แผนการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทำโดย นางสาวกัญญารัตน์ บุปะเท เลขที่ 17 หมู่เรียน D13 เสนอ ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. พัชรีภรณ์ บางเขียว แผนการจัดการเรียนรู้เล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของในรายวิชา วิทยาการจัดการเรียนรู้รหัสวิชา 1190301 มหาวิทยาลัยราชภัฏบ้านสมเด็จเจ้าพระยา ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2566
ก คำนำ แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทำขึ้นเพื่อใช้ เป็นแนวทางในการจัดการเรียนการสอนที่เน้นผู้เรียนเป็นสำคัญ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐานพุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) แผนการจัดการเรียนรู้ประกอบด้วยเนื้อหาสาระดังต่อไปนี้ แผนการจัดการเรียนรู้รายปี ซึ่งประกอบด้วยมาตรฐานและตัวชี้วัดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ แผนการจัดการเรียนรู้รายคาบ ทั้งหมด 1 แผนการจัดการเรียนรู้คือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ซึ่งแต่ละแผนการ จัดการเรียนรู้ได้ระบุถึงมาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้สาระการเรียนรู้ กิจกรรมการ เรียนรู้ตามรูปแบบนิรนัย (Deductive Method) ซึ่งมีวิธีการจัดการเรียนการสอนที่มุ่งเน้นให้ผู้เรียนมี ความเข้าใจเกี่ยวกับกฎ ทฤษฎี หลักเกณฑ์ ข้อเท็จจริง หรือข้อสรุปตามวัตถุประสงค์ในบทเรียน และนำ ความรู้ ความเข้าใจเหล่านั้นมาใช้ในการแก้ปัญหา และปรับใช้ในสถานการณ์ที่หลากหลาย นอกจากนี้ยังมี ใบงานและเกณฑ์การประเมินผล เพื่อใช้ในการประเมินผลการเรียนรู้ของนักเรียนทั้งเป็นรายบุคคล และรายกลุ่มที่แสดงผลของการเรียนรู้ความเข้าใจในเนื้อหาสาระหลังเสร็จสิ้นการเรียน จากนั้นนำผลที่ ได้มาเปรียบเทียบตามเกณฑ์ที่ได้กำหนดไว้ เพื่อให้ทราบว่ามีการผ่านเกณฑ์การประเมินหรือไม่ ผู้จัดทำขอขอบพระคุณผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. พัชรีภรณ์ บางเขียว เป็นอย่างยิ่ง ที่ให้ความรู้ คำแนะนำ และคำปรึกษาที่ดีตลอดระยะเวลาการจัดทำแผนการจัดการเรียนรู้ และหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แผนการจัดการเรียนรู้เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์สำหรับการจัดการเรียนรู้ในชั้นเรียนทำให้ผู้เรียนมีพัฒนาการ ที่ดีสามารถเรียนรู้ได้อย่างมีประสิทธิภาพต่อไป นางสาวกัญญารัตน์ บุปะเท ผู้จัดทำ
ข สารบัญ เรื่อง หน้า แผนการจัดการเรียนรู้รายปี.....................................................................................1 ตารางโครงสร้างรายวิชา........................................................................................14 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม .........18 การวัดผลและการประเมินผลการเรียนรู้................................................................97 แบบฝึกทักษะและใบงาน .....................................................................................120
1 1. สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต ผลการเรียนรู้ 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของจำนวน ผลที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการ สมบัติของการดำเนินการ และนำไปใช้ - เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเซตในการสื่อสารและสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ - เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้น ในการสื่อสารสื่อความหมาย และอ้างเหตุผล - เข้าใจจำนวนจริงและใช้สมบัติของจำนวนจริงในการแก้ปัญหา 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้ - หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก็ชัน หาฟังก์ชันประกอบและฟังก็ชันผกผัน - ใช้สมบัติของฟังก์ชันในการแก้ปัญหา - เข้าใจลักษณะกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม และนำไปใช้ในการ แก้ปัญหา 1.3 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธิบายความสัมพันธ์ หรือช่วยแก้ปัญหา ที่กำหนดให้ - แก้สมการและอสมการพหุนาม ตัวแปรเดียว ดีกรีไม่เกินสี่ และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา - แก้สมการและอสมการเศษส่วนของ พหุนามตัวแปรเดียว และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา - แก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา - แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล และสมการลอการิทึม และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา 2. สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต ผลการเรียนรู้ 2.1 เข้าใจเรขาคณิตวิเคราะห์ และนำไปใช้ - เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ในการแก้ปัญหา แผนการจัดการเรียนรู้รายปี รหัสวิชา ค32201 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 หน่วยกิต 1.5 หน่วยกิต เวลา 20 ชั่วโมง ชื่อผู้สอน นางสาวกัญญารัตน์ บุปะเท
2 3. จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้(K) - นักเรียนสามารถบอกความหมายของคู่อันดับและเข้าใจการเท่ากันของคู่อันดับได้ ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการเขียนของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต 2 เซตที่กำหนดให้ได้ อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถบอกความหมายและเข้าใจความหมายของความสัมพันธ์ได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถวิเคราะห์ชนิดของฟังก์ชันในหลายๆรูปแบบได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถวิเคราะห์โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์และฟังก์ชันได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการหาตัวผกผันของความสัมพันธ์และฟังก์ชันได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถวิเคราะห์โดเมนและเรนจ์ตัวผกผันของความสัมพันธ์ได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนของการเขียนกราฟอินเวอร์สได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของฟังก์ชันได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายได้ว่าความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่เป็นฟังก์ชันได้อย่าง ถูกต้อง - นักเรียนสามารถบอกชนิดของฟังก์ชันได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนของการวาดกราฟฟังก์ชันเชิงเส้นได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนของการวาดกราฟฟังก์ชันพาราโบลาได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถเลือกพาราโบลาไปใช้ในการแก้สมการและอสมการได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนวาดกราฟฟังก์ชันเอกโพแนนเชียลและค่าสัมบูรณ์ได้ อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนการวาดกราฟฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถให้เหตุผลโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบนิรนัยในการวิเคราะห์ ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถนำการให้เหตุผลแบบนิรนัย ใช้ค้นหาความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถบอกค่าเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้ - นักเรียนสามารถหาคำตอบรากที่สองในระบบจำนวนจริงใด ๆ ได้ - นักเรียนสามารถหาคำตอบรากที่ n ในระบบจำนวนจริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์ได้
3 - นักเรียนสามารถหาคำตอบของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของเลขยกกำลังได้ - นักเรียนสามารถหาค่าเลขยกกำลัง ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการเขียนกรณฑ์ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น จำนวนตรรกยะได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถบอกนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถระบุกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่กำหนดให้ได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถระบุสมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่กำหนดให้ได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียลได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของฟังก์ชันสมลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนการหาค่าฟังก์ชันลอการิทึมจากสมบัติของฟังก์ชัน ลอการิทึมได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถระบุสมการฟังก์ชันลอการิทึมจากกราฟ และบอกขั้นตอนของการ เขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการหาค่าของลอการิทึมสามัญได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการแก้สมการลอการิทึมและอสมการลอการิทึมได้อย่าง ถูกต้อง - นักเรียนสามารถวิเคราะห์ความรู้เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถวิเคราะห์ระยะทางระหว่างจุดสองจุดที่โจทย์กำหนดให้ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถวิเคราะห์จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เมื่อกำหนดพิกัดของจุด ยอดมาให้ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายความชันของเส้นตรงและสมการเส้นตรงตามเงื่อนไขที่ กำหนดให้ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดและเส้นตรงกับเส้นตรงได้ อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการเลื่อนแกนทางขนานได้อย่างถูกต้อง
4 - นักเรียนสามารถอธิบายสมการวงกลมตามเงื่อนไขที่กำหนดให้และหาส่วนต่างๆ ของ วงกลมจากสมการของวงกลมที่กำหนดให้ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายสมการของวงรีตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วนต่างๆของ วงรีจากสมการของวงรีที่กำหนดให้ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายสมการของพาราโบลาตามเงื่อนไขที่กำหนดให้และหาส่วน ต่างๆ ของพาราโบลาจากสมการของพาราโบลาที่กำหนดให้ได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายสมการของไฮเพอร์โบลาตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วน ต่างๆ ของไฮเพอร์โบลาจากสมการของไฮเพอร์โบลาที่กำหนดให้ได้อย่างถูกต้อง ด้านทักษะ (P) - นักเรียนสามารถเขียนความหมายของคู่อันดับและการเท่ากันของคู่อันดับโดยใช้การให้ เหตุผลทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต 2 เซตที่กำหนดให้ได้และนำ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนความหมายและเข้าใจความหมายของความสัมพันธ์ในการ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนชนิดของฟังก์ชันในหลายๆรูปแบบโดยใช้การให้เหตุผลทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์โดยใช้การให้เหตุผลทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถแสดงวิธีการหาตัวผกผันของความสัมพันธ์และฟังก์ชันในการ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถแสดงวิธีการหาโดเมนและเรนจ์ตัวผกผันของความสัมพันธ์ในการ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนกราฟอินเวอร์สในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนความหมายของฟังก์ชันโดยใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนความสัมพันธ์และฟังก์ชันโดยใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนชนิดของฟังก์ชันโดยใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถวาดกราฟฟังก์ชันเชิงเส้นในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถวาดกราฟฟังก์ชันพาราโบลาในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้
5 - นักเรียนสามารถนำพาราโบลาไปใช้ในการแก้ปัญหาสมการและอสมการในทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถวาดกราฟฟังก์ชันเอกโพแนนเชียลและค่าสัมบูรณ์ในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถวาดกราฟฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถให้เหตุผลโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบนิรนัยในการวิเคราะห์ ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันและนำไปแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถนำการให้เหตุผลแบบนิรนัย ใช้ค้นหาความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถใช้เลขยกกำลังในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถใช้สมบัติของสองในระบบจำนวนจริงและรากที่ n ของจำนวนจริง ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถใช้สมบัติของเลขยกกำลังในรูปของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และ ผลหารในการแก้ปัญหาได้ - นักเรียนสามารถใช้เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถใช้นิยามและระบุกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลในการแก้ปัญหา ได้ - นักเรียนสามารถแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียลในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียน y x a = ให้อยู่ในรูป a y log x = และเขียน a y log x = ใน รูป y x a = ในการแก้ปัญหาได้ - นักเรียนสามารถนำสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมไปใช้ในการหาค่าฟังก์ชันลอการิทึมได้ อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถแก้ปัญหาจากการเขียนกราฟจากฟังก์ชันลอการิทึมและการเขียน สมการจาก กราฟลอการิทึมได้ - นักเรียนสามารถแก้ปัญหาในขั้นตอนการหาค่าลอการิทึมได้ - นักเรียนสามารถแก้สมการลอการิทึมและอสมการลอการิทึมได้
6 - นักเรียนสามารถนำความรู้เรื่องฟังก็ชันเอกซ์พนเนนเชียลและลอการิทึมมาใช้ในการ แก้ปัญหาได้ - นักเรียนสามารถเขียนระยะทางระหว่างจุดสองจุดที่โจทย์กำหนดมาใช้ในการแก้ปัญหา ทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดมาใช้ในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถแสดงวิธีทำการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เมื่อกำหนด พิกัดของจุดยอดมาใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนความชันของเส้นตรงและสมการเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดมา ใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดและเส้นตรงกับเส้นตรงมาใช้ใน การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียนการเลื่อนแกนทางขนานและนำมาใช้ในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถแสดงวิธีทำการหาสมการวงกลมตามเงื่อนไขที่กำหนดให้และหาส่วน ต่างๆ ของวงกลมจากสมการของวงกลมที่กำหนดและนำมาใช้ในการแก้ปัญหาได้ - นักเรียนสามารถแสดงวิธีทำการหาสมการของวงรีตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วน ต่างๆ ของวงรีจากสมการของวงรีที่กำหนดและนำมาใช้ในแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถแสดงวิธีทำการหาสมการของพาราโบลาตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วนต่างๆ ของพาราโบลาจากสมการของพาราโบลาที่กำหนดและนำมาใช้ในการ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถแสดงวิธีทำการหาสมการของไฮเพอร์โบลาตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วนต่างๆ ของไฮเพอร์โบลาจากสมการของไฮเพอร์โบลาที่กำหนดและนำมาใช้ในการ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ ด้านจิตพิสัย (A) - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของความหมายของคู่อันดับและเข้าใจการเท่ากันของคู่ อันดับ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต 2 เซตที่กำหนดให้ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของความหมายและเข้าใจความหมายของความสัมพันธ์
7 - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของชนิดของฟังก์ชันในหลายๆรูปแบบ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์และฟังก์ชัน - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของการหาตัวผกผันของความสัมพันธ์และฟังก์ชัน - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของโดเมนและเรนจ์ตัวผกผันของความสัมพันธ์ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของของการเขียนกราฟอินเวอร์ส - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของความหมายของฟังก์ชัน - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันหรือไม่เป็นฟังก์ชันได้ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของชนิดของฟังก์ชัน - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการวาดกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการวาดกราฟฟังก์ชันพาราโบลา - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของพาราโบลาที่ไปใช้ในการแก้สมการและอสมการ - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการวาดกราฟฟังก์ชันเอกโพแนนเชียลและค่า สัมบูรณ์ - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการวาดกราฟฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการให้เหตุผลโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบนิรนัยใน การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของฟังก์ชัน - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการให้เหตุผลแบบนิรนัย ใช้ค้นหาความสัมพันธ์ของ สิ่งต่าง ๆ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของการหาคำตอบรากที่สองในระบบจำนวนจริงใด ๆ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของหาคำตอบรากที่ n ในระบบจำนวน จริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของการหาคำตอบของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของเลขยกกำลัง - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของการหาค่าเลขยกกำลัง ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวน ตรรกยะ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของการเขียนกรณฑ์ให้อยู่ในรูปเลขยก กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของบทนิยามของฟังก์ชัน
8 เอกซ์โพเนนเชียล - นักเรียนตระหนักถึงกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่กำหนดให้ - นักเรียนเห็นถึงความสำคัญของสมการฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่กำหนดให้ - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของความหมายของฟังก์ชันสมลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของการนำสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม ไปใช้ในการหาค่าฟังก์ชันลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมการฟังก์ชันลอการิทึมจากกราฟ และบอก ขั้นตอนของการเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการหาค่าของลอการิทึมสามัญ - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการแก้สมการลอการิทึมและอสมการลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของความรู้เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชัน ลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนตระหนักถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดที่โจทย์กำหนด - นักเรียนตระหนักถึงจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดที่กำหนด - นักเรียนตระหนักถึงพื้นที่รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เมื่อกำหนดพิกัดของจุด ยอดมา - นักเรียนตระหนักถึงความชันของเส้นตรงและสมการเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด - นักเรียนตระหนักถึงระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดและเส้นตรงกับเส้นตรง - นักเรียนตระหนักถึงการเลื่อนแกนทางขนาน - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมการวงกลมตามเงื่อนไขที่กำหนดให้และหาส่วน ต่างๆ ของวงกลมจากสมการของวงกลมที่กำหนด - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมการของวงรีตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วน ต่างๆ ของวงรีจากสมการของวงรีที่กำหนด - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมการของพาราโบลาตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วนต่างๆของพาราโบลาจากสมการของพาราโบลาที่กำหนด - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมการของไฮเพอร์โบลาตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ และหาส่วนต่างๆ ของไฮเพอร์โบลาจากสมการของไฮเพอร์โบลาที่กำหนด
9 4. สาระสำคัญ คณิตศาสตร์มีบทบาทที่สำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิด สร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้ อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา และนำไปใช้ในชีวิตประจำได้อย่าง ถูกต้องและเหมาะสม นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์เทคโนโลยี และศาสตร์อื่น ๆ คณิตศาสตร์จึงมีความสำคัญ และมีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพให้ดี ยิ่งขึ้น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข 5. สาระการเรียนรู้ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน การใช้ฟังก์ชันในชีวิตจริง กราฟของฟังก์ชัน การดำเนินการของ ฟังก์ชัน ฟังก็ชันผกผัน เลขยกกำลัง ฟังก็ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทีม ฟังก์ชันเอกโพเนนเซียล ฟังก์ชันลอการิทึม การหาค่าลอการิทีม การเปลี่ยนฐานของลอการิทีม สมการและอสมการลอการิทีม การประยุกต์ของ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียลและฟังก์ชันลอการิทึม เรขาคณิตวิเคราะห์ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ ระยะทางระหว่างจุดสองจุด จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง ระยะห่าง ระหว่างเส้นตรงกับจุด ภาคตัดกรวย วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา การเลื่อนกราฟ
10 6. คำอธิบายรายวิชา คำอธิบายรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 ศึกษา พร้อมทั้งฝึกทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในเนื้อหาของสาระ ดังนี้ เซต ความรู้เบื้องตันและสัญลักษณ์พื้นฐานเกี่ยวกับเซต ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ คอมพลีเมนต์ ของเซต การแก้ปัญหาโดยใช้เซต ตรรกศาสตร์ประพจน์ การเชื่อมประพจน์ การหาค่าความจริงของประพน์ การสร้าง ตารางค่าความจริง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว สมมูลและนิเสธของประโยคที่มี ตัวบ่งปริมาณ จำนวนจริงและพหุนาม จำนวนจริง ระบบจำนวนจริง พหุนามตัวแปรเดียว การแยก ตัวประกอบของพหุนาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว เศษส่วนของพหนาม สมการเศษส่วนของ พหุนาม การไม่เท่ากันของจำนวนจริง อสมการ พหุนามตัวแปรเดียว ค่าสัมบูรณ์ สมการและ อสมการค่าสัมบูรณ์ของพหนามตัวแปรเดียว โดยจัดประสบการณ์ให้ผู้เรียนได้พัฒนาทักษะและกรบวนการทางคณิตศาสตร์ อันได้แก่ การแก้ปัญหาการสื่อสารและการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง การให้เหตุผล และการคิดสร้างสรรค์ การใช้สื่อ อุปกรณ์ เทคโนโลยี และแหล่งข้อมูล และนำประสบการณ์ ตลอดจนทักษะ และกระบวนการที่ได้ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอย่างสร้างสรรค์ รวมทั้ง เห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานอย่างเป็นระบบ มีความรอบคอบ และ มีวิจารณญาณบนฐานแนวคิดตามหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง การวัดผลประเมินผล ใช้วิธีการที่หลากหลายตามสภาพความเป็นจริงให้สอดคล้องกับ เนื้อหาและทักษะที่ต้องการวัด รายวิชาเพิ่มเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 เวลา 80 ชั่วโมง จำนวน 1.5 หน่วยกิต
11 ผลการเรียนรู้ 1. เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเซตนาการสื่อสารและสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ 2. เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้น ในการการสื่อสารสื่อความหมาย และอ้างเหตุผล 3. เข้าใจจำนวนจริงและใช้สมบัติของจำนวนจริงในการแก้ปัญหา 4. แก้สมการและอสมการพหุนามตัวแปรเดียว ดีกรีไม่เกินสี่ และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา 5. แก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหนามตัวแปรเดียว และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา 6. แก้สมการและอสมการคำสัมบูรณ์ของพหนามตัวแปรเดียว และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา รวม 5 ผลการเรียนรู้
12 คำอธิบายรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 ศึกษา พร้อมทั้งฝึกทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในเนื้อหาของสาระ ดังนี้ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน การใช้ฟังก์ชันในชีวิตจริง กราฟของฟังก์ชัน การดำเนินการ ของฟังก์ชัน ฟังก็ชันผกผัน เลขยกกำลัง ฟังก็ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทีม ฟังก์ชันเอกโพเนนเซียล ฟังก์ชัน ลอการิทึม การหาค่าลอการิทีม การเปลี่ยนฐานของลอการิทีม สมการและอสมการลอการิทีม การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียลและฟังก์ชันลอการิทึม เรขาคณิตวิเคราะห์ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ ระยะทางระหว่างจุด สองจุด จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็น เส้นตรง ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด ภาคตัดกรวย วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา การเลื่อนกราฟ โดยจัดประสบการณ์ให้ผู้เรียนได้พัฒนาทักษะและกรบวนการทางคณิตศาสตร์ อันได้แก่ การแก้ปัญหาการสื่อสารและการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง การให้เหตุผล และการคิดสร้างสรรค์ การใช้สื่อ อุปกรณ์ เทคโนโลยี และแหล่งข้อมูล และนำประสบการณ์ ตลอดจนทักษะ และกระบวนการที่ได้ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอย่างสร้างสรรค์ รวมทั้ง เห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานอย่างเป็นระบบ มีความรอบคอบ และ มีวิจารณญาณบนฐานแนวคิดตามหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง การวัดผลประเมินผล ใช้วิธีการที่หลากหลายตามสภาพความเป็นจริงให้สอดคล้องกับ เนื้อหาและทักษะที่ต้องการวัด รายวิชาเพิ่มเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 เวลา 80 ชั่วโมง จำนวน 1.5 หน่วยกิต
13 ผลการเรียนรู้ 1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟังก์ชันประกอบและฟังก็ชัน ผกผัน 2. ใช้สมบัติของฟังก์ชันในการแก้ปัญหา 3. เข้าใจลักษณะกราฟของฟังก็ชันเอกซ์โพเนนเซียลและฟังก์ชันลอการิทึมและนำไปใช้ในการ 4. แก้สมการเอกซ์โพเนนเซียลและสมการลอการิทึม และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา 5. เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ในการแก้ปัญหา รวม 5 ผลการเรียนรู้
14 โครงสร้างรายวิชา ค32201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เวลา 80 ชั่วโมง หน่วยที่ ชื่อหน่วยการ เรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ เวลา (ชั่วโมง) น้ำหนัก คะแนน 1 เซต 1. เข้าใจและใช้ความรู้ เกี่ยวกับเซตนาการสื่อสาร และสื่อความหมายทาง คณิตศาสตร์ - ความรู้เบื้องต้นและ สัญลักษณ์เกี่ยวกับเซต - ยูเนียน อินเตอร์เซกซัน และคอมพลีเมนต์ของเซต 18 12 2 ตรรกศาสตร์ 2. เข้าใจและใช้ความรู้ เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้น ในการการสื่อสาร สื่อความหมายและอ้างเหตุผล - ประพจน์และตัวเชื่อม - การอ้างเหตุผล - ประโยคที่มีตัวบ่ง ปริมาณตัวเดียว 20 13 สอบกลางภาค 20
15 หน่วยที่ ชื่อหน่วยการ เรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ เวลา (ชั่วโมง) น้ำหนัก คะแนน 3 จำนวนจริง 3. เข้าใจจำนวนจริงและใช้ สมบัติของจำนวนจริงในการ แก้ปัญหา 4. แก้สมการและอสมการ พหุนามตัวแปรเดียว ดีกรีไม่ เกินสี่ และนำไปใช้ในการ แก้ปัญหาา 5. แก้สมการและอสมการ เศษส่วนของพหุนามตัวแปร เดียว และนำไปใช้ในการ แก้ปัญหา 6. แก้สมการและอสมการ ค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัว แปรเดียว และนำไปใช้ใน การแก้ปัญหา - จำนวนจริงและสมบัติ ของจำนวนจริง - ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน จริงและสมบัติของค่า สัมบูรณ์ของจำนวนจริง - จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ และจำนวนจริงในรูปเลข ยกกำลัง - ตัวประกอบของจำนวน จริง - สมการและอสมการพหุ นาม - สมการและอสมการ เศษส่วนของพหุนาม - สมการและอสมการค่า สัมบูรณ์ของพหุนาม 40 25 สอบปลายภาค 30 รวมทั้งสิ้น 80 100
16 โครงสร้างรายวิชา ค32201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เวลา 80 ชั่วโมง หน่วยที่ ชื่อหน่วยการ เรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ เวลา (ชั่วโมง) น้ำหนัก คะแนน 1 ความสัมพันธ์และ ฟังก์ชัน 1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหาร ฟังก์ชัน หาฟังก็ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 2. ใช้สมบัติของฟังก์ชันในการ แก้ปัญหา - การบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน - ฟังก็ชันประกอบ - ฟังก็ชันผกผัน 24 16 2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนน เชียลและฟังก์ชัน ลอการิทึม 3. เข้าใจลักษณะกราฟของ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียลและ ฟังก์ชันลอการิทึมและ นำไปใช้ในการแก้ปัญหา 4. แก้สมการเอกซ์โพเนน เซียลและสมการลอการิทึม และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา - ฟังก็ชันเอกซ์โพเนนเซียล - ฟังก์ชันลอการิทึม - สมการเอกซ์โพเนนเซียล และสมการลอการิทึม 20 14 สอบกลางภาค 20
17 หน่วยที่ ชื่อหน่วยการ เรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ เวลา (ชั่วโมง) น้ำหนัก คะแนน 3 เรขาคณิตวิเคราะห์ 5. เข้าใจและใช้ความรู้ เกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ ในการแก้ปัญหา - ระยะทางระหว่างจุดสอง จุด -จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสอง จุด - ความชันของเส้นตรงและ สมการเส้นตรง - ระยะห่างระหว่างเส้นตรง กับจุดและเส้นตรงกับเส้นตรง - การเลื่อนแกนทางขนาน -วงกลม -วงรี - พาราโบลา - ไฮเพอร์โบลา 29 20 สอบปลายภาค 30 รวมทั้งสิ้น 73 100
18
19 แผนการจัดการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2566 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม เวลา 20 ชั่วโมง 1. สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต ผลการเรียนรู้ 1.1 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้ 1.1.1 เข้าใจลักษณะกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา 1.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์อธิบายความสัมพันธ์ หรือช่วยแก้ปัญหาที่กำหนดให้ 1.1.2 แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล และสมการลอการิทึม และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา 2. จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้(K) - นักเรียนสามารถบอกค่าเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้ - นักเรียนสามารถหาคำตอบรากที่สองในระบบจำนวนจริงใด ๆ ได้ - นักเรียนสามารถหาคำตอบรากที่ n ในระบบจำนวนจริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์ได้ - นักเรียนสามารถหาคำตอบของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของเลขยกกำลังได้ - นักเรียนสามารถหาค่าเลขยกกำลัง ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการเขียนกรณฑ์ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น จำนวนตรรกยะได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถบอกนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถระบุกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่กำหนดให้ได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถระบุสมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่กำหนดให้ได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียลได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของฟังก์ชันสมลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง
20 - นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนการหาค่าฟังก์ชันลอการิทึมจากสมบัติของฟังก์ชัน ลอการิทึมได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถระบุสมการฟังก์ชันลอการิทึมจากกราฟ และบอกขั้นตอนของการ เขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการหาค่าของลอการิทึมสามัญได้ถูกต้อง - นักเรียนสามารถอธิบายการแก้สมการลอการิทึมและอสมการลอการิทึมได้อย่าง ถูกต้อง - นักเรียนสามารถวิเคราะห์ความรู้เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ได้อย่างถูกต้อง ด้านทักษะ (P) - นักเรียนสามารถใช้เลขยกกำลังในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถใช้สมบัติของสองในระบบจำนวนจริงและรากที่ n ของจำนวนจริง ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถใช้สมบัติของเลขยกกำลังในรูปของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และ ผลหารในการแก้ปัญหาได้ - นักเรียนสามารถใช้เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถใช้นิยามและระบุกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลในการแก้ปัญหา ได้ - นักเรียนสามารถแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียลในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ - นักเรียนสามารถเขียน y x a = ให้อยู่ในรูป a y log x = และเขียน a y log x = ใน รูป y x a = ในการแก้ปัญหาได้ - นักเรียนสามารถนำสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมไปใช้ในการหาค่าฟังก์ชันลอการิทึมได้ อย่างถูกต้อง - นักเรียนสามารถแก้ปัญหาจากการเขียนกราฟจากฟังก์ชันลอการิทึมและการเขียน สมการจาก กราฟลอการิทึมได้ - นักเรียนสามารถแก้ปัญหาในขั้นตอนการหาค่าลอการิทึมได้ - นักเรียนสามารถแก้สมการลอการิทึมและอสมการลอการิทึมได้
21 - นักเรียนสามารถนำความรู้เรื่องฟังก็ชันเอกซ์พนเนนเชียลและลอการิทึมมาใช้ในการ แก้ปัญหาได้ ด้านจิตพิสัย (A) - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของการหาคำตอบรากที่สองในระบบจำนวนจริงใด ๆ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของหาคำตอบรากที่ n ในระบบจำนวน จริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของการหาคำตอบของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของเลขยกกำลัง - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์ของการหาค่าเลขยกกำลัง ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวน ตรรกยะ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของการเขียนกรณฑ์ให้อยู่ในรูปเลขยก กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของบทนิยามของฟังก์ชัน เอกซ์โพเนนเชียล - นักเรียนตระหนักถึงกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่กำหนดให้ - นักเรียนเห็นถึงความสำคัญของสมการฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่กำหนดให้ - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของความหมายของฟังก์ชันสมลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง - นักเรียนเล็งเห็นถึงประโยชน์และความสำคัญของการนำสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม ไปใช้ในการหาค่าฟังก์ชันลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของสมการฟังก์ชันลอการิทึมจากกราฟ และบอก ขั้นตอนของการเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการหาค่าของลอการิทึมสามัญ - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของการแก้สมการลอการิทึมและอสมการลอการิทึม - นักเรียนเล็งเห็นถึงความสำคัญของความรู้เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชัน ลอการิทึมได้อย่างถูกต้อง
22 3. สาระสำคัญ เลขยกกําลัง คือ เลขที่เขียนอยู่ในรูป n a อ่านว่า “ a ยกกําลัง n ” n หรือ “ a กําลัง n ” และเรียก a ว่า “ฐาน” ของเลขยกกําลัง เรียก n ว่า “เลขชี้กําลัง” และบางครั้งก็เรียก n a ว่า “ค่าของ เลขยกกําลัง” a รากที่สอง คือ ให้ x และ y เป็นจํานวนจริง y เป็นรากที่สองของ x ก็ต่อเมื่อ = 2 y x ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูป ( ) x f x, y | y a ,a 0,a 1 + = = ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูป f x, y | y log x,a 0,a 1 ( ) a + = = 4. สาระการเรียนรู้ เลขยกกําลัง จํานวนจริงใดๆ n เป็นจํานวนเต็มบวกแล้ว n n a a a a ... a = ถ้า a เป็นจํานวนจริงใดๆที่ไม่เป็นศูนย์ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว 1. 0 a 1 = 2. n 1 a n − = และ n n 1 a a − = a−n ทฤษฎีบท ให้ a,b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m,n เป็นจำนวนเต็มจะได้ว่า 3.1 m n m n a a a + = 3.2 m m n n a a a − = 3.3 ( ) n m m n a a = 3.4 ( ) n n n ab a b = 3.5 n n n a a b b = สมบัติของรากที่สองที่ไม่เป็นลบ 1. x y xy = เมื่อ x 0, y 0
23 2. x x y y = เมื่อ x 0, y 0 บทนิยาม ให้ x และ y เป็นจํานวนจริงและ n เป็นจํานวนเต็มที่มากกว่า 1 y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ n y x = ค่าหลักของรากที่ n นิยาม ให้ x เป็นจํานวนจริงที่มีรากที่ n จะกล่าวว่า จํานวนจริง y เป็นค่า หลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ 1. y เป็นรากที่ n ของ x 2. yx 0 แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x ด้วย 2 x ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n แล้ว = n n n x y xy = ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n และ y 0 แล้ว n n n x x y y = สมการที่อยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์ หลักการแก้สมการทั่วไป 1. จัดกรณฑ์ให้อยู่ข้างใดข้างหนึ่งของสมการ ตัวแปรและจำนวนที่ไม่ติดกรณฑ์ให้อยู่อีก ข้างหนึ่งของสมการ ในกรณีที่มีกรณฑ์มากกว่า 1 กรณฑ์ ควรจัดให้มีกรณฑ์ทั้งสองข้าง 2. ยกกำลังเพื่อให้กรณฑ์หมด 3. แก้สมการตามปกติ 4. ตรวจคำตอบที่ได้ว่าทำให้สมการเป็นจริงหรือไม่ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนตรรกยะ ให้ a, b เป็นจํานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m, n เป็นจํานวนเต็ม จะได้ว่า 1. m n m n a a a + = 2. m m n n a a a − = เมื่อ a 0 3. ( ) n m m n a a = 4. ( ) n n n ab a b =
24 5. n n n a a b b = เมื่อ b 0 สมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะดังนี้ แก้สมการเพื่อหาค่าตัวแปร และตรวจค าตอบ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ ( ) x f x, y | y a ,a 0,a 1 + = = และอธิบาย การเขียนกราฟในรูปแบบต่างๆ ประเภทของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ดังนี้ ➢ กรณีที่ 1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล x y a = โดยที่ a 1 เรียกว่าฟังก์ชันเพิ่ม ➢ กรณีที่ 2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล x y a = โดยที่ 0 a 1 เรียกว่าฟังก์ชันลด หลักทั่วไปในการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล การหาเซตคำตอบของสมการซึ่งอยู่ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ทำได้ 2 วิธีดังนี้ วิธีที่ 1 สมการที่มี 2 พจน์ การทำให้ฐานของเลขยกกำลังมีค่าเท่ากัน มีหลักการดังนี้ เมื่อฐานของเลขยกกำลังมีค่าเท่ากัน สรุปได้ว่า เลขชี้กำลังจะมีค่าเท่ากัน นำมาสร้างเป็นสมการแก้สมการ เพื่อหาค่าตัวแปร และตรวจคำตอบ นิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และ a มีรากที่ n 1 n n 0 n n n n a a a 1 1 1 a , a a a − − = = = = นิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริง โดยที่ a 0 และ r เป็นจำนวนตรรกยะ โดยเขียน p r q = โดยที่ p,q เป็นจำนวนเต็ม (p,q 1,q 0 ) = และ 1 q a แล้ว p p 1 r q q a a a = =
25 วิธีที่ 2 สมการที่มีมากกว่า 2 พจน์ ให้จัดให้ข้างใดข้างหนึ่งของสมการให้เท่ากับศูนย์ แล้ว แยกตัวประกอบ กำหนดให้เลขยกกำลัเป็นตัวแปร แทนค่าเลขยกกำลังในสมการเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม คือ f x, y | y log x,a 0,a 1 ( ) a + = = จากบทนิยาม ความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ที่เขียนอยู่ใน y x a = จะมีความหมายเดียวกัน a y log x = นั่นคือ a y log x = ก็ต่อเมื่อ y x a = สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ a , M , N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a ≠ 1 และ k เป็นจำนวนจริง 1. a a a log MN log M log N = + 2. a a a M log log M log N N = − 3. = k a a log M k log M 4. a log a 1 = 5. a log 1 0 = 6. k a a 1 log M log M k = 7. b a 1 log a log b = 8. c a c log M log M log a = 9. a log x a x = กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม กรณีที่ 1 0 a 1 แล้ว a y log x = เป็นฟังก์ชันลดและผ่านที่จุด (1,0) เสมอ เมื่อ a 0 และ a 1 กรณีที่ 2 a 1 แล้ว a y log x = เป็นฟังก์ชันเพิ่มและผ่านที่จุด (1,0) เสมอ เมื่อ a 0 และ a 1 รูปทั่วไปของสมการฟังชันลอการิทึม a y k log (x h) k − = − + โดยมีจุดตัดแกนที่พิกัด (h,k) a y k log x h k − = − + โดยมีจุดตัดแกนที่พิกัด (h,k)
26 ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลอการิทึมฐาน 10 จะเขียน logN แทน 10 log N เช่น 10 10 log 2 log2,log 10 log10 1 = = = เนื่องจากจำนวนจริงบวก N ใดๆ สามารถเขียนในรูป n 0 N 10 เมื่อ 0 1 N 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม = = + = + n 0 n 0 0 logN logN 10 logN log10 logN n = +0 logN logN n จะเรียก n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มว่า “ค่าเคอแรคเทอริสติก”และเรียก 0 logN ว่า “ค่าแมนทิสซา”เป็นเลขทศนิยมที่มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 และการหาค่า n ได้จาก 0 logN เรียก n ว่า แอนติลอการิทึม (antilogarithm) ของ 0 logN แก้สมการและอสมการโดยใช้หลักการดังนี้ = y a y log x a log x log y x y a a = → a a a 0 : log x log y x y → a a 0 a 1 : log x log y x y สูตรของการเพิ่มขึ้นของประชากรดังนี้ สามารถคาดการณ์จำนวนประชากรณ ณ เวลาใดเวลา หนึ่งได้จาก ( ) t 0 n(t) n 1 r = + เมื่อ n(t) แทน จำนวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t ปี เมื่อ 0 n แทน จำนวนประชากรเมื่อเวลาเริ่มต้น เมื่อ r แทน อัตราการเพิ่มขึ้นของจำนวนประชากรต่อเวลา 5. สมรรถนะของผู้เรียน ความสามารถในการสื่อสาร ความสามารถในการคิด ความสามารถในการแก้ปัญหา ความสามารถในการใช้ทักษะชีวิต ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี ดังนั้น
27 6. ทักษะของผู้เรียนในศตวรรษที่ 21 (3R 8C + 2L) (จุดเน้นสู่การพัฒนาคุณภาพผู้เรียน ทักษะการอ่าน (Reading) ทักษะการเขียน (Writing) ทักษะการ คิดคำนวณ (Arithmetic) ทักษะด้านการคิดอย่างมีวิจารณญาณและทักษะในการแก้ปัญหา (Critical thinking and problem solving) ทักษะด้านการสร้างสรรค์และนวัตกรรม (Creativity and innovation) ทักษะด้านความร่วมมือ การทำงานเป็นทีม และภาวะผู้นำ (Collaboration , teamwork and leadership) ทักษะด้านความเข้าใจต่างวัฒนธรรม ต่างกระบวนทัศน์ (Cross-cultural understanding) ทักษะด้าน การสื่อสาร สารสนเทศ และรู้เท่าทันสื่อ (Communication information and media literacy) ทักษะด้านคอมพิวเตอร์ และเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร (Computing) ทักษะอาชีพและทักษะการเรียนรู้ (Career and learning self-reliance, change) ทักษะการเปลี่ยนแปลง (Change) ทักษะการเรียนรู้ (Learning Skills) ภาวะผู้นำ (Leadership) 7. ชิ้นงานหรือภาระงาน ( หลักฐาน / ร่องรอยแสดงความรู้ ) - ใบงาน 8. การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่1 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูพูดคุยกับนักเรียน รวมทั้งชี้แจงจุดประสงค์ให้นักเรียนทราบว่า เรื่องที่กําลังจะ ศึกษาเกี่ยวกับ เรื่องเลขยกกําลัง ซึ่งเป็นเรื่องที่นักเรียนเคยเรียนมาก่อนหน้านี้แล้วพร้อมทั้งชี้แจงคะแนน เก็บรายวิชา 2. ครูทบทวนความรู้โดยการยกตัวอย่างรูปภาพที่เกี่ยวกับเลขยกกําลัง และให้นักเรียน ช่วยกันตอบพร้อมทั้งตั้งคําถามกระตุ้นนักเรียน
28 ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายความหมายและนิยามของเลขยกกําลังที่นักเรียนรู้จักและเคยเรียนมาแล้ว ดังนี้ เลขยกกําลัง คือ เลขที่เขียนอยู่ในรูป n a อ่านว่า “ a ยกกําลัง n ” n หรือ “ a กําลัง n ” และเรียก a ว่า “ฐาน” ของเลขยกกําลัง เรียก n ว่า “เลขชี้กําลัง” และบางครั้งก็เรียก n a ว่า “ค่า ของเลขยกกําลัง” a 2. ครูยกตัวอย่างของเลขยกกําลังตามนิยาม เช่น ตัวอย่าง 1 3 2 2 2 2 8 = = ตัวอย่าง 2 4 3 3 3 3 3 81 = = ตัวอย่าง 3 ( ) 4 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0001 = = 3. ครูอธิบายเกี่ยวกับทฤษฎีบทของเลขยกกําลังพร้อมทั้งยกตัวอย่าง ดังนี้ ทฤษฎีบท ให้ a,b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m,n เป็นจำนวนเต็มจะได้ว่า 3.1 m n m n a a a + = 3.2 m m n n a a a − = 3.3 ( ) n m m n a a = 3.4 ( ) n n n ab a b = 3.5 n n n a a b b = จํานวนจริงใดๆ n เป็นจํานวนเต็มบวกแล้ว n n a a a a ... a = ถ้า a เป็นจํานวนจริงใดๆที่ไม่เป็นศูนย์ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว 1. 0 a 1 = 2. n 1 a n − = และ n n 1 a a − = a−n
29 4. ครูยกตัวอย่างประกอบการเรียนพร้อมทั้งอธิบายอย่างละเอียดดังนี้ ตัวอย่าง 1 จงเขียน 3 7 16 4 ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ตัวอย่าง 2 จงหาค่าของ ( ) 5 3 2 2 4 7 a b c a b c ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูเปิดแบบฝึกหัดในหนังสือเรียนโดยแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มละ 3 - 5 คนร่วมกัน ระดมความคิดในการทำแบบฝึกทักษะ 1.1 ข้อที่ 1.2-1.4 จากนั้นแสดงวิธีทำและหาคำตอบให้ถูกต้อง ภายในเวลา 15 นาที 2. เมื่อหมดเวลาให้นักเรียนส่งตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาเฉลยคำตอบของแบบฝึกหัด พร้อมแสดงวิธีทำ ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันสรุป ความหมาย นิยาม และทฤษฏีบทของเลขยกกําลัง เป็น การสรุปองค์ความรู้ และให้นักเรียนทุกคนสรุปลงในสมุด ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 1 เรื่อง “เลขยกกำลัง 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานที่ 1 “เลขยกกําลัง” เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ( ) ( ) 3 7 3 7 4 2 12 14 26 16 4 2 2 2 2 2 = = = วิธีทำ ตอบ 3 7 26 16 4 2 = วิธีทำ ( ) ( ) 5 3 2 2 3 5 2 5 2 5 4 7 4 7 15 4 10 7 10 1 11 3 9 a b c a b c a b c a b c a b c a b c − − − = = = ตอบ ( ) 5 3 2 2 11 3 9 4 7 a b c a b c a b c =
30 ชั่วโมงที่2 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบความรู้เกี่ยวกับสิ่งที่นักเรียนเคยเรียนไปในครั้งที่แล้ว โดยการอธิบายทฤษฎีบท เกี่ยวกับเลขยกกําลังที่ มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนเต็ม ดังนี้ ให้ a, b เป็นจํานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m, n เป็นจํานวนเต็ม จะได้ว่า 1.1 m n m n a a a + = 1.2 m m n n a a a − = 1.3 ( ) n m m n a a = 1.4 ( ) n n n ab a b = 1.5 n n n a a b b = 2. ครูใช้คําถามกระตุ้นความคิดเพื่อทบทวนความรู้เดิม และอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้ 2.1 เครื่องหมาย ( ) เรียกว่าอะไร (เครื่องหมายกรณฑ์ ( ) ที่นักเรียนได้พบ ในเรื่องจํานวนอตรรกยะ ซึ่งเรียกว่า รากที่สอง ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายนิยามพร้อมทั้งยกตัวอย่างดังนี้ บทนิยาม ให้ x และ y เป็นจํานวนจริง y เป็นรากที่สองของ x ก็ต่อเมื่อ เช่น รากที่สองของ 25 คือ 5 เนื่องจาก 52 = 25 รากที่สองของ 25 คือ -5 เนื่องจาก (-5)2 = 25 2. ครูอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้ 2.1 เนื่องจากกําลังสองของจํานวนจริงต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ดังนั้น x ในบท นิยามต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ 2.2 ถ้า x 0 จะมีรากที่สองของ x สองราก คือ x และ − x เป็น x จํานวนบวกและ − x เป็นจํานวนลบ 2.3 ถ้า x 0 = แล้ว จะมีจํานวนจริงจํานวนเดียว คือ 0 เป็นรากที่สองของ x หรือ 0 0 = 2.4 ถ้า x 0 จะไม่มีรากที่สองของ x ที่เป็นจํานวนจริง 2 y x =
31 2.5 ถ้า a เป็นจํานวนจริงใดๆ จะได้ 2 a a = ครูกล่าวเพิ่มเติมว่า “ถ้า x 0 จะมีรากที่สองของ x สองราก คือ รากที่สองที่เป็นบวก ซึ่งแทนด้วย สัญลักษณ์ a และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์− a” 3. ครูยกตัวอย่างการหารากที่สอง ดังนี้ ตัวอย่าง จงหารากที่สองของจํานวนต่อไปนี้ 1) 49 วิธีทำ รากที่สองของ 49 มีสองราก เขียนแทนด้วย 49 และ − 49 เนื่องจาก 2 49 7 7 = = และ 2 − = − = − 49 7 7 ดังนั้น รากที่สองของ 49 คือ 7 และ -7 2) 0.01 วิธีทำ รากที่สองของ 0.01 มีสองราก เขียนแทนด้วย 0.01 และ เนื่องจาก ( ) 2 0.01 0.1 0.1 = = และ ( ) 2 − = − = − 0.01 0.1 0.1 ดังนั้น รากที่สองของ 0.01 คือ 0.1 และ -0.1 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูเปิดแบบฝึกหัดในหนังสือโดยทำในรูปแบบเกม Kahoot และให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 2-3 คน ใช้เวลาเล่นเกมภายใน 10 นาที ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปบทนิยาม พร้อมทั้งร่วมกันเฉลยแบบฝึกหัดที่เล่นโดย โปรแกรม Kahoot เพื่อตรวจสอบความถูกต้อง ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 1.2-1.5 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 1.2-1.5 เพื่อตรวจสอบความ เข้าใจ − 0.01
32 ชั่วโมงที่3 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวน เรื่อง รากที่สอง ที่เรียนไปก่อนหน้านี้โดยการเขียนโจทย์บนกระดาน พร้อมทั้งให้สุ่มนักเรียนออกมาแสดงวิธีทํา หรือให้เหตุผลในการหาคําตอบ ดังนี้จงหา 1.1 รากที่สองของ 3 1.2 รากที่สองของ 15 2. ครูใช้โจทย์เป็นคําถามกระตุ้นนักเรียน เพื่อให้นักเรียนคิด และวิเคราะห์ ดังนี้ 2.1 2 9 นักเรียนจะทำยังไงกับโจทย์นี้ ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายสมบัติของรากที่สองที่ไม่เป็นลบ ดังนี้ สมบัติของรากที่สองที่ไม่เป็นลบ 2. ครูยกตัวอย่าง พร้อมทั้งอธิบายอย่างละเอียด ดังนี้ ตัวอย่าง 1. 2 9 18 3 3 2 3 2 = = = 2. 3. 81 81 9 3 9 9 = = = 1. x y xy = เมื่อ x 0, y 0 2. x x y y = เมื่อ x 0, y 0 80 10 800 10 10 2 2 2 20 2 = = = 112 112 2 2 56 8 7 2227 2 14 = = = = = 4.
33 3. ครูอธิบายนิยามของรากที่ n ของจํานวนจริง ดังนี้ บทนิยาม ให้ x และ y เป็นจํานวนจริงและ n เป็นจํานวนเต็มที่มากกว่า 1 y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ n y x = ค่าหลักของรากที่ n นิยาม ให้ x เป็นจํานวนจริงที่มีรากที่ n จะกล่าวว่า จํานวน จริง y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ 1. y เป็นรากที่ n ของ x 2. yx 0 แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x ด้วย 2 x หมายเหตุ 1. เครื่องหมาย n x เรียก เครื่องหมายกรณฑ์ เรียก n ว่าอันดับที่ หรือ ดัชนี ขอกรณฑ์ 2. เมื่อ x เป็นจำนวนจริง จำนวนจริงที่เขียนไว้ในรูป n x เรียกว่ากรณฑ์ 3. n x อ่านว่า กรณฑ์ที่ n ของ x หรือ ค่าหลักของรากที่ n ของ x 4. ถ้า n 2 = จะเขียน แทน 2 5. n n x x = นั่นคือ กำลังที่ n ของ ค่าหลักของรากที่ n ของ x คือ x เมื่อ a เป็นจํานวนจริงที่มีรากที่ n ถ้า a เป็นจํานวนบวก แล้ว ค่าหลักของรากที่ n ของ a เป็นจํานวนบวก ถ้า a เป็นจํานวนลบ แล้ว ค่าหลักของรากที่ n ของ a เป็นจํานวนลบ ถ้า a เป็นศูนย์ แล้ว ค่าหลักของรากที่ n ของ a เป็นศูนย์ 4. ครูยกตัวอย่าง เขียนจํานวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรู้อย่างง่าย พร้อมทั้งอธิบาย ดังนี้ 4.1 3 3 3 3 3 240 8 30 8 30 2 30 = = = 4.2 3 3 3 3 3 3 3 2 81 32 81 32 3 2 3 2 6 12 = = = ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่4.1-4.2 แล้วให้นักเรียนร่วมกันระดม ความคิด จากนั้นส่งตัวแทนออกมา 2 คน มาแสดงวิธีทำที่หน้าชั้นเรียนแล้วช่วยกันตรวจสอบตำตอบเพื่อ ความถูกต้อง
34 ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 4.1-4.2 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปการใช้สมบัติของรากที่สอง พร้อมกับแนะนําวิธีการจําเพื่อ สามารถนําไปใช้ในอนาคตได้ ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 2 เรื่อง “เลขยกกำลัง” จำนวน 4 ข้อ 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยใบงานที่ 2 “เลขยกกำลัง” จำนวน 4 ข้อ เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ชั่วโมงที่4 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนความรู้สมบัติของรากที่สอง และสมบัติรากที่ n โดยใช้โปรแกรม Kahoot ให้นักเรียนร่วมสนุก เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ และทบทวนความรู้เดิม 2. ครูยกตัวอย่างโจทย์ และใช้คําถามกระตุ้นนักเรียน ดังนี้ 2.1 จงหาค่าของ 3 3 32 −4 นักเรียนจะทำยังไงกับโจทย์ข้อนี้ ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูเริ่มจากอธิบายสมบัติของรากที่ n ดังนี้ สมบัติของรากที่ n ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n แล้ว = n n n x y xy = ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n และ y 0 แล้ว n n n x x y y = หมายเหตุ 1. x 0 และ y 0 ทฤษฎีบท จะเป็นจำนวนจริง ก็ต่อเมื่อ n เป็นจำนวนคี่ บวกเท่านั้น 2. ถ้า x เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จะได้ว่า ก. n n x x = เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ ข. n n x x = เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
35 สมบัติของรากที่ n ตัวอย่าง 1. n n x x = เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ ( ) 7 7 − = − 5 5 2. n n x x = เ ม ื ่ อ x 0,n เ ป็ น จำนวนคู่ −x เมื่อ x 0,n เป็นจำนวนคู่ 6 6 7 7 = ( ) ( ) 6 6 − = − − = 7 7 7 2. ครูยกตัวอย่างที่ยากขึ้นเพื่อให้ผู้เรียนมีความเข้าใจกับเนื้อหา ดังนี้ ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของ 3 3 32 −4 ตัวอย่าง 2 จงหาค่าของ 4 4 4 4 60 28 189 45 3 3 3 3 32 32 4 4 8 2 = − = − = − วิธีทำ ตอบ 3 3 32 2 4 = − − วิธีทำ 4 4 4 4 4 4 60 28 40 28 189 45 189 45 4 28 21 9 = = 4 4 447 799 2222 3333 2 3 = = =
36 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนทําแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 2.1-2.3 และขอตัวแทน 2 คน ออกมา แสดงวิธีทำหน้าชั้นเรียน ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปเรื่องที่เรียนในวันนี้ พร้อมทั้งเน้นถึงบทนิยามและทฤษฎี บทที่ได้เรียน 2. ครูเดินดูนักเรียนทําแบบฝึกทักษะ 1.2 เพื่อดูความก้าวหน้าและความถูกต้อง 3. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 2.1-2.3 ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 2.6-2.10 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 2.6-2.10 เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ชั่วโมงที่5 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนเกี่ยวกับสมบัติของรากที่สองที่ไม่เป็นลบ และสมบัติของรากที่ n ดังนี้ ตอบ 4 4 4 4 60 28 2 189 45 3 = 1. x y xy = เมื่อ x 0, y 0 2. x x y y = เมื่อ x 0, y 0 ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n แล้ว = n n n x y xy = ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n และ y 0 แล้ว n n n x x y y =
37 ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1.ครูอธิบายการหาผลบวกและผลต่างของกรณฑ์ ดังนี้ การหาผลบวกและผลต่างของกรณฑ์กรณฑ์ที่มีอันดับเท่ากันและจํานวนภายใน กรณฑ์เป็นจํานวนเดียวกันจะบวกลบกันโดยใช้สมบัติการแจกแจงของระบบจํานวนจริง ผลบวก ผลต่าง คือ กรณฑ์เดียวกันและค่าภายในกรณฑ์เหมือนกัน จึงนําสัมประสิทธ์ หน้ากรณฑ์มาบวกลบกัน 2. ครูยกตัวอย่างเกี่ยวกับการหาผลบวกและผลต่างของกรณฑ์ พร้อมทั้งแสดงวิธีทํา อย่างละเอียด ดังนี้ ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของ 4 2 7 3 5 2 5 3 + + − ตัวอย่าง 2 จงหาค่าของ 3 3 3 16 4 16 250 − − 3. ครูอธิบายการหาผลคูณ ผลหารของกรณฑ์ ดังนี้ การหาผลคูณและผลหารของกรณฑ์ถ้าอันดับของกรณฑ์ไม่เท่ากันต้องทําให้อันดับ ของกรณฑ์เท่ากันเสียก่อนจึงจะคูณหรือหารกันได้ และใช้สมบัติของรากที่สองที่ไม่เป็นลบ และสมบัติของ รากที่ n ดังนี้ ( ) ( ) 4 2 7 3 5 2 5 3 4 2 5 2 7 3 5 3 4 2 5 2 7 3 5 3 9 2 2 3 + + − = + + − = + + − = + ตอบ 4 2 7 3 5 2 5 3 9 2 2 3 + + − = + วิธีทำ วิธีทำ ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 16 4 16 250 8 2 4 27 2 125 2 2 2 4 3 2 5 2 2 2 12 2 5 2 9 2 − − = − − − = − − − = + − = ตอบ 3 3 3 3 16 4 16 250 9 2 − − = 1. x y xy = เมื่อ x 0, y 0 2. x x y y = เมื่อ x 0, y 0
38 4. ครูยกตัวอย่างเกี่ยวกับการหาผลคูณและผลหารของกรณฑ์ พร้อมทั้งแสดงวิธีทําอย่าง ละเอียด ดังนี้ ตัวอย่าง 3 จงหาผลคูณของ 3 7 2 28 ตัวอย่าง 4 จงหาผลหารของ 5 3 98 ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n แล้ว = n n n x y xy = ทฤษฎีบท ถ้า x และ y มีรากที่ n และ y 0 แล้ว n n n x x y y = วิธีทำ 2 2 3 7 2 28 3 2 7 28 6 196 6 2 2 7 7 6 2 7 6 14 84 = = = = = = ตอบ 3 7 2 28 84 = วิธีทำ = = = = 2 5 5 3 98 3 2 7 7 5 3 2 7 5 7 3 2 5 21 2 ตอบ 5 5 3 98 21 2 =
39 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 3-5คน ร่วมกันหาผลบวก ผลลบ ผลคูณ และผลหาร เลขยกกำลังจากแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 4.3-4.4 ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 4.3-4.4 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปเรื่องที่เรียนในวันนี้ พร้อมทั้งเน้นถึงบทนิยามและทฤษฎี บทที่ได้เรียน ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 2.7-2.10 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.2 ข้อที่ 2.7-2.10 เพื่อตรวจสอบความ เข้าใจ ชั่วโมงที่6 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนนิยามและสมบัติของรากที่ n ของจํานวนจริง โดยการใช้โปรแกรม kahoot โดยให้นักเรียนร่วมสนุก 2. ครูใช้คําถามกระตุ้นนักเรียน ดังนี้ 2.1. 3 25 2 4 นักเรียนจะทำยังไงกับโจทย์ข้อนี้ ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายนักเรียนเกี่ยวกับบทนิยามในการเขียนเลขชี้กําลังเป็นตรรกยะ พร้อมทั้ง ยกตัวอย่าง ดังนี้ บทนิยาม เมื่อ a เป็นจํานวนจริง n เป็นจํานวนเต็มที่มากกว่า 1 และ a มีรากที่ n = 1 n n a a 2. ครูยกตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อความเข้าใจที่มากขึ้น
40 จากบทนิยาม ( ) 2 1 2 3 3 3 2 2 2 = = และ ( ) 2 1 3 2 3 3 2 2 4 = = นิยาม ให้a เป็นจํานวนจริง โดยที่ a 0 และ r เป็นจํานวนตรรกยะ เขียน p r q = โดยที่ p,q เป็นจํานวนเต็มทีj (p,q 1,q 0 ) = และ 1 q a R แล้ว 3. ครูอธิบายเกี่ยวกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนตรรกยะ ดังนี้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนตรรกยะ ให้ a, b เป็นจํานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m, n เป็นจํานวนเต็ม จะได้ว่า 1. m n m n a a a + = 2. m m n n a a a − = เมื่อ a 0 3. ( ) n m m n a a = 4. ( ) n n n ab a b = 5. n n n a a b b = เมื่อ b 0 ตัวอย่างที่ 1 จงทํา ( ) 1 3 6 6 125a b เป็นรูปอย่างง่าย เมื่อ a > 0 วิธีทำ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 3 6 3 3 6 6 6 6 6 1 1 2 2 1 2 125a b 5 a b 5 a b 5a b 5a = = = = ตอบ ( ) 1 3 6 6 125a b b 5a =
41 ตัวอย่างที่ 2 จงทํา ( ) ( ) 1 2 3 1 2 2 4 8ab 16a b เป็นรูปอย่างง่าย เมื่อ a > 0 , b > 0 4. ครูอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหารากที่สองของจำนวนที่อยู่ในรูป x 2VJ ดังนี้ การหารากที่สองของจำนวนที่อยู่ในรูป x 2 y ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b a 2 ab b a b 2 ab + = + + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b a 2 ab b a b 2 ab − = − + = + − ถ้า a , b R ซึ่ง x = a + b และ y = ab แล้ว 1. รากที่สองของ x 2 y a b + = + ( ) 2. รากที่สองของ x 2 y a b − = − ( ) วิธีทำ ตอบ ( ) ( ) 1 1 2 3 6 1 2 2 4 8ab b a 16a b = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 4 4 2 2 1 3 1 1 2 1 3 3 2 3 2 1 4 4 1 1 6 6 1 6 8ab 8 a b 16a b 16 a b 2 a b 2 a b b a − − − = = = = เนื่องจาก
42 3. x 2 y a b + = + 4. a b x 2 y a b b a − − = − = − 5. ครูยกตัวอย่างเพิ่มเติม พร้อมทั้งอธิบายอย่างละเอียด ตัวอย่าง จงหารากที่สองของจำนวน 13 2 40 + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 13 2 40 8 5 2 8 5 8 2 8 5 5 8 5 + = + + = + + = + 6. ครูอธิบายเกี่ยวกับสมการที่อยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์ ดังนี้ สมการที่อยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์ หลักการแก้สมการทั่วไป 1. จัดกรณฑ์ให้อยู่ข้างใดข้างหนึ่งของสมการ ตัวแปรและจำนวนที่ไม่ติดกรณฑ์ให้อยู่ อีกข้างหนึ่งของสมการ ในกรณีที่มีกรณฑ์มากกว่า 1 กรณฑ์ ควรจัดให้มีกรณฑ์ทั้งสองข้าง 2. ยกกำลังเพื่อให้กรณฑ์หมด 3. แก้สมการตามปกติ 4. ตรวจคำตอบที่ได้ว่าทำให้สมการเป็นจริงหรือไม่ 7. ครูอธิบายตัวอย่าง พร้อมทั้งอธิบายอย่างละเอียด ดังนี้ ตัวอย่างที่ 16 จงหาคำตอบของเซตสมการ 2x 3 x + = ยกกำลังสองทั้งสองข้าง ตรวจสอบคำตอบ x = 3 แทนค่าในสมการ 2x 3 x + = ; เมื่อ a > b ; เมื่อ a < b วิธีทำ ( )( ) 2 2 2x 3 x x 2x 3 0 x 3 x 1 0 x 3, 1 + = − − = − + = = − ( ) 2x 3 x 2 3 3 3 9 3 + = + = = เป็นจริง
43 แสดงว่า x = 3 สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้ ตรวจสอบคำตอบ x = -1 แทนค่าในสมการ 2x 3 x + = แสดงว่า x = -1 ไม่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้ ดังนั้น เซตคำตอบของสมการที่กำหนดให้ คือ 3 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 3-5คน ร่วมกันหาเซตคำตอบของสมการจากแบบฝึก ทักษะที่ 1.3 ข้อที่ 8.1-8.2 ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.3 ข้อที่ 8.1-8.2 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปการหาเซตคำตอบของสมการ และเรื่องที่เรียนในวันนี้ พร้อมทั้งเน้นถึงบทนิยามและทฤษฎีบทที่ได้เรียน ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.3 ข้อที่ 8.4,8.7,8.12 ลงในสมุด 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.3 ข้อที่ 8.4,8.7,8.12 เพื่อตรวจสอบ ความเข้าใจ ชั่วโมงที่7 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนนิยามและสมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะดังนี้ ( ) 2x 3 x 2 1 3 1 1 1 + = − + = − = − เป็นเท็จ นิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และ a มีรากที่ n 1 n n 0 n n n n a a a 1 1 1 a , a a a − − = = = =
44 ให้ a, b เป็นจํานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m, n เป็นจํานวนเต็ม จะได้ว่า 1. m n m n a a a + = 2. m m n n a a a − = 3. ( ) n m m n a a = 4. ( ) n n n ab a b = 5. n n n a a b b = 2. ครูทบทวนฟังก์ชันกำลังสอง 2 y x = และกราฟพาราโบลาพร้อมทั้งใช้คำถามกระตุ้น ดังนี้ 2.1 ฟังก์ชันกำลังสอง 2 y x = และกราฟจะเป็นรูปแบบพาราโบลาแต่ตัวแปรคือฐาน 2.2 ครู : ฟังก์ชันกำลังสอง 2 y x = ตัวแปรคือฐาน ถ้าครูเปลี่ยนตัวแปรจากท่านเป็น เลขชี้กำลังจะเรียกฟังก์ชันนี้ว่าอะไร นักเรียน : ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล นิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริง โดยที่ a 0 และ r เป็นจำนวนตรรกยะ โดยเขียน p r q = โดยที่ p,q เป็นจำนวนเต็ม (p,q 1,q 0 ) = และ 1 q a แล้ว p p 1 r q q a a a = =
45 ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายว่าเราจะพิจารณาฟังก์ชันของเลขกกำลังที่ตัวแปรคือเลขชี้กำลัง และฐาน เป็นจำนวนจริง เช่น ( ) x x x x x x 1 x 2 ,3 ,5 , ,0 ,1 , 1 2 − 2. ครูอธิบายนิยามฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล พร้อมยกตัวอย่าง ดังนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ( ) x f x, y | y a ,a 0,a 1 + = = เช่น x x x x 1 y 4 , y 0.99 , y , y 1 2 = = = = 3. ครูยกตัวอย่างสมการเลขยกกำลัง x y 2 = พร้อมทั้งเขียนกราฟและใช้คำถามกระตุ้น นักเรียน 3.1 กราฟตัดแกน x หรือไม่โดยพิจารณาว่า ? 2 0 = ซึ่งไม่นิยาม ดังนั้นกราฟเอกซ์ โพเนนเชียลไม่ตัดแกน x 4. ครูยกตัวอย่างสมการเลขยกกำลัง x 1 y 2 = พร้อมทั้งเขียนกราฟ ดังนี้ x -2 -1 0 1 2 3 y 1 4 1 2 1 2 4 8 x -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 1 1 2 1 4 1 8
46 5. ครูยกตัวอย่างสมการเลขยกกำลัง x y 1 = พร้อมทั้งเขียนกราฟ และอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้ 5.1 กราฟที่ได้เป็นกราฟเส้นตรงซึ่งมีค่า y เท่ากับ 1 เสมอ 6. ครูยกตัวอย่างสมการเลขยกกำลัง x y 0 = พร้อมทั้งเขียนกราฟ และอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้ 7. ครูยกตัวอย่างสมการเลขยกกำลัง ( ) x y 1 = − พร้อมทั้งเขียนกราฟ และอธิบาย เพิ่มเติม ดังนี้ x -2 -1 0 1 2 3 y 1 1 1 1 1 1 x -2 -1 0 1 2 3 y ไม่นิยาม ไม่นิยาม ไม่นิยาม 0 0 0 x -2 -1 0 1 2 3 y ไม่นิยาม ไม่นิยาม 1 -1 1 -1