เอกสารประกอบการเรียนแคลคูลัสเบื้องต้น

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |50
ตว ย่ ง 6 กาหนดฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ท่ตี ่อเน่อื งบน

(1) ถา้ f(0) = 1 และ f (0) 1 จงหา lim xf(x) x
2
x 0 4 1 + x2 1

(2) ถา้ f( 2) = 1 และ lim xf(x) x f(x) 3 5 จงหา f ( 2)
3x 2
x2 x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |51

2.2 คว มต่ น งข งฟงกช์ นทม นพนธ์

เม่อื x c พจิ ารณา lim(f(x) f(c)) lim f(x) f(c) (x c)
xc xc x c

lim f(x) f(c) lim(x c)
xc x c xc
f (c) 0

0

ดงั นนั lim f(x) f (c)
xc

น่นั คือ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งท่ี x = c

ทฤ ฎบท 1 : ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ดท้ ่ี x = c แลว้ f จะเป็นฟังกช์ นั ท่ตี ่อเน่ืองท่ี x = c

ม ย ต จากทฤษฎบี ท 1 เราจะไดว้ า่
ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ท่ไี ม่ตอ่ เน่ืองท่ี x = c แลว้ f จะเป็นฟังกช์ นั ท่ไี ม่มีอนพุ นั ธไ์ ดท้ ่ี x = c

ต ย่ ง 7 จงหาคา่ c ท่ที าใหฟ้ ังกช์ นั ท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้ ไม่สามารถหาอนพุ นั ธไ์ ดท้ ่ี x = c

x3 (2) g(x) = 3x2 + 1 ; x 1
(1) f(x) = x2 5x 4 3x + 1 ; x 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |52
ตว ย่ ง 8 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = |x – 1| จงพิจารณา

(1) f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = 1 หรอื ไม่ (2) f เป็นฟังกช์ นั ท่มี ีอนพุ นั ธท์ ่ี x = 1 หรอื ไม่

ลก ณ กร ฟข งฟงกช์ น ณ จดทม นพนธ์

ความหมายทางเรขาคณิตของฟังกช์ นั f ท่มี อี นพุ นั ธท์ ่ี x = c จะแสดงไดด้ ว้ ยกราฟของ f ท่จี ดุ (c, f(c)) เป็น

เสน้ โคง้ ราบเรียบ ดงั นนั ถา้ เสน้ โคง้ หกั มมุ แหลม ณ จดุ ใด เราจะไดว้ ่า f จะไม่มีอนพุ นั ธท์ จ่ี ดุ นนั ดงั เชน่ ตวั อยา่ ง

ท่ไี ดท้ าไปแลว้ และดงั รูปท่แี สดงดา้ นลา่ ง

yy

(c, f(c)) (c, f(c))

y = f(x) y = f(x)

x x

0c 0c

f มีอนพุ นั ธท์ ่ี x = c f ไม่มอี นพุ นั ธท์ ่ี x = c

ต ย่ ง 9 จงหาค่า c ท่ที าใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = | x2 1| ไม่สามารถหาอนพุ นั ธไ์ ดท้ ่ี x = c

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |53

3. ก ร นพนธ์ ดย ช้ ตร

ก ร นพนธข์ งฟงกช์ นพ น ม

1. ถา้ f(x) = a เม่อื a เป็นคา่ คงตวั จะได้ f (x) d (a) 0
dx

2. ถา้ f(x) = xn เม่อื n เป็นจานวนจรงิ จะได้ f (x) d (xn) nxn 1
dx

ก ร นพนธข์ งฟงกช์ นตร กณมต

4. d (sin x) = cos x
dx

5. d (cos x) = sin x
dx

6. d (tan x) = sec2 x เม่อื x (2n 1) ,n
dx 2

7. d (cot x) = cosec2 x เม่อื x n , n
dx

8. d (sec x) = sec x tan x เม่อื x (2n 1) ,n
dx 2

9. d (cos ec x) = cosce x cot x เม่อื x n , n
dx

ก ร นพนธข์ งฟงกช์ นล ก รทม ล กซ์ พ นน ชยล

10. d (ax) = ax ln a 11. d (ex) ex
dx dx

12. d (loga x) = 1 loga e = 1 13. d (ln x) = 1
dx x x ln a dx x

ก ร นพนธข์ งพชคณตข งฟงกช์ น
กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ท่มี ีอนพุ นั ธท์ ่ี x และ c เป็นคา่ คงตวั จะได้

14. d (cf(x)) c d (f(x))
dx dx

15. d (f(x) g(x)) d (f(x)) d (g(x))
dx dx dx

16. d (f(x)g(x)) f(x) d (g(x)) g(x) d (f(x))
dx dx dx

17. d f(x) g(x) d (f(x)) f(x) d (g(x)) โดยท่ี g(x) 0
dx g(x) dx dx
(g(x))2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |54
ก ร นพนธข์ งฟงกช์ นปร ก บ

18. (กฎลก ซ่ : Chain Rule) ถา้ y = g(u) และ u = f(x) โดย g (u) และ f (x) หาค่าได้

จะได้ dy d (g(u)) d (f(x))
dx du dx
หรือ dy dy du

dx du dx

น่นั คือ (gof) (x) = g (f(x)) f (x)

19. ถา้ y = (f(x))n เม่อื n และ f (x) หาคา่ ได้ จะได้ dy n f(x) n 1 f (x)
dx

ก ร นพนธข์ ง น ร์ ฟงกช์ น

20. ถา้ f เป็นฟังกช์ นั หนึง่ ตอ่ หนึ่งและหาอนพุ นั ธไ์ ดท้ ่ี x โดยมี g เป็นฟังกช์ นั ผกผนั (g = f 1)

และ f g(x) 0 แลว้ g จะมอี นพุ นั ธท์ ่ี x และจะได้ g (x) 1
f (g(x))

น่นั คือ dy 1
dx dx
dy

ต ย่ ง 1 จงหา dy หรอื f (x) ของฟังกช์ นั ท่กี าหนดใหต้ ่อไปนี้
dx

(1) f(x) = 9 (2) f(x) = x7

5 (4) f(x) = x 3

(3) y = x3

(5) f(x) = 1 (6) y = 3 x
x2 (8) f(x) = 3x5

(7) y = 2x5

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |55

ต ย่ ง 2 จงหา dy หรือ f (x) และ f (a) ของฟังกช์ นั ท่กี าหนดใหต้ ่อไปนี้

dx

1. y = 2x3 3x2 2 ; a = 2 2. f(x) = 2x3 – x2 – 3x 1 ; a = 3

3. y =2 + 1 3;a= 1 4. f(x) = 1 3 ;a = 1
x3 x2 x 2x3 4x2

5. f(x) = 3 x2 1 1 x x ;a 4

;a=1 6. y =

x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |56

ต ย่ ง 3 : นพนธข์ งผลคณข งฟงกช์ น จงหา dy หรือ f (x)

dx

(1) y = (3x 5)(2x + 3)

(2) f(x) = (x2 2x)(5 2x)

(3) y = (x2 + 3x)(x2 2x)

(4) y = 2(3x x3)(3 x2)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |57

ต ย่ ง 4 : นพนธข์ งผล รข งฟงกช์ น จงหา dy หรือ f (x)

dx

(1) y= 1 5
7x

(2) y= 8x 5
2x 1

(3) f(x) = 3x2 2x
4x 3

(4) f(x) = 3x2 1
5x + 2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |58
ต ย่ ง 5 : นพนธข์ งฟงกช์ นปร ก บ จงหา dy หรือ f (x) ของฟังกช์ นั ท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้

dx
(1) f(x) = (3x 5)3

(2) y =(2x3 3x)4

(3) f(x) = (2x2 x + 2)5

(4) y = x 3x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |59

(5) y = (3x + 4x2) 3

(6) f(x) = 1

(3x 5)3

(7) f(x) = 3x2 1 1
x

(8) f(x) = 1
3 1 6x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |60

4

(9) f(x) = 3x+1 5

(10) f(x) = 3x (3x 2)3

(11) y = (2x2 1)3
x2 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |61
ต ย่ ง 6 จงหา dy หรือ f (x) และ f (a) ของฟังกช์ นั ท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้ (ฟงก์ชนตร กณมต)

dx

(1) f(x) = 2sin x ; a = 2 (2) y = cos x ; a = 4

(3) f(x) = tan x ; a = 6 (4) y = sin x cos x ; a = 3

(5) f(x) sin x ; a 2
1 cos x

(6) f(x) = sin(3x) ; a 9

(7) y = cos(1 x2) ; a = 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |62

(8) y = 3 cos2(x) ; a 0

(9) y = tan2(x)
(10) y = sin2(3x 1)

(11) f(x) = cos2(1 x2)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |63

ต ย่ ง 7 จงหา dy หรอื f (x) และ f (a) ของฟังกช์ นั ท่กี าหนดใหต้ ่อไปนี้ (expo/log)

dx

(1) f(x) = 2x ; a = 4 (2) y = 4 ex ; a = 0

(3) f(x) = log2 x ; a = 2 (4) y = ln x ; a = 1

(5) f(x) = x ex (6) y = e(2x 1)

(7) f(x) = ln x2 1 (8) y = ln 1 sin2 x

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |64
ต ย่ ง 8 กาหนดให้ f(2) = 3, f (2) 4 , g(2) = 1 และ g (2) 5 จงหาคาตอบต่อไปนี้

(1) ถา้ h(x) = 5f(x) + f(x)g(x) จงหา h (2)

(2) ถา้ y = x f(x) g(x) จงหา dy
dx x 2

(3) ถา้ h(x) = 2x2 g(x) จงหา h (2)

f(x)

(4) ถา้ h(x) = f(3x 1) 3g(x2 1) จงหา h (1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |65
ต ย่ ง 9 จง ช้กฎลก ซค่ านวณหาอนพุ นั ธ์ ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้

(1) f(x) = x4 2x2 , g(x) = x2 + 5 จงหา (fog) (x)

(2) f(x) = 1 + x2 , g(x) = 1 + x3 จงหา (gof) (x)
x2

(3) f(2x 3) = x2 5 , g(x) = 2x + 1 จงหา (fog) (x)

ต ย่ ง 10 จง ช้กฎลก ซค่ านวณหา dy ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
dx

(1) y = (1 2u)3 และ u = x2 x

(2) y = w3 + 2w 1 , w = u2 1 และ u = 2x + 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |66
ต ย่ ง 11 จงหาค่าตอ่ ไปนี้ ( นวขอ้ สอบต่ ง )

(1) กาหนดให้ f(x) = x2 2|x| และ g(x) = x2 + 1 จงหาคา่ (g f)'( 2) + (f g)'(2)

(2) กาหนดให้ f(x) = 3x + 1 ถา้ g เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ (f g)(x) = x2 + 1 ทกุ x ℝ
จงหา f (1) + g (1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |67
(3) ให้ f : R R , g : R R และ h : R R เป็นฟังกช์ นั ท่มี ีอนพุ นั ธท์ กุ อนั ดบั

โดยท่ี h(x) = x2 + 4 , g(x) = h(f(x) 1) และ f (1) = g (1) = 1

จงหาคา่ ของ f(1) (PAT1 มนี าคม 2555)

(4) ถา้ xf(2x + 1) = 4x3 + g(x) และ f( 1) = 1, f ( 1) = 1, g(1) = 9, g (1) = 15
จงหา (f g) ( 1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |68
(5) กาหนดให้ h(x) = (fog)(x) และ g(3) = 6, g (3) = 4, f (3) = 2 และ f (6) = 7
จงหา h (3)

(6) ถา้ (g f)(x) f(x) = x2 2x , f(0) = 1 และ g (x) 1 ทกุ ๆ x R
จงหา (f g) (1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |69
(7) กาหนดให้ f, g, h มสี มบตั วิ ่า

(f g)(x) = 3x 14, f x+6 =x 2, h(2x 1) = 6g(x) +12
3

แลว้ ค่าของ h (0) เทา่ กบั เท่าใด (PAT1 : ธ.ค. 2554)

(8) กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั พหนุ าม โดยท่ี (f(x))2 + f(x) = g(x) + x + 2 และ
g (x) = 2 f(x) f (x) โดยท่ี f(0) = 1 จงหา (f g) (0)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |70

ต ย่ ง 12 (อนพนธ์ของอน วอร์สฟงกช์ น)

(1) กาหนด x = y2 + 3y จงหา dy
dx

(2) กาหนด f(x) x3 x 2 และให้ g เป็นฟังกช์ นั ผกผนั ของ f จงหา g (0)

(3) ถา้ f(x) = x + 1 และ g(x) = x และ F(x) = (f g)(x) เม่อื x 1
จงหา (F 1) (2)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |71

4. ก ร นพนธ์ ดยปรย ย***

ฟังกช์ นั รูป y = f(x) ซง่ึ เรยี กว่า ฟงกช์ น ดยชด จ้ง (explicit function)
เชน่ x2 + y2 = 1 ; xy = 2 ; y2 = x ; x2 + xy + y2 = 0
สมการเหลา่ นไี้ ม่ไดเ้ ขียน y ในเทอมของ x อยา่ งชดั แจง้ เรียกฟังกช์ นั นวี้ า่ ฟงกช์ น ดยปรย ย
(implicit function) เราจะมวี ธิ ีการหา dy ดงั นี้

dx

กาหนดฟังกช์ นั f(x, y) = C เม่อื C เป็นคา่ คงท่ี และ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ด้ การ

หา dy ดาเนนิ การดงั นี้

dx

(1) หาอนพุ นั ธท์ งั้ สองขา้ งเทยี บกบั ตวั แปร x จะได้

d (f(x, y)) d [C]
dx dx
d
dx (f(x, y)) 0

(2) การหา d (f(x, y)) มวี ิธีการและใชส้ ตู รการหาอนพุ นั ธเ์ ชน่ เดียวกบั ท่ีกลา่ วมาแลว้ และ

dx

เน่อื งจาก y เป็นฟังกช์ นั ของ x ดงั นนั้ การหาอนพุ นั ธพ์ จนท์ ่เี ป็นตวั แปร y ตอ้ งใชก้ ฏลก ซ่

เชน่ d (y2) จะมีลกั ษณะเหมือนกบั d (g(x)2) เม่อื y = g(x)

dx dx
ดงั นนั้ d (y2) 2y dy
dy
dx dx dx

(3) เขียนสมการท่ไี ดจ้ ากขนั้ (2) ใหม่เพ่อื หา

ต ย่ ง 1 จงหา dy จากท่กี าหนดให้ y เป็นฟังกช์ นั ของ x ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ด้ ซง่ึ สอดคลอ้ งกบั สมการ
dx

ดงั ตอ่ ไปนี้

(1) x2 + y2 = 1 (2) xy = 2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |72

ต ย่ ง 2 จงหา dy จากท่กี าหนดให้ y เป็นฟังกช์ นั ของ x ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ดซ้ ง่ึ สอดคลอ้ งกบั สมการ
dx
P

และ P ดงั ตอ่ ไปนี้

(1) x2 + y2 + 2x = 3 ; P(0, 3 )

(2) y2 2y + x + 1 = 0 ; P( 1, 2)

ต ย่ ง 3 จงหา dy เม่อื กาหนดฟังกช์ นั x = y2 + 2y + 1
dx

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |73

5. นพนธ์ นดบ ง

กาหนด y = f(x) ซง่ึ เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ด้ จะพบวา่ f (x) หรอื dy ท่ไี ดย้ งั เป็นฟังกช์ นั

dx

ของ x ถา้ ฟังกช์ นั ท่ไี ดน้ เี้ ป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ด้ เรียกอนพุ นั ธท์ ่ไี ดน้ วี้ ่า อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 2 ของ f ซง่ึ

เขียนแทนดว้ ย f (x) หรือ d2y
dx2
d (dy) d (f (x))
สญั ลกั ษณข์ องอนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 2 อ่นื ๆ ไดแ้ ก่ dx dx หรอื dx หรือ y

ในทานองเดียวกนั เราสามารถหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่มี ากขนึ้ ของ f เชน่

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 3 ของ f(x) เขียนแทนดว้ ย . หรอื ..

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 4 ของ f(x) เขียนแทนดว้ ย . หรอื ..

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 5 ของ f(x) เขียนแทนดว้ ย . หรือ ..

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี n ของ f(x) เขยี นแทนดว้ ย . หรือ ..

และถา้ เขยี นอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู ของ f ตามความหมายในรูปลิมติ จะไดด้ งั นี้

f (x) = lim

x0

f (x) = lim

x0

f(4)(x) = lim

x0

ต ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = 2x3 3x2 + 5x 1 จงหา f (x) และ f (4)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |74
ต ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x5 – 3x4 + 2x3 – 4x2 – 6x + 3

จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู ทงั้ หมดของ f

ต ย่ ง 3 กาหนดฟังกช์ นั แตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สองของฟังกช์ นั

(1) f(x) = 2x + 1
x

(2) y = 2x + 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |75

ต ย่ ง 4 กาหนดให้ y= f(x) จงหา dy d2y d3y d4y
dx dx2 dx3 dx4

(1) f(x) = sin x

(2) f(x) = e 2x

ต ย่ ง 5 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = 3 x 2 4x2 จงหา lim f (1 h) f (1)
x h0 h

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |76

ต ย่ ง 6 กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามซ่งึ g(1) = 2 , g (1) = 1 , g (1) = 1
2 3

f ( 2) = 6 และ 3 f ( 2) = f ( 2) จงหา (fog) (1)

ต ย่ ง 7 กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ซ่งึ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ )
โดยท่ี f(2x+1) = 4x2 + 14x จงหาคา่ ของ f(f (f (2553)) (PAT1 ต.ค.

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |77

6.ค ม ม ยข ง นพนธ์ ชง รข คณต คร ์

บทนย ม 4. กาหนดให้ y = f(x) เป็นสมการเสน้ โคง้
(1) เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ของ f ท่จี ดุ P(x, y) จะมคี วามชนั เท่ากบั f (x)
(2) ความชนั ของเสน้ โคง้ ของ f ณ จดุ P(x, y) คอื ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จดุ P(x, y)

y P(x1, y1)
x
y = f(x)
0

ดงั นนั้ ถา้ กาหนดเสน้ โคง้ y = f(x) โดยมีจดุ P(x1, y1) อยบู่ นเสน้ โคง้ ซ่งึ ทาใหห้ าค่า f (x) ได้

แลว้ เราสามารถหา มก รข ง ้น มผ ท มผ น้ ค้งทจด P ไดด้ งั นี้

(1) หาความชนั ของเสน้ สมั ผสั ท่ีจดุ P ซง่ึ เทา่ กบั .

(2) หาสมการเสน้ สมั ผสั ท่ีจดุ P โดยใชส้ ตู ร . ..

จากความรูเ้ ก่ียวกบั เรขาคณิตวิเคราะห์ “ ้นตรงทตงฉ กกน กต่ ม ผลคณข งค มชน ด้ –1”
เราจะได้ มก ร ้นตงฉ กกบ ้น ค้งทจด P ดงั นี้

(1) หาความชนั ของเสน้ ตงั้ ฉากท่ีจดุ P ซ่งึ เทา่ กบั

(2) หาสมการเสน้ ตงั้ ฉากท่จี ดุ P โดยใชส้ ตู ร ..

ต ย่ ง 1 กาหนดเสน้ โคง้ y = x2 3x จงหา
(1) สมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่จี ดุ P(3, 0)
(2) สมการของเสน้ ตรงท่ีตงั้ ฉากกบั เสน้ โคง้ ท่ีจดุ P(3, 0)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |78
ต ย่ ง 2 กาหนดเสน้ โคง้ y = x2 2x 4

(1) ถา้ A เป็นจดุ ท่เี สน้ โคง้ ตดั กบั เสน้ ตรง x = 0 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่ีจุด A
(2) ถา้ B เป็นจดุ ท่เี สน้ โคง้ ตดั กบั เสน้ ตรง y = 3 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่ีจดุ B

ต ย่ ง 3 จงใหค้ วามหมายของขอ้ ความตอ่ ไปนี

(1) ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) มคี ่าเท่ากบั 24 ท่จี ดุ = 4 .

(2) ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) ท่จี ดุ x = 6 มคี า่ เทา่ กบั 2 .

(3) ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) ท่จี ดุ (1, 2) มคี า่ เท่ากบั 3 .. .

(4) ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) มคี ่าเท่ากบั 5 ท่จี ดุ (3,4) . ..

(5) ความชนั ของเสน้ โคง้ y = f(x) ท่ี x = 7 เท่ากบั 12 .. .....

(6) ความชนั ของเสน้ โคง้ y = f(x) มคี ่าเทา่ กบั 11 ท่ี x = 3 ... .....

(7) ความชนั ของเสน้ โคง้ y = f(x) ท่จี ดุ ( 2, 5) เท่ากบั 7 . . . .....

(8) ความชนั ของเสน้ โคง้ y = f(x) มีคา่ เทา่ กบั 4 ท่จี ดุ (9, 0) . .. . .....

(9) เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) ท่จี ดุ (2, 5) คือ 2x + y = 9 ...............................................

(10) เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) ท่จี ดุ ( 2, 1) ขนานกบั เสน้ ตรง y = 5x + 3

.. . ..

(11) เสน้ ตรง y = 4x 5 เป็นเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) ท่จี ดุ (2, 3)

.. . ..

(12) เสน้ ตรง 2x + y = 5 ขนานกบั เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f(x) ท่จี ดุ (3, 1)

.. . ..

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |79
ต ย่ ง 4 กาหนดเสน้ โคง้ y = 2x3 1 ท่จี ดุ ซ่งึ x = 1 จงหา

x

(1) สมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้
(2) สมการของเสน้ ท่ตี งั้ ฉากกบั เสน้ สมั ผสั (PAT 1)

ต ย่ ง 5 กาหนดเสน้ โคง้ f(x) = 5 x2 จงหา
(1) จดุ บนเสน้ โคง้ ท่ีทาใหเ้ สน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จุดนขี้ นานกบั เสน้ ตรง x + 2y 1 = 0
(2) สมการของเสน้ สมั ผสั ท่จี ดุ ท่ไี ดจ้ ากขอ้ (1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |80

ต ย่ ง 6 กาหนดเสน้ โคง้ f(x) = 1 จงหาพืน้ ท่ขี องรูปสามเหลย่ี มในควอดรนั ตท์ ่สี อง
x2

ซ่งึ ปิดลอ้ มดว้ ยแกน x แกน y และเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ของ f ณ จดุ ( 1 , 4)

2

ต ย่ ง 7 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั วงกลม x2 + y2 = 1 โดยสมั ผสั ท่จี ดุ P( 1 , 3 )
2 2

ต ย่ ง 8 กาหนดสมการเสน้ โคง้ y = f(x) = 3x2 4x 2
จงหาสมการเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ f ท่จี ดุ x = 1

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |81

ต ย่ ง 9 กาหนดให้ L1 เป็นเสน้ ตรงซง่ึ มีสมการเป็น 4x 3y + 10 = 0

และ L2 เป็นเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y x2 8 x 7
3 3

ถา้ L2 ขนานกบั L1 แลว้ ระยะห่างระหว่างเสน้ ตรง L1 และ L2 เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |82

เราสามารถนาความรูเ้ ร่ืองอนพุ นั ธไ์ ปประยกุ ตใ์ ชก้ บั ปญหาตา่ งๆ ได้ หลายลกั ษณะ ในท่นี จี้ ะกลา่ วถงึ
เพยี ง 6 หวั ขอ้

(1) การเขียนกราฟของฟังกช์ นั
(2) การหาคา่ สงู สดุ และค่าต่าสดุ ของฟังกช์ นั
(3) กฎของโลปิตาล
(4) การเคล่อื นท่ีแนวเสน้ ตรง
(5) อตั ราสมั พทั ธ์
(6) การประมาณค่าดว้ ยค่าเชิงอนพุ นั ธ์

1. ก ร ขยนกร ฟข งฟงกช์ น

ฟงกช์ น พม ฟงกช์ นลด ้ ขน ล ้ ลง

(Increasing and Decreasing Function and Concavity)

ในหวั ขอ้ นี้ เป็นการนาความรูเ้ กี่ยวกบั อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั มาประยกุ ตใ์ นการเขยี นกราฟของฟังกช์ นั
โดยใชต้ รวจสอบลกั ษณะของฟังกช์ นั 4 ลกั ษณะคอื

(1) ฟังกช์ นั เพิม่ (increasing function)
(2) ฟังกช์ นั ลด (decreasing function)
(3) เวา้ ขนึ้ (concave upward)
(4) เวา้ ลง (concave downward)

ฟงกช์ น พม ล ฟงกช์ นลด

บทนย ม 5. กาหนดให้ A R และ f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป R และ B A จะกลา่ ววา่
(1) f เป็นฟงกช์ น พมบน B กต็ ่อเม่ือ
ถา้ x1 , x2 B และ x1 < x2 แลว้ f(x1) < f(x2)
(2) f เป็นฟงกช์ นลดบน B กต็ ่อเม่ือ
ถา้ x1 , x2 B และ x1 < x2 แลว้ f(x1) > f(x2)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |83

ก รตรวจ บฟงกช์ นลด ล ฟงกช์ น พม

ฟงกช์ น พม ลกั ษณะกราฟของฟังกช์ นั ลดและฟังกช์ นั เพ่มิ ฟงกช์ นลด

y f(x2) y f(x1)

x1 x2 X x2 X
0
0 x1

f(x1) f(x2)

จากความรูเ้ ร่ืองความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ การตรวจสอบฟังกช์ นั เพ่มิ หรอื ลดดงั นี

ทฤ ฎบท 2. กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบน [a, b] และหาอนพุ นั ธไ์ ดบ้ น (a, b)
(1) ถา้ f (x) > 0 สาหรบั ทกุ x (a, b) แลว้ f จะเป็นฟงกช์ น พมบน [a, b]
(2) ถา้ f (x) < 0 สาหรบั ทกุ x (a, b) แลว้ f จะเป็นฟงกช์ นลดบน [a, b]

ม ย ต ขอ้ ความใน ทฤษฎีบท 2. ยงั คงเป็นจรงิ เม่อื เปลีย่ นช่วงเป็นช่วงอนนั ต์ ตวั อย่างเชน่
(1) กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งบน [a, ) และหาอนพุ นั ธไ์ ดบ้ น (a, )
ถา้ f (x) < 0, x (a, ) แลว้ f จะเป็นฟงกช์ นลดบน [a, )
(2) กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่อื งบน ( , a] และหาอนพุ นั ธไ์ ดบ้ น ( , a)
ถา้ f (x) > 0, x ( , a) แลว้ f จะเป็นฟงกช์ น พมบน ( , a]

ต ย่ ง 1 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = x3 + x2 5x 5
จงหาช่วงท่ีทาให้ f เป็นฟังกช์ นั เพิ่ม และช่วงท่ที าให้ f เป็นฟังกช์ นั ลด

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |84

ก ร ้ ขน ล ้ ลง

บทนย ม 6. กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธท์ ่ี c ได้
(1) กราฟของ f จะเป็น ้ ขน ท่จี ดุ P(c, f(c)) ก็ตอ่ เม่อื มีชว่ งเปิด (a, b) ซง่ึ c (a, b)
และทาใหก้ ราฟของ f บน (a, b) ย่ น ้น มผ เสน้ โคง้ ของ f ท่ี P
(2) กราฟของ f จะเป็น ้ ลง ท่จี ดุ P(c, f(c)) กต็ ่อเม่อื มชี ่วงเปิด (a, b)ซ่งึ c (a, b)
และทาใหก้ ราฟของ f บน (a, b) ย่ ต้ น้ มผ เสน้ โคง้ ของ f ท่ี P
*** ลก ณ ข งกร ฟข งฟงกช์ นท ปน ้ ขน ***

yy

P(c, f(c)) P(c, f(c))

xx

0 จาaกรูปพบว่า f c หรือคbวามชนั ของเสน้ สมั ผสั 0มีคา่ เพิม่ aขนึ้ ขณะ x มcีค่าเพิม่ ขbนึ้
(x)

น่นั คือ f (x) เป็นฟังกช์ นั เพมิ่ บน (a, b)

*** ลก ณ ข งกร ฟข งฟงกช์ นท ปน ้ ลง ***

yy

P(c, f(c)) P(c, f(c))

x

0 จาaกรูปพบวา่ f c หรอื คbวามชนั ของเสน้ สมั ผสั 0มคี า่ ลดลaงขณะ x มีคc่าเพ่ิมขนึb้
(x)

น่นั คือ f (x) เป็นฟังกช์ นั ลดบน (a, b)

ข้ ง กต จากทฤษฎีบท 2. และนยิ าม 6 กลา่ วไดว้ ่า
(1) ถา้ อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่สี อง f ของฟังกช์ นั f มีคา่ เป็นบ กบนชว่ งหนึ่ง
แลว้ อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ทห่ี นึง่ f ของ f จะเป็นฟังกช์ นั พม ซ่งึ ทาใหก้ ราฟของ f ้ ขนบนชว่ งนน้ั
(2) ถา้ อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่สี อง f ของฟังกช์ นั f มคี ่าเป็นลบบนช่วงหนึ่ง
แลว้ อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่หี นึ่ง f ของ f จะเป็นฟังกช์ นั ลด ซ่งึ ทาใหก้ ราฟของ f ้ ลงบนชว่ งนนั้
ทาใหไ้ ดข้ อ้ สรุปในการตรวจสอบเสน้ โคง้ วา่ เป็นแบบเวา้ ขนึ้ หรือเวา้ ลง ดงั นี้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |85

ก รตรวจ บก ร ว้ ขน ล ว้ ลง

ทฤ ฎบท 3. กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ดบ้ นชว่ ง (a, b) และ c (a, b)
(1) ถา้ f (c) > 0 แลว้ กราฟของ f จะเป็นแบบ ้ ขน ท่จี ดุ P(c, f(c))
(2) ถา้ f (c) < 0 แลว้ กราฟของ f จะเป็นแบบ ้ ลง ท่จี ดุ P(c, f(c))

สาหรบั จดุ ของกราฟท่ีเป็นจดุ เปล่ยี นจากเวา้ ขนึ้ เป็นเวา้ ลง หรือเปลย่ี นจากเวล้ งเป็นเวา้ ขนึ้ เราเรยี ก
จดุ นวี้ ่า จด ปลยนค ม ้ ซ่งึ มีนิยามดงั นี้

จด ปลยนค ม ้ (point of inflection)

บทนย ม 7. จดุ P(c, f(c)) บนกราฟของฟังกช์ นั f จะเรยี กว่าเป็นจด ปลยนค ม ้
ก็ต่อเม่อื มีชว่ งเปิด (a, b) ซง่ึ c (a, b) และทาใหข้ อ้ ใดขอ้ หน่งึ ต่อไปนเี้ ป็นจรงิ
(1)f (x) > 0 เม่อื a < x < c และ f (x) < 0 เม่อื c < x < b

( P เป็นจดุ เปลย่ี นเวา้ ขนึ้ เป็นเวา้ ลง)
(2) f (x) < 0 เม่อื a < x < c และ f (x) > 0 เม่อื c < x < b

( P เป็นจดุ เปลย่ี นเวา้ ลงเป็นเวา้ ขึน้ )

y ลก ณ ต น่งข งจด ปลยนค ม ้

จด ปลยนค ม ้

0 เวา้ ลง เวา้ ขนึ x
เวา้ ขนึ เวา้ ลง เวา้ ขนึ

จากนยิ าม เราอาจกลา่ วไดว้ า่
ถา้ f (c) หาคา่ ได้ และ f เป็นต่อเน่อื งท่ี c และ P(c, f(c)) เป็นจดุ เปล่ยี นเวา้ แลว้ f (c) = 0

ธก ร จด ปลยนค ม ้ ล ช่ งท ้ ลง ้ ขน ข งฟงกช์ น มขี นั้ ตอนดงั นี้
(1) หาคา่ c จากการแกส้ มการ f (c) = 0
(2) เขยี นเสน้ จานวน แลว้ จดุ ค่า c ท่ไี ดจ้ ากขอ้ (1) เรียงจากนอ้ ยไปมาก
(3) ตรวจสอบค่า f (x) วา่ เปลีย่ นเครือ่ งหมาย ในแตล่ ะช่วง (ทบ.3)
(4) P(c, f(c)) เป็นจดุ เปล่ยี นความเวา้ ก็ตอ่ เม่ือ f (x) เปลยี่ นเครื่องหมายบนชว่ งระหว่าง c

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |86

ต ย่ ง 2 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = x3 + x2 5x 5 ( จทยต์ วั อย่ ง 1)

(1) จงหาชว่ งท่ีทาให้ f เป็นเวา้ ขนึ้ บนช่วงนนั้ และ ช่วงท่ีทาให้ f เป็นเวา้ ลงบนช่วงนนั้

(2) จงหาจดุ เปล่ียนความเวา้

(3) จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั

ข้ ค รร ง

กราฟของ f ไมจ่ าเป็นตอ้ งมจี ดุ P(c, f(c)) เป็นจดุ เปลย่ี นความเวา้ ถึงแมว้ า่ f (c) = 0 ก็ตาม
y เชน่ ถา้ กาหนดให้ f(x) = x4 (มกี ราฟดงั รูป)

x

(0, 0)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |87

ต ย่ ง 3 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = (x2 1)2
(1) จงหาชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟังกช์ นั เพ่มิ และฟังกช์ นั ลด
(2) จงหาช่วงท่ีทาให้ f เป็นแบบเวา้ ขนึ้ และเป็นแบบเวา้ ลง
(3) จงหาจดุ เปลยี่ นความเวา้
(4) จงเขยี นกราฟของ f

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |88
ต ย่ ง 4 กาหนดฟังกช์ นั f(x) = x5 5x3 จงวาดกราฟของ f(x)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |89

2. ค่ ง ด มพทธ์ ล ค่ ต ดข งฟงกช์ น (Maximum and Minimum Value)

2.1 ค่ ง ด มพทธ์ ล ค่ ต ด มพทธ์ (Relative Maxima and Minima)

บทนย ม 8. กาหนดให้ c เป็นจานวนจรงิ ท่ีอยใู่ นโดเมนของฟังกช์ นั f
(1) f(c) เป็นค่ ง ด มพทธ์ ของ f ถา้ มีชว่ งเปิด (a, b) ซง่ึ c (a, b) ท่ที าให้
f(c) f(x), x (a, b) และเรียก (c, f(c)) ว่าเป็นจด ง ด มพทธ์
(2) f(c) เป็นค่ ต ด มพทธ์ ของ f ถา้ มชี ่วงเปิด (a, b) ซง่ึ c (a, b) ท่ที าให้
f(c) f(x), x (a, b) และเรยี ก (c, f(c)) ว่าเป็นจดต ด มพทธ์

ลก ณ ข งต น่งข งจดท ปนจด ง ด มพทธ์ ล จดต ด มพทธ์

y A(a, f(a)) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
BD B(b, f(b)) เป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์

A C x C(c, f(c)) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
0a E D(d, f(d)) เป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์
E(e, f(e)) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
b cd e

ทฤ ฎบท 4. ถา้ ฟังกช์ นั f มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ หรอื ต่าสดุ สมั พทั ธท์ ่ี c แลว้
f (c) = 0 หรือ f (c) หาค่าไมไ่ ด้

จากทฤษฎีบท 4. จะไดว้ ่า
(1) ถา้ f (c) หาค่าได้ และ f (c) 0 แลว้ f (c) จะไม่เป็นทงั ค่าสงู สดุ สมั พทั ธแ์ ละคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
(2) เสน้ สมั ผสั ของเสน้ โคง้ ณ จดุ c ท่เี ป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ หรอื ต่าสดุ สมั พทั ธ์ จะมคี วามชนั เท่ากบั 0

ซง่ึ ทาใหเ้ สน้ สมั ผสั นนั ขนานกบั แกน x หรืออาจจะไมส่ ามารถหาความชนั ได้
(3) จานวนจรงิ c ท่ี f (c) = 0 หรือ f (c) หาคา่ ไม่ได้ เรยี กว่าเป็น ค่ วกฤต ของ f ดงั นยิ าม

ค่ วกฤต (Critical Number)

บทนย ม 9. จานวนจรงิ c ท่อี ยใู่ นโดเมนของฟังกช์ นั f จะเรียกวา่ เป็น ค่ วกฤต ของ f
ถา้ f (c) = 0 หรอื f (c) หาค่าไมไ่ ด้
ถา้ c เป็นค่าวกิ ฤตของ f แลว้ จะเรียกจดุ (c, f(c)) วา่ เป็น จดวกฤต ของ f

ม ย ต จดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ หรือจุดต่าสดุ สมั พทั ธท์ ุกจดุ เป็นจดุ วกิ ฤต
แต่จดุ วิกฤตทกุ จดุ ไมจ่ าเป็นตอ้ งเป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ หรือจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |90

ขนต น นก ร จด ง ด มพทธ์ ร ต ด มพทธ์

ขนท 1 หาคา่ วกิ ฤต ซ่งึ หาจาก คา่ c ท่ที าให้ f (c) = 0 หรอื f (c) หาคา่ ไมไ่ ด้

ขนท 2 นาค่าวิกฤต c ท่ไี ดจ้ ากขนั้ ท่ี 1 ไปตรวจสอบว่า f(c) เป็นค่าสงู สดุ สมั พทั ธห์ รือต่าสดุ สมั พทั ธ์

ธท 1 ก รตร จ บ ดย ช้ นพนธ์ นดบ นง ( ดเู คร่ืองหมายของความชนั ของเสน้ สมั ผสั )

(1) ถา้ ความชนั เปลีย่ นจากบวกไปเป็นลบ จดุ ดงั กลา่ วเป็นจด ง ด มพทธ์ ดงั รูป
yy
f (c) = 0 จดุ วกิ ฤต
f (c) หาคา่ ไมไ่ ด้ จดุ วกิ ฤต

คา่ วกิ ฤต ค่าวกิ ฤต

x x
b
0a c 0a c b

เคร่ืองหมายของ f (x) เคร่ืองหมายของ f (x)

(2) ถา้ ความชนั เปลย่ี นจากลบไปเป็นบ ก จดุ ดงั กลา่ วเป็นจดต ด มพทธ์ ดงั รูป

yy

จดุ วกิ ฤต จดุ วกิ ฤต

f (c) = 0 f (c) หาคา่ ไม่ได้

คา่ วกิ ฤต คา่ วกิ ฤต

0a x x

cb 0a c b

เครื่องหมายของ f (x) เครื่องหมายของ f (x)

ธท 2 ตร จ บ ดย ช้ นพนธ์ นดบท ง (ดจู ากเคร่อื งหมายของ f (x) )

วิธีทากค็ ือ หาค่า f (x) แลว้ นาคา่ c ท่เี ป็นจดุ วิกฤตไปแทนคา่

ถา้ (1) f (x) < 0 จดุ ดงั กลา่ วเป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์

(2) f (x) > 0 จดุ ดงั กลา่ วเป็นจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์

(3) f (x) = 0 รป ม่ ด้ *** ตอ้ งใชว้ ิธีการตรวจโดยวิธีท่ี 1
y f (c) = 0 y

f (c) < 0

จดุ วกิ ฤต f (c) = 0
f (c) > 0

จดุ วกิ ฤต

x x

0a c b 0a คb่าวcกิ ฤต
คา่ วกิ ฤต

ม ย ต วธิ ีท่ี 2 นี้ จะใชต้ รวจสอบเฉพาะค่าวกิ ฤต c ซง่ึ f (c) = 0 เทา่ นนั้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |91
ต ย่ ง 1 กาหนดใหฟ้ ังกช์ นั ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ จงหา คา่ วกิ ฤต จดุ วกิ ฤต จดุ สงู สดุ สมั พทั ธแ์ ละจดุ

ต่าสดุ สมั พทั ธ์ พรอ้ มทงั้ วาดกราฟของฟังกช์ นั

(1) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 10

(2) f(x) = x4 – 8x2

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |92

ต ย่ ง 2 กาหนดให้ y = f(x) แตล่ ะขอ้ เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ดท้ กุ x

จงใหค้ วามหมายของขอ้ ความต่อไปนี

(1) x = 2 เป็นค่าวกิ ฤตของฟังกช์ นั = ( ) ..

(2) ฟังกช์ นั y = f(x) มี x = 1,และ x = 1 เป็นคา่ วิกฤต ..

(3) ฟังกช์ นั y = f(x) มีค่าสงู สดุ สมั พทั ธท์ ่ี x = 3 ..

(4) ฟังกช์ นั y = f(x) มคี า่ ต่าสดุ สมั พทั ธท์ ่ี = 4

(5) ฟังกช์ นั y = f(x) มีค่าสงู สดุ สมั พทั ธท์ ่ี x = 5 แตม่ ีคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธท์ ่ี = 2

(6) จดุ ( 2, 4) เป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธข์ อง = ( ) ..

(7) จดุ ( 1, 1) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธข์ อง = ( )

(8) ให้ y = f(x) มีค่าสงู สดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั 5 ท่จี ดุ x = 1 ..

(9) ให้ y = f(x) มคี ่าต่าสดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั 1 ท่จี ดุ = 5 ..

(10) ให้ y = f(x) มคี ่าสงู สดุ สมั พทั ธเ์ ท่ากบั 9 ท่จี ดุ x = 3 และกราฟของฟังกช์ นั ผา่ นจุด (2, 3)

.

ต ย่ ง 3 ให้ f(x) = 3x 10 และ F(x) = (f g)(x) = ax 2 + bx + c
ถา้ F(0) = 1 และ F มคี า่ สงู สดุ สมั พทั ธท์ ่ี x = 2 เทา่ กบั 5 จงหาค่าของ g(1)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |93
ต ย่ ง 4 กาหนดให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามซ่งึ มคี า่ ต่าสดุ สมั พทั ธเ์ ท่ากบั 3 ท่จี ดุ x = 2

และมเี สน้ ตรง 3x + y 7 = 0 เป็นเสน้ สมั ผสั กราฟท่ีจดุ (1, 4)
ถา้ g(x) = x2 f(x) จงหาค่า g (2) g (1)

ต ย่ ง 5 ให้ f เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามกาลงั สาม ซ่งึ มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั สามเทา่ ของคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
และ f(0) = 2 ถา้ f มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธท์ ่ี x = 1 และมีคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธท์ ่ี x = 1
จงหาf(4)

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |94

ต ย่ ง 6 กาหนดให้ A, B ,B 0 และ f(x) = Ax + 9 ; x 1
Bx2 + Ax + 5 ; x 1

ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ีทกุ ๆ x และมคี ่าต่าสดุ สมั พทั ธท์ ่ี x = 2 จงหาค่าของ A + B

ต ย่ ง 7 กาหนดใหก้ ราฟของ อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั f เป็นดงั รูป

Y
(4, 2)

2 y f (x)

0 1 2 3 4 5 67 X
2
จากรูป
(2, 2)
(1)
จงหาชว่ งท่ี f เป็นฟังกช์ นั ลด .................................................................................

(2) จงหาช่วงท่ี f เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ ................................................................................

(3) f มจี ดุ ต่าสดุ สมั พทั ธท์ ่จี ดุ ซง่ึ x มคี ่าเท่าใด ..................................................................

(4) f มจี ดุ สงู สดุ สมั พทั ธท์ ่จี ดุ ซง่ึ x มคี ่าเท่าใด....................................................................

(5) จงหาช่วงท่ี f มีกราฟเป็นสว่ นของเสน้ ตรง..................................................................

(6) จงหาชว่ งท่ี f มกี ราฟขนานกบั แกน X......................................................................

(7) จงหาค่า x ท่เี ป็นค่าวิกฤต.......................................................................................

(8) จงหาค่า x ของจดุ ท่ีเป็นจดุ เปลยี่ นเวา้ .........................................................................

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |95

2.2 ค่ ง ด มบรณ์ ล ค่ ต ด มบรณ์ (Absolute Maxima and Minima)

y จากรูป

จะพบว่า f(c) และ f(e) เป็นค่าสงู สดุ สมั พทั ธ์

แตม่ ี f(c) เป็นคา่ สงู สดุ ของ f(x) เม่อื x [a, b]

x ในขณะท่ีมี f(d) เป็นค่าต่าสดุ สมั พทั ธแ์ ตไ่ มเ่ ป็นคา่

0a c d eb ต่าสดุ ของ f(x) เม่อื x [a, b]

ค่าสงู สดุ และคา่ ต่าสดุ ของ f บน [a, b] ดงั กลา่ วเราเรยี กว่าค่าสงู สดุ สมั บูรณแ์ ละค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์

ซ่งึ มนี ยิ ามดงั นี้

บทนย ม 10. กาหนดฟังกช์ นั f ซง่ึ มโี ดเมนเทา่ กบั D และ c D

(1) f มคี า่ สงู สดุ สมั บรู ณท์ ่ี c เม่อื f(x) f(c) สาหรบั ทกุ x D

(2) f มคี ่าสงู สดุ สมั บรู ณท์ ่ี c เม่อื f(x) f(c) สาหรบั ทกุ x D

จากความรูเ้ ร่อื งความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั เราจะไดว้ ่า

ทฤ ฎบท 5. กาหนด f เป็นฟงกช์ นต่ น งบนช่ งปด [a, b] แลว้ จะมี c, d [a, b]
ซง่ึ ทาให้ f(c) เป็นค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์ และ f(d) เป็นค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์ ของ f

มย ต

1. ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนชว่ ง (a, b) หรอื ชว่ งครง่ึ เปิด (a, b] , [a, b) แลว้

อาจจะหาค่าสงู สดุ สมั บรู ณห์ รตื ่าสดุ สมั บรู ณข์ อง f ไม่ได้ เชน่ ตวั อย่างกราฟตอ่ ไปนี้

y y
f f

cx a x
b 0 b

0a

จ กรป f ปนฟังก์ชนั ตอ่ นองบนชว่ ง ปด (a, b) จ กรป f ปนฟงั กช์ นั ตอ่ นองบนช่วง ปด (a, b)
จะ ดว้ ่ ค่ ต สดสมั บรณ์ของ f คอ f(c) ต่ ม่ส ม รถห ค่ สงสดสมั บรณ์ ละต สดสมั บรณ์
ต่ ม่ส ม รถห ค่ สงสดสมั บรณ์ของ f ด้ ของ f ด้

2. ถา้ f ไม่ต่อเน่ืองบน [a, b] ก็อาจจะไม่มีคา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์ หรือต่าสดุ สมั บรู ณข์ อง f y

ดงั ตวั อยา่ ง เชน่ 1; 2x2 x0 2x
x
f(x) 0 ;x 0 2 0

จะพบว่า โดเมนของ f คือ [ 2, 2] แต่ f ไม่ตอ่ เน่อื งท่ี 0 กราฟของ f จะเป็นดงั รูป
จ กรปจะพบว่ ม่ส ม รถห ค่ สงสดสมั บรณ์ ละค่ ต สดสมั บรณ์ของ f ด้

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |96

ขนต นก ร ค่ ง ด มบรณ์ ล ต ด มบรณ์

กาหนดฟังกช์ นั ต่อเน่ือง f บน [a, b] ดาเนินการหาค่าสงู สดุ สมั บรู ณแ์ ละต่าสดุ สมั บรู ณ์ ดงั นี้
(1) หาค่าสงู สดุ สมั พทั ธแ์ ละต่าสดุ สมั พทั ธข์ อง f ทกุ ค่า
(2) หาค่า f(a) และ f(b)
(3) ค่าท่มี ากท่สี ดุ ระหวา่ งค่าสงู สดุ สมั พทั ธ์ และ f(a), f(b) จะเป็นคา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์
(4) คา่ ท่นี อ้ ยท่สี ดุ ระหว่างคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ และ f(a), f(b) จะเป็นคา่ ต่าสดุ สมั บรู ณ์

ต ย่ ง 7 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = 1 x3 1 x2 2x เม่ือ x [ 3, 4]
3 2

จงหาค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์ และค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |97

ต ย่ ง 8 กาหนดฟังกช์ นั y = f(x) = 1 x2/3 เม่ือ x [ 1, 8] จงหา
(1) ค่าสงู สดุ สมั พทั ธ์ และคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
(2) ค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์ และค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |98

2.3 จทยป์ ร ยกต์ กย กบค่ ง ด ล ค่ ต ด

เราสามารถนาความรูเ้ ก่ียวกบั การหารค่าสงู สดุ สมั บูรณแ์ ละต่าสดุ สมั บรู ณม์ าแกโ้ จทยป์ ัญหาท่ี
เกี่ยวกบั ค่าสงู สดุ และค่าต่าสดุ ได้ ซ่งึ มแี นวทางในการแกป้ ัญหาดงั นี้

1. พจ รณ ว่ จทยป์ ัญห นตอ้ งก ร หห้ ค่ สงสดหรอต สด หก้ หนดสงนนั ปนตวั ปรตวั ทหนง
ชน่ สมมต ห้ ปน y

2. พจ รณ ต่อ ปว่ ค่ y ขนอยก่ บั ค่ อะ ร ละค่ หล่ นคงตวั หรอ ม่ ถ้ ม่คงตวั ร จะตอ้ ง
สมมตตวั ปรส หรบั ค่ หล่ น ชน่ สมมต ห้ ปน x ค่ ของ y จะขนอยก่ บั ค่ ของ x นนั อง

3. ขยนสมก ร สดงคว มสมั พนั ธร์ ะหว่ ง y กบั x ดยก ร ขยนค่ y นรปของ x ดงั นนั น
ขนั น ร จะ ด้ y = f(x)

4. ห ค่ สงสดของ y หรอค่ ต สดของ y ดย ชก้ ระบวนก รก รห ค่ สงสดสมั บรณห์ รอค่ ต สด
สมั บรณข์ อง f

ต ย่ ง 1 กลอ่ งรูปทรงสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากใบหนึง่ ไมม่ ีฝาปิดดา้ นบน และกน้ เป็นรูปสี่หลีย่ มมมุ ฉาก ทา
จากกระดาษแขง็ สี่เหลี่ยมมมุ ฉาก กวา้ ง 16 เซนติเมตร และยาว 21 เซนตเิ มตร โดยการ
ตดั มมุ ทงั้ สีอ่ อกเป็นรูปส่ีเหล่ียมจตั รุ สั แลว้ พบั ขนึ้ ไปเป็นกลอ่ ง จงหาขนาดของรูปส่ีเหลย่ี ม
จตั รุ สั ท่ีตดั ออกไป ซ่งึ ทาใหก้ ลอ่ งท่ีได้ มีปรมิ าตรมากท่สี ดุ

แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ...................................................................................... หนา้ |99
ต ย่ ง 2 จงหาปรมิ าตรท่มี ากท่สี ดุ ของรูปทรงกระบอกฐานกลม ซง่ึ สามารถบรรจอุ ยภู่ ายในกรวยกลมท่ี

มคี วามสงู ตรงยาว 12 เซนติเมตร และรศั มขี องฐานยาว 4 เซนตเิ มตร ถา้ แกนของกรวย
กลมและทรงกระบอกอย่ใู นแนวเดียวกนั

ต ย่ ง 3 พอ่ คา้ ตลาดนดั ทราบว่าถา้ เขาตงั้ ราคาถุงเทา้ ราคาค่ลู ะ 20 บาท ในหนึง่ เดือน เขาจะขาย
ได้ 1,000 คู่ ถา้ เขาลดราค่ลู ะ 1 บาท เขาจะขายไดเ้ พ่ิมขึน้ เดือนละ 100 คู่ ถา้ เขาลด
ราคาค่ลู ะ 2 บาท เขาจะขายไดเ้ พม่ิ ขึน้ เดือนละ 200 คู่ เป็นเช่นนีเ้ ร่ือยๆไป อยากทราบว่า
เขาควรจะตงั้ ราคาถงุ เทา้ ค่ลู ะเทา่ ไรจงึ จะไดเ้ งินจากการขายมากท่สี ดุ ในหนึง่ เดอื น