เอกสาร “K-Trick Math Admissions By ครูครรชิต”

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 48

2. ความสัมพันธ์

บทนิยาม

K-Idea ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ
r เปน็ ความสมั พันธ์ (Relation) จาก A ไป B r AB
จํานวนความสมั พันธ์
ทงั้ หมดจาก A ไป B K-Know
เท่ากบั จํานวนสับ 1. ความสัมพันธ์เปน็ เซตของคู่อันดบั
2. ความสมั พันธ์ใน A คอื ความสัมพันธจ์ าก A ไป A
เซตของ AB 3.  เปน็ ความสมั พันธ์จาก A ไป B เสมอ
4. จาํ นวนความสมั พนั ธ์ทัง้ หมดจาก A ไป B เทา่ กบั 2n(AxB)

EX กําหนดให้ A = {1}, B = {a, b} จงหาความสัมพันธ์จาก A ไป B
Sol AB = {(1, a), (1, b)}

ความสัมพันธ์จาก A ไป B ไดแ้ ก่  , {(1, a)}, {(1, b)}, {(1, a), (1, b)}

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์

K-Word ให้ r เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B

โดเมน : domain  โดเมนของ r คือเซตของสมาชิกตวั หน้าของคู่อันดบั ใน r Dr = x x, yr
เรนจ์ : range
 เรนจ์ของ r คอื เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อนั ดบั ใน r Rr = y  x, yr

การหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์

โดเมน เรนจ์

1. จดั y อยใู่ นรปู ตัวแปรของ x 1. จัด x อยูใ่ นรูปตัวแปรของ y

2. พจิ ารณาคา่ x ทที่ ําให้ y หาคา่ ได้ 2. พจิ ารณาค่า y ทท่ี าํ ให้ x หาค่าได้

3. โดเมนคือเซตของ x ท้ังหมดท่ี 3. เรนจค์ ือเซตของ y ทงั้ หมดที่

ทาํ ให้ y หาคา่ ได้ ทาํ ให้ x หาค่าได้

หลกั ในการพจิ ารณา

y = อ้าง  0

y = อ้าง  0

y = log อา้ ง  0

y = คู่, | | อา้ ง ค,ู่ | |  0

โจทยร์ ูปแบบ = ใหท้ าํ ตาม 3 ขั้นตอน ดังนี้

ข้ันที่ 1 อ้าง  0 เพราะ เท่ากับ ซ่ึงไมเ่ ปน็ ลบแน่ ๆ
ข้ันที่ 2 ยกกําลังสอง เพ่อื แก้หา Df หรือ Rf
ขน้ั ท่ี 3 Df หรอื Rf ที่แท้จริง จะได้จาก ข้นั ที่ 1  ขนั้ ท่ี 2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 49

2. ความสัมพนั ธ์ (ต่อ)

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

หลักในการพจิ ารณา (ต่อ)
ถา้ สมการอยู่ในรปู ax2 + bx + c = 0 และ a ≠ 0 ให้ใช้สูตร

x = -b ± b2 - 4ac  อา้ ง b2 – 4ac  0
2a

K-Trick a
bx +c
1. ถ้าเงือ่ นไขของความสมั พันธอ์ ยู่ในรูป y = โดยที่ a, b ≠ 0

Dr = {x | x ≠ - c } Rr = {y | y ≠ 0}
b
ax +b
2. ถ้าเงอ่ื นไขของความสมั พนั ธ์อยใู่ นรปู y = cx +d โดยที่ a, c ≠ 0

Dr = {x | x ≠ - d } Rr = {y | y ≠ a }
c c
3. ถา้ เงอ่ื นไขความสัมพันธ์อยู่ในรปู y = |ax + b| + c โดยท่ี a ≠ 0

Dr = Rr = {y | y  c}
ax +b
4. ถ้าเงือ่ นไขความสมั พันธ์อยู่ในรปู y =
b Rr = {y | y  0}
Dr = {x | x ≠ - a }

EX จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r (x, y) R R y 2x 7

3x 5

Sol Dr x x5 Rr y y2
3 3

กราฟของความสัมพนั ธ์

กราฟของความสัมพันธ์ คือ เซตของจุดในระนาบ โดยท่ีแต่ละจุด
แทนสมาชิกของความสัมพันธ์
การหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์
1. โดเมน หาได้จากขอบเขตของกราฟตามแกน X (ให้ดเู งาในแกน X) : 
2. เรนจ์ หาได้จากขอบเขตของกราฟตามแกน Y (ใหด้ ูเงาในแกน Y) : 
EX จงหาโดเมนและเรนจ์ โดยพิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
Sol

Dr x x R

Rr y R y 1

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 50

3. ตวั ผกผนั ของความสัมพนั ธ์

บทนิยาม

ตัวผกผัน/อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r (Inverse of relation)

คือความสัมพันธ์ซ่ึงเกิดจากการสลับท่ีของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง
ในแต่ละคู่อันดับท่เี ปน็ สมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r–1

r = {(x, y)AB | (x, y)r} r–1 = {(y, x)BA | (x, y)r}

หลกั การหาตัวผกผันของความสัมพันธ์

r เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ สลับทต่ี วั หน้าและตวั หลงั ของคู่อันดับทกุ คู่
r เขียนแบบบอกเงอื่ นไข 1. r–1 = {(y, x)BA | y = f(x)}
2. r–1 = {(x, y)BA | x = f(y)}
r = {(x, y)AB | y = f(x)}

EX จงหาอนิ เวอรส์ ของความสัมพันธ์ r พรอ้ มทง้ั บอกโดเมนและเรนจ์
r = {(1, 1), (3, 2), (1, 3), (4, 1), (0, -1)}

Sol จาก r = {(1, 1), (3, 2), (1, 3), (4, 1), (0, -1)}
จะได้ r-1 = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (1, 4), (-1, 0)}
ดงั นน้ั Dr-1 = {1, 2, 3, -1}
และ Rr-1 = {1, 3, 4, 0}

EX ให้ r = {(x, y)A ×B| y =4x +7} จงหา r-1

Sol จาก r= {(x, y)A ×B y =4x +7}

จะได้ r-1 = {(x, y)B×A | x =4y +7}
ดังน้นั r-1 = {(x, y)B× A | y = x4-7}

K-Trick สมบัตขิ องตัวผกผันของความสัมพนั ธ์
ax +b
r y = cx +d 1. Dr-1 = Rr และ Rr-1= Dr
2. กราฟของความสัมพันธ์ r กับ r–1 จะมเี ส้นตรง y = x เปน็ แกนสมมาตร
r–1 y = dx -b EX ให้ r = {(x, y) y = (x -1)2} จงหา r-1,Dr-1 และ Rr-1
-cx +a
สลับท่พี ี่นอ้ ง Sol r-1 = {(x, y)| x = (y -1)2}= {(x, y)| y = x +1}
Dr-1 = Rr = [0,  )
ลบนะนอ้ งพ่ี Rr-1 = Dr =

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 51

4. ฟังก์ชัน

บทนยิ าม

ความสัมพันธ์ r จะเป็นฟังก์ชัน (Function) x ไปจับคู่กับ y
เพยี งค่าเดียวเท่านนั้ นนั่ คือ “ตวั หน้าเหมอื น ตัวหลงั ตอ้ งเหมอื น”

เราจะเรยี ก y = f(x) แทน (x, y)f ว่าเปน็ คา่ ของฟังก์ชัน f ท่ี x

EX ให้ f(x) x2 5 จงหาค่าของฟังก์ชัน f ท่ี x 0,1 และ 5
Sol จาก f(x) x2 5

จะได้ f(0) 2(0)2 5 5

f(1) 12 5 4

f(5) 52 5 20

หลกั การพิจารณาฟังกช์ ัน

1. แบบแจกแจงสมาชกิ ตวั หนา้ เหมือน ตวั หลงั ต้องเหมือน เป็นฟงั ก์ชนั
2. แบบบอกเงื่อนไข
1) แทนค่า x หน่งึ คา่ ให้ค่า y ได้เพยี งคา่ เดียว
3. กราฟ เปน็ ฟังก์ชัน

2) แทนค่า x หนง่ึ คา่ ให้ค่า y ไดห้ ลายค่า
ไม่เป็นฟังก์ชนั

1) เม่อื ลากเส้นในแนวด่งิ ขนานกบั แกน Y ตดั ผ่าน
กราฟของความสมั พนั ธ์เพยี งจดุ เดยี วเทา่ นัน้
เป็นฟงั ก์ชัน

2) เมอ่ื ลากเส้นในแนวดงิ่ ขนานกับแกน Y ตดั ผ่าน
กราฟของความสัมพนั ธ์มากกวา่ 1 จดุ
ไม่เปน็ ฟังก์ชนั

EX จงพิจารณาว่าความสมั พันธ์ตอ่ ไปน้ี เปน็ ฟังกช์ ันหรอื ไม่
Sol 1. r = {(1,1), (-1,1), (2, 2), (-2, 2), (3, 3), (-3, 3)}

เป็นฟงั กช์ นั
2. r = {(-2,1), (-1, 0), (1,1), (2,1), (1, -1)}

ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ัน เพราะ (1, 1), (1, -1) r แต่ 1 -1
3. r = {(x, y) x + y =1}

ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชนั เพราะ (0, 1), (0, -1) r แต่ 1 -1

4. f x, y y  x 1

ไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน
เพราะ (2, 3), (2, -3) r แต่ 3 -3

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 52

4. ฟงั ก์ชัน (ต่อ)

ลกั ษณะของฟังกช์ ัน

1. ฟงั กช์ นั จาก A ไป B (Function from A into B)

f : AB Df = A, Rf B
ตัวหนา้ ใช้หมด

2. ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (Function from A onto B)
f : A onto B
Df = A, Rf = B
ตวั หน้าใช้หมด และตวั หลังใชห้ มด

3. ฟังกช์ ันหนึง่ ตอ่ หนึง่ จาก A ไป B (One-to-One Function )
f : A 1-1 B
ถา้ f(x1) = f(x2) แลว้ x1 = x2
คู่ใคร คมู่ นั

EX ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {a, b, c} f : A 1-1 B
f : A onto B
Sol f : A B

1a 1a 1A
2b 2b
2b 3c 3c
3

หลกั การพิจารณาฟังกช์ ัน 1-1

K-Idea 1. แบบแจกแจงสมาชกิ ตัวหลงั เหมอื น ตัวหนา้ ตอ้ งเหมอื น เปน็ ฟังกช์ นั 1-1
ความสัมพนั ธ์ 2. แบบบอกเง่อื นไข
1) แทนค่า y หน่งึ ค่า ให้ค่า x ได้เพียงค่า เป็นฟงั ก์ชัน
แทน x หนง่ึ ค่า 3. กราฟ 1-1 *กอ่ นเช็ค ฟังก์ชัน 1-1 ตอ้ งเช็คเป็นฟังกช์ นั ก่อน*
ได้ค่า y หนึง่ ค่า
2) แทนค่า y หนึ่งค่า ให้ค่า x ได้หลายคา่ ไม่เปน็ ฟังกช์ นั
เป็นฟงั กช์ นั 1-1 *กอ่ นเชค็ ฟังกช์ นั 1-1 ตอ้ งเช็คเปน็ ฟงั กช์ นั กอ่ น*

แทน y หนง่ึ ค่า 1) เมื่อลากเส้นในแนวนอนขนานกบั แกน X ตดั ผา่ นกราฟ
ได้ค่า x หน่งึ ค่า ของฟังก์ชนั เพียงจดุ เดียวเทา่ น้ัน เปน็ ฟงั กช์ นั 1-1

เปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 2) เมือ่ ลากเสน้ ในแนวนอนขนานกับแกน X ตัดผ่านกราฟ
ของฟังก์ชันมากกวา่ 1 จุด ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั 1-1

EX จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ตอ่ ไปนี้ เปน็ ฟังกช์ นั 1-1 หรอื ไม่
Sol 1. r ={(1,1), (-1,1), (2, 2), (-2, 2), (3, 3), (-3, 3)}

ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ัน 1-1 เพราะ (1, 1), (-1, 1) r แต่ 1 -1
2. r = {(x, y) | y = |2x – 5|}

ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1 เพราะ (2, 1), (3, 1) r แต่ 2 3
3. ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1

เพราะลากเส้นในแนวนอนขนานกบั แกน X
ตดั ผ่านกราฟของฟงั กช์ นั มากกวา่ 1 จุด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 53
5.ฟงั กช์ ันผกผนั

ฟงั กช์ ันผกผนั (Inverse function)

1. ให้ f เป็นฟงั ก์ชนั
f–1 เป็นฟงั ก์ชัน  f มฟี งั ก์ชันผกผัน  f เป็นฟังก์ชนั 1-1

2. D -1 = Rf และ R f -1 = Df

f
3. ถา้ f ไม่เปน็ ฟังก์ชนั หนึ่งตอ่ หนงึ่ แล้ว f–1 จะไมเ่ ป็นฟังก์ชนั
4. กราฟของ f−1 จะสมมาตรของกราฟ f เมอื่ เทียบกบั เส้นตรง y = x

สมบัตขิ องฟังกช์ ันผกผัน f -1( ) =  = f( )
ให้ f เปน็ ฟังกช์ ัน 1−1 จะไดว้ า่

f( ) =  = f -1( )

วธิ ีการหา f−1 ดงั น้ี วิธที ่ี 2 โดยใชส้ มบัติของฟงั กช์ ันผกผนั
1. เขยี น y = f(x)
วิธที ี่ 1 โดยการสลบั ตัวแปร 2. จะได้ f−1(y) = x
1. เขียน y = f(x) 3. ให้ y = k แล้วแก้สมการหาค่า x
2. สลบั ตัวแปรระหวา่ ง x และ y ในสมการ y = f(x) 4. แทนคา่ x และ y ท่ีได้จากขอ้ 3 ลงในสมการใน
3. จัดรูป y ในเทอมของ x จากสมการใหม่ในข้อ 2
4. y ที่ไดใ้ นข้อ 3 คือ y = f−1(x) ขอ้ 2 จะได้ f−1(k)
5. แทน k ด้วย x จะได้ y = f−1(x)

EX กําหนดให้ ฟังก์ชนั f x  2x  4 เปน็ ฟงั ก์ชนั หนึ่งตอ่ หนึ่ง จงหาฟงั ก์ชนั ผกผนั ของ f

Sol วธิ ที ่ี 1 จาก y  f x  2x  4

สลับตวั แปรระหว่าง x และ y จะได้ x  2y  4

เขียน y ในเทอมของ x จะได้ y  x4
2

ดงั นั้น f 1 x  x  4
วธิ ที ่ี 2 จาก
2

2x  4  f x

จะได้ f 1 2x  4  x

ให้ 2x  4  k

จะได้วา่ x  k4
2

ดังน้ัน f 1 k  k  4

2

นัน่ คือ f 1 x  x  4

2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 54

6. ฟังก์ชนั ประกอบ

ฟังก์ชันประกอบ (Composite function)
ให้ f : A B และ g : B C และ Rf Dg ≠

ฟังกช์ ันประกอบของ f และ g gof : A C สําหรบั ทกุ aDf
(gof)(a) = g(f(a))

K-Know

1. จะมี gof ก็ตอ่ เมือ่ Rf Dg ≠
2. Dgof = Df และ Rgof  Rg
3. gof ≠ fog

สมบตั ขิ องฟังกช์ ันประกอบ

ให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั 1−1 จะไดว้ ่า
1. (fof−1)( ) =
เมื่อ  Df -1 ( Rf) K-Remark
2. (f−1of )( ) = เมอื่  Df fof−1  f−1of
3. (fog)–1( ) = g−1of−1( ) เมือ่ f และ g เปน็ ฟงั ก์ชันทัว่ ถึง

4. (fogoh)( ) = f(g(h( )))

EX กาํ หนดให้ f gx  4x2 1 และ gx  2x จงหา f x

Sol จาก f gx  4x2 1 จะได้ f gx  4x2 1

ฉะนัน้ f 2x  4x2 1 K-Idea : ฟังก์ชันประกอบ
1. เปล่ียน o เปน็ วงเล็บ
สมมติ 2x  k จะได้ x  k
ทําจากข้างในกอ่ น
2 2. หาด้านซา้ ยมาแทน

ดังนน้ั f k  4  k 2 1  k2 1 ด้านขวา
2 

น่ันคอื f x  x2 1

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 55
7. พชี คณิตของฟังก์ชัน

พีชคณิตของฟังก์ชัน (Algebra of function) คือการนําฟังก์ชันสองฟังก์ชันมา บวก ลบ คูณ หาร
กัน ภายใตเ้ งื่อนไขของ x

ให้ f และ g เป็นฟังกช์ ันซ่ึง Df Dg ≠

1. (f + g)(x) = f(x)+ g(x) ทกุ xDf Dg Df+g = Df  Dg
Df−g = Df  Dg
2. (f − g)(x) = f(x) − g(x) ทกุ xDf Dg Dfg = Df  Dg
Df/g = (Df  Dg)−{x | g(x) = 0}
3. (fg)(x) = f(x)g(x) ทกุ xDf  Dg
gf  (x) = f(x)
4. g(x) ทุก xDf Dg – {x | g(x) = 0}

EX กําหนดให้ f x  3x,gx  x 1 จงหา f  g,f  g,fg และ f พร้อมทั้งโดเมน

g

Sol เนือ่ งจาก
f  gx  f x  g x  3x  x 1  4x 1

f  gx  f x  g x  3x  x 1  2x 1

fgx  f xg x  3xx 1  3x2  3x

 f   x   f x  3x เมอื่ x 1
 g  gx x 1
 

และเนอื่ งจาก Df  และ Dg 

จะได้วา่ โดเมนของ f  g,f  g และ fg คือ Df  Dg 

และโดเมนของ f คอื x x  Df  Dg และ gx  0  1
g

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 56

8. ฟงั ก์ชนั เพิ่ม/ลด

บทนิยาม

ให้ f เป็นฟังก์ชันซึง่ มีโดเมนและเรนจเ์ ปน็ สับเซตของเซตจํานวนจริง

และ A เปน็ สับเซตของโดเมน

f เป็นฟังกช์ นั เพ่ิม สําหรบั ทกุ x1, x2A
(Increasing function) บน A ถ้า x1 < x2 แล้ว f (x1) < f (x2)

K-Trick x เพ่ิม y เพิ่ม x ลด y ลด y ตาม x

f เป็นฟังกช์ นั ลด สําหรบั ทกุ x1, x2A

(Decreasing function) บน A ถ้า x1 < x2 แลว้ f (x1) > f (x2)

K-Trick x เพิ่ม y ลด x ลด y เพิ่ม y สวนทางกับ x

วธิ ีตรวจสอบ

1. วาดรปู ดคู วามชนั (m)
2. ใชน้ ยิ าม m > 0 เปน็ ฟังก์ชนั เพม่ิ
m < 0 เป็นฟงั กช์ นั ลด

ถา้ x1 < x2 แล้ว f (x1) < f (x2) f เป็นฟงั ก์ชนั เพม่ิ
ถา้ x1 < x2 แลว้ f (x1) > f (x2) f เปน็ ฟงั ก์ชันลด

EX จงหาวา่ f(x) = x2 1 เป็นฟังก์ชันเพิม่ หรือเป็นฟังกช์ นั ลดบนช่วงใด
Sol วาดรูป f(x) = x2 + 1 จะได้

จากกราฟ เม่ือ x มคี ่าเพมิ่ ข้นึ ในชว่ ง ,0 แล้ว f เป็นฟังก์ชันลด
และเม่ือ x มีค่าเพิม่ ข้นึ ในชว่ ง 0, แล้ว f เป็นฟงั ก์ชนั เพิ่ม

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 57

9. ชนิดของฟังกช์ นั

ฟังกช์ นั พชี คณิต (Algebraic function)

1.ฟงั ก์ชันเชงิ เสน้ (Linear function) คือ ฟงั กช์ ันทอ่ี ยู่ในรูป f(x) = ax + b

K-Note เม่ือ a, b เปน็ จํานวนจริง และ a ≠ 0

ฟังก์ชนั เชิงเสน้ 2.ฟังก์ชนั กาํ ลังสอง (Quadratic function) คือ ฟงั กช์ นั ทอ่ี ยูใ่ นรปู
ฟงั กช์ นั กาํ ลงั สอง f(x) = ax2 + bx + c
เปน็ ฟงั กช์ ันพหนุ าม
เม่อื a, b, c เปน็ จํานวนจรงิ ใด ๆ และ a ≠ 0

3.ฟังกช์ ันพหุนาม (Polynomial function) คอื ฟงั กช์ ันท่ีอย่ใู นรปู
f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a2x2 + a1x + + a0
เมื่อ a0, a1, a2, …, an เป็นคา่ คงตัว และ n เป็นจํานวนเต็มบวกหรือศนู ย์
p(x)
4.ฟงั กช์ นั ตรรกยะ (Rational function) คือ ฟังกช์ นั ท่ีอย่ใู นรูป f(x) = q(x)

เมือ่ p(x) และ q(x) เป็นฟังกช์ ันพหนุ าม และ q(x) ≠ 0

5.ฟังกช์ นั ข้ันบันได (Step function) คือ ฟงั กช์ ันทีม่ คี ่าฟงั ก์ชนั คงตัวเปน็ ชว่ งๆ

มากกวา่ สองช่วง กราฟของฟงั กช์ ันจะมรี ปู คล้ายขน้ั บันได เช่น

1, x0
f(x) = 3, 0<x<3

5, x3

ฟังกช์ นั อดิสยั (Transcendental function)

ฟงั ก์ชนั เอ็กซ์โพเนนเชยี ล ฟังก์ชนั ลอกาลิทึม ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

(Exponential Function) (Logarithm Function) (Trigonometry Function)
y = ax y = sin x, y = cos x
y = logax
เมอ่ื a > 0 และ a ≠ 1 เมอ่ื a > 0, a ≠ 1

ฟงั กช์ นั คู่-ค่ี (Even-Odd function)

f(-x) = f(x) f เปน็ ฟังก์ชนั คู่ f(-x) = -f(x) f เปน็ ฟงั ก์ชันคี่
กราฟจะมีแกน Y เป็นแกนสมมาตร
EX y = x2, y = x4, y = cos x กราฟจะมีจดุ (0, 0) เป็นจุดสมมาตร

y = x, y = x3, y = sin x f เปน็ ฟังก์ชันคู่
f เปน็ ฟงั กช์ ันคี่

ฟงั กช์ ันคาบ (Periodic function)

f เป็นฟังกช์ นั คาบ k , f(x + k) = f(x) x Df

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 58

เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย
(Analytic geometry and conic section)

K-Concept : เรขาคณติ วิเคราะห์
1. ระบบพิกัดฉาก

2. จดุ ระยะหา่ งระหวา่ งจุดสองจุด
3. เสน้ ตรง จุดแบ่งสว่ นเสน้ ตรง

4. ระยะหา่ ง ความชันของเส้นตรง
สมการของเส้นตรง
ความสัมพันธร์ ะหว่างเส้นตรงสองเสน้
จุดตัดแกน X และจดุ ตดั แกน Y

จดุ กับเส้นตรง
เส้นขนานสองเสน้

5. K-Know พ้ืนที่ของรูปหลายเหล่ียม

มมุ ระหว่างเส้นตรง

สมการเส้นตรงที่แบ่งครงึ่ มุมระหวา่ งเสน้ ตรง 2 เสน้ ตดั
กนั

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 59
1. ระบบพิกดั ฉาก (Rectangular coordinate system)

ในระบบพกิ ัดฉาก จะมเี สน้ จํานวนจริงสองเส้นซึ่งตัดกันเป็นมุมฉาก เส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน

อีกเส้นหน่ึงอยู่ในแนวต้ัง เราเรียกเส้นที่อยู่ในแนวนอนว่าแกน X (X axis) และเรียกเส้นที่อยู่ใน

แนวตั้งวา่ แกน Y (Y axis) จุดทแ่ี กน X และแกน Y ตัดกันเป็นมมุ ฉากเรียกวา่ จดุ กาํ เนิด (0, 0)

ดงั รูป จตภุ าคที่ 2 : Q2 จตภุ าคท่ี 1 : Q1

(-, +) (+, +)

จตภุ าคท่ี 3 : Q3 จตุภาคท่ี 4 : Q4 K-Word
(-, -) (+, -)
จตภุ าค : Quadrant
พกิ ดั : Coordinate

2. จุด (Point)

ระยะหา่ งระหว่างจุดสองจุด

P1(x1, y1) P2(x2, y2) |P1P2| = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
y2 – y1
= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
x2 – x1 K-Remark
ถ้า P1P2 ขนานกับแกน X แล้ว

|P1P2| = | x1 – x2 |
ถา้ P1P2 ขนานกับแกน Y แลว้

|P1P2| = | y1 – y2 |

EX จงหาระยะห่างระหว่างจุด P1(5, -1) และ P2(1, 2)
Sol |P1P2| = (5-1)2 +(-1-2)2 = 16+9 = 5

จุดแบ่งส่วนเส้นตรง K-Trick จําสตู รโดยวาดรปู แล้วไขว้

P2(x2, y2) P(x, y)=( mx1 + nx 2 , my1 + ny 2 )
m n
m+ m+ n

n P(x, y) กรณี m = n จดุ กึ่งกลาง y1 +y2
P1(x1, y1) x1 + x
P(x, y) = ( 2 , 2 )
2

EX จจงดุ หกางึ่ จกดุ ลกาึง่งก=ลา(งร5ะ+2ห1วา่, งจ-1ุด2+P31()5,=-1(3) ,แ1ล)ะ P2(1, 3)
Sol

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 60

3. เส้นตรง (Line) m เปน็ ความชันของเสน้ ตรง L

ความชันของเสน้ ตรง (Slope)
P2(x2, y2)

m = y1 - yx 22 = y 2 - yx11
x1 - x 2 -
y2 – y1
θ x2 – x1 เสน้ ตรงทาํ มมุ θ กับแกน X
 ความชนั m = tanθ
P1(x1, y1)

EX จงหาความชนั (m) ระหวา่ งจุด P1(5, -1) และ P2(1, 3)
Sol -1 - 3 -4
m = 5-1 = 4 = - 1

สมการของเสน้ ตรง

สมการของเส้นตรง วธิ ีหาสมการของเสน้ ตรง

รูปมาตรฐาน 1.รู้จดุ 2 จดุ : (x1, --yyx1)22แ(ลxะ–(xx21,) y2)
y – y1 y1
y = mx + c  ความชัน = m = x1

รปู ทั่วไป -A 2.รู้จดุ ผา่ นและความชัน : m, (x1, y1)
B
Ax+By+C=0  ความชัน = y – y1 = m(x – x1)

EX จงหาสมการเสน้ ตรง yxเม22่อื ผ=า่ น-จ51ุด--13P1=(5,-44-1=) และ P2(1, 3)
Sol y1 - -1
เนอื่ งจาก m = x1 -

ดังนนั้ สมการเสน้ ตรง คือ

เลือกจุด P1(5, -1) จะได้ y – 3 = (-1)(x – 1)  y + x – 4 = 0
เลือกจุด P2(1, 3) จะได้ y – (-1) = (-1)(x – 5)  y + x – 4 = 0

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 61

3. เสน้ ตรง (ต่อ)

ความสัมพนั ธ์ระหว่างเสน้ ตรงสองเส้น

เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั

L1 // L2  mL1 = mL2

เสน้ ตรงสองเสน้ ต้ังฉากกนั

L1  L2  mL1 mL2 = –1

EX L1 : y = 2x – 1  mL1 = 2

L2 : y = -2x + 3  mL2 = -2

L3 : 4x + 2y – 5 = 0  mL3 = -2
-1
L4 : x + 2y + 1 = 0  mL2 = 2

ดังนนั้ L2 // L3 และ L1  L4

จุดตดั แกน X และจุดตัดแกน Y
จดุ ตดั แกน X (X – intercept) และจุดตดั แกน Y (Y – intercept)

เรยี ก a ว่าระยะตดั แกน X
หาจดุ ตัดแกน X  ให้ y = 0

ถ้าเสน้ ตรง l ตดั แกน X ทีจ่ ดุ (a, 0) เรียก b ว่าระยะตดั แกน Y
และตัดแกน Y ที่จดุ (0, b) หาจดุ ตัดแกน Y  ให้ x = 0

EX จงหาจดุ ตดั แกน X และจดุ ตัดแกน Y ของสมการ y – 4 = 2(x – 1)
Sol หาจุดตดั แกน X  ให้ y = 0

0 – 4 = 2(x – 1)  x = -1
ดังนน้ั จุดตดั แกน X คือ (-1, 0)
หาจดุ ตดั แกน Y  ให้ x = 0

y – 4 = 2(0 – 1)  y = 2
ดงั นนั้ จุดตัดแกน Y คือ (0, 2)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 62
4. ระยะห่าง
จดุ กับเสน้ ตรง

ให้ d แทน ระยะหา่ งระหdว่า=งจ|ดุ APx(0x0+A, 2By0+y) กบั เสน้ ตรง Ax + By + C = 0
0+C|
B2

EX จงหาระยะหา่ งระหว่างจุด (1, -1) กบั เสน้ ตรง 3x + 4y – 9 = 0
| 3(1)+4(-1) -9| | -10 |
Sol d = = 25 = 2
32 +42

เส้นขนานสองเส้น

L1 : Ax + By + C1 = 0
L2 : Ax + By + C2 = 0

ให้ d แทน ระยะห่างระหว่างเส้นตรง L1 : Ax + By + C1 = 0
กบั L2 : Ax + By + C2 = 0 จะไดว้ ่า
| C1 - C 2|
d= A + B2
2

EX จงหาระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรง 3x + 4y + 2 = 0 กบั 3x + 4y – 3 = 0
| 2 - (-3) | | 5|
Sol d= 32 +42 = 25 = 1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 63

5. K-Know

พ้นื ทข่ี องรูปหลายเหล่ียม

1. การหาพ้ืนทข่ี องรูปสามเหลีย่ ม ในกรณีท่ีทราบจดุ ยอดของสามเหล่ียม

พน้ื ท่ี Δ ABC = 1 xxxx3211 yyyy2131
2

= 1
2

= 1 (x1y2+x2y3+x3y1–x1y3–x3y2–x2y1)
2

2. การหาพนื้ ทข่ี องรูปหลายเหลยี่ ม

หาได้โดยอาศัยวิธีเดียวกับการหาพื้นที่รูปสามเหล่ียมโดยจะต้องเรียง

จดุ ทวนเขม็ นาฬิกา (Counterclockwise) และห้ามเรียงสลับจุด ถ้าเผลอเรียง

จุดตามเขม็ นาฬิกา (Clockwise) กไ็ มเ่ ปน็ ไรแตข่ อใหร้ ู้ดว้ ยวา่ ค่าท่ไี ดจ้ ะติดลบ

มมุ ระหว่างเส้นตรง

L1

θ

L2

ให้ θ แทนมุมระยะหา่ งเส้นตรง L1 : y = m1x + c1 กบั

L2 : y = m2x + c2 จะได้วา่ = m2 -m1
tan θ
1 + m2m1

สมการเส้นตรงท่แี บ่งครง่ึ มุมระหวา่ งเส้นตรง 2 เสน้ ตดั

ให้เส้นตรง L1 : A1x + B1y + C1 = 0 กับ L2 : A2x + B2y + C2 = 0
จะได้วา่ สมการเสน้ ตรงทแ่ี บ่งครง่ึ มุมระหวา่ ง L+1Bก2บั y L2 คือ
+C2 |
| A1x +B1y + C1 | = | A2x
A12 +B12 A 22 +B22

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 64
K-Concept : ภาคตัดกรวย

1. วงกลม บทนยิ าม
สมการวงกลม
2. พาราโบลา ระยะทางสน้ั ท่สี ดุ และยาวทสี่ ุดจากจุดไปยังวงกลม
3. วงรี เส้นสัมผัสวงกลม
4. ไฮเพอร์โบลา
บทนิยาม
สมการพาราโบลา

บทนยิ าม
สมการวงรี
K-Trick

บทนยิ าม
สมการไฮเพอร์โบลา

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 65

1. วงกลม K-Idea วงกลมคือเซตของจุดบนระนาบซึง่ หา่ งจากจดุ คงตัวเปน็ ระยะทางเทา่ กัน

บทนยิ าม

วงกลม (circle) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซ่ึงอยู่ห่างจากจุดคง
ตัวจุดหน่ึงบนระนาบเป็นระยะทางเท่ากัน จุดคงตัวนี้เรียกว่า จุดศูนย์กลาง
(center) ของวงกลม และระยะทางทเ่ี ท่ากัน เรียกวา่ รัศมี (radius) ของวงกลม

สมการวงกลม

รูปแบบมาตรฐาน รปู แบบท่วั ไป

1. เม่อื จดุ ศูนยก์ ลางอยู่ท่ี (0, 0) และมี สมการวงกลมรูปแบบท่วั ไป คอื
รัศมเี ทา่ กับ r มสี มการคือ x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 = r2
จดุ ศูนยก์ ลางอยู่ทจ่ี ุด , B2
2. เมอ่ื จุดศนู ยก์ ลางอยู่ทจี่ ดุ (h, k) A
และมีรศั มเี ท่ากับ r มสี มการคือ (h, k) =  2
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
และรัศมี r = h2 +k2 - C

= A2 +B2 - 4C
2

ระยะทางส้ันทส่ี ุดและยาวที่สุดจากจดุ ไปยังวงกลม

K-Note ระยะทางส้นั ท่ีสดุ PO – OQ
PQ = (a-h)2 +(b -k)2 -r
เราจะทําโจทย์เร่ือง
วงกลมได้ มีหลักการ = PO + OR
คือ ต้องหา ระยะทางยาวทส่ี ดุ (a-h)2 +(b -k)2 +r
1.จุดศนู ย์กลาง และ
2. รศั มี PQ =

=

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 66

1. วงกลม (ต่อ)

เส้นสมั ผสั วงกลม

เส้นสัมผัส (tangent line) คือ เส้นตรงท่ีตัดกราฟเพียงจุดเดียว ซ่ึงจุด
นเ้ี รยี กว่า “จดุ สมั ผัส”

เสน้ สัมผสั ของวงกลม จะต้งั ฉากกับเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางวงกลม
ไปยังจุดสมั ผัสเสมอ กลา่ วงา่ ย ๆ “เส้นสัมผสั วงกลม รัศมขี องวงกลม”

ความยาวของเสน้ สัมผัส

K-Trick ความยาวของเสน้ สัมผัสท่ีลากจุด P(x1, y1) ไป
ยงั วงกลม x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หรือ
(x – h)2 + (y – k)2 = r2

| PQ | = x12 + y12 + Ax1 +By1 + C
= (x1 -h)2 + (y1 -k)2 -r2

(x1, y1)
(h, k)

L
สมการเสน้ สมั ผสั

L : (x1 – h)(x – h) + (y1 – k)(y – k) = r2

EX จากรปู จงหาสมการของเสน้ สัมผสั วงกลม
Sol จากรูป r2 = (3-1)2 +(1-2)2 = 5

K-Trick : สมการเสน้ สัมผสั
(x1 – h)(x – h) + (y1 – k)(y – k) = r2
จะได้

(1 – 3)(x – 3) + (2 – 1)(y – 1) = 5

2-1 1 y –2x = 0
1-3
วธิ ีตรง จากรปู mCT = = - 2

ฉะน้ัน mL = 2 (mCT  mL  mCT mL = -1)

ดงั นนั้ สมการเส้นสมั ผัส y – 2 = 2(x – 1) หรอื y –2x = 0

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 67

2. พาราโบลา บทนิยาม K-Idea : พาราโบลาคือเซตของจดุ บนระนาบซ่ึงมรี ะยะหา่ งจากจดุ คงตวั
เทา่ กับ ระยะหา่ งจากเสน้ ตรงคงที่
K-Word
แกนของพาราโบลา พาราโบลา (parabola) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซ่ึงห่างจากจุด F ที่ตรึง
อยู่กบั ทจี่ ุดหนงึ่ และเสน้ ตรง l ที่ตรงึ อยู่กบั ท่เี ส้นหน่ึงเป็นระยะทางเท่ากัน จุดท่ีตรึงอยู่กับท่ีน้ี
แกนสมมาตร เรียกว่า โฟกัส (Focus) และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับท่ีนี้เรียกว่า เส้นบังคับหรือไดเรกตริกซ์
Axis of symmetry (Directrix) ของพาราโบลา

ลาตสั เรกตมั
Latus rectum

สมการพาราโบลา พาราโบลาควํ่า

พาราโบลาหงาย

กราฟ

c>0 c<0

สมการมาตรฐาน (x – h)2 = 4c(y – k)
จุดยอด (Vertex : V)
(h, k)
จดุ โฟกสั (F)
สมการไดเรกตรกิ ซ์ (h, k + c)
แกนของพาราโบลา
ความยาวลาตสั เรกตมั (LR) y=k–c

x=h

|4c|

พาราโบลาตะแคงขวา พาราโบลาตะแคงซา้ ย

กราฟ

c>0 c<0

สมการมาตรฐาน (y – k)2 = 4c(x – h)
จุดยอด (V) (h, k)
จดุ โฟกสั (F)
(h + c, k)
สมการไดเรกตริกซ์ x=h–c
แกนของพาราโบลา
ความยาวลาตสั เรกตมั (LR) y=k
|4c|

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 68

3. วงรี บทนยิ าม K-Idea : วงรีคือเซตของจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ
ไปยังจดุ คงตัวมีค่าคงตวั
K-Note
พน้ื ท่วี งรี วงรี (Ellipse) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซ่ึง “ผลบวกของ
ระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 กับ F2 ที่ตรึงอยู่กับท่ีมีค่าคงตัว” โดยค่าคง
= πab ตัวน้มี ีค่ามากกวา่ ระยะห่างระหวา่ งจดุ ท่ตี รึงอย่กู ับที่ทงั้ สอง จุดท้ังสองที่ตรึงอยู่กับ
ทีน่ ี้เรยี กวา่ โฟกัส (focus) ของวงรี
K-Word
แกนเอก P และ Q เป็นจุด 2 จุดใดๆ บนวงรีซ่ึงมี F1
Major axis และ F2 เปน็ โฟกัส จะได้วา่
แกนโท PF1 + PF2 = QF1 + QF2 = 2a
Minor axis
(ความยาวของแกนเอก)

สมการวงรี

วงรนี อน วงรตี ั้ง

กราฟ

สมการมาตรฐาน (x - h) 2 + (y -k) 2 = 1 (y -k) 2 + (x -h)2 = 1
a2 b2 a2 b2
จดุ ศนู ย์กลาง (C) (h, k) (h, k)

จดุ ยอด (V) (h – a, k), (h + a, k) (h, k – a), (h, k + a)

จุดโฟกสั (F) (h – c, k), (h + c, k) (h, k – c), (h, k + c)

แกนเอก ขนานกบั แกน X ขนานกับแกน Y

ความยาวแกนเอก (V1V2) V1V2 = 2a, B1B2 = 2b
ความยาวแกนโท (B1B2) c2 = a2 – b2, a > b
ความสัมพนั ธข์ องความยาว

ความเยอ้ื งศนู ยก์ ลาง (e) e = c , รนี อ้ ย 0 < e < 1 รีมาก
a
2b 2
ความยาวลาตสั เรกตมั (LR) a

สมการทั่วไปของวงรี  Ax2 + By2 + cx + Dy + E = 0, AB > 0, A  B
K-Trick C D
(h, k) = (  2A ,  2B )

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 69

4. ไฮเพอรโ์ บลา K-Idea : ไฮเพอรโ์ บลาคือเซตของจดุ บนระนาบซ่ึงผลตา่ งของระยะทาง
จากจุดใด ๆ ไปยงั จดุ คงตวั มีคา่ คงตัว
บทนิยาม

ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) คือ เซตของจุดท้ังหมดในระนาบซึ่ง “ผลต่างของ
ระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ท่ีตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว” โดยค่าคงตัวน้ีมีค่าน้อย
กว่าระยะห่างระหว่างจดุ คงท่ที ่ีตรงึ อยกู่ ับทท่ี ง้ั สอง จดุ F1 และ F2 ดงั กล่าวนเี้ รยี กว่า โฟกัส ของ
ไฮเพอร์โบลา

P และ Q เปน็ จุดใดๆ บนไฮเพอร์โบลาทม่ี โี ฟกัส F1 กับ F2
จะได้วา่ |PF1 – PF2| = |QF1 – QF2| = 2a
ไฮเพอรโ์ บลาประกอบดว้ ยเสน้ โคง้ 2 เสน้ ไมต่ ัดกัน
เรียกแตล่ ะเสน้ วา่ กง่ิ

สมการไฮเพอรโ์ บลา

K-Word ไฮเพอร์โบลานอน ไฮเพอร์โบลาต้ัง

แกนตามขวาง กราฟ
Transverse axis

แกนสังยคุ
Cojugate axis

เส้นกาํ กับ
Asymptote

สมการมาตรฐาน (x - h) 2 - (y -k) 2 = 1 (y -k) 2 - (x -h) 2 = 1
a2 b2 a2 b2
จดุ ศูนย์กลาง (C) (h, k) (h, k)

จดุ ยอด (V) (h – a, k), (h + a, k) (h, k – a), (h, k + a)

จดุ โฟกสั (F) (h – c, k), (h + c, k) (h, k – c), (h, k + c)

แกนตามขวาง ขนานกับแกน X ขนานกบั แกน Y

สมการเสน้ กํากับ y – k =  b (x – h) y – k =  a (x – h)
a b
ความยาวแกนตามขวาง (V1V2)
ความยาวแกนสงั ยุค (B1B2) V1V2 = 2a, B1B2 = 2b
ความสัมพนั ธข์ องความยาว c2 = a2 + b2

ความเยอ้ื งศนู ยก์ ลาง (e) e = c
(Eccentricity) a
2b 2
ความยาวลาตสั เรกตัม (LR) a

K-Trick สมการท่วั ไปของไฮเพอรโ์ บลา  Ax2 + By2 + cx + Dy + E = 0, AB<0
C D
(h, k) = (  2A ,  2B )

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 70

ฟังก์ชนั เอกซโ์ พแนนเชยี ลและลอการทิ ึม
(Exponential and logarithmic function)

K-Concept : Expo & Log

1. เลขยกกาํ ลัง บทนิยาม
สมบตั ิของเลขยกกาํ ลัง
รากที่ n ของจํานวนจรงิ
การแกส้ มการติดกรณฑ์

2. ฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชยี ล บทนิยาม
การแก้สมการ Expo
การแกอ้ สมการ Expo

3. ฟังก์ชันลอการทิ ึม บทนยิ าม

สมบัตขิ องลอการทิ ึม

การแกส้ มการ Log
การแกอ้ สมการ Log
Antilog
สญั กรณ์วทิ ยาศาสตร์

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 71

1. เลขยกกําลัง

บทนิยาม

เมื่อ a เป็นจํานวนจรงิ และ n เป็นจํานวนนับใด ๆ เรียก an ว่าเลขยก
กาํ ลงั โดยมี a เปน็ ฐาน และ n เป็นเลขชี้กําลงั

an = a x a x a x . . . x a (n ตวั )

สมบตั ขิ องเลขยกกําลัง ให้ a, b และ m, n 

ฐาน เลขชก้ี าํ ลัง อ่ืน ๆ
1. aman = am+n 1. (am)n = amn 1. 0n = 0, n ≠ 0
-1, n
2. am = am–n, a≠0 2.  a n = an , b≠0 2. (-1)n = 1, n
an  b  bn

3. (ab)n = anbn 3. a0 = 1 เมือ่ a ≠ 0
1 4. 1n = 1
4. a-n = an

รากท่ี n ของจํานวนจรงิ

K-Note ให้ n เปน็ จํานวนเต็มบวกทม่ี ากกว่า 1 และให้ a, b เปน็ จาํ นวนจรงิ
b เป็นรากที่ n ของ a  bn = a
เครือ่ งหมาย
เรียกวา่ เครอื่ งหมาย เรียก n a ว่าคา่ หลักของรากท่ี n ของ a หรอื กรณฑ์ท่ี n ของ a
กรณฑ์ (Radical sign)
EX รากท่ี 2 ของ 4 เท่ากบั  2
แตก่ รณฑ์ท่ี 2 ของ 4 คือ 4 = 2

สมบตั ขิ องรากที่ n
1. ( n a )n = a, n a 
2. n ab = n a n b  a, a  0

n 6. n an =  a, a < 0 และ n เปน็ คบี่ วก
n
3. n a = a , b≠0  | a |, a < 0และ n เปน็ คบู่ วก
b b 

4. n m a = mn a

5. n am = ( n a)m

เลขยกกําลงั ท่มี เี ลขชี้กําลังเป็นจํานวนตรรกยะ m
n
ให้ a , a1/n   m, n I  โดยท่ี n>1 และ เป็นเศษสว่ น

อย่างตา่ํ (ห.ร.ม ของ m และ n เทา่ กบั 1)

am/n = (a1/n)m = (am)1/n = ( n a )m = n am

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 72

1. เลขยกกําลัง (ต่อ)

การแก้สมการติดกรณฑ์

K-Idea
1. จดั รูป  สมดลุ x, มองเป็นก้อน
2. ยกกาํ ลังสอง
3. ตรวจคาํ ตอบทกุ คร้ัง

EX จงหาคา่ x จาก 2x2 +6x +1 = x2 +3x -1
Sol ให้ k = x2 + 3x – 1  2k = 2x2 + 6x – 2

 2k +3 = 2x2 + 6x + 1
ฉะน้ัน 2k +3 =k  2k + 3 = k2

 k2 – 2k – 3 = 0
 (k – 3)(k + 1) = 0
 k = 3, –1
ดังน้ัน k = x2 + 3x – 1 = 3  x2 + 3x – 4 = 0

 (x + 4)(x – 1) = 0
 x = -4, 1

K-Trick

 a0 =1, a  0  = 0;  0

=1   1n =1,  =1

 (-1)even ,  = -1, = even


EX จงหาคา่ x จากสมการ x(1 – x) = 1
Sol 1) 1 – x = 0, x  0  x = 1

2) x = 1
3) x = -1, 1 – x เปน็ จาํ นวนคู่

a+b+2ab =| a + b | a+b 2ab =| a  b |

EX 5+2 6 = 2+3+2 2 3 =| 2 + 3 |= 2 + 3
7 2 10 = 5+2 2 5 2 =| 5  2 |= 5  2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 73

2. ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพแนนเชยี ล

บทนิยาม ฟังกช์ นั เอกซ์โพแนนเชียล : Exponential function

y = ax, a > 0, a ≠ 1
Df = , Rf = 

a>1 f เป็นฟังก์ชนั เพ่ิม 0<a<1  f เปน็ ฟงั กช์ ันลด

สมบัตขิ องฟงั ก์ชันเอกซ์โพแนนเชียล

1. ฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชยี ลเป็นฟงั ก์ชนั 1-1 จาก ไปทวั่ ถงึ   ax>0
2. กราฟจะตอ้ งผ่านจดุ (0, 1) เสมอ ทง้ั นเี้ พราะ a0 = 1
3. กราฟไม่ตดั แกน X และไม่มคี ่าสงู สุดและค่าตาํ่ สุด

การแกส้ มการ Expo

รปู แบบ วิธีการแก้โจทย์
1. ax = ay, a ≠ 0, ±1 x=y
2. ax = bx, |a| ≠ |b|, a, b ≠ 0, ±1 x=0
3. ax2 + bx + c = 0, a, b, c∈
ใช้วิธกี ารสมมตติ วั แปร และแยกตวั ประกอบ

4. สมการมี 3 พจน์ขน้ึ ไป ใชว้ ธิ ีการสมมตติ ัวแปร จดั รปู และดงึ ตัวรว่ ม

5. ax = by (ฐานไม่เทา่ เลขช้ีไม่เทา่ ) ตอ้ ง take log จดั รูปหรอื วาดกราฟชว่ ย

K-Remark
1. ax > 0 เสมอ ถ้า ax เปน็ 0 หรอื ตดิ ลบ ใช้ไม่ได้ ให้ตัดทิ้ง

2. คาํ ตอบที่ได้จากการแกส้ มการไมต่ อ้ งนํามาตรวจสอบคําตอบ ยกเวน้ กรณมี ี

การยกกําลังคู่เกดิ ขึ้นในกระบวนการแก้ต้องตรวจสอบคําตอบ

EX การแก้สมการ Expo

EX จงหาค่า x จากสมการ 22x + 2 – 9(2x) + 2 = 0

Sol ใชว้ ธิ ีการสมมติตวั แปร จัดรปู และแยกตวั ประกอบ
จาก 22x + 2 – 9(2x) + 2 = 0  4(2x)2– 9(2x) + 2 = 0
ให้ k = 2x  4k2– 9k + 2 = 0

 (4k – 1)(k – 2) = 0
1
 k = 4 , 2

ดังนน้ั 2x = k = 1  2x = k = 2
4
x = -2  x = 1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 74

2. ฟังก์ชันเอกซโ์ พแนนเชียล (ตอ่ )

การแก้อสมการ Expo

รปู แบบ วธิ กี ารแกโ้ จทย์

1. ถา้ 0<a<1 แสดงวา่ เปน็ ฟังก์ชนั ลด เวลาตดั ฐานออก อสมการกลบั ข้าง

1.1 ax1 > ax2 x1 < x2

1.2 ax1  ax2 x1  x2

2. ถ้า a >1 แสดงวา่ เปน็ ฟังกช์ นั เพ่มิ เวลาตัดฐานออก อสมการคงเดิม

2.1 ax1 > ax2 x1 > x2

2.2 ax1  ax2 x1  x2

3. ถ้าฐานไมเ่ ท่ากนั แต่เลขช้ีกาํ ลังเทา่ กนั ใชข้ อ้ 1. หรือขอ้ 2.
a a a
ax >bx  ( b ) x > 1  ( b )x > ( b )0

4. ax > by (ฐานไม่เท่า เลขช้ีไม่เทา่ ) ตอ้ ง take log จดั รปู หรอื วาดกราฟช่วย

K-Remark

คําตอบทไ่ี ด้จากการแก้อสมการไม่ต้องนํามาตรวจสอบคําตอบ ยกเวน้

กรณีมกี ารยกกาํ ลงั คู่เกิดข้ึนในกระบวนการแก้ต้องตรวจสอบคําตอบ

EX การแก้อสมการ Expo

EX จงหาคา่ x จากอสมการ ( 1 )x2 -6x+12  9x-12
3
Sol จดั ฐานให้เทา่ กนั แล้วจดั รปู และแยกตัวประกอบ

จาก ( 1 )x2 -6x+12  9x-12  3-(x2-6x+12)  32(x-12)
3
 -(x2 6x +12)  2(x 12)
เนื่องจากฐาน 3 > 1  x2 6x +12  -2x +24

 x2 4x -12  0
 (x – 6)(x + 2)  0

+– +
 x[--22, 6] 6

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 75

3. ฟังก์ชนั ลอการิทึม

บทนยิ าม ฟังกช์ ันลอการิทมึ : Logarithmic function
Expo f-1 Log
y = ax, a>0, a≠1
Df = , Rf = 



x = ay, a>0, a≠1



y = logax , a>0, a≠1

Df =  , Rf = a>1 f เปน็ ฟังกช์ นั เพิ่ม 0<a<1  f เปน็ ฟงั กช์ ันลด

สมบตั ขิ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พแนนเชียล

1. ฟงั ก์ชนั ลอการิทึมเปน็ ฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปทว่ั ถงึ 

2. กราฟของฟังก์ชันลอการทิ ึมผา่ นจุด (1, 0) เสมอ

3. กราฟของฟังก์ชันลอการิทมึ ไม่ตัดแกน Y และไมม่ คี ่าสูงสุดและคา่ ต่ําสุด

สมบตั ิของลอการทิ ึม ให้ a, b, c, x, y  โดยท่ี a, b ≠ 1 และ k, m

1. loga1 = 0 6. logak xm = mk logax

2. logaa = 1 9. logab = logcb = 1
logba
logca

3. logaxy = logax + logay 10. ylogax = xlogay
x
4. loga y = logax – logay 11. logba logac = logbc

5. alogax = x 12. ถา้ logblogax = k จะไดว้ ่า x = abk
K-Know

1. log 2 ≈ 0.3010 4. log 7 ≈ 0.8451

2. log 3 ≈ 0.4771 5. log10x = log x
3. log 5 = 1 – log 2 6. e ≈ 2.718281

ลอการทิ ึมของเนเปียร์หรือลอการทิ มึ ธรรมชาติ (Napierian

logarithm or natural logarithm) ซง่ึ เขยี นแทนด้วย ln

ln N = logeN

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 76

3. ฟังก์ชันลอการทิ ึม (ต่อ)

การแกส้ มการ Log

1. จัดสมการใหอ้ ยู่ในรปู loga x = loga y แล้วปลด log จะได้ x = y

2. จัดสมการใหอ้ ย่ใู นรปู loga x = logb x จะไดว้ า่ x = 1
3. จัดสมการใหอ้ ยู่ในรปู loga y= x จะได้วา่ y = ax

K-Remark

หลังจากแก้สมการ Log แล้วต้องตรวจสอบคําตอบของสมการทุกคร้ังว่า

สอดคลอ้ งกบั ข้อจํากดั ดงั กล่าวหรือไม่

1. หลัง log ตอ้ งมากกว่า 0

2. ฐาน log ตอ้ งมากกว่า 0 และไมเ่ ทา่ กับ 1

EX จงหาคา่ x จากสมการ log3(x + 1) + log3(x – 1) = 1
Sol จัดรปู สมการ

จาก log3(x + 1) + log3(x – 1) = 1  log3(x + 1)(x – 1) = 1
 (x + 1)(x – 1) = 31
x+1>0  x–1>0  x2 – 1 = 3
x > -1  x > 1  x2 = 4
x>1  x=2

การแกอ้ สมการ Log

1.ถา้ 0<a<1 แสดงวา่ เป็นฟังก์ชันลด ดงั นนั้ เวลาตดั ฐานออก อสมการกลบั ขา้ ง

loga x > loga y  x<y
loga x  loga y  xy

2.ถา้ a>1 แสดงว่าเป็นฟงั กช์ นั เพมิ่ ดงั นนั้ เวลาตดั ฐานออก อสมการคงเดมิ

loga x > loga y  x>y
loga x  loga y  xy

K-Remark

หลังจากแก้อสมการ Log แล้วต้องตรวจสอบคําตอบของอสมการทุกคร้ังว่า

สอดคลอ้ งกับขอ้ จาํ กดั ดงั กลา่ วหรอื ไม่

1. หลงั log ต้องมากกวา่ 0

2. ฐาน log ตอ้ งมากกวา่ 0 และไม่เทา่ กบั 1

EX จงหาค่า x จากสมการ log2x > log3x
log x log x
Sol จาก log2x > log3x  log 2 > log 3

 log x  1 2  1 3  >0
 log log 
 

 log x > 0

 x>1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 77
3. ฟงั ก์ชนั ลอการทิ ึม (ต่อ)

Antilogarithm

log x = y  x = antilog y

EX เนอ่ื งจาก log 31.6 = 1.4997

จะได้ว่า 31.6 = antilog 1.4997

จะเห็นว่า ถ้าโจทย์ให้มาว่า antilog ของ 1.4997 มีค่าเท่าใด จะ

หมายความวา่ ตวั เลขอะไรท่ีให้ค่า log เท่ากับ 1.4997 ซึ่งวิธีการหาตัวเลขน้ันก็

อาศัยวิธกี ารกลบั กับการหา log น่นั คือ log x = y ↔ x = anti log y

สัญกรณว์ ทิ ยาศาสตร์

สญั กรณ์วิทยาศาสตร์ N = A × 10n โดยท่ี 1 ≤ A < 10, n I
log N = log A + log 10n
จะไดว้ า่

ดงั นั้น log N = log A + n, 1 ≤ A < 10

เรยี ก log A ว่า แมนทสิ ซา (Mantissa) ของ log N

เรียก n วา่ แคแรกเทอรสิ ติก (Characteristic) ของ log N

K-Remark
1. เนอื่ งจากมี A และ n เพยี งคู่เดยี ว ซง่ึ N = A × 10n, 1 ≤ A < 10

ดงั นั้นแมนทิสซาและแคแรกเทอรสิ ตกิ ของ logN มเี พียงอย่างละ 1 จํานวน

2. แคแรกเทอรสิ ติกของ log N เป็นจํานวนเตม็

3. แมนทสิ ซาของ log N จะน้อยกวา่ 1 และไม่เปน็ จํานวนจรงิ ลบ เพราะ

เนือ่ งจาก y = log x เปน็ ฟังก์ชนั เพ่ิม (เพราะฐานมากกว่า 1)

ดังนน้ั จาก 1 ≤ A < 10 จะได้ log 1 ≤ log A < log 10

0 ≤ log A < 1

เพราะฉะนน้ั แมนทสิ ซาของ log N น้อยกวา่ 1 และไมเ่ ปน็ จํานวนจรงิ ลบ

(แมนทิสซาของlog N อาจเป็น 0)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 78

ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
(Trigonometry)

K-Concept : ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

1. ความรู้เบ้ืองต้น วงกลมหน่งึ หน่วย
2. ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ
มุมและการวดั มุม
บทนิยาม

เอกลกั ษณ์ตรโี กณมิติ
คา่ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การแปลงมุมของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ
ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติกบั รูป มมุ ฉาก
โค-ฟังก์ชนั (Co-function)

3. กราฟของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ

4. สูตรของฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ ผลบวกและผลต่างของมุม

มมุ สองเทา่ สามเท่า
ผลคณู ผลบวกและผลต่างของ sin, cos

5. การแก้สมการ อสมการของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

6. ตวั ผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ บทนยิ าม

ความสมั พันธ์ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ
กบั ตวั ผกผัน
สมบตั ขิ องตัวผกผัน

7. การแกส้ มการของตัวผกผันของฟังกช์ ันตรีโกณมิติ

8. ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติกบั เรขาคณิต

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 79
1. ความรูเ้ บ้ืองต้น
วงกลมหน่ึงหนว่ ย (The unit circle)

วงกลมหนึง่ หน่วย วงกลมที่มีจุดศนู ย์กลางทจ่ี ุด (0, 0) รศั มยี าว 1 หนว่ ย

มมุ และการวดั มุม

K-Note การวดั วัดจากแกน X โดย “มมุ ทวนเขม็ นาฬิกา มมุ เปน็ บวก” และ

วัดมมุ ทวนเขม็ นาฬกิ า “วัดมมุ ตามเข็มนาฬิกา มุมเปน็ ลบ”
= 360๐ (องศา : Degree)
 >0 มุม มมุ ท่ีจุดศูนยก์ ลาง = 90๐
1 มุมฉาก
วัดมุมตามเข็มนาฬกิ า
เรเดยี น
 <0

ความสมั พนั ธ์ระหว่างมุม (องศา) กบั มมุ (เรเดียน : Radian)
180๐ =  เรเดียน
K-Note 360๐ = 2  เรเดียน

 เรเดียน = 30๐ การแปลงมุม เรเดยี น องศา

6 คณู มมุ เรเดยี น ดว้ ย 180

 เรเดียน = 45๐ 

4 การแปลงมมุ องศา เรเดียน

 เรเดยี น = 60๐ คณู มมุ องศา ดว้ ย 

3 180

EX จงเปลี่ยนหน่วยของมุมต่อไปนีใ้ หเ้ ปน็ หน่วยองศาหรือเรเดียน

Sol 1) 5 เรเดยี น จาก  เรเดียน = 180 องศา
6
5 5 180
6 เรเดียน = 6 x = 150๐


2) 270 องศา จาก 180 องศา =  เรเดียน

270 องศา = 270x  = 3 เรเดยี น
2
180

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 80

2. ฟังก์ชันตรโี กณมิติ

บทนิยาม

โคไซน์ : Cosine

cos = x

Dcos = , Rf = [-1, 1]

ไซน์ : Sine

sin = y

Dsin = , Rf = [-1, 1]

tan = sin cot = cos
cos sin
1 1
csc = cosec = sin sec = cos

K-Note 1. -1  cos( )  1 -1  sin( )  1
2. จาก x2 + y2 = 1 cos 2 + sin2 = 1

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

sin 2 + cos2 = 1
tan 2 + 1 = sec2 1 + cot2 = cosec2
sec 2 – tan2 = 1 cosec 2 – cot2 = 1

คา่ ของฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

ชว่ ยจํา
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 81

2. ฟังก์ชันตรโี กณมิติ (ต่อ)

การแปลงมุมของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

1) มุมตดิ ลบ ฟังก์ชนั จะอยรู่ ปู f(- )=  f( ) ดูที่ Qn

sin(- ) = -sin( ) csc(- ) = -csc( )

cos(- ) = cos( ) sec(- ) = sec( )

tan(- ) = -tan( ) cot(- ) = -cot( )

2) เมอ่ื ยึดแกน X เปน็ หลัก/แกนราบ ฟงั กช์ นั จะอยู่รปู f(n    )=  f( ) ดูที่ Qn
เมื่อเปลีย่ นฟังกช์ นั ใด จะได้ฟงั กช์ นั น้นั แล้วให้คดิ เครอื่ งหมายตามฟงั กช์ ันเดมิ

sin(    ) = sin( ) csc(    ) = csc( )

cos(    ) = -cos( ) sec(    ) = -sec( )

tan(    ) = -tan( ) cot(    ) = -cot( )
n
3) เม่อื ยดึ แกน Y เป็นหลัก/แกนดิง่ ฟงั ก์ชันจะอย่รู ปู f( 2   )=  Co-f(  ) ดทู ่ี Qn

เม่อื เปล่ียนฟงั กช์ นั ใด จะได้โค-ฟงั กช์ นั ของฟังกช์ ันน้นั แล้วให้คดิ เคร่อื งหมาย

ตามฟังก์ชันเดิม

sin(    ) = cos( ) csc(    ) = sec( )

2 2

cos(    ) = -sin( ) sec(    ) = -csc( )

2 2

tan(    ) = -cot( ) cot(    ) = -tan( )

2 2

ช่วยจาํ EX จงหาคา่ ของ tan( -15 )sin( 31 )cot( 19 )csc( 57 )
4 6 4 2

จากโจทย์ = -tan(4    )sin(5    )cot(5    )csc(28    )

4 6 4 2

= -tan(-  )[-sin(  )][-cot(  )]csc(  )

4 6 4 2

= tan(  )sin(  )cot(  )csc(  )

14 6 1 4 2
2 2
= (1)( )(1)(1 =

ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติกบั รูป มมุ ฉาก

K-Note ba sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/b
c cos(A) = ชดิ /ฉาก = c/b
ในรปู มุมฉากโดย tan(A) = ข้าม/ชิด = a/c
ท.บ.พที าโกรัส จะได้ csc(A) = ฉาก/ข้าม = b/a
sec(A) = ฉาก/ชิด = b/c
b2 = a2 + c2 cot(A) = ชดิ /ข้าม = c/a

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 82
2. ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ (ต่อ)

โค-ฟังก์ชนั (Co-function)

sine(A) = cosine(B) = 90๐ 

tan(A) = cotan(B) A + B = 2
sec(A) = cosec(B)
sin(A) = cos(90๐ – A)
tan(A) = cot(90๐ – A)
sec(A) = cosec(90๐ – A)

EX sin(57๐) = cos(33๐)
cot(4๐) = tan(86๐)
sec(11๐) = cosec(79๐)

3. กราฟของฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ K-Note : ฟังก์ชันตรโี กณมิตทิ ุกฟงั กช์ ันเปน็ ฟังกช์ ันคาบ (Period Function)
เรียกชว่ งยอ่ ยทีส่ ัน้ ท่สี ดุ ทีก่ ราฟเหมอื นกนั ว่า คาบ (Period) สาํ หรบั ฟังกช์ นั ทเี่ ปน็
คาบซ่ึงมีค่าตํ่าสดุ และสงู สดุ จะเรยี กคา่ ทีเ่ ปน็ ครง่ึ หน่งึ ของค่าสูงสดุ ลบด้วยค่าตํา่ สดุ
ของฟังก์ชันวา่ แอมปลจิ ูด (Amplitude)

1. y = sin(x) 4. y = cosec(x)
Df = Df = {x | x n,nI }
Rf = [-1, 1] Rf = (-  ,-1]  [1,  )
คาบ = 2 คาบ = 2
แอมพลิจดู = 1 แอมพลิจูด = ไมม่ ี

2. y = cos(x) 5. y = sec(x)
Df =
Rf = [-1, 1] Df={x|x  n  , nI }
คาบ = 2 2
แอมพลิจูด = 1 Rf = (-  ,-1]  [1,  )
คาบ = 2

แอมพลิจดู = ไมม่ ี

3. y = tan(x) 6. y = cot(x)
Df = {x | x n,nI }
Df={x|x n  , nI } Rf =
2 คาบ = 
Rf = แอมพลจิ ดู = ไมม่ ี
คาบ = 

แอมพลิจูด = ไม่มี

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 83

4. สูตรของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

ผลบวกและผลต่างของมุม

 sin(A  B) = sinAcosB  cosAsinB

 cos(A  B) = cosAcosB sinAsinB
tanA  tanB
 tan(A  B) = 1 tanAtanAB

 cot(A  B) = cotAcotB 1
cotB  cotA
K-Trick คา่ สูงสดุ และคา่ ตํ่าสุดของ asin + bcos คอื  a2 +b2
การแก้สมการรูปแบบ
EX Max = a2 +b2
asin + bcos =c Sol Min =  a2 +b2

ให้นาํ a2 +b2 หาร จงหาค่าของ sin75๐
sin75๐ = sin(30๐ + 45๐) = sin30๐cos45๐ + cos30๐sin45๐
ตลอด จากนั้นเปลีย่ นคา่
ใหอ้ ย่ใู นรูป sin หรอื cos 1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
แล้วใช้ผลบวกและผลต่าง = ( )( )+( )( ) =
ของมุม

EX จงหาคา่ สงู สดุ และค่าตา่ํ สุดของ 4sin x – 3cos x

Sol Max = 42 + (-3)2 = 25 = 5

Min =  42 + (-3)2 =  25 = 5

มุมสองเท่า สามเท่า

มมุ สองเทา่ มุมสามเทา่
 sin3A = 3sinA – 4sin3A
sin2A = 2sinAcosA  cos3A = -3cosA + 4cos3A
2tanA
= 1+ tan2A  tan 3tanA  tan3A
1 3tan2A
K-Note cos2A = cos2A – sin2A 3A =

= 2cos2A – 1 มมุ ครง่ึ เท่า
= 1 – 2sin2A
1 tan2A  sin A =  1 cosA
= 1+ tan2A 2 2
A 1 + cosA
 tan2A = 2tanA  cos 2 = 2
1 tan2A
cot2A 1  tan A = 1 cosA
 cot2A = 2cotA 2 1 + cosA
sinA 1  cosA
= 1 + cosA = sinA

K-Remark : เลือกเครื่องหมาย (บวก/
A
ลบ) ตามจตุภาคของมุม 2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 84

4. สูตรของฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ (ตอ่ )

ผลคณู ผลบวกและผลต่างของ sin, cos

ผลบวก ผลตา่ ง  ผลคณู ผลบวก ผลตา่ ง  ผลคณู
A + B A B
sin(A+B) + sin(A–B) = 2sinAcosB sin(A) + sin(B) = 2sin 2 cos 

A + B A 2 B
2
sin(A+B) – sin(A–B) = 2cosAsinB sin(A) – sin(B) = 2cos sin 

A + B 2 B
2 A
cos(A+B) + cos(A–B) = 2cosAcosB cos(A) + cos(B) = 2cos cos 

cos(A+B) – cos(A–B) = -2sinAsinB A + B A 2 B
2
cos(A) – cos(B) = -2sin sin 

2
3 1
Long sin20๐sin40๐sin80๐ = 8 cos20๐cos40๐cos80๐ = 8
Tam
Do 1. sin2A + sin4A + sin6A = ? (Ans : )

2. cos2A + cos4A + cos6A = ? (Ans : -0.5)

EX จงหาค่าของ 4sin 5 sin 
8
5 8 5 5  5 
8 8 8 8
Sol 4sin sin  = -2(-2sin sin  ) = -2(cos  – cos  )

8 3 8
4
= -2(cos – cos  ) = -2(-cos  ) = 2

2 4
EX จงหาค่าของ cos20๐ + cos100๐ + cos140๐
Sol cos20๐ + cos100๐ + cos140๐ = [cos140๐ + cos100๐] + cos20๐
= [2cos120๐cos20๐] + cos20๐
= cos20๐[2cos120๐ + 1]
1
= cos20๐[2(- 2 ) + 1]

=0

5. การแก้สมการ อสมการของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ

1. ใช้เอกลกั ษณ์ สตู รตา่ ง ๆ เพือ่ จัดรปู แลว้ แยกตวั ประกอบ
2. ตรวจคําตอบเสมอ!!!  1. -1  cos(x)  1 , -1  sin(x)  1

2. tan(x) หาค่าไมไ่ ด้เม่ือ x เป็นมุมแกนด่งิ
3. cot(x) หาคา่ ไมไ่ ด้เม่ือ x เป็นมุมแกนราบ
4. การยกกําลังสองอาจทําให้ได้คาํ ตอบเกนิ มา
3. รูปแบบคําตอบ  1. ถา้ โจทย์กาํ หนด เอกภพสัมพัทธ์ ตอ้ งตอบในรูปเซตจาํ กัด
2. ถา้ โจทย์ไม่กาํ หนด เอกภพสมั พทั ธ์ ต้องตอบในรปู ท่วั ไป

โดยใหห้ าคาํ ตอบในชว่ ง [0,2 ] แลว้ บวกดว้ ย 2n /360๐n

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 85
5. การแกส้ มการ อสมการของฟังกช์ ันตรีโกณมิติ (ตอ่ )

EX จงหาเซตคําตอบของสมการ 2cos2x + 3sinx – 3 = 0 ในชว่ ง [0,2 ]
Sol 2cos2x + 3sinx – 3 = 0  2[1 – sin2x] + 3sinx – 3 = 0
 2sin2x – 3sinx + 1 = 0

 (2sinx – 1)(sinx – 1) = 0
1
 sinx = 2 ,1

 x=  5 
6, 6 ,2

6. ตัวผกผนั ของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ K-Trick : sin-1(x) อ่านวา่ มุมที่ทําให้ sin มคี ่าเปน็ x
cos-1(x) อ่านว่า มุมทท่ี ําให้ cos มีคา่ เป็น x

บทนยิ าม

K-Note ฟงั ก์ชัน ฟงั ก์ชนั ผกผนั โดเมน เรนจ์
1. y = sin(x) y = arcsin(x) = sin-1(x) [-1, 1]
arc คือ 2. y = cos(x) y = arccos(x) = cos-1(x) [-1, 1] [-  ,  ]
ฟงั ก์ชนั 3. y = tan(x) y = arctan(x) = tan-1(x)
ที่บอกค่ามุม – (-1, 1) 2 2
– (-1, 1) [0,  ]

(-  ,  )

2 2

4. y = cosec(x) y = arccsc(x) = csc-1(x) [-  ,  ] – {0}

2 2

5. y = sec(x) y = arcsec(x) = sec-1(x) [0, ] – {  }
6. y = cot(x) y = arccot(x) = cot-1(x)
(0,  ) 2

ความสมั พนั ธ์ของฟงั ก์ชันตรโี กณมิติกบั ตวั ผกผัน

sin(sin-1x) = x, x[-1, 1] sin-1(sinx) = x, x[-  ,  ]
cos(cos-1x) = x, x[-1, 1]
tan(tan-1x) = x, x 2 2
cos-1(cosx) = x, x[0,  ]
csc(csc-1x) = x, x – (-1, 1)
tan-1(tanx) = x, x(-  ,  )
sec(sec-1x) = x, x – (-1, 1)
cot(cot-1x) = x, x 2 2

csc-1(cscx) = x, x[-  ,  ] – {0}

2 2

sec-1(secx) = x, x[0, ] – {  }

cot-1(cotx) = x, x(0,  ) 2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 86
6. ตัวผกผนั ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ (ต่อ)

สมบตั ขิ องตัวผกผัน

สมบัติคู่ co-function

 sin-1(x) + cos-1(x) = 

2

 tan-1(x) + cot-1(x) = 

2

 sec-1(x) + csc-1(x) = 

สมบัตมิ มุ ลบ 2

 sin-1(-x) = -sin-1(x)  cos-1(-x) =  –cos-1(x)
 tan-1(-x) = -tan-1(x)  cot-1(-x) =  –cot-1(x)
 csc-1(-x) = -csc-1(x)  sec-1(-x) =  –sec-1(x)
1
สมบตั สิ ่วนกลับ 1  tan-1(x) = cot-1( x ), x > 0
x
 sin-1(x) = csc-1( )  tan-1(x) = –  +cot-1( 1 ), x < 0
x
 cos-1(x) = sec-1( 1 ) 1
x  cot-1(x) = tan-1( x ), x > 0

 cot-1(x) =  +tan-1( 1 ), x < 0
x
สมบัตยิ ุบ tan-1
x+y
 tan-1(x) + tan-1(y) = tan-1 1 xy , xy < 1

 tan-1(x) + tan-1(y) =  +tan-1 x+y , xy > 1, x > 0, y > 0
1 xy
x+y
 tan-1(x) + tan-1(y) = –  +tan-1 1 xy , xy > 1, x < 0, y < 0

7. การแก้สมการของตัวผกผันของฟังกช์ ันตรีโกณมิติ

1. ใช้หลักการเปลีย่ น arc โดยวาดรปู สามเหลย่ี มมุมฉากหรือใชส้ มบตั ติ า่ ง ๆ เพ่อื จดั รปู สมการ

2. take ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ เพื่อกาํ จดั arc โดยอาศัยหลักการ
 (arc x) = x, (x เป็นคา่ ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ)
 arc ( x) = x, (x เปน็ คา่ ของมุมในหน่วยเรเดียน x )

3. ตรวจคําตอบเสมอ!!!

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 87
7. การแกส้ มการของตัวผกผันของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ (ต่อ)

EX จงหาเซตคําตอบของ arccos(x) – arcsin(1 – x) = arcsin(x)

Sol ให้ arccos(x) – arcsin(x) = arcsin(1 – x) (1)

จาก arccos(x) + arcsin(x) =  (2)

2

(1)+(2); 2arccos(x) = arcsin(1 – x) + 

2

Take cos; cos[2arccos(x)] = cos[arcsin(1 – x) +  ]

2cos2[arccos(x)] – 1 = -sin[arcsin(1 – x)] 2

2x2 – 1 = -(1 – x)
2x2 – x = 0

x(2x – 1) = 0 1
2
x = 0,

ตรวจคาํ ตอบเสมอ!!! พบวา่ เปน็ จริงทงั้ คู่

8. ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติกบั เรขาคณิต

การประยุกตส์ ามเหลีย่ ม

กฎของไซน์ (Sine’s Law) b c
a sin sin
sin A = B = C

ใช้เมื่อ โจทยก์ ําหนด ความยาว 2 ด้าน และมุม 1 มุม

(จํา : สองด้านใจดี มีอกี มุม)

หรือ มมุ 2 มมุ และด้าน 1 ด้าน

(จํา : สองมุมใจดี มีอีกดา้ น)

กฎของโคโซน์ (Cosine’s Law)
a2 = b2 +c2  2bccos A

b2 = a2 +c2  2accos B

c2 = a2 +b2  2abcos C
ใช้เมือ่ โจทย์กําหนด ความยาว 2 ดา้ น และมมุ 1 มุม หรอื ความยาวทัง้ 3 ด้าน
1 1 1
พนื้ ท่ีรูปสามเหล่ียม  = 2 ab sin C= 2 bc sin A = 2 ac sin B

= s(s a)(s b)(s c) เม่ือ s = a+b+c
2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 88

เวกเตอร์ในสามมิติ
(Vector in 3D)

K-Concept : เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ

1. ความรู้เบ้ืองตน้ บทนยิ าม
2. การบวกลบเวกเตอร์
เวกเตอร์ทเี่ ทา่ กนั
เวกเตอร์ทีข่ นานกัน
นเิ สธของเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์
การลบเวกเตอร์
สมบัตกิ ารบวกเวกเตอร์

3. การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ บทนยิ าม

สมบัตกิ ารคณู เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ทฤษฎีบททสี่ าํ คัญ

4. เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก 2D 3D

5. ผลคณู เชิงสเกลาร์ บทนิยาม
6. ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ สมบัตผิ ลคูณเชิงสเกลาร์
โคไซน์แสดงทศิ ทาง
เวกเตอร์ภาพฉาย

บทนิยาม
สมบัตผิ ลคูณเชงิ เวกเตอร์
การหาพืน้ ท่ีและปริมาตร

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 89

1. ความรเู้ บื้องต้น

บทนยิ าม

ปริมาณในโลกน้ี ถกู แบง่ เปน็ 2 ชนิด ดงั นี้

1. ปรมิ าณสเกลาร์ (Scalar quantity) คือปริมาณท่ีบอกขนาดเพียงอย่างเดียว

ก็สามารถเขา้ ใจความหมายไดอ้ ยา่ งสมบรู ณ์ เชน่ มวล ปริมาตร อุณหภมู ิ และเวลา

2. ปรมิ าณเวกเตอร์ (Vector quantity) คือปริมาณท่ีมีท้ังขนาดและทิศทางจึง

จะสามารถเข้าใจความหมายได้อยา่ งสมบูรณ์ เช่น ความเรว็ ความเร่ง แรง และโมเมนตัม

เวกเตอร์ (Vector) A คอื จดุ เรม่ิ ตน้ (Initial Point)

B B คือ จดุ ส้นิ สุด (Terminal Point)
| AB| คือขนาดของเวกเตอร์ AB
u หรือความยาว AB
A
อาจแทน AB = u

เวกเตอร์ท่เี ทา่ กัน

K-Note u=v เวกเตอร์ท่ีมีขนาดเท่ากัน และทิศทางเดยี วกัน

ทศิ ทางเดียวกัน หมายถงึ uv
ขนานกนั อย่ใู นแนวเดียวกัน

ลกู ศรชีไ้ ปทางเดียวกัน

เวกเตอร์ท่ขี นานกัน

K-Note u // v // w เวกเตอร์ทมี่ ีทิศทางเดียวกนั หรือทศิ ทางตรงข้ามกนั

ทศิ ทางตรงขา้ มกัน หมายถงึ uv w
ขนานกนั อยู่ในแนวเดยี วกนั

ลูกศรชี้ไปทางตรงข้าม

ลองทําดู นเิ สธของเวกเตอร์ เวกเตอรท์ ่ีมขี นาดเทา่ กับ | u | และมีทศิ ทางตรงขา้ มกัน
นเิ สธของ u
B u -u K-Note
C AB = -BA
E
BC =
A D

AB = -BE = -AE =

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 90

2. การบวกลบเวกเตอร์ หางตอ่ หาง

การบวกเวกเตอร์ A AB
B
K-Note เวกเตอร์ หางต่อหัว

AB + BC = AC AB A
C

AB A B
B
B
A AB

K-Trick หางต่อหัว สร้างเสน้ ปดิ หางต่อหาง สรา้ ง ดา้ นขนาน

ทิศลัพธอ์ ย่ทู ห่ี วั เวกเตอรล์ พั ธ์ทแยงมมุ ผา่ กลาง

การลบเวกเตอร์ ปลาย – ตน้
เวกเตอร์

A A AB

B B

A B = A (-B) A BA

A AB B
หางต่อหาง สรา้ งเส้นปดิ ทศิ ลพั ธอ์ ยทู่ ีต่ วั ตัง้
-B

สมบตั ิการบวกเวกเตอร์

K-Note ให้ u , v , w เปน็ เวกเตอร์ใด ๆ บนระนาบ

เวกเตอรศ์ ูนย์ (Zero 1. สมบตั ิปิดการบวก u + v เป็นเวกเตอร์

vector) : 0 คือ 2. สมบัติการสลับที่การบวก u+v=v+u

เวกเตอร์ทมี่ ขี นาดเท่ากบั 3. สมบัตกิ ารเปลีย่ นกลมุ่ การบวก u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
ศนู ย์ เช่น
4. สมบัติการมเี อกลกั ษณก์ ารบวก u + 0 = u = 0 + u
AA,BB, CC
AB + BC + CA = 0 5. สมบัติการมตี วั ผกผันการบวก u + (-u) = 0 = (-u) + u

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 91

3. การคณู เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

บทนิยาม

K-Note กาํ หนดให้ k และ u เปน็ เวกเตอร์
ผลคณู ระหว่าง k และ u เป็นเวกเตอรเ์ ขยี นแทนดว้ ย k u
k u ยงั คงเปน็ เวกเตอร์
ถา้ k > 0 แล้ว k u จะมขี นาดเทา่ กับ |k|| u | และมีทิศทางเดยี วกับ u
| k u | = |k|| u | = k| u |

u ku

ถา้ k < 0 แล้ว k u จะมขี นาดเท่ากับ |k|| u | และมีทิศทางตรงขา้ มกับ u
| k u | = |k|| u | = -k| u |

u ku

สมบัตกิ ารคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ u , v , w เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ บนระนาบ และ k, m

1. (k + m) u = k u + m u 6. w = mu +kv
2. k( u + v ) = k u + k v m+k

3. (km) u = k(m u )
4. 1 u = u , -1 u = - u
0u = u0= 0 uv

w

5. k u = 0 k = 0 u = 0 km

ทฤษฎบี ททีส่ ําคญั

ให้ u 0, v 0 และ k, m k 0, u = kv
1. u // v a = 0, b = 0
2. u // v , k u + m v = 0

EX ให้ u 0, v 0 และ u // v ถา้ x u +(3x–1) v = (2y+1) u –6y v

จงหา x +y

Sol จัดรูปได้ (x – 2y – 1) u + (3x – 1 + 6y) v = 0

จะได้ x – 2y – 1 = 0 และ 3x – 1 + 6y = 0
2 1
แกส้ มการได้ x = 3 , y = 6

ดังนนั้ x + y = 1
2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 92
4. เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก 2D 3D 3D

เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉาก 2D

เวกเตอร์ 1 หน่วย i = 01, j = 01 i = 001, j = 100, k = 001
(Unit vector : เวกเตอรท์ ่ีมี

ขนาด 1 หน่วย)

เวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก

a i + b j = ba

“มองในรปู เรขาคณติ ” AB = (x2 x1) i + (y2 y1) j AB = ((xz22 xz11)) i + (y2 y1) j
+ k
ความชันของ AB : mAB = b = yx22  yx11
a  = yxz222 zyx111

“ความชนั = ล่าง หาร บน” “เวกเตอร์ = สน้ิ สดุ – ต้งั ตน้ ”

เวกเตอร์ที่เทา่ กนั u = a i + b j, v = c i + d j u=a i +b j +ck, v =d i +e j +fk
u = v a = c,b = d
ขนาดของเวกเตอร์ u = v a = d,b = e,c = f
เวกเตอร์ 1 หน่วย u=ai +bj
ทศิ ทางเดยี วกับ u | u |= a2 + b2 u =ai +bj +ck

การคณู เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ | u |= a2 + b2 + c2

| u | = ai +bj | u | = a i +bj +ck
u a2 + b2 u a2 + b2 + c2

k ba = kkba k bca = kkkbca

การบวกเวกเตอร์ ba  dc  bacd bca  def  bacdef

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 93

5. ผลคณู เชงิ สเกลาร์ K-Note u  v = หนา้ i คณู กัน + หนา้ j คณู กนั +หน้า k คูณกนั

บทนยิ าม ผลคูณเชงิ สเกลาร์ (Scalar Product or Dot Product)

2D 3D

u = a i + b j, v = c i + d j u=a i +b j +ck, v =d i +e j +fk

u  v = badc  ac +bd u  v = bcadef  ad+be+cf

u  v = | u || v |cos , 0 180

สมบัตผิ ลคณู เชิงสเกลาร์

K-Trick ให้ u , v , w เปน็ เวกเตอรใ์ ด ๆ บนระนาบ และ a

u=a i +b j, v =c i +d j 1. u v u  v = 0 6. i i = j j =k k =1
2. u u = | u |2 7. i j = j k =k i =0
uv b dc =-1
a 3. u  v = v u 8. (u + v)(u  v) =| u |2  | v |2
b d 4. a( u  v )=(a u )v = u (a v )
u // v a = c 9. | u  v |2=| u |2 2u  v | v |2
5. w(u  v) = wu  wv
10. u  v = w v  u w

K-Remark

เม่ือ k และ u เป็นเวกเตอร์  k u ไม่มีความหมาย แสดงว่า

สเกลาร์ dot เวกเตอรไ์ ม่ได้

ฉะนน้ั (u v) w , (u v) (u w) ไมม่ คี วามหมาย

EX ให้ u= i +2 j +6k, v =3 j - k , w=2 i + j +2k จงหา
Sol u  v = 0 + 6 + (-6) = 0

u w = 2 + 2 + 12 = 16
w(u + v) = (2 i + j +2k )( i +5 j +5k ) = 2 + 5 + 10 = 17

EX กาํ หนด | u |= 15, | v |= 8 และ u และตงั้ ฉากกบั v จงหา | u + v |

Sol เนือ่ งจาก | u + v |2=| u |2 +2u v | v |2

จาก u และต้งั ฉากกับ v ทําให้ u  v = 0
จะได้ | u + v |2=| u |2  | v |2

= 152 + 82
= 225 + 64
= 289
ดังนั้น | u + v | = 17

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 94

5. ผลคณู เชงิ สเกลาร์ (ต่อ)

โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง (Direction cosines)

กาํ หนดจุด O(0, 0, 0) และ P(a, b, c)

จะได้ OP = a i + b j + ck

ให้ α, β,γ [0, π] เป็นมุมที่วัดจาก

แกนพิกัดด้านบวกทั้งสาม ตามลําดับ

ไปยงั OP

cos α = OQ = a มุม α, β,γ คอื มุมที่ OP ทํากับแกน
| OP| a2 + b2 + c2 X, Y, Z ทางดา้ นบวก ตามลาํ ดบั

cos β = | OR | = b เรยี กมุมดงั กล่าววา่ “มุมกําหนด
OP a2 + b2 + c2 ทิศทาง (Direction angle)” ของ OP

cos γ = | OS | = c และเรียก “cos α , cos β , cos γ ” วา่
OP a2 + b2 + c2 โคไซน์แสดงทิศทาง

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

ถ้าชุดโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน จะได้ว่า เวกเตอร์มีทิศทาง

เดียวกัน แต่ถ้าชุดโคไซน์แสดงทิศทางในแต่ละแกนเป็นจํานวนตรงข้ามกัน จะ

ไดว้ า่ เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม

EX จงหาโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ท่ีมีจุดเริ่มต้นที่ P(0, 3, 5) และ

จดุ ส้นิ สุดที่ Q(1, 5, 2)

Sol จากโจทย์ PQ = OP = i + 2 j - 3k

และ |PQ |= 12 + 22 + (-3)2 = 14

ดังน้ัน โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ PQ คือ 1 , 2 , -3
14 14 14

เวกเตอรภ์ าพฉาย

K-Note จากรปู AB = u และ AC = v จะได้

จากรูป cos = | u || v | AD =| u | cos | v | = (u v) | v |2
u v v v

จากสูตร cos = | AD | เรียก ADวา่ โปรเจคชันของ u บน v
|u|
EX จงหาโปรเจคชันของ u บน v เมื่อ u =2 i + j และ v =4 i - 3 j
| AD |= u v v Sol
| | โปรเจคชันของ u บน v คอื (u v) v (8 + (-3)) 4i -3j
เวกเตอร์ในทิศเดยี วกบั v คือ v |2 = 42 + (-3)2
|
v
AD = | AD | |v| = (5) 4 i -3j = 4 i -3 j
25 5

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 95

6. ผลคณู เชิงเวกเตอร์

บทนิยาม ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ (Cross Vector Product)

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ u และ v แทนด้วยสัญลักษณ์
u v ถกู อา่ นออกเสียงว่า “ u Cross v (ยูครอสวี)”

ให้ u=a i +b j +ck, v =d i +e j +fk

u v = ai bj kc = b c i- a c j+ a b k
def e f d f d e

= (bf -ce) i +(cd-af) j +(ae-bd)k
u v u, u v v

ขนาดของเวกเตอร์ u v
| u v | = | u || v |sin

0 180

สมบตั ผิ ลคณู เชิงเวกเตอร์

ให้ u , v , w เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ บนระนาบ และ a

1. u v = -( v u ) 6. ถ้ า u  v = 0 แ ล้ ว u = 0 ห รื อ

2. (u + v)w = u w+ v w v = 0 หรือ u // v

w(u + v) = wu + w v 7. u(v w) = (u  v)w = v (wu)
3. a( u  v )=(a u )v = u (a v ) 8. ถา้ u , v , w อยู่บนระนาบเดียวกัน

4. u  u = 0 จะไดว้ า่ u (v w) = 0

5. i j =k, j k = i, k i = j 9. u  v = w v  u w

การหาพนื้ ทีแ่ ละปริมาตร

K-Note พ้นื ที่ ด้านขนาน = ฐาน x สงู
= | u || v |sin
หาพ้ืนที่ ได้จาก =|u v|

1 xพน้ื ที่ ด้านขนาน ปรมิ าตร = พ้นื ทฐี่ าน x สูง
2 = | v w || u |cos
= | u (v w) |

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 96

จํานวนเชิงซอ้ น
(Complex number)

K-Concept : จาํ นวนเชงิ ซ้อน บทนยิ าม
1. ความรเู้ บื้องตน้ หน่วยจินตภาพ i
การเท่ากันของจาํ นวนเชิงซ้อน
2. กราฟและค่าสมั บูรณ์ การบวกและลบของจาํ นวนเชิงซ้อน
การคณู และหารของจํานวนเชิงซ้อน
สงั ยคุ ของจาํ นวนเชงิ ซ้อน

กราฟของจาํ นวนเชิงซ้อน
ค่าสมั บูรณ์ของจาํ นวนเชิงซ้อน
ตัวผกผนั การคณู ของจาํ นวนเชิงซ้อน

3. จํานวนเชิงซอ้ นในรปู เชิงข้ัว บทนิยามและกราฟ

ทฤษฎบี ท
รากท่ี n ของจํานวนเชิงซอ้ น

4. สมการพหนุ าม ทฤษฎีบทเศษเหลอื
ทฤษฎบี ทตัวประกอบของจํานวนตรรกยะ
ทฤษฎบี ทสังยคุ ของรากของสมการ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 97

1. ความรูเ้ บ้ืองตน้ K-Know Re(z) = สว่ นจริงของ z : Real part
Im(z) = ส่วนจินตภาพของ z : Imaginary part

บทนิยาม (จํานวนเชิงซ้อน : Complex Numbers)

i = -1 z = a + bi = (a, b), a, b
Re(z) = a
Im(z) = b Im(z) = 0 z
Re(z) = 0, Im(z) 0 z เป็นจาํ นวนจินตภาพแท้

(Purely imaginary number)

K-Trick EX จงหาผลบวกของส่วนจริงและส่วนจนิ ตภาพของ z = (1 + i)11
Sol (1 + i)11 = (1 + i)10(1 + i) = (2i)5(1 + i) = 32i(1 + i) = 32i – 32
n
ดังน้นั Re(z) + Im(z) = -32 + 32 = 0
(a + bi)n= (2ab)2

หน่วยจินตภาพ i 1, n เศษ 0 หารลงตัว
i, n4 เศษ 1
i1 = i in = -1, n4 เศษ 2
i2 = -1 -i, n4 เศษ 3
i3 = i2 ×i = (-1)i = -i 4
i4 = i2 ×i2 = (-1)(-1) = 1
in  in+1  in+2  in+3 = -1, n
K-Trick
in + in+1 + in+2 + in+3 = 0 , n EX
1. i i2i3i4 = (i)(-1)(-i)(1) = -1
EX
1. i+ i2 + i3 + i4 = i+(-1)+(-i)+1 =0 2. i102i103 i104  i105 = (-1)(-i)(1)(i) = -1

2. i102 + i103 + i104 + i105 = -1+(-i)+1+i=0

การเท่ากันของจาํ นวนเชงิ ซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di
z1 = z2 a = c และ b = d

EX ให้ x, y ทส่ี อดคลอ้ งกบั (1 – i)x + (1 + i)y = 1 – 3i จงหา yx
Sol เน่อื งจาก (1 – i)x + (1 + i)y = 1 – 3i

จะได้ x + y + (y – x)i = 1 – 3i
ฉะนน้ั x + y = 1 และ y – x = -3
ดงั น้นั x = 2 และ y = -1
เพราะฉะนั้น yx = (-1)2 = 1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์