3)

a) 17 b) 18 a) 1 b) 2 c) 3
d) 20 e) 21 d) 4 e) 5

6. Efectuar: 13. Efectuar:
– {7+[5–(–7–2)]}+5–{[9–(14–5)+3]–5}–8
10 (6 – 12) + (3 – 5)(–2)
a) –20 b) –21 c) –22
a) –54 b) –55 d) –23 e) –24
d) –57 e) –58

7. Reducir: 14. Efectuar:
– 5 – { (+4)(–2) – [ 4–(–1)(–3) ] }

(–7)(–5 + 8) – (3 – 5)(–6) a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) –34 b) –31
d) –32 e) –35

8. Calcular: 15. Efectuar:

(4 – 2 + 1)(–3 + 1 – 2) (− 16 − 4) ' (− 8 + 6)
(+ 12) ' (− 4 − 2)

a) –10 b) –11 a) –4 b) –5 c) –6
d) –13 e) –14
d) –7 e) –8

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7

1 Capítulo 10. Si:
Practica en casa M = (–5)(–3) + (–2)(+3) + (+5)(–4)
N = 8 – {3 – (–3)(5 – 7)}
1. Calcular: (+9) – (–5) + (+6) – (–8) Hallar: M × N

2. Calcular: (–5) – (–9) + (–4) – (+7) 11. Efectuar: (–9 + 6) + [{(–15):(–3)} –4] × (–3)

3. Efectuar: (–4)(–3) – (+5)(–3) + (–2)(–3) 12. Efectuar: (–5)(–2) – [(–2)(+3) + (–5)(–3)]

4. Efectuar: 5 (3 – 8) + (2 – 4)(–3) 13. Siendo: B = (+4)(–3) + [(–12) : (–2)]
Hallar: B ÷ (–3)
5. Reducir: (–3)(–6+9) – (2–6)(–4)
14. Dado: A = (–4 + 5)(–3)(+2) + 1
6. Calcular: (5 – 3+2) × (–4 + 1 – 3) Hallar: (–7 + 2) : (A)

7. Efectuar: (–13 – 5) ÷ (–11+2) 15. Efectuar:
(− 23 − 5) : (7 − 19 + 5)
8. Si se sabe que: 36 : (− 6 − 3)
A = –4 – 3 – 2 – 5
B=2+4–8
Hallar: A × B

9. Si:
P = – (–2 +3) – (–4 –3)
Q = – (–2 – 6) – (–4 – 8)
Hallar Q – P

Tú puedes

1. Si: m=2; b=5, calcular el valor de: 4. Calcular el valor de:
(30 + 5)2 – (30 + 5)(30 – 5)
{m – (m – b)} (m – b)

a) –14 b) –13 c) –15
d) –16 e) –17
a) –804 b) –803 c) –805
d) –806 e) –807

2. Calcular el valor de la siguiente suma:

2002–2001+2000–1999+....+4–3+2–1 5. Dada la sucesión:
2×21; 3×22; 2×23; 3×24; 2×25; .....
a) 101 b) 10001 c) 2001 ¿Cuál es el cociente entre los términos que
d) 1001 e) 110 ocupan las posiciones 20 y 21 en ese orden?

3. Se define:

a ⊗ b = ab + b 60 33 61
41 41 41
a # b = 2a – 4b a) b) c)

Siendo "a" y "b" números enteros, calcular el d) 59 e) 17
valor de: (2 ⊗ 5) # (–2) 41 41

a) 36 b) 360 c) 38
d) 37 e) 44

Colegios Central: 6198-100

TRILCE

8

2Capítulo

Definiciones algebraicas I

Lectura: el padre del álgebra

Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media.
Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra matemática que
afortunadamente llegó a nosotros gracias a las traducciones al latín que de ella se
hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento. Al - Jwarizmi vivió del
año 780 al 835. Nació en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente
se llama Jiva y está en Uzbekistán.
Escribió varios textos, fundamentalmente de matemática, el más
importante de todos ellos es, sin duda, "Al - jabar wa´l Muqabala,
que es un tratado sobre cómo plantear y resolver ecuaciones para
resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza así:
"Este
interés por la ciencia, con la que Alá ha dotado al califa Al - Mamún,
caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve
obra sobre el cálculo por medio del álgebra, en la que se contiene
todo lo que es más fácil y útil en aritmética, como por ejemplo todo
aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos
y sin equívocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones
con terceros, todo aquello en donde esté implicada la agrimensura, la
excavación de pozos y canales, la geometría y varios asuntos más.
Con el paso de los siglos los matemáticos reconocieron que la obra de
Al - Jwarizmi era tan importante que se hicieron varias traducciones al latín,
que era el idioma en el que se escribía la ciencia en la Europa de esa época.
Para finales del siglo XVI nadie tenía dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del álgebra.

FUENTE: redescolar.ilce.edu.mx

En este capítulo aprenderemos

.. Álgebra: definición
.. Objetivo
.. Expresión algebraica
.. Término algebraico
.. Clasificación con respecto al número de términos
.. Ejercicios y problemas de aplicación

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9

2 Capítulo Objetivo
Síntesis teórica Término
ÁLGEBRA algebraico
Definición
Expresión
algebraica
Clasificación

Monomios Polinomios

Colegios • Coeficiente
• Signo
TRILCE • Parte literal
10 • Exponente

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Saberes previos Álgebra

1. Calcular: 5 – 3 + 7 × 2 4. Calcular: (–2)2 + 52 – 3
5. Calcular: (–1)3 + (–2)3 + (–3)2
2. Calcular: 4 + 5 × 12 6. Calcular: (–1)(–3) + (–2)(–4) + (–5)(2)
3

3. Calcular: 15 ÷ 5 + 12 – 12

Aplica lo comprendido

1. Señale el coeficiente en el término algebraico: 4. Señale la suma de exponentes de la parte literal
–3x4 y5 del término algebraico:
4 x5 y2
2. Señale la parte literal del término algebraico:
2 x9 y4 z 5. Señale el coeficiente:
(–2)2(3)2 xyz9
3. Indique el coeficiente del término algebraico:
(–2)(–3) xz

Aprende más

1. De las expresiones algebraicas: 4. Indique cuáles son binomios:
• 2x2y7 • x2+y8

• x+y+z • x+y+z
• –3x3y2; x–y • x2+1
¿Cuántas son monomios? • x2y11

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0 a) x2+y8 b) x2+1 c) x2y11
e) x+y+z
2. Indique cuáles son monomios: d) x2+1; x2+y8

• –x+y 5. Señale cuántos trinomios tenemos:
• 42xy10 • 2x8y3z

• –3xyz–1 • 3xy+z+y

a) –x+y b) 42xy10 • 12xy
c) –3xyz–1 d) –x+y; x+y+z • x2+y2+z2
e) 42xy10; –3xyz–1

3. Señale cuántos binomios tenemos en: a) 1 b) 2 c) 3
• 3xyz8 d) 4 e) 5
• x–y+z2
• x+y
• x2y2+z5

a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4

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11

2 Capítulo

6. Señale el coeficiente de: 12. Dado el monomio:
(6+10 ÷ 2+3) x4y3z15 ky3z8 + 2y2z9 + 4 y3z8
Hallar: k+1
a) 11 b) 8 c) 13
d) 12 e) 14
a) 5 b) 4 c) –4
d) –3 e) –5
7. ¿Cuál es el coeficiente de:
x1 4+4x4+2440x2v+ec4exs.4..4. +44x3 13. Dado el polinomio:
x2 + y3 + xn
a) 16 b) 7 c) 17 ¿Cuál puede ser el valor de "n"?
d) 18 e) 20

8. Señale el coeficiente de: a) –1 b) 2 c) –2
2x3y + 2x3y + 2x3y + ... 80 veces d) –3 e) –4

a) 80 b) 80x3y c) 84 14. Dada la expresión algebraica
x2 + y3 + z2
d) 84x3y e) 160 Las letras x; y, z, representan el valor de una
cantidad. Señale (V) o (F).
9. Señale el coeficiente:

31 4x +4 434x 5+44023vexc4e+s4..4. +4 443x3 + x1 4+4x4+147x2ve+c4e.s4...4+4x3 I. x puede representar una velocidad

a) 150 b) 170 c) 150x II. y puede representar el valor de una tempe-
d) 167 e) 170x ratura

10. Señale la suma del coeficiente con el exponente III. z puede representar el valor de un rendi-
de x, luego de reducir: miento
x8 + x8 + x8 + .... 180 veces
a) VVV b) FFF c) VFV
d) VVF e) FVV

a) 8 b) 180 c) 188
d) 180x8 e) 188x8
15. Señale la expresión reducida del siguiente
monomio:
11. Si la siguiente expresión algebraica es un (n − 5) x2y2 + 21 4x34y4n +424x43y4n45+4022vxe3c4eysn4+4.4...4. +424x434yn3
monomio. Calcular: n (n+5).
x2y5 + (n – 3) x2y9 a) 50x3y5 b) nx3y6 c) 100x3y6
d) 100x3y5 e) 2x3y5
a) 0 b) 5 c) 3
d) 8 e) 24

Practica en casa 5. Sumar los coeficientes de los siguientes términos
algebraicos
1. Señale los monomios: 4 x2y ; 5x5y2 ; 6x3y3
4x2y5 ; –2x6z2 ; x–y5 ; 4 xyzw
6. Sumar los coeficientes de los siguientes términos
2. Señale cuántos binomios tenemos: algebraicos: –3 xy ; –2 yz ; x5y
xy ; x+y; y3+3; x2y3 ; 2x – 3y
7. Señalar el coeficiente de: (–3)(–11) x2y
3. Indique los trinomios: 8. Hallar el coeficiente de: (–2)2 (2)3 zw
2 xyw ; xyz ; x+y+z ; x2 – y2 – z3
Central: 6198-100
4. En el término algebraico: 4 x4 y5 z
Señale la parte literal

Colegios

TRILCE
12

Álgebra

9. Indique el coeficiente de: 13. De los spiugeudieenteses rnúumnervoasl:or21 , –3, 4 dado el
x1 4+4x44+43x2ve+c4e.s.4.. 4+4x3 ¿Cuál de "n"
polinomio:
10. Indique el coeficiente de: x10+yn+z12?
5x2 + 5x2 + 5x2 + .... 99 veces
14. Hallar el coeficiente:
11. Dado el monomio: 144x 4+444x 4+24342vxec+4es4...4...4+444x3 + x1 4+4x4445+2ve..c.4e..s4. +4x3
4 y2z2 + (K – 4) x2 y2
Hallar: K+2 15. ¿Qué cantidades puede representar x, y, z en la
expresión algebraica:
12. Dado el trinomio: • La estatura de una persona
x + ky + 3 z + 5x2 + 8y • El número de personas en un salón
Hallar: K – 1 • El amor que siente una persona.

Tú puedes

1. Sumar los exponentes de los siguientes términos 4. Hallar el coeficiente del siguiente monomio:
algebraicos.
3x ; 4x2 ; 5x3; .... 22x20 (–1)1(–2) 2 (–3) 3 (+ 4)n x2y2
22n + 2

a) 20 b) 200 c) 210 a) 4 b) 9 c) 27
d) 220 e) 240 d) 12 e) 81

2. Sumar los coeficientes de los siguientes 5. En un monomio el exponente de "x" excede
monomios: en 3 al exponente de "y", y éste excede en 4 al
x ; 4x2 ; 9x3 ; .... 100 x10 exponente de "z" y éste excede en 5 al coeficiente
cuyo valor es el menor entero positivo impar.
a) 110 b) 240 c) 380 Hallar la suma de exponentes de "x"; "y"; "z".
d) 385 e) 421
a) 30 b) 28 c) 31
d) 29 e) 27
3. Hallar el valor de la suma de coeficientes
incrementado en "a" unidades.
y ; 4y2 ; 9y3 ; .... ay9

a) 350 b) 360 c) 362
d) 366 e) 285

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13

3 Capítulo

Definiciones algebraicas II

Lectura: Joseph Louis

Joseph Louis, conde de Lagrange. Este insigne matemático propugnó,
en su Mécanique Analytique, los métodos abstractos que permiten
un desarrollo algorítmico, es decir con símbolos matemáticos, sin
ninguna representación concreta.
Respecto de ello, dijo:
"En mi obra no se hallarán figuras.
Los métodos que en ella se exponen no exigen construcciones ni
razonamientos geométricos mecánicos; solamente se requieren
operaciones algebraicas sujetas a un proceso regular y uniforme".

FUENTE: "El mundo de la matemática" Editorial Clasa–Oceano.
Edición 1985

En este capítulo aprenderemos

.. Identificar términos algebraicos semejantes.
.. Reducir términos algebraicos semejantes.
.. Realizar adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas

identificando términos algebraicos semejantes.

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14

Álgebra

Síntesis teórica

Definiciones algebraicas II

Términos semejantes
Reducción de términos

semejantes
Términos no semejantes
Adición de expresiones
algebraicas

Sustracción de expresiones
algebraicas

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15

3 Capítulo 3. Efectúe las siguientes operaciones:
Saberes previos • (+14) + (–8) =
1. A partir del siguiente término algebraico: • (–9)+(+3) =
T (x; y) = –8 x3y4
Indique lo siguiente: 4. Efectúe las siguientes operaciones:
• Variables: • 16 – 10 =
• Parte literal: • 13 – 20 =
• Coeficiente:
5. Efectúe las siguientes operaciones:
2. Efectúe las siguientes operaciones: • 7 + 8 – 16 =
• (+13) + (–12) = • 4 + 5 – 17 =
• (–9)+(–4) =

Aplica lo comprendido 4. Reducir:
–2x2y + x2y – 4xy2 + 5xy2
1. Reducir:
4x + 5x – 3x

2. Reducir: 5. Si los términos algebraicos:
4xy – 5xy T (x) = 4xm ; S(x) = 5 x6
Son semejantes. Halle el valor de m.
3. Reducir:
–8x2 + 3x2 – x2

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TRILCE

16

Álgebra

Aprende más

1. Reducir: – 2ab + ab – 3ab + 2 ab 9. Sean los términos semejantes:
A (x; y) = 3xa–1yb
a) –ab b) ab c) 2ab B (x; y) = –7x4y5
d) –2ab e) 3ab Hallar: a – b

2. Reducir: 3 xy + 2 xy – (4 xy – 7 xy) a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
a) 6xy b) 7xy c) 8xy
d) 9xy e) 10xy
10. Sabiendo que:
3. Reducir: 5mn – [ 3mn + (5mn – 13 mn)] T (x) = –x2 + 3x – 4
M(x) = –2x + x2 + 5
a) 6mn b) 8mn c) 10mn Hallar: T(x) + M(x)
d) 11mn e) 12mn

4. Si: a) x b) x+1 c) x+3
T(x) = 3x6 es semejante con d) x–1 e) x+2
Q (x) = –8x2a–2
Hallar: a 11. Teniendo en cuenta que:
A (x) = –2x3 + 2x – 3
a) 1 b) 2 c) 3 B (x) = –x3 + 2x – 1
d) 4 e) 5 c) –8xy2
Hallar: A(x) – B (x)

5. De: –4 xy2, restar 4xy2 a) –x3+x+2 b) –x–x3+1
c) –x3–2 d) –x3–x+2
e) –x3–x–2
a) –4xy2 b) –6xy2
d) –10xy2 e) –12xy2 12. Siendo:
P(x) = –x2 + 5x – 7
6. De: 14 mn restar –mn Q(x) = 3x2 – 7x + 5
Hallar: P(x) + Q(x)
a) 13mn b) 14mn c) 15mn a) 2x2–2x+1
d) 16mn e) 17mn c) 2x2–2x–3
e) 2x2–2x+2 b) 2x2–2x+3
7. Siendo: d) 2x2–2x–2
A (x; y) = 5xy – 4xy – 2xy
B (x; y) = –xy + 3xy – 4xy 13. Reducir la siguiente expresión:
Hallar: A – B R (x; y) = 2x – 3y + x + 2y + 2x – y

a) 3xy b) 2xy c) –xy a) x–2y b) 5x–3y c) 5x–2y
d) xy e) 5xy d) 4x–y e) 5x+2y

8. Siendo: 14. Reducir la siguiente expresión:
P(x; y) = 5xy3 – 3xy3 – xy3 E(x; y; z) = 5x2yz – 8yx3+x2yz + 4yx3–3x3y
Q (x; y) = –xy3 – 4xy3
a) 3x3y–8x2yz b) 8x2yz–2x3y
Hallar: Q – P c) 4x2yz–6x3y d) 3x2y–xy
e) 6x2yz–7x3y
a) –4xy3 b) –6xy3 c) –6x3y
d) –5xy3 e) 4xy3 15. Efectuar: 5a2b – 2b2 – (7b2 – 4a2b)

a) 9a2b–9b2 b) 4a2b–3b2
c) 4a2b–3b2 d) 9a2b+5b2
e) 7a2b–2b2

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17

3 Capítulo 9. Sean los términos semejantes:
Practica en casa T (x; y) = 9 xn–2 ym–3
Q (x; y) = 13 x4 y5
1. Reducir: Hallar: m – n
10x2 + 5x2 – 8x2
10. Sabiendo que:
2. Reducir: P(x) = –x5 + 8x3 – 9
14 xy5 – 19 xy5 Q(x) = –4x3 + x5 + 7
Hallar: P(x) + Q(x)
3. Reducir:
–4 ab + 2 a2b – 5 ab – 3 a2b 11. Teniendo en cuenta que:
A(m) = –4m2 + 5m – 11
4. Si los términos algebraicos: B(m) = –m2 + 3m + 3
A(x) = –11xn ∧ B(x) = 5x30 Hallar:
Son semejantes. Halle el valor de n. A(m) – B(m)

5. Reducir: 12. Reducir la siguiente expresión:
11 abc – (3 abc – 4 abc – 5 abc) R (x; y) = 4x – 5y + 2x + 3y + 3x – 2y

6. De –40 ab5 restar 30 ab5 13. Reducir la siguiente expresión:
E(m;n;p)=5m2np–9pn3+4m2np+4n3p– 11m2pn
7. De 56 xyz restar –xyz 14. Efectuar:

8. Siendo: 5 ab6 – 11ab6 – (3ab6 – 7 ab6)
A (a; b) = 11 ab – 8 ab – ab 15. Si:
B (a; b) = –ab + 4 ab – 5ab
Hallar: A – B P(x) = 8x3 – 3x
Q (x) = –4x – 14x3
R(x) = x5 + 2x3
Hallar: P(x) + Q(x) + R(x)

Tú puedes

1. Si se cumple que: 5xb + ax3 = 11 x3, calcular 4. Sabiendo que "a" y "b" son números naturales
el valor de: a + b tales que:
4x7 + 12x7 = ab x7
a) 2 b) 5 c) 6
d) 3 e) 4 Hallar la suma de todos los valores adoptados
por "a" y "b".
2. Siendo: A=mxm+3y2m+n ∧ B=nx2n–1y3m+1
a) 19 b) 15 c) 29
Términos semejantes. Dar su suma d) 4 e) 62

a) 4 x5y5 b) 2 x3y8 5. El largo de un rectángulo mide (3x+2y). Si su
c) 5 x5y7 d) 9 x4y3 perímetro mide (10x + 6y). ¿Cuánto mide el
e) 7 x6y6 ancho del rectángulo?

3. Al sumar los términos: x9+2x9+3x9+.....+nx9 a) 2x+y b) 7x+4y c) 7 x + 4y
se obtuvo 55x9, indique n2 d) 4x+2y e) x+2y 2

a) 76 b) 81 c) 49
d) 100 e) 196

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18

4Capítulo

Teoría de exponentes I

Lectura: René Descartes

El primero que colocó el exponente en una posición elevada con
respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo,
se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x2, lo
escribía como 52.
En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète
en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual,
salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x2 lo
escribía como 5xii.
Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los
incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja
de ser curioso; sin embargo, que para la potencia cuadrada no
utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como
muchos hasta entonces, x2 como xx.

FUENTE: Link:www.epsilon.com

En este capítulo aprenderemos

.. Notación de una potencia, explicando los elementos operativos:
base – exponente – potencia.

.. Definición de exponente cero y exponente unitario.
.. Operación de multiplicación y división de potencias de bases

iguales.
.. Regla de signos de la potenciación.

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19

4 Capítulo
Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES
I

Potenciación • Definición
• Teorema

Definiciones Teoremas

Exponente Exponente Exponente
Natural Cero Unitario

Multiplicación de División de
potencias de bases potencias de bases

iguales iguales

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20

Saberes previos Álgebra

1. Efectuar: 4. Efectúe las siguientes operaciones:
• (–3)(–3) = • 9 + 6 – 17 =
• (–4)(–4)(–4) = • 5 – 8 –20 =
• – 5 – 4 – 3 =
2. Reducir:
• x + x = 5. Reducir:
• x + x + x = x8 + 2x8 + x8 =
• x + x + x + x = 4x11 – 12x11 =

3. Reducir: 4. Efectuar:
x7 + x7 + x7 + x7 + x7 =
• 50 =
Aplica lo comprendido
• (–11)0 =
1. Efectuar:
• 43 = • –90 =
• 25 =
• 450 =
2. Reducir:
• x . x . x . x . x = 5. Efectuar:
• m1 4.4m45.40m2ve. cm4es.4..4..4m3 =
• x4 . x5 =
3. Calcular:
• (–4)2 = • m21 = ; m≠0
• (–5)3 = m7 = ; x≠0

• x3 . x8
x9

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21

4 Capítulo
Aprende más

1. Efectuar: 9. Reducir:
(–3)2 – (–2)2 x.x.x+x.x.x+x.x.x

a) 2 b) 3 c) 4 a) 3x3 b) 2x3 c) x3
d) 5 e) 6 c) –76 d) x4 e) x9 c) 2x8
c) x63 c) 4
2. Efectuar: c) x5 10. Reducir: c) x9y5
(–5)3 + (–7)2 c) 3 x5 x6 c) 128
b) –75 c) 3 x−3 + x−2 ; x!0 c) –x144
a) –74 e) –78 c) x–3 c) x6
d) –77 c) x3 a) x8 b) 3x8

3. Reducir: d) x6 e) x15
x12 . x10 . x40
a) x61 b) x62 11. Reducir:
d) x64 e) x66 x5 + x5 + x5
x3 . x2 ; x!0

4. Reducir: a) 1 b) 3

x40 ; x!0 d) x e) 2
x50
a) x4 b) x–10 12. Reducir:
d) x10 e) x20 x2 . y5 . x3 . y4

5. Reducir: a) x6y9 b) x7y9
7(− 3)0 d) x5y9 e) xy6

a) 7 b) 0 13. Efectuar:
d) 1 e) –7 (–2)6 – (–4)3

6. Efectuar: a) 64 b) 32
4x0 + (4x)0 ; x ! 0 d) 1024 e) 512

a) 1 b) 2 14. Reducir:
d) 4 e) 5 (–x)40 . x51 . (–x)21 . (–x)20

7. Reducir: a) –x48 b) –x10
x6 d) –x132 e) –x37
x4 . x5 ; x!0

a) x–1 b) x–2 15. Reducir:
d) x–4 e) x–5
x9 . x−32 . x50
x−4 ; x!0

8. Reducir: b) x2 a) x3 b) x5
x5 . x−22 . x30 e) x5 d) x4 e) x7
a) x
d) x4

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22

Álgebra

Practica en casa 9. Reducir: m . m . m . m + m . m . m . m

1. Efectuar: (–10)2 – (–3)4 10. Reducir:
2. Efectuar: (–2)5 + (–3)3 x7 x5
3. Reducir: x13 . x11 . x31 x−3 + x−5 ; x!0

4. Reducir: x30 ; x!0 11. Reducir: x8 + x8 + x8 ; x!0
x50 x3 . x5

5. Reducir: 11(− 8)0 12. Reducir: a3 . b6 . a4 . b7 . a6
6. Efectuar: 9x0 + (17x)0 ; x ! 0
13. Efectuar: (–4)4 – (–2)3

x8 . x6 14. Reducir: (− x)28 ; x≠0
x10 . x14 x43
7. Reducir: ; x!0

8. Reducir: x6 . x−32 . x430 15. Reducir: x8 . x−23 . x30 ; x!0
x−3

Tú puedes

1. Reducir: 4. Si: xx=3, halle el valor de:
230 + 227 xxx + 1
226
b) 18 c) 4 a) 9 b) 6 c) 27
a) 16 e) 8 d) 81 e) 24
d) 6

2. Resolver: 5. Si: 5n = 2 y 2m = 3; calcular:
21(34.x42−.292) v.4e..c4.e2s3 = 11 46 4+21445662v+e.c4.e.4s+44163 5n + 1 + 2m + 1
5n + 1 − 2m + 1
a) 5 b) –7 c) 7
d) 3 e) 6 a) 7/3 b) 6 c) 4
d) 2 e) 5

3. Hallar el valor de "x" tal que:
2x–2 + 2x+2 + 2x–3 + 2x+3 = 198

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

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23

5 Capítulo

Repaso I

Lectura: Leyenda sobre el ajedrez

Existen diversas leyendas sobre el origen del ajedrez, la más difundida de ella es la
siguiente:
Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo
en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo
y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y
filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey.
Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió
a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan feliz
con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El
joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en
la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera,
ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar
las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió
a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que
debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una
gran sorpresa:
¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!"

FUENTE: red escolar.ilce.edu.mx

¿Por qué no alcanzaría el trigo?, la respuesta está en el exponente, pues al efectuar la operación, el número
crece considerablemente, así tenemos que solo por el casillero 64 el número de granos que corresponde
es 264 cuyo resultado es:
9 223 372 036 854 780 000.

En este capítulo recordaremos

.. La reducción de términos algebraicos semejantes, así como sus
características.

.. Teorías de exponentes
.. Definiciones y teoremas que abarcan: exponente cero, unitario

y multiplicación y división de potencias de bases iguales.

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24

Álgebra

Saberes previos 4. Reducir:
• 8a2 + 5a2 – 15a2 =
1. Efectúe las siguientes operaciones: • 14xy – 19xy + 2xy =
• 4 – 15 =
• –20 – 10 = 5. Efectuar:
(–5)3 =
2. Efectúe las siguientes operaciones: (–9)2 =
• –13 – 12 + 33 =
• 4 + 5 – 18 =

3. Efectúe las siguientes operaciones:
(–4)(3) + (–2)(–5) =
(–8)(4) – (–3)(5) =

Aplica lo comprendido 8. Desarrollar las potencias, eliminando los
paréntesis:
1. Reducir: • (–x)4 =
–14x4y5 + 9x4y5 – 4x4y5 • (–x)5 =

2. Reducir: 9. Efectuar: ; x!0
–3abc3 + abc3 – 4abc3 + 2abc3 • x0 = ; x!0
• (–x)0 = ; x!0
3. Si los términos algebraicos: • –3x0 =
T(x) = 40xn; S(x) = 2x8 • x80 =
son semejantes. Halle "n"
10. Efectuar:
4. Reducir:
–9m5n4 + 5m5n4 – (2m5n4 – m5n4) • b4 . b6 . b5 =

5. De: • x16 + x8 = ; x≠0
8abc8 restar 10 abc8 x12 x4 ; m≠0

6. Restar: m5 . m6 . m7
–xy3 de 5xy3 • m9 =

7. Reducir: Primer año de secundaria
x1 4.x4.14x540.2xve.c4xes4...4.4. x3

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25

5 Capítulo
Aprende más

1. Reducir: 4mnp + 5mnp – (2mnp – 9mnp) 10. Efectuar: (–4)3 – (–5)2

a) 9mnp b) 8mnp c) 16mnp a) –40 b) –37 c) –38
d) 3mnp e) 4mnp d) –89 e) –32

2. Reducir: 4xw2z − 63xw2z + (8 xw2z − 15 xw2z@ 11. Reducir: x13 . x12 . x–16 ; x ≠ 0

a) 9xw2z b) 11xw2z c) 9xw2z a) x6 b) x7 c) x9
d) 7xw2z e) 8xw2z d) x4 e) x14

3. Si: T(x) = 8x16 , es semejante con Q(x) = 11x2a–2 12. Reducir: x16 + x18 + x6 ; x≠0
Hallar: a x13 x15 x3 c) x3

a) 1 b) 2 c) 4 a) 3x3 b) 2x3
d) 3 e) 6
d) 4x3 e) 5x3
4. Sabiendo que:
PQ(x(x) )==–141xx22+– 13. Reducir: 2012(− 2011)0
6x – 8
13x + 9 a) 2010 b) 2011 c) 2013
Hallar: P(x) + Q(x) d) 2012 e) 2014
a) 7x2–11 b) 7x2–6x+1
c) 7x2 – x d) 7x2+x+1 14. Reducir: x62 . x−33 . x540 ; x ≠ 0
e) 7x2–7x+1 a) x6 b) x14 c) x40
d) x18 e) x3
5. Teniendo en cuenta que:
A(x) = –4x5 – 8x – 2 x9 x9 + x9 + x9
B(x) = –2x5 + 4x – 6 15. Reducir: + 2 x5 . x4 ; x!0

Hallar: A(x) – B(x) a) 1 b) 2 c) 3
a) –2x5+3 b) –2x5+x+1 d) 4 e) 5
c) –2x5–12x+4 d) –2x5–x2+8
e) –8x3–2x2–2 16. Reducir: m5 . n6 . p7 . m4 . n2 . p8

6. Si: a) mn7p11 b) m9n7
QRP((xx(x;;;yyy;;;zzz)))===5–8x4y3x23+––921xy232y++2 –zz444 z4
c) m9n8p14 d) m9n8p13

e) m9n8p15

Hallar: 17. Reducir: (–x)50 . x41 . (–x)21 . x13

P(x; y; z) + Q(x; y; z) + R(x; y; z) a) –x160 b) –x240 c) –x125
a) –8x3+2y2–z4 b) –8x3–2y2+z4
c) –8x3+y+z4 d) –x3–y2+z4 d) –x123 e) –x111
e) –8x3–2y2–2z4
18. Reducir: x42 . x−52 . x23 ; x!0
7. Si se cumple que: 7xm + ax4 = 13 x4 x−6
Calcular el valor de: m + a − 1 a) x2 b) x3 c) x4
d) x5 e) x6 c) m12
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6 m11 m6
19. Reducir: m−2 + m−7 ; m!0

8. Reducir: a) m13 b) 4m13
P(x; y) = 5x – {–2x– [x – 2y]} + 2y
d) 2m13 e) m8
a) x b) 7x c) 6x
d) 8x e) 9x
20. Hallar "x", si: 5x+3 + 5x+2+5x+1+5x+1=157

9. De: (8x – 11) restar: (–4x + 1) a) 1 b) –2 c) –1
d) 0 e) 3
a) x–12 b) 12x–12 c) 10x–3
d) 11x–1 e) 12x+12

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26

Álgebra

Practica en casa

1. Reducir: 5x3y2z4+2x3y2z4 – 9x3y2z4 11. Efectuar:
2. Reducir: 4am5 – [8am5 – (7am5 – 11am5)]
3. Si: 9x4yb–2; es semejante con: –13xa–2y • x5 . x6 . x8 . x9 =

Hallar: a + b m20 m14 m9
m13 m7 m2
4. Si: • + + = ;m≠0

A(x) = –4x8 + 23 12. Reducir:
B(x) = –30 + 5x8
Hallar: A(x) + B(x)

5. De: 9mnp7 resta 15mnp7 x4 . x5 . x11 ; x!0
x13
6. Restar: –5xw de 200wx
7. De: (5xy + 4xz2) restar (2xz2 – 2xy) 13. Si se cumple que: 11xn + mx6 = 18 x6
Calcular el valor de: 3 m + n − 5
8. Reducir: 4 a . a . a + 5 a . a . a – 2 a . a . a

9. Efectuar: 14. Reducir:
• (–m)8 =
• (–3)7 = 4m5 + m5 + m5 + m5 ; m!0
14 m3 . m2
10. Efectuar:

• 30 + 22 = 15. Reducir:
• (–4)0 + (–2)2 = x1 4.x4.x4+4x4.x43.x04+4su2mx.axn4.dx4o+s4.4..4+4x.4x4.x3

• –23 . x0 = ; x!0

• 7110 =

Tú puedes

1. Dados: 56 4.14507v..e.c.4.e.4s. 58 . 16 45 .41475v.7e1c5e4s..4..4158
515 . 38
P = (C – 1) x2 + 3x + 3y 3. Reducir:
Q = 5x2 – 3 (x+y)
Si: P – Q se reduce a 6 (x+y). hallar el valor de C. a) 25/6 b) 25/3 c) 25/2

a) 2 b) 3 c) 4 d) 15/2 e) 7/3
d) 5 e) 6
4. Si: a3 = 3
2. De a2 sustraer la suma de 3ab–6 y 3a2–8ab+5 Hallar: a3a3
a) –a2 + 5 ab – 2
b) –3 a2 + 5 ab – 1 a) 1 b) 3 c) 9
c) 3 a2 – 5 ab + 1 d) 27 e) 81
d) –3 a2 + 5 ab + 1
e) –2 a2 + 5 ab + 1 5. Simplificar:
2n +4 . 2n 2
−2 + ; n!N
2 . 2n +3

a) 1/4 b) 1/2 c) 2
d) 1/3 e) 4

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27

6 Capítulo

Teoría de exponentes II

Lectura: El Álgebra en la astronomía

Para los científicos que se ocupan de estudiar fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes, como
los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy útil la potenciación, porque les permite trabajar y
operar con números muy grandes con cierta facilidad.

La distancia que nos separa de la nebulosa de Andrómeda, por ejemplo,
es aproximadamente igual a:

95000000000000000000 km
La cual se puede escribir también como 95 × 1018, pues hay 18
ceros a la derecha del 95. Más aún, este número se puede escribir
como 0,95 × 1020 o 9,5 × 1019 o 950 × 1017.

Así como los científicos usan números gigantescos, también
utilizan números muy pequeños, como el que representa la
masa de un protón, una de las partículas del átomo:

0,00000000000000000000000165 gramos

como las potencias con exponente negativo representan inversos
de potencias positivas, es decir, por ejemplo:

5–20 = 1
520

y el inverso de 520 es un número muy pequeño, son las potencias con
exponente negativo precisamente las que permiten expresar números
como la masa de un protón de manera más breve:

1,65 × 10–24 gramos

El exponente –24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el número en cuestión
hasta llegar al primer dígito distinto de cero (contando este dígito).

FUENTE: www.rena.edu.ve

En este capítulo aprenderemos

.. Definir la potencia de exponente entero negativo.
.. Multiplicar potencias con exponentes iguales.
.. Identificar y desarrollar potencias de potencias.
.. Aplicar indistintamente y en forma correcta las definiciones y

propiedades vistas.

Colegios Central: 6198-100

TRILCE

28

Álgebra

Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES
II

Definiciones Teoremas

Exponente Multiplicación División de
negativo de potencias potencias

Potencia de
potencia

Bases de Bases de
exponentes iguales exponentes iguales

Consecuencia

Además ` a j− n = ?
recuerda que b

(–a)n= ?

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29

6 Capítulo
Saberes previos

1. Calcular: 4. Reducir:

• 3 + 5 = • (–5)2 =
7 7 • (–4)3 =
• –22 =
• 11 − 5 = • −730 =
3 3

2. Reducir:

• x4 . x5 =

• m6 . m3 . m2 = 5. Efectuar:

3. Reducir: • 2 + 3 =
3 4

• x11 = ; x≠0 • 2 − 11 =
x4 ; m≠0 3 2

• m6 =
m8

Aplica lo comprendido

1. Efectuar: = 3. Reducir:
• 4–1 = (x2)5 . (x3)6
• (–3)–1 =
• 5–1 = 4. Reducir:
• –2–1
= 155 − 35
2. Efectuar: = 55
• 9–2 =
• 4–3 5. Reducir:
• (–5)–2 2x . 3x – 6x

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30

Álgebra

Aprende más

1. Efectuar: 9. Reducir:
1 1 ;31 4x84.43x42480.2v3ecx4e8s4...4. 344x83E
8 1 − + 8 1 − ;91 4x145 4. 94x1144052v. e9cx4e1s45 .4..49x44153E
4 8
B B ; x≠0

a) 11 b) 13 c) 15 a) x4 b) x5 c) x7
d) 16 e) 12 c) 7/144

2. Calcular: d) x10 e) x12
3–2–4–2
b) 11/144 10. Calcular:
a) 33/144 e) 13/144 (4–1 – 4–2)–1
d) 19/144
a) 17/3
3. Calcular: d) 16/3 b) 11/3 c) 19/3
3 e) 13/3 c) y5
8 5 − c) 5/4
3 11. Reducir: c) 2/5
B c) 125

a) 7/125 b) 11/125 c) 17/125 (x2y5) 4 (x3y2) 3 ; xy ≠ 0
d) 27/125 e) 13/125 c) x18y19 x17 (y4)5
c) –1
4. Reducir: a) y3 b) y4
(x2y5)2 . (x3y2)5 d) y6 e) y7

a) x18y19 b) x19y20 12. Calcular: −1
d) x17y20 e) x17y29
R = ; 8 25 −1 8 5 −2 E
11 3
B+ B

5. Calcular: a) 3/5 b) 4/9
5− 40 d) 2/7 e) 1/3

a) 2/5 b) 5 13. Reducir: 1
d) 1/5 e) 1 9
2−3 + (− 3) − 2 − + (2012)0

6. Hallar el equivalente de: a) 3/8 b) 9/8
(xy)–3 ; xy ! 0 d) 1/2 e) 3/7

a) x3y3 b) 1 c) 1 14. Reducir:
d) x3y–3 x3y x3y3 205

e) x3/y3 1024 # 125

7. Reducir: a) 5 b) 25
d) 625 e) 3125

1810 − 1020 15. Reducir: 1
910
= m− 1 + n− 1− ; m≠n≠0
a) 1 b) 2 c) 3 m− 1 − n−
e) 5 1G

d) 4 n−m m m+1
m+n n m−n
8. Reducir: a) b) c)

4(x2)6 + 5x4 . x8 – 6 . x16 ; x!0 d) m+n e) m + n
x4 n–m n
a) 2x12 b) 3x12 c) 15x12
d) 6x12 e) 4x12

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31

6 Capítulo 9. Reducir: ;21 4x54.42x42450.2v2ecx4e5s4...4. 244x53E ; x≠0
Practica en casa ;144x84.441x44082v.e4c4xes84..4. 444x83E
1. Efectuar: ` 31j−1 + ` 81j−1
2. Calcular: 2–2 – 5–2

10. Calcular: (5–1 – 5–2)–1

3. Calcular: 8151B−2 11. Reducir: (x2y5) 4 (x3y2) 4 ; xy ≠ 0
4. Reducir: (a4 . b5)2 (a3b2)4 x4 . x13 . (y2)10
5. Calcular: 4−50
6. Hallar el equivalente de: (xy)–4 ; xy ! 0 12. Calcular: R = 25 − 1 + 5 − 2− 1
16 3
;` j ` j E

13. Reducir: ^2–3 + 8 + (–5h–2 – 1 + (2013)0
25

7. Reducir: 185 − 240 205
65 1000 # 128
14. Reducir:

8. Reducir: 5(x3)7 + 9x10 . x11 + 8 x31 a−1 1 −1
x10 a−1 1
15. Reducir: = + b− G ; a≠b≠0
− b−

Tú puedes

1 B−8 1 B8 1 B−8 1 B8 31 B−3 4. Calcular:
3 9 3 9 53 + 52 + 5 + 1
1. Simplificar: 8
5−3 + 5−2 + 5−1+ 1
a) 9 b) 9 c) 1/3
d) 27 e) 1/9 a) 5 b) 25 c) 125
d) 625 e) 3125 c) 10

2. Efectuar: ` 2 x . ` 9 2x . ` 8 x 5. Si:
3 4 27 10m = xm . yn
j j j 10n = xn . ym

a) 2/3 b) 3/2 c) 1
d) 9/4 e) 4/9

3. Si se sabe que: Indicar el valor de: xy
2x = 5 .......... (1)
3y = 7 .......... (2) a) 8 b) 9
6xy d) 11 e) 12
7x . 5y
Calcular: A =

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

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32

7Capítulo

Teoría de exponentes III

Lectura: Christoph Rudolf

La operación de radicación se expresa cuando usamos el símbolo
. Este símbolo pudo ser una variante de la letra r, primera de

la palabra en latín radix, que significa raíz. Fue introducida
por Christoph Rudolf en 1525.

El mismísimo Euler conjeturó en 1775 que se trataba de
una forma estilizada de la letra r, inicial del término latino
radix, "radical".

Otra teoría, sin embargo, dice que el signo actual
evolucionó a partir de un punto (signo que en ocasiones se
utilizó delante de las expresiones para indicar la extracción
de la raíz cuadrada) al que posteriormente se le añadió un
trazo oblicuo en la dirección del radicando.

FUENTE: www.epsilom.com

En este capítulo aprenderemos

.. Notación y definición de la operación de radicación (Radical –
radicando – índice)

.. Definición de las potencias de exponente fraccionario.
.. Operaciones con radicales, tales como la multiplicación, divi-

sión, potenciación y radicación.
.. Identificar y desarrollar equivalentes de una raíz de raíz.

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33



















9Capítulo

Notación de polinomios

Lectura: Álgebra simbólica

Una de las causas por las que la Matemáticas no avanzaron suficientemente hasta el siglo XVI fue sin duda
la carencia de unos símbolos que ayudaran a los matemáticos a expresar sus trabajos de una manera más
simple y que permitieran su lectura con mayor facilidad.
Desde los babilonios (1700 a. de C.) hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se relataban con el
lenguaje ordinario (Período retórico o verbal). Así, por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se
puede leer para describir un problema:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita;
Un par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (–).
¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?

En este texto sólo son
legibles las letras x e
y, así como la fórmula

y = x2

A partir de Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (Período
abreviado o sincopado) Así, por ejemplo, para expresar la ecuación: 3x2 – 5x + 6, Regiomontano (1464)
escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5 REBUS AEQUATUR ZERO, mientras que Luca Pacioli (1494) escribía:
3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0
A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empieza a utilizar un lenguaje simbólico
bastante parecido al actual (Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así:
Stevin (1585): 32 . 51 + 6 = 0
Vieta (1591): 3Q – 5N + 6 ae 0
Descartes (1637): 3xx – 5x + 6 = 0
Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el idioma en que está
escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en cualquier libro español.

FUENTE: Link: sites.google.com/site/504expresionesalgebraicas/

En este capítulo aprenderemos

.. Definición de un polinomio.
.. Variables constantes.
.. Valor numérico.
.. Valor numérico utilizando notación de polinomios.
.. Término independiente P(0).
.. Suma de coeficientes P(1).

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43

9 Capítulo
Síntesis teórica

NOTACIÓN DE • Variables
POLINOMIOS • Constantes o parámetros

Definición

Valor numérico

En un polinomio: P(x)

Suma de coeficientes

Término independiente

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44

Álgebra

Saberes previos

1. Indicar la relación de orden en: (>, <) según 3. Reducir:
corresponda: M = (–4 + 3)(–2) + (+5)(–1)

• –5 –10

• 4 8 4. Efectuar:
N = (5 – 4)(6 – 6) + 7 (3 – 2)

• –3 3 5. Efectuar:

2. Efectuar: P = 42 – 32 + 22 – 12

• (–2)(–4) + (–5)(–1) =

• (–1)4 (3) + (2)2(–1)5 =

Aplica lo comprendido 4. Si: P( x + 3 ) = 2x2 – 1
2
1. Si: P(x+4) = x+5
Calcular: P(7) Calcular: P(3)

2. Si: P(2x–3) = 3x – 2 5. Sea: P(x) = (x+3)5 + (x–4)6 – 36
Calcular: P(3) Calcular la suma de coeficientes

3. Sean P(x) = 5x + 3
Calcular: P(–3) + P(–2) + 15

Aprende más

1. Sean: P(x; y) = 3x2 + 2y 3. Calcular "P(5a)"
Calcular: E = P(2; 3) x
Si: P(x) = − 5 +3a

a) 14 b) 10 c) 16 a) a+4 b) a c) 2a
d) 12 e) 18 c) 5
d) –5a e) –3a

2. Si: P(x) = 2x – 1 4. Sabiendo que: P(x) = 3x+5a, toma el valor de
17 para x=4. Calcular "a"
Calcular: M = P (0) + P (8)
P (4) a) 0 b) 1 c) 7
d) 2 e) 3
a) 7 b) 2

d) 1 e) 3

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45

9 Capítulo

5. Si: P(x+3) =2x – 5 11. Sea: P(x–4) = ax + 30
Calcular P(6). 4

a) 8 b) 4 c) –3 Donde: P(–9)=5. Calcular "a".
d) –6 e) 1 c) 16
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
6. Si: P(2x–3) = x2 + 1
Calcular: P(1) + P(5) 12. Si: P( x + 1; y − 1 = xy
2 2
a) 5 b) 42 )
d) 30 e) 22
Calcular: P(5; 3)

7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: a) 36 b) 49 c) 47
P(x) = (x+1)4 + (x–1)5 d) 83 e) 63

a) 16 b) 14 c) 18 13. Sea el polinomio: P(x) = 2x5 + x2 – x + 3 + a
d) 22 e) 20 Si P(1) = 14 + 2 P(0)
Calcular: a+15
8. Sabiendo que el polinomio:
P(x) = (4x+3)2(x–5)+9+a a) –15 b) 0 c) 15
Presenta como suma de coeficientes –180. d) 8 e) –8
Calcular "a".
14. Si: P( x − 3 = 5( x + 1)
a) 10 b) 6 c) 7 2 ) 3
d) –9 e) –6
Calcular: P(1) + 5

9. Hallar el término independiente de: a) 13 b) 14 c) 15
P(x) = (2x+3)4(x+1)5+6 d) 16 e) 18

a) 87 b) 44 c) 81 15. Sea el polinomio:
d) –42 e) 43 P(2x–1) = (3x+1)4(5x–1)6–10242
Calcular: P(1)
10. Sea: P(x+3) = x2 – 3x + 6, presenta: P(7)=m+1
Calcular: P(m)

a) 30 b) 24 c) 36 a) 0 b) 1024 c) –1024
d) 20 e) 16 d) –1 e) 1

Practica en casa 5. Sabiendo que: P(x) = 3x+2a, toma el valor de
17 para x=5. Calcular "a".
1. Sea P(x; y) = 7x – 2y. Calcular P(1; 2)
6. Si: P(3x+2)=x+6, calcular: P(8) + P(0,5)
2. Si: P(x) = 3x+2. Calcular M = P (1)P(0) 7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

3. Calcular: P(2a). Si: P(x) = x +a P(x) = (2x–1)10(x+1)6
2 8. Hallar el término independiente de:

4. Si: P(x) = x+a. Calcular: P (2a) P(x) = (5x–1)30(x+2)4–10
P (4a)

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46

Álgebra

9. Si: P(x) = 3mx+9, hallar "m", si para x=3. 13. Sea el polinomio:
P(x) vale 0 P(x) = x4 – 3x3 + 2x5 + m
Si: P(1) = 12. Calcular "m"
10. Sea: P(x+1) = x2 + 2x + 4, presenta:
P(2) = m–2, calcular: "m+2"

14. Si: P( 7x − 3 ) = 7x
2
mx + 4
11. Sea: P(x–2) = 4 Calcular: P(5)

Donde: P(0) = 12 , calcular: m + 1
2

12. Si: P( x – 3 ; y+ 4 ) = x+y 15. Sea: P(x) = x2 – 3x + 1
3 4 Calcular: P(m–3) + P(m+3)

Calcular: P(3; 1)

Tú puedes

1. Se sabe que el polinomio: 4. Calcular: E=P(3) + P(10), sabiendo que:
P(x) = (5x–4)7 + 2(3–4x)6+2–n
Tiene como suma de coeficientes a 2. Calcular P(x) = 2x − 3; si x > 5
"n". ) x − 2 ; si x # 5

a) 18 b) 19 c) 16
d) 20 e) 17
a) 1 b) 4 c) 2
d) 5 e) 3

2. ¿Para qué valor de "a" se cumple que: 5. Sea el polinomio:
P(x) = ax+2, si se sabe que P(5) = a+10? P(x; y) = x2 + y3 + x4 + y5

Calcular:

a) 4 b) 6 c) 2 M = P (− 1; 0) + P (0; − 1)
d) 5 e) 1 P (− 2; 2)

a) –4 b) 2/3 c) –1/2
d) 1/5 e) 0

3. Sabiendo que: P(x; y) = P(2; 3) en P(x; y) = 2x + 3y – 1
P (x; y)
Reducir: 4

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

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47

1 0 Capítulo

Cambio de variable utilizando la

notación de polinomios

Lectura: Los polinomios en otras ciencias:

Si investigaste en la web, es probable que encontraras muchos polinomios con nombre propio: Polinomios
de Lagrange, Hermite, Newton, Chevichev... copiamos aquí un extracto de un blog que habla de los
polinomios de Zernike y su aplicación en óptica para corregir defectos visuales.

... Las matemáticas, con los polinomios
de Zernike, nos ofrecen un método para
descomponer superficies complejas en
sus componentes más simples. Así, con
este procedimiento matemático podemos
jerarquizar y definir todas las aberraciones
visuales. Un esquema que está presente con
mucha frecuencia en las consultas de cirugía
refractiva es el de las diferentes aberraciones
agrupadas y jerarquizadas:
Lo de la jerarquía es fundamental, porque
según cuál sea el grupo de la aberración,
tendrá más o menos importancia, será más
o menos fácil de corregir, etc. Por ejemplo,
el número 4 corresponde a la miopía (y
su inverso, la hipermetropía), y el 3 y 5
corresponden al astigmatismo...

Extracto de la página
FUENTE: http://ocularis.es/blog/?p=29

En este capítulo aprenderemos

.. Conociendo P(x), hallar P(F(x))
.. Conociendo P(F(x)), hallar F(x) o P(x)

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48

Álgebra

Síntesis teórica

Cambio de variable
utilizando la notación de

polinomios

P(x)

o

P[F(x)]

Conocido : P(x) Conocido : P[F(x)]
Calculamos : P[F(x)] Calculamos : P(x) o F(x)

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49

1 0 Capítulo 4. Efectúe:
Saberes previos 3 (4–1) + 5 (2–3)

1. Encontrar el valor de "x" en: 5. Efectúe:
4x – 3 = 13 5 (3+2)–4(6–1)

2. Reducir:
3 (x+1) – 2 (x–2) – 7

3. Reducir:
5 (x+3) – 3(x–1) – 2x

Aplica lo comprendido 4. Si: P(x+1) = x
Determine: P(m)
1. Si: P(x) = 3x – 4
Determine: P( m – 3) 5. Si: P(x – 2) = x+3
Determine: P(2m)
2. Si: P(x) = –3x – 1
Determine: P(m) + P(–m)

3. Si: P(x) = –8x + 5
Determine: P(2m–1)

Aprende más

1. Si: P(x) = 4x + 3 4. Sabiendo que: P(x) = –x+2
Determine: P(m+3) Calcular: P(m–3) – P(m+3) + 6

a) 2m–4 b) 5m–3 a) 15 b) 13 c) 14
c) 4m+15 d) 3m–6 d) 12 e) 11 c) 6
e) m+8
c) 32
2. Si: P(x) = 3x–6 5. Si: P(x) = 3x+1 y F(x) = 4x–3
Determine: P(2m–1) Calcular: P(F(1))

a) 2m–1 b) 3m–7 c) 6m–9 a) 9 b) 3
d) 5 e) 4
d) m–3 e) 6m+4

3. Sabiendo que: P(x) = 4x–7 6. Sean los polinomios:
Calcular: P(m+3)–P(m–4) P(x) = –2x+3
F(x) = –3x+1
a) 20 b) 28 c) 24 Calcular: F(P(–2))
d) 30 e) 29
a) –14 b) –20
d) 18 e) –10

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