เอกสาร “K-Trick Math Admissions By ครูครรชิต”

MATH

Series

ครูครรชติ แซ่โฮ่
วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์
โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คาแนะนา

สาหรับนักเรียนทุกคนที่กาลังต้ังใจอ่านหนังสือเพ่ือสอบเข้ามหาวิทยาลัย และกาลัง
อ่านหนังสือ“K-Trick Math Admissions By ครูครรชิต” เล่มน้ี ซึ่งจัดทาข้ึนจากการ
วิเคราะห์ข้อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ และ 7 วิชาสามัญคณิตศาสตร์ รวมถึง
ข้อสอบตรง มอ. แล้วคัดสรรเอาเฉพาะเน้ือหาท่ีเป็นหัวใจ  สาคัญในการทาข้อสอบ สรุป
ออกมาอยู่ในรูปแบบของ K-Trick รวบรวมเน้ือหาทุกบทไว้ในเลม่ เดยี ว

โดยมีความตั้งใจว่า นักเรียนท่ีกาลังเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย จะได้ใช้หนังสือ
เล่มนรี้ ะหว่างฝึกทาโจทยเ์ ลข และสามารถทบทวนเน้ือหาสาคญั ท้ังหมดในระยะเวลาอันจากัด
นอกจากนี้ยงั สามารถตรวจสอบเพ่อื หาจดุ อ่อนของตนเองว่าบทไหน เรือ่ งอะไร ท่ียังไม่เข้าใจก็
สามารถกลบั ไปดเู น้อื หาเร่อื งนั้น ๆ ได้

สุดท้าย ครูก็หวังเป็นอย่างย่ิงว่า หนังสือ “K-Trick Math Admissions By ครู
ครรชิต” เล่มน้ี จะมีประโยชน์ต่อนักเรียนท่ีมีส่วนช่วยเพิ่มพูนความรู้และทักษะกระบวนการ
ทางคณิตศาสตร์ สามารถใช้หนังสือเล่มน้ีให้เกิดประโยชน์สูงสุด และประสบความสาเร็จได้
ตามที่ต้ังใจไว้

ขอให้นกั เรียนทกุ คนโชคดี ^_^

ครคู รรชติ แซ่โฮ่
วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สารบญั หน้า

1. เซต 1
2. ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น 7
3. ระบบจานวนจริง 15
4. ทฤษฎีจานวนเบอ้ื งตน้ 25
5. เมทริกซ์ 33
6. ความสมั พนั ธ์และฟงั ก์ชนั 46
7. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 58
8. ฟังกช์ ันเอกซโ์ พแนนเชยี ลและฟังกช์ นั ลอการทิ มึ 70
9. ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ 78
10. เวกเตอร์ในสามมิติ 88
11. จานวนเชิงซอ้ น 96
12. ความน่าจะเป็น 106
13. การวเิ คราะห์ข้อมูลเบื้องตน้ 112
14. การแจกแจงปกติ 122
15. ความสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชนั ระหว่างขอ้ มลู 127
16. ลาดับอนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ 128
17. แคลคูลัสเบ้อื งต้น 138
18. กาหนดการเชิงเส้น 155
19. การคดิ และแกป้ ัญหาเชงิ คณิตศาสตร์ 156

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 1

เซต (Set)

K-Concept : เซต

1. พืน้ ฐานเรือ่ งเซต

การเขยี นเซต สมาชิก ชนิดของเซต ความสัมพันธข์ องเซต

2.เซตย่อย/สบั เซต

ความหมายเซต สมบัตขิ องเซตยอ่ ย
ย่อย

3. เพาเวอรเ์ ซต

ความหมายเพาเวอรเ์ ซต สมบตั ิของเพาเวอร์เซต

4. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

การดาํ เนินการของเซต สมบตั ิของเซต การหาจาํ นวนสมาชกิ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 2

1. พื้นฐานเรื่องเซต

การเขยี นเซต

แบบแจกแจงสมาชกิ แบบบอกเงอื่ นไข

K = {2, 5, 6, 7} B = {xI | x เป็นจํานวนค}ู่
สมาชกิ ทีซ่ ้าํ กนั นบั เปน็ ตัวเดยี ว
ถ้าไม่กาํ หนด U ให้ถอื วา่ U =
สมาชกิ ขนึ้ กับเง่อื นไขและ U

สมาชกิ   {,…}

สญั ลกั ษณ์ 

EX M = {2, 5, 6, 7}, N = {xI | x > 4
2M, 2N

ชนดิ ของเซต

เซตจํากดั เซตอนันต์

เซตท่สี ามารถนบั จํานวนสมาชกิ ได้ เซตทีไ่ มส่ ามารถนับจาํ นวนสมาชกิ ได้
A = {2, 5, 6, 7} มีสมาชกิ 4 ตวั B = {1, 3, 5, 7, …}

เซตวา่ ง

เซตเทยี บเท่ากัน ความสัมพนั ธข์ องเซต เซตไม่เท่ากนั 
เซตเท่ากัน =

จาํ นวนสมาชิกมี สมาชกิ แตล่ ะตัว สมาชกิ บางตวั
เทา่ กนั เหมอื นกนั เหมอื นกนั

EX K = {2, 4, 6}, M = {6, 4, 2} N = {1, 2, 3}

K = M, K M, N, K  N

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 3
2.เซตย่อย/สบั เซต {}  {,…}

ความหมายเซตยอ่ ย

เซต A เปน็ สับเซตของเซต B ก็ต่อเม่ือสมาชกิ ทุกตัวของเซต
A เป็นสมาชกิ ของเซต B เขียนแทนด้วย A B

EX K = {1, 2, 3, 4}, M = {2, 3, 4}
N = {0, 1, 2}, P = { }
M, P K, N K

สมบัตขิ องเซตย่อย

1.   A , A  A
2.จํานวนสับเซตทั้งหมดของ A คือ 2n(A)

3. A B และ B  A  A = B

4. ถา้ A B และ B C แลว้ A C

5. ถา้ A X B แล้วจาํ นวนเซต X ที่สร้างได้
เท่ากบั 2n(B)-n(A)

6. ถา้ A X B แล้วจาํ นวนเซต X ทส่ี รา้ งได้
เทา่ กับ 2n(B) – 2n(B)-n(A)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 4

3. เพาเวอร์เซต

ความหมายเพาเวอร์เซต

เซตทม่ี สี มาชกิ เปน็ สบั เซตของ A ทง้ั หมดเขียน
แทนดว้ ย P(A)

K = {a, b}
สบั เซตไดแ้ ก่ , {a}, {b}, {a, b}
P(K) = {, {a}, {b}, {a, b}}

สมบตั ขิ องเพาเวอร์เซต
1. P(A) ,   P(A)
2. AP(A)
3. A B กต็ ่อเมอื่ P(A) P(B)
4. n(P(A)) = 2n(A)

K-Trick
1. n(P(P(P(P(A)) = ……….
2.  { }  { }P( )

3.  P( )  P( )

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 5
4. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ BA

การดาํ เนนิ การของเซต

aA

AB AB
A – B A

สมบัติของเซต

AB = BA (AB) C =A(BC)
AB = BA (AB) C =A(BC)

A (B C) =(AB)  (AC) (A B)= AB
A (B C) =(AB) (AC) (A B)= AB

 = U, U´=  , (A)= A A – B = A B = B- A
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 6
4. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (ต่อ)

1. n(A) = n(U) − n( A)

2. n(A − B) = n(A) − n(A B)

3. n(AB) = n(A) + n(B) − n(AB)

4. n(A BC) = n(A) + n(B) + n(C) − n(AB) −
n(A C) − n(B C) + n(A BC)

K-Trick
+ เดย่ี ว – คู่ + ตอง

ใช้แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์



ตัง้ ตัวแปร



แก้สมการ



หาคําตอบ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 7

ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้
(Logic)

K-Concept : ตรรกศาสตร์

1. ประพจน์ ความหมายของประพจน์

ตัวเช่ือม

ตารางคา่ ความจริง

2. ประพจน์สมมูล/ประพจนน์ ิเสธ

3. สจั นิรันดร์ ความหมายประพจน์สมมลู /ประพจน์นเิ สธ
4. การอ้างเหตผุ ล วธิ ีตรวจสอบสมมลู และนิเสธ

ความหมายของสจั นิรนั ดร์
วิธีตรวจสอบสัจนริ นั ดร์

ความหมายของการอา้ งเหตุผล
วิธตี รวจสอบการอา้ งเหตุผล

5. ประโยคเปิดและตัวบง่ ปรมิ าณ

6. การให้เหตผุ ล ความหมายประโยคเปดิ
ตัวบง่ ปริมาณ
สมมูลและนเิ สธตวั บ่งปรมิ าณ

อปุ นยั
นิรนยั

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 8

1. ประพจน์

K-Word

ความหมายของประพจน์ (Proposition) ประพจน์ : Statement

K-Word ประโยคหรือข้อความท่ีเป็นจริงหรือเท็จ อย่างใด

จริง : True อยา่ งหนงึ่ เท่านั้น 32 – 1 = 5 F
เทจ็ : False
คา่ ความจรงิ : EX 2 + 3 = 5 T
Truth value
เธอเกง่ จงั ทาํ ไมมาเรยี นสาย

จรงิ /เทจ็ ของประพจน์ เรยี กว่า ค่าความจรงิ ของประพจน์

ตวั เช่ือมของประพจน์ (Connectives)

K-Word ตวั เชือ่ ม คือ สิ่งทใี่ ชเ้ ชือ่ มประพจน์สองประพจน์
มี 5 ตวั เชอ่ื ม
นเิ สธ : Negation
และ : And นิเสธ ( ), และ (  ), หรอื ( ),
หรอื : Or
ถา้ ...แล้ว... : If…then… ถา้ ...แลว้ ... (), กต็ อ่ เม่ือ ( )
ก็ตอ่ เมือ่ : If and only if ลําดบั ความสาํ คญั ตัวเชอ่ื ม

1. ( ) 2. 3.  ,  4.  5. 

ตารางคา่ ความจริง (Truth table)

p q pq pq pq pq
TT T T T T
TF F T F F
FT F T T F
FF F F T T

K-Trick
p p F F T T
T F p p F p p T
F T F T T  T

^_^ T    F  

EX ให้ p, q, r มีคา่ ความจริงเป็นจริง และ s, t มีค่า
ความจรงิ เป็นเทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์
pq rst

Sol T T T F F

T FF
F

F

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 9

2.ประพจน์สมมูล/ประพจน์นเิ สธ K-Word
ความหมายของประพจน์สมมลู /นเิ สธ สมมลู : Equivalent

ประพจน์สมมูล คอื ประพจน์ทม่ี คี า่ ความจริงเหมือนกนั ทุกกรณี
ประพจนน์ ิเสธ คือประพจน์ทม่ี ีค่าความจริงตรงกนั ขา้ มทุกกรณี

วธิ ตี รวจสอบสมมูลและนเิ สธ

1.สร้างตารางคา่ ความจริง

2.ประพจน์ที่สมมลู กันทีส่ าํ คัญ

1. สาํ คญั สดุ ๆ 2. การสลับที่ p  q  q  p

pq  pq pq  qp

 q p pq  qp

3. การเปลยี่ นกลมุ่ 4. การกระจาย

p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

5. p  p  p p  p  p 6. (p  q)  p  q

pp  T pp  T (p  q)  p  q

7. กลุม่ นิเสธ ( p)  p 8.p q  (p q)  (q p)

(p q)  p  q pq  p q

(p q)  p q

 p q

9. p (q  r) (p q)  (p r) 10. (p  q) r  (p r)  (q r)

p (q  r)  (p q)  (p r) (p  q) r  (p r)  (q r)

EX จงพจิ ารณาวา่ p (q  r) และ (p q)  (p r)

ประพจน์สมมูลกนั หรือไม่

Sol p (q  r) = p  (q  r)

= ( p  q)  ( p  r)

= (p q)  (p r)

ดงั นนั้ p (q  r)  (p q)  (p r)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 10
3. สัจนิรนั ดร์
ความหมายของสจั นิรันดร์ (Tautology)

รปู แบบของประพจน์ทีม่ ีคา่ ความจริงเป็นจริงทกุ กรณี

วธิ ีตรวจสอบสจั นริ นั ดร์ K-Word
1. สรา้ งตารางค่าความจริง
รูปแบบของประพจน์ :
Statement pattern
ประพจนย์ ่อย :
Atomic statement

K-Note 2. วธิ ีจบั เทจ็ (หาข้อขัดแยง้ ) โดยสมมติประพจนม์ ีค่าความจริง
เปน็ เท็จ แลว้ หาค่าความจรงิ ของประพจน์ย่อย
การทาํ ประพจน์ทีต่ ้องการเป็นเทจ็ - ถา้ ไม่ยอมเปน็ เท็จ/ขดั แย้ง แล้ว ประพจนเ์ ป็นสัจนิรันดร์
- ถา้ ยอมเปน็ เทจ็ /ไม่ขัดแย้ง แลว้ ประพจนไ์ ม่เป็นสัจนิรันดร์
1. 
F EX p (q p)
Sol F
TF
TF
2.  TF
F
เกิดขอ้ ขัดแย้ง p  T และ p  F
FF ดังนัน้ p (q p) เป็นสัจนริ ันดร์

3. 
F

T F (ต้องเชค็ 2 กรณี) 3. ใชค้ วามรู้เก่ียวกบั รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมูลกนั
EX p (q p)
FT Sol p (q p)  p ( q  p)

4.   p qp
 pp q
F  T q
T
T F (ต้องเชค็ 3 กรณี) ดงั น้ัน p(q p) เปน็ สจั นริ ันดร์
F T
EX (p q) ( q  p)
FF Sol เนอ่ื งจาก p q  q  p

K-Trick ฉะนนั้ (p q) ( q  p)  T
กรณี 3.  ดังน้นั (p q) ( q  p) เป็นสจั นริ นั ดร์

อาจใชห้ ลกั การดังนี้
 เปน็ สจั นิรันดร์ เมือ่


ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 11

4. การอ้างเหตุผล

ความหมายของการอ้างเหตุผล (Syllogistic logic)

การอา้ งเหตผุ ล คือการอ้างว่า เมื่อข้อความ P1, P2, …, Pn
ชุดหน่ึง แล้วสามารถสรุปข้อความ Q ได้ ซ่ึงประกอบด้วยส่วนที่
สาํ คญั 2 สว่ น คือ (1) ส่ิงทกี่ ําหนดให้ หรอื เหตุ : P1, P2, …, Pn

(2) ข้อสรุป หรอื ผล : Q

วธิ ีตรวจสอบการอ้างเหตุผล

K-Word 1. ใช้สัจนริ นั ดร์ สร้างประพจน์ เพ่ือตรวจสอบสัจนริ นั ดร์
(1) นาํ เหตุทุกตวั มาเช่อื มด้วย “  ” จะได้ P1  P2  P3  ...  Pn
สมเหตุสมผล : Valid (2) นาํ “ข้อ 1” เชื่อมกบั “ผล” ด้วย “ ” จะได้
ไม่สมเหตสุ มผล : Invalid (P1  P2  P3  ...  Pn)  Q
(3) ถา้ ประพจน์ในขอ้ (2) เปน็ สจั นริ ันดร์ แสดงว่า “สมเหตสุ มผล”
ถา้ ประพจน์ในข้อ (2) ไมเ่ ปน็ สจั นริ ันดร์ แสดงวา่ “ไมส่ มเหตสุ มผล”

EX เหตุ 1. p r (p r)  (q p)  r  q
2. q p
3. r T T TF F
F F F F rF qT
ผล q
เกดิ ข้อขัดแยง้ q  T, q  F “สมเหตุสมผล”

3. ใช้กฎความจรงิ 2. ใช้กฎการอา้ งเหตผุ ล 2) Modus Tallens (M.T.)
1) ใหเ้ หตุทุกเหตเุ ป็น T เหตุ 1. p  q
1) Modus Ponens (M.P.) 2. q
แลว้ หาคา่ ความจรงิ เหตุ 1. p  q ผล p
ของประพจนย์ ่อย ๆ 2. p
ในเหตุให้ได้ ผล q 4) Hypothetical Syllogism(H.S.)
เหตุ 1. p  q
2) นําคา่ ความจริงทไ่ี ด้ 3) Disjunctive Syllogism (D.S.) 2. p ( q)
ไปแทนใน ผล เหตุ 1. p  q ผล q (p)
2. q  r
- ถ้า ผล เป็น T สรปุ ผล p  r 6) Addition (Add.)
วา่ “สมเหตสุ มผล” เหตุ p
5) Simplification (Simp.) ผล p  q
- ถา้ ผล เปน็ F เหตุ p  q
(T  F) สรุปวา่ ผล p (หรือ q)
“ไมส่ มเหตสุ มผล”

EX เหตุ 1. p r จาก 1. และ 2. โดย D.S จะได้
2. q p q r …(*)
3. r
จาก (*) และ 3. โดย M.T จะได้ q
ผล q
ดงั น้ันการอ้างเหตผุ ลน้ี “สมเหตุสมผล”

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 12

5. ประโยคเปดิ และตวั บ่งปริมาณ

ความหมายประโยคเปดิ (Open sentence)

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มี

ตัวแปรและเม่ือแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้

ประพจน์ EX k > 1 เขาเปน็ นักเรียน

ตวั บง่ ปริมาณ (Quantifier)

เรียก “สําหรับ...ทุกตัว (For All…)” และ “สําหรับ...บางตัว (For

Some…)” ว่า ตัวบ่งปริมาณ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  และ 

ตามลําดบั เชน่

 x ใชแ้ ทน สาํ หรับ x ทุกตวั x ใช้แทน สาํ หรบั x บางตวั

สําหรบั x แต่ละตวั มี x บางตวั

สาํ หรบั ทกุ คา่ ของ x มี x อย่างน้อยหนง่ึ ตัว

สําหรบั แตล่ ะคา่ ของ x สําหรับบางค่าของ x

การหาคา่ ความจรงิ ของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปริมาณตวั เดยี ว

การพิจารณาคา่ ความจริงของประโยคที่มตี วั บ่งปริมาณตัวเดียว จะ

พิจารณาแต่ละส่วนของประโยคท่มี ีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้

ส่วนท่ี 1 ตัวบง่ ปริมาณ  x, x  x[P(x)], U
สว่ นท่ี 2 ประโยคเปิด P(x) x[P(x)], U
สว่ นที่ 3 เอกภพสมั พัทธ์
U

K-Note  x[P(x)] เป็น F เมอ่ื มี x บางตัวทท่ี าํ ให้ P(x) เปน็ F

 x[P(x)]  x[P(x)] x[P(x)] เป็น T เม่อื มี x บางตวั ทที่ าํ ให้ P(x) เปน็ T
เป็นสจั นริ ันดร์
 x y[P(x, y)] เปน็ F เมือ่ มี x, y บางตัวทีท่ ําให้ P(x, y) เปน็ F
เพราะ  x[P(x)] เป็น T
 xy[P(x, y)] เปน็ F เมอ่ื มี x บางตวั ค่กู ับ y ท่ีทําให้ P(x, y) เปน็ F
ทุก xU ฉะนนั้ x[P(x)]
เปน็ T เสมอ x y[P(x, y)] เป็น T เมอ่ื มี x บางตวั คกู่ ับ y ท่ที ําให้ P(x, y) เป็น T

xy[P(x, y)] เปน็ T เมื่อมี x, y บางตัว ทท่ี าํ ให้ P(x, y) เป็น T

ระวงั !!  xy[P(x, y)] ไมเ่ หมอื นกบั y x[P(x, y)]

K-Trick

xy xy xy xy yx

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 13
5. ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ (ต่อ)

สมมูลและนเิ สธตัวบ่งปรมิ าณ

รูปแบบของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่สมมูลกันหรือเป็นนิเสธ

กัน จะเป็นรูปแบบที่มีลักษณะเดียวกันกับรูปแบบของประพจน์ท่ีสมมูล

กันหรอื เปน็ นิเสธกัน

สมมูล ตัวบง่ ปรมิ าณ เหมอื นกัน
ประโยคเปดิ ตอ้ ง เหมอื นกนั

นเิ สธ ตัวบ่งปริมาณ ตรงข้ามกัน
ประโยคเปิดต้อง นเิ สธกัน

รปู แบบของประพจนท์ ีส่ มมูลกนั

K-Know 1)  x[P(x)  Q(x)]   x[Q(x)  P(x)]

 x[P(x)  Q(x)] 2) x[P(x)  Q(x)]  x[Q(x)  P(x)]

  x[P(x)]   x[Q(x)] 3)  x[P(x)  Q(x)]   x[ Q(x)  P(x)]

x[P(x)  Q(x)] 4) x[P(x)  Q(x)]  x[ P(x)  Q(x)]

 x[P(x)]  x[Q(x)] 5)  x[ (P(x)  Q(x))]   x[ P(x)  Q(x)]

นอกนนั้ ไมจ่ ริง 6) x[ (P(x)  Q(x))]  x[ P(x)  Q(x)]

K-Note 7)  x [ (P(x)  Q(x))]   x[P(x)  Q(x)]
กลุม่ นิเสธ
( p)  p นเิ สธของประโยคที่มีตัวบ่งปรมิ าณ
(p q)  p  q
(p q)  p q ตวั บ่งปรมิ าณ นิเสธ

 p q  x[P(x)]  x[P(x)]  x[ P(x)]

x[P(x)] x[P(x)]   x[ P(x)]

 x y[P(x, y)] ( x y[P(x, y)])  xy[ P(x, y)]

 xy[P(x, y)] ( x y[P(x, y)])  x y[ P(x, y)]

x y[P(x, y)] (x y[P(x, y)])   xy[ P(x, y)]

xy[P(x, y)] (x y[P(x, y)])   x y[ P(x, y)]

EX  x[x > 0 x2 > 0] นิเสธ
สมมูล x[x > 0  x2  0]

Sol  x[x  0  x2 > 0] นิเสธ
 xy[x 0 x + y  5]
x y[x > 0  x + y = 5]
สมมูล
Sol x y[x > 0  x + y = 5]

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 14

6. การใหเ้ หตผุ ล

อปุ นยั (Induction Reasoning)

- สรปุ ผล โดยอาศยั การสังเกต/การทดลอง/ประสบการณ์
- หาแบบรูป (Pattern)

“ผลสรปุ อาจเป็นจรงิ หรือไม่กไ็ ด้”

นิรนัย (Deduction Reasoning)

- สรุปผลจากเหตุท่ีมีอยู่ ผลจะสมเหตสุ มผล เม่ือเหตนุ ั้นทําใหผ้ ลเป็นจริง
- ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

EX อปุ นยั
1. เมอื่ สองวันท่แี ล้วครูครรชิตกนิ กว๋ ยเต๋ียว เมื่อวานน้คี รูครรชติ กนิ ก๋วยเตยี๋ ว

วนั น้คี รคู รรชติ กนิ กว๋ ยเต๋ยี ว
สรุปเป็นรูปทั่วไป ครูครรชิตชอบกินก๋วยเตีย๋ ว
ดงั นนั้ พรงุ่ นี้ครูครรชิตกนิ กว๋ ยเตี๋ยว
2. จากรปู แบบตอ่ ไปนี้

โดยการใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนยั 2a – b + c มคี า่ เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี
a = 11, b = 22, c = 44
2a – b + c = 2(11) – 22 + 44 = 44

EX นิรนยั
1. เหตุ 1) ทกุ คนท่ีอา่ นหนงั สือก่อนสอบจะสอบได้

2) สมชายสอบได้
ผล สมชายอ่านหนงั สอื ก่อนสอบ

2. เหตุ 1) ทกุ ครั้งทฝี่ นตกจะมฟี ้าแลบ
2) วนั นไี้ ม่มฟี ้าแลบ

ผล วนั น้ีฝนไม่ตก

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 15

ระบบจํานวนจรงิ
(Real number system)

K-Concept : ระบบจาํ นวนจรงิ โครงสร้างระบบจาํ นวนจรงิ
1. พืน้ ฐานจํานวนจริง
2. การหารพหุนาม สมบัตขิ องจํานวนจริง

3. การแยกตวั ประกอบ การหารยาว
การหารสังเคราะห์
ทฤษฎบี ทเศษเหลอื
ขัน้ ตอนการหาร

4. การแก้สมการพหุนาม กรณพี หุนามดีกรีสอง
5. ชว่ งและสมบัติการไม่เทา่ กัน
6. การแก้อสมการพหุนาม กรณพี หนุ ามดีกรมี ากกวา่ สอง
ชว่ ง

สมบตั ิการไมเ่ ท่ากัน

7. คา่ สมั บรู ณ์ นยิ ามคา่ สมั บรู ณ์

สมบัตคิ ่าสมั บรู ณ์
กราฟคา่ สมั บูรณ์

8. การแก้สมการ/อสมการคา่ สัมบูรณ์

9. โจทย์แนวพิเศษ แนววเิ คราะห์ Operation
เนนยิ น้ ากมาคร่าจสัดมั รบูปูรณ์

หาแบบรูป Pattern

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 16

1. พื้นฐานจํานวนจรงิ

โครงสรา้ งระบบจํานวนจริง

K-Word

จาํ นวนเชงิ ซอ้ น (Complex)
จาํ นวนจริง (Real number)
จํานวนอตรรกยะ
(Irrational number)
จํานวนตรรกยะ
(Rational number)
จํานวนเต็ม (Integer)
จาํ นวนเต็มลบ
(Negative integer)
ศูนย์ (Zero)
จํานวนเตม็ บวก
(Positive integer)
เศษสว่ น (Fraction)
ทศนยิ ม (Decimal)

สมบตั ขิ องจํานวนจริง

สมบตั ิ (Property) การบวก การคณู คําอธิบาย
a,b  a+b a,b  ab ไดค้ ่าในกลุม่ เดิม
1. ปิด (Closure) สลบั ท่ี คา่ เทา่ เดมิ
a+b=b+a ab = ba
2. การสลบั ที่ ย้าย() ค่าเท่าเดมิ
(commutative) (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
ไดค้ ่าเท่าเดมิ
3. การเปลี่ยนหมู่  0 , a+0 = 0 + a = a  1 , 1a = a1 = a
(associative)  a  0  a-1 ท่ี ได้คา่ เอกลักษณ์
 a  -a ท่ี
4. การมเี อกลักษณ์ (-a) + a = 0 = a + (-a) a–1a = a a–1 = 1 กระจายเขา้ ไปได้
(Identity)
a (b + c) = a b + a c
5. การมีอินเวอรส์
(Inverse)

6. สมบัตกิ ารแจกแจง
(Distributive)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 17

2. การหารพหนุ าม

การหารยาว (Long division)

จงหาผลหารและเศษจากการหาร x4 + 3x3 + 5 หารดว้ ย x2 + 2
x2 + 3x - 2
ผลหาร (Quotient)

x2 + 2 x4 + 3x3 + (0)x2 + (0)x + 5 เรยี งดกี รีจากมากไปหานอ้ ย
x4 + 2x2

3x3 - 2x2 + (0)x

3x2 + 6x
- 2x2 - 6x + 5

-2x2 - 4 เศษ (Remainder)
-6x + 9

การหารสังเคราะห์ (Synthetic division)

จงหาผลหารและเศษจากการหาร 2x4 – x2 + 5x – 3 ดว้ ย x + 1

ตัวหารตอ้ ง เรียง ส.ป.ส. ของดีกรี
มดี กี รี 1
x+1=0 -1 2 0 -1 5 -3 จากมากไปหานอ้ ย
เศษเหลอื
x = -1

วธิ ีคิด ผลหาร
ลง + ทแยง x

ทฤษฎบี ทเศษเหลอื (Remainder theorem)

K-Trick 1) ถา้ หารพหนุ าม P(x) ด้วย x – c เมอื่ c แล้ว เศษเหลอื จะเท่ากับ P(c)
2) ถ้า P(c) = 0 จะได้ว่า x – c หารพหุนาม P(x) ลงตวั
ถา้ หารพหุนาม P(x) ดว้ ย
EX จงหาเศษเหลอื เมอ่ื หาร P(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 ด้วย x – 2
ax – b แล้ว เศษเหลอื จะ Sol เศษเหลือเท่ากับ P(2) = (2)3 – 5(2)2 + 2(2) + 8
b
เทา่ กบั P( a ) = 8 – 20 + 4 + 8 = 0

ข้นั ตอนวิธีการหาร (Division algorithm)

ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลหาร + เศษ
P(x) = Q(x)  K(x) + R(x)
โดยตวั เศษจะมดี ีกรนี อ้ ยกว่าตวั หารอยู่ 1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 18

3. การแยกตวั ประกอบ (Factorization)

K-Trick การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง
ax2 + bx + c
แยกตวั ประกอบได้ พหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดยี ว เป็นพหนุ ามทเี่ ขียนไดอ้ ยู่ในรปู
หรอื ไม่ใหด้ ูจาก ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นคา่ คงตวั ที่ a 0 และ x เปน็ ตัวแปร
b2 – 4ac  0 แยกได้ 1. การแยกตัวประกอบของ x2 + bx + c เมื่อ b, c เป็นค่าคงตัวท่ี c 0 ทําได้
b2 – 4ac< 0 แยกไมไ่ ด้ โดย 1) หาจาํ นวน m และ n ที่ mn = c และ m + n = b

2) จะได้ว่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
EX x2 + 8x + 7 = (x + 1)(x + 7)

x2 – 5x – 6 = (x – 6)(x + 1)
2. การแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่าคงตวั ท่ี a, c 0
EX 4x2 + 16x – 9 = (2x – 1)(2x + 9)

3x2 + 5x – 2 = (3x – 1)(x + 2)

การแยกตวั ประกอบของพหุนาม P(x)

P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็น
จํานวนเต็มบวก an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จาํ นวนเต็ม ซ่งึ an = 1

ขนั้ ตอนการแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) มดี ังน้ี

1. หาตัวประกอบของ an และ a0 สมมติเปน็ m และ k ตามลาํ ดบั
k k
2. หา m (ห.ร.ม.ของ m และ k เทา่ กบั 1) ที่ทาํ ให้ P( m ) = 0 แลว้

x – k เปน็ ตวั ประกอบของ P(x)
m
3. หารสังเคราะห์/หรอื หารยาว

4. ทาํ ซา้ํ ไปเรือ่ ย ๆ จนได้ตัวประกอบครบทุกตัวของ P(x)

EX จงหาแยกตวั ประกอบของ 12x3 + 6x2 – 5x – 3

1.หา m = ±1,±2,±3,±4,±6,±12 2.หา k ที่ทาํ ให้ P( k ) = 0
k = ±1,±3 m m
1 12 16 5
3.หารสังเคราะห/์ หรือหารยาว P( 2 ) = 8 + 4 - 2 - 3 = 0

นํา x– 1 ไปหาร 12x3+6x2–5x–3 4.แยกตวั ประกอบ
2 12x2+22x+6 = (2)(6x2+11x+3)
ไดผ้ ลการเป็น 12x2 + 22x + 6
= (2)(3x+1)(2x+3)

5. 12x3+6x2–5x–3 = (x– 1 )(12x2+22x+6)
2
1
= (x– 2 )(2)(3x+1)(2x+3) = (2x–1)(3x+1)(2x+3)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 19

4. การแก้สมการพหุนาม ax2 + bx + c = 0 เม่อื a, b, c เปน็ ค่าคงตวั และ a ≠ 0

กรณพี หุนามดกี รสี อง

วธิ ีที่ 1 ใหแ้ ยกตวั ประกอบเปน็ สองวงเลบ็ K-Idea
EX จงแก้สมการ x2 – 5x – 6 = 0 1.ยา้ ยขา้ งใหฝ้ ั่งขวา = 0
Sol (x – 6)(x + 1) = 0 2.แยกตวั ประกอบ
3.จบั แตล่ ะวงเล็บ = 0
x = 6, -1

วิธที ี่ 2 จัดรปู สมการใหอ้ ยใู่ นรปู กาํ ลงั สองสมบูรณ์ (Completing the square)

วิธที ่ี 3 ใชส้ ตู ร x = -b± b2 - 4ac
2a

 >0 มี 2 ราก ทเี่ ป็นจาํ นวนจรงิ
 มี 1 ราก ทเี่ ปน็ จํานวนจริง
b2 - 4ac  =0

 <0 ไม่มรี ากเปน็ จํานวนจริง

K-Formula น = หน้า ล = หลัง
1. (น ± ล)2 = น2 ± 2นล + ล2
2. น2 – ล2 = (น – ล)(น + ล)
3. น3 + ล3 = (น + ล)(น2 – นล + ล2) น3 – ล3 = (น – ล)(น2 + นล + ล2)
4. (น + ล)3 = น3 + 3น2ล + 3นล2 + ล3 (น – ล)3 = น3 – 3น2ล + 3นล2 – ล3

กรณีพหนุ ามดีกรีมากกวา่ สอง K-Idea : ในการจัดรปู

 ใชว้ ธิ ีจดั รปู แล้วแยกตวั ประกอบ 1.มองเป็นกอ้ น
EX จงหาแยกตวั ประกอบของ x4 – 4x2 = 4 – x2 2.จบั คู่ดึงตวั รว่ ม
Sol x4 – 4x2 + x2 – 4 = 0 3.เพมิ่ /ลดพจน์

x2(x2 – 4) + (x2 – 4) = 0
(x2 + 1)(x2 – 4) = 0
(x2 + 1)(x – 2)(x + 2) = 0

x = 2, -2

K-Trick ax2+bx+c=0 ax3+bx2+cx+d=0
^_^ >< >//< -b -b
a a
ผลบวกของราก c -d
ผลคณู ของราก a a
ผลบวกของผลคณู ของราก - c
a

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 20

5. ช่วงและสมบตั ิการไมเ่ ท่ากัน

K-Note ช่วง การเขยี นสญั ลกั ษณแ์ ทนชว่ ง (Interval) ของจาํ นวนจรงิ
เมื่อเอกภพสมั พัทธ์เปน็ เซตของจํานวนจริง และ a, b โดยท่ี a < b
ชว่ งเปดิ
แปลวา่ 1. ชว่ งเปดิ (Open interval) (a, b) หมายถงึ {x | a < x < b}
“ไมเ่ อา”
แทนด้วย EX -3 < x < 4
สญั ลกั ษณ์
2. ชว่ งปดิ (Closed interval) [a, b] หมายถึง {x | a  x  b}
Ο
EX -3  x  4 (a, b] หมายถึง {x | a < x  b}
ช่วงปดิ 3. ชว่ งครึ่งเปดิ
แปลวา่
“เอา” EX -3 < x  4 [a, b) หมายถงึ {x | a  x < b}
แทนด้วย 4. ชว่ งคร่ึงปิด
สัญลกั ษณ์
EX -3  x < 4
● 5. ชว่ ง (a, ∞) หมายถึง {x | x > a}

K-Word EX x > 4
เสน้ จาํ นวน :
Number line 6. ช่วง [a, ∞) หมายถงึ {x | x  a}
ชว่ งครงึ่ เปดิ :
Half open interval EX x  4
ชว่ งครึ่งปดิ :
Half Closed interval 7. ชว่ ง (-∞, a) หมายถึง {x | x < a}

EX x < 4

8. ช่วง (-∞, a] หมายถงึ {x | x  a}

EX x  4

สมบตั ิการไม่เทา่ กนั (Inequality)

เหตุ ผล คําอธบิ าย
1. a > b, b> c a>c การถา่ ยทอด
การตดั ออก +
2. a + c > b + c a>b การตัดออก x
*สาํ คญั มากๆๆๆ
3. ac > bc, c > 0 a>b
ac > bc, c < 0 a<b การคณู
*สาํ คญั มากๆๆๆ
4. a > b, c > 0 ac > bc
a > b, c < 0 ac < bc มกั ใชก้ บั
0 < a2 < b2
5. 0 < a < b 0  a2  b2
0ab

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 21

6. การแก้อสมการพหุนาม K-Word
อสมการ (Inequality)

K-Idea เทคนคิ : การแก้อสมการท่ีควรรู้

1. จัดรูปพหุนามให้ขวามืออสมการเปน็ 0 แล้วแยกตัวประกอบ

2. ทํา ส.ป.ส.หน้าตัวแปรใหเ้ ปน็ + ทกุ วงเล็บ

3. หาค่าของตัวแปรทท่ี าํ ใหแ้ ต่ละวงเลบ็ เท่ากับ 0
4. นําค่าตัวแปรทหี่ าไดม้ าลงจุดบนเส้นจํานวน และใสเ่ ครอ่ื งหมาย + - + - + -

ไปเร่ือย ๆ โดยเร่มิ จากขวาไปซา้ ย

K-Trick 5. ถา้ อสมการมีเครื่องหมาย >,  ใหต้ อบในช่วง +
ถ้าอสมการมีเครอื่ งหมาย <,  ใหต้ อบในช่วง -
ในกรณีท่มี ีตัวประกอบซํา้
(x – a)เลขคู่ 6. ตรวจสอบคาํ ตอบเสมอ!!!!
“ถ้าคูณหรอื หารทง้ั อสมการดว้ ยจาํ นวนลบ จะต้องกลบั เครอ่ื งหมายของเสมอ
จะต้องกําหนดจุดบนเส้น และหา้ ม , ทง้ั อสมการด้วยตัวแปร”
จาํ นวนเป็นจํานวนคร้งั
เทา่ ที่ซาํ้ ด้วย ดูตวั อยา่ ง

EX x3(-x + 2)(2x – 6) > 0 EX (x – 2)2(-x + 1)(x + 2) < 0
นาํ -1 คณู ตลอด
นํา -1 คูณตลอด กลับเคร่ืองหมาย
x3(x – 2)(2x – 6) < 0 (x – 2)2(x – 1)(x + 2) > 0

x = 0, x = 2, x = 3 ใหต้ อบในชว่ ง - x = 2, x = 1, x = -2
(หาคา่ ของตัวแปรทีท่ าํ ใหแ้ ต่ละวงเล็บเทา่ กบั 0)
(หาคา่ ของตวั แปรทีท่ าํ ให้แตล่ ะวงเล็บเทา่ กับ 0)
+– + –+
– +– + -2 1 2 2
0 23 ตอบ (-∞, -1) (1, 2) (2, ∞)

ตอบ (-∞, 0) (2, 3)

EX x + 20 x 1 3 ยกกาํ ลัง 2
x + 20 3 + x 1 x + 20 9 + 6 x 1 + x 1

12 6 x 1

x + 20 0 x – 1 0 2 x1 K-Idea
4 x1
x -20 x1 1.ทกุ คร้ังท่ยี กกําลัง 2 ตอ้ ง
x5 มนั่ ใจวา่ ทั้ง 2 ข้างเป็นบวก
นําเง่ือนไขกับคาํ ตอบมา กัน ฉะนนั้ 1 x 5
2.นาํ คําตอบมา กับเงอ่ื นไข

K-Idea : กรณีเป็นสมการท่ีอยู่ในรปู พยามยามแบง่ ให้ 2 ขา้ งเทา่ ๆ กัน แลว้ ยกกาํ ลัง 2
(อาจมากกว่า 1 คร้งั ) เมือ่ ได้คําตอบแลว้ ใหต้ รวจคําตอบทุกครงั้ !!

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 22

7. ค่าสมั บรู ณ์ K-Idea
ใชน้ ยิ ามนเี้ มื่อต้องการปลด | |
นิยามค่าสมั บูรณ์ (Absolute value)

คา่ สัมบรู ณ์ของจาํ นวนจรงิ a หมายถงึ ระยะจากจดุ 0 ถงึ จุดท่ีแทน

จํานวนจรงิ a บนเส้นจาํ นวน เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ | a |

 a, a>0

| a |=  0, a=0

 -a, a<0

EX | 2 | = 2 |5|=5

| -2 | = -(-2) = 0 | -5 | = -(-5) = 5 an = a, n
รู้ไว้ใชว่ า่ ใสส่ มองนําไปใช้ n
n  a ,

x2 =| x | 32 =| 3 |

3 (-5)3 = -5 4 (-7)4 =| -7 |= 7

สมบัติค่าสัมบูรณ์

เมอ่ื กําหนดให้ x, y เป็นจาํ นวนจรงิ

1. | x |  0 2. | x | = | −x |

3. | x – y | = | x – y | 4. | xy | = | x || y |
x 6. | x |2 = | x2 | = x2
5. y  | x | ,y≠0
| y |

7. | x | < y  −y < x < y 8. | x |  y  −y  x  y

9. | x | > y  x < −a  x > a 10. | x |  y  x  −a  x  a

กราฟค่าสัมบรู ณ์ |x|+|y|=r
y=|x|

|x|  |y| 1 |x|  |y| 1
a b a b

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 23

8. การแก้สมการ/อสมการคา่ สัมบูรณ์ เป้าหมาย คือ ตอ้ งถอดค่าสัมบูรณ์ใหไ้ ด้

K-Idea : การแกส้ มการคา่ สมั บูรณ์

แบบที่ 1 ข้างในค่าสมั บูรณ์เปน็ ตัวแปร ข้างนอกคา่ สัมบรู ณ์เปน็ ตัวเลข

1) | P(x) | = a, a > 0 ⇒ P(x) = a หรือ P(x) = -a

2) | P(x) | = 0 ⇒ P(x) = 0

3) | P(x) | = a, a < 0 ⇒ P(x) หาคา่ ไม่ได้

แบบท่ี 2 ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นตัวแปร ขา้ งนอกค่าสัมบูรณ์เปน็ ตวั แปร
| P(x) | = Q(x) ⇒ P(x) = Q(x) หรือ P(x) = -Q(x)
⇒ P(x)2 = Q(x)2

แตต่ อ้ งตรวจคาํ ตอบทกุ ครัง้ ซง่ึ Q(x)  0 โดยการนําคาํ ตอบ x ทีไ่ ด้มาไปแทนใน Q(x)

EX จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ | 2x – 5 | = 7 – x

Sol | 2x – 5 | = 7 – x ⇒ 2x – 5 = 7 – x หรือ 2x – 5 = -(7 – x)

⇒ 3x = 12 หรอื 2x – 5 = -7 + x

⇒ x=4 หรือ x = -2

ดงั นนั้ เซตคําตอบของสมการ | 2x – 5 | = 7 – x คือ {4, -2}

แบบที่ 1 K-Idea : การแกอ้ สมการคา่ สัมบูรณ์

แบบที่ 2 ข้างในคา่ สัมบูรณ์เป็นตวั แปร ขา้ งนอกคา่ สมั บรู ณ์เปน็ ตวั เลข
1) | P(x) | < a, a > 0 ⇒ −a < P(x) < a ⇒ -a < P(x) และ P(x) < a
EX 2) | P(x) |  a, a > 0 ⇒ −a  P(x)  a ⇒ -a  P(x) และ P(x)  a
Sol 3) | P(x) | > a, a > 0 ⇒ P(x) > a หรือ P(x) < -a
4) | P(x) |  a, a > 0 ⇒ P(x)  a หรอื P(x)  -a
ข้างในค่าสัมบรู ณ์เป็นตัวแปร ข้างนอกคา่ สัมบรู ณ์เป็นตวั แปร
1) | P(x) | < Q(x) ⇒ −Q(x) < P(x) < Q(x) และ Q(x)  0
2) | P(x) |  Q(x) ⇒ −Q(x)  P(x)  Q(x) และ Q(x)  0
3) | P(x) | > Q(x) ⇒ P(x) > Q(x) หรือ x < −Q(x)
4) | P(x) |  Q(x) ⇒ P(x)  Q(x) หรือ P(x)  −Q(x)
จงหาเซตคําตอบของอสมการ | 2x – 5 |  7 – x
| 2x – 5 |  7 – x ⇒ -(7 – x)  2x – 5  7 – x และ 7 – x  0

⇒ -7 + x  2x – 5  7 – x และ 7  x
⇒ -7 + x  2x – 5 และ 2x – 5  7 – x และ x  7
⇒ -2  x และ 3x  12 และ x  7
⇒ x  -2 และ x  4 และ x  7
ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการนี้คือ [-2, 4]

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 24

8. การแกส้ มการ/อสมการค่าสมั บรู ณ์ (ต่อ)

K-Idea : การแกอ้ สมการคา่ สมั บูรณ์

แบบที่ 3 ข้างในค่าสมั บรู ณ์เปน็ ตัวแปร ข้างนอกค่าสัมบูรณ์เป็นตัวแปร
| P(x) |  | Q(x) | ⇒ P(x)2  Q(x)2
⇒ [P(x) – Q(x)][P(x) + Q(x)]  0
EX จงหาเซตคําตอบของอสมการ | 3x – 1 | < | 2x – 5 |
วิธคี ดิ | 3x – 1 | < | 2x – 5 | ⇒ (3x – 1)2 < (2x – 5)2
⇒ (3x – 1)2 – (2x – 5)2 < 0

⇒ [(3x–1)–(2x–5)][(3x–1)+(2x–5)]<0

⇒ (x + 4)(5x – 6) < 0
6
ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการคอื (-4, 5 )

K-Trick : การแกส้ มการ/อสมการคา่ สัมบรู ณ์

1. | P(x) | = P(x) ⇒ P(x)  0

2. | P(x) | = -P(x) ⇒ P(x)  0

EX จงหาเซตคําตอบของอสมการ | 2x – 5 | = 5 – 2x

Sol | 2x – 5 | = 5 – 2x ⇒ | 2x – 5 | = -(2x – 5) ⇒ 2x – 5  0
5
⇒ x  2

ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการน้ีคอื (-  5 ]
2
3. | P(x) |  | Q(x) |  | K(x)| ⇒ (1) ใหย้ กกาํ ลังสองทงั้ สองข้าง หรือ
(2) แยกพิจารณาเปน็ ชว่ ง

EX จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ | x + 1 | + 8 = 3| x – 2 |

Sol แยกพิจารณาเปน็ ช่วง

x < -1 -1  x  2 x>2

| x + 1 | + 8 = 3| x – 2 | | x + 1 | + 8 = 3| x – 2 | | x + 1 | + 8 = 3| x – 2 |

- x – 1 + 8 = 3(-x + 2) x + 1 + 8 = 3(-x + 2) x + 1 + 8 = 3(x – 2)

- x + 7 = -3x + 6 x + 9 = -3x + 6 x + 9 = 3x – 6

2x = -1 4x = -3 -2x = -15
-1 -3 15
x = 2 x = 4 (ใช้ได้) x = 2 (ใช้ได)้

แต่ x < -1 ฉะน้ัน x = -1 ใช้ไมไ่ ด้
2
-3 15
ดังนั้น x = { 4 , 2 }

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 25

ทฤษฎจี าํ นวนเบอ้ื งตน้
(Number Theory)

K-Concept : ทฤษฎีจาํ นวน

1. การหารลงตัว บทนิยามการหารลงตวั
ทฤษฎบี ททส่ี ําคัญ
2. จํานวนเฉพาะ
บทนยิ ามจาํ นวนเฉพาะ
3. ขั้นตอนวิธีการหาร หลักการตรวจสอบจํานวนเฉพาะ
ทฤษฎบี ทหลกั มลู ทางเลขคณิต

ทฤษฎบี ท

4. ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) บทนยิ าม
5. จํานวนเฉพาะสมั พทั ธ์
สมบตั ิท่สี าํ คญั
การ ห.ร.ม.โดยข้ันตอน
วิธีของยคุ ลดิ

บทนยิ าม

สมบตั ิทสี่ าํ คญั

6. ตวั คณู รว่ มน้อย (ค.ร.น.) บทนิยาม
7. เทคนิคการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. สมบัติทสี่ าํ คญั

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 26
1. การหารลงตัว

บทนิยามการหารลงตวั (การหารลงตวั : Exact Division)

ให้ m และ n เปน็ จํานวนเตม็ โดยท่ี m 0

m หาร n ลงตัว = n หารด้วย m ไดล้ งตัว = m | n k I , n = mk

เรยี ก m ว่าเปน็ ตัวหาร (Divisor) หรือตวั ประกอบ (Factor) ของ a และ

เรียก n ว่าเป็นตัวต้ัง (Dividened)/พหคุ ณู (Multiple) ของ m

EX 4 | 12 เพราะ 3 I , 12 = 4(3)

12 | 60 เพราะ 5 I , 60 = 12(5)

-7 | 42 เพราะ -6 I , 42 = -7(-6)

K-Know

m หาร n ไม่ลงตัว แทนดว้ ย “m | n”

m | n ไม่มี k I , n = mk

ทฤษฎีบททีส่ ําคัญ ให้ m, n และ p เป็นจํานวนเตม็ โดยที่ m 0 และ n 0

1. m | 0, 1 | m, m | m

2. m | n mn

3. m | n n | p m | p (สมบัตถิ ่ายทอด)

4. m | n m | p m|n+p

5. m | (n + p) m | n m|p

6. m | n m | np

7. m | n m | p m | nx + py, x, y I

(ผลรวมเชิงเส้น : Linear combination)

K-Trick ตัวหารท่ีนา่ สนใจ

หารด้วย วธิ ตี รวจสอบ

2 ตวั เลขหลักสดุ ทา้ ยหารดว้ ย 2 ลงตัว EX 2 | 12

4 ตวั เลขสองหลกั สุดทา้ ยหารด้วย 4 ลงตวั EX 4 | 548

8 ตัวเลขสามหลักสุดท้ายหารด้วย 8 ลงตวั EX 8 | 3864
2n ตวั เลข n หลกั สดุ ทา้ ยหารด้วย 2n ลงตัว EX 2n | 10n

3 ผลบวกของเลขโดดหาร 3 ลงตัว EX 3 | 186

9 ผลบวกของเลขโดดหาร 9 ลงตัว EX 9 | 432

5 ตัวเลขลงท้ายด้วย 0, 5

10 ตวั เลขลงท้ายด้วย 0

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 27

2. จํานวนเฉพาะ

บทนยิ ามจํานวนเฉพาะ (จํานวนเฉพาะ : Prime numbers)

P เปน็ จาํ นวนเฉพาะ 1) P -1, 0, 1

2) 1 | P, P | P เทา่ นนั้

EX 5 เปน็ จํานวนเฉพาะ เนอ่ื งจาก 1 | 5, 5 | 5

-7 เป็นจํานวนเฉพาะ เนือ่ งจาก 1 | -7, 7 | -7

K-Know P เป็นจาํ นวนประกอบ 1) P -1 1

(Composite numbers) 2) P ไม่เปน็ จาํ นวนเฉพาะ

EX 12 เปน็ จาํ นวนประกอบ เน่ืองจาก 12 = 3x4

27 เปน็ จํานวนประกอบ เนือ่ งจาก 27 = 3x9

หลกั การตรวจสอบจาํ นวนเฉพาะ

ให้ n แทนจาํ นวนนับท่ีต้องการตรวจสอบวา่ เปน็ จาํ นวนเฉพาะหรอื ไม่

1) หาจาํ นวนเฉพาะ P ทุกจํานวนท่ี P < n

2) นาํ จํานวนเฉพาะที่ไดใ้ นข้อ 1) ไปหาร n เพ่ือดูว่าหารลงตัวหรอื ไม่

2.1) ถา้ ไม่มีจาํ นวนเฉพาะ P ท่ไี ดใ้ นขอ้ 1) หาร n ลงตวั จะไดว้ ่า n เป็น

จํานวนเฉพาะ

2.2) ถ้ามจี าํ นวนเฉพาะ P ทไ่ี ดใ้ นข้อ 1) หาร n ลงตัว จะได้วา่ n ไมเ่ ปน็

จํานวนเฉพาะ

EX 79 เปน็ จํานวนเฉพาะหรอื ไม่ 221 เป็นจาํ นวนเฉพาะหรือไม่

Sol P < 79 P = 2, 3, 5, 7 P < 221 P = 2, 3, 5, 7, 11, 13

พบวา่ P | 79 พบวา่ P = 13 | 221

ดงั นัน้ 79 เป็นจาํ นวนเฉพาะ ดังนนั้ 221 ไมเ่ ป็นจํานวนเฉพาะ

ทฤษฎีหลักมูลทางเลขคณติ

(Fundamental Theorem of Arithmetic)

จาํ นวนเต็มบวกทกุ จาํ นวนท่ีมากกวา่ 1 สามารถเขยี นไดใ้ นรูปการคูณของจาํ นวนเฉพาะได้

เพียงแบบเดียวเท่านัน้ นั่นคือ n = p1a1 p2a2 p3a3 ... pkak โดยที่ p1, p2, p3, …, pk เป็น

จํานวนเฉพาะ มีสตู รทนี่ า่ สนใจดังนี้
1. จาํ นวนตัวประกอบทเ่ี ป็นบวกท้ังหมดของ n เท่ากับ (a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)
2. ผลบวกของตัวประกอบท่ีเป็นบวกท้ังหมดของ n เทา่ กบั

(p10 p11 p12 ... p1a1 )(p20 p21 p22 ... p2a2 )...(pk0 pk1 pk2 ... pkak )
EX จาํ นวนตวั ประกอบทเี่ ป็นบวกท้ังหมดของ 80 = 24x51 เทา่ กับ (4+1)(1+1) = 10
Sol ผลบวกของตัวประกอบที่เป็นบวกท้ังหมดของ 80 เท่ากับ

(20 + 21 + 22 + 23+ 24)(50 + 51) = (31)(6) = 186

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 28

3. ขั้นตอนวธิ ีการหาร

ทฤษฎบี ท (ข้ันตอนวธิ ีการหาร : Division Algorithm)

ถ้า a และ b เป็นจํานวนเต็ม โดยที่ b 0 แลว้ จะมีจาํ นวนเตม็ q และ r

ชดุ เดียวซึ่ง a = bq + r, 0 r <|b|

เรียก b วา่ ผลหาร (quotient) และ r ว่า เศษเหลอื (remainder)

EX

1. 5 = 5(1) + 0 2. 29 = 5(5) + 4

3. 43 = 5(8) + 3 4. -24 = 5(-5) + 1

5. -75 = 5(-15) + 0 6. -99 = 5(-20) + 1

K-Know

จาํ นวนเต็ม a เป็นจาํ นวนคู่ (Even number) k I , a = 2k

จาํ นวนเตม็ a เป็นจํานวนคี่ (Odd number) k I , b = 2k+1

สิง่ ทนี่ ่าสนใจ

1. 0 เป็นจํานวนคู่ เพราะ 0 I , 0 = 2(0)

2. ผลคูณของจาํ นวนเต็มเรยี งกัน k ตัว จะหารด้วย k ลงตัวเสมอ

EX 2 | 2x3 3 | 4x5x5 4 | 5x6x7x8

3. ผลบวกของจํานวนคู่เป็นจํานวนคู่

4. ผลคูณของจาํ นวนค่ีเปน็ จาํ นวนค่ี

5. กาํ ลงั สองของจาํ นวนค่ีเปน็ จํานวนค่ี

EX จงหาจํานวนเต็มบวกทง้ั หมดทห่ี าร 291 และ 301 แล้วมเี ศษเหลือเท่ากัน

Sol ให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกที่หาร 291 และ 301 มเี ศษเหลือเป็น r

ดังนั้น 291 = nk1 + r เมื่อ k1 เป็นจาํ นวนเต็ม (1)

301 = nk2 + r เมื่อ k2 เป็นจาํ นวนเต็ม (2)
(1) – (2) จะได้ 10 = n(k1 – k2) (3)

เนอื่ งจาก k1 – k2 เปน็ จํานวนเต็ม ดังนน้ั n | 10
ฉะน้นั ค่า n ทเี่ ป็นไปได้ ได้แก่ 1, 2, 5, 10

ดงั น้นั จํานวนเตม็ บวกทั้งหมดที่หาร 291 และ 301 แล้วมเี ศษเหลือเท่ากันคอื 1, 2, 5, 10

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 29
4. ตัวหารร่วมมาก

บทนยิ าม (ตัวหารร่วมมาก : The Greatest Common Divisor : G.C.D.)

คําสําคัญ ความหมาย

ตวั หารรว่ ม c | a c | b c เป็น ตัวหารร่วม ของ a และ b

ตัวหารร่วมมาก จาํ นวนเต็มบวก d ท่ีมากท่สี ุด ซึ่ง d | a d | b เรียก

(ห.ร.ม.) d วา่ ตัวหารร่วมมาก ของ a และ b เขียนแทนดว้ ย

d = (a, b)

K-Know 1. d = (a, b) = (b, a) = (-a, b) = (a, -b) = (-a, -b)

2. c | a c | b c | d

3. d = ax + by, x, y I

วธิ ีหา ห.ร.ม. วธิ ีที่ 1 วิธีแยกตัวประกอบ

วิธีท่ี 2 วิธีหาตัวหารร่วม

วธิ ีที่ 3 วิธีตัง้ หาร

EX ตวั หารรว่ มของ 4 และ 8 ได้แก่ ± 1, ± 2, ± 4

ตัวหารรว่ มของ 12 และ 35 ไดแ้ ก่ ± 1

EX จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24

Sol วธิ ีตัง้ หาร 2 ) 12 18 24

3 ) 6 9 12

23 4

ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 คือ 2 x 3 = 6

สมบัติทส่ี ําคญั ให้ a, b, c, k, x และ y เป็นจาํ นวนเต็ม
(a, b) | c
1. c = ax + by = (a, b)
2. (a, b + ka) = |k|(a, b)
3. (ka, kb) = ((a, b), c) = (a, (b, c)) = ((a, c), b)
4. (a, b, c) = (a, b) (a, c)
5. b | c

การ ห.ร.ม.โดยขัน้ ตอนวิธขี องยุคลิด (ขั้นตอนวธิ ีของยคุ ลิด : Euclidean algorithm)

จงหา ห.ร.ม. ของ 3240 และ 2484 โดยใช้ขั้นตอนวธิ ีของยุคลดิ

Sol 3240 = 1(2484) + 756 K-Idea

2484 = 3(756) + 216 1.ใช้ขน้ั ตอนการหาร

756 = 3(216) + 108 2.ตัวหาร ตวั ตง้ั

216 = 2(108) + 0 เศษ ตวั หาร

ดงั นนั้ (3240, 2484) = 108 3.ห.ร.ม.=เศษตวั สุดทา้ ยที่ 0

K-Trick (3240, 2484) = (2484, 756) = (756, 216) = (216, 108) = 108

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 30

5. จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์

บทนิยาม (จํานวนเฉพาะสัมพทั ธ์ : Relatively prime numbers)

จํานวนเต็ม a และ b เป็น จาํ นวนเฉพาะสัมพัทธ์ (a, b) = 1

K-Know 1. a และ b ไมม่ ีตวั ประกอบรว่ มกัน
2. ax + by = 1, x, y I

EX 8 และ 15 เป็นจาํ นวนเฉพาะสัมพทั ธ์หรือไม่
9 และ 18 เปน็ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์หรอื ไม่

สมบัติทีส่ ําคญั (da , bd) = 1
(x, y) = 1
1. (a, b) = d ab | c
(a, b) | c
2. d = (a, b) = ax + by p|a p|b
3. a | c, b | c, (a, b) = 1 a|c
4. c = ax + by (ab, n) = 1
5. จาํ นวนเฉพาะ p, p | ab (xn, yn) = 1
6. a | bc, (a, b) = 1
7. (a, n) = (b, n) = 1
8. (x, y) = 1

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 31
6. ตวั คูณรว่ มน้อย

บทนยิ าม (ตัวคณู ร่วมน้อย : The Least Common Multiple : L.C.M.)

คําสาํ คญั ความหมาย

ตัวคณู ร่วมนอ้ ย จํานวนเต็มบวก c ที่น้อยท่ีสุด ซ่ึง a | c b | c เรียก

(ค.ร.น.) c วา่ ตวั คูณรว่ มน้อย ของ a และ b เขยี นแทนด้วย

c = [a, b]

K-Know 1. a | d b | d c | d

2. c = [a, b] = [b, a] = [-a, b] = [a, -b] = [-a, -b]

วิธีหา ค.ร.น. วิธที ่ี 1 วธิ ีแยกตวั ประกอบ

วธิ ีท่ี 2 วธิ หี าพหคุ ณู ร่วม

วธิ ีที่ 3 วิธีต้ังหาร

EX จงหา ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24
Sol วิธีแยกตัวประกอบ 12 = 2 x 2 x 3

18 = 2 x 3 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3
ดงั นน้ั ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24 คอื 2 x 2 x 3 x 3 x 2 = 72

EX จงหา ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24
Sol วธิ ีตง้ั หาร 2 ) 12 18 24

3 ) 6 9 12
2) 2 3 4

13 2
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24 คอื 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 = 72

สมบัติทส่ี ําคญั

1. [a, b] | ab |
2. [ka, kb] = |k|[a, b]
3. [a, b, c] = [[a, b], c] = [a, [b, c]] = [[a, c], b]
4. ab = (a, b)[a, b]***
5. a | b [a, b] = b
6. a | c, b | c [a, b] | c

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 32
7. เทคนคิ การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

หลกั การ

ทุกจํานวนเต็ม a ที่มากกว่า 1 และทุกจํานวนเต็ม b ที่มากกว่า 1
สามารถเขียน a และ b ให้อยู่ในรูปการคูณของจํานวนเฉพาะได้เพียงแบบเดียว
(ทฤษฎีหลักมลู ทางเลขคณติ ) ดังนี้

a = p1a1 p2a2 p3a3 ... pkak

b = p1b1 p2b2 p3b3 ... pkbk

โดยที่ p1 < p2 < p3 < … < pk เป็นจํานวนเฉพาะ และ a1, a2, a3, …, ak, b1,
b2, b3, …, bk เป็นจาํ นวนเตม็ ทไี่ ม่เปน็ ลบ พบว่า

(a, b) = p1min{a1,b1} p2min{a2,b2} p3min{a3,b3} ... pkmin{ak ,bk }

[a, b] = p1max{a1,b1} p2max{a2,b2} p3max{a3,b3} ... pkmax{ak ,bk }

EX กาํ หนด a = 200 และ b = 440 จงหา (a, b) และ [a, b]

Sol โดยทฤษฎีหลกั มูลทางเลขคณติ จะได้ (a, b)
เลอื กเลขยกกําลังน้อย (min) 23 x 51 x 110 [a, b]
a = 200 = 23 x 52 x 110
b = 440 = 23 x 51 x 111
เลือกเลขยกกาํ ลังมาก (max) 23 x 52 x 111
ดงั น้ัน (a, b) = 23 x 51 x 110 = 40
และ [a, b] = 23 x 52 x 111 = 2,200

EX กําหนด a = 264 และ b = 157,950 จงหา (a, b) และ [a, b]

Sol โดยทฤษฎีหลักมลู ทางเลขคณติ จะได้
เลอื กเลขยกกาํ ลงั น้อย (min) 21 x 31 x 50 x 110 x 130 (a, b)
a = 264 = 23 x 31 x 50 x 111 x 130
b = 157,950 = 21 x 35 x 52 x 110 x 131
เลอื กเลขยกกาํ ลงั มาก (max) 23 x 35 x 52 x 111 x 131 [a, b]
ดังนน้ั (a, b) = 21 x 31 x 50 x 110 x 130 = 6
และ [a, b] = 23 x 35 x 52 x 111 x 131 = 6,949,800

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 33

เมทริกซ์ (Matrix)

K-Concept : เมทรกิ ซ์

1. ความรเู้ บ้ืองตน้ บทนยิ าม
การลงตวั
2. การบวกและคูณของเมทริกซ์ ชนดิ ของเมทริกซ์
การเท่ากันของเมทรกิ ซ์
3. เมทรกิ ซ์สลบั เปลยี่ น
4. ดีเทอร์มิแนนต์ การบวกของเมทรกิ ซ์
สมบัตกิ ารบวกของเมทรกิ ซ์
การคูณของเมทริกซ์
สมบตั กิ ารคูณของเมทรกิ ซ์
ขอ้ ควรรเู้ กีย่ วกับการคูณของเมทรกิ ซ์
บทนยิ าม

สมบตั เิ มทรกิ ซ์สลบั เปลี่ยน

หลักการหา det

สมบัติของ det

5. ไมเนอร์และโคแฟคเตอร์ ไมเนอร์

โคแฟคเตอร์
การหา det โดยใชโ้ คแฟคเตอร์

6. ตัวผกผันการคูณของเมทรกิ ซ์ เมทริกซ์ผูกพนั
7. ระบบสมการเชงิ เส้น
ตัวผกผนั การคณู
สมบัติของตัวผกผนั การคณู
สมบัตขิ องเมทริกซ์ผกู พนั
ใช้ตวั ผกผนั การคูณ

ใช้กฎของคราเมอร์

8. การดําเนนิ การตามแถว

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 34
1. ความร้เู บื้องตน้

บทนยิ าม

เมทริกซ์ (Matrix) คือ ชุดของจํานวน mn ตัว (m, n เป็นจํานวนนับ)

ซ่งึ เขียนเรียงกนั m แถว n หลัก ภายในเครอ่ื งหมายวงเล็บในรูปแบบ ดงั นี้

Amxn = aa1211 aa1222 … aa12nn  หรือ  aa1211 aa1222 … aa12nn 
am1 am2 …   am2 … 
…  … 
 
amn  amn 
  am1

เรียก aij ว่าสมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักท่ี j ของเมทริกซ์ และ
เรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว (row) n หลัก (column) ว่าเป็น mxn เมทริกซ์และ

เรียก mxn ว่าเป็นมติ ขิ องเมทริกซ์ (Dimension of matrix)

EX จงเขยี น A = [aij]m×n โดยท่ี

i + j, i < j A = 212 3 425
Sol aij = 2, i = j 2
1
i j, i > j

ชนิดของเมทริกซ์

1. เมทริกซศ์ นู ย์ (Zero matrix) 2. เมทริกซจ์ ัตรุ ัส (Square matrix)

00 0 00 , 00 00 , 000 0 000 13 42 , 217 3 965
0 0 4
0 8

3. เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity matrix) 4. เมทรกิ ซส์ ามเหลย่ี ม(Triangular matrix)

10 10 , 010 0 100 001 4 365 , 325 0 006
1 2 4
0 0 7

5. เมทรกิ ซเ์ ฉยี ง (Diagonal matrix) 6. เมทริกซแ์ ถว เมทริกซ์หลัก
2
30 70 , 900 400 -001  3 6 9 , 4
 8 
 

การเทา่ กนั ของเมทริกซ์ ให้ A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n
A = B 1. ขนาด (มิติ) ตอ้ งเท่ากัน
2. สมาชิกตําแหนง่ เดยี วกนั ตอ้ งเทา่ กนั

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 35
2. การบวกและคูณของเมทรกิ ซ์

การบวกของเมทรกิ ซ์ K-Idea
ขนาด (มติ )ิ ตอ้ งเท่ากนั
ให้ A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n จะได้
A + B = [aij + bij]m×n แล้วบวกสมาชิก

สาํ หรับทกุ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n ตาํ แหนง่ เดียวกัน

EX กาํ หนด 3xyz 22y - 24z -2z = 1z -08 จงหาค่าของ x + y – z

Sol xy – 2z = 1 x = -1 K-Know

3z – 4 = z z = 2 ถ้า A และ B เปน็

2y – (-z) = -8 y = -5 m×n เมทรกิ ซ์ แลว้
ดงั นน้ั x + y – z = (-1) + (-5) – 2 = -8 A − B = A + (−1)B

สมบตั กิ ารบวกของเมทรกิ ซ์ คําอธิบาย
A + B เปน็ เมทรกิ ซ์
สมบตั ิ A+B=B+A
1. ปดิ การบวก A + (B + C) = (A + B) + C
2. การสลบั ทกี่ ารบวก A + 0 = A = 0+ A เมือ่ 0 เป็นเมทรกิ ซ์ศนู ย์
3. การเปลี่ยนกลุม่ การบวก A + (−A) = 0 = (−A) + A
4. การมเี อกลกั ษณก์ ารบวก
5. การมีตัวผกผนั การบวก

การคูณของเมทริกซ์

1. การคูณของเมทรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์ ให้ A = [aij]m×n และ c เป็นค่าคงตวั สาํ หรบั
ทกุ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n จะได้
K-Idea
cA = [caij]m×n
คณู ค่าคงตัวกับสมาชิก
ทุกตําแหนง่

K-Idea 2. การคณู เมทรกิ ซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์ ให้ A = [aij]m×n และ B = [bij]n×r สําหรบั ทุก
i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, r จะไดว้ ่า ผลคูณของ AB คือ
เมทรกิ ซ์ A, B จะหาผล AB = [cij]m×r เมอ่ื cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj
คูณ AB ได้ เมอ่ื A มี
จาํ นวนหลกั เท่ากับ EX กําหนด A = -12 -31 และ B = -43 -11 จงหา AB และ BA
จํานวนแถวของเมทริกซ์ Sol AB = ((1-2)()4(4))++(-(13))((--33)) ((-12)()-(1-1))++(-(13))((11)) = -177 -52
B เท่าน้นั และผลคณู ทไ่ี ด้
จะมมี ติ เิ ทา่ กับ “แถวของ BA = ((-43))((11))++((--11))((--22)) ((-43))((--11))++((--11))((33)) = -65 -07
เมทริกซต์ ัวตงั้ × หลัก
ของเมทริกซ์ตวั คณู ”

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 36
2. การบวกและคณู ของเมทริกซ์ (ต่อ)

สมบตั กิ ารคณู ของเมทริกซ์

สมบัติ คําอธิบาย

1. ปดิ การคณู A x B เป็นเมทริกซ์

2. การสลบั ที่การคณู AB  BA

3. การเปล่ยี นกลุ่มการคูณ A(BC) = (AB)C

4. การมเี อกลักษณ์การคูณ AI = A = IA, I เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์
5. การมีตวั ผกผันการคูณ AA-1 = I = A-1A (ดูรายละเอยี ดในหัวขอ้ 6)

6. การแจกแจง A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

K-Know

ข้อควรรเู้ กยี่ วกับการคณู ของเมทรกิ ซ์

1. c(A + B) = cA + cB 2. (c + d)A = cA + dA

3. (cd)A = c(dA) 4. 1A = A, 0A = 0
5. c(AB) = (cA)B = A(cB) = (AB)c 6. An = AA…A (n ตวั ), nI+
7. (cA)n = cnAn เมือ่ nI+
8. AB = 0  A = 0  B = 0

8. AB = 0  A = 0  B = 0

EX กําหนด A = -11 -11 และ B = -22 -22 จงหา AB และ BA
Sol AB = -11 -11 -22 -22 = 00 00  A = 0  B = 0

K-Trick

1. 0a b0n  an b0n 2. 0a aan  an naann
3. 00 01n   0 4. 10 11n   0
0, n2
10 n1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 37
3. เมทริกซ์สลบั เปล่ยี น

บทนิยาม
ถา้ A เป็น m×n เมทรกิ ซ์ แล้ว เมทรกิ ซ์สลับเปลี่ยนหรือทราน

โพสของ A (Transpose of a matrix) : At คือ n×m เมทริกซ์ที่มหี ลกั ท่ี i
เหมือนแถวท่ี i ของเมทริกซ์ A ทกุ i = 1, 2, . . . , m กล่าวอยา่ งง่าย

At เป็นเมทริกซท์ ีม่ ีขนาด n×m
At เป็นเมทริกซ์ท่ีมีการสลบั แถวเป็นหลัก หรือสลับหลกั เปน็ แถว

EX กาํ หนด A = -12 -31 และ B = -43 -11 จงหา At, Bt, AtBt, BtAt, (AB)t
Sol At = -12 -31t = -11 -32 , Bt = -43 -11t = -41 -13

AtBt = -11 -32 -41 -13 = -67 -65
BtAt = -41 -13 -11 -32 = -72 -157
เนอ่ื งจาก AB = ((1-2)()4(4))++(-(13))((--33)) ((-12)()-(1-1))++(-(31))((11)) = -177 -52
ดงั นน้ั (AB)t = -177 -52t = -72 -157

สังเกตพบวา่ (AB)t = BtAt

สมบตั เิ มทริกซ์สลบั เปล่ียน
1. (At)t = A
2. (cA)t = cAt เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั
3. (A ± B)t = At ± Bt
4. (AB)t = BtAt
5. (ABC)t = CtBtAt
6. (At)n = (An)t เมอ่ื nI+

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 38
4. ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

หลกั การหา det

1. เมทริกซจ์ ัตรุ สั ขนาด 1×1

ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตรุ ัสขนาด 1×1 ซง่ึ A = [a] แล้ว det(A) = |a| = a

2. เมทริกซจ์ ัตุรัสขนาด 2×2

ถ้า A เป็นเมทรกิ ซ์จตั ุรสั ขนาด 2×2 ซง่ึ A = ca bd แล้ว

det(A) = ab = ad – bc
cd

3. เมทรกิ ซ์จัตุรสั ขนาด 3×3

ถ้า A เป็นเมทริกซจ์ ัตุรัสขนาด 3×3 ซง่ึ A = dag be cfi แลว้
h

det(A) =

นนั่ คือ det(A) = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)

4. เมทริกซ์จตั ุรัสขนาด n×n เมอื่ n  3
ใช้ความรเู้ ร่อื งโคแฟคเตอร์ (ดรู ายละเอียดในหัวข้อ 6)

EX กาํ หนด A = -12 -31 จงหา det(A)

Sol det(A) = (1)(3) – (-2)(-1) = 1

EX กําหนด A = 621 -2 -437 จงหา det(A)
0
9

Sol det(A) = {0 + (-48) + 54} – {0 + 36 + 28) = -58

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 39
4. ดเี ทอร์มิแนนต์ (ต่อ)

สมบตั ิของ det

สมบัติของ det แบบ Macro (แบบไมด่ ูสมาชกิ ภายใน)

ให้ A = [aij]n×n, B = [bij]n×n เม่ือ n ≥ 2
1. det(AB) = det(A)det(B)
2. det(A) = det(At)
3. det(cA) = cndet(A) เมือ่ c เปน็ คา่ คงตัว
1
4. det(A−1) = det(A) เม่ือ det(A)  0

5. det(An) = (det(A))n
6. det(adj(A)) = (det(A))n−1 เมอ่ื det(A)  0
(adj(A) ศกึ ษาไดใ้ นหวั ข้อ 6)

7. ถา้ A = B แลว้ det(A) = det(B) แตถ่ า้ det(A) = det(B) ไมจ่ ําเป็นท่ี A = B

ข้อควรระวงั det(A  B)  det(A)  det(B)

สมบัตขิ อง det แบบ Micro (แบบดสู มาชกิ ภายใน)

1. ถ้า A มสี มาชกิ แถวใดแถวหนึ่ง (หลกั ใดหลกั หน่ึง) 1 -2 3 1 -2 0
EX 0 0 0 = 0 , 4 5 0 = 0
เป็นศนู ย์ทุกตัว แลว้ det(A) = 0 6 9 -7 -6 9 0

2. ถา้ สลับทีร่ ะหว่างสองแถวหรือสองหลกั ใด ๆ ของ A 1 -2 3 6 9 -7 1 3 -2
EX 2 5 -8 = - 2 5 -8 = - 2 -8 5
แล้ว ดีเทอรม์ นิ ันตข์ องเมทรกิ ซ์ใหมค่ ือ −det(A) 6 9 -7 1 -2 3 6 -7 9

3. ถา้ A มสี มาชกิ สองแถวหรือสองหลักใด ๆ 123 133
เหมือนกันแล้ว det(A) = 0 EX 4 5 6 = 0 , 4 6 6 = 0

123 799

4. ถา้ A มสี มาชกิ สองแถวหรือสองหลักใด ๆ เปน็ k 1 2 3 1 3 -1
EX -7 0 9 = 0 , 4 6 -8 = 0
เทา่ ของกนั และกัน แลว้ det(A) = 0 2 4 6 7 9 -14

5. ถา้ คูณสมาชกิ ทกุ ตวั ในแถวหรอื หลกั ใด ๆ ของ A 1 23 1 23 1 21
EX -7 0 9 = 2 -7 0 9 = 3 -7 0 3
ดว้ ยคา่ คงตวั k แลว้ ดีเทอรม์ ินันต์ของเมทริกซ์ใหม่ -8 4 6 -4 2 3 -8 4 2
คอื kdet(A)

6. ถ้าคณู (หรือหาร) สมาชกิ ทุกตวั ในแถวใดแถวหน่งึ 123 1 2 3
(หรือหลกั ใดหลกั หนึง่ ) ด้วยคา่ คงตวั ทีไ่ ม่เปน็ ศนู ย์ EX 4 5 6 = 4 +2(1) 5+2(2) 6+2(2)
แล้วนาํ ผลทไ่ี ด้ไปบวก (หรือลบ) กับสมาชกิ ในแถว
(หรือหลัก) แล้วดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซ์ใหม่ 789 7 8 9
จะเท่ากบั ดีเทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซ์เดิม 12 3

= 6 9 10
78 9

7. ถ้า A เป็นเมทรกิ ซส์ ามเหล่ียม แลว้ 100
det(A) เทา่ กับผลคณู ของสมาชกิ ในแนวทแยง EX 4 5 0 = (1)(5)(9) = 45

789

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 40
5. ไมเนอร์และโคแฟคเตอร์

ไมเนอร์

ให้ A = [aij]n×n เมอื่ n ≥ 2

ไมเนอร์ (Minor) ของ aij : Mij(A) คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ท่ีได้
จากการตัดแถวที่ i และหลักท่ี j ของเมทริกซ์ A ออก

EX กําหนด A = 126 -2 437 จงหา M12(A), M23(A)
0
9

Sol M12(A) = 1 -2 3 = 2 4 = (2)(7) – (6)(4) = -10
2 0 4 6 7
6 9 7

M23(A) = 1 -2 3 = 1 -2 = (1)(9) – (6)(-2) = 21
2 0 4 6 9
6 9 7

โคแฟคเตอร์

ให้ A = [aij]n×n โดย n≥2

โคแฟคเตอร์ (Cofactor) หรอื ตัวประกอบร่วมเก่ียวของ aij คอื
Cij(A) = (−1)i+jMij(A)

EX กําหนด A = 126 -2 437 จงหา C12(A), C23(A)
0
9

Sol C12(A) = (−1)1+2M12(A) = (-1)(-10) = 10
C23(A) = (−1)2+3M23(A) = (-1)(21) = -21

การหา det โดยใชโ้ คแฟคเตอร์

K-Idea ให้ A = [aij]n×n เม่ือ n ≥ 2 จะได้วา่ สําหรับทกุ i = 1, 2, . . ., n และ

ขั้นตอนการหา det j = 1, 2, . . ., n
1.เลอื กแถวมา 1 แถว
det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + . . . + ainCin(A)
หรอื หลกั มา 1 หลกั det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + . . . + anjCnj(A)
ควรเลอื กที่มี 0 เยอะ ๆ
2.หา Cij(A) ของสมาชิก EX กําหนด A= -611 2 733 จงหา det(A)
แต่ละตัวในแถวหรือ 0
หลักทเี่ ลอื กมา -1
3.นําสมาชิกในตําแหนง่ นัน้
คูณกับ Cij(A) ของตัวเอง Sol det(A) = a21C21(A) + a22C22(A) + a23C23(A)
แล้วนํามาบวกกัน = (-1)(17) + (0)C22(A) + (3)(-13) = -17 – 39 = - 56

det(A) = a12C12(A) + a22C22(A) + a32C32(A)
= (2)(-25) + (0)C22(A) + (-1)(6) = -50 – 6 = - 56

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 41
6. ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์

เมทรกิ ซ์ผูกพัน

ถ้า A = [aij]n×n เม่ือ n≥2 แลว้ เมทรกิ ซผ์ กู พนั ของ A

(Adjoint matrix) : adj(A) คือ เมทรกิ ซ์ [Cij(A)]t น่นั คือ
adj(A) = [Cij(A)]t

K-Trick

A = ca bd  adj(A) = -dc -ab

ตวั ผกผันการคูณ (Inverse of a matrix)

เมทริกซ์ขนาด 1x1

1. ถ้า A = [a] โดยที่ a0 แลว้ A−1 =  1  = 1
 a  det(A) 

เมทรกิ ซ์ขนาด 2x2

2. ถา้ A = ca bd และ det(A)  0 จะได้ EX กาํ หนด A = -12 -31

A−1 = 1 -dc -ab A−1 = 1 32 11
det(A) 3-2

= 1 -dc -ab = 32 31
ad -bc

เมทริกซ์ขนาด nxn 1
det(A)
3. ถา้ A = [aij]n×n โดยท่ี n≥2 และ det(A)  0 แลว้ A−1 = adj(A)

K-Word K-Know

เมทรกิ ซ์เอกฐาน = 1. ถา้ เมทริกซ์ A มี det(A) = 0 จะไดว้ ่า เมทริกซ์ A ไม่มีตวั ผกผนั การคณู
Singular matrix 2. เมทรกิ ซ์ A หา A−1 ไมไ่ ด้  det(A)=0  เรยี ก A ว่าเมทริกซเ์ อกฐาน
เมทริกซ์ไมเ่ อกฐาน 3. เมทรกิ ซ์ A หา A−1 ได้  det(A)  0  เรียก A ว่าเมทริกซไ์ ม่เอกฐาน
= Non-Singular Cij (A)
K-Trick aij ของ A−1 = det(A)
matrix

EX กําหนด A = x-0-42 5 120 ถา้ A เป็นเมทรกิ ซเ์ อกฐาน จงหาคา่ x
2
x

A เป็นเมทริกซเ์ อกฐาน  det(A) = 0  4(x – 2) + 8 = 0

 x=0

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 42
6. ตัวผกผันการคณู ของเมทริกซ์ (ต่อ)

สมบตั ขิ องตัวผกผันการคูณ

1. AA-1 = A-1A = I, I เป็นเมทรกิ ซ์เอกลักษณ์
2. AB = I  A = B-1  B = A-1
3. (A-1)-1 = A
4. (AB)-1 = B-1A-1 (AB)-1  A-1B-1
1 ควรระวงั
k
5. (kA)-1 = A-1 , k เปน็ คา่ คงตัวทไ่ี มใ่ ชศ่ ูนย์

6. (A-1)t = (At)-1
7. (An)-1 = (A-1)n, n I +
8. ให้เมทริกซ์ A มตี วั ผกผนั การคูณ (หา A−1 ได)้

1) AB = AC  B = C

2) BA = CA  B = C

สมบัตขิ องเมทรกิ ซ์ผูกพัน

1. adj(A) = det(A) A−1

2. Aadj(A) = adj(A) A = det(A) In
A
3. [adj(A)]-1 = adj(A-1) = det(A)

4. adj(kA) = kn-1adj(A)

5. adj(AB) = adj(A)adj(B)
6. adj(At) = [adj(A)]t

7. det(A) = 0  A(adj(A) = 0
8. det(A)  0  adj(adj(A)) = [det A]n−2 A
9. det(A)  0  det(adj(A)) = [det(A)]n−1
 det(adj(adj(A))) = [det(A)](n−1)(n–1)
 det(adj(adj(adj(A)))) = [det(A)](n−1) (n–1)(n–1)

EX กาํ หนด A = 213 0 -121 จงหา det(adj(A))
2
0

Sol เนื่องจาก det(A) = 4 + 0 + 0 + 2 – 0 – 0 = 6
ดงั นนั้ det(adj(A)) = [det(A)]n−1

= (6)3−1

= 36

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 43

7. ระบบสมการเชงิ เส้น (System of linear equations)

ใช้ตวั ผกผันการคณู

ax + by + cz = b1 dag b cfi zyx = bbb321  AX = B  X = A-1B
dx +ey + fz = b1  e
gx +hy +iz = b1 h

K-Know

ถา้ det(A)  0 แลว้ ระบบสมการเชงิ เสน้ มีคําตอบเดยี ว

ถา้ det(A)=0 แลว้ คําตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ให้พจิ ารณาดงั น้ี
0
1) ถ้าคาํ ตอบอยใู่ นรูป 0 ระบบสมการนี้มีคําตอบมากมายนบั ไม่ถว้ น

2) ถา้ คาํ ตอบอยใู่ นรูป k โดย k  0 ระบบสมการนี้ไม่มีคาํ ตอบ
0

EX กําหนดให้ 2x – 5y = 1, 3x – 7y = 2 จงหาคา่ x และ y

Sol 2x - 5y =1 23 --75 yx = 12  yx = 23 --75-1 21
3x - 7y =2 

 yx = 1 --73 25 21 = 13
-14 +15

ดงั น้นั x = 3 และ y = 1

ใช้กฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule)

ax + by + cz = b1
dx +ey + fz = b1
gx +hy +iz = b1

x= bbb213 b c y= a bbb231 c z= a b bbb213
a e f d b f d e c
h i g i g h
b c a c a b
def def def
ghi ghi ghi

EX กําหนดให้ x + 2y + 3z = 1, 2x – 4y – z = 4, 3x – 3y – 2 = 2

จงหาค่า x -1 2 3

x + 2y +3z = -1 4 -4 -1 -5 -1
2x - 4y - z = 4  x = 2 -3 -2 25 5
Sol 3x - 3y - 2z = 2 1 2 3 = =
2 -4
-1
3 -3 -2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 44
8. การดาํ เนนิ การตามแถว

การดาํ เนินการตามแถว (row operation)

คือการดําเนินการกับเมทริกซ์ที่จะลดขั้นตอนและทําให้คําตอบของระบบสมการไม่

เปล่ยี นแปลง ซง่ึ เป็นการดาํ เนินการอยา่ งใดอย่างหน่ึงตอ่ ไปน้ี

1. สลับทีร่ ะหวา่ งแถวท่ี i กบั แถวที่ j เมอื่ i  j เขยี นแทนดว้ ย Rij
2. คูณสมาชกิ ทุกตวั ในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว k  0 เขยี นแทนด้วย kRi
3. บวกแถวท่ี i ด้วย k เท่าของแถวที่ j โดยที่ k  0 เขียนแทนดว้ ย Ri + kRj

การ det โดยใช้การดาํ เนนิ การตามแถว

1. เมทรกิ ซ์ B เกดิ จากเมทริกซ์ A โดย Rij จะได้วา่ det(B) = -det(A)
2. เมทริกซ์ B เกิดจากเมทริกซ์ A โดย kRij จะได้ว่า det(B) = kdet(A)
3. เมทริกซ์ B เกิดจากเมทริกซ์ A โดย Rij + k จะได้ว่า det(B) = det(A)

EX กําหนด A= 321 0 -211 จงหา det(A) โดยวิธีการดาํ เนินการตามแถว
2
0

Sol A= 132 0 -121  133 0 120 R1 + R3  311 0 100 R2 + (-2)R3
2 2 2
0 0 0

ดงั น้นั det(A) = (3)(2)(1) = 6

การหาตัวผกผันการคูณโดยใช้การดาํ เนนิ การตามแถว
[ A | I ] ~ [ I | A-1]
เม่ือ I เป็นเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์

1 1 0 1 0 0 1 0 0 -4743 x -1
กาํ หนด -1 3 4 0 1 0 00 1 0 - 43 -11 จงหาคา่ x
EX  1 0 1

0 4 30 0 11

Sol เน่ืองจาก AA-1 = I จะไดว้ ่า -101 1 430 -47143 x -1 = 100 0 001
3 - 43 1 1
4 1 -1 0

ฉะนั้น (1)(x) + (1)(- 3 ) + (0)(1) = 0
4
3
ดังนัน้ x = 4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 45
8. การดาํ เนนิ การตามแถว (ต่อ)

การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้การดาํ เนนิ การตามแถว

ax + by + cz = b1  dag b cfi zyx = bbb231
dx +ey + fz = b1 e
gx +hy +iz = b1 h

 AX = B

 [ A | B ] ~ [ I | X]

EX กาํ หนดให้ 2x – 5y = 1, 3x – 7y = 2 จงหาคา่ x และ y

Sol 2x - 5y =1  32 --75 yx = 21
3x - 7y = 2

 [ A | B ] ~ [ I | X]

 23 -5 21 ~ -31 2 -21 R1 + (-1)R2
-7 -7

~ 31 -2 12 (-1)R1
-7

~ 01 -2 -11 R2 + (-3)R2
-1

~ 10 -2 11 (-1)R2
1

~ 10 0 31 R1 + 2R2
1

ดงั น้นั x = 3 และ y = 1

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 46

ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน
(Relation and Function)

K-Concept : ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

1. ผลคูณคาร์ทีเซียน คู่อนั ดบั
2. ความสัมพันธ์
บทนยิ าม
บทนยิ าม
โดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์
กราฟของความสัมพันธ์

3. ตัวผกผันของความสัมพันธ์ บทนิยาม

หลกั การหาตัวผกผันของความสัมพนั ธ์

4. ฟงั ก์ชัน สมบัตขิ องตัวผกผัน
บทนยิ าม

หลกั การพิจารณาฟังกช์ ัน

ลักษณะของฟังก์ชนั
หลกั การพิจารณาฟังกช์ นั 1-1

5. ฟังก์ชนั
ผกผนั

6. ฟังก์ชันประกอบ

7. พชี คณิตของฟังกช์ นั

8. ฟังก์ชนั เพ่ิม/ลด บทนยิ าม
9. ชนดิ ของฟังก์ชนั
วิธีตรวจสอบ
10. โจทย์แนวพิเศษ ฟังกช์ ันพชี คณิต

ฟงั กช์ ันอดิสัย
ฟังกช์ ันคู่/ค่ี
ฟงั ก์ชนั คาบ

ความสมั พนั ธ์เวียนเกดิ จัดรูปแทนค่า ใชเ้ งือ่ นไข

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 47

1. ผลคูณคาร์ทเี ซียน

คอู่ นั ดบั (Ordered pair)

คูอ่ นั ดับ (a, b) ต้องมาเปน็ คู่และมอี ันดับ

(a, b) = (c, d) a = c b = d

(a, b) (c, d) a c b d

EX จงหาค่าของ x และ y ทที่ าํ ให้ (2x + y, 24) = (6, 3x – y)

Sol จากความหมายการเท่ากันของคู่อันดับ จะได้วา่

2x + y = 6 (1)

3x – y = 24 (2)

นํา (1) + (2); 5x = 30

x= 6

แทนค่า x ใน (1) จะได้ y = -6

ดังนนั้ x = 6 และ y = -6

บทนิยาม

ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product) ของเซต A และเซต B
คือเซตของคู่อันดับ (a, b) ท้ังหมด โดยท่ี a เป็นสมาชิกของเซต A และ b
เปน็ สมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A×B นัน่ คอื

A×B = {(a, b) | aA และ bB}

K-Idea EX กาํ หนด A = {1} และ B = {2, 4, 7}
AB
Sol จะได้ AB = {(1, 2), (1, 4), (1, 7)} K-Observe
12
4 BA = {(2, 1), (4, 1), (7, 1)} AB  BA
7
AA = {(1, 1)}

BB = {(2, 2), (2, 4), (2, 7), (4, 2), (4, 4), (4, 7), (7, 2),

(7, 4), (7, 7)}

สมบัตขิ องผลคูณคารท์ เี ซียน

1. n(AB) = n(BA) = n(A)n(B)
2. A =  A = 
3. AB =  A =  B = 
4. (AB)(CD) = (A C)(B D)
5. A(B – C) = (AB) – (AC)
6. A(B C) = (AB)(AC) แต่ A(BC) ≠ (AB)(AC)
7. A(B C) = (AB)(AC) แต่ A(BC) ≠ (AB)(AC)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์