เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560 ฉบับครู

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 149

นําค่าต่าง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ

จะได้ 52 = 42a + 6b ..........(1)

487 = 358a + 42b ..........(2)
364 = 294a + 42b
(1) 7; ..........(3)
123
(2) – (3); 123 = 64a  a = 64 = 1.92

แทนค่า a = 1.92 ใน (1) จะได้ 52 = 42(1.92) + 6b

6b = -28.64

b = -4.77

ดงั นัน้ สมการที่ใช้ในการพยากรณ์คือ Y = 1.92X – 4.77

แทน X = 20 จะได้ Y = 1.92(20) – 4.77 = 33.63

แสดงว่า คะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของเด็กคนนี้เทา่ กบั 33.63 คะแนน

3) ตอ้ งการพยากรณค์ ะแนนสอบวชิ าภาษาไทย สามารถเลือกทําได้ 2 วิธี

วิธที ี่ 1 สมมตติ วั แปรท่โี จทย์ทีโ่ จทยต์ ้องการพยากรณใ์ หมเ่ ป็นดงั น้ี

ให้ …X……. ท่แี ทนคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเป็นตวั แปรอสิ ระ
…Y……. ที่แทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทยเป็นตัวแปรตาม

นาํ ขอ้ มลู จากตารางท่ีโจทยก์ าํ หนดให้ มาสร้างตารางใหมเ่ ปน็ ดังนี้

Xi Yi X2i XiYi

131 3

3 4 9 12

4 5 16 20

12 8 144 96

14 10 196 140

18 12 324 216

6 66 6
 X2i  690
 Xi  52  Yi  42  XiYi  487
i1 i1 i1
i 1

นาํ คา่ ต่าง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ

จะได้ 42 = 52a + 6b ..........(1)

487 = 690a + 52b ..........(2)

(1) 52; 2,184 = 2,704a + 312b ..........(3)
(2) 6;
2,922 = 4,140a + 312b 738 ..........(4)
(4) – (3); 1, 436
738 = 1,436a  a = = 0.51

แทนค่า a = 0.51 ใน (1) จะได้ 42 = 52(0.51) + 6b

6b = 15.48
15.48
b = 6 = 2.58

ดังนน้ั สมการที่ใชใ้ นการพยากรณค์ ือ Y = 0.51X + 2.58

แทน X = 33 จะได้ Y = 0.51(33) + 2.58 = 19.41

แสดงว่าคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของเด็กคนนเี้ ท่ากับ 19.41 คะแนน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 150

วธิ ีท่ี 2 ให้ตวั แปร…X…และ…Y…แทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและวชิ าภาษาอังกฤษตามลาํ ดับ

แต่ …X…. คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยเปลี่ยนเป็นตัวแปรตาม

และ …Y…. คะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษเปล่ียนเปน็ ตวั แปรอิสระ

ดงั นน้ั สมการทีใ่ ชพ้ ยากรณเ์ ปลีย่ นเป็น X = aY + b และหาคา่ a และ b ได้จากสมการปกติ
n aai=in=n11YYii2++bbni=n1 Yi
Xi Yi = ..........(1)
 Xi = ..........(2)

i=n1



i=1
นําข้อมลู จากตารางท่โี จทย์กาํ หนดให้ มาสร้างตารางใหม่เป็นดังน้ี

Xi Yi Yi2 XiYi

311 3

4 3 9 12

5 4 16 20

8 12 144 96
10 14 196 140
12 18 324 216

6 6 6 6

 Xi  42  Yi  52  X2i  690  XiYi  487

i1 i 1 i1 i 1

นาํ ค่าตา่ ง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ ..........(1)
..........(2)
จะได้ 42 = 52a + 6b

487 = 690a + 52b

จะเห็นวา่ ไดเ้ หมือนกบั ระบบสมการสมการปกตทิ ั้งสองในวธิ ที ี่ 1

ดังน้นั ไม่ว่าจะทาํ ด้วยวธิ ีที่ 1 หรือวธิ ที ี่ 2 กจ็ ะไดค้ ําตอบเท่ากัน

แบบฝึกเสรมิ เพ่มิ ความเข้าใจ 5
0
1. กําหนดให้ความสัมพันธเ์ ชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมลู ท่ีกาํ หนดใหต้ ่อไปน้เี ปน็ ตรง
Xi 0 1 2 3 4
Yi 5 4 3 2 1

1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู
2) จงหาสมการท่วั ไปของความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังกช์ ันท่มี ี Y เป็นตวั แปรตาม
3) ถ้าคา่ X = 4 แล้ว ค่า Y มคี า่ เท่าใด
4) จงหาสมการทวั่ ไปของความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ทีม่ ี X เป็นตวั แปรตาม
5) ถ้าค่า Y = 2 แลว้ คา่ X มคี ่าใด
วธิ ที าํ 1) จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอ้ มูล

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 151

2) จงหาสมการทัว่ ไปของความสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชนั ท่ีมี Y เป็นตวั แปรตาม

Xi Yi XiYi X2i Yi2

05 0 0 25
16
14 4 1 9
4
23 6 4 1
0
32 6 9
6 Yi2  55
4 1 4 16
i 1
5 0 0 25

6  15 6  15 6 XiYi  20 6 X2i  55

 Xi  Yi i1 i 1
i1 i1

สมการท่ัวไปคือ Y = aX + b และหาค่า a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1
จะได้ 15 = 15a + 6b ..........(1)

20 = 55a + 15b ..........(2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได้ a = -1, b = 5

ดงั นัน้ สมการท่ัวไป คือ Y = -X + 5

3) ถ้าค่า X = 4 แล้ว คา่ Y มคี า่ เทา่ ใด

จาก สมการทัว่ ไป คือ Y = -X + 5

แทนคา่ X = 4 ลงใน สมการทว่ั ไป จะได้ Y = 1

4) จงหาสมการทวั่ ไปของความสัมพนั ธ์เชิงฟงั กช์ นั ทม่ี ี X เปน็ ตวั แปรตาม

สมการทั่วไปคือ X = aY + b และหาคา่ a และ b ได้จากสมการปกติ
n aai=in=n11YYii2++bbni=n1 Yi
Xi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1
จะได้ 15 = 15a + 6b ..........(1)

20 = 55a + 15b ..........(2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได้ a = -1, b = 5

ดังน้นั สมการทว่ั ไป คือ X = -Y + 5

5) ถ้าคา่ Y = 2 แลว้ ค่า X มคี ่าใด

จากสมการทว่ั ไป คอื X = -Y + 5

แทนค่า Y = 2 ลงในสมการท่ัวไป จะได้ X = 3

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 152

2. ให้ตัวแปร X แทนรายจ่ายของบริษัทรํ่ารวยจํากัด มีหน่วยเป็นหม่ืนบาท และตัวแปร Y แทนรายรับของบริษัท
รํ่ารวยจาํ กดั มีหนว่ ยเปน็ แสนบาท ถ้ารายรับและรายจา่ ยของบริษทั นมี้ ีความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังก์ชนั แบบเส้นตรง
จงพยากรณ์รายจ่าย เมื่อบรษิ ัทมรี ายรับ 12 แสนบาท และ

10 10 10 10 10

    Xi  15, Yi  30, X2i  55, Yi2  210, XiYi  207

i1 i1 i1 i1 i1

วิธที ํา ต้องการพยากรณร์ ายจา่ ย แสดงวา่ X เปน็ ตัวแปรตาม สว่ นรายรับ Y เป็นตวั แปรอสิ ระ

ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังก์ชนั ระหวา่ งสองตัวแปร เปน็ แบบเสน้ ตรง

ดังนัน้ สมการท่ีใช้พยากรณค์ ือ คอื X = aY + b และหาค่า a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ
n aai=in=n11YYii2++bbni=n1 Yi
Xi Yi = ..........(1)
 Xi = ..........(2)

i=n1



i=1
แทนค่าตา่ ง ๆ ทีโ่ จทยก์ ําหนดให้ จะได้

15 = 30a + 10b ..........(1)

207 = 210a + 30b ..........(2)

(1) 3; 45 = 90a + 30b ..........(3)

(2) – (3); 162 = 120a
162 27
a= 120 = 20 = 1.35

แทนคา่ a = 1.35 ใน (1)

จะได้ 15 = 30(1.35) + 10b

10b = -25.5

b = -2.55

ดังนนั้ สมการทใ่ี ช้ในการพยากรณ์คอื X = 1.35Y – 2.55

แทนคา่ Y = 12 จะได้ X = 1.35(12) – 2.55 = 13.65

ดังนน้ั บริษทั จะมีรายจ่าย เทา่ กับ 13.65 หมืน่ บาท เท่ากับ 136,500 บาท

3. จากตารางขอ้ มูลต่อไปน้ี

ปริมาณป๋ยุ (กิโลกรัมต่อไร)่ ผลผลติ (กิโลกรมั ต่อไร)่

18
29
3 10
4 12
5 15

ถา้ ปริมาณปุ๋ยเป็น 3.5 กิโลกรัมตอ่ ไร่ แล้วผลผลติ เปน็ เทา่ ไร
วธิ ีทํา ให้ X แทนปรมิ าณปุ๋ย และ Y แทนผลผลิต

นําคา่ X และ Y จากข้อมลู ไปกําหนดเปน็ จุดเพอ่ื ดูลกั ษณะของกราฟ ได้ดังน้ี

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 153

Y

16

14

12

10

8

6

0123456

เน่ืองจากความสมั พนั ธ์ดงั กล่าวเปน็ ความสัมพันธ์เชิงเส้น
ดังนนั้ สมการแสดงความสัมพนั ธ์เชงิ เสน้ อย่ใู นรปู Y = aX + b โดยที่ a และXb สามารถหาได้จากสมการ

ปกติ คอื n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi

 Yi Yi = ..........(1)
Xi = ..........(2)
i=n1



i=1

Xi Yi XiYi X2i

18 8 1

2 9 18 4

3 10 30 9

4 12 48 16

5 15 75 25

5  15 5  54 5  179 5 X2i  55

 Xi  Yi  XiYi i1
i1 i1 i 1

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ที่โจทยก์ ําหนดให้ จะได้

แทนค่าใน (1) ; 54 = 15a + 5b …………..(3)

แทนค่าใน (2) ; 179 = 55a + 15b ………….(4)

(3)  3; 162 = 45a + 15b ………….(5)

(4) (5); 17 = 10a

a = 1.7

นาํ a แทนค่าใน (1); 54 = 15(1.7) + 5b

5b = 54 – 25.5 = 28.5
28.5
b = 5 = 5.7

ดงั นัน้ สมการทใ่ี ชใ้ นการพยากรณค์ อื Y = 1.7X + 5.7

เน่ืองจาก X = 3.5 ดังนั้น Y = 1.7(3.5) + 5.7 = 11.65

นั่นคอื เมอื่ ใชป้ ๋ยุ 3.5 กิโลกรมั ต่อไร่ จะไดผ้ ลผลิตเท่ากับ 11.65 กโิ ลกรัมตอ่ ไร่

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 154

4. ข้อมลู แสดงสถิตเิ กีย่ วกับค่าใช้จ่ายในการโฆษณากับรายรบั ท่ีได้จาการขายสินค้าของบริษัทแห่งหนึง่

คา่ โฆษณา (ร้อยบาท) รายได้จากการขายสนิ ค้า (รอ้ ยบาท)

6 50
4 40
8 70
2 30
5 60

1) จงสรา้ งแผนภาพการกระจายของข้อมลู
2) จงหาสมการทแ่ี สดงความสัมพนั ธ์ของการโฆษณากบั รายรบั ท่ีไดจ้ าการขายสนิ ค้า
3) ถา้ ค่าใช้จา่ ยในการโฆษณาเทา่ กับ 500 บาท จงประมาณรายไดจ้ ากการขายสนิ คา้
วิธีทํา 1) กาํ หนดให้ X แทนคา่ โฆษณา และ Y แทนรายได้จากการขายสินคา้

นําคา่ X และ Y จากขอ้ มูลไปกําหนดเป็นจุดเพอ่ื ดูลกั ษณะของกราฟ ไดด้ ังน้ี

Y

80

70

60

50

40

30

20

123456789

จะไดว้ ่า แนวโนม้ ของความสมั พนั ธม์ ลี ักษณะเปน็ …เสน้ ตรง………………
2) เนื่องจากความสัมพันธด์ งั กล่าวเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น ดังนั้น สมการแXสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นอยู่

ในรปู Y = aX + b โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คอื
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1

Xi Yi XiYi X2i

6 50 300 36

4 40 160 16

8 70 560 64
2 30 60 4

5 60 300 25

5 Xi  25 5  250 5  1,380 5  145

  Yi  XiYi  X2i
i1 i1 i1 i1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 155

แทนค่าต่าง ๆ ท่โี จทย์กาํ หนดให้ จะได้

แทนคา่ ใน (1) ; 250 = 25a + 5b …………..(3)

แทนค่าใน (2) ; 1,380 = 145a + 25b ……….….(4)

จาก (3)5 ; 1,250 = 125a + 25b …………..(5)

(4) – (5) ; 130 = 20a

a = 6.5

แทนคา่ a ในสมการ (3); 250 = 25(6.5) + 5b

5b = 250 – 162.5 = 87.5
87.5
b = 5 = 17.5

น่นั คอื สมการที่แสดงความสมั พนั ธ์ทตี่ ้องการ คือ Y = 6.5X + 17.5

3) ค่าใช้จ่ายในการโฆษณาเทา่ กบั 500 บาท

แสดงวา่ X = 5 (มหี นว่ ยเป็นรอ้ ยบาท) ดงั นั้น Y = 6.5(5) + 17.5 = 50

แต่ Y เป็นคา่ โดยประมาณท่ใี กลเ้ คยี งมากทส่ี ดุ ซึ่ง Y มหี น่วยเปน็ ร้อยบาท

แสดงวา่ ถ้าโฆษณาไป 500 บาทจะมีรายไดจ้ ากการขายสินคา้ โดยประมาณ 5,000 บาท

5. ตารางท่ีกาํ หนดให้เปน็ การแสดงรายได้ – รายจา่ ยของข้าราชการจาํ นวน 5 คน จากข้าราชการแผนกหน่งึ

คนท่ี รายได้ (พนั บาท) รายจา่ ย (พนั บาท)

12 2

23 2

34 3

46 5

55 3

ถา้ ข้าราชการคนหนึง่ ในแผนกดงั กล่าวมรี ายได้ 8,000 บาท จงประมาณรายจา่ ยของข้าราชการคนนี้

วธิ ที ํา กําหนดให้ X แทนรายได้ และ Y แทนรายจา่ ย

นาํ คา่ X และ Y จากข้อมลู ไปกาํ หนดเป็นจดุ เพ่ือดูลักษณะของกราฟ ได้ดงั น้ี
Y
5.5

5.0

4.5

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0
1.5

1234567

จากกราฟแนวโน้มของความสัมพันธ์มีลักษณะเป็นเส้นตรง ดงั นน้ั สมการแสดงความสมั พันธเ์ ชิงเสน้ จะอยู่
ในรูป Y = aX + b โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คือ X
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 156

Xi Yi XiYi X2i

22 4 4

32 6 9

4 3 12 16

6 5 30 36
5 3 15 25

5  20 5  15 5 XiYi  67 5 X2i  90

 Xi  Yi i 1 i1
i1 i1

แทนค่าต่าง ๆ ทโี่ จทย์กาํ หนดให้ จะได้

แทนค่าใน (1) ; 15 = 20a + 5b …………..(3)
แทนคา่ ใน (2) ; 67 = 90a + 20b ……….….(4)
จาก (3)4 ; 60 = 80a + 20b ……….….(5)
(4) – (5) ; 7 = 10a

a = 0.7
แทนค่า a ในสมการ (3) ;15 = 20(0.7) + 5b

5b = 15 – 14 = 1

b = 0.2

นัน่ คือ สมการทแ่ี สดงความสมั พนั ธท์ ี่ต้องการ คือ Y = 0.7X + 0.2

ถ้าขา้ ราชการคนหนงึ่ ในแผนกดงั กลา่ วมรี ายได้ 8,000 บาท

แสดงว่า X = 8 (มหี นว่ ยเป็นพันบาท)

ดงั นั้น Y = 0.7(8) + 0.2 = 5.8

แต่ Y เป็นคา่ โดยประมาณท่ใี กลเ้ คยี งมากที่สุดของ ซึ่ง Y มหี นว่ ยเป็นพนั บาท
แสดงวา่ ขา้ ราชการคนหนึ่งในแผนกดังกลา่ วมีรายได้ 8,000 บาท จะมรี ายจา่ ยโดยประมาณ 5,800 บาท

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 157

กิจกรรม : การประมาณคา่ ของคา่ คงตวั
โดยใช้วธิ กี ําลังสองนอ้ ยสดุ
ตอนท่ี 2

จากการใช้วิธีกําลังสองน้อยสุดดังกล่าวจะได้สมการท่ีเรียกว่า ………สมการปกติ………(normal
equations) โดยมีจํานวนสมการเทา่ กบั จํานวนค่าคงตวั ทตี่ อ้ งการหากลา่ วคือ

1. สมการพาราโบลา
มีรปู สมการทว่ั ไปคือ

Y = aX2 + bX + c

สมการปกติ คือ

n nn ...........(1)
..........(2)
  Yi  a X2i  b Xi  cn ..........(3)

i1 i1 i1
n n nn

   XiYi  a X3i  b X2i  c Xi

i1 i1 i1 i1
N n NN

   X2i Yi  a X4i  b X3i  c X2i

i1 i1 i1 i1

ตัวอยา่ ง กําหนดข้อมูลดังต่อไปน้ี
วธิ ีทาํ X -2 -1 0 1 2
Y 21359

1) จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู
2) จงประมาณค่า Y เมอื่ กําหนดให้ X = 3
1) แผนภาพการกระจายของขอ้ มูลได้ดงั น้ี

Y

10

8

6

4

2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3

2) จากแผนภาพการกระจายของข้อมลู ความสมั พนั ธร์ ะหว่าง x และ y เปน็ สมการพาราโบลา

X

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 158

ดงั น้นั สมการแสดงความสมั พนั ธ์พาราโบลาจะอยู่ในรูป Y = aX2 + bX + c

โดยที่ a, b และ c สามารถหาได้จากสมการปกติคือ

n nn
  Yi  a X2i  b Xi  cn
...........(1)

i1 i1 i1
n n nn
   XiYi  a X3i  b X2i  c Xi ..........(2)
i1 i1 i1 i1
N n NN
   X2i Yi  a X4i  b X3i  c X2i ..........(3)
i1 i1 i1 i1

ค่าตา่ ง ๆ ที่จะนําไปแทนในแตล่ ะสมการสามารถหาได้จากตารางต่อไปนี้ Xi3
Xi2 X2i Yi Xi4
Xi Yi XiYi 16
1
-2 2 -4 4 8 -8 0
1
-1 1 -1 1 1 -1 16

0 3 0 000 5

1 5 5 151  Xi4  34

2 9 18 4 36 8 i=1

5 55 5 5 5
   Xi  0
Yi  20 XiYi  18 Xi2  10  Xi2yi  50  X3i  0

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

จากตาราง แทนคา่ ในสมการ (1), (2) และ (3) จะได้

20 = 10a + 0b + 5c …………..(4)

18 = 0a + 10b + 0c …………..(5)

50 = 34a + 0b + 10c …………..(6)

แก้สมการหาคา่ a, b และ c จากระบบสมการข้างต้น จะได้
18
จากสมการ (5); b = 10 = 1.8

นํา 2(4); 40 = 20a + 10c …………..(7)

นํา (6)–(7); 10 = 14a
14
a = 10

= 1.4

แทนค่า a = 1.4 ในสมการ (4) จะได้

20 = 10(1.4) + 5c
6
c = 5

= 1.2
ดงั นน้ั สมการแสดงความสัมพันธร์ ะหวา่ ง X กับ Y ก็คือ Y = 1.4X2 + 1.8X + 1.2
ถ้า X = 3 จะได้ Y = 1.4(3)2 + 1.8(3) + 1.2 = 19.2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 159

แบบฝึกเสริมเพ่มิ ความเขา้ ใจ

1. จงหาสมการพาลาโบลาท่เี หมาะสมสําหรับขอ้ มูลท่กี าํ หนดให้ต่อไปน้ี

X 01234

Y 1 5 10 22 38
วธิ ีทํา สมการแสดงความสัมพันธ์พาราโบลาจะอยใู่ นรปู Y = aX2 + bX + c

โดยท่ี a, b และ c สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ ดงั น้ี

n nn ...........(1)

 Yi   a X2i  b Xi  cn
i1 i1 i1
n n nn ..........(2)

   XiYi  a X3i  b X2i  c Xi
i1 i1 i1 i1
N n NN ..........(3)

   X2i Yi  a X4i  b X3i  c X2i

i1 i1 i1 i1

ค่าตา่ ง ๆ ทีจ่ ะนําไปแทนในแตล่ ะสมการสามารถหาไดจ้ ากตารางต่อไปน้ี
Xi Yi X2i Xi3 X4i XiYi X2i Yi

0100 0 0 0

1511 1 5 5

2 10 4 8 16 20 40

3 22 9 27 81 66 198

4 38 16 64 256 152 608

5 555 X3i  100 5 5 5
X2i  30
   Xi  10  Xi4  354  XiYi  243  X2i Yi  851
Yi  76
i1 i1 i1 i1 i 1 i 1 i 1

จากตาราง แทนค่าในสมการ (1), (2) และ (3) จะได้

76 = 30a + 10b + 5c …………..(4)

243 = 100a + 30b + 10c …………..(5)

851 = 354a + 100b + 30c …………..(6)

แก้สมการหาค่า a, b และ c จากระบบสมการข้างต้น จะได้

นาํ 2(4); 152 = 60a + 20b + 10c …………..(7)

นํา (5)–(7); 91 = 40a + 10b …………..(8)

นํา 3(5); 729 = 300a + 90b + 30c …………..(9)

นํา (6)–(8); 122 = 54a + 10b 31 …………..(10)
14
นาํ (10)–(8); 31 = 14a  a = = 2.21

แทนค่า a = 2.21 ในสมการ (8) จะได้ 91 = 40(2.21) + 10b  b = 2.6 = 0.26
10
7.1
แทนค่า a = 2.21 และ b = 0.26 ในสมการ (4) จะได้ c= 5 = 1.42

ดงั น้ัน สมการแสดงความสัมพันธร์ ะหว่าง X กับ Y กค็ ือ Y = 2.21X2 + 0.26X + 1.42

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 160

2. ถา้ ตวั แปร x และ y คอื

x 1 0 1 2 3
y 1 0 1 3 10
และสมการทีใ่ ช้ประมาณความสมั พันธร์ ะหวา่ งสองตวั แปรนค้ี อื y = kx2 แลว้ k มีคา่ เทา่ กบั เท่าไร
วธิ ีทาํ จากโจทย์ สมการที่ใช้ประมาณความสัมพันธร์ ะหว่างสองตัวแปรน้ีเป็นสมการพาราโบลา y = kx2

จึงมสี มการปกติ ดงั น้ี 55
 yi  k
x 2 ...........(1)
i
x2i
i=1 i=1 1
0
เราสามารถสรา้ งตารางหาค่าตา่ ง ๆ ไดด้ ังน้ี

xi yi

-1 1

00

111
234
3 10 9

5 5 5
x
xi  5  yi  15 2  15
i

i=1 i=1 i=1

จากตาราง แทนค่าในสมการ (1) จะได้ 15 = 15k

น่นั คือ k = 1

3. จากการศึกษาพบวา่ ความสมั พนั ธ์ระหว่างอายุ (x) และปรมิ าณอาหารเสริมทใ่ี ชเ้ ล่ียงทารก (y) มีสมการเป็น
y = 1.2x2 + 5x + 3 ในโรงพยาบาลแห่งหน่ึงมีเด็กทารกจํานวน 5 คน ซ่ึงมีอายุ 4, 6, 8, 9, 10 เดือน
ตามลาํ ดับ ปรมิ าณอาหารเสรมิ เฉล่ยี ทใ่ี ช้เลีย้ งทารกจาํ นวนน้เี ป็นเท่าใด
วิธีทํา จากโจทย์ สมการท่ีใช้ประมาณความสมั พนั ธร์ ะหว่างสองตัวแปรนี้เป็น y = 1.2x2 + 5x + 3

จึงมสี มการปกติ ดังน้ี n nn
ดงั นั้น
 yi   a x2i  b xi  cn
นํา n หารตลอด; i1 i1
ฉะนั้น i 1
nn
n
  1.2 x2i  5 xi  3n
 yi i1 i1

i 1 nn
1.2 x2i
n   i 1 5 xi 3n
  n
 yi n i 1

i 1 n

n

yi  1.2x2i  5xi  3 ………………(1)

จากโจทย์ xi  4  6  8  9  10  37  7.4 ………………(2)
5 5 ………………(3)

และ x2i  42  62  82  92  102  297  59.4
5 5

นํา (2) และ (3) แทนในสมการ (1) จะได้

yi  1.2(59.4)  5(7.5)  3
 111.28

ดงั นน้ั ปรมิ าณอาหารเสรมิ เฉลย่ี ทใี่ ชเ้ ลีย้ งทารกจํานวนเทา่ กบั 111.28

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 161

กจิ กรรม : การประมาณคา่ ของคา่ คงตัว
โดยใชว้ ธิ กี ําลังสองนอ้ ยสดุ
ตอนจบ

ความสัมพันธเ์ ชิงฟังก์ชนั ของข้อมูลทีอ่ ยใู่ นรปู อนกุ รมเวลา
ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา (time series) คือ ข้อมูลที่แสดงความเปล่ียนแปลงตามลําดับก่อนหลัง
ของช่วงเวลาของข้อมูลน้ัน ๆ เกิดขึ้น ในทางสถิติข้อมูลนั้น ๆ ควรจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาท่ีเท่า ๆ กัน เช่น
จํานวนประชากรในแต่ละปี จํานวนต้นไม้ที่ปลูกในแต่ละเดือน จํานวนเงินท่ีจ่ายในแต่ละวันหรือสัปดาห์หรือ
เดือนหรือปเี ปน็ ต้น ในการสร้างความสมั พันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา ใช้วิธีเดียวกันกับที่ใช้ใน
การสร้างความสมั พันธ์เชิงฟังก์ชันของตวั แปรโดยทวั่ ๆ ไป คอื

Y = f(t)

เม่ือ Y เปน็ ตัวแปรตาม และ t เปน็ ตวั แปรอสิ ระ

เทคนิคการสมมตติ วั เลขแทนชว่ งเวลาที่เท่า ๆ กัน
การสร้างสมการของความสัมพันธ์ของข้อมูลท่ีอยู่ในรูปอนุกรมเวลา และวิธีคิดคํานวณดําเนิ นการ
เช่นเดยี วกับความสมั พันธ์ของข้อมลู ท่วั ๆ ไป เพียงแต่เปล่ียนตวั แปร X เป็นตวั เลขตามหลักเกณฑต์ อ่ ไปน้ี
1. ถ้าจาํ นวนชว่ งเวลาท่นี าํ มาสรา้ งความสมั พันธ์เป็นจาํ นวนคี่ แลว้
1.1 มกั จะกาํ หนดให้ชว่ งเวลาทีอ่ ย่ตู รงกลางเปน็ 0
1.2 ช่วงเวลาที่อยู่ถัดขนึ้ ไปก่อนหน้าชว่ งทก่ี าํ หนดเป็น -1, -2, -3, . . . ตามลําดับ
1.3 ชว่ งเวลาทอ่ี ยู่ถดั ลงมาซึ่งเปน็ ช่วงเวลาท่เี กดิ ข้ึนภายหลัง จะกําหนดเปน็ 1, 2, 3, . . . ตามลําดับ
2. ถ้าจาํ นวนชว่ งเวลาทนี่ าํ มาสร้างความสมั พันธ์เปน็ จาํ นวนคู่
2.1 มกั จะกําหนดใหช้ ว่ งเวลาทอ่ี ยตู่ รงกลางเปน็ -1 และ 1
2.2 ชว่ งเวลาท่ีอยถู่ ัดขึน้ ไปก่อนหน้าชว่ งเวลาท่ีกําหนดให้เป็น -1 นเี้ ปน็ -3, -5, -7, . . . ตามลําดับ
2.3 ช่วงเวลาทีอ่ ยู่ถัดลงมาหลังชว่ งเวลาที่กําหนดให้เปน็ 1 น้ีเป็น 3, 5, 7, . . . ตามลําดับ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 162

ตวั อยา่ งเสริมเพิม่ ความเข้าใจ

จํานวนชว่ งเวลาท่ีเป็นจาํ นวนคี่ จาํ นวนช่วงเวลาทเี่ ปน็ จํานวนคู่

พ.ศ. Xi พ.ศ. Xi
2550 -3 2551 -5

2551 -2 2552 -3

2552 -1 2553 -1

2553 0 2554 1

2554 1 2555 3

2555 2 2556 5

2556 3 n

 Xi  0
i1

ตวั อยา่ งที่ 1 ให้ใชค้ วามสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั กช์ ันท่เี ปน็ เสน้ ตรงกบั ขอ้ มลู ต่อไปน้ี

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

จํานวนเครอื่ งจักรทีข่ าย (พันเคร่ือง) 1 2 4 5 7

ในปี พ.ศ. 2557 จาํ นวนเคร่ืองจักรทข่ี ายไดค้ วรจะเปน็ เท่าใด

วิธีทํา กาํ หนดให้ X แทนเวลา (พ.ศ.) และ Y แทนจาํ นวนเครอื่ งจกั รท่ีขายได้

ความสมั พนั ธ์เชิงฟงั ก์ชนั ทีเ่ ป็นเสน้ ตรง Y = aX + b โดยที่ a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกตคิ ือ
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi Yi = ..........(1)
 Xi = ..........(2)

i=n1



i=1
ค่าตา่ ง ๆ ท่จี ะนําไปแทนในแต่ละสมการสามารถหาได้จากตารางต่อไปนี้
Yi XiYi X2i
พ.ศ. Xi

2550 -2 1 -2 4

2551 -1 2 -2 1
2552 0 4 0 0

2553 1 5 5 1

2554 2 7 14 4

6 6 6 6

Xi  0  Yi  19  XiYi  15  Xi2  10

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนค่าใน (1); 19 = a(0) + b(5) .…..……..(3)
19
จะได้ b = 5 = 3.8

แทนคา่ ใน (2); 15 = a(10) + b(0) …………..(4)
15
จะได้ a = 10 = 1.5

นัน่ คอื สมการที่แสดงความสัมพนั ธท์ ี่ต้องการ คือ Y = 1.5X + 3.8

ในปี พ.ศ. 2557 แสดงว่า X = 5 (X มหี นว่ ยเป็นพันบาท) ดังนนั้ Y = 1.5(5) + 3.8 = 11.3

แสดงว่า จาํ นวนเคร่ืองจักรทีข่ ายได้ประมาณ 11,300 เครือ่ ง

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 163

ตัวอยา่ งท่ี 2 ถ้าระยะเวลากับจํานวนสินค้าท่ีขายได้ของบริษัทแห่งหน่ึงในรอบ 6 ปี ที่ผ่านมาเป็นข้อมูลอยู่ใน
วธิ ีทํา รปู อนกุ รมเวลาดงั นี้

พ.ศ. 2551 2552 2553 2554 2555 2556

จํานวนสินค้า (หม่นื ชิ้น) 5 6 9 12 16 24

1) จงเขยี นแผนภาพการกระจาย
2) จงพยากรณว์ ่าในปี พ.ศ. 2559 บรษิ ทั แหง่ นี้จะมจี ํานวนสนิ คา้ ทีข่ ายได้เท่าไร
3) จงพยากรณ์จาํ นวนสนิ คา้ เฉล่ียทข่ี ายได้ตอ่ ปตี ั้งแต่ พ.ศ. 2557 ถึง พ.ศ. 2559
กําหนดให้ X แทนเวลา (พ.ศ.) และ Y แทนจาํ นวนสินค้า (หมนื่ ช้นิ )
1) แผนภาพการกระจาย เปน็ ดังนี้

2) เนอื่ งจากข้อมลู มคี วามสัมพนั ธ์เปน็ เส้นตรง ดังน้นั สมการพยากรณ์ คอื Y = aX + b

โดยท่ี a และ b หาไดจ้ ากสมการปกติ คอื
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1
นาํ ขอ้ มูลจากตารางท่กี าํ หนดให้ มาสรา้ งตารางใหม่ดงั น้ี
Xi2
พ.ศ. Xi Yi XiYi
-25
2551 -5 5 25

2552 -3 6 9 -18

2553 -1 9 1 -9

2554 1 12 1 12

2555 3 16 9 48

2556 5 24 25 120

66 6 X2i  70 6

  Xi  0  Xi Yi  128
i1 i1 Yi  72 i1
i1

นาํ ค่าตา่ ง ๆ จากตารางมาแทนค่าในสมการปกติ จะได้

72 = a(0) + b(6) ..........(1)

128 = a(70) + b(0) ..........(2) 64
72 128 35
จาก (1); b= 6 = 12 และจาก (2); a = 70 = = 1.83

ดังน้นั สมการพยากรณค์ อื Y = 1.83X + 12

ตอ้ งการพยากรณ์ปี พ.ศ. 2559 ซ่งึ แทน X = 11 จะได้ Y = 1.83(11) + 12 = 32.13

แสดงวา่ ในปี พ.ศ. 2559 จํานวนสนิ ค้าทีข่ ายไดเ้ ทา่ กับ 32.13 หมนื่ ชนิ้ หรือ เทา่ กบั 321,300 ช้นิ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 164

3) ตอ้ งการพยากรณจ์ ํานวนสินคา้ เฉล่ยี ทข่ี ายได้ตอ่ ปีตัง้ แต่ พ.ศ. 2557 ถึง พ.ศ. 2559

พ.ศ. X Y = 1.83X + 12

2557 7 1.83(7) + 12 = 24.81

2558 9 1.83(9) + 12 = 28.47

2559 11 1.83(11) + 12 = 32.13

3

 Yi  85.41
i 1

ดังนัน้ จาํ นวนสินค้าเฉลี่ยท่ขี ายไดต้ ่อปตี งั้ แต่ พ.ศ. 2557 ถงึ พ.ศ. 2559
85.41
เทา่ กบั 3 = 28.47 หมื่นช้ิน หรือ เทา่ กบั 284,700 ชนิ้

แบบฝึกเสรมิ เพิ่มความเขา้ ใจ

1. มลู คา่ อตุ สาหกรรมสง่ิ ทอทป่ี ระเทศไทยสง่ ออกไปขายยังต่างประเทศระหวา่ งปี พ.ศ. 2550 – 2554 เป็นดงั นี้

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

มลู คา่ (ล้านบาท) 1 3 4 5 9

1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มูล
2) มลู ค่าการส่งออกโดยเฉลย่ี ใน 6 เดือนแรกของปี พ.ศ. 2555 จะมีค่าเท่ากบั เท่าใด
วิธที าํ 1) เขียนแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู ได้ดงั นี้

2) ตอ้ งการมูลคา่ การส่งออก ซึง่ แทนดว้ ย Y

จากแผนภาพการกระจายของข้อมลู ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง X และ Y เป็นแบบเส้นตรง

ดังน้ัน สมการแสดงความสมั พนั ธ์เชิงเสน้ อยู่ในรูป Y = aX+b โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คือ
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1
นําขอ้ มลู จากตารางทกี่ ําหนดให้ มาสรา้ งตารางใหม่ดังนี้
Yi XiYi X2i
พ.ศ. Xi

2550 -2 1 -2 4

2551 -1 3 -3 1

2552 0 4 0 0
2553 1 5 5 1
2554 2 9 18 4

5 5 5 5
x
xi  0  yi  22  xiyi  18 2  10
i
i=1 i=1 i=1
i=1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 165

แทนค่าใน (1); 22 = a(0) + b(5) …………..(3)
จะได้ 22 …………..(4)
แทนค่าใน (2); b = 5 = 4.4

18 = a(10) + b(0)

จะได้ a = 1.8

นัน่ คอื สมการทีแ่ สดงความสมั พันธท์ ่ตี ้องการ คอื Y = 1.8X + 4.4

ต้องการพยากรณป์ ี พ.ศ. 2555 ได้ X = 3 จะได้ Y = 1.8(3) + 4.4 = 9.8

ดังน้ัน ตลอดท้งั ปมี ลู คา่ การสง่ ออก 9.8 ล้านบาท และมูลค่าการสง่ ออกโดยเฉล่ยี 6 เดือนแรก
9.8 × 6
เทา่ กับ 12 = 4.9 ลา้ นบาท

2. จากขอ้ มูลอนุกรมเวลา (Y) มคี ่าแสดงในตารางขา้ งล่างนี้

พ.ศ. 2556 2557 2558 2559 2560

Y 20 30 20 40 60

ถ้า Y มคี วามสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันกับเวลา (X) ในลักษณะเส้นตรง แล้วสามารถทํานายค่า Y ในปี พ.ศ. 2565 ได้

เทา่ กบั เทา่ ใด

วธิ ที าํ ตอ้ งการทาํ นายค่า Y เนื่องจากความสัมพนั ธร์ ะหว่าง X และ Y เป็นแบบเส้นตรง

ดังน้ัน สมการแสดงความสมั พนั ธเ์ ชงิ เสน้ อยู่ในรูป Y = aX+b โดยที่ a และ b สามารถหาได้จากสมการปกติ คอื
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1
นําขอ้ มูลจากตารางทก่ี ําหนดให้ มาสร้างตารางใหม่ดงั นี้
พ.ศ. Xi Yi XiYi X2i

2556 -2 20 -40 4

2557 -1 30 -30 1

2558 0 20 0 0

2559 1 40 40 1

2560 2 60 120 4

55 5 5
 xi  0 x
yi  170  xiyi  90 2  10
i
i=1
i=1 i=1 i=1
…………..(3)
แทนคา่ ใน (1); 170 = a(0) + b(5)
จะได้ 170 …………..(4)
b = 5 = 34
แทนค่าใน (2);
90 = a(10) + b(0)

จะได้ a = 9

นนั่ คือ สมการทแ่ี สดงความสัมพนั ธท์ ่ตี ้องการ คือ Y = 9X + 34

ต้องการพยากรณป์ ี พ.ศ. 2565 ได้ X = 7 จะได้ Y = 9(7) + 34 = 97

3. ข้อมูลต่อไปน้เี ป็นรายไดข้ องบรษิ ทั แห่งหนึง่ มหี นว่ ยเป็นล้านบาท จําแนกตามรายเดือนในปี พ.ศ. 2556 ดงั น้ี

เดือน ม.ค. ก.พ. ม.ี ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย.

รายได้ 1.2 1.5 2 3 3.5 4.5

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 166

ถ้าแนวโน้มของความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับข้อมูลเป็นเส้นตรง จงประมาณรายได้ของบริษัทดังกล่าว ในเดือน

สงิ หาคมของปีเดยี วกนั

วธิ ที าํ ให้ Y แทนรายได้ เนอื่ งจากแนวโนม้ ของความสมั พันธ์ระหว่างเวลากบั ข้อมูลเป็นเสน้ ตรง

ดังนนั้ สมการแสดงความสมั พันธเ์ ชงิ เสน้ อยู่ในรูป Y = aX+b โดยที่ a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คือ
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi = ..........(1)
 XiYi = ..........(2)

i=n1



i=1
นําขอ้ มลู จากตารางท่ีกําหนดให้ มาสร้างตารางใหม่ดงั น้ี
X2i
เดอื น Xi รายได้ (Yi) XiYi

ม.ค. -5 1.2 -6 25

ก.พ. -3 1.5 -4.5 9

มี.ค. -1 2 -2 1

เม.ย. 1 3 31

พ.ค. 3 3.5 10.5 9

มิ.ย. 5 4.5 22.5 25

66 6 6
  xi  0
yi  15.7 xi yi  23.5  xi2  70

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนค่าใน (1); 15.7 = a(0) + b(6) …………..(3)
15.7
จะได้ b = 6 = 2.62

แทนค่าใน (2); 23.5 = a(70) + b(0) …………..(4)
23.5
จะได้ a = 70 = 0.34

นน่ั คือ สมการท่ีแสดงความสัมพนั ธ์ทต่ี อ้ งการ คอื Y = 0.34X + 2.62

ต้องการพยากรณ์ปี เดือนสงิ หาคม ได้ X = 7 จะได้ Y = 0.34(7) + 2.62 = 5

ดังนั้น รายไดข้ องบรษิ ัทดงั กลา่ ว ในเดอื นสิงหาคมของปีเดยี วกัน ประมาณ 5 ลา้ นบาท

4. ถร้าะคหววา่ามงปสัมี พพ.ันศ.ธ์ร2ะ5ห5ว1่า–งร2ะ5ย5ะ5(พแ.สศด.)งดX้วยกสับมปกราิมราณY1เน=้ือห0.ม0ูโ5ดXย2เฉ+ลี่ย0.2(ก5ิโXลก+รัม1)0ท.5ี่คแนลในะคอําวเาภมอสหัมนพ่ึงันบธร์ริโะภหควต่า่องปเวี ลYา1
(พ.ศ.) X กับปรมิ าณเนื้อววั โดยเฉลยี่ (กิโลกรมั ) ทีแ่ ต่ละคนในอําเภอเดียวกันบริโภคต่อปี Y2 ระหว่างปี พ.ศ. 2551
– 2555 แสดงไดด้ ้วยสมการ Y2 = 0.04X2 + 0.6X + 9.4 (เมื่อ X = 0 แทนพ.ศ. 2553 และ X มหี น่วยเป็นปี) การ
ทาํ นายปริมาณเนอื้ หมโู ดยเฉล่ียและปริมาณเน้ือววั โดยเฉล่ยี ทีแ่ ต่ละคนในอําเภอน้ีบริโภคตอ่ ปีในชว่ ง พ.ศ. 2556 –

2558 ในขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู

1. ปริมาณเนอื้ หมมู ากกวา่ ปรมิ าณเนอ้ื ววั ทุกปี 2. ปริมาณเน้ือหมูนอ้ ยกวา่ ปรมิ าณเนือ้ ววั ทุกปี

3. ปรมิ าณเนือ้ หมูเท่ากับปริมาณเน้ือวัวทกุ ปี 4. ปริมาณเนอื้ หมมู ากกว่าปรมิ าณเน้ือวัวบางปี

วธิ ที าํ จากโจทย์ X = 0 แทน พ.ศ. 2553 จะได้ Y2 = 0.04X2 + 0.6X + 9.4
Y1 = 0.05X2 + 0.25X + 10.5 11.56
พ.ศ. Xi

2556 3 11.70

2557 4 12.30 12.44

2558 5 13.00 13.40

ดงั นน้ั ปริมาณการบรโิ ภคเน้ือหมมู ากกว่าปรมิ าณเนอื้ วัวบางปี

น่นั คือ ข้อ 4 ถกู ต้อง

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา