เอกสาร “K-Trick Math Admissions By ครูครรชิต”

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 148

4. การประยุกต์ของอนพุ ันธ์ (ต่อ)

คา่ สงู สุดสมั พัทธ์และคา่ ตํ่าสดุ สัมพทั ธ์ (ตอ่ )

EX ให้ f(x) = x3–3x–2 จงหาจดุ วิกฤต จดุ ต่ําสดุ สัมพทั ธ์ และจุดสงู สุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี)
วิธที ี่(1) จาก f(x) = x3 – 3x – 2 จะได้ว่า f (x) = 3x2 – 3

เนอื่ งจาก f (x) หาคา่ ได้ สาํ หรบั ทุกคา่ x ดงั นั้นค่าวกิ ฤตจงึ หาจากสมการ
3x2 – 3 = 0
f (x) = 0 จะได้ x2 – 1 = 0

(x + 1)(x – 1) = 0

x = -1, 1

กราฟของ ดงั นน้ั คา่ วิกฤตของฟังกช์ ัน f คอื -1 และ 1
f(x) = x3–3x–2 จาก x = -1 จะได้ f(– 1) = (– 1)3 – 3(– 1) – 2 = 0
และจาก x = 1 จะได้ f(1) = (1)3 – 3(1) – 2 = -4

ดงั นนั้ จดุ วิกฤตของฟงั กช์ นั f คือ (-1, 0) และ (1, -4)

พิจารณาคา่ ของ f (x) จะได้ตารางดังนี้

x<–1 x=–1 –1<x<1 x=1 x>1

f(x) 0 –4

f (x) จํานวน ศูนย์ จํานวน ศนู ย์ จาํ นวน
จรงิ บวก (+) จริงลบ (–) จรงิ บวก (+)

สรุป ฟังก์ชันเพ่มิ ใหค้ ่าสงู สดุ ฟงั กช์ นั ลด ใหค้ ่าตา่ํ สดุ ฟงั กช์ ันเพ่ิม
สมั พทั ธ์ สมั พัทธ์

จากตารางจะไดว้ ่า

f มีค่าสงู สุดสมั พัทธ์เท่ากับ f(-1) = 0 และมีค่าตํา่ สุดสัมพัทธ์เทา่ กับ f(1) = -4

วธิ ที ี่(2) จาก f (x) = 3x2 – 3 จะได้ f (x) = 6x

พจิ ารณาที่ x = – 1 จะได้ f (-1) = 6(– 1) = – 6 < 0

แสดงวา่ ที่ x = -1 จะทาํ ให้เกิดคา่ สงู สดุ สมั พัทธ์

พิจารณาท่ี x = 1 จะได้ f (1) = 6(1) = 6 > 0

แสดงว่า ที่ x = 1 จะทําใหเ้ กิดค่าต่าํ สดุ สัมพัทธ์

ดงั นนั้ f มีคา่ สงู สุดสัมพทั ธท์ ี่ x = -1 และมีค่าเทา่ กบั f(-1) = 0

และ f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธท์ ่ี x = 1 และมคี ่าเทา่ กับ f(1) = -4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 149

4. การประยุกต์ของอนุพันธ์ (ต่อ)

ค่าสูงสดุ สมั บรู ณ์และค่าต่าํ สุดสัมบูรณ์ (Absolute maximum and minimum)

x=m F x = k จากรูป เมื่อพจิ ารณาในชว่ ง x[m, k]
พบวา่

จุดสูงสุดสัมบรู ณ์ ได้แก่ จุด C

จุดตา่ํ สดุ สัมบรู ณ์ ไดแ้ ก่ จุด D

เราจะเรียกค่าของ f(x) ท่ีมากทสี่ ุดสําหรับทุก xDf ว่า ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และ
ค่า f(x) ทีน่ อ้ ยทสี่ ุดสําหรับทกุ xDf ว่า ค่าตาํ่ สดุ สมั บูรณ์
เทคนคิ การหาค่าสงู สุดสัมบรู ณ์และค่าตํา่ สดุ สมั บูรณ์

1. หาค่าวิกฤต x = c จาก f (c) = 0 พรอ้ มทง้ั หาคา่ f(c) ทุกตวั
2. หาคา่ f(a) และ f(b) (หาค่าของฟงั กช์ นั ณ จุดปลายของช่วง [a, b])
3. นาํ ค่าท่ไี ด้จากข้อ 1) และ 2) มาเปรยี บเทียบกนั ดังนี้

1) คา่ ที่มากท่สี ดุ ระหวา่ งคา่ สูงสุดสมั พัทธ์ f(a) และ f(b) จะเป็น คา่ สูงสดุ สัมบูรณ์
2) ค่าทนี่ ้อยท่ีสดุ ระหว่างค่าสงู สดุ สมั พทั ธ์ f(a) และ f(b) จะเปน็ คา่ ตํ่าสดุ สัมบรู ณ์

EX จงหาค่าสูงสดุ สมั บรู ณ์และค่าต่าํ สุดสัมบูรณข์ อง f(x) = x3 – 3x – 2 บน [-2, 2]
Sol จากตวั อย่างท่แี ลว้ จะได้ ค่าวิกฤตของฟงั กช์ ัน f คือ -1 และ 1

และ -1, 1[-2, 2]
ฉะนัน้ f(-1) = (-1)3 – 3(-1) – 2 = 0

f(1) = (1)3 – 3(1) – 2 = -4
หาจดุ ปลายของชว่ ง [-2, 2] จะได้ f(-2) = (-2)3 – 3(-2) – 2 = -4

f(2) = (2)3 – 3(2) – 2 = 0
ดังนน้ั ค่าสูงสดุ สัมบรู ณ์ มคี ่าเท่ากับ 0
และ คา่ ตํ่าสุดสัมบรู ณ์ มคี า่ เทา่ กบั -4

โจทย์ประยุกต์ค่าสงู สุดและค่าตํา่ สุด

ข้นั ตอนในการแกโ้ จทย์ประยกุ ตค์ า่ สูงสุดและคา่ ตา่ํ สุด

1. ทําความเขา้ ใจปัญหาอย่างละเอียดใหท้ ราบแนน่ อนว่าต้องการใหห้ าคา่ สงู สดุ หรือ

ค่าตํา่ สดุ ของอะไร ให้กาํ หนดสิ่งนนั้ เป็น y หรือตวั แปรอน่ื ตามความเหมาะสม

2. สมมตใิ ห้ x เป็นตวั แปรท่มี ีการเปลี่ยนแปลงในปญั หา โดยทีค่ ่าของ y จะมีคา่ มากหรอื

นอ้ ยขึ้นอยู่กบั ค่าของ x แล้วเขยี น y ในรปู ของตัวแปร x
dy
3. หาคา่ ค่าวิกฤต จาก dx = 0

4. นาํ ค่าวิกฤตทีไ่ ด้มาทําการตรวจสอบว่าทาํ ให้ y มีคา่ สูงสุดหรือตาํ่ สดุ หรือไม่

5. นําคา่ x ทไ่ี ด้จากขอ้ 4 ไปแทนค่า เพ่ือหาค่า y ซง่ึ เป็นคา่ สูงสุดหรอื ตาํ่ สดุ ตามตอ้ งการ

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 150

4. การประยุกต์ของอนุพันธ์ (ตอ่ )

โจทย์ประยุกต์ค่าสูงสุดและค่าตาํ่ สดุ (ต่อ)

EX กระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ 10 เซนติเมตร ต้องการตัดมุมทั้งส่ีออกเป็นรูปสี่เหลี่ยม

จัตรุ ัสยาวดา้ นละ x เซนตเิ มตร แลว้ พบั ตามรอยเส้นประเพ่ือเชื่อมทํากล่องฝาปิดดังรูป x ควรจะมีค่า

เทา่ ไรจึงจะมีปรมิ าตรมากทส่ี ุด และกล่องมปี รมิ าตรมากท่ีสดุ เท่าไร

Sol ให้ v(x) เป็นปรมิ าตรกล่อง เมอ่ื x เป็นความยาวของดา้ นของรปู สเ่ี หล่ยี มจัตุรสั ท่ตี ัดออก
จะได้ v(x) = (10 – 2x)2x = (100 – 40x + 4x2)x = 4x3 – 40x2 + 100x
และ v (x) = 12x2 – 80x + 100
x 10 – 2x

ให้ v (x) = 0 จะได้ 12x2 – 80x + 100 = 0
4(3x2 – 20x + 25) = 0

4(3x – 5)(x – 5) = 0
5
x =5 หรือ x= 3

ดงั นั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชนั v คือ 5 และ 5
3
จาก v (x) = 12x2 – 80x + 100 จะได้ v (x) = 24x – 80
v (35) = – 40 < 0
และ v (5) = 40 > 0 และ

ดังนั้น v มคี ่าสงู สดุ สัมพทั ธท์ ่ี x = 5 และเท่ากับ v( 5 ) = 2000 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
3 3 27
และ v มีค่าตํ่าสดุ สัมพัทธ์ที่ x = 5 และเท่ากับ v(5) = 0 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
5
นั่นคอื x เท่ากับ 3 เซนติเมตร กล่องจึงมีปริมาตรมากที่สุดและกล่องมีปริมาตรมากท่ีสุดเท่ากับ

2000 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
27

5. ปรพิ ันธ์

ปฏยิ านุพันธ์ (Antiderivative)

กําหนดฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันสําหรับทุกค่า x ท่ีอยู่ในโดเมนของ f จะ
เรยี กฟังกช์ นั F วา่ เป็นปฏยิ านุพนั ธ์หนึ่งของฟังก์ชัน f เมือ่ F (x) = f(x)
EX จงแสดงวา่ F(x) = x3 เป็นปฏยิ านุพนั ธ์หน่งึ ของฟงั ก์ชนั f(x) = 3x2
Sol จาก F(x) = x3

จะได้ F (x) = 3x2
น่ันคือ F (x) = f(x)
ดังนัน้ F(x) = x3 เป็นปฏยิ านพุ ันธห์ น่ึงของฟังก์ชนั f(x) = 3x2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 151

5. ปริพนั ธ์ (ต่อ)

ปริพันธ์ไมจ่ าํ กัดเขต (Indefinite integral)

กาํ หนดให้ f เป็นฟังก์ชนั ทมี่ โี ดเมนและเรนจเ์ ปน็ เซตย่อยของเซตของ
จํานวนจริง และ F(x) เปน็ ฟังก์ชันซงึ่ F (x) = f(x) สําหรบั ทุก xDf

ปริพันธ์ไมจ่ ํากัดเขตของฟงั กช์ ัน f ซ่ึงนิยามวา่
f(x)dx = F(x) + c

เมอ่ื c เปน็ ค่าคงตัวใด ๆ
K-Know

1. เรยี กกระบวนการหา f(x)dx ว่า การหาปริพนั ธ์ (Integration)

2. เครือ่ งหมาย “” เรยี กว่า เครือ่ งหมายปรพิ นั ธ์ (integral)

3. เรียกฟังก์ชนั f(x) วา่ ตวั ถูกหาปริพนั ธห์ รอื ปริพทั ธ์ (integrand)

4. สญั ลักษณ์ dx เป็นตัวท่ีบอกใหร้ วู้ า่ เป็นการหาปรพิ นั ธเ์ ทยี บกับตวั แปร x

หรือกลา่ วว่า x เปน็ ตวั แปรของการหาปริพนั ธ์ (differential)

K-Remark สตู รปรพิ ันธไ์ ม่จาํ กดั เขต เม่ือ k และ c เปน็ ค่าคงตัวใด ๆ
[f(x) g(x)]dx
1. kdx = kx + c

EX 2dx = 2x + c

f(x)dx g(x)]dx 2. xndx = xn+1 + c เมอ่ื n –1
n+1

f(x) dx EX x2dx = x2+1 + c = x3 + c
g(x) 2+1 3

3. kf(x)dx = k f(x)dx

f(x)dx EX 3x2dx = 3 x2dx = x3 + c
g(x)]dx
4. [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx

EX (2x+3)dx = 2 xdx + 3dx = x2 + 3x + c

5. f (x)dx = f(x) + c

EX (2x+1)(x2 +x)10dx K-Trick
Sol ให้ u = x2 + x จะได้ du = (2x + 1)dx
มองเปน็ กอ้ น
ฉะนน้ั (2x+1)(x2 +x)10dx = u10du
undu = un+1 + c
n+1
u11
= 11 + c

= (x2 + x)11 + c
11

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 152

5. ปรพิ ันธ์ (ต่อ)

ปรพิ นั ธ์จํากัดเขต (Definite integral)

K-Note ทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู สั เชงิ ปรพิ นั ธ์
1. b f(x)dx
กาํ หนดให้ f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอื่ งบนชว่ ง [a, b] ถา้ F เปน็ ฟังก์ชันบน
a
ชว่ ง [a, b] โดยท่ี F (x) = f(x) แล้ว
2. a < b เสมอ b
a f(x)dx = F(x) b = F(b) – F(a)
a

K-Know
1. b f(x)dx อา่ นว่า “ปริพันธ์จาํ กัดเขตของฟงั ก์ชนั f จาก x=a ถึง x=b”
a
2. เรยี ก a ว่าขอบลา่ ง (Lower limit) และเรียก b วา่ ขอบบน (Upper limit)

สตู รปรพิ ันธจ์ ํากัดเขต เมอ่ื k และ c เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ
bb

1. kf(x)dx = k f(x)dx
aa
2. b [f(x) g(x)]dx = b f(x)dx b g(x)dx
a aa
3. a < c < b b f(x)dx = c f(x)]dx + b f(x)dx
aac
4. b f(x)dx = a f(x)dx
ab

EX 1 x )2 dx 1

x(1 = x(1 2 x + x)dx
00
= 1 (x 2x32 + x2)dx
0
x25
= ( x2 4 + x3 ) 10
2 5 3

= ( 1 4 + 1 ) – (0 – 0 + 0)
2 5 3
15 24 +10
= 30

= 1
30

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 153

5. ปรพิ นั ธ์ (ต่อ) K-Trick : ข้นั ตอนการหาพื้นที่ใต้เสน้ โค้ง
การหาพืน้ ท่ีทป่ี ิดล้อมดว้ ยเส้นโค้ง 1. หาจดุ ตัดแกน X หรือจุดตดั ของกราฟ
2. คํานวณหาพื้นท่ีในแตล่ ะส่วน

ถ้ากําหนดให้ฟังก์ชัน y = f(x) เป็นฟังก์ชัน รูปตอ่ ไปนี้เป็นตัวอย่างของพ้ืนท่ีท่ีปิดล้อม
ต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ด้วยเสน้ โค้งของ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b

“พื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ y = f(x) YY
จาก x = a ถึง x = b” หมายถึง พ้ืนที่ของบริเวณท่ี a 0 bX

ล้อมรอบด้วยกราฟของ f แกน x เส้นตรง x = a 0a b X
และเส้นตรง x = b
รูปที่ 1 รปู ที่ 2

ให้ A เป็นพื้นที่ที่ปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ ของ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b
1. ถ้า f(x) 0 สําหรับทกุ x [a, b] แล้ว A เป็นพ้นื ท่ีเหนือแกน X (ดูรปู ที่ 1) และ A = b f(x)dx

a

2. ถ้า f(x) 0 สาํ หรบั ทกุ x [a, b] แล้ว A เปน็ พ้นื ที่ใต้แกน X (ดรู ปู ท่ี 2) และ A = – b f(x)dx

a

K-Trick บริเวณท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสองเส้น f และ g จาก บน – ล่าง
x = a ถึง x = b
Y
f Y A = b [f(x) g(x)]dx
f
a

g aO b X
aO b g
X

EX จงหาพนื้ ทที่ ่ีปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ ของ EX จงหาพื้นท่ขี องบรเิ วณท่ีอย่รู ะหวา่ งเสน้ โคง้
f(x) = x3 – 6x2 + 8x กับแกน X y = 5 – x2 และ y = 2 – 2x

หาจุดตดั แกน X แล้ววาดกราฟของ f ไดด้ งั น้ี หาจดุ ตดั แกน X แล้ววาดกราฟไดด้ งั นี้

(– 1,4)

f
A1 g A

A2

A = A1 + A2 6x2 + 8x)dx ) 3 (3,– 4)
= 2 (x3 6x2 + 8x)dx +(– 4 (x3
A = [f(x) 3

g(x)]dx = [(5 x2) (2 2x)]dx
02 -1 -1
= 3 (3 + 2x
= ( x4 – 2x3 + 4x2) 2 – ( x4 – 2x3 + 4x2) 4 x2 )dx = (3x + x2 – x3 ) 3
4 0 4 2 -1 3 -1

= (4–16+16)–[(64–128+64)–(4–16+16)] = (9 + 9 – 27 ) – (– 3+ 1+ 1 ) = 32
=4–0+4=8 3 3 3
ดังนน้ั พื้นทท่ี ่ีต้องการ เท่ากบั 8 ตารางหน่วย 32
ดงั นน้ั พ้นื ทีท่ ตี่ ้องการ เทา่ กบั 3 ตารางหนว่ ย

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 154
6. ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งสมการการเคล่ือนท่ี ความเร็ว และความเรง่

ความเร็ว (Velocity)
ความเรง่ (Acceleration)

EX วัตถุช้ินหน่ึงเคล่ือนที่ด้วยความเร่ง 5 เมตร/วินาที2 และเม่ือวัตถุเคล่ือนท่ีไปได้ 3 วินาที ขณะน้ันจะมีความเร็ว

เป็น 20 เมตร/วนิ าที และไดร้ ะยะทาง 40 เมตร จงหาระยะทาง เมอ่ื เวลา 1 วินาที
Sol ให้ a(t) แทนความเร่งของวัตถใุ นขณะเวลา t วินาที

v(t) แทนความเร็วของวัตถุในขณะเวลา t วนิ าที

s = f(t) แทนสมการการเคล่ือนทีข่ องวตั ถุในขณะเวลา t วินาที dv
dt
เน่อื งจากโจทยก์ ําหนด ความเร่งของวตั ถุ เทา่ กับ 5 เมตร/วินาที2 จะได้วา่ a(t) = = 5

ดงั นน้ั v = 5 dt = 5t + c1

เนอ่ื งจากเมื่อวัตถเุ คล่อื นที่ไปได้ 3 วินาที ขณะน้ันจะมคี วามเรว็ เปน็ 20 เมตร/วนิ าที

น่นั คอื ขณะท่ี t = 3 จะได้ v = 20

ดังนนั้ 20 = 5(3) + c1 จะได้ c1 = 5
ฉะนัน้ ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ คือ v = 5t + 5 เมตร/วนิ าที

จาก v = ds = 5t + 5 จะได้ s= (5t + 5) dt = 5t2 + 5t + c2
dt 2
เนอ่ื งจากเมื่อวัตถเุ คลือ่ นทไ่ี ปได้ 3 วินาที จะได้ระยะทาง 40 เมตร

น่ันคือ ขณะท่ี t = 3 จะได้ s = 40

ดังนน้ั 40 = 4(5)2 + 5(3) + c2 จะได้ c2 = 40 – 45 – 15 = 5
2 2 2
5t2
ฉะนน้ั สมการการเคล่ือนทขี่ องวตั ถุ คือ s = 2 + 5t + 5 เมตร
2
5(1)2
เพราะฉะน้นั ระยะทาง เมื่อเวลา 1 วนิ าที เทา่ กับ 2 + 5(1) + 5 = 10 เมตร
2

K-JUM

ขอ้ ความที่บง่ บอกว่าเป็นอนพุ นั ธอ์ นั ดับทห่ี นงึ่ dy = f (x) ข้อความที่บง่ บอกว่าเปน็ อนุพนั ธอ์ ันดบั ที่สอง f (x)
dx 1. อตั ราการเปล่ียนแปลงของความชันของเส้นสัมผัส
1. อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x มีค่าใดๆ
เสน้ โคง้ ณ จดุ (x, y) ใด ๆ
2. ความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ของ f ทีจ่ ดุ P(x, y) ใด ๆ
2. ความเร่งของการเคลือ่ นทขี่ องวตั ถุ ณ เวลา t ใด ๆ
3. ความชันของเส้นโคง้ ของ f ทีจ่ ุด P(x, y) ใด ๆ
ds d2s
4. ความเรว็ ของการเคลื่อนทีข่ องวตั ถุ ณ เวลา t ใด ๆ คอื dt คือ dt2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 155

กาํ หนดการเชิงเส้น
(Linear programming)

K-Concept : กําหนดการเชงิ เส้น

1. สรา้ งเง่อื นไขหรืออสมการขอ้ จาํ กดั (Constraint inequalities)

สร้างเงอื่ นไขจากโจทย์  ระบบอสมการ (ข้อจาํ กัดท้ังหมด)

EX ขอ้ สอบ 2 ตอน ตอนละ 15 ข้อ
ตอนที่ 1 ข้อละ 5 คะแนน ใชเ้ วลาขอ้ ละ 2 นาที
ตอนท่ี 2 ข้อละ 7 คะแนน ใชเ้ วลาข้อละ 5 นาที
มีเวลา 60 นาที ทาํ คะแนนใหไ้ ดม้ ากทส่ี ุด

ให้ x แทน จํานวนข้อที่ทําได้ในตอนท่ี 1 และ y แทน จํานวนข้อ
ท่ีทําไดใ้ นตอนที่ 1 สรา้ งเงื่อนไขจากโจทย์  ระบบอสมการ ดงั นี้

0  x  15 0  y  15 3x + 5y  60

2. สร้างฟังก์ชันจดุ ประสงค์ (Object function)

สร้างสมการจุดประสงค์  หาค่า Max, Min
EX จากโจทย์ขา้ งต้นจะได้

P = 5x + 7y

3. วาดกราฟ

วาดกราฟ  หาพ้ืนทคี่ าํ ตอบที่เป็นไปได้ (ขอ้ จาํ กัดท้ังหมด)

EX จากโจทยข์ า้ งตน้ วาดกราฟจะได้

15 K-Word
3x+5y = 60
อาณาบรเิ วณทหี่ า
12 คาํ ตอบได้

(15, 3) (Feasible region)
15 20

4. พิจารณาหาคาํ ตอบ

พิจารณาหาคาํ ตอบหาจดุ มุม (x, y)แทนคา่ Pได้คา่ Max, Min
EX จากโจทย์ข้างต้นจะได้ (0, 12)  P = 84 (0, 0)  P = 0

(15, 0)  P = 75 (15, 3) P = 96

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 156

การคิดและแกป้ ัญหา
เชิงคณติ ศาสตร์

K-Concept

1. ความหมาย ปัญหา การคดิ แกป้ ญั หา

2. ปัญหาเชิงคณติ ศาสตร์
3. กระบวนการแกป้ ัญหา
4. ยุทธวิธใี นการแกป้ ัญหาเชิงคณติ ศาสตร์

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 157
1. ความหมาย ปัญหา การคิดแกป้ ญั หา

ปัญหา หมายถึง ข้อสงสัย หรือคําถาม หรือเร่ืองท่ีต้องพิจารณาแก้ไข หรือสถานการณ์ที่บุคคล
เผชญิ หนา้ อยู่ ซ่ึงตอ้ งการคาํ ตอบ หรอื แนวทางการแกไ้ ข หรือทางออกของสถานการณ์นั้น โดยท่ียังไม่รู้วิธีการ
หรือข้นั ตอนท่จี ะได้คาํ ตอบของสถานการณ์น้นั ในทันที

การคิดแก้ปัญหา หมายถึง การคิดพิจารณาถึงส่ิงท่ีเป็นประเด็นสําคัญของสถานการณ์ หรือเป็นเรื่องที่
สรา้ งความยุ่งยากสับสนและทาํ ให้เกดิ ความวิตกกังวล โดยพยายามหาแนวทางท่ีจะทําให้ได้คําตอบ หรือทางออก
ของปัญหาน้ัน ๆ ส่ิงที่สําคัญประการหน่ึงสําหรับการแก้ปัญหาคือประสบการณ์ เพราะถ้ามีความรู้ ทักษะและ
เทคนคิ วิธีหลาย ๆ อย่างเป็นพ้นื ฐานอย่บู ้างแล้วก็จะช่วยใหก้ ารแก้ปัญหาต่าง ๆ สามารถทําได้ง่ายขึ้น รวดเรว็ ขน้ึ

การพฒั นาทักษะการคิดแกป้ ญั หา 6 ข้ันตอน
1. รู้ปัญหา
2. คน้ หาความจรงิ
3. คน้ หาปญั หาท่ีแท้จรงิ
4. คดิ หาแนวทางในการแก้ปญั หา
5. หาข้อสรุปของแนวทาง
6. ยอมรบั และดาํ เนนิ การแก้ปญั หาตามแนวทางทเี่ ลือก

2. ปญั หาเชงิ คณติ ศาสตร์

ปัญหาเชิงคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์ หรือคําถามที่ต้องใช้ความรู้ และวิธีการทาง
คณิตศาสตร์เป็นแนวทางในการหาคําตอบ

ปญั หาทางคณติ ศาสตร์อาจแบง่ ออกเปน็ ประเภทต่างๆ ไดห้ ลายลกั ษณะดว้ ยกนั เชน่
1. แบง่ โดยจุดประสงคข์ องปัญหา สามารถแบง่ ปัญหาทางคณติ ศาสตรไ์ ด้เปน็ 2 ประเภท คือ

1.1 ปัญหาให้ค้นคว้า เป็นปัญหาที่ต้องการให้ค้นคว้าหาคําตอบ ซ่ึงคําตอบอาจเป็นปริมาณ หรือ
เป็นวธิ ีการและคาํ อธบิ ายในการให้เหตุผล

1.2 ปัญหาให้พิสูจน์ เป็นปัญหาท่ีต้องการให้แสดงเหตุผลว่าข้อความที่กําหนดให้เป็นจริง หรือ
เปน็ เทจ็

2. แบ่งโดยความซบั ซอ้ นของปญั หา สามารถแบง่ ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้เปน็ 2 ประเภท คอื
2.1 ปัญหาธรรมดา เป็นปัญหาที่มีโครงสร้างไม่ซับซ้อนมากนัก ถ้าผู้แก้ปัญหามีความคุ้นเคยใน

โครงสร้าง และวธิ กี ารแก้ปญั หา กจ็ ะสามารถแกป้ ัญหาไดใ้ นทันที
2.2 ปัญหาแปลกใหม่ เป็นปัญหาทีม่ ีโครงสร้างซับซอ้ น และผู้แก้ปัญหาไม่คุ้นเคยกับปัญหาน้ัน ซึ่ง

ผแู้ กป้ ญั หาจะตอ้ งผสมผสานความรู้ความสามารถหลายด้านเขา้ ด้วยกันจึงจะแกป้ ญั หานัน้ ได้
3. แบ่งโดยลกั ษณะของปญั หา สามารถแบง่ ปญั หาทางคณติ ศาสตรไ์ ดเ้ ปน็ 3 ประเภท คอื
3.1 ปัญหาปลายเปิด เป็นปัญหาที่มีคําตอบท่ีเป็นไปได้หลายคําตอบ ข้ึนอยู่กับสภาวะแวดล้อม

และวธิ กี ารแกป้ ัญหา ปญั หาลักษณะน้ีจะใหค้ วามสาํ คัญของกระบวนการแก้ปญั หามากกวา่ คําตอบ
3.2 ปญั หาใหค้ ้นพบ เปน็ ปญั หาท่ีกาํ หนดสถานการณใ์ หผ้ ูแ้ ก้ปัญหาดําเนินการตามขั้นตอนวิธีการ

ทางคณิตศาสตร์ จนกระทงั่ ไดค้ าํ ตอบในขน้ั ตอนสดุ ท้ายของการแกป้ ัญหา มกั เปน็ ปัญหาทม่ี ีวิธีแกไ้ ด้หลายวธิ ี
3.3 ปัญหาทมี่ กี ารกาํ หนดแนวทาง เป็นปัญหาทม่ี ีรายละเอียดของปัญหามาให้ เช่น มีคําแนะนํา

และคาํ ชีแ้ จงในการแกป้ ญั หา ซง่ึ ผู้แกป้ ัญหาสามารถดําเนินการแก้ปญั หาตามการช้แี นะไดเ้ ลย

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 158
3. กระบวนการแกป้ ัญหา

เนอ่ื งจากการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็นทักษะ/กระบวนการอย่างหนึ่ง ดังนั้นนักเรียนควร
ทําความเข้าใจถึงขั้นตอนหรือกระบวนการในการแก้ปัญหา แม้ว่าจะมีนักเรียนบางส่วนท่ีสามารถ
ดําเนินการแก้ปัญหาด้วยตนเองได้ แต่มีนักเรียนจํานวนไม่น้อยที่ไม่รู้ว่าควรจะเร่ิมต้นแก้ปัญหาน้ัน
อย่างไร และจะดําเนินการแก้ปัญหาอย่างไรต่อไป ทั้งน้ีอาจเนื่องมาจากนักเรียนไม่มีความรู้เกี่ยวกับ
ขั้นตอนหรอื กระบวนการแกป้ ญั หาทีถ่ ูกต้อง

กระบวนการแก้ปัญหาที่เป็นท่ียอมรับกันโดยทั่วไปและนิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย คือ
กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา (George Pólya นักคณิตศาสตร์ชาวฮังกาเรียน ค.ศ.1887–1985)
ซงึ่ ประกอบด้วยขั้นตอนการแก้ปญั หา 4 ข้นั ตอน ดังน้ี

ข้ันท่ี 1 ทําความเข้าใจปัญหา เป็นการสํารวจว่าในปัญหามีคํา หรือวลี หรือประโยคย่อย ๆ
อะไรบ้าง มคี วามหมายอย่างไร แล้วจําแนกเป็นส่วน ๆ ว่า โจทย์กําหนดอะไรให้ ส่ิงที่ต้องการหาคือคือ
อะไร ขอ้ มลู ท่กี าํ หนดให้มเี ง่ือนไขอยา่ งไรบา้ ง

ข้ันที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา เป็นขั้นการวิเคราะห์รายละเอียดและหาความเช่ือมโยงระหว่างข้อมูล
ที่กําหนดกับส่ิงที่ต้องการหา โดยใช้บทนิยาม สมบัติ และทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่ได้เรียนรู้มาก่อนแล้ว ในการ
พิจารณาอาจใช้วิธีการต่าง ๆ เพ่ือช่วยให้ได้ข้อสรุปท่ีสามารถดําเนินการแก้ปัญหาและหาคําตอบได้ เช่น
การวาดรปู ประกอบ การสรา้ งตารางวเิ คราะห์ การแยกสถานการณห์ รือเงอื่ นไขเป็นสว่ นย่อย ๆ เปน็ ต้น

ขน้ั ที่ 3 ดาํ เนนิ การแกป้ ัญหา เป็นขนั้ ของการแก้ปัญหาตามแผนที่วางไว้ และมีการตรวจสอบ
แต่ละขั้นตอนทป่ี ฏิบัตวิ ่าถกู ตอ้ งหรือไม่

ข้ันที่ 4 ตรวจสอบผล เป็นการตรวจสอบผลท่ีได้ในแต่ละขั้นตอนว่าถูกต้องหรือไม่ หรือใช้
วิธีการแก้ปัญหาวิธีอ่ืน ๆ แล้วตรวจสอบผลลัพธ์ท่ีได้ว่าตรงกันหรือไม่ หรืออาจใช้การประมาณคําตอบ
อยา่ งคร่าว ๆ

ในแต่ละข้ันตอนสามารถพิจารณาตัดสินใจเคลื่อนการกระทําไปสู่อีกข้ันตอนหน่ึง หรืออาจจะ
ยอ้ นกลบั ไปขนั้ ตอนเดมิ หากมีปัญหาหรือข้อสงสัย เช่น เม่ือทําการแก้ปัญหาในขั้นตอนแรกคือทําความ
เข้าใจปัญหาแลว้ เคล่ือนไปสูข่ ัน้ การวางแผน ระหว่างการดําเนินการในขั้นการวางแผนนั้นอาจย้อนกลับ
ไปค้นพบส่ิงที่ทําให้เข้าใจปัญหาได้ดียิ่งข้ึน หรือในขั้นตอนดําเนินการตามแผนที่วางไว้แต่ไม่สามารถ
ดําเนินการต่อไปได้ จาํ เป็นต้องย้อนกลบั ไปเรม่ิ วางแผนใหม่ เปน็ ต้น

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 159
4. ยุทธวธิ ใี นการแก้ปญั หาเชิงคณิตศาสตร์

ในการหาคาํ ตอบของสถานการณ์หรือปญั หาใดปญั หาหนง่ึ น้ัน อาจมียุทธวิธีที่สามารถนํามาใช้แก้ปัญหาน้ันได้
มากกวา่ หนึง่ วิธี หรือตอ้ งใช้หลายยทุ ธวิธีรว่ มกนั ดังน้ันขน้ึ อยู่กบั ผแู้ ก้ปญั หาวา่ จะเลือกยุทธวธิ ีใดมาใชแ้ ก้ปัญหาน้ัน ๆ ซ่ึง
นักแก้ปัญหาท่ีดีจะต้องมียุทธวิธีในการแก้ปัญหาที่พร้อมจะเลือกออกมาใช้ได้ในทันที ยุทธวิธีที่ใช้ในการแก้ปัญหามี
หลากหลายวธิ ี ซงึ่ ในที่นจ้ี ะขอนาํ เสนอยทุ ธวธิ ใี นการแก้ปัญหาเชงิ คณติ ศาสตร์ 9 วธิ ดี งั น้ี

1. สร้างตาราง เป็นการจัดกระทํากับข้อมูลเพื่อให้ดูง่าย และสะดวกต่อการวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ซึ่งจะ
นําไปสู่การค้นพบคําตอบ หรือรูปแบบ หรือข้อชี้แนะอ่ืน ๆ นอกจากนี้ตารางยังช่วยแสดงกรณีที่เป็นไปได้ของการ
แกป้ ัญหานัน้ ๆ

2. การหาแบบรูป การหาแบบรูปเป็นยุทธวิธีในการแก้ปัญหาที่ดีแบบหนึ่ง ซ่ึงผู้แก้ปัญหาจะต้องวิเคราะห์
และค้นหาความสัมพันธ์ของข้อมูลในสถานการณ์ปัญหาน้ัน ๆ แล้วคาดเดาคําตอบโดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย แต่
อย่างไรก็ตามการที่จะยอมรับว่าคําตอบที่ได้เป็นคําตอบท่ีถูกต้องนั้น จะต้องผ่านการตรวจสอบยืนยันโดยใช้การให้
เหตผุ ลแบบนริ นยั การแก้ปัญหาที่ใช้ยุทธวิธีการหาแบบรูปนิยมเขียนคําตอบของปัญหาในรูปท่ัวไป ซ่ึงอาจเป็นแบบรูป
ของจํานวน หรือแบบรปู ของรปู เรขาคณิต

3. การเขียนแผนผงั หรือภาพประกอบ การเขียนแผนผงั ภาพประกอบ หรอื แผนภาพของสถานการณป์ ัญหา
จะชว่ ยให้เหน็ ความสัมพันธ์และแนวทางในการหาคาํ ตอบได้ง่ายขน้ึ

4. การเดาและตรวจสอบ เป็นการหาคําตอบของปัญหาโดยใช้สามัญสํานึก ผู้แก้ปัญหาคาดเดาส่ิงท่ีน่าจะเป็น
คําตอบแลว้ ตรวจสอบ ถ้าไม่ใชค่ าํ ตอบก็เดาใหม่ และตรวจสอบอีกครั้ง ทําอย่างน้ีจนกระทั่งได้คําตอบของปัญหา การเดา
ตอ้ งเดาอยา่ งมเี หตผุ ล โดยอาศยั ข้อมลู ทม่ี ีอยู่ประกอบการเดา การเดาและตรวจสอบเป็นวิธกี ารท่ีง่าย แต่ถ้าเป็นปัญหาที่มี
ความซับซ้อนอาจใช้เวลามากกวา่ ยทุ ธวิธีอ่นื ๆ

5. แจกแจงกรณีท่ีเป็นไปได้ทั้งหมด เป็นการแสดงกรณีที่เป็นไปได้ท้ังหมดของปัญหา ใช้ได้ดีกับปัญหาท่ีมี
จาํ นวนกรณที ี่เปน็ ไปไดแ้ น่นอน อาจจะใช้แผนภาพต้นไม้ หรือตารางช่วยในการแจกแจงกรณี กไ็ ด้

6. เขียนเป็นประโยคทางคณิตศาสตร์ ประโยคทางคณิตศาสตร์จะประกอบด้วยจํานวนและสัญลักษณ์ ซ่ึง
อาจเป็นประโยคท่เี ป็นจริงหรือเทจ็ ก็ได้ เชน่ 7 + 8 = 12 เปน็ ประโยคทางคณิตศาสตรท์ ่ีเป็นเท็จ และ 4 + 8 = 12 เป็น
ประโยคทางคณิตศาสตร์ท่ีเป็นจริง ประโยคทางคณิตศาสตร์บางประโยคมีจํานวนที่ไม่ทราบค่าอยู่ด้วย ซึ่งเรานิยมใช้
ตัวอกั ษรภาษาองั กฤษแทนจาํ นวนทไี่ มท่ ราบคา่ และเรียกว่า ตัวแปร ประโยคทางคณิตศาสตรท์ มี่ ตี ัวแปรจะเป็นจริงหรอื
เทจ็ กข็ น้ึ อยูก่ ับการเปลย่ี นค่าของตัวแปรนัน้ ๆ เชน่ x + 2 = 5

การเปลย่ี นประโยคขอ้ ความของสถานการณ์ปัญหาให้เปน็ ประโยคทางคณติ ศาสตร์ จะเปน็ การแสดงความเข้าใจ
สถานการณ์ปัญหา และเปน็ การแสดงใหร้ ู้วา่ ต้องคดิ คาํ นวณอย่างไรในการแก้ปัญหาน้ัน ซ่ึงจะนําไปสู่การดําเนินการหาคําตอบ
ทถี่ ูกต้องได้

7. การดาํ เนินการแบบย้อนกลบั ยุทธวธิ ีน้ีเริ่มจากข้อมูลท่ีได้ในข้ันตอนสุดท้าย แล้วทําย้อนขั้นตอนกลับมาสู่
ข้อความท่ีกําหนดให้ในตอนต้น เป็นการวิเคราะห์ข้อมูลที่พิจารณาจากผลย้อนกลับไปสู่เหตุ โดยพิจารณาจากเง่ือนไข
หรือความสัมพันธ์ท่ีเชื่อมโยงระหว่างส่ิงท่ีต้องการหากับส่ิงที่กําหนด การดําเนินการแบบย้อนกลับใช้ได้ดีกับการ
แก้ปญั หาท่ีต้องการอธิบายถงึ ข้นั ตอนต่าง ๆ ท่ที ําใหไ้ ดค้ าํ ตอบ

8. แบ่งเป็นปัญหาย่อย ๆ หรือเปลี่ยนมุมมองปัญหา บางปัญหามีความซับซ้อนหรือมีหลายข้ันตอน เพื่อ
ความสะดวกอาจแบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาย่อย ๆ เพื่อง่ายต่อการหาคําตอบ แล้วนําผลการแก้ปัญหาย่อยๆ นี้ไปตอบ
ปญั หาท่กี าํ หนด หรือบางปญั หาอาจตอ้ งใช้การคดิ และเปลย่ี นมมุ มองทีต่ า่ งไปจากทีค่ นุ้ เคยทตี่ อ้ งทําตามขน้ั ตอนทลี ะขัน้

9. การตัดข้อมูลที่ไม่เกี่ยวข้องออก ปัญหาบางปัญหาอาจมีข้อมูลท้ังท่ีจําเป็นและไม่จําเป็น เราจึงต้องตัด
ขอ้ มูลส่วนท่ีไมจ่ ําเปน็ ออกเพือ่ ที่จะให้เหลือตวั เลือกน้อยลง เพราะการที่จะพยายามใช้ขอ้ มูลท้งั หมดที่ไมม่ ีความหมายจะ
ทําให้เสยี เวลา

ศึกษาเพิ่มเตมิ ที่ http://mathsfree4u.blogspot.com/2012/05/3_29.html

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)