Álgebra Trilce

Álgebra

3. Efectuar: (18x7) ÷ (9x4) 11. Efectuar: 4a3b − 12 a4b5
2 a2b
−15 m10
4. Efectuar: −5 m4 12. ¿Qué polinomio debe multiplicar a (x4y2) para
obtener (3x5y3 + 8x6y4)?

5. Efectuar: (x8 + 8x5) ÷ (x4) 13. Si (3x4y6) es el cociente que resulta de dividir
(12 xayb) entre (4x2y3), entonces:
6. Efectuar: x4 + 3x3 − 5x
x a=

7. En una división exacta, el divisor es (x+3) y el b=
cociente es (x+9). Calcular el dividendo.
14. Al efectuar (12 xay7 + 18 x9yb) ÷ (6 x5y4), se
8. Al dividir (20xm+7) entre (5x3), el grado del obtiene: mx2y3 + nx4y6. Luego:
cociente es 10. Calcular el valor de "m". a= m=

b= n =

9. Efectuar: − 21 x4 y7 15. Al efectuar (xa+5y10+x13yb–3) ÷ (x4y8)
3 x3y6 Se obtiene un polinomio homogéneo de grado 15.
Luego:
10. ¿Qué monomio debe multiplicar a (8x4y9) para a=
obtener (–32x9y13)?
b=

Tú puedes

1. En una división exacta, el dividendo es 4. En una división, se tiene:
(x3+6x2+5x+p), el divisor es (x2+m) y el
Dividendo = P(x)
cociente es (x+q). Calcular el valor de m+p+q Divisor = x2 – 6x + 5

a) 34 b) 36 c) 38 Cociente = Q(x)
d) 41 e) 44
Residuo = ax + b
2. Si los cocientes de la siguientes divisiones:
BxA CxB Si se cumple: P(5) – P(1) = 12, calcular el valor
AxB y BxC representan términos semejantes.
de "a".

Calcular el valor de: A+C a) 1 b) 2 c) 3
B d) 4 e) 5

a) –1 b) 2 c) –2 5. Al dividir un polinomio P(x) entre x3, el resto es:
d) 1 e) 0 x2+x+7, halle el término independiente.

3. Si se cumple: MxA – NxB = 5xC

Calcular el cociente de la siguiente división: a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
(3A + 7B) xM
(6B − C) xN b) x4 c) 2x5
a) 8x e) 1
d) 3x6

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101

21 Capítulo

Repaso III

Interpretación geométrica del trinomio al cuadrado

Calculamos el área del cuadrado de lado "a+b+c"

c ac bc c2
b ab b2 bc
a a2 ab ac

a bc

FUENTE: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trinomio_al_cuadrado.svg

En este capítulo recordaremos

.. Productos notables con ejercicios de aplicación.

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102

Álgebra

Saberes previos

1. Desarrollar: = 4. Desarrollar: =
• (m + n)2 = • (m+x)3 =
• (x+3)2 • (n–2)3

2. Desarrollar: 5. Desarrollar:
• (x+y)(x–y) = • (x+8)(x+4) =
• (m+8)(m–8) = • (m–3)(m–9) =

3. Reducir:
• (a+b)2+(a–b)2 =
• (y+5)2 + (y–5)2 =

Aplica lo comprendido 6. Efectuar: (x + 4)3
7. Efectuar: (m – 5)3
1. Efectuar: (x+5)2 – x (x+10) 8. Desarrollar: (x+5)(x–8)
2. Efectuar: (y–7)2 – (y–8)2 + 2y 9. Reducir: (m–6)(m+7) + m (m+1)
10. Reducir: (x+1)3 + (x–1)3
3. Reducir: (m + 5)2 + (m − 5)2 − 50 ; m≠0
m2

4. Reducir: (x + 9)2 − (x − 9)2 ; x≠0
(x + 1)2 − (x − 1)2

5. Reducir: (x+3)(x–3)(x2+9) + 81

Aprende más 3. Reducir: (2m+1)3–6m(2m+1)–1

1. Desarrollar: (5m+4)2 b) 25m2+40m+16 a) m3 b) 2m3 c) 4m3
a) m2+16 d) 25m2+16
c) 5m2+20m+16 d) 8m3 e) 16m3
e) 25m2+40m+4 b) 7m2–9
d) m2–9 4. Desarrollar: (7x–5y)3–105xy(7x–5y)+125y3
2. Desarrollar: (7m–3)2
a) 49m2–9 a) x3 b) (6x)3 c) (7x)3
c) 49m2+42m+9
e) 49m2–42m+9 d) (8x)3 e) (9x)3

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103

21 Capítulo
5. Reducir: (x–8)(x+4) – (x+2)2 + 16+ 8x 13. Si: x+y=3, reducir: (x+y)3 – x (9y+x2) – y3

a) –20 b) –22 c) –24 a) –1 b) 0 c) 1
d) –21 e) –23 d) 2 e) 3

6. Reducir: (x + x1)2 − (x − 1 )2 x!0 14. Reducir: (x+2)3 + (x–2)3 – 2x (x2–12x) – 24x2
x c) 3
a) 6x b) 12x c) 18x
a) 1 b) 2 d) 24x e) 30x
d) 4 e) 5
2 4
7. Reducir: (4x + 2003)2 + (4x − 2003)2 − 4006 15. Si: m+ m =5 , Hallar: m2 + m2
a) 4x2 b) 16x2 c) 32x2
d) 64x2 e) 128x2 a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

8. Reducir: (x2 + 5)2 – x4 – 5x (2x + 1) + 5x 16. Reducir: (x + 1) (x − 1) (x2 + 1) (x4 + 1) + 1
a) x2 b) x4 c) x6
a) 10 b) 15 c) 20 d) x8 e) x16

d) 25 e) 30 (x2 + 2y) (x2 − 2y) + (x2 + 2y)2 − 2x4
x2y
9. Desarrollar: (a + b + c)2 17. Reducir:

a) a2+b2+c2 b) a2+b2+c2–abc a) 1 b) 2 c) 3

c) a2+b2+c2+2(ab+bc+ac) d) 4 e) 5

d) a2+b2+2abc e) a2+b2+c2+a+b+c 18. Si: x + y = 5
xy = 1
10. Reducir:6(x + 8)(x + 5) − (x + 7)(x + 6) + x@2 − (x + 2)2 Hallar x – y ; x>y

a) –4x b) –8x c) –16x a) 21 b) 20 c) 31
d) 6 e) 17
d) –32x e) –24x

11. Si: x2 + 3x = 8, hallar el valor numérico de: 19. Si: x + y = 7

(x+1)(x+2)(x+5)(x–2) xy = 20

a) –10 b) –20 c) –30 Hallar: x + y
y x
d) –40 e) –50

12. Si: a + b = 5 a) 3/20 b) 9/20 c) 11/20
c) 23
d) 7/20 e) 13/20

ab = 2 20. Si: x+ 1 = 5 , Hallar: x4 + 1
Hallar: a2 + b2 x x2

a) 20 b) 21 c) 22 a) 21 b) 22

d) 23 e) 24 d) 24 e) 25

Practica en casa 4. Desarrollar: (5x – 11y)2
5. Reducir: (x–6)(x+2)–(x+2)2+10
1. Desarrollar: (7n+2)2
2. Desarrollar: (5x – 3)2

3. Desarrollar: (4x – 5)2 6. Reducir: `4x + 1 2 − `4x − 1 2 x !0
x x
j j

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104

Álgebra

7. Reducir: (3x + 1005)2 + (3x − 1005)2 − 2010 14. Reducir:
8. Reducir: (x2+3)2 – x4 – 3x (2x + 1) (x+2)3 + (x – 2)3 – 2x3 + 24x2
9. Desarrollar: (x+y+2)2
15. Si: x+ 3 = 5, Hallar: x2 + 9
10. Reducir: 6(x + 4) (x + 7) − (x + 5) (x + 6) + x@2 x x2

11. Si: x2 + 5x = 60, hallar el valor numérico de: 16. Reducir: (x2 − 1) (x2 + 1) (x4 + 1) − 1
(x+2)(x+4)(x+1)(x+3)
17. Si: x>y
x+y=7
xy = 1
Hallar: x – y ;

12. Si: 18. Si:
a+b=7 x+y=6
ab = 2 xy = 20
Hallar: a2 + b2 x y
Hallar: y + x
13. Si: x + y = 3
Reducir: (x+y)3 – y (9x + y2) – x3 19. Si: x + 1 = 7, hallar: x4 + 1
x x2

20. Si: a – 2b = 3, hallar el valor numérico de:
a2 – 9

4b (a – b)

Tú puedes

1. Si: x – 3y = 5 (x + 5) (x − 5) 4. Calcular: 2 a2 + b2 + 3a + 4b
y (2x − 3y) ab b a
Hallar el valor numérico de: Sabiendo que: (a+b)2 = 4 ab

a) 1 b) 2 c) 3 (ab ! 0)

d) 4 e) 5 a) 10 b) 12 c) 4
d) 9 e) 16
2. Si el polinomio:
P(x; y) = 25x2 + 4axy + 16y2 5. Simplificar:
Es un trinomio cuadrado perfecto. Hallar el
máximo valor que toma "a". A=(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)–
–(a+b+c+d)2
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
a) ab+cd b) ab–cd c) ab–c
d) ab+c e) a2b2–cd
3. Si: x + 1 = 3, Hallar: x5 + 1
x x5

a) 121 b) 122 c) 123
d) 124 e) 125

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105

22 Capítulo

División algebraica II

Lectura: Problemas árabes

Uno de los métodos más antiguos para resolver las ecuaciones de segundo grado es el método geométrico
de "completar el cuadrado" atribuido a Al–Khwarizmi.

F K Al–Khwarizmi consideraba cinco tipos de ecuaciones
5 5x 25 de segundo grado: ax2 = bx; ax2=b; ax2+bx=c;
ax2=bx+c donde a, b, c eran positivos y a=1. (Los
números negativos y complejos aparecieron mucho
después). He aquí uno de sus ejemplos:

B C Resolver la ecuación: x2+10x=39

Se construye un cuadrado ABCD, con AB=AD=x.
Se extienden los lados AB y AD de forma que
DE=BF=5. (5 es la mitad de 10, el coeficiente de
x x2 5x x).

Se completa el cuadrado AFKE. El área de AFKE
se puede expresar como: x2+10x+25, pero la
ecuación a resolver es: x2+10x=39
A
x D5 E Por lo tanto, hay que agregar 25 a los dos miembros
de la ecuación, lo que da:

x2 + 10x + 25 = 39 + 25 – 64

Los dos miembros de la ecuación son ahora cuadrados perfectos:
(x+5)2 – 8x2

Puesto que se tiene: AF=AE=x+5=8, la solución será x=3.

Tomado de: "Historia e historias de matemáticas"
Mariano Perero

En este capítulo aprenderemos

.. División algebraica II.
.. Método de Horner

– Esquema
– Procedimiento
.. Ejercicios

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106

Álgebra

Síntesis teórica

DIVISIÓN
ALGEBRAICA II

División entre
polinomios

Método de Horner

• Esquema
• Procedimiento

Aplicaciones

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107

22 Capítulo
Saberes previos

1. Efectuar las siguientes operaciones: 4. Dado el polinomio:
P(x) = 5x4 + 3x2 + 6x + 1
a) 4 + 5 = b) –3+8 =
Completar:
c) 4 – 3 = d) 5 – 8 = a) Coeficiente principal =

2. Efectuar las siguientes operaciones: b) Grado del polinomio =

a) (+4)(–5) = b) (12) ÷ (3) = c) Término independiente =

c) (–3)(+2) = d) (–8) ÷ (2) = d) Suma de coeficientes =

3. En la siguiente división: 5. El polinomio:
2x2 + 3x + 5 P(x) = x4 + 8x3 – 5x2 + x + 7
x+2

El dividendo es : Está completo y respecto a la variable.

El divisor es :

Aplica lo comprendido

1. La división: • Dada la siguiente división
6x2 + 5x + 7 x2 + 7x + 1
2x + 3 x−2

Se representa mediante el siguiente esquema de
Horner:
3. El cociente es :

2 65 7 4. El residuo es :
3

¿Cuál es el error? 5. La siguiente división:

2. El siguiente esquema corresponde a una división x2 − 3x + 5
efectuada por el método de Horner: x−4

3 9 –3 5 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta
2 62

31 7
Señalar:
a) El cociente =
b) El residuo =

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108

Álgebra

Aprende más

1. Luego de efectuada la división: x2 + 5x − 4 8. Calcular el cociente de la siguiente división:
Completar: x −1 6x3 + 19x2 + 18x + 9
3x + 5
a) Dividendo = x2 + 5x – 4
a) 2x2+3x+1 b) x2+2x+1
b) Divisor = c) x2+2x+3 d) 2x2+x+3
e) 3x2+2x+1
c) Cociente =

d) Residuo =

2. Luego de efectuar la división: x2 + 5x + 13 9. Calcular el residuo de la siguiente división:
x+2 4x3 + 5x2 − 2x − 3
Relacionar correctamente 4x − 3

Dividendo A 7 a) 9 b) 12 c) 3

d) 0 e) 6

Divisor B x+2

Cociente C x+3 10. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división
Residuo D x2+5x+13 x3 + 5x2 − 6x
x2 − x − 1 + 1?

3. Luego de efectuar la división: x2 + 7x + 13 a) x+7 b) x+6 c) x+5
x+5
d) x+4 e) x+3

Indicar verdadero (V) o falso (F)

a) El dividendo es : x2 + 7x + 13 ( ) 11. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división:
)
b) El divisor es : x–5 ( ) 3x3 + 2x2 + 6x + 13
) x2 − x + 2
c) El cociente es : x – 2 (
a) 3x+5 b) 5x–3 c) 3x–5

d) El residuo es :3 ( d) 5x+3 e) 0

4. Obtener el residuo de la siguiente división: 12. Luego de efectuar la siguiente división:
4x2 − 5x + 9
x−3 6x3 − 25x2 + 3x − 5 , el cociente es:
3x2 − 5x + 2
a) 10 b) 20 c) 30 a) 2x+5 b) 2x–5 c) –2x+5

d) 40 e) 50 d) –2x–5 e) 5x+2

5. Luego de efectuar: 6x2 + 7x + 2 13. Luego de efectuar: 5x + 4x3 + 7 − 2x2
Indicar el cociente 2x + 1 x2 + 1 − x

a) 3x–2 b) 3x+2 c) 2x+3 Indicar el residuo
d) 2x–3 e) 3x+4
a) 4x+2 b) 5x+3 c) 0
d) 2x+4 e) 3x+5
6x2 − 11x + m
6. Si el residuo de la división: 3x − 1 14. Si la siguiente división: x3 + 7x2 + Ax + B
x2 + 2x − 1
Es 4, calcular el valor de "m"

a) 4 b) 5 c) 6 Es exacta, calcular: A + B
d) 7 e) 8
a) 3 b) 4 c) 7
d) 9 e) 10
7. Obtener el cociente de la siguiente división:
x3 + 5x2 + 6x + 8 15. Si la división: x4 + 3x3 + 5x2 + Ax − B
x+4 x2 + x − 2

a) x2+x+2 b) x2–x+2 es exacta, calcular A+ B

c) x2+x–2 d) x2–x–2 a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
e) x2+x+1

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109

22 Capítulo
Practica en casa

1. Luego de efectuar la división: x2 + 2x + 5 8. Calcular el cociente de la siguiente división:
Completar: x−1 x3 + 4x2 + 6x + 9
x+3

a) Cociente = 9. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división:
b) Residuo = 2x3 + x2 + 3x + 2
x−1
2. Luego de efectuar la división: x2 + 4x + 5
Relacionar correctamente: x+3
10. Hallar el residuo de la siguiente división:
Dividendo A x+1 3x3 + 8x2 + 7x + 6
3x + 2
Divisor B 2
Cociente C x2+4x+5 11. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división:
x3 + 3x2 + x − 2
Residuo D x+3 x2 + x − 1

3. Luego de efectuar la división: x2 + 6x + 8 5x3 + 12x2 + x+ 3
x+2 x2 + 2x − 1
12. Luego de efectuar la división:
Indicar verdadero (V) o falso (F) El residuo es:

a) El cociente es : x+4 () 13. Luego de efectuar: 7x2 − 2 + 12x3 − 7x
b) El residuo es : 16 () Indicar el residuo 3x2 + x − 2
c) La división es exacta ()

4. Calcular el residuo de la siguiente división:
x2 − 3x + 2
x−6 x3 + 7x2 + Ax + B
5x2 − x + 2 14. Si la siguiente división: x2 + 5x − 3
5. Luego de efectuar: x−1 , Indicar el cociente
Es exacta, calcular el valor de "A+B"
6. Obtener el cociente de la siguiente división:
6x2 + 5x − 4 15. Dada la división exacta:
2x − 1 2x4 − 9x3 + 2x2 + 8Ax + B
x2 − 5x + 1
7. Si el residuo de la división: x2 − 5x + m
x−3 Calcular el valor de "A + B"
Es 3, calcular el valor de "m"

Tú puedes

1. Calcular "m+n+2" si la división: 4. Calcular la suma de coeficientes del cociente de:
6x5 17x4 + 7x3 + mx2 +
− 3x3 − 4x2 + 5x − 7 nx + p , es exacta 6x5 − x4 + 4x3 − 10x2 + Ax − 6
3x − 2
a) 22 b) 18 c) –11 d) 25 e) 28
Sabiendo que el residuo de la división es 2.

2. Si el residuo de la siguiente división: a) 1 b) 2 c) 4
3x5 − 8x4 − 5x3 + 26x2 + mx + n d) 5 e) 7
x3 − 2x2 − 4x + 8
Es –5x+2, calcular 2m+n" 5. Calcular el cociente de la siguiente división
exacta:
a) –20 b) –50 c) –3 d) –40 e) –70 ax4 + (a − b) x3 + bx2 + (b − c) x + c

3. Al efectuar la siguiente división: ax2 − bx − c
6x3 12x2
− 3x2 + 4Ax + A , a) ax2 + bx + c b) x2 + x – 1
+ 3
El residuo toma la forma "mx+m". Calcular el c) ax2 + x + b d) x2 + bx + c
e) x2 – bx – c
valor de "A+m"

a) 10 b) 24 c) 30 d) 31 e) 32

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110

23Capítulo

División algebraica III

Lectura: Sobre el papiro de Rhind

L o s egipcios resolvieron ecuaciones lineales por el método de la falsa posición. Este método
también fue utilizado por los babilonios, contemporáneamente con los egipcios, y
posteriormente por los árabes. El siguiente problema aparece en el Papiro Rhind
(S. XVIII a.C):

"Un montón, sus dos tercios, su mitad, todos juntos hacen trece. ¿Cuál es la
cantidad?"

El problema se reduce a la ecuación:

x + 2 x + 1 x = 13
3 2

Los egipcios encontraban la solución de este tipo de ecuación a través de
un método llamado regla de falsa posición. En primer lugar atribuían un
valor falso al montón, por ejemplo, 12:

12 + 2 (12) + 1 (12) = 12 + 8+6 = 26
3 2

Luego, mediante una regla de tres simple se obtiene el valor verdadero del
montón, que en este caso es 6.

Valor verdadero = 12 # 13 =6
26

Este método es un ejemplo del uso de aproximaciones, en que se parte de un valor falso y
se procura corregirlo para mejorar el resultado. En este caso permite obtener la solución exacta por la
estructura del problema.

FUENTE: (http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ContribucionesV8_n1_2007/De%201a%20Resolucion_de_Ecuaciones/2_
EcuacionesPolinomicas.pdf)

En este capítulo aprenderemos

.. División algebraica III
.. División entre polinomios
.. Método de Ruffini

– Esquema
– Procedimiento
.. Aplicación

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111

23 Capítulo
Síntesis teórica
DIVISIÓN
ALGEBRAICA III
División entre
polinomios
Método de Ruffini
Regla
Aplicación

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TRILCE

112

Álgebra

Saberes previos 3. Ordenar el polinomio de forme descendente:

1. Efectuar las siguientes operaciones: P(x) = 5 + x3 – 6x + x2
& P(x) =
a) 7 – 2 = b) –4 + 5 =

c) – 6 – 2 = d) 2 – 5 = • Dada la siguiente división:

3x2 − 5x + 7
x−2

2. Efectuar las siguientes operaciones: Contesta las siguientes preguntas:
4.

a) (5)(2) = b) (3) (–4) = El dividendo es :
c) (–2)(–3) = d) (–1) (5) =
El divisor es :

5. :
El cociente es :
El residuo es

Aplica lo comprendido

1. La división: 3. Del siguiente esquema de Ruffini:
x2 − 8x + 10
x+3 7 –2 5 –10
Se representa mediante el siguiente esquema de 1 75B
Ruffini:
75A0
1 –8 10
3 Calcular: "A + B"

Es correcto • A partir de la siguiente división:
2x2 − 5x + 3
2. El siguiente esquema corresponde a una división x −1
efectuada por el método de Ruffini: Responde:

275 4. El cociente es:
–3 –6 –3
5. La división, ¿es exacta o inexacta?
212

Señalar:

a) Cociente :
b) Residuo :

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113



























Álgebra

Practica en casa

1. Señale los factores primos de: 8. Factorizar:
xyz + x4 + xy a4 + a2b2 + a2c2 + b2c2

2. Señale los factores primos de: 9. Señale el factor primo de mayor grado de:
x7y8 + x2y12 x2y – yz3 + x2w – wz3

3. Señale el factor primo que más se repite: 10. Factorizar:
a8b5 – a2b8 + a5b4 a6y + x4yz + x7z + x5z2

4. Factorizar e indicar un factor primo no mononio 11. Factorizar: a2 + ab + ac + bc
de:
a23b15 + b19a12

5. ¿Cuántos términos tiene el factor primo no 12. Factorizar: x7 + x5y5 + m3 x2 + m3 y5
monomio de: 13. Factorizar: x4 + x3 y2 + xy2 + y4
x9y4 – x3y6 + x14y19

6. Señale los factores primos de: 14. Factorizar: 5a3 – 5 a2b2 + b3 – ab
xn+4 + yn+6 + xn+17

7. Factorizar: 15. Factorizar: ab (m2 + n2) – mn (a2 + b2)
xn–6 + xn–7 – xn–4

Tú puedes

1. Señale un factor primo de: 4. Sumar los factores primos de:
(ax+by)2 + (ay–bx)2 a2(b+c) + b2(a+c) + c2(a+b) + 2abc

a) ax+by b) ay–bx c) a2+x2 a) a+b+c b) 2(a+b+c) c) 3(a+b+c)
d) b2+y2 e) a2+b2 d) a+b e) b+c

2. Indicar la suma de factores de: 5. Un factor de x(x + 5y) + x2 – 25y2 es:
(x + 3)(x + 2) + (x + 5)(x + 4) – 3(x + 4)
a) x + y b) x – y c) x + 5
d) x + 5y e) x – 3y
a) 3x + 9 b) 3x + 8 c) 3x + 7

d) 3x – 8 e) 3x + 1

3. Un factor de:
b (a+6c) + 2ac + 3b2; es:

a) a+b b) b+c c) a+2b
d) c+3b e) a+3b

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127

26 Capítulo

Factorización II

Método de las identidades

Lectura:El concepto de infinito es 2000 años más antiguo de lo pensado

El primer uso matemático del concepto de real
de infinito se ha visto retrasado unos 2000
años. Y la culpa la tiene un nuevo análisis
de las páginas de un pergamino en el que un
monje medieval de Constantinopla copió la
labor del griego Arquímedes.
El concepto de infinito es una de las cuestiones
fundamentales en las matemáticas y aún hoy
es un enigma. El pergamino reproduce 348
páginas escritas por Arquímedes, siendo esta
la copia más antigua de los antiguos genios
griegos.
En él, se han encontrando pruebas de que
Arquímedes ya dió un “uso sistemático
del concepto de infinito en una parte del
documento llamado Teoremas del Método de
la Mecánica. Para analizarlo, se ha examinado el pergamino con un nivel de detalle extraordinario, gracias
al uso de imágenes multiespectrales y también a una técnica que utiliza un haz fino de rayos X desarrollada
por la Universidad de Stanford. El escáner puede generar una imagen de un millón de píxeles en menos
de una hora.
Esta novedosa lectura revela que Arquímedes se dedicaba a las matemáticas e hizo usos del concepto real de
infinito, tales como el número de triángulos dentro de un prisma, o el número de líneas dentro de un rectángulo.

FUENTE: LIVE SIENCE

En este capítulo aprenderemos

.. Factorizar el TCP
.. Transformándolo en un binomio al cuadrado

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TRILCE

128

Álgebra

Síntesis teórica

MÉTODOS DE
FACTORIZACIÓN

Método de las
identidades

Métodos del TCP
Formas de
reconocerlo

Factorizando
TCP Binomio al cuadrado

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129

26 Capítulo 4. (x5 – y6)2
Saberes previos 5. (a2 + b)2
Factorizar:
1. (a+b)2 – (b2 + a2) 4. (x+y)3 – x3 – 6 xy (x+y)
2. x4 + 2y4 – (x2 + y2)2 5. (x+y)(x–y) + y (y + 7x)
3. (a3 + b)2

Aplica lo comprendido

Factorizar:
1. (x+y)2 + (x–y)2 – 2x2 + xy
2. (x+y)2 – (x–y)2 – 6 xyz
3. (a+b)2 – b2 – 5 ab

Aprende más

1. Factorizar y señalar el número de factores primos 4. Luego factorizar: x2 – 4x + 4 + x – 2, indique

no repetidos de: un factor primo:
a4 + 2 a3b2 + (ab2)2
a) x + 2 b) x + 4 c) x – 2

a) 2 b) 3 c) 4 d) x – 5 e) x +1

d) 5 e) 6 5. Luego de factorizar: x2 + 2x+1 – 3(x+1);

2. Señalar un factor primo de: indique la suma de sus factores primos.
a2 + b2 + a4 + b4 + 2 a2b2
a) 2x – 1 b) 2x + 3 c) 2x + 1

a) a2–b b) a2+b c) a2+b2–1 d) 2 x – 4 e) 2x + 4

d) a2+b2+1 e) a2+b4 6. Luego de factorizar: x2–6x+9 +4(x–3) ; indique

3. Señale un factor primo de: un factor primo:
x3 + y5 + x6 + y10 + 2x3y5
a) x + 2 b) x + 9 c) x –1

a) x3+y2 b) x3+y3 c) x3+y4 d) x + 6 e) x – 3
d) x3+y5 e) 2x3+y5

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TRILCE

130

Álgebra

7. Factorizar: (x + 2)2 + 2(x + 2) + 1; indicar un 12. Luego de factorizar: x2 + 2xy + y2 – x (x + y);
factor primo indique la suma de sus factores primos.

a) x + 1 b) 2x + 3 c) x + 3 a) 2x – y b) y c) x +2y

d) x + 5 e) 2x + 5 d) x – y e) 2x + y

8. Factorizar: (x + 3)2 + 6(x + 3) +9; indicar un 13. Luego de factorizar: x2 – 6xz + 9z2 + xy – 3yz;
factor primo. indique un factor primo:

a) x + 3 b) x – 3 c) x + 6 a) x – z b) x + 9 c) x – 3

d) x – 6 e) 2x + 1 d) x + yz e) x – 3z

9. Factorizar: (x2 + x)2 + 4 (x2 + x) +4 14. Factorizar:
Indique un factor primo: P(x)=x2(x+5)2+6x(x+5)+9–5x(x2+5x+3),

a) x2 +x b) x – 1 indicar un factor primo.

c) x2 + x + 2 d) x2 + x + 4 a) x2 + 1 b) x2 + 2 c) x2 + 5

e) x2 + 2 d) x2 + 3 e) x2 + 9

10. Luego de factorizar: 15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo
x4 +4x2 + 4 +x3 + 2x; indique el número de del polinomio:
factores primos: P(x,y) = (3x + 2y)2 + 8 (3x + 2y) + 16
Hallar: "a + b+ c"
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

11. Luego factorizar: x2 – 4xy + 4y2 + xz – 2yz, a) 5 b) 6 c) 7
indique un factor primo:
d) 8 e) 9

a) x + 2 b) x + 4 c) x –2y
d) x – z e) x +z–y

Practica en casa

1. Señalar el número de factores primos de: 5. Factorizar: x2 + 2x+1 – 5(x+1)+4
x4 + 2 x3y4 + (xy4)2 6. Factorizar: x2 – 10x + 25 +7(x–5)
7. Factorizar: (x + 3)2 + 2(x + 3) + 1
2. Señalar un factor primo de: 8. Factorizar: (x + 5)2 + 8(x + 5) +16
a3 + b3 + a6 + b6 + 2 a3b3

3. Señale un factor primo de:
a8 + b4 + a16 + b8 + 2 a8b4

4. Sumar con coeficientes de un factor primo de: 9. Factorizar: (x2 + x)2 + 10 (x2 + x) +25
x4 + 25y4 + 10 (xy)2 – x2 – 5y2

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131

26 Capítulo 14. Factorizar:
10. Factorizar: x4 +2x2 + 1 +x3+x P(x)=a2(a+3)2+10a(a+3)+25–4a(a2+3a+5)
11. Factorizar: x2 – 6xy + 9y2 + xz – 3yz

12. Luego de factorizar: x2+4xy+4y2 – 5x(x+2y); 15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo
indique la suma de sus factores primos.
del polinomio:
13. Factorizar: a2 – 4ab + 4b2 +ac – 2bc P(x,y) = (5x + 3y)2 + 12 (5x + 3y) + 36

Hallar: "a + b+ c"

Tú puedes

1. Señale un factor de: 4. Sumar los factores repetidos de:
(y+1)(y+2)(y+3)(y+4) + 1 (x–y)(x+y)(x2+y2)...(x16+y16)+y32+2x16+1

a) y2+y+1 b) y2 + y + 3 a) 2x16 b) 2x16–2
c) y2 + y + 4 d) y2 + y + 5 c) 2 (x16+y16) d) 2(x16+1)
e) y2 + y + 2 e) 2y16

2. Señale el término cuadrático de un factor primo 5. Señale un término del factor primo de:
de: (x + 2)(x3 – 4x2 + 4x) + 2x (x – 4) + 1 a2(a2+1)+b2(b2+1)+2ab(ab+1)+(a+b)(2a2+2b2)

a) x2 b) 2x2 c) 3x2
d) –2x2 e) –3x2
a) a3 b) 2a2 c) 2b2
d) a2 e) b3
3. Señale el número de factores primos de:
(x+y)4 – (x–y)4 + 16 x2y2

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

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TRILCE

132

27Capítulo

Factorización III

Lectura: El arte de plantear ecuaciones

El idioma de álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema
referente a números o relaciones abstractas de cantidades. Basta
con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma
algebraico", escribió el gran Isaac Newton (*) en su manual de
álgebra titulado Aritmética Universal. En otras palabras el álgebra
es el idioma universal que traspasa lenguas y fronteras.

Fuente: PROBLEMAS Y GENIALIDADES MATEMÁTICAS – YAKOV
PERELMAN

(*) Al hablar de Sir Isaac Newton, no existe una faceta en la que podamos
encasillarlo, entre el gran recorrido de su vida ha tenido roles como físico,
filósofo, matemático, inventor, alquimista y científico. Su mayor logro y el
porque es mayormente recordado es por la ley de la gravitación universal y las
leyes de la mecánica clásica.

FUENTE: www.cultura10.com/isaac-newton-y-sus-grandes-descubrimientos/

En este capítulo aprenderemos

.. Método de las identidades suma y diferencia
.. Diferencia de cuadrados
.. Reconocer la diferencia de cuadrados
.. Transformar diferencia de cuadrados

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133

27 Capítulo
Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN:
MÉTODO IDENTIDADES

Diferencia de
cuadrados

Reconocer:

Diferencia de cuadrados

Factorización

Diferencia de cuadrados
Suma × diferencia

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TRILCE

134

Álgebra

Saberes previos 4. (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)
5. (2a + 1)(2a – 1)(4a2 + 1)
• Efectuar:
1. (a2 + 5)(a2 – 6)
2. (a3 + b5)(a3 – b5)
3. (3 – x4)(x4 + 3)

Aplica lo comprendido 4. Factorizar:
(a+b)4 – z4
1. Factorizar:
a2 – 4y14 5. Factorizar:
a4 – 625
2. Factorizar:
x10 – 4y14

3. Factorizar:
x4 – y4

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135

27 Capítulo
Aprende más

1. Factorizar y señalar un factor: 9. Señalar el número de factores primos:
x2 + y2 + 2xy – z2 (a2+b2+2ab)2 – x4

a) x+y b) x–y c) x+y+z a) 2 b) 3 c) 4
d) x–y+z e) x–y–z
d) 5 e) 1

2. Señale un factor de: 4a2 – 12ab + 9b2 – c2 10. ¿Cuántos factores primos lineales (1er. grado) se

a) 2a+3b b) 2a–3b c) 2a+3b+c obtienen al factorizar:
P(a; b) =a4 – b4 – a2 + b2
d) 2a–3b–c e) 2a+3b–c

3. Sumar los coeficientes de un factor primo de: a) 0 b) 1 c) 2
(x+y)(x–y)+z(2y–z)
d) 3 e)

a) 0 b) 1 c) 2 11. ¿Cuántos factores primos tiene:
d) 3 e) 4
x8 – 16

4. Luego de factorizar: x2 – (x + z)2, a) 2 b) 1 c) 4

e indicar un factor primo d) 5 e) 6

a) x – z b) x + z c) x – 2z 12. Factorizar e indicar un factor primo:

d) 2x + z e) x + 2z (x4+4x2+4)2 – z8

5. Señale un factor de: 4x2 + 4x – 4z2 + 1 a) x2+z b) x2+2 c) x2+z+2
a) 2x+2z+1 b) 2x–z+1 c) 2x–z2+1
d) 2x2–z2+1 e) x+z d) x2+z2+2 e) x2–z

6. Factorizar: (x+2)2 – (2x+3)2; e indicar un factor 13. Factorizar:
P(x; y) = (36x2 – 25 y2)(x2 – 4y2)(x4 – 4y4);

Indicar el número de factores primos.

primo a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 7
a) 3x+5 b) 2x+7 c) 2x–1
d) x–1 e) x+2

7. ¿Cuántos factores primos hay en la expresión: 14. Factorizar:
P(x) = x14 – x2 – 6x – 9
P(x; y) = (9x2 – 4y2)(x2 – 25 y2)
Indicando el número de factores primos
a) 3 b) 4 c) 5
obtenidos:
d) 2 e) 1

8. Factorizar: a) 1 b) 2 c) 3
P(x; y) = 9x2 + 1 – 6x + 9z2
d) 4 e) 5

Indicando el número de factores primos 15. Factorizar:
P(a; b; c) = 9a2 + 3a – 4b2 + 2b – c2 – c + 4bc
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Indicando un factor primo

a) 3a + 2b – c b) 3a – 2b + 8c
c) a – b + c d) a2 + b2 + c2

e) a – 2b + 4c

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TRILCE

136

Practica en casa Álgebra

1. Factorizar: 9. Factorizar: (5x + 3)2 – (3x – 5)2
x2+49y2z2 + 14xyz – 9 10. Factorizar:

2. Factorizar: P(x, y) = x8 – y8 – x4 + y4
9a2 + 25b2 – 30ab – (z2)3 11. Factorizar: x2+2xy+y2 – z2
12. Factorizar:
3. Factorizar:
(x2+y3)(x2–y3) + z5(2y3 – z5) P(a, b,c) = a2 – 6ab2+9b4 – b2 +4bc2 – 4c4
13. Factorizar:
4. Sumar los factores primos de:
(4a+7b)(4a–7b) – 3c (3c+14b) P(x,y) = (49x2 –4y2) (x2 – 9y2) (x4 – 81y4)
14. Factorizar:
5. Señale los factores primos de:
9x4 + 6x2 – 16 z8 + 1 P(x) = x10 – x2 – 10x – 25
15. Factorizar:
6. Factorizar: 4x2 –(x + 5)2
7. Factorizar: P(a,b,c)= 4x2 + 2x – 9y2 + 3y – z2 – z + 6yz

P(x,y) = x4 – y4
8. Factorizar:

P(x,y) = (25x2 – 4y2) (x2 – 36y2)

Tú puedes

1. Sumar los factores primos de: 4. Factorizar y restar los factores primos:
x4+6x2y2 + 4y4 – x4y4 – 1 a4b4 + 64

a) 2(x2+y2) b) 2 (2x2+y2) a) 2ab b) 4ab c) 6ab
c) 2 (x2+2y2) d) 2xy d) 8ab e) 2a2b2
e) 2x2y2
5. Sumar los factores primos de:
2. ¿Cuántos factores primos tiene: x6 + 2x5 + x4 – 9
(a2 + b2 – c2 – 1)2 – 4 (ab+c)2
a) 2 (x3 – x) b) 2 (x3+3)
a) 1 b) 2 c) 3 c) 2 (x3 + x2) d) 2 (x3+x)
d) 4 e) 5
e) 2 (x+1)

3. Señale la suma de coeficientes de un factor de:
(x+1)(x2+2x)(x+3)+(1+z)(1–z)

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 10

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137

28 Capítulo

Repaso IV

Repaso: El sentido de los números

"Si la matemática fuera una ciencia, como la astronomía o la mineralogía, podríamos definir su objeto. Pero

nadie ha podido ni podrá definirla. Inútilmente aplicaremos los occidentales, nuestro propio

concepto científico del número, a la ciencia de que se ocupaban los matemáticos de

Atenas y Bagdad. En verdad, el tema, el propósito y la metodología de la

ciencia que en estas ciudades llevaba el nombre de matemática, eran muy

diferentes de nuestra matemática. Porque no hay una sola matemática;

hay muchas.

Esto, que denominamos historia "de la" matemática, suponiéndola una
realización progresiva de un ideal único e inmutable es, en realidad,
una pluralidad de procesos cerrados entre sí, independientes;
un nacimiento repetido de distintos y nuevos mundos de la forma, que
son incorporados, transfigurados y, por último, analizados hasta sus
elementos finales; un brote nada más que orgánico, de duración
fija, una madurez, en suma una decadencia y una muerte. No nos
engañemos. El mundo antiguo creó su matemática casi desde la nada.
El espíritu occidental, histórico, había aprendido la matemática antigua, y la
poseía —pero exteriormente y sin asimilarla; debió, pues, crear la suya modificando y
mejorando —engañosamente— una realidad que en el fondo aniquilaba la matemática euclidiana, que
no le era adecuada.

Pitágoras llevó a cabo lo primero. Descartes, lo segundo. Pero los dos actos son, en el fondo, idénticos".

Oswald Spengler

"La decadencia de occidente

En este capítulo recordaremos

División algebraica
.. Método de Ruffini
.. Esquema
.. Regla
.. Aplicaciones

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TRILCE

138

Álgebra

Saberes previos

1. Dada la siguiente división: 4. En la siguiente división: A –8
2x4 − 2x3 + 7x2 − 4x + 6 x3 − 7x2 + 5x + 2 B x–2
x−5 x−2 C x3–7x2+5x+2
Completar: Relacionar: D
El grado del polinomio dividendo es : Polinomio divisor
El grado del polinomio divisor es :
El grado del polinomio cociente es : Polinomio cociente

2. Completa los recuadros en el siguiente esquema Residuo
de división:
13 Polinomio dividendo
111
–2 1 0 5. Si en una división sabemos que el dividendo es
x3+2x2–5x+2, el cociente x2–x–2 y el residuo
3. Completa los recuadros en el siguiente esquema
de división: 8. Calcular el divisor
–8 7 1
1/5 –1 –2 1
15 –5 –10

Aplica lo comprendido

En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y 6. Dividir
residuo: 6x4 − 4x3 + x2 + 10x − 2
3x + 1 ; x ! − 1
3

1. Dividir: 7. Dividir:
x3 + x2 + 2x − 2
x−1 ; x !1 2x3 − x2 + 5x + 6 ; x ! − 1
2x + 1 2

2. Dividir: 8. Dividir:
4x3 − 5x2 + 3x − 3
x−1 ; x !1 6x4 + 3x3 + x2 − 6x − 1 ; x ! 1
2x − 1 2

3. Dividir 9. Dividir
2x3 + 5x2 + 3x − 2
x+1 ; x!−1 3x4 + x3 + 6x2 + 5x − 1 ; x ! − 1
3x + 1 3

4. Dividir: 10. Dividir
2x3 + x2 − x + 1
x−2 ; x!2 15x4 − 8x3 − 9x2 + 7x + 1 ; x ! 1
5x − 1 5

5. Dividir:
2x3 + x2 − 5x + 2
x+1 ; x!−2

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139

28 Capítulo
Aprende más

1. Luego de dividir: 2x4 + 6x3 + x + 3 9. Dividir: 40x3 − 2x + 8 − 128x4 , Indicar su
x+3 cociente 2x + 1

Indicar su cociente

a) 2x3–1 b) x3+1 c) x3–3 a) –64x2+52x–27 b) 64x2–52x–27
d) x3–1 e) 2x3+1 c) 64x2–27 d) 64x2–52x+27
e) –64x2+52x–27
2x3 − 3x + 1,
2. Dividir: x+2 Indicar su cociente x2 − x − 6x + 6x4 + 3x3 1
2x − 1 2
a) 2x2+4x–5 b) x2–4x+5 10. Hallar el resto en: ; x=

c) 2x2–5 d) 2x2–4x+5 a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) –5
e) x2+4x–5

3. Dividir: x4 + 5x3 − 9 11. Indica la suma de coeficientes del cociente
x−3 luego de dividir:
3x3 + 52x − 63 − 32x2
E indicar el término independiente del cociente. −9 + x

a) 72 b) 71 c) 73 a) 1 b) 2 c) 3
d) 75 e) 76
d) 4 e) 5
8x5 + 16x4 − 5x + 9
4. Hallar el resto en: x+2 12. Hallar "m", para que la división:

a) 17 b) 18 c) 19 3x3 − 5x2 − x + m ; sea exacta:
d) 20 e) 21 x−1

5x4 + 16x3 − 8x + 2 a) 1 b) 2 c) 3
x+3
5. Hallar el residuo en: d) 4 e) 5

a) –2 b) –1 c) 0 13. Determina el valor de "n", si la división presenta
d) 1 e) 2 residuo nulo.
2x3 − 5x2 − 7x + (n − 6)
6. Al dividir: 4x2 + 2x3 + 3x + 6 ; x!−2
x+2 x−3

El cociente es: a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

a) 2x2+1 b) 2x2+4 c) 2x2+7 14. Calcular (b – a) si la división:
d) 2x2+3 e) 2x2+5 x4 + 2x3 − 5x2 + ax + b
x+1 ; es exacta:

7. Hallar la suma de coeficientes del cociente en: a) 3 b) 4 c) 5
8x4 + 5x2 + 2x3 + 3x + 6
2x + 1 d) 6 e) 7

a) 4 b) 5 c) 6 15. Sabiendo que la división es exacta:
3x4 − 2x3 − 5x2 + ax − 8
d) 7 e) 8 x−2
Hallar: a2+1
27x4 + x − 6x2 + 15
8. Calcular el resto en: 3x − 1 a) 1 b) 2 c) 3

a) 10 b) 13 c) 15 d) 4 e) 5

d) 17 e) 19

Colegios Central: 6198-100

TRILCE

140

Álgebra

16. Calcula el producto de coeficientes del cociente de: 19. Si el residuo de dividir:
3 x4 − 2x3 + 3 x2 − 5x + 7 − 3 4x3 + 5x6 + αx + 4
x− 3 x−1 ; x !1

a) 4 b) 5 c) 6 es 6, hallar "a"

d) 7 e) 8 a) –5 b) –6 c) –7
d) –8 e) –9

17. Determina el valor de "m" para que el polinomio 20. Hallar el residuo de la división:
P(x)=x3–7x2+5x+m–3, sea divisible por "x–1"
5ax4 − a2x3 + 5x2 − 6ax + 2a ; x ! a
a) 1 b) 2 c) 3 5x − a 5
d) 4 e) 5
Si la suma de coeficientes del cociente es (a–2)

18. Al dividir: a) 0 b) –1 c) –2
d) –3 e) –4
3 x4 − 8 x3 − ( 12 − 1) x2 − 6 x + m − 3
x− 6

Se obtiene residuo nulo. Hallar "m"

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

Practica en casa

1. Completar el siguiente diagrama de Ruffini 7. Al dividir:
4x2 + 2x3 + 3x + 6
2 3 –5 6 x+2 ; x!−2

–3 9 12 Indicar su cociente

2 –3 –2 12

2. Hallar el resto en: x3 − x2 + x − 30 8. Hallar el resto en: 2x3 − 3x2 + x + 1 ; x !1
x−2 x−1
; x!2

2x4 + 2x3 − 14x − 5 9. Dada la división exacta:
x−3 3x4 − 2x3 + ax2 − x − 2
3. Dividir: ; x!3 x−2 ; x!2

E indicar el término independiente del cociente.

3x4 − 5x + 2 10. Hallar el resto de dividir:
x+2 x9 x8 + x2 +
4. Hallar el residuo en: ; x!−2 + x−1 x + 1 ; x !1

5. Hallar el resto de dividir:
x9 + x8 + x2 + x + 1
x+1 ; x!−1 11. Dada la división exacta:
3x3 − 2x2 − 15x − 18
x−3 ; x!3

Indicar el cociente disminuido en 3x2+6

6. Hallar el residuo: 3x2 − 5x + 6 ; x!1
x−1

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141

28 Capítulo

12. Calcular el valor de "m", si la división: 14. Dividir:
2x3 − (m − 2) x2 + 5 27x4 − 6x2 + x + 15
x+1 es exacta; x ≠ –1 3x − 1 ; x ! 1
3

Dar la suma de coeficientes del cociente.

13. Señala el resto en:

2 x4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32 ; x ! − 2 15. Indicar el residuo en:
x+ 2
x4 − 1 + 2x2 − 3x ; x!−2
x+2

Tú puedes

1. En la siguiente división: 4. Hallar el resto en la siguiente división:
x36 + x35 + x34 + ... + x + m x5 + nx + 2
x+1 x−1
Calcular el valor de "m" si el residuo es –6 Sabiendo que la suma de coeficientes del
cociente es 10.
a) –4 b) –5 c) –6
d) –7 e) –8
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
2. Al dividir:
nx3 + n2x2 − nx + n3 + n2 5. Halle el residuo en:
x+n+1 x1001− x700 + 2
Se obtiene que la suma de coeficientes del x−1
cociente es igual a f(n).
Calcular: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) a) 1 b) 2 c) 3

a) 383 b) 384 c) 385 d) 4 e) 5
d) 386 e) 387

3. Determinar el resto en:
6x8 + 4x5 + (n + 1) x2 − n
10x − 10

a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14

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TRILCE

142

29Capítulo

Factorización IV

Lectura: John Milnor obtiene el premio Abel de matemáticas

Jhon Milnor matemático estadounidense, ha obtenido el premio Abel de matemáticas por sus
"descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra", según el acta del jurado. Oyvind Osterud,
presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, entidad que creó el galardón como
complemento a los actuales premios Nobel, lo ha anunciado hoy en Oslo.

Dotado con seis millones de coronas, equivalente a tres cuartos de millón
de euros, el premio Abel reconoce aportaciones de extraordinaria
importancia e influencia a las ciencias matemáticas y se entrega
desde 2003.

Milnor, de 80 años, ha tenido precisamente gran influencia en
conformar el escenario actual de las matemáticas, y su trabajo,
según el jurado, muestra rasgos de la investigación de altura:
una gran perspicacia, una vívida imaginación, notables sorpresas y
una belleza suprema. Un ejemplo es su descubrimiento, inesperado,
de las esferas lisas exóticas en siete dimensiones, que señaló el
nacimiento de la topología diferencial.

En 1962, cuando solo tenía 31 años, Milnor obtuvo la prestigiosa
medalla Fields, reservada para matemáticos jóvenes. Recibirá el
galardón de manos del rey Harald en una ceremonia en Oslo el próximo 24
de mayo.

Son numerosos los resultados, las conjeturas y los conceptos matemáticos que llevan el
nombre de Milnor, por ejemplo, esferas exóticas de Milnor, fibraciones de Milnor, número de Milnor, teoría
kneading de Milnor-Thurston y conjeturas de Milnor en la teoría de nudos, la teoría K, la teoría combinatoria
de grupos y la dinámica holomórfica. Sin embargo, la importancia de la obra de Milnor va mucho más allá
de los espectaculares resultados de su investigación. Ha escrito, además, libros sumamente influyentes que
muchos consideran como modelos de excelente escritura matemática y también de divulgación.

EL PAÍS - Madrid - 23/03/2011

En este capítulo aprenderemos

.. Factorización por identidades
– Suma de cubos
– Diferencia de cubos
.. Aspa simple

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143

29 Capítulo
Síntesis teórica

MÉTODOS DE
FACTORIZACIÓN

Aspa simple Factorización por
identidades

• Suma de cubos
• Diferencia de cubos

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144

Álgebra

Saberes previos 4. (x–7)(x+1)
5. (2x+3)(3x–5)
• Efectuar:
1. (x+2)(x2 – 2x+4)

2. (a3 – 3)(a6 + 3a3 + 9)

3. (x+3)(x+5)

Aplica lo comprendido 4. x2 – 10x + 24
5. x2 – 3x –10
• Factorizar:
1. x3 + 8

2. a9 – b6

3. x2 + 3x + 2

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145

29 Capítulo
Aprende más

1. Señale el factor primo repetido de: 9. ¿Cuántos factores primos tiene:
(a3 – 1)(a3 – 8)(a6 – 1) x6 – 9x3 + 8

a) a+1 b) a+2 c) a–2 a) 2 b) 3 c) 4
d) a–1 e) a3–1 d) 5 e) 6

2. Factorizar e indique un factor de: 10. Indique un factor primo de:
a2 + b2 + 2 (ab–a–b) – 35
a3 + b3 + a2 + ab + b2

a) a+b+1 b) a2–ab+1 c) a–b–1 a) a+b b) a+b+7 c) a+b–7
d) a–b+7 e) a–b–7
d) a–b+1 e) a+b

3. ¿Cuántos factores primos tiene: 11. Sumar los factores primos de:
a6 – 64 4x4 – 17x2 + 4

a) 2 b) 3 c) 4 a) 2x b) 4x c) 3x
d) 5x e) 6x
d) 5 e) 6

4. Factorizar y señale un factor: 12. ¿Cuántos factores primos tiene:
a6 + b6 + 2a3b3 + ab4 + a4b [x2 + ab]2 – [(a+b) x]2

a) a–b b) a2+ab+b2 a) 2 b) 3 c) 4
c) 2–ab+b2 d) a3+b3+ab d) 5 e) 6
e) a3–b3+1

5. Señale un factor de: 13. Señale cuál no es un factor primo de:
a3 + b3 + ab (3a + 3b – a2b2) (x2 – ab)2 – (a–b)2 x2

a) a+b b) a–b c) a+b+ab a) x–a b) x+a c) x–b
d) x+b e) x–ab
d) a+b–ab e) a+b+1

6. Indique un factor de: 14. Señale un factor primo de:
(4x2+4x+1)(2x+1) – y3 – 8 – 6y2 – 12y x3 (x+1)3 – 8

a) 2x–y b) 2x+y c) 2x–y–1 a) x+1 b) x–2 c) x–1
d) x+3 e) x–3
d) 2x+y–1 e) 2x+y+1

7. Sumar los factores primos de: 15. Sumar los factores lineales:
(x2+5x+6)(x2–5x+6)(x2–3x–10)(x2+3x–10) a6 – 30a4 + 27a3 + 300a2 – 1000

a) 8x b) 3x c) 4x a) 2a+3 b) 2a+1 c) 2a–3
d) 2a–1 e) 2a+5
d) 5x e) 6x

8. Sumar 2 factores primos de:
(6x2+19x+15)(10x2+11x–6)(21x2–26x+8)

a) 2x+8 b) 2x+6 c) 3x+1
d) 3x+2 e) 5x+8

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146

Álgebra

Practica en casa

1. Factorizar: 8. Sumar los factores lineales de:
(x3 + 8) + x2 – 2x + 4 (a3 – 27)(a3 – 125)(a6 – 9a3+8)

2. ¿Cuántos factores primos tiene: 9. Sumar los factores primos de:
x7 – a6x 9x4 – 82 x2y2 + 9y4

3. Factorizar e indicar los factores primos: 10. ¿Cuántos factores primos tiene:
x6 + y6 – 2x3y3 – xy4 + x4y (x2 + a2b3)2 – (a4 + b6 + 2a2b3) x2

4. Factorizar: 11. Factorizar: x4 – (2ax + a2 – b2)2
x3 – y3 – xy (3x – 3y + x2y2) 12. Factorizar: (x2 – ab)4 – (a2 – b2)4 x4

5. Factorizar: 13. Sumar los factores primos de:
(9x2 + 6x + 1)(3x + 1) – a3 – 125 – 15y2 – 75y (x2+15x–14)(x2+9x+18)(x2–10x+21)(x2+11x–12)

6. ¿Cuántos factores primos tiene: 14. ¿Cuántos factores lineales tiene:
x3 (x3 – 28) + 33 x3 (x + a + b)3 + a3b3

7. Sume los factores primos de: 15. Factorizar:
4x2 + 9y2 + 3y (4x – 5) – 2 (5x+7) (ax + bx + cx)2 – (ax + cx)(a+b+c) + ac

Tú puedes

1. Señale un factor primo: 4. Restar los factores primos de:
(a+b) [(a+b)2 + (c2+bc+ac)3] + x6 x6 + 7x4 + 2x2 + 6x + 7x + 1

a) a+b+x b) a+b+x2 c) a+x2 a) 2x b) 3x c) 4x
e) b+x d) 5x e) 6x
d) a+b+c+x2

2. Restar los factores de: 5. Sumar los coeficientes del factor trinomio:
x (x+1) + a (2x + 1) + a2 + 10 x3 + y6 + z9 – 3xy2z3

a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3
d) x e) 2x d) 4 e) 5

3. Señale un factor de:
(a3+1) x2 + (a+1)3 x – a2 (3x – 1) + a

a) (a+1)x + a b) ax–1
c) (a+1)x–a d) x–a
e) ax+1

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147

30 Capítulo

Factorización V

Lectura: Paolo Ruffini

(Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico italiano. Nacido
en Valentano, ciudad que pertenecía entonces a los Estados Pontificios,
cursó estudios de medicina en la Universidad de Módena, pero
una vez finalizados se dedicó casi por entero a la investigación
matemática.
Desde 1787 ejerció la docencia como profesor de matemáticas
en la Universidad de Módena. Ganó la cátedra de análisis de
la escuela militar de esta ciudad, que hubo de abandonar en
1798 al ser expulsado por negarse a pronunciar el juramento
de fidelidad a la República Cisalpina creada por Napoleón
Bonaparte. Fue restituido en su puesto por las tropas
austriacas un año más tarde. Tras recuperar sus dominios,
el duque de Módena le nombró rector de la Universidad
de Módena (1814), en la que ocupó las cátedras de clínica
médica, medicina práctica y matemáticas aplicadas.
Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado
método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio
que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio
x-a. Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la
matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de
la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas
inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

FUENTE: biografiasyvidas.com

En este capítulo aprenderemos

.. Factorizar por divisores binomio
.. Regla:
.. Posibles ceros
– Factor binomio
– División Ruffini

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148

Álgebra

Síntesis teórica

MÉTODO DE LOS
DIVISORES BINOMIOS

"ceros" del
polinomio
Factor binomio
Aplicando Ruffini

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149

30 Capítulo 4. Hallar el cociente:
Saberes previos (x4 + 2x3 + 7) ÷ (x+3)
1. Hallar el resto:
(x5 + 2x4 – 3x + 7) ÷ (x–1) 5. Hallar el cociente:
(x4 + 2x3 + 7) ÷ (x+3)
2. Hallar el resto:
(x3 +2x4 – 7) ÷ (x+2)

3. Hallar el cociente:
(x3 + 3x2 + 7x + 2) ÷ (x+1)

Aplica lo comprendido

1. Hallar los posibles valores que anulan al 4. Si un polinomio se anula para x=–7, entonces
polinomio: un factor es:
x3 + ax2 – 6

2. Hallar los posibles ceros de: 5. Si un polinomio se anula para x=5 y x=–2,
x5 + ax2 – 7x – 10 entonces dos de sus factores son:

3. Si un polinomio se anula para x=3, entonces un
factor es:

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150