เอกสารประกอบการเรียนแคลคูลัสเบื้องต้น

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |150
(4) พนื ท่ขี องบรเิ วณท่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ f(x) = sin x และ g(x) = cos x
จาก x = 0 ถึง x = 2

(5) พนื ท่ขี องบรเิ วณท่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ y = x 3 และ เสน้ ตรง y = x + 6
และ 2y + x = 0

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |151
ตว ย่ ง 4 กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [0, 5] มกี ราฟดงั รูป

โดยพนื ท่ีปิดลอ้ มดว้ ยกราฟของ f และแกน x บนชว่ ง [0, 2] เท่ากบั 8 ตารางหนว่ ย
พนื ท่ที ่ีปิดลอ้ มดว้ ยกราฟของ f และแกน x บนชว่ ง [2, 5] เทา่ กบั 15 ตารางหน่วย

และ F เป็นฟังกช์ นั บนชว่ ง [0, 5] โดยท่ี F (x) = f(x)
ถา้ F(0) = 10 จงหาค่าของ F(2) และ F(5)

y

02 x
5

ตว ย่ ง 5 กาหนดให้ A แทนพืนท่ีของอาณาบรเิ วณท่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ y = 1 x2 และแกน x

B แทนพืนท่ขี องอาณาบรเิ วณท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ y x2 เหนือแกน x จาก x = c ถึง x = c
4

จงหาคา่ c ท่ที าให้ A = B [PAT1 7 ม.ี ค. 2552]

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |152
ต ย่ ง 2 ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ มีกราฟ ดงั รูป

Y พนื ท่ี 12 ตารางหนว่ ย

พนื ท่ี 4 ตารางหนว่ ย

01 3X

จงหาคา่ ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี 3 y f(x)

3 (2) f(x) dx 3

(1) f(x) dx 0 (3) f(x) f(x) dx

0 0

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |153

6. ปรม ตรข งทรงตนท กดจ กก ร มน(Volume of Solid of Revolution)

เม่อื หมนุ บรเิ วณบนระนาบรอบเสน้ ตรงจะไดร้ ูปทรงสามมิตซิ ง่ึ เรียกวา่ ทรงตนั ท่เี กิดจากการหมนุ
ซ่งึ มสี องวธิ ีในการหาปรมิ าตร ดงั นี

Disk method :

มนร น บทปดล้ มดว้ ย มนร น บทปดล้ มดว้ ย

y = f(x) , x = a , x = b และ y = 0 y = f(x) , y = c , y = d และ x = 0

ปรมิ าตร V b ปรมิ าตร V d

Y y2dx x2dy

a c

y = f(x) Y

d y = f(x)

a f(x) … bX ...
0
x

y

x cX
0

มนร น บทปดล้ มดว้ ย Shell method :
y = f(x) , x = a , x = b และ y = 0
มนร น บทปดล้ มดว้ ย
b y = f(x) , y = c , y = d และ x = 0

ปรมิ าตร V 2 xy dx d

a ปรมิ าตร V 2 yx dy

Y c

Y

X
X

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |154
ตว ย่ ง 1 จงหาปรมิ าตรของทรงสามมิติอนั เกิดจากการหมนุ รอบแกน x ของบรเิ วณท่ีลอ้ มรอบเสน้ โคง้

y = x2 2x 3 กบั แกน x

ตว ย่ ง 2 จงหาปรมิ าตรของทรงสามมติ ิอนั เกิดจากการหมนุ รอบแกน y ของบรเิ วณท่ีลอ้ มรอบเสน้ โคง้
y2 8x และเสน้ ตรง y = 4, y = 4 และแกน y

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |155
ตว ย่ ง 3 จงหาปรมิ าตรของทรงสามมติ ิอนั เกิดจากการหมนุ รอบเสน้ ตรง y = 6 ของบรเิ วณท่ี

ลอ้ มรอบเสน้ โคง้ y 4x x2 และแกน x

ตว ย่ ง 4 จงหาปรมิ าตรของทรงสามมติ ิอนั เกิดจากการหมนุ รอบแกน x ของบรเิ วณท่ลี อ้ มรอบเสน้ โคง้
y = x2 กบั แกน y = x + 2