เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560 ฉบับครู

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 49

5. ความสงู ของนกั เรียนหอ้ งหนงึ่ จาํ นวน 30 คน หน่วยเป็นเซนติเมตร มีดังน้ี

176, 164, 168, 161, 165, 182, 174, 170, 169, 168,

164, 154, 177, 132, 185, 166, 135, 149, 157, 155,

165, 174, 181, 176, 146, 156, 159, 168, 172, 179
Q3 Q1
1) จงหาคา่ ของ 

2
2) นกั เรยี นทม่ี ีความสงู เป็นเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 80 จะมคี วามสงู เทา่ ไร

3) นกั เรียนท่ีมคี วามสูงเปน็ เดไซล์ที่ 8 สงู กวา่ นักเรียนทมี่ ีความสูงเป็นเดไซลท์ ี่ 4 เท่ากบั ก่เี ซนตเิ มตร

วธิ ีทาํ 1) เรยี งความสูงจากนอ้ ยไปมากดังน้ี

132 135 146 149 154 155 156 157 159 161

164 164 165 165 166 168 168 168 169 170

172 174 174 176 176 177 179 181 182 185
130 1
หา Q1 ซึง่ อย่ใู นตาํ แหน่ง 4  7.75 อยู่ระหวา่ งความสงู .....156.....และ....157....เซนตเิ มตร

ตําแหนง่ ต่างกนั 1 ความสูงต่างกนั 157 156 1 เซนติเมตร
ตําแหนง่ ตา่ งกัน 0.75 ความสูงต่างกนั 0.75×1  0.75 เซนติเมตร

ดังนน้ั Q1  156  0.75  156.75 เซนติเมตร
330 1
หา Q3 ซึง่ อยู่ในตาํ แหน่ง 4  23.25 อย่รู ะหว่างความสูง.....174.....และ.....176....เซนตเิ มตร

ตาํ แหน่งตา่ งกัน 1 ความสงู ต่างกัน 176 174  2 เซนติเมตร
ตําแหนง่ ตา่ งกนั 0.25 คา่ ของข้อมลู ต่างกนั 0.252 0.5 เซนตเิ มตร
Q3Q321Q714  0.5  174.5 เซนติเมตร
จะได้  174.52156.75  8.875
ดงั น้ัน

2) นักเรยี นทม่ี ีความสูงเป็นเปอร์เซน็ ไทล์ที่ 80 จะมคี วามสูงเท่าไร
8030 1
หา P80 ซง่ึ อยใู่ นตําแหน่ง 100  24.8 อย่รู ะหวา่ งความสูง...176...และ.. 176....เซนติเมตร

ดังนั้น P80  ……176…………………………………เซนติเมตร

3) นกั เรียนท่มี ีความสงู เป็นเดไซล์ที่ 8 สงู กวา่ นักเรียนทมี่ ีความสงู เปน็ เดไซล์ที่ 4 เทา่ กับกีเ่ ซนติเมตร

เนื่องจากนักเรยี นที่มีความสูงเปน็ เดไซลท์ ี่ 8 เท่ากบั นักเรยี นทม่ี ีความสงู เปน็ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี...80..........

เท่ากบั ………176…………………เซนตเิ มตร
4 30  1
D4 อยูใ่ นตาํ แหนง่  10 12.4 อยู่ระหว่างความสูง 164 และ 165 เซนติเมตร

ตาํ แหน่งต่างกัน 1 ความสงู ต่างกัน 165164  1 เซนติเมตร

ตาํ แหนง่ ต่างกัน 0.4 ความสูงต่างกัน 0.41  0.4 เซนตเิ มตร

ดงั นั้น D4  164  0.4  164.4 เซนติเมตร
เพราะฉะน้นั D8  D4  176.0 164.4  11.6 เซนติเมตร
ดงั นน้ั นกั เรียนทมี่ ีความสงู เป็นเดไซลท์ ่ี 8 สงู กว่านักเรียนท่ีมคี วามสูงเป็นเดไซลท์ ี่ 4 เทา่ กับ11.6เซนตเิ มตร

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 50

กจิ กรรม : ค่าเฉล่ยี เลขคณิต

มมุ ความรู้ การหาค่าเฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มูลทไี่ ม่ได้แจกแจงความถ่ี

X  X1  X2  n
n
 X n  i1 Xi

n

1. จากการสอบถามอายขุ องนสิ ติ กล่มุ หนงึ่ จํานวน 10 คน ปรากฏว่ามีอายุดังน้ี 20, 20, 19, 21, 19, 19, 22,

21, 19, 20 ปีตามลําดับ ใหน้ กั เรียนหาอายเุ ฉลย่ี ของนสิ ติ

วิธที าํ ผลรวมของอายนุ ิสติ ท้ังหมดในกลมุ่ น้ี เท่ากบั

…………2…0.....2…0……1…9……2…1……19……1…9……2…2……2…1……1…9……2…0……2…0…0……………………………………………………………

……..………..……….....………………………………………………………………………………………………………………………..

จะได้ว่า 10  ………2…00…………………………………..

 xi
i1

จํานวนนสิ ติ ท้งั หมดในกลมุ่ น้ี คอื …………1…0……ค…น……

จากสูตร จะไดว้ ่า x  …2…00………2…0…………………………….………………………………………………….
……………………………………1…0………………………………………………………………………………………….
ดงั นัน้ อายุเฉลยี่ ของนสิ ติ กลุม่ นี้ เท่ากับ ………2…0……ป…ี……………..

2. ใหน้ กั เรียนสอบถามสว่ นสูงของเพ่อื นๆ จํานวน 5 คน และหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของสว่ นสูง
ช่อื

สว่ นสงู

วิธที าํ ผลรวมของส่วนสงู ของเพือ่ นท้งั หมดในกล่มุ น้ี เท่ากับ

……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

….....…………………………………………………………………………………………………………………………………………....

จํานวนเพอื่ นท้งั หมดในกลุ่มน้ี คอื …………………………

จากสตู ร จะได้วา่ x  ………………………………………….…………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

ดังน้นั สว่ นสงู เฉล่ียของเพอ่ื นกลุ่มน้ี เท่ากับ …………………………………..

3. ถ้าน้ําหนักของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 5 คน คือ 45, 55, 40, 50, และ 42 กิโลกรัม ถ้านักเรียนกลุ่มน้ีมี

สมาชิกเพิ่มขึ้นอีก 1 คน ค่าเฉล่ียเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนทั้ง 6 คนเป็น 50 กิโลกรัม ให้นักเรียน

หาน้ําหนกั ของนกั เรยี นคนทหี่ ก

วธิ ที ํา ผลรวมของนํ้าหนักของนกั เรยี นทัง้ หกคน เทา่ กับ

……………4…5……5…5……4…0……5…0……4…2……x……2…3…2……x……………………………………………………………

จะไดว้ ่า 6  …………23…2………x ………………………..

 xi
i1

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 51

จํานวนนกั เรยี นท้งั หมดn คือ.........3......ค...น...............

ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของนา้ํ หนักของนกั เรยี นทัง้ หกคน x  คือ ………5…0……กิโ…ล…ก…รมั ………

n
 xi
จากสูตร จะไดว้ า่ ……5…0……………2…32…6.…x………………………………………………………
x  i1
n

…………………………………………………3…0…0………2…3…2……x……………………………………………………….

…………………………………………………x………………68……………………………………………………………….

ดังนั้น นา้ํ หนกั ของนักเรยี นคนทหี่ ก คือ …………6…8…ก…ิโล…ก…ร…มั …………...................

4. ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนํ้าหนักของนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรัม และนักเรียนหน่ึงคนในกลุ่มนี้หนัก

46 กิโลกรัม ส่วนอกี สองคนท่ีเหลอื หนักเท่ากนั อยากทราบว่านักเรียนสองคนทเี่ หลือหนกั คนละก่ีกิโลกรมั
วิธที าํ ผลรวมของน้ําหนกั ของนักเรียนท้ังสามคน เท่ากับ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………46………x……x……4…6……2…x………………………………………………………………………………………………………

จะได้ว่า 6  ……4…6……2…x……………………………..

 xi
i1
 n  คอื ...........3......ค...น.............
จํานวนนักเรยี นทง้ั หมด
ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของนา้ํ หนกั ของนักเรียนทงั้ สามคน  x  คือ ……3.…8……กิโ…ล…ก…รัม…………

n
 xi
จากสตู ร จะได้ว่า ………3…8……………4…6.……2x……………………………………………………
x  i1
n 3

……………………………………………………1…1…4………4…6……2…x…………………………………………………….

………………………………………………………x …………3…4…………………………………………………………….
ดังนั้น นํ้าหนกั ของนักเรียนสองคนท่ีเหลอื หนกั คนละ……………3…4……ก…โิ ล…ก…ร…ัม……..

กิจกรรม : ค่าเฉล่ียเลขคณิตถ่วงนา้ํ หนัก

มมุ ความรู้ การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลทไ่ี มไ่ ด้แจกแจงความถ่ีคิดแบบถ่วงน้าํ หนัก

n

X  w1X1  w2 X 2  wi Xi
w1  w2 
 wn X n  i1
 wn n

wi

i1

Xi คือขอ้ มูลตวั ท่ี i, wi คือนาํ้ หนกั ของขอ้ มูลตัวท่ี i

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 52

1. ผลการสอบของนกั เรยี นคนหนึ่งเปน็ ดังนี้

วิชา คะแนนทส่ี อบได้  x นาํ้ หนักท่ใี ห้ w wi xi 

คณติ ศาสตร์ 60 4 240
3 165
ฟิสิกส์ 55 3 192
1 70
เคมี 64

ภาษาอังกฤษ 70

4  11 4  667

 wi  wi xi
i1 i1

ใหน้ กั เรียนหาคะแนนเฉลีย่ ของนักเรยี นคนน้ี
วธิ ที าํ จากสูตร จะได้วา่ ………x……6…6…7……6…0….6…3…………………………………………………………………………………………..

11

ดงั นนั้ คะแนนเฉลย่ี ของนกั เรียนคนน้ี คือ ……6…0….6…3………คะ…แ…น…น……

2. นักเรียนคนหน่ึงลงทะเบียนเรียน 5 วิชา ได้เกรด A, A, B, B, C โดย A = 4, B = 3 และ C = 2 ให้

นักเรียนหาค่าเกรดเฉลย่ี ของนกั เรียนคนน้ี สมมติว่าหน่วยกติ และเกรดรายวิชาเปน็ ดงั น้ี

วชิ าท่ี 1 2 3 4 5

หน่วยกติ 32331

เกรด A A B B C

วธิ ที ํา

วิชาที่ xi wi wi xi

14 3 12

24 2 8

33 3 9

43 3 9

52 1 2

5  12 5  40

 wi  wi xi
i1 i1

จากสูตร จะไดว้ ่า………x ……4…0….…3….3…3………………………………………………………………………………………………

12

ดงั น้ัน เกรดเฉลย่ี ของนกั เรยี นคนนี้ คือ …………3….3…3…………………

3. สไปรท์ซอ้ื เงาะ 5 กิโลกรมั ราคากโิ ลกรัมละ 15 บาท มังคุด 6 กิโลกรมั ราคากิโลกรัมละ 20 บาท ทุเรียน

9 กิโลกรมั ราคากโิ ลกรัมละ 25 บาท สไปรทซ์ ้อื ผลไม้โดยเฉลีย่ กโิ ลกรัมละเทา่ ใด

วธิ ที ํา

ผลไม้ xi wi wi xi

เงาะ 15 5 75

มงั คดุ 20 6 120

ทเุ รยี น 25 9 225

3  20 3  420

 wi  wi xi
จากสูตรจะไดว้ า่ ……x……4…2…0……2…1……………………i…1………………………i…1………………………………………………..
ดงั น้นั สไปรท์ซื้อผลไมโ้ ด2ย0เฉลย่ี กโิ ลกรมั ละ …………2…1……บ…า…ท…………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 53

กิจกรรม : คา่ เฉล่ียเลขคณติ รวม

มุมความรู้ การหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ รวม

X  n1X1  n2 X 2   nk X k
n1  n2   nk

Xi คือค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลชุดที่ i,
ni คอื จํานวนข้อมลู ชดุ ที่ i จากทั้งหมด k ชดุ

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนโรงเรียนหนงึ่ ปรากฏวา่

นกั เรยี นชน้ั ม.5/1 จํานวน 40 คน ไดค้ า่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากบั 50 คะแนน

นกั เรียนชั้น ม.5/2 จาํ นวน 30 คน ไดค้ า่ เฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กบั 30 คะแนน

นกั เรยี นชัน้ ม.5/3 จาํ นวน 30 คน ไดค้ า่ เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 40 คะแนน

ใหน้ ักเรียนหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของคะแนนสอบของนักเรยี นท้ัง 3 ห้องรวมกนั

วิธที าํ

ชัน้ คะแนนสอบเฉลีย่  xi  จํานวนนักเรยี น ni  ni xi

ม. 5/1 50 40 2000

ม. 5/2 30 30 900

ม. 5/3 40 30 1200

3  100 3 ni xi  4100

 ni 
i1 i1

จากสตู ร จะไดว้ ่า…… x  4100  41……………………………………………………………………

100

ดังน้นั คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรยี นท้ัง 3 ห้องรวมกนั คือ .........41.................... คะแนน

2. ถา้ ความสูงเฉล่ยี ของนักเรยี นห้องหน่งึ ซง่ึ มีจํานวน 60 คน มีค่าเท่ากับ 158 เซนติเมตร และความสูงเฉล่ีย

ของนกั เรียนชายทัง้ หมด ซึ่งมีจาํ นวน 40 คน มคี ่าเทา่ กบั 162 เซนตเิ มตร จงหาความสูงเฉล่ียของนักเรียน

หญิงในหอ้ งน้ี

วธิ ที าํ

นกั เรียน xi ni ni xi
ชาย
162 40 6480

หญิง xหญงิ 20 20xหญิง

2  60 2

 ni  ni xi  6480  20xหญงิ .
i1 i1

คํานวณหาความสงู เฉลย่ี ของนักเรียนหญิงจากสตู ร xรวม  n1x1  n2x2 จะไดว้ ่า
n1  n2

 6480  20xหญงิ    20xหญงิ  xหญงิ  150

158 60 9480 6480

ดังนัน้ ความสงู เฉลยี่ ของนักเรียนหญิงในหอ้ งนี้ คือ .......150...................... เซนติเมตร

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 54

3. ผลการสอบย่อยของนักเรียน 3 กลุม่ เปน็ ดังนี้

กลมุ่ ที่ 1 กลุ่มที่ 2 กลุม่ ที่ 3

คะแนนเฉลี่ย 15 12 13

จาํ นวนนักเรยี น 10 8 x

ถ้าคะแนนเฉลีย่ วิชาคณติ ศาสตรเ์ ท่ากบั 13.4 จํานวนนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 3 มกี ี่คน

วธิ ีทาํ คํานวณหาจาํ นวนนักเรียนกลมุ่ ท่ี 3 n3  จากสูตร xรวม  n1x1  n2x2  n3x3
n1  n2  n3

จะไดว้ ่า 13.4  1015  812  n3 13

10  8  n3

13.418  n3   246 13n3

241.2 13.4n3  246 13n3

0.4n3  4.8

n3  12

ดังนั้น จาํ นวนนักเรยี นกลุ่มท่ี 3 เท่ากบั ..........12................... คน

กิจกรรม : ค่าเฉล่ยี เลขคณิตของข้อมลู ท่ี
แจกแจงความถ่ีแลว้

การหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถ่ีแลว้

มมุ ความรู้ X  f1X1  f2 X 2   fk X k
f1  f2   fk

Xi คือข้อมูลตวั ท่ี i, fi คือความถี่ของข้อมลู ตวั ที่ i

1. ตารางบันทึกการลาของพนักงานบริษัทแห่งหน่ึง ในหน่ึงเดือนท่ีผ่านมา ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ของจาํ นวนวนั ลาของพนักงานบรษิ ัทแห่งน้ี

จาํ นวนวันลา (วนั ) ความถ่ี fi xi

0 70

1 11 11

2 9 18

3 26

4 8 32

5 5 25

รวม 42 92

วิธที ํา จาํ นวนพนักงานทั้งหมด n เทา่ กบั .........42........................ คน

จากสตู ร จะไดว้ า่ ………… x  92  2.19 ………………………………………………………………………………………

42

ดังนั้น คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของจํานวนวันลาของพนกั งานบรษิ ัทแหง่ น้ี คอื .....2.19 วนั หรอื 2 วนั ................

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 55

2. ใหน้ ักเรียนหาคา่ เฉลี่ยของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี

ช่วงคะแนน ความถี่  fi  จุดกง่ึ กลางของอนั ตรภาคชั้น xi  fi xi
0–4 3 2
6

5–9 4 7 28

10 – 14 10 12 120

15 – 19 2 17 34

20 – 24 1 22 22

5 fi xi  210


i1

วธิ ที าํ จาํ นวนความถที่ ้ังหมด n เทา่ กับ ............20.......................... คน

จากสตู ร จะได้วา่ ……… x  210 10.5…………………………………………………………………………………………

20

ดังนน้ั ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดนี้ คอื ...........10.5 คะแนน.............................

3. ตารางแจกแจงความถ่ีของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟา้ จํานวน 15 หลอด ดังต่อไปน้ี

อายุ (ชัว่ โมง) จาํ นวนหลอดไฟฟ้า  fi  จดุ กึ่งกลางของอนั ตรภาคชนั้ xi  fi xi

9 - 11 4 10 40

12 - 14 4 13 52

15 - 17 5 16 80

18 - 20 2 19 38

4 fi xi  210


i1

ให้นักเรียนหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟ้า

วธิ ีทาํ จากสตู ร จะไดว้ ่า ………… x  210 14……………………………………………………………………….

15

ดังน้ัน ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้า เท่ากับ ..........14 ช่ัวโมง..............................

4. จากโจทยข์ ้อ 3)

อายุ (ชั่วโมง) จาํ นวนหลอดไฟฟา้

9 - 11 4

12 - 14 4

15 - 17 5

18 - 20 2

ใหน้ ักเรียนหาค่าเฉล่ยี ของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟ้า โดยใช้วธิ ีการลดทอนค่าของข้อมลู

วิธีทาํ เทคนคิ คดิ ลดั เพอ่ื ลดทอนคา่ ของขอ้ มลู

หลักการคดิ 1. เลือกจุดก่ึงกลางท่ีอยูใ่ นอนั ตรภาคชั้นที่มีความถี่มากทีส่ ุด โดยกําหนดใหเ้ ปน็ A

อนั ตรภาคชัน้ ทม่ี ีความถีม่ ากท่สี ุดคือชว่ งอายุ.........15 - 17..................

ซึง่ ไดจ้ ดุ กงึ่ กลางของอันตรภาคช้ัน เทา่ กบั ..............16...........................

ดังน้นั A  .......16.........................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 56

2. หาคา่ แตกต่าง d  ระหวา่ งจุดก่ึงกลางของแต่ละอันตรภาคช้ัน xi  กับค่า A

โดยท่ี di  xi  A
3. จาํ นวนหลอดไฟท้ังหมด n เท่ากับ ........15............... หลอด

4. หาค่า k fidi เมอ่ื k เป็นจาํ นวนอันตรภาคช้ัน


i1

k

 fidi

5. แทนคา่ ลงในสตู ร x  A  i1

n

6. สรา้ งตารางเพ่ือความสะดวกในการหาคา่ x ไดด้ งั น้ี

อายุ (ชั่วโมง) จํานวนหลอดไฟฟา้  fi  จุดก่ึงกลางของอนั ตรภาคชั้น xi  di  xi  A fidi

9 - 11 4 10 10 – 16 = -6 -24
12 - 14 13 – 16 = -3 -12
15 - 17 4 13 16 – 16 = 0 0
18 - 20 19 – 16 = 3 6
5 16

2 19

4 fidi  -30


i1

จากสตู ร จะไดว้ า่ ………… x 16  30 14……………………………………………………………………….

15

ดงั นนั้ ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟ้า เทา่ กับ ..........14 ช่ัวโมง......................

5. ตารางแจกแจงความถข่ี องอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟ้าจํานวน 40 หลอด ดังตอ่ ไปนี้

อายุ (ชัว่ โมง) จํานวนหลอดไฟฟา้

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

ใหน้ กั เรยี นหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟ้า

1. วิธีตรง

อายุ (ชั่วโมง) จาํ นวนหลอดไฟฟา้  fi  จดุ กึ่งกลางของอนั ตรภาคชั้น xi  fi xi

118 - 122 2 120 240

123 - 127 8 125 1000

128 - 132 15 130 1950

133 - 137 11 135 1485

138 - 142 3 140 420

143 - 147 1 145 145

6

 fi xi  5240

i1

จากสูตร จะได้วา่ ………… x  5240 131………………………………………………………………….

40

ดงั นั้น ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟา้ เท่ากบั ........131 ชั่วโมง..........

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 57

2. วิธีลดั เลือกจุดกึง่ กลางท่ีอยใู่ นอันตรภาคช้นั ทม่ี ีความถี่มากท่สี ดุ กําหนดให้เปน็ A ดังนน้ั A  ....130.....

อายุ (ชั่วโมง) สร้างตารางเพื่อความสะดวกในการหาคา่ x ไดด้ ังน้ี
118 - 122
จํานวนหลอดไฟฟ้า  fi  จุดกึง่ กลางของอันตรภาคชั้น xi  di  xi  A fidi

2 120 120 – 130 = -10 -20

123 - 127 8 125 125 – 130 = -5 -40

128 - 132 15 130 130 – 130 = 0 0

133 - 137 11 135 135 – 130 = 5 55

138 - 142 3 140 140 – 130 = 10 30

143 - 147 1 145 145 – 130 = 15 15

6 fidi  40


i1

จากสตู ร จะได้ว่า ………… x 130  40 131………………………………………………………………….

40

ดงั น้ัน ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟา้ เทา่ กับ ........131 ชัว่ โมง..........

กจิ กรรม : มธั ยฐานและฐานนิยม

1. กาํ หนดใหข้ อ้ มูลชดุ หนึ่ง ประกอบด้วย 4, 18, 15, 10, 8, 4, 10, 4, 7
ใหน้ กั เรียนหามัธยฐานของข้อมลู นี้
1) จากข้อมลู ข้างตน้ ข้อมูลทั้งหมด มจี ํานวน ……………9……………………………………….….…
2) เรียงขอ้ มลู จากค่าน้อยไปหาคา่ มาก ได้ดังนี้………4, 4, 4, 7, 8, 10, 10, 15, 18……….
3) ตําแหนง่ ของมธั ยฐาน คือ ตาํ แหน่งก่ึงกลางของขอ้ มูลที่เรียงแล้ว

ฉะนั้น ตําแหนง่ ของมธั ยฐาน = n 1 เมอื่ n คอื จาํ นวนข้อมลู ทง้ั หมด

2

จากข้อมูลขา้ งต้น ตําแหนง่ ของมธั ยฐาน คอื …… 9 1  5 ………………………………..……

2

4) มธั ยฐาน คือ คา่ ทอ่ี ยตู่ าํ แหน่งก่ึงกลางของข้อมูลที่เรยี งแลว้
ดังนั้น มธั ยฐานของข้อมลู ชุดนีค้ อื ……………8…………………………

ใหน้ ักเรียนหาฐานนิยมของขอ้ มูลนี้
1) คา่ ของข้อมูลทีม่ ีความถ่ีสงู สุดคอื ................4.........................มีความถี่.........3..................
2) ฐานนยิ ม คอื คา่ ของขอ้ มลู ทม่ี ีความถส่ี ูงสดุ

ดงั นัน้ ฐานนยิ มของขอ้ มูลชุดน้ีคอื …………4……………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 58

2. ใหน้ ักเรยี นหามธั ยฐานและฐานนยิ มของข้อมลู ต่อไปนี้

ขอ้ มูล เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก ตําแหนง่ ของมธั ยฐาน มธั ยฐาน ฐานนิยม
4.5 2.5 2
1, 2, 4, 7, 2, 5, 3, 2 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 7 3.5 6 ไมม่ ี
3.5 16 16
5, 3, 1, 7 11, 9 1, 3, 5, 7, 9, 11 4 12
4 19 11, 12
16, 11, 16, 20, 14, 16 11, 14, 16, 16, 16, 20 18, 19, 29
5.5 34 21, 25, 34,
11, 12, 13, 18, 12, 14, 11 11, 11, 12, 12, 13, 14, 18
3.5 52 47
29, 18, 19, 21, 18, 29, 19 18, 18, 19, 19, 21, 29, 29 ไม่มี
5.5 45
25, 21, 34, 25, 47, 74, 21, 21, 21, 25, 25, 34, 34, 47, ไม่มี

47, 34, 75 47, 74, 75

35, 76, 52, 76, 52, 35 35, 35, 52, 52, 76, 76

76, 45, 69, 28, 32, 45, 76, 28, 28, 32, 32, 45, 45, 69,

32, 69, 28 69, 76, 76

3. จากแผนภาพต้น – ใบ แทนความสูงของนกั เรียนกลุ่มหน่งึ มหี นว่ ยเป็นเซนติเมตร

14 2 4 5 6

15 1 1 2 3 5 8

16 0 0 0 1 3 7

17 0 1 1 2

1) นกั เรียนกลมุ่ น้ี มจี าํ นวน...............20.......................คน
2) ความสูงของนักเรยี นทส่ี งู ที่สุดคือ......172..........ความสงู ของนกั เรยี นทนี่ ้อยท่ีสดุ คือ......142........

3) ใหน้ กั เรยี นหามธั ยฐานของความสูงของนักเรียนกลมุ่ น้ี
ตาํ แหนง่ ของมัธยฐาน คอื ……10.5………………………..

ดงั น้ัน มัธยฐานของความสงู ของนักเรยี นกลุม่ น้ี คอื …………159 เซนติเมตร…………………
4) ให้นกั เรยี นฐานนยิ มของความสูงของนกั เรยี นกล่มุ น้ี

นกั เรียนสว่ นใหญ่มีส่วนสงู ......160.........เซนติเมตร มีนกั เรยี นจาํ นวน.....3.......คน
ดังนั้น ฐานนยิ มของความสงู ของนักเรียนกล่มุ น้ี คือ……160 เซนติเมตร………………………

4. จากแผนภาพตน้ – ใบ ของข้อมูลท่ีแสดงจาํ นวนเวลา (นาที) ที่นักเรียนใช้ทําแบบทดสอบจํานวน 100 ข้อ
ต่อไปนี้

4 158

5 23345

6 23345

7 11114

8 1389

9 000

1) นกั เรียนกลุ่มน้ี มีจาํ นวน............25.........................คน
2) เวลามากท่สี ดุ คือ...........90.....................นาที เวลานอ้ ยที่สดุ คือ............41....................นาที
3) ให้นักเรยี นหามธั ยฐานของข้อมูลชุดน้ี

ตาํ แหน่งของมัธยฐาน คอื ……………13………………………………..
ดังนน้ั มัธยฐานของข้อมูลชุดน้ี คือ………68 นาที………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 59

4) ให้นักเรียนฐานนิยมของความสงู ของนักเรียนกลุ่มน้ี
เวลาท่ีนักเรยี นสว่ นใหญ่ทาํ แบบทดสอบคือ.......71............นาที
มีนกั เรียนจาํ นวน..........4..........คน

ดังนนั้ ฐานนยิ มของข้อมูลชุดนี้ คือ………71 นาที………………………………

กจิ กรรม : ขอ้ สงั เกตและหลักเกณฑ์ในการ
ใช้คา่ กลางชนดิ ต่างๆ

มมุ ความรู้ ข้อสังเกตและหลักเกณฑ์ทสี่ ําคัญในการใช้ค่ากลางชนิดตา่ งๆ
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางท่ีไดจ้ ากการนาํ ทกุ ๆ คา่ ของข้อมลู มาเฉลี่ย มัธยฐาน

เป็นคา่ กลางท่ีใช้ ตําแหน่งท่ีของข้อมูล
และฐานนยิ มเป็นค่ากลางทไ่ี ด้จากข้อมลู ทม่ี ีความถ่ีมากทส่ี ุด
2. ถ้าในจาํ นวนข้อมลู ท้งั หมด มีข้อมูลบางค่าที่มีค่าสูงหรือตํา่ กวา่ ขอ้ มลู อน่ื ๆ มาก
จะมผี ลกระทบต่อค่าเฉล่ียเลขคณติ แตจ่ ะไมม่ ีผลกระทบต่อมธั ยฐานหรอื ฐาน
นิยม
3. มัธยฐานและฐานนยิ มใช้เม่ือต้องการทราบคา่ กลางของขอ้ มูลทั้งหมด
โดยประมาณและรวดเรว็
4. คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ไม่สามารถหาไดใ้ นกรณกี ารแจกแจงความถ่ีของข้อมูลมี อันตร
ภาคช้นั ชั้นใดช้นั หนึ่งเป็นอนั ตรภาคชนั้ ทมี่ ชี ่วงเปิด แต่สามารถหามัธยฐานและ
ฐานนิยมได้
5. การแจกแจงความถที่ ่ีมีความกว้างแตล่ ะอนั ตรภาคช้นั ไม่เทา่ กนั จะทาํ ให้ คา่ เฉล่ยี
เลขคณิตหรือฐานนยิ มคลาดเคลอ่ื น แตจ่ ะไม่กระทบต่อมัธยฐาน
6. ขอ้ มูลประเภทคุณภาพจะหาฐานนิยมได้ แต่ไม่สามารถหาค่าเฉลย่ี เลขคณิต หรือ

มธั ยฐานได้

1. ให้นักเรียนพจิ ารณาว่าข้อมูลที่กําหนดให้เหมาะกับค่ากลางชนิดใด แล้วเติมคําตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อ

ต่อไปน้ใี หถ้ กู ตอ้ ง

ข้อ ข้อมูลทีก่ ําหนด คา่ กลางที่เหมาะสม เหตผุ ล

1 34, 1, 23, 80, 9 มธั ยฐาน ขอ้ มูลมีความแตกต่างกนั มาก

2 คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คาํ นวณจากขอ้ มลู ทกุ ค่า

3 อาชพี ของผู้ปกครองนกั เรียน ฐานนิยม เป็นขอ้ มลู เชิงคณุ ภาพ

4 รายได้ของผู้ปกครองนักเรียน คา่ เฉล่ยี เลขคณิต คาํ นวณจากข้อมลู ทกุ คา่

5 71, 83, 85, 86, 90, 88, 88, 78 ค่าเฉลยี่ เลขคณติ คํานวณจากขอ้ มลู ทกุ คา่

6 2, 19, 70 8, 35, มัธยฐาน ข้อมูลมคี วามแตกตา่ งกนั มาก

7 ข้อมลู เก่ยี วกับเบอรร์ องเทา้ ฐานนยิ ม เป็นขอ้ มูลเชิงคณุ ภาพ

8 นํา้ หนกั ของนกั เรยี นชน้ั ม.4/2 คา่ เฉลย่ี เลขคณติ คาํ นวณจากข้อมูลทกุ ค่า

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 60

2. ให้นักเรียนบอกข้อดี ขอ้ เสยี ของ คา่ เฉลีย่ เลขคณติ มัธยฐาน และฐานนิยม

ชนิดของค่ากลาง ขอ้ ดี ข้อเสยี

1. …คาํ…น…ว…ณ…ไ…ดง้…า่ …ย…แ…ล…ะส…า..ม..า..ร...ถ..ใ..ช..้.. 1. …ใช…้เ…ฉพ…า…ะ…ข…้อ…มูล…ป…ร…ะ…เภ.…ทเ…ช…ิง…….
…เค…ร…ื่อ…งค…ดิ …เล…ข…ช…่ว…ยใ…น…ก…าร…ค…าํ …น…วณ….ไ…ด.้ …ป…ร…ิมา…ณ…เ…ท…า่ น…ัน้ …………………..…………
2. …ใช…้ข…้อ…ม…ลู …ท…ุกต…ัว…………….…………. 2. …ค…า่ ท…ี่ค…ํา…น…วณ……ได…้ ไ…ม…จ่ …ําเ.ป…น็…ต…้อ…ง….
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ………………………………………………….. …เป…น็…ค…า่ …ข…อง…ข…อ้ …ม…ูลต…ัว…ใ…ด…ตวั…ห..น…ึ่ง………
x 3. …เป…็น…ท…ีแ่ …พ…รห่…ล…า…ย…แ…ล…ะ…สว่…น…….…. 3. …ถ…า้ ม…ีค…่า…ข…อง…ข…้อ…ม…ูลท…ี่แ…ต.…กต…่า…ง…ก…นั .

…ให…ญ…ใ่ …ช…เ้ ป…็น…ค…า่ …กล…า…ง…ขอ…ง…ข…้อ…มูล…….… …ม…าก……จ…ะม…ีผ…ล…ต…่อ…คา่…เ…ฉล…ยี่ …เล…ข..ค…ณ……ิต…
…ข…อ…งข…้อ…ม…ลู …ช…ุดน…้ี ………………..…………

มัธยฐาน 1. …ห…า…ได…จ้ …าก…ก…า…รน…าํ…ข…อ้ …ม.ูล..ท...ัง้..ห...ม..ด.... 1. …ใช…เ้ …ฉพ…า…ะ…ข…้อม…ูล…ป…ร…ะ…เภ.ท...เ..ช..งิ.........
 Me  …ม…า…จดั…ล…ํา…ด…บั …จา…ก…น…้อ…ยไ…ป…ม…าก…ห…ร…อื .…. …ป…รมิ…า…ณ…เ…ท…่าน…้นั ………………………….….
…ม…า…กไ…ป…น…อ้ …ย…………………………….…. 2. …ถ…า้ ข…้อ…ม…ูล…ม…ีจาํ…น…ว…น…ม…าก….………….
2. …ถ…า้ จ…าํ …น…ว…นข…อ้ …ม…ลู …เป…น็ …จ…ํา.น…ว…น…ค…่ี . …ก…า…รจ…ัด…เร…ยี …งข…้อ…ม…ูล…จ…ะ…ท…าํ ไ…ด…ล้ …ําบ…า…ก..
…ค…่า…มธั…ย…ฐ…าน…จ…ะ…เป…น็ …ค…่า…ขอ…ง…ข…้อ…ม…ูล….. 3. …ถ…้าจ…าํ …น…ว…นข…อ้…ม…ูล…เป…น็ …จ…ํา…น…วน…ค.…ู่ .

…ค…า่ …มธั…ย…ฐ…าน…จ…ะ…ไม…ใ่ …ช…ค่ …่าข…อ…ง…ข้อ…ม…ลู ..…

ฐานนิยม 1. …ใช…้ไ…ดก้…ับ…ข…้อ…ม…ูลเ…ช…ิงป…ร…ิม..า..ณ....แ..ล..ะ..... 1. …คา่…ท…ีไ่ …ดง้…่า…ย…มัก…จ…ะ…ไม…ค่ …อ่ .ย...ม..ี...........
Mod  …เช…งิ …ค…ณุ …ภ…าพ……………………………….…. …ค…วา…ม…ห…ม…าย…ถ…้า…ข…้อม…ูล…ม…จี …าํ น…ว…น…น…อ้ .ย….
2. …ห…าไ…ด…้ไม…่ย…า…กโ…ด…ยก…า…ร…น…บั .จ…ํา…น…วน…. 2. อ…า…จ…จ…ะม…ีฐ…า…นน…ยิ…ม…ม…า…กก…ว.…่าห…น…่งึ …ค.่า
…ข…อ้ ม…ูล…ท…เ่ี …กดิ…ข…ึ้น…ม…า…กค…ร…งั้ …ทสี่…ดุ ………….. …………………………………………………..
3. …หา…ไ…ด…้ง่า…ย…จ…าก…ต…า…รา…ง…แจ…ก…แ…จ…ง.…. 3. ข…้อ…ม…ลู …บ…าง…ช…ุด…อ…าจ…จ…ะ…ไม…่ม…ี …….….
…ค…วา…ม…ถ…่ี แ…ผ…น…ภ…ูม…ิแท…่ง…ฯ…ล…ฯ………….… …ฐา…น…น…ิย…ม………………………………….…

With MATH, The Possibilities Are Infinite.

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 61

แบบฝึกเสรมิ : การวดั คา่ กลางของข้อมูล

1. การหาคา่ เฉล่ียเลขคณิต

มุมความรู้ ลักษณะข้อมูล สตู ร

ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ n

X  X1  X2   Xi
n Xn 
i1

n

ไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี n
คิดแบบถว่ งน้ําหนัก
X  w1X1  w2 X 2   wn X n  wi Xi
w1  w2 
i1

 wn n

wi

i1

Xi คอื ขอ้ มลู ตวั ท่ี i, wi คือน้าํ หนักของขอ้ มลู ตัวท่ี i

ค่าเฉลย่ี เลขคณิตรวม k

X  n1X1  n2 X 2   nk X k  ni Xi
n1  n2   nk
i1
k

ni

i1

Xi คอื คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมูลชดุ ท่ี i,

ni คือจํานวนข้อมูลชุดที่ i จากทงั้ หมด k ชดุ

แจกแจงความถี่ k

X  f1X1  f2 X 2   fk X k  i1 fi Xi
f1  f2   fk n

Xi คือจุดกง่ึ กลางชนั้ ท่ี i, fi คือความถ่ขี องข้อมลู ตวั ที่ i

2. มัธยฐาน คือ คา่ ทอี่ ยู่ตรงกลางจากข้อมลู ทีเ่ รยี งแล้ว

3. ฐานนยิ ม คือ ข้อมูลที่มีความถีเ่ ยอะท่สี ุด

1. ให้นกั เรียนหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิต มธั ยฐาน ฐานนิยม ของข้อมูลตอ่ ไปนี้
1) 1, 3, 3, 3, 5
ค่าเฉล่ียคือ..........3................. มัธยฐานคือ...........3................ ฐานนิยมคือ........3...................
2) 1, 1, 2, 5, 6
คา่ เฉลยี่ คอื ..........3................. มัธยฐานคอื ...........2................ ฐานนิยมคือ........1...................
3) 1, 1, 1, 2, 5
คา่ เฉลี่ยคือ..........2................. มัธยฐานคือ...........1................ ฐานนิยมคือ........1...................
4) 1, 1, 3, 5, 10
คา่ เฉลย่ี คอื ..........4................ มัธยฐานคอื ...........3................ ฐานนิยมคือ........1...................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 62

2. ให้นกั เรยี นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ต่อไปนี้
1) 10, 20, 30, 40, 50, … , 100
เฉลย x  100 10  55

2

2) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … , 97
เฉลย x  97 1  49

2

3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดหนึ่งซ่ึงประกอบด้วยข้อมูล 7 ข้อมูล มีค่า 81 ถ้าตัดข้อมูลออกไป 1 ข้อมูล
ทําให้คา่ เฉลย่ี ของขอ้ มูลชุดนเ้ี หลือ 78 ข้อมลู ทถ่ี กู ตัดออกไปมีคา่ เทา่ ใด
………x…1 ……81…,……n…1 ……7…, …x…2……7…8…,……n…2 ……6………………………………………………………………………………
………………………………………………7………………………………………7 ………………………………………………………

………………………ห………า………i………71………x………i จ………ะ………ได………้ว………า่ ………………x………1………………………i………n11………xi………………………………………………………………78………1………………………i………17………x………i ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………x…i ……8…1…7………5…67…………………………………………

………………………………………………………………………i…1……………………………………………………………………
………ห…าค…า่ …ข…อง…ข…้อ…ม…ูลท…่ถี…กู …ต…ัด…อ…อก…ไ…ป…กํา…ห…น…ด…ให…้เ…ป…็น…a……………………………………………………………………

………………………………………………………x………2 ………………………i6………16………xi………………………i71………n1x………i………1………a………………………………………………………………………………………………7………8………………………5………67………6………a…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………78……6………56…7……a………………………………………
………………………………………………………………………………………a……9…9………………………………………………
………ด…ัง…น้นั……ข…อ้ …มูล…ท…ี่ถ…ูก…ต…ดั อ…อ…ก…ไป…ม…คี …่า…เท…า่ …ก…บั …9…9…………………………………………………………………………

4. จากการสอบและความสําคัญของระยะเวลาการเรียนท้ังหมด 5 วิชา ของนักเรียนคนหนึ่งดังข้อมูลใน

ตาราง ใหน้ ักเรียนหาคะแนนเฉลยี่ ของการสอบทัง้ 5 วิชา ของนักเรียนคนน้ี

วิชาทส่ี อบ คะแนนท่สี อบได้ เวลาเรียนใน 1 สัปดาห/์ xi wi
หนว่ ยเป็นชวั่ โมง

คณติ ศาสตร์ 60 6 360

วทิ ยาศาสตร์ 75 4 300

ภาษาองั กฤษ 60 10 600

ภาษาไทย 82 5 410

สงั คมศึกษา 68 5 340

6 6

 wi  30  xiwi  2010

i1 i1

x  2010  67
30

ดังนัน้ คะแนนเฉล่ยี ของการสอบทั้ง 5 วชิ าของนักเรยี นคนนี้ คอื 67 คะแนน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 63

5. บริษัทแห่งหนึง่ จาํ แนกลูกจ้างเปน็ 2 กล่มุ คือ คนงานและพนักงาน โดยทค่ี นงานมีค่าจ้างรายวันเฉลี่ย 120
บาทต่อคน พนักงานมีค่าจ้างรายวันเฉล่ีย 440 บาทต่อคน ถ้าจํานวนคนงานเป็น 3 เท่าของจํานวน
พนักงาน แลว้ ลูกจา้ งของบริษัทแหง่ นม้ี คี ่าจา้ งรายวันเฉลี่ยก่ีบาทตอ่ คน
…………………………x……tot……al………………n1……xn11…………nn……22……x2………………3……n……2 …… ……13……2n0……2 …………nn2……2…… 4……4……0…… …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………36…0…n…2 ……4…40…n…2……8…0…0…n2…………………………………………………………………………………
………………………………3n…2……n…2……………4…n…2 …………………………………………………………………………………
…………………………20…0…………………………………………………………………………………………………………………
……………ดงั…น…นั้ …ล…กู …จ…้า…งข…อ…ง…บร…ิษ…ัท…แ…ห…่งน…ีม้…คี …า่ …จ…้าง…ร…าย…ว…ัน…เฉ…ล…ี่ย…2…0…0…บ…า…ท…ตอ่…ค…น…………………………………

6. จากแผนภาพต้น – ใบ แสดงนํ้าหนักสมั ภาระ (กโิ ลกรัม) ของผู้โดยสารเครอ่ื งบินกลุ่มหนึ่ง จํานวน 25 คน

0 67

1 93466

2 00122247

3 3581321

4 112

จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานน2ยิ 5มของนา้ํ หนักสัมภาระของผู้โดยสารกล่มุ นี้

………………1…….……ห……า……ค่า……เ……ฉล……่ยี ……เล……ข……ค……ณ……ิต…………จะ……ไ……ด้……x………………i……1……xi………………62……6………………25…….……04…………………………………………………………………………………………………………

……………ด…งั …น้นั……ค…่าเ…ฉ…ล่ีย…เ…ล…ขค…ณ…ติ…ข…อ…ง…น…้าํ ห…น…nกั …ส…มั …ภา…2ร…ะ5…ขอ…ง…ผ…โู้ ด…ย…ส…าร…ก…ล…ุม่ …น…ี้ ค…อื …2…5….0…4…ก…โิ ล…ก…ร…ัม………
………………………2……….………ดห………งัาน………มั้นธั………ย………มฐ………ัธายน………ฐ………าต………นาํ แข………หอ………งน………นง่ ………้าํขห………อนง………มกั ………ธัส………ยัมฐ………ภา………านร………ะ………2ข5………อ2ง………ผ1………โู้ ด………ย………1ส3………า………รก………ล………ุ่ม………น………้ี ค………ือ………2………2………ก………ิโ………ล………กร………มั ………………………………………………………………………………
………3….…ห…าฐ…า…น…น…ยิ ม……………………………………………………………………………………………………………………
……………ดงั…น…ั้น…ฐ…า…น…น…ยิ ม…ข…อ…ง…น…ํ้าห…น…ัก…ส…ัม…ภา…ร…ะ…ขอ…ง…ผ…ู้โด…ย…ส…าร…ก…ล…ุ่ม…น…ี้ ค…อื …2…2…ก…ิโ…ลก…ร…ัม…………………………
7.

0 336999

1 2267

2 0225789

3 15

4

5 46

6

7

8

99

10 0

1) จากข้อมูลท่ีนําเสนอโดยแผนผังต้น – ใบ ข้างต้น อยากทราบว่า ควรใช้ค่ากลางชนิดใดเพื่อเป็นตัว
แทนท่ดี ีของขอ้ มูลชุดน้ี พร้อมทง้ั ให้เหตผุ ลประกอบคาํ ตอบ
………ค…ว…ร…ใช…้ …มัธ…ย…ฐ…าน……เพ…ร…า…ะข…้อ…ม…ูล…ม…ีค่า…แ…ต…ก…ตา่…ง…ก…ันม…า…ก……………………………………………………………

2) ใหน้ ักเรยี นหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของ มธั ยฐานและฐานนยิ มของขอ้ มูลชุดนี้
………………คา่…เ…ฉล…่ีย…เ…ลข…ค…ณ…ิต……คือ……2…8 …ม…ัธย…ฐ…า…น…ค…อื …2…2…ฐ…า…น…นยิ…ม……คือ……9………………………….……………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 64

กิจกรรม : พสิ ัย

มมุ ความรู้ พิสัย คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายที่ได้จากผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสูงสุด
และข้อมูลที่มีค่าต่าํ สุด นนั่ คือ

พสิ ยั = ค่าสูงสุด - คา่ ตํ่าสุด

1. ให้นักเรียนหาพิสยั ของขอ้ มูลตอ่ ไปนี้
1) 5, 15, 11, 17, 13, 7, 9
ข้อมลู ทมี่ ีค่าสูงสุด คือ........17................ ข้อมูลที่มีค่าต่ําสดุ คือ........5................
ดงั นน้ั พิสยั ของข้อมูลชดุ นี้ เท่ากบั .......17 – 5 = 12...........................................
2) 5, 17, 11, 5, 17, 5, 17
ขอ้ มลู ท่มี คี า่ สูงสดุ คือ........17................ ข้อมูลที่มีค่าต่ําสดุ คือ........5................
ดังนั้น พิสยั ของข้อมลู ชุดน้ี เทา่ กบั .......17 – 5 = 12...........................................
3) 60, 64, 56, 70, 52, 63
ขอ้ มลู ที่มีค่าสงู สุด คือ........70................ ข้อมูลที่มีค่าต่ําสดุ คือ........52................
ดังน้นั พสิ ยั ของขอ้ มลู ชุดน้ี เท่ากบั .......70 – 52 = 18...........................................

2. จากตารางแสดงคะแนน 5 วชิ าจากการสอบ 2 ครงั้ ของนกั เรยี นคนหน่ึงดงั น้ี

วชิ าท่ี 1 2 3 4 5

คร้งั ที่ 1 20 30 25 35 28
คร้ังท่ี 2 40 45 39 50 49

จงหาพิสัยและเปรียบเทยี บการกระจายของการสอบ 2 ครั้ง
วิธที าํ สอบครง้ั ที่ 1 มคี ะแนนสงู สดุ คอื ........35.......................... คะแนนตํ่าสดุ คอื ………20……………………

ดังนนั้ พิสัยของการสอบคร้ังท่ี 1 เท่ากับ……35 – 20 = 15……………………………………………….คะแนน
สอบครัง้ ที่ 2 มคี ะแนนสูงสดุ คอื ........50.......................... คะแนนตํ่าสดุ คือ………39……………………
ดงั น้ัน พิสัยของการสอบคร้งั ที่ 2 เทา่ กับ……50 – 39 = 11……………………………………………….คะแนน
สรปุ ได้วา่ ..พ...ิส..ัย..ข...อ..ง..ก...า..ร..ส..อ..บ...ค...ร..ั้ง..ท..่ี..1...ม...ีม..า..ก...ก..ว..า่..พ...สิ...ัย..ข...อ..ง..ก..า..ร..ส...อ..บ...ค..ร..้ัง..ท...ี่ .2.............................................
………………ฉ…ะ…น…ั้น…ก…าร…ส…อ…บ…คร…งั้ …ท…ี่ 1…ม…ีก…า…รก…ร…ะ…จา…ย…ข…อ…งค…ะ…แ…น…นส…อ…บ…ม…า…กก…ว…า่ …ก…าร…ส…อ…บ…คร…้ัง…ท…ี่ 2……………
3. ข้อมูลชดุ หนง่ึ เรยี งจากนอ้ ยไปหามากเปน็ ดงั น้ี 98, 100, 101, 104, a, 109, 110, 111, b
ถ้าพิสยั และคา่ เฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ น้เี ทา่ กบั 14 และ 106 ตามลาํ ดบั
แลว้ a และ b มคี า่ เทา่ กับเท่าใด
…จ…าก……พ…ิสยั……=…ค…่า…สงู…ส…ุด…–…ค…่า…ต…าํ่ ส…ุด……จะ…ไ…ด้ว…า่ …1…4…=……b…–…9…8…น…น่ั…ค…ือ…b……=…1…1…2…………………………………
……จ……าก…………x…………1……0……6……จ……ะไ……ด……้ว่า………………1……06………………8……45……9…………a ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………9…5…4 ……8…45………a …………………………………………………………………………………
……………………………………………a……1…09…………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 65

มมุ ความรู้ กิจกรรม : ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานและ
ความแปรปรวน

การหาค่าสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของประชากร แทนด้วย 

N

 xi   2

  i1
N

xi คอื ขอ้ มลู ตัวที่ i,  คือคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของประชากร
การหาค่าสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวอย่าง แทนด้วย s

n

 xi  x 2

s  i1
n 1

xi คือขอ้ มลู ตัวท่ี i, x คือค่าเฉลยี่ เลขคณิตของตวั อย่าง
การหาค่าความแปรปรวน

ความแปรปรวน = ค่าส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 2
ความแปรปรวนของข้อมลู ประชากร เขยี นแทนดว้ ย  2
ความแปรปรวนของข้อมลู ตวั อย่าง เขียนแทนด้วย s2

สมบตั ิที่สาํ คัญของส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน

 ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานมคี ่าเป็นบวกเสมอ

 การคํานวณหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ถ้าเปล่ยี นค่าเฉลย่ี เลขคณติ เปน็ คา่ กลาง

แบบอนื่ ๆ จะได้ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานที่มากกว่าเดิม

 ถ้ามีข้อมลู 2 ชุด ประกอบด้วยขอ้ มูล N1 และ N2 จํานวน มคี า่ เฉลย่ี เลขคณิต

เท่ากัน แต่มีความแปรปรวนเปน็ 12 และ  2 สําหรบั ข้อมูลชดุ ท่ี 1 และ 2
2

ตามลําดบั ความแปรปรวนของข้อมูลทงั้ สองชดุ เทา่ กับ N112  N2 2
2

N1  N2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 66

1. ให้นักเรียนหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน   และความแปรปรวน 2  ของขอ้ มลู 6, 12, 9, 10, 6, 8

N
 xi   2
วิธที ํา จากสูตร .......  i1 ..........
N

หาค่าเฉล่ยี ของขอ้ มลู   ..........   51  8.5 .............……………………………….………………

6

หาค่า 6  และ 6   2 ไดด้ งั น้ี

 xi  xi
i1 i1

xi xi    xi   2

6 6 – 8.5 = -2.5 6.25

12 12 – 8.5 = 3.5 12.25

9 9 – 8.5 = 0.5 0.25

10 10 – 8.5 = 1.5 2.25
6 6 – 8.5 = -2.5 6.25

8 8 – 8.5 = -0.5 0.25

รวม 27.5

จะได้ 6   2 = ………27.5…………………………

 xi
i1

ทําให้ได้ว่า   27.5  4.583  2.14 ……………………………………………………………….

6

ดงั นั้น สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน   ของขอ้ มูลชุดนีค้ อื .......2.14......................................

ความแปรปรวน 2  ของข้อมูลชุดนี้คือ....................4.58......................................

2. ให้นักเรียนหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของบุตรในครอบครัวหน่ึง ดังนี้ 7, 9,
11, 15, 18

n
 xi  x 2
วิธที ํา จากสูตร ....... s  i1 ..........
n 1

หาค่าเฉลีย่ ของข้อมูล  x  .......... x  60 12.............……………………………….………………

5

ดงั นัน้ คา่ เฉลยี่ ของขอ้ มลู  x  เทา่ กับ..................................................................... ..

หาคา่ 5 x และ 5  x 2 ได้ดังน้ี

 xi  xi
i1 i1

xi xi  x  xi  x 2

7 7 – 12 = -5 25

9 9 – 12 = -3 9

11 11 – 12 = -1 1

15 15 – 12 = 3 9

18 18 – 12 = 6 36

รวม 80

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 67

จะได้ 5  x 2 = ……80……………………………

 xi
i1

ทาํ ให้ไดว้ า่ s  80  20  4.47 ………………………………………………………………………………………….

4

ดังนน้ั สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ น้คี ือ.......4.47......................................

ความแปรปรวนของขอ้ มลู ชุดนีค้ ือ....................20.........................................

3. ให้นักเรียนหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของคะแนนผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของ
นกั เรียนกลมุ่ หนึง่ จํานวน 10 คน ดังน้ี 87, 61, 75, 77, 85, 92, 83, 73, 65, 58

n
 xi  x 2
วธิ ที ํา จากสูตร ......... s  i1 .................................
n 1

หาค่าเฉลีย่ ของขอ้ มูล  x  .......... x  756  75.6.............……………………………….………………

10

หาค่า 10 x และ 10  x 2 ไดด้ ังนี้

 xi  xi
i1 i1

xi xi  x  xi  x 2

87 87 – 75.6 = 11.4 129.96

61 61 – 75.6 = -14.6 213.16

75 75 – 75.6 = -0.6 0.36

77 77 – 75.6 = 1.4 1.96

85 85 – 75.6 = 9.4 88.36

92 92 – 75.6 = 16.4 268.96

83 83 – 75.6 = 7.4 54.76

73 73 – 75.6 = -2.6 6.76

65 65 – 75.6 = -10.6 112.36

58 58 – 75.6 = -17.6 309.76

รวม 1186.4

จะได้ 5  x 2 = ………1186.4…………………………

 xi
i1

ทําให้ไดว้ ่า s  1186.4  131.82 11.48 …………………………………………………………………………….

9

ดงั นั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดน้ีคอื .......11.48......................................

ความแปรปรวนของขอ้ มลู ชดุ นค้ี ือ...................131.82.........................................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 68

กจิ กรรม : ลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู

1. ใหน้ ักเรียนสืบคน้ ข้อมูลเกี่ยวกบั “ลกั ษณะการกระจายของข้อมลู ” พร้อมวาดภาพประกอบ
1.

การกระจายแบบ......สมมาตร.....
ลักษณะของการกระจาย คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม มีค่าเท่ากัน หรือ อยู่ท่ีจุด
เดยี วกันคอื จดุ ท่ีมคี วามถี่สงู สดุ

2.

การกระจายแบบ......เบ้ซา้ ย.....
ลกั ษณะของการกระจาย คือ ฐานนยิ มจะมคี ่ามากท่ีสุด รองลงมาเป็นมธั ยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะ
มีค่าน้อยทีส่ ุด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 69
3.

การกระจายแบบ......เบ้ขวา.....
ลกั ษณะของการกระจาย คือ ค่าเฉลย่ี เลขคณติ จะมคี ่ามากทส่ี ุด รองลงมาเปน็ มัธยฐาน และฐานนยิ ม

มมุ ความรู้ The 95% rule
กล่าววา่ โดยท่ัวไป ไม่วา่ ข้อมูลจะมกี ารกระจายในลักษณะใด จะมีข้อมูล

อย่ใู นช่วง x  2s, x  2s ประมาณ 95% ของข้อมลู ทั้งหมด

จาก “The 95% rule” จะไดว้ า่ พสิ ัยมีคา่ ประมาณ 4 เท่าของส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

นั่นคอื ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน  ค่าพสิ ยั
4
2. ใหน้ กั เรียนประมาณส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานจากพิสัย ของข้อมูลต่อไปน้ี

ข้อ ขอ้ มูล พิสัย สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานโดยประมาณ

1 2, 5, 3, 7, 3 7–2=5 5  1.25
2 15, 13, 11, 9, 7, 5 15 – 5 = 10 4
3 80, 89, 95, 86, 88, 76, 74 95 – 74 = 21 10  2.5
4 8, 21, 9, 15, 6, 7, 3, 14, 17, 10 21 – 3 = 18 4
5 101, 115, 114, 99, 106, 112, 116 116 – 99 = 17 21  5.25
4
18  4.5
4
17  4.25
4

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 70

แบบฝึกเสริม : การวดั การกระจายของข้อมลู

1. ข้อมูลชุดหน่ึง มีค่ากึ่งกลางพิสัยเท่ากับ 40 และค่าพิสัยเท่ากับ 20 ดังนั้นค่าต่ําสุดและค่าสูงสุดของข้อมูล
ชดุ นเี้ ท่ากับเท่าใด

เฉลย จากโจทย์ ค่ากึง่ กลางพิสัย = xmax  xmin  40 , xmax  xmin  20

2

จะไดว้ า่ xmax  xmin  80 ..............(1)

และ xmax  xmin  20..............(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ xmax  50 และ xmin  30

ดังน้ัน คา่ ตํา่ สุดและคา่ สงู สดุ ของข้อมูลชุดน้ี คอื 30 และ 50 ตามลําดับ

2. ในการสอบครงั้ หน่งึ มีผเู้ ข้าสอบ 3 คน ปรากฏวา่ ค่าเฉลี่ยเลขคณติ เท่ากับ 67

มัธยฐานเท่ากบั 65 และพิสัยเท่ากบั 16 คะแนนสอบสูงสดุ ของผ้เู ขา้ สอบเทา่ กบั เท่าใด

เฉลย สมมติให้ คะแนนสอบของผู้เข้าสอบทง้ั 3 คนเรยี งจากมากไปนอ้ ย คอื x1, x2, x3

จากโจทย์ x  x1  x2  x3  67
3

x1  x2  x3  201 ..............(1)

มธั ยฐานเทา่ กับ 65 จะได้ว่า x2  65 ..............(2)

พิสยั เทา่ กบั 16 จะไดว้ า่ x3  x1 16

x1  x3 16 ..............(3)

นํา (2) และ (3) แทนใน (1) จะไดว้ า่ x3 16  65 x3  201

x3  76

ดังน้ัน คะแนนสอบสงู สดุ ของผเู้ ขา้ สอบเทา่ กบั 76 คะแนน

3. ใหน้ ักเรียนประมาณส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานจากพิสัย และหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานโดยการคํานวณจาก

สูตร ของข้อมูลต่อไปน้ี

1. 20, 35, 27, 31, 37

2. 1, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 5, 4, 3, 2

3. 42, 45, 48, 48, 54, 60, 64, 70, 74, 75

เฉลย

1) x  150  30 , พิสยั = 37 – 20 = 17

5

ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานโดยใช้การประมาณพิสัย

จะได้ s  17  4.25

4

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานโดยใช้สูตร

จะได้ s  100  25  9 1 49  36.8  6.07

5

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 71

2) x  33  3, พสิ ยั = 6 – 1 = 5

11

สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้การประมาณพสิ ัย
จะได้ s  5 1.25

4

สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้สูตร

จะได้ s  4  0 1 4 1 9 1 4 1 0 1

11

 2.36 1.54

3) x  580  58 , พสิ ยั = 75 – 42 = 33

10

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานโดยใชก้ ารประมาณพสิ ัย
จะได้ s  33  8.25

4

ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานโดยใชส้ ูตร

จะได้ s  256 169 100 100 16  4  36 144  256  289

10

 137 11.70

4. ถ้าคะแนนสอบของนกั เรยี น 10 คน ทมี่ คี ะแนนเต็ม 25 คะแนน เปน็ ดงั นี้
20 20 19 21 21 18 20 22 23 17

1. ใหน้ ักเรยี นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ น้ี
2. ถา้ ข้อมูลชุดน้มี ีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตและมธั ยฐานเทา่ กัน ข้อมูลชดุ น้ีควรจะมีการกระจายในลกั ษณะใด
เฉลย
1) x  201  20.1

10

s  0.01 0.011.21 0.81 0.81 4.41 0.01 3.61 8.41 9.61
10

 28.9  1.7
10

ดงั นนั้ ข้อมูลชดุ นี้ มีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเทา่ กับ 20.1 และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานมีคา่ ประมาณ 1.7
2) ถา้ ขอ้ มูลชุดนม้ี คี ่าเฉลย่ี เลขคณติ และมธั ยฐานเทา่ กนั ข้อมูลชุดน้คี วรมกี ารกระจายแบบสมมาตร

With MATH, The Possibilities Are Infinite
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 72

แผนผงั ความคดิ เรอ่ื ง “การวเิ คราะห์ขอ้ มลู เบ้อื งต้น”

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 73

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5
รหัสวชิ า ค 33201

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 74

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 5 คําอธิบายรายวชิ า รหัสวชิ า ค33201
ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นท่ี 1 4 ชวั่ โมง/สัปดาห์
80 ชัว่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกติ

ศึกษาและฝึก ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเช่ือมโยง
คณติ ศาสตร์กบั ศาสตรอ์ ื่น ๆ และมคี วามคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ในสาระต่อไปน้ี

การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น การวัดค่ากลางของข้อมูล ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม
ค่าเฉลยี่ เรขาคณติ และค่าเฉลย่ี ฮารโ์ มนิก การวัดตาํ แหนง่ ทห่ี รอื ตาํ แหนง่ สมั พทั ธ์ของข้อมูล การวัดการกระจายของ
ข้อมลู ไดแ้ ก่ การวดั การกระจายสัมบูรณ์ การวดั การกระจายสัมพทั ธ์ ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถี่ ค่า
กลาง และการกระจายของขอ้ มูล

การแจกแจงปกติ คา่ มาตรฐาน การแจกแจงปกติและเส้นโคง้ ปกติ
ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ระหว่างข้อมูล การวเิ คราะหค์ วามสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล แผนภาพ
การกระจาย การประมาณค่าของค่าคงตัวโดยใช้วิธีกําลังสองน้อยท่ีสุด ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ใน
รูปอนกุ รมเวลา
การจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพอื่ ใหม้ คี วามรคู้ วามเขา้ ใจในเนื้อหา มที ักษะการแก้ปัญหา การให้เหตุผลและนําประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีท่ีได้ไปใช้ในชีวิตประจําวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกิจพอเพียง รวมท้ังให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซื่อสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง
มุง่ มน่ั ในการทาํ งาน รกั ความเปน็ ไทยและมจี ิตสาธารณะ

การวัดและประเมนิ ผล ใชว้ ธิ ีการหลากหลายตามสภาพเป็นจรงิ ตามมาตรฐานและตัวช้ีวดั ที่กําหนด

ผลการเรียนรู้
1. เลือกวิธวี เิ คราะหข์ ้อมูลเบ้ืองต้นและอธิบายผลการวิเคราะห์ของข้อมูลได้ถูกต้อง
2. นาํ ความรเู้ รอ่ื งการวิเคราะหข์ ้อมลู ไปใชไ้ ด้
3. นาํ ความรเู้ รอ่ื งคา่ มาตรฐานไปใชใ้ นการเปรยี บเทียบข้อมูลได้
4. หาพ้นื ทีใ่ ต้เส้นโค้งปกตแิ ละนําความร้เู กีย่ วกับพ้ืนทใี่ ต้เสน้ โค้งปกตไิ ปใชไ้ ด้
5. เข้าใจความหมายของการสรา้ งความสมั พันธเ์ ชงิ ฟังก์ชันของข้อมลู ที่ประกอบด้วยสองตัวแปร
6. สรา้ งความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชนั ของขอ้ มูลท่ีประกอบดว้ ยสองตัวแปรที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา โดยใช้
เครื่องคํานวณ
7. ใชค้ วามสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชันของขอ้ มูลพยากรณค์ ่าตวั แปรตามเม่อื กาํ หนดตัวแปรอิสระให้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 75

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 5 หน่วยการเรยี นรู้ รหสั วชิ า ค33201
ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 4 ช่วั โมง/สปั ดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรียน ภาคเรยี นท่ี 1
2.0 หน่วยกิต

ช้ันเรยี น/ภาคเรยี น หนว่ ยการเรยี นรู้/สาระการเรยี นรู้ จํานวนช่ัวโมง
ม.6 1. การวิเคราะห์ขอ้ มูลเบ้ืองตน้ 40
ภาคเรียนท่ี 1 1.1 การวดั คา่ กลางของข้อมูล
- คา่ เฉลี่ยเลขคณิต 8
- มัธยฐาน 32
- ฐานนยิ ม 80
- คา่ เฉลีย่ เรขาคณติ
- ค่าเฉล่ยี ฮาร์โมนกิ
1.2 การวัดตําแหน่งทหี่ รือตําแหนง่ สัมพัทธ์ของข้อมลู
1.3 การวดั การกระจายของข้อมูล
- การวัดการกระจายสัมบูรณ์
- การวัดการกระจายสัมพัทธ์
- ความสัมพันธร์ ะหวา่ งการแจกแจงความถ่ี คา่ กลาง และ
การกระจายของขอ้ มลู
2. การแจกแจงปกติ
2.1 ค่ามาตรฐาน
2.2 การแจกแจงปกติ และเส้นโค้งปกติ
3 ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ระหว่างขอ้ มลู
3.1 การวเิ คราะหค์ วามสัมพันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ระหว่างข้อมลู
3.2 แผนภาพการกระจาย
3.3 การประมาณคา่ ของคา่ คงตวั โดยใช้วิธกี ําลังสองนอ้ ยท่ีสุด
3.4 ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังกช์ ันของขอ้ มลู ทีอ่ ยู่ในรูปอนุกรมเวลา
รวม

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 76

รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 5 โครงสร้างรายวชิ า รหสั วิชา ค33201
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 6 4 ช่วั โมง/สัปดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน ภาคเรียนที่ 1
2.0 หน่วยกติ

ลาํ ดับ ช่ือ ผลการเรียนรู้ สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง เวลา นา้ํ หนัก
ที่ หน่วยการเรียนรู้ (ช่ัวโมง) คะแนน
การวัดคา่ กลางของขอ้ มลู ไดแ้ ก่
1 การวิเคราะห์ข้อมูล 1. เลอื กวธิ วี เิ คราะหข์ อ้ มลู ค่าเฉลย่ี เลขคณติ มัธยฐาน 40 50
ฐานนิยม ค่าเฉลย่ี เรขาคณิต และ
เบอ้ื งต้น เบ้อื งต้นและอธบิ ายผลการ ค่าเฉลย่ี ฮาร์โมนกิ การวดั ตาํ แหนง่ ท่ี 8 10
หรอื ตําแหนง่ สัมพทั ธ์ของขอ้ มลู การ 40
วิเคราะหข์ องขอ้ มลู ได้ วดั การกระจายของขอ้ มูล ได้แก่ การ
วดั การกระจายสมั บรู ณ์ การวัดการ 100
ถูกต้อง กระจายสัมพทั ธ์ ความสมั พันธ์
ระหว่างการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง
2. นําความรเู้ รื่องการ และการกระจายของขอ้ มูล
การแจกแจงปกติ ค่ามาตรฐาน การ
วเิ คราะหข์ ้อมลู ไปใชไ้ ด้ แจกแจงปกตแิ ละเสน้ โคง้ ปกติ

2 การแจกแจงปกติ 3. นําความรูเ้ ร่ืองคา่ มาตรฐาน ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ระหว่าง 32
ไปใชใ้ นการเปรียบเทียบ ข้อมูล การวเิ คราะหค์ วามสมั พันธเ์ ชงิ
ข้อมลู ได้ ฟงั กช์ นั ระหว่างข้อมลู แผนภาพการ
กระจาย การประมาณค่าของค่าคงตัว
4. หาพนื้ ท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติ โดยใชว้ ธิ กี ําลงั สองน้อยท่สี ดุ
และนําความรู้เกีย่ วกบั ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั กช์ ันของขอ้ มูลที่
พ้นื ทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติไปใช้ได้ อยู่ในรปู อนกุ รมเวลา

3 ความสัมพนั ธเ์ ชงิ 5. เข้าใจความหมายของการ 80
ฟังก์ชนั ระหว่าง สร้างความสัมพันธ์เชงิ
ข้อมลู ฟงั กช์ นั ของขอ้ มูลที่
ประกอบด้วยสองตวั แปร
6. สร้างความสมั พันธเ์ ชงิ
ฟงั กช์ นั ของข้อมูลที่
ประกอบด้วยสองตวั แปรท่ี
อยู่ในรูปอนุกรมเวลา โดย
ใช้เครื่องคาํ นวณ
7. ใช้ความสมั พันธ์เชงิ
ฟงั กช์ ันของขอ้ มลู
พยากรณ์คา่ ตัวแปรตาม
เม่อื กาํ หนดตัวแปรอสิ ระให้

รวมตลอดภาคเรยี น

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 77

บทที่ 1
การวเิ คราะหข์ ้อมลู เบอื้ งตน้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 78

กิจกรรม : มธั ยฐานหาอย่างไร
กรณแี จกแจงความถี่

คําช้แี จง 1. ตารางแสดงคะแนนจากการสอบย่อยวิชาสถติ ขิ องนักเรยี น 40 คน เป็นดังน้ี

คะแนน ความถี่ (f) ความถีส่ ะสม (cf)

38 - 40 2 1

35 - 37 5 4

32 - 34 10 11

29 - 31 12 23 Med

26 - 28 6 33

23 - 25 4 38

20 - 22 1 40

รวม 40

คาํ ถาม : ชวนคิด จงหามธั ยฐานของคะแนนสอบ

วธิ ที าํ 1) หาตาํ แหนง่ มัธยฐาน คอื ตาํ แหนง่ ที่ N  ...... 40  20 .......................................

22

2) หาอันตรภาคชัน้ ที่มมี ธั ยฐานอยู่
ถ้านาํ คะแนนสอบมาเรียงจากคะแนนนอ้ ยไปหาคะแนนมาก คะแนนที่อยู่ในตําแหน่งที่ 20 จะอยู่

ในอันตรภาคชั้น 29 – 31 แสดงว่ามัธยฐานจะต้องอยู่ในอันตรภาคช้ัน 29 – 31 (จากตารางแจกแจงความถี่ท่ี
กําหนดให้ ถ้าจะนําความถ่ีสะสมมาช่วยในการหาว่ามัธยฐานอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ต้องเรียงคะแนนจากคะแนน
น้อยไปหาคะแนนมากก่อนแล้วหาความถส่ี ะสม) ดงั น้ัน หาความถีส่ ะสมไดด้ งั ตารางขา้ งบน

3) หามัธยฐานโดยใชส้ ูตร Med  N  fL 
 fM 
จากขอ้ มูลในตาราง จะได้  L   2 I
แทนคา่ ในสูตร 



L  28.5, fL  11, fM  12 และ I  3

Med  28.5   20 11   3
 12 

 30.75

น่ันคอื มัธยฐานของคะแนนสอบยอ่ ยวชิ าสถติ เิ ท่ากับ........30.75...............คะแนน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 79

2. น้าํ หนกั ของนักเรียน 40 คน เป็นไปตามตารางแจกแจงความถด่ี ังนี้

นา้ํ หนกั (ปอนด์) ความถ่ี

118 - 126 3

127 - 135 5

136 - 144 9

145 - 153 12

154 - 162 5

163 - 171 4

172 - 180 2

รวม 40

คาํ ถาม : ชวนคดิ จงหามธั ยฐานของนาํ้ หนักของนักเรียน

วธิ ีทํา 1) หาตําแหน่งมัธยฐาน

ตาํ แหน่งมัธยฐาน คือ ตําแหน่งที่ N  ........ 40  20 .....................................

22

2) หาอันตรภาคชนั้ ที่มมี ัธยฐานอยู่

นํ้าหนกั (ปอนด์) ความถี่ (f) ความถส่ี ะสม (cf)

118 - 126 3 3

127 - 135 5 8

136 - 144 9 17

145 - 153 12 29 Med

154 - 162 5 34

163 - 171 4 38

172 - 180 2 40

รวม 40

3) หามธั ยฐานโดยใช้สูตร Med L N  fL 
 fM 
  2 I




จากขอ้ มูลในตาราง จะได้ L =…144.5…, ∑fL =…17……, fM = …12……, และ I = …9………
แทนค่าในสูตร

Med = 144.5   20 17   9
 12 

= 146.75

นนั่ คือ มัธยฐานของน้ําหนักของนักเรยี น เท่ากบั ......146.75.................คะแนน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 80

แบบฝึกเสริม เพมิ่ ความเขา้ ใจ
มัธยฐาน

คําชีแ้ จง 1. จงหามัธยฐานคะแนนสอบของนักเรียน 6 คน ซึง่ ไดค้ ะแนนดังนี้ 84, 91, 72, 68, 87, 78

วธิ ที าํ เรยี งลาํ ดบั คะแนน จากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมากได้ดงั นี้………68, 72, 78, 84, 87, 91……………….

ฉะน้นั มธั ยฐานอยใู่ นตําแหนง่ ท่ี N 1  6 1  3.5………………………………………………………..………

22

ดงั นน้ั มัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียนเทา่ กับ…………… 78  84  81………………….คะแนน

2

2. ตารางแจกแจงความถ่ตี ่อไปนี้ เป็นคะแนนสอบของนักเรยี น 50 บาท จงหามธั ยฐานของคะแนนสอบ

คะแนน ความถ่ี (f) ความถี่สะสม (cf)

30 - 39 4 4

40 - 49 6 10

50 - 59 8 18

60 - 69 12 30 Med

70 - 79 9 39

80 - 89 7 46

90 - 99 4 50

รวม 50

วิธที ํา จากขอ้ มูลหาความถีส่ ะสมไดด้ ังตาราง

จากสตู ร Med  N  fL  มัธยฐานอย่ใู นตําแหน่งที่ N  50  25
 fM 
 L   2 I 22




อยใู่ นช่วง..60 - 69..คะแนน เพราะฉะน้ัน L  59.5, fL  18, fM  12 และ I  10

ดงั นั้น

Med  59.5   25 18 10

12

 59.5  5.8333

 65.33

นัน่ คอื มัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียน 50 คนคอื ............65.33..............คะแนน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 81

3. กําหนดให้ข้อมลู ดงั ตอ่ ไปน้เี ป็นอายขุ องต้นไมจ้ าํ นวน 125 ตน้ ดงั น้ี

อายุ (ป)ี ความถ่ีสะสม ความถ่ี

10 - 15 10 10
16 - 18 25 15
19 - 20 42 17
21 - 30 67 25 Med
31 - 35 95 28
36 - 40 125 30

รวม

จงหามัธยฐานของอายุของต้นไม้
วธิ ีทํา จากข้อมลู หาความถ่ไี ด้ดังตารางข้างบน

จากสูตร Med  N  fL  มธั ยฐานอยใู่ นตําแหน่งที่ N  125  62.5
 fM 
 L  2 I 22




อยู่ในช่วง..21 - 30..คะแนน เพราะฉะนั้น L  20.5, fL  42, fM  25 และ I  10

ดังนน้ั Med  20.5   62.5  42 10
 25

 20.5  8.2

 28.7

น่ันคือ มัธยฐานของอายุของตน้ ไม้คือ……28.7………ปี

4. คา่ เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนวิชาแคลคูลัสของนักศึกษา 10 คน คือ 72 ถ้าคะแนนของนักศึกษา 8 คน

เป็นดังน้ี 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93 และ 99 ส่วนคะแนนของ 2 คนน้ันมีคะแนนต่างกัน 4 คะแนน จงหามัธย

ฐานของคะแนนของนักศึกษาท้ัง 10 คน

วธิ ีทํา ให้ X แทนคะแนนสอบวชิ าแคลคลู สั

และให้ x1 และ x2 เป็นคะแนนของนกั ศกึ ษา 2 คน ที่ยงั ไมท่ ราบ โดยท่ี x1  x2
จากทก่ี าํ หนดให้ N 10 และ X  72

ดงั นั้น X  x1  x2  39  46  54  70  83  86  93  99
10

1072  x1  x2  570

เนือ่ งจาก x1  x2  720  570  150 (1)
นาํ (1)  (2) ; x1  x2  4 (2)

2x1  154

x1  77

ดงั น้ัน x2  73
นาํ คะแนนสอบวิชาแคลคูลสั ของนกั ศึกษา 10 คน มาเรยี งจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมากได้ดังนี้

39, 46, 54, 70, 73, 77, 83, 86, 93, 99

ตําแหน่งมธั ยฐานคือ 10 1  5.5

2

นั่นคือ มธั ยฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 73 77  75 คะแนน

2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 82

5. ตารางแสดงรายจ่ายต่อวนั ของครอบครวั ในตาํ บลแห่งหน่ึง

จาํ นวนเงนิ (บาท) จาํ นวนครอบครวั ความถ่ีสะสม

50 - 59.99 8 8
18
60 - 69.99 10 34 Med
48
70 - 79.99 16 58
63
80 - 89.99 14 65

90 - 99.99 10

100 - 109.99 5

110 - 119.99 2

รวม 65

จงหามัธยฐานของรายจ่ายต่อวนั ของครอบครัวในตําบลแห่งน้ี

วธิ ที ํา จากข้อมูลหาความถ่ีสะสมได้ดงั ตาราง

สตู ร L  N  fL  มธั ยฐานอยู่ในตาํ แหนง่ ท่ี N  65  32.5
 fM 
Med    2 I 22




อยูใ่ นชว่ ง..70 - 79.99..บาท เพราะฉะนน้ั L  69.995, fL  18, fM  16 และ I  10

ดังนน้ั

Med  69.995   32.5 18 10

16

 69.995  9.0625

 79.0575

นน่ั คือ มัธยฐานของรายจ่ายต่อวันของครอบครัวในตําบลแหง่ หนงึ่ เท่ากับ……79.0575…….บาท

6. กําหนดใหข้ ้อมลู ชดุ หนึ่งคือ 10, 3, x, 6, 6 ถ้าคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับมัธยฐาน แล้ว

x มีค่าเท่ากับเทา่ ใด 10 + 3 +x + 6+ 6 25 + x
5 5
วธิ ที าํ ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู ชดุ นม้ี คี ่าเทา่ กบั ………… = …………………………………..

หามธั ยฐาน โดยการเรยี งขอ้ มลู จากน้อยไปหามาก จะได้

x, 3, 6, 6, 10

3, x, 6, 6, 10

3, 6, x, 6, 10

3, 6, 6, x, 10

3, 6, 6, 10, x

ฉะนน้ั มธั ยฐานของขอ้ มลู ชุดนีม้ คี า่ เทา่ กบั ………6……………………………………..

เนอ่ื งจาก ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดนีม้ ีคา่ เท่ากบั มัธยฐาน ดังนัน้
25 + x
………… 5 = 6 ……………………………………………………..

นน่ั คอื …………x = 5……………………………………………………………..

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 83

กจิ กรรม : ฐานนยิ มหาอย่างไร
กรณแี จกแจงความถ่ี

คาํ ชแ้ี จง 1. ขอ้ มลู อายุการใชง้ านของหลอดไฟฟา้ ทีม่ กี ารแจกแจงความถี่ดงั นี้

อายุ (ชง่ั โมง) ความถ่ี (f)

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

รวม 40

คําถาม : ชวนคิด จงหาฐานนยิ มของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟ้า

วธิ ีทํา 1) เน่ืองจากความกว้างแตล่ ะอนั ตรภาคชน้ั มีคา่ เทา่ กัน

ดังนัน้ ฐานนยิ มจะอยใู่ นอันตรภาคชน้ั ท่ีมคี วามถส่ี ูงสดุ น่ันคอื อันตรภาคชน้ั .....128 - 132.........

2) จากตารางแจกแจงความถ่ี จะพบว่า อันตรภาคชั้น.....128 - 132........มีความถี่สงู สดุ เท่ากับ.....15.....

ดงั น้นั ถ้าหาฐานนยิ มอย่างคร่าว ๆ จะไดเ้ ทา่ กับ 128 132  …1…30…130………………..

2

3) หาฐานนยิ มอยา่ งละเอียด โดยใชส้ ตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

จากตารางจะพบว่า

d1 เปน็ ผลตา่ งระหว่างความถีข่ องอนั ตรภาคชั้น 123 - 127 กับ 128 - 132 คือ 15–8 = 7

d2 เปน็ ผลตา่ งระหว่างความถข่ี องอันตรภาคชน้ั 128 - 132 กับ 133 - 137 คอื 15–11 = 4
L ขอบลา่ งของอันตรภาคชั้น 128 - 132 เทา่ กบั .....128.5...................................
I ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั 128 - 132 เท่ากับ .......5......................................

ดงั น้นั Mod  128.5   7 7 4  5
  

 ………131.68……………………

นั่นคือ ฐานนยิ มของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟา้ เท่ากบั ………131.68…………ช่ัวโมง

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 84

2. จากการสอบถามเกยี่ วกบั รายได้ต่อวันของคนงานในบริษัทก่อสรา้ งแห่งหนึ่ง ไดผ้ ลดังตารางต่อไปนี้

รายได้ (บาท) จํานวน (คน)

51 - 80 6

81 - 100 15

101 - 120 10

121 - 150 9

รวม 40

คําถาม : ชวนคิด จงหาฐานนยิ มของรายได้ของคนงาน

วิธีทํา 1) จากตารางแจกแจงความถีท่ ก่ี ําหนดให้ความกว้างของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ันไม่เทา่ กัน

ดังนั้น การที่จะพิจารณาว่า ฐานนิยมอยู่ท่ีอันตรภาคช้ันใดต้องดูจากอัตราส่วนระหว่างความถ่ีกับ

ความกว้างของอันตรภาคชน้ั ในแต่ละชัน้ ซง่ึ สามารถหาไดด้ งั ตารางตอ่ ไปนี้ f
I
รายได้ (บาท) จํานวนคน (f) ความกว้างของอนั ตรภาคชนั้ (I) อตั ราสว่ น

51 - 80 6 30 0.20

81 - 100 15 20 0.75

101 - 120 10 20 0.50

121 - 150 9 30 0.30

2) จากตารางแจกแจงความถ่ี จะพบวา่ อนั ตรภาคช้นั .....81 - 100......มีความถีส่ ูงสดุ เทา่ กบั ......15........

ดังนัน้ ถา้ หาฐานนิยมอยา่ งครา่ ว ๆ จะไดเ้ ทา่ กับ 81100  …9…0.…590.5………………..

2

3) หาฐานนยิ มอย่างละเอียด โดยใช้สตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

จากตารางจะพบวา่

d1 เป็นผลตา่ งระหวา่ งอตั ราสว่ นของอันตรภาคช้นั 51 - 80 กบั 81 - 100 คอื 0.75–0.20 = 0.55
d2 เป็นผลตา่ งระหวา่ งอตั ราสว่ น ของอันตรภาคชน้ั 81 - 100 กับ 101 - 120 คอื 0.75–0.50 = 0.25
L ขอบล่างของอันตรภาคชัน้ 81 - 100 เท่ากบั .....80.5........................................

I ความกว้างของอันตรภาคชน้ั 81 - 100 เทา่ กับ ........... 20.................................

ดังนั้น Mod  80.5   0.55   20
 0.55  0.25 

 94.25

นัน่ คือ ฐานนิยมของรายไดข้ องคนงาน เท่ากบั ……94.25……บาท

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 85

แบบฝกึ เสริม เพ่ิมความเขา้ ใจ
ฐานนิยม

คาํ ช้ีแจง 1. จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลต่อไปนี้

1) 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 ตอบ 7
5 และ 7
2) 2, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9 ตอบ ฐานนยิ มไมม่ ี
ฐานนยิ มไมม่ ี
3) 2, 4, 5, 7, 9, 10 ตอบ

4) 2, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 12 ตอบ

2. จงหาฐานนิยมจากตารางแจกแจงความถี่ดังต่อไปน้ี

คะแนน ความถ่ี

38 - 40 2

35 - 37 5

32 - 34 10

29 - 31 12

26 - 28 6

23 - 25 4

20 - 22 1

วธิ ที ํา อันตรภาคช้นั ทมี่ ฐี านนิยมอยู่ คือ อนั ตรภาคชน้ั ทม่ี ีความถส่ี งู สดุ

อันตรภาคช้ันทม่ี ีความถส่ี ูงสุด คือ 29 - 31

จัดก่งึ กลางของอนั ตรภาคชนั้ คอื 29  31  30

2

นนั่ คอื ฐานนยิ มของคะแนนสอบของนักเรียน 40 คน คือ 30 คะแนน

ถ้าต้องการหาฐานนิยมอยา่ งละเอียดโดยใช้สตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

d1 ซึง่ เป็นผลต่างระหว่างความถขี่ องอันตรภาคชัน้ 29 - 31 กบั 26 - 28 จะมคี ่าเท่ากับ 12 6  6

d2 ซ่ึงเปน็ ผลต่างระหวา่ งความถข่ี องอนั ตรภาคชน้ั 29 - 31 กับ 32 - 34 จะมีคา่ เทา่ กับ 12 10  2

L ขอบลา่ งของอันตรภาคชน้ั 29 - 31 ซึ่งมีค่าเทา่ กบั 28.5

I ความกว้างของอันตรภาคชนั้ 29 - 31 ซ่งึ มคี า่ เทา่ กบั 3

ดงั นน้ั Mod  28.5   6 6 2  3  28.5  2.25  30.75
  

นั่นคอื ฐานนิยมของคะแนนสอบของนกั เรยี น 40 คน คือ 30.75 คะแนน

3. จงหาฐานนิยมจากตารางแจกแจงความถี่ของเบอร์รองเท้าชนดิ ต่าง ๆ ที่นักเรียนใช้ ดังตอ่ ไปน้ี

เบอร์รองเทา้ 4 1 5 5 1 6 6 1
2 2 2
จํานวนนักเรยี น 20 25 18 28 40

วิธีทํา ฐานนิยมจากตารางแสดงความถ่ีของเบอร์รองเทา้ ชนดิ ต่าง ๆ ทน่ี กั เรยี นใช้ คือ……เบอร์ 6 1 …………

2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 86

4. ตอ่ ไปนีเ้ ปน็ ตารางแจกแจงสผี มของวยั รุ่นในสมาคมแหง่ หนงึ่

สขี องผม ดาํ แดง ทอง นํา้ ตาล

จํานวนคน 11 6 18 24

จงหาฐานนิยมเก่ียวกบั สขี องผม

วิธีทํา ฐานนยิ มเกย่ี วกับสีของผมของทว่ี ยั รนุ่ ในสมาคมแหง่ หนงึ่ คอื สีน้ําตาล

5. ขอ้ มูลเกี่ยวกับคะแนนสอบวชิ าสถติ ิดังตอ่ ไปน้ี

19 15 14 11 20 13 17 24 12 20

13 19 25 15 19 20 15 12 13 16

18 16 15 26 21 11 19 20 11 24

16 16 17 18 16 11 10 27 18 13

1) จงหาฐานนยิ มของคะแนน

2) จัดขอ้ มลู ให้อยู่ในรูปอันตรภาคช้ัน 10 - 14.9, 15 - 19.9 เปน็ ตน้ และหาฐานนยิ มของคะแนน

3) หาฐานนิยมของคะแนนจากอันตรภาคช้นั โดยประมาณ

4) เปรยี บเทยี บฐานนิยมของคะแนนทงั้ 3 ข้อขา้ งตน้

วิธที าํ 1) ฐานนิยมของคะแนนคือ 16

2) จัดคะแนนใหอ้ ยู่ในรปู อันตรภาคชนั้ ไดด้ งั นี้

คะแนน ความถ่ี

10 - 14.9 12

15 - 19.9 18

20 - 24.9 7

25 - 29.9 3

เนือ่ งจากความกวา้ งของอันตรภาคช้นั เท่ากันทุกอันตรภาคชน้ั ดงั นน้ั อันตรภาคชน้ั ท่มี ีฐานนยิ มอยู่ คือ

อันตรภาคช้ันท่ีมีความถสี่ งู สุด น่นั คอื 15 - 19.9

หาฐานนิยมอยา่ งละเอียดโดยใช้สตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

d1 เป็นผลต่างระหว่างความถี่ของอนั ตรภาคชั้น 15 - 19.9 กบั 10 - 14.9 จะมคี า่ เท่ากับ 18-12  6

d2 เป็นผลต่างระหวา่ งความถี่ของอันตรภาคชัน้ 15 - 19.9 กบั 20 - 24.9 จะมคี า่ เทา่ กับ 18-7  11

L ขอบล่างของอนั ตรภาคชั้น 15 - 19.9 คอื 14.95

I ความกว้างของอันตรภาคชนั้ 15 - 19.9 คือ 5.9

ดังน้นั Mod  14.95   6 6  5.9
  11 

 14.95  2.0824

 17.0324

นน่ั คือ ฐานนิยมของคะแนนคอื 17.03 คะแนน

3) ฐานนิยมจากอนั ตรภาคช้ันโดยประมาณคือ 15 19.9  17.45

2

น่ันคอื ฐานนิยมของคะแนนคือ 17.45 คะแนน

4) เปรียบเทยี บฐานนยิ มของคะแนนทง้ั 3 ข้อขา้ งต้น

นนั่ คอื ฐานนิยมของคะแนนท้ัง 3 ข้อมีคา่ ใกลเ้ คยี งกัน

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 87

6. สายเคเบิลจากบริษัทแห่งหนงึ่ 60 เสน้ รบั นาํ้ หนกั สูงสุดได้ดงั นี้

นา้ํ หนักสูงสุด (ตนั ) จาํ นวน (เสน้ )

9.3 - 9.7 2

9.8 - 10.2 5

10.3 - 10.7 12

10.8 - 11.2 17

11.3 - 11.7 14

11.8 - 12.2 6

12.3 - 12.7 3

12.8 - 13.2 1

จงหาฐานนยิ มของนา้ํ หนักของสายเคเบลิ

วธิ ีทาํ เนอ่ื งจากความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั เทา่ กนั ทุกอันตรภาคชน้ั ดงั น้ันอนั ตรภาคชน้ั ทมี่ ฐี านนิยมอยู่ คือ

อันตรภาคช้นั ทีม่ คี วามถ่สี ูงสดุ น่นั คือ 10.8 - 11.2

จากสตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

d1 เปน็ ผลต่างระหว่างความถี่ของอนั ตรภาคช้นั 10.8-11.2 กับ 10.3 - 10.7 จะมคี า่ เท่ากับ 17-12  5

d2 เป็นผลตา่ งระหว่างความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั 15 - 19.9 กับ 20 - 24.9 จะมคี า่ เทา่ กับ 17-14  3

L ขอบล่างของอนั ตรภาคชัน้ 10.8 - 11.2 คือ 10.75

I ความกว้างของอนั ตรภาคชน้ั 10.8 - 11.2 คอื 0.4

ดงั น้นั Mod  10.75   5 5 3  0.4
  

 10.75  0.25

 11

น่ันคือ ฐานนยิ มของนาํ้ หนกั ของสายเคเบลิ ท่ีรบั นาํ้ หนักสงู สุดคอื 11 ตนั

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 88

กจิ กรรม : คา่ เฉลี่ยเรขาคณิต คิดหาอย่างไร

มมุ ความรู้ ถ้า x1, x2, x3, ..., xN เป็นขอ้ มูล N จํานวน ซง่ึ เป็นจํานวนบวกทุกจํานวน นิยม
ใช้ G.M. เป็นสัญลกั ษณ์แทนค่าเฉล่ยี เรขาคณติ

G.M.  N x1x2x3...xN

ในกรณที ี่ xi มีความถี่ fi และ k  N

 fi

i=1

G.M.  N x xf1 f2 x f3 ...x fk
12 3 k

เนื่องจากการหาค่า G.M. ต้องมีการคํานวณหากรณฑ์ที่ N ของจํานวน ซึ่งทําให้

การใชส้ ตู รดงั กลา่ วข้างต้นไมส่ ะดวกในกรณีที่ข้อมูลมีค่ามาก และต้องใช้เครื่องคิดเลขในการ

คํานวณดงั นัน้ เพ่อื ความสะดวกจึงใชล้ อการทิ ึมชว่ ย โดยใช้สตู รในการหาคา่ G.M. ดงั น้ี

สาํ หรับขอ้ มลู ที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ log G.M.  1 N log xi
N =1
i

สําหรบั ขอ้ มลู ที่แจกแจงความถ่ี 1k
N i = 1 filog xi
log G.M. 

เมื่อ xi แทนจดุ กึ่งกลางของอันตรภาคช้ันท่ี i โดยที่ i คือ 1, 2, 3, …, k
fi แทนความถ่ขี องข้อมูลของอันตรภาคชัน้ ที่ i
k แทนจํานวนอันตรภาคชน้ั

คาํ ชแี้ จง 1. จากการวัดปริมาตรของก๊าซชนิดหน่ึงจํานวน 4 ครั้ง มีความดันต่าง ๆ กัน มีหน่วยเป็น

ลูกบาศกเ์ มตรได้ดงั น้ี 1.2, 2.4, 4.8, 4.8 จงหาคา่ เฉล่ียเรขาคณติ ของปริมาตรของก๊าซ

วิธที ํา จากสตู ร 1N
N i = 1 log xi
log G.M. 

เน่อื งจาก N  4 นาํ ไปแทนค่าในสูตรจะได้

log G.M.  1 4 log xi  1 (log x1  log x2  log x3  log x4 )
4 = 4
i 1

จากตารางค่าลอการิทึม (หน้า 133) จะได้

log 1.2  0.0792 , log 2.4  0.3802 , log 4.8  0.6812

ดังนน้ั log G.M.  1 0.0792  0.3802  0.6812  0.6812

4

 1 1.8218

4

= 0.45545

G.M.  2.85

น่นั คอื ค่าเฉล่ียเรขาคณิตของปริมาตรของก๊าซประมาณ………2.85………..ลกู บาศกเ์ มตร

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 89

2. จากตารางแจกแจงความถี่จาํ นวนนกั เรยี นท่ีสอบวิชาสถิตทิ ้ังหมด 30 คนนี้ จงหาค่าเฉล่ยี เรขาคณติ ของ

คะแนนสอบวชิ าสถิติ ดังตอ่ ไปนี้

คะแนน ความถ่ี

52

63

75

88

97

10 5

วิธีทาํ จากสตู ร 1k
N i = 1 filog xi
log G.M. 

เนื่องจาก N  6 นําไปแทนค่าในสูตรจะได้

log G.M.  1 6 filog xi  1 (f1log x1  f2log x2  f3log x3  f4log x4  f5log x5  f6log x7 )
30 = 30
i 1

จากตารางค่าลอการทิ ึม (หนา้ 133) จะได้

log 5  0.6990 log 6  0.7782 log 7  0.8451

log 8  0.9031 log 9  0.9542 log 10  1

ดงั น้ัน

log G.M.  1 2 0.6990  3 0.7782  5 0.8451  8 0.9031  7 0.9542  5 1

30

 1 26.862
30

 0.8954

G.M.  7.86

นนั่ คอื ค่าเฉลย่ี เรขาคณิตของของคะแนนสอบวชิ าสถิติ ประมาณ………7.86……….คะแนน

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 90

กิจกรรม : คา่ เฉลี่ยฮาร์มอนิกหาอย่างไร

มุมความรู้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะใช้ในการหาค่าเฉล่ยี ของข้อมูลทเี่ ปน็ อัตราส่วน

ถ้า x1, x2, x3, ..., xN เป็นข้อมูล N จํานวน ซ่ึงเป็นจํานวนบวกทุกจํานวน
นิยมใช้ H.M. เป็นสญั ลักษณ์แทนค่าเฉลีย่ ฮาร์มอนกิ

H.M.  1 N
1 1  N 1
 1 1  ...  1 
N  x1 x2 x3  i = 1 xi
xN

ในกรณีที่ xi มคี วามถ่ี fi และ k  N

 fi

i=1

H.M.  1 N
  k fi
1 f1 1  f2 1  f3 1  ...  fk 1 
  i = 1 xi
N x1 x2 x3 xk

เมอื่ xi แทนจุดกง่ึ กลางของอันตรภาคช้ันท่ี i โดยท่ี i คอื 1, 2, 3, …, k

fi แทนความถี่ของข้อมูลของอนั ตรภาคช้นั ที่ i

k แทนจํานวนอนั ตรภาคชั้น

คา่ เฉลยี่ ฮาร์มอนิกจะใช้ในการหาค่าเฉลยี่ ของข้อมูลที่เปน็ อัตราส่วน เชน่ ระยะทาง

ตอ่ ชัว่ โมง จาํ นวนหนว่ ยตอ่ 1 บาท ราคาสนิ คา้ ตอ่ 1 โหล ฯลฯ

คาํ ช้ีแจง 1. ใน 2 ชั่วโมงแรก นาย ก ขับรถด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง 2 ชั่วโมงถัดมา นาย ก

ขับรถดว้ ยความเรว็ 70 กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง 2 ชว่ั โมงสดุ ท้าย นาย ก ขับรถด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง จง

หาว่า นาย ก ขบั รถดว้ ยความเรว็ เทา่ ใดโดยใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนกิ

วธิ ที ํา จากข้อมลู เกย่ี วกับความเร็วท่กี าํ หนดมาใหข้ อ้ มลู ประกอบด้วยจํานวนตอ่ ไปน้ี 60, 70, 80 นน่ั คือ N  3

จากสตู ร H.M.  N =3
ดงั นน้ั
N1 111

3i = 1 xi x1 x2 x3

3
H.M.  1 1 1  56 + 48 + 42
60  70  80 3,360
10,080
 146

 69.04
นั่นคือ คา่ เฉล่ยี ท่ี นาย ก. ขับรถดว้ ยความเรว็ ประมาณ.......69.04...........กิโลเมตรต่อชั่วโมง

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 91

2. ทา่ นเดินทางโดยเครอื่ งบนิ โบอง้ิ ของสายการบินแห่งหน่ึงจากเมือง ก ไปเมือง ข โดยตรงด้วยความเร็ว 500 ไมล์

ตอ่ ชว่ั โมง และเดนิ ทางกลับโดยสายการบินเดิมด้วย ความเร็ว 160 ไมล์ต่อช่ัวโมง จงหาความเร็วโดยเฉล่ียใน

การเดินทางไปและกลับในคร้ังนี้

วธิ ีทาํ ให้ xi แทนความเรว็ 500 และ160 ไมลต์ ่อชวั่ โมง ของการเดนิ ทางไปและกลบั ตามลําดบั

จากสตู ร H.M.  N= 2

N 1 11
i = 1 xi x1 x2

จะได้วา่ H.M.  2
11
5020 160
 8  25
4,000
8,000
 33
 242.42
ดังน้นั ความเรว็ โดยเฉล่ียในการเดนิ ทางไปและกลับในครัง้ น้โี ดยประมาณ.........242.42.......ไมลต์ ่อชั่วโมง

3. ในโรงงานแห่งหนง่ึ นาย ก. ทาํ งานหน่งึ หน่วยแล้วเสรจ็ ในเวลา 4 นาที นาย ข. นาย ค นาย ง .และนาย จ.
ทาํ งานหน่วยเดยี วกันน้ีเสรจ็ ในเวลา 5, 6, 10 และ12 นาที ตามลาํ ดับ จงหาคา่ เฉลีย่ ของอัตราการทํางานของ
คนทัง้ 5 นี้ และจงหาว่าใน 6 ช่วั โมง ทงั้ 5 คนน้จี ะทํางานได้รวมทัง้ สิน้ กีห่ น่วย

วิธที ํา ข้อมลู ชุดนก้ี าํ หนดให้ในรูปเวลาท่ีใช้ตอ่ งานหน่งึ หนว่ ยคอื ……… 4, 5, 6, 10,12 ………………….

ถา้ เราต้องการพจิ ารณาผลงานตอ่ หน่ึงหนว่ ยเวลา ค่าเฉลยี่ ทเ่ี หมาะสม คือ คา่ เฉลี่ยฮาร์โมนคิ

นนั่ คอื H.M.  N= 5
จะได้วา่
N 1 11111
i = 1 xi x1 x2 x3 x4 x5

H.M.  5
111 1  1
4 5 6 10 12

 5
15 12 10  6  5

60

5
48

60

 300
48
25
4
25
ดงั น้ัน ค่าเฉลี่ยของอตั ราการทาํ งานของทง้ั 5 คอื ..... 4 ......นาทตี อ่ งานหนึ่งหนว่ ย

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 92

แบบฝึกเสรมิ เพิ่มความเข้าใจ
ค่าเฉลีย่ เรขาคณติ คา่ เฉล่ยี ฮารม์ อนิก

คาํ ชแี้ จง 1. จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณติ และคา่ เฉล่ียฮาร์โมนิคของ

เฉลย 1) 1) 2, 3, 6, 8, 27
2) 2, 4, 6, 8, 10
จากค่าเฉล่ียเรขาคณิต G.M.  N x1 x2x3 ...xN  5 236827  5 7776  6

และคา่ เฉลีย่ ฮารโ์ มนิค H.M.  1 1 1 1  1 1 1 1  4.3028
x1 x2 xN 11
  1  ...  2  3  6  8  27
x3

2) จากค่าเฉล่ยี เรขาคณิต G.M.  N x1 x2x3 ...xN  5 246810  5 3840  5.21

และค่าเฉล่ยี ฮารโ์ มนิค H.M.  1  1 1  4.38
11
1  1  1  ...  1 1 1
x1 x2 x3 xN 2  4  6  8  10

2. มีนักเรียนคนหนึ่งว่ิงรอบสนามสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดย ด้านแรกวิ่งด้วยอัตราเร็ว 10 เมตร/วินาที ด้านท่ีสองว่ิงด้วย

อัตราเร็ว 7 เมตร/วนิ าที ด้านทสี่ ามว่งิ ดว้ ยอตั ราเร็ว 8 เมตร/วนิ าที ด้านทีส่ ่ีว่งิ ด้วยอัตราเร็ว 5 เมตร/วินาที จงหา อัตราเร็วในการ

วงิ่ ของนกั เรียนคนน้ี

เฉลย

อัตราเร็วเฉลย่ี = ระยะทางท้ังหมด x  x  x  x 4 7.044 เมตร/วินาที
x 1 1 1 1
เวลาที่ใช้ท้ังหมด 10  x xx
7 85 10  7  8  5
ดงั นน้ั อตั ราเรว็ เฉล่ยี ในการวิ่งของนักเรียนคนนี้คอื 7.044 เมตร / วินาที

3. เจ้าของรถยนต์คันหน่งึ ใช้น้ํามนั เคร่อื งยหี่ ้อหนึ่ง ซึ่งมีราคาเพิ่มข้ึนทุกปี โดยที่ปีแรกราคาลิตรละ 8 บาท ปีท่ีสองราคา

ลิตรละ 12 บาท ปที ี่สามราคาลติ รละ 18 บาท ปีที่สรี่ าคาลิตรละ 28 บาท จงหาราคาเฉลีย่ ของนา้ํ มนั เคร่ืองทัง้ 4 ปีดังกลา่ ว ถ้า

1) เจ้าของรถยนต์ใชเ้ งนิ ไป 1,000 บาท สาํ หรบั ค่าน้าํ มันเครือ่ งในแต่ละปี

2) แต่ละปีเขาใช้นํา้ มันเคร่อื ง 10 ลติ ร

เฉลย จากขอ้ มลู ที่กาํ หนดมาใหข้ ้อมูลอยูใ่ นรูปจาํ นวนเงนิ /ลิตร ซึง่ อยูใ่ นลกั ษณะทเ่ี ป็นอตั ราส่วน และขอ้ มลู ดงั กล่าว

ประกอบด้วย 8, 12, 18, 28 น่ันคือ N  4

1) เน่อื งจากข้อมูลท่ีกาํ หนดมาให้จํานวนเงินท่ีใช้ในแตล่ ะปีเท่ากัน ดงั น้นั คา่ กลางที่ใช้ตอ้ งเป็นค่าเฉล่ียฮารม์ อนกิ

ดังนัน้ H.M.  4  4  4  13.33

1  1  1  1 0.125  0.083  0.056  0.036 0.3

8 12 18 28

น่ันคอื ในช่วงระยะ 4 ปี น้ํามันเครอื่ งราคาเฉล่ียลิตรละ 13.33 บาท
2) เน่ืองจากขอ้ มลู ทกี่ าํ หนดให้ นํา้ มนั เครอ่ื งท่ีใช้ในแต่ละปีไม่เท่ากนั ดังนัน้ คา่ กลางทีใ่ ช้ต้องเปน็ ค่าเฉลีย่ เลขคณิต

จะได้ว่า X  8 12 18  28  16.5
4

นั่นคือ ในช่วงระยะ 4 ปี นาํ้ มนั เคร่อื งราคาเฉล่ียลติ รละ 16.5 บาท

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 93

4. จากการวัดปริมาตรของก๊าซชนิดหนึ่งที่ความดันต่าง ๆ กัน ได้ผลมีหน่วยเป็นลูกบาศก์ดังน้ี 3, 2.4, 4, 4.8 จงหา
ค่าเฉล่ียเรขาคณิตของปรมิ าตร

เฉลย จากตารางค่าลอการทิ มึ (หนา้ 133) จะได้ log 3  0.4771 log 4  0.6021

log 2.4  0.3802 log 4.8  0.6812

จากสูตร log G.M.  1 N log xi เนื่องจาก N  4 นาํ ไปแทนค่าในสตู ร จะได้
=1
N i

log G.M.  1 0.4771 0.3802  0.6021 0.6812  1 2.1406  0.5352

44

G.M.  3.43

นน่ั คอื คา่ เฉลีย่ เรขาคณิตของปรมิ าตรของกา๊ ซชนดิ หนึง่ ทีค่ วามดนั ต่าง ๆ กนั ประมาณ 3.43 ลูกบาศก์
5. คนงาน 8 คน มีรายไดต้ อ่ วนั จากการทาํ งานดังนี้

คนงาน A B C D E F G H
รายได้ (บาท) 70 10 500 75 8 250 8 42
จงหาคา่ เฉล่ียเรขาคณติ ของรายไดต้ ่อวันของคนงานทั้ง 8 คน

เฉลย จากสตู ร log = 1 N log xi ให้ xi แทนรายไดต้ อ่ วนั ของคนงานทั้ง 8 คน จากตารางค่าลอการิทึม (หน้า
G.M. N =1

i

133) จะได้ log 70  1.8451 log 500  2.6990 log 8  0.9031 log 8  0.9031
log 10  1 log 75  1.8751 log 250  2.3979 log 42  1.6232

เน่อื งจาก N  8 นําไปแทนค่าในสูตรจะได้

log G.M.  1 1.84511 2.6990 1.8751 0.9031 2.3979  0.90311.6232  1.6558

8

G.M.  45.27

นัน่ คือ ค่าเฉลี่ยเรขาคณติ ของรายได้ตอ่ วนั ของคนงานทงั้ 8 คน ประมาณ 45.27 บาท

6. จากข้อมูล 3, 5, 8, 7, 2 จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิต คา่ เฉลี่ยฮาร์มอนกิ ค่าเฉล่ยี เรขาคณติ และเปรยี บเทียบคา่ ทงั้ สาม

เฉลย ให้ xi = 3, 5, 8, 7, 2

คา่ เฉลยี่ เลขคณิต X = n  35872 = 5

 xi 5

i=1

n

ค่าเฉลย่ี ฮาร์มอนิก H.M.  N  5 5 1680  8,400
11111 2,186 2,186
N1

i = 1 xi 3587 2

 3.84

คา่ เฉลยี่ เรขาคณติ จากตารางค่าลอการทิ มึ (หนา้ 133) จะได้

log 3  0.4771 log 5  0.6990 log 8  0.9031

log 7  0.8451 log 2  0.3010

จากสูตร 1N
N i = 1 log xi
log G.M. 

เนื่องจาก N  5 นําไปแทนคา่ ในสตู รจะได้

log G.M.  1 0.4771 0.6990  0.9031 0.8451 0.3010

5

 1 3.2253  0.6451

5

สรปุ ไดว้ ่า G.M.  4.42
H.M. < G.M.< X

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 94

กิจกรรม : เปอร์เซน็ ไทล์ ควอร์ไทล์ เดไซล์
หาอย่างไร กรณแี จกแจงความถ่ี

มมุ ความรู้ การหาเปอร์เซ็นไทล์ ควอรไ์ ทล์ และเดไซลข์ องข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี มีขั้นตอนดังนี้
1) หาตําแหน่งของค่าที่ต้องการ โดยใช้สูตรในการหาตําแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ ควอร์

ไทล์ และเดไซล์ ถา้ N เปน็ จํานวนข้อมลู ท้งั หมด สรปุ ไดด้ งั น้ี

ตําแหน่งของ Pr คือ ตําแหนง่ ที่ Nr เมื่อ r  1, 2, 3

100

ตําแหน่งของ Qr คือ ตาํ แหนง่ ที่ Nr เมอ่ื r  1, 2, 3, ..., 99
4

ตาํ แหนง่ ของ Dr คือ ตาํ แหนง่ ท่ี Nr เม่อื r  1, 2, 3, ..., 9
10

2) เมือ่ หาตําแหน่งของคา่ ที่ต้องการได้แล้ว ให้ตรวจดูวา่ ค่าดงั กลา่ วอยใู่ นอันตรภาคช้ันใด

3) คํานวณหาคา่ ดังกลา่ วโดยใช้วธิ กี ารเชน่ เดียวกับการหามัธยฐานหรือจะหาจากสูตรก็ได้
และสตู รทจี่ ะใช้หานี้กค็ ลา้ ยกับสตู รการหามัธยฐาน จะตา่ งกนั ตรงที่ตําแหน่งและอันตรภาคช้ันท่ีใช้
หาเทา่ นั้น ถ้า N เปน็ จํานวนขอ้ มูลทง้ั หมดในประชากร หรือถ้าเป็นข้อมูลตัวอย่างให้ใช้ n แทน
N ซ่ึงสามารถสรุปเปน็ สตู รไดด้ งั น้ี

Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




Qr  Nr  fL 
 f 
 L   4 I




Dr  Nr  fL 
 f 
 L   10 I




เม่ือ L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชน้ั ท่ี Pr , Qr หรอื Dr อยู่

I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้ันที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

fL คือ ผลบวกของความถี่ของทุกอันตรภาคชนั้ ที่มีค่าตํ่ากว่า

อนั ตรภาคชัน้ ที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

f คือ ความถ่ีของอันตรภาคชน้ั ที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 95

1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนจํานวน 50 คน แจกแจงได้ดังตาราง จงคํานวณหาค่าของ

,P25 D8 และ Q2

คะแนน จํานวน (คน) ความถีส่ ะสม

91 - 100 2 3

81 - 90 8 8

71 - 80 14 14

61 - 70 12 26

51 - 60 6 40

41 - 50 5 48

31 - 40 3 50

วิธที ํา จากตารางข้างตน้ หาความถีส่ ะสมจะได้

จากตาราง N  50 และขอ้ มูลดงั กลา่ วมีการแจกแจงความถี่

ตําแหนง่ ของ P25 คอื ตาํ แหน่งท่ี Nr = … 50 25  12.5 ………………………………….

100 100

จะได้ว่าค่าของ P25 อยู่ในอนั ตรภาคช้นั ……51 – 60…………………

จากสูตร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




และเน่อื งจาก L  50.5, I  10, fL  8 และ fPr  6

ดังนน้ั P25  50.5   12.5  8 10
 6

 50.5  7.5

 58

เพราะฉะนั้น P25  ……58……………………..คะแนน

ตาํ แหนง่ ของ D8 คือ ตาํ แหน่งที่ Nr = …… 508  40…………………………………………

10 10

จะไดว้ ่าค่าของ D8 อย่ใู นอันตรภาคชัน้ ……71 – 80…………………

จากสตู ร Dr  Nr  fL 
 f 
และเนื่องจาก  L   10 I
ดงั นัน้ 



L  70.5, I  10, fL  26 และ fDr  14

D8  70.5   40  26 10
 14

 70.5 10

 80.5

เพราะฉะนั้น D8  80.5 คะแนน

ตาํ แหนง่ ของ Q2 คือ ตําแหน่งที่ Nr = … 50 2  25……………………

44

จะได้ว่าค่าของ Q2 อย่ใู นอนั ตรภาคชัน้ ……61 – 70……………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 96

จากสูตร Qr  Nr  fL 
 f 
 L  4 I




และเนอ่ื งจาก L  60.5, I  10, fL  14 และ fQr  12

ดงั นน้ั Q2  60.5   25 14 
 12 10

 60.5  9.17

 69.67

เพราะฉะนั้น Q2  69.67 คะแนน
2. คะแนนสอบของนักเรยี น 60 คน มีการแจกแจงไดด้ ังนี้

คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น ความถ่ีสะสม

21 - 30 2 2

31 - 40 5 7

41 - 50 8 15

51 - 60 24 39

61 - 70 6 45

71 - 80 9 54

81 - 90 6 60

เสาวภาและจารุณีเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ จารุณีได้คะแนนในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 3 และเสาวภาได้

คะแนนในตําแหน่งเดไซลท์ ี่ 9 ถ้าคะแนนเตม็ 100 คะแนน เสาวภาได้คะแนนมากกวา่ จารุณีกีเ่ ปอรเ์ ซ็นต์

วธิ ีทํา จะหาว่าเสาวภาได้คะแนนมากกว่าจารุณีก่ีเปอร์เซ็นต์ ซ่ึงจะต้องหาคะแนนของเสาวภาและจารุณีให้ได้

เสยี กอ่ น นนั่ คอื ตอ้ งหา Q3 และ D9

จากตารางจะพบว่า จาํ นวนนักเรียนท้ังหมดคือ N  ....60.......

1) หาตาํ แหนง่ ของ Q3 และ D9 เนอ่ื งจาก N  60 และข้อมูลดังกล่าวมกี ารแจกแจงความถ่ี

ดังนั้น ตําแหน่งของ Q3 คอื ตาํ แหน่งท่ี Nr  60 3  45
4 4

ตาํ แหนง่ ของ D9 คอื ตําแหนง่ ท่ี Nr  60 9  54
10 10

2) หาอนั ตรภาคช้นั ท่ี Q3 และ D9 อยู่

อนั ตรภาคช้ันที่ Q3 อยูท่ ่ีตําแหน่งท.ี่ ..45...เม่อื นบั นักเรียนทไี่ ดค้ ะแนนนอ้ ยท่ีสุดไปหานักเรียนท่ี

ได้คะแนนมากที่สดุ ตามลําดับ นกั เรียนคนท่ี 45 จะอยูใ่ นอันตรภาคชั้น 61 - 70 และจะมีคะแนนมาก

ทส่ี ุดในจํานวนนักเรียนทั้งหมดที่อยู่ในอนั ตรภาคช้ันดังกล่าว

จะได้วา่ Q3  60.5   45  39 10
 6

 60.5 10

 70.5

นัน่ คอื Q3  70.5 คะแนน จากตารางแสดงวา่ คนที่ 45 จะมคี ะแนนอยู่ทขี่ อบบนของอันตรภาคช้ันซ่ึง
เท่ากบั ......70.5......

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 97

อนั ตรภาคชั้นท่ี D9 อยู่ทต่ี ําแหน่งท่ี....54...เม่ือนับนักเรียนท่ีได้คะแนนน้อยท่ีสุดไปหานักเรียน

ท่ีได้คะแนนมากท่ีสุด ตามลําดับ จะพบว่านักเรียนคนท่ี 54 จะเป็นคนท่ีอยู่ในอันตรภาคช้ัน 71 - 80
และจะมีคะแนนมากทส่ี ุดในจํานวนนกั เรยี นทง้ั หมดที่อยู่ในอันตรภาคช้นั ดังกล่าว

จะไดว้ ่า D9  70.5   54  45 10
 9

 70.5 10

 80.5

นนั่ คือ D9  80.5 คะแนน จากตารางแสดงวา่ คนที่ 54 จะมคี ะแนนอยทู่ ่ขี อบบนของอนั ตรภาคชัน้

ซ่ึงเทา่ กับ....80.5.........

เพราะฉะนั้น เสาวภาได้คะแนน……80.5…….คะแนน

จารุณีได้คะแนน………70.5…....คะแนน

น่นั คือ เสาวภาได้คะแนนมากกวา่ จารณุ ี.........80.5 – 70.5 = 10..........คะแนน

เนอื่ งจาก การสอบครั้งนม้ี ีคะแนนเต็ม 100 คะแนน

ดงั นั้น เสาวภาได้คะแนนมากกวา่ จารณุ ี……10…....เปอรเ์ ซน็ ต์

3. จากผลการสอบของนักเรยี น 120 คน ปรากฏผลดังตารางต่อไปนี้

คะแนน จํานวนนกั เรยี น ความถ่ีสะสม

30 - 39 1 1

40 - 49 3 4

50 - 59 11 15

60 - 69 21 36

70 - 79 43 79

80 - 89 32 111

90 - 99 9 120

จงหา Q2, D5 และ P50 แลว้ เปรียบเทียบค่าที่ได้
วธิ ีทาํ จากตารางหาความถสี่ ะสมไดด้ งั น้ี

1) หา Q2, D5 และ P50 แลว้ เปรียบเทียบค่าท่ีได้
(1) หา Q2

ตําแหนง่ ของ Q2 คือ ตําแหน่งที่ Nr  …… 120 2  60 …………….
4
4

จะไดว้ า่ ค่าของ Q2 อยู่ในอนั ตรภาคชัน้ ………70 - 79……….

จากสูตร Qr  Nr  fL 
 f 
 L   4 I




และเนื่องจาก L  ...69.5...., I  ...10...., fL  ...36... และ f  ...43....

ดังน้นั Q2  … 69.5   60  36 10 …………..
 43

= … 69.5 5.58…………

= … 75.08…………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 98

เพราะฉะนน้ั Q2  ..... 75.08............ คะแนน
(2) D5

ตําแหน่งของ D5 คอื ตําแหนง่ ท่ี Nr  …… 1205  60 ……………….
10
10

จะไดว้ ่าค่าของ D5 อยู่ในอนั ตรภาคชัน้ ………70 - 79…………….

จากสูตร Dr  Nr  fL 
 f 
 L  10 I




และเนื่องจาก L  ...69.5...., I  ...10...., fL  ...36... และ f  ...43....

ดงั นัน้ D5  … 69.5   60  36 10 …………..
 43

= … 69.5 5.58…………

= … 75.08…………

เพราะฉะนน้ั D5  ..... 75.08............ คะแนน
(3) P50

ตาํ แหน่งของ P50 คอื ตาํ แหน่งที่ Nr  …… 120 50  60 ……………….

100 100

จะไดว้ า่ ค่าของ P50 อยใู่ นอนั ตรภาคชั้น………70 - 79………………………….

จากสูตร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




และเนอ่ื งจาก L  ...69.5...., I  ...10...., fL  ...36... และ f  ...43....

ดงั น้นั P50  … 69.5   60  36 10 …………..
 43

= … 69.5 5.58…………

= … 75.08…………

เพราะฉะนัน้ P50  ..... 75.08............ คะแนน
จาก (1), (2) และ (3) จะได้ว่า……… Q2 = D5 = P50 …………………………………..

คาํ ถาม : ชวนคดิ

นักเรียนคดิ ว่า เมื่อหา Q1 และ P25 แลว้ เปรียบเทียบค่าที่ไดจ้ ะเป็นอยา่ งไร เพราะเหตุใด

Q1 = P25 เนอื่ งจากตําแหน่งของ Q1 คอื ตาํ แหนง่ ท่ี Nr  N1  N และ
4 4
4

ตาํ แหน่งของ P25 คือ ตําแหน่งท่ี Nr  N  25  N ซ่ึงเป็นตําแหน่งเดียวกับ
100
100 4

ตาํ แหน่งของ Q1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา