เอกสารประกอบการเรียนแคลคูลัสเบื้องต้น

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |100
ต ย่ ง 4 ชายคนหนงึ่ พายเรือในทะเลแห่งหนงึ่ ซง่ึ มชี ายหาดเป็นแนวเสน้ ตรง เขาอย่หู ่างจากจดุ B

ซ่งึ เป็นจดุ ชายฝ่ังท่ีอย่ใู กลเ้ ขามากท่สี ดุ เป็นระยะทาง 2 กโิ ลเมตร และเขาตอ้ งการเดินทางไป
ใหถ้ ึงจดุ C ซ่งึ เป็นจดุ บนชายฝ่ัง ระดบั เดยี วกบั B 6 กิโลเมตร ถา้ ชายคนนพี้ ายเรอื ดว้ ย
อตั ราเรว็ 3 กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง และวิ่งดว้ ยความเร็ว 5 กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง จงหาวา่ เขาควร
พายเรอื ไปขนึ้ ฝ่ัง ณ จุดใดแลว้ วิ่งตอ่ ไปใหถ้ ึง C ซ่งึ ทาใหใ้ ชเ้ วลานอ้ ยท่สี ดุ

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |101

3. กฎข ง ลปต ล (L Hospital’s Rule)

การหาอนพุ นั ธส์ ามารถใชค้ านวณหาลิมติ ของฟังกท์ ่อี ย่ใู นรูปแบบท่ไี ม่กาหนด(Indeterminate Forms)
ตา่ งๆ ดงั นี้

กฎข ง ลปต ล
ถา้ f(x) และ g(x) ต่างกม็ ีคา่ เป็นศนู ย์ หรือไม่นิยามท่ีจดุ x = a

น่นั คือ f(x) อย่ใู นรูปของ 0 หรือ แลว้
g(x) 0

lim f(x) = lim f (x) เม่อื lim f (x) หาคา่ ได้
g(x) g (x)
xa xa x a g (x)

มย ต

(1) ถา้ f (x) ยงั อยใู่ นรูปท่ไี มก่ าหนดอกี เราสามารถใชก้ ฎโลปิตาลซา้ ตไ่ ปเรื่อยๆ กลา่ วคือ
g (x)

lim f(x) = lim f (x) = lim f (x) = ... = lim f(n)(x)
g(x) g (x) g (x) g(n)(x)
xa xa xa xa

(2) ถา้ ฟังกช์ นั เม่ือแทนค่าลมิ ิตแลว้ อย่ใู นรูป 0 , , 00 , 0 หรอื 1

ตอ้ งทาใหอ้ ย่ใู นรูปของ 0 หรือ แลว้ จึงใชก้ ฎของโลปิตาล
0

ต ย่ ง 1 จงหาลมิ ิตของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้

(1) lim x5 32 (2) lim x100 1
x 2 x4 2x 12 x11 x

(3) lim x5 x 30 (4) lim x 1
x 2 x3 8 x 15x +1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |102

ต ย่ ง 2 จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ต่อไปนี้

(1) lim sin x (2) lim ln x
x0x x
x

(3) lim ex (4) lim 5x2 + 1
x x2 + 2x x ex

(5) lim( 1 1 1 x)
x 0 sin2 x cos

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |103

4. ก ร คล นท น ้นตรง(Motion Along a Line)

ค ม ร ค ม ร่ง (Velocity and Acceleration)

กาหนดใหว้ ตั ถเุ คล่อื นท่ตี ามแนวเสน้ ตรง โดยมีสมการเคลือ่ นท่ี y = s(t)

เม่อื y แทนระยะทางท่ีวตั ถุอย่หู า่ งจากจดคงทจด นงในขณะเวลา t แลว้

ค ม ร ฉลย ของวตั ถุ จาก t1 ถึง t2 หมายถงึ อตั ราการเปลย่ี นแปลงระยะทางของวตั ถุ

จาก t1 ถึง t2 มคี ่า เท่ากบั s(t2 ) s(t1)
t2 t1

ค ม ร่ง ฉลย ของวตั ถุ จาก t1 ถงึ t2 หมายถึง อตั ราการเปล่ยี นแปลงความเรว็ ของวตั ถุ

จาก t1 ถงึ t2 มีค่า เทา่ กบั v(t2 ) v(t1)
t2 t1

ค มร ของวตั ถใุ นขณะเวลา t ใดๆ หมายถงึ อตั ราการเปล่ียนแปลงระยะทางของวตั ถุ

ในขณะเวลา t ใดๆ มีคา่ เท่ากบั ds f (t) v(t)
st

ค ม ร่ง ของวตั ถใุ นขณะเวลา t ใดๆ หมายถึง อตั ราการเปล่ียนแปลงความเร็วของวตั ถุ

ในขณะเวลา t ใดๆ มีคา่ เท่ากบั dv v (t) a(t)

st

ตร ร ฉลยของวตั ถุ หมายถงึ ค่าสมั บรู ณข์ องความเรว็ เฉลี่ยของวตั ถุ
ตร ร ของวตั ถุ หมายถึงค่าสมั บรู ณข์ องความเรว็ ของวตั ถุ
ตร ร่งของวตั ถุ หมายถงึ ค่าสมั บรู ณข์ องความเรง่ ของวตั ถุ

สมการเคลื่อนท่ี ความเรว็ ความเรง่

y = s(t) อนพุ นั ธ์ dy s (t) อนพุ นั ธ์ dv v (t) a(t)
st st
v(t)

ข้ ง กต 1. อตั ราเรว็ เฉลีย่ อตั ราเรว็ อตั ราเรง่ เฉล่ีย และอตั ราเรง่ เป็นปรม ณ กล ร์
ความเรว็ เฉลี่ย ความเรว็ ความเรง่ เฉลี่ย และความเรง่ เป็นปรม ณ ก ต ร์
2. มเี คร่ืองหมายแสดงทิศทาง
y = s(t) เป็นความสมั พนั ธร์ ะหว่างระยะทางกบั เวลาถงึ แมม้ ีกราฟเป็นเสน้ โคง้
3. ไม่ไดห้ มายความวา่ วตั ถเุ คลื่อนท่ีตามเสน้ โคง้ นนั้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |104

ค ม ม ยข ง คร ง ม ยข งค ม ร ล ค ม ร่ง

ความหมายของเคร่อื งหมายกเ็ ชน่ เดียวกนั กบั ท่กี ล่าวไปแลว้ กบั เร่ือง ฟังกช์ นั เพม่ิ ฟังกช์ นั ลด
เพราะความเรว็ เป็นอนพุ นั ธข์ องระยะทาง (s) และความเรง่ เป็นอนพุ นั ธข์ องความเร็ว (v) ซง่ึ สรุปไดด้ งั นี้

จดุ คงท่ี ทิศทางบว(กทางขวา)

s(t)

กาหนดให้ s(t) = แทนระยะทางของวตั ถทุ ่ีอย่หู ่างจากจดุ คงท่ีจดุ หนง่ึ ในขณะเวลา t

v(t) = แทนความเรว็ ของวตั ถใุ นขณะเวลา t

a(t) = แทนความเรง่ ของวตั ถใุ นขณะเวลา t

ถา้ v(t) > 0 แลว้ วตั ถจุ ะเคล่อื นท่ีโดยทาให้ s มีคา่ เพม่ิ ขึน้ (s เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ ท่ี t)

ถา้ v(t) < 0 แลว้ วตั ถจุ ะเคลอ่ื นท่ีโดยทาให้ s มคี า่ ลดลง (s เป็นฟังกช์ นั ลดท่ี t)

ถา้ a(t) > 0 แลว้ วตั ถจุ ะเคล่ือนท่ีโดยทาให้ v มคี า่ เพม่ิ ขนึ้ (v เป็นฟังกช์ นั เพ่มิ ท่ี t)

ถา้ a(t) < 0 แลว้ วตั ถจุ ะเคล่ือนท่ีโดยทาให้ v มคี ่าลดลง (v เป็นฟังกช์ นั ลดท่ี t)

ก ร คร ท์ ท งก ร คล นท :

พจิ ารณาจากเครื่องหมายของ v(t) เช่น

เคร่อื งหมายของ v(t) t2

+++ +++ การเคล่อื นท่ี t =0 t1
s2 s0 s1 s
0 t1 t2 t

ก ร คร ์ ช่ ง ล ท ตถ คล ท ร ขน ร ช้ ลง :

ดจู ากเครอื่ งหมายของ v(t) และ a(t) ดงั นี้
(1) ถา้ v(t) และ a(t) มเี คร่ืองหมายเหมือนกนั แลว้ วตั ถจุ ะเคล่ือนท่ีโดยทาใหอ้ ตั ราเรว็ เพ่มิ ขึน้
(2) ถา้ v(t) และ a(t) มีเครือ่ งหมายต่างกนั แลว้ วตั ถจุ ะเคลือ่ นท่ีโดยทาใหอ้ ตั ราเรว็ ลดลง
เชน่ วตั ถไุ มเ่ คลอื่ นท่ี

++++ _ + + + + เคร่ืองหมายของ v(t)
0 t1 t2
_ +++++++ เคร่ืองหมายของ a(t)
0 ชา้ ลง
เรว็ ขนึ t3 ชา้ ลง เรว็ ขนึ t

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |105

ก ร คร ก์ ร คล นท :

เน่ืองจาก a(t) เป็นอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สองของ s(t) ดงั นนั้ เราสามารถใชค้ วามรูเ้ ร่ืองค่าสงู สดุ สมั พทั ธ์
หรอื ต่าสดุ สมั พทั ธ์ ในการพิจารณาการเคลอ่ื นท่ขี องวตั ถไุ ด้ ตวั อย่างเช่น

(1) ถา้ v(t1) = 0 และ a(t1) > 0 แลว้ จะไดว้ า่ s(t1) เป็นคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
แสดงว่า ณ เวลา t1 คา่ ของ s จะเปลยี่ นจากฟังกช์ นั ลดไปเป็นฟังกช์ นั เพม่ิ
วตั ถเุ คลอื่ นท่ไี ปทางซา้ ย แลว้ เปลี่ยนไปทางขวามอื
s เพมิ่ ขึน

t=t1

s ลดลง

(2) ถา้ v(t1) = 0 และ a(t1) < 0 แลว้ จะไดว้ ่า s(t1) เป็นค่าสงู สดุ สมั พทั ธ์
แสดงว่า ณ เวลา t1 คา่ ของ s จะเปล่ยี นจากฟังกช์ นั เพม่ิ ไปเป็นฟังกช์ นั ลดลง
วตั ถเุ คล่อื นท่ไี ปทางขวา แลว้ เปลย่ี นไปทางซา้ ยมือ
s ลดลง

t=t1

s เพม่ิ ขึน

ต ย่ ง 1 กาหนดใหว้ ตั ถเุ คลอื่ นท่ตี ามแนวเสน้ ตรง มีสมการการเคล่อื นท่ี s(t) = 1 t3 2t จงหา
2

(1) ความเรว็ เฉล่ียและอตั ราเรว็ เฉล่ียของวตั ถุ จาก t = 0 ถงึ t = 1

(2) ความเรว็ และอตั ราเรว็ ของวตั ถใุ นขณะท่ีเวลา t = 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |106
ต ย่ ง 2 ถา้ โยนลกู บอลลกู หน่งึ ขึน้ ไปตามแนวดิ่ง มีสมการการเคล่ือนท่ี s(t) = 16t2 + 96t

เม่อื s เป็นระยะทาง(ฟตุ ) ท่ลี กุ บอลอยสู่ งู จากจดุ โยนในขณะเวลา t วนิ าที จงหา
(1) ความเรว็ ของลกู บอลในขณะเวลา t = 2 วนิ าที
(2) อตั ราเรว็ ของลกู บอลในขณะเวลา t = 4 วินาที
(3) ระยะทางท่ลี กู บอลขนึ้ ไปสงู สดุ

ต ย่ ง 3 กาหนดใหว้ ตั ถเุ คล่อื นท่ตี ามแนวเสน้ ตรง โดยมีสมการการเคลื่อนท่ี

s(t) = t3 6t2 + 9t + 4 ; 0 t 5 จงหา

(1) ชว่ งเวลาท่วี ตั ถเุ คล่ือนท่ี โดยทาให้ s มคี ่าเพ่มิ ขนึ้

(2) ช่วงเวลาท่วี ตั ถเุ คล่ือนท่ี โดยทาให้ s มีคา่ ลดลง

(3) เวลาท่วี ตั ถเุ คล่ือนท่ี โดยทาให้ s มีคา่ มากท่สี ดุ และนอ้ ยท่สี ดุ

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |107
ต ย่ ง 4 วตั ถอุ นั หนึ่งเคลอื่ นท่ตี ามเสน้ ตรง โดยมสี มการการเคลื่อนท่ี

s(t) = t3 9t2 + 24t

จงหา (1) ความเรง่ เฉลย่ี จาก t = 2 ถงึ t = 4
(2) ความเรง่ ของวตั ถเุ ม่ือ t = 3
(3) อตั ราเรง่ ของวตั ถเุ ม่อื t = 2.5
(4) ในขณะเวลาท่ี t = 1 วตั ถมุ ีอตั ราเร็วเพมิ่ ขึน้ หรอื ลดลง

ต ย่ ง 5 วตั ถุ P เคลอ่ื นท่ตี ามแนวเสน้ ตรง โดยมสี มการการเคลอ่ื นท่ี

s(t) = t3 12t2 + 36t 20

เม่อื t เป็นเวลา(วนิ าท)ี และ s(t) เป็นระยะทางมหี นว่ ยเป็นเซนตเิ มตร
จงอธิบายลกั ษณะการเคลื่อนของ P เม่อื t [ 1, 9]

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |108
ต ย่ ง 6 ถา้ วตั ถอุ นั หนง่ึ เคลื่อนท่ีตามแนวนอน โดยมีสมการการเคลอื่ นท่ี

s(t) = t4 6t3 + 12t2 10t + 3 เม่อื t 0
เม่อื t เป็นเวลา(วนิ าที) และ s(t) เป็นระยะทางมหี นว่ ยเป็นเมตร
จงหา (1) ชว่ งเวลาท่ที าใหค้ วามเรว็ เพ่มิ และชว่ งเวลาท่ที าใหค้ วามเรว็ ลด

(2) ชว่ งเวลาท่ที าใหอ้ ตั ราเรว็ เพิ่มและชว่ งเวลาท่ีทาใหอ้ ตั ราเร็วลด
(3) เวลาท่วี ตั ถเุ ปล่ียนทิศทางของการเคล่ือนท่ี
(4) จงเขยี นลกั ษณะการเคล่ือนท่ีของวตั ถุ

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |109

5. ตร มพทธ์ (Related Rates)

อตั ราสมั พทั ธ์ คือ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งอตั ราการเปลย่ี นแปลงของสิ่งสองสงิ่ เม่อื เทียบกบั เวลา

สมมติให้ x และ y แทนปริมาณของสิง่ ของสองสง่ิ ท่ีแปรผนั ตามเวลา t และมคี วามสมั พนั ธก์ นั ดว้ ย

สมการ f(x, y) = 0

dx แทนอตั ราการเปล่ียนแปลงของ x เทียบกบั เวลา t
dt

dy แทนอตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกบั เวลา t
dt

จดม่ง ม ย คอื เม่ือเราทราบอตั ราการเปล่ยี นแปลงของ x หรือ ของ y อย่างใดอย่างหนงึ่ เราจะ

หาอตั ราการเปล่ยี นแปลงของสงิ่ ท่ีเหลือไดอ้ ย่างไร

คร งม รบก รค น ณ คือ การหาอนพุ นั ธโ์ ดยปรยิ าย โดยใหถ้ ือวา่ ทงั้ x และ y เป็นฟังกช์ นั

ของ t
ช่น

ต ย่ ง 1 ถา้ ปั้มลมใสล่ กู บอลลนู ทรงกลมใบหน่งึ พบวา่ ปรมิ าตรของลกู บอลลนู เพิ่มขึน้ ดว้ ยอตั รา

150 ซม. 3 / วนิ าที จงหาว่ารศั มีของลกู บอลลนู นจี้ ะเพมิ่ ขึน้ ดว้ ยอตั ราเท่าใด ในขณะท่ีเสน้
ผ่านศนู ยก์ ลางของบอลลนู ยาว 50 ซม.

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |110
ต ย่ ง 2 บนั ไดตรงอนั หนึ่งยาว 5 เมตร วางพงิ กบั กาแพงท่อี ย่ใู นแนวตงั้ ฉากกบั พนื้ ถา้ บนั ไดเล่ือนออก

จากกาแพงโดยใหป้ ลายดา้ นท่ตี ดิ อย่กู บั พนื้ เลื่อนออกจากกาแพงดว้ ยอตั ราเรว็ 2 เมตรตอ่
วนิ าที ในขณะท่ีปลายบนั ไดดา้ นนนั้ อย่หู ่างจากกาแพง 4 เมตร จงหาวา่ ในขณะนนั้ ปลาย
บนั ไดอีกดา้ นหนึง่ จะเลื่อนลงมาดว้ ยอตั ราเท่าใด

กาแพง
บนั ได

พนื

ต ย่ ง 3 ถงั นา้ ใบหนึ่งมีรูปทรงเป็นกรวยกลม โดยมียอดแหลมอย่ดู า้ นลา่ ง ดงั รูป มีสว่ นสงู 4 เมตร
และรศั มฐี าน 2 เมตร ถา้ เปิดนา้ ลงในถงั ดว้ ยอตั รา 2 ลบ.เมตรต่อนาที
ในขณะท่ีมนี า้ ในถงั ลึก 3 เมตร จงหา
(1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของสว่ นสงู ของระดบั นา้ ในถงั
(2) อตั ราการเปล่ียนแปลงของรศั มีของผิวนา้ ในถงั

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |111

6. ก รปร ม ณค่ ด้ ยค่ ชง นพนธ์ (Approximation with Differential)

จากสญั ลกั ษณ์ dy = f (x) แทนอนพุ นั ธ(์ derivative) ของ f(x) เทียบกบั ตวั แปร x เราถือว่า dy
dx dx

เป็นตวั แปรหน่ึงท่ีแทนปรมิ าณอยา่ งหน่ึง ไม่ไดถ้ ือวา่ เป็นอตั ราสว่ นของปรมิ าณสองปรมิ าณ

แต่ในหวั ขอ้ นีเ้ ราจะกาหนดตวั แปร dx และ dy แทนปรมิ าณ โดยเรยี กตวั แปรทงั้ สองว่า ค่าเชิง

อนพุ นั ธข์ อง x และของ y (differential of x and of y) ตามลาดบั ซ่งึ เม่อื นามาหาอตั ราสว่ น จะเท่ากบั

f (x) ซง่ึ คา่ เชงิ อนพุ นั ธด์ งั กลา่ วจะมีประโยชนต์ อ่ การหาค่าโดยประมาณ

บทนย ม ให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ด้
dx แทนค่าเชงิ อนพุ นั ธข์ องตวั แปรอิสระ x (differential of x)
dy แทนค่าเชิงอนพุ นั ธข์ องตวั แปรตาม y (differential of y)

ซง่ึ สอดคลอ้ งกบั สมการ dy =ฃฃfฃฃ(x) dx

ค ม ม ยท ง รข คณตข งค่ ชง นพนธ์

y = f(x)
yQ

R y
dy
P
dx = S
x

0x x+ x x

กาหนดให้ y = f(x) มจี ดุ P และ Q อย่บู นกราฟ โดย P(x, f(x)) และ Q(x+ x, f(x+ x))

เม่อื x คอื การเปลยี่ นแปลงของ x

y คือ การเปล่ียนแปลงของ y บน y = f(x)

น่นั คอื y = f(x + x) f(x)

เน่อื งจาก ความชนั เสน้ สมั ผสั PR เท่ากบั f (x) = dy
dx

ดงั นน้ั ระยะทางท่ีมีทิศทาง จาก S ไป R เท่ากบั dy = f (x)dx

ถา้ กาหนดให้ dx = x ดงั นน้ั เม่อื ในขณะท่ี x มีคา่ นอ้ ยๆ แลว้ dy y

และดว้ ยเหตทุ ่เี ราคานวณหา dy ไดง้ า่ ยกวา่ จากสตู ร dy = f (x)dx y โดย
ดงั นนั้ หากคา่ ของ dx = x มคี า่ นอ้ ยๆ เราสามารถใชค้ ่าของ dy เป็นค่าโดยประมาณของ
วธิ ีการดงั ท่จี ะกลา่ วต่อไปนี้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |112

ธก รปร ม ณค่ ฟงกช์ น

กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) และ a ท่สี ามารถหา f(a) ได้

เราตอ้ งการหา f(a + x) เม่อื x มคี ่านอ้ ยมากๆ

เน่ืองจาก f(a + x) f(a) = y f(a + x) = f(a) + y

ดงั นนั้ หาก x มีคา่ นอ้ ยมากๆ จะได้ y dy แต่ dy = f (x)dx ดงั นนั้

f(a + x) f(a) + f (a)dx

ต ย่ ง 1 จงใชค้ วามรูเ้ รอื่ งอนพุ นั ธ์ หาค่าโดยประมาณของ 5 33

ต ย่ ง 2 จงใชค้ วามรูเ้ รื่องอนพุ นั ธ์ หาค่าโดยประมาณของ ln10.2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |113

1. ปฏย นพนธ์ (Antiderivative)

เราไดศ้ กึ ษาวิธีการหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ท่กี าหนดใหไ้ ปแลว้ ในบทนี เราจะกลา่ วถึงการดาเนนิ การ
ท่ถี ือว่าเป็นการดาเนนิ การผกผนั ของอนพุ นั ธ์ กลา่ วคือ ถา้ กาหนดฟังกช์ นั f เราตอ้ งหาฟังกช์ นั F ท่มี ี
อนพุ นั ธเ์ ทา่ กบั f

บทนย ม 1 กาหนดฟังกช์ นั f จะเรยี กฟังกช์ นั F ว่า ปฏย นพนธ์ ของ f เม่อื

F (x) = f(x)

สาหรบั ทกุ x ในโดเมนของ f

จากนิยามจะพบความสมั พนั ธร์ ะว่างการดาเนินการ การหาอนพุ นั ธ์(derivative) และ
การหาปฏิยานพุ นั ธ(์ antiderivative) ดงั นี

กาหนด f(x) การหาอนพุ นั ธ์ หา f (x)

หา f(x) การหาปฏิยานพุ นั ธ์ กาหนด f (x)

ตว ย่ ง กาหนด f ดงั ตอ่ ไปนี จงหา F ท่เี ป็นปฏยิ านพุ นั ธข์ อง f

(1) f(x) = x2

(2) f(x) = 5 x3

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |114

2. นทกรล มจ่ กด ขต (Indefinite Integral)

ขนั ตอนการหาปฏยิ านพุ นั ธท์ ่ไี ดก้ ลา่ วไปแลว้ เราเรยี กว่า การอนิ ทเิ กรต(integration) เรยี กผลท่ไี ดว้ ่า
อินทิกรลั (intregral)หรอื ปรพิ นั ธ์ ซง่ึ มีฟังกช์ นั F(x) ท่เี ป็นปฎิยานพุ นั ธข์ อง f(x) ไดม้ ากมาย ต่างกนั เพยี งพจนค์ ่า
คงตวั เทา่ นนั น่นั คอื

ถา้ F(x) เป็นปฏยิ านพุ นั ธข์ อง f(x) แลว้ F(x) + C เป็นปฏยิ านพุ นั ธข์ อง f(x)
เราเรยี ก F(x) + C ท่เี ป็นรูปท่วั ไปของปฏยิ านพุ นั ธข์ อง f(x) ว่า อินทิกรลั ไม่จากดั เขตของ f(x) ดงั นิยาม

บทนย ม 2 กาหนดฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ท่มี โี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ
และ F(x) เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ F (x) = f(x) สาหรบั ทกุ ๆ x ในโดเมนของ f
อินทกิ รลั ไมจ่ ากดั เขตของ f(x) เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ f(x)dx ซง่ึ นยิ ามว่า
f(x)dx = F(x) + C เม่อื C เป็นคา่ คงตวั

สญั ลกั ษณ์ f(x)dx อ่านวา่ “ นทก (ป พนธ)์ จ่ กด ขตข ง f(x) ท บกบต ป x” หรอื อ่านว่า
“ นทก ข ง กซ์” และเรยี กสว่ นประกอบของ f(x)dx ดงั นี

(1) สญั ลกั ษณ์ เรียกว่า เครือ่ งหมาย “ นทกรล” (integral)
(2) สญั ลกั ษณ์ f(x) เรยี กวา่ “ตวถก นท กรต” (integrand)
(3) สญั ลกั ษณ์ dx เป็นสว่ นท่บี อกใหเ้ ราทราบว่า เป็นการอนิ ทิเกรตเทยี บกบั ตวั แปร x

ตรก ร นทกรล ม่จ กด ขต

ให้ k และ C เป็นค่าคงตวั

k du = ku + C

un du = un+1 + C , n 1
n+1
kf(u) du
= k f(u) du

[ f(u) g(u) ] du = f(u) du g(u) du

sin u du = cos u + C

cos u du = sin u + C
= tan u + C
sec2 u du = cot u + C
cos ec2u du = sec u + C

sec u tan u du

cosec u cot u du = cosec u + C

au du = au +C
ln a

eu du = eu + C

1 du = ln |u| + C ; u ≠ 0
u

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |115
ตว ย่ ง 1 จงหาอินทกิ รลั ไม่จากดั เขต ตอ่ ไปนี

(1) 1 dx (2) 7 dx

(3) 1 dx (4) 3 dx
2

(5) x dx (6) x2 dx

(7) x3dx 1

(8) x 2 dx

(9) x 2 dx 2

(10) x 3 dx

(11) 12x5 dx 1

(12) 3x 4 dx

(13) x3 x dx (14) 2 dx
x2 x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |116

(15) (3x2 x 2) dx

(16) (12x3 3x2 2x 4) dx

(17) ( 2 1 2) dx
x5/2 x1/5

(18) ( x x3 1 ) dx
2 3x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |117

(19) x2 3x 4 dx

(20) 2x 3 2 dx

(21) x4 6x2 7 dx
x4

(22) (1 x)2 dx
x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |118

(23) (1 + x)2 dx (24) ( x2 1 )(2x + 1) dx
x4

(25) ( cos x + sin x ) dx (26) ( ex + cos x) dx

(27) ( 1 + x) dx (28) ( x2 + 2x 3 ) dx
x x

(29) (e x + cos x sec 2 x) dx (30) ( 2x + 2 ) dx
x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |119

ค ม มพนธร์ ่ งก ร นทกรล มจ่ กด ขตกบก ร นพนธ์

f '(x) dx f(x) c

ตว ย่ ง 2 จงหาหาคาตอบแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี
(1) กาหนดให้ f (x) = 3x2 4x + 6 จงหา f(x) ท่ที าให้ f(1) = 7

(2) กาหนดให้ f (x) = 6x2 2x + 1 จงหา f(x) ท่ที าให้ f(2) = 3

(3) กาหนดให้ f (x) = 3x2 x 1 โดยท่ี f(1) = 0 จงหา f( 1)
2

(4) กาหนดให้ f (x) = 4x + 3 โดยท่ี f( 2) = 5 จงหา f(2)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |120
ตว ย่ ง 3 จงหาหาคาตอบแต่ละขอ้ ต่อไปนี

(1) กาหนด f (x) 4x 8 โดยท่ี f (1) = 0 และ f(2) 1 จงหา f( 1)

(2) กาหนด f (x) 6x2 10 โดยท่ี f (2) = 3 และ f(2) 1 จงหา f(1)

ตว ย่ ง 4 จงหาหาคาตอบแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี
(1) กาหนดให้ y = f(x) โดยท่ี f (x) 12x2 4 และจดุ (0, 1) เป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์
จงหา f(2)

(2) กาหนดใหค้ วามชนั ของ f เทา่ กบั 6x 2 และ f มีค่าต่าสดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั 7 ท่ี x = 1
จงหา f(0)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |121
ตว ย่ ง 5 กาหนดให้ f (x)=3ax2 2bx 2 เม่อื a, b เป็นจานวนจรงิ

ถา้ f(0) = 2 , f (1) = 5 และ f (0) = 12
จงหาสมการเสน้ สมั ผสั ของเสน้ โคง้ f ท่ี x = 1

ตว ย่ ง 6 กาหนดให้ f (x) x2 4x 3
ถา้ กราฟของ f ผา่ นจดุ (1, 7) จงหาค่าสงู สดุ สมั พนั ธ์ และต่าสดุ สมั พทั ธข์ อง f

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |122

ตว ย่ ง 7 กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ f (x) = 2x + 1

ถา้ คา่ สงู สดุ สมั พทั ธข์ อง f เท่ากบั 1 ท่ี x= 1 จงหาคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธข์ อง f
2

2

ตว ย่ ง 8 กาหนดให้ f (x) = 2x2 4x3 + 1 และ g(x) = 1 x2 ถา้ (fog)(1) = 1 จงหา f(x)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |123
ตว ย่ ง 9 กาหนด f(x) = (3x 2)2 dx และ g(x) = x4 + 2x จงหา g (2)

f '(x)

ตว ย่ ง 10 กาหนดให้ f(x) = 3x + 1 และ (fog) (x) = 3x2 + 1
ถา้ g(0) = 1 และ G (x) = g(x) จงหา G(1) G(0)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |124

ตว ย่ ง 11 กาหนดให้ f(x) = ax3 + bx2 + 2x – 2เม่อื a, b เป็นจานวนจรงิ
ถา้ f (1) = 5 และ f (0) = 12 จงหาสมการเสน้ สมั ผสั ของเสน้ โคง้ f ท่ี x = 0

ตว ย่ ง 12 ใหเ้ สน้ โคง้ ซง่ึ มีสมการ y = f(x) มีอตั ราการเปล่ียนแปลงของความชนั ของเสน้ โคง้ ท่ีจดุ ใด ๆ

เทา่ กบั x 2 และความชนั ของเสน้ โคง้ นีท่จี ดุ (2, 4 ) มีค่าเท่ากบั 3
3

ถา้ f มคี วามชนั ท่จี ดุ (a, b) เท่ากบั 11 จงหา a + b

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |125

ทคนคก ร นท กรต***

1. ก ร นท กรตด้วยก ร ทนค่ (Integration by Substitution)
เป็นเทคนิคการอินทิเกรตสาหรบั การหาอินทิกรลั ในรูปแบบ

f(g(x)) g '(x)dx

ซง่ึ มีสตู รดงั นี

f(g(x)) g '(x)dx = f(u) du

เม่อื u = g(x) และ du = g (x)dx
ตว ย่ ง 1 จงหาอนิ ทิกรลั ไม่จากดั เขต ต่อไปนี

(1) 2(2x 1)5 dx

(2) 3(2 3x) 2 dx

(3) (3x 2)4 dx

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |126

(4) x(1 + x 2 )10 dx

(5) 2x 1 dx

x3
(6) dx

x2 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |127

(7) (x3 x) x2 1 dx

(8) e2x dx

(9) cos 2x dx

(10) sin x cos 4 x dx

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |128
2. ก ร นท กรตทล ว่ น (Integration by Parts)

เป็นเทคนิคการอินทิเกรตสาหรบั การหาอนิ ทกิ รลั ในรูปแบบผลคณู ของฟังกช์ นั พชี คณิต
หรือฟังกช์ นั อดิสยั เชน่ x2 ln x dx , x ex dx เป็นตน้ ซง่ึ การหาอินทกิ รลั นไี มส่ ามารถหาโดยใช้
การอนิ ทิเกรตดว้ ยวิธีการแทนคา่ ได้

ซง่ึ มีสตู รดงั นี

u dv = uv v du

วิธีการอินทเิ กรตทีละสว่ นดว้ ยสตู รนี อาศยั กาจดั ตวั อนิ ทเิ กรตใหอ้ ย่ใู นรูปหน่งึ ท่ีจะช่วยให้
อนิ ทเิ กรตได้ โดยอาศยั การเลือก u และ dv ท่เี หมาะสม ใหน้ กั เรยี นสงั เกตการเลือก u และ dv จาก
ตวั อยา่ งประกอบ

ตว ย่ ง 2 จงหาอินทิกรลั ไม่จากดั เขต ตอ่ ไปนี (2) x ex dx

(1) ln x dx

(3) x 2 ex dx (4) x 2 ln x dx

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |129

3. ก ร นท กรตดว้ ยก ร ยก ว่ นย่ ย

(Integration by Method of Partial Fraction)

เป็นการอินทิเกรตฟังกช์ นั ตรรกยะโดยการทาใหเ้ ป็นเศษส่วนย่อย ซ่งึ ก่อนถึงตวั อย่างการหา

อนิ ทกิ รลั ดว้ ยวธิ ีนี จะใหห้ ลกั การ การแยกเศษสว่ นยอ่ ยของฟังกช์ นั ตรรกยะ ดงั นี

จาก F(x) = P(x) พจิ ารณา Q(x)
Q(x)

รป บบท 1 : ถา้ Q(x) แยกตวั ประกอบเป็นพหนุ ามดกี รีหนง่ึ ท่ไี ม่ซากนั

จะไดเ้ ศษสว่ นย่อยในรูป A เม่ือ A เป็นค่าคงตวั
ax + b

เชน่ 5x 3 = A B เม่อื A, B เป็นคา่ คงตวั
(x 1)(x + 2) x1 x2

รป บบท 2 : ถา้ Q(x) แยกตวั ประกอบเป็นพหนุ ามดีกรีหน่ึงท่ซี ากนั

จะไดเ้ ศษสว่ นย่อยในรูป A1 + A2 + ... + Ak
ax + b (ax + b)2 (ax + b)k

เม่อื A1, A2, , Ak เป็นคา่ คงตวั

เช่น x 3 = A1 A2 A3
(x 2)3 x2 (x 2)2 (x 2)3

เม่อื A1, A2, A3 เป็นคา่ คงตวั

รป บบท 3 : ถา้ Q(x) แยกตวั ประกอบเป็นพหนุ ามดีกรีสองท่ีไม่ซากนั

จะไดเ้ ศษสว่ นย่อยในรูป Ax + B เม่ือ A, B เป็นคา่ คงตวั
ax2 + bx + c
2x 3 A1x + B1 A2x B2
เชน่ + 1)(x2 = x2 +1 + x2 + +2
(x2 x + 2) x

เม่อื A1, A2, B1 และ B2 เป็นค่าคงตวั

รป บบท 4 : ถา้ Q(x) แยกตวั ประกอบเป็นพหนุ ามดีกรีสองท่ีไม่ซากนั

จะไดเ้ ศษสว่ นยอ่ ยในรูป

A1x + B1 + A2x + B2 + ... + Akx + Bk
ax2 + bx + x (ax2 + bx + x)2 (ax2 + bx + x)k

เม่อื A1, A2, , Ak และ B1, B2, , Bk เป็นคา่ คงตวั

เช่น 3x 4 = A1x + B1 + A2x + B2
(x2 + 1)2 x2 + 1 (x2 + 1)2

เม่อื A1, A2, B1 และ B2 เป็นค่าคงตวั

ม ย ต แต่ ณ ท่นี ี จะขอเสนอตวั อยา่ งท่ไี ม่อยากเกินไปสาหรบั ม.ปลาย ส่วนท่เี หลอื
สามารถศึกษาไดจ้ ากหนงั สอื แคลคลู สั เบอื งตน้ ในระดบั ปรญิ ญาตรไี ด้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |130

ตว ย่ ง 3 จงเขยี น 5x 1 ใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกของเศษสว่ นย่อย
x2 x 2

ตว ย่ ง 4 จงหาอินทกิ รลั ไม่จากดั เขต ต่อไปนี

(1) 3(x 2) 3) dx
x(x 1)(x

(2) x2 1 dx
5x 6

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |131

3. ก รปร ยกตข์ ง นทกรล มจ่ กด ขต

3.1 ก รปร ยกต์ กยวกบ รข คณต
กาหนดให้ y = f(x) เป็นสมการเสน้ โคง้ เราจะพบความสมั พนั ธร์ ะหว่างการหาอนพุ นั ธก์ บั

การหาอินทิกรลั ในเชงิ เรขาคณิต ดงั แผนภาพนี

สมการเสน้ โคง้ อนพุ นั ธ์ ความชนั ของเสน้ โคง้

ณ จดุ (x, y) บนเสน้ โคง้

f(x) อินทเิ กรต dy =f (x)
dx
บนเสน้ โคง้
ก ร มก ร ้น ค้ง ม ก นดคว มชน

กาหนด dy =f (x) อินทิเกรต อนพุ นั ธ์
dx

เขียนใหมไ่ ดเ้ ป็น dy = f (x) dx อตั ราการเปล่ยี นแปลงความชนั
อนิ ทเิ กรตทงั สองขา้ ง
จะไดส้ มการ dy = f (x) dx ของเสน้ โคง้ ณ จดุ (x, y)

y = f(x) + c ....(1)

ม ย ต : แตถ่ า้ โจทยก์ าหนดอตั ราการเปล่ียนแปลง บนเสน้ โคง้
ความชนั ของเสน้ โคง้ ก็หาความชนั ก่อนแลว้
จึงหา f(x) ดว้ ยวธิ ีการเดียวกนั d2y =f (x)
dx2

อย่างไรก็ตาม เน่ืองจากสมการ (1) ท่ไี ดอ้ อกมายงั ติดค่าคงท่ี c อยู่ หมายความว่ามีหลายเสน้
โคง้ ท่ใี หค้ วามชนั เทา่ กนั เราจะเรยี กสมการเสน้ โคง้ ท่ีไดจ้ ากการอินทเิ กรต จะเป็นสมการของ ระบบเสน้
โคง้ ไมใ่ ช่เป็นสมการของเสน้ โคง้ เสน้ หน่ึงสเนใดโดยเฉพาะ แต่สามารถหาสมการท่เี ฉพาะไดโ้ ดยการเพ่มิ
เง่อื นไขบางอยา่ งลงไป

ตว ย่ ง 1 จงหาสมการของระบบของเสน้ โคง้ ท่ีมีความชนั ณ จุด (x, y) ใดๆ เท่ากบั 2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |132
ตว ย่ ง 2 จงหาสมการเสน้ โคง้ ตามเง่ือนต่อไปนี

(1) เสน้ โคง้ ท่ีมคี วามชนั ณ จดุ (x, y) ใดๆ เท่ากบั 2x และผา่ นจดุ ( 1, 2)

(2) เสน้ โคง้ ท่ีมีความชนั ณ จดุ (x, y) ใดๆ เทา่ กบั 5 x และผา่ นจดุ (2, 1)
y 3

ตว ย่ ง 3 กาหนดให้ y = f(x) เป็นเสน้ โคง้ ท่ีมีความชนั ณ จดุ (x, y)ใดๆ เท่ากบั kx3 10x + 6

เม่อื k เป็นคา่ คงท่ี โดยท่เี สน้ สมั ผสั ของเสน้ โคง้ นีท่จี ดุ (1, 3) ขนานกนั แกน x

จงหา (1) f( 1) (2) จงหาจดุ สงู สดุ สมั พทั ธแ์ ละต่าสดุ สมั พทั ธ์ (ถา้ ม)ี

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |133
ตว ย่ ง 4 กาหนดให้ y = f(x) เป็นเสน้ โคง้ มีอตั ราการเปลี่ยนแปลงของความชนั ของเสน้ โคง้ ท่จี ดุ ใดๆ

เท่ากบั 2 และความชนั ของเสน้ โคง้ ท่ีจดุ (1, 4) มคี า่ เทา่ กบั 4 จงหา
(1) สมการของเสน้ โคง้
(2) สมการเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่ีจดุ ว่งึ เสน้ โคง้ นีตดั กบั เสน้ ตรง x = 2

ตว ย่ ง 5 กาหนดให้ R แทนเซตจานวนจรงิ ถา้ f : R R เป็นฟังกช์ นั โดยท่ี

f (x) 6x 4 สาหรบั จานวนจรงิ x และความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x)

ท่จี ดุ (2, 19) เทา่ กบั 19 แลว้ คา่ ของ f(1) เทา่ กบั เท่าใด [PAT1: 6 มี.ค. 2553]

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |134
3.2 ก รปร ยกต์ กยวกบก ร คล นท

ในเรือ่ งอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั เราไดก้ ลา่ ถงึ การเคลอ่ื นท่ขี องวตั ถใุ นแนวเสน้ ตรง โดยกลา่ วถงึ
การหาความเร็ว ความเรง่ จากการหาอนพุ นั ธข์ องสมการของการเคล่ือนท่ี และเน่ืองจากการอนิ ทเิ กรตเป็น
การดาเนินการท่ตี รงขา้ มกบั การหาอนพุ นั ธ์ ดงั นนั ถา้ กาหนดความเรง่ เราสามารถหาความเรว็ ได้ และถา้
กาหนดความเรว็ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนท่ไี ด้ ดงั แผนภาพ

ก ร นพนธ์ ก ร นท กรต
สมการการเคล่อื นท่ี s(t) ความเรง่ a(t)

ความเรว็ v(t) ความเรว็ v(t)

ความเรง่ a(t) สมการการเคลือ่ นท่ี s(t)

ตว ย่ ง 1 วตั ถุอนั หน่ึงเคล่ือนท่ตี ามแนวเสน้ ตรง โดยมีความเรง่ ในขณะเวลา t วินาที เท่ากบั

a(t) = 120t 12 t2 ; t [0, 10]

และขณะท่ีเรม่ิ ตน้ จบั เวลา วตั ถเุ คลื่อนท่ีดว้ ยความเรว็ 0 เมตร/วนิ าที และไดร้ ะยะทาง 4 เมตร
จงหา (1) ความเรว็ ของวตั ถุ เม่อื t = 10 วินาที (2) ระยะทางเม่อื t = 5

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |135
ตว ย่ ง 2 ถา้ ปล่อยวตั ถชุ ินหนึ่งใหต้ กลงมาในแนวดิ่งจากยอดตกึ ซง่ึ สงู 100 เมตร เหนอื พนื ดิน และให้

s(t) แทนระยะทางท่ีวตั ถอุ ย่หู ่างจากยอดตกึ ในขณะเวลา t และ v(t) แทนความเรว็ ของ
วตั ถใุ นขณะเวลา t จงหา

(1) v(t)
(2) a(t)

(3) ความเรว็ ของวตั ถใุ นขณะกระทบพืนดนิ

ตว ย่ ง 3 ถา้ ปล่อยวตั ถชุ ินหนงึ่ ใหต้ กลงมาในแนวดิ่งจากยอดตกึ ซ่งึ สงู 100 เมตร เหนือพนื ดิน และให้
s(t) แทนระยะทางท่ีวตั ถอุ ย่หู ่างจากพนื ดินในขณะเวลา t และ v(t) แทนความเรว็ ของ
วตั ถใุ นขณะเวลา t จงหา

(1) v(t)
(2) a(t)

(3) ความเรว็ ของวตั ถใุ นขณะกระทบพืนดนิ

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |136
ตว ย่ ง 4 ถา้ ขวา้ งวตั ถชุ ินหน่ึงลงมาตามแนวดงิ่ จากลกู บอลลนู ซง่ึ อยสู่ งู จากพนื ดนิ 117.6 เมตร

ดว้ ยความเรว็ ตน้ 49 เมตร/วนิ าที จงหา
(1) ความเรว็ ของวตั ถใุ นขณะเวลา t
(2) ระยะทางท่วี ตั ถอุ ย่หู ่างจากพืนดนิ ในขณะเวลา t
(3) ความเรว็ ของวตั ถใุ นขณะกระทบพืนดิน

ตว ย่ ง 5 โยนวตั ถชุ ินขึนไปในอากาศ ในแนวด่งิ ดว้ ยความเรว็ ตน้ 98 เมตร/วินาที จงหา
(1) สมการการเคลือ่ นท่ขี องวตั ถุ
(2) วตั ถขุ ึนไปสงู สดุ เม่อื เวลาเทา่ ใด
(3) ระยะทางสงู สดุ ท่วี ตั ถขุ นึ ไปได้
(4) เม่อื เวลาใดท่วี ตั ถอุ ยสู่ งู 249.9 เมตร จากจดุ เรม่ิ ตน้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |137

4. นทกรลจ กด ขต (Definite Integral)

ในหวั ขอ้ นเี ราจะกลา่ วถึงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งอินทกิ รลั และพนื ท่ใี ตก้ ราฟ ใหน้ กั เรียนพิจารณา
ตวั อยา่ งต่อไปนี
ตว ย่ ง จงหาพืนท่ขี องอาณาบรเิ วณซง่ึ ลอ้ มรอบดว้ ยกราฟ y = 1 x2 แกน X

y

x
0

จากกระบวนท่แี สดงในตวั อย่างขา้ งตน้ สรุปกระบวนการไดด้ งั นี
กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) ซ่งึ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วงปิด [a, b]

ขนท 1 แบง่ ชว่ งปิด [a, b] ออกเป็น n ช่วงยอ่ ย ท่มี ีความกวา้ งเท่าๆกนั เท่ากบั x = bna

โดยใหม้ จี ดุ แบง่ อย่ทู ่ี a = x0 x1 x2 ... xn = b

ขนท 2 เลอื กค่า x*i ในแตล่ ะช่วงปิด [xi 1, xi] เม่อื i = 1, 2, 3, ... n
ขนท 3
แลว้ ผลบวก Sn = n f(x*i ) xi
i=1

หาลมิ ิต lim Sn

n

ค่า lim Sn ท่ไี ดเ้ รียกว่าอนิ ทกิ รลั จากดั เขต(definite integral) ของฟังกช์ นั f บนช่วงปิด [a, b]

n

ดงั นยิ ามต่อไปนี

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |138

นย ม 3. อนิ ทกิ รลั จากดั เขต(definite integral)
กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) ซง่ึ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งบนช่วงปิด [a, b]

ถา้ ค่าลิมติ ของ lim n f(x*i ) xi หาค่าได้ แทนคา่ ดว้ ย b f(x)dx
i=1
n a

ดงั นนั lim n f(x*i ) xi = b f(x)dx
i=1 a
n

เรียก b f(x)dx ว่าอินทกิ รลั จากดั เขตของ f จาก a ถึง b
a

โดยเรียก a และ b ว่า ลมิ ิตลา่ ง และ ลิมติ บน ของการอนิ ทิกรลั ตามลาดบั

การหาอนิ ทกิ รลั จากดั เขตในบทนยิ ามขา้ งตน้ นีอาจเรียกว่า รมี นั นอ์ นิ ทิกรลั (Riemann Integral)
เพ่อื เป็นเกียรติใหก้ บั นกั คณิตศาสตรช์ าวเยอรมนั ท่ชี ่ือวา่ Bernhard Riemann ซ่วึ เป็นผสู้ รา้ งมโนมติ ิพนื ฐาน
เกี่ยวกบั การอินทิกรลั จากดั เขต ตอ่ ไปเป็นทฤษฎีบทท่จี ะช่วยในการหาอินทกิ รลั จากดั เขตไดง้ า่ ยขึน

ทฤ ฎบท ลกมลข ง คลคล (Fundamental Theorem of Calculus)

กาหนดให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a, b]

ถา้ F(x) เป็นฟังกช์ นั บนช่วง [a, b] โดยท่ี F (x) = f(x) แลว้

b f(x)dx = F(b) F(a)

a

ใชส้ ญั ลกั ษณ์ bb = F(b) F(a)
f(x)dx = F(x) a
a

มบตบ งปร ก รข ง นทกรลจ กด ขต

กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนชว่ ง [a, b] และ k เป็นคา่ คงตวั

b ba

1. f(x) dx หาคา่ ไดเ้ สมอ 2. f(x) dx = f(x) dx

a ab
a bb

3. f(x) dx = 0 4. kf(x) dx = k f(x) dx

a a a
b cb

5. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

a ac
b

6. ถา้ f(x) 0 สาหรบั ทกุ x [a, b] แลว้ f(x) dx 0

a
b

ถา้ f(x) 0 สาหรบั ทกุ x [a, b] แลว้ f(x) dx 0

a

7. จะมจี านวน c [a, b] ซง่ึ ทาให้ b f(x)dx = f(c)(b a)
a

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |139

ตว ย่ ง 1 จงหาอนิ ทิกรลั จากดั เขต ต่อไปนี

(1) 3 2x 3dx (2) 1(8x 3 + 6x 2 + 1) dx

1 0

(3) 1(3x 4)2 dx (4) 1 x(1 x )2 dx

2 0

(5) 1( 1 1 )dx (6) 2 1 (x 3 + 1 )2 dx
x2 x3 1 x2 x3
3

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |140

(7) ln 2 e2xdx (8) /2 cos 5x dx
/2
0

(9) 1 3x2 x3 + 1 dx (10) 1 x3 dx
0 x4 + 9
1

ตว ย่ ง 2 จงหาค่าของ 3 f(x)dx เม่อื กาหนดให้ f(x) = 3 x ; 1 x
1 x 1 ; 2 x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |141
ตว ย่ ง 3 จงหาค่าของ 3 | x 1 | dx

2

ตว ย่ ง 4 ถา้ a เป็นจานวนจรงิ ท่ีสอดคลอ้ งกบั 2 x2 )dx 2 4 x2 dx

a(4 2

2

แลว้ sin(4a) เท่ากบั เทา่ ใด

ตว ย่ ง 5 ถา้ f (x) 3x2 x 5 และ f(0) = 1 แลว้ 1 มีค่าเทา่ ใด

f(x)dx

1

[PAT1: 11ก.ค. 2552]

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |142

ตว ย่ ง 6 ถา้ f (x) x2 1 และ 1 0 แลว้ | f(1) | มีค่าเทา่ กบั เท่าใด

f(x)dx

0

[PAT1: 10 ต.ค. 2552]

ตว ย่ ง 7 กาหนดให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามกาลงั สอง ถา้ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x)

2 12 แลว้ f( 1) f ( 1) มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด
[PAT1: 3 ก.ค. 2553]
ท่จี ดุ (1, 2) มีคา่ เทา่ กบั 4 และ f(x)dx

1

ตว ย่ ง 8 ถา้ an = 2 1 dx เม่อื n เป็นจานวนเต็มบวก จงหาผลบวกของอนกุ รม (1 2n)an
0 x2n
n =1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |143
ตว ย่ ง 9 ให้ f เป็นฟังกช์ นั พหนุ าม ถา้ x 1 และ x 3 หาร f(x) เหลอื เศษ 1 และ 2 ตามลาดบั

แลว้ 3 3x2 f(x) (x3 1)f (x) dx เทา่ กบั เทา่ ใด

1

ตว ย่ ง 10 ให้ f เป็นฟังกช์ นั พหนุ าม ถา้ กราฟของ y = f(x) ตดั กบั กราฟของ y = x2 1

ท่ี x = 2 และ x = 4 แลว้ 4 x 1 f (x) x 2f(x) dx เท่ากบั เท่าใด

2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |144

5. พนททปดล้ มดว้ ย น้ คง้

บทนย ม 4 กาหนดฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ท่ีตอ่ เน่อื งภายในช่วงปิด [a, b]
บร วณทปดล้ มด้วย น้ ค้งข ง f จ ก x = a ถง x = b หมายถงึ
บรเิ วณท่ลี อ้ มรอบดว้ ยกราฟของ f แกน x เสน้ ตรง x = a และ x = b

จากสมบตั ิของการหาอินทกิ รลั จากดั เขตท่ไี ดก้ ลา่ วไปแลว้ เราจะแยกการหาพืนท่ที ่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้

โคง้ ออกเป็น 2 กรณี ดงั นี Y

1. ถา้ f(x) 0 สาหรบั ทกุ x [a, b] y = f(x) A

b 0a b X

แลว้ A เป็นพืนท่เี หนือแกน X และ A = f(x) dx

a

2. ถา้ f(x) 0 สาหรบั ทกุ x [a, b] Y y = f(x)
X
b ab

แลว้ A เป็นพืนท่ใี ตแ้ กน X และ A = f(x) dx A0

a

บทนย ม 5 กาหนดฟังกช์ นั f และ g เป็นฟังกช์ นั ท่ตี ่อเน่ืองภายในช่วงปิด [a, b]
บร วณทปดล้ มดว้ ย น้ คง้ ข ง f ล g จ ก x = a ถง x = b
หมายถึง บรเิ วณท่ลี อ้ มรอบดว้ ยกราฟของ f และ g เสน้ ตรง x = a และ x = b

การหาพืนท่ขี องบรเิ วณดงั กล่าว ขนึ อย่กู บั ลกั ษณะของกราฟ f และ g วา่ กราฟของฟังกช์ นั ใดอยู่
สงู กวา่ ซง่ึ สรุปสตู รวธิ ีการหาไดด้ งั นี

กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ท่ตี อ่ เน่อื งภายในช่วงปิด [a, b] และ f(x) g(x) สาหรบั ทกุ

x [a, b]

ถา้ A แทนดว้ ยพนื ท่ขี องบรเิ วณท่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ f และ g จาก x = a ถึง x = b แลว้

Y
y = g(x)

A= b [f(x) g(x)] dx y = f(x)
a
0 a Ab X

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |145
ตว ย่ ง 1 ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี จงหาพนื ท่แี รเงา

(1) y

2

2 2x
0 y = 4 x2

(2)
y

y = x3 1

20 x
1

1

(3) y = x3 3x2 + 2x
y x

0 12

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |146

(4)
y

( 1, 3)

2 x

01

y=2 x
y = 1 x2

y
(5)

( 1,1) y = x2
y = x +2

(2, 4)

x

0

(6) y y = x3

y = x3

0 x
1
1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |147
ตว ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั f จานวนจริง a และ b ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี

จงหาพนื ท่ที ่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ ของ f จาก x = a ถงึ x = b

(1) f(x) = 4x2 + 1 ; a = 1 ; b = 2

(2) f(x) = x2 25 ; a = 2 ; b = 1

(3) f(x) = 6 + x x 2 ; a = 3 ; b = 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |148

(4) f(x) = (x 1) 3 ; a = 1 ; b = 2

(5) f(x) = cos x ; a = 4 ; b = 4

(6) f(x) = x3 6x2 + 8x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |149
ตว ย่ ง 3 จงหาพนื ท่ใี นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี

(1) พนื ท่ที ่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ f(x) = 3x และ g(x) = x2 จาก x = 0 ถงึ x = 2

(2) พนื ท่ขี องบรเิ วณท่ปี ิดลอ้ มดว้ ยสน้ โคง้ y = x2 และเสน้ โคง้ y = x

(3) พนื ท่ขี องบรเิ วณท่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ y = x 3 และ y = x