เอกสาร “K-Trick Math Admissions By ครูครรชิต”

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 98

1. ความร้เู บ้ืองตน้ (ต่อ)

การบวกและลบของจาํ นวนเชงิ ซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di และ k

1. z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
2. z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i
3. kz1 = ka + kbi

สมบัตกิ ารบวกของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น

ถา้ z1, z2, z3 แลว้ จะไดว้ า่ (สมบัตปิ ดิ การบวก)
1. z1 + z2
2. z1 + z2 = z2 + z1 (สมบตั กิ ารสลบั ท่ีการบวก)

3. z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 (สมบัติการเปลีย่ นกลุ่มการบวก)
4. z1 + 0 = z1 = 0 + z1 (เอกลักษณ์การบวก)

5. z1 + (-z1) = 0 = (-z1) + z1 (ตัวผกผนั การบวก)

EX จงหาผลสําเรจ็ ของ 2(5 + 4i) – 7(3 – 2i)

Sol 2(5 + 4i) – 7(3 + 9i) = 10 + 8i – 21 – 14i

= -11 – 6i

การคูณและหารของจํานวนเชงิ ซ้อน

K-Know ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di และ k
z = a + bi
1. z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
z1 1 (c  di)
1  1 2. z2 = (a + bi) (c + di) = (a + bi) c2 + d2
z a + bi
z-1 = = สมบัตกิ ารคณู ของจํานวนเชงิ ซอ้ น

= a bi ถ้า z1, z2, z3 แลว้ จะได้ว่า (สมบัตปิ ดิ การคณู )
a2 +b2 1. z1z2 (สมบตั กิ ารสลบั ที่การคูณ)
2. z1z2 = z2z1 (สมบตั ิการเปลย่ี นกลมุ่ การคูณ)
3. z1(z2z3) = (z1z2)z3 (เอกลักษณ์การคูณ)
4. z1●1 = z1 = 1●z1

5. z1 z1-1 = 1 = z1-1 z1 (ตัวผกผนั การคูณ)
6. z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 (สมบตั ิการแจกแจง)
2 + 3i
EX จงหาคา่ ของ 3 + 4i

Sol 2 + 3i = (2 + 3i)  3  4i  = (2 + 3i)  3  4 i 
3 + 4i  32 + 42   25 25 

= 6 + 12 +  9  8  i = 18 + 1 i
25 25  25 25  25 25

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 99

1. ความรู้เบ้ืองตน้ (ต่อ)

สังยคุ ของจาํ นวนเชิงซ้อน (Conjugate of Complex Numbers)

EX ให้ z = a + bi, a, b สังยคุ ของ z และเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ z
1. -2 -4i = -2 + 4i
2. i - 8 = -8 – i z = a+bi = a bi
3. 3i = -3i
4. -55 = -55 สมบตั ขิ องสังยุคของจาํ นวนเชิงซ้อน ให้ z, z1, z2

K-Know 1. z + z = 2Re(z) = 2a 6. zz = a2 +b2
คา่ สัมบูรณ์ของ z คอื 2. z  z = 2Im(z)i =2bi
1. ระยะทางท่ี z ห่างจาก 3. z = z 7. z1  z2 = z1  z2
จดุ (0, 0) 8. z1  z2 = z1  z2
2. ขนาดของเวกเตอร์ท่ี 1 1
แทน z 4. z =  z  , z0 9. z1z2 = z1z2
 
 z1  z1
5. zn = zn , n 10.  z2   z2 , z2  0
 
EX ให้ z = 3 + 4i จงหา z2+ z 2 EX ให้ iz +6 -4z = 5 จงหา z-1
Sol z2 + z 2
= z2 + 2z z + z 2– 2z z Sol iz +6-4z = 5

= (z + z )2 – 2z z iz + 6 – 4z = 5

= (3+4i+3–4i)2–2(32+42) 6 + z(i – 4) = 5

z(i – 4) = -1

= 36 – 50 z(4 – i) = 1
= -14 ดงั น้ัน z-1 = 4 – i

2. กราฟและคา่ สัมบรู ณ์

กราฟและคา่ สัมบูรณ์ของจํานวนเชงิ ซ้อน (Graph and Absolute value of

K-Note Complex Numbers)

กราฟค่าสัมบูรณ์ ให้ z = a + bi = (a. b), a, b
ของจาํ นวนเชงิ ซ้อน คา่ สัมบรู ณ์ของ z และเขียนแทนด้วย
สญั ลักษณ์ | z |
ถา้ a ,r แล้ว
{z | |z – a| r} | z | = a2 +b2
คอื จุดท้งั หมดในระนาบ

เชิงซอ้ นท่ีมีระยะหา่ งจาก a คา่ สัมบูรณ์ของ 3 + 4i คือ |3 + 4i = 32 +42 = 5

น้อยกวา่ หรอื เท่ากบั r ซ่ึงก็ EX ค่าสมั บูรณ์ของ -3 + 2 i คอื |-3 + 2 i| = (-3)2 +( 2)2 = 11
คือเซตของจุดท้งั หมดท่ีอยู่ ค่าสัมบรู ณ์ของ -7i คือ |-7i| = 02 +(-7)2 = 7
ภายในวงกลมทม่ี ี a เป็น ค่าสมั บูรณ์ของ 55 คอื |55| = 55
จดุ ศนู ย์กลาง รัศมี r หนว่ ย

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 100

2. กราฟและคา่ สัมบูรณ์

กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น (ต่อ)

สมบตั คิ า่ สมั บรู ณ์ของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น ให้ z, z1, z2

ให้ z, z1, z2 6. | z-1 | =| z |-1 | 1
1. | z | = | -z | =| z | =| - z | z

2. | z |2 = a2 +b2 = z z |

3. | z1z2 | = | z1 || z2 | 7. | z1 +z2 |  | z1 | + | z2 |
z1 | z1
4. z2  | z2 | , z2 0 8. | z1  z2 |  | z1 |  | z2 |
| 9. | z | = 0  z = 0

5. | zn | =| z |n, n 10. | in | =1, n

K-Trick 1. | z1 +z2 |2 = | z1 |2 +| z2 |2 +(z1z2 +z1z2)
2. | z1  z2 |2 = | z1 |2 +| z2 |2 (z1z2 +z1z2)

EX ให้ z โดยท่ี z  0 และ (5 – 12i)z3(-3 + 4i) = 260 z จงหา | z |
Sol จาก (5 – 12i)z3(-3 + 4i) = 260 z

จะได้ |(5 – 12i)z3(-3 + 4i)| = |260 z |
|5 – 12i||z3||-3 + 4i| = |260 z |
(13) | z |3(5) = 260| z |

| z |2 = 4
ดังน้นั | z | = 2

ตวั ผกผันการคูณของจํานวนเชิงซอ้ น

K-Trick z = a + bi  z-1 = 1 = 1 = a bi
z a + bi a2 +b2
การหารจาํ นวนเชิงซอ้ น
z1 = | z
z2 z |2

 EX ให้ z1, z2 โดยท่ี z1 + z2= 2 และ |z1| = |z2| = 1 จงหา z1-1 + z2-1

z1 = z1z2 Sol เน่อื งจาก z1-1 + z2-1 = | zz11|2  | zz22|2
z2 z2z2
1
= z2z2 (z1 z2 ) = z1  z2

= z1  z2

= 2= 2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 101

3. จํานวนเชงิ ซ้อนในรปู เชิงขวั้ K-Remark เมอื่ k I , cos = cos( +2k π ) และ
บทนิยามและกราฟ sin = sin( +2k π )

z = r (cos + isin ) = r[cos( +2k π )+ isin( +2k π )]

(Polar form of complex numbers)

z = a + bi = (|z|cos ) + (|z|sin )i

= |z|(cos + isin )

= r (cos + isin ) (เรยี กวา่ รปู เชงิ ขั้ว)

= r cis( ) b
a
b a โดยที่ r = |z|, tan =
z |z
จากรูป sin = | | , cos = | เรียก ว่า อารก์ ิวเมนต์ (argument)

EX จงเขยี นจํานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ใี หอ้ ยใู่ นรูปเชงิ ขั้ว

Sol 1. 1 + i

จะไดว้ ่า r = 12 +12  2
เนือ่ งจาก 1
tan = 1 = 1 จงึ ไดว้ ่า = 

4

ดงั นนั้ รูปเชิงข้ัวของ 1 + i คอื 2 (cos  ) + isin  )

2. -2 – 2i 4 4

จะไดว้ ่า r = (-2)2 +(-2)2  8  2 2
เนอื่ งจาก -2 5
tan = -2 = 1 จึงได้วา่ = 4

เพราะจุด (-2, -2) อยู่ในควอดรนั ต์ที่ 3 5 5
4 4
ดังนั้น รปู เชงิ ขั้วของ -2 – 2i คอื 2 2 (cos ) + isin )

ทฤษฎีบท

ให้ z = r cis( ), z1 = r1 cis( 1 ) และ z2 = r2 cis( 2 ) 1 1
z1 r1
1. z1z2 = r1r2 cis( 1 + 2 ) 4. = (cos – isin )
z1 r1
2. z2 = r2 cis( 1 2) 5. zn = rn cis(n ), n I

3. z1 = r1 cis(- 1 ) (ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ : De Moiver’s theorem)

EX ให้ z1=4(cos50๐+isin50๐), z2=3(sin60๐+isin30๐) และ z3=6(cos10๐–isin10๐) จงหา |z1z2 z3-1 |
Sol เน่อื งจาก z1 = 4(cos50๐+isin50๐) = 4cis50๐
z2 = 3(sin60๐+isin30๐) = 3(cos30๐+isin30๐) = 3cis30๐
z3 = 6(cos10๐–isin10๐) = 6(cos(-10)๐+isin(-10)๐) = 6cis(-10)๐
4  3
ดงั น้ัน |z1z2 z3-1 | = | 6 cis(50๐+30๐–(-10)๐)| = |2cis90๐| = |2i| = 2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 102

3. จํานวนเชงิ ซ้อนในรปู เชงิ ขัว้ (ต่อ)

ทฤษฎีบท (ตอ่ ) 15

EX ให้ z1=cos12๐ + isin12๐) และ z2=-cos16๐– isin16๐ จงหา  z1 
 z2
cos12๐ + isin12๐) = cis12๐ 
-cos16๐– isin16๐ = -(cos16๐+isin16๐)
Sol เน่อื งจาก z1 = -cis16๐
z2 =
z1 =
z2
ฉะนั้น = -cis(-4)๐

ดงั น้นั  z1 15 = (-1)15[cis(-4)๐)]15 = (-1)cis(-60๐)
 z2 
 

= (-1)[cos(-60๐) + sin(-60๐)] = (-1)[ 1 – 3 i]
2 2
1 3
= - 2 + 2 i

รากที่ n ของจํานวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Numbers)

ให้ z = r (cos + isin ) = r[cos( +2k π )+ isin( +2k π )] เมื่อ k I
1 1 1
= [cos  + 2k  + isin  + 2k  ] = cis  + 2k 
zn rn  n   n  rn  n 

โดยที่ k = 0, 1, 2, 3, …, n–1

K-Trick

1. รากท่ี n ของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น มที ้ังหมด n ตวั

2. การหารากท่ี n ทงั้ หมดของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น z = r (cos + isin ) ทําไดด้ งั น้ี

1

ขั้นท่ี 1 : หา z0 ซึ่งเปน็ รากตัวแรก โดยใช้สูตร z0 = rn [cos n + isin n ]

ข้ันที่ 2 : หาผลตา่ งของอารก์ ิวเมนต์ ( ) ของราก ได้จาก 360
n
ข้ันที่ 3 : หาราก z1, z2, z3, ..., zn-1 โดยการนาํ ผลตา่ งของอารก์ วิ เมนต์ทห่ี าได้จากขนั้ ท่ี 2
ไปบวกกบั อารก์ ิวเมนต์ของรากทม่ี าก่อน ไปเรือ่ ย ๆ จนครบ n
EX จงหาราที่ 5 ของ 32(cos45๐ + isin45๐)
1
Sol ข้นั ที่ 1 : หา z0 ซ่ึงเป็นรากตัวแรก โดยใชส้ ูตร z0 = [cos 45 + isin 45 ] = 2cis9๐
325 5 5

ขนั้ ที่ 2 : หาผลต่างของอาร์กิวเมนต์ ( ) ของราก ได้จาก 360 = 72
5
ขน้ั ที่ 3 : z1 = 2cis(9๐+72๐) = 2cis(81๐) z2 = 2cis(81๐+72๐) = 2cis(153๐)
z3 = 2cis(153๐+72๐) = 2cis(225๐) z4 = 2cis(225๐+72๐) = 2cis(297๐)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 103

4. สมการพหุนาม K-Note ถา้ P(x) เปน็ พหุนามดกี รี n แล้วสมการ P(x) = 0 จะมคี าํ ตอบ

ทัง้ หมด n คาํ ตอบ (นบั คาํ ตอบทซี่ ้ํากนั ดว้ ย)

ทฤษฎบี ทเศษเหลอื

K-Trick พหุนามดกี รี n : P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดยที่ n I + และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 ซง่ึ an 0
ถ้าหารพหนุ าม P(x) ด้วย ทฤษฎบี ทเศษเหลือ (Remainder theorem)

ax – b แล้วเศษเหลือจะ ถา้ หารพหุนาม P(x) ดว้ ย x – c เมอ่ื c แล้วเศษเหลอื จะเทา่ กับ P(c)
b ทฤษฎบี ทตัวประกอบ (Factor theorem)
เท่ากบั P( a )
พหนุ าม P(x) มี x – c เป็นตวั ประกอบ  P(c) = 0
ถ้า P( b ) = 0 แลว้
a EX จงหาเศษเหลอื เมอ่ื หาร P(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 ดว้ ย x – 2
ax – b จะเป็น Sol เศษเหลือเท่ากบั P(2) = (2)3 – 5(2)2 + 2(2) + 8

ตัวประกอบของ P(x) = 8 – 20 + 4 + 8 = 0
ฉะนั้น P(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 มี x – 2 เป็นตัวประกอบ

ทฤษฎบี ทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ (Rational factor theorem)

ถ้า x – k เป็นตัวประกอบพหุนาม P(x) โดยท่ี m, k I ซึ่ง m 0
m
และ (m, k) = 1 แลว้ m | an และ k | a0

ขั้นตอนการแยกตวั ประกอบของพหุนาม P(x) ไดศ้ กึ ษาไปในระบบจาํ นวนจรงิ

ทฤษฎบี ทสังยคุ ของรากของสมการ

K-Trick สมการพหุนาม : P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0 = 0
โดยที่ n I + และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 ซง่ึ an 0
c เปน็ คาํ ตอบของ ถ้า a + bi เปน็ คาํ ตอบของ P(x) แล้ว a – bi จะเปน็ คาํ ตอบของ P(x) ดว้ ย
P(x) = 0
EX ให้ P(x) = 2x3 + ax2 + bx + 10 โดยที่ a, b และ 2 + i เป็น
x–c เป็นตวั ประกอบP(x)
คาํ ตอบของ P(x) = 0 จงหาเศษจากการหาร P(x) ดว้ ย x – 1

Sol เนือ่ งจาก 2 + i เปน็ คําตอบของ P(x) = 0

ฉะนัน้ 2 – i เปน็ คําตอบของ P(x) = 0 ดว้ ย

ให้ mx + k เป็นตัวประกอบของ P(x)=0 โดยที่ m,k

ฉะนัน้ P(x) = [x – (2 + i)][x – (2 – i)](mx + k)
= (x2 – 4x + 5)(mx + k)
แต่
ฉะนนั้ P(x) = 2x3 + ax2 + bx + 10 m = 2, k = 2
เพราะฉะนั้น P(x) = (x2 – 4x + 5)(2x + 2)
P(1) = [(1)2 – 4(1) + 5][2(1) + 2] = 8

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 104

K-Trick

นา่ สนใจ 1

รากทส่ี องของจาํ นวนเชิงซ้อน (Square Roots of Complex Numbers)

กาํ หนดจํานวนเชงิ ซอ้ น z = a  bi และให้ r = a2 +b2 จะได้วา่

1. z = a + bi  รากทส่ี องของ z คอื  r +a  r  a i 
 2
 2 

2. z = a – bi  รากท่สี องของ z คอื  r +a  r  ai 
 2 
 2 

EX จงหารากที่สองของ 4 + 4 3 i

Sol ให้ z = 4 + 4 3 i จะไดว้ า่

r = (4)2 +(4 3)2 = 16+48 = 64 = 8

เนอื่ งจาก y = 4 3  0 ดงั นั้น รากทสี่ องของ 4 + 4 3 i คอื

 8 + 4  8  4 i   ( 6 2i)
 2 
2 


ดงั นัน้ รากท่ีสองของ 4 + 4 3 i คอื 6  2i และ  6  2i

นา่ สนใจ 2

กาํ หนดจาํ นวนเชงิ ซ้อน zn = a  bi โดยที่ a, b และ
z1, z2, z3, …, zn เป็นราก/คาํ ตอบของสมการ จะได้ว่า

1. z1 + z2 + z3 + … + zn = 0
2. |z1| = |z2| = |z3| = … = |zn| = 2n a2 +b2

EX ให้ z1 และ z2 เปน็ รากของสมการ x2 = -2–2 3 i จงหา |z1|2 +|z2|2

Sol เน่อื งจาก (z1)2 = -2 – 2 3 i จะได้ |z1|2 = |-2–2 3 i | = 4

ดงั นั้น |z1|2 +|z2|2 = 2|z1|2 = 2(4) = 8

EX ให้ z1, z2, z3, z4 เป็นรากของสมการ z4 + z2 + 2 = 0
จงหา |z1| + |+z2z| 2++|z23| + |z4|
Sol เน่อื งจาก z4 = 0 จะได้ (z2)2 + z2 + 2 = 0

โดยสตู รสมการกาํ ลงั สอง จะได้ z2 = -1+ 7i , -1  7i
2
2

ฉะน้นั |z1|2 = 2  |z1| = 4 2 9

ดงั นน้ั |z1| + |z2| + |z3| + |z4| = 4|z1| = 442 = 24

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 105

K-Trick

นา่ สนใจ 3

สมการพหุนาม P(x) = 0 ซึ่งมีสัมประสิทธ์เปน็ จาํ นวนตรรกยะ
ถา้ a + b เปน็ คาํ ตอบหนึ่งของสมการนี้ โดยที่ a, b และ

b แล้ว a – b จะเป็นคาํ ตอบของสมการพหุนามนด้ี ว้ ย ในทางกลับกนั

ถ้า a – b เป็นคําตอบของสมการ แลว้ a + b จะเปน็ คําตอบของสมการเช่นกัน
EX ถ้า 3 เป็นคําตอบหนึ่งของสมการ x4 – 4x3 + 10x2 + 12x – 39 = 0

จงหาเซตคาํ ตอบของสมการนี้
Sol ให้ P(x) = x4 – 4x3 + 10x2 + 12x – 39

เน่อื งจากสัมประสิทธข์ิ องสมการน้ีเปน็ จํานวนตรรกยะ และ 3 เป็น
เป็นคําตอบของสมการน้ี จะไดว้ า่ - 3 เปน็ คําตอบของสมการเช่นกนั
ดงั นน้ั x – 3 และ x + 3 จะเป็นตวั ประกอบของ P(x)
โดยการหารสงั เคราะห์ (ทําเงียบ ๆ คนเดยี วทีบ่ า้ นนะ) จะได้
x4 – 4x3 + 10x2 + 12x – 39 = (x – 3 )(x + 3 )(x2 – 4x + 13)
แต่ P(x) = 0 จงึ ไดว้ ่า x = 3 , - 3 , 2±3i
ดงั นน้ั เซตคําตอบสมการคือ { 3, - 3, 2+3i, 2 3i}

น่าสนใจ 4

ทฤษฎีบทตวั ประกอบของจํานวนตรรกยะ (เพมิ่ เตมิ )

สมการพหุนามทมี่ ีสมั ประสิทธเ์ ปน็ จํานวนเต็ม โดยที่ n I + (an = 1)
xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0 = 0 …(1)

ถ้าจํานวนตรรกยะ q เป็นคําตอบของสมการ (1) แล้ว q จะเป็น

จํานวนเต็มและเป็นตวั ประกอบของ a0
EX จงหาเซตคําตอบของสมการ x3 + 2x2 – 7x + 4 = 0

Sol ตวั ประกอบของ 4 ไดแ้ ก่ 1, -1, 2, -2, 4, -4

โดยการหารสังเคราะห์ (ลองกลบั ไปทาํ เงยี บ ๆ คนเดยี วท่ีบ้านนะ) จะได้
x3 + 2x2 – 7x + 4 = (x – 1)(x – 1)(x + 4)
แต่ x3 + 2x2 – 7x + 4 = 0 จึงไดว้ า่ x = 1, 1, -4

ดงั น้ัน เซตคําตอบสมการคือ {1, 1, -4}

น่าสนใจ 5 สมการพหุนาม anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0 = 0
an-1
1. ผลบวกของราก = - an

2. ผลคณู ของราก = (-1)n a0
an
an-2
3. ผลบวกของผลคณู ของราก = an

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 106

ความนา่ จะเป็น
(Probability)

K-Concept : ความนา่ จะเป็น

1. พื้นฐาน กฎการนับเบอื้ งต้น
นิยามความน่าจะเปน็
สมบัตขิ องความนา่ จะเป็น

2. การเรียงสบั เปล่ียน แนวเส้นตรง ไม่มีของซา้ํ
3. การจดั หมู่ แนวเสน้ ตรง มีของซํ้า
แนววงกลม ไมม่ ีของซ้าํ
แนววงกลม มขี องซํา้

4. เซตกบั ความน่าจะเป็น

5. ทฤษฏบี ททวินาม

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 107

1. พื้นฐาน ถ้างานงานหนึ่งถูกแบ่งเป็นหลายข้ันตอน จํานวนวิธี
ทํางานใช้กฎการคูณ แต่ถ้าการทํางานต้องมีการแบ่งกรณี ให้ใช้
กฎการนบั เบื้องต้น กฎการบวก

กฎการคูณ  แยกงานหลักออกเป็นงานย่อย k อยา่ ง
กฎการบวก จํานวนวิธีทํางาน = n1 n2 n3 … nk วิธี

 แยกงานทเี่ สร็จแลว้ ออกเปน็ k กรณียอ่ ย
จํานวนวิธีทาํ งาน = n1 + n2 + n3 + … + nk วธิ ี

EX นําตัวเลข 0 – 9 มาสร้างจํานวนคูส่ ามหลกั ไดก้ จ่ี าํ นวนตามเงอ่ื นไข
Sol 1. ใชต้ ัวเลขซํา้ ได้

จํานวนที่สรา้ งได้ = 9 x 10 x 5 = 450 จํานวน
(1-9) (0-9) (0,2,4,6,8)

2. ห้ามใชต้ ัวเลขซํ้า
กรณีท่ี 1 ลงทา้ ยดว้ ย 0
จํานวนทส่ี ร้างได้ = 9 x 8 x 1 = 72 จํานวน
(1-9) (0)
กรณีท่ี 2 ไมไ่ ดล้ งทา้ ยด้วย 0
จํานวนที่สรา้ งได้ = 8 x 8 x 4 = 256 จํานวน
(  0) (2,4,6,8)

ดงั น้นั จํานวนที่สร้างได้ทั้งหมด = 72 + 256 = 328 จํานวน

นิยามความนา่ จะเปน็

แซมเปิลสเปชหรือปริภูมิตัวอย่าง (Sample space : S) คือ เซตของเหตุการณ์

ท้ังหมดจากการทดลองสุ่ม (การทดลองสุ่ม : การทดลองท่ีรู้ว่าจะเกิดอะไร แต่ไม่รู้ว่าต้อง

เกิดอะไร)

เหตกุ ารณ์ (Event : E) คือ สบั เซตของแซมเปลิ สเปช (เหตกุ ารณท์ ่ีเราสนใจ)

ความน่าจะเป็น (Probability : P) คือ จํานวนที่บอกให้รู้ว่า เหตุการณ์ที่เรา

สนใจมีโอกาสเกิดข้ึนมากน้อยเพียงใด คาํ นวณไดจ้ ากสูตร
n(E)
P(E) = n(S)

EX โยนเหรียญหนึง่ เหรียญ 3 ครงั้ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเหรียญจะข้ึน

หัวทงั้ หมดหรอื ก้อยท้ังหมด

Sol จากโจทย์ S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

ฉะน้นั n(S) = 8

และ E = {HHH, TTT}

ฉะน้นั n(E) = 2 1
2 4
ดงั น้ัน P(E) = 8 =

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 108

1. พ้นื ฐาน (ต่อ) เหตกุ ารณ์ E ไม่มโี อกาสเกิดขน้ึ  E = 
เหตกุ ารณ์ E จะเกดิ ขน้ึ อยา่ งแนน่ อน  E = S

สมบตั ิของความนา่ จะเปน็

1. 0  P(E)  1
 P(E) = 0 แปลว่า เหตุการณ์ E ไมม่ โี อกาสเกิดขึน้ เลย n(E) = 0
 P(E) = 1 แปลว่า เหตกุ ารณ์ E จะเกดิ ขึน้ อยา่ งแน่นอน n(E)=n(S)

2. ความนา่ จะเปน็ ของแซมเปิลสเปซ S มคี ่าเท่ากบั 1  P(S) = 1

3. ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ เี่ ป็นเซตว่าง มคี ่าเท่ากับ 0  P( ) = 0

2. การเรยี งสบั เปล่ยี น การเรยี งสบั เปลยี่ นจะถือวา่ ลาํ ดบั มีความสาํ คัญ ดังนัน้ หยบิ กอ่ นหยิบหลัง
ตาํ แหนง่ สลับกัน จะถือวา่ เป็นวธิ ีใหม่ทนั ที เช่น AB ไมเ่ หมือนกบั BA

แนวเส้นตรง ไมม่ ขี องซ้ํา

K-Word มีของแตกต่างกัน n ส่ิง นํามาเรียงเป็นเส้นตรง r สิ่ง (0 r  n)
n!
การเรียงสับเปลี่ยน จาํ นวนวธิ ใี นการเรียงสับเปล่ยี น คือ Pn,r = (n - r)!
Permutation
โดยที่ n! = n(n–1)(n–2)…(3)(2)(1) และ 0! = 1
n! = n factorial

EX มเี ลขโดดอยู่ 9 ตัว คอื 1, 2, 3, …, 9 จะสร้างเลขบวก 5 หลักได้ก่จี ํานวน
9! 9!
Sol จาํ นวนบวกหา้ หลัก = P9,5 = (9 -5)! = 4! = 9  8  7  6  5 = 15120

EX มีตําแหน่งงานต่าง ๆ กันว่างอยู่ 3 ตําแหน่ง แต่มีคนมาสมัคร 5 คน ทาง

บริษทั มีวิธีคัดเลอื กคนเข้าทํางานได้กี่วิธี

Sol บรษิ ัทมีวธิ ีคัดเลอื กคนเข้าทํางานได้ เทา่ กบั
5! 5!
P5,3 = (5 - 3)! = 2! = 543 = 60 วธิ ี

แนวเส้นตรง มีของซ้ํา

K-Note มีของแตกต่างกัน n ส่ิง และมีสิ่งของท่ีซํ้า แบ่งเป็น k กลุ่ม
กลมุ่ ท่ี 1 มขี องซ้ํากนั n1 สง่ิ
มีของแตกต่างกัน n
สิง่ นาํ มาเรียงเป็นเส้นตรง กลุ่มที่ k มีของซาํ้ กนั nk สง่ิ n!
ท้ังหมดจํานวนวิธีในการ n1!n2!n3!...nk!
จาํ นวนวิธีในการเรียงสบั เปลีย่ น คือ
เรยี งสับเปล่ยี น คอื n!

EX จะเรียงสบั เปล่ยี นตวั อกั ษรจากคําว่า mathematics ไดก้ ่วี ธิ ี
Sol คําวา่ mathematics ประกอบด้วยอักษร 11 ตัว เปน็ m 2 ตวั a 2 ตัว t

2 ตัว และ h, e, I, c, s อยา่ งละ 1 ตัว ดังน้นั จะจดั เรียงสบั เปลยี่ นได้ 11! วิธี
2!2!2!

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 109

2. การเรยี งสับเปล่ียน (ต่อ)

แนววงกลม ไม่มีของซ้ํา

นําของแตกตา่ งกนั n ส่ิง นาํ มาเรยี งเป็นวงกลม
จาํ นวนวิธใี นการเรยี งสบั เปลี่ยน คือ (n – 1)!

EX จะจดั หลอดไฟสตี า่ ง ๆ กัน 10 หลอด ประดบั รอบสระนํา้ รูปวงกลมได้ก่ีวธิ ี
Sol จะจดั หลอดไฟได้ (10 – 1)! = 9! วธิ ี

EX จะจัดให้ผชู้ าย 5 คน และผู้หญิง 5 คน นงั่ ประชมุ รอบโตะ๊ กลมได้กว่ี ธิ ี ถา้

ใหผ้ ชู้ ายและผู้หญงิ น่ังสลับท่กี ัน

Sol จดั ผชู้ ายใหน้ ง่ั ได้ (5 – 1)! = 4! วิธี

จดั ผู้หญิงเข้าน่ังแทรกได้ 5! วิธี

ดังนนั้ จํานวนวิธีท้งั หมดเทา่ กบั 4!5! วิธี

แนววงกลม มขี องซํ้า

มีของแตกต่างกัน n ส่ิง และมีสิ่งของที่ซํ้า แบ่งเป็น k กลุ่ม
กลมุ่ ที่ 1 มขี องซา้ํ กัน n1 สง่ิ

กลุ่มที่ k มีของซา้ํ กนั nk สง่ิ โดยที่ ห.ร.ม.ของ n1,…, nk เทา่ กบั 1
(n - 1)!
จาํ นวนวธิ ีในการเรยี งสับเปลย่ี น คือ n1!n2!n3!...nk!

ถ้า ห.ร.ม.ของ n1,…, nk ไม่เท่ากับ 1 ใหค้ ิดแยกกรณี

EX มีลูกบอลสีเขียว 3 ลูก สีเหลือง 2 ลูก ลูกบอลสีเดียวกันไม่แตกต่างกัน
นาํ มาเรียงเป็นวงกลมได้กี่วธิ ี

Sol จํานวนวิธีเรยี งเปน็ วงกลมได้ (5 - 1)! = 2 วิธี
3!2!

EX มีลูกบอลสีเขียว 2 ลูก สีเหลือง 2 ลูก ลูกบอลสีเดียวกันไม่แตกต่างกัน
นํามาเรยี งเป็นวงกลมได้กวี่ ธิ ี

Sol ห.ร.ม. (2, 2) = 2  1
แยกกรณี
1) สีเดียวกันตดิ กนั จาํ นวนวธิ ีเรยี งเปน็ วงกลมได้ 1 วิธี
2) สเี ดียวกนั แยกกนั จาํ นวนวิธีเรยี งเปน็ วงกลมได้ 1 วธิ ี

ดังน้นั จํานวนวธิ ีเรียงเปน็ วงกลมทง้ั หมดได้ 1 + 1 = 2 วธิ ี

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 110
3. การจัดหมู่

หลกั สําคัญ

K-Word การจัดหมู่จะถือว่า ลําดับไม่สําคัญ (ดูผลสุดท้ายทีเดียว) หยิบ

การจดั หมู่ ก่อนหยิบหลัง ตําแหน่งสลับกัน จะคือว่าเหมือนกัน (นับเป็นหนึ่ง) เช่น
Combination
AB จะเหมอื นกนั BA

K-Note มขี องแตกตา่ งกนั ท้งั หมด n สิ่ง เลอื กมา r สง่ิ (0 r  n)

 n  =  n  จาํ นวนวธิ ใี นการเลอื ก คอื Cn,r =  n  = (n n!
 r   nr   r  - r)!r!

EX EX จาํ นวนวธิ ที ้งั หมดในการเลือกคณะกรรมการ 3 คน จากผสู้ มคั ร 10 คน

 10   10  เท่ากบั เท่าใด 10! 1098
 2r -1   r+2  10! 7!3! 6
= Sol C10,3 = (10 -3)!3! = = = 120 วิธี

จงหา P10,r ดงั นัน้ จํานวนวธิ ที ้ังหมดในการเลอื กคณะกรรมการเท่ากบั 120 วธิ ี
จาก K-Note จะได้
EX ต้องการเลือกสมาชิก 4 คน จากสมาชิกทั้งหมด 12 คน เพ่ือเป็นตัวแทนเข้า

2r–1+r+2 = 10 ร่วมประชุม ถ้าในสมาชิก 12 คนน้ีมีสามีภรรยาคู่หน่ึง ซ่ึงถ้าคนใดคนหน่ึงได้

r=3 เป็นตวั แทนอีกคนต้องไดเ้ ปน็ ด้วยวธิ ี จงหาจาํ นวนวธิ ีเลอื กตวั แทนท้ังหมด

 P10,r = P10,3 Sol กรณีท่ี 1 สามภี รรยาไดเ้ ปน็ คณะกรรมการ วิธีเลือกสมาชกิ ทเ่ี หลอื เทา่ กบั
10! 10! 109
= 10x9x8 C10,2 = (10 -2)!2! = 8!2! = 2 = 45 วธิ ี

= 720 กรณีท่ี 2 สามภี รรยาไม่ไดเ้ ป็นคณะกรรมการ วิธเี ลอื กคณะกรรมการเท่ากบั

C10,4 = 10! = 10! = 10987 = 210 วิธี
(10 -4)!2! 6!4! 4321

ดังนัน้ จํานวนวธิ ที ง้ั หมดเท่ากับ 45 + 210 = 255 วิธี

4. เซตกบั ความน่าจะเปน็

1. P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A B)
2. A  B =   P(A  B) = P(A) + P(B)
3. P(A) = 1 – P( A)
4. P(A – B) = P(A B ) =P(A) – P(A  B)

EX ถ้าแต่ละวันในเดือนสิงหาคม มีความน่าจะเป็นท่ีจะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็นเท่ากับ 0.86 ความ
นา่ จะเปน็ ทจ่ี ะมีฝนตกตอนเย็นเท่ากับ 0.67 และความน่าจะเป็นท่ีจะมีฝนตกท้ังตอนเช้าและตอนเย็น
เทา่ กับ 0.35 แล้วความน่าจะเป็นทีจ่ ะมฝี นตกในตอนเชา้ มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด (O-NET 57)

Sol P(A) = P(A  B) + P(A  B) – P(B) = 0.86 + 0.35 – 0.67 = 0.54

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 111
4. เซตกับความนา่ จะเปน็ (ต่อ)

EX กําหนดให้ P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A  B) = 0.2 จงหา P (A B)
Sol จาก P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

= 0.5 + 0.3 – 0.2 = 0.6
ดังนัน้ P (A B) = 1 – P(A  B)

= 1 – 0.6 = 0.4

5. ทฤษฏีบททวนิ าม (Binomial theorem)

กาํ หนดให้ x, y เปน็ จาํ นวนจรงิ n, r เปน็ จํานวนจรงิ ใด ๆ และ 0 r  n

(x + y)n =  n  xn +  n  xn-1y + ... +  n  xn-r yr + ... +  n  yn
 0   1   r   n 
       

K-Note
1. (x + y)n กระจายได้ n + 1 พจน์

2. จาํ นวน  n  , n  , ...,  n  , ..., n เรียกวา่ “สมั ประสทิ ธ์ทิ วนิ าม”
 0   1   r   n (Binomial coefficient)

3. ผลบวกของสมั ประสิทธ์ิทวินามจากการกระจาย (ax + by)n

3.1 ผลบวกของสมั ประสิทธิ์ทวนิ าม  n  + n  +  n  + ... +  n  = 2n
 0     2   n 
   1     

3.2 ผลบวกของสมั ประสทิ ธิ์ของทุกพจน์ (a + b)n (แทน x = y = 1)

4. พจนท์ ่ี r + 1 ของการกระจาย หาได้จากสตู ร Tr+1 =  n  xn-r yr
 r 

EX จงหาพจน์ท่ี 4 ของการกระจาย (2x + 3y)9

Sol T4 = T3+1 =  9  (2x)9-3 (3y)3 = 84  64  27x6y3 = 145,152x6y3
 3 
 
ดงั นน้ั พจน์ที่ 4 ของการกระจาย (2x + 3y)9 คือ 145,152x6y3
EX จงหาพจนท์ มี่ ี y4 และผลบวกของสัมประสิทธ์ิของทุกพจน์จากการกระจาย (y2 + y-1)8

Sol จาก Tr+1 =  8  (y2 )8-r (y-1 )r =  8  y16-3r  16 – 3r = 4  r=4
 r   r 
   

ฉะน้ัน T5 =  8  y4 และ ผลบวกของสัมประสทิ ธิ์ของทกุ พจน์จากการกระจาย (y2 + y-1)8
 4 
 
คือ (1 + 1)8 = 28
(แทน y = 1)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 112

การวเิ คราะหข์ ้อมลู เบอ้ื งต้น
(Data analysis)

K-Concept : การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องตน้ ความหมายสถิติ
1. สถิติเบ้อื งต้น ประเภทของข้อมูล
การแจกแจงความถี่ของข้อมูล
แผนภาพต้น-ใบ

2. คา่ กลางของข้อมูล คา่ เฉล่ยี เลขคณติ
คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ถว่ งน้าํ หนกั
คา่ เฉลี่ยเลขคณิตรวม

คา่ มัธยฐาน
คา่ ฐานนิยม
ค่ากึง่ กลางพสิ ัย
สมบัตขิ องค่ากลางของข้อมูล

3. การวัดตําแหนง่ ที่ของขอ้ มูล Qr, Dr, Pr
แผนภาพกล่อง

4. การวดั การกระจายของข้อมูล การกระจายสมั บูรณ/์ สัมพัทธ์
ความแปรปรวน
สมบัตขิ องการกระจาย

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 113

1. สถติ ิเบื้องต้น

ความหมายสถิติ

สถิติ  1. สถิติ (statistics) หมายถึงข้อมูลตัวเลข (numerical data)
ได้จากการรวบรวมตัวเลขหลายตัว เช่น ปริมาณนํ้าฝน จํานวนนักท่องเที่ยว
มลู คา่ สนิ ค้าทสี่ ่งออก ฯลฯ

2. สถติ ิ (statistics) หมายถงึ วิชาสถติ ิ ซ่ึงแบ่งเป็น 2 ส่วน คือ
สถติ ิเชงิ พรรณนา (descriptive statistics) สถติ อิ นุกรม (inferential statistics)
สถิติ  การประมวลผลจากข้อมูลทเ่ี ก็บรวบรวมได้ มี 4 ข้ันตอน

1. การเก็บรวบรวมข้อมลู
2. การนาํ เสนอข้อมลู
3. การวิเคราะห์ข้อมลู
4. การแปลผล/สรปุ ผล

ประเภทของข้อมูล (Data)

แบง่ ตามวธิ กี ารเก็บข้อมลู แบ่งตามลักษณะของข้อมูล
ข้อมูลปฐมภมู ิ (Primary data)
 ข้อมลู ท่ีผ้ใู ชต้ ้องเก็บรวบรวมจาก ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quantitative data)
 ข้อมูลทเ่ี ป็นตวั เลขหรอื ปรมิ าณ
ผใู้ ห้ขอ้ มูลโดยตรง
และสื่อความหมายตามคา่ ของ
ข้อมูลทตุ ิยภูมิ (Secondary data) ตวั เลขไดโ้ ดยตรง เช่น รายได้ อายุ
 ข้อมลู ที่ผู้ใช้ไม่ต้องเกบ็ รวบรวม สว่ นสูง นํา้ หนกั เป็นต้น

จากผู้ให้ข้อมูลโดยตรง แตไ่ ด้จากผู้ ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative data)
ทเี่ ก็บรวบรวมไวแ้ ลว้  ขอ้ มูลทีเ่ ป็นขอ้ ความหรือตวั เลขท่ี

แสดงลกั ษณะเฉพาะของขอ้ มูล
เชน่ เพศ เบอรโ์ ทรศัพท์ บ้านเลขที่
ความคิดเหน็ เป็นตน้

การแจกแจงความถี่ของข้อมูล (Frequency distribution)

ข้อมูล ความถ่ี (f) ขอบลา่ ง ขอบบน ค่ากึง่ กลาง ความกว้าง

10 – 19 (Frequency) (Lower boundary) (Upper boundary) 14.5 ขอบบน – ขอบล่าง
20 – 29 24.5
30 – 39 2 9.5 19.5 34.5 10
40 – 49 6 19.5 29.5 44.5 10
4 29.5 39.5 10
8 39.5 49.5 10

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 114
1. สถติ เิ บ้ืองต้น

การแจกแจงความถี่ของข้อมูล

ความถี่ ความถส่ี ะสม ความถ่ี ความถสี่ ะสม ร้อยละความถี่ รอ้ ยละความถี่
(f) (F)
ข้อมูล สมั พัทธ์ สมั พทั ธ์ ( F ) สัมพัทธ์ ( f x100) สะสมสัมพัทธ์
2 2 f N N F
10 – 19 6 8 ( N ) ( N x100)
20 – 29 4 12
30 – 39 8 20 = N 2/20 = 0.1 2/20 = 0.1 0.1x100 = 10 0.1x100 = 10
40 – 49 8/20 = 0.4 0.3x100 = 30
6/20 = 0.3 12/20 = 0.6 0.2x100 = 20 0.4x100 = 40
20/20 = 1.0 0.4x100 = 40
4/20 = 0.2 0.6x100 = 60

8/20 = 0.4 1.0x100 = 100

แผนภาพต้น-ใบ

ข้อมลู 10, 12, 15, 17, 21, 24, 28, 31, 33, 39 เขียนเป็นแผนภาพต้น – ใบได้

ตน้ ใบ
1 0257
2 14 8
3 139
ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 1 ได้แก่ 10, 12, 15, 17, 21, 24, 28, 31, 33, 39
ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2 ไดแ้ ก่ 12, 12, 15, 17, 22, 23, 28, 32, 33, 38
เขยี นเป็นแผนภาพตน้ – ใบได้

ใบ (ข้อมูลชดุ ที่ 1) ตน้ ใบ (ข้อมูลชุดที่ 1)
7520 1 2257
841 2 238
931 3 238

K-Word

ความถส่ี ะสม : Commulative frequency
ความถส่ี มั พทั ธ์ : Relative frequency
ความถี่สะสมสมั พทั ธ์ : Relative commulative frequency
แผนภาพต้น-ใบ : Stem-and-leaf plot, Stem plot

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 115

2. ค่ากลางของข้อมูล (Measures of central value)

ค่าเฉล่ียเลขคณติ (Arithmetic mean)

ขอ้ มูลทไ่ี มไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี (ตวั ๆ) ขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถ่ี (ชว่ งๆ)
x1 + x2 + x3 +...+ xn f1x1 + f2x2 + f3x3 +...+ fkxk
X = X = f1 + f2 + f3 +...+ fk
n
n
xi i=ik=k11fifxi i k fixi
i= 1
= n = = i= 1
N

EX ถ้าค่าเฉลยี่ เลขคณิตของน้าํ หนักของนกั เรียนสามคน คอื 38 กิโลกรมั และนกั เรยี นหน่ึงคน

ในกลุ่มนีห้ นกั 46 กิโลกรัม ส่วนอีกสองคนที่เหลือหนักเทา่ กัน อยากทราบว่านักเรียนสองคนท่ีเหลือ

หนกั คนละก่กี ิโลกรมั

Sol เน่อื งจากผลรวมของน้ําหนกั ของนกั เรียนทั้งสามคน เทา่ กบั 46+x+x = 46+2x

จาํ นวนนกั เรยี นท้งั หมด คือ 3 คน และคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของน้ําหนักของนักเรยี นท้ังหกคนคอื 38
n
กโิ ลกรมั จากสตู ร X xi จะไดว้ ่า 38 = 46 + 2x x = 34
i= 1 3
= n 

EX จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟ้า

อายุ (ชวั่ โมง) จํานวนหลอดไฟฟ้า (fi) ค่ากึ่งกลาง (xi) fixi

9 – 11 4 10 40

12 – 14 4 13 52

15 – 17 5 16 80

18 – 20 n 2 19 38

X i= 1 xi 210 14 4
15
= n = =  fi xi  210

i1

คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ถ่วงนา้ํ หนัก (Weight arithmetic mean)

X = w1x1 + w2x2 + w3x3 +...+ wNxN = i=Ni=N11wwixi i
w1 + w2 + w3 +...+ wN

EX นักเรียนคนหนึ่งลงทะเบยี นเรียน 5 วิชา ดังตาราง จงหาค่าเกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนนี้ สมมติ

วา่ หนว่ ยกิตและเกรดรายวชิ าเปน็ ดงั น้ี

วิชาที่ 1 2 3 4 5

หน่วยกิต 32331

เกรด 4 4 3 3 2

เกรดเฉลยี่ ของนกั เรียนท่ีลงทะเบียน 5 วชิ า คือ X= (3)(4) + (2)(4) + (3)(3) + (3)(3) + (1)(2) = 3.33
3+2+3+3+1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 116

2. ค่ากลางของข้อมูล (ต่อ)

ค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวม (Combined arithmetic mean)

Xรวม = N1 X1 + N2 X2 + N3 X3 +...+ Nk Xk = i=ki=k11NNi Xi i
N1 + N2 + N3 +...+ Nk

EX ในอตุ สาหกรรมแหง่ หน่ึงมีคนงานทาํ งานแบ่งเป็น 2 ผลัด คือผลัดเช้าและผลัด

บา่ ย คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของอายุการทาํ งานท้งั หมดเทา่ กับ 38 ปี ถ้าคนงานผลัดเช้ามี

จาํ นวน 60 คน มีค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของอายเุ ทา่ กับ 40 ปี จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของ

อายุของคนงานผลดั บา่ ยจาํ นวน 40 คน

Sol ให้ N1 และ N2 เปน็ จาํ นวนคนงานผลดั เช้าและบ่ายตามลาํ ดับ
ให้ X1 และ X2 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายขุ องคนงานผลดั เช้าและ
บ่ายตามลาํ ดับ จากที่กาํ หนดให้ เขียนสรปุ ได้ดังนี้

ผลัดเชา้ ผลัดบา่ ย รวมทั้งหมด

N1  60 N2  40 Nรวม  N1  N2
X1  40 Xรวม  38
X2  ?

ดงั น้ัน จากสตู รค่าเฉลยี่ เลขคณิตรวมจะได้ว่า

38  6040  40X2 

60  40

3,800  2,400  40X2

X2  35

น่ันคือ ค่าเฉล่ียเลขคณิตของอายขุ องคนงานผลดั บ่ายเท่ากับ 35 ปี

คา่ มธั ยฐาน (Median)

ข้อมูลทไ่ี ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี ขอ้ มูลทแ่ี จกแจงความถ่ี

1. เรียงลําดบั ข้อมูลจากนอ้ ยไปหามาก 1. เรียงลําดบั ขอ้ มลู จากน้อยไปหามาก
N+1 N
2. หาตําแหนง่ ของมัธยฐาน = 2 2. หาตําแหน่งของมัธยฐาน = 2

3. ค่าทต่ี ําแหนง่ น้นั คือ คา่ มธั ยฐาน (Med) 3. คา่ มัธยฐาน N
2
Med = L +   fL I

fM
L คอื ขอบล่างของชนั้ ท่ี Med อยู่

 fL คือ ความถี่สะสมของช้นั ก่อนหน้า
fM คอื ความถขี่ องช้ันที่ Med อยู่

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 117

2. ค่ากลางของข้อมูล (ต่อ)

คา่ มัธยฐาน (ต่อ)

EX กําหนดให้ข้อมลู ชดุ หนึ่งคือ 10, 3, x, 6, 6 ถ้าคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมูลชดุ นี้

มคี ่าเท่ากบั มัธยฐาน แลว้ x มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด 10+3+ x +6+6 25+ x
5 5
Sol คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ นีม้ ีคา่ เทา่ กับ =

หามัธยฐาน โดยการเรยี งขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก จะได้

x, 3, 6, 6, 10 3, x, 6, 6, 10

3, 6, x, 6, 10 3, 6, 6, x, 10

3, 6, 6, 10, x

ฉะนัน้ มธั ยฐานของข้อมลู ชุดน้ีมคี า่ เท่ากับ 6

เน่ืองจาก ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มูลชุดนีม้ คี ่าเท่ากับมธั ยฐาน
25 + x
ดงั นนั้ 5 = 6 นัน่ คือ x = 5

EX จากตาราง ถา้ ขอ้ มลู มีความถ่ีสะสมเทา่ กบั 30 แลว้ มัธยฐานเท่ากบั เท่าไร

คะแนน จดุ ก่ึงกลางช้ัน ความถี่

21 – 24 22.5 5

25 – a 26.5 6

b – 32 30.5 e

c – d 34.5 7

Sol จากตารางจะได้  a = 28, b = 29, c = 33, d = 36

จากข้อมลู มคี วามถี่สะสมเทา่ กับ 30N = 30  e = 12
N 30
หาตาํ แหนง่ ของมัธยฐาน = 2 = 2 = 15

Med = L + N   fL I Med = 28.5 + 15  11 4 = 29.83
2 12
fM  

ค่าฐานนยิ ม (Mode) ขอ้ มูลทแี่ จกแจงความถี่

ขอ้ มูลทีไ่ มไ่ ด้แจกแจงความถ่ี ฐานนิยม (Mode)
ฐานนยิ ม (Mode)
 คา่ ของข้อมูลที่มคี วามถ่สี งู สุด  จะอยู่ช้ันทมี่ ีความถ่สี งู สุด
 อาจมีไดม้ ากกวา่ 1 ค่า
Mod = L +  d1   I
หรือไม่มีกไ็ ด้  d1 +d1 

L คือ ขอบลา่ งของชน้ั ที่ Mod อยู่

d1 คอื ผลตา่ งของความถีช่ น้ั Mod อยกู่ บั ช้นั กอ่ นหนา้
d2 คือ ผลตา่ งของความถ่ชี นั้ Mod อยกู่ ับช้ันถัดไป

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 118

2. คา่ กลางของข้อมูล (ต่อ)

ค่าฐานนิยม (ต่อ)

EX จากตาราง จงหาฐานนยิ มของอายุ

อายุ (ป)ี ความถีส่ ะสม หาความถี่

2–5 4 4

6 – 9 14 10

10 – 13 18 4

14 – 17 24 6

Mod = L +  d1   I = 5.5 +  6 6 6   4 = 7.5
 d1 +d1   + 

คา่ กึ่งกลางพสิ ัย (Mid-range)

คา่ กึ่งกลางพสิ ัย = Xmax + Xmin
2

สมบัตขิ องค่ากลางของข้อมูล

1. สมบัติของค่าเฉลีย่ เลขคณติ
n n
1.1 xi = nX 1.2 (xi  X) = 0
i= 1 i= 1
n
1.3 (xi  X)2 มีคา่ น้อยท่สี ดุ 1.4 xmin < X < xmax
i= 1
1.5 yi = axi + b, i = 1, 2, 3, …, N  Y = aX +b

2. สมบตั ิของมัธยฐาน
2.1 i=N1| xi Med | มีคา่ นอ้ ยทีส่ ุด
2.2 yi = axi + b, i = 1, 2, 3, …, N  Medy = aMedx + b

3. สมบตั ิของฐานนิยม

3.1 ให้ X1, X2, X3, ..., XN เป็นขอ้ มลู ชุดหน่ึงท่ีมีฐานนยิ มเทา่ กบั a ถ้า k เป็นค่าคงตัว จะไดว้ ่า
X1 +k, X2 +k, X3 +k, ..., XN +k เป็นขอ้ มลู ท่มี ฐี านนยิ มเทา่ กับ a + k
3.2 ให้ X1, X2, X3, ..., XN เป็นขอ้ มลู ชุดหนงึ่ ท่ีมีฐานนยิ มเท่ากับ a ถ้า k เป็นคา่ คงตวั ซึง่ k  0
จะไดว้ า่ kX1, kX2, kX3, ..., kXN เปน็ ข้อมูลทีม่ ีฐานนยิ มเทา่ กับ ka

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 119

3. การวดั ตาํ แหน่งท่ีของขอ้ มลู K-Word การวดั ตาํ แหนง่ ทขี่ องขอ้ มูล หรอื
Qr, Dr, Pr
การวัดตําแหน่งสมั พทั ธ์ของข้อมลู
(Measures of relative standing)

ควอรไ์ ทล์ (Quartiles : Qr) คือ ตาํ แหน่งท่ีในจํานวนข้อมูลทั้งหมด 4 ส่วน ได้แก่
Q1, Q2, Q3

เดไซล์ (Decile : Dr) คือ ตําแหน่งที่ในจํานวนข้อมูลท้ังหมด 10 ส่วน ได้แก่ D1,
D2, D3, …, D10

เปอรเ์ ซ็นไทล์ (Percentile : Pr) คือ ตําแหน่งท่ีในจํานวนข้อมูลท้ังหมด 100 ส่วน
ได้แก่ P1, P2, P3, …, P100

ข้อมูลท่ีไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี ข้อมูลที่แจกแจงความถ่ี

หลักการหาคา่ Qr, Dr, Pr (เหมือน Med) 1. เรียงลาํ ดบั ขอ้ มูลจากน้อยไปหามาก
1. เรยี งลําดบั ขอ้ มลู จากน้อยไปหามาก

2. หาตาํ แหนง่ ของ Qr, Dr, Pr ดังน้ี r(N + 1) 2. หาตาํ แหน่งของ Qr, Dr, Pr ดงั นี้ rN
4 4
- ตาํ แหน่งของ Qr คือ ตําแหน่งที่ - ตาํ แหนง่ ของ Qr คือ ตาํ แหน่งท่ี

- ตาํ แหนง่ ของ Dr คอื ตาํ แหนง่ ท่ี r(N + 1) - ตาํ แหนง่ ของ Dr คอื ตําแหน่งท่ี rN
10 10
r(N + 1) rN
- ตาํ แหน่งของ Pr คอื ตําแหนง่ ที่ 100 - ตาํ แหนง่ ของ Pr คือ ตําแหนง่ ท่ี 100

3. คา่ ทีต่ าํ แหน่งนน้ั คอื Qr, Dr, Pr 3. คา่ Qr, Dr, Pr หาไดจ้ าก

L+ ตําแหนง่ – ความถส่ี ะสมช้ันก่อนหน้า I

ความถข่ี องชนั้ Qr, Dr, Pr อยู่ 

K-Trick
1. Q2 = D5 = P50 = Med
2. กรณที ตี่ าํ แหนง่ ของ Qr, Dr, Pr, Med เทา่ กับคา่ ความถสี่ ะสม จะไดว้ า่
คา่ ของ Qr, Dr, Pr, Med จะมคี า่ เทา่ กับขอบบนของอันตรภาคชนั้ นั้น

EX กําหนดข้อมูล ดังตาราง

ขอ้ มูล ความถี่ (fi) ความถส่ี ะสม (Fi)

…… …

40 – 49 … 57

50 – 59 3 60

Sol สมมติหาตําแหน่งของ Pr คือ ตําแหนง่ ท่ี 60
60 57
จะได้ว่า Pr = 49.5 +  10 = 59.5 ซึง่ มีค่าเท่ากับขอบบน

3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 120
3. การวัดตําแหน่งที่ของข้อมลู

Qr, Dr, Pr (ต่อ)

EX กําหนดขอ้ มูล 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0, 19.6, 18.8
จงหาค่าของ P89 เทา่ กับเท่าไร

Sol 1) เรยี งลําดบั ข้อมลู : 18.3, 18.8, 18.8, 19.3, 19.6, 19.7, 20.0, 20.2, 20.6, 22.4
2) ตําแหนง่ ในข้อมูล : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3) หา P89 อยู่ในตําแหนง่ ท่ี 8910 +1 = 9.79 ซง่ึ อยรู่ ะหว่างค่า 20.6 กับ 22.4
100
1

ตาํ แหนง่ ท่ี 0.79 9.79 10 k = 0.79
ข้อมลู P89 22.4 1.8 1
9 k = 0.79x1.8 = 1.422
20.6

k=?

1.8

ตําแหน่งต่างกัน 10 – 9 = 1 ค่าของขอ้ มูลตา่ งกนั 22.4 – 20.6 = 1.8
ตาํ แหนง่ ต่างกัน 9.79 – 9 = 0.79 ค่าของขอ้ มูลเพิ่มขึ้น 0.79x1.8 = 1.422
ดงั นน้ั P89 = 20.6  1.422  22.022

แผนภาพกลอ่ ง
แผนภาพกล่อง (Box-and-Whisker Plot หรอื Box-Plot)

Min Max

แผนภาพกล่องทําให้เราทราบถึงลักษณะการกระจายของข้อมูล จาก
แผนภาพพบวา่

 ข้อมูลที่อยรู่ ะหวา่ ง Q1 กบั Q2 มกี ารกระจายมากทสี่ ดุ
 ข้อมูลท่อี ยู่ระหว่าง Q3 ถึงค่าสูงสดุ มีการกระจายน้อยท่ีสุด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 121

4. การวดั การกระจายของข้อมูล (Measures of dispersion)

การกระจายสัมบรู ณ/์ สัมพัทธ์

การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute variation) ใช้วัดการกระจายของข้อมูล

เพยี งชดุ เดยี ว เพ่ือดวู า่ ข้อมูลแตล่ ะคา่ มคี วามแตกตา่ งกันมากน้อยเพียงใด

การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative variation) ใช้วัดการกระจายของข้อมูล

มากกวา่ 1 ชดุ เพ่ือดูว่าข้อมลู ชดุ ใดมกี ารกระจายมากน้อยเพียงใด

การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ การวดั การกระจายสัมพัทธ์ xmin
xmax xmin
พิสัย (Range) R = Xmax – Xmin ส.ป.ส พสิ ัย (C.R.) C.R.= xmax 

(Coefficient of Range) +

ส่วนเบี่ยงเบน Q.D. = Q3 - Q1 ส.ป.ส สว่ นเบ่ียงเบน C.Q. = Q3  Q1
ควอร์ไทล์ 2 Q3 + Q1
ควอร์ไทล์ (C.Q.)
(Quartile deviation)
(Coefficient of
Quartile deviation)

ส่วนเบย่ี งเบน M.D. = n xi - X ส.ป.ส ส่วนเบี่ยงเบน C.M. = M.D.
เฉลี่ย n เฉลี่ย (C.M.) X
i= 1
(Mean deviation) (Coefficient of
Mean deviation)

ส่วนเบีย่ งเบน S.D. = i=n1(xi  X)2 ส.ป.ส การแปรผัน C.V. = S.D.
มาตรฐาน = (C.V.) X
n
(Standard deviation) (Coefficient of variation)
n x2i X 2

i= 1 
n

ความแปรปรวน

ความแปรปรวน (Variance) คอื กาํ ลงั สองของคา่ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

S.D.2 = i=n1(xi  X)2 = n x2i X 2

n i= 1 
n

สมบตั ิของการกระจาย
ถ้ามขี ้อมูล 2 ชดุ ซ่งึ มจี าํ นวนเท่ากัน ดงั น้ี ชุดท่ี 1 x1, x2, ..., xn
และ ชุดท่ี 2 y1, y2, ..., yn
มสี มการความสัมพนั ธ์ yi = axi + b, i = 1, 2, 3, …, N
 Ry = |a| Rx
 Q.D.y = |a| Q.D.x
 M.D.y = |a| M.D.x
 S.D.y = |a| S.D.x

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 122

การแจกแจงปกติ
(Normal distribution)

K-Concept : การแจกแจงปกติ เสน้ โค้งปกติ
1. การแจกแจงปกติ สมบัตขิ องเสน้ โคง้ ปกติ

2. คา่ มาตรฐาน ค่ามาตรฐาน
สมบัตขิ องค่ามาตรฐาน

พืน้ ที่ใตโ้ ค้งปกติ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 123
1. การแจกแจงปกติ

เสน้ โค้งปกติ

เส้นโค้งความถ่ีท่ีมีลักษณะเป็นรูประฆัง ซึ่งเรียกว่า เส้นโค้งปกติ (Normal
curve) การแจกแจงความถ่ีของข้อมูลซึ่งเส้นโค้งท่ีได้ท่ีมีลักษณะเป็นรูประฆัง เรียกว่า
การแจกแจงปกติ (Normal distribution)

รูปที่ 1 รปู ท่ี 2

รูปที่ 1  ลกั ษณะของเสน้ โคง้ ปกตเิ ปน็ รูประฆัง ซึ่งเปน็ สมมาตรโดยมีเส้นเป็น
แกนสมมาตร จึงเรียกวา่ การแจกแจงปกติ

รปู ที่ 2  เสน้ โคง้ ปกตจิ ะมคี วามโด่งมากหรือน้อยขน้ึ อยกู่ บั การกระจายของ
ข้อมูล ถ้าข้อมูลมีการกระจายมาก เส้นโค้งปกติจะมีความโด่งน้อย
หรอื คอ่ นข้างแบน แต่ถา้ ขอ้ มลู มีการกระจายน้อย เส้นโค้งปกติจะมี
ความโด่งมากหรอื ค่อนขา้ งสงู

ความสมั พนั ธร์ ะหว่างการแจกแจงความถี่ คา่ กลาง และการกระจายของขอ้ มลู

K-Word

เสน้ โค้งเบข้ วา
Positively skewed curve

เสน้ โค้งเบซ้ า้ ย
Negatively skewed curve

K-Note  การเบ้ของกราฟ ให้ “ดูหาง”ของกราฟ ถ้าหางด้านไหนยาวกว่าเรียก
ว่าเบด้ ้านน้นั เช่น กราฟเบ้ซา้ ยจะมหี างดา้ นซา้ ยยาวกวา่

K-Trick  X Mod = 3(X Med) หรอื Mod + 2X = 3Med

สมบัติของเสน้ โคง้ ปกติ

1. คา่ เฉลี่ยเลขคณิต = มัธยฐาน = และฐานนิยม และจะอยู่ ณ จดุ ทีเ่ สน้ ตรงท่ลี าก
ผ่านจุดโดง่ สุดของเส้นโคง้ นั้นต้งั ฉากกบั แกนนอน

2. เส้นโค้งจะมีเส้นตัง้ ฉากกบั แกนนอนท่ีลากผ่านค่าเฉล่ยี เลขคณิตเป็นแกนสมมาตร
และแกนสมมาตรจะแบ่งพน้ื ทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติออกเปน็ 2 ส่วนเทา่ ๆ กนั

3. เส้นโคง้ จะเขา้ ใกลแ้ กนนอน เม่อื ต่อปลายเสน้ โคง้ ทัง้ สองขา้ งใหห้ า่ งจากค่าเฉล่ีย
เลขคณติ ออกไป แต่จะไม่ตดั แกนนอน

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 124
2. ค่ามาตรฐาน

ค่ามาตรฐาน (Standard score)

ค่ามาตรฐาน สูตร

1. ข้อมลู ประชากร (Population) zi  xi  


2. ข้อมูลตัวอยา่ ง (Sample) zi  xi  X

s

เมื่อ i คอื 1, 2, 3, . . ., N (n) โดยที่ xi แทนค่าท่ี i ของตวั แปร x
 แทนคา่ เฉล่ียเลขคณติ ของประชากร

 แทนส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร

N แทนจาํ นวนของประชากร

X แทนคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของตวั อย่าง

S แทนส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั อย่าง

n แทนจํานวนของตวั อยา่ ง

สมบตั ขิ องคา่ มาตรฐาน

1. คะแนนมาตรฐานเปน็ จํานวนลบ เม่อื xi < 
คะแนนมาตรฐานเป็นจาํ นวนบวก เมอื่ xi > 
คะแนนมาตรฐานเปน็ ศนู ย์ เม่ือ xi = 

n

2. ผลรวมของคะแนนมาตรฐานของทุกขอ้ มูลเทา่ กบั 0 นนั่ คอื i=1zi = 0

3. คา่ เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนมาตรฐานเทา่ กบั 0 นน่ั คือ Z =0

4. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1 น่ันคอื S.D.z = 1

5. ผลบวกกาํ ลงั สองของคา่ มาตรฐานของขอ้ มูลชุดเดียวกนั เทา่ กบั N น่นั คอื
n
)2 = N
i= 1 (z i

6. คะแนนมาตรฐานของขอ้ มลู ทม่ี กี ารแจกแจงปกตโิ ดยทวั่ ไปมคี ่าต้ังแต่ -3 ถงึ 3

7. ในการเปรียบเทยี บข้อมลู วา่ ขอ้ มลู ใดดกี ว่ากนั เมอ่ื นําข้อมลู มาเปลี่ยนเปน็

คา่ มาตรฐานแล้วข้อมลู ชุดใดมีค่ามาตรฐานมาก ใหส้ รุปวา่ ข้อมูลนัน้ ดีกวา่

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 125
2. คา่ มาตรฐาน

พน้ื ที่ใตโ้ ค้งปกติ

พน้ื ทใี่ ต้โคง้ ปกติแทนจาํ นวนความหนาแน่นของข้อมูล มีคา่ เทา่ กับ 1 เสมอ
พน้ื ทใ่ี ตโ้ คง้ ปกตซิ ึง่ อยู่ระหว่างคา่ ของ X ในชว่ งปิด [x1, x2] จะเท่ากับพ้ืนที่ใต้โค้งปกติซ่ึงอยู่ระหว่างค่าของ X
ในช่วงเปดิ (x1, x2)

พน้ื ที่ใตโ้ คง้ ปกติซง่ึ อยูร่ ะหวา่ งค่าของ X ในช่วงปิด [x1, x2] พ้นื ทใ่ี ต้โค้งปกติซึ่งอยรู่ ะหว่างค่าของ X ในชว่ งเปิด (x1, x2)

พ้นื ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกตริ ะหวา่ ง x1 และ x2 จะเท่ากบั พื้นทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกตริ ะหว่าง z1 และ z2 เม่อื
x1   x2 
z1 = และ z2 =
 

จากตาราง พื้นท่ีใต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = 1.29 เท่ากบั 0.4015
ดังนั้น 0 < z < 1.29 พ้ืนทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกติ เทา่ กับ 0.4015

จากตาราง พืน้ ทีใ่ ต้โคง้ ปกติ ระหวา่ ง z = -1.29 ถงึ z = 0 เท่ากับ 0.4015
ดงั นนั้ -1.29 < z < 0 พื้นทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติ เท่ากับ 0.4015

จากตาราง พื้นที่ใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 2.5 เทา่ กบั 0.4938
พนื้ ที่ใต้โคง้ ปกติ ระหวา่ ง z = -1.5 ถึง z = 0 เทา่ กบั 0.4332

ดงั นัน้ -1.5<z<2.5 พน้ื ท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกติ เท่ากับ 0.4938+0.4332=0.927

จากตาราง พนื้ ท่ใี ตโ้ คง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 1.7 เท่ากับ 0.4554
พนื้ ท่ีใตโ้ คง้ ปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = 2.2 เทา่ กบั 0.4861

ดังนน้ั 1.7<z<2.2 พนื้ ท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกติ เทา่ กบั 0.4861–0.4554=0.0307

หลกั การทําโจทย์พ้ืนทใี่ ตโ้ คง้ ปกติ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 126
ตารางพ้ืนทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกติ : คา่ มาตรฐาน (Z-table)

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
3.1 0.499 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993
3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995
3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997
3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 127

ความสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ นั
ระหว่างขอ้ มูล

K-Concept

1. กําหนดตัวแปร

ให้ x เป็นตัวแปรอิสระ (ตัวแปรต้น : Independent variable)
และ y เปน็ ตวั แปรตาม (Dependent variable)
K-Remark

1. แทนค่า x เพื่อทาํ นายค่า y เทา่ น้นั
2. ระวังเร่อื งหน่วย
อนกุ รมเวลา (Time series)

 มีตัวแปรอสิ ระ (x) เป็นเวลา เช่นเดอื น ปี ฯลฯ
หลักการสมมติคา่ x จะดจู ากจาํ นวนคา่ ของ x ว่าเป็นเลขค่หี รอื คู่ดงั น้ี

กรณที เ่ี ป็นเลขคี่ จะสมมิตให้เปน็ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
กรณที เ่ี ปน็ เลขคู่ จะสมมตใิ หเ้ ป็น ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...
ทัง้ นีเ้ มื่อได้ค่า x แล้ว การสร้างสมการปกติก็จะเหมือนกับหลักการที่
จะไดก้ ล่าวตอ่ ไปขา้ งลา่ งน้ี

2. สร้างสมการความสัมพันธ์วธิ ีกาํ ลงั สองน้อยสุด (Method of least square)

Trend line Take

สมการเสน้ ตรง สมการปกติ (Normal equation)

คณู y = ax + b n yi = ai=n1xi + bn ..........(1)
x


i=1

 xy = ax2 + bx n xiyi = an xi2 + bn xi ..........(2)

 i=1 i=1

i=1

สมการพาราโบลา สมการปกติ

คูณ y = ax2+bx+c n yi = an xi2 + bn xi + cn ...........(1)
x xy = ax3+bx2+c ..........(2)
 i=1 i=1 ..........(3)

i=1
x2y = ax4+bx3+cx2 n an bn cn
xiyi = xi3 + xi2 + xi
 i=1 i=1 i=1

i=1
n an bn cn
xi2yi = xi4 + xi3 + xi2
 i=1 i=1 i=1

i=1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 128

ลําดับและอนกุ รม
(Sequence and series)

K-Concept : ลาํ ดับและอนุกรม

1. ลาํ ดบั บทนิยาม
ลาํ ดับเลขคณติ
ลําดับเรขาคณิต
ลาํ ดับพหุนาม
ความสมั พนั ธ์เวียนเกิด

2. ลิมิตของลาํ ดบั บทนิยาม
ทฤษฎบี ทลิมติ ของลําดบั
ลิมติ ของลําดบั เศษสว่ นพหนุ าม/Expo

3. สัญลกั ษณ์แทนการบวก

4. อนกุ รม บทนิยาม

อนกุ รมเลขคณิต

อนกุ รมเรขาคณิต
อนุกรมอนันต์
อนกุ รมเศษส่วนยอ่ ย
อนุกรมผสม

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 129

1. ลาํ ดบั

บทนยิ าม

ลาํ ดบั (Sequences) คอื ฟังกช์ ันที่มีโดเมนเปน็ เซตของจํานวนเต็มบวก
ซง่ึ เขยี นแทนในรูป a1, a2, a3, . . ., an

ลาํ ดับจาํ กัด (Finite sequences)  a1, a2, a3, . . ., an
ลาํ ดบั อนันต์ (Infinite sequences)  a1, a2, a3, . . .

ลําดับเลขคณติ

ลําดับเลขคณติ (Arithmetic sequences) คอื ลาํ ดบั ที่ผลตา่ งของพจน์ที่ n+1

ลบด้วยพจนท์ ่ี n มีคา่ คงตัว ค่าคงตวั น้ีเรยี กวา่ ผลตา่ งรว่ ม (Common difference)

พจนท์ ่ี n ของลาํ ดับ an = a1 + (n – 1)d d = an+1 – an

K-Trick an am an a1
nm
an = am + (n – m)d d= n=  + 1

d

EX จงหาพจนท์ ่ัวไปของลาํ ดับเลขคณติ a + 12, 3a – 7, 2a + 4 K-Word
Sol จาก d = an+1 – an
พจน์ (Term)
จะได้ d = 3a – 7 – (a + 12) = 2a + 4 – (3a – 7) พจน์ที่ n = พจนท์ วั่ ไป
2a – 19 = -a + 11
3a = 30 (General term)
a = 10

ฉะนนั้ ลําดบั เลขคณิต a + 12, 3a – 7, 2a + 4 คอื 22, 23, 24
ดงั นน้ั พจนท์ วั่ ไปลําดับเลขคณิตคือ an = 22 + (n – 1)(1) = n + 21

K-Trick : ลาํ ดับเลขคณิต ผลบวกของลาํ ดบั เลขคณติ จํานวนคู่พจน์
a1 + a2 + a3 + a4
ผลบวกของลําดับเลขคณิตจํานวนค่ีพจน์
a1 + a2 + a3 + a4 + a5

(x–2d) + (x–d) + (x) + (x+d) + (x+2d) (x–3d) + (x–d) + (x+d) + (x+3d)

EX ลําดบั เลขคณิตทม่ี ีผลบวกของสามพจน์แรกเป็น 12 และผลคูณของสามพจน์แรกเป็น -36 จงหา a20
Sol ให้ลาํ ดบั เลขคณติ น้คี อื x – d, x, x + d

จะได้ x – d + x + x + d = 12  x = 4
จะได้ (x – d)(x)(x + d) = -36  (4–d)(4)(4+d) = -36

 d = 5, -5
ฉะนน้ั ลําดบั เลขคณิตนี้คือ –1, 4, 9 หรือ 9, 4, -1
ดงั นน้ั a20 = -1 + 19(5) = 94 หรือ a20 = 9 + 19(-5) = -86

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 130

1. ลาํ ดบั (ต่อ)

ลําดับเรขาคณติ

ลําดบั เรขาคณิต (Geometric sequences) คือ ลําดับท่ีอัตราส่วนของพจน์ท่ี n + 1

ต่อพจนท์ ี่ n เป็นค่าคงตัว คา่ คงตวั นเ้ี รียกว่า อัตราส่วนร่วม (Common ration)
an+1
พจน์ท่ี n ของลาํ ดบั an = a1rn-1 r = an
K-Trick an = amrn-m
rn-m= an
am

EX จงหา a10 ของลาํ ดับเรขาคณติ ที่มี a2 = 6 และ a6 = 96
an a6 96
Sol จาก rn-m= am  r6-2= a2 = 6 =16

 r4= 16
ดงั น้ัน a10 = a6r4 = (96)(16) = 1536

K-Trick : ลําดับเรขาคณติ ผลบวกของลําดบั เรขาคณติ จาํ นวนคู่พจน์
a1 + a2 + a3 + a4
ผลบวกของลาํ ดบั เรขาคณิตจํานวนคี่พจน์
a1 + a2 + a3 + a4 + a5

( x ) ( x ) (x) (xr) (xr2) ( x ) + ( x ) + (xr) + (xr3)
r2 r r3 r

EX ให้ a, b, c เรียงเป็นลําดับเรขาคณิตท่ีมีผลบวกและผลคูณของท้ังสามจํานวนเท่ากับ -9 และ 216

ตามลําดบั จงหา a, b, c x
r
Sol ใหล้ ําดบั เรขาคณติ a b, c  , x, xr

จะได้ ( x )(x)(xr) = 216  x3 = 216  x=6
r
x 1
และ r + x + xr = -9  x( r + 1 + r) = -9

 1 + 1 + r = -9 = -3
r 6 2
 2r2 + 5r + 2 = 0

 (2r + 1)(r + 2) = 0
-1
 r = 2 , -2

ดังนนั้ ถ้า r = -1 แลว้ ลําดับเรขาคณิตน้คี ือ -12, 6, -3
2
ถา้ r = -2 แลว้ ลําดบั เรขาคณติ น้ีคอื -3, 6, -12

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 131

1. ลาํ ดับ (ต่อ)

ลําดบั พหนุ าม

พจิ ารณาลําดบั a1 a2 a3 a4 a5 . . ., an
ผลตา่ งครัง้ ท่ี 1 d11 d12 d13 d14 . . . ไมค่ งตวั
ผลตา่ งคร้ังที่ 2 d21 d22 d23 . . . ไมค่ งตัว

ผลตา่ งครงั้ ท่ี k dk1 dk2 . . . คงตวั
จะได้ an = Ank + Bnk-1 + … + Znk-k
(n - 1)(n - 2) (n - 1)(n - 2)...(n - k)
หรือ an = a1+(n–1)d11+ 2! d21 +…+ k! dk

ถ้า dk เป็นลําดับเรขาคณิต จะได้
an = Arn-1 + Bnk-1 + … + Znk-k

EX จงหาพจน์ทัว่ ไป 2, 8, 18, 32, … EX จงหาพจน์ท่วั ไป 2,5,10,19,36,…

ผลต่างครัง้ ที่ 1 6 10 14 18 ผลตา่ งครัง้ ท่ี 1 3 5 9 17

ผลตา่ งครง้ั ท่ี 2 4 4 4 ผลตา่ งครงั้ ท่ี 2 2 4 8
จะได้ an = An2+Bn+C (แก้สมการ) จะได้ an = A(2)n-1+Bn+C
หรือ a1; 2 = A + B + C
(n -1)(n - 2) a2; 5 = 2A + 2B + C
an = a1+(n–1)d11+ 2! d21
a3; 10 = 4A + 3B + C
an = 2+(n–1)6+ (n -1)(n - 2) (4) แก้สมการได้ A = 2, B = 1, C = -1
2! ดงั นั้น an = 2n + n – 1
ดงั น้ัน an = 2n2

ความสมั พนั ธ์เวียนเกดิ (Recurrence relation)

ความสัมพันธ์เวยี นเกดิ คือ สมการท่แี สดงความสมั พันธ์ของ
พจนท์ ี่ n กับพจน์ก่อนหน้า

EX ให้ an = 2an-1 – an-2 เม่อื n  2, a0 = 4, a1 = 1 จงหา a4 และ a24
Sol จาก an = 2an-1 – an-2

จะได้ a2 = 2a1 – a0 = 2(1) – 4 = -2
a3 = 2a2 – a1 = 2(-2) – 1 = -5
a4 = 2a3 – a2 = 2(-5) – (-2) = -7

สังเกตพบวา่ ลาํ ดับข้างต้นเปน็ ลาํ ดบั เลขคณิต มี d = -3
ดงั นน้ั a4 = a1 + 23d

= 1 + 23(-3) = -68

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 132

2. ลมิ ิตของลาํ ดับ

บทนิยาม ลมิ ิตของลาํ ดบั (Limit of a sequence)

ลิมิตของลําดับ an จะเท่ากับ L  ลําดับ an มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับ
จาํ นวนจรงิ L จํานวนเดยี วเท่านัน้ และเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ lim an = L

n

ลําดับท่ีมีลิมิตหรือหาลิมิตได้ เรียกว่า ลําดับลู่เข้า (Convergent sequence)

ส่วนลําดับที่ไม่มีลิมิตหรือหาลิมติ ไมไ่ ด้ เรียกวา่ ลาํ ดับลอู่ อก (Divergent sequence)

K-Know

1. ลาํ ดบั ท่ีนํามาพิจารณาลิมติ น้นั ต้องเปน็ ลาํ ดับอนนั ต์

2. ลําดบั ท่ีหาลมิ ติ ไม่ได้ (ลําดับลู่ออก) ซงึ่ แบง่ ได้เปน็ 3 กรณี

2.1 มคี ่ามากขึ้นเรื่อย ๆ แบบไม่สน้ิ สุด (+∞)

2.2 มีค่าน้อยข้ึนเรือ่ ย ๆ แบบไมม่ ีสิน้ สดุ (−∞)

2.3 ค่าของ an ไมล่ ู่เขา้ คา่ ใดค่าหน่งึ เรียกวา่ ลําดบั กวัดแกวง่ (Oscillating sequence)

ทฤษฎบี ทลิมติ ของลําดบั

ให้ an , bn เป็นลาํ ดบั ของจํานวนจริง และ A, B, r, s และ

c เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ โดยที่ lim an = A และ nlimbn =B จะได้ว่า

n

1. lim c=c

n

2. nlimcan =cnliman =cA

3. nlim(an  bn ) =nliman  nlimbn = A B

4. nlim(an bn ) =nliman nlimbn = A B
lim an
5. nlim an  = = A , bn  0 , B0
bn  n B

lim bn

n
6. nlim(an )k = (nliman )k = Ak , k

7. lim | an |=| nliman |=| A |

n =m L ,

8. nliman =L  lim m an = m nliman mI ,m 2

n

0, r < 0 0, |s|<1
9. lim nr = 1, r = 0 10. lim sn = 1, s=1
n not exist, r > 0 n not exist, | s |>1, s  -1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 133
2. ลิมิตของลําดับ (ต่อ)

ลมิ ิตของลําดับเศษสว่ นพหุนาม

aknk + ak-1nk-1 +...+ a1n + a0  ak , k =m
bmnm +bm-1nm-1 +...+b1n +b0 0b,m
lim = k <m
k >m
n not exist,

1. ดกี รีสูงสดุ ของเศษเทา่ กบั สว่ น
2n3 + n2
EX lim 5n3 - 3n2 - 4n+5 = 2
+2n -1 5
n

2. ดีกรสี ูงสุดของเศษน้อยกว่าส่วน
n2 - 4n+ 5
EX lim 2n3 - 3n2 + 7n - 9 = 0

n

3. ดกี รสี ูงสดุ ของเศษมากกวา่ สว่ น
2n3 + 5n2
EX lim -3n2 + 7n +8 = หาค่าไม่ได้
-9
n

ลิมติ ของลาํ ดบั Expo

1. ฐานสงู สดุ ของเศษเทา่ กับส่วน
7  5n + 3 3n
EX lim 2  5n - 53n = 7
2
n

2. ฐานสูงสุดของเศษนอ้ ยกว่าส่วน
7  5n + 3  3n
EX lim 27n - 52n = 0

n

3. ฐานสงู สดุ ของเศษมากกวา่ สว่ น
36n + 7 4n
EX lim 4  5n - 54n = หาคา่ ไม่ได้

n

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 134
3. สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก

(สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก : Summation Notation)
n

ใชส้ ัญลกั ษณ์  อา่ นวา่ “ซิกมา่ ” แทนการบวก นัน่ คอื ai = a1 + a2 + a3 + . . . + an

i=1

สมบตั ิของ  สูตรของ 
n(n + 1)
n เม่อื c เป็นค่าคงตัว 1. n =1+ 2 + 3 + ... + n = 2

1. c = cn i n(n +1)(2n +1)
6
i=1 i=1
nn n i2
เมือ่ c เป็นคา่ คงตวั 2. =12 + 22 + 32 + ...n2 =
2. cai = cai i=1
2
i=1 i=1 
n nn
3. n i3 = 13 + 23 + 33 + ...n3 =  n(n + 1)
3. (ai ±bi ) = ai ± bi  2
i=1
i=1 i=1 i=1

10

EX จงหา k(k +1)
k=1
10 10 10 10 10(10 +1)(2(10) +1) 10(10 +1)
Sol +1) = 2 + k) = 2 = 6 + 2
k(k (k k +k

k=1 k=1 k=1 k=1
= 385 + 55 = 440

EX จงหาผลบวกของ 12 + 32 + 52 + … + 512
26 26 26 26 26
Sol 12 + 32 + 52 + … + 512 = -1)2 = (4k 2 - 4k +1) = 2
(2k  4k -4k +1
k=1 k=1 k=1 k=1 k=1
26 26 26 26(26 +1)(2(26) +1) 26(26 +1)
= 2 = 4 6 + 4 2 + 26(1)
4k -4k +1

k=1 k=1 k=1
= 24804 + 1404 + 26 = 26234

4. อนกุ รม

บทนยิ าม

ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลําดบั ในรูป a1 +a2 +a3 +. . .+an เรียกวา่ อนกุ รม (Series)
n
อนกุ รมจํากัด (finite series)  a1 +a2 +a3 +. . .+an = ai
i=1

อนุกรมอนนั ต์ (infinite series)  a1 +a2 +a+. . . +an +. . . = ai
i=1

ความสัมพันธร์ ะหว่างลําดับและอนกุ รม n

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม คอื Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an = i=1 ai

เมื่อรู้ Sn จะหา an จากความสมั พันธ์ an = Sn – Sn−1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 135

4. อนุกรม (ต่อ)

อนกุ รมเลขคณติ

เม่อื a1, a2, a3, ..., an เปน็ ลาํ ดบั เลขคณิต จะไดว้ า่ a1 + a2 + a3 + ... + an
เป็นอนกุ รมเลขคณิต (Arithmetic series)

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

n สูตร ควรใชเ้ ม่อื สงิ่ ทต่ี ้องหาเหมือนกนั คือ
2 ทราบค่า d
Sn = [2a1 + (n – 1)d] 1. หา n จากสตู ร
ทราบค่า an an = a1 + (n - 1)d
Sn = n [a1 + an]
2 2. หา a1

EX ผลบวก 25 พจนแ์ รกของลําดับเลขคณติ เทา่ กับ 500 ถ้าพจน์ท่ี 25 เท่ากับ

32 จงหาผลบวก 5 พจนแ์ รก
n 25
Sol จาก Sn = 2 [a1 + an]  S25 = 2 [a1 + a25]

 500 = 25 [a1 + 32]
2
 a1 = 8
an am a25  a1 32  8
ฉะนน้ั d = nm = 25 1 = 24 = 1

ดงั นนั้ S5 = 5 [2(8) + 4(1)] = 50
2

อนุกรมเรขาคณิต

เมือ่ a1, a2, a3, ..., an เปน็ ลําดับเรขาคณิต จะได้ว่า a1 + a2 + a3 + ... + an
เป็นอนกุ รมเรขาคณติ (Geometrics series)

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต
สตู ร ควรใชเ้ มอ่ื สิง่ ทต่ี ้องหาเหมอื นกันคือ

Sn = a1 (1 - rn ) = a1(rn - 1) , r  1 ทราบค่า r 1. หา n จากสูตร
1-r r -1 an = a1rn–1
a1 -ran ran - a1
Sn = 1-r = r -1 , r 1 ทราบคา่ an 2. หา a1

EX จงหาผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิต 1 – 2 + 4 – 8 + . . . + 256
Sol จาก an = a1rn–1  256 = (-2)n–1  (-2)8 = (-2)n–1
 n=9
a1 -ran
ดังนน้ั S9 = 1-r = 1- (-2)256 = 171
1- (-2)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 136

4. อนุกรม (ต่อ)

อนุกรมอนนั ต์

กําหนดอนุกรมอนนั ต์ a1 +a2 +a3 +. . .+an +. . . ให้ S1, S2, S3, …, Sn, …
เป็นลาํ ดับของผลบวกย่อย (Partial sum) ของอนุกรมนี้

ถ้าลําดับ Sn เป็นลําดับลู่เข้า และ S = lim Sn = L เมื่อ L

n

แล้วจะกล่าวว่า อนุกรมอนันต์ดังกล่าวเป็น อนุกรมลู่เข้า (convergent

series) และเรยี ก L วา่ ผลบวกของอนกุ รม

ถ้าลําดับ Sn เป็นลําดับลู่ออก น่ันคือ nlimSnหาค่าไม่ได้ แล้วจะ
กลา่ ววา่ อนุกรมอนันต์ดงั กลา่ วเป็น อนกุ รมลู่ออก (divergent series)

หลกั การหาอนกุ รมอนนั ต์

1. หา Sn 2. take limit 3. S =nlimSn

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

ชนิดของอนุกรม สูตรผลบวกของอนุกรมอนนั ต์

1. อนกุ รมเลขคณติ ไม่มีสูตรหาผลบวกอนันต์และหาผลบวกอนันต์ไม่ได้
2. อนุกรมเรขาคณิต จะไดว้ า่ อนกุ รมน้ีเป็นอนกุ รมลอู่ อกเสมอ
ยกเวน้ a1=0 และ d=0 ซึง่ มีผลบวกเทา่ กบั 0 เสมอ
ถ้า r <1 แลว้ อนกุ รมน้เี ป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวก

ของอนกุ รม S = lim Sn  = a1
1-r
n = ai
i=1
และถ้า r 1 แล้วอนุกรมนเ้ี ป็นอนุกรมลูอ่ อก
2
EX จงหาคา่ x ท่ที าํ ให้ 1 + x + x2 + x3 + x4 + … = 3

Sol จาก 1 + x + x2 + x3 + x4 + …  a1 = 1 และ r = x
a1 2 1
และจาก S = 1-r  3 = 1-x

 x = -1
2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 137

4. อนุกรม (ต่อ)

อนกุ รมเศษส่วนย่อย

k 1 d) = 1 k  1  n 1 d 
n(n + d  n + 
n=1 n=1
k k
n(n + 1 + 2d) = 1  1 d)  (n + 1 + 2d) 
n=1 d)(n 2d n=1  n(n + d)(n 

EX จงหาคา่ ของ 1  1  7 1  ...  1
35 57 9 6163
1 1 1 1
Sol 35  57  7 9  ...  6163

= 1  1 + 2)  1  ...  61 1 2)
3 (3 + 2) 5(5 7  (7 + 2) (61+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
= 2  3  5  5  7  7  9  ...  61  63  = 2  3  63  = 63
   

อนุกรมผสม

อนุกรมเลขคณิตกับเลขคณติ  หาพจน์ทัว่ ไปแล้ว take sigma

EX จงหาคา่ ของ 23 + 45 + 67 + . . . + 2021

Sol 23 + 45 + 67 + . . . + 2021  (n + 1)(n + 2)
19 19 =n1=91n2 +n1=91 +n1=91
= (n +1)(n + 2) = (n2 + 3n + 2) 3n 2
n=1 n=1
= 19(19+1)(2(19) +1) +319(19+1) +19(2) = 2470+570+38=3078
62
อนุกรมเลขคณิตกบั เรขาคณิต

 1. ให้ Sn หรอื S เป็นสมการท่ี 1
2. สรา้ งสมการท่ี 2 โดยนํา r คูณสมการที่ 1

3. นําสมการทั้งสองมาลบกัน
3 7 15
EX จงหา S ของ 1  4  15  64  ...

Sol ให้ S = 1  3  7  15  ... …(1)
4 15 64
1 1 1 3 7 15
นํา 4 x(1); 4 S = 4  16  64  256  ... …(2)

นาํ (1)-(2); 3 S = 1  2  4  8  16  ...
4 4 16 64 256
3 1 1 1 1 1
4 S = 1  2  4  8  16  ... = 1 =2
1- 2

ดังนั้น S = 8
3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 138

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น
(Calculus)

K-Concept : แคลคลู สั บทนยิ าม
1. ลิมติ ทฤษฎบี ทลมิ ิตของฟังก์ชนั
เทคนิคการหาลิมติ ของฟังก์ชัน
2. ความต่อเนือ่ ง ลิมติ ที่อนนั ต์
ทฤษฎีบทลิมติ ทอ่ี นนั ต์

3. อนพุ นั ธ์ อัตราการเปลยี่ นแปลง
อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั
การหาอนุพนั ธ์โดยใชส้ ูตร
อนุพนั ธ์อนั ดับสูง
อนุพันธ์ของฟงั กช์ นั ประกอบ

4. การประยุกต์ของอนุพนั ธ์ กฎของโลปิตาล

ความชันของเส้นโค้ง

ฟงั ก์ชนั เพิม่ และฟังก์ชันลด

5. ปรพิ ันธ์ ค่าสูงสดุ สัมพัทธแ์ ละค่าตํา่ สดุ สัมพัทธ์
ค่าสงู สุดสมั บรู ณ์และค่าต่ําสุดสมั บรู ณ์
โจทย์ประยุกต์ค่าสูงสดุ และค่าตา่ํ สุด
ปฏิยานุพนั ธ์
ปรพิ ันธ์ไม่จํากดั เขต

ปรพิ ันธ์จํากัดเขต

การหาพืน้ ท่ีท่ปี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้

6. ความสัมพันธ์ระหวา่ งสมการการเคล่ือนที่ ความเร็ว และความเร่ง

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 139

1. ลิมติ K-Word lim f(x) = ลมิ ติ ซ้ายของฟังกช์ ัน f (Left-handed limit)

xa
lim f(x) = ลมิ ติ ขวาของฟังก์ชนั f (Right-handed limit)

บทนิยาม xa

lim f(x) = L1 หมายถึง ลิมติ ของ f มีคา่ เข้าใกล้ L1 เมือ่ x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ย

xa
xlima f(x) = L2 หมายถึง ลิมติ ของ f มีค่าเข้าใกล้ L2 เม่อื x เข้าใกล้ a ทางชวา

ถ้า L1 = L2 = L จะกลา่ ววา่ ฟงั ก์ชัน f มีลิมิตเปน็ L ท่ี a
xlima f(x) = L กต็ อ่ เม่ือ lim f(x) = L = lim f(x)

xa xa
ถา้ L1 L2 จะกล่าวว่า ฟงั ก์ชัน f ไม่มีลมิ ิตท่ี a

EX จงพิจารณาว่า f(x)= | x | มีลมิ ติ ท่ี EX กาํ หนดให้ f(x) = | x2 4 |
x
0 หรือไม่ จงหา xlim2 f(x)
|x| Sol จาก f(x) = | x2 4 | จะได้
Sol จาก f(x) = x จะได้
f(x) x x >0 1, x2 4, x -2 x 2
xx , x <0 x>0 f(x) = 4 x2, -2 < x < 2
= x , = 1, x<0

เมื่อ x < 0 จะได้ xlim0 f(x) = –1 เมือ่ x 2 จะได้ xlim2+ f(x) = 0
เมอื่ x<2 จะได้ lim f(x) = 0
เมื่อ x>0 จะได้ lim f(x) = 1
x2
x0 xlim2+ f(x) = lim f(x)
lim f(x) = –1 1 = lim f(x)
x2
x0 x0 ดังน้นั xlim2 f(x) = 0
| x |
ดังนนั้ f(x) = x ไม่มลี ิมติ ที่ 0

ทฤษฎบี ทลิมิตของฟังก์ชนั

ให้ a, c, A, B และ c เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ โดยที่ xlimaf(x) = A และ xlimag(x) = B

1. xlimac = c 2. xlimax = a

3. xlimaxn = an , n 4. lim cf(x) = c lim f(x) = cA

xa xa

5. xlima[f(x)  g(x)]= xlimaf(x)  xlimag(x) = A B 6. xlima[f(x) g(x)]= xlimaf(x)  xlimag(x) = A B
xlxliimmaagf((xx))
7. xlima f(x) = = A , B0 8. xlima[f(x)]n =[xlimaf(x)]n =An , n
g(x) B

9. xlima| f(x) |=| xlimaf(x) |=| A | 10. lim n f(x) = n lim f(x) = n A

xa xa

โดยที่ nI,n  2, n A

 lim กระจายไดห้ มด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 140

1. ลมิ ติ (ตอ่ )

เทคนิคการหาลิมิตของฟังก์ชัน

พิจารณา lim f(x) โดยการแทนคา่ x ดว้ ย a จะเกดิ กรณี ดงั นี้
g(x)
xa

1. ถ้าได้ เลข ให้ตอบว่า xlima f(x) = เลข
เลข g(x) เลข
0 f(x)
2. ถา้ ได้ เลข ให้ตอบว่า xlima g(x) =0

3. ถา้ ได้ เลข ให้ตอบว่า xlima f(x) หาค่าไม่ได้
0 g(x)
0
4. ถา้ ได้ 0 หรอื  ยงั ตอบไม่ได้ ใหพ้ จิ ารณาต่อ ดังนี้


f(x) 1. factor
g(x)
xlima = 2. conjugate

3. l'Hôpital

EX xlim3 x+ 1 EX xlim1 x2 + x 2
2x 5 x2 + 4x +3
3+1 4
= 2(3) 5 = 1 = 4 = (1)2 +1 2 = 0 = 0
(1)2 + 4(1) + 3 8

EX xlim6 x2 + 2x 4 EX xlim-5 x2 + 25
x 6 x 5
(x + 5)(x 5)
= (6)2 + 2(6) 4 = 44 = xlim-5 x+5
0
66 = xlim-5(x 5) = -10

ดงั นัน้ xlim6 x2 + 2x 4 หาคา่ ไมไ่ ด้
x 6
4 2x
EX xlim8 16 2x EX xlim12 4x2 1
2x 1 1 2x
4 2x
= xlim8 42 ( 2x )2 = xlim12 4x2 1
2x 1 2x 1
= xlim8 (4 4 2x
1 2x)(4 + 2x) = xlim21 4x2 1
+ 2x 1
= xlim8 (4 2x )
(2x 1)(2x +1)
= 1 = xlim21 2x 1
+
4 16 = xlim21 (2x +1) = 2
1
= 8

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 141

1. ลิมติ (ต่อ)

ลิมติ ที่อนันต์

x lim f(x) = L1 หมายถงึ ลมิ ิตของ f มีคา่ เข้าใกล้ L1 เมอื่ x มีคา่ ลดลงเรือ่ ย ๆ
xlim f(x) = L1 หมายถึง ลมิ ติ ของ f มีค่าเข้าใกล้ L1 เมื่อ x มคี ่าเพ่มิ ขึ้นเรอื่ ย ๆ

ทฤษฎบี ทลมิ ิตทอ่ี นนั ต์

0, r < 0 0, |r |<1
= 1, 2. lim rx = 1, r =1
1. xlim xr not r=0 x not exist, |r |>1, r  -1
r>0
exist,

EX 1. xlim x-5 = 0 EX 1. xlim( 1 ) x = 0
2
5 2. xlim2-3x = 0
2. xlim x3 = 0

3. xlim8x8 หาค่าไม่ได้ 3. xlim5x หาค่าไม่ได้

ak xk + ak-1xk-1 +...+ a1x + a0  ak , k =m
bmxm +bm-1xm-1 +...+b1x +b0 0b,m
3. lim = k <m
k >m
x not exist,

พหุนาม Expo

1. ดีกรีสงู สดุ ของเศษเทา่ กับส่วน 1. ฐานสงู สดุ ของเศษเท่ากับส่วน
2x3 + x2 75x +33x
EX lim 5x3 - 3x2 - 4x +5 = 2 EX lim 25x 53x = 7
+2x -1 5 2
x x

2. ดกี รสี งู สดุ ของเศษน้อยกว่าส่วน 2. ฐานสงู สดุ ของเศษนอ้ ยกว่าส่วน
x2 75x +33x
EX lim 2x 3   4x +5  9 = 0 EX lim 27x 52x =0
3x 2 + 7x
x x

3. ดีกรีสงู สดุ ของเศษมากกว่าสว่ น 3. ฐานสงู สดุ ของเศษมากกวา่ สว่ น
2x3 + 5x2 36x +74x
EX lim -3x2 + 7x + 8 = หาคา่ ไม่ได้ EX lim 45x 54x =หาคา่ ไม่ได้
 9
x x

K-Question จงหาคา่ ของ lim nlim (x 1)(x  2)(x  3)...(x  n) 
(x +1)(x 2)(x 3)...(x + n) 
x + +

(Ans : 1)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 142

2. ความต่อเน่ือง

บทนยิ ามความต่อเนอ่ื ง (Continuity)

K-Note ให้ a จะกลา่ วว่า f เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนือ่ งท่ี x = a เม่อื f มีสมบตั ิตอ่ ไปน้ี
ฟังก์ชัน f เป็นฟงั กช์ นั
ตอ่ เนอ่ื งบนช่วง (a, b) 1. f(a) หาค่าได้
2. xlima f(x) หาค่าได้ lim lim
f ต่อเนื่องทท่ี กุ ๆ จดุ [ f(x) = f(x) ]
ในชว่ ง (a, b) xa xa
3. xlima f(x) = f(a)
ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชัน
ต่อเนอื่ งบนช่วง [a, b] K-Remark

1) f ต่อเน่อื งบนชว่ ง (a, b) ถ้า f ขาดสมบัติ 1, 2 หรือ 3 ในบทนิยามแม้แต่เพียงข้อเดียว เราจะ

2) xlima+ f(x) = f(a) กล่าววา่ f ไมต่ ่อเน่อื งที่ x = a
3) xlimb- f(x) = f(b)
EX กาํ หนดให้ f(x) = x + 6, x3
x2, -3 < x < 3

จงพจิ ารณาว่าฟังก์ชนั f ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 3 หรอื ไม่

Sol จาก f(x) = x + 6, x3
x2, -3 < x < 3

จะได้ f(3) = 3 + 6 = 9
และ xlim3- f(x) = xlim3- x2 = 32 = 9

xlim3+ f(x) = xlim3+(x + 6) = 3 + 6 = 9

นัน่ คอื xlim3 f(x) = 9 ฉะนนั้ f(x) = xlim3 f(x)

ดงั น้ัน ฟังกช์ นั f ต่อเนอ่ื งท่ี x = 3

EX กาํ หนด f(x) = x2 , 5, x <1
Ax + x 1

จงหาคา่ A ทีท่ ําใหฟ้ ังก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนื่องที่ x = 1

Sol เน่อื งจากฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนือ่ งที่ x = 1 จะไดว้ า่
xlim1- f(x) = xlim1+ f(x)
xlim1- x2 = xlim1+ (Ax + 5)
12 = A(1) + 5
1 = A+5
A = -4

ดงั นัน้ A = -4 ทาํ ให้ฟังก์ชนั f เป็นฟังกช์ ันต่อเนื่องที่ x = 1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 143

3. อนุพันธ์

อตั ราการเปลย่ี นแปลง

ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันใด ๆ เมื่อค่าของ x เปลี่ยนเป็น x + h โดยที่

h 0 คา่ ของ y เปล่ียนจาก f(x) เปน็ f(x + h) แลว้

1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ยี ของ y เทยี บกับ x จาก x ถึง x + h คือ
f(x +h) f(x)
h
2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะท่ี x มคี ่าใด ๆ คอื
f(x + h) f(x)
hlim0 h

EX กาํ หนดให้ A = 3 x2 เมือ่ A แทนพนื้ ทีข่ องรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า และ x
4
แทนความยาวของด้าน จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ A เทียบกับ x

ขณะ x เทา่ กบั 10 เซนติเมตร

Sol อัตราการเปลีย่ นแปลงของ A เทียบกับ x เท่ากบั

hlim0 3 (x + h)2 3 x2 = hlim0 3 [x2 + 2xh + h2 x2]
4 h 4 4 h

= hlim0 3 [2xh + h2 ]
4 h

= hlim0 3 (2x + h) = 3 x
4 2
ดังนนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ A เทยี บกับ x ขณะ x = 10 เทา่ กบั

3 x = 3 (10) = 5 3 ตารางเซนติเมตร/เซนตเิ มตร
2 2

อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั

ถ้า hlim0 f(x + h) f(x) หาค่าได้ เราจะเรียกลิมิตท่ีได้น้ีว่า “อนุพันธ์
h
dy d
K-Note (Derivative) ของฟังก์ชนั f ที่ x” เขียนแทนด้วย f (x) = dx = dx f(x) ดงั นัน้
f เปน็ ฟงั กช์ ัน
ไม่ตอ่ เนือ่ งที่ x = a f (x) = hlim0 f(x + h) f(x)
h
f เปน็ ฟงั กช์ นั ที่ f(x + h) f(x) หาคา่ ไม่ได้ เราจะกลา่ วว่าฟังกช์ ัน f ไมม่ ี
ไม่มีอนพุ นั ธท์ ่ี x = a ถา้ hlim0 h

อนพุ ันธ์ท่ี x d
dx
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ท่ี x = a เขียนแทนด้วย f (a) = f(x) x=a

ดงั นั้น f (a) = hlim0 f(a +h) f(a)
h

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 144

3. อนุพนั ธ์ (ต่อ)

การหาอนพุ ันธ์โดยใช้สตู ร

เมื่อ c เปน็ คา่ คงตวั ใด ๆ d
d d dx
1. dx c = 0 2. dx cf(x) = c f(x)

3. d (xn ) = nxn–1, n 4. d [f(x) g(x)] = f (x) g (x)
dx dx
d
5. dx [f(x) g(x)] = f(x) g(x) + g(x)f (x) 6. d f(x) = g(x)f (x) f(x)g (x)
dx g(x) [g(x)]2

7. d f(x)n = nf(x)n–1 d f(x) , n
dx dx
dy
EX กาํ หนดฟังก์ชัน y = x3 + 2x2 – 4x จงหาค่าของ dx

Sol dy = 3x3 – 1 + 2(2)x2 – 1 – 4x1 – 1
dx 3x2 + 4x – 4
=
EX กาํ หนดฟงั ก์ชนั f(x) = (3x – 2)4 จงหา f (x)
d
Sol f (x) = 4(3x – 2)4–1 dx (3x - 2)
=
4(3x – 2)3(3)
= 12(3x – 2)3

อนพุ นั ธ์อนั ดบั สงู

จาก y = f(x) จะได้ว่า f (x) = dy = d f(x) EX จงหาอนพุ นั ธ์อันดบั ที่ 4 ของ
อนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ 1 ของ f ท่ี x dx dx f(x) = 4x4 – 7x2 + 5x – 9
อนพุ นั ธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของ f ท่ี x
f (x) = d2y = d f (x) วิธีทาํ
อนุพนั ธ์อันดบั ที่ 3 ของ f ที่ x dx2 dx จาก f(x) = 4x4 – 7x2 + 5x – 9
จะได้ f (x) = 16x3 – 14x + 5
อนุพนั ธอ์ นั ดับที่ 4 ของ f ที่ x f (x) = d3y = d f (x)
dx3 dx f (x) = 48x2 – 14

f(4) (x) = d4 y = d f (x) f (x) = 96x
dx4 dx
ดังนั้น f(4)(x) = 96

อนุพันธอ์ นั ดับท่ี n ของ f ท่ี x f(n) (x) = dny = d f (n-1) (x)
dxn dx

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 145

3. อนพุ ันธ์ (ต่อ) อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันประกอบ

K-Note ถ้า y = f(u) และ u = g(x) แลว้ y = f(u) และ u = g(x)
สูตรสาํ หรับการหา dy
อนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน dx = (f g) (x) = f (g(x))g (x)
ประกอบ เรยี กว่า
หรอื dy = dy du y = f(g(x)) = (f๐g)(x)
“กฎลกู โซ่ dx du dx
(Chain rule)” EX จงหาคา่ ของ (f g) (x) เมือ่ f(x) = x2+2x และ g(x) = x3 + 3x2 + x – 5

Sol จากโจทย์ f (x) = 2x + 2 และ g (x) = 3x2 + 6x + 1

ดงั น้นั (f g) (x) = f (g(x))g (x)
= [2g(x) + 2][3x2 + 6x + 1]
= [2(x3+ 3x2 + x – 5) + 2][3x2 + 6x + 1]
= [2x3 + 6x2 + 2x – 8][3x2 + 6x + 1]

4. การประยกุ ต์ของอนุพนั ธ์ K-Remark : กฎของโลปิตาลใช้ได้กับลิมิตรูปแบบยังไม่กําหนด
เท่านน้ั ห้ามใช้กับฟงั ก์ชันธรรมดาท่ีสามารถหาค่าลมิ ติ

กฎของโลปติ าล (L’Hopital law)

K-Note ถ้า xlima f(x) = 0 = แล้ว xlima f(x) = xlima f (x) = diff บน
g(x) 0 g(x) g (x) diff ลา่ ง
รปู แบบยงั ไม่
x2 25 2x
0 กาํ หนด ได้แก่ EX 1. xlim-5 x + 5 = xlim-5 1 = 2(-2) = -10
0
, ,0 , 00 , ... 1

2. xlim8 4 2x = xlim8 22x = xlim8 2 1 = 2 1 = 1
16 2x 2x 2(8) 8

ความชนั ของเสน้ โคง้ (Tangent line)

ถา้ y = f(x) เปน็ สมการเสน้ โคง้ เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P(a, b) ใด ๆ จะ
f(a + h) f(a)
เปน็ เสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ P และมคี วามชนั เท่ากับ f (a) = hlim0 h

K-Note

f (a) = ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้งของ f ทจ่ี ุด P(a, b)

= ความชันของเสน้ โคง้ ของ f ทจี่ ุด P(a, b)

การหาสมการของเส้นสัมผัสทีส่ ัมผสั เส้นโคง้ ทจี่ ุด P(a, b)

1) หาความชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ท่จี ุด P ซง่ึ เทา่ กับ f (a)

2) หาสมการเสน้ สมั ผัสท่จี ุด P โดยใช้สตู ร y – b = f (a) (x – a)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 146

4. การประยกุ ต์ของอนพุ ันธ์ (ตอ่ )

ความชันของเสน้ โคง้ (ต่อ)

EX จงหาสมการของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง f(x) = 1 ท่ีจดุ (1, 1)
(2 - x)2
Sol จากโจทย์ f (x) = 2
(2 - x)2 f (1) = 2

ดงั นัน้ สมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้งท่จี ดุ (1, 1) คือ

y – 1 = 2(x – 1)

y – 2x + 1 = 0

ฟังกช์ นั เพิ่มและฟงั กช์ ันลด (Increasing and decreasing fuction)

กําหนดให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่อื งบน [a, b] และสามารหาอนพุ นั ธ์ไดบ้ น (a, b)
1. ถ้า f (x) < 0 สําหรับทุก x บนช่วง (a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันลด

บนชว่ ง [a, b] ดงั รูป

2. ถ้า f (x) > 0 สาํ หรับทุก x บนช่วง (a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันเพ่ิม
บนช่วง [a, b] ดังรูป

EX กําหนดฟงั ก์ชนั f(x) = x3 – 3x + 1 จงหาชว่ งทท่ี าํ ให้ f เปน็ ฟงั กช์ ันเพ่มิ และ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ลด

Sol จากโจทย์ f (x) = 3x2 – 3 Sol จากโจทย์ f (x) = 3x2 – 3
เนือ่ งจากค่า x ท่ีทําให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันเพม่ิ คือ เนื่องจากคา่ x ท่ที าํ ให้ f เป็นฟงั กช์ ันลด คอื

ค่า x ท่ีทําให้ f (x) > 0 นน่ั คือ คา่ x ที่ทาํ ให้ f (x) < 0 นัน่ คอื
3x2 – 3 > 0 3x2 – 3 < 0
x2 – 1 > 0 x2 – 1 < 0

(x – 1)(x + 1) > 0 (x – 1)(x + 1) < 0

ดงั นน้ั ชว่ งทที่ ําให้ f เป็นฟงั กช์ ันเพ่ิมคอื ดงั น้นั ชว่ งที่ทาํ ให้ f เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ คือ [– 1, 1]
(– , – 1] [1, ) ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 147

4. การประยุกต์ของอนุพนั ธ์ (ตอ่ )

ค่าสงู สุดสมั พัทธ์และคา่ ตา่ํ สดุ สมั พัทธ์ (Relative maximum and minimum)

F จากรปู พบวา่
จุดสูงสดุ สัมพัทธ์ ได้แก่ จดุ A, C, E

จดุ ตา่ํ สดุ สัมพัทธ์ ได้แก่ จุด B, D

จดุ เปลยี่ นเว้า ได้แก่ จุด F

เทคนิคการหาคา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์และค่าตา่ํ สดุ สมั พัทธ์

K-Trick 1. หาคา่ วิกฤต (Critical value) x = c จาก f (c) = 0
ฟังก์ชัน f มี
คา่ สูงสุดสัมพัทธ์ 2. ทดสอบว่าค่าวิกฤตทีไ่ ดใ้ ห้คา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์ หรือคา่ ต่ําสุดสมั พัทธ์

หรือ วิธีท่ี 1 ใช้ f (x) วิธีท่ี 2 ใช้ f (x) คา่ ท่ไี ด้
คา่ ตํา่ สดุ สมั พทั ธ์
f (x) < 0 f(c) เป็นค่าสูงสดุ สัมพัทธ์
ที่ c
f (x) เปล่ียนเป็นจาก
f (c) = 0 จํานวนบวกเป็นจาํ นวนลบ

f (x) > 0 f(c) เป็นค่าต่ําสดุ สัมพทั ธ์

f (x) เปล่ียนเป็นจาก
จํานวนลบเป็นจาํ นวนบวก

f (x) = 0 ยังสรปุ ไม่ได้
ต้องกลับไปใช้วิธีท่ี 1

f (x) ไม่มกี ารเปล่ยี นแปลงจาก ไม่มีคา่ สูงสุดสมั พัทธห์ รือ
จํานวนบวกเป็นจาํ นวนลบหรอื ค่าตาํ่ สุดสัมพัทธ์
จากจํานวนลบเปน็ จํานวนบวก
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์