Álgebra Trilce

Álgebra

7. Sean los polinomios: 12. Si: P(x) = 7x – 9 ∧
P(x) = 3x – 7 P(F(x)) = 4x – 12
F(x) = –2x – 1
Determine: P(F(m)) Calcular "7 F(x) + 3"

a) –7m+2 b) 5m–3 c) –m+4 a) 7x–2 b) 4x c) 6x
d) –2m–6 e) –6m–10 d) 2x–5 e) 7x+3

8. Sean los polinomios: 13. Si: P(x) = 4x – 7 ∧
P(x) = 2x–10 F(x) = 5x – a
F(x+3)=x–1
Calcular "a" para que: P(F(1)) = F(P(2)) + 2

Determine: P(3m) – 3 F(2m) a) 4 b) 2 c) 5
d) 9 e) 1
a) 2 b) 1 c) 4
d) 5 e) 3
14. Si: P(x) = 3x – 4 ∧
9. Si: P(x+4) = x – 3 F(x) = 5x – 1
F(x–1) = 2x – 8
Calcular P(F(m+3)) Expresar P(x) en términos de F(x)

a) 5m–3 b) 2m–7 c) 4m+6 a) 7 F(x) + 1 b) 5 F(x) + 2
d) 3m–5 e) 7m–1 4 5

10. ¿Para que valor de "m" se cumple: P(m)=F(m) c) 3 F(x) + 4 d) 3 F (x) – 17
Si: P(x) = 3x – 7 3 5
F(x–2) = x+5
e) 2 F (x) + 1
3
a) 5 b) 4 c) 9
d) 7 e) 8 15. ¿Para qué valor de "m", se cumple:
P(2 F(x)) = 2 P(x) – 19
11. Sean los polinomios: Si: P(x) = 3mx + 1
P(x) = 3x – 1 F(x) = x – 3
F(x) = 4x – 5
Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x)) a) 6 b) 1 c) –3
d) 4 e) –2
a) 14 b) –19 c) –13
d) –7 e) –15

Practica en casa 5. Si: P(x) = x2 + 3
F(x) = 2x + 4
1. Si: P(x) = 3x – 1
Calcular: P(m+2) Calcular: P(F(0))

2. Si: P(x) = –x+1 6. Sean los polinomios:
Calcular: P(m–1) P(x) = 4x – 3
F(x) = –2x + 4
3. Si: P(x) = 2x – 4 Calcular: F(P(m))
Calcular: P(2m–1) – P(2m+1)
7. Sean los polinomios:
4. Si: P(x) = 7x – 4 P(x) = 5 – x
Calcular: P(m+2) – P(m) F(x) = 2x – 1
Calcular: P(F(m))

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51

1 0 Capítulo 12. Si: P(x) = 3x – 4
F(x) = 5x – m
8. Sean los polinomios:
P(x) = x+9 Calcular "m" para que: P(P(1)) = F(3) – 14
G(x) = 2x – 4
Calcular: 6 P(3m) – 9 G(m) 13. Si: P(x) = 7x – 1
F(x) = 5 – 2x
9. Si: P(x+1) = x – 1
F(x+3) = 2x – 7 Expresar P(x) en términos de F(x)

Calcular: P(F(m)) 14. Si: P(2x+3) = 3x – 1
Calcular: P(P(P(7)))
10. ¿Para qué valor de "m" se cumple:
P(m) = F(m) 15. Si: P(2x+3) = 3x+1
Si: P(x) = 4 –x Calcular: P(P(P(7)))
F(x) = x – 12

11. Sean los polinomios:
P(x) = x + 3
F(x) = 2x – 3
Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x))

Tú puedes

1. Sea: P(x) = 4x2 – 3 ; x H 0 4. Sea: P(3x+1) = x2 – 4

Calcular: P ( x) + 3 Calcular: M = P (7) − P (− 2)
2 3

a) x+3 b) x4 c) x –3 a) 3 b) 9 c) 1
d) 12 e) 6 c) 12
d) 2x e) x /2

2. Si: P(x) = –2x + 1 5. Sean: P(x+1) = 4x – 7 ∧
Calcular: P(P(P(x))) G(x – 3) = –3x + 5

a) 5x–3 b) –6x+3 c) 8x3+1 Calcular: P(x) + G(x) + 15
d) x2–3 e) –8x+3
a) x b) –4
d) x+3 e) x–6

3. Sea: P(2x–3) = 2x+5
Calcular el valor de "x" que verifica:
P(3x) + P(4x) = 65

a) 5 b) 8 c) 6
d) 9 e) 7

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TRILCE

52

1 1Capítulo

Grados de expresiones algebraicas

Lectura: Hacer que las películas cobren vida

Muchas de las técnicas de animación que se usan en la producción de películas se basan en las

matemáticas. Los personajes, el paisaje de fondo y el movimiento se crean usando programas informáticos

que combinan píxeles para obtener formas

geométricas que luego son archivadas y

manipuladas mediante las matemáticas

que se usan en los gráficos de ordenador

El programa informático codifica en cada

píxel todas las características que pueden

ser importantes para la vista, tales como

la posición, el movimiento, el color y

la textura. El programa usa vectores,

matrices y aproximaciones poligonales a

las superficies curvas que determinan el

grado de oscuridad de cada píxel. Cada

fotograma de una película generada

por ordenador se compone de más de

dos millones de píxeles y puede llegar

a tener alrededor de cuarenta millones Titanes de Ischigualasto: http://sanjuan.cfired.org.ar
de polígonos. La cantidad tan enorme de

cálculos necesaria convierte a los ordenadores en herramientas imprescindibles, pero sin la ayuda de las

matemáticas el ordenador no sabría que cálculos hacer. En palabras de uno de los animadores... todo se

controla con matemáticas... ¡aquellas pequeñas "x", "y" y "z" que aprendimos en el colegio cobran de

pronto relevancia.

Más información: Mathematics for computer Graphics Aplications. Michel E Mortenson (1999)

FUENTE: Link: http:\\webpages.ull.es/users/revmate/momentos705abr/mm– 2.pdf

En este capítulo aprenderemos

.. Definición de grado
.. Clases de grados de un monomio

– Grado relativo
– Grado absoluto

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53

1 1 Capítulo
Síntesis teórica

GRADOS DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Definición

Grados de un monomio

Grado relativo Grado absoluto

Colegios Central: 6198-100

TRILCE

54

Álgebra

Saberes previos 4. Reducir:
M = 2 (3 +4) – 3 (4 – 2)
1. Encontrar el valor de "x" en:
2 (x+3) – 1 = 3 5. Indicar la relación de orden usando los símbolos
>; <.
2. Al igualar 2m–3 con 7, el valor de "m" es:
• 42 72
3. Reducir:
N = 4 + (–3) + 5 – (–3) • 12 14

• –14 –10

Aplica lo comprendido 3. Sea el monomio: P(x; y) = xa+3y2a+7
Cumple: GA = 30+a
1. Sea el monomio: Calcular: GR(x) . GR(y)
M(x; y) = 4xa+3ya+4
Si: GA = 17 4. Sea M(x; y) = 2axa+3y4+a
Calcular: GR(x) con coeficiente 12. Calcular GA.

2. Si: N(x; y) = –2ax4ya+3 5. Hallar el GA de:
cumple: GA=12 M(x; y) = 2 (x4)5(y6)7
Calcular el coeficiente

Aprende más

1. En el siguiente monomio: M(x; y) = 3xa+3y4 3. Calcular: GR(x) + GA del monomio:
Se sabe que GA=15, hallar; GR(x) P(x; y) = 5axa+2y4+a, si el GR(y) = 6

a) 6 b) 13 c) 11 a) 10 b) 2 c) 15
d) 10 e) 8 d) 13 e) 14

2. Si los monomios: M(x; y) = x4y7; N(x; y) = xm+2y3 4. S1i5:.PC(xa)lc=ul3arm(xmn+, pnr)e2senta grado 5 y coeficiente

presentan igual GA. Determine el valor de "m".

a) 8 b) 14 c) 3 a) 101 b) 103 c) 104
d) 10 e) 6 d) 102 e) 100

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55

1 1 Capítulo
5. Si el GR(x) = m–5 de: M(x; y) = 5x4ym+2 10. Sea: P(x; y) = –mx3m–1y2m–7
Un monomio que cumple: GA=17. Calcular:
Calcular: GA E = GR(x) . GR(y)

a) 13 b) 17 c) 15 a) 42 b) 10 c) 16
d) 14 e) 16 d) 5 e) 70

6. Sean los monomios 11. Para qué valor de "m" el monomio:
P(x; y) = 7x4ym+2 M(x; y) = x5+my2m–3
G(x; y) = 2mx4ym+2 Se verifica: GR(x) = GR(y) – 4
Tales que al restar generan el monomio: x4ym+2
a) 10 b) 12 c) 9
Según ello, calcular: GA(P) d) 15 e) 14

a) 6 b) 7 c) 8 12. Si: GR(x) = 7, determinar el GA de:
d) 9 e) 10 M(x; y) = –5a2x3a+1y2a–1

7. El monomio: M(x; y) = 5ax4–aya+5 a) 8 b) 11 c) 9
d) 12 e) 10
presenta un coeficiente –10

Calcular el GR (x) 13. Dado:
GR (y) F(x; y; z) = –xa+1y5–aza–1

a) 1 b) 2 c) 3 GA=8, calcular GR(z)
d) 4 e) 5

8. Para el monomio: R(x; y) = 4mx3m–3y2m+1 a) 1 b) 4 c) 2

d) 5 e) 3

cuyo GA=13. Calcular la suma de coeficientes 14. En A(x; y) = (a–1) xa+1ya–2 se cumple:
Coeficiente + GR(x) = 6, hallar GA.
de R(x; y) y el GR(x)

a) 19 b) 14 c) 20 a) 1 b) 6 c) 7
d) 16 e) 18 d) 8 e) 5

9. Sea: M(x; y) = 5x4a–2ya+4 15. El monomio:
M(x; y) = 4a(x2)a . (xy)3 . (y3)a . (xy2)5 . (xa)2
Calcular GA, si GR(x) = GR(y) Cumple: GR(x) = GR(y), entonces calcular el
coeficiente.
a) 10 b) 14 c) 12
d) 16 e) 8
a) 16 b) 1024 c) 49
d) 2048 e) 64

Practica en casa 4. Si: P(x) = 4mxm, presenta grado 7. Calcular el
coeficiente.
1. En el siguiente monomio:
M(x; y) = 5xa+2y7 5. Si el GR(x) = m+2 de M(x; y) = 4x6ym
Se sabe que GA=19, hallar GR(x) Calcular el GA.

2. Si los monomios: 6. En el monomio: P(x; y) = (n–3)x4+nyn, se cumple:
P(x; y)=4x5y6; N(x; y)=xm+2y4 GR(x) + GR(y) + 5 = 19
Presentan igual GA. Hallar "m" Calcular el coeficiente.

3. Calcular: GR(x) + GA del monomio: Central: 6198-100
P(x; y)=4ax5+ay3+a
Si el GR(y)=10

Colegios

TRILCE
56

Álgebra

7. El monomio: F(x; y) = 3ax7–aya+1 GR (x) 12. Dado: F(x; y; z) = –3xa+5yaza+4
GR (y) Donde: GA=15, calcular GR(z)
Presenta coeficiente 9. Calcular:

8. Para el monomio: P(x; y) = 5mxm+2y3m–1, cuyo 13. Si el GR(x)=12, determinar el GA de:
GA=21, calcular la suma del coeficiente de P(x; y) M(x; y) = 2x2a+4ya
y el GR(x).
14. En P(x; y) = (2a–3) x2aya+4, cumple:
9. Sea el monomio: N(x; y) = 3x2a–1ya+3 Coeficiente + GR(y) = 13, hallar GA.
Se cumple: GR(x) = GR(y), calcular: GA

10. Sea: M(x; y) = –mx4mym+1, un monomio que 15. Del monomio:
cumple GA=21, calcular: M(x; y) = 4m(x2)3 . (x5)m . (xy2)3 . (y3)2m
E = GR(x) × GR(y) se cumple GR(x)=GR(y). Calcular el coeficiente.

11. Para que valor de "m" el monomio:
M(x; y) = x3+my2m–4, verifica: GR(x) = GR(y)

Tú puedes

1. Si los monomios M(x; y) = 4mx4+myn–2 ∧ 4. Al multiplicar (x4)n . (y3)m . x5 . y7, se reduce
N(x; y) = nxn–4ym–1, cumplen que la suma de a un monomio: M(x; y) = x21y40, según ello,
coeficientes aumentado en el GA de M(x; y) calcular "m + n"
resulta igual al GA de N(x; y) disminuido en 3n
y aumentado en 27. Calcular "m+n" a) 15 b) 19 c) 44
d) 56 e) 39
a) 4 b) 8 c) 5
d) 12 e) 6
5. Si los coeficientes de los monomios:
2. Calcular GR(x) + GR(y), si el monomio: M(x; y) = (2a – 1) xa+by4 ∧ N(x; y) = (3b–2) xaby6,
P(x; y) = (m+n)x2m+2nym+n–3 presenta un son iguales y enteros. Calcular el máximo valor
que toma el Gr(x) del monomio M(x; y).
coeficiente 10.

a) 30 b) 27 c) 22 a) 6 b) 2 c) 5
d) 29 e) 25 d) 4 e) 1

3. Si se cumple: (5–n)x4y7+(7–2n)x4y7=–24x4y7

Calcular el GR(x) del monomio:

P(x;y) = n2xn+3y4+n

a) 12 b) 10 c) 15

d) 18 e) 16

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57

1 2 Capítulo

Grados de un polinomio

Lectura: Por una comunicación más segura en internet

No podríamos comprar, pagar recibos
o realizar negocios a través de Internet
de una forma segura sin las matemáticas
de la criptografía. Aunque están basadas
en resultados algebraicos probados hace
siglos, las sofisticadas técnicas actuales de
cifrado han sido formuladas apenas en los
últimos treinta años.
La criptografía de clave pública permite al
usuario divulgar la clave de cifrado para que
todos puedan usarla, pero manteniendo
la clave de descifrado en secreto. Uno
de estos algoritmos, denominado RSA, es
la clave utilizada hoy para codificar los
modernos navegadores de Internet.
El Instituto Nacional de Estándares y
Tecnología (National Institute of Standars
and Technology, NIST) estadounidense ha adoptado un Estándar de Codificación Avanzado que se usará en
las comunicaciones electrónicas en los próximos años. Este nuevo estándar usa permutaciones, aritmética
modular, polinomios, matrices y campos finitos para transmitir la información de forma libre pero segura.
Más información: "Communications Security for The Twenty–first Century". Susan Landau. Notices of the
American Mathematical Society, April 2000

FUENTE: Link: http:\\www.webpages.ell/users/revmat/momentos/05abr/mmk– 4.pdff

En este capítulo aprenderemos

.. Grados de un polinomio
– absoluto
– relativo

.. Ejercicios de aplicación

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58

Álgebra

Síntesis teórica

GRADOS DE UN
POLINOMIO
Clases de grado

Grado absoluto Grado relativo

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59

1 2 Capítulo
Saberes previos

1. Indicar el número de términos de cada expresión: 3. Reducir:

• M(x;y)=4x+2y–3 presenta términos P = 5x + 2y – 3x – y – x + y

• N(x;y)=3x2–2y3–xy presenta términos 4. Reducir:
términos F = x2y – 3 x2y
• P(x;y)=x+y–7 presenta

2. Reducir: 5. Resolver:
M = 4x + 7x – 9x – 2x + x – 2x 4 (x – 1) = 3 (x + 1)

Aplica lo comprendido 3. Si: GA=12 en el polinomio:
F(x; y) = xa+2y–3x4y2
1. Sea el polinomio: Calcular "a"
P(x; y) = 4x5y3 – 2x6y7+3x9y
Calcular: GA + GR(x) + GR(y) 4. Si: GR(y) =18, en: P(x; y) = 2x4y – 3xya+9
Calcular "a".
2. Sea el polinomio:
G(x; y) = xy4 – 2x5y6 + 7x4 5. Sea el polinomio:
Calcular: GR(x) – GR(y) P(x; y) = –2x4y5 + 3axy6 – 2x4a
donde la suma de coeficientes es 8. Calcular
GR(x)

Aprende más

1. Sea el polinomio: P(x) = x4 + 3x5 – 2x +6 3. Al sumar los polinomios:
P(x) = x5 + x4 + 3xm – 2x – 1 y
Completar según corresponda: F(x) = x5 + x4 – nx6 – 2x+p

Presenta términos Se observa que el resultado es un polinomio de

Su grado es: 6 términos y de grado 9. Calcular el grado del

La suma de coeficientes es: polinomio P(x)

El término independiente es: a) 10 b) 12 c) 9
d) 6 e) 10

2. Del polinomio: M(x) = 4xa + 3x2 + 2x – 7a 4. Sea el polinomio:
Su grado es igual al número de términos, según P(x; y) = 4xmy2 + 3x5y3 – 6x4y5
ello, calcular el término independiente.
Cuyo GA=13, calcular "m–3"
a) 7 b) –28 c) 4
d) –49 e) –32 a) 9 b) 8 c) 10
d) 7 e) 11

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TRILCE

60

Álgebra

5. Si: F(x; y) = x4ya+2–2x5y7 11. Sea el polinomio:
Presenta GA=20, hallar "a". P(x,y)=2xa+5ya–1+3xa–2ya+9+4xa+7ya–2
De grado absoluto "33", Calcular el valor de "a"
a) 3 b) 8 c) 14
d) 16 e) 24 a) 11 b) 13 c) 14
d) 15 e) 17
6. En: R(x; y) = (1x43y4)4(x432y40) (2vxe3c4yes)4...4. (4x34y3)
Hallar GA 12. Dado el polinomio
P(x,y)=7x2ym+3+4x5ym–4+3x4ym+5+x6ym–2
a) 20 b) 80 c) 40 Si : GR(x) + GR(y) + GA = 32
Hallar "m"
d) 108 e) 16

7. Si: P(x; y) = 3x5y6 – 2x3y4 – x6y3 a) 4 b) 5 c) 6
Presenta GR(x) = m+3 d) 7 e) 8
Calcular "m".
13. En el polinomio:
a) 3 b) 6 c) 4 P(x,y) = 3xm+1y3 + 2xm+4y8 + mxm+2y10
d) 1 e) 2
Donde m ∈ Z+; Hallar la suma de coeficientes
8. Si: P(x; y) = 4x4+ny3 – 2xny7
Presenta GA + GR(y) = 25 de dicho polinomio, si se sabe que el GR(x) es
Calcular "n–2" igual a "7".

a) 12 b) 9 c) 10
d) 7 e) 8
a) 11 b) 13 c) 9
d) 6 e) 7
14. Dado el polinomio:
9. Para: P(x;y)=2xaya+1+5x2aya+3–axa–6+aya+7+7x2aya+2
Q(x; y) = xm+2ym–1+2xmym–2–3xm+3ym+1
Tenemos que: GA = 12 Si su grado absoluto es 33; calcular el grado
Hallar "m" relativo a "x" y el grado relativo a "y".

a) 20 y 17 b) 18 y 17 c) 17, 17
d) 15, 20 e) 19, 16
a) 1 b) 4 c) 2
d) 5 e) 3
15. Calcular el valor de m+n con la condición de
10. Si: M(x;y) = xa+1yb–1+2xa+2yb–2–xa+3yb–3 que el polinomio.
Además: GR(x)=7 ; GR(y) = 3
Calcular "ab" P(x;y)=x2m+n–4ym+n+2+x2m+n–3ym+n+1+x2m+n–2ym+n

a) 20 b) 28 c) 16 Sea de GA=28 y la diferencia de grados relativos
d) 18 e) –14 a "x" e "y" sea igual a 6.

a) 17 b) 15 c) 13
d) 10 e) 9

Practica en casa

1. Sea el polinomio: P(x) = x7 – 2x4 + 3 3. Sea el polinomio: P(x;y) = 3xmy7 + 2x5y4 – 3xy
A : grado del polinomio Cuyo GA=12. Calcular "m"
B : números de términos del polinomio
Calcular: A × B 4. El polinomio: P(x; y) = 2x3y5 – 3x4yn+2
Presenta GR(y) = 12, calcular: GA.
2. Se sabe que en el polinomio:
P(x) = 3xa + 2x4 – 5a + x + x2 5. Si: P(x; y) = x3ya+3 – 2x5y
El grado del polinomio es igual al número Presenta GA=12, calcular GR(y)
de términos, según ello calcular el término
independiente.

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61

1 2 Capítulo 11. El polinomio: P(x; y) = x4y5 – 2xa+2y3–3x5y6
Presenta: GA=15, calcular "a+3"
6. En:
M(x; y)= (1x43y424)54(x43y4234)450(2vxe3c4yes24)54..4.. (4x34y442)53 12. Si: Q(x; y) = 3xa–1ya+2xa+1ya–3xa+1ya–3
Hallar GA. Si: GR(x)=5, calcular GR(y)

7. Si: P(x; y) = 4x13y5 – 7x2y6 – 3xy6 13. Hallar "m", si GA=45
Presenta GR(x) = m–2 Siendo: Q(x; y) = 2 (x3y)m – 3 (x4y)m
Calcular "m"
14. Dado el polinomio:
8. Si: G(x; y) = 3xn+5y4 – 5x4y6 P(x;y)=5xnyn+2+5x2nyn+4–axn–5+ayn+8+7x2nyn+3
Presenta GA + GR(y) = 30, calcular "n". Si su grado absoluto es 37; calcular el grado
relativo a "x" y el grado relativo a "y".
9. Si: Q(x;y)=xm+3ym+1+2xm–2ym–1–3xm+3y
Presenta GA=18, hallar "m" 15. Calcular el valor de “a+b” con la condición de
que el polinomio.
10. En el polinomio:
P(x; y) = xayb+3 – 2xa+4yb+1–x5+ayb+4 P(x;y)=x2a+b–3ya+b+3+x2a+b–2ya+b+2+x2a+b–1ya+b
Presenta GR(y)=8, GR(x)=6, calcular "ab". Sea de GA=31 y la diferencia de grados relativos
de "x" e "y" sea igual a 3.

Tú puedes

1. Sabiendo que el polinomio: 4. Dado el monomio:
R(x; y) = xy2 . x3y4 . x5y6 . .... . x23y24
P(x; y) = a−3 − b+3 + x2y2

4x c + 2 y xy 1 − c

Presenta el mismo grado absoluto en cada uno de Indicar el GR(x)
sus términos, determine el valor de "a + b +1".
a) 120 b) 164 c) 181
d) 200 e) 144
a) 4 b) 12 c) 5
d) 15 e) 9
5. Sea el polinomio:
2. Sabiendo que "a" y "b" son números naturales G(x; y) = x5y7–n + xny12/n – 4yn–2
tales que verifican: 4x7 + 12x7 = ab x7, hallar
la suma de los valores adoptados por "a" y "b". Hallar la suma de valores que puede tomar "n".

a) 19 b) 4 c) 15 a) 11 b) 16 c) 13
d) 7 e) 29 d) 15 e) 12

3. Si: mx4y; 3xn+1ym, son términos semejantes.
¿Qué podemos afirmar de (m+2)x5y3; nx5ym+2?

a) Diferentes b) Constantes
c) Iguales d) Hay 2 correctas
e) Semejantes

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62

1 3Capítulo

Polinomios especiales

Lectura: El Álgebra en Química, Economía y Medicina

El lenguaje que utiliza el álgebra se fundamenta en expresiones algebraicas. Existe
una clase importante de expresiones algebraicas llamada "Polinomios". El estar
familiarizado con polinomios y saber operar con ellos es fundamental en nuestro
desarrollo matemático. Sus aplicaciones son múltiples en la economía, las
ciencias sociales, las ciencias naturales, la ingeniería, la computación y la
medicina, entre otras. Por ejemplo:

• En ingeniería se utilizan métodos numéricos de interpolación en los
cuales se utilizan, polinomios.

• En química se utilizan polinomios para el cálculo de mezclas, es de-
cir, calcular el porcentaje de cada compuesto químico presente en la
mezcla, así como sus variantes para modificar dicha mezcla.

• En la economía y las ciencias sociales se utilizan polinomios para repre-
sentar el comportamiento de relaciones o funciones donde ocurren patro-
nes.

• En la medicina y las ciencias naturales se utilizan polinomios para repre-
sentar y estudiar el comportamiento de organismos vivos y la naturaleza.

• En esta lección conoceremos lo que es un polinomio y nos familiarizare-
mos con el vocabulario y los conceptos básicos, incluyendo cómo se realizan
operaciones entre ellos.

FUENTE: http://math118.files.wordpress.com/2011/01/leccic3b3n–1–introduccic3b3n–polinomios–suma–resta22.pdf

En este capítulo aprenderemos

.. Polinomio homogéneo.
.. Polinomio ordenado.
.. Polinomio completo.

– Propiedad sobre el número de términos.
.. Polinomio completo y ordenado
.. Polinomios idénticos.

– Aplicar propiedad
.. Polinomio idénticamente nulo.

– Aplicar propiedad.

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63

1 3 Capítulo Polinomio homogéneo
Síntesis teórica Polinomio completo
Polinomio ordenado
POLINOMIOS Polinomios idénticos
ESPECIALES
Polinomio
Colegios idénticamente nulo

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64

Álgebra

Saberes previos 4. Si: P(x) = x+3
Evaluar: P(3)
1. Del polinomio: P(x; y) = 5x3+zy2–5
Identificar las variables y los coeficientes. 5. Si: P(x) = x2 + 5x + 1
Evaluar P(–2)
2. Sea M(x; y) = 5x3y4z2
Calcular: GR(x) + GR(y) + GA(M)

3. Sea: P(x;y) = 3x4y5–2x3y+x6y2
Calcular: GR(x) + GR(y) + GA(P)

Aplica lo comprendido

1. Indique qué polinomio no es homogéneo: • T(x) = –5x9 + 3x7 – x3 – x + 6
• P(x; y) = x2y3 + x3y2 – x5y5 Polinomio ordenado en forma
• R(x; y) = x4y6 – 2x3y7z2 + x5y5
• T(x; y) = x3y12 – x12y3 + x10y2z3 4. Si: P(x) = 3 – x + x2 – 7x3 + 5xa ;
Q(x) = xb – x4 – 2x3 + x2 + x + 1
2. Indique qué polinomio es completo:
• P(x) = x3 – x4 + x2 – x + 2 Son polinomios completos y ordenados. Halle
• R(x) = 3x – 2x5 + x4 + 6 – x2 – x3 "a+b".
• T(x) = x2 – x + 1

3. Respecto al polinomio ordenado, completar 5. Se cumple que:
correctamente: 3x2 + 5x + 3 ≡ (a – 1) x2 + bx + c

• P(x; y) = x9y5 – 8x7y3 + x2y2 – xy7 Halle: a + b + c

Polinomio ordenado en forma

con respecto a

Aprende más

1. Si: P(x; y) = 3xay8 – x10y3 + x9y4 3. Si P(x) = xa + 2xb – x2 +x+xc
Es completo y ordenado. Halle a + b + c
es homogéneo. Determine el valor de "a".

a) 2 b) 3 c) 4 a) 7 b) 8 c) 9
d) 6 e) 5 d) 10 e) 13

2. Sea el polinomio homogéneo: 4. Sea el polinomio completo y ordenado en forma
R(x; y) = ax2y7 + (b – 1) xay8 + 2 x5yb creciente:
P(x) = xm–1+xn–3+xp–2+xq–1
Halle la suma de coeficientes Halle: m+n+p+q

a) 9 b) 11 c) 12 a) 11 b) 13 c) 12
d) 6 e) 13 d) 14 e) 16

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65

1 3 Capítulo

5. Sea el polinomio completo y ordenado: 11. Hallar: a + b + c en el siguiente polinomio
P(x)=xm+5+xm+4+xm+3+xm+2+mxm+1
Determine la suma del término independiente homogéneo:
con "m". P(x; y)=10xa+6–2axb+a+xcyc–x2yb+2

a) –1 b) 0 c) –2 a) 5 b) 6 c) 15
d) 1 e) 2 d) 20 e) N.A.

6. Si se cumple que: 12. Si el polinomio:
x(x+2)+3 ≡ ax2+bx+c P(x) =18xa–18+32xa–b+15+18xc–b+16
Halle: a+b+c
Es completo y ordenado en forma ascendente.

a) 6 b) 7 c) 8 Calcular (a + b + c)
d) 11 e) 13
a) 88 b) 32 c) 36
d) 68 e) 92
7. Sean: P(x) = 3x2 + x + 5 ;
q(x) = axn–1+bx+5 13. Hallar la suma de coeficientes en el siguiente

Polinomios idénticos. Halle a+b+n polinomio:
P(x;y) = 2ax7ya+3 + 3x18y12 – 5aya+10
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
Sabiendo que es homogéneo

8. Si se cumple que: a) 27 b) –10 c) 13
(a–1)x3 + (b–1)x2 + (c–1)x + d – 1 ≡ 0 d) 12 e) –57
Halle: a + b + c + d
14. Calcular: "b–a" sabiendo que el polinomio:
a) –1 b) 3 c) 4 P(x)=xb–1+xa–1+xb–3+2 es completo y ordenado.
d) 1 e) 2
a) 1 b) 2 c) 3
9. Si: P(x) = (a–2) x2 + (b – 3)x + (ab–c) d) 4 e) 5
es idénticamente nulo. Halle: a+b+c
15. Hallar: (10a + 4b) sabiendo que
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
P(x,y) = xa–2bya+b –15xby3b–9+2xa–by8

10. Dado el polinomio: Es un polinomio homogéneo
P(x) = x2 – x4 – 2x + xn+2+xn+7
Completo, halle "n" a) 60 b) 100 c) 160
d) 200 e) 240

a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 3

Practica en casa 3. Si: P(x) = 4+x–x2+9x3+6xa ;
Q(x) = xm+7x4–x3+x2–6x+1
1. Indique qué polinomio no es homogéneo
• P(x; y) = x7y3 + x3y7 – x4y6 + x10 Son polinomios completos y ordenados. Halle:
• R(x; y) = x9y7 – x7y9 + x10y7 a+m
• T(x; y) = x8 – x4y4 + 2x3y5 + y8
4. Se cumple que: 5x2+2x+3 ≡ (a+1)x2+bx+c
2. Indique qué polinomio es completo: Halle: a+b+c
• P(x) = x5 + 2x3 – x4 – x + x2
• Q(x) = 7x3 – 5 + x2 – x 5. Si: (3–a) x2+bx ≡ 0 , halle: a–b
• R(x) = x4 – 7x2 + 1 – 3x3 + x

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TRILCE

66

Álgebra

6. Se cumple que: 11. Sea el polinomio idénticamente nulo:
P(x)=(a1–10)x10+(a2–9)x9+(a3–8)x8+...+(a10–1)x
(a+1) x3 + (b–1) x2 + (c+2) x + d – 1 ≡ 0
Halle: a1 + a2 + a3 + ... + a10
Halle: a+c 12. Si: P(x; y) = xn2y3 + x7 + xmyn
b+d
es homogéneo, halle: m . n
7. Sea el polinomio homogéneo:
P(x;y) = xa–2y7 – x19y+xby15 ; halle: a+b 13. Si el polinomio:
P(x) = xm–5 + xm–4 + xm–3 + xm–2 + xm–1
8. Si: P(x) = xa + x3 + xb + x – xc Es completo y ordenado, halle "m"
Es completo y ordenado. Hallar a+b+c
14. Si:
9. Si: P(x) = xm+1+xn–2+xp–5+xq–6 (a – 5)x2 + (2b – 3)x + 3c – 5 ≡ 3x2 + 5x + 4
Es completo y ordenado en forma decreciente, Halle: (a–b) c + b (a – c)
determine m+n+p+q

10. Si: x(3x+2)+1 ≡ ax2 + bx+c 15. Si: P(x) = (a+b) x2 + (b – c) x + c – 3
Halle: a+b + c
Es idénticamente nulo. Halle: b−a
c

Tú puedes

1. Si: P(x; y) = 2xa2− 2y + x2y + xyb2− 7 4. Si: P(x) = 20 x20 + 19x19 + 18x18 + ... + x
Es homogéneo, halle el mínimo valor para "a+b" Es idéntico a:
Q(x)=(a1–a2)x20+(a2–a3)x19+....(a20–a21)x
a) –6 b) –5 c) –4 y además: a1 + a21 = 310, halle a21
d) –3 e) –2

a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
2. En el polinomio completo y ordenado:
P(x) = x(a + 3)2 + xa3(a + 1) + x(7 − a)a − 2 + .... + a 5. Si el polinomio:
P(x) = (a – n) xn/5 + (b – a) x7–n + (c – 2b) xn–2
Halle el término independiente donde a > 0 Es idéntico a:
Q(x) = –xc–2 + (a–1) xa – 3xn–4
a) 1 b) 2 c) 3 Halle: a+b+c+n
d) 4 e) 5

3. Si el polinomio de segundo grado: a) 11 b) 12 c) 13
P(x) = (3 a + 1) x3 + (3 – a) x2 + 19x – a d) 14 e) 15
Es idéntico al polinomio:
Q(x) = (mx + n)r, halle: E = m + n – a + r

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

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67

1 4 Capítulo

Multiplicación algebraica

Lectura: Una ecuación matemática fue resuelta luego de 140 años

Philip T. Gressman y Robert M. Strain, dos matemáticos estadounidenses, lograron
resolver la ecuación de Blotzmann, un problema imposible de resolver creado por
un físico austríaco del siglo XIX, clave en la teoría cinética de los gases. Luego de
140 años, estos dos matemáticos de la Universidad de Pennsylvania hicieron
historia poniéndole fin a un problema sin resolver.
Según relata la agencia Europa Press, a fines de la década de 1860, los físicos
James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron esta ecuación para
predecir cómo los elementos gaseosos distribuyen materiales en sí mismos
en el espacio, y la forma en que responden a los cambios en parámetros
como la temperatura, la presión o la velocidad.
Gressman y Strain estaban intrigados por esta ecuación misteriosa.
Utilizando modernas técnicas matemáticas en el campo de las ecuaciones
diferenciales parciales y análisis armónico, los científicos demostraron la
ecuación. Sin embargo, solo pudieron encontrar soluciones para los gases en
equilibrio perfecto.
Ludwig Boltzmann fue un pionero de la mecánica estadística y su constante es un

concepto fundamental de la termodinámica.

FUENTE: diario El Comercio

En este capítulo aprenderemos

.. Definición de multiplicación algebraica.
.. Factores
.. Producto
.. Identidad
.. Caso de multiplicación:
– Monomio × monomio
– Polinomio × monomio
– Polinomio × polinomio

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Síntesis teórica Álgebra

MULTIPLICACIÓN Identidad
ALGEBRAICA
Definición

Factores Producto

Casos de multiplicación

monomio × monomio × polinomio ×
monomio polinomio polinomio

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69

1 4 Capítulo
Saberes previos

1. ¿Qué exponente debe tener "x" para que el 4. Calcular (n+K) si el polinomio:
polinomio: x4+2xn+3x3+7x–11 ; sea completo x3 + 2xn + 3xK + 11
es completo
2. Ordene descendentemente los términos del
polinomio: 5. ¿Qué exponentes faltan que el polinomio:
x5 – 2x7 + 4x2 – 5 x10 + x9+3x7 + 2x5 – 3x4 + 11x3 + 7x–1
sea completo?
3. ¿Cuál debería ser el valor de "m+n" para
que el polinomio: x4+x3+3xn+7x+6xm; sea
completo y ordenado

Aplica lo comprendido 4. Efectuar:
(3x+5)(2x–4)
1. Calcula el producto:
(2x2)(3x3)(–4y5) 5. Calcula el producto:
(2x + y)(3x – y)
2. Calcula el producto:
3x3y3 (y+2z)

3. Calcula el producto:
xyz (x+y–z)

Aprende más

1. Señale el producto: 4. Señale el producto:
(2x3)(3x4)(2x5) (–4x4z5)(2y3z2)

a) 12 b) 12x60 c) 6x12 a) 8x4y3z5 b) –8x4y3z5 c) –8x4y3z7

d) 12x10 e) 12x12 d) x4y3z7 e) –x4y3z7

2. Señale el producto: 5. Determine el producto:
(–3x3)(–2x5)(–5x6) 2x2 (3x3 + 4x4 – 5) y señale el coeficiente del

a) 6x15 b) 30x14 c) 10x10 término de mayor grado.
c) 6x7y10
d) –6x15 e) –30x14 a) 6 b) 10 c) 8
d) 24 e) 11

3. Señale el producto: 6. Determine el producto:
(3x2y3)(2x5y8) –3x2y3 (2x2y3 – 4x5y5), señale el coeficiente del

a) 6x2y3 b) 6x2y11 término de menor grado
d) 6x7y11 e) 18x7y11
a) –6 b) 10 c) 15
d) 12 e) –12

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70

Álgebra

7. Reducir: 12. Hallar "a+b+c", si:

(3x+2)(2x+5)+2x(5x–3) (3x+7)(2x–5) ≡ ax2 + bx + c

a) 16x2+10 b) 16x2+7x+10 a) –35 b) 35 c) 30
d) –30 e) 29
c) 6x2+15x+10 d) 16x2+13x+10

e) x2+19x 13. Hallar m–n, si:
2x2y3 (3x5+y5) ≡ mx2y8 + nx7y3

8. Al multiplicar: a) 4 b) –4 c) 4
d) 5 e) N.A.
(3x – 5)(2x+1) y adicionarle: 7x+5 se obtiene:

a) 6x2 b) 6x2+10 c) 6x2–1 14. Si: (4x–2y)(3x+4y) ≡ ax2 + by2 + cxy

d) –6x2 e) x2 Hallar: (a–11)(b+9)(c–9)

9. Reducir: a) 1 b) 2 c) 3
(2x+3y)(3x2+5y3)–(6x3+15y4+9x2y) d) 4 e) 5

a) 4xy3 b) 10xy3 c) 7xy3 15. Si F(x) y P(x) son binomios completos y ordenados

d) 8xy3 e) 15xy3 descendentemente y al multiplicarlos se obtiene

g(x) ordenado de igual forma, halle el coeficiente

10. Señale el coeficiente del término de primer del término de primer grado de g(x) si F(x) y P(x) solo
grado del producto de: (3x2+1+2x)(x+2)
difieren en el signo del término independiente.

a) 2 b) 3 c) 4 a) F.D. b) 1 c) 0
d) 5 e) 6 d) –1 e) N.A.

11. Calcular el coeficiente del término de tercer
grado de: (3x3 + 2x–7)(2x2+5–x)

a) 4 b) 12 c) 15
d) 17 e) 19

Practica en casa 9. Efectuar: (3x+2y)(5x–7y)
10. Efectuar: (x3+2x–7)(x2+3x–1)
1. Efectuar: (2x2)(3x5y) 11. Efectuar: (x2+x+1)(x2–x+1)
2. Efectuar: (–3x4y5)(–5x2y)
3. Efectuar: (2x3y)(3x2z)(4x5y) 12. Hallar "a+b+c", si:
4. Efectuar: (–7xy)(–3yz)(2zw) (x+3)(2x–5) ≡ ax2+b+cx
5. Efectuar: x4 (2x3–x+5)
6. Efectuar: x8y4 (xy + x4y2–5z) 13. Si: xn (2x+3) ≡ ax5+bx4, calcular: a+b+n
7. Efectuar: 2xy5(3x2+2y2+2xy)
14. Reducir: xy(xy+z)+3z(yx+1) – (xy)(xy)
8. Efectuar: (x+y)(2x–y)
15. Reducir: (x+1)(2x+1)+(x–1)(2x–1)+x(x+1) – x

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71

1 4 Capítulo
Tú puedes

1. Si: xx = 2 ; hallar el menor valor de: 3. Si: (2x+1)5(3x+2)5 = (6x2+2+7x)a+1
2 Hallar "a".

x (x+1) – x (x+3) + x (x+2) a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
a) 1/2 b) 1/32 c) 1/16
d) 1/4 e) 1/8
4. Reducir:
2. Halle el valor numérico de: ab(ab+c)+ac(ac+b)+bc(bc+a)–a2b2–a2c2–b2c2
(x+1)(2x–1)+(x–1)(2x+1)–4x2+x
a) abc b) 2abc c) 3abc
para x = 2 + 2 d) 4abc e) a2b2c2

a) 5 b) 2 c) –2 5. Si: xn (x2–1)n + (a–4)(x+2) = (x3–x)5
d) 2 e) 2 –2 Hallar: "a+n"

a) 9 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12

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72

1 5Capítulo

Repaso II

Lectura: La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes hacia
el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Fibonacci (Leonardo de
Pisa). La sucesión se describe de la forma siguiente:

F(0) = 0;

F(1) = 1;

F(n) = F(n–1) + F(n–2)

En la naturaleza encontramos como se cumple la sucesión de Fibonacci, por
ejemplo:

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que
cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la
abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que
son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no
tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos
(1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

El número de pétalos de una flor es generalmente un término de Fibonacci. Hay flores con 2 pétalos, 3, 5,
8, 13, 21, 34, pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión.

FUENTE: www.sabiask.com

En este capítulo recordaremos

Teoría de exponentes con ejercicios de aplicación.
.. Operaciones con bases iguales.
.. Operaciones con exponentes iguales.
.. Operaciones con radicales.
.. Ecuaciones exponenciales.

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73

1 5 Capítulo
Saberes previos

1. Efectuar: = 3. Efectuar: 530 + 5−30 + 5(− 3)0
• 50 = 4. Efectuar: x42 . x33 . x60
• 3–4 5. Calcular: 3 x3 . y6

• 8 2 − 2 =
5 =
B

• 361/2

2. Reducir:
m .m + m . m + m . m + m . m =

Aplica lo comprendido

1. Reducir: 6. Calcular:
3–2 + 11–2
x6 . x−32 . x(− 3)2 ; x!0
x−5

2. Efectuar: 7. Efectuar:
161/2 – 491/2 + 81/3

8 1 − 1 + 8 1 − 1 − 12 . 8 3 − 1
5 8 5
B B B 8. Calcular:
3 125 # 64 # 1000
3. Calcular:
5−1122− 4 9. Si "x" es positivo, reducir:
• 6 x18
4. Reducir: • 7 x14

(xy2)5 . (x2y3)4 ; x≠0 , y≠0 10. Calcular:
x13 . (y4)2

5. Calcular: 3 125
8

25 − 1 + 5 − 2− 1
31 19
;8 B ; E E

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74

Álgebra

Aprende más

1. Reducir: 11. Calcular el Grado relativo de "z" en el monomio:
x1 42 .4y43 .4x24204.pyo2t3e.n4xci24as.4y34.4..4...3. M(x; y; z) = n x 12 y n − 5z11 − n

a) x60y40 b) x10y60 c) x40y60 a) 3 b) 12 c) 7
c) x5 d) 10 e) 5
d) x30y20 e) x20y30 c) 24
c) 25 12. Calcular P(4) + P(6) si:
2. Reducir: c) a9b6 P(x–5) = 3x + 2
x4 . x6 . x8 . x9
((x2) 3) 4 x!0 a) 64 b) 60 c) 48
a) x b) x2
d) x3 e) x4 d) 46 e) 62

13. Calcular la suma de los coeficientes del
polinomio: c) 256
3. Reducir: P(x) = (4x – 2)4 (3x – 1)3
8522 − mB 2m − 1
b) 23 a) 142 b) 144
a) 22 e) 25 d) 128 e) 216
d) 26
14. Calcular: F(1) + F(–1)

4. Efectuar: si: F ( 2x − 1) = x2 + 6x − 7
852−2B 642−1 3

a) –3 b) –1 c) 7
d) 11 e) 21

a) 5 b) 125 15. Calcular m+n en el polinomio homogéneo
d) 625 e) 2 P(x; y)=(xmy3)2 + (x4y5)6+(x2yn)3

5. Reducir: a . b2 . a3 . b4 . a5 . b6
a) a12b9 b) a8b11
d) a9b12 e) a7b6 a) 50 b) 10 c) 70
d) 20 e) 40

( 3 x5)20 16. Reducir: 86a 2a 324a 21 − a
(9x3)5
6. Reducir: x!0 a) 3 B
d) 14
a) x80 b) x85 c) x95 b) 12 c) 6
e) 9
d) x84 e) x77

7. Reducir: 752 − 16 17. Reducir: 85 3 5 B 5
152
a) 1 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

e) 5 2−1 3−1
+
8. Reducir: 4–3 + (–3)–3 + 1 + (2444)0 ` 1 − ` 1 − 3@ 3 . 25
27 4 j 27 j 65

18. Simplifique:

a) 1/64 b) 65/64 c) 4 a) 1 b) 5 c) 10
d) 15 e) 20
d) 3/64 e) 63/64

9. Efectuar: x8 + 3 7 x42 ; (x > 0) 19. Reducir: ( 12 + 48 − 75) 2
a) x b) x8 c) 4x3
d) x4 e) 2x2 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

10. Calcular "abc" en el polinomio completo y 20. Reducir: 7x + 3x
ordenado: 7−x + 3−x
P(x) = xa–5+xb–6+xa–3 + xc–7 a) 7x b) 3x c) 21x

a) 350 b) 100 c) 70 d) 2x e) x+2
d) 250 e) 210

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75

1 5 Capítulo
Practica en casa

1. Reducir: (a 4 b3c5) 8 9. Calcular: (0, 125)−273−1
(a3b2c4)11 10. Efectuar: 3 x 7 y
11. Efectuar: 7 a3 . 6 a5
2. Reducir: x(− 3)2 . x6 . x−23 . x5 ; x≠0 12. Calcular "mnp" en el polinomio completo y
(x2)3
ordenado:
3. Reducir: 85411 − xB4x − 10 P(x) = xm–3+xn–1+xm–1+xp–5
13. Calcular: P(–3) + P(7) si :
4. Reducir: (3 2 x4)6 ; x≠0 P(2x–5) = 4x – 1
(2x2) 2 14. Calcular el término independiente del polinomio:
P(x) = (3x + 2)3 (2x + 3)2
5. Reducir: 3 8 + 19 4 15. Calcular a+b en el Polinomio Homogéneo
P(x; y) = (xya–1)4 + (xy)12 + (xb+1y)6
6. Reducir: 5–2 + (–2) –3 + 1 + (1536)0
8

7. Efectuar: 3 x18 + 5 x30

3 3 3 7

8. Reducir: ;87 23 7B 7E

Tú puedes

1. Reducir si: 4. Halle: x2 + x + 1, en:
(1/2)4x
642m−1 42m−1 m22m+2 ;m>0 ` 1 = 1
4 j 2
P=

a) 1 b) m c) m2 a) 3/4 b) 1 c) 7/4
d) m3 e) –m d) 1/4 e) 1/8 c) 1/40

2. Si: 22x = 5 . 2x, halle: 5. Si: (0,1)x . (0,2)y = 20,2 . 50,3
Hallar "xy"

210x a) 1/15 b) 1/25
222x + 1 d) 1/50 e) 1/60
a) 5–5
d) 5–15 b) 5–9 c) 5–10
e) 5–20 c) 1/4

3. Halle: x–2/15 en:
xx−2/15 = 215/4

a) 1/2 b) 1/3
d) 1/5 e) a o c

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TRILCE

76

















Álgebra

7. Efectuar 11. Calcular
(x+2)3 – x3 – 8 (3 5 + 3 2)3 − 33 10 (3 5 + 3 2)

a) 0 b) 16x+x2 –8 a) 12 b) 10 c) 6
c) 12x+ 2x2 8 d) 12x+6x2
d) 2 e) 7
e) 12x
12. Calcular
8. Efectuar (3 2 − 1)3 + 3 3 2 (3 2 − 1)
(x–1)3 + 3x2 + 1
a) 3x2+3x a) 0 b) 2 c) –1

c) 3x b) x3+3x d) 1 e) –2
e) x3 d) 3x2
13. Si a+b=4 y ab=2. Calcular a3+b3

a) 40 b) 43 c) 49

9. Calcular d) 46 e) 52

(3 3 − 1) (3 4 − 3 2) (3 9 + 3 3 + 1) (3 2 + 1) 14. Si x2 + y2 = 18 + xy ; x+y= 2 . Calcular x3+y3
c) 7
a) 10 b) 12 c) 15 a) 5 b) 6
d) 9 e) 4
d) 8 e) 6

10. Calcular 15. Si x–y=2; x2–y3=40. Calcular xy
(3 2 − 1) (3 2 + 1) (3 16 + 3 4 + 1)
a) 16 b) 14 c) 18
a) 16 b) 4 c) 2
d) 15 e) 17
d) 3 e) 6

Practica en casa

1. Efectuar: 6. Efectuar:
(x+5)(x2–5x+25) – 125 (5+y)(5+3y)–(2+3y)(2+5y)+12(y+1)(y–1)–9

2. Reducir: 7. Efectuar:
(x+4)(x2–4x+16)+(x–4)(x2+4x+16) (x2–2x+4)(x+2)+(x–2)(x2+2x+4)

3. Efectuar: 8. Efectuar:
(x–4)(x2+4x+16) – (x–1)(x2+x+1) (x–3)3 – x3 + 27

4. Reducir: 9. Efectuar:
(a+4)(a+2)–(a+7)(a–1)+(a+3)(a–2)–(a+6) (x+1)3 – 3x – 1
(a+1)

5. Reducir:
(xy+1)(xy+7)+(xy+2)(xy–10)+2(3+xy)(3–xy)

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85

1 7 Capítulo 13. Calcular:
(3 5 − 1) (3 9 − 2 3 3 + 4) (3 25 + 3 5 + 1) (3 3 + 2)
10. Si: a+b=2
14. Si: x2+y2 = 12 – xy; x – y = 3
ab=3 Calcular: x3– y3
Hallar: a3+b3
15. Si: x+y=5; x3 + y3 = 35
11. Si: a – b = 5 Calcular: xy

ab = 3
Hallar: a3 – b3

12. Si: x + 1 = 3
x

Hallar: x3 + 1
x3

Tú puedes

1. Reducir: 4. Reducir:
(x2–4)(x–3)(x+1)–[x(x–1)–4]2
( a + 1) ( a − 1) (a2 + a + 1) − ( b + 1) ( b − 1) (b2 + b + 1)

a) a b) b c) a+b a) 4 b) –4 c) 0
d) a–b e) 2 d) 2 e) 6 c) 9

2. Calcular: 5. Si: (ab)2+(cd)2=3 y
abcd=2
^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h3 − 9^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h Calcular:
a6b6+c6d6

a) 3 b) 6 c) 9 a) 6 b) 8
d) 0 e) 12 d) 12 e) 7

3. Si: `x + 1 2 = 3 (x>0)
x
j b) – 3
e) 6
Hallar: x5 + 1
x5

a) a c) 3

d) 7

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86

1 8Capítulo

Productos notables III

Lectura: El matemático que agitó la bolsa

El Gurú de la gestión cuantitativa - James Simons

Wall Street no es Hollywood, pero también fabrica mitos. Warren Buffet, Peter Lynch, Mark Mobius o
Bill Gross son algunas de sus leyendas. Se trata de profesionales que han aportado un
estilo propio al mundo de la inversión. En este Olimpo bursátil también tiene
su hueco James Simons. El fundador de Renaissance Technologies, una de
las entidades de hedge funds más importante del mundo con cerca de 20
000 millones de dólares bajo gestión, ha comunicado que se retira en 2010.
Muchos le consideran un pionero en el uso de sistemas matemáticos
combinados con aplicaciones informáticas para batir el mercado.
Su adiós coincide con el deseo de los reguladores de poner coto a los
sistemas de inversión inteligentes (robots), que este erudito contribuyó
a desarrollar, por distorsionar el comportamiento bursátil.

La vida de Simons encaja como un guante en el mito del sueño
americano. Hijo de un zapatero, nació hace 71 años en los suburbios
de Boston. Dotado con una habilidad innata para los números, colaboró
con el Departamento de Defensa descifrando códigos secretos. Además,
obtuvo el Premio Veblen, la mayor distinción en el ámbito de la geometría,
con sólo 38 años. Antes de fundar Renaissance, Simons fue presidente
del Departamento de Matemáticas de la Universidad Stony Brook. En esta época tuvo
el primer contacto con el mercado invirtiendo parte de sus ahorros en la compraventa de divisas.

FUENTE: El país.com/oct–2009

En este capítulo aprenderemos

.. A reconocer un trinomio cuadrado perfecto (TCP).
.. A transformar un TCP en binomio al cuadrado (2 formas).
.. A practicar: multiplicación de binomios conjugados.
.. A practicar identidades de Legendre.
Importante: El trinomio cuadrado perfecto se representará por TCP.

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87

1 8 Capítulo
Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES
III

Repaso Trinomio cuadrado Dándole forma
perfecto Regla práctica
TCP

Formas de
reconocer

Legendre TCP binomio al
cuadrado

Diferencia de
cuadrados

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TRILCE

88

Álgebra

Saberes previos 4. (2x2–3y3)2
5. (xy5+2yzw)2
En cada caso calcule el TCP
1. (x+3)2 4. a2 + b2 – 2 ab; es equivalente a:
2. (x3–3y2)2 5. 9x2 – 6x + 1; es equivalente a:
3. (x+5yz)2

Aplica lo comprendido

1. x2 + 6 xy + 9 y2; es equivalente a:

2. 4a2 + 12ab + 9b2; es equivalente a:

3. 4z2 + 20xz + 25x2; es equivalente a:

Aprende más

1. Si: (3x + 2y)2 = Ax2 + Bxy + Cy2 4. Dado el binomio: a4 + 4b4, si al adicionarle el
Hallar: A + B + C monomio Ka2b2 se convierte en un TCP, señale K.

a) 13 b) 19 c) 25
d) 8 e) 5
a) 2 b) 4 c) 8
2. Si: Ax2 + Bx + C, es un TCP; señale la relación d) 16 e) 1
entre A, B y C.
5. Dado: x2 + 4xy + 9y2, la expresión que se debe
a) 2 AC=B b) AC=4B c) 2AB=C adicionar para que se convierta en un TCP.
d) 4AC=B2 e) AC=4B2

3. Dado: 9x2 + 18 xy, indique que monomio se
debe agregar para que se convierta en TCP.
a) y2 b) 6y2 c) 36y2 a) xy b) 2xy c) 3xy
d) 9y2 e) 25y2 d) 4xy e) 6xy

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89

1 8 Capítulo 11. Si: a + b = 5

6. Efectuar: ab = 2
x2 + 6x +16 – (x+3)2 Hallar: a4 + b4

a) 1 b) 0 c) –4x a) 439 b) 433 c) 431
d) 6x e) 7 d) 430 e) 300

7. Efectuar: 12. Si:
(x+2)2 – 2 (x+2)(x+1) + (x+1)2 x2 + 10x + 27 ≡ (ax + b)2 + c
a) 2x2 Calcular: abc
b) –19 c) 12x
a) 10 b) 24 c) 12
d) –12x e) 1 d) 16 e) 15

8. Efectuar: 13. Si:
(x+1)2 + (x–1)2 – 2x2 4x2 – 12x + m ≡ (2x – n)2
a) 2x2
d) –2x3 b) 2 c) –2 Calcular: m+n
e) 2x3
a) 15 b) 12 c) 7
d) 9 e) 4
9. Efectuar:
(x2 + 5)2 – (x2 – 5)2 – 10 x2
b) 16x+x2 14. Si: 4x20 + 12x10y14 + 9y28 ≡ (Axm + Byn)2
a) 0 d) 10x2 Hallar: A + B + m + n
c) 12x2
a) 29 b) 30 c) 28
e) 12x d) 31 e) 32

10. Si: x+ 1 = 3. Hallar: x4 + 1 15. Si: (3x–1)2 + (3x+1)2 ≡ 2 (ax2 + b)
x x4 Calcular: ab

a) 44 b) 45 c) 46 a) 6 b) 4 c) 8
d) 15 e) 9
d) 47 e) 81

Practica en casa

1. Si: (5x2+3y)2 ≡ Mx4 + Nx2y + Py2 6. Reducir:
Hallar: M + N + P (x+y)2+(x–y)2+(1+x)(1–x)+(1+y)(1–y)–2
Indique a qué expresión se debe agregar para
2. Si: 2mx2 + 3nx + p que se obtenga un TCP.
Es un TCP, señale la relación entre: m, m y p

3. Dada la expresión: 25x2 + 10 xy 7. Hallar "K", si:
Indique qué monomio se debe agregar para que (m+2n)2–(m–2n)2+m(m+2n)+2n(m+2n)+Kmn
la expresión se convierta en un TCP
Es un TCP

4. Dada la expresión: 64a4 + y4 + K2a2y2 8. Hallar "K", si: (a+3b)2 + (a+b)2 + Kb2
Hallar K2, si es un TCP Es un TCP

5. Hallar el valor positivo de "K" 9. Hallar "P", si:
x2 – 11 xy + 9y2 + Kxy (x2+y2)2 + (x+y)2(x–y)2–(x4+y4)+px4+5x2y2
es un TCP es un TCP

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90

Álgebra

10. Si: x+ 1 = 4. Hallar: x4 + 1 13. Si:
x x4 x4–14x2y5+49y10+36a2–12ab3+b6≡
≡(Ma+Nb3)2+(Ax2+By5)2
11. Si:
a+b = 3 Hallar: (M – N + A – B)
ab = 1
Hallar: a4 + b4 14. Si: 9x14+42x7y4 + 49y8 ≡ (Axm+Byn)2
Señale: A + B + m + n

12. Si: 15. Si: ( 5 x + 2 y)2 + ( 5 x − 2 y)2 + Kxy
4a2+4ab+b2+25x2+30xy+9y2≡(Ma+Nb)2+(Ax+By)2 Es un TCP. Hallar P( 10 ) en P(x) = Kx + 1

Hallar: M + N + A + B

Tú puedes

1. 9 x10 + 3x5y + y2 + a40 + 2, 5a20b3 + 25 b6 4. Reducir: a2 + 2ab + b2 – a2 – 2ab + b2
4 16 Si: b > a > 0

Es equivalente a: (Axm+Byn)2 + (Map + Nbq)2

Señale: A+B+M+2N–m+n+p+q a) 2a b) 2c c) a–b
d) b–a e) 0
a) 20 b) 21 c) 25
d) 23 e) 24
5. Si: x(x3+1)=9 – 4x5 (x > 0)
2. Reducir: Calcule el valor numérico de: x4–6x2–x

2, 25x4 + y4 + 3x2y2 + 0, 04a4 + 0, 8a2b2 + 4b4 − a) 9 b) 3 c) –9
− (1, 5x2 + 0, 2a2) d) – 3 e) 3

a) y2 b) b2 c) y2+b2
d) y2+2b2 e) 2y2+b2

3. Si: a+b=2 y a=b–1

Hallar: a1024 + b1024

a) 210 b) 29 c) 2
d) 4 e) 8

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1 9 Capítulo

Productos notables IV

Lectura: Un matemático calcula el record definitivo de los 100 metros
planos en 9.29

El matemático holandés John Einmahl, de la Universidad de Tilburgo, ha calculado el récord definitivo
de 14 disciplinas atléticas y, entre ellas, el masculino de los 100 metros que él estima en 9.29 segundos
apoyándose en la teoría de los valores extremos y en proyecciones estadísticas.

Einmahl no pretende predecir los récords posibles en un futuro lejano sino, como lo
dice expresamente su estudio, los récords que podrían darse bajo las condiciones
actuales. La base de los cálculos de Einmahl son las mejores marcas de 1.546
atletas masculinos y 1024 atletas femeninas de élite de cada disciplina estudiada
que luego somete a complicadas elaboraciones matemáticas con ayuda de un
ordenador.
Según los cálculos de Einmahl, el récord del maratón entre los hombres, que
posee el keniano Paul Tergat (2h.04:55) es especialmente notable puesto
que el matemático holandés considera que sólo podría ser mejorado en
49 segundos. Entre las mujeres, en cambio, el récord de la británica Paula
Radcliffe, de 2h.15:25, podría ser claramente mejorado en 8 minutos y 50
segundos.
Curiosamente, también en las pruebas de velocidad, en las que habitualmente
se cree que se está muy cerca del límite de lo humanamente posible, los cálculos
de Einmahl apuntan a posibles mejoras. No sólo el récord de los 100 metros, que

podría ser bajado de los 9.77 de Asafa Powell a 9.29, podría mejorar sino también el
récord de 200 metros, en manos de Michael Johnson en 19.32, está casi un segundo por encima de lo
posible.
La teoría de los valores extremos, la especialidad de Einmahl, suele utilizarse para calcular cosas como “la
mayor pérdida posible” en caso de catástrofes naturales, por lo que las compañías de seguros recurren con
frecuencia a esta disciplina para determinar el monto de sus pólizas.

FUENTE : EFE

En este capítulo recordaremos

.. Diferencia de cuadrados.
.. Binomio al cubo.
.. Suma o diferencia de cubos.
.. Binomios con término común.

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92

Álgebra

Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES
IV

Diferencia de Suma o diferencia de
cuadrados cubos

Binomio al cubo Binomios con un
término común

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93

1 9 Capítulo 4. Efectuar: (x – 2)2
Saberes previos 5. Efectuar: (x + 3)(x – 7)
1. Efectuar: (a2 + 3)(a2 – 3)
2. Efectuar: (a2 + 1)(a4 – a2 + 1)
3. Efectuar: (a + 2)3

Aplica lo comprendido 4. Reducir: (x+1)3 + (x–1)3 – 2x3

1. Reducir: (x+1)(x–1)+(x+2)(x–2)+(x+3)(x–3)

2. Reducir: (x+3)(x2–3x+9) + (x–3)(x2+3x+9)

5. Reducir: (x+4)(x–4) – (x+8)(x–2)

3. Reducir: (x+1)(x+5)+(x+3)(x–9)

Aprende más

1. Reducir: 4. Efectuar:

(a+2)(a–2)(a2+4)– (a2+ 2 )(a2– 2 ) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – (x2+5x+5)2

a) –6 b) –8 c) –2 a) 2x2 b) 2 c) –2x
d) –18 e) –14 d) –1 e) 2x3

2. Efectuar: 5. Si:
(x2 + 6x + 3)(x2 + 6x + 7) – (x2 + 6x + 5)2
a+b=3

a) 12x b) 0 c) –4 ab = 5
d) 6x e) 7
Hallar: a3 + b3

3. Efectuar: a) 18 b) –18 c) 27
d) –27 e) 15
(x2 + x + 2)(x2 + x – 2) – (x2 + x)2
1 x3 + 1
a) 2x2 b) –4 c) 12x 6. Si: x+ x = 3; hallar: x3

d) –4x e) 4 a) 0 b) 3 c) – 3

d) 2 3 e) –2 3

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94

Álgebra

7. Reducir: 11. Si: x2 – 3x + 1 = 0

(a+b)3+(a–b)3+2a(5b2–a2) Calcular: x3 + 1
x3
a) 6 ab2 b) 16 ab2 c) 10 ab2
d) 4 ab2 e) 12 ab2 a) 10 b) 24 c) 12

d) 18 e) 27

8. Reducir: 3@5− 1 12. Reducir:
6(x − 1)2(x2
+ x + 1) 2(x3 − 1) + 1 (x+3)(x+5)+(x+4)(x–6)+(x–7)(x+1)

a) x b) x2 c) x3 a) 3x2 b) 3x2–10 c) 3x2–24

d) 1 e) 0 d) 3x2–17 e) 3x2–16

9. Efectuar: c) 12x2 13. Reducir:
(x+y–3)(x–y+3) + (y–3)2 (x+1)(x+3)+(x+3)(x+2)–(3+5x)(3–2x)
b) x2
a) 0 e) 12xy a) 0 b) 10x2 c) 12x2
d) 10y2 d) 8x2 e) –8x2

10. Si: 14. Si: x2 – 4x + 1 = 0
x2 + 3 xy + 9y2 = 17 ............ (1)
Calcular: x2 + 1 + x3 + 1
x2 x3
x = 5 + 3y ..... (2)
Hallar: x3 – 27y3 + 11 a) 75 b) 72 c) 66

d) 60 e) 48

a) 85 b) 86 c) 95 15. Si: x2 + 1 = 5 x
d) 96 e) 80
Calcular: x6 + 1
x6

a) 16 b) 14 c) 18

d) 15 e) 19

Practica en casa

1. Reducir: 6. Si: x+ 1 = 7; hallar: x3 + 1
(x+3)(x–3)(x2+9)–(x2+ 5 )(x2– 5 ) x x3

2. Reducir: 7. Reducir:
6(x + 2)2(x − 2)2(x2 − 4)5@1/7 + ( 3 x + 1) ( 3 x − 1) + 5 (a+2b)3 + (a – 2b)3 + 2a ( 5 b+a)( 5 b–a)

3. Efectuar: 8. Efectuar:
(x2 – x + 5)(x2 – x + 7) – (x2 – x + 6)2 (a – b + 6)(a – b – 6) – (a – b)2

4. Efectuar:
(x2 – 3x + 5)(x2 – 3x – 5) – (x2 – 3x – 5)2 + 50

5. Si: a + b = 5 9. Si: x2 + 5xy + 25 y2 = 10
ab = 7
Hallar: a3 + b3 x = 3 + 5y
Hallar: x3 – 125y3 + 10

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95

1 9 Capítulo 13. Reducir:
(3+x)(3+2x)+(5+2x)(5–3x)+(3x–7)(2x+5)
10. Calcular el valor de:
(3 2 + 3 3) (3 4 − 3 6 + 3 9) +

+(3 4 − 3 3) (3 16 + 3 12 + 3 9)

11. Si: x2 – 5x + 1 = 0 14. Si: x2 – 3x + 1 = 0

Calcular: x3 + 1 Calcular: x2 + 1 + x3 + 1
x3 x2 x3

15. Si: x2 + 1 = 3 x

Calcular: x6 + 1
x6

12. Reducir:
(a+11)(a+5)+(a–3)(a–2)+(a+9)(a–20)

Tú puedes

1. Si: a+a–1= 8 . Hallar: a5+a–5 4. Reducir:
(x2–x+1)(x2+x+1)(x4+x2+1)(x8+x4+1)–x8(x8+1)

a) 29 2 b) 45 2 a) 1 b) 0 c) x4
c) 50 2 d) 58 2 d) x2 e) x
e) 56 2
5. Hallar el valor numérico de:
2. Efectuar, utilizando productos notables: E = x3 – 3x + 15
25 3 # 5 # 17 # 257 + 1 para: x=3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2

a) 20 b) 21 c) 20
d) 17 e) 19
a) 1,7 b) 1,4 c) 1,1
d) 1,2 e) 1,3

3. Hallar el valor numérico de:
(x+y)4 – (x–y)4
Para: x= 7 + 2 ; y= 7 − 2

a) 12 47 b) 112 47 c) 112 7
d) 47 e) 100 47

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Álgebra

División algebraica I

Lectura: Invención del número cero

El número cero fue inventado tres veces: por los babilónicos
(alrededor del 500 a.C), por los mayas (hacia el 50 a.C) y por
los indios (aproximadamente hacia el 500). El dígito cero
desempeña un rol importante en un sistema posicional, por que
permite distinguir, por ejemplo, entre los números 309, 390 y
39. Antes de la invención de caracteres marcadores de posición,
los babilónicos dejaban la posición correspondiente vacía, lo
cual a menudo generaba malentendidos y dudas.
Leonardo Fibonacci introdujo el cero en Europa en el siglo XI.
Caracteres numéricos mayas: el cero se simboliza como un
caracol.

Tomado de: "Gran enciclopedia del saber (National Geographic) Informática
y matemática"

En este capítulo aprenderemos

.. División algebraica – Definición
.. Elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo.
.. Algoritmo de la división: D = d . q + R
.. División exacta e inexacta.
.. Grados de lo polinomios cociente y residuo.
.. División entre monomios.
.. División de un polinomio entre un monomio.
.. Ejercicios

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97

20 Capítulo
Síntesis teórica

DIVISIÓN
ALGEBRAICA I

Definición

Propiedades Algorítmo de la
división
Casos de división
• División exacta
• División inexacta

monomio polinomio
÷ ÷

monomio monomio

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Álgebra

Saberes previos

1. Efectuar las siguientes divisiones: 4. Efectuar:

a) +5 = a) x10 =
−1 = x3 =
=
b) − 12 b) x13
+4 x12

c) − 20 5. Dados los polinomios:
−2 P(x) = x5+2x3–5x+3
Q(x) = 8x2 + 7x3 + 4
2. Efectuar la siguiente multiplicación:

(x+3)(x+5) =

3. Reducir: Entonces:
a) 5x+2x–4x
= a) Grado de P(x) =

b) 5x+2y+3x+7y = b) Grado de Q(x) =

Aplica lo comprendido

1. En la siguiente división: 3. A partir de la siguiente división:
x2+2x x x3+6x2+11x+7
x+2 x2+3x+2
0
El grado del dividendo es: 3
El dividendo es: x2 + 2x
El divisor es : El grado del divisor es :

El cociente es : El grado del cociente es :

El residuo es : El grado máximo del residuo es :
2. Del ejercicio anterior, la división ¿es exacta o
4. Efectuar: 8x6
inexacta? 4x2

Justifica tu respuesta: 5. Efectuar: x3 + 6x2
x

Aprende más

1. En una división, se tiene: 2. De la siguiente división:
Divisor = x + 3 x3+6x2+11x+7
Cociente = x + 5 x2+3x+2
Residuo = 2
Hallar el dividendo: Hallar:

a) x2+6x+16 b) x2+8x+16 Grado del + Grado máximo
cociente del residuo
c) x2+9x+16 d) x2+7x+17
a) 0 b) 1 c) 2
e) x2+8x+17 d) 3 e) 4

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99

20 Capítulo
3. Efectuar: (–12x4y7) ÷ (3xy5)
11. Efectuar: 6x4y − 9x3y2 + 12x2y3
a) 4xy7 b) –3x2y3 c) 6x4y7 3xy

d) –4x3y2 e) 4x4y5 a) 2x3–3x2y+4xy2 b) –2x3+3x2y–4xy2

4. Efectuar: 24 a4b3 c) 3x3–3xy+y2 d) 6x3+xy+y2
−8 a3b2
e) –x3+3x2y+4xy2
a) 3 ab b) –4 ab c) 8 ab

d) –8 ab e) –3 ab 12. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (4x3y5)
para obtener (16x4y5 – 28x3y7+8x5y9)
5. Efectuar: (x3 + 10x2 – 4x) ÷ (x)

a) x2 – 10x + 4 b) x2 – 10x – 4 a) 4x+7y2+2x2 b) 4x–7y2+2y4

c) x2+10x+4 d) x2+10x–4

e) x2+10x c) 4x–7y2+2x2y4 d) 4x+7y2–2y4

6. Efectuar: 4x3 + 6x2 − 8x e) 4x+7y2–2x2
2x

a) x2+3x–8 b) 2x2+3x–8 13. Si (–4x3y7) es el cociente que resulta de dividir
d) x2+3x–4 (–12xmy18) entre (nx4yp), calcular el valor de
c) 2x2+3x–4

e) 2x2–3x+4 "p–(m+n)"

7. En una división exacta, el divisor es (x2+5) y el a) 0 b) 1 c) 2
cociente es (x+1). Hallar el dividendo. d) 3 e) 4

a) x3+x+5 b) x3+x2+5x+5 14. Al dividir: (xay7+x8yb) entre (x3y2) se obtiene
c) x3+x2+5 d) x3+5
e) x3+5x+5
un polinomio homogéneo de grado 13. Calcular

8. Al dividir (12xm+8) entre (6x13), el grado del el valor de "a × b".
cociente es 7. Calcular el valor de "m".
a) 100 b) 110 c) 120
d) 130 e) 140
a) 9 b) 10 c) 11
c) 3x3y5
d) 12 e) 13 15. Al dividir (xm+2+3xn–5+8xp+1–7x3) entre (x3)
− 18x4 y7 z3
9. Efectuar: 6xy2z3 el cociente obtenido es un polinomio completo

a) 3xyz b) –3xy5 y ordenado. Calcular: mn + np + mp − 1

d) –3x3y6z e) 3x3y5z a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
10. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (6y3z2)

para obtener (–54xy5z3)?

a) 9xy2z b) 6xy2z

c) –9xy2z d) –3–x3y6z

e) 3x3y5z

Practica en casa

1. En la siguiente división: 2. A partir de la siguiente división:
2x3+x2 + 3x + 1 x+1 x5 + 2x4 – x2 +3
2x2 – x + 4 x2 – 2x + 1

–3 El grado del cociente es:
El cociente es:
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