เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560 ฉบับครู

เฉลย/แนวคาตอบ

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน และเพ่ิมเติม

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6 ปกี ารศกึ ษา 2560

ครผู ้สู อน
นายครรชิต แซโ่ ฮ่

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
สานกั งานเขตพื้นทีก่ ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 15

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 0

คณติ ศาสตร์ 5
รหสั วชิ า ค 33101

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 1

รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 5 คาํ อธบิ ายรายวชิ า รหัสวิชา ค33101
ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรียนที่ 1 2 ชั่วโมง/สัปดาห์
40 ชวั่ โมง/ภาคเรยี น
1.0 หนว่ ยกิต

ศึกษาและฝึก ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การส่ือสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนําเสนอ การเช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตรอ์ นื่ ๆ และมคี วามคิดริเริม่ สรา้ งสรรค์ ในสาระตอ่ ไปนี้

สถิติและข้อมูล ตัวอย่างของกรณีหรือปัญหาที่ต้องใช้สถิติ ความหมายของสถิติ สถิติกับการตัดสินใจ
และวางแผน ข้อมูลและการเก็บรวบรวมข้อมูล ได้แก่ ความหมายของข้อมูล ประเภทของข้อมูล วิธีเก็บ
รวบรวมข้อมูล และปญั หาในการใชข้ ้อมลู

การวิเคราะห์ขอ้ มูลเบ้ืองต้น การแจกแจงความถี่ของข้อมูล ได้แก่ การแจกแจงความถ่ีสะสม การแจก
แจงความถี่สัมพัทธ์ และการแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์ การแจกแจงความถ่ีโดยใช้กราฟ ได้แก่ ฮิสโทแกรม
และแผนภาพต้น-ใบ การวัดตําแหน่งที่ของข้อมูล ได้แก่ เปอร์เซ็นไทล์ และการหาเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่
ไม่ได้แจกแจงความถ่ี การวดั คา่ กลางของขอ้ มลู ได้แก่ ค่าเฉล่ียเลขคณิต ค่าเฉล่ียเลขคณิตถ่วงน้ําหนัก ค่าเฉล่ีย
เลขคณิตรวม การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถ่ีแล้ว มัธยฐาน ฐานนิยม และข้อสังเกตและ
หลักเกณฑ์ท่ีสําคัญในการใช้ค่ากลางชนิดต่าง ๆ และการวัดการกระจายของข้อมูล ได้แก่ พิสัย ส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐาน และความสัมพันธร์ ะหวา่ งการแจกแจงความถ่ี ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล

การจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพือ่ ให้มีความรู้ความเขา้ ใจในเน้ือหา มีทกั ษะการแก้ปญั หา การให้เหตุผลและนําประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีที่ได้ไปใช้ในชีวิตประจําวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกจิ พอเพยี ง รวมทง้ั ให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซื่อสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งม่ัน
ในการทาํ งาน รกั ความเป็นไทยและมจี ิตสาธารณะ

การวัดและประเมนิ ผล ใช้วิธีการหลากหลายตามสภาพเปน็ จรงิ ตามมาตรฐานและตัวชี้วัดท่ีกําหนด

มาตรฐาน/ตัวช้ีวัด
ค 5.1 ม.4-6/2, ม.4-6/3,
ค 5.3 ม.4-6/1
ค 6.1 ม.4-6/1, ม.4-6/2, ม.4-6/3, ม.4-6/4, ม.4-6/5, ม.4-6/6

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 2

รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 หนว่ ยการเรยี นรู้ รหัสวิชา ค33101
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 2 ช่วั โมง/สัปดาห์
40 ช่วั โมง/ภาคเรียน ภาคเรยี นที่ 1
1.0 หน่วยกิต

ชั้นเรียน/ภาคเรยี น หน่วยการเรียนรู้/สาระการเรยี นรู้ จํานวนช่วั โมง
10
ม. 6 1. สถิติและข้อมลู 30
ภาคเรยี นที่ 1 1.1 ตวั อยา่ งของกรณหี รือปญั หาที่ตอ้ งใช้สถติ ิ
1.2 ความหมายสถิติ 40
1.3 สถติ กิ ับการตดั สนิ ใจและวางแผน
1.4 ขอ้ มลู และการเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล
- ความหมายของข้อมลู
- ประเภทของข้อมูล
- วธิ เี ก็บรวบรวมข้อมูล
- ปัญหาในการใช้ข้อมูล

2. การวิเคราะห์ข้อมูลเบ้อื งต้น
2.1 การแจกแจงความถีข่ องข้อมลู
- การแจกแจงความถส่ี ะสม
- การแจกแจงความถ่ีสัมพทั ธ์
- การแจกแจงความถ่สี ะสมสมั พทั ธ์
2.2 การแจกแจงความถโ่ี ดยใช้กราฟ
- ฮิสโทแกรม
- แผนภาพตน้ -ใบ
2.3 การวดั ตาํ แหน่งทขี่ องข้อมลู
- เปอรเ์ ซ็นไทล์
- การหาเปอร์เซน็ ไทล์ของขอ้ มลู ทีไ่ ม่ได้แจกแจงความถ่ี
2.4 การวัดคา่ กลางของขอ้ มูล
- คา่ เฉลีย่ เลขคณิต ค่าเฉลีย่ เลขคณิตถ่วงนา้ํ หนัก
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
- การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมูลท่ีแจกแจงความถแ่ี ล้ว
- มธั ยฐาน
- ฐานนิยม
- ขอ้ สงั เกตและหลักเกณฑ์ท่สี าํ คญั ในการใชค้ า่ กลางชนิดตา่ ง ๆ
2.5 การวัดการกระจายของขอ้ มลู
- พิสัย สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
- ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง
และการกระจายของข้อมลู

รวม

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 3

รายวิชาคณติ ศาสตร์ 5 โครงสร้างรายวิชา รหัสวิชา ค33101
ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 2 ชว่ั โมง/สัปดาห์
40 ช่ัวโมง/ภาคเรยี น ภาคเรียนที่ 1
1.0 หน่วยกติ

ลําดบั ชือ่ มาตรฐาน/ตวั ช้ีวดั สาระการเรียนรู้แกนกลาง เวลา นํ้าหนกั
ที่ หนว่ ยการเรียนรู้ (ชั่วโมง) คะแนน

1 สถิติและข้อมูล ค 5.3 ม.4-6/1 สถิติและข้อมลู ตัวอย่างของกรณหี รอื 10 30
ค 6.1 ม.4-6/1, ม.4-6/2, ปญั หาทต่ี อ้ งใชส้ ถิติ ความหมายของ
ม.4-6/3, ม.4-6/4, สถิติ สถิตกิ บั การตดั สนิ ใจและวางแผน
ม.4-6/5, ม.4-6/6 ข้อมูลและการเก็บรวบรวมขอ้ มลู ได้แก่

ความหมายของขอ้ มูล ประเภทของ

ข้อมลู วธิ ีเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล และ

ปญั หาในการใช้ข้อมูล

2 การวิเคราะห์ ค 5.1 ม.4-6/2,ม.4-6/3 การวเิ คราะห์ขอ้ มลู เบ้อื งตน้ การแจก 30 70
ข้อมลู เบื้องต้น ค 6.1 ม.4-6/1, ม.4-6/2, แจงความถขี่ องข้อมลู ได้แก่ การแจก
ม.4-6/3, ม.4-6/4, แจงความถส่ี ะสม การแจกแจงความถี่
ม.4-6/5, ม.4-6/6 สัมพัทธ์ และการแจกแจงความถสี่ ะสม

สมั พัทธ์ การแจกแจงความถีโ่ ดยใช้

กราฟ ได้แก่ ฮสิ โทแกรม และ

แผนภาพตน้ -ใบ การวดั ตําแหนง่ ทขี่ อง

ข้อมูล ไดแ้ ก่ เปอร์เซ็นไทล์ และการ

หาเปอรเ์ ซ็นไทล์ของขอ้ มูลที่ไม่ได้แจก

แจงความถ่ี การวัดค่ากลางของขอ้ มูล

ไดแ้ ก่ คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ค่าเฉลี่ยเลข

คณิตถ่วงนา้ํ หนกั ค่าเฉลีย่ เลขคณติ รวม

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มลู ทแี่ จก

แจงความถแ่ี ล้ว มธั ยฐาน ฐานนิยม

และข้อสังเกตและหลกั เกณฑท์ ส่ี าํ คญั ใน

การใช้คา่ กลางชนดิ ต่าง ๆ และการวัด

การกระจายของขอ้ มลู ได้แก่ พสิ ัย

ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน และความ

สมั พนั ธ์ระหวา่ งการแจกแจงความถี่ ค่า

กลาง และการกระจายของข้อมูล

รวมตลอดภาคเรียน 40 100

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 4

บทท่ี 1
สถิติและข้อมูล

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 5

ใบกิจกรรม เรือ่ ง “ปัญหากบั สถิต”ิ

1. ให้นักเรียนยกตัวอย่างของกรณีหรือปัญหาท่ีต้องใช้สถิติมา 1 เร่ือง พร้อมอธิบายว่าใช้ความรู้ทางสถิติใน
เร่ืองใด อยา่ งไรบา้ ง?
แนวตอบ ปัญหาต่าง ๆ ที่เก่ียวข้องกับชีวิตประจําวันหรือการทํางานมีหลายปัญหาทีจําเป็นต้องใช้

สถติ มิ าช่วยในการหาข้อสรุปหรือช่วยในการตดั สนิ ใจ เช่น ในกรณีตอ่ ไปนี้
1.โอกาสที่จะมฝี นตกในวนั หนง่ึ ๆ ในการเดนิ ทางไม่ว่าจะใกล้หรอื ไกล ส่ิงท่ีผู้เดินทางต้องการทราบคือ

สภาพดินฟ้าอากาศเพ่ือที่จะได้สามารถเตรียมเส้ือผ้าหรืออุปกรณ์อ่ืนท่ีจําเป็นให้เหมาะสม ในกรณีท่ีไม่ได้เดิน
ทางไกล การทราบเก่ียวกับสภาพอากาศในท้องถิ่นก็เป็นสิ่งท่ีดี โดยเฉพาะกรณีของฝน เนื่องจากหากฝนตก
อาจมปี ญั หาน้าํ ทว่ มหรือจราจรตดิ ขดั การพยากรณเ์ ก่ียวกับฝนตกของกรมอุตุนิยมวิทยาต้องอาศัยความน่าจะ
เป็นของการมีฝนตกภายใต้สภาพต่าง ๆ ซ่ึงต้องอาศัยข้อมูลทั้งในอดีตและปัจจุบันตลอดจนวิธีวิเคราะห์เชิง
สถติ ิเข้ามาช่วย

2.การสํารวจความคิดเห็นหรือโพล (Poll) การสํารวจความคิดเห็นเป็นส่ิงที่ทําเพื่อแสดงถึงความ
คิดเห็นของคนท่ัวไปทีม่ ีตอ่ เร่ืองหนง่ึ ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เป็นสิ่งที่เก่ียวข้องกับบุคคลโดยท่ัวไปในชุมชนหรือ
ประเทศนั้น ๆ เช่น ความคิดเห็นเก่ียวกับการดําเนินงานของรัฐบาล หรือต่อผู้บริหารประเทศ เป็นต้น
เนื่องจากเป็นเรื่องเกี่ยวข้องกับคนหมู่มาก แต่ต้องการทราบผลในเวลาอันรวดเร็วเพ่ือให้เรื่องท่ีสนใจน้ันยังคง
ความทันสมัยอยู่ ปัญหาของการสํารวจความคิดเห็นจึงอยู่ท่ีจะทําอย่างไรจึงจะมีตัวแทนของคนกลุ่มนั้นท่ีเป็น
ตัวแทนทีด่ ีและสามารถใหเ้ ห็นผลทเี่ ชือ่ ถอื ได้โดยไม่ต้องใช้ตัวแทนจํานวนมาก และต้องมีความสามารถบอกได้
ว่าผลการสํารวจมีความถูกต้องเช่ือถือได้มากน้อยเพียงไร และสามารถนําไปใช้ประโยชน์ได้ด้วยความมั่นใจ
เพียงไรดว้ ย

การสํารวจความคิดเห็นจึงเก็บข้อมูลเฉพาะจากตัวอย่างของกลุ่มคนเท่าน้ันก็เป็นการเพียงพอ ซ่ึง
จะตอ้ งใช้ความรู้ในวิชาสถิติท่ีเกี่ยวข้องกับวิธีเลือกตัวอย่างและการกําหนดขนาดตัวอย่างท่ีเหมาะสมกับระดับ
คุณภาพของผลลัพธ์ท่ีต้องการ การจัดทําแบบสํารวจ รวมทั้งวิธีการประมาณค่า เช่น ค่าสัดส่วนประชากรท่ี
เหน็ ด้วยกับเรื่องท่ตี อ้ งการทราบความคิดเห็น เปน็ ต้น

ฯลฯ

2. จากปัญหาทตี่ ้องใชส้ ถติ ิ นักเรียนคิดว่า “สถิติ” ในความคิดเหน็ ของนักเรียนคืออะไร?
แนวตอบ สถิติ หมายถึงตัวเลขหรอื ข้อมลู ทไ่ี ดจ้ ากการเก็บรวบรวม เชน่ จํานวนผู้ประสบอุบตั ิเหตุ บน

ทอ้ งถนน อัตราการเกดิ ของเด็กทารก ปรมิ าณนํา้ ฝนในแตล่ ะปี สถิติในความหมายนี้ เรียกว่าข้อมูลทางสถติ ิ
(Statistical data)

อีกความหมายหน่ึง สถิติ หมายถึงวิธีการท่ีว่าด้วยการเก็บรวบรวมข้อมูล การนําเสนอข้อมูล การ
วิเคราะหข์ ้อมลู และการตคี วามหมายข้อมลู

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 6

ใบกิจกรรม เรอื่ ง “ความหมายของสถติ ”ิ

1. ระเบยี บวิธที างสถิติ ประกอบดว้ ยอะไรบา้ ง
แนวตอบ 1. การเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล (Collection of Data)
2. การนําเสนอขอ้ มูล (Presentation of Data )
3. การวเิ คราะหข์ อ้ มูล (Analysis of Data)
4. การตคี วามหมายของขอ้ มลู (Interpretation of Data)

2. นกั เรยี นคดิ วา่ สถิตเิ ชิงพรรณนาและสถติ เิ ชิงอนมุ านแตกต่างกันอย่างไร
แนวตอบ 1.สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) เป็นสถิติท่ีใช้อธิบายคุณลักษณะของ

ส่ิงที่ต้องการศึกษากลุ่มใดกลุ่มหน่ึงไม่สามารถอ้างอิงไปยังกลุ่มอื่นๆ ได้ สถิติที่อยู่ในประเภทนี้ เช่น ค่าเฉลี่ย
ค่ามธั ยฐาน ค่าฐานนิยม ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน พิสยั ฯลฯ

2. สถิติเชิงอนมุ าน (Inferential Statistics) เปน็ สถิติทีใ่ ช้อธบิ ายคณุ ลักษณะของส่ิง
ที่ต้องการศึกษากลุ่มใดกลุ่มหน่ึงหรือหลายกลุ่มแล้วสามารถอ้างอิงไปยังกลุ่มประชากรได้ โดยกลุ่มที่นํามา
ศึกษาจะต้องเปน็ ตัวแทนท่ีดีของประชากร ตัวแทนทด่ี ีของประชากรได้มาโดยวิธีการสุ่มตัวอย่าง และตัวแทนที่
ดีของประชากรเรยี กว่ากลมุ่ ตัวอยา่ ง

ซ่ึงสถิติเชิงพรรณนาและสถิติเชิงอนุมานจะแตกต่างกันตรงที่ข้ันตอนการทําการ
วเิ คราะหแ์ ละทดสอบโดยใชห้ ลักทางสถิตแิ ละนาํ ไปทาํ นายหรือประมาณเก่ยี วกับประชากร

3. ประชากรหมายถึงอะไร และคา่ ทแี่ สดงถงึ ลักษณะตา่ ง ๆ ของประชากรเรียกว่าอะไร
แนวตอบ ประชากร หมายถึง กลุ่มที่มีลักษณะท่ีเราสนใจ หรือกลุ่มที่เราต้องการจะศึกษาหา

ข้อมูลท่ีเก่ียวขอ้ ง เปรยี บเหมอื นเอกภพสมั พัทธ์ในเร่ืองเซต ค่าท่ีแสดงถึงลักษณะต่าง ๆ ของประชากรเรียกว่า
คา่ พารามิเตอร์ กล่าวคอื คา่ ตา่ ง ๆ ที่คาํ นวณมาจากกล่มุ ประชากร

4. กล่มุ ตัวอย่างหมายถึงอะไร และค่าท่ีแสดงถึงลักษณะตา่ ง ๆ ของกลมุ่ ตวั อย่างเรยี กวา่ อะไร
แนวตอบ กลุ่มตัวอย่าง หมายถึง ส่วนหนึ่งของกลุ่มประชากรท่ีเราสนใจ ค่าที่แสดงถึงลักษณะ

ตา่ ง ๆ ของกลมุ่ ตัวอยา่ งเรยี กวา่ คา่ สถติ ิ กลา่ วคอื คา่ ต่าง ๆ ท่คี าํ นวณมาจากกลมุ่ ตวั อย่าง

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 7

ใบกิจกรรม เร่อื ง “สถิติกบั การตดั สนิ ใจและวางแผน”

1. ให้นกั เรียนยกตวั อย่างเร่ืองที่นกั เรียนตอ้ งตัดสินใจหรอื วางแผนเปน็ ประจาํ มา 5 เรอ่ื ง
...................................................................................................................................... ..............................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. .......................................................
......................................................... ...................................................................................................... .....................
................................................................................................................. ...................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
.................................................................................................................................... ................................................

2. จากเร่ืองทน่ี ักเรียนต้องตัดสนิ ใจหรอื วางแผนเปน็ ประจําในขอ้ 1 นกั เรยี นใชข้ อ้ มลู อะไรบ้างในการตดั สินใจ
หรือวางแผนดังกลา่ วบ้างหรือไม่ ถ้าใช้ ข้อมลู ท่นี ํามาใชม้ ีอะไรบา้ ง

.............................................................................................. ......................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................ ........................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
................................................................................................................. ...................................................................
................................................................................................................................................................... .................
.................................................................................................................. ..................................................................

3. จากผลการตัดสนิ ใจในแตล่ ะเรือ่ ง นักเรียนสามารถสรุปได้หรือไม่ว่าอะไรเป็นสาเหตุสําคัญที่ทําให้นักเรียน
สามารถตดั สนิ ใจหรอื วางแผนเก่ยี วกบั เร่อื งตา่ ง ๆ ได้ถูกตอ้ งหรอื เหมาะสม

............................................................................................ ........................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................................ ........................................
....................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
................................................................................................................. ...................................................................
................................................................................................................................................................. ...................
................................................................................................................ ....................................................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 8

ใบกิจกรรม เร่ือง “ข้อมูลและการเก็บรวบรวมข้อมูล”

สรา้ งแผนผงั ความคิดได้ ดงั นี้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 9

แบบฝกึ เสรมิ เรอ่ื ง “สถิติและข้อมูล”

1. ให้นักเรยี นตอบคําถามตอ่ ไปนี้
1) สถิติหมายถึง ศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับหลักการและระเบียบวิธีการทางสถิติประกอบด้วย การเก็บรวบรวม

ข้อมูล การนําเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และการแปลความหมายของข้อมูล หรือตัวเลขซ่ึงเกิดจากการ
วดั คดิ คาํ นวณจากขอ้ มลู ท่ีเก็บรวบรวม

2) ข้อมูลเชิงสถติ ิหมายถึง ข้อเท็จจรงิ เก่ยี วกับเรือ่ งใดเรอ่ื งหนง่ึ ท่ีสนใจศกึ ษาซง่ึ อาจจะเก่ยี วข้องกับคนสตั ว์
หรอื สง่ิ ของข้อมูลทผ่ี า่ นการประมวลผลทางสถติ ิ โดยข้อมูลอาจจะได้มาจากการนบั การสังเกต หรอื การบันทึก
ในรูปของข้อความหรอื ตัวเลขทใ่ี ช้บอกปริมาณหรอื บอกลักษณะส่งิ ทส่ี นใจศกึ ษา

3) ประเภทของสถิติ มี…2…ประเภท ได้แก่ สถติ เิ ชิงพรรณนาและสถติ ิเชงิ อนมุ าน

4) ความแตกต่างของประเภทของสถิติในข้อ 3) ได้แก่ ทําการวิเคราะห์และทดสอบโดยใช้หลักทางสถิติและ
นาํ ไปทํานายหรือประมาณเก่ยี วกบั ประชากร

5) ประชากรหมายถึง ข้อมูลทงั้ หมดที่เกยี่ วขอ้ งกับเรื่องทีศ่ กึ ษา

6) ตวั อยา่ งหมายถึง ขอ้ มูลบางส่วนของประชากร

7) สงิ่ ที่สาํ คัญที่สดุ ทีจ่ ะตอ้ งนาํ มาใช้ในการตัดสนิ ใจ คือ ข้อมลู ข่าวสารหรือสารสนเทศ (Information)

8) ข้อมูลท่ีจําแนกตามลักษณะของข้อมูล แบ่งเป็น...2....ประเภท ได้แก่ ข้อมูลเชิงปริมาณและข้อมูลเชิง
คณุ ภาพ

9) ขอ้ มูลท่จี าํ แนกตามวิธกี ารเก็บรวบรวม แบง่ เป็น...2....ประเภท ไดแ้ ก่ ข้อมูลปฐมภมู แิ ละขอ้ มลู ทตุ ยิ ภูมิ

10) วิธีเก็บรวบรวมข้อมูลปฐมภูมิ ได้แก่ การสัมภาษณ์ การสอบถามทางไปรษณีย์ การสอบถามทาง
โทรศัพท์ การสังเกต การทดลอง

2. ข้อมูลท่ผี ู้ใช้ต้องการในข้อต่อไปน้ี เปน็ ข้อมูลปฐมภูมหิ รือเปน็ ขอ้ มูลทตุ ิยภูมิ (ข้อละ 1 คะแนน)
1) คะแนนสูงสุดและตํ่าสดุ ของการสอบคดั เลอื กเข้าศกึ ษาต่อในคณะวทิ ยาศาสตรข์ องทุกมหาวิทยาลยั ท่ี
เปดิ สอนขอ้ มลู ดงั กล่าวนก้ี ระทรวงมหาวิทยาลัยเปน็ ผู้เกบ็ รวมรวมไว้………ขอ้ มูลทตุ ิยภูม…ิ ……..
2) ผใู้ ชต้ ้องการทราบความคิดเห็นของนกั ธรุ กจิ เก่ียวกับการเก็บภาษมี ูลคา่ เพิ่มของรัฐบาล…ข้อมูลปฐมภมู ิ…..
3) ผู้ใชต้ ้องการทราบความนิยมตอ่ หวั หน้าพรรคการเมืองของชาวยะลาในปัจจบุ ัน…ข้อมูลปฐมภูมิ…….
4) ข้อมลู เกีย่ วกับจาํ นวนผชู้ ายและจํานวนผู้หญิงทีเ่ ขา้ รับบรกิ ารผา่ ตัดทาํ หมนั ตัง้ แตป่ ี พ.ศ.2550 ถงึ
2555 ซงึ่ ขอ้ มูลทัง้ หมดอยทู่ ่กี รมอนามัยและครอบครวั กระทรวงสาธารณสขุ …ข้อมูลทตุ ยิ ภูมิ…….

3. ใหน้ ักเรยี นพิจารณาวา่ ข้อความตอ่ ไปนี้ ถูกหรือผิด (ข้อละ 1 คะแนน)
.....x.......1) นายสมพงษห์ นัก 45 กิโลกรมั ตัวเลข 45 จัดวา่ เป็นข้อมลู สถิติ
....../.....2) ผลการสอบวิชาสถติ ิของนักเรียนจาํ นวน 5 หอ้ งในโรงเรียนแหง่ หน่ึง ปรากฏว่านกั เรยี นห้อง ก.
ได้คะแนนเฉล่ียเทา่ กับ 87 คะแนน ตัวเลข 87 เป็นคา่ สถิติ
.....x.......3) จาํ นวนขอ้ มลู ในกลมุ่ ตัวอย่างอาจจะมมี ากกวา่ จํานวนขอ้ มูลของประชากร

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 10

.....x.......4) โรงพยาบาลแห่งหนึ่งประกอบด้วยแพทย์ 25 คน พยาบาล 50 คน เจ้าหนา้ ท่ธี ุรการ13 คน
คนงานอ่นื ๆ 20 คน ข้อความดงั กลา่ วเป็นขอ้ มูลท่จี าํ แนกตามปรมิ าณ

..../........5) การจดบนั ทึกจํานวนรถยนตท์ ีใ่ ช้ทางด่วน เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลโดยใชว้ ิธสี งั เกต
..../........6) นายสมพงศ์อา่ นผลการเลือกต้ังสภาผู้แทนราษฎรจากหนงั สือพิมพข์ ้อมูลท่ีอา่ นเปน็ ข้อมูลทุติยภูมิ
....x........7) ขอ้ มลู ทนี่ กั เรยี นรวบรวมจากรายงานตา่ งๆ ทไ่ี ด้จากหน่วยงานราชการเปน็ ข้อมลู ปฐมภูมิ
....x........8) วิธีการเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู จากการสาํ รวจตวั อย่าง อาจใชก้ ารสอบถาม การสมั ภาษณ์ หรือ

การสงั เกต แตต่ ้องเกบ็ จากทกุ หนว่ ยท่ีให้ข้อมูลน้นั ๆ
....x......9) การเกบ็ รวบรวมข้อมูลโดยใช้วธิ ไี ปติดตอ่ ขอขอ้ มลู จากแผนกการทดลองประสิทธิภาพของยาชนดิ

ต่าง ๆ เป็นวธิ ีการเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู จากการทดลอง
...../.......10) ขอ้ ความที่กลา่ ววา่ “คนไทยส่วนใหญใ่ ส่เสอื้ เบอร์ L” ในทีน่ ป้ี ระชากรคอื เสือ้ ท่คี นไทยใส่

ทัง้ หมด
...../......11) ขอ้ มลู เก่ยี วกบั วนั เดือน ปี เกิด เพศ ควรเกบ็ รวบรวมข้อมลู โดยวธิ ีสัมภาษณ์ หรือใช้แบบสอบถาม

4. จงหาวา่ ขอ้ มูลต่อไปน้ีเป็นข้อมลู เชงิ ปริมาณ (ป) หรอื ข้อมูลเชิงคุณภาพ (ค)

......ป......1) คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ......ป......2) จํานวนผ้โู ดยสารที่รอรถประจาํ ทาง

......ค......3) หมายเลขทะเบยี นรถยนต์สว่ นบคุ คล ......ค......4) หมายเลขโทรศพั ท์

......ป......5) ราคาขา้ วสารตอ่ กิโลกรัม ......ค......6) เลขประจําตัวบัตรประชาชน

......ค......7) ขนาดรองเทา้ ของนักเรยี น ......ป......8) รายได้ของตนในครอบครัว

5. ข้อความต่อไปนี้ข้อความใดถูกต้อง (/)
...../.....1) สถิติศาสตร์เป็นศาสตร์ท่ีว่าด้วยการวิเคราะห์ข้อมูลเพ่ือหาข้อสรุปจากข้อมูลท่ีเกี่ยวข้องมาอธิบาย
ปรากฏการณ์หนึง่ หรือตอบคาํ ถาม หรอื ประเดน็ ปัญหาทีส่ นใจ
.....x.....2) สถิติเชิงอนุมานคือ วิธีการในการสรุปและนําเสนอข้อมูลด้วยตัวเลขสถิติชุดหนึ่ง เช่น ค่าวัดแนวโน้ม
เข้าสู่ส่วนกลาง และค่าวัดการกระจายหรือด้วยแผนภูมิ เช่น แผนภูมิรูปวงกรม แผนภูมิแท่งเพ่ือใช้
อธิบายข้อมูลชดุ นนั้
....x......3) สถิติเชิงพรรณนา คือ การนําข้อมูลเพียงส่วนหน่ึงซึ่งเรียกว่าตัวอย่างวิเคราะห์ โดยอาศัยความรู้
ทางด้านทฤษฎีความนา่ จะเปน็ คณิตสาสตรข์ ั้นสูงและทฤษฎสี ถิติ
..../......4) กระบวนการทางสถิติจะประกอบด้วย การกาํ หนดประเด็นปัญหาเชิงสถิติการเก็บรวบรวมข้อมูล การ
สรุปสาระสําคัญและการนําเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และการสรุปผลเพื่อตอบคําถามหรือ
ปญั หาในประเดน็ ท่ีสนใจ
.....x.....5) ขอ้ มลู เชิงปริมาณ คอื ข้อมูลท่ีแสดงลกั กษณะ ประเภท รูปแบบซึง่ ไม่สามารถวัดค่าออกมาเป็นตัวเลข
และส่อื ความหมายตามค่าของตัวเลขไดโ้ ดยตรง
.....x.....6) วิธีการเก็บข้อมูลของการสํารวจตัวอย่าง อาจใช้สอบถาม การสัมภาษณ์ หรือการสังเกต แต่ต้องเก็บ
จากทกุ หน่วยทใี่ หข้ อ้ มูลนัน้ ๆ
...../.....7) การเลือกวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลท่ีเหมาะสมกับแต่ละเร่ืองหรือแต่ละสถานการณ์น้ันจะขึ้นอยู่กับ
วัตถุประสงคห์ รอื ความตอ้ งการที่จะนาํ ข้อมลู ไปใชเ้ พื่อตอบคาํ ถามหรอื ปัญหาของผใู้ ช้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 11

6. สํานักวิจัยแห่งหนึ่ง เปิดเผยถึงผลการสํารวจความเห็นของประชาชนในกรุงเทพมหานครต่อการยอมรับ
มาตรการประหยัดนาํ้ พบว่า ส่วนใหญ่ยอมรับท่ีจะปฏบิ ัติตามมาตรการเหล่านน้ั ทงั้ ท่บี า้ นและทท่ี ํางาน
จงเขยี นเครื่องหมาย x หน้าข้อความท่นี ักเรยี นเหน็ วา่ ถูกตอ้ ง

1) ประชากรคือ ข. บริษทั ทกุ บริษทั ในกรุงเทพมหานคร
ก. ประชากรทุกคนในกรงุ เทพมหานคร ง. บรษิ ทั ทกุ บริษัทในประเทศ
ค. ประชาชนทกุ ในประเทศ

2) ตวั อยา่ งคือ
ก. ประชาชนบางคนในประเทศไทยท่ีถูกเลอื กเปน็ ตวั อยา่ ง
ข. ประชาชนบางคนในกรงุ เทพมหานครทถี่ กู เลอื กเป็นตัวอย่าง

ค. บริษัทบางแห่งในประเทศไทยที่ถกู เลือกเป็นตัวอย่าง
ง. บรษิ ทั บางแห่งในกรงุ เทพมหานครทถี่ ูกเลอื กเป็นตัวอยา่ ง
7. จากการสํารวจความคิดเห็นของประชาชนที่สุ่มมาเป็นตัวอย่างจากจังหวัดหนึ่ง เพื่อสอบถามความเห็นที่มีต่อ

นโยบายการประหยัดพลังงานของรัฐบาลโดยการให้สถานีโทรทัศน์หยุดแพร่ภาพในตอนกลางวันของทําการ
สรุปเปน็ ตารางได้ดังนี้

ความคดิ เหน็ จํานวน (คน)

เหน็ ด้วยอย่างยิ่ง 205
เห็นด้วย 145
ไม่เห็นด้วย 60

ไม่เห็นดว้ ยอยา่ งยงิ่ 70
ไม่มีความเห็น 20

ขอ้ ความทเ่ี ก็บรวบรวมข้างตน้ เป็นขอ้ มลู ชนิดใด

ก. ข้อมูลเชิงปรมิ าณ
ข. ข้อมูลเชิงคุณภาพ
ค. ขอ้ มูลปฐมภูมิ

ง. ขอ้ มูลทุติยภูมิ
8. วิธกี ารรวบรวมข้อมูลจากการลงทะเบยี นหรือการบนั ทึกเหมาะสมกบั การหาคาํ ตอบในข้อใด

ก. จํานวนของแมบ่ า้ นที่ใชย้ าสีฟนั “ฟันขาวสะอาด”

ข. ผลการเคลอื บฟลูออไรดบ์ นผิวฟนั ทม่ี ีต่อการป้องกันฟนั ผุ
ค. จํานวนผมู้ าใชบ้ รกิ ารห้องสมดุ ในแตล่ ะวัน
ง. รายไดเ้ ฉลย่ี ต่อครวั เรือนของกรุงเทพมหานคร

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 12

บทที่ 2
การวิเคราะห์ข้อมลู เบอื้ งตน้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 13

กิจกรรม : ใครอยชู่ ้นั ใด

คําชแ้ี จง จากข้อมูลท่ีกาํ หนด ให้นักเรยี นศึกษาและตอบคําถามในกิจกรรมต่อไปนี้ ผลการสอบวิชา
คณิตศาสตร์ของนักเรยี นชนั้ ม. 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง คะแนนเตม็ 100 คะแนน ปรากฏผล
คะแนนดังน้ี

68 84 75 82 68 91 61 89 75 93
73 79 87 77 60 92 70 58 82 75
61 65 74 86 72 62 90 78 63 72
96 78 89 61 75 95 60 79 85 71
65 80 73 57 88 63 62 76 54 74

1. จากขอ้ มูลขา้ งต้น มีนักเรียนเขา้ สอบจาํ นวน...........5...0.........................คน
2. คะแนนตา่ํ สดุ เปน็ ..........5...4...............คะแนนสงู สดุ เปน็ ......9...6....................
3. หาผลต่าง โดยนําคะแนนสูงสุดลบดว้ ยคะแนนตํา่ สุด เรียกคา่ ทไ่ี ดว้ ่า พิสัย

ดังน้นั พิสยั ของขอ้ มลู ชุดน้ีเป็น....................9..6....–....5..4....=...4...2...........................
4. โดยทั่วไปจะจดั แบ่งข้อมูลเปน็ 5 ถึง 15 อันตรภาคชั้น ตามความเหมาะสมของข้อมูล โดยใชส้ ูตรดงั นี้

ถา้ กําหนดจาํ นวนอนั ตรภาคช้นั ต้องคํานวณหาความกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคชั้น ดังตอ่ ไปน้ี

ความกว้างของอนั ตรภาคชน้ั = พิสยั

จาํ นวนอันตรภาคช้นั

ถ้ากําหนดความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั ก็จะสามารถหาจาํ นวนอนั ตรภาคช้นั ดงั ต่อไปน้ี

จาํ นวนอันตรภาคชั้น = พิสัย

ความกวา้ งของอันตรภาคช้ัน

4.1 ถา้ ความกว้างของอนั ตรภาคช้ันเป็น 7 เท่ากันทุกอันตรภาคชัน้

จะได้จาํ นวนอนั ตรภาคชน้ั เป็น……42………6…ด…งั …น…น้ั …จ…าํ …น…วน…อ…นั …ต…รภ…า…ค…ช…้นั …เป…น็ …6……+…1…=……7…

7

4.2 ถ้าจํานวนอนั ตรภาคช้ันเปน็ 8

จะไดค้ วามกว้างของอนั ตรภาคช้ันเปน็ …4…2……5….2…5……6……ด…ังน…้ัน……คว…า…ม…ก…วา้…ง…ข…อง…อ…นั …ต…รภ…า..คชัน้ เปน็ 6

8

ในการหาความกวา้ งอันตรภาคช้นั จากสูตรข้างต้น เศษท่ีได้จากการหารจะปัดข้ึนให้เป็นจํานวน

เตม็ เสมอ และถา้ เปน็ การหารลงตวั กใ็ ห้บวกเพิ่มอกี 1

5. ในการจัดเรยี งอนั ตราภาคช้นั ถา้ เรียงจากคะแนนน้อยไปมาก จะต้องให้คะแนนตํ่าสุดอยู่ในอันตรภาค

ชนั้ แรก และคะแนนสงู สดุ อย่ใู นอันตรภาคชน้ั สุดทา้ ยของตารางแจกแจงความถี่เสมอ

6. ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มนําข้อมูลข้างต้น ข้อ 4.1 และข้อ 4.2 มาจัดอันตรภาคช้ันในตารางแจกแจง

ความถี่

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 14

7. เร่ิมจากคะแนนตํ่าสุด โดยอ่านคะแนนทีละตัว พร้อมท้ังรอยขีดแสดงจํานวนครั้งในช่องให้ตรงกับ
คะแนนที่อย่ใู นอันตรภาคชัน้ นน้ั ๆ และอ่านคะแนนไปเร่อื ยๆ จนครบทุกตวั

8. นบั รอยขดี ของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ันและเขียนจาํ นวนในช่องความถี่ จะได้ ตารางแจกแจงความถ่ี ดังนี้
ตารางแจกแจงความถี่ ข้อ 4.1

อันตรภาคชนั้ รอยขดี ความถี่
54 – 60 5
61 - 67 |||| 9
68 - 74 10
75 - 81 |||| |||| 11
82 – 88 7
89 – 95 |||| |||| 7
96 - 102 1
|||| ||||

|||| ||
|||| ||
|

รวม 50

ตารางแจกแจงความถ่ี ข้อ 4.2 ความถี่
3
อันตรภาคชนั้ รอยขดี 11
54 – 59 ||| 4
60 – 65 12
|||| |||| | 7
66 – 71 |||| 7
72 – 77 5
|||| |||| 1
78 – 83 50
|||| ||
82 – 89 |||| ||

90 – 95 ||||

96 - 101 |
รวม

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 15

แรงงานข้ันตํ่า

ฝงั ความรู้ : ทบทวน...ชวนให้เขา้ ใจ

คําช้ีแจง จากข้อมูลท่ีกําหนดให้เป็นอัตราค่าจ้างขั้นต่ํารายวันทั้ง 76 จังหวัด ซ่ึงอัตราค่าจ้างขั้นตํ่าไม่เท่ากัน

ทุกจังหวดั เมือ่ วันที่ 1 สงิ หาคม 2552 ให้นักเรยี นเขยี นเปน็ ตารางแจกแจงความถี่และตอบคําถาม

181 148 146 150 163 142 145 141 181 181
181 147 145 152 147 153 147 146 181 147
181 145 161 145 143 146 143 142 153 143
143 140 140 141 143 143 140 141 143 145
145 143 142 144 144 142 142 156 144 140
142 142 142 144 142 142 141 142 142 141
144 141 148 145 145 142 139 144 153 143
178 144 153 144 144 143

[1] จากขอ้ มลู ขา้ งตน้ มีอตั ราค่าจ้างข้นั ตํ่ารายวันจาํ นวน.................7..6..................................จงั หวดั
[2] คา่ จา้ งตา่ํ สดุ เปน็ .........1..3...9..................ค่าจา้ งสงู สดุ เปน็ ...1..8..1......................
[3] พิสัยของข้อมลู ชุดน้ีเป็น.............1..8...1...–....1..3..9....=....4..2.....................................

[4] ถา้ ความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั เปน็ 6 เทา่ กันทกุ อนั ตรภาคช้นั
[5] ถจ้าะใไหดจ้้อาํันนตวรนภอาันคตชรั้นภแารคกชข้ันอเงปต็นา…ร4…า62ง…แ…จ7…กแ…ดจ…งัง…นคน้ัว…า…จม…ําถน…่ีเปว…็นน…ดอ…ังนั ใ…ตนร…ตภ…าาร…คา…ชง้ัน…ใหเ…ป้น…น็ ัก…เ7ร…ีย+…น…1เข…=ีย..น…8เ…ป็…นต…ารางแจก

แจงความถนี่ ี้ใหส้ มบูรณ์

ค่าจ้างข้ันตาํ่ (บาท) รอยขีด ความถ่ี

139 – 144 |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| ||| 43

145 – 150 |||| |||| |||| ||| 18

151 – 156 |||| | 6

157 – 162 |1

163 – 168 |1

169 – 174 0

175 – 180 |1

181 - 186 |||| 6

รวม 76

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 16

คําถาม : ชวนคดิ

1. นักเรียนคดิ วา่ จังหวดั ส่วนใหญ่กาํ หนดให้ค่าจ้างขนั้ ตํา่ อยใู่ นชว่ งกบ่ี าท
....................1...3..9....–...1..4...4...บ...า..ท.......................................................................................

2. นักเรียนคิดว่า มีการกาํ หนดค่าจา้ งขั้นตาํ่ ทนี่ ้อยกว่า 160 บาทอยู่กจ่ี ังหวัด
......................6..7....จ..งั..ห...ว..ัด...............................................................................................

3. นกั เรียนคิดว่า มกี ารกําหนดคา่ จ้างขั้นตํา่ ตง้ั แต่ 160 บาทขึ้นไปอยกู่ ่ีจังหวัด
......................9...จ...ัง..ห..ว...ดั .................................................................................................

4. นกั เรียนคิดวา่ มีจงั หวัดที่คา่ จา้ งขัน้ ตํา่ เป็น 175 บาทหรอื ไม่
........................ไ..ม..่ม...ี .....................................................................................................

เมอื่ จติ ใจไมอ่ ยู่ ฟังกไ็ มร่ ู้ ดกู ็ไมเ่ ห็น ทาํ กไ็ มเ่ ป็น เช่นนีต้ ้องตัง้ ใจเรยี น

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 17

แบบฝกึ เสริม เพิ่มความเข้าใจ
การแจกแจงความถข่ี องข้อมูล

คําชแ้ี จง 1. ข้อมูลต่อไปนเ้ี ป็นคะแนนสอบของนกั เรยี นจาํ นวน 30 คน

13 17 22 17 20 14 15 19 11 21
11 19 21 15 17 20 13 15 21 19
14 15 19 17 19 17 17 14 11 13
จงสร้างตารางแจกแจงความถ่ีโดยไม่จดั เปน็ ช่วงของขอ้ มลู

เฉลย ตารางแจกแจงความถ่ีของคะแนนสอบของนกั เรียนจาํ นวน 30 คน

คะแนน นบั แต้ม ความถ่ี
11 ||| 3
12 0
13 ||| 3
14 ||| 3
15 |||| 4
16 0
17 |||| | 6

18 |||| 0
19 5
||
20 ||| 2
21 | 3
22 1
รวม 30

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 18

2. กําหนดตารางแจกแจงความถซ่ี ง่ึ เปน็ คะแนนสอบของนักเรียนจาํ นวน 700 คน ดังนี้

คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น

10 - 24 64

25 - 39 100

40 - 54 132

55 - 69 187

70 - 84 165

85 - 99 52

รวม 700

จงหาความกว้างของแต่ละอันตรภาคช้ัน ขีดจํากัดล่างและขีดจํากัดบน ขอบบนและขอบล่าง และจุด

กึง่ กลางของแตล่ ะอันตรภาคชน้ั

เฉลย

คะแนน ความถ่ี ขีดจํากดั ล่าง ขดี จํากัดบน ขอบลา่ ง ขอบบน ความกว้าง จุดกึ่งกลาง

10 - 24 64 10 24 9.5 24.5 15 17

25 - 39 100 25 39 24.5 39.5 15 32

40 - 54 132 40 54 39.5 54.5 15 47

55 - 69 187 55 69 54.5 69.5 15 62

70 - 84 165 70 84 69.5 84.5 15 77

85 - 99 52 85 99 84.5 99.5 15 92

3. จากการสอบถามเวลา (นาท)ี ทน่ี ักเรียนกลุ่มหนึ่งใช้ในการเดนิ ทางมาโรงเรยี นเปน็ ดงั นี้

6 13 15 16 22 12 16 24

10 14 14 20 23 9 21 8

18 16 25 17 22 30 4 12

15 11 20 19 6 20 18 15

1) จากข้อมลู ขา้ งต้น จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ที ่มี ีอนั ตรภาคชน้ั เปน็

0  t  5, 5  t  10, …, 25  t  30

เมอ่ื t แทนเวลาท่ีมีหน่วยเป็นนาที

2) จงหาวา่ ช่วงเวลาใดท่นี กั เรียนสว่ นใหญ่ใชใ้ นการเดินทางมากท่สี ดุ

3) จากขอ้ มลู ขา้ งต้น นา่ จะสรุปเกย่ี วกับระยะทางระหว่างทพ่ี ักของนักเรยี นกับโรงเรยี นได้อย่างไรบ้าง

เฉลย 1)

เวลา ( t นาที) รอยขีด จํานวนนกั เรยี น

0t5 | 1
5  t  10 5
||||

10  t  15 |||| |||| 9

15  t  20 |||| |||| 10

20  t  25 |||| | 6

25  t  30 | 1

รวม 32

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 19

2) ชว่ งเวลา 15  t  20

3) จากข้อมูลข้างต้นน่าจะสรุปได้ว่า ท่ีพักของนักเรียนเหล่านี้ไม่ไกลจากโรงเรียนมากนัก (ครูกับ
ผู้เรียนอาจอภิปรายเพ่ิมเติมจากข้อมูลก็ได้ โดยคําตอบและคําอธิบายท่ีให้ควรสมเหตุสมผล และอาจเป็น
ประเด็นให้ทําการสํารวจข้อมลู ต่อไป)

4. ตวั เลขตอ่ ไปน้ีเปน็ คะแนนสอบวิชาสถติ ิของนกั เรยี น 35 คน

21 19 21 25 25

26 24 24 27 23

21 26 19 23 27

20 25 25 26 24

23 23 26 24 28

24 26 25 25 28

22 29 22 30 26

1) จงสร้างตารางแจกแจงความถี่โดยใหแ้ ต่ละอนั ตรภาคชัน้ กวา้ ง 5

2) จงหาความกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคช้ัน ขดี จํากัดล่างและขดี จํากัดบน ขอบบนและขอบล่าง และ

จุดกงึ่ กลางของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน

เฉลย 1) แต่ละอันตรภาคชั้นกวา้ ง 5 คะแนนตาํ่ สุดคือ 19 คะแนนสงู สดุ คือ 30

เนือ่ งจากต้องการสรา้ งอันตรภาคชนั้ กวา้ ง 5

เพราะฉะนัน้ จาํ นวนอันตรภาคช้นั 30 19  2.2  3 อนั ตรภาคชัน้
5

คะแนน รอยขดี คะแนน จาํ นวนนักเรยี น

19 - 23 |||| |||| || 12

24 - 28 |||| |||| |||| |||| | 21

29 - 33 || 2

2) หาความกว้างของแต่ละอนั ตรภาคชนั้ ขดี จํากดั ลา่ งและขดี จํากดั บน ขอบบนและขอบล่าง และ

จุดกึ่งกลางของแต่ละอนั ตรภาคชนั้ ได้ดงั น้ี

คะแนน ความถ่ี ความกว้าง ขีดจํากดั ลา่ ง ขดี จํากดั บน ขอบลา่ ง ขอบบน จุดก่งึ กลาง

19 - 23 12 5 19 23 18.5 23.5 21

24 - 28 21 5 24 28 23.5 28.5 26

29 - 33 2 5 29 33 28.5 33.4 31

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 20

5. จากตารางแจกแจงความถ่ีแสดงคะแนนสอบวชิ าสถติ ขิ องนกั เรยี น 45 คน ดังนี้

คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น (คน)

30 - 39 2

40 - 49 0

50 - 59 6

60 - 69 6

70 - 79 10

80 - 89 13

90 - 99 8

รวม 45

ถา้ ครูผสู้ อนให้ระดบั คะแนนแกน่ ักเรียนดังน้ี

ระดับคะแนน ชว่ งคะแนน

4 90 – 100

3 80 – 89

2 70 – 79

1 50 – 69

ไม่ผา่ น ตํ่ากว่า 50 คะแนน

1) จงสร้างตารางแจกแจงความถ่ีเพอ่ื แสดงจาํ นวนนักเรยี นที่ได้ระดับคะแนนข้างตน้

2) นักเรยี นสว่ นใหญ่ได้ระดบั คะแนนเทา่ ใด

เฉลย 1) ตารางแจกแจงความถีเ่ พอ่ื แสดงจาํ นวนนักเรยี นทไี่ ดร้ ะดับคะแนนตา่ ง ๆ

ระดับคะแนน ความถี่ (คน)

4 8
3 13
2 10
1 12
ไม่ผา่ น 2

2) นกั เรยี นส่วนใหญไ่ ด้คะแนนระดับ 3

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 21

กิจกรรม : ความถ่ีสะสมเปน็ อย่างไร

คําชแ้ี จง 1.จากข้อมลู ท่ีกาํ หนด ให้นกั เรยี นศกึ ษาและตอบคาํ ถามในกจิ กรรมต่อไปนี้ ผลการสอบวิชา

คณิตศาสตร์ของนกั เรียนชน้ั ม. 6 ของโรงเรียนแห่งหน่งึ จํานวน 30 คน สามารถแจกแจงแจกแจง

ความถไ่ี ด้ดงั นี้

คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น

30 - 39 2

40 - 49 6

50 - 59 4

60 - 69 10

70 - 79 5

80 - 89 2

90 - 99 1

รวม 30

คําถาม : ชวนคดิ

1) จากตารางแจกแจงความถ่ที ี่กําหนดให้ ใหน้ ักเรยี นหาความถีส่ ะสมไดด้ ังน้ี

คะแนน ความถ่ี ความถส่ี ะสม

30 - 39 2 2

40 - 49 6 8

50 - 59 4 12

60 - 69 10 22

70 - 79 5 27

80 - 89 2 29

90 - 99 1 30

รวม 30

จากตารางขา้ งตน้ ใชต้ อบคําถามขอ้ 2 – 3 ดังน้ี

2) ใหน้ ักเรยี นหาจํานวนนกั เรยี นท้งั หมดท่ีได้คะแนนสอบวชิ าสถิตติ ง้ั แต่ 50 - 59 ถงึ 70 - 79 คะแนน

เฉลย จํานวนนักเรียนทั้งหมดทไ่ี ด้คะแนนสอบวิชาสถติ ติ ั้งแต่ 50 - 59 ถึง 70 - 79 คะแนน

คอื 4 + 10 + 5 = 19 คน

3) ให้นกั เรยี นหาจํานวนนักเรยี นทง้ั หมดที่ได้คะแนนสอบวิชาสถติ ติ ํา่ กวา่ 60 คะแนน

เฉลย จาํ นวนนักเรยี นท้ังหมดท่ไี ด้คะแนนสอบวิชาสถติ ติ าํ่ กว่า 60 คะแนน คอื 12 คน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 22

2.จากการสอบถามเกีย่ วกบั รายได้ตอ่ วันของคนงานในบริษทั ก่อสร้างแห่งหนงึ่ ไดผ้ ลตามตารางดงั น้ี

รายได้ (บาท) ความถี่สะสม (คน)

51 - 80 6

81 - 100 21

101 - 120 31

121 - 150 42

151 - 180 57

181 - 210 60

คาํ ถาม : ชวนคิด ใหน้ กั เรยี นตอบคําถามตอ่ ไปน้ี

1) ให้นักเรียนหาจํานวนคนท่ีมีรายได้อยู่ในช่วง 51 – 80, 81 – 100, 101 – 120, 121 – 150, 151 –

180 และ 181 – 210 บาท

รายได้ (บาท) ความถ่ี (คน) ความถ่ีสะสม (คน)

51 - 80 6 6

81 - 100 15 21

101 - 120 10 31

121 - 150 11 42

151 - 180 15 57

181 - 210 3 60

2) ให้นกั เรยี นหาจาํ นวนคนงานทั้งหมดทม่ี ีรายได้ต่อวันตา่ํ กว่า 101 - 120

เฉลย จาํ นวนคนงานทมี่ ีรายได้ต่อวันตํ่ากว่า 101 - 120 คือ 21 คน

3) ให้นักเรียนหาจํานวนคนงานท้งั หมดท่ีมีรายได้ต่อวันตงั้ แต่ 101 - 120 ถึง 181 - 210

เฉลย จาํ นวนคนงานทั้งหมดท่ีมรี ายได้ต่อวนั น้อยกวา่ 181 - 210 ลบด้วยจํานวนคนงาน

ท้งั หมดท่ีมรี ายไดต้ อ่ วนั น้อยกวา่ 101 - 120 เท่ากับ 60 – 21 = 39 คน

4) นักเรยี นคดิ วา่ คนกล่มุ น้มี รี ายได้ตอ่ วันอยู่ในช่วงใดมากทีส่ ดุ

เฉลย 81 – 100 และ 151 - 180

เมื่อเด็กไม่ใฝ่ศกึ ษา โตขน้ึ มาความสามารถหาไดไ้ ม่
ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 23

กจิ กรรม : ความถ่ีสมั พทั ธ์หาได้อยา่ งไร

คําช้แี จง 1. จากข้อมลู ที่กาํ หนด ใหน้ กั เรยี นศึกษาและตอบคาํ ถามในกิจกรรมตอ่ ไปนี้ ผลการสอบวชิ า

คณิตศาสตร์ของนกั เรียนช้ัน ม. 6 ของโรงเรียนแห่งหนง่ึ จํานวน 30 คน สามารถแจกแจงแจกแจง

ความถไ่ี ดด้ งั น้ี

คะแนน จํานวนนักเรียน

30 - 39 2

40 - 49 6

50 - 59 4

60 - 69 10

70 - 79 5

80 - 89 2

90 - 99 1

รวม 30

คาํ ถาม : ชวนคิด

1) จากตารางแจกแจงความถี่ท่กี ําหนดให้ ให้นกั เรียนหาความถ่สี ัมพัทธแ์ ละรอ้ ยละความถ่ีสัมพัทธ์

คะแนน ความถ่ี ความถ่สี ัมพทั ธ์ ร้อยละของความถี่สมั พทั ธ์

30 - 39 2 0.066 6.6

40 - 49 6 0.200 20.0

50 - 59 4 0.133 13.3

60 - 69 10 0.333 33.3

70 - 79 5 0.166 16.6

80 - 89 2 0.066 6.6

90 - 99 1 0.033 3.3

รวม 30

จากตารางข้างต้น ใช้ตอบคําถามข้อ 2 – 3 ดังนี้
2) ให้นักเรียนหาจํานวนนกั เรยี นทไี่ ด้คะแนนสอบวิชาสถติ ิมากกว่า 59 คะแนน

เฉลย 17 คน
3) ใหน้ กั เรียนหาร้อยละของจาํ นวนนกั เรยี นที่ได้คะแนนสอบวชิ าสถิตินอ้ ยกว่าหรือเท่ากบั 59 คะแนน

เฉลย รอ้ ยละ 40

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 24

2.จากข้อมูลท่ีเปน็ คะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรยี น 45 คน ดงั นี้
72 83 82 92 70 72 91 71 87 53 33 95 51 59 80
77 62 92 78 89 67 82 59 87 80 60 90 73 79 56
83 74 51 75 86 66 85 96 88 64 93 96 37 67 81

คําถาม : ชวนคิด ให้นกั เรยี นตอบคําถามตอ่ ไปน้ี

1) ให้นักเรียนหาสร้างตารางแจกแจงความถี่ ความถสี่ ัมพทั ธ์ และความถส่ี ะสม ที่มอี ัตราภาคชนั้ เป็น
30 – 39, 40 – 49, 50 – 59, 60 – 69, 70 – 79, 80 – 89 และ 90 – 99

คะแนน ความถ่ี ความถ่ีสัมพทั ธ์ ความถสี่ ะสม
30 – 39
40 – 49 2 4.44 2
50 – 59
60 – 69 002
70 – 79
80 – 89 6 13.33 8
90 – 99
6 13.33 14

10 22.22 24

13 28.89 37

8 17.78 45

2) ใหน้ ักเรยี นหาคะแนนในชว่ งใดทมี่ คี วามถ่ีสงู สดุ
เฉลย ชว่ งคะแนน 80 – 89 คะแนน

3) ให้นกั เรียนหาร้อยละของจํานวนนักเรยี นทีไ่ ด้คะแนนระหวา่ ง 50 – 59 คะแนน
เฉลย 13.3%

4) ให้นักเรยี นหาจาํ นวนนักเรยี นทไ่ี ด้คะแนนสอบวชิ าสถิตมิ ากกว่า 59 คะแนน
เฉลย 37 คน

5) ให้นกั เรยี นหารอ้ ยละของจาํ นวนนักเรียนทไ่ี ดค้ ะแนนสอบวชิ าสถิติน้อยกว่าหรอื เท่ากบั 59 คะแนน
เฉลย 17.8%

ถา้ ไมศ่ ึกษาเพม่ิ เติมทกุ วัน สตปิ ัญญากจ็ ะโง่เขลาลงทุก ๆ วนั
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 25

แบบฝกึ เสรมิ เพ่มิ ความเข้าใจ
การแจกแจงความถส่ี ะสม ความถสี่ มั พัทธ์

ความถ่สี ะสมสมั พทั ธ์

คําชแ้ี จง 1. ตารางต่อไปนีเ้ ปน็ ตารางแสดงจํานวนเงินท่ีลูกคา้ นํามาฝากในวนั หน่ึง

จํานวนเงนิ (พันบาท) จาํ นวนลกู ค้า ความถสี่ ะสม

48 - 50 2 2

51 - 53 4 6

54 - 56 3 9

57 - 59 8 17

60 - 62 7 24

63 - 65 1 25

รวม 25

จงหา 1) ความถ่สี ะสม

2) จาํ นวนลูกคา้ ทงั้ หมดทน่ี ําเงินมาฝากตง้ั แต่ 57,000 บาทขนึ้ ไป

3) จาํ นวนลกู คา้ ท้ังหมดทีน่ าํ เงินมาฝากน้อยกว่าหรอื เท่ากบั 56,000 บาท

เฉลย 2) พจิ ารณาจากความถี่ในตารางข้างต้น จะเท่ากบั 8 + 7 + 1 = 16 คน

หรือพจิ ารณาจากความถี่สะสมในตารางขา้ งต้น จะเท่ากบั 25 - 9 = 16 คน

3) พิจารณาจากความถ่ีในตารางขา้ งตน้ จะเทา่ กบั 2 + 4 + 3 = 9 คน

หรอื พจิ ารณาจากความถี่สะสมในตารางข้างต้น จะเทา่ กับ 9 คน

2. ในการสํารวจเพื่อศึกษาจํานวนสุกรทสี่ มาชกิ เลีย้ งอยใู่ นหมบู่ ้านสหกรณแ์ ห่งหนึ่ง ปรากฏดงั นี้

จงหาความถี่สมั พัทธ์และร้อยละความถส่ี ัมพทั ธ์

จํานวนสกุ ร จาํ นวนครอบครัว ความถีส่ ัมพัทธ์ ร้อยละความถี่สัมพัทธ์

(ตวั ) ทีเ่ ลีย้ งสกุ ร

2-3 5 5  0.0625 0.0625100  6.25
4 - 5 10 0.125100  12.5
80

10  0.125

80

6-8 20 20  0.25 0.25100  25
9 - 11 30
12 - 14 15 80 0.375100  37.5
รวม 80
30  0.375 0.1875100  18.75

80 100

15  0.1875

80

1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 26

3. ในการสอบเพ่ือรับเข้าทาํ งานในสถาบันศึกษาแห่งหน่งึ จําแนกอายขุ องผูส้ มคั รสอบได้ดังตาราง

จงหาความถี่สะสมสัมพัทธ์และร้อยละความถ่ีสะสมสัมพทั ธ์

อายุ (ปี) จํานวนผสู้ มัคร ความถส่ี ะสม ความถ่สี ะสม ร้อยละของ
สัมพัทธ์ ความถีส่ ะสม

สมั พทั ธ์

36 - 45 18 18 18  0.2 0.2100  20
31 - 35 9 90
21 - 30 27
16 - 20 36 27 27  0.3 0.3100  30
90

54 54  0.6 0.6100  60
90

90 1 100

รวม 90

4. จากตารางแจกแจงความถ่แี สดงคะแนนสอบปลายภาคของนักเรียน 60 คน ซง่ึ มคี ะแนนเต็ม 800 คะแนน

ดงั ตาราง จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีสะสม

คะแนนสอบ จาํ นวนนักเรยี น ความถส่ี ะสม

701 - 800 4 60

601 - 700 10 56

501 - 600 15 46

401 - 500 18 31

301 - 400 11 13

201 - 300 2 2

จงหาจํานวนนักเรียนท่ีได้คะแนนสอบมากว่า 700 คะแนน และต่ํากว่า 301 คะแนน จํานวนนักเรียนท้ัง

สองกลุม่ คดิ เป็นร้อยละเทา่ ใดของจาํ นวนนักเรียนท้ังหมด

เฉลย มจี าํ นวนทั้งหมด (60 – 56) + 2 = 6 คน

คิดเป็นร้อยละ 6 100  10 ของจํานวนนักเรยี นทั้งหมด

60

5. จากตารางแจกแจงความถ่ีสะสมของอายุคนในครอบครัวทที่ าํ การสํารวจมดี ังน้ี

อายุ (ปี) ความถส่ี ะสม (คน) ความถี่

10 - 19 2 2

20 - 29 17 17 – 2 = 15

30 - 39 27 27 – 17 = 10

40 - 49 32 32 – 27 = 5

50 - 59 32 32 – 32 = 0

60 - 69 35 35 – 32 = 3

1) จงหาจํานวนคนทม่ี ีอายใุ นช่วง 10 - 19, 20 - 29, 30 - 39, 40 - 49, 50 - 59 และ 60 - 69 ปี

2) จงหาวา่ ส่วนใหญ่ของคนกลมุ่ น้ีอย่ใู นช่วงอายกุ ่ปี ี

เฉลย 1) ดงั ตารางขา้ งต้น

2) คนกลุ่มนี้สว่ นใหญ่จะมีอายอุ ยู่ในช่วง 20 - 29 ปี

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 27

กิจกรรม : แท่งนั้นเปน็ ฉนั ใด

คําชแี้ จง จากตารางแจกแจงความถ่ีแสดงความสงู เป็นเซนตเิ มตรของนักเรียนโรงเรียนแห่งหนงึ่ ดังข้างลา่ งน้ี

ใหน้ ักเรยี นเติมขอบลา่ ง ขอบบน และจดุ กงึ่ กลางใหส้ มบรู ณ์

ความสูง (เซนตเิ มตร) ขอบล่าง – ขอบบน จดุ ก่งึ กลางชนั้ ความถ่ี

140 - 144 139.5 – 144.5 139.5 + 144.5 = 142 5
2
139.5 + 144.5
145 - 149 139.5 – 144.5 2 = 142 18

150 - 154 144.5 – 149.5 144.5 + 149.5 = 147 35
2
149.5 + 154.5
155 - 159 149.5 – 154.5 2 = 152 27

160 - 164 154.5 – 159.5 154.5 + 159.5 = 157 10
165 - 169 159.5 – 164.5 2 5
159.5 + 164.5
2 = 162

เราอาจนําข้อมลู ในตารางขา้ งต้น มาเขยี นเป็นแผนภาพ ดงั น้ี

จํานวน(คน)

แผนภาพน้เี รยี กว่า
ฮิสโทแกรม

ความสงู (เซนตเิ มตร)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 28

คําถาม : ท้าให้คดิ พจิ ารณาฮสิ โทแกรมข้างตน้ และสงั เกตสิ่งต่าง ๆ แล้วให้นักเรียนตอบคาํ ถามต่อไปน้ี

1) ฮิสโทแกรมประกอบด้วยแกนนอนและแกนตั้ง นักเรียนคิดว่า แกนนอนและแกนตั้งแสดงข้อมูลใดของ
ตารางแจกแจงความถ่ี
แกนนอน แสดง……คา่ ของตัวแปร………………………………………………………………………………………………
แกนต้งั แสดง……ความถ่ขี องอนั ตรภาคชน้ั .………………………………………………………………………………

2) นักเรียนคิดว่า ลักษณะของฮิสโทแกรมเป็นรูปอะไร ซ่ึงเรียงต่อติดกันโดยมีความกว้างของรูปดังกล่าว
เทา่ กับเทา่ ใด และและความยาวของรูปเท่ากับเท่าใด
ลกั ษณะของฮสิ โทแกรมเปน็ รูป……รูปสี่เหล่ยี มมุมฉาก………………………………………………………………………
ความกวา้ งของรปู ดังกล่าวเทา่ กับ…ความกว้างของอนั ตรภาคชัน้ ………………………………………………………
ความยาวของรปู เทา่ กบั ………………ความถี่ของอันตรภาคชัน้ .……………………………………………………………

3) นกั เรยี นคิดว่า จุดปลายของด้านกว้างของรปู แต่ละรูปคือส่วนใดของอันตรภาคชนั้ ที่เรยี งต่อกนั
…………ขอบลา่ งและขอบบน…………………………………………………………………………………………………………

4) นักเรียนคิดว่า ความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั แต่ละชั้นเท่ากับเทา่ ใด พจิ ารณาไดอ้ ยา่ งไร
…………5……พิจารณาโดย ผลตา่ งระหว่างขอบบนและขอบลา่ ง………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
เมอ่ื เดก็ ไม่ใฝศ่ กึ ษา โตขึ้นมาความสามารถหาไดไ้ ม่

จากฮสิ โทแกรมแสดงความสูงของนักเรียนข้างต้น หาจุดก่ึงกลางของด้านบนของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากแต่ละ
รูป แล้วลากสว่ นของเสน้ ตรงเชอ่ื มจดุ เหล่านี้ และเพ่อื ให้เสน้ ทีล่ ากน้ตี อ่ ลงไปพบแกนนอนจึงเพ่ิมจุดบนแกนนอนอีก
สองจุด ซึ่งเป็นจุดก่ึงกลางของอันตรภาคชั้นท่ีอยู่ก่อน อันตรภาคช้ันต่ําสุด และจุดก่ึงกลางของอันตรภาคชั้นที่อยู่
ถดั จากอันตรภาคชน้ั สงู สดุ เมอื่ ลากสว่ นของเสน้ ตรงเชื่อมจุดต่าง ๆ แล้ว จะได้แผนภาพดังรูปภาพต่อไปน้ี

จาํ นวน(คน)

ความสูง(เซนติเมตร)

รูปท่ีล้อมด้วยแกนนอนและส่วนของเส้นตรงที่ลากต่อกันดังรูปข้างต้น เรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมของ
ความถ่ีเม่ือเปรียบเทียบพื้นท่ี จะพบว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมของความถี่เท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูป
สี่เหลยี่ มมมุ ฉากทกุ รูปในฮิสโทแกรม

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 29

คาํ ถาม : ชวนใหค้ ิด จากรปู หลายเหลี่ยมของความถี่ขา้ งต้น ให้นกั เรยี นตอบคาํ ถามต่อไปน้ี

1) ความกวา้ งของแตล่ ะอนั ตรภาคชน้ั เป็นเท่าใด

………5………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) จุดกง่ึ กลางของอันตรภาคชั้น 150 – 154 เป็นเท่าใด

……… 149.5 + 154.5 = 152…………………………………………………………………………………………………………
2
3) ความสงู ของนักเรียนสว่ นใหญ่อยูใ่ นอนั ตรภาคช้ันใด

………150 - 154……………………………………………………………………………………………………………………….....

4) นักเรยี นทีม่ ีความสูงไม่เกิน 155 เซนติเมตร มีก่ีคน

………5+18+35 = 58…คน……………………………………………………………………………………………………………

5) นักเรียนที่มีความสูงมากกว่า 159 เซนติเมตร มีกคี่ น

………10+5 = 15……คน………………………………………………………………………………………………………………

ถา้ ไม่ศกึ ษาเพ่ิมเติมทุกวนั สตปิ ัญญาก็จะโง่เขลาลงทุก ๆ วัน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 30

กจิ กรรม : จากไหนถงึ ไหน

คําช้ีแจง 1.จากการสํารวจพ้ืนที่ที่อยู่อาศัยของประชากรในซอยต่าง ๆ ของถนนสายหนึ่งจํานวน 150 หลังคา

เรอื นทมี่ พี น้ื ทไ่ี ม่เกิน 100 ตารางวา เมอ่ื นาํ เสนอดว้ ยตารางแจกแจงความถจี่ ะไดด้ ังตาราง

1) ใหน้ กั เรียนเขียนของลา่ ง ขอบบน และจดุ ก่ึงกลางลงในตารางแจกแจงความถ่ี

พ้ืนท่ี (ตารางวา) จํานวนหลังคาเรือน ขอบลา่ ง – ขอบบน จดุ ก่ึงกลางช้ัน

21 – 30 9 20.5 – 30.5 20.5 + 30.5 = 25.5
2
31 – 40 18 30.5 – 40.5 35.5

41 – 50 32 40.5 – 50.5 45.5

51 – 60 35 50.5 – 60.5 55.5

61 – 70 25 60.5 – 70.5 65.5

71 – 80 17 70.5 – 80.5 75.5

81 – 90 8 80.5 – 90.5 85.5

91 – 100 6 90.5 – 100.5 95.5

รวม 150

2) ให้นกั เรยี นนําข้อมูลในตารางมาสรา้ งฮิสโทแกรมและรูปหลายเหลย่ี มของความถี่

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 31

คาํ ถาม : ทา้ ใหค้ ดิ ใหน้ กั เรยี นตอบคาํ ถามต่อไปนี้

1) นกั เรยี นคิดว่า ความกว้างของแต่ละอนั ตรภาคชัน้ เปน็ เทา่ ใด

………10……………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) นักเรยี นคิดวา่ จดุ กง่ึ กลางของอันตรภาคชั้น 91 – 100 เปน็ เท่าใด

……… 90.5 + 100.5 = 95.5…………………………………………………………………………………………………………
2
3) นักเรยี นคดิ วา่ พนื้ ท่ีทอ่ี ยอู่ าศยั ของประชากรสว่ นใหญอ่ ยูใ่ นอันตรภาคชั้นใด

………51 – 60……………………………………………………………………………………………………………………………….

4) นกั เรียนคดิ วา่ ประชากรทม่ี ีพน้ื ที่ที่อย่อู าศัยไม่เกิน 50 ตาราวา มกี ห่ี ลงั คาเรอื น

………9+18+32 = 59 หลังคาเรือน……………………………………………………………………………………………….

5) นักเรียนคดิ วา่ ประชากรทมี่ พี ื้นท่ีทอี่ ยู่อาศัยมากกว่า 90 ตารางวา มีก่ีหลังคาเรือน

………6 หลงั คาเรือน………………………………………………………………………………………………………………………

คําชี้แจง 2.โรงเรียนแห่งหนึ่งแสดงคะแนนสอบเข้าเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เป็นคะแนนรวม 100 คะแนน

ของนกั เรียนท่ีเข้าสอบ 300 คน ดว้ ยฮิสโทแกรม ดงั น้ี

จาํ นวน(คน)

คะแนนสอบ

จากฮสิ โทแกรมจงตอบคาํ ถามต่อไปนี้

1) นกั เรยี นคดิ ว่า ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชัน้ เป็นเทา่ ใด

……10…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) นกั เรียนคิดวา่ จุดกง่ึ กลางของอันตรภาคช้นั 60 – 69 เป็นเทา่ ใด

…… 59.5 + 69.5 = 64.5………………………………………………………………………………………………………………
2
3) นักเรียนคิดว่า นักเรียนส่วนใหญ่สอบได้คะแนนอยใู่ นอนั ตรภาคช้นั ใด

……50 – 59…………………………………………………………………………………………………………………………………

4) นกั เรียนคิดวา่ นักเรียนที่สอบไดค้ ะแนนตงั้ แต่ 80% ขึ้นไปมปี ระมาณกีค่ น

……15 + 5 = 20…………………………………………………………………………………………………………………………

5) นกั เรียนคดิ วา่ นักเรียนทสี่ อบไดไ้ มถ่ ึง 50% มปี ระมาณก่คี น

……35 + 50 = 85………………………………………………………………………………………………………………………

6) ใหน้ กั เรยี นเขียนรปู หลายเหลี่ยมของความถี่จากฮิสโทแกรมลงบนรปู ข้างตน้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 32

แบบฝกึ เสรมิ เพ่ิมความเข้าใจ
ฮิสโทแกรม และรปู หลายเหลีย่ มความถี่

คาํ ชีแ้ จง 1. แพทยผ์ ู้หนง่ึ ทําการวัดระดบั คอเลสเตอรอลในเลือดผู้ป่วยจํานวน 40 คน พบวา่ ผปู้ ่วยมีระดบั

คอเลสเตอรอล ดงั ตารางแจกแจงความถี่ ดงั นี้

ระดบั คอเลสเตอรอล ความถ่ี

195 - 199 2

200 - 204 4

205 - 209 10

210 - 214 11

215 - 219 9

220 - 224 4

จงสร้างฮิสโทแกรม และรูปหลายเหลยี่ มของความถ่ี

วธิ ีทาํ หาค่าตา่ ง ๆ ดังนี้

ระดับคอเลสเตอรอล จุดกึง่ กลาง ขอบล่าง ขอบบน

195 - 199 197 194.5 199.5

200 - 204 202 199.5 204.5

205 - 209 207 204.5 209.5

210 - 214 212 209.5 214.5

215 - 219 217 214.5 219.5

220 - 224 222 219.5 224.5

จากตารางข้างตน้ สามารถสร้างฮสิ โทแกรม และรูปหลายเหล่ียมของความถี่ ได้ดงั น้ี

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 33

2. จากการสาํ รวจผู้ปว่ ยทเ่ี ป็นโรคเกีย่ วกบั ทางเดนิ หายใจพบว่า จาํ นวนบหุ ร่ี (มวน) ท่ผี ูป้ ว่ ยสูบตอ่ วนั ดงั นี้

10 8 16 14

12 13 17 19

11 19 18 14

15 11 16 11

1) จงสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ แสดงจาํ นวนบหุ รที่ ี่ผู้ปว่ ยสบู ในแต่ละวนั ใหม้ ี 5 อันตรภาคช้นั

2) จงสร้างฮิสโทแกรมจากตารางในข้อ 1)

วธิ ีทาํ 1) จาํ นวนบหุ ร่ีทผี่ ู้ปว่ ยสูบตาํ่ สดุ เป็น........19................จาํ นวนบหุ ร่ีท่ผี ู้ป่วยสูบสงู สุดเป็น.......8...................

พิสัยของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ปน็ .......19 – 8 = 11.....................................................................
11
ให้มจี าํ นวนอนั ตรภาคชน้ั เปน็ 5 จะได้ความกว้างของอนั ตรภาคช้นั เปน็ …… 5 = 2.2 ปดั ขึ้นเปน็ 3

ตารางแจกแจงความถแี่ สดงจํานวนบุหร่ที ่ผี ูป้ ว่ ยสูบในแตล่ ะวัน

จํานวนบุหรี่ (มวน) ตอ่ วัน รอยขีด ความถ่ี
7-9 | 1
10 - 12 5
||||
13 - 15 4
16 - 18 |||| 4
19 - 21 |||| 2
|| 16
รวม

2) สรา้ งฮิสโทแกรมจากตารางในข้อ 1) ไดด้ ังนี้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 34

3. ความสงู ของนักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 6 ของโรงเรยี นแหง่ หน่งึ จาํ นวน 50 คน ท่คี รผู ู้สอนสุ่มมาวดั ความสงู ได้
ดังน้ี ความสูงของนักเรียน 50 คน (เซนตเิ มตร)
162 165 158 171 169 163 162 165 158 155
154 170 158 158 155 154 152 160 170 159
154 172 162 170 164 170 151 162 160 159
159 157 159 167 160 159 155 172 154 155
173 166 158 156 175 155 165 159 153 163
1) จงหาความสงู ของนกั เรยี นทสี่ ูงที่สุดและเตีย้ ทีส่ ดุ ความสูงของนกั เรยี นท้ังสองนแี้ ตกตา่ งกนั เทา่ ไร
2) จงสร้างตารางแจกแจงความถแ่ี สดงความสูงของนักเรยี นท้งั 50 คน ใหแ้ ต่ละอนั ตรภาคชนั้ มี ความกว้าง
เท่ากัน และมอี ันตรภาคช้ัน 160 - 164 ในตารางแจกแจงความถด่ี ้วย
3) จงสรา้ งฮิสโทแกรมแสดงความสงู ของนกั เรยี นทั้ง 50 คนนจ้ี ากตารางแจกแจงความถ่ใี นข้อ 2)

เฉลย 1) นกั เรยี นที่สูงท่ีสดุ มีความสงู 175 เซนตเิ มตร

นักเรียนทเ่ี ต้ียท่ีสุดมคี วามสูง 151 เซนตเิ มตร

ความสงู ต่างกนั 175 – 151 = 24 เซนติเมตร

2) ตารางแจกแจงความถีแ่ สดงความสูงของนักเรียนท้ัง 50 คน

ความสูง รอยขดี ความถ่ี

150 - 154 |||| || 7

155 - 159 |||| |||| |||| ||| 18

160 - 164 |||| |||| 10

165 - 169 |||| | 6

170 - 174 |||| ||| 8

175 - 179 |1

รวม 50

3) สร้างฮิสโทแกรมแสดงความสูงของนกั เรยี นทั้ง 50 คนนจ้ี ากตารางแจกแจงความถี่ในขอ้ 2) ได้

ดังนี้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 35

4. เจ้าของสวนแห่งหนงึ่ สุ่มผลส้มมาชัง่ นํ้าหนักส่วนหน่ึง ซ่ึงปรากฏผลดงั น้ี

น้ําหนัก (กรมั ) / ผล จํานวนผลสม้ (ผล)

60-69 3

70-79 5

80-89 6

90-99 7

10-109 10

110-119 8

120-129 7

130-139 4

1) จงหาจํานวนผลสม้ ทนี่ ํามาช่ังนาํ้ หนกั ทั้งหมด

2) ถ้าเจา้ ของสวนคัดผลส้มที่นํา้ หนักตํา่ กว่า 90 กรมั ตอ่ ผลออกโดยจะขายเฉพาะผลสม้ ท่เี หลือจากการคัด

เจา้ ของสวนจะนําผลส้มไปขายไดก้ ี่ผลและคิดเป็นกีเ่ ปอรเ์ ซน็ ต์ของจาํ นวนผลสม้ ท้งั หมดท่ีมาชง่ั นํ้าหนัก

3) จงสร้างฮิสโทแกรมแสดงน้าํ หนกั ของผลสม้ จากตารางทีก่ ําหนดมาให้

เฉลย 1) ส้มทน่ี ํามาช่งั มจี ํานวนทั้งหมดเท่ากับ 50 ผล

2) นําผลส้มไปขายได้ 50 – (3 + 5 + 6) = 36 ผล
และคดิ เป็นร้อยละ 36 100%  72% ของจาํ นวนผลส้มทง้ั หมดทมี่ าช่ังนํ้าหนัก

50

3) สรา้ งฮสิ โทแกรมแสดงน้าํ หนักของผลส้มจากตารางท่ีกําหนดมาให้ไดด้ ังนี้

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 36

กิจกรรม : แผนภาพตน้ – ใบ ใครรู้จักบา้ ง

คาํ ชแ้ี จง 1. ข้อมูลตอ่ ไปนีเ้ ปน็ คะแนนสอบวิชาเคมซี ่งึ มคี ะแนนเต็ม 100 คะแนน ของนักเรยี น 24 คน

75 34 80 95 62 75 98 93 84
87 94 85 70 39 84 78 98 78
90 68 75 82 76 85
จงใช้แผนภาพต้น - ใบ ในการแจกแจงความถข่ี องขอ้ มูลขา้ งตน้
วิธีทาํ ให้ดําเนนิ การตามขนั้ ตอนตอ่ ไปนี้
1) แบ่งคะแนนสอบออกเปน็ ช่วง ๆ ในท่ีน้ีจะให้แตล่ ะชว่ งมีคะแนนตา่ งกนั ………10………….คะแนน
โดยเริม่ ตัง้ แต่....0 – 9, 10 – 19, 20 – 29, ..., 80 – 89, 90 – 99 ...................................................
2) จากข้อมลู พบว่า คะแนนต่าํ สุดคอื .......34................และคะแนนสงู สดุ คือ.....98................คะแนน
3) ดงั น้ัน จะเรมิ่ ชว่ งคะแนนตัง้ แต่..30 – 39..เรือ่ ยไปจนถงึ ....90 – 99.....และเขยี นเป็นแผนภาพต้น - ใบ
โดยเรียงเลขโดดในหลกั หน่วยจากน้อยไปมาก ไดด้ งั น้ี

ตน้ ใบ

3 49

4

5
6 28

7 0555688

8 0244557

9 034588

คาํ ถาม : ชวนคดิ จากแผนภาพตน้ – ใบ จะได้ว่า

1) คะแนนท่มี คี วามถี่สงู สดุ คอื ......75............มีความถี่เท่ากับ......3................
2) ชว่ งคะแนนทีม่ คี วามถี่มากทส่ี ดุ คือชว่ ง..70 – 79..และ..80 – 89..คะแนน ซง่ึ แตล่ ะชว่ งมีความถี่เท่ากับ 7
3) ไมม่ ผี สู้ อบไดค้ ะแนนในชว่ งคะแนน....40 – 49....และ....50 – 59..................
4) คะแนนสว่ นใหญอ่ ยูใ่ นช่วง...70 – 89...................

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 37

คําชีแ้ จง 2. นักเรียนห้องหนึ่งมีผลการสอบของวิชาท่ี 1 และวิชาท่ี 2 ซึ่งแต่ละวิชามีคะแนนเต็ม 100
คะแนน เปน็ ดังน้ี
วิชาที่ 1 40 53 55 58 60 62 65 66 69 69 70
72 72 75 75 81 82 85 100 100 100 100
วชิ าที่ 2 32 39 68 70 75 78 78 78 78 79 80
82 84 85 85 85 86 90 93 93 95 98
จากคะแนนสอบของทัง้ สองวิชาสามารถนําเสนอข้อมูลพร้อมกัน โดยใช้แผนภาพต้น - ใบ ไดด้ งั น้ี

วธิ ีทํา ให้ดําเนนิ การตามขนั้ ตอนต่อไปนี้
1) เขียนส่วนท่เี ป็นตน้ รว่ มกนั (ในกรณีที่ข้อมูลมีจํานวนท่ีเขียนแทนด้วยตัวเลขมากกว่าสองหลัก การเขียน

แผนภาพตน้ - ใบ ในสว่ นของตน้ จะเขยี นเลขโดดที่ไม่ใชเ่ ลขโดดในหลักหน่วยซึ่งในทีน่ เี้ ขยี น 10 เปน็ ตน้ ของ 100)
2) เขียนส่วนที่เปน็ ใบ จากข้อมลู ทงั้ สองชดุ ได้ดงั นี้
ใบ (วิชาที่ 1) ตน้ ใบ (วิชาท่ี 2)

3 29

04

853 5

996520 6 8

55220 7 0588889

521 8 0245556

9 03358

0 0 0 0 10

คําถาม : ชวนคดิ จากแผนภาพตน้ – ใบ จะไดว้ า่

1) คะแนนตํ่าสดุ ของวิชาท่ี 1 คือ.....40.......คะแนน และคะแนนต่ําสดุ ของวิชาที่ 2 คือ...32........คะแนน
2) คะแนนสงู สุดของวชิ าที่ 1 คือ.....100.....คะแนน มผี ้สู อบได้.....4..............คน

คะแนนสงู สดุ ของวิชาท่ี 2 คอื .....98.......คะแนน มีผ้สู อบได้.....1..............คน
3) ความแตกต่างของคะแนนสูงสุดและคะแนนตํ่าสุดของคะแนนสอบวิชาท่ี 1 คือ 100–40=60 คะแนน

ความแตกตา่ งของคะแนนสงู สุดและคะแนนตํา่ สุดของคะแนนสอบวชิ าที่ 2 คอื 98–32=66 คะแนน
4) คะแนนส่วนใหญ่ของวชิ าท่ี 1 จะอย่ใู นช่วง.....60 – 79.........................คะแนน

คะแนนสว่ นใหญ่ของวิชาที่ 2 จะอยู่ในชว่ ง....70 – 89.........................คะแนน
5) เม่ือพิจารณาจากแผนภาพ คะแนนเฉล่ียของวิชาท่ี 2 น่าจะ....สูง.....(สูง/ตํ่า) กว่าวิชาที่ 1 เนื่องจาก
คะแนนสว่ นใหญข่ องวชิ าที่ 2 .....สงู ....(สงู /ตาํ่ ) กว่าคะแนนสว่ นใหญ่ของวชิ าท่ี 1

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 38

แบบฝึกเสริม เพม่ิ ความเข้าใจ
แผนภาพต้น – ใบ

คําชีแ้ จง 1. ในการสอบวชิ าสถิตขิ องนกั เรยี นจาํ นวน 20 คน ไดค้ ะแนนสอบดังต่อไปน้ี

14 17 20 24 27 28 31 52 54 47
33 44 54 47 20 51 41 30 20 27
จงใชแ้ ผนภาพต้น - ใบ ในการแจกแจงความถ่ขี องคะแนนสอบ
วธิ ที ํา ให้ดาํ เนนิ การตามขน้ั ตอนตอ่ ไปนี้
1) แบง่ คะแนนสอบออกเป็นชว่ ง ๆ ในท่ีนีจ้ ะให้แต่ละช่วงมคี ะแนนตา่ งกัน……10……….คะแนน
โดยเริ่มตัง้ แต่....10 – 19, 20 – 29, ..., 50 – 59...................................................
2) จากขอ้ มลู พบว่า คะแนนต่ําสดุ คือ......14................และคะแนนสงู สดุ คือ....54............คะแนน
3) ดงั นั้น จะเรม่ิ ช่วงคะแนนตั้งแต่…10 – 19....เร่ือยไปจนถงึ ...50 – 59...และเขยี นเปน็ แผนภาพตน้ - ใบ
โดยเรียงเลขโดดในหลักหน่วยจากนอ้ ยไปมาก ได้ดงั น้ี

ต้น ใบ

1 47

2 0004778

3 013

4 1477

5 1244

2. จากแผนภาพต้น - ใบ ของข้อมลู ท่ีแสดงจํานวนเวลาท่นี ักเรียนใช้ทาํ แบบทดสอบจาํ นวน 50 ขอ้ ตอ่ ไปนี้
เวลาทใ่ี ช้แบบทดสอบ (นาที)
4 258

5 23445

6 23355

7 011 14

8 1389

9 009

1) มีจาํ นวนนกั เรียนทง้ั หมด......25..........คน ท่ที ําแบบทดสอบ
2) เวลาทนี่ กั เรียนใชใ้ นการทําแบบทดสอบมากทส่ี ดุ คือ......99..........นาที

เวลาท่นี กั เรียนใชใ้ นการทําแบบทดสอบน้อยท่สี ดุ คอื .....42.............นาที
3) นักเรียนที่ใชเ้ วลาสอบมากกว่า 70 นาที มีก่ีเปอร์เซ็นต์ของนกั เรยี นทั้งหมด
เฉลย นักเรียนทใ่ี ช้เวลาสอบมากกวา่ 70 นาที มีทั้งหมด 11 คน

คิดเป็น 11 100 = 44% ของนักเรยี นทงั้ หมด

25

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 39

3. จงสรา้ งแผนภาพต้น - ใบ ของคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยซง่ึ มคี ะแนนเต็ม 50 คะแนน จากขอ้ มลู ดังนี้
44 24 43 24 31
47 35 44 42 24
36 38 34 38 19
23 49 33 36 48

เฉลย แผนภาพตน้ - ใบ ของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย

ตน้ ใบ
19
2 3444
3 13456688
4 2344789
จากแผนภาพตน้ - ใบ นักเรียนคดิ ว่าว่านักเรียนสว่ นใหญไ่ ด้คะแนนอยู่ในชว่ ง……30 – 39 คะแนน…………………...

4. ผจู้ ัดนทิ รรศการแห่งหน่ึงสาํ รวจผูเ้ ขา้ ชมนทิ รรศการ พบวา่ อายขุ องผเู้ ขา้ ชมนทิ รรศการ 30 คน แรกทเี่ ขา้ มา
รว่ มงานเป็นดังนี้
12, 11, 22, 32, 35, 45, 46, 14, 16, 33, 30, 41, 7, 9, 25, 8, 51, 43, 18, 17,
19, 32, 34, 18, 22, 24, 56, 56, 61 และ 13
1) จงสร้างแผนภาพต้น - ใบ ของอายุผู้เข้าชมนิทรรศการ
เฉลย
ตน้ ใบ

0 789

1 123467889

2 2245

3 022345

4 1356

5 166

61

2) จงหาอายตุ ่าํ สดุ และสงู สุดของผู้เข้าชมนิทรรศการ
เฉลย ผูเ้ ขา้ ชมนทิ รรศการมอี ายตุ าํ่ กวา่ สุด 7 ปี และมีอายสุ ูงสุด 61 ปี
3) จงหาวา่ ผูเ้ ขา้ ชมนทิ รรศการกลมุ่ นส้ี ว่ นใหญ่มีอายอุ ยู่ในช่วงใด
เฉลย ผ้เู ขา้ ชมนทิ รรศการสว่ นใหญม่ อี ายุในช่วง 10 – 19 ปี

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 40

5. จากการชง่ั น้ําหนักผลสม้ สาํ หรบั คั้นน้ําซ่ึงสมุ่ มาจากตะกร้า จาํ นวน 25 ผล พบว่าส้มแต่ละผลมนี ้าํ หนกั (กรมั )ดังนี้
95 106 112 134 122
104 117 123 105 133
113 128 135 128 125
122 139 98 139 124
131 90 132 104 111

1) จงสร้างแผนภาพต้น - ใบ แสดงนํ้าหนกั ของผลส้ม
เฉลย

ตน้ ใบ

9 058

10 4 4 5 6

11 1 2 3 7

12 2 2 3 4 5 8 8

13 1 2 3 4 5 9 9

2) จงหาว่าผลส้มที่มีน้ําหนักอย่างน้อย 120 กรมั มีทัง้ หมดกี่เปอรเ์ ซน็ ต์
เฉลย ผลส้มมนี ้ําหนักอย่างนอ้ ย 120 กรัม มีทั้งหมด 14 100%  56%

25

6. 2 6 6 7 4
3 5 61 5 2 3 2 5
4 4 07 0 1 5 3 2 3 1 6
5 7 29 5
6 4 61

2 | 6 แทน 2.6 เมตร

จากแผนภาพต้น – ใบ ซ่ึงแทนค่าประมาณความสูงของต้นไม้ที่อยู่หน้าโรงเรียนต้นหนึ่ง โดยนักเรียนกลุ่ม
หนึ่งจํานวน 30 คน เป็นผู้บอกคา่ ประมาณ

1) จงหาค่าประมาณของความสงู ของตน้ ไมท้ ส่ี งู ที่สุด และสูงนอ้ ยท่สี ุด
เฉลย ตน้ ไม้ที่มีความสูงท่สี ดุ คา่ ประมาณ 6.6 เมตร และสูงนอ้ ยทีส่ ดุ คอื 2.4 เมตร
2) ถา้ ความสูงจริงของตน้ ไม้นีเ้ ท่ากับ 4 เมตร จงหาวา่ มนี กั เรยี นกเี่ ปอร์เซ็นต์ท่ีประมาณคา่ ตํ่ากวา่ คา่ ทีเ่ ปน็ จริง
เฉลย นกั เรียนท่ีประมาณค่าความสูงของต้นไมต้ ่ํากว่าคา่ ท่เี ป็นจรงิ มีอย่จู าํ นวน

4  8 100%  40%
30

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 41

กิจกรรม : เปอรเ์ ซน็ ไทล์ หาอย่างไร

มมุ ความรู้ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ (Percentile) คือ ตําแหน่งท่ีในจํานวนข้อมูลท้ังหมด 100 ส่วน เขียน

แทนด้วย Pr ฉะนั้น Pr คือ ตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ r หมายถึง ณ ตําแหน่งที่ r มีข้อมูลซ่ึงมี
คา่ นอ้ ยกว่าอยูป่ ระมาณ r สว่ น ในจํานวนขอ้ มูลทง้ั หมด 100 ส่วน เช่น

P50 คือ ตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 50 มีจํานวนข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่าอยู่ประมาณ 50
สว่ น ในจาํ นวนข้อมลู ทงั้ หมด 100 สว่ น

การหาเปอรเ์ ซน็ ไทล์ของข้อมูลท่ไี มไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ขี องข้อมลู มขี ้นั ตอนดังนี้

1) เรียงลําดับขอ้ มลู จากค่าน้อยที่สุดไปหาค่าทมี่ ากทสี่ ดุ

2) หาตาํ แหน่งของ Pr ท่ีต้องการ โดยใช้สตู ร ถ้า N เปน็ จํานวนขอ้ มูลท้ังหมด ดังน้ี

ตําแหน่งของ Pr คือ ตําแหนง่ ที่ r  N 1 เมอ่ื r  1, 2, 3, ..., 99

100

ตาํ แหน่งของ P1 คือ ตาํ แหน่งท่ี N 1
100

ตาํ แหนง่ ของ P2 คือ ตาํ แหน่งท่ี 2 N 1

100

ตําแหน่งของ P3 คือ ตาํ แหนง่ ที่ 3 N 1

100

.

.

.

ตาํ แหน่งของ P99 คือ ตาํ แหนง่ ที่ 99 N 1

100

3) เมื่อหาตําแหน่งท่ีแล้ว หาค่าของข้อมูลที่ตรงกับตําแหน่งท่ีต้องการ โดยมีวิธี

เดียวกบั การหามัธยฐานของขอ้ มูลทไ่ี มไ่ ดแ้ จกแจงความถี่

คําช้แี จง 1. ผลการชั่งนํ้าหนักของเด็กนักเรียน 9 คน ได้ดังนี้ 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44,

18 (หน่วยเปน็ กิโลกรัม) จงหานํา้ หนกั ของนกั เรียนท่ีอยู่ ณ ตาํ แหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์ที่ 60

วธิ ีทํา 1) เรยี งลําดับขอ้ มูล : 18 25 28 30 33 34 36 42 44

2) ตาํ แหน่งในข้อมลู : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3) ตาํ แหน่งของ P60 คือ ตาํ แหนง่ ที่ ………… 609 1  6 ………………………………….

100

เพราะฉะนั้น P60 =………34……………. กโิ ลกรมั
ดงั นนั้ น้าํ หนักของนกั เรยี นทีอ่ ยู่ ณ ตําแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 60 เทา่ กบั ....... 34................กิโลกรมั

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 42

2. จากขอ้ ท่ี 1 ผลการชงั่ นํา้ หนกั ของเด็กนกั เรียน 9 คน ผลปรากฏดังนี้ (หน่วยเป็นกิโลกรัม) 30, 42,

25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 ถ้าน้ําหนักของนักเรียนคนหน่ึงเป็น 42 กิโลกรัม จะอยู่ ณ ตําแหน่งใดของ

เปอร์เซน็ ไทล์

วิธีทาํ 1) เรียงลําดับข้อมูล : 18 25 28 30 33 34 36 42 44

2) ตําแหนง่ ในขอ้ มลู : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ดงั น้ัน 42 ตาํ แหน่งในข้อมูลที่ 8 นนั่ คอื Pr  42

แต่ ตาํ แหนง่ ของ Pr คือ ตาํ แหนง่ ที่ r  N 1 = r 9 1  10r  r
100 10
100 100

เพราะฉะนนั้ ……… r  8 ……………………..

10

………… r  80 ……………………..

น่นั คอื ถา้ นาํ้ หนกั ของนักเรียนคนน้เี ปน็ 42 กิโลกรัม อยู่ ณ ตาํ แหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์ท่ี.....80............

3. กําหนดข้อมูล 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0, 19.6, 18.8 จงหาค่าของ
P89 เท่ากับเท่าไร
วิธีทํา 1) เรียงลาํ ดบั ข้อมลู : 18.3 18.8 18.8 19.3 19.6 19.7 20.0 20.2 20.6 22.4

2) ตําแหนง่ ในขอ้ มูล : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ดังนน้ั P89 อยใู่ นตําแหน่งที่…… 8910  1  9.79 ………..ซึ่งอยูร่ ะหวา่ งค่า 20.6 กับ 22.4

100

ตําแหนง่ ตา่ งกนั ………10 – 9 = 1…………… คา่ ของข้อมลู ต่างกนั 22.4 20.6  1.8
ตําแหน่งตา่ งกัน………9.79 – 9 = 0.79……… ค่าของข้อมูลเพิม่ ขึ้น…0.79 ×1.8 = 1.422……
ดังนน้ั P89  20.6  1.422  22.022

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 43

กิจกรรม : ควอร์ไทล์ เปน็ อย่างไร

มมุ ความรู้ ควอร์ไทล์ (Quartiles) คือ ตําแหน่งท่ีในจํานวนข้อมูลทั้งหมด 4 ส่วน เขียนแทน

ด้วย Qr ฉะน้ัน Qr คือ ตําแหน่งควอร์ไทล์ท่ี r หมายถึง ณ ตําแหน่งท่ี r มีข้อมูลซึ่งมีค่าน้อย
กวา่ อยู่ประมาณ r สว่ น ในจํานวนขอ้ มลู ท้ังหมด 4 สว่ น เช่น

Q25 คือ ตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 25 มจี ํานวนข้อมลู ท่มี คี ่านอ้ ยกว่าอยปู่ ระมาณ 25 ส่วน
ในจํานวนขอ้ มูลท้งั หมด 4 ส่วน

การหาควอรไ์ ทล์ของข้อมูลที่ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ของข้อมูล มขี น้ั ตอนดังน้ี

1) เรยี งลําดบั ข้อมลู จากค่านอ้ ยท่สี ดุ ไปหาค่าทมี่ ากที่สุด

2) หาตาํ แหนง่ ของ Qr ทต่ี ้องการ โดยใช้สูตร ถา้ N เปน็ จาํ นวนขอ้ มลู ท้ังหมด ดังน้ี

ตาํ แหน่งของ Qr คอื ตําแหนง่ ที่ r  N 1 เม่ือ r  1, 2, 3

4

ตาํ แหนง่ ของ Q1 คือ ตาํ แหนง่ ที่ N 1
4

ตาํ แหน่งของ Q2 คือ ตําแหน่งท่ี 2 N 1

4

ตําแหนง่ ของ Q3 คือ ตาํ แหนง่ ท่ี 3 N 1

4

3) เม่อื หาตาํ แหน่งทีแ่ ลว้ หาค่าของขอ้ มลู ทต่ี รงกับตําแหนง่ ทีต่ ้องการ

คําชแี้ จง 1. ผลการช่งั นาํ้ หนกั ของเด็กนักเรียนประถม 7 คน ได้ดังนี้ 27, 29, 25, 30, 37, 24, 22

(หน่วยเป็นกโิ ลกรัม) จงหานาํ้ หนกั ของนักเรียนท่อี ยู่ ณ ตาํ แหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 1 และควอร์ไทล์ท่ี 3

วธิ ที ํา 1) เรียงลาํ ดบั ข้อมูล : 22 24 25 27 29 30 37

2) ตาํ แหนง่ ในขอ้ มูล : 1 2 3 4 5 6 7

3) ตาํ แหนง่ ของ Q1 คือ ตําแหน่งท่ี ……… N 1 = 7 1 = 2……………………………………………………
4
4

เพราะฉะนน้ั Q1 =……24………………. กโิ ลกรัม

4) ตําแหนง่ ของ Q3 คือ ตําแหน่งที่ ……… 3N 1 = 37 1 = 6…………………………….

4 4

เพราะฉะนั้น Q3 =……30………………. กโิ ลกรมั

ดังน้ัน นาํ้ หนักของนกั เรยี นทีอ่ ยู่ ณ ตาํ แหนง่ ควอร์ไทล์ท่ี 1 เท่ากบั .......24................กิโลกรมั

น้ําหนักของนักเรยี นท่อี ยู่ ณ ตาํ แหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 3 เท่ากบั .......30................กิโลกรมั

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 44

2. จากข้อที่ 1 ผลการช่ังนํ้าหนักของเด็กนักเรียนประถม 7 คน ได้ดังนี้ 27, 29, 25, 30, 37, 24,

22 (หนว่ ยเปน็ กิโลกรมั ) ถา้ นา้ํ หนกั ของนกั เรยี นคนหนึ่งเปน็ 30 กิโลกรมั จะอยู่ ณ ตาํ แหนง่ ใดของควอร์ไทล์

วิธีทาํ 1) เรยี งลําดบั ข้อมลู : 22 24 25 27 29 30 37

2) ตําแหน่งในขอ้ มลู : 1 2 3 4 5 6 7

ดังน้ัน 30 ตาํ แหนง่ ในข้อมลู ที่ 6 นน่ั คือ Qr  30

แต่ ตาํ แหน่งของ Qr คอื ตาํ แหน่งท่ี r N 1 = r 7 1 = …… 8r …=……2r…………………

44 4

เพราะฉะนัน้ ……2r = 6…………………………..

………r = 3………………………..

น่ันคือ ถา้ นาํ้ หนักของนักเรยี นคนนี้เปน็ 30 กิโลกรมั อยู่ ณ ตําแหน่งควอร์ไทล์ที่......3...........

3. กําหนดข้อมูล 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0, 19.6, 18.8 จงหาค่าของ
Q2 เทา่ กบั เทา่ ไร

วิธที ํา 1) เรยี งลําดับข้อมลู : 18.3 18.8 18.8 19.3 19.6 19.7 20.0 20.2 20.6 22.4
2) ตําแหนง่ ในข้อมูล : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ดังนนั้ Q2 อยู่ในตําแหนง่ ท่ี… 2N 1 = 210 1 = 5.5…ซึ่งอยู่ระหวา่ งคา่ …19.6….กับ....19.7......

44

ตําแหนง่ ต่างกัน……6 – 5 = 1…………………… คา่ ของข้อมลู ตา่ งกนั ……19.7 – 19.6 = 0.1..………
ตําแหนง่ ตา่ งกนั ……5.5 – 5 = 0.5……………… ค่าของข้อมลู เพิ่มข้นึ ……0.5x0.1 = 0.05 ……………

ดงั นั้น Q2  ……19.6 + 0.05 = 19.65……………

4. ผลการสอบวชิ าสถิติของนักเรยี น 9 คน เป็นดงั น้ี (หนว่ ยเปน็ คะแนน) 35, 37, 32, 34, 38, 40, 46, 41,

49 จงหาคะแนนสอบของนกั เรยี นทอี่ ยตู่ าํ แหน่งควอร์ไทลท์ ี่ 3

วิธีทํา 1) เรยี งลาํ ดบั ข้อมลู : 32 34 35 37 38 40 41 46 49

2) ตําแหน่งในข้อมูล : 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 3
3) ตําแหนง่ Q3 คอื ตําแหน่งที่ 4  N 1  4 9  1  ……7.5…………………………………………

ซง่ึ อยู่ระหวา่ งค่าท่อี ย่ทู ี่ตําแหนง่ ท่.ี ...7........คอื ....41........และค่าที่อย่ทู ี่ตําแหน่งที่....8........คือ....46........

และค่าท่อี ยกู่ งึ่ กลางระหว่าง.....41.......กับ....46........จะมีค่าเท่ากับ .... 41 46  43.5 .......................
2

ดังนั้น นํา้ หนักของนักเรียนท่อี ย่ใู นตําแหนง่ Q3 มคี า่ เท่ากับ....43.5........กิโลกรมั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 45

กจิ กรรม : เดไซล์ เปน็ อยา่ งไร

มุมความรู้ เดไซล์ (Deciles) คอื ตาํ แหนง่ ท่ใี นจํานวนข้อมูลทั้งหมด 10 ส่วน เขียนแทนด้วย Dr
ฉะน้ัน Dr คือ ตําแหน่งเดไซล์ที่ r หมายถึง ณ ตําแหน่งที่ r มีข้อมูลซึ่งมีค่าน้อยกว่าอยู่
ประมาณ r ส่วน ในจํานวนข้อมลู ทง้ั หมด 10 สว่ น เช่น

D8 คือ ตําแหน่งเดไซล์ที่ 8 มีจํานวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าอยู่ประมาณ 8 ส่วน ใน
จาํ นวนข้อมลู ท้งั หมด 10 ส่วน

การหาเดไซล์ของขอ้ มลู ทไี่ ม่ได้แจกแจงความถข่ี องข้อมลู มขี ้ันตอนดังนี้

1) เรียงลาํ ดบั ข้อมูลจากค่าน้อยท่สี ุดไปหาคา่ ทมี่ ากท่ีสุด

2) หาตําแหน่งของ Dr ทต่ี อ้ งการ โดยใช้สูตร ถา้ N เป็นจาํ นวนข้อมลู ทง้ั หมด ดงั นี้

ตําแหน่งของ Dr คอื ตําแหน่งท่ี r  N 1 เมอื่ r  1, 2, 3,...,9

10

ตาํ แหน่งของ D1 คือ ตําแหนง่ ที่ N 1
10

ตําแหนง่ ของ D2 คอื ตําแหนง่ ที่ 2 N 1

10

ตําแหนง่ ของ D3 คือ ตาํ แหนง่ ที่ 3 N 1

10

.

.

.

ตาํ แหนง่ ของ D9 คือ ตําแหนง่ ท่ี 9 N 1

10

3) เม่อื หาตาํ แหน่งท่ีแล้ว หาคา่ ของขอ้ มลู ท่ตี รงกบั ตําแหนง่ ที่ต้องการ

คําชีแ้ จง 1. ผลการชั่งน้ําหนักของเด็กนักเรียน 9 คน ได้ดังนี้ 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44,

18 (หน่วยเปน็ กโิ ลกรมั ) จงหานํ้าหนกั ของนกั เรยี นที่อยู่ ณ ตําแหน่งเดไซลท์ ่ี 5

วธิ ที าํ 1) เรยี งลาํ ดบั ข้อมูล : 18 25 28 30 33 34 36 42 44

2) ตาํ แหน่งในข้อมูล : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3) ตาํ แหน่งของ D5 คือ ตาํ แหน่งท่ี ……… 59 1  5 ……………………………………………….

10

เพราะฉะน้ัน D5 =……33………………. กิโลกรมั

ดังนั้น นาํ้ หนกั ของนกั เรียนที่อยู่ ณ ตาํ แหนง่ เดไซล์ที่ 5 เท่ากบั ........33...............กิโลกรมั

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 46

2. จากขอ้ ท่ี 1 ผลการชง่ั นา้ํ หนกั ของเด็กนักเรียน 9 คน ผลปรากฏดังนี้ (หน่วยเป็นกิโลกรัม) 30, 42,

25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 ถ้านํ้าหนกั ของนักเรียนคนหน่ึงเป็น 42 กิโลกรัม จะอยู่ ณ ตําแหนง่ ใดของเดไซล์

วธิ ีทาํ 1) เรียงลาํ ดับข้อมูล : 18 25 28 30 33 34 36 42 44

2) ตาํ แหน่งในขอ้ มลู : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ดงั น้ัน 42 ตําแหนง่ ในข้อมลู ที่ 8 น่นั คือ Dr  42

แต่ ตาํ แหน่งของ Dr คือ ตําแหนง่ ที่ r N 1 = …… r 9 1  10r  r …………………………

10 10 10

เพราะฉะน้นั ………r = 8……………….

น่ันคือ ถ้าน้ําหนกั ของนักเรยี นคนนี้เปน็ 42 กิโลกรัม อยู่ ณ ตาํ แหนง่ เดไซล์ที.่ ..8.............
3. จงหา D7 , D8 ของข้อมูลต่อไปน้ี 10, 17, 13, 25, 26, 27

วิธที ํา 1) เรียงลาํ ดับข้อมูล : 10 13 17 25 26 27

2) ตําแหน่งในข้อมลู : 1 2 3 4 5 6

ดังนนั้ D7 อย่ใู นตาํ แหน่งที่… 7  6  1  = 4.9……………..ซ่งึ อยู่ระหว่างคา่ ……25…….กบั .......26.......
10
ตาํ แหนง่ ตา่ งกัน……5 – 4 = 1…………………… ค่าของข้อมลู ต่างกนั ……26 – 25 = 1………………

ตําแหน่งตา่ งกัน……4.9 – 4 = 0.9……………… คา่ ของข้อมูลเพมิ่ ข้นึ ……0.9x1 = 0.9…………………
ดังนั้น D7  ……25 + 0.9 = 25.9……………………………………
8
และ D8 อยู่ในตําแหนง่ ที่… 10 6  1  = 5.6……………….ซง่ึ อย่รู ะหวา่ งค่า……26…….กับ......27........

ตําแหน่งตา่ งกัน……6 – 5 = 1…………………… ค่าของข้อมูลตา่ งกัน………27 – 26 = 1 ……………

ตาํ แหนง่ ตา่ งกนั ……5.6 – 5 = 0.6……………… ค่าของข้อมลู เพ่มิ ขึ้น………0.6x1 = 0.6……………..

ดังนนั้ D8  ……26 + 0.6 = 26.6……………………………………

4. กาํ หนดขอ้ มลู ดงั ตารางจงหาเดไซลท์ ี่ 3

คะแนน 10 12 16 20 23

จาํ นวนนักเรียน 2 3 4 4 2

วิธีทํา นําข้อมลู มาเรยี งจากน้อยไปหามากอย่างมีระเบียบ

คะแนน ความถี่ ความถสี่ ะสม ชว่ งตาํ แหนง่ ตําแหน่งของ D3 คอื

10 2 2 1 – 2 3
10
12 3 5 3 – 5 ตําแหน่งท่ี 15  1  4.8

16 4 9 6 – 9 เนื่องจากว่าตําแหน่งที่....4.8........เป็นตําแหน่งที่

20 4 13 10 – 13 อย่ใู นชว่ งตําแหน่ง 3 – 5

23 2 15 14 – 15 น่นั คือตําแหน่งท่ี 4.8 จะมีค่าเทา่ กบั 12 คะแนน

N = 15 ดังน้ัน เดไซลท์ ่ี 3 เท่ากับ 12

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 47

แบบฝกึ เสรมิ เพม่ิ ความเข้าใจ
เปอร์เซ็นไทล์ ควอร์ไทล์ เดไซล์

คําชแี้ จง 1. ให้ข้อมลู ต่อไปนีเ้ ป็นคะแนนสอบของนักเรียน 10 คน

58, 70, 62, 48, 56, 68, 76, 80, 90, 92

จงหา Q3, D7 และ P68

วิธีทาํ (1) เรียงลําดบั ข้อมลู ได้ดังน้ี………48, 56, 58, 62, 68, 70, 76, 80, 90, 92……………………….

(2) หา Q3

ตาํ แหน่งของ Q3 คือ ตาํ แหน่งที่ r N 1  310 1  8.25 ………………………………

4 4

ดงั นน้ั Q3 อยูร่ ะหวา่ งคา่ .......80.............และ......90..............

ตําแหน่งตา่ งกนั 9 – 8 = 1 คะแนนสอบเพ่ิมขน้ึ 90 – 80 = 10

ตําแหน่งตา่ งกัน 8.25 – 8  0.25 คะแนนสอบเพ่ิมข้ึน 0.2510  2.5 คะแนน
1

นั่นคอื Q3  80  2.5  82.5 คะแนน

(3) หา D7

ตําแหนง่ ของ Dr คือ ตําแหน่งท่ี r N 1  710 1  7.7 ………………………………

10 10

ดังนนั้ D7 อย่รู ะหวา่ งค่า......76..............และ......80..............

ตําแหน่งตา่ งกัน 8 – 7 = 1 คะแนนสอบเพ่ิมขึ้น 80 – 76 = 4

ตําแหน่งตา่ งกัน 7.7 – 7  0.7 คะแนนสอบเพ่ิมขน้ึ 0.7 4  2.8 คะแนน
1

นนั่ คือ D7  76  2.8  78.8 คะแนน

(4) หา P68

ตําแหนง่ ของ Pr คอื ตําแหน่งที่ r N 1  6810 1  7.48 ……………………………

100 100

ดังน้นั P68 อยรู่ ะหว่างค่า......76..............และ......80..............

ตาํ แหนง่ ตา่ งกัน 8 – 7 = 1 คะแนนสอบเพ่ิมขึ้น 80 – 76 = 4

ตาํ แหน่งต่างกัน 7.48 – 7 = 0.48 คะแนนสอบเพิ่มขน้ึ 0.48 4  1.92 คะแนน
1

นนั่ คอื P68  76 1.92  77.92 คะแนน

2. กําหนดข้อมลู 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0, 19.6, 18.8 จงหาคา่ ของ P89  Q3  D4

วิธที าํ (1) เรยี งลาํ ดบั ขอ้ มูลไดด้ ังน้ี…18.3, 18.8, 18.8, 19.3, 19.6, 19.7, 20.0, 20.2, 20.6, 22.4…

(2) หา P89 ซึ่งอยใู่ นตําแหน่ง...... 89 10  1  9.79 .....อยู่ระหว่างค่า 20.6 กับ 22.4

100

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 48

ตําแหน่งตา่ งกัน.....10 – 9 = 1................. คา่ ของข้อมลู ต่างกนั ..... 22.4 – 20.6 = 1.8.............
ตาํ แหน่งต่างกัน..... 9.79 – 9 = 0.79........ ค่าของข้อมลู เพ่มิ ขน้ึ .....0.79x1.8 = 1.422............

ดังนั้น P89 .....20.6  1.422 = 22.022.....................................

(3) หา Q3 ซ่ึงอยู่ในตําแหนง่ ....... 310  1  8.25.....อยรู่ ะหว่างคา่ 20.2 กับ 20.6

4

ตาํ แหนง่ ตา่ งกัน 1 ค่าของข้อมลู ต่างกนั 20.6 – 20.2  0.4

ตาํ แหน่งตา่ งกนั 8.25 – 8  0.25 คา่ ของข้อมูลเพม่ิ ข้นึ 0.250.4  0.1

ดังนัน้ Q3  .....20.2  0.1  20.3.....

(4) หา D4 ซงึ่ อยูใ่ นตําแหน่ง...... 4 10  1  4.4 .......อยู่ระหวา่ งคา่ 19.3 กับ 19.6

10

ตําแหนง่ ต่างกัน 1 ค่าของข้อมูลต่างกนั 19.6 – 19.3  0.3

ตําแหนง่ ต่างกนั 4.4 – 4  0.4 คา่ ของข้อมูลเพมิ่ ขน้ึ 0.40.3  0.12

ดงั น้นั D4  .....19.3  1.12  19.42.....
น่ันคือ P89  Q3  D4  22.022 20.3  19.42  21.142

3. ความสงู ของนักเรียนห้องหน่งึ จํานวน 30 คน หน่วยเปน็ เซนตเิ มตร มดี ังนี้

176 164 168 161 165 182 174 170 169 168

164 154 177 132 185 166 135 149 157 155

165 174 181 176 146 156 159 168 172 179

นกั เรียนทีม่ คี วามสูงเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 80 จะมีความสงู เทา่ ไร

เฉลย เรยี งลาํ ดบั คะแนนจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมากได้ดังนี้

132, 135, 146, 149, 154, 155, 156, 157, 159, 161, 164, 164, 165, 165, 166,

168, 168, 168, 169, 170, 172, 174, 174, 176, 176, 177, 179, 181, 182, 185

P80 อย่ใู นตาํ แหน่ง 80 30  1 อยรู่ ะหว่างความสูง 176 กับ 176 เซนตเิ มตร

 24.8

100

ดังนน้ั นกั เรยี นทมี่ ีความสงู เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 80 จะมีความสูง 176 เซนติเมตร

4. กําหนดข้อมูลดงั ตารางจงหาควอร์ไทลท์ ่ี 3

คะแนน 10 12 16 20 23
จาํ นวนคะแนน 2 3 4 4 2

วิธีทาํ นาํ ขอ้ มลู มาเรยี งจากน้อยไปหามาก

คะแนน ความถ่ี ความถส่ี ะสม ช่วงคะแนน

10 2 2 1–2

12 3 5 3–5

16 4 9 6–9

20 4 13 10 – 13

23 2 15 14 – 15

N = …15…….
3 3
หาตําแหน่ง Q3 คือ ตาํ แหน่งท่ี……… 4  N 1   4 15 1   12 …………………………….

เพราะฉะนั้น ตําแหนง่ Q3 คือ ตําแหน่งท…ี่ 12…และเนือ่ งจากค่าทอ่ี ยใู่ นตําแหนง่ ท่ี…12…เทา่ กบั ....20......
ดงั น้นั ควอร์ไทลท์ ี่ 3 มคี ่าเท่ากับ....20.............

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา