เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560 ฉบับครู

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 99

แบบฝกึ เสริม เพม่ิ ความเขา้ ใจ
เปอรเ์ ซน็ ไทล์ ควอร์ไทล์ เดไซล์

คําช้ีแจง 1. จงใช้ขอ้ มลู ในตารางแจกแจงความถ่ตี อบคําถาม ดังนี้

คะแนน 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 90–99

ความถ่ี 2 3 6 9 21 15 4
Q3 Q1
1) จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์   
 
 2 

2) จงหาค่าของ D8 – D4
3) ถา้ นักเรยี นคนหน่งึ สอบได้คะแนน 84 คะแนน คะแนนของเขาเป็นเปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ีเทา่ ไร

วธิ ีทํา หาความถสี่ ะสมของขอ้ มูลจากตารางดังน้ี

คะแนน 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 99 - 90

ความถ่ี 2 3 6 9 21 15 4

ความถ่ีสะสม 2 5 11 20 41 56 60
Q3 Q1
1) หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์   
 
 2 

ตาํ แหนง่ ของ Q1 คือ ตําแหนง่ ท่ี Nr = 1  60  15 จะได้วา่ คา่ ของ Q1 อยูใ่ นอนั ตรภาคชน้ั 60–69
4
4

จากสตู ร Qr  Nr  fL  และเนอื่ งจาก L  ..59.5.., I  ..10.., fL  ..11.. และ f  ...9....
 
= L 4 f I
 


ดงั นั้น Q1 = 59.5   15 911 10 = 59.5 + 4.44 = 63.94
เพราะฉะนั้น 

Q1  …63.94……คะแนน

ตําแหนง่ ของ Q3 คือ ตําแหน่งท่ี Nr = 3  60 = 45 จะไดว้ ่าค่าของ Q3 อยู่ในอันตรภาคชนั้ 80–89
4 4

จากสตู ร Qr  Nr  fL  และเน่อื งจาก L  ...79.5..., I  ...10..., fL  ...41... และ f  ...15....
 
= L 4 f I
 


ดงั นน้ั Q3 = 79.5   45  41 10 = 79.5 + 2.67 = 82.17
 15

เพราะฉะนนั้ Q3  …82.17…..คะแนน

ดังนน้ั ส่วนเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์  Q3 - Q1  82.17  63.94  9.115
2
2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 100

2) หา D8 – D4 Nr = 8  60 = 48 จะได้วา่ คา่ ของ D8 อย่ใู นอันตรภาคชนั้ 80–89
ตําแหนง่ ของ D8 คอื ตําแหนง่ ท่ี 10 10

จากสตู ร Dr  Nr  fL  และเนื่องจาก L  ...79.5..., I  ...10..., fL  ...41... และ f  ...15....
 
 L 10 f I
 


ดังนนั้ D8  79.5   48  41 10 = 79.5  4.67  84.17
 15

เพราะฉะนนั้ D8  …84.17…..คะแนน
4  60
ตําแหน่งของ D4 คือ ตําแหน่งที่ Nr = 10 = 24 จะได้วา่ คา่ ของ D8 อยใู่ นอันตรภาคชน้ั 70–79
10

จากสูตร Dr  Nr  fL  และเนื่องจาก L  ...69.5..., I  ...10..., fL  ...20.... และ f  ...21...
 
 L 10 f I
 


ดงั นั้น D4  69.5   24  20 10 = 69.5 1.90  71.40
 21

เพราะฉะนัน้ D4  ……71.40………คะแนน

ดังน้นั D8  D4  …84.17 – 71.40 = 12.77 คะแนน

3) ถ้านักเรียนคนหนงึ่ สอบได้คะแนน 84 คะแนน คะแนนของเขาเปน็ เปอรเ์ ซ็นไทล์ทเ่ี ท่าไร
นัน่ คอื Pr อยู่ในสตมาํ มแหติในห่งค้ขะอแงนข้อนม8ลู 4ที่คะ1Nแ0น0r นเปน็10คr0ะแ6น0นในตาํ แ35หrน่งแลPะr 84 อยใู่ นอนั ตรภาคชัน้ 80 – 89

จากสตู ร Pr  Nr  fL 
แทนค่าในสูตร ;  f 
 L   100 I



3r
84  79.5   5  41  10
 
15
r  79.58  80

จะได้ 84  P80

ดงั นั้น นักเรียนที่สอบได้ 84 คะแนน สอบได้ตําแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี...80....................

2. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนักศึกษากลุ่มหน่งึ เปน็ ดงั นี้

คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

จํานวนนกั ศึกษา 2 5 6 11 11 4 1

ในการสอบครั้งนี้กญั ญาได้ 50 คะแนน ปราณไี ด้ 55 คะแนน และวชิ ยั ได้ 60 คะแนน

จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ว่าขอ้ ใดถกู หรือผิดเพราะเหตุใด

ก. กญั ญาไดค้ ะแนนต่างจากตําแหน่งควอร์ไทลท์ ่ี 1 นอ้ ยกวา่ ปราณไี ด้คะแนนตา่ งจากตําแหน่งเดไซล์ท่ี 5

ข. กญั ญาไดค้ ะแนนต่างจากตาํ แหน่งควอรไ์ ทล์ท่ี 1 มากกว่าวิชยั ไดค้ ะแนนตา่ งจากตาํ แหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 80

ค. กญั ญาได้คะแนนตา่ งจากตาํ แหน่งควอรไ์ ทล์ที่ 1 มากกวา่ ปราณีได้คะแนนต่างจากตําแหน่งเดไซล์ท่ี 5

ง. ปราณไี ดค้ ะแนนต่างจากตําแหนง่ เดไซล์ที่ 5 มากกว่าวชิ ัยไดค้ ะแนนตา่ งจากตาํ แหน่งเปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 80

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 101

วิธีทํา สรา้ งตารางแจกแจงความถี่ดงั นี้

คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

จาํ นวนนกั ศึกษา 2 5 6 11 11 4 1

ความถ่สี ะสม 2 7 13 24 35 39 40
40
ควอร์ไทล์ท่ี 1 อย่ใู นตําแหนง่ ความถ่ีสะสม… 4  10 …ซง่ึ อยูร่ ะหว่างความถ่ีสะสม 7 และ 13

จากสตู ร Qr  Nr  fL  ดังนั้น Q1  49.5  1067 10  49.5 + 5 = 54.5
 f 
= L 4 I




กัญญาได้ 50 คะแนน ต่างจาก Q1 เทา่ กับ......54.5 – 50 = 4.5.....คะแนน
4  40
เดไซล์ที่ 5 อยใู่ นตําแหน่งความถีส่ ะสม… 10 = 16 …ซง่ึ อยรู่ ะหวา่ งความถส่ี ะสม 13 และ 24

จากสูตร Dr  Nr  fL  ดังน้นั D5 59.5  20 13 10 59.5 + 6.36 = 65.86
 f   11
 L 10 I   




ปราณีได้ 55 คะแนน ตา่ งจาก D5 เท่ากบั .....65.86 – 55 = 10.86.......คะแนน

เปอร์เซน็ ไทล์ที่ 80 อยู่ในตาํ แหน่งความถี่สะสม 8040 = 32 ซง่ึ อย่รู ะหวา่ งความถสี่ ะสม 24 และ 35

100

จากสตู ร Pr   Nr  fL  ดงั น้นั P80  69.5  10  32  24   69.5  7.27  76.77
   11 
L 100 f I
 


วิชยั ได้ 60 คะแนน ต่างจาก P80 เท่ากับ.....76.77 – 60 = 16.77.....คะแนน

ดงั นัน้ ข้อ ก ถูกตอ้ ง เนอื่ งจาก 4.5  10.86

ข้อ ข ไม่ถกู ต้อง เพราะว่า 4.5  16.77

ขอ้ ค ไมถ่ กู ต้อง เพราะวา่ 4.5  10.86

ขอ้ ง ไม่ถูกต้อง เพราะว่า 10.86  16.77
3. กําหนดใหค้ า่ จา้ งรายวนั ของคนงานกลุม่ หนงึ่ มกี ารแจกแจงดังน้ี

ค่าจ้าง (บาท) จาํ นวนคนงาน ความถส่ี ะสม

81 - 85 1 1

86 - 90 3 4

91 - 95 x 4+x

96 - 100 5 9+x
101 - 105 8 17+x
106 - 110 y 17+x+y

111 - 115 10 27+x+y
116 - 120 4 31+x+y

ข้อมูลชุดนี้มี P25 100.5, Q3 110.5 แล้วจาํ นวนคนงานทไี่ ด้ค่าจา้ งรายวนั ตาํ่ กวา่ 105.5 บาท เทา่ กบั เท่าใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 102

วธิ ีทํา

จะได้ N  …31+x+y ….

เนอ่ื งจากตําแหน่งของ Pr คือตาํ แหนง่ ที่ Nr  31 x  y50  1 31 x  y
100
100 4

ตาํ แหน่งของ Q3 คือ ตําแหนง่ ที่ Nr  31 x  y3  3 11 x  y
4
4 4

เพราะวา่ P25  100.5 อยู่ในชว่ ง……96 – 100…….เพราะฉะนั้น P25 มี fL  9  x

ดังนัน้ 1 31 x  y  9  x

4

31 x  y  36  4x

3x  y   5 (1)

เพราะวา่ Q3  110.5 อยูใ่ นชว่ ง……106 – 110…..เพราะฉะน้ัน Q3 มี fL  17  x  y

ดังนน้ั 3 31 x  y  17  x  y

4

93  3x  3y  68  4x  4y

x  y  25 (2)

(1) + (2) ; 3x  y  x  y  25  5

4x  20

x5

นนั่ คือ จาํ นวนคนงานท่ีได้ค่าจ้างรายวันต่ํากวา่ 105.5 บาท เทา่ กับ 17  x  17  5  22 คน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 103

กจิ กรรม : พิสัย
ส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์

สว่ นเบีย่ งเบนเฉล่ีย

มมุ ความรู้ พิสัย (range)
พิสัย คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายที่ได้จากผลแตกต่างระหว่างข้อมูลท่ีมีค่าสูงสุดและ

ขอ้ มลู ท่ีมคี า่ ตํ่าสดุ
ถา้ x1, x2, x3, ..., xn เป็นคา่ ของข้อมลู ชุดหนึง่

พสิ ยั  xMax  xMin

เมือ่ xMax และ xMin เป็นค่าสงู สุดและค่าต่าํ สุดของขอ้ มลู ชดุ นต้ี ามลาํ ดบั

ในกรณีทขี่ ้อมูลแจกแจงความถโ่ี ดยแบง่ เป็นอันตรภาคชน้ั
พิสัย คือ ผลต่างของขอบบนของอันตรภาคชั้นของข้อมูลท่ีมีค่าสูงท่ีสุดกับขอบล่าง
ของอนั ตรภาคชน้ั ของข้อมลู ทีม่ คี า่ ตํ่าที่สดุ

1. จากตารางราคาสินค้าที่จาํ หน่ายในหา้ งสรรพสินคา้ 5 แห่งดงั น้ี

หา้ งสรรพสินค้า A B C D E

ราคาสนิ คา้ (บาท) 2,000 1,990 2,025 1,995 2,000

จงหาพิสัยของราคาสินคา้ ทีจ่ ําหนา่ ย

วิธที ํา จากกตารางพบว่า คา่ สูงสุดของข้อมูล คอื ......2,025..............................

ค่าต่ําสุดของข้อมลู คือ ......1,990..............................

ดงั น้ัน พิสยั ของราคาสนิ ค้าทีจ่ ําหน่าย คือ.....2,025 – 1,990 = 35.........บาท

2. ตารางแจกแจงผลผลติ โดยเฉลี่ยตอ่ ไร่ของถว่ั เหลอื งจาก 47 จังหวดั ของประเทศไทยในปเี พาะปลูก 2555-2556

ผลผลติ ตอ่ ไร่ (กิโลกรมั ) ความถี่

120 - 138 3

138 - 157 1

158 - 176 6

177 - 195 8

196 - 214 19

215 - 233 2

234 - 252 7

253 - 271 1

จงหาพสิ ยั ของขอ้ มลู จากตารางแจกแจงความถี่

วธิ ที าํ จากกตาราง อันตรภาคชน้ั ของข้อมูลท่ีมีคา่ สูงสดุ คอื ....253 - 271..........

ขอบบนของอันตรภาคช้นั 253 - 271 คือ .......271.5........................

อันตรภาคชั้นของข้อมูลท่ีมตี ํา่ สูงสดุ คอื .....120 - 138...............................

ขอบล่างของอันตรภาคชนั้ 120 - 138 คือ .......119.5.............................

ดังน้นั พิสยั คือ.....271.5 – 119.5 = 52..................กโิ ลกรัม

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 104

มมุ ความรู้ ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ หรอื ก่งึ ชว่ งควอร์ไทล์ (quartile deviation หรอื semi -
interquartile range)

ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายที่หาได้จากครึ่งหน่ึงของผลต่าง
ระหวา่ งควอร์ไทลท์ ี่สาม ( Q3 ) และควอรไ์ ทล์ท่ีหนึ่ง ( Q1 ) ให้ Q.D. เป็นสัญลักษณ์แทนส่วน

เบย่ี งเบนควอร์ไทล์ จะไดว้ ่า

Q.D.  Q3  Q1
2

3. จากข้อมูลทีก่ าํ หนดให้ 1, 3, 3, 5, 5, 8, 10, 12, 14 จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

วธิ ที าํ นําขอ้ มลู มาเรียงลาํ ดบั จากค่าน้อยไปหาคา่ มาก จะได้

..................... 1 3 3 5 5 8 10 12 14...................................................

หาตาํ แหน่งของ Q1 และ Q3 จะได้

ตาํ แหนง่ ของ Q1 คอื ตาํ แหน่งที่ N 1  9 1  10  2.5
4 4 4

ตาํ แหน่งของ Q3 คือ ตาํ แหน่งที่ 3 N 1  39 1  30  7.5
4
4 4

จะไดว้ า่ Q1  ....3............ และ Q3  .....11...........

ดังนน้ั Q.D.  Q3  Q1  11 3  4

22

นัน่ คือ ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ เท่ากบั ……4………………….

4. กาํ หนดให้ข้อมูลตอ่ ไปนเ้ี ปน็ ผลการสอบวชิ าสถติ ขิ องนักเรยี นจาํ นวน 120 คน

คะแนน จาํ นวนนักเรยี น

30 - 39 1

40 - 49 3

50 - 59 11

60 - 69 21

70 - 79 43

80 - 89 32

90 - 100 9

รวม 120

จงหาสว่ นเบยี่ งเบนควอร์ไทล์

วธิ ที าํ หาตาํ แหนง่ ของ Q1 และ Q3 จะได้

ตําแหน่งของ Q1 คอื ตาํ แหนง่ ท่ี N  120  30
4 4

ตําแหน่งของ Q3 คือ ตําแหน่งที่ 3N  3 120   360  90
4 4
4

หาอนั ตรภาคช้ันท่ี Q1 และ Q3 อยู่ พร้อมทั้งหาค่า Q1 และ Q3

จากขอ้ มลู ทกี่ ําหนดใหห้ าความถี่สะสมไดด้ งั น้ี

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 105

คะแนน จาํ นวนนักเรยี น ความถีส่ ะสม

30 - 39 1 1

40 - 49 3 4

50 - 59 11 15

60 - 69 21 36

70 - 79 43 79

80 - 89 32 111

90 - 100 9 120

รวม 120

เพราะฉะน้นั Q1 อยู่ในอันตรภาคชัน้ …60 – 69…และ Q3 อยู่ในอนั ตรภาคช้ัน…80 – 89………………

หา Q1 ในอันตรภาคช้นั โดยใช้สูตรดังน้ี Q1  N  fL 
 f 
 L   4 I




เม่อื L 59.5, I  10, N  30, fL  15 และ f  21

4

ดังนั้น Q1  59.5   30 15   66.64
 21 10

หา Q3 ในอันตรภาคช้ันโดยใช้สตู รดังน้ี   3N  fL 
 f 
Q3 L   4 I




เมอื่ L  79.5, I  10, 3N  90, fL  79 และ fQ3  32
4

ดังนนั้ Q3  79.5   90  79 10  82.94
 32

เพราะฉะนนั้ Q.D.  Q3  Q1  82.94  66.64  8.15

22

น่ันคือ สว่ นเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ของการสอบวชิ าสถติ คิ ร้งั น้เี ทา่ กับ……8.15……………คะแนน

มมุ ความรู้ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลยี่ (mean deviation หรอื average deviation)

สว่ นเบย่ี งเบนเฉลี่ย คอื คา่ ทใ่ี ช้วัดการกระจายของข้อมูลที่ได้จากการเฉลี่ยค่าสัมบูรณ์

ของความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่าจากค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ค่ากลางท่ีใช้

อาจเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือมัธยฐานก็ได้ แต่นิยมใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ให้ M.D. เป็น

สญั ลักษณแ์ ทนสว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่

การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของขอ้ มูลทไ่ี มไ่ ดแ้ จกแจงความถี่

ถา้ x1, x2, x3, ..., xn เปน็ ข้อมูลตวั อย่าง n จํานวน และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น

X แล้ว M.D.  x1  X  x2  X  ...  xn  X  n
n
 xi  X

i=1

n

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 106

5. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนกลุ่มหน่ึงเป็น 33, 39, 39, 48, 51, 60 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย

คะแนนสอบวิชาฟสิ กิ ส์ของนกั เรยี นกลุ่มนี้

วิธที ํา จากสูตร n
เพราะฉะนนั้
 xi

X  i=1
n

X  33  39  39  48  51 60  270  45
66

จากสตู ร M.D.  n

 xi  X

i=1

n

ดงั น้ัน M.D.  33  45  39  45  39  45  48  45  51 45  60  45

6

 12  6  6  3  6 15  48  8
66

นัน่ คอื ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลย่ี คะแนนสอบวชิ าฟิสิกสข์ องนักเรียนกลมุ่ นีเ้ ท่ากบั 8 คะแนน

มมุ ความรู้ การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลท่ีแจกแจงความถีแ่ ล้ว

ถ้า x1, x2, x3, ..., xk เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นต่าง ๆ k ชั้น ซ่ึงมีความถ่ี
เป็น f1, f2, f3, ...., fk ตามลําดับ n เป็นจํานวนข้อมูลตัวอย่างทั้งหมด และถ้าข้อมูลชุดน้ีมี
ค่าเฉลย่ี เลขคณิตเปน็ X แล้ว สามารถคํานวณส่วนเบย่ี งเบนเฉลี่ย (โดยประมาณ) ได้จากสูตร

kk
fi xi  X fi xi  X

M.D.  i=1  i=1
k n

 fi

i=1

เมอื่ fi แทนความถ่ขี องอันตรภาคชั้นท่ี i

xi แทนจุดก่งึ กลางของอนั ตรภาคช้นั ที่ i

k แทนจํานวนอนั ตรภาคชั้น

n แทนจํานวนขอ้ มูลตวั อย่างทัง้ หมด

6. ตารางแสดงจํานวนเงินทีล่ กู คา้ จาํ นวน 25 คน นํามาฝากในวนั หนึ่งดงั น้ี

จาํ นวนเงนิ (พันบาท) จํานวนลูกค้า

48 - 50 2

51 - 53 4

54 - 56 3

57 - 59 8

60 - 62 7

63 - 65 1

รวม 25

จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยของจํานวนเงินทล่ี กู ค้านํามาฝาก

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 107

วธิ ที าํ จากข้อมูลท่ีกําหนดใหห้ าค่าต่าง ๆ ได้ดงั นี้ fi xi  X

จํานวนเงิน (พันบาท) จํานวนลูกคา้ fi  xi fixi xi  X 16.08
20.16
48 - 50 2 49 98 8.04 6.12
51 - 53 4 52 208 5.04 7.68
54 - 56 3 55 165 2.04 27.72
57 - 59 8 58 464 0.96 6.96
60 - 62 7 61 427 3.96 84.72
63 - 65 1 64 64 6.96
1,426
รวม 25

จากสูตร k

 fi xi

X  i=1
n

เพราะฉะนน้ั X  1, 426  57.04

25

จากสูตร M.D.  k
ดังนัน้
fi xi  X

i=1

k

 fi

i=1

M.D.  84.72  3.3888
25

นั่นคือ สว่ นเบี่ยงเบนเฉลยี่ ของจาํ นวนเงินทล่ี ูกค้านาํ มาฝากเทา่ กับ...3,388.8...บาท

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 108

แบบฝกึ เสริม เพิม่ ความเข้าใจ
พสิ ัย สว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์
ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย

คาํ ชี้แจง 1. ในการสอบคร้ังหนึง่ มีผูเ้ ขา้ สอบ 3 คน ปรากฏว่า ค่าเฉล่ียเลขคณิตเทา่ กับ 67 มัธยฐาน เท่ากับ 65

และพิสัยเท่ากบั 16 จงหาวา่ ผู้ทส่ี อบได้คะแนนสงู สุดมีค่าเท่าใด
วธิ ีทาํ สมมตใิ ห้ คะแนนของผู้เข้าสอบทั้ง 3 คนเรยี งจากมากไปหานอ้ ย คอื x3 , x2 , x1

จากโจทย์ คา่ เฉล่ยี เลขคณติ เท่ากบั 67 จะได้
x3  x32  x1  67  x3  x2  x1  201
มัธยฐานเทา่ กับ 65 จะได้ x2  65 (1)
(2)

และ พสิ ยั เท่ากบั 16 จะได้  x1  x3 16 (3)
x3  x1  16

นาํ (2) และ (3) แทนใน (1) จะได้

x3  65 x3 16  201

x3  76

ดงั นนั้ ผู้ทสี่ อบได้คะแนนสงู สุดเท่ากับ.........76.........คะแนน

2. คะแนนสอบของนักเรียน 100 คน หาค่าเฉล่ียเลขคณิตได้เท่ากับ 18 และคํานวณค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ียจากสูตร

ไดเ้ ท่ากับ 10 ตอ่ มาทราบว่าได้อ่านคะแนนผิดไป 1 จํานวน นนั่ คอื อา่ น 4 เป็น 44 แล้ว จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย

ทถี่ กู ตอ้ ง

วธิ ที าํ เนือ่ งจาก M.D. ที่อ่านผดิ เทา่ กบั 10 และอา่ น 4 เป็น 44

1. แยกคะแนนที่อา่ นผิดออกมาก่อน จากสูตร M.D.  n

99  xi  X

 i=1

n

xi 18  44 18

จะได้ 10  i1 100

.......................1000  99 xi 18  26............................................................................................


i1
99
แสดงวา่ .......... xi 18  974 ......................................................................................................

i1

2. นาํ คะแนนท่ีถูกต้องมาคดิ รวมกลับคนื
99
100 xi 18  4 18 974 14 988
 100  100
 xi  X i1 100
M.D.     9.88
i=1

100

ดังน้นั สว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ยทถี่ กู ตอ้ งเทา่ กับ……9.88……คะแนน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 109

3. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 4 จํานวน มีมัธยฐานเท่ากับฐานนิยม ซึ่งมีค่าคือ 5 ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 6 และพิสัยเท่ากับ

9.2 จงหาสว่ นเบ่ียงเบนเฉลยี่ ของข้อมูลชุดน้ี

วธิ ที าํ ใหข้ ้อมลู ชดุ นี้เป็น x1, 5, 5, x4 โดยท่ี x1  5 และ x4  5
x1  5  5  x4
ค่าเฉล่ียเลขคณติ เท่ากับ 6 จะได้ว่า 4  6

x1  x4  14 (1)
(2)
และ x4  x1  9.2

(1)+(2); 2x4  23.2

x4 11.6

จะได้ x1  14  11.6  2.4

n
 xi  X 2.4  6  5  6  5  6  11.6  6
จากสตู รส่วนเบยี่ งเบนเฉลี่ย M.D.  i=1 
4
n

3.6  1  1  5.6  2.8
4
ดังนั้น สว่ นเบยี่ งเบนเฉลย่ี เทา่ กบั ……2.8………

4. จงหาสว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ จากตารางแสดงจํานวนเงินท่ีเดก็ นกั เรยี นไดร้ บั มาโรงเรียนภายใน 1 วัน

จํานวนเงนิ (บาท) จํานวนเด็กนักเรยี น ความถ่ีสะสม

5 - 7 14 14

8 - 10 11 25

11 - 13 36 63

14 - 16 27 90

17 - 19 10 100

รวม 100

วิธที ํา ตาํ แหน่งของ Q3 คือ ตาํ แหนง่ ท่ี Nr  1003  75 ซง่ึ อยูใ่ นอันตรภาคช้นั 14 - 16.
4
4

จะได้ว่า L  ...13.5.., I  ...3..., fL  ...63... และ f  ...27....

เพราะฉะนนั้ Q3  13.5   75  63  3  13.5  30.44  13.5 1.33  14.58
 27 

ตําแหน่งของ Q1 คือ ตําแหนง่ ท่ี Nr  100 1  25 ซง่ึ อย่ใู นอนั ตรภาคชัน้ 8 - 10
4 4

จะได้ว่า L  ...7.5.., I  ...3..., fL  ...14... และ f  ...11....

เพราะฉะนั้น Q1  7.5   25 14  3  10.5
 11 

ดังนนั้ Q.D.  Q3  Q1  14.58 10.5  2.165

22

นัน่ คอื ส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์เทา่ กับ……2.165……บาท

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 110

5. จากข้อมูลทก่ี าํ หนดใหต้ ่อไปน้ี

คะแนน ความถี่

36 - 38 2

33 - 35 5

30 - 32 17

27 - 29 10

24 - 26 8

21 - 23 2

จงหาพสิ ยั สว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ และส่วนเบีย่ งเบนเฉลีย่ ของขอ้ มลู ขา้ งต้น

วธิ ที าํ 1) พสิ ยั จากกตารางพบว่า อนั ตรภาคชั้นของข้อมูลที่มคี ่าสงู สุด คือ………36 – 38………………………..

ขอบบนของอันตรภาคช้ัน……36 – 38………คอื ……38.5……………………...

อันตรภาคชนั้ ของขอ้ มลู ทีม่ ตี าํ่ สูงสดุ คอื ………21 – 23...……………………..

ขอบลา่ งของอันตรภาคชน้ั ……21 – 23………คอื ……21.5………………………

ดงั นน้ั พสิ ยั  ………38.5 – 20.5  18………………คะแนน

2) สว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

หาตําแหน่งของ Q1 และ Q3 จะได้

ตําแหนง่ ของ Q1 คือ ตําแหน่งท่ี N  …… 44  11…………………………
4
4

ตําแหน่งของ Q3 คือ ตําแหนง่ ท่ี 3N  …… 344  132  33……………………
4 4
4

หาอนั ตรภาคชน้ั ท่ี Q1 และ Q3 อยู่ พร้อมทั้งหาคา่ Q1 และ Q3

คะแนน ความถี่ ความถสี่ ะสม

21 - 23 2 2

24 - 26 8 10

27 - 29 10 20

30 - 32 17 37

33 - 35 5 42

36 - 38 2 44

รวม 44

Q1 อย่ใู นอันตรภาคช้ัน…27 – 29……และ Q3 อยใู่ นอนั ตรภาคชน้ั ……30 – 32…………

หา Q1 และ Q3 ในอันตรภาคช้นั โดยใช้สูตรการหาควอร์ไทล์ไดด้ ังนี้

จากสูตร  N  fL  และเนือ่ งจาก N  11, fL  10 และ f  10
 
Q1 = L 4 I L  26.5, I  3, 4
 
f



ดงั นั้น Q1  26.5   11  10  3  26.8
 10 

เพราะฉะนนั้ Q1  ……26.8……………………..คะแนน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 111

 3N  fL 
 
จากสูตร Q3 = L 4 f  I และเนื่องจาก L  29.5, I  3, 3N  33, fL  20 และ f  17
 4



ดงั นนั้ Q3  29.5   33  20  3  31.7941
 17 

เพราะฉะนัน้ Q3  ……31.8……………………..คะแนน

ดังนัน้ Q.D.  Q3  Q1  31.8  26.8  2.5

22

น่ันคือ สว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์เทา่ กับ………………2.5…………………คะแนน
3) จากข้อมลู ที่กาํ หนดใหห้ าค่าต่าง ๆ ไดด้ ังน้ี

คะแนน ความถี่ ( fi ) จุดกง่ึ กลาง ( xi ) fi xi xi  X fi xi  X

21 - 23 2 22 44 7.43 14.86
200 4.43 35.44
24 - 26 8 25

27 - 29 10 28 280 1.43 14.3
30 - 32 17
33 - 35 5 31 527 1.57 26.69
36 - 38 2
34 170 4.57 22.85

37 74 7.57 15.14

รวม 44 1,295 129.28

k
 fi xi
จะไดว้ ่า X  = ……  1, 295  29.43………………………..
i=1

n 44

k
จาก
M.D.  fi xi  X

i=1
k
 fi

i=1

ดงั นนั้ M.D.  129.28  2.9382

44

น่นั คอื สว่ นเบีย่ งเบนเฉลี่ยของคะแนนประมาณ……2.9382……….คะแนน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 112

กจิ กรรม : ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
ฉันเขา้ ใจ

มมุ ความรู้ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (standard deviation)
การหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ทไี่ มไ่ ดแ้ จกแจงความถี่
ถา้ x1, x2, x3, ..., xN เปน็ ขอ้ มลู ของประชากร N จํานวน และมีค่าเฉล่ียเลขคณิต

เป็น μ แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร หรือ σ (อ่านว่า ซิกมา “sigma”)

สามารถคํานวณไดด้ งั นี้

N N
x
xi  μ2 2
i
i=1
σ  i = 1  μ2
N N

โดยท่ี μ แทนคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของประชากร

และ N แทนจาํ นวนข้อมูลท้งั หมดของประชากร

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample standard deviation หรือ s ) ซ่ึงใช้

เปน็ ตัวประมาณของ σ คาํ นวณได้ดงั นี้

n  X2 n
x
 xi  2  nX2
i

s i=1  i=1
n 1
n 1

โดยที่ X แทนคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของตัวอยา่ ง

และ n แทนจํานวนขอ้ มูลทั้งหมดของตวั อยา่ ง

1. จงหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจํานวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยในรอบ 10 ปีที่ผ่านมา

ตั้งแต่ พ.ศ. 2546 ถึง พ.ศ. 2555 ซงึ่ มจี าํ นวนเงินฝากในแต่ละปีดังตาราง (ที่มา : ธนาคารแห่งประเทศไทย)

พ.ศ. จํานวนเงินฝาก (ลา้ นลา้ นบาท) x 2
2546 2.43 i

5.9049

2547 2.76 7.6176

2548 3.25 10.5625

2549 3.68 13.5424

2550 4.31 18.5761

2551 4.69 21.9961

2552 4.67 21.8089

2553 4.91 24.1081

2554 5.11 26.1121

2555 5.22 27.2484

177.4771

วธิ ีทาํ จากตารางของจํานวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศ ไทย นาํ ไปหา x 2 จะได้ดงั ตาราง
i

N
 xi
จากจาํ นวนเงินฝากข้างตน้ หาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตจากสูตร μ  จะได้
i=1

N

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 113

N
μ 
xi  41.03  4.103

i=1

N 10

N
x
จากสตู รส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร 2
i

σ i = 1 μ2
N

N
x
2 177.4771  4.1032
i
10
σ i = 1 μ2 
N

 17.7477 16.8346

 0.9131  0.9556

นั่นคอื ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจํานวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศ ไทยในรอบ 10 ปีท่ีผ่าน
มา ตั้งแต่ พ.ศ. 2546 ถงึ พ.ศ. 2555 ประมาณ 955,600,000,000 ล้านบาท

มุมความรู้ การหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี
การหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากรของขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถี่แลว้

σ k k

fi xi  μ2  fixi2

i=1  i = 1  μ2
N
N

เมอ่ื fi แทนความถข่ี องอันตรภาคชัน้ ที่ i

xi แทนจุดก่งึ กลางของอนั ตรภาคชนั้ ที่ i

N แทนจาํ นวนขอ้ มลู ทัง้ หมดในประชากร

k แทนจาํ นวนอันตรภาคชั้น

μ แทนค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของประชากร

2. ตารางแสดงความสูงของนกั เรยี นทั้งหมด 100 คน ซึ่งปรากฏดังตารางตอ่ ไปนี้

ความสงู (นิ้ว) จาํ นวนนักเรยี น xi fixi

60 - 62 5

63 - 65 18

66 - 68 42

69 - 71 27

72 - 74 8

รวม 100

จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานความสงู ของนกั เรยี น

วธิ ีทํา จากตารางหาคา่ เฉลีย่ ได้ดังนี้

k
 =fixi
จะไดว้ ่า 6, 745  67.45
μ  i=1
N 100

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 114

ความสูง (นวิ้ ) จํานวนนกั เรียน f  xi xi  μ xi  μ2 fi xi  μ2
41.6025 208.0125
60 - 62 5 61 -6.45 11.9025 214.2540
0.2025 8.5050
63 - 65 18 64 -3.45 6.5025 175.5675
30.8025 246.4200
66 - 68 42 67 -0.45 852.7500

69 - 71 27 70 2.55

72 - 74 8 73 5.55

รวม 100

จากตาราง n fi xi  μ2  852.75 และ N  100
จากสตู ร
i=1

σ k

fi xi  μ2

i=1

N

ดงั นน้ั σ  852.75

100

 8.5275

 2.9202

นนั่ คอื ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของความสูงของนักเรยี นประมาณ 2.92 นวิ้

มมุ ความรู้ การหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี
การหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตัวอย่างของข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถ่ีแลว้

  k fi xi  X 2 k
fi
x 2  nX2
i

s i=1  i=1
n 1
n 1

เมื่อ fi แทนความถข่ี องอันตรภาคชัน้ ที่ i

xi แทนจดุ กง่ึ กลางของอนั ตรภาคชั้นท่ี i

n แทนจาํ นวนตัวอย่างทงั้ หมด

k แทนจํานวนอันตรภาคชั้น

X แทนค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของตัวอย่าง

3. จงหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานโดยประมาณจากจาํ นวนวันลาของนักเรยี น 50 คน ซ่งึ ปรากฏดงั ตารางต่อไปนี้

จาํ นวนวันลา จาํ นวนนักเรยี น

0 – 2 15

3 – 5 20

6 – 8 12

9 – 11 2

12 – 14 1

วธิ ีทํา จากขอ้ มูลขา้ งต้นนํามาสร้างตารางใหม่ ไดด้ งั นี้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 115

จาํ นวนวนั ลา ความถ่ี fi  จดุ ก่งึ กลาง xi  x 2 fixi fi x 2
i i

0 – 2 15 1 1 15 15

3 – 5 20 4 16 80 320

6 – 8 12 7 49 84 588

9 – 11 2 10 100 20 200

12 – 14 1 13 169 13 169

รวม 50 212 1292

k
 fi xi
จะไดว้ ่า 212
X  i=1   4.24
n 50

ดงั นั้น s 1292  50 4.242 1292  898.88


49 49

 393.12  8.0229  2.8325
49

นั่นคอื จํานวนวนั ลาของนกั เรียนแตล่ ะคนจะตา่ งจากจาํ นวนวันลาโดยเฉล่ยี ของนกั เรียน 50 คน

อยู่ประมาณ………3……….วนั

มุมความรู้ ความแปรปรวนของประชากร (population variance)

ความแปรปรวน คือ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานยกกําลังสอง ความแปรปรวนของข้อมูล

ประชากรท่ไี มไ่ ดแ้ จกแจงความถี่ หาได้โดยใชส้ ตู ร

N N

xi  μ2  xi2
σ2  i = 1  i = 1  μ2
NN

และความแปรปรวนของขอ้ มูลประชากรทีแ่ จกแจงความถี่ หาได้โดยใช้สูตร

k k

fi xi  μ2  fixi2
σ2  i = 1
N  i = 1  μ2
N

ความแปรปรวนของตัวอยา่ ง (sample variance)

ความแปรปรวนของข้อมลู ตวั อย่างที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี หาไดโ้ ดยใช้สตู ร

n  xi  X 2 n

  xi2  nX2
s2  i = 1
 i=1
n 1 n 1

ความแปรปรวนของข้อมูลตัวอยา่ งท่ีแจกแจงความถ่ี หาได้โดยใชส้ ตู ร

  k fi xi  X 2 k
fi
x 2  nX2
i

s2  i = 1  i=1
n 1 n 1

เม่อื fi แทนความถีข่ องอนั ตรภาคช้นั ท่ี i

xi แทนจุดก่งึ กลางของอนั ตรภาคชน้ั ที่ i

n แทนจาํ นวนข้อมลู ทั้งหมดในตัวอย่าง

N แทนจํานวนขอ้ มูลทง้ั หมดในประชากร

k แทนจํานวนอันตรภาคชน้ั

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 116

4. ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ค่าเฉล่ียเลขคณิตของบุตรทั้งสามเท่ากับ 5 ปี ถ้าบุตรคนโตและคนกลางมีอายุ 8 ปี
และ 5 ปี ตามลาํ ดบั ความแปรปรวนของอายุของบุตรท้งั สามคนนจี้ ะเท่ากับเทา่ ใด

วธิ ที ํา สมมติใหบ้ ตุ รคนเลก็ อายุ x ปี
เนอ่ื งจากคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของอายบุ ตุ รท้ัง 3 คนเทา่ กบั 5 ปี

นนั่ คอื μ  8  5  x  5

3

x  15 13  2

แสดงว่า อายขุ องบุตรทง้ั 3 คน คอื 8, 5 และ 2 ปีตามลําดบั

N
x
หาความแปรปรวนของอายโุ ดยใชส้ ตู ร 2
i

σ2  i = 1 μ2
N

จะได้ σ2  82  52  22  52  93  25  31 25  6

33

นน่ั คอื ความแปรปรวนของอายขุ องบุตรทง้ั สามคนน้จี ะเท่ากับ 6 (ป)ี 2
5. ในการสอบสัมภาษณ์นกั เรยี น 3 คน ปรากฏสา่ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของคะแนนเทา่ กับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และ

พิสัยเท่ากบั 21 จงหาความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสมั ภาษณ์ครง้ั นี้

วธิ ที าํ ให้ x1, x2, x3 เป็นคะแนนของนักเรยี นทัง้ 3 คน ซึ่งเรยี งจากคา่ น้อยไปหาคา่ มาก

ดงั นน้ั x2  Med  50 …………(1)

และเพราะว่าคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของคะแนนเทา่ กับ 53

ดังน้นั x1  x2  x3  53

3

x1  x3  533  50

x1  x3  109 …………(2)
…………(3)
และเนอื่ งจากพสิ ัยมคี า่ เทา่ กบั 21

นนั่ คอื x3  x1  21

จากสมการ (2) และ (3) หาค่า x3 จะได้

2x3  130

x3  65

เพราะฉะนนั้ x1  44

ดงั นนั้ คะแนนของนักเรียนทั้ง 3 คน คอื 44, 50, 65 และมีค่าเฉลยี่ เทา่ กบั 53

N
x
ความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสัมภาษณค์ รงั้ น้ี หาได้จากสูตร σ2  2
i

i = 1 μ2
N

 จะได้ σ2  442  502  652  532
3

 8, 661  2,809
3

 78

น่ันคือ ความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสมั ภาษณค์ รง้ั น้เี ท่ากับ 78 คะแนน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 117

แบบฝกึ เสริม เพ่ิมความเขา้ ใจ
ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

คาํ ชีแ้ จง 1. ขอ้ มลู ชุดหนึง่ มี 50 จํานวน แต่ละจาํ นวนมีคา่ เปน็ บวก กาํ หนด  50 xi  X 2  450 และ

i=1

50  1, 250 เม่ือ X เป็นค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดนี้

 xi2

i=1

จงหาคา่ X และค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู ชุดน้ี

วิธีทํา จากสตู ร n  xi  X 2 จะได้  50 xi  X 2 450  3

 σ i=1 50

 i=1 N 

N

และจากสูตร N จะได้ 3  1,250  X2
50
 xi2

σ  i =1 μ2
N

32  25  X2

X2  25  9  16

X 4

นนั่ คอื X  ……4………………และคา่ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั .......3.........

2. กําหนด 10 60 และ 10  52  370 จงหาค่าสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร

xi  xi

i=1 i=1

N
x
วิธีทํา การหาคา่ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจากสตู ร σ  2 จะต้องหา 10 และ μ
i

i = 1  μ2 x 2
N i

i=1

1) หา 10 พจิ ารณา 10
x
2 xi  52  370
i

i=1 i=1

10 10
  จะได้
xi  52  xi2 10xi  25

i=1 i=1

10 10 xi 1025
 370 
x 2  10
i

i=1 i=1

10 60
370 
x 2  10  250
i

i=1

10
x
2  720
i

i=1

2) หา μ พจิ ารณา 10

 xi  60

i=1

10
μ 
จะได้ xi  60  6

i=1

N 10

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 118

ดังนัน้ N

 xi2

σ  i =1 μ2
N

 720 1062 360  36  6


10 10

นั่นคือ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของประชากรเท่ากับ……6…..

3. ในการศึกษาเกี่ยวกับนํ้าหนักของคนทั้งหมด ซ่ึงทดลองนํ้าหนักด้วยวิธีการอย่างหน่ึงเป็นระยะเวลา 3 เดือน

พบว่าผลบวกของนํ้าหนักที่ลดลงของแต่ละคนเป็น 49 กิโลกรัม และผลรวมกําลังสองของนํ้าหนักที่ลดลงของ

แตล่ ะคนเป็น 455 (กโิ ลกรัม) 2 ถา้ คํานวณค่าสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของนํ้าหนกั ทลี่ ดลงของของคนทั้งหมดเป็น

4 กโิ ลกรมั มีคนทงั้ หมดก่ีคน

วธิ ที ํา ให้คนกลุม่ น้ีมที ัง้ หมด...N..คน และให้ x1, x2 ,..., xN เปน็ นาํ้ หนกั ท่ลี ดลงของคนที่ 1 ถึงคนที่ N

จากโจทย์ พบวา่ N  49 และ N xi2  445
ฉะนั้น
 xi 

i=1 i=1

n
μ 
xi  49

i=1

NN

จากสูตร n

 xi2

 σ2  i = 1  μ 2

N

จะได้ 42  445   49 2
N  N 

455 2401  16
N  N2

16N2  455N  2401  0

(16N  343)(N  7)  0

เน่ืองจาก N เป็นจาํ นวนเต็ม ดังนัน้ N = 7

ดังนน้ั มคี นทง้ั หมด.........7...........คน

4. ในงานก่อสร้างตึกใหญ่แห่งหนึ่งมีคนงานท้ังหมดจํานวน 100 คน โดยเฉลี่ยแล้วได้ค่าจ้างรายวันคนละ 75 บาท

ถ้าผลรวมกําลังสองของค่าจ้างรายวันของคนแต่ละคนเท่ากับ 575,000 (บาท) 2 ความแปรปรวนของค่าจ้าง

รายวนั ของคนกลุม่ นีเ้ ปน็ เท่าไร

วธิ ที ํา จากโจทย์ พบวา่ .......... X  75, 100  575, 000 ............................

 xi2

i=1

จากสูตร n จะได้

 xi2

 σ2  i = 1  μ 2

N

σ2  575, 000  752

100

 5, 750  5, 625  125

นั่นคอื ความแปรปรวนของค่าจา้ งรายวันของคนงานเท่ากบั ......125...............(บาท) 2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 119

5. คา่ เฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหน่งึ มี 10 จาํ นวน เท่ากับ 15 และ 33 ตามลําดับ
ปรากฏว่าลืมรวมจํานวนหนึ่งซึ่งมีค่าเท่ากับ 26 เข้าไป ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานท่ีถูกต้อง
เปน็ เท่าไร

วิธที าํ จากทโ่ี จทย์กาํ หนดจะได้................ x 15,S.D.  33, N 10 .....................................................
x
จากสูตรคา่ เฉลย่ี เลขคณิต จะได้ x  N

ฉะนัน้ x  N x  ……1015150 ………………………
และ x ทถ่ี ูกต้องเทา่ กบั ..150+26 = 176……

และเน่ืองจาก N  11 ฉะนั้น x ทีถ่ ูกต้อง เทา่ กบั ……… 176  66 …………………
จากสตู รส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน
X2 11

S.D.2 N  x 2

จะได้ x2  S.D.2   x 2
N

x2 ( 33)2  (15)2  258
N

x2  2580

ดังนั้น x2 ที่ถกู ต้อง เท่ากบั …2580 + 262 = 3,256…………
3256
แทนคา่ ในสูตรสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานจะได้ S.D2 .  11 162

 296  256

 40

เพราะฉะนนั้ S.D. = …… 40  6.32…………
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานท่ีถูกต้องเท่ากับ 16 คะแนนและ 6.32 คะแนน

ตามลาํ ดับ

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 120

กจิ กรรม : การวดั การกระจายสัมพัทธ์

มมุ ความรู้ ในการศึกษาเกี่ยวกับการกระจายของข้อมูลหลาย ๆ กลุ่ม ในบางครั้งเราต้องการ

เปรียบเทียบว่าข้อมูลในกลุ่มใดมีการกระจายมากกว่ากลุ่มใด ซ่ึงในการเปรียบเทียบการ

กระจายดังกลา่ วเราจะนาํ คา่ ทีไ่ ด้จากการวดั การกระจายสัมบูรณ์ของแต่ละกลุ่มมาเปรียบเทียบ

กนั ไมไ่ ด้

ตวั เลขที่นํามาเปรยี บเทียบว่ากลุ่มใดมกี ารกระจายมากกว่ากลุ่มใดน้ัน ก็คือ อัตราส่วน

ระหว่างค่าท่ีได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์กับค่ากลางของข้อมูลน้ัน ๆ (ถ้าการวัดการ

กระจายวัดจากค่ากลาง) แล้วจึงนําอัตราส่วนที่หาได้มาเปรียบเทียบ เราเรียกอัตราส่วน

ดังกล่าววา่ สัมประสทิ ธิข์ อง.... เมื่อได้สัมประสิทธ์ิของการกระจายในแต่ละกลุ่มแล้ว ก็นําไป

เปรียบเทยี บกัน ถา้ กลุม่ ใดมีสัมประสิทธขิ์ องการกระจายมากกวา่ อกี กลุ่มหน่ึง เราถือว่ากลุ่มน้ัน

มีการกระจายของข้อมลู มากกวา่ อีกกลุ่มหนึ่ง

การกระจายสัมพทั ธท์ น่ี ยิ มใช้มอี ยู่ 4 ชนดิ ดงั นี้

ชอื่ การกระจายสมั พัทธ์ สตู ร
xmax  xmin
1. สัมประสทิ ธิข์ องพสิ ัย

(Coefficient of Rang) xmax  xmin
Q3  Q1
2. สมั ประสิทธิ์ของส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์
(Coefficient of Quartile Deviation) Q3  Q1
M.D. M.D.
3. สัมประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย x , 
(Coefficient of Average Deviation)

4. สัมประสิทธข์ิ องความแปรผนั s , σ
(Coefficient of Variation) x μ

ขอ้ ควรทราบ

1. สัมประสิทธ์ิของความแปรผัน เป็นวิธีวัดการกระจายสัมพัทธ์ท่ีนิยมกันมากท่ีสุด

และมกั เขียนในรปู ของเปอรเ์ ซ็นตโ์ ดยการคูณดว้ ย 100

2. การเปรียบเทยี บการวดั การกระจายสัมพัทธข์ องขอ้ มูลวา่ ชดุ ใดดกี ว่ากันใหย้ ึดหลกั

การกระจายสัมพัทธ์ชุดใดมีคา่ นอ้ ยกว่า จะดีกวา่ การกระจายสัมพัทธ์ชดุ ทีม่ ีคา่ มากกว่า

3. ค่าทใ่ี ชว้ ัดการกระจายสมั พทั ธ์ไม่มีหน่วย

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 121

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ครั้งหน่ึง สัมประสิทธิ์ของส่วนส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนมีค่าร้อยละ 20

ถา้ คะแนนควอร์ไทล์ท่ี 1 มคี า่ เท่ากบั 35.8 คะแนนควอร์ไทล์ที่ 3 มคี ่าเทา่ ใด

วิธที ํา จาก Q.D.  Q3  Q1

Q3  Q1 Q3  35.8  5Q3 179

จะได้ 20  Q3  35.8 

100 Q3  35.8

214.8  4Q3

นน่ั คือ Q3  214.8  53.7
4

เพราะฉะนน้ั คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรใ์ นควอรไ์ ทล์ท่ี 3 มีค่าเทา่ กบั 53.7 คะแนน

2. ถ้านักเรียน 2 คน มีคะแนนเฉล่ียจากการสอบคร้ังหน่ึงเป็น 60 และมีสัมประสิทธ์ิของพิสัยเป็น 0.2 นักเรียน 2

คนได้คะแนนเท่ากบั เทา่ ไร โดยที่คนท่ี 1 ได้คะแนนมากกว่าคนท่ี 2

วิธีทาํ คะแนนเฉลย่ี ของนักเรียน 2 คน เทา่ กบั 60 คะแนน

เพราะฉะน้นั คะแนนระหวา่ ง 2 คน เท่ากบั 260  120  xmax  xmin (1)

ดังนั้น สมั ประสิทธข์ิ องพิสยั  xmax  xmin
xmax  xmin
0.2  xmax  xmin

120

จาก (1) และ (2); xmax  xmin  24 จะได้ (2)
2xmax  144
xmax  72

xmin  48

นั่นคอื คนที่ 1 ได้ 72 คะแนน คนที่ 2 ได้ 48 คะแนน

3. ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี น 200 คน ปรากฏว่านายปรีชาสอบได้คะแนนท่ีเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 นาย

สมบตั ิสอบได้คะแนนท่ีเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 75 ถ้าในการสอบคร้ังนี้มีส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนเท่ากับ 12

คะแนน และสัมประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนเท่ากับ 0.12 คะแนนสอบของนายปรีชาและ

นายสมบัติเท่ากบั เท่าไร

วธิ ีทาํ เน่อื งจาก P25 = Q1 และ P75 = Q3
ฉะน้นั คะแนนสอบของนายปรีชาเทา่ กับ Q1 และคะแนนสอบของนายสมบัตเิ ทา่ กับ Q3
จากโจทย์สว่ นเบีย่ งเบนควอรไ์ ทลข์ องคะแนนเทา่ กับ 12 คะแนน

นั่นคือ Q.D.  Q3  Q1  12 จะได้ Q3  Q1  24 (1)

2

จากโจทยส์ มั ประสิทธข์ิ องสว่ นเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ของเทา่ กบั 0.12

นน่ั คอื Q3  Q1  0.12 จะได้ 24  0.12
Q3  Q1 Q3  Q1
ดังนั้น Q3  Q1  200
จะได้ (2)
Q3  112
เอา (1) + (2) ; 2Q3  224
นาํ ไปแทนในสมการ (2) หา Q1 ; 112  Q1  200

Q1  200 112  88

น่นั คอื คะแนนสอบของนายปรชี าและนายสมบตั ิเท่ากับ 88 คะแนนและ 112 คะแนน

ตามลาํ ดบั

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 122

4. ตารางแสดงจาํ นวนเงินท่ลี กู คา้ จาํ นวน 25 คน นํามาฝากในวันหนง่ึ ดังน้ี

จํานวนเงนิ (พันบาท) จาํ นวนลูกค้า xi xi  X fi xi  X

48 – 50 2 49 8.04 16.08

51 – 53 4 52 5.04 20.16

54 – 56 3 55 2.04 6.12

57 – 59 8 58 0.96 7.68

60 – 62 7 61 3.96 27.72

63 – 65 1 64 6.96 6.96

รวม 25 84.72

จงหาสัมประสทิ ธข์ิ องสว่ นเบ่ียงเบนเฉลีย่ ของจํานวนเงินที่ลูกคา้ นาํ มาฝาก

วธิ ีทํา จากสตู ร k จะได้ X  1, 426  57.04

 fi xi 25

X  i=1
n

และจากสตู ร M.D.  k จะได้ M.D.  84.72  3.3888

fi xi  X 25

i=1

k

 fi

i=1

ดงั นัน้ สมั ประสิทธขิ์ องส่วนเบ่ียงเบนเฉลย่ี เท่ากับ M.D.  3,388.8  59.411

X 57.04

น่นั คอื สัมประสิทธิข์ องสว่ นเบีย่ งเบนเฉลีย่ ของจํานวนเงินท่ลี ูกค้านาํ มาฝาก เทา่ กับ 59,411

บาท

5. บริษทั ผลติ เหลก็ เสน้ ทาํ การผลิตเหลก็ เสน้ ออกมา 2 ชนิด หลังจากการทดลองความทนทาน ผลปรากฏว่าชนิดท่ี

หน่ึงมีค่าเฉล่ียเลขคณิตของความทนทาน 138.61 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 13.50 ชนิดท่ีสองมีค่าเฉลี่ย

เลขคณิตของความทนทาน 86.40 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12.12 จงตัดสินว่าเหล็กเส้นชนิดใดมีความ

ทนทานกระจายมากกว่าชนิดใด

วธิ ที าํ เนอ่ื งจากต้องการเปรยี บเทียบการกระจายของความทนทานของเหลก็ เสน้ ท้งั 2 ชนดิ
ดังน้ัน ตอ้ งใชส้ ัมประสิทธิข์ องการกระจายมาเปรียบเทยี บ แต่การวัดการกระจายของข้อมูลดัง
กลา่ วคอื สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ท่ีจะนํามาใช้ต้องเป็นสัมประสิทธิ์ของการ
แปรผนั
สมั ประสทิ ธ์ิของการแปรผนั ของความทนทานของเหลก็ เส้นชนดิ ที่หน่งึ

s1  13.50  0.0974  9.74%
X1 138.61

สัมประสทิ ธ์ิของการแปรผนั ของความทนทานของเหล็กเสน้ ชนิดท่ีสอง

s2  12.12  0.1403  14.03%
X2 86.40

สัมประสิทธ์ิของการแปรผันของความทนทานของเหล็กเส้นชนิดที่หนึ่งน้อยกว่าสัมประสิทธิ์
ของการแปรผนั ของความทนทานของเหล็กเสน้ ชนิดทีส่ อง
ดงั น้นั ความทนทานของเหลก็ เส้นชนิดท่ีหน่ึงมีการกระจายนอ้ ยกว่าความทนทานของเหลก็ เสน้
ชนิดท่ีสอง

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 123

บทท่ี 2
การแจกแจงปกติ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 124

กิจกรรม : คา่ มาตรฐาน
(Standard score)

มมุ ความรู้ ในการเปรียบเทียบข้อมูล 2 ข้อมูล บางครั้งจะทําได้ยากเนื่องจากข้อมูลท้ังสองข้อมูลมา

จากข้อมูลต่างชุดกัน หรือค่าเฉล่ียเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุดไม่เท่ากัน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

ตา่ งกนั แตถ่ า้ ต้องการนําขอ้ มลู มาเปรียบเทยี บกนั และให้มีความถูกต้องมากท่ีสุด เราจะต้องเปลี่ยน

ข้อมูลท้ังสองข้อมลู ที่เปรยี บเทียบกนั ใหเ้ ปน็ ค่ามาตรฐานเสยี ก่อน

ใชส้ ญั ลักษณ์ Z แทนค่ามาตรฐาน และโดยท่ัวไปการแปลงค่าของข้อมูลของตัวแปรแต่ละ

ตัวให้เป็นค่ามาตรฐาน คือ การแปลงข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 0 และ

สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 1

ถา้ xi เป็นคา่ ท่ี i ของตวั แปร x แลว้ ค่ามาตรฐานของ xi คือ

คา่ มาตรฐาน สตู ร
xi  
1. ขอ้ มลู ประชากร zi 


2. ข้อมลู ตัวอยา่ ง zi  xi  X

s
เม่อื i คือ 1, 2, 3, . . ., N (n) โดยที่ xi แทนคา่ ท่ี i ของตัวแปร x
 แทนคา่ เฉล่ียเลขคณิตของประชากร  แทนสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร

N แทนจํานวนของประชากร X แทนค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของตัวอยา่ ง

S แทนส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตัวอย่าง n แทนจาํ นวนของตัวอยา่ ง

สมบัตขิ องคา่ มาตรฐาน

1) คะแนนมาตรฐานเปน็ จํานวนลบ เมอ่ื xi < 
คะแนนมาตรฐานเป็นจาํ นวนบวก เมอื่ xi > 
คะแนนมาตรฐานเปน็ ศูนย์ เม่อื xi = 

n

2) ผลรวมของคะแนนมาตรฐานของทุกข้อมลู เท่ากบั 0 น่ันคือ i=1zi = 0

3) ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของคะแนนมาตรฐานเทา่ กับ 0 นนั่ คือ Z =0

4) สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานเท่ากบั 1 นั่นคือ S.D.z = 1
n
5) ผลบวกกําลังสองของค่ามาตรฐานของข้อมลู ชดุ เดยี วกันเทา่ กบั N น่ันคอื )2 =N
i= 1 (z i

6) คะแนนมาตรฐานของขอ้ มลู ทีม่ ีการแจกแจงปกติหรือใกล้เคียงการแจกแจงปกติ โดยท่ัวไป

มคี า่ ตั้งแต่ -3 ถึง 3

7) ในการเปรียบเทยี บข้อมูลว่าข้อมลู ใดดกี ว่ากัน เมื่อนาํ ข้อมูลมาเปล่ียนเป็นค่ามาตรฐานแล้ว

ข้อมูลชุดใดมคี า่ มาตรฐานมาก ให้สรปุ วา่ ข้อมูลนนั้ ดกี ว่า

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 125

1. จงเปลี่ยนคา่ ข้อมูล (x) ในแต่ละข้อให้เปน็ คา่ มาตรฐาน (Z)

ข้อท่ี คา่ ข้อมลู คา่ เฉล่ียเลขคณติ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน คา่ มาตรฐาน (Z)
-0.2
12 4 10 0.2
0
24 3 5 0.08
2
36 6 8 1
3
4 10 8 25 =1

5 35 15 10

6 40 35 5

7 65 20 15

8 75 65 10

2. จงเปลี่ยนค่าขอ้ มูล (x) ในแตล่ ะข้อใหเ้ ป็นค่ามาตรฐาน (Z) แทนค่า z = 60  50 = 2
(1) x = 60,  = 50,  = 5
วธิ ีทํา จากสูตร คา่ มาตรฐานของ x คอื z  x   5

 แทนค่า z = 40  60 = -5

ดงั นัน้ ค่ามาตรฐานของ x = 60 เท่ากับ 2 4
(2) x = 40,  = 60,  = 4
แทนค่า z = 55  55 = 0
วิธที ํา จากสตู ร ค่ามาตรฐานของ x คือ z  x  
5

แทนคา่ z = 80  10 = 2
ดงั นน้ั คา่ มาตรฐานของ x = 40 เทา่ กับ -5 35
(3) x = 55,  = 55,  = 5
แทนคา่ z = 12  15 = -1
วิธที าํ จากสูตร คา่ มาตรฐานของ x คือ z  x  
3

แทนคา่ z = 27  15 = 3
ดงั นั้นค่ามาตรฐานของ x = 55 เทา่ กบั 0
(4) x = 80,  = 10,  = 35 4

วธิ ีทํา จากสตู ร ค่ามาตรฐานของ x คอื z  x  



ดงั นน้ั คา่ มาตรฐานของ x = 80 เท่ากบั 2
(5) x = 12,  = 15,  2 = 9

วธิ ที ํา จากสูตร ค่ามาตรฐานของ x คือ z  x  



ดงั น้ันคา่ มาตรฐานของ x = 12 เทา่ กับ -1
(6) x = 27,  = 15,  2 = 16

วธิ ีทาํ จากสตู ร ค่ามาตรฐานของ x คอื z  x  



ดังนน้ั ค่ามาตรฐานของ x = 27 เท่ากบั 3

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 126

3. จงใช้ตารางทกี่ าํ หนดให้ขา้ งล่าง เพ่ือพิจารณาวา่ เจมส์ จิรายุ เรยี นวิชาใดได้ดที ี่สุด

ตารางผลสอบทัง้ 3 วชิ าของเจมส์ จริ ายุ

วชิ า คะแนน  s
12
ภาษาไทย 75 80 15
8
ภาษาองั กฤษ 70 75

วทิ ยาศาสตร์ 72 65

วธิ ีทํา จากสูตรคา่ มาตรฐานของ xi คือ zi  xi  


75  80
จะไดว้ ่า zภาษาไทย = 12 = -0.42

zภาษาอังกฤษ = 70  75 = -0.33
15
72 65
zวทิ ยาศาสตร์ =  = 0.88

8
เนือ่ งจากคา่ มาตรฐานของวิชาวิทยาศาสตร์ของเจมส์ จิรายุ สูงกว่าคา่ มาตรฐานของวชิ าอืน่ ๆ

ดงั นน้ั เจมส์ จิรายุ เรียนวชิ าวทิ ยาศาสตร์ไดด้ ีทสี่ ุด

4. ในการสอบคัดเลือกเพ่ือบรรจุเข้าทํางานในบริษัทแห่งหน่ึง ผู้สมัครจะต้องสอบ 2 วิชา โดยมีผู้สมัครเข้าสอบ

สอบได้คะแนนสูงเพียง 3 คน ถ้าต้องการพนักงานบรรจุ 1 คน และสํารองไว้ 1 คน ใครจะสอบได้และใครได้

สาํ รอง

ข้อมูล วชิ า A วชิ า B

มาริโอ้ 80 75

ณเดชย์ 75 82

บอย ปกรณ์ 88 65

ค่าเฉลีย่ เลขคณติ 75 70

สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 5

วธิ ีทํา จากสูตร ค่ามาตรฐานของ xi คือ zi  xi  



มารโิ อ้ zA = 80  75 = 0.5 zB = 75  70 = 1
10
zรวม = 0.5 + 1 = 1.5 5

ณเดชย์ zA = 75  75 = 0 zB = 82  70 = 2.4
10
zรวม = 0 + 2.4 = 2.4 5

บอย ปกรณ์ zA = 88  75 = 1.3 zB = 65  70 = -1
10
zรวม = 1.3 + (-1) = 0.3 5

ดังน้ัน ณเดชย์สอบไดล้ าํ ดบั ท่ี 1 และมาริโอ้ไดส้ ํารอง

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 127

5. นักเรียนชัน้ ม.5 ของโรงเรยี นแห่งหนงึ่ สอบวชิ าภาษาไทยได้ค่าเฉล่ียเลขคณิต 54 คะแนน นายสัณและนายศักดิ์

เปน็ นกั เรยี นช้ันน้สี อบภาษาไทยในคร้ังนี้ได้ 60 และ 63 คะแนน ตามลําดับ ถ้าคะแนนสอบของนายสัณคิดเป็น

คา่ มาตรฐานไดเ้ ท่ากบั 1.5 จงหาค่ามาตรฐานของคะแนนสอบของนายศักด์ิ

วธิ ีทํา จากสตู ร zi  xi  


แทนคะแนนสอบของนายสณั จะได้ xi  60, zi  1.5

และ   54 ดงั นนั้ 1.5  60  54


  60  54  4
1.5

แทนคะแนนสอบของนายศักด์ิ จะได้ xi  63,   54,   4

ดงั นั้น z  63  54  9  2.25
4 4

เพราะฉะนั้น ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบของนายศกั ดิ์เท่ากบั 2.25

6. ในการคดั เลอื กเข้าเปน็ นักเรียนพยาบาลแห่งหน่งึ โดยการชนั้ นํา้ หนัก ปรากฏว่านํ้าหนักเฉลี่ยจากผู้สมัครทั้งหมด
เท่ากับ 45 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4 กิโลกรัม ถ้ากําหนดการคัดเลือกผู้จะได้รับคัดเลือก
ตอ้ งไดค้ ่ามาตรฐาน 2 จงหาว่าผู้จะไดร้ ับคัดเลอื กจะต้องมีน้ําหนักอย่างน้อยที่สดุ เทา่ ใด

วิธที ํา จากสูตร zi  xi  
แทนคา่ 

2  x  45
4
x  53

ดังนน้ั ผู้จะได้รับคดั เลือกจะตอ้ งมนี ้ําหนกั อย่างนอ้ ยทีส่ ดุ 53 กโิ ลกรัม
7. ในข้อมลู ชดุ หน่ึงเม่ือนาํ คะแนน 350 คะแนนและ 200 คะแนนมาเปล่ียนเป็นค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 1 และ -0.5

ตามลําดบั จงหาคา่ เฉลยี่ และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชดุ หนงึ่

วิธีทาํ จากสูตร zi  xi  
แทนค่า 

จดั รปู สมการใหม่จะได้ 1  350   ...........(1)
 ...........(2)

0.5  200   ...........(3)


1  350  

0.5  200   ...........(4)

(3) - (4) ได้ 1.5  150 ...........(5)

  100

แทนค่า   100 ใน (1) หรือ (2) ได้   250

ดังน้นั ค่าเฉล่ยี และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ หนึ่งเท่ากับ 250 และ 100 คะแนน
ตามลาํ ดับ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 128

แบบฝกึ เสรมิ : คา่ มาตรฐาน
(Standard score)

1. ในการสอบถามการนําเงินมาโรงเรียนของนักเรียนห้องหน่ึง ปรากฏว่าคิดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 30 บาท

ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากบั 5 บาท ถา้ นายดาํ นาํ เงนิ มาโรงเรยี นคิดเป็นค่ามาตรฐานแตกต่างจากนางสาวขาว

อยู่ 2 บาท แลว้ นายดําและนางสาวขาวมีเงินต่างกันเทา่ ไร

วิธที ํา จากสูตร zi  xi  


เนื่องจาก zดาํ – zขาว = 2

จะไดว้ ่า xดำ  30  xขำว  30  2
5 5
xดำ  xขำว  10

นายดําและนางสาวขาวมีเงินต่างกนั 10 บาท

2. ในการสอบคร้ังหน่ึงปรากฏว่าคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 50 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนเท่ากับ 10
ถ้าผลรวมคา่ มาตรฐานของจ๋มุ กับจม๋ิ เทา่ กบั 0.3 แล้วผลรวมคะแนนสอบของจมุ๋ กับจม๋ิ เป็นเท่าไร

วธิ ีทาํ จากสูตร zi  xi  


เนือ่ งจาก zจุม๋ + zจิ๋ม = 0.3

จะได้วา่ xจุม๋  50  x จ๋ิม 50  0.3
10 10

xจมุ๋ + xจ๋ิม = 103
ผลรวมคะแนนสอบของจุ๋มกบั จิ๋มเทา่ กบั 103 คะแนน

3. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุ่มตัวอย่างของนักเรียนห้องหน่ึง พบว่าอัมพรสอบได้ 39 คะแนน คิดเป็นค่า

มาตรฐานได้เทา่ กบั 1.5 ถา้ สมั ประสทิ ธ์กิ ารแปรผันของคะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียนห้องน้ีเท่ากับ 20% จง

หาคา่ เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าสถติ ขิ องนักเรยี นห้องน้ี

วิธที าํ จากสตู ร สัมประสทิ ธ์ิของการแปรผัน  s

X

แทนค่าจากโจทย์ s  20% น่ันคือ s  0.20X
X

จากสูตร zi  xi  X และจากโจทย์กําหนด xi  39 และ zi  1.5
s

ดงั นัน้ 1.5  39  X
0.20X

1.30X  39

X  30

ดังนน้ั ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบวิชาสถติ เิ ทา่ กับ 30 คะแนน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 129

4. ข้อมูลชุดหนึ่งมีผลรวมของค่าทุกค่าในข้อมูล เท่ากับ 120 และผลรวมของกําลังสองของค่ามาตรฐานทุกค่าใน

ขอ้ มูลเท่ากบั 5 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดน้ี

วิธที ํา เน่ืองจาก N  120 และ N

 xi  z2i  5  N
i1 i1

จะได้ว่า x  120  24
5

ดงั นั้นค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมูลชดุ น้ีเท่ากับ 24

5. ถา้ คา่ เฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหน่ึงซึ่งมี 30 จํานวนเท่ากับ 12 และ 2 ตามลําดับ

เมอ่ื หาผลรวมของค่ามาตรฐานของข้อมูล 29 จํานวนจะได้ 1 จงหาข้อมลู ท่ี 30

วิธีทาํ เน่ืองจาก 30 29

 zi  zi  z30
i1 i1

จะได้ว่า 0  1  z30 น่นั คอื z30  1

จากสูตร zi  xi   ดังน้นั 1  x  12 นั่นคือ x = 10
 2

นน่ั คอื ข้อมลู ที่ 30 มีค่าเท่ากับ 10

6. ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนชั้น ม.5 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งในจังหวัดยะลา พบว่า นายพิศาลและ
วัชรินทร์เข้าสอบในครั้งน้ีด้วยและสอบได้คะแนน 88 และ 64 ตามลําดับ และ คิดเป็นค่ามาตรฐาน 0.8 และ -

0.4 ตามลาํ ดบั จงหาคะแนนเฉลย่ี และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานในการสอบคร้งั น้ี

วธิ ที าํ จาก zi  xi   จะได้


0.8  88    0.8    88 (1)
  0.4    64 (2)

0.4  64  


(1) – (2), 1.2  24   24  20
แทนค่า   20 ใน (2) ได้ 1.2

  72

ดังนน้ั คะแนนเฉลี่ยและสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานในการสอบครัง้ นี้ คือ 72 และ 20 ตามลําดบั

7. ในการสอบวชิ าคณิตศาสตร์คร้ังหน่ึง ปรากฏว่ามีคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 45 คะแนน มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 20
คะแนน ถ้านายนนท์ นายพร และนายกร เข้าสอบครั้งนี้ด้วยและคะแนนสอบของนายนนท์เป็น 2 เท่าของ

คะแนนสอบของนายพร ถ้าคะแนนสอบของนายกรเท่ากับ 40 คะแนน และคะแนนมาตรฐานของนายกรเป็น

ครง่ึ หน่ึงของคะแนนมาตรฐานของนายพร จงหาค่ามาตรฐานของนายนนท์

วธิ ีทํา จากโจทย์   45,   20 และ xนนท์  2xพร, xกร  40, Zพร  2Zกร

จาก zi  xi   จะได้ Zกร  40  45  0.25
 20

จาก Zพร  2Zกร จะได้ Zพร  xพร  45  2(0.25)  0.5 นัน่ คอื xพร  35
จาก xนนท์  2xพร 20

จะได้ xนนท์  2(35)  70

ดงั น้ัน Zนนท์  70  45  1.25
20

ดังนัน้ ค่ามาตรฐานของนายนนท์ เท่ากบั 1.25

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 130

กิจกรรม : การแจกแจงปกติและเส้นโคง้ ปกติ
ตอนที่ 1

มุมความรู้ เส้นโค้งความถี่ท่ีมีลักษณะเป็นรูประฆัง ซ่ึงเรียกว่า.....เส้นโค้งปกติ..........(Normal curve)
การแจกแจงความถ่ขี องขอ้ มูลซง่ึ เส้นโค้งท่ไี ด้ทีม่ ลี กั ษณะเปน็ รูประฆัง เรยี กวา่ ...การแจกแจงปกติ.....
(Normal distribution)

รูปท่ี 1 รูปท่ี 2

จากรูปท่ี 1 จะพบว่า ลักษณะของเส้นโค้งปกติเป็นรูประฆัง ซึ่งเป็นสมมาตรโดยมีเส้นเป็นแกนสมมาตร จึง
เรยี กวา่ การแจกแจงปกติ เส้นโค้งปกติจะมีความโด่งมากหรือน้อยข้ึนอยู่กับ.............การกระจายของข้อมูล.................
ถ้าขอ้ มลู มี...การกระจายมาก...เสน้ โค้งปกติจะมคี วามโด่ง...นอ้ ย...หรือค่อนขา้ ง...แบน...แต่ถ้าขอ้ มูลมี..การกระจายน้อย
เสน้ โคง้ ปกติจะมคี วามโดง่ ...มาก....หรือค่อนขา้ ง...สงู ... ดงั รูปท่ี 2

ลักษณะเสน้ โคง้ ปกติของข้อมูลสองชดุ
1. ลกั ษณะเส้นโคง้ ปกติของขอ้ มูลสองชุดที่มคี า่ เฉลย่ี เลขคณติ ...ตา่ งกนั ... แตส่ ่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน...เท่ากัน.
จะมีลักษณะเหมอื นกนั แต่ตัง้ อยู่บนตําแหน่งท่ีต่างกนั ดงั รปู

2. ลักษณะเสน้ โค้งปกติของข้อมลู สองชดุ ที่มีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ...เท่ากนั ... แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน...ต่างกัน
จะมจี ุดท่แี สดงคา่ เฉลย่ี เลขคณิตอย่ทู ่ีตาํ แหน่งเดียวกันบนแกนนอน แต่เส้นโค้งท่ีมีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมากกว่าจะเตี้ย
กวา่

3. ลกั ษณะเส้นโค้งปกตขิ องสองข้อมลู ท่มี ีค่าเฉลี่ยเลขคณิต...ต่างกัน...และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน...ต่างกัน....
มลี กั ษณะ ดังรูป

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 131

มุมความรู้ สมบัติของเส้นโคง้ ปกติ
1. ค่าเฉล่ียเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ ม จะมีค่า...เท่ากัน... และจะอยู่ ณ จุดที่เส้นตรง

ทลี่ ากผ่านจุดโดง่ สดุ ของเส้นโคง้ นน้ั ตั้งฉากกับแกนนอน
2. เส้นโค้งจะมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนที่ลากผ่านค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น...แกนสมมาตร...

และแกนสมมาตรจะแบง่ พนื้ ท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติออกเป็น 2 สว่ นเท่า ๆ กนั
3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกน...นอน.... เม่ือต่อปลายเส้นโค้งท้ังสองข้างให้ห่างจากค่าเฉล่ีย

เลขคณิตออกไป แตจ่ ะไมต่ ดั แกนนอน
4. พนื้ ทใ่ี ตโ้ คง้ ปกติแทนจํานวนความหนาแน่นของข้อมลู มคี ่าเท่ากบั ...1....เสมอ
5. พืน้ ที่ทีอ่ ย่เู หนอื คา่ ใดค่าหนึ่งของ X จะเป็น....0...เสมอ จะได้ว่าพ้ืนที่ใต้โค้งปกติซ่ึงอยู่ระหว่างค่า

ของ X ในชว่ งปดิ [x1, x2] จะเทา่ กับพื้นท่ีใตโ้ ค้งปกติซง่ึ อย่รู ะหวา่ งคา่ ของ X ในชว่ งเปดิ (x1, x2)

พื้นที่ใตโ้ ค้งปกติซึ่งอยรู่ ะหว่างค่าของ X ในช่วงปิด [x1, x2] พ้นื ท่ีใตโ้ ค้งปกติซ่ึงอย่รู ะหว่างค่าของ X ในชว่ งเปิด (x1, x2)

พน้ื ที่ใตโ้ ค้งปกติ

พื้นท่ีใต้โค้งปกติระหว่างค่าจากการสังเกต x1 และ x2 จะเท่ากับพ้ืนที่ใต้โค้งปกติระหว่างค่ามาตรฐาน z1 และ

z2 เมอ่ื z1  x1  X และ z2  x2  X
S.D. S.D.

เส้นโค้งปกติซ่ึงได้จากชุดข้อมูลที่มีค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 เรียกว่า เส้นโค้ง
ปกติมาตรฐาน (Standard normal curve) ในการหาพ้ืนที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่างค่ามาตรฐาน z = 0 ถึง
z ใด ๆ เราจะใชต้ ารางแสดงพื้นทใี่ ต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐาน ซ่ึงแสดงพื้นท่ีใต้เส้นโค้งปกติระหว่างค่ามาตรฐาน z = 0 และ
z = 0.01, 0.02, ..., 3.88, 3.89 เช่น

1) พน้ื ท่ใี ตโ้ ค้งปกตริ ะหวา่ งค่ามาตรฐาน z = 0 และ z = 1 ท่ีอ่านได้จากตารางเท่ากบั ...0.3413...ดงั รูป

2) พ้นื ทใี่ ต้เสน้ โค้งปกตริ ะหว่างค่ามาตรฐาน z = -1 และ z = 0 ทีอ่ ่านไดจ้ ากตารางเทา่ กับ...0.3413...ดงั รูป

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 132

มมุ : ชวนรู้

ในตารางพ้นื ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติมาตรฐานไม่มคี ่า z ที่เปน็ จาํ นวนลบ แต่สามารถหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
ระหว่าง z ท่ีเป็นจํานวนลบและ z = 0 ได้ เนื่องจากเส้นโค้งมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนท่ีลากผ่านค่ามาตรฐาน 0
เป็นแกนสมมาตรของเสน้ โคง้ ปกติ ดงั น้ันพน้ื ทีใ่ ต้โคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = -1 และ z = 0 จงึ เท่ากับพื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่าง
z = 0 และ z = 1

เน่ืองจากพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานเท่ากับ 1 ดังน้ันพื้นที่ใต้เส้นโค้งทางขวามือของค่ามาตรฐาน z = 0 และ
พืน้ ทใี่ ตเ้ สน้ โค้งปกตทิ างซ้ายมือของค่ามาตรฐาน z = 0 เท่ากันคือ 0.5 อาศัยความรู้ดังกล่าวจะหาพื้นท่ีใต้เส้นโค้งปกติ

ทางขวามอื หรือซา้ ยมือของคา่ มาตรฐาน z ใด ๆ และพื้นท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกตมิ าตรฐานระหวา่ งค่ามาตรฐาน z สองคา่ ใด ๆ

แบบฝึกเสริมเพิม่ ความเข้าใจ

1. ใหน้ ักเรียนเตมิ คําตอบที่ถูกตอ้ งลงในชอ่ งว่างในตารางต่อไปน้ี ใหส้ มบูรณค์ าํ ชี้แจง โดยใช้ตารางแสดงพืน้ ที่ใต้เส้นโคง้
ปกตใิ นหนงั สอื เรยี น หนา้ 138 – 139

1) พน้ื ทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 และ z = 1.35 เท่ากับ 0.4115
2) พ้นื ทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 และ z = -1.45 เท่ากับ 0.4265
3) พื้นท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 และ z = 2.45 เทา่ กบั 0.4929
4) พ้นื ทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = 0.65 และ z = 1.25 เทา่ กบั 0.3944 – 0.2422 = 0.1522
5) พนื้ ท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกติระหวา่ ง z = -1.25 และ z = 1.39 เทา่ กบั 0.3944 + 0.4177 = 0.8121

6) พนื้ ท่ีใต้เส้นโคง้ ปกติระหว่าง z = -1.65 และ z = 2.15 เทา่ กับ 0.4842 + 0.4505 = 0.9347

7) พน้ื ทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกตทิ างซา้ ยมอื ของ z = 1.25 เทา่ กับ 0.5 + 0.3944 = 0.8944

8) พนื้ ทใ่ี ตเ้ สน้ โคง้ ปกติทางซ้ายมือของ z = -2.45 เทา่ กับ 0.5 – 0.4929 = 0.0071

9) พน้ื ที่ใต้เส้นโคง้ ปกติทางขวามือของ z = -1.75 เทา่ กบั 0.5 + 0.4599 = 0.9599

10) พื้นทีใ่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติทางขวามือของ z = 2.65 เท่ากับ 0.5 – 0.4960 = 0.0040

2. จงหาพน้ื ท่ีใต้โค้งปกติในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี โดยใช้ตารางแสดงพ้ืนท่ใี ต้โคง้ ปกติ

จากตาราง พนื้ ที่ใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 1.29 เทา่ กับ 0.4015
ดงั นนั้ 0 < z < 1.29 พ้ืนที่ใตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เทา่ กบั 0.4015

จากตาราง พ้ืนที่ใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = -1.29 ถงึ z = 0 เทา่ กับ 0.4015
ดังน้ัน -1.29 < z < 0 พ้ืนที่ใตเ้ ส้นโค้งปกติ เท่ากบั 0.4015

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 133

จากตาราง พ้ืนที่ใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถึง z = 2.5 เท่ากบั 0.4938
พื้นท่ีใตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = -1.5 ถึง z = 0 เท่ากับ 0.4332

ดงั นน้ั -1.5<z<2.5 พืน้ ทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เท่ากบั 0.4938+0.4332 = 0.927

จากตาราง พ้นื ท่ใี ตโ้ คง้ ปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1.7 เท่ากับ 0.4554
พื้นท่ใี ตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 2.2 เท่ากบั 0.4861

ดงั นั้น 1.7<z<2.2 พนื้ ทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกติ เท่ากับ 0.4861–0.4554 = 0.0307

จากตาราง พนื้ ทใี่ ตโ้ ค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = -1.2 เทา่ กับ 0.3849
พ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = -1.5 เทา่ กบั 0.4332

ดงั นัน้ -1.5<z<-1.2 พน้ื ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติ เท่ากับ 0.4332–0.3849=0.0483

จากตาราง พ้ืนที่ใตโ้ คง้ ปกตทิ างซา้ ยมือของ z = -1.2 เท่ากับ 0.5 - 0.3849
ดังน้นั z < -1.2 พ้ืนทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกติ เท่ากบั 0.5 – 0.3849 = 0.1151

จากตาราง พน้ื ที่ใตโ้ คง้ ปกตทิ างขวามอื ของ z = 2.59 เทา่ กบั 0.5 - 0.4952
ดังนน้ั z > 2.59 พืน้ ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เทา่ กบั 0.5 – 0.4952 = 0.0048

จากตาราง พ้นื ที่ใตโ้ ค้งปกตทิ างขวามอื ของ z = -1.3 เท่ากับ 0.5 + 0.4032
ดงั น้นั z > -1.3 พน้ื ทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เท่ากับ 0.5 + 0.4032 = 0.9032

จากตาราง พน้ื ทใ่ี ตโ้ คง้ ปกตทิ างซา้ ยมอื ของ z = 1.7 เท่ากบั 0.5 + 0.4554
ดังน้นั z < 1.7 พ้นื ท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกติ เท่ากบั 0.5 + 0.4554 = 0.9554

จากตาราง พ้นื ที่ใต้โคง้ ปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1.2 เทา่ กับ 0.3849
พื้นทใ่ี ต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = -1.5 เทา่ กับ 0.4332
พื้นที่ใต้โค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = -2.4 เทา่ กบั 0.4918

ดังนัน้ 0 < z < 1.2 และ -2.4 < z < -1.5 พื้นทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกตเิ ท่ากบั
0.3849 + (0.4918 – 0.4332) = 0.4435

จากตาราง พน้ื ท่ใี ต้โค้งปกติ ระหว่าง z = -1.95 ถึง z = 0 เทา่ กับ 0.4744
พื้นทใ่ี ต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 2.5 เท่ากบั 0.4938
พื้นที่ใต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ 2.59 เทา่ กับ 0.4952

ดงั นั้น -1.95 < z < 0 และ 2.5 < z < 2.59 พื้นที่ใต้เส้นโคง้ ปกติเท่ากับ
0.4744 + (0.4952 – 0.4938) = 0.4758

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 134

จากตาราง พื้นทใี่ ต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = -2.59 ถึง z = 0 เทา่ กบั 0.4952

พืน้ ทใ่ี ตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = -1.5 เท่ากับ 0.4332
พืน้ ทใี่ ตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1.3 เท่ากับ 0.4032
พื้นทีใ่ ต้โคง้ ปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = 2.5 เท่ากับ 0.4938

ดงั นน้ั -2.59 < z < -1.5 และ 1.3 < z < 2.5 พ้ืนที่ใตเ้ ส้นโค้งปกติเท่ากบั

(0.4952 – 0.4332) + (0.4938 – 0.4032) = 0.1526

จากตาราง พนื้ ทีใ่ ต้โคง้ ปกติทางซา้ ยมือของ z = -2.0 เทา่ กบั 0.5–0.4772=0.0228

พื้นที่ใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = -1.44 ถงึ z = 0 เท่ากบั 0.4251

พืน้ ที่ใต้โค้งปกติ ระหว่าง z = 1.3 ถงึ z = 2 เท่ากบั 0.4772–0.4032 = 0.074
ดงั นั้น -2.0 < z, -1.44 < z < 0 และ 1.3 < z < 2.0 พืน้ ท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตเิ ทา่ กบั

0.0228 + 0.4251 + 0.074 = 0.5219

3. ถา้ ขอ้ มลู ชุดหน่ึงมีการแจกแจงปกตโิ ดยมคี า่ เฉลย่ี เลขคณติ เป็น 400 หนว่ ยและสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเป็น 100

หน่วย อยากทราบว่ามกี เี่ ปอร์เซน็ ของขอ้ มูลซึ่งมคี า่

1) มากกวา่ 538 2) มากกว่า 179 3) น้อยกวา่ 356 4) น้อยกวา่ 621

5) ระหวา่ ง 318 และ 671 6) ระหว่าง 484 และ 565 7) ระหว่าง 249 และ 297

วธิ ที าํ 1) แปลงคะแนน 538 เป็นคา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ z  538  400 = 1.38
100

จากตาราง พ้ืนที่ใตโ้ ค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 1.38 เทา่ กับ 0.4162

ดงั นัน้ เมอ่ื z > 1.38 พ้นื ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกติ เท่ากบั 0.5 – 0.4162 = 0.0838

น่นั คอื มขี อ้ มูล 8.38% ของข้อมลู ทัง้ หมด มคี ่ามากกวา่ 538

2) แปลงคะแนน 179 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ z  179  400 = -2.21
100

จากตาราง พื้นท่ใี ต้โค้งปกติ ระหว่าง z = -2.21 ถึง z = 0 เทา่ กับ 0.4865

ดังน้ัน เมอ่ื z > -2.21 พนื้ ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกติ เทา่ กับ 0.4865 + 0.5 = 0.9865

นั่นคอื มขี ้อมลู 98.65% ของขอ้ มูลท้ังหมด มคี ่ามากกว่า 179

3) แปลงคะแนน 356 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ z  356  400 = -0.44
100

จากตาราง พนื้ ที่ใตโ้ ค้งปกติ ระหว่าง z = -0.44 ถงึ z = 0 เท่ากับ 0.1700
ดังนั้น เมอ่ื z > -0.44 พ้นื ท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกติ เท่ากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300
นั่นคือ มขี อ้ มูล 33% ของขอ้ มูลทง้ั หมด มคี ่ามากกวา่ 356

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 135

4) แปลงคะแนน 621 เป็นคา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ z  621  400 = 2.21
100

จากตาราง พน้ื ทใ่ี ตโ้ ค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 2.21 เทา่ กบั 0.4865

ดังนน้ั เมอื่ z < 2.21 พื้นท่ีใต้เสน้ โค้งปกติ เทา่ กับ 0.5 + 0.4865 = 0.9865

นัน่ คอื มขี ้อมูล 98.65% ของข้อมูลทั้งหมด มีค่ามากกวา่ 621

5) แปลงคะแนน 318 และ 671 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.
318  400
จะได้ z  100 = -0.82

z  671  400 = 2.71
100

จากตาราง พน้ื ทีใ่ ต้โค้งปกติ ระหว่าง z = -0.82 ถึง z = 0 เทา่ กับ 0.2939

และพนื้ ที่ใตโ้ คง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถึง z = 2.71 เท่ากับ 0.4966

ดังนั้น -0.82 < z < 2.71 พนื้ ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เท่ากับ 0.2939 + 0.4966 = 0.7905

น่ันคอื มขี ้อมลู 79.05% ของข้อมลู ทั้งหมด ซ่งึ มคี า่ ระหว่าง 318 และ 671

6) แปลงคะแนน 484 และ 565 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.
484  400
จะได้ z  100 = 0.84

z  565  400 = 1.65
100
จากตาราง พืน้ ทีใ่ ตโ้ คง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 0.84 เทา่ กับ 0.2996

และพน้ื ทใ่ี ต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = 1.65 เท่ากบั 0.4505

ดังนั้น 0.84 < z < 1.65 พนื้ ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติ เทา่ กบั 0.4505 – 0.2996 = 0.1509

น่ันคอื มขี อ้ มูล 15.09% ของขอ้ มลู ทั้งหมด ซ่งึ มีคา่ ระหวา่ ง 484 และ 565

7) แปลงคะแนน 249 และ 297 เป็นคา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.
249  400
จะได้ z  100 = -1.51

z  297  400 = -1.03
100
จากตาราง พนื้ ที่ใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = -1.51 ถงึ z = 0 เทา่ กบั 0.4345

และพนื้ ทใ่ี ตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = -1.03 ถงึ z = 0 เทา่ กบั 0.3485

ดงั นัน้ -1.51 < z < -1.03 พื้นที่ใต้เสน้ โค้งปกติ เท่ากับ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860

นน่ั คือ มี 8.60% ของคา่ ของข้อมูล ซ่ึงมีค่าระหวา่ ง 249 และ 297

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 136

4. จงหาค่ามาตรฐานที่ทําใหพ้ นื้ ท่ใี ต้เส้นโค้งปกติทางขวามือของ z มคี ่าเทา่ กับ 0.9641

วธิ ีทาํ พืน้ ที่ใตเ้ สน้ โคง้ ปกตมิ ากกว่า 0.5 แสดงวา่ z เป็นจํานวนลบ ดังรปู

พืน้ ท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกติ เท่ากบั 0.9641 = 0.5 + 0.4641

จากตารางพนื้ ท่ใี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติ

พบวา่ z = 1.8 ตรงกับพื้นที่ 0.4641

ดงั นั้น z = -1.8 ทําใหพ้ นื้ ท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ ปกตทิ างขวามือของ z

0.9641 = 0.5 + 0.4641 มคี ่าเท่ากบั 0.9641

กจิ กรรม : การแจกแจงปกติและเส้นโคง้ ปกติ
ตอนที่ 2

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ นายขยันสอบได้ 54.4 คะแนน โดยที่ผลการสอบคร้ังน้ีมีค่าเฉล่ียเลขคณิตและ

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 45 และ 5 คะแนน ตามลําดับ ถ้าคะแนนการสอบมีลักษณะ

การแจกแจงแบบปกติ จงหา นาย ก. สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ท่ีเท่าใด

วิธที าํ ให้ x แทนคะแนนท่นี ายขยันสอบได้

จากโจทย์ จะได้ x = 54.4, X = 45 และ S.D. = 5

เนอื่ งจากขอ้ มูลมกี ารแจกแจงปกติ ดงั นนั้ เราจะเปลีย่ นคา่ x ใหเ้ ป็นค่ามาตรฐาน z โดยใช้สูตร

จากสูตร z  xX จะได้ z  54.4  45  1.88
S.D. 5
นําคา่ z = 1.88 ไปหาพ้นื ทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติจากตาราง จะได้พนื้ ที่เทา่ กับ 0.4700

0 1.88

จากรปู จะพบวา่ พืน้ ทีใ่ ต้เสน้ ปกตซิ ึ่ง z < 1.88 เท่ากับ 0.5000 + 0.4700 = 0.9700
แสดงว่า มจี าํ นวนข้อมลู อยูป่ ระมาณ 97 % ท่มี ีคะแนนน้อยกวา่ 54.4 คะแนน
หรือ มีค่ามาตรฐานน้อยกว่า 1.88 นั่นคือ ถ้ามีผู้เข้าสอบ 100 คน จะมีคนท่ีได้คะแนนน้อยกว่า
คะแนนของ นายขยนั อยู่ 97 สว่ นจาก 100 คน
ดังนน้ั นายขยันสอบไดเ้ ปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี 97
2. ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์ มีนักเรียนเข้าสอบ 150 คน ปรากฏว่า คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ และการ
ตดั สินผลการสอบจะตัดสินจากค่ามาตรฐาน ถ้านักเรียนคนใดสอบไดค้ า่ มาตรฐานต่าํ กว่า -2 ถือว่าสอบตก จาหา
ว่าในการสอบครงั้ นมี้ ผี ูส้ อบได้ทงั้ หมดกีค่ น
วิธที ํา เนอื่ งจากนักเรียนท่ีสอบได้ จะต้องได้ค่ามาตรฐานมากกว่า -2
ฉะนั้น พน้ื ทใ่ี ตเ้ สน้ โคง้ ปกติระหว่าง z = 0 ถงึ z = -2 เท่ากับ 0.4773

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 137

สอบตก สอบได้

0.4773
0.5

-2 0

ดงั นน้ั พน้ื ท่ีใตเ้ สน้ โค้งปกตทิ ่ีนกั เรยี นสอบได้ เทา่ กับ 0.4773 + 0.5000 = 0.9773

ฉะนัน้ จํานวนนักเรยี นทีส่ อบได้ เท่ากับ 0.9773  150 = 146.59  147
ดังนั้น ในการสอบครั้งน้ี มผี ้สู อบไดป้ ระมาณ 147 คน
3. กําหนดตารางพ้ืนทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกติ ดงั นี้

z 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
พื้นที่ 0.33849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452
ในการสอบคร้ังนี้ ถ้าคะแนนสอบแจกแจงปกติมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 15 คะแนน และผู้ที่ได้คะแนนมากกว่า 18
คะแนน มี 6.68 % จงหาความแปรปรวนของการสอบครั้งนี้
วิธีทาํ เน่ืองจากมผี ทู้ ี่ได้คะแนนมากกว่า 18 คะแนน มี 6.68 % = 0.0668

0.4332
0.0668

0 1.5
x=15 x=18

จากรปู จะได้ พืน้ ทีใ่ ต้เส้นโคง้ ปกติ เทา่ กับ 0.4332 ซ่ึงตรงกับ z = 1.5

จากสูตร z  xX แทนค่าจะได้ 1.5  18  15
S.D. S.D.
S.D. = 2
S.D.2 = 4

ดงั นน้ั ในการสอบคร้งั น้มี ีความแปรปรวนเท่ากับ 4 คะแนน

4. ค่าจ้างรายวันของบริษัทแห่งหน่ึง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 70 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6 บาท

และมีการแจกแจงปกติ นายวิมลได้รับค่าจ้างตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 80 จงหาว่านายวิมลได้รับค่าจ้างวันละ

เทา่ ไร

วธิ ที ํา เนอื่ งจากนายวิมลได้รับค่าจา้ งตรงกับเปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 80

หมายความว่า มคี นงาน 80 % ไดร้ ับคา่ จา้ งตํา่ กว่านายวมิ ล

x=P50 P80

จากรปู P80 อยูท่ างขวามือของ x ดังน้นั พ้ืนที่ใตเ้ ส้นโค้งปกตริ ะหว่าง x ถงึ P80 เทา่ กับ 80-50=30%
จากตาราง พืน้ ทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกติ 0.3000 อยู่ระหวา่ ง z = 0.84 และ z = 0.85

พื้นท่ีใตเ้ สน้ โค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 ถึง z = 0.84 เท่ากับ 0.2996
พ้นื ที่ใต้เสน้ โค้งปกตริ ะหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 0.85 เท่ากบั 0.3023
ฉะน้นั พื้นที่ใต้เสน้ โคง้ ปกติต่างกนั 0.3023 – 0.2996 = 0.0027 คา่ มาตรฐานต่างกัน 0.01
พ้นื ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติต่างกัน 0.3000 – 0.2996) = 0.0004 ค่ามาตรฐานตา่ งกนั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 138

0.01×0.0004 = 0.00148
0.0027
ดังนนั้ คา่ มาตรฐานทตี่ รงกบั P80 เทา่ กับ 0.84 + 0.00148 = 0.84148

จากสูตร z  xX แทนค่าจะได้ 0.84148 = x  70
S.D. 6
5.04888 = x – 70

x = 75.04888

ดงั นน้ั นายวมิ ลได้รับค่าจ้างวนั ละ 75 บาท

5. นักเรียนห้องหนึ่งมีความสูงเฉลี่ยเท่ากับ 160 เซนติเมตร และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 15 จงหาว่ามี

นักเรยี นท่สี งู ระหวา่ ง 145 และ 175 เซนตเิ มตร คดิ เป็นกี่เปอรเ์ ซน็ ต์ของนักเรยี นทัง้ หอ้ ง

วิธีทํา จากสตู ร zi  xi   แทนค่าได้ z1  145  160  1
15


z2  175  160  1
15

พื้นท่ีใต้โค้งปกติมาตรฐาน 1  z  1 เท่ากับ 0.3413 + 0.3413 = 0.6826

ดังนั้น นักเรยี นทส่ี งู ระหว่าง 145 และ 175 เซนตเิ มตร คดิ เปน็ 68.26 %
6. ในการผลติ แผ่นพลาสติกของบรษิ ทั แห่งหน่ึงปรากฏว่าความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติ โดย

มีความหนาเฉลย่ี 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 (เซนติเมตร)2 จงหาว่าแผ่นพลาสติกที่
ไดม้ คี วามหนาอยรู่ ะหว่าง 0.0595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร มกี ีเ่ ปอรเ์ ซน็ ต์

วิธีทํา เน่ืองจาก   0.0625 และ 2  0.00000625

จะได้วา่   0.0025

จากสตู ร zi  xi   แทนค่าได้ z1  0.0595  0.0625   1.2
0.0025


z2  0.0659  0.0625  1.36
0.0025

พ้ืนท่ีใตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน 1.2  z  1.36 เทา่ กบั 0.3849 + 0.4131 = 0.7980

ดงั นนั้ แผน่ พลาสติกที่ไดม้ คี วามหนาอยู่ระหว่าง 0.0595 ซม. และ 0.0659 ซม. มี 79.80 %
7. ในการคดั เลอื กนกั เรียนเพ่อื เขา้ ศกึ ษาหลกั สตู รนักเรยี นเตรียมทหาร มีผู้สมัคร 5,000 คน โดยถือเอาน้ําหนักเป็น

เกณฑ์ ปรากฏว่านํ้าหนักของนักเรียนแจกแจงเป็นโค้งปกติ การคัดเลือกถือว่านักเรียนท่ีมีน้ําหนักคิดเป็นค่า
มาตรฐานตํ่ากว่า -1.0 ต้องถูกคัดออก จงหาจํานวนนักเรียนที่ได้รับคัดเลือกเข้าศึกษาหลักสูตรนักเรียนเตรียม
ทหาร

วธิ ที ํา พื้นทีใ่ ต้โค้งปกติมาตรฐาน z   1 เทา่ กับ 0.5 + 0.3413 = 0.8413

ดงั น้นั นักเรียนท่ไี ด้รบั คดั เลอื กเขา้ ศกึ ษาหลกั สูตรนกั เรยี นเตรยี มทหาร
0.4813  5000  4,206 คน

8. คะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุ่มหน่ึงมีการแจกแจงปกติ โดยใช้เกณฑ์ตัดสินผลการสอบว่า ถ้านักเรียนได้
ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชานี้มากกว่า -1.96 จะถือว่าสอบได้ ทั้งน้ีพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานน้อยกว่า -
1.96 เท่ากับ 0.025 ถา้ มีนักเรียนเข้าสอบวชิ านี้ 120 คน จะมนี กั เรียนสอบได้ท้ังหมดกค่ี น
วธิ ีทํา พน้ื ทใ่ี ตโ้ ค้งปกตมิ าตรฐาน z   1.96 เท่ากบั 1 – 0.025 = 0.975

ดังน้ัน นักเรียนสอบไดท้ ั้งหมด 0.975 120 = 117 คน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 139

9. ในการทดสอบความคงทนของยางล้อรถยนต์ ปรากฏว่าการทดสอบเมื่อแจกแจงแล้วเป็นเส้นโค้งปกติ ถ้า
กาํ หนดใหค้ ่ามาตรฐานต้ังแต่ 1.3 ขน้ึ ไปเป็นยางรถยนต์ท่ีอยู่ในสภาพดี อยากทราบว่าในการทดสอบคร้ังน้ีมียาง
ลอ้ รถยนตท์ ี่อยู่ในสภาพดีกเี่ ปอรเ์ ซ็นต์
วธิ ีทํา เน่อื งจากค่ามาตรฐานตง้ั แต่ 1.3 ขนึ้ ไปเป็นยางรถยนต์ทีอ่ ย่ใู นสภาพดี
ดังน้นั ยางรถยนต์ทอ่ี ย่ใู นสภาพดี มคี า่ เทา่ กบั 0.5 – 0.4032 = 0.0968 คิดเป็น 9.68 %

10. บริษัทผลิตอปุ กรณก์ ีฬาแห่งหน่งึ มีการจดั คุณภาพของสินค้าคือ ยังต้องปรับปรุง สินค้าคุณภาพตํ่า และสินค้ามี
มาตรฐาน ถ้าสินคา้ คุณภาพต่ํา มคี า่ มาตรฐานอยรู่ ะหว่าง -1.5 และ 0.34 จงหา
1) สนิ คา้ ทย่ี งั ตอ้ งปรบั ปรุง คิดเป็นก่ีเปอรเ์ ซ็นต์ของสินค้าทง้ั หมด
วิธีทาํ สนิ คา้ ท่ยี ังตอ้ งปรบั ปรุงมีพื้นทเี่ ท่ากบั 0.5 – 0.4332 = 0.0668 คิดเปน็ 6.68 %

2) สินคา้ ที่มีคุณภาพตํา่ คดิ เป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของสนิ คา้ ท้ังหมด
วธิ ีทํา สนิ ค้าท่ีมคี ุณภาพตา่ํ มีพนื้ ท่ีเทา่ กับ 0.4332 + 0.1331 = 0.5663 คิดเป็น 56.63 %

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 140

บทที่ 3
ความสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ นั ระหว่างข้อมูล

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 141

กจิ กรรม : การวิเคราะห์ความสมั พันธ์
เชิงฟังกช์ นั ระหว่างข้อมูล

มมุ ความรู้ การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเป็นการศึกษาความเกี่ยวข้องกัน

ของตัวแปรว่ามีลักษณะความสัมพันธ์กันอย่างไร เช่น รายได้และรายจ่ายของครอบครัว

นํ้าหนักและส่วนสูงของเด็กแรกเกิด ความเกี่ยวข้องกันของตัวแปรจะมีลักษณะที่ค่าของตัว

แปรหน่ึงขึ้นอย่กู บั อกี ตัวแปรหน่ึง เช่น รายจ่ายข้ึนอยู่กบั รายได้ สว่ นสูงข้ึนอยกู่ ับน้ําหนัก

การศึกษาความสัมพันธ์ของตัวแปรท่ีมีความเก่ียวข้องกันตัวแปรท่ีต้องการศึกษา เรียกว่า

ตัวแปรอิสระ (Independent variables) ตัวแปรที่ต้องการประมาณค่าแต่ต้องอาศัยตัวแปร

อิสระ เรียกวา่ ตัวแปรตาม (Dependent variables)

การศึกษาความสมั พันธเ์ ชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลของสองตัวแปรใด ๆ น้ัน เพื่อประโยชน์ในการใช้ตัวแปร

ตวั หนึ่งไปพยากรณ์ (Prediction) ตัวแปรอกี ตัวหนึ่งภายใต้สมการทแี่ สดงความสมั พันธเ์ ชิงฟังกช์ นั ท่ีคํานวณได้

โดยทั่วไปสมการท่ีใช้แสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลอาจประกอบด้วยตัวแปรหลายตัว แต่ใน

ระดบั ช้นั น้เี ปน็ การศกึ ษากรณพี น้ื ฐานของสองตัวแปรเทา่ นั้น

ตัวอยา่ งเสรมิ เพมิ่ ความเขา้ ใจ

สมมตวิ ่า ข้อมูลตอ่ ไปน้ีแสดงคะแนนวิชาคณติ ศาสตร์ และวิชาวิทยาศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6

จํานวน 10 คน ดงั น้ี

นักเรยี นคนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ 18 12 25 21 16 15 27 17 20 16

คะแนนวชิ าวิทยาศาสตร์ 19 12 24 20 15 16 28 14 20 20

ถ้าให้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์เป็นตัวแปรอิสระ แทนด้วย X และคะแนนวิชาวิทยาศาสตร์เป็นตัวแปรตาม

แทนด้วย Y เมื่อใช้คู่อันดับ (x, y) โดย x เป็นคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ และ y เป็นคะแนนวิชาวิทยาศาสตร์ของ

นักเรียนแต่ละคน ซึ่งคือคู่อันดับ (18, 19), (12, 12), (25, 24), . . ., (20, 20), (16, 20) เป็นพิกัดของจุด จะได้

จดุ ดงั รปู ต่อไปน้ี

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 142

จะเห็นวา่ การกระจายของจุด (x, y) ซึ่งใช้แสดงค่าต่าง ๆ ของตัวแปรทั้งสองอยู่ในลักษณะท่ีพอจะประมาณ
หรือแทนด้วยเส้นตรงได้ และสามารถสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่อยู่ในรูปเส้นตรงได้โดยใช้ข้อมูลท่ีมีอยู่
จุดประสงค์สําคัญของการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลสองชุด เพื่อใช้สมการความสัมพันธ์เชิง
ฟังก์ชันของ x และ y ในการพยากรณ์ค่าของตัวแปรตาม เมื่อทราบค่าของตัวแปรอิสระ เช่น ถ้าทราบคะแนน
วชิ าคณติ ศาสตร์ (x) ของนกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 6 คนหน่ึง ก็สามารถพยากรณ์คะแนนวิชาวิทยาศาสตร์ (y)
ของนกั เรยี นคนนน้ั ได้ โดยแทน x ลงในสมการเพือ่ คํานวณหา y น่ันเอง

ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล ข้อมูลที่จะนํามาสร้างความสัมพันธ์จะต้อง
ประกอบด้วยค่าจากการสังเกตเป็นจํานวนมากพอสมควร ถ้าค่าจากการสังเกตมีจํานวนน้อยแล้ว ความสัมพันธ์
เชิงฟงั กช์ นั ระหวา่ งข้อมูลของตวั แปรสองตัวทีส่ รา้ งขึ้นอาจจะไม่สามารถแทนความสัมพันธ์ท่ีควรจะเกิดข้ึนจริง
ๆ ระหวา่ งตัวแปรท้ังสอง จะเป็นผลทําให้การพยากรณ์ค่าของตัวแปรตามท่ีต้องการทราบอาจคลาดเคล่ือนไป
จากทค่ี วรจะเป็นจรงิ มาก

โดยท่ัว ๆ ไป ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแปรสองตัวแปร อาจแบ่งออกเป็น 2
ชนดิ ดังน้ี

1. ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชันทกี่ ราฟเป็นเส้นตรง มสี มการทว่ั ไปของความสมั พันธ์เชิงฟังก์ชนั เป็น

Y = aX + b

เมื่อ Y เป็นตวั แปรตาม และ X เปน็ ตัวแปรอสิ ระ
a และ b เปน็ คา่ คงตัวทตี่ อ้ งการหา ซึง่
b เป็นระยะตัดแกน Y
a เป็นความชนั ของเสน้ ตรง

เม่ือทราบคา่ a และ b กราฟของความสัมพนั ธเ์ ชงิ เส้นตรงบางกรณีจะมลี ักษณะตามรปู ขา้ งล่าง

2. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันท่ีกราฟไม่เป็นเส้นตรง ในท่ีน้ีจะกล่าวเฉพาะความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็น
พาราโบลา และความสัมพันธ์ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ซึ่งสมการของความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นพาราโบลา
เป็นดงั น้ี

Y = aX2 + bX + c

เมื่อ Y เปน็ ตัวแปรตาม และ X เป็นตวั แปรอิสระ
a และ b เป็นค่าคงตวั ท่ีต้องการหา

เมอ่ื ทราบคา่ a, b และ c กราฟของความสมั พันธเ์ ชิงพาราโบลาบางกรณจี ะมีลักษณะตามรูปขา้ งลา่ ง

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 143

สมการของความสัมพันธ์ในรปู ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ล เป็นดงั น้ี

Y = abX

เมอ่ื Y เปน็ ตวั แปรตาม และ X เป็นตัวแปรอสิ ระ
a และ b เปน็ คา่ คงตัวทต่ี ้องการหา

เม่ือทราบค่า a, b และ c กราฟของความสัมพันธ์ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลบางกรณีจะมีลักษณะตามรูป
ขา้ งล่าง

แบบฝึกเสรมิ เพิม่ ความเขา้ ใจ

ข้อความตอ่ ไปน้ี ข้อใดเป็นจริง () และข้อใดเปน็ เทจ็ ()ถา้ เป็นเทจ็ เพราะเหตใุ ด อธิบาย

.................. 1. ถา้ ข้อมลู ประกอบดว้ ยตวั แปรสองตัวแลว้ ตวั แปรท้ังสองนนั้ จะต้องมีความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันเสมอ
เพราะ ถ้าข้อมูลประกอบด้วยตวั แปรสองตวั แล้ว ตวั แปรทง้ั สองนน้ั อาจมคี วามสมั พนั ธ์หรือ
ไมม่ ีความสัมพันธ์กันกไ็ ด้

.................. 2. ในการสร้างความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ของขอ้ มูลทปี่ ระกอบด้วยตัวแปร 2 ตวั ถ้าตัวแปรใดตัวหนง่ึ
เป็นตวั แปรเชิงคุณภาพแลว้ จะไมส่ ามารถสร้างความสัมพนั ธ์ ระหวา่ งตัวแปรทั้งสองได้
เพราะ ตวั แปรขอ้ มลู เชิงคณุ ภาพ สามารถสรา้ งความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ระหว่างตัวแปรทั้งสองได้

.................. 3. ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันของข้อมูล ไม่วา่ ขอ้ มูลจะมจี ํานวนน้อยเพยี งใดก็สามารถสรา้ ง
ความสมั พันธไ์ ดเ้ สมอ
เพราะ ถา้ ขอ้ มูลมนี ้อย เชน่ ตัง้ แต่ 5 จาํ นวนลงมา ไมส่ ามารถจะสร้างความสมั พนั ธไ์ ด้ เพราะเมื่อ
นาํ มาสร้างแผนภาพการกระจาย ไม่สามารถจะบอกได้วา่ ขอ้ มลู นั้นสมั พันธ์กนั หรอื ไม่

.................. 4. สมการของความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้น ท่ีสามารถใช้แทนความสัมพันธ์ที่เกิดข้ึนจริงได้ดีแล้ว ผลรวมของ
ความแตกต่างระหวา่ งคา่ ท่ไี ด้จากความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชนั ทีส่ ร้างข้นึ กับค่าทีเ่ กิดขน้ึ จริง ๆ
ทกุ ค่าควรจะน้อยทส่ี ุด

มุมความรู้ รูปแบบความสัมพนั ธท์ ี่พิจารณาไดจ้ ากกราฟที่สรา้ งจากขอ้ มูลท่มี ีอยู่ท้ังหมดหรอื จาก
ขอ้ มูลตวั อย่างทเ่ี ลือกมาเปน็ ตวั แทนของ เรยี กว่า แผนภาพการกระจายของข้อมูล ซง่ึ แผนภาพ
การกระจายจะแสดงแนวโนม้ (trend) ของความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั กช์ ันระหว่าง ตัวแปรอิสระ (X)
และ ตวั แปรตาม (Y) ดังนี้

1. แบบเส้นตรง ซึง่ พิจารณาได้ 2 กรณี คือ

1.1 กรณีที่แนวโน้มทางบวก (positive trend) หมายความว่า เม่อื คา่ ของ X เพ่มิ ข้นึ
ค่าของ Y จะเพมิ่ ขึ้นดว้ ย

1.2 กรณีทแ่ี นวโนม้ ทางลบ (negative trend) หมายความวา่ เมอื่ คา่ ของ X เพมิ่ ข้ึน
ค่าของ Y กลบั ลดลง

2. แบบไม่เป็นเสน้ ตรง ซ่งึ พจิ ารณาเปน็ 2 กรณี เช่นเดียวกบั แบบเสน้ ตรง

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 144

แบบฝกึ เสริมเพ่ิมความเข้าใจ
1. จากแผนภาพการกระจายตอ่ ไปน้ี ใหน้ กั เรียนบอกแนวโน้มของกราฟวา่ เป็นกราฟชนิดใดและมลี กั ษณะอย่างไร

มแี นวโนม้ เป็นกราฟเสน้ ตรง แนวโนม้ ทางบวก มแี นวโน้มเปน็ กราฟเอกซ์โพเนนเชียล แนวโน้มทางบวก

มแี นวโนม้ เป็นกราฟพาราโบลา มแี นวโน้มเป็นกราฟเส้นตรง แนวโน้มทางลบ

Y

มแี นวโน้มเปน็ กราฟเอกซ์โพเนนเชยี ล แนวโน้มทางลบ X
Y
มีแนวโนม้ เปน็ กราฟเสน้ ตรง แนวโนม้ ทางลบ

Y

X X
มแี นวโน้มเป็นกราฟพาราโบลา มแี นวโนม้ เปน็ กราฟเสน้ ตรง แนวโนม้ ทางลบ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 145

2. ถา้ รายรับและรายจ่ายของเดก็ กลุ่มหนึ่ง มีจํานวน 10 คน เปน็ ดงั น้ี
รายรบั (บาท) 12 15 16 17 18 20 21 24 25 26
รายจา่ ย (บาท) 10 16 15 18 19 20 20 22 19 28

ถ้าให้ รายรับเป็นตัวแปรอิสระ แทนตัวแปร X และรายจ่ายเป็นตัวแปรตาม แทนตัวแปร Y จงเขียนแผนภาพ
การกระจาย แลว้ พิจารณาวา่ ความสมั พันธข์ องรายรับกบั รายจา่ ยของเด็กกลุ่มนี้มกี ราฟเป็นรปู อะไร

จากแผนภาพการกระจาย
จะเห็นว่า

ความสมั พนั ธ์ของรายรบั
กบั รายจา่ ยของเดก็ กลุ่มนี้มี

กราฟเป็นรปู เส้นตรง

3. ข้อมูลข้างล่างน้ีเป็นการโฆษณาสินค้าที่มีผลต่อยอดขายสินค้าน้ัน ให้ X เป็นจํานวนครั้งของการโฆษณาสินค้า
ทางวทิ ยใุ น 1 เดอื น และ Y เปน็ ยอดขายสินคา้ ของเดือนนั้น หน่วยเปน็ หมน่ื บาท
X 23456789
Y 18 15 11 12 14 16 25 30
จงเขียนแผนภาพการกระจาย แลว้ พจิ ารณาดูความสมั พันธ์เชงิ ฟังกช์ นั เปน็ แบบใด

จากแผนภาพการกระจาย
จะเห็นวา่

ความสมั พันธ์เชิงฟงั ก์ชัน
ของขอ้ มลู อย่ใู นรปู
พาราโบลา

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบํารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 146

4. ขอ้ มลู ขา้ งล่างนเ้ี ป็นกาํ ไรสุทธใิ นเดอื นแรกของบริษัทรม่ เยน็ จาํ กัด
เดือนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8

กาํ ไรสทุ ธิ (หม่ืนบาท) 12 14 24 38 53 68 88 121
จงเขียนแผนภาพการกระจาย แล้วพิจารณาดคู วามสมั พันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั เปน็ แบบใด

จากแผนภาพการกระจาย
จะเหน็ วา่

ความสมั พนั ธ์เชิงฟงั กช์ ัน
ของข้อมลู อยใู่ นรูป
เอกซโ์ พเนนเชยี ล

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 147

กจิ กรรม : การประมาณคา่ ของค่าคงตัว
โดยใช้วิธีกําลังสองนอ้ ยสดุ
ตอนที่ 1

มมุ ความรู้ จากการสร้างแผนภาพการกระจายของค่า Xi และ Yi เมื่อเราลากเส้นขึ้นเป็นตัวแทน
ของกลุ่มของจุด (Xi, Yi) ซึ่งลากเส้นได้มากกว่า 1 เส้น จึงเกิดปัญหาเส้นใดเป็นเส้นที่
น่าเชื่อถือได้ เป็นตัวแทนที่ดีที่สุด ปัญหานี้แก้ได้โดย.....วิธีกําลังสองน้อยสุด.....

(Method of least squares)จากรูป เป็นจุดการกระจายของข้อมูล (X1, Y1), (X2,
Y2), (X3, Y3), …, (XN, YN) และเมื่อเราลากเสน้ L เป็นตัวแทนของกล่มุ ของจดุ (Xi, Yi)

คา่ ของ Yi บนเส้น L เรียกว่า คา่ Yi ประมาณ (ˆYi :
อ่านวา่ “……วายแฮท……” ตัวท่ี i)

ส่วนค่า Yi จริง ๆ น้ันอาจจะอยู่บนเส้นตรง L หรือ
อยนู่ อกเส้น L เรียกว่า ค่า Yi จริง ๆ (Yi)
จากรูป ให้ d1, d2, d3, …, dN เป็นค่าของความแตกต่างระหว่างค่า Y จริง กับค่า Y ประมาณหรือ
di = Yi - ˆYi
เส้นที่เป็นตัวแทนกลุ่มของจุด (Xi, Yi) ที่ดีท่ีสุดคือ เส้นท่ีทําให้ d12, d22, d32, . . ., dN2 มีค่าน้อยสุด หรือ

N (Yi - ˆYi)2 มีคา่ น้อยสุด วิธีดงั กล่าวน้ีเรียกวา่ “…………วิธีกําลังสองน้อยสดุ ………..”



i=1

วิธีท่ีจะทําให้ N (Yi - ˆYi)2 มีค่าน้อยท่ีสุดจะไม่แสดงไว้ในท่ีนี้ เนื่องจากต้องใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์



i=1
ช้ันสูง แต่จากการใช้วิธีกําลังสองน้อยสุดดังกล่าวจะได้สมการที่เรียกว่า…สมการปกติ…(normal equations)

โดยมีจํานวนสมการเท่ากบั จํานวนค่าคงตวั ท่ีตอ้ งการหากล่าวคอื

1. สมการเสน้ ตรง

มีรปู สมการทว่ั ไปคือ

Y = aX + b

สมการปกติ คอื

n Yi = aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi ..........(1)
XiYi = ..........(2)


i=n1



i=1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 148

ตวั อยา่ ง จากตารางสอบถามคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและวชิ าภาษาอังกฤษของเด็กห้องหนึ่ง จาํ นวน 6 คน เปน็

ดังน้ี

คะแนนภาษาไทย 3 4 5 8 10 12

คะแนนภาษาอังกฤษ 1 3 4 12 14 18

1) จงเขียนแผนภาพการกระจาย และกราฟท่ีใช้แทนความสัมพันธ์ระหว่างคะแนนวิชาภาษาไทยและคะแนน

วชิ าภาษาองั กฤษ

2) ถา้ เดก็ คนหนึ่งในห้องนี้สอบวิชาภาษาไทยได้ 20 คะแนน จงพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของเด็ก

คนนี้

3) ถ้าเด็กอีกคนหนึ่งในห้องนี้สอบวิชาภาษาอังกฤษได้ 33 คะแนน จงพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของ

เดก็ คนนี้

วิธที ํา 1) ให้…X…แทนคะแนนสอบวชิ าภาษาไทย และ…Y…แทนคะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษ

จะไดแ้ ผนภาพการกระจายและกราฟดังน้ี

2) ตอ้ งการพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษ

แสดงว่า X ทีแ่ ทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทยเป็นตวั แปรอสิ ระ และ

Y ทแ่ี ทนคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเปน็ ตวั แปรตาม

สมการท่ีใชพ้ ยากรณ์ คือ Y = aX + b หาคา่ a และ b ได้จากสมการปกติ
n aai=in=n11XXii2++bbni=n1 Xi
Yi Yi = ..........(1)
 Xi = ..........(2)

i=n1



i=1
นําขอ้ มลู จากตารางที่โจทย์กําหนดให้มาสรา้ งตารางใหม่ดังนี้

Xi Yi X2i XiYi

319 3

4 3 16 12

5 4 25 20

8 12 64 96

10 14 100 140

12 18 144 216

6 6 6 6

 Xi  42  Yi  52  X2i  358  XiYi  487

i1 i 1 i 1 i 1

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รุง จังหวดั ยะลา