47 7.1 กราฟที่ได้เป็นกราฟกวัดแกว่งและไม่สามารถเขียนกราฟเมื่อ x < 0 เพราะไม่ นิยาม 8. ครูอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้ 8.1 เมื่อพิจารณากราฟของ x x y 1 , y 0 = = และ ( ) x y 1 = − จะเห็นว่าเป็นสมการ เส้นตรงและบางส่วนของกราฟไม่สามารถเขียนได้ แต่กราฟของ x y 2 = และ x 1 y 2 = สามารถเขียน ได้เสมอ ดังนั้นเราจะสนใจสมการของเลขยกกำลัง x a โดยที่ 0 < x < 1 หรือ x > 1 8.2 พิจารณาจากตารางค่า x และ y และจากกราฟของสมการ x y 2 = กับ x 1 y 2 = จะได้ว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 เพราะค่า y หนึ่งค่าได้มากจากค่า x เพียงหนึ่งค่าเท่านั้น 8.3 โดเมนของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเท่ากับ โดยพิจารณาจากการแทนค่าตัว แปร x และกราฟ 8.4 เรนจ์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเท่ากับ + โดยพิจารณาจากค่าตัวแปร y ที่ สามารถเป็นได้และกราฟ ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 3-5คน แล้วให้แต่ละกลุ่มวาดกราฟของฟังก์ชันเอกซ์ โพเนนเชียลจากแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 1.1-1.2 ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูตรวจสอบกราฟฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของแต่ละกลุ่ม จากนั้นนักเรียนและครู ร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 1.1-1.2 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปเรื่องที่เรียนในวันนี้ พร้อมทั้งเน้นถึงบทนิยามที่ได้เรียน ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 1.3-1.4 ลงในสมุด
48 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 1.3-1.4 เพื่อตรวจสอบความ เข้าใจ ชั่วโมงที่8 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูอธิบายนิยามฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ดังนี้ บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป ( ) x f x, y | y a ,a 0,a 1 + = = ข้อสังเกต 1. x f (x) 1 = เป็นฟังก็ชันคงตัว เพราะว่า 1x = 1 ไม่เรียกฟังก์ชันนี้ ว่าฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล 2. โดเมนของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ R 3. เรนจ์ของฟังก็ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ R + โดยครูอธิบายเพิ่มเติมว่า จาก สมการ x y a = จะเรียก a ว่าฐาน ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลแบ่งการพิจารณาจากค่าของ a ได้เป็น 2 กรณี ดังนี้ 1.1 กรณีที่ 1 พร้อมทั้งยกตัวอย่างที่ 18 และ 19 ประกอบ ดังนี้ กรณีที่ 1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล x y a = โดยที่ a > 1 ตัวอย่างที่ 18 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน x y 2 = เมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้น จะได้ y มีค่าเพิ่มขึ้น นั่นคือ x y 2 = เป็นฟังก์ชันเพิ่ม x -2 -1 0 1 2 3 y 1 4 1 2 1 2 4 8
49 ตัวอย่างที่ 19 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน x x y 2 , y 3 = = และ x y 5 = ลงในระบบ พิกัดฉากเดียวกัน 1.2 กรณีที่ 2 พร้อมทั้งยกตัวอย่างที่ 20 และ 21 ประกอบ ดังนี้ กรณีที่ 2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล x y a = โดยที่ 0 < a < 1 ตัวอย่างที่ 20 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน x 1 y 2 = เมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้น จะได้ y มีค่าลดลง นั่นคือ x 1 y 2 = เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างที่ 19 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน x x 1 1 y , y 2 3 = = และ x 1 y 5 = ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน x -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 1 1 2 1 4 1 8
50 2. ครูตั้งข้อสังเกตจากตัวอย่างที่ 18-21 ดังนี้ ข้อสังเกต 2.1 กราฟของฟังก์ชัน x y a ,a 0 = และ a 1 จะผ่านจุด (0,1) เสมอ ทั้งนี้ เพราะ 0 a 1 = 2.2 ถ้า a >1 แล้ว x y a = เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และกราฟไม่ตัดแกน X แต่เข้าใกล้ เส้นตรง y 0 = เมื่อ x มีค่าลดลงโดยไม่มีขอบเขตหรือแกน x เป็นเส้นกำกับแนวนอน 2.3 ถ้า 0 < a < 1 แล้ว x y a = เป็นฟังก็ชันลด และกราฟไม่ตัดแกน x แต่เข้าใกล้ เส้นตรง y 0 = เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต กล่าวได้ว่าแกน x เป็นเส้นกำกับแนวนอน 2.4 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จาก ไปทั่วถึง + โดยสมบัติ ของฟังก์ชัน 1 - 1 จะได้ว่า x y a a = ก็ต่อเมื่อ x y = 3. ครูอธิบายว่า ตัวอย่างที่ 18-21 ฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงที่ฐานเลขยกกำลัง ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูจัดกิจกรรมรวบยอดความรู้โดยให้นักเรียนเล่นเกมในโปรแกรม Quizizzซึ่ง ประกอบด้วยคำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบกิจกรรมกราฟฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจาก Quizizz ให้ถูกต้อง 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปประเภทของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ดังนี้ กรณีที่ 1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล x y a = โดยที่ a 1 เรียกว่าฟังก์ชันเพิ่ม
51 กรณีที่ 2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล x y a = โดยที่ 0 a 1 เรียกว่าฟังก์ชันลด ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปเรื่องที่เรียนในวันนี้ พร้อมทั้งเน้นถึงบทนิยามที่ได้เรียน 2. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 1.5-1.8 ลงในสมุด 3. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 1.5-1.8 เพื่อตรวจสอบความ เข้าใจ ชั่วโมงที่9 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูตั้งคำถามกับนักเรียนเพื่อกระตุ้นให้เกิดการเรียนรู้ดังนี้ 1.1 กราฟของ x 1 x 1 y 2 , y 2 + + = = และ x 1 y 2 + = แตกต่างจากกราฟของ x y 2 = หรือไม่ อย่างไร ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนวาดกราฟของ x x x x 1 y 2 , y 2 1, y 2 2, y 2 + = = + = + = และ x 1 y 2 − = ลงในระนาบเดียวกันแล้วให้สังเกตความแตกต่าง 2. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = 3. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = และ x y 2 1 = + ในระนาบเดียวกัน แล้วอธิบายว่า กราฟถูกเลื่อนขึ้นไป 1 หน่วย x x 2 -2 0.25 -1 0.5 0 1 1 2 2 4
52 4. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = และ x y 2 1 = − ในระนาบเดียวกัน แล้วอธิบายว่า กราฟถูกเลื่อนเลื่อนลงไป 1 หน่วย 5. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = และ x 1 y 2 + = ในระนาบเดียวกัน แล้วอธิบายว่ากราฟ ถูกเลื่อนเลื่อนทางซ้าย 1 หน่วย x x 2 -2 1.25 -1 1.5 0 2 1 3 2 5 x x 2 -2 0.25 -1 0.5 0 1 1 2 2 4 x x 2 -2 0.5 -1 1 0 2 1 4 2 8
53 6. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = และ x 1 y 2 − = ในระนาบเดียวกัน แล้วอธิบายว่ากราฟ ถูกเลื่อนเลื่อนทางขวา 1 หน่วย 7. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = และ x 1 y 2 1 + = + ในระนาบเดียวกัน แล้วอธิบายว่า กราฟถูกเลื่อนขึ้นไป 1 หน่วยแล้วเลื่อนไปทางซ้าย 1 หน่วย 8. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = และ x 1 y 2 1 + = − ในระนาบเดียวกัน แล้วอธิบายว่า กราฟถูกเลื่อนลงมา 1 หน่วยแล้วเลื่อนไปทางขวา 1 หน่วย x x 2 -2 1.5 -1 2 0 3 1 5 2 9 x x 2 -2 -0.875 -1 -0.75 0 -0.5 1 0 2 1 x x 2 -2 0.125 -1 0.25 0 0.5 1 1 2 2
54 9. ครูอธิบายว่านอกจากการพิจารณากราฟจากทิศทางการเคลื่อนที่ยังสามารถพิจารณา จากจุดตัดแกนของกราฟได้ 10. ครูอธิบายว่ารูปทั่วไปของสมการฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ x h y a k − = + ซึ่งจะ มีจุดตัดแกนที่จุด (h,k) 11. ครูแสดงกราฟของ x y 2 = แล้วเขียนสมการเป็น x 0 y 2 0 − = + เพื่อให้สอดคล้อง กับรูปทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ x h y a k − = + แล้วชี้ให้เห็นว่าจุดตัดแกนคือ (0,0) 12. ครูแสดงกราฟของ x 1 y 2 − = แล้วเขียนสมการเป็น x 1 y 2 0 − = + เพื่อให้ สอดคล้องกับรูปทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ x h y a k − = + แล้วชี้ให้เห็นว่าจุดตัดแกน คือ (1,0) 13. ครูแสดงกราฟของ x 1 y 2 + = แล้วเขียนสมการเป็น x 0 y 2 0 − = + เพื่อให้ สอดคล้องกับรูปทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ x h y a k − = + แล้วชี้ให้เห็นว่าจุดตัดแกน
55 คือ (-1,0) 14. ครูแสดงกราฟของ x y 2 1 = + แล้วเขียนสมการเป็น x 0 y 2 1 − = + เพื่อให้ สอดคล้องกับรูปทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ x h y a k − = + แล้วชี้ให้เห็นว่าจุดตัดแกน คือ (0,1) 15. ครูแสดงกราฟของ x y 2 1 = − แล้วเขียนสมการเป็น ( ) x 0 y 2 1 − = + − เพื่อให้ สอดคล้องกับรูปทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ x h y a k − = + แล้วชี้ให้เห็นว่าจุดตัดแกน คือ (0,-1)
56 16. ครูแสดงกราฟของ x 1 y 2 1 + = + แล้วเขียนสมการเป็น x 1 ( ) y 2 1 − − = + เพื่อให้ สอดคล้องกับรูปทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ x h y a k − = + แล้วชี้ให้เห็นว่าจุดตัดแกน คือ (-1,1) ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูจัดกิจกรรมรวบยอดความรู้โดยให้นักเรียนเล่นเกมในโปรแกรม Quizizz ซึ่งประกอบด้วยคำถามเกี่ยวกับการเลื่อนกราฟ ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบกิจกรรมกราฟฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจาก Quizizz ให้ถูกต้อง 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปการสร้างกราฟโดยดูจากการเลื่อนกราฟและจุด ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 3.1-3.8
57 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ก ข้อที่ 3.1-3.8 เพื่อตรวจสอบความ เข้าใจ ชั่วโมงที่10 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนบทนิยาม และสมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนี้ และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนตรรกยะ ให้ a, b เป็น จํานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m, n เป็นจํานวนเต็ม จะได้ว่า 1. m n m n a a a + = 2. m m n n a a a − = เมื่อ a 0 3. ( ) n m m n a a = 4. ( ) n n n ab a b = นิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และ a มีรากที่ n 1 n n 0 n n n n a a a 1 1 1 a , a a a − − = = = = นิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริง โดยที่ a 0 และ r เป็นจำนวนตรรกยะ โดยเขียน p r q = โดยที่ p,q เป็นจำนวนเต็ม (p,q 1,q 0 ) = และ 1 q a แล้ว p p 1 r q q a a a = =
58 5. n n n a a b b = เมื่อ b 0 2. ครูตั้งคำถามกระตุ้นความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับสมการ ดังนี้ 2.1 จาก x 1 = เป็นสมการอะไร (สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เนื่องจากมีตัวแปร เดียวซึ่งมีดีกรีเท่ากับ 1 2.2 จาก x 1 2 − = เป็นสมการอะไร (สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เพราะมีตัวแปร เดียวซึ่งมีดีกรีเท่ากับ 1 2.3 จาก 3 y 4 + = เป็นสมการอะไร (สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เพราะมีสองตัวแปร ซึ่งมีดีกรีเท่ากับ 1 2.4 จาก x 4x 4 0 + + = เป็นสมการอะไร (สมการกำลังสอง เพราะมีดีกรีตัวแปร เท่ากับ 2 3. ครูตั้งข้อสังเกตว่า ชื่อสมการตั้งตามลักษณะของตัวแปร 4. ครูตั้งคำถามว่า = x 2 4 เป็นสมการอะไร ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูถามว่า = x 2 4 ค่า x เท่ากับเท่าใด โดยครูแนะนำว่าอาจจะคาดเดาคำตอบได้เลย หรือใช้สมบัติเลขยกกำลังเปลี่ยนฐานให้เท่ากัน ดังนี้ = = = x x 2 2 4 2 2 x 2 2. ครูถามว่า = x 3 81 ค่า x เท่ากับเท่าใด โดยครูแนะนำว่าอาจจะคาดเดาคำตอบได้ เลยหรือใช้สมบัติเลขยกกำลังเปลี่ยนฐานให้เท่ากัน ดังนี้ = = = = x x 2 x 4 3 81 3 9 3 3 x 4 3. ครูอธิบายว่า เนื่องจากฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง = m n a a ก็ต่อเมื่อ m n =
59 4. ครูอธิบายหลักทั่วไปในการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล โดยทำได้ 2 วิธี ซึ่งขึ้นอยู่กับ ลักษณะของโจทย์ 5. ครูอธิบายการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลวิธีที่ 1 จำนวน 2 ข้อ วิธีที่ 1 ถ้าสมการมีพจน์ที่มี 2 พจน์ 1. ควรทำให้ฐานของเลขยกกำลังมีค่าเท่ากันก่อน 2. เมื่อฐานของเลขยกกำลังมีค่าเท่ากัน สรุปได้ว่า เลขชี้กำลังจะมีค่าเท่ากัน 3. สร้างสมการเทียบเลขยกกำลัง แล้วแก้สมการเพื่อหาค่าตัวแปร 4. ตรวจคำตอบ ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ = 2 x 2 3 3 วิธีทำ ตรวจคำตอบ แทน x 1 = ลงในสมการ ( ) = = = 2 1 2 2 2 3 3 3 3 9 9 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการคือ 1 ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ = 4x 5 25 วิธีทำ ตรวจคำตอบ แทน x 1 = ลงในสมการ = = = 4 2 2 5 5 4 2 2 2 2 = = = 2 x 2 3 3 2x 2 x 1 เป็นจริง เป็นจริง = = = 4x 5 25 4x 25 1 x 2
60 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการคือ 1 2 6. ครูอธิบายการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลวิธีที่ 2 จำนวน 2 ข้อ วิธีที่ 2 ถ้าสมการมีพจน์ที่มีตัวแปรมากกว่า 2 พจน์ขึ้นไป 1. จัดสมการให้ข้างใดข้างหนึ่งของสมการเท่ากับศูนย์ 2. กำหนดให้เลขยกกำลังเป็นตัวแปร 3. แยกตัวประกอบพหุนาม 4. แก้สมการ 5. ตรวจคำตอบ ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ + − = 2 x x 7 4 7 5 0 วิธีทำ จะได้ และ ตรวจคำตอบ แทน x 0 = ลงในสมการ + − = + − = + − = = 0 0 7 4 7 5 0 1 4 1 5 0 1 4 5 0 0 0 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการคือ 0 เป็นจริง ( ) ( ) ( )( ) + − = + − = − + = 2 x x 2 x x x x 7 4 7 5 0 7 4 7 5 0 7 1 7 5 0 ( − =) = = = x x x 0 7 1 0 7 1 7 7 x 0 ( + =) = − x x 7 5 0 7 5
61 ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ + + + + = x 1 x 5 4 64 2 วิธีทำ จะได้ ตรวจคำตอบ แทน x 2 = ลงในสมการ ( ) ( ( ) ) ( )( ) + + + + + + = + + − = − + = − + = − + = − − = = 2 1 2 5 2 1 2 5 1 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 4 64 2 4 64 2 0 4 4 2 2 64 0 4 2 32 2 64 0 4 2 8 2 16 0 4 2 4 2 4 0 0 0 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการคือ 2 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มละ 3 - 5 คนร่วมกันระดมความคิดในการทำแบบฝึก ทักษะ 1.4 ข ข้อที่ 1.5-1.6 และ 2.3 แล้วเขียนคำตอบลงในใบแบบฝึกทักษะ โดยให้เวลา 10 นาที เป็นจริง ( − =) = = = x x x 2 2 4 0 2 4 2 2 x 2 ( ) ( ( ) ) ( )( ) + + + + + + = + + − = − + = − + = − + = − − = x 1 x 5 x 1 x 5 1 x 5 x 2 x x x x x x 4 64 2 4 64 2 0 4 4 2 2 64 0 4 2 32 2 64 0 4 2 8 2 16 0 4 2 4 2 4 0
62 2. เมื่อหมดเวลาให้นักเรียนส่งตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาเฉลยคำตอบของแบบฝึกทักษะ พร้อมบอกแนวคิดในแต่ละข้อให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูสรุปเนื้อหาเกี่ยวกับบทนิยามและขั้นตอนของการแก้สมการฟังก์ชันเอกซ์โพเนน เชียลและสมการฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ด้วยการถามตอบ 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ข ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.4 ข ข้อที่ 2.4-2.5 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ข ข้อที่ 2.4-2.5 เพื่อตรวจสอบความ เข้าใจ ชั่วโมงที่11 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูตั้งข้อสังเกตว่าสำหรับฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ฐานมากกว่า 1 หรือฟังก์ชัน เพิ่มเติม ถ้าค่าที่ได้มากกว่า เลขชี้กำลังต้องมากกว่า ในทำนองเดียวกัน ถ้าค่าที่ได้น้อยกว่า เลขชี้กำลังต้อง น้อยกว่าด้วย เช่น 4 3 16 8 2 2 4 3 , 1 2 2 4 2 2 1 2 , 2 3 9 27 3 3 2 3 ดังนั้น ถ้า a 1 (เป็นฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว 1 2 x x a a ก็ต่อเมื่อ x x 1 2 1 2 x x a a ก็ต่อเมื่อ x x 1 2 2. ครูยกตัวอย่างเลขยกกำลังที่ฐานน้อยกว่า 1 เช่น 1 2 และ 1 3 ดังนี้ = = = 1 2 3 1 1 2 2 1 1 2 4 1 1 2 8 = = = 1 2 3 1 1 3 3 1 1 3 9 1 1 3 27
63 2.1 ครูตั้งข้อสังเกตว่าสำหรับฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ฐานน้อยกว่า 1 หรือฟังก็ชัน ลด ถ้าค่าที่ได้มากกว่า เลขชี้กำลังต้องน้อยกว่า ในทำนองเดียวกัน ถ้าค่าที่ได้น้อยกว่า เลขชี้กำลังต้อง มากกว่าด้วย เช่น 1 4 1 1 2 16 1 1 2 2 1 4 , 2 3 1 1 9 27 1 1 3 3 2 3 , 1 4 1 1 3 81 1 1 3 3 1 4 ดังนั้น ถ้า a 1 (เป็นฟังก์ชันลด) แล้ว 1 2 x x a a ก็ต่อเมื่อ x x 1 2 1 2 x x a a ก็ต่อเมื่อ x x 1 2 3. ครูตั้งคำถามกระตุ้นผู้เรียน ดังนี้ 3.1 สมการ 2x 4 = เรามีวิธีการหาค่า x ได้อย่างไร 3.2 อสมการต่อไปนี้มีวิธีการหาค่า x ได้อย่างไร 2x 4 = ซึ่งจะได้เซตคำตอบของอสมการเป็น (−,2) 5x 1 14 + ซึ่งจะได้เซตคำตอบของอสมการเป็น 3,) 3x 2 13 − ซึ่งจะได้เซตคำตอบของอสมการเป็น (− −, 5 3.3 ถ้าอสมการเอกซ์โพเนนเชียล 2x 3 81 เรามีวิธีการหาค่า x ได้อย่างไร ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายหลักการแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล โดยยกตัวอย่างที่ 1-5 ประกอบ แต่ ครูจะ ยกตัวอย่างการตรวจคำตอบเฉพาะตัวอย่างที่ 1 เท่านั้น การหาเซตคำตอบของอสมการซึ่งอยู่ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ทำได้ดังนี้ 1. จัดให้ฐานของเลขยกกำลังมีเลขชี้กำลังเท่ากัน 2. สร้างอสมการของเลขชี้กำลัง ดังนี้ - กรณีฟังก์ชันเพิ่ม สร้างอสมการโดยให้เครื่องหมายของอสมการเป็น เครื่องหมายเดิม - กรณีฟังก์ชันลด สร้างอสมการโดยให้กลับเครื่องหมายของอสมการให้ตรงข้าม กับ เครื่องหมายเดิม
64 3. แก้อสมการเพื่อหาค่าของตัวแปร 4. ตรวจคำตอบ ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของอสมการ 2x 2 4 วิธีทำ พิจารณาฟังก์ชัน = 2x y 2 เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นฟังก์ชันเพิ่ม 2 x 2 x 2 2 4 2 2 2x 2 1 1 2x 2 2 2 x 1 ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย 2 ลงในสมการ ( ) 2 2 4 2 2 4 2 2 16 4 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (1,) ตัวอย่างที่2 จงหาเซตคำตอบของอสมการ + − x 1 x 3 4 2 วิธีทำ พิจารณาฟังก์ชัน + = x 1 y 4 และ − = x 3 y 2 เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ( ) + − + − + − + − − − − − x 1 x 3 x 1 2 x 3 2 x 2 x 3 4 2 2 2 2 2 2x 2 x 3 2x x 3 2 x 5 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (− −, 5)
65 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มละ 3 - 5 คนร่วมกันระดมความคิดในการทำแบบฝึก ทักษะ 1.4 ข ข้อที่ 2.7 แล้วเขียนคำตอบลงในใบแบบฝึกทักษะ โดยให้เวลา 10 นาที 2. เมื่อหมดเวลาให้นักเรียนส่งตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาเฉลยคำตอบของแบบฝึกทักษะ พร้อมบอกแนวคิดในแต่ละข้อให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูสรุปเนื้อหาเกี่ยวกับบทนิยามและขั้นตอนของการแก้อสมการฟังก์ชันเอกซ์โพเนน เชียลและอสมการฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ด้วยการถามตอบ 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ข ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.4 ข ข้อที่ 2.8-2.9 2. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.4 ข ข้อที่ 2.8-2.9 เพื่อตรวจสอบความ เข้าใจ ชั่วโมงที่12 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนเนื้อหาฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป ( ) x f x, y | y a ,a 0,a 1 + = = จะได้ว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปทั่วถึง + 2. ครูถามนักเรียนว่า “ถ้านำตัวแปร x และ ตัวแปร y มาสลับที่จะเกิดอะไรขึ้น” (แนวคำตอบ จะเกิดตัวผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปทั่วถึง + และ ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ( ) y x, y | x a ,a 0,a 1 + = ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. จาก y x a = สามารถเขียนให้อยู่ในรูป y f x = ( ) โดยกำหนดให้ a y log x = ซึ่ง a log x อ่านว่า ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ หรือ ล็อคเอกซ์ฐานเอ 2. ครูอธิบายนิยามของฟังก์ชันลอการิทึมได้ดังนี้ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชัน ลอการิทึม f x, y | y log x,a 0,a 1 ( ) a + = = จากบทนิยามความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ที่เขียนอยู่ใน y x a = จะมีความหมาย เดียวกัน a y log x = นั่นคือ a y log x = ก็ต่อเมื่อ y x a =
66 ตัวอย่างที่ 1 4 6 2 = เขียนในรูปลอการิทึมได้เป็น 2 4 log 16 = 1 2 7 49 = เขียนในรูปลอการิทึมได้เป็น 49 1 log 7 2 = 3 1 8 2 − = เขียนในรูปลอการิทึมได้เป็น 1 2 − =3 log 8 2 9 3 = เขียนในรูปลอการิทึมได้เป็น 3 2 log 9 = 3. ครูอธิบายกราฟของ a y log x = โดยใช้โปรแกรม GeoGebraเมื่อกำหนดค่า a ให้อาจเขียนได้จากกราฟของ y x a = แล้วสะท้อนข้ามเส้นตรง y x = โดยอาศัยสมบัติฟังก์ชันผกผัน ดังรูปที่ 1 นั่นคือ กราฟของ a y log x = มีลักษณะดังรูปที่ 2 4. ครูอธิบายเกี่ยวกับข้อสังเกตของฟังก์ชันลอการิทึม จำนวน 6 ข้อดังนี้ 1. กราฟของฟังก์ชัน a y log x = เมื่อ a 0 และ a 1 จะผ่านจุด (1,0) เสมอ เนื่องจาก a log 1 0 = ที่มา : https://mathmelody3301.wordpress.com/ กรณีที่ 1 กรณีที่ 2 ที่มา : https://exponentialfunctioncpr.wordpress.com/
67 2. ถ้า a 0 แล้ว a y log x = เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 3. ถ้า 0 a 1 แล้ว a y log x = เป็นฟังก์ชันลด 4. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปทั่วถึง + 5. โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า a a log m log n = ก็ต่อเมื่อ m n = 6. เนื่องจาก a y log x = ก็ต่อเมื่อ y a x = เมื่อแทนค่า y ในสมการหลังจะได้ x a log a a x = เมื่อแทนค่า x ในสมการหลังจะได้ y a y log a = 5. ครูอธิบายตัวอย่างที่ 28 จำนวน 2 ข้อ และแสดงวิธีทำในการหาค่าลอการิทึม ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 8 log 4 วิธีทำ จาก a y log x = ก็ต่อเมื่อ y a x = ดังนั้น 8 2 log 4 3 = ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 1 27 log 81 วิธีทำ จาก a y log x = ก็ต่อเมื่อ y a x = ดังนั้น 1 27 4 log 81 3 = − ให้ 8 y log 4 = ดังนั้น ให้ 1 27 log 81 ดังนั้น ( ) y y 3 2 8 4 2 2 3y 2 2 y 3 = = = = ( ) y y 3 4 3 y 4 1 81 27 3 3 3 3 4 y 3 − − = = = = −
68 6. จากนั้นครูให้นักเรียนทำแบบฝึกทักษะที่ 1.5จำนวน 12 ข้อ และครูทำโจทย์ให้ดูเป็น ตัวอย่างจำนวน 4 ข้อ ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มละ 3 - 5 คนร่วมกันระดมความคิดในการทำแบบฝึก ทักษะ 1.5ก เรื่อง “การเขียนสมการในรูปลอการิทึมและการเขียนสมการในรูปเลขยกกำลัง”จำนวน 12 ข้อ เขียนคำตอบลงในใบแบบฝึกทักษะ โดยให้เวลา 10 นาที 2. เมื่อหมดเวลาให้นักเรียนส่งตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาเฉลยคำตอบของแบบฝึกทักษะ พร้อมบอกแนวคิดในแต่ละข้อให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูสรุปเนื้อหาเกี่ยวกับบทนิยามของฟังก์ชันลอการิทึมด้วยการถามตอบ 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.5 ก ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําใบงานที่ 3 เรื่อง “การเขียนสมการในรูปลอการิทึมและการเขียน สมการในรูปเลขยกกำลัง” เป็นการบ้าน เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ชั่วโมงที่13 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้: แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูยกตัวอย่างโจทย์พร้อมอธิบายโดยใช้บทนิยามของฟังก์ชันลอการิทึม ดังนี้ จงหาค่าของ = 3 y log 243 3 y y 5 y log 243 3 243 3 3 y 5 = = = = 2. ครูถามนักเรียนว่า “ถ้าโจทย์ปัญหาของฟังก์ชันลอการิทึมมีการดำเนินการบวก การลบ การคูณและการหาร นักเรียนมีวิธีการทำได้อย่างไรบ้าง” โดยคุณครูยกตัวอย่างโจทย์ จำนวน 2 ข้อ ดังนี้ 1. log 8 log 4 log 2 2 2 2 + − 2. 23 log 3 23 วิธีทำ
69 ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันลอการิทึม จำนวน 7 ข้อ จากนั้นครูยกตัวอย่าง สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม แล้วถามคำถามนักเรียนเพื่อเป็นการกระตุ้นให้นักเรียนเกิดความเข้าใจมาก ขึ้น ดังนี้ 1. ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 4 log 2 + 4 log 32 ( ) 4 4 4 4 3 4 4 log 2 log 32 log 2 32 log 64 log 4 3log 4 3 + = = = = = ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 2 2 log 80 log 5 − 2 2 2 2 4 2 2 80 log 80 log 5 log 5 log 16 log 2 4log 2 4 − = = = = = ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ 2 log 16 4 2 2 2 log 16 log 2 4log 2 4 = = = วิธีทำ วิธีทำ วิธีทำ สมบัติข้อที่ 1 a a a log MN log M log N = + สมบัติข้อที่ 2 a a a M log log M log N N = − สมบัติข้อที่ 3 = k a a log M k log M
70 ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ 3 log 3 วิธีทำ 3 log 3 1 = ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ 5 log 1 วิธีทำ 5 log 1 0 = ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ 2 2 log 16 ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ 4 log 2 สมบัติข้อที่ 4 a log a 1 = วิธีทำ สมบัติข้อที่ 5 a log 1 0 = สมบัติข้อที่ 6 k a a 1 log M log M k = ( ) ( ) ( ) = = = = = = 2 2 2 4 2 2 1 log 16 2 1 log 16 2 1 log 2 2 1 4log 2 2 4 2 2 สมบัติข้อที่ 7 b a 1 log a log b =
71 4 2 2 2 2 1 log 2 log 4 1 log 2 1 2log 2 1 2 = = = = 2. ครูอธิบายสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ 25 log 125 5 25 5 3 5 2 5 5 5 log 125 log 125 log 25 log 5 log 5 3log 5 2log 5 3 2 = = = = ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าของ 7 log 20 7 วิธีทำ 7 log 20 7 20 = ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มละ 3 - 5 คนโดยให้นักเรียนร่วมกันระดมความคิดใน การทำกิจกรรมเรื่อง สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมหรรษา วิธีทำ วิธีทำ สมบัติข้อที่ 8 c a c log M log M log a = สมบัติข้อที่ 9 a log x a x =
72 2. โจทย์ในการเล่นกิจกรรมนี้มีทั้งหมด 5 ข้อ โดยให้นักเรียนใช้สมบัติของฟังก์ชัน ลอการิทึมทั้งหมด 9 ข้อในการหาคำตอบและโจทย์มี ดังนี้ จงหาค่าของ 1. 20 log 1 (แนวคำตอบ log 1 0 20 = ) 2. 8 log 4 (แนวคำตอบ 8 = 2 log 4 3 ) 3. 2 log 5 2 (แนวคำตอบ = 2 log 5 2 5 ) 4. log 2 log 32 4 4 + (แนวคำตอบ log 2 log 32 4 4 4 + = ) 5. 2 2 log 16 log 2 − (แนวคำตอบ log 16 log 2 3 2 2 − = ) ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสมบัติฟังก์ชันที่สำคัญของลอการิทึม จำนวน 9 ข้อจากที่ เรียนในวันนี้พร้อมทั้งร่วมกันเฉลยแบบฝึกหัดที่เล่นโดยโปรแกรม Gimkit เพื่อตรวจสอบความถูกต้อง ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําใบงานที่ 4 เรื่อง “การหาค่าของฟังก์ชันลอการิทึมจากคุณสมบัติ” 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานที่ 4 เรื่อง “การหาค่าของฟังก์ชันลอการิทึมจาก คุณสมบัติ”เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ชั่วโมงที่14 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้ : แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนเนื้อหากราฟของฟังก์ชันลอการิทึมด้วยโปรแกรม GeoGebra มี 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 0 a 1 แล้ว a y log x = เป็นฟังก์ชันลดและผ่านที่จุด (1,0) เสมอ เมื่อ a 0 และ a 1 กรณีที่ 2 a 1 แล้ว a y log x = เป็นฟังก์ชันเพิ่มและผ่านที่จุด (1,0) เสมอ เมื่อ a 0 และ a 1 ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายขั้นตอนการเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมได้ดังนี้ 1.1 ให้นักเรียนสังเกตที่เลขฐานของฟังก์ชันลอการิทึมแล้วดูว่าอยู่ในกรณีใด 2.1 เมื่อทราบค่า a ให้นักเรียนพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
73 2.2 แทนค่า x เพื่อหาค่า y ลงไปใน a y log x = หรือ แทนค่า y เพื่อหาค่า x ลงไปใน a y log x = แล้วจะได้ (x, y) 2.3 จากนั้นให้นักเรียนวาดกราฟและผ่านที่จุด (1,0) เสมอ 3. ครูยกตัวอย่างโจทย์ฟังก์ชันลอการิทึม จำนวน 3 ข้อ พร้อมอธิบายการเขียนกราฟได้ ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 1 2 y log x = วิธีทำ 1. 1 2 y log x = เลขฐานมีค่า เท่ากับ 1 2 อยู่ในกรณีที่ 1 เมื่อ 1 a 2 = และ 1 0 1 2 เป็นฟังก์ชันลด จากนั้นแทนค่า x ลงใน 1 2 y log x = จะได้ จากนั้นนำค่าของ (x, y) มาจุดที่เส้นกราฟแล้วาดกราฟจากค่าที่หามาได้ ตัวอย่างที่ 2 2 y log x = x 1 2 4 y 0 -1 -2 3. 2. 4.
74 วิธีทำ 1. 2 y log x = เลขฐานมีค่า เท่ากับ 2 อยู่ในกรณีที่ 2 เมื่อ a 2 = และ 2 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จากนั้นแทนค่า x ลงใน 2 y log x = จากนั้นนำค่าของ (x, y) มาจุดที่เส้นกราฟแล้วาดกราฟจากค่าที่หามาได้ ตัวอย่างที่ 3 ( ) 2 y log x 2 = − วิธีทำ 1. ( ) 2 y log x 2 = − เลขฐานมีค่า เท่ากับ 2 อยู่ในกรณีที่ 2 เมื่อ a 2 = และ 2 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จากนั้นแทนค่า x ลงใน ( ) 2 y log x 2 = − จากนั้นนำค่าของ (x, y) มาจุดที่เส้นกราฟแล้วาดกราฟจากค่าที่หามาได้ x 1 2 4 y 0 1 2 x 3 4 6 y 0 1 2 3. 2. 3. 2. 4. 4. จะได้ จะได้
75 2. ครูอธิบายรูปทั่วไปของสมการฟังชันลอการิทึม a y k log (x h) k − = − + โดยมีจุดตัดแกนที่พิกัด (h,k) − = − + a y k log x h k โดยมีจุดตัดแกนที่พิกัด (h,k) 3. ครูสรุปขั้นตอนในการเขียนกราฟโดยวิธีเลื่อนแกนดังนี้ 3.1 ให้นักเรียนจัดรูปของฟังก์ชันลอการิทึม a y log x = ให้อยู่ในรูปของ a y k log (x h) − = − 3.2 ให้นักเรียนพิจารณาค่า (h,k) และพิจารณาเลขฐานของฟังก์ชันลอการิทึมว่าเป็น ฟังก์ชันลดหรือฟังก์ชันเพิ่ม 3.3 จากนั้นเขียนกราฟโดยเริ่มที่จุดกำเนิด (0,0) ไปที่จุด (h,k) แล้วให้นักเรียนทำการ เลื่อนแกนจากจุดกำเนิด 1 หน่วยไปทางขวาของแกน 4. ครูยกตัวอย่างการเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จำนวน 4 ข้อดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 2 y log (x 2) = − วิธีทำ 1. จัดรูปของฟังก์ชันลอการิทึมให้อยู่ในรูปของ a y k log (x h) − = − จะได้ 2 y 0 log (x 2) − = − 2. ค่า (h,k) (2,0) = 3. เมื่อ a 2 = และ 2 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
76 ตัวอย่างที่ 2 2 y 1 log (x 1) = + + วิธีทำ ตัวอย่างที่ 3 2 y log x = วิธีทำ 1. จัดรูปของฟังก์ชันลอการิทึมให้อยู่ในรูปของ a y k log (x h) − = − จะได้ 2 y 1 log (x ( 1)) − = − − 2. ค่า (h,k) ( 1,1) = − 3. เมื่อ a 2 = และ 2 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 1. จัดรูปของฟังก์ชันลอการิทึมให้อยู่ในรูปของ a y k log (x h) − = − จะได้ − = − a y 0 log x 0 2. ค่า (h,k) (0,0) = 3. เมื่อ a 2 = และ 2 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
77 ตัวอย่างที่4 1 3 y 2 log (x 1) + = − − วิธีทำ 1. จัดรูปของฟังก์ชันลอการิทึมให้อยู่ในรูปของ a y k log (x h) − = − จะได้ 1 3 y ( 2) log (x 1) − − = − − 2. ค่า (h,k) (1, 2) = − 3. เมื่อ 1 a 3 = และ 1 0 1 3 เป็นฟังก์ชันลด ซึ่งมีค่าติดลบข้างหน้าของฟังก์ชันลอการิทึม จึงต้องสลับมาเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
78 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนจับคู่แล้วร่วมกันระดมความคิดในการทำแบบฝึกทักษะ 1.5 ข โดยให้ เวลา 10 นาทีในการทำโจทย์ 2. เมื่อหมดเวลาครูจะหมุนวงล้อเพื่อทำการสุ่ม นักเรียน 2 คู่ ให้ออกมาแสดงวิธีทำการ เขียนกราฟให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.5 ข 2. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปขั้นตอนการเขียนกราฟของลอการิทึม ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําใบงานที่ 5 เรื่อง “การเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมโดยใช้วิธี เลื่อนแกน” 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานที่ 5 เรื่อง “การเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม โดยใช้วิธีเลื่อนแกน” เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ชั่วโมงที่15 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้ : แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ พร้อมทั้งอธิบายอย่างละเอียด ดังนี้ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็นวิธีการหนึ่งในการเขียนจำนวนในรูป n a 10 เมื่อ a มากกว่าหรือเท่ากับ 1 แต่น้อยกว่า 10 (1 a 10 ) 2. ครูให้นักเรียนเขียน 4,533 , 45.33 , 0.4533 , 0.004533ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 3. ครูทบทวนสมบัติฟังก์ชันลอการิทึม ดังนี้ สมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ a , M , N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a ≠ 1 และ k เป็นจำนวนจริง 1. a a a log MN log M log N = + 2. a a a M log log M log N N = − 3. = k a a log M k log M 4. a log a 1 = 5. a log 1 0 =
79 6. k a a 1 log M log M k = 7. b a 1 log a log b = 8. c a c log M log M log a = 9. a log x a x = ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายความหมายของลอการิทึมสามัญ ดังนี้ ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลอการิทึมฐาน 10 จะเขียน logN แทน 10 log N เช่น 10 10 log 2 log2,log 10 log10 1 = = = เนื่องจากจำนวนจริงบวก N ใดๆ สามารถเขียนในรูป 0 10n เมื่อ 0 1 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม = = + = + n 0 n 0 0 logN logN 10 logN log10 logN n = +0 logN logN n จะเรียก n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มว่า “ค่าเคอแรคเทอริสติก”และเรียก logN ว่า “ค่าแมนทิสซา”เป็นเลขทศนิยมที่มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 2. ครูยกตัวอย่างโจทย์จำนวน 2 ข้อและแสดงวิธีทำจากที่โจทย์กำหนดให้ จงหาค่าลอการิทึมที่กำหนดให้ (กำหนดให้ log3.71 0.5694 = ,log8.32 0.9201 = ) ตัวอย่างที่ 1 log0.371 1 1 log0.371 log(3.71 10 ) log3.71 log10 log3.71 1log10 log3.71 1 0.5694 1 0.4306 − − = = + = − = − = − = − วิธีทำ ดังนั้น
80 ตอบ log0.371 0.4306 = − ตัวอย่างที่ 2 log0.832 1 1 log0.832 log(8.32 10 ) log8.32 log10 log8.32 1log10 log8.32 1 0.9201 1 0.0799 − − = = + = − = − = − = − ตอบ log0.832 0.0799 = − 2. ครูทบทวนคำถามในตัวอย่างที่ 1-2 อีกครั้งว่า “log0.371 เท่ากับเท่าใด” ซึ่งจะได้ว่า log0.371 0.4306 = − และ log0.832 0.0799 = − 3. ครูตั้งคำถามใหม่จากคำถามข้อ 2 ดังนี้ log? 0.4306 = − และ log? 0.0799 = − แล้วครูสมมติค่าดังกล่าวเป็น N และการ หาค่า N ได้จาก logN เรียก N ว่าแอนติลอการิทึม (antilogarithm) ของ logN 4. ครูอธิบายการหาค่าแอนติลอการิทึม โดยยกตัวอย่างดังนี้ (กำหนดให้ log3.71 0.5694 = , log8.32 0.9201 = ) ตัวอย่างที่ 1 log? 0.4306 = − จงหาค่า N ( ) − − = − = − = − = + = = = 1 1 logN 0.4306 0.5694 1 log3.71 log10 log3.71 log10 log 3.71 10 logN log0.371 N 0.371 วิธีทำ วิธีทำ จาก จะได้
81 ตัวอย่างที่ 2 log? 0.0799 = − จงหาค่า N ( ) − − = − = − = − = + = = = 1 1 logN 0.0799 0.9201 1 log8.32 log10 log8.32 log10 log 8.32 10 logN log0.832 N 0.832 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนจับคู่แล้วร่วมกันระดมความคิดในการทำใบงาน 6.1 จำนวน 4 ข้อ โดยให้เวลา 10 นาทีในการทำโจทย์ 2. เมื่อหมดเวลาครูจะหมุนวงล้อเพื่อทำการสุ่ม นักเรียน 2 คู่ ให้ออกมาแสดงวิธีทำการ หาค่าลอการิทึมและค่าแอนติลอการิทึมให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงาน 6.1 2. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปขั้นตอนในการหาค่าลอการิทึมและค่าแอนติลอการิทึม ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําใบงานที่ 6.2 เรื่อง “การหาค่าลอการิทึมและค่าแอนติลอการิทึม” 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานที่ 6.2 เรื่อง “การหาค่าลอการิทึมและค่าแอนติ ลอการิทึม”เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ชั่วโมงที่16 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้ : แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูอธิบายสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม a b a log x log x log b = ได้ดังนี้ เช่น = = = 10 2 10 10 2 log 10 log 10 log10 log 10 log 10 log 10 = = = 5 2 9 9 5 2 log 7 log 7 log 7 log 7 log 9 log 9 วิธีทำ จาก จะได้
82 ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูยกตัวอย่างการเปลี่ยนเลขฐานของลอการิทึมพร้อมแสดงวิธีทำ ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ 3 log 7 1.771 = จงหาค่าของ 9 log 7 ตอบ 9 log 7 0.8855 = ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ log2 0.3010 = ,log3 0.4771 = จงหาค่าของ 3 log 16 ตอบ 3 log 16 2.5236 3. ครูแนะนำค่า e ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะและมีค่าประมาณ 2.71828 ลอการิทึมมีฐาน เป็นค่า e เราจะเรียกว่าลอการิทึมแบบเนเปียร์ (Napierian logarithm) หรือลอการิทึมธรรมชาติ (natural logarithm) ในการเรียนลอการิทึมของ x ฐาน e นิยมเขียน ln x แทน e ln x และอาจหาค่า ลอการิทึมฐาน e โดยอาศัยลอการิทึมฐานสิบได้ 3. ครูยกตัวอย่างการหาลอการิทึมธรรมชาติ จำนวน 2 ข้อได้ดังนี้ 3 9 3 3 2 3 3 3 log 7 log 7 log 9 log 7 log 3 log 7 2log 3 1.771 2 0.8855 = = = = = วิธีทำ วิธีทำ 3 4 log16 log 16 log3 log2 log3 4log2 log3 4(0.3010) 0.4771 2.5236 = = = = log3.24 0.5105 =
83 ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ loge 0.4343,log7.2 0.8573 = = และ จงหาค่าของ ln720 2 log720 ln720 loge log7.2 10 0.4343 log7.2 2log10 0.4343 0.8573 2 0.4343 2.8573 0.4343 6.579 = = + = + = = = ตอบ ln720 6.579 = ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าประมาณของ 3 log 16 เมื่อกำหนดให้ log2 p,log3 q = = และ log5 r = 3 4 log16 ln 16 log3 log2 log3 4log2 log3 4p q = = = = ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนจับคู่แล้วร่วมกันระดมความคิดในการทำแบบฝึกทักษะ 1.6 ข จำนวน 5 ข้อ โดยให้เวลา 10 นาทีในการทำโจทย์ วิธีทำ วิธีทำ ตอบ 3 4p ln 16 q =
84 2. เมื่อหมดเวลาครูจะหมุนวงล้อเพื่อทำการสุ่ม นักเรียน 2 คู่ ให้ออกมาแสดงวิธีทำการ เปลี่ยนฐานของลอการิทึมให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงาน 7.1 2. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปขั้นตอนในการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําใบงานที่ 7.2 เรื่อง “การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม” 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานที่ 7.2 เรื่อง “การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม”เพื่อ ตรวจสอบความเข้าใจ ชั่วโมงที่17 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้ : แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนนิยามฟังก์ชันลอการิทึม ดังนี้ f x, y | y log x,a 0,a 1 ( ) a + = = 2. ครูตั้งคำถามว่า 2 x 2 2 x 2 2 4 + − = มีวิธีการแก้สมการอย่างไร 3. ครูแสดงวิธีการแก้สมการโดยแปลงธาตุของเลขยกกำลังทั้ง สอง ข้างให้เท่ากัน ( ) ( ) ( ) 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 4 x 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2x 2 4x 4 2 4 4x 2x 6 2x x 3 + − − + + − + − = = = = + = − + = − = = 4. ครูอธิบายว่าฟังก์ชันลอการิทึมมีบทบาทในการหาค่าของเลขชี้กำลังเนื่องจากสมการ นี้ตัวแปรเป็นเลขชี้กำลังดังนั้นจึง 3 สามารถนำฟังก์ชันลอการิทึมมาใช้ในการแก้สมการได้ ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ
85 1. ครูแสดงวิธีการแก้สมการในข้อ 1 โดยใช้ฟังก์ชันลอการิทึม ดังนี้ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 2 2 2 2 4 log 2 log 4 2x 2 log 2 2x 2 log 4 2x 2 1 2x 2 2 2x 2 4x 4 2 4 4x 2x 6 2x x 3 + − + − = = + = − + = − + = − + = − = = การเพิ่มฟังก์ชันลอการิทึมในสมการ ฐานของฟังก์ชันลอการิทึมควรจะ สามารถทำให้หาค่าลอการิทึมได้ ง่ายที่สุด 2. ครูยกตัวอย่างสมการลอการิทึม พร้อมแสดงวิธีทำ และอธิบายอย่างละเอียดดังนี้ 2.1 การแก้สมการลอการิทึมต้องมีการตรวจคำตอบเสมอ 2.2 y a y log x a x = = ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ log x 2 = − 2 2 log x 2 10 1 10 1 100 0.01 − = − = = = = ตรวจคำตอบ แทน x 0.01 = ลงใน log x 2 = − 2 log0.01 2 log10 2 2log10 2 2 2 − = − = − − = − − = − วิธีทำ เป็นจริง
86 ตอบ เซตคำตอบของสมการ คือ 0.01 ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 log (3x 2) 3 + = 2 3 log (3x 2) 3 3x 2 2 3x 2 8 3x 6 x 2 + = + = + = = = ตรวจคำตอบ แทน x 2 = ลงใน 2 log (3x 2) 3 + = 2 2 2 3 2 2 log (3 2 2) 3 log (6 2) 3 log 8 3 log 2 3 3log 2 3 3 3 + = + = = = = = ตอบ เซตคำตอบของสมการ คือ 2 3. ครูยกตัวอย่างของนิยาม a a log x log y x y = = และต้องมีการตรวจสอบ คำตอบเสมอ ตัวอย่างที่ 1จงหาเซตคำตอบของสมการ log x 2 log x 1 1 ( + + − = ) ( ) x 4 0 x 4 + = = − x 3 0 x 3 − = = ตรวจคำตอบ แทน x 3 = ลงใน วิธีทำ เป็นจริง วิธีทำ ( ) ( ) ( ) ( ) (( )(( ))) ( ) ( )( ) + + − = + + − = + + = + − = + − = + − = 2 2 log x 2 log x 1 1 log x 2 log x 1 log10 log x 2 x 1 log10 log x x 2 log10 x x 2 10 x 4 x 3 0
87 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − = + + − = + = = = = 10 log x 2 log x 1 1 log 3 2 log 3 1 1 log5 log2 1 log 5 2 1 log 10 1 1 1 ตอบ เซตคำตอบของสมการ คือ 3 ตัวอย่างที่ 4จงหาเซตคำตอบของสมการ log x 2 log x 1 1 ( + + − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )(( ))) ( ) ( )( ) 2 2 log x 2 log x 1 1 log x 2 log x 1 log10 log x 2 x 1 log10 log x x 2 log10 x x 2 10 x 4 x 3 0 + + − = + + − = + + = + − = + − = + − = x 4 0 x 4 + = = − x 3 0 x 3 − = = ตรวจคำตอบ แทน x 3 = ลงใน log x 2 log x 1 1 ( + + − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 log 3 2 log 3 1 1 log5 log2 1 log 5 2 1 log 10 1 1 1 + + − = + = = = = ตอบ เซตคำตอบของสมการ คือ 3 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนจับคู่แล้วร่วมกันระดมความคิดในการทำใบงาน 8.1 จำนวน 2 ข้อ โดยให้เวลา 10 นาทีในการทำโจทย์ วิธีทำ
88 2. เมื่อหมดเวลาครูจะหมุนวงล้อเพื่อทำการสุ่ม นักเรียน 2 คู่ ให้ออกมาแสดงวิธีทำการ เปลี่ยนฐานของลอการิทึมให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงาน 8.1 2. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปการหาสมการลอการิทึมทั้งสองวิธี ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําใบงานที่ 8.2 เรื่อง “หาเซตคำตอบของสมการลอการิทึม” 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานที่ 8.2 เรื่อง “หาเซตคำตอบของสมการ ลอการิทึม” ชั่วโมงที่18 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้ : แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนนิยามฟังก์ชันลอการิทึม ดังนี้ f x, y | y log x,a 0,a 1 ( ) a + = = 2. ครูทบทวนรูปแบบการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล ดังนี้ x y x y a 1 : a a x y 0 a 1 : a a x y → → ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายว่ารูปแบบการแก้อสมการลอการิทึมมีความคล้ายกับการแก้อสมการเอกซ์ โปเนนเชียล ดังนี้ 2. ครูยกตัวอย่างการหาเซตคำตอบของอสมการ ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ ( − ) 0.5 0.5 log 2 x log x
89 ( ) 0.5 0.5 log 2 x log x 2 x x 2 2x 1 x 2 x 0 2 x x 0 1 x 2 − − − ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ 1,2) ตัวอย่างที่ 2จงหาเซตคำตอบของสมการ ( ) 4 log 2x 1 1 + ( ) ( ) 4 4 4 log 2x 1 1 log 2x 1 log 4 2x 1 4 2x 3 3 x 2 2x 1 0 2x 1 1 x 2 3 x 2 + + + + − − ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ 3 , 2 ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ ( ) 2 2 log x x 12 3 + − วิธีทำ วิธีทำ
90 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 log x x 12 3 log x x 12 3log 2 log x x 12 log 2 log x x 12 log 8 x x 12 8 x x 20 0 x 5 x 4 0 + − + − + − + − + − + − + − x 5 − หรือ x 4 ( )( ) 2 x x 12 0 x 4 x 3 0 + − + − x 4 − หรือ x 2 x 5 − หรือ x 4 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ (− − , 5 4. ) ( ) ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูให้นักเรียนจับกลุ่ม 3 คนแล้วร่วมกันระดมความคิดในการทำใบงาน 9.1 จำนวน 2 ข้อ โดยให้เวลา 10 นาทีในการทำโจทย์ซึ่งให้นักเรียนนำกระดาษมาคนละ 1 แผ่น แล้วช่วยกันคิดโจทย์อสมการลอการิทึม 2. เมื่อหมดเวลาครูจะหมุนวงล้อเพื่อทำการสุ่ม นักเรียน 2 กลุ่ม ให้ออกมาแสดงการแก้ สมการลอการิทึมให้ถูกต้อง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงาน 9.1 2. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปขั้นตอนการแก้อสมการลอการิทึม ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําใบงานที่ 9.2 เรื่อง “หาเซตคำตอบของอสมการลอการิทึม” 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานที่ 9.2 “หาเซตคำตอบของอสมการลอการิทึม วิธีทำ
91 ชั่วโมงที่19 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้ : แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. ครูทบทวนเรื่องสมบัติต่างๆของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดย ซักถาม ให้นักเรียนช่วยกันตอบและยกตัวอย่าง 2. ครูใช้คำถามกระตุ้นความคิดของนักเรียน ดังนี้ 2.1 เรื่องที่เราเรียนไปทั้งหมดสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูพูดเกี่ยวกับการเพิ่มจำนวนประชากร โดยครูยกตัวอย่างโจทย์ และอธิบายสูตรของ การเพิ่มขึ้นของประชากร ดังนี้ สามารถคาดการณ์จำนวนประชากรณ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งได้จาก ( ) t 0 n(t) n 1 r = + เมื่อ n(t) แทน จำนวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t ปี เมื่อ 0 n แทน จำนวนประชากรเมื่อเวลาเริ่มต้น เมื่อ r แทน อัตราการเพิ่มขึ้นของจำนวนประชากรต่อเวลา ตัวอย่างที่ 1 ฟาร์มเลี้ยงกระต่ายมีอัตราการเพิ่มขึ้นของจำนวนกระต่าย 55% ต่อปี โดยในปัจจุบันเลี้ยงกระต่ายมาได้ 8 ปี และมีกระต่ายทั้งหมด 4,100 ตัว 1. เมื่อเวลาเริ่มต้นฟาร์มแห่งนี้มีกระต่ายประมาณกี่ตัว 2. อีก 12 ปีข้างหน้าฟาร์มนี้จะมีกระต่ายประมาณกี่ตัว 1. จาก ( ) t 0 n(t) n 1 r = + ในที่นี้ ( ) 55 t 8,r 0.55,n 8 4,100 100 = = = = จะได้ ( ) 8 0 4,100 n 1 0.55 = + ( ) 0 8 4,100 n 1.55 = ให้ ( ) 8 A 1.55 = จะได้ วิธีทำ ( ) ( ) = = = = = + 8 log A log 1.55 8log1.55 8 0.1903 1.5224 1 log3.33
92 ดังนั้น เมื่อเวลาเริ่มต้นฟาร์มแห่งนี้มีกระต่ายประมาณ 123 ตัว 2. ในที่นี้ ( ) 0 8 4,100 n 1.55 = และ t 12 8 20 = + = จะได้ ( ) ( ) 20 8 4,100 n 20 1.55 1.55 = ( ) 12 = 4,100 1.55 ให้ ( ) 12 B 1.55 = จะได้ ดังนั้น เมื่อเวลา 12 ปีข้างหน้าฟาร์มแห่งนี้มีกระต่ายประมาณ 788,430 ตัว ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มละ 3 - 5 คนโดยให้นักเรียนร่วมกันระดมความคิดใน การทำแบบฝึกทักษะ 1.8 ก ข้อที่ 1 เรื่อง “การประยุกต์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม” 2. เมื่อหมดเวลาครูจะสุ่ม 2 กลุ่มออกมาแสดงวิธีทำหน้าชั้นเรียนด้วยการหมุนวงล้อ โดย นักเรียนจะต้องช่วยกันและสามารถบอกได้ว่า วิธีทำที่นักเรียนทำนั้นมีกระบวนการทำอย่างไร ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.8 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปแนวทางการเพิ่มขึ้นของจำนวนประชากร ( ) ( ) ( )( ) 12 log A log 1.55 12log1.55 12 0.1903 2.2839 2 log1.923 log A log1.923 100 A 192.3 n(20) 4,100 192.3 788,430 = = = = = + = = = = = 0 = log A log3.33 10 A 33.3 4,100 n 123 33.3
93 ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําแบบฝึกทักษะ 1.8 เรื่อง “การประยุกต์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม” จำนวน 2 ข้อ 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.8 เรื่อง “การประยุกต์ฟังก์ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม” ชั่วโมงที่20 (ใช้รูปแบบการเรียนรู้ : แบบนิรนัย) ขั้นที่ 1 กำหนดขอบเขตของปัญหา 1. นักเรียนและครูทบทวนสูตรการเพิ่มจำนวนของประชากร ดังนี้ ( ) t 0 n(t) n 1 r = + เมื่อ n(t) แทน จำนวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t ปี เมื่อ 0 n แทน จำนวนประชากรเมื่อเวลาเริ่มต้น เมื่อ r แทน อัตราการเพิ่มขึ้นของจำนวนประชากรต่อเวลา 2. ครูให้นักเรียนยกตัวอย่างเกี่ยวกับ เรื่องที่เรียนว่าสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ อย่างไรบ้าง ขั้นที่ 2 แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ 1. ครูอธิบายว่าสามารถนำไปใช้ในการคิดดอกเบี้ยทบต้น ระดับเสียง และตรวจระดับ ความเป็นกรด - เบสได้ ดอกเบี้ยทบต้น ในความเป็นจริงแล้ว การคิดดอกเบี้ย อาจคิดเป็นราย 6 เดือน 3 เดือนหรือ รายวันซึ่งเป็นการคิดดอกเบี้ยมากกว่าหนึ่งครั้งต่อปีจะคำนวณได้ ดังนี้ t 0 r B(n) B 1 100 = + เมื่อ B(n) แทน จำนวนเงินฝากในบัญชีเมื่อสิ้นสุดปีที่ r เมื่อ 0 B แทน จำนวนเงินฝากเริ่มต้น เมื่อ r แทน อัตราการดอกเบี้ยที่คิดเป็นอัตราดอกเบี้ยต่องวด เมื่อ t แทน จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย หรือ จำนวนงวด เช่น คิดดอกเบี้ยทุก 6 เดือนจะได้ m 2 = คิดดอกเบี้ยทุก 3 หรือจะได้ m 4 =
94 ตัวอย่างที่ 1 ฝากเงิน 200,000 บาท คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือนดอกเบี้ยร้อยละ 2 ต่อปี เป็นเวลา 1 ปี 9 เดือน จะทำให้มีเงินฝากรวมเท่าไหร่ ใน 1 ปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง เวลา 1 ปี 9 เดือนคิดดอกเบี้ย 7 ครั้ง จะได้ t 7 = r แทน อัตราการดอกเบี้ยที่คิดเป็นอัตราดอกเบี้ยต่องวด คือ r 0.5 = นั่นคือ ร้อยละ 0.5 ต่องวด 0 B 200,000 = ( ) 7 B(7) 200,000 1 0.005 200,000 1.0355 207,105.88 = + = + = เงินฝากรวม 207,105.88 บาท ระดับเสียง ระดับเสียง ( sound level) เป็นการเปรียบเทียบความเข้มเสียงนั้นกับความ เข้มเสียงเบาที่สุดที่มนุษย์ ได้ยิน เนื่องจากความเข้มเสียงที่มนุษย์ได้ยินอยู่ในช่วง 12 10− วัตต์ต่อตารางเมตร ถึง 1 วัตต์ต่อตารางเมตร ซึ่งเป็นช่วง ที่กว้างมาก ดังนั้น เพื่อความ สะดวกในการจัดลำดับความเข้มเสียงจึงนิยมใช้ระดับเสียงเป็นตัวบอกความดังของเสียง แทนความเข้มของเสียง ซึ่งคำนวณได้ดังนี้ 0 10log = เมื่อ แทน ระดับเสียงมีหน่วยเป็นเดซิเบล เมื่อ แทน ความเข้มเสียงที่ต้องการวัดมีหน่วยเป็นวัตต์ต่อตารางเมตร เมื่อ แทน ความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยิน ซึ่งเท่ากับ 12 10− วัตต์ต่อตาราง เมตร ตัวอย่างที่ 2 เครื่องบินขณะกำลังบินขึ้นสู่ท้องฟ้ามีความเข้มเสียง 100 วัตต์ต่อตาราง เมตรจงหาระดับความเข้มเสียงของเครื่องบิน จาก 0 10log = ในที่นี้ =100 วิธีทำ ดังนั้น วิธีทำ
95 ( ) 12 14 100 10log 10 10log10 10 14log10 140 − = = = = ดังนั้น ระดับเสียงของเครื่องบินเท่ากับ 140 เดซิเบล ระดับความเป็นกรด-เบส ระดับความเป็นกรด-เบส (pH) ของสารละลายสามารถคำนวณได้ ดังนี้ 3 pH log H O+ = − เมื่อ pH แทน ระดับความเป็นกรด-เบส ของสารละลาย 3 H O+ แทน ความเข้มข้นของไฮโดรเจนไอออนมีหน่วยเป็นโมลต่อลิตร โดย ค่า pH เท่ากับ 7 เป็นสารละลายที่มีสมบัติเป็นกลาง ค่า pH เท่ากับ 7 เป็นสารละลายที่มีสมบัติเป็นกรด ค่า pH เท่ากับ 7 เป็นสารละลายที่มีสมบัติเป็นเบส ตัวอย่างที่ 3 เลือดของ ชายคน หนึ่ง มีความเข้มข้นของไฮโดรเจนไอออนเท่ากับ 8 3.16 10− โมลต่อลิตรจงหาค่า pH พร้อมทั้งระบุความเป็นกรด-เบส ของตัวอย่างเลือดนี้ จาก 3 pH log H O+ = − ( ) ( ) 8 3 8 8 H O 3.16 10 3.16 10 log log3.16 log10 0.4997 8 7.5 pH log + − − − = = − + − − = = − เนื่องจาก pH มากกว่า 7 ดังนั้น ตัวอย่างเลือดมีสมบัติเป็นเบส จะได้ วิธีทำ จะได้ว่า ในที่นี้
96 ขั้นที่ 3 ใช้ทฤษฎี หลักการ 1. ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มละ 3 - 5 คนโดยให้นักเรียนร่วมกันระดมความคิดใน การทำแบบฝึกทักษะ 1.8 ข้อที่ 2-3เรื่อง “การประยุกต์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม” 2. เมื่อหมดเวลาครูจะสุ่ม 2 กลุ่มออกมาแสดงวิธีทำหน้าชั้นเรียนด้วยการหมุนวงล้อ โดยนักเรียนจะต้องช่วยกันและสามารถบอกได้ว่า วิธีทำที่นักเรียนทำนั้นมีกระบวนการทำอย่างไร ขั้นที่ 4 ตรวจสอบและสรุปผล 1. นักเรียนและครูร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.8 2. นักเรียนและครูร่วมกันสรุปแนวทางการเพิ่มขึ้นของจำนวนประชากร ขั้นที่ 5 ฝึกปฏิบัติ 1. ครูให้นักเรียนทําแบบฝึกทักษะ 1.8 เรื่อง “การประยุกต์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม” 2. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกทักษะ 1.8 เรื่อง “การประยุกต์ฟังก์ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม” 9. สื่อการสอน - สื่อการเรียนการสอนประกอบสื่อ PowerPoint - Geogebra - Quizizz - ใบงาน 10. แหล่งเรียนรู้ - ภายในห้องเรียน