เอกสารประกอบการเรียนแคลคูลัสเบื้องต้น

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |1

รบญ แฬตกัคอ๊ก ฏ็@

ลมิ ติ และความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั

ความหมายของลมิ ิต 1

ลมิ ติ ของฟังกช์ นั 3

ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลมิ ิตของฟังกช์ นั 7

ลมิ ติ อนนั ต์ 24

ลิมิตท่อี นนั ต์ 26

ความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 31

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั และการประยกุ ตอ์ นพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั 40
อนั ตราการเปล่ยี นแปลงและอตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ย 44
อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั 51
การหาอนพุ นั ธโ์ ดยใชส้ ตู ร 69
การหาอนพุ นั ธโ์ ดยปรยิ าย 71
อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู 75
ความหมายของอนพุ นั ธเ์ ชงิ เรขาคณิตวิเคราะห์ 80
การประยกุ ตข์ องอนพุ นั ธ์ 80
การเขยี นกราฟของฟังกช์ นั 87
การหาค่าสงู สดุ และคา่ ต่าสดุ ของฟังกช์ นั 99
กฎของโลปิตาล 101
การเคลื่อนท่ใี นแนวเสน้ ตรง 107
อตั ราสมั พทั ธ์ 109
การประมาณคา่ ดว้ ยค่าเชิงอนพุ นั ธ์

ปรพิ นั ธข์ องฟังกช์ นั และการประยกุ ตป์ รพิ นั ธข์ องฟังกช์ นั 111
ปฏยิ านพุ นั ธ์ 112
อนิ ทกิ รลั ไมจ่ ากดั เขต 123
เทคนิคการอินทิกรลั 129
การประยกุ ตข์ องอินทกิ รลั ไม่จากดั เขต 135
อนิ ทิกรลั จากดั เขต 142
พนื ท่ที ่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ 151
ปรมิ าตรของทรงตนั ท่เี กิดจากการหมนุ

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |2

ต

บทน คว ม ม ยข งลมตฟงกช์ น

ตว ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x2 + 1 จงหาค่าของฟังกช์ นั f เม่อื กาหนดคา่ x ดงั นี

x < 0 f(x) x > 0 f(x)
1 1

–0.5 0.5

0.1 0.1
0.01 0.01
0.001 0.001
0.0001 0.0001
0.00001 0.00001

ขณะ x < 0 แตม่ ีค่าใกลเ้ คยี งกบั 0 มากขนึ เร่ือยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คยี งกบั
ขณะ x > 0 แต่มีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั 0 มากขนึ เรื่อยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั

ตว ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x2 + 1 ; x 1 จงหาค่าฟังกช์ นั f เม่อื กาหนดคา่ x ดงั นี
3 x ;x 1

x < 1 f(x) x > 1 f(x)
0 2

0.5 1.8
0.8 1.5
0.9 1.1
0.99 1.01
0.999 1.001
0.9999 1.0001
0.99999 1.00001

ขณะ x < 1 แตม่ ีคา่ ใกลเ้ คียงกบั 1 มากขนึ เร่ือยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x > 1 แตม่ ีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั 1 มากขนึ เรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกลเ้ คยี งกบั

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |3

ตว ย่ ง 3 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x +1 ;x 2 จงหาค่าฟังกช์ นั f เม่อื กาหนดค่า x ดงั นี
3 x ;x 2

x f(x) x f(x)
1 3

1.9 2.1
1.99 2.01
1.999 2.001
1.9999 2.0001
1.99999 2.00001

ขณะ x < 2 แตม่ ีค่าใกลเ้ คียงกบั 2 มากขนึ เรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x > 2 แต่มีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั 2 มากขนึ เรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั

ตว ย่ ง 4 กาหนดฟังกช์ นั f มีกราฟดงั รูป y

7

4 9 x

2
60

3 25
3

4
5

พบว่
ขณะ x < 6 แตม่ ีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั 6 มากขนึ เร่ือยๆ ค่าของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x > 6 แตม่ ีค่าใกลเ้ คยี งกบั 6 มากขนึ เร่ือยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x < 3 แต่มีค่าใกลเ้ คยี งกบั 3 มากขนึ เรื่อยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x > 3 แตม่ ีค่าใกลเ้ คียงกบั 3 มากขนึ เร่ือยๆ ค่าของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x < 0 แตม่ ีคา่ ใกลเ้ คียงกบั 0 มากขนึ เร่ือยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x > 0 แตม่ ีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั 0 มากขนึ เรื่อยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x < 5 แตม่ ีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั 5 มากขนึ เร่ือยๆ ค่าของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x > 5 แต่มีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั 5 มากขนึ เรื่อยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x < 9 แตม่ ีค่าใกลเ้ คยี งกบั 9 มากขนึ เร่ือยๆ ค่าของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั
ขณะ x > 9 แตม่ ีค่าใกลเ้ คยี งกบั 9 มากขนึ เร่ือยๆ คา่ ของ f(x) ใกลเ้ คียงกบั

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |4
1. ลมตข งฟงกช์ น

บทนย ม 1. กาหนดใหฟ้ ังกช์ นั f(x) และ a เป็นจานวนจรงิ

(1) จะกลา่ วว่า ลมิ ิตของ f(x) เม่อื x ข้ กล้ a ท งซ้ ยหาค่าได้ ก็ต่อเม่ือ

มจี านวนจรงิ L ท่ีทาใหค้ า่ ของ f(x) เขา้ ใกล้ L ในขณะท่ี x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ยมือ

ซ่งึ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ lim f(x) L

xa

(2) จะกลา่ วว่า ลิมติ ของ f(x) เม่อื x ข้ กล้ a ท งขว หาคา่ ได้ กต็ ่อเม่อื

มจี านวนจรงิ L ท่ีทาใหค้ า่ ของ f(x) เขา้ ใกล้ L ในขณะท่ี x เขา้ ใกล้ a ทางขวามอื

ซง่ึ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ lim f(x) L

xa

(3) จะกลา่ ววา่ ลิมิตของ f(x) เม่อื x เขา้ ใกล้ a หาค่าได้ ก็ต่อเม่อื
มีจานวนจรงิ L ท่ีทาใหค้ า่ ของ f(x) เขา้ ใกล้ L ในขณะท่ี x เขา้ ใกล้ a ทงั
ทางดา้ นซา้ ยและขวามือของ a
ซ่งึ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ lim f(x) L

xa

มย ต y
y

(a, f(a))

L y = f(x) L y = g(x)
x 0 x
x ax
0

(1) ลมิ ติ ของฟังกช์ นั เราไมส่ นใจวา่ จะสามารถหาค่าฟังกช์ นั f(a) ไดห้ รือไมไ่ ด้

แต่สนใจค่าของ f(x) ในขณะท่ี x มีค่าเขา้ ใกลค้ ่า a แต่ x a

(2) x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ย แทนดว้ ย x a คอื x มีค่านอ้ ยกว่า a และ x มีค่าเขา้ ใกล้ a

(3) x เขา้ ใกล้ a ทางขวา แทนดว้ ย x a+ คอื x มีค่ามากกวา่ a และ x มีค่าเขา้ ใกล้ a

***(4) lim f(x) L กต็ ่อเม่อื lim f(x) L และ lim f(x) L
xa
xa xa

โดย a เป็นจานวนจรงิ ท่ซี ง่ึ มี x ใน Df ซ่งึ x < a และ x > a ***

( a เป็นจดุ ลิมติ และเป็นสมาชิกในโดเมนของ f )

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |5

นย ม 2 จดลมต (Limit point , Cluster point or Accumulation point)
กาหนดให้ A R และ x R
x เป็นจุดลิมติ ของ A ก็ต่อเม่อื สาหรบั ทกุ ๆช่วงเปิด I ซ่งึ x I
จะไดว้ ่า (I {x}) A

ตวั อยา่ งเช่น (1) กาหนด A = [1, 5)
จะไดจ้ านวนจรงิ x ซ่งึ 1 ≤ x ≤ 5 ทกุ จานวนเป็นจดุ ลิมติ ของ A

15

(2) กาหนด B = {1, 1 , 1 , 1 ,... } จะมี 0 เป็นจดุ ลมิ ิตของ B
2 3 4

0 11 1 1
43 2

ข้ ง กต จดุ ลิมติ ของเซต A ไมจ่ าเป็นตอ้ งเป็นสมาชิกของเซต A

นย ม 3. ลมตข งฟงกช์ น
กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั จากสบั เซตของ R ไป R และ L,a R
โดยท่ี a เป็นจดุ ลมิ ิตของ Df

f เขา้ ใกล้ L ท่ี a ก็ตอ่ เม่ือ สาหรบั ทุกๆจานวนจรงิ บวก
จะมีจานวนจรงิ บวก ซ่งึ สาหรบั ทกุ ๆ x ใน Df

ถา้ 0 x a แลว้ f(x) L

yy

L+ L+
L L

L y = f(x) L y = f(x)

0a x 0a x

a a+

ข้ ตกลง

1. ฟังกช์ นั ท่จี ะกลา่ วถงึ ตงั แตน่ เี ป็นตน้ ไปจะหมายถงึ ฟังกช์ นั จากสบั เซตของ R ไป R ยกเวน้ ระบเุ ป็นอย่างอื่น

2. ในการกลา่ วถงึ f เขา้ ใกล้ L ท่ี a อาจจะกล่าวละคาวา่ “ a เป็นจดุ ลิมิตของ Df “ หรอื
“สาหรบั ทกุ ๆ x ใน Df ” โดยขอใหเ้ ขา้ ใจตรงกนั วา่ มขี อ้ ความนอี ยเู่ สมอแมจ้ ะไมร่ ะบไุ ว้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |6

ตว ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั f ซง่ึ นิยามดงั นี x1;x 1
f(x) x 2 ; x 1

จงพิจารณาคา่ ของ lim f(x), lim f(x), lim f(x)
x1 x1 x1

วธท

x f(x) x f(x)

จากตารางจะได้ lim f(x) .. และ lim f(x) .
x1 x1

ดงั นนั จะไดว้ า่ lim f(x)
x1

ตว ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั f ซง่ึ นยิ ามดงั นี f(x) x2 4
x2
จงพจิ ารณาค่าของ lim f(x),
x2 lim f(x), lim f(x)
x2
วธท x2

x f(x) x f(x)

จากตาราง lim f(x).. . และ lim f(x) .
x2 x2

ดงั นนั จะไดว้ ่า lim f(x)
x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |7
ตว ย่ ง 3 กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ มกี ราฟดงั รูป

y

2

1x

0 23
1

2

จงหา . lim f(x) . lim f(x) .
x2 x2
(1) lim f(x)
x2 . lim f(x) . lim f(x) .
x1 x1
(2) lim f(x)
x1 . lim f(x) lim f(x) .......................
x 3+
(3) lim f(x) x3
x3

ตว ย่ ง 4 กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ มีกราฟดงั รูป

y

2 x
1
2 02
1

จงหา . lim f(x) . lim f(x) .
x2 x2
(1) lim f(x)
x2 . lim f(x) . lim f(x) .
x2 x2
(2) lim f(x) . lim f(x)
x2 x 0+ .. .. lim f(x) .....................
x0
(3) lim f(x)
x0

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |8

2.ทฤ ฎบท กยวกบลมตข งฟงกช์ น

กาหนดให้ a, c, A, B เป็นจานวนจรงิ และ m, n เป็นจานวนนบั ถา้ f, g เป็นฟังกช์ นั ท่มี ี

โดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตจานวนจรงิ โดยท่ี lim f(x) A และ lim g(x) B แลว้
xa xa

(1) lim c ..
xa

(2) lim cf(x) .
xa

(3) lim f(x) g(x) =
xa

(4) lim f(x) g(x) = .
xa

(5) lim f(x) = .

x a g(x)

(6) lim [f(x)]n

xa

(7) lim n f(x) ..
xa
m
m
..และ n 2 และ A n เป็นจานวนจรงิ
(8) lim f(x) n

xa

ก ร ลมตข งฟงกช์ นพ น ม (polynomial of function)

(9) lim x .. ..

xa

(10) lim xn

xa

(11) xlima(cnxn cn 1xn 1 ... c1x c0)

ก ร ลมตข งฟงกช์ นข งฟงกช์ น(function of function) ดงั นี

(13) กาหนดฟังกช์ นั ของฟังกช์ นั fog(x) โดย lim g(x) A
xa

(13.1) ถา้ lim f(x) f(A) จะไดว้ ่า lim f(g(x)) f(lim g(x))= f(A)
xA xa xa

(13.2) ถา้ lim f(x) f(A) จะไดว้ ่า lim f(g(x)) lim f(g(x)) lim f(x)
xA xa g(x) A xA

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |9

มย ต

(1) ทฤษฎีบทขา้ งตน้ ยงั คงเป็นจรงิ สาหรบั การลิมติ ดา้ นเดียว หรอื lim f(x), lim f(x)

xa xa

(2) ในการใชท้ ฤษฎบี ทขา้ งตน้ ถา้ f(a) = 0 , g(a) = 0 , f(a) = หรอื g(a) =

เม่อื หาลมิ ิตแลว้ จะอยใู่ นรูป 0 , ,0 , , 00 , 0 หรอื 1
0

เราไม่อาจจะตอบไดเ้ ลยว่าค่าลิมติ หาค่าไดห้ รือหาค่าไมไ่ ด้

เรียกรูปแบบลมิ ิตนวี า่ รป บบท มก่ นด(Inderterminate Form : IF)

(3) จากทฤษฎบี ทขา้ งตน้ รปขนต นก ร ลมตข งฟงกช์ น f(x) ท x = a ดงั นี

ขนท 1 ทนค่ x = a น f(x)
เหมอื นกบั การหาค่า f(a)

ขนท 2 พจ รณ ค่ f(a) ท ด้

ถ้ f(a) ม่ ปนรป บบ IF ถ้ f(a) ปนรป บบ IF

(1) ถา้ f(a) หาคา่ ได้ จดั ใหอ้ ย่ใู นรูป 0 หรือ แลว้ ใชว้ ธิ ี

แลว้ lim f(x) f(a) 0
xa
แยกตวั ประกอบ
(2) ถา้ f(a) อยใู่ นรูป A คณู ดว้ ยเทอมท่ีเป็นคอนจเู กต
0 ใชก้ ฎของโลปิตาล (เรื่องอนพุ นั ธ)์

แลว้ lim f(x) หาค่าไม่ได้
xa

ตว ย่ ง 1 จงหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั ต่อไปนี (รป บบลมตท ม่ ปน บบ IF)

(1) lim( 10) (2) lim x
x2 x7

(3) lim x4 (4) lim 2 x5
x2 x 13

(5) lim(3x4 7x) (6) lim(x3 5)(x2 x)
x2 x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |10

(7) lim x 3 2x (8) lim x2 2x 3
x 8 4 16
x x 3 2x 1

(9) lim 2x 6 (10) lim x2 1
x 3 x2 1 x 3x 3

(11) lim x3 1 (12) lim 102 3x

x2 x1

(13) lim log(x2 3x) (14) lim | x 3 |
x 2 x2 9
x2

(15) lim sin 2x (16) lim tan 4x
x4 3 2x
x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |11
ตว ย่ ง 2 จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี (ก ร ลมต นรป บบ IF ดยก ร ยกตวปร ก บ)

(1) lim x2 4
x 2 x2 x 6

(2) lim x2 25
x 5x 5

(3) lim x2 x 12
x 3 3 + 4x + x2

(4) lim 4x3 5x2 3x 2
x 1 x2 2x 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |12

(5) lim 3 x2 2x 8
x2 x2

(6) lim 2 x2
x x2 x
x0

(7) lim 9x 8 3x 9
x 2 3x+1 27

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |13
ตว ย่ ง 3 จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ต่อไปนี (ก ร ลมต นรป บบ IF ดยก รคณด้วย งยค)

(1) lim x 16 4

x0 x

(2) lim x 1

x 1 x2 3 2

(3) lim x2 9
x 3 12 x2 3

(4) lim 2x 2
x 21 x 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |14

(5) lim x 2 2x 3
x 1 3x 7 2x 6

(6) lim 3x 1
x 1
x1

(7) lim 3 x + 1 1
x 02 38 x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |15

(8) lim 3 2x + 3 + 3 x + 1 5x
x3 x 3

lim 1 )(1 + x)(1 x2) + (1 x)(1 x2)
x 0 x3
((9) 1+ x 1x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |16

ตว ย่ ง 4 จงหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี (ก ร ลมตท ง ดยว)

(1) lim x 1

x1

(2) lim x2 4
x 2 x2 x 2

(3) lim x + 6 x
x3 3 x

(4) lim | x 2 |
x2 x 2

(5) lim | x 2 |
x 2+ x 2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |17

(6) lim x3 x2 x
x 0 x2

(7) lim x3 x2 x
x 0 x2

(8) lim || x 2 | 2 |
x 4 x2 16

(9) lim || x 2 | 2 |
x 4 x2 16

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |18
ตว ย่ ง 5 จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี (ก ร ลมต ดยก ร ทนตว ปร ม่)

(1) lim 3 x + 4
x5 x 5

(2) lim x 3
x 3 3x 2 1

(3) lim 3x 8 32 x
x2 x
31 x
32

(4) lim 2x x 2x+1
x 2 3x 1 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |19
ตว ย่ ง 6 จงหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี (ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ)

(1) lim 1 + cos x
x sin x

(2) lim 1 + cos x + sin2 x
x 2 1 sin x

(3) lim 1 2 sin2 x
sec x 2 tan x
x
4

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |20

ก ร ลมตข งฟงกช์ นทต้ งพจ รณ ลมตซ้ ย ล ลมตขว

ตว ย่ ง 7 กาหนดฟังกช์ นั f(x) 2x 5 ;x 3 จงหา lim f(x)
2 3x

32 x ; x 3 x3

ตว ย่ ง 8 กาหนดฟังกช์ นั 3 x ;x 3 จงหา lim f(x)
x3
f(x) x2 9 ; x 3

x3

ตว ย่ ง 9 กาหนดฟังกช์ นั f(x) x2 6x 9 จงหา lim f(x)
x3 x3

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |21
ตว ย่ ง 10 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = 4 x2 จงหา lim f(x)

x2

ตว ย่ ง 11 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = | 2 x | 3

|x 5|

จงหา (1) lim f(x) (2) lim f(x)
x5
x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |22

ก ร ลมตข งฟงกช์ น ชงปร ก บ(composite functions)

10 ; x = 3

ตว ย่ ง 12 กาหนด f(x) = x2 9 ; x 3 และ g(x) = 2x 1

x3

จงหา (1) lim(f g)(x) (2) lim (g f)(x)
x2 x3

ตว ย่ ง 13 กาหนด f(x) = x2 4 และ g(x) = x+5 ; x =4
2 x 2 ;x 4
x

จงหา (1) lim(gof)(x) (2) lim (fog)(x)
x2
x4

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |23

ตว ย่ ง 14 กาหหนด f(x) x22 ;x 2 จงหา
x2 ;0 x 2
(1) lim f(x2 x3 8
x3 4x (2) lim f(x 1)
x0 x 1 2x
2)

ตว ย่ ง 15 กาหนด f(x) = 3x2 จงหา lim f(x + h) f(x) เม่อื h R

h0 h

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |24

ก ร ค่ คงทจ ก ง น ขข งฟงกช์ นทมลมต

ถา้ กาหนดว่า f เป็นฟังกช์ นั ท่มี ลี ิมิต(หาลมิ ิตได)้ ท่ี x = a แสดงวา่

lim f(x) = lim f(x) = lim f(x)
xa x a+
xa

ตว ย่ ง 16 กาหนด f(x) = kx + 1 ; x 2

x2 4 ; x 2
x+2

จงหาคา่ k ท่ที าให้ f มีลิมิตท่ี x = 2

ตว ย่ ง 17 กาหนด f(x) = kx 5;x 3 ถา้ k ท่ที าให้ f มีลิมติ ท่ี x = 3
x2 1; x 3

จงหา lim f(x2) + lim f(x 1)
x+2
x3 x 4+

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |25

3. ลมต นนต(์ infinite limit)

ลกั ษณะกราฟของฟังกช์ นั ท่ีมีลิมิตท่ี a เป็นอนนั ตม์ รี ูปแบบต่างๆดงั นี

(1) lim f(x) เสน้ กากบั แนวตงั (2) lim f(x) เสน้ กากบั แนวตงั
xa y xa y
x=a x=a
f

x x
0a
0a

(3) lim f(x) เสน้ กากบั แนวตงั (4) lim f(x) เสน้ กากบั แนวตงั
xa
y x=a xa x=a

y

x x
0a
0a

(5) lim f(x) เสน้ กากบั แนวตงั (6) lim f(x) เสน้ กากบั แนวตงั
xa y
x=a xa y x=a

x x
0a
0a

(7) lim f(x) , lim f(x) (8) lim f(x) , lim f(x)
xa xa
y xa xa
เสน้ กากบั แนวตงั
y เสน้ กากบั แนวตงั
x=a
x=a

x x
0a
0a

ม ย ต ในกรณีท่ี lim f(x) (หรือ – ) หรือ lim f(x) (หรือ – ) หรือ
xa xa

lim f(x) (หรือ – ) ก็ตาม เราจะเรียกเสน้ ตรง x = a
xa

วา่ เป็น ้นก กบ นวตง(vertical asymtote)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |26

กร ลมตข งฟงกช์ น f(x) ทมลมต นนต์
g(x)

ให้ a , f และ g เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ มโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของ โดยท่ี lim f(x) A
xa

และ lim g(x) 0 lim f(x) A
xa x a g(x) 0

A<0 A>0

g(x) 0 0 g(x) g(x) 0 0 g(x)
lim f(x) 0A lim f(x)0
x a g(x) 0 x a g(x) A lim f(x) 0 A lim f(x)0 A
0 x a g(x) 0 x a g(x) 0

ตว ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x 2 จงหา
x2 1

(1) lim f(x) (2) lim f(x)
x1 x1

(3) lim f(x) (4) lim f(x)
x1 x1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |27
ตว ย่ ง 2 จงหาลมิ ิตแต่ละขอ้ ต่อไปนี

(1) lim 1 (2) lim 1 2x
x 2|x 2|
x 1 (x 1)2

(3) lim 2x 5

x 1 (x 1)3

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |28

4. ลมตท นนต์

บทนย ม 2. กาหนดให้ A และ f เป็นฟังกช์ นั ท่ีมโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของ

(1) lim f(x) = A ก็ต่อเม่ือ ถา้ x มีคา่ มากขนึ อยา่ งไม่มขี อบเขต แลว้ ค่าของ f(x) จะเขา้ ใกล้ A
x ก็ต่อเม่อื ถา้ x มีค่านอ้ ยลงอย่างไม่มีขอบเขต แลว้ ค่าของ f(x) จะเขา้ ใกล้ A
ก็ต่อเม่อื ถา้ x มีคา่ มากขนึ อย่างไม่มขี อบเขต แลว้
(2) lim f(x) = A
x ค่าของ f(x) จะมคี ่ามากขนึ อย่างไมม่ ขี อบเขต

(3) lim f(x) =
x

(4) lim f(x) = ก็ตอ่ เม่ือ ถา้ x มีคา่ นอ้ ยลงอย่างไมม่ ีขอบเขต แลว้
x ค่าของ f(x) จะมคี ่ามากขนึ อยา่ งไม่มขี อบเขต

(5) lim f(x) = ก็ต่อเม่อื ถา้ x มีคา่ มากขนึ อย่างไม่มีขอบเขต แลว้
x ค่าของ f(x) จะมคี า่ นอ้ ยลงอย่างไมม่ ขี อบเขต

(6) lim f(x) = กต็ ่อเม่ือ ถา้ x มีคา่ นอ้ ยลงอยา่ งไมม่ ีขอบเขต แลว้
x คา่ ของ f(x) จะมคี ่านอ้ ยลงอยา่ งไม่มขี อบเขต

ต ย่ งลก ณ กร ฟข งฟงกช์ นทมลมตท นนต์

yy

y=A A
f
x f x
0
0
A
y=A

lim f(x) = A และ lim f(x) lim f(x) = A และ lim f(x)

xx xx

ทฤ ฎบทลมตท นนต์

(1) ถา้ c R และ c 0 จะไดว้ ่า lim c c และ lim c c
xx

(2) กาหนดให้ lim f(x) A และ lim g(x) B เม่อื A, B เป็นจานวนจรงิ จะไดว้ า่
xx

(2.1) lim cf(x) c lim f(x) cA เม่อื c R
xx

(2.2) lim[f(x) g(x)] = limf(x) limg(x) = A B
x xx

(2.3) lim[f(x) g(x)] = limf(x) × limg(x) = AB
x xx

(2.4) lim f(x) = lim f(x) = A ;B 0
B
x

x g(x) lim g(x)
x

ม ย ต ขอ้ (2) ยงั คงเป็นจรงิ เม่อื พิจารณา x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |29

(3) กาหนดให้ c R , c 0 และ f เป็นฟังกช์ นั

(2.1) ถา้ lim f(x) หรือ lim f(x) แลว้ lim c 0
x x 0
x f(x)
(2.2) ถา้ lim f(x) หรอื lim f(x)
x x แลว้ lim c

x f(x)

(4) กาหนดให้ k R+ ; xk 0
(4.1) ถา้ x > 0 แลว้ lim xk = ; xk 0

x

(4.2) ถา้ x < 0 และ xk R แลว้ lim xk =
x

(5) กาหนด f(x) = A1xp A2xp 1 A3xp 2 ... An พจิ ารณาดงั นี
B1xq B2xq 1 B3xq 2
... Bn

กรณีท่ี 1 ถา้ p < q จะได้ lim f(x) = 0
n

กรณีท่ี 2 ถา้ p = q จะได้ lim f(x) = A1
n B1
กรณีท่ี 3 ถา้ p > q จะได้ lim f(x) หาค่าไม่ได้
n

ม ย ต ขอ้ (5) ยงั คงเป็นจรงิ เม่อื พจิ ารณา x

(6) กาหนดให้ k จะได้ lim kx 0 ; |k| 1
x 1 ; |k| 1

หาไม่ได้ ; | k | 1

ถา้ lim f(x) = a
x

เรียกเสน้ ตรง y = a วา่ เป็น ้นก กบ นวน น (Horizontal asymtote)
ข้ ควรร วง

รูปแบบไมก่ าหนดต่อไปนีหาค่าไม่ได้ +( ) , 0 , 0 , 1 , 0 0 ,

0

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |30
ตว ย่ ง 1 จงหาลิมิตต่อไปนี

(1) lim 25 =......................... (2) lim 2x = ............................

x x

(3) lim 2 = ......................... (4) lim 7 = ........................
x x+1 x x+2

(5) lim 1 x = ......................... (6) lim 3 x = ...........................
x2
x

(7) lim(3 + 4 2) (8) lim 5x2 + 3
x x2 x 3x2 1
x

(9) lim 3x3 2x + 1 (10) lim 2x2 + 3x + 1
x 5 2x3 x 3x3 5

(11) lim x4 + 4x2 5 (12) lim 4x2 3x + 1
x 3x2 + 1 x (2x 5)(x 1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |31

(13) lim 4x4 + 3x2
x x2 5

(14) lim 2x + 3
x 3x2 + 2

( )(15) lim x2 + x x
x

( )(16) lim x2 + 1 + x2 + x + 1 2x
x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |32

(17) lim 2x 3x
x 5x

(18) lim 5x + 5 x
x 5x 5 x

(19) lim 4 x (6 x) 2(9 x)
x 2 x +3 x

(20) lim 3x + 2x 1 + 6x
x 2x 1 4x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |33

5. คว มต่ น งข งฟงกช์ น

5.1 นย มข งคว มต่ น งข งฟงกช์ น
บทนย ม 3. กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ท่มี โี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ และ a

จะกลา่ ววา่ f ปนฟงกช์ นต่ น งท x = a กต็ ่อเม่อื

(1) .
(2) .

และ (3)

ม ย ต ถา้ f ขาดคณุ สมบตั ิ (1) หรือ (2) หรอื (3) ขอ้ ใดขอ้ หน่ึงในบทนิยาม 3.
เราจะกล่าววา่ f ม่ต่ น ง ท x = a

(1) y (2) y (3) y

f f
x
x 0a f
0a x

0a

(4) y (5) y (6) y
0a
f f
f

x x x
0a 0a

จากรูปถา้ พบวา่ กราฟของฟังกช์ นั ขาดตอนท่ี x = a สามารถสรุปไดว้ า่ ฟังชนั นนั เป็นฟังกช์ นั ท่ไี ม่
ต่อเน่ืองท่ี x = a

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |34
ตว ย่ ง 1 จงพิจารณาว่าฟังกช์ นั ต่อไปนี

(1) ถา้ ให้ f(x) = x2 x 2 แลว้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x = 2 หรือไม่

x2

(2) ถา้ ให้ g(x) = x2 4 ;x 2 แลว้ g เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = 2 หรือไม่
x 2 2
1 ;x

(3) ถา้ ให้ h(x) = x 2 ;x 4 แลว้ h เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x = 4 หรอื ไม่
x|4 x| ;x 4

x4

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |35

ตว ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x2 + 5x + 6 เม่อื x และ x ≠ 2

x+2

ถา้ ตอ้ งการให้ f ต่อเน่อื งท่ี x = 2 แลว้ จะตอ้ งนยิ าม f( 2)

ตว ย่ ง 3 กาหนดฟังกช์ นั f(x) x2 1 ; x 1
x3 1
k ;x1

ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = 1 จงหาคา่ k

ตว ย่ ง 4 กาหนดฟังกช์ นั f(x) 2 x3 ;x 1
x1 ;x 1

kx 1

ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = 1 จงหาคา่ k

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |36

Ax B ;x 1

ตว ย่ ง 5 กาหนดฟังกช์ นั f(x) x2 6x ; 1 x 6
x2 5x 6

Bx A ;x 6

โดยท่ี f มีความต่อเน่ืองท่ี x = 1 และ x = 6 จงหา 9A + 44B

x3 ;x 3

ตว ย่ ง 6 กาหนดให้ f(x) = 2x + 10 x + 13 โดยท่ี a เป็นจานวนจรงิ
(PAT 1 : 5 มนี าคม 2554)
a ; x=3

ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ีจดุ x = 3 จงหาคา่ a

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |37

5. 2 ทฤ ฎบทข งฟงกช์ นต่ น ง

(1) ฟังกช์ นั พหนุ าม f(x) = anxn + an 1xn 1 + + 1x + a0
เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x = c เม่อื c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ

(2) ฟังกช์ นั ตรรกยะ f(x) = p(x) เม่อื p(x) , q(x) เป็นฟังกช์ นั พหนุ าม โดย q(x) 0

q(x)

เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x = a เม่อื a เป็นจานวนจรงิ ท่ีทาให้ q(a) 0

ม ย ต บทกลบั ของขอ้ (2) บอกเราว่า
ถา้ จานวนจรงิ a ท่ที าให้ q(a) = 0 จะทาใหฟ้ ังกช์ นั r(x) ไม่ต่อเน่ืองท่ี =

(3) ถา้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x = a และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้
f g เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ี x = a
f g เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = a
f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = a เม่ือ g(a) 0

g

cf เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งท่ี x = a

(4) (ความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั ประกอบ)
ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = a และ g เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = f(a)
แลว้ gof จะเป็นฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x = a

ตว ย่ ง กาหนดฟังกช์ นั ต่อไปนจี งพจิ ารณาว่าเป็น ฟงกช์ นต่ น ง และ ฟงกช์ น ม่ต่ น ง
ท่จี ดุ ใดบา้ ง

(1) f(x) x 2 (2) f(x) x2
|x 3| x2 3x 2

(3) f(x) x2
1 x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |38

5.3 ฟงกช์ นต่ น งบนชว่ ง

(1) ฟงกช์ นต่ น งท ง ดยว R
บทนย ม 4. กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ท่มี โี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจริง และ a

จะกลา่ ววา่ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท งขว ท่ี x = a ก็ต่อเม่ือ
(1) f(a) หาคา่ ได้

(2) lim f(x) หาค่าได้
xa

และ (3) lim f(x) = f(a)
xa

จะกล่าววา่ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองท งซ้ ยท่ี x = a ก็ตอ่ เม่ือ

(1) f(a) หาค่าได้

(2) lim f(x) หาคา่ ได้
xa

และ (3) lim f(x) = f(a)
xa

ตว ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x2 ; x 0 จงพิจารณาว่า
x ; x 0

(1) f ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองทางซา้ ยท่ี x = 0 (2) f ฟังกช์ นั ต่อเน่ืองทางขวาท่ี x = 0

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |39
(2) ฟงกช์ นต่ น งบนชว่ ง

บทนย ม 5. 1. ฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนชว่ ง ปด (a, b) ก็ต่อเม่ือ
f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ีทกุ ๆจุดในช่วงเปิด (a, b)

2. ฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วงปด [a, b] กต็ ่อเม่ือ
(1) f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วงเปิด (a, b)
(2) f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองทางขวาท่ี x = a
(3) f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองทางซา้ ยท่ี x = b

ตว ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x2 25 ;x 5
x5
10 ; x 5

จงตรวจสอบวา่ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [5, 8] หรือไม่

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |40
5.4 มบตข งฟงกช์ นต่ น งบนชว่ งปด

บทนย ม 6. (ค่ ง ด ล ค่ ต ด)
กาหนดให้ c [a, b] และ f เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ มี [a, b] เป็นสบั เซตของโดเมนของ f

(1) f(c) เป็นค่ ง ดของ f(x) บน [a, b] กต็ ่อเม่อื f(c) f(x) ทกุ ๆ x [a, b]
(2) f(c) เป็นค่ ต ดของ f(x) บน [a, b] ก็ต่อเม่ือ f(c) f(x) ทกุ ๆ x [a, b]

ลกั ษณะหนึง่ ของค่าสงู สดุ และต่าสดุ ของฟังกช์ นั f(x) บน [a, b]

yy

f(c)

0 ac b x f(c) x
0 ac b

มบตข งฟงกช์ นต่ น งบนชว่ งปด y

(1) ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนชว่ ง [a, b] แลว้ f(c)

จะตอ้ งมจี านวนจรงิ c และ d ใน [a, b] ซ่งึ ทาให้

(1.1) f(c) เป็นค่ ง ดของ f(x) บน [a, b] f(d) x
(1.2) f(d) เป็นค่ ต ดของ f(x) บน [a, b]
a d0 cb

(2) (ทฤ ฎบทค่ ร ว่ งกล ง) y x
ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนชว่ ง [a, b] b
และ k ซ่งึ f(a) k f(b) f(a)
แลว้ จะตอ้ งมีจานวนจรงิ c (a, b) k
ซ่งึ ทาให้ f(c) = k
f(b)

a 0c

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |41
ตว ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x3 + x 1 บนชว่ ง [0, 1]

(1) จงพจิ ารณาว่า f มีค่าสงู สดุ และต่าสดุ บน [0, 1] หรือไม่
(2) จงพิจารณาวา่ สมการ x3 + x 1 = 0 มีคาตอบบนช่วง [0, 1] หรือไม่

ตว ย่ ง 2 จงพจิ ารณาวา่ สมการ x3 2x2 x 1 5 มีคาตอบในช่วง [0, 1] หรือไม่
x2 1 4

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |42

1. ตร ก ร ปลยน ปลง ฉลย ล ตร ก ร ปลยน ปลงข งฟงกช์ น

กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) และให้ (x1, y1) และ (x2, y2) เป็นจดุ หนงึ่ ท่ีสอดคลอ้ งกบั y = f(x)

น่นั คือ y1 = f(x1) และ y2 = f(x2)

กาหนด = แทนการเปลย่ี นแปลงของ x จาก x1 ถงึ x2

= แทนการเปลีย่ นแปลงของ y จาก y1 ถงึ y2

น่นั คือ =

อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ ของ y เทียบกบั x จาก x1 ถึง x1 + x มีบทนิยามต่อไปนี

บทนย ม 1. กาหนดฟังกช์ นั y = f(x)
ตร ก ร ปลยน ปลง ฉลย ของ y เทียบกบั x จาก x ถึง x + x คือ

y
x

y y = f(x) ความหมายทางเรขาคณิต
Q
y = .
x

P x
0x
x+ x

บทนย ม 2. กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) เม่อื คา่ x เปล่ยี นเป็น x + x เม่อื x 0
ตร ก ร ปลยน ปลงของ y เทยี บกบั x ในขณะท่ี x มคี า่ ใดๆ คือ

lim y
x0 x

y y = f(x) ความหมายทางเรขาคณิต
P Q
lim y
x0 x

x

0x x+ x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |43
ตว ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = x2 + 2x – 1

(1) จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกบั x จาก x = 2 ถึง x = 3

(2) จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x จาก x ถึง x + 2

(3) จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี ของ y เทยี บกบั x จาก x ถงึ x + x

(4) จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของ y เทียบกบั x ในขณะท่ี x มีค่าใดๆ

(5) จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของ y เทยี บกบั x ในขณะท่ี x = 5

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |44

ตว ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั y = x 1 จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของ y เทียบกบั x

(1) ในขณะ x ใดๆ (2) ในขณะท่ี x = 3

ตว ย่ ง 3 กาหนดฟังกช์ นั f(x) 2x2 1 ; x 1
4x 3 ; x 1

จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของ y เทียบกบั x ในขณะท่ี x = 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |45
ตว ย่ ง 4 กาหนดฟังกช์ นั y = | x 2 |

จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ในขณะท่ี x = 2

ตว ย่ ง 5 จากวงกลมรศั มียาว r เซนตเิ มตร จงหา
(1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ของพนื ท่วี งกลมเทยี บกบั ความยาวของรศั มี
เม่อื ความยาวรศั มเี ปล่ียนจาก r เป็น r + h
(2) อตั ราการเปล่ียนแปลงของพนื ท่วี งกลมเทียบกบั ความยาวของรศั มี ขณะท่ีรศั มียาว r เซนติเมตร

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |46

2. นพนธ์ (Derivative)

2.1 นย มข ง นพนธ์

บทนย ม 3. กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) ซ่งึ โดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ

(1) ถา้ lim f(x x) f(x) หาค่าได้
x0
x

แลว้ เราจะกลา่ ววา่ ฟังกช์ นั f มีอนพุ นั ธท์ ่ี x

และ ค่าลมิ ิตท่ไี ด้ เรียกวา่ นพนธข์ ง f ท x และเขยี นแทนดว้ ย f (x)

(2) ถา้ lim f(x x) f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้
x0 x

แลว้ เราจะกล่าวว่า ฟังกช์ นั f ไม่มีอนพุ นั ธท์ ่ี x

\

มย ต x) f(x) เม่อื ลมิ ติ หาค่าได้
(1) เราจะเขียน f (x) = lim f(x x

x0

(2) นอกจากสญั ลกั ษณ์ f (x) แลว้ ยงั มสี ญั ลกั ษณอ์ ่นื ๆ อีกท่ใี ชแ้ ทนอนพุ นั ธข์ อง f ท่ี x ใดๆ

เช่น dy (อ่านว่า ดีวายบายดเี อก็ ซ์ )

dx

หรือ d f(x) (อ่านวา่ ดเี อฟเอกซบ์ ายดีเอกซ์ )

dx

หรือ y เป็นตน้

(3) f (a) หรือ dy แทนอนพุ นั ธข์ อง f ท่ี x = a น่นั คอื

dx x a

f (a) = lim f(a x) f(a) เม่อื ลมิ ิตหาคา่ ได้
x0 x

= lim f(x) f(a) เม่อื ลิมติ หาค่าได้ (เพราะ x = x a )
xa x a

(5) ในนยิ ามของอนพุ นั ธอ์ าจเอกสารบางเลม่ อาจจะแทน x ดว้ ย h แตค่ วามหมายเดียวกนั

น่นั คอื f (x) = lim f(x h) f(x)
h0 h

และ f (a) = lim f(a h) f(a)
h
h0

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |47
ตว ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = x2 x + 2 โดยอาศยั นิยามของอนุพนั ธ์

จงหา f (x) และ f (2)

ตว ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = 2 x โดยอาศยั นยิ ามของอนพุ นั ธ์
จงหา f (x) และ f (2 )

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |48
ตว ย่ ง 3 โดยสมบตั ิของ lim sin 1 , lim cos 1 0 เม่อื

00

กาหนดฟังกช์ นั y = sin x โดยอาศยั นิยามของอนพุ นั ธ์ จงหา dy และ dy

dx dx x 3

ตว ย่ ง 4 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = x2 + 1 ; x1 จงหา f (1)
2x ; x1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |49
ตว ย่ ง 5 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = |1 x | จงหา f (1)