The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Fundamental Function of Complex Number ພື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by touavue9799, 2023-02-21 01:32:30

Fundamental Function of Complex Number ພື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ by Touavue Vue

Fundamental Function of Complex Number ພື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ

Keywords: ຕົວວື່,touavue

ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers ລະຫັດວິຊາ: y D 0 x iy + x iy + C1 0 0 x iy + C2 0 x iy + x ມະຫາວິທະຍາໄລແຫ່ງຊາດ ຄະນະສຶກສາສາດ 2022


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers ລະຫັດວິຊາ: ຮຽບຮຽງ: ປທ. ຕົວວ ື່ ວ ື່ ປທ. ນ. ແວວຕາ ພົມມະຄໍາ ຊອ. ປທ. ສູນທັນ ແກ້ວວິໄລສັກ ກວດແກ້: ອຈ. ປທ. ແສງສະຫວັນ ພອນສະນິດ ອຈ. ປທ. ນ. ຕຸລາວັນ ສີສະຫວັດ ອຈ. ປທ. ພອນສີ ເວທະນາ ມະຫາວິທະຍາໄລແຫ່ງຊາດ ຄະນະສຶກສາສາດ 2022


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers i ຄໍານໍາ ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ ປ ື້ມເຫ ັື້ມນີື້ຮຽບຮຽງຂ ື້ນ ໂດຍມີຈຸດປະສົງເພ ື່ອໃຊ້ເປັນປ ື້ມປະກອບການສຶກສາຄົື້ນຄວ້າ ສໍາລັບລະດັບປະລິນຍາຕີທີື່ສຶກສາທາງດ້ານຄະນິດສາດ. ເນ ື້ອໃນປ ື້ມເຫ ັື້ມນີື້ຈະເປັນເລ ື່ອງກ່ຽວກັບຈໍານວນສົນທົົ່ວໆ ໄປ ເພ ື່ອໃຫ້ສຶກສາຄວາມເຂົື້າໃຈຈໍານວນສົນ, ຄຸນລັກສະນະເທົົ່າທີື່ຈໍາເປັນຈະນໍາໄປອະທິບາຍທິດສະດີຕ່າງໆ ເຊິື່ງເນ ື້ອໃນ ປ ື້ມເຫ ັື້ມນີື້ປະກອບໄປດ້ວຍ: ຄວາມຮູ້ເບ ື້ອງຕົື້ນກ່ຽວກັບຈໍານວນສົນ, ອັນດັບຈໍານວນສົນ, ຕໍາລາຕົວປ່ຽນສົນ, ຕໍາລາ ພ ື້ນຖານ, ສັງຄະນິດ ແລະ ເຊຣີ. ຢ່າງໃດກໍໍ່ຕາມການຮຽບຮຽງປ ື້ມເຫ ັື້ມນີື້, ກໍໍ່ຄົງບໍໍ່ປາສະຈາກຂໍໍ້ຂາດຕົກບົກຜ່ອງໄດ້. ສະນັື້ນ, ຈຶື່ງຂໍຄວາມຮ່ວມມ ນໍາ ບັນດາທ່ານຜູ້ທີື່ໃຊ້ປ ື້ມເຫ ັື້ມນີື້ ຈົົ່ງຊ່ວຍເບິື່ງຈຸດບົກຜ່ອງຜິດພາດ ແລ້ວສົົ່ງຄໍາຄິດຄໍາເຫັນຂອງບັນດາທ່ານມາຍັງຄະນະ ຮຽບຮຽງ, ເຊິື່ງພວກເຮົາຈະນໍາຄໍາຄິດຄໍາເຫັນຂອງບັນດາທ່ານໄປປັບປຸງປ ື້ມເຫ ັື້ມນີື້ໃຫ້ດີຍິື່ງໆ ຂ ື້ນ. ຄະນະຜູ້ຮຽບຮຽງ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers ii ສາລະບານ ຄໍານໍາ................................................................................................................................................i ສາລະບານ.........................................................................................................................................ii ສາລະບານຮູບພາບ.............................................................................................................................iv ບົດທີ 1 ຈໍານວນສົນ (Complex Numbers)......................................................................................... 1 1.1 ຈໍານວນສົນ........................................................................................................................... 1 1.2 ການດໍາເນີນການເບ ື້ອງຕົື້ນຂອງຈໍານວນສົນ.................................................................................. 4 1.3 ຮາກຂອງຈໍານວນສົນ (Roots of Complex Numbers) ............................................................. 8 1.4 ຄຸນລັກສະນະຂອງຄ່າສໍາບູນ..................................................................................................... 11 1.5 ຄວາມສໍາພັນລະຫວ່າງຈໍານວນສົນ ແລະ ສົນຄາດຄູ່...................................................................... 13 ບົດເຝິກຫັດ 1............................................................................................................................. 13 ບົດທີ 2 ຄຸນລັກສະນະທາງໂຕໂປໂລຢີຂອງຈໍານວນສົນ............................................................................. 20 2.1 ເມັດໃກ້ (Neighborhood)................................................................................................... 20 2.2 ທິດສະດີຕ່າງໆ...................................................................................................................... 23 ບົດເຝິກຫັດ 2............................................................................................................................. 26 ບົດທີ 3 ອັນດັບຈໍານວນສົນ (Sequences of ComplexNumbers)........................................................ 27 3.1 ອັນດັບຈໍານວນສົນ................................................................................................................ 27 3.2 ອັນດັບຍ່ອຍ (Subsequences).............................................................................................. 30 3.3 ອັນດັບໂກຊີ (Cauchy-Sequences) ...................................................................................... 31 ບົດເຝິກຫັດ 3............................................................................................................................. 34 ບົດທີ 4 ຕໍາລາຕົວປ່ຽນສົນ (Functions of Complex Variable) .......................................................... 36 4.1 ຕໍາລາທີື່ມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ (Functions of Complex Variable) .................................... 36 4.2 ຂອບເຂດຂອງຈໍານວນສົນ...................................................................................................... 39 4.3 ທິດສະດີກ່ຽວກັບຂອບເຂດ (Theorems on Limits) ................................................................ 41 4.4 ການຕໍໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາ (Continuous Functions) ................................................................... 42 4.5 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ (Differentiable Functions)................................................................... 48 4.6 ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ (Cauchy-Riemann Equations)........................................................... 50 4.7 ຕໍາລາວິເຄາະ (Analytic Functions)...................................................................................... 53 4.8 ຕໍາລາຮາໂມນິກ (Harmonic Functions) ............................................................................... 60 ບົດເຝິກຫັດ 4............................................................................................................................. 62 ບົດທີ 5 ຕໍາລາພ ື້ນຖານ (Elementary Functions)............................................................................... 65 5.1 ຕໍາລາໃຈກໍາລັງ (Exponential Functions)............................................................................. 65 5.2 ຕໍາລາໄຕມຸມມິຕິ (Trigonometric Functions)....................................................................... 67


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers iii 5.3 ຕໍາລາອີແປກໂບລິກ (Hyperbolic Functions)........................................................................ 69 5.4 ຕໍາລາໂລກາລິດ (Logarithmic Functions)............................................................................ 70 5.5 ຕໍາລາກໍາລັງສົນທົົ່ວໆ ໄປ (Complex Exponents) ................................................................... 71 ບົດເຝິກຫັດ 5............................................................................................................................. 71 ບົດທີ 6 ສັງຄະນິດ (Integral)............................................................................................................ 74 6.1 ເສັື້ນໂຄ້ງ (Curves).............................................................................................................. 74 6.2 ສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາສົນເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ ........................................................................................ 77 6.3 ຄຸນລັກສະນະຂອງສົມຜົນອິງຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ............................................................ 79 6.4 ສັງຄະນິດຕາມເສັື້ນ (Line Integral)....................................................................................... 82 6.5 ສູດສັງຄະນິດຂອງໂກຊີ (The Cauchy Integral Formula) ....................................................... 98 ບົດເຝິກຫັດ 6........................................................................................................................... 102 ບົດທີ 7 ເຊຣີກໍາລັງ (Power Series)................................................................................................ 108 7.1 ອັນດັບ ............................................................................................................................. 108 7.2 ເຊຣີ................................................................................................................................. 108 7.3 ເຊຣີກໍາລັງ (Power Series)................................................................................................ 111 7.4 ເຊຣີໄຕລໍຣ໌ (Taylor Series)............................................................................................... 114 7.5 ເຊຣີໄຕລໍຂອງຕໍາລາພ ື້ນຖານ (Taylor Series of Elementary Functions) ............................... 116 7.6 ວິທີການຫາເຊຣີກໍາລັງ......................................................................................................... 117 7.6.1 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການແທນໃນເອກະລັກສະເພາະ ......................................................117 7.6.2 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ສັງຄະນິດ ........................................................................117 7.6.3 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ເຊຣີເລຂາຄະນິດ...............................................................117 7.6.4 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ເຊຣີທະວີພົດ ແລະ ເສດສ່ວນຍ່ອຍ (Binomial Series and Partial Fractions) ......................................................................................................118 7.6.5 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ຊອກຫາຄ່າຜົນຕໍາລາ.........................................................119 7.6.6 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການທຽບສໍາປະສິດ (Unfertermined Confficients) .....................119 7.7 ເຊຣີລອຣ໌ເຣນທ໌ (Laurent Series) ...................................................................................... 120 ບົດເຝິກຫັດ 7........................................................................................................................... 124 ບົດເພີື່ມເຕີມ: ທິດສະດີມົວຣ໌ (De-Moivre’s Theorem) .................................................................... 127 ເອກະສານອ້າງອີງ ........................................................................................................................... 148


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers iv ສາລະບານຮູບພາບ ຮູບທີ 1.1 ເສັື້ນຊ ື່ແທນຈໍານວນຈິງ …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……… 1 ຮູບທີ 1.2 ການພົວພັນຂອງການເປັນກຸ່ມຍ່ອຍຂອງຈໍານວນຕ່າງໆ …….…….…….…….…….…….……... 2 ຮູບທີ 1.3 ເວັກເຕີແທນຈໍານວນສົນ …….…….…….…….…….…….…….……….…….………..…. 3 ຮູບທີ 1.4 ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນ …….…….…….…….…….…….…….….…….………. 3 ຮູບທີ 1.5 ການບວກຂອງຈໍານວນສົນແທນດ້ວຍເວັກເຕີ…….…….…….…….…….…….…….……….. 5 ຮູບທີ 1.6 ການລົບຂອງຈໍານວນສົນແທນດ້ວຍເວັກເຕີ…….…….…….…….…….…….…….…………. 5 ຮູບທີ 1.7 ຮາກຂັື້ນ 5 ຂອງ −32 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……. 10 ຮູບທີ 1.8 ຄ່າຂອງ ( ) 1 1 3 − + i …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….………... 10 ຮູບທີ 1.9 ຮາກຂັື້ນ 5 ຂອງ 1 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……….. 11 ຮູບທີ 2.1 ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…... 20 ຮູບທີ 2.2 ເມັດໃກ້1 ຂອງເມັດ 0 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……. 20 ຮູບທີ 2.3 A z z = : 3 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….………… 21 ຮູບທີ 2.4 A z z = : 1 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….………… 22 ຮູບທີ 2.5 B z z z z = − : 1 : 3 1 …….…….…….…….…….…….…….……….……. 23 ຮູບທີ 2.6 C z z z z = − + : 2 1 : 2 1 …….…….…….…….…….…….…….……….... 23 ຮູບທີ 2.7 ລັກສະນະຂອງຫວ່າງກໍານົດ ເຊິື່ງ 2 ເມັດໃນຫວ່າງກໍານົດບໍໍ່ສາມາດເຊ ື່ອມດ້ວຍເສັື້ນຊ ື່ເຊິື່ງຂີດຢູ່ໃນ ຫວ່າງກໍານົດ …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……………….. 25 ຮູບທີ 3.1 ການຈ້ອມຂອງອັນດັບ …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…….. 27 ຮູບທີ 3.2 ພົດທໍາອິດຂອງອັນດັບ n i n …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….. 29 ຮູບທີ 4.1 ເສັື້ນສະແດງຂອງຕໍາລາສົນ …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…. 37 ຮູບທີ 4.2 ເຂດທີື່ເປັນເຂດກໍານົດ ແລະ ເຂດຄຸນຄ່າຂອງຕໍາລາ …….…….…….…….…….…….…….… 38 ຮູບທີ 4.3 ເສັື້ນສະແດງເຂດກໍານົດ ແລະ ເຂດຄຸນຄ່າຂອງຕໍາລາ …….…….…….…….…….…….………. 39 ຮູບທີ 4.4 ຄວາມໝາຍຂອງ ( ) 0 lim z z f z A → = …….…….…….…….…….…….…….……….…….... 40 ຮູບທີ5.1 ເສັື້ນສະແດງຂອງຕໍາລາ x y e = ແລະ y x = ln …….…….…….…….…….…….…….…… 70 ຮູບທີ 6.1 ເສັື້ນໂຄ້ງຊະນິດຕ່າງໆ …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……… 75 ຮູບທີ 6.2 ເຂດກໍານົດພາຍໃນ ແລະ ເຂດກໍານົດພາຍນອກ …….…….…….…….…….…….…….……. 75 ຮູບທີ 6.3 ເຂດກໍານົດຊະນິດຕ່າງໆ …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……. 76 ຮູບທີ6.4 A z z = : 0 1 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……… 76 ຮູບທີ 6.5 C1 ມີທິດທາງບວກ, C2 ມີທິດທາງລົບ …….…….…….…….…….…….…….……….…. 76 ຮູບທີ 6.6 ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 , C2 , C3 , C4 …….…….…….…….…….…….…….……….…….……... 77 ຮູບທີ6.7 ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 ແລະ C2 ໃນຕົວຢ່າງ 6.3 …….…….…….…….…….…….…….……….….. 78 ຮູບທີ6.8 ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 , C2 ໃນຕົວຢ່າງ 6.5 …….…….…….…….…….…….…….……….…….… 80 ຮູບທີ 6.9 ເສັື້ນໂຄ້ງໃນຕົວຢ່າງ 6.8 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……. 82 ຮູບທີ 6.10 ບໍລິເວນ R ສໍາລັບທິດສະດີກ ິນ …….…….…….…….…….…….…….……….…….….. 83 ຮູບທີ 6.11 ບໍລິເວນ R ສໍາລັບທິດສະດີກ ິນ …….…….…….…….…….…….…….……….…….….. 84 ຮູບທີ 6.12 ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນຕົວຢ່າງ 6.11 …….…….…….…….…….…….…….…….. 86


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers v ຮູບທີ 6.13 ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນຕົວຢ່າງ 6.12 …….…….…….…….…….…….…….…….. 86 ຮູບທີ 6.14 ລັກສະນະຂອງ C1 , C2 ໃນທິດສະດີເພີື່ມ 6.1 …….…….…….…….…….…….…….…… 87 ຮູບທີ 6.15 ເສັື້ນໂຄ້ງ C ມີການປ່ຽນຮູບແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັບເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນບໍລິເວນ D …….…….…….…... 88 ຮູບທີ 6.16 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ 6.5 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…… 89 ຮູບທີ 6.17 ຮູບສໍາລັບຕົວຢ່າງ 6.13 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…... 90 ຮູບທີ 6.18 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ 6.6 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…… 90 ຮູບທີ 6.19 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ 6.7 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…… 91 ຮູບທີ6.20 ສໍາລັບທິດສະດີ 6.8 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….………. 95 ຮູບທີ 6.21 ຮູບສໍາລັບຕົວຢ່າງ 6.16 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…... 97 ຮູບທີ 6.22 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ6.10 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….….. 98 ຮູບທີ 6.23 ເສັື້ນໂຄ້ງ C z : 2 = …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……... 99 ຮູບທີ 6.24 ເສັື້ນໂຄ້ງ 1 : 2 C z = …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…….. 99 ຮູບທີ 6.25 ເສັື້ນໂຄ້ງ : 1 2 i C z − = …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….….. 99 ຮູບທີ 6.26 ເສັື້ນໂຄ້ງ C z : 2 = …….…….…….…….…….…….…….……….…….…….……. 101 ຮູບທີ 6.27 ເສັື້ນໂຄ້ງສໍາລັບຕົວຢ່າງ 6.19 …….…….…….…….…….…….…….……….…….…… 102 ຮູບທີ 7.1 ສີື່ແຈເຊິື່ງສ້າງຈາກພົດທີ n S ແລະ ພົດທີ A n …….…….…….…….…….…….…….……... 109 ຮູບທີ 7.2 ວົງມົນແຫ່ງການຈ້ອມ …….…….…….…….…….…….…….……….…….…………... 113 ຮູບທີ 7.3 ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນທິດສະດີຂອງໄຕລໍຣ໌…….…….…….…….…….…….……... 116 ຮູບທີ 7.4 ວົງແຫວນທີື່ມີຂອບເຂດເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນໃນທິດສະດີລອຣ໌ເຣນທ໌…….…….…….… 120


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 1 ບົດທີ 1 ຈໍານວນສົນ (Complex Numbers) ຈາກການສຶກສາຄະນິດສາດເບ ື້ອງຕົື້ນມາແລ້ວ ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ນັກຄະນິດສາດໄດ້ເຮັດການຈໍາແນກຈໍານວນຕ່າງໆ ໄວ້ເປັນໝວດໝູ່ ຫ ເອີື້ນອີກຢ່າງໜຶື່ງວ່າ: ກຸ່ມ (Set). ໃນແຕ່ລະກຸ່ມກໍໍ່ຈະມີຄຸນລັກສະນະສະເພາະຕົວຂອງມັນເອງ, ກຸ່ມ ຂອງຈໍານວນທີື່ພວກເຮົາໄດ້ຮູ້ຈັກ ແລະ ຄຸ້ນເຄີຍມາແລ້ວ ຄ ກຸ່ມຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ກຸ່ມຈໍານວນທໍາມະຊາດ (Natural Numbers) ຫ ເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມຈໍານວນຖ້ວນບວກ (Positive Numbers) ສະມາຊິກໃນກຸ່ມນີື້ຄ : 1, 2, 3, 2) ກຸ່ມຈໍານວນຖ້ວນລົບ ແລະ ສູນ (Negative Integers and Zero) ສະມາຊິກໃນກຸ່ມນີື້ຄ : 0, 1, 2, − − ສໍາລັບກຸ່ມທີື່ປະກອບໄປດ້ວຍສະມາຊິກຂອງກຸ່ມຈໍານວນຖ້ວນບວກຮ່ວມກັບສະມາຊິກຂອງຈໍານວນຖ້ວນລົບ, ຈະເອີື້ນ ວ່າ: ກຸ່ມຈໍານວນຖ້ວນ (Integers Numbers) 3) ກຸ່ມຈໍານວນປົກກະຕິ(Rational Numbers) ຫ ຈໍານວນເສດສ່ວນ (Fractions), ສະມາຊິກຂອງຈໍານວນ ປົກກະຕິນີື້ຈະມີຮູບຮ່າງ p q ເມ ື່ອ p , q ເປັນຈໍານວນຖ້ວນ ແລະ q 0 4) ກຸ່ມຈໍານວນອະປົກກະຕິ(Irration Numbers) ສະມາຊິກໃນກຸ່ມນີື້ຄ ຈໍານວນທີື່ບໍໍ່ເປັນຈໍານວນປົກກະຕິ ເຊັົ່ນ: 2 1.4123 ແລະ 3.14159 ກຸ່ມຂອງຈໍານວນປົກກະຕິລວມກັບຈໍານວນອະປົກກະຕິ ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມຈໍານວນຈິງ (Real Numbers), ສະມາຊິກແຕ່ລະຕົວຂອງກຸ່ມຈໍານວນຈິງ ຈະສາມາດແທນໂດຍເມັດເທິງເສັື້ນຊ ື່ໄດ້ ດັົ່ງຮູບທີ 1.1 ຮູບທີ 1.1 ເສັື້ນຊ ື່ແທນຈໍານວນຈິງ ຈາກກຸ່ມທີື່ເວົື້າມາຂ້າງເທິງ ນັກວິທະຍາສາດໄດ້ພົບວ່າຍັງບໍໍ່ສາມາດທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ສົມຜົນທີື່ມີຮູບຮ່າງ 2 x a + = 0 ເມ ື່ອ a ເປັນຈໍານວນຈິງບວກໃດໆ ມີໃຈຜົນໄດ້ ເພາະສົມຜົນນີື້ພວກເຮົາຈະໄດ້ໃຈຜົນເປັນ x a = − ເຊິື່ງຄ່າຂອງ −a ເມ ື່ອ a ເປັນຈໍານວນຈິງບວກໃດໆ ບໍໍ່ສາມາດຈັດໃຫ້ຢູ່ໃນກຸ່ມຈໍານວນທີື່ໄດ້ເວົື້າມາຂ້າງເທິງໄດ້. ດັົ່ງນັື້ນ, ເພ ື່ອ ໃຫ້ສົມຜົນ 2 x a + = 0 ນີື້ມີໃຈຜົນ, ນັກວິທະຍາສາດຈຶື່ງມີຄວາມຈໍາເປັນທີື່ຈະຕ້ອງສ້າງກຸ່ມຈໍານວນເພ ື່ອຮອງຮັບໃຈ ຜົນຂອງສົມຜົນໃນຮູບຮ່າງນີື້; ກຸ່ມທີື່ເກີດໃໝ່ນີື້ໄດ້ມີຊ ື່ເອີື້ນວ່າ: “ກຸ່ມຈໍານວນສົນ” (Complex Numbers) 1.1 ຈໍານວນສົນ ນິຍາມ 1.1 ຖ້າ z ເປັນຈໍານວນສົນໃດໆ ແລ້ວ z ຈະຢູ່ໃນຮູບຂອງຈໍານວນຈິງ x ແລະ y ດັົ່ງນີື້: z x iy = + ເມ ື່ອ i = −1 ດັົ່ງນັື້ນ, 2 i = −1 i ເອີື້ນວ່າ: “ໜ່ວຍສໍານຶກ” (Imaginary Unit) ຂອງຈໍານວນສົນ x ເອີື້ນວ່າ: “ພາກສ່ວນຈິງ” (Real Part) ຂອງຈໍານວນສົນ z ແລະ ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກເປັນ (z) y ເອີື້ນວ່າ: “ພາກສ່ວນສໍານຶກ” (Imaginary Part) ຂອງຈໍານວນສົນ z ແລະ ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກເປັນ (z)


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 2 ຮູບທີ 1.2 ການພົວພັນຂອງການເປັນກຸ່ມຍ່ອຍຂອງຈໍານວນຕ່າງໆ ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: x z =( ) ແລະ y z =( ) ຖ້າ = (z) 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້ z iy iy = + = 0 ເອີື້ນຈໍານວນສົນນີື້ວ່າ: ຈໍານວນສໍານຶກບໍລິສຸດ (Purely Imaginary) ຖ້າ = (z) 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້ z x i x = + = 0 ເອີື້ນຈໍານວນສົນນີື້ຈະເປັນຈໍານວນຈິງ. ດັົ່ງນັື້ນ, 0 ຈະເປັນໄດ້ ທັງຈໍານວນສໍານຶກບໍລິສຸດ ແລະ ຈໍານວນຈິງໃນເວລາດຽວກັນ. ຈາກນິຍາມຂອງຈໍານວນສົນ ຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: ຈໍານວນຈິງທຸກໆ ຈໍານວນເປັນຈໍານວນສົນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງເວົື້າ ໄດ້ວ່າ: ກຸ່ມຂອງຈໍານວນຈິງເປັນອະນຸກຸ່ມ (Subset) ຂອງກຸ່ມຈໍານວນສົນ, ການພົວພັນຂອງການເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງຈໍາ ນວນທີື່ເວົື້າມາຂ້າງເທິງນີື້ຈະສະແດງໃນຮູບທີ 1.2 ການເທົົ່າກັນຂອງຈໍານວນສົນ ໃຫ້ 1 1 1 z x iy = + ແລະ 2 2 2 z x iy = + ເປັນຈໍານວນສົນ 2 ຈໍານວນ, ຈະເວົື້າວ່າ: 1 2 z z = ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ 1 2 x x = ແລະ 1 2 y y = ນິຍາມ 1.2 ໃຫ້ z x iy = + ເປັນຈໍານວນສົນໃດໆ ແລ້ວຈະເອີື້ນ z x iy = − ວ່າເປັນຄ່າຄາດສົນ (Complex Conjugate) ຂອງ z ແລະ ໃນທໍານອງດຽວກັນພວກເຮົາເອີື້ນ z ວ່າ: ຄ່າຄາດຄູ່ສົນຂອງ z ຕົວຢ່າງ 1.1 1) z i = +3 4 z i = −3 4 2) z i = −5 8 z i = +5 8 3) z i = −2 z i = 2 4) z = −7 z = −7 ໜ້າພຽງຈໍານວນສົນ (Complex Plane) ພວກເຮົາໄດ້ເວົື້າມາຂ້າງເທິງວ່າ: ພວກເຮົາສາມາດແທນຈໍານວນຈິງແຕ່ລະຕົວໂດຍເມັດເທິງເສັື້ນຊ ື່, ຕໍໍ່ໄປນີື້ຈະເວົື້າ ເຖິງການແທນຈໍານວນສົນແຕ່ລະຕົວໃນໜ້າພຽງ xy . ໃນໜ້າພຽງ xy ນັື້ນຈະໃຊ້ແກນ x ແທນພາກສ່ວນຈິງຂອງຈໍາ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 3 ນວນສົນ ແລະ ແກນ y ແທນພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງຈໍານວນສົນ; ດັົ່ງຮູບທີ 1.3 ຈໍານວນສົນ z x iy = + ໃດໆ ອາດ ຈະໃຊ້ຄູ່ແຝດ ( x y, ) ແທນໄດ້ ໂດຍແຝດທໍາອິດຂອງຄູ່ແຝດຈະແທນພາກສ່ວນຈິງຂອງຈໍານວນສົນ ແລະ ທີື່ສອງຂອງ ຄູ່ແຝດຈະແທນພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງຈໍານວນສົນ, ຈາກທີື່ໄດ້ໃຊ້ຄູ່ແຝດ ( x y, ) ແທນຈໍານວນສົນ x iy + ໃນໜ້າ ພຽງ ພວກເຮົາຈະໄດ້ເວັກເຕີເຊິື່ງແທນຈໍານວນສົນ ດັົ່ງຮູບທີ1.3 ແກນສໍານຶກ (Imaginary Axis) iy z x y x iy = = + ( , ) ແກນຈິງ (Real Axis) x ຮູບທີ 1.3 ເວັກເຕີແທນຈໍານວນສົນ ຮູບຮ່າງໄຕມູມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນ (Polarcoordinates Form of Complex Numbers) ຖ້າວ່າຈະໃຊ້ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນ (r, ) ໃນໜ້າພຽງຂອງຈໍານວນສົນ ຈະສາມາດເຮັດໄດ້ໂດຍ ການກໍານົດໃຫ້ x r = cos ແລະ y r = sin ແລ້ວຈໍານວນສົນ z x iy = + 0 ໃດໆ ຈະສາມາດແທນໄດ້ດ້ວຍ ຮ່າງໄຕມຸມມິຕິເປັນ z r ir r i = + = + cos sin cos sin ( ) ຮູບຮ່າງຂອງ z ໃນພົດຂອງ r ແລະ ນີື້ຈະ ເອີື້ນວ່າ: ຮູບຮ່າງໄຕມູມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນ. ຄ່າຂອງ r ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ເອີື້ນວ່າ: “ຄ່າສໍາບູນ” (Absolute Value) ຫ “ໂມດຸນ” (Modulus) ຂອງ z ແລະ ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກ z ສະນັື້ນ, 2 2 z r x y = = + ແລະ ຄ່າຂອງ z ນີື້ກໍໍ່ຄ ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດເຄົື້າຫາເມັດ z ນັື້ນເອງ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າຂອງ z ຈະມີຄ່າເປັນບວກຕະຫ ອດ, ສ່ວນຄ່າຂອງ ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນ ກໍໍ່ຄ ມຸມທີື່ເກີດຈາກແກນ x ທາງດ້ານບວກກັບເວັກເຕີທີື່ແທນຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງຄ່າຂອງ ຈະມີການພົວພັນກັບ x y, ດັົ່ງນີື້: 1 tan y x − = ແລະ ເອີື້ນ ວ່າ: “ອັກກຸຍມັງ” (Argument) ຂອງຈໍານວນສົນ z ; ສໍາລັບຄ່າຂອງອັກກຸຍ ມັງທີື່ມີຄ່າຢູ່ໃນຫວ່າງ − , ພວກເຮົາຈະເອີື້ນວ່າ: “ອັກກຸຍມັງທີື່ສໍາຄັນ” (Principal Value of the Argument) ແລະ ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກເປັນ Arg z( ) , ສ່ວນອັກກຸຍມັງທີື່ຢູ່ນອກຈາກຫວ່າງ − , ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກ arg z( ) ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ການພົວພັນລະຫວ່າງ Arg z( ) ແລະ arg z( ) ວ່າ: arg z Arg z k ( ) = + ( ) 2 ເມ ື່ອ k ເປັນຈໍານວນຖ້ວນ, ແລະ ຈໍານວນສົນ z ໃດໆ ຈະຂຽນໃນຮູບຮ່າງຂອງໂມດຸນ ແລະ ອັກກຸຍມັງ ໄດ້ວ່າ: z z z i z z = + (cos arg sin arg , 0 ( ( )) ( ( ))) ເຖິງແມ່ນວ່າພວກເຮົາຈະສາມາດແທນຈໍານວນສົນດ້ວຍເວັກເຕີໄດ້ ແຕ່ຄຸນລັກສະນະບາງປະການຂອງເວັກເຕີກໍໍ່ບໍໍ່ ສາມາດຄ ກັບຄຸນລັກສະນະຂອງຈໍານວນສົນ ເຊັົ່ນ: ຜົນຄູນເວັກເຕີບໍໍ່ສາມາດຈະແທນດ້ວຍຜົນຄູນຂອງຈໍານວນສົນໄດ້. ແກນສໍານຶກ (Imaginary Axis) z z ແກນຈິງ (Real Axis) ຮູບທີ 1.4 ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 4 ຕົວຢ່າງ 1.2 ຈົົ່ງຊອກຫາໂມດຸນ, ອັກກຸຍມັງ ແລະ ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) i ໂມດຸນ 2 2 i = + = 0 1 1 ອັກກຸຍມັງ 1 1 tan 2 0 2 i k − = = + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ cos 2 sin 2 2 2 i k i k = + + + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 2) 1+ i ໂມດຸນ 2 2 1 1 1 2 + = + = i ອັກກຸຍມັງ 1 1 1 tan 2 1 4 i k − + = = + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ 1 2 cos 2 sin 2 4 4 i k i k + = + + + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 3) − +3 4i ໂມດຸນ ( ) 2 2 − + = − + = 3 4 3 4 5 i ອັກກຸຍມັງ 1 4 3 4 tan 3 i − − + = − ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ 1 1 4 4 3 4 cos tan sin tan 3 3 i i − − − + = + − − 1.2 ການດໍາເນີນການເບ ື້ອງຕົື້ນຂອງຈໍານວນສົນ ການດໍາເນີນການເບ ື້ອງຕົື້ນທີື່ຈະເວົື້າເຖິງໃນຫົວຂໍໍ້ນີື້ຄ : ການບວກ, ການລົບ, ການຄູນ ແລະ ການຫານ ເຊິື່ງການ ບວກ ແລະ ການລົບຂອງຈໍານວນສົນທັງຮູບຮ່າງ z x iy = + ແລະ z r i = + (cos sin ) ນັື້ນບໍໍ່ແຕກຕ່າງກັນ, ແຕ່ ສໍາລັບການຄູນ ແລະ ການຫານນັື້ນໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິຈະສະດວກ ແລະ ງ່າຍກວ່າລະບົບເສັື້ນເຄົື້າຫົວໜ່ວຍຕັື້ງສາກ. ການບວກຂອງຈໍານວນສົນ (Addition of Complex Numbers) ຫ ັກໃນການບວກຂອງຈໍານວນສົນກໍໍ່ຄ ການນໍາພາກສ່ວນຈິງມາບວກກັບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ນໍາພາກສ່ວນສໍານຶກ ມາບວກກັບພາກສ່ວນສໍານຶກ ເຊັົ່ນ:ໃຫ້ 1 1 1 z x iy = + ແລະ 2 2 2 z x iy = + ແລ້ວ z z x iy x iy 1 2 1 1 2 2 + = + + + ( ) ( ) = + + + ( x x i y y 1 2 1 2 ) ( ) ຜົນບວກຂອງຈໍານວນສົນ 1 z , 2 z ຈະເປັນຈໍານວນສົນ 1 2 z z + ເຊິື່ງມີ + = + (z z x x 1 2 1 2 ) = + (z z 1 2 ) ( ) + = + (z z y y 1 2 1 2 ) = + (z z 1 2 ) ( ) ການບວກຂອງຈໍານວນສົນ ສາມາດຈະແທນດ້ວຍການບວກກັນຂອງເວັກເຕີ ເຊັົ່ນ: ຖ້າ 1 1 1 z x iy = + ແທນດ້ວຍ ເມັດ ( x y 1 1 , ) ໃນໜ້າພຽງ xy ແລະ 2 2 2 z x iy = + ແທນດ້ວຍເມັດ ( x y 2 2 , ) ໃນໜ້າພຽງ xy ແລ້ວ z z x x i y y 1 2 1 2 1 2 + = + + + ( ) ( ) ຈະແທນໂດຍເມັດ ( x x y y 1 2 1 2 + + , ) ໃນໜ້າພຽງ xy . ການບວກຂອງຈໍານວນສົນນີື້ຈະຄ ກັບການບວກກັນຂອງເວັກເຕີ ດັົ່ງຮູບທີ 1.5


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 5 y z z x x y y 1 2 1 2 1 2 + = + + ( , ) z x y 2 2 2 = ( , ) z x y 1 1 1 = ( , ) x ຮູບທີ 1.5 ການບວກຂອງຈໍານວນສົນແທນດ້ວຍເວັກເຕີ ການລົບຂອງຈໍານວນສົນ (Subtraction of Complex Numbers) ການລົບຂອງຈໍານວນສົນກໍໍ່ຄ ການນໍາພາກສ່ວນຈິງມາລົບກັບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ນໍາພາກສ່ວນສໍານຶກມາລົບກັບ ພາກສ່ວນສໍານຶກ ເຊັົ່ນ:ໃຫ້ 1 1 1 z x iy = + ແລະ 2 2 2 z x iy = + ແລ້ວ z z x iy x iy 1 2 1 1 2 2 − = + − + ( ) ( ) = − + − ( x x i y y 1 2 1 2 ) ( ) ຜົນລົບຂອງຈໍານວນສົນ 1 z , 2 z ຈະເປັນຈໍານວນສົນ 1 2 z z − ເຊິື່ງມີ − = − (z z x x 1 2 1 2 ) = − (z z 1 2 ) ( ) − = − (z z y y 1 2 1 2 ) = − (z z 1 2 ) ( ) ເມ ື່ອພວກເຮົາແທນການລົບຂອງຈໍານວນສົນດ້ວຍເວັກເຕີ ເຊັົ່ນ: ຖ້າ 1 1 1 z x iy = + ແທນດ້ວຍເມັດ ( x y 1 1 , ) ໃນໜ້າພຽງ xy ແລະ 2 2 2 z x iy = + ແທນດ້ວຍເມັດ ( x y 2 2 , ) ໃນໜ້າພຽງ xy ແລ້ວ z z x x i y y 1 2 1 2 1 2 − = − + − ( ) ( ) ຈະແທນໂດຍເມັດ ( x x y y 1 2 1 2 − − , ) ໃນໜ້າພຽງ xy . ການລົບຂອງຈໍານວນສົນນີື້ຈະຄ ກັບການລົບກັນຂອງເວັກເຕີ ດັົ່ງຮູບທີ 1.6 y z x y 1 1 1 = ( , ) z x y 2 2 2 = ( , ) z z x x y y 1 2 1 2 1 2 − = − − ( , ) x − = − − z x y 2 2 2 ( , ) ຮູບທີ 1.6 ການລົບຂອງຈໍານວນສົນແທນດ້ວຍເວັກເຕີ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 6 ການຄູນຂອງຈໍານວນສົນ (Multiplication of Complex Numbers) ການຄູນຂອງຈໍານວນສົນ ພວກເຮົາຈະໃຊ້ຄຸນລັກສະນະການຄູນແບບທະວີພົດ (Binomial), ກົດການແຈກຢາຍ ແລະ ກົດການປ່ຽນກຸ່ມ ພ້ອມກັບການແທນຄ່າ 2 i = −1 ມາຊ່ວຍ ດັງຕໍໍ່ໄປນີື້: z z x iy x iy 1 2 1 1 2 2 = + + ( )( ) = − + + ( x x y y i x y x y 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ( ) ຖ້າພວກເຮົາໃຊ້ຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນໃນການບວກ ແລະ ການລົບ, ພວກເຮົາກໍໍ່ຈະໄດ້ຄ້າຍກັນກັບ ລະບົບເສັື້ນເຄົື້າຫົວໜ່ວຍຕັື້ງສາກ. ຕໍໍ່ໄປນີື້ພວກເຮົາຈະພິຈາລະນາການຄູນຂອງຈໍານວນສົນໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ຖ້າກໍາ ນົດໃຫ້ z r i 1 1 1 1 = + (cos sin ) ແລະ z r i 2 2 2 2 = + (cos sin ) ແລ້ວ 1 2 zz ຈະຢູ່ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ເຊິື່ງ 1 1 z r = arg(z1 1 ) = ; 2 2 z r = ແລະ arg(z2 2 ) = ສະນັື້ນ, z z r i r i 1 2 1 1 1 2 2 2 = + + (cos sin cos sin ) ( ) = − + + r r i 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 (cos cos sin sin cos sin cos sin ) ( ) = + + + r r i 1 2 1 2 1 2 cos sin ( ) ( ) ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ:ໃນການຄູນຂອງຈໍານວນສົນໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິນັື້ນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 2 1 2 z z z z = ແລະ arg arg arg (z z z z 1 2 1 2 ) = + ( ) ( ) ການຫານຂອງຈໍານວນສົນ (Division of Complex Numbers) ການຫານຂອງຈໍານວນສົນ ພວກເຮົາໃຊ້ຈໍານວນສົນຄາດຄູ່ຂອງຕົວຫານມາຄູນ ດັົ່ງນີື້: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 z x iy x iy z x iy x iy + − = + − ( 1 2 1 2 2 1 1 2 ) ( ) 2 2 2 2 x x y y i x y x y x y + + − = + ເມ ື່ອ 2 2 x y + 0 ໃນການຫານນັື້ນ ຈະສັງເກດເຫັນວ່າ: ຕົວຫານສາມາດຈະເປັນຈໍານວນສົນຕົວໃດກໍໍ່ໄດ້, ຍົກເວັື້ນ 0 . ພວກເຮົາຈະ ລອງພິຈາລະນາການຫານຂອງຈໍານວນສົນໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ຖ້າໃຫ້ z r i 1 1 1 1 = + (cos sin ) ແລະ z r i 2 2 2 2 = + (cos sin ) ແລ້ວ ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 cos sin cos sin z r i z r i + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin cos sin r i i r i i + − = + − ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) ( ) 1 2 2 2 2 2 cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin r i r + + − = + ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 cos sin r i r = − + − ຈາກການຫານຂອງຈໍານວນສົນໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 1 1 2 2 z z z z = ແລະ ( ) ( ) 1 1 2 2 arg arg arg z z z z = − ຖ້າກໍານົດໃຫ້ i z ມີຄ່າສໍາບູນເປັນ i r ແລະ ອັກກຸຍມັງເປັນ i ເມ ື່ອ i =1, 2, 3, ແລ້ວພວກເຮົາສາມາດຈະ ໃຊ້ການຂ ື້ນຂັື້ນທາງຄະນິດສາດ (Mathematical Induction) ພິສູດໄດ້ວ່າ: z z z r r r i 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n = + + + + + + + cos sin ( ) ( )


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 7 ຖ້າໃຫ້ z z z r i 1 2 = = = = + n cos sin ພວກເຮົາກໍໍ່ຈະໄດ້ທິດສະດີຂອງ ເດີ ມົວຣ໌ (De Moivre’s Theorem) ວ່າ: cos sin n n n n z r i = + ໃນກໍລະນີສະເພາະ z =1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos sin cos sin n n + = + i n i n ຕົວຢ່າງ 1.3 ຈົົ່ງຊອກຫາຜົນບວກ, ຜົນລົບ, ຜົນຄູນ ແລະ ຜົນຫານຂອງຈໍານວນສົນແຕ່ລະຄູ່ຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 1+ i ແລະ 1−i ຜົນບວກ (1 1 + + − i i ) ( ) = + + − (1 1 1 1 ) i( ) = 2 ຜົນລົບ (1 1 + − − i i ) ( ) = − + − − (1 1 1 1 ) i( ( )) = 2i ຜົນຄູນ (1 1 + − i i )( ) 2 = + − − 1 iii = 2 ຜົນຫານ 1 1 i i + − 1 1 1 1 i i i i + + = − + 2 2 2 1 2 1 i i i + + = − 2 2 i = = i 2) 2 + i ແລະ 3 4 − i ຜົນບວກ (2 3 4 + + − i i ) ( ) = + + − (2 3 1 4 ) i( ) = −5 3i ຜົນລົບ (2 3 4 + − − i i ) ( ) = − + − − (2 3 1 4 ) i( ( )) = − +1 5i ຜົນຄູນ (2 3 4 + − i i )( ) 2 = + − − 6 3 8 4 i i i = − 10 5i ຜົນຫານ 2 3 4 i i + − 2 3 4 3 4 3 4 i i i i + + = − + ( ) 2 2 2 6 11 4 3 4 i i i + + = −


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 8 2 11 25 + i = ຕົວຢ່າງ 1.4 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 3 1+ i 2 2 1 1 1 + = + i = 2 ( ) 1 1 arg 1 tan 1 i − + = ( ) 1 tan 1 − = 2 4 k = + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 1 2 cos 2 sin 2 4 4 i k i k + = + + + ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 3 3 1 2 cos 2 sin 2 4 4 i k i k + = + + + 3 3 2 2 cos 2 sin 2 4 4 k i k = + + + 1.3 ຮາກຂອງຈໍານວນສົນ (Roots of Complex Numbers) ຈາກການຄູນຂອງຈໍານວນສົນ ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ເມ ື່ອ z r i = + (cos sin ) ແລ້ວ (cos sin ) n n z r n i n = + ໂດຍການໃຊ້ສູດນີື້ ພວກເຮົາສາມາດທີື່ຈະຫາຮາກຂັື້ນ n ຂອງຈໍານວນສົນໄດ້ດັົ່ງນີື້: ໃຫ້ z r i 0 0 0 0 = + (cos sin ) ຕ້ອງການທີື່ຈະຊອກຫາຈໍານວນສົນ z r i = + (cos sin ) ເຊິື່ງ 0 n z z = ສະນັື້ນ, z ກໍໍ່ຄ ຮາກຂັື້ນ n ຂອງ 0 z ຈາກທີື່ (cos sin ) n n z r n i n = + ດັົ່ງນັື້ນ, (cos sin cos sin ) 0 0 0 ( ) n r n i n r i + = + ຈາກທີື່ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: cos sin 1 n i n + = ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ ສະນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ສົມຜົນ 0 n r r = (1.1) 0 0 cos sin cos sin n i n i + = + (1.2) ຈາກ (1.1) ແລະ (1.2) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 0 n r r z = = ແລະ ( ) 0 2 arg k z n + = = ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ດັົ່ງນັື້ນ, 1 1 0 0 0 0 2 2 cos sin n n k k z z r i n n + + = = + ສໍາລັບແຕ່ລະຄ່າຂອງ k ເມ ື່ອ k n = − 0, 1, 2, , 1 ( ) ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ຮາກຂັື້ນ n ຂອງ 0 z ຈະມີຢູ່ທັງໝົດ n ຄ່າ ໂດຍການແທນຄ່າ k ຕັື້ງແຕ່ 0 ຫາ n −1 ເມ ື່ອພວກເຮົາແທນຄ່າ k = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້ z ຕົວໜຶື່ງ ເຊິື່ງມີ ລັກສະນະດັົ່ງນີື້: 1 0 0 0 cos sin n z r i n n = + ຄ່າຂອງ z ຕົວນີື້ຈະເອີື້ນໃຫ້ແຕກຕ່າງກັບຕົວອ ື່ນໆ ວ່າ: “ຮາກຫ ັກ” (Principal Root) ຂອງ 0 z ຕົວຢ່າງ 1.5 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າທັງໝົດຂອງ z ເຊິື່ງ 5 z = −32


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 9 ປ່ຽນ −32 ໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ພວກເຮົາຈະໄດ້: − = + + + 32 32 cos 2 sin 2 ( k i k ) ( ) ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ຖ້າ z r i = + cos sin ໂດຍທິດສະດີຂອງ ເດີ ມົວຣ໌ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 5 5 z r i = + cos5 sin5 ຈາກທີື່ກໍານົດໃຫ້ 5 z = −32 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 5 r i k i k cos5 sin 5 32 cos 2 sin 2 + = + + + ສະນັື້ນ, 5 r = 32 ແລະ 5 2 = + k ເຊິື່ງພວກເຮົາຈະໄດ້: r = 2 ແລະ 2 5 k + = ດັົ່ງນັື້ນ, 2 2 2 cos sin 5 5 k k z i + + = + ເມ ື່ອ k = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 2 cos sin 5 5 z z i = = + ເມ ື່ອ k =1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 3 3 2 cos sin 5 5 z z i = = + ເມ ື່ອ k = 2 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 3 5 5 2 cos sin 2 5 5 z z i = = + = − ເມ ື່ອ k = 3 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 4 7 7 2 cos sin 5 5 z z i = = + ເມ ື່ອ k = 4 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 5 9 9 2 cos sin 5 5 z z i = = + ເມ ື່ອພວກເຮົາພິຈາລະນາຄ່າຂອງ z ເມ ື່ອ k = 5, 6, ຫ − − 1, 2, ພວກເຮົາຈະໄດ້ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງຊໍໍ້າກັບ 5 ຄ່າຂ້າງເທິງ ແລະ ຄ່າຂອງ z ທັງ 5 ຄ່ານີື້ ສະແດງດັົ່ງຮູບທີ 1.7 ຕົວຢ່າງ 1.6 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 1 1 3 − + i ປ່ຽນ − +1 i ໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 3 3 1 2 cos 2 sin 2 4 4 i k i k − + = + + + ( ) 1 1 6 3 3 3 2 2 4 4 1 2 cos sin 3 3 k k i i + + − + = + ເມ ື່ອ k = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 6 1 2 cos sin 4 4 z z i = = + ເມ ື່ອ k =1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 6 2 11 11 2 cos sin 12 12 z z i = = + ເມ ື່ອ k = 2 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 6 3 19 19 2 cos sin 12 12 z z i = = + ຄ່າຂອງ z ທັງ 3 ຄ່ານີື້ ສະແດງດັົ່ງຮູບທີ 1.8


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 10 y 2 z 1 z 3 z =−2 x 5 z 4 z ຮູບທີ 1.7 ຮາກຂັື້ນ 5 ຂອງ −32 y 1 z 2 z x 3 z ຮູບທີ 1.8 ຄ່າຂອງ ( ) 1 1 3 − + i ຕົວຢ່າງ 1.7 ຈົົ່ງຊອກຫາຮາກຂັື້ນ 5 ຂອງ 1 ປ່ຽນ 1 ໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 cos 0 2 sin 0 2 = + + + ( k i k ) ( ) 1 5 2 2 1 cos sin 5 5 k k i = + ເມ ື່ອ k = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: z z i = = + 1 cos 0 sin 0 ( ) ( ) ເມ ື່ອ k =1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 cos sin 5 5 z z i = = + ເມ ື່ອ k = 2 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 3 4 4 cos sin 5 5 z z i = = + ເມ ື່ອ k = 3 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 4 6 6 cos sin 5 5 z z i = = + ເມ ື່ອ k = 4 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 5 8 8 cos sin 5 5 z z i = = + ຄ່າຂອງ z ເຫ ົົ່ານີື້ສະແດງດັົ່ງຮູບທີ 1.9


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 11 y 3 z 2 z x 4 z 1 z =1 5 z ຮູບທີ 1.9 ຮາກຂັື້ນ 5 ຂອງ 1 ຈາກຕົວຢ່າງ 1.7 ລອງພິສູດເບິື່ງຮາກຂັື້ນ n ຂອງ 1 ໂດຍກໍານົດໃຫ້ z ເປັນຮາກຂັື້ນ n ຂອງ 1 ນັື້ນຄ 1 n z = ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 cos sin k k z i n n = + ເມ ື່ອ k n = − 0, 1, 2, , 1 ( ) ເມ ື່ອ k = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: z z i = = + 1 cos 0 sin 0 ( ) ( ) ເມ ື່ອ k =1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 cos sin 5 5 z z i u = = + = ເມ ື່ອ k = 2 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 3 4 4 cos sin 5 5 z z i u = = + = ເມ ື່ອ k = 3 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 3 4 6 6 cos sin 5 5 z z i u = = + = ເມ ື່ອ k n = −1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 cos sin 5 5 n n n n z z i u − − − = = + = ດັົ່ງນັື້ນ, ຮາກຂັື້ນ n ຂອງ 1 ເມ ື່ອຂຽນ u ພົດ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 1 1, , , , n u u u − ໃຫ້ 2 1 1 n s u u u − = + + + + (1.3) 2 3 n us u u u u = + + + + (1.4) ເອົາ (1.3 1.4 ) −( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 n s us u − = − ຈາກສົມຜົນນີື້ ຫາຄ່າ s ໄດ້ດັົ່ງນີື້: 1 1 n u s u − = − ແທນຄ່າ s ໃສ່ (1.3) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 1 1 1 1 n n u u u u u − − + + + + = − 1.4 ຄຸນລັກສະນະຂອງຄ່າສໍາບູນ ທິດສະດີ 1.1 ກໍານົດໃຫ້ 1 z ແລະ 2 z ເປັນຈໍານວນສົນໃດໆ ແລ້ວ 1 2 1 2 z z z z + + ໝາຍຄວາມວ່າ: ໃນທາງເລຂາຄະນິດ ລວງຍາວຂອງຂ້າງ 2 ຂ້າງຂອງຮູບສາມແຈລວມກັນກໍໍ່ຍາວກວ່າ ຫ ເທົົ່າ ກັບລວງຍາວຂອງຂ້າງທີື່ 3 ພິສູດ ຈາກ ( )( ) 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z + = + + = + + (z z z z 1 2 1 2 )( ) = + + + z z z z z z z z 1 1 1 2 2 1 2 2 ( )


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 12 ( ) 2 2 1 1 2 2 = + + z z z z 2 ແຕ່ = (z z z z z z 1 2 1 2 1 2 ) ສະນັື້ນ, 2 2 1 2 1 1 2 2 z z z z z z + + + 2 2 2 1 1 2 2 + + z z z z 2 ( ) 2 1 2 = + z z ດັົ່ງນັື້ນ, 1 2 1 2 z z z z + + ແລະ ໂດຍທົົ່ວໆ ໄປ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 1 2 3 1 2 3 n n z z z z z z z z + + + + + + + + ທິດສະດີ 1.2 ກໍານົດໃຫ້ 1 z ແລະ 2 z ເປັນຈໍານວນສົນໃດໆ ແລ້ວ 1 2 1 2 z z z z − − ໝາຍຄວາມວ່າ: ໃນທາງເລຂາຄະນິດ ຜົນລົບຂອງຂ້າງ 2 ຂ້າງຂອງຮູບສາມແຈກໍໍ່ສັື້ນກວ່າ ຫ ເທົົ່າກັບລວງຍາວ ຂອງຂ້າງທີື່ 3 ພິສູດ ຈາກ z z z z 1 2 1 2 = + − ( ) z z z z 1 2 1 2 = + − ( ) ຈາກທິດສະດີ 1.1 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 1 2 1 2 z z z z + − ດັົ່ງນັື້ນ, 1 2 1 2 z z z z − − ທິດສະດີ 1.3 ກໍານົດໃຫ້ 1 z ແລະ 2 z ເປັນຈໍານວນສົນໃດໆ ແລ້ວ 1 2 1 2 z z z z = ພິສູດ ຈາກຄຸນລັກສະນະຂອງສົນຄາດຄູ່ ທີື່ວ່າ: 2 z zz = ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( )( ) 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z = = (z z z z 1 2 1 2 )( ) = (z z z z 1 1 2 2 )( ) 2 2 1 2 = z z ( ) 2 1 2 = z z ດັົ່ງນັື້ນ, 1 2 1 2 z z z z = ແລະ ໂດຍທົົ່ວໆ ໄປ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 1 2 3 1 2 3 n n z z z z z z z z = ທິດສະດີ 1.4 ກໍານົດໃຫ້ 1 z ແລະ 2 z ເປັນຈໍານວນສົນໃດໆ ທີື່ 2 z 0 ແລ້ວ 1 1 2 2 z z z z = ທິດສະດີ 1.5 ກໍານົດໃຫ້ 1 z ແລະ 2 z ເປັນຈໍານວນສົນໃດໆ ແລ້ວ 1 2 1 2 z z z z − + ພິສູດ z z z z 1 1 2 2 = + + − ( ) ( ) 1 2 2 + + − z z z 1 2 2 = + + z z z ດັົ່ງນັື້ນ, 1 2 1 2 z z z z − + (1.5) ຈາກ (1.5) ແທນ 1 z ດ້ວຍ 2 z ແລະ ແທນ 2 z ດ້ວຍ 1 z


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 13 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 1 2 1 z z z z − + 1 2 = + z z ດັົ່ງນັື້ນ, − − − + ( z z z z 2 1 1 2 ) (1.6) ຈາກ (1.5) ແລະ (1.6) ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 1 2 1 2 z z z z − + ຕົວຢ່າງ 1.8 ໃຫ້ 1 z i = −1 ແລະ 2 z i = − +2 4 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 4 1 1 2 4 z z i i z z i i i i + + − + − + + = − + − − − + + 1 2 4 1 1 2 4 i i i i i − − + + = − + − + 3 3 4 i i = − 3 3 4 3 4 3 4 i i i i + = − + 9 12 9 15 i − = + 12 9 25 25 i − = + ( ) 2 144 81 25 + = 15 25 = 3 5 = 2) z z z z i i i i 1 2 2 1 + = − − − + − + + (1 2 4 2 4 1 )( ) ( )( ) = − − − + − + − ( 2 2 4 2 2 4 i i ) ( ) = −12 =12 1.5 ຄວາມສໍາພັນລະຫວ່າງຈໍານວນສົນ ແລະ ສົນຄາດຄູ່ ໃຫ້ 1 z , 2 z ເປັນຈໍານວນສົນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1) 1 2 1 2 z z z z + = + 2) 1 2 1 2 z z z z − = − 3) 1 2 1 2 z z z z = 4) 1 1 2 2 z z z z = ເມ ື່ອ 2 z 0 5) 1 1 − = − z z 6) 1 1 z z =


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 11 7) 1 1 z z + ຈະເປັນຈໍານວນຈິງ ນັື້ນກໍໍ່ຄ z z z 1 1 1 + = 2 ( ) 8) 1 1 z z − ຈະມີຄ່າເປັນຈໍານວນສໍານຶກບໍລິສຸດ ນັື້ນກໍໍ່ຄ z z z 1 1 1 − = 2 ( ) 9) 1 1 z z ຈະມີຄ່າເປັນບວກ ແລະ ເປັນຈໍານວນຈິງ ນັື້ນກໍໍ່ຄ 2 2 1 1 1 1 z z z z = = ຕົວຢ່າງ 1.9 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1 2 1 2 z z z z = ໃຫ້ 1 1 1 z x iy = + ແລະ 2 2 2 z x iy = + ແລ້ວ z z x iy x iy 1 2 1 1 2 2 = + + ( ) ( ) = + ( x x i y y 1 2 1 2 ) ( ) ດັົ່ງນັື້ນ, z z x x i y y 1 2 1 2 1 2 = − ( ) ( ) (1.7) ຈາກ 1 1 1 z x iy = − ແລະ 2 2 2 z x iy = − ດັົ່ງນັື້ນ, z z x iy x iy 1 2 1 1 2 2 = − − ( ) ( ) = − ( x x i y y 1 2 1 2 ) ( ) (1.8) ຈາກ (1.7) ແລະ (1.8) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 2 1 2 z z z z = ຕົວຢ່າງ 1.10 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1 2 1 2 z z z z = z z x iy x iy 1 2 1 1 2 2 = + + ( )( ) = − + + ( x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2 ) ( ) z z x x y y i x y x y 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 = − − + ( ) ( ) (1.9) ແລະ z z x iy x iy 1 2 1 1 2 2 = − − ( )( ) = − − + ( x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2 ) ( ) (1.10) ຈາກ (1.9) ແລະ (1.10) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 2 1 2 z z z z = ຕົວຢ່າງ 1.11 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1 1 2 2 z z z z = 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 z x iy x iy z x iy x iy + − = + − ( 1 2 1 2 2 1 1 2 ) ( ) 2 2 2 2 x x y y i x y x y x y + + − = + ( 2 1 1 2 ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y x y x y i x y x y + − = + + + ( 2 1 1 2 ) 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x x y y x y x y i z x y x y + − = − + + ເມ ື່ອ 2 z 0 (1.11) ແຕ່ພວກເຮົາມີ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 z x iy x iy z x iy x iy − + = − +


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 12 ( 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ( ) 2 2 2 2 x x y y i x y x y x y + + − = + ( 2 1 1 2 ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y x y x y i x y x y + − = − + + ເມ ື່ອ 2 z 0 (1.12) ຈາກ (1.7) ແລະ (1.8) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 2 1 2 z z z z =


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 13 ບົດເຝິກຫັດ 1 1. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 2 3 4 5 i i i i i i = − = − = = 1, , 1, , ແລະ 2 3 1 1 1 i i , 1, , i i i = − = − = 2. ໃຫ້ 1 z i = +3 4 ແລະ 2 z i = −5 2 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1) ( ) 2 1 2 z z − 2) 1 2 z z 3) 2 1 1 z 4) 2 1 2 z z 3. ຈົົ່ງຊອກຫາພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພກສ່ວນສໍານຶກຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 1 2 + i 2) 2x i − 3) ( ) 2 1+ i 4) ( ) 2 2 −i 5) a i −5 6) 2 i 7) 3i 8) 2 4. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1) 1 2 i + 2) ( ) 3 z ເມ ື່ອ z x iy = + 3) 2 3 4 i i + + 4) ( ) 4 z ເມ ື່ອ z x iy = + 5) ( ) 2 1 3 2 i i + + 6) z z ເມ ື່ອ z x iy = + 7) 2 3 4 i i − − 8) 2 1 z ເມ ື່ອ z x iy = +


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 14 5. ໃຫ້ລະບົບເສັື້ນເຄົື້າຫົວໜ່ວຍຕັື້ງສາກ (0, , u v ) y 1) ຈົົ່ງກໍານົດອັບຟິນຂອງເມັດ O A B C D E , , , , , 2) ຈົົ່ງກໍານົດອັກຟິນຂອງເວັກເຕີ OB AD EC EB , , , B ຄໍາແນະນໍາ: ຖ້າວ່າ ແລະ ເປັນອັບຟິນຂອງ A z ແລະ B z A ພວກເຮົາມີອັບຟິນ AB z z = − B A v 3) ຈົົ່ງກວດຄ ນເບິື່ງວ່າ ABCD ແມ່ນຮູບສີື່ແຈຂ້າງຂະໜານ. C O u x D E 6. ໃຫ້ເມັດ A B C D , , , ຢູ່ແຜ່ນພຽງສົນທີື່ມີອັບຟິນ a b c d , , , ຕາມລໍາດັບ. ຈົົ່ງຊີື້ແຈງວ່າ: ABCD ເປັນຮູບສີື່ແຈ ຂ້າງຂະໜານກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອວ່າ: a c b d + = + 7. ສໍາລັບເມັດ M ທຸກເມັດທີື່ມີອັບຟິນ z , ເພິື່ນໃຫ້ຈໍານວນສົນ 2 z z = 1) ຖ້າວ່າ z x iy = + ( x ແລະ y ເປັນຈໍານວນຈິງ), ຈົົ່ງສະແດງພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງຈໍາ ນວນສົນ z ຕາມຄ່າຂອງ x ແລະ y 2) ຈົົ່ງກໍານົດກຸ່ມຂອງເມັດ M ໂດຍວ່າ: z ເປັນຈໍານວນຈິງແລ້ວແຕ້ມກຸ່ມດັົ່ງກ່າວ. 8. ໃຫ້ 1 z , 2 z ແລະ 3 z ເປັນຈໍານວນສົນ. ຈົົ່ງພິສູດ 1) 1 2 2 1 z z z z + = + ແລະ 1 2 2 1 z z z z = 2) (z z z z z z 1 2 3 1 2 3 + + = + + ) ( ) ແລະ (z z z z z z 1 2 3 1 2 3 ) = + ( ) 3) z z z z z z z 1 2 3 1 2 1 3 ( + = + ) 4) iz iz = − 9. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: z ເປັນຈໍານວນຈິງ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ z z = 10. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: z ເປັນຈໍານວນສໍານຶກບໍລິສຸດ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ z z = 11. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: z ເປັນຈໍານວນຈິງ ຫ ຈໍານວນສໍານຶກບໍລິສຸດ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ ( ) 2 2 z z = 12. ຈົົ່ງພິສູດ = − (iz z ) ( ) ແລະ = (iz z ) ( ) 13. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1) (3 2 7 + + − − i i ) ( ) 2) (5 4 3 7 + + − i i ) ( ) 3) (2 5 2 2 + + − − i i ) ( ) 4) (2 4 2 4 − + − + i i ) ( ) 5) (3 4 2 x yi x yi − + − + ) ( ) 6) 2 3 4 2 6 7 + + + + − − ( i i i ) ( ) 7) (8 6 2 7 − − − i i ) ( ) 8) (5 3 2 + − + i i ) ( ) 9) (− + − + 2 4 2 i i ) ( ) 10) (2 3 2 3 − − + i i ) ( ) 11) (5 4 2 3 + − − i i ) ( )


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 15 12) 5 5 20 3 4 4 3 i i i + + − + 13) −3i 14) 1 4 4 i i + + 15) ( ) ( ) 4 3 3 4 3 4 i i + − 16) (5 3 1 2 7 5 + + − + + − i i i ) (( ) ( )) 17) (2 3 4 − − i i )( ) 18) (2 3 4 − − i i )( ) 19) (2 3 4 − − i i )( ) 20) (1 1 − − i i )( ) 21) (8 12 8 12 + − i i )( ) 22) ( a i b a i b + − )( ) 23) (0.5 0.2 2 3 + + i i )( ) 24) ((2 3 2 5 4 − − + − i i i )( ))( ) 25) 3 1 2 + i 26) 2 1 i − i 27) 1 1 i i + − 28) 1 1 i i − + 29) 1 3 1 3 i i + − 30) 6 6 2 i i − − 31) m i m 32) 2 a a i a + 33) 2 1+ i 34) cos sin +i 35) 1 1 z z − + 36) z z


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 16 14. ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນຄາດຄູ່ຂອງຈໍານວນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 3 2 + i 2) 12 5 − i 3) 5 2 − i 4) 2 + i 5) 1 3 + i 15. ຈົົ່ງກໍານົດຈໍານວນຄາດຄູ່ຂອງ ( )( ) ( ) 2 2 3 1 3 5 i i z i − + = + 16. ເພີື່ນວາງ 3 5 7 i i − = + ແລະ 3 5 7 i i + = − ຈົົ່ງຊີື້ແຈງວ່າ: + ແມ່ນຈໍານວນຈິງ ແລະ − ແມ່ນຈໍານວນ ສົນໃນຮູບຮ່າງ ib 17. ຈົົ່ງສະແດງຈໍານວນສົນທາງດ້ານເລຂາຄະນິດ 1) 1 z i = −5 2 2) 2 z i = − +3 5 3) 3 z i = −2 4) z i i 4 = + + + (2 3 1 4 ) ( ) 5) z i i 5 = + − + (2 3 1 4 ) ( ) 6) z i i 6 = − − + (4 2 2 3 ) ( ) 18. ຈົົ່ງຊອກຫາໂມດູນຂອງຈໍານວນສົນ 1) 5 2 i 2) −3 3) −4i 4) 1+ i 5) 1 3 −i 6) 3 2 +i 19. ຈົົ່ງຊີື້ແຈງສະເໝີຜົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) zz z z = 2) 1 1 z z = 20. ໃຫ້ຈໍານວນສົນ z a ib = + ( ab, ເປັນຈໍານວນຈິງ) ຈົົ່ງສະແດງໂມດູນຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້ຕາມຄ່າຂອງ a ແລະ b 1) z +1 2) 1 1 z − 3) 2 z −1 21. ຈົົ່ງຫາຄ່າອັກກຸຍມັງຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້ຕາມຄ່າຂອງ : 1) −3 2) 3 3 + i 3) 1 3 − i 4) −4i 5) −10i 6) −8


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 17 7) i −1 8) 3 −i 9) 5 5 + i 10) 1 3 + i 22. ຈົົ່ງສະແດງໂມດູນ ແລະ ອາກກຸຍມັງຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) z i = − +1 3 2) z i = +1 3) z z 23. ຈົົ່ງຊອກຫາຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 3 3 + i 2) 1 3 + i 3) − − 2 3 2i 4) 2 2 −i 5) 4 6) −2i 7) z = −5 8) z i = −4 9) z i = − −3 3 10) 1 4 3 z i = + 24. ຈົົ່ງຂຽນຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້ໃນຮູບຮ່າງພຶດຊະຄະນິດ 1) 4 4 3 cos sin 3 3 z i = + 2) 2 2 2 cos sin 3 3 z i = + 3) 3 cos sin 6 6 z i = + 25. ຈົົ່ງກໍານົດໂມດູນ ແລະ ອາກກຸຍມັງຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) z i = − +1 3 2) z i = +1 3) z z 26. ເພິື່ນວາງ 1 3 2 2 j i = − + . ຈົົ່ງກວດຄ ນວ່າ: 1, j ແລະ 2 j ແມ່ນ 3 ຄ່າຂອງຮາກຂັື້ນສາມຂອງ 1 27. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ 12 z =1 ໃນ 28. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z + + − = + 2 29. ຖ້າ 1 1 − z ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: arg ( ) 2 z 30. ຖ້າ z 1 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 1 arg 1 2 z z + − 31. ຈົົ່ງຂຽນຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປນີື້ໃນຮູບຮ່າງເອັກໂປນັງຊຽນ 1) −5i 2) 3 3 + i


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 18 3) ( ) 3 i −1 4) ( ) 7 3 + i 32. ຈົົ່ງປ່ຽນຜົນຄູນ cos sin ເປັນຜົນບວກ. 33. ຈົົ່ງປ່ຽນຜົນບວກຕໍໍ່ໄປນີື້ເປັນຜົນຄູນ S p q = + cos cos S p q = + sin sin 34. ຈົົ່ງສະແດງ cos3x ຕາມຄ່າຂອງ cos x 35. ຈົົ່ງໃຊ້ສູດມົວເວີຣ໌(Moivre) ເພ ື່ອຄິດໄລ່ 1) 9 cos sin 6 6 i + 2) 5 2 cos sin 6 6 i + 3) ( ) 16 1+ i 4) 12 1 3 2 2 i − − 36. ຈົົ່ງໃຊ້ສູດຂອງເອີແລ (Euler) ເພ ື່ອຄິດໄລ່ 1) 2 cos x 2) 2 sin x 3) 3 cos x 4) 3 sin x 5) 4 cos sin x x 6) 4 cos sin x x 37. ຈົົ່ງປ່ຽນຕໍາລາ ( ) 4 f x x = cos ແລະ ( ) 2 4 g x x x = cos sin ເປັນຕໍາລາຮອບວຽນຂອງ cos x 38. ຈົົ່ງຊອກຫາຮາກຂັື້ນສອງຂອງ z i = − − 15 8 39. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 1 4 z i = − − 2 3 2 40. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນຕໍໍ່ໄປນີື້ໃນ 1) 2 z z = +1 2) 2 z z = −1 3) 2 z z + + = 2 5 0 4) 2 z z − + = 3 31 0 5) ( )( ) ( ) 2 2 2 z z z + + + = 1 2 10 0 6) 3 z + =1 0 7) 4 z − =1 0 ( )( ) 2 2 z z z z − + + + = 6 10 6 10 0 41. ໃຫ້ ເປັນຈໍານວນຈິງ 1) ຈົົ່ງຄິດໄລ່ i i e e − + ແລະ i i e e − 2) ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ ( )( ) 2 2 z z z z − + + + = 2 cos 1 2 cos 1 0 42. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ ( ) 2 z i z i − − + + = 4 2 2 4 0 ໃນ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 19 43. ຈົົ່ງແກ້ລະບົບສົມຜົນໃນ 1 2 1 2 1 7 z z z z + = = 44. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນລຸ່ມນີື້: 1) 3 x + =1 0 2) 3 x − = 27 0 3) 6 3 x x − + = 9 9 0 45. ຈົົ່ງສ້າງສົມຜົນຂັື້ນສອງ ເຊິື່ງມີໃຈຜົນດັົ່ງນີື້: 1) 1 4 5 3 − + i , 1 4 5 3 − − i 2) 2 − i , 3 2 − i 46. ເພິື່ນໃຫ້ຕໍາລາ f ທີື່ມີຕົວປ່ຽນ z ເປັນຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງກໍານົດດັົ່ງນີື້: ( ) ( ) ( ) 3 2 f z z i z i z i = − + + + − 2 3 4 1 3 8 1) ຈົົ່ງກວດຄ ນເບິື່ງວ່າ: ( ) ( )( ) 2 f z z i z z = − − + 2 2 3 4 2) ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ f z( ) = 0 ໃນ 3) ຈົົ່ງຂຽນສົມຜົນ f z( ) = 0 ໃນຮູບຮ່າງພຶດຊະຄະນິດ ແລະ ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ 47. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນໃນ 1) ( ) 2 z z − + + = 1 2 2 0 2) 1 z 1 z + = ແລະ 1 z 2 z + = 48. ໃຫ້ພະຫຸພົດ P z( ) ເຊິື່ງກໍານົດດັົ່ງນີື້: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 P z z z z z = − + + + − + + 1 2 2 2 1 2 1 1) ຈົົ່ງສະແດງ ( ) 2 P z z ຕາມ 1 Z z z = + 2) ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ P z( ) = 0


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 20 ບົດທີ 2 ຄຸນລັກສະນະທາງໂຕໂປໂລຢີຂອງຈໍານວນສົນ ຈາກທີື່ເວົື້າມາແລ້ວວ່າ: ຈໍານວນສົນທຸກໆ ຈໍານວນສາມາດຈະແທນໄດ້ໂດຍເມັດໃນໜ້າພຽງສົນ, ເມັດຕ່າງໆ ເຫ ົົ່າ ນີື້ລວມກັນຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມຂອງເມັດ ແລະ ຈະເອີື້ນແຕ່ລະຈຸດວ່າ: ສະມາຊິກ (Member) ຂອງກຸ່ມ. ໃນບົດທີ 2 ນີື້ ພວກເຮົາຈະເວົື້າເຖິງເມັດ ແລະ ກຸ່ມຊະນິດຕ່າງໆ. 2.1 ເມັດໃກ້ (Neighborhood) ຄໍາວ່າຍ່ານເມັດນີື້ມາຈາກພາສາອັງກິດຄໍາວ່າ: Neighborhood ເຊິື່ງຖ້າແປງຕາມຕົວໝາຍເຖິງໝູ່ບ້ານໃກ້ຄຽງ, ນັື້ນກໍໍ່ຄ ຄົນທີື່ຢູ່ໃກ້ຄຽງທາງຊ້າຍ, ທາງຂວາ, ທາງໜ້າ ແລະ ທາງຫ ັງ. ນັກຄະນິດສາດໄດ້ນໍາຄໍານີື້ມາໃຊ້ທາງຄະນິດສາດ ໃນຄວາມໝາຍໃກ້ຄຽງກັນ ດັົ່ງນີື້: ນິຍາມ 2.1 ກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລະ 0 z ແມ່ນຈໍານວນສົນຕົວໜຶື່ງເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ຄ ກຸ່ມຂອງເມັດ z ທັງໝົດໃນໜ້າພຽງຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງມີໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດ 0 z ນ້ອຍກວ່າ ຫ ເວົື້າອີກຢ່າງວ່າ: ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ຄ ກຸ່ມຂອງເມັດ z ທັງໝົດ ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະ 0 z z − , ກຸ່ມເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ຈະສະແດງດັົ່ງຮູບທີ 2.1 ເຫັນໄດ້ວ່າ: ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ກໍໍ່ຄ ເມັດ z ທັງໝົດ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນວົງມົນທີື່ມີເມັດໃຈກາງຢູ່ທີື່ 0 z ແລະ ລັດສະໝີເທົົ່າກັບ ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກ ( ) 0 N z ; ແທນເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z y z 0 z x ຮູບທີ 2.1 ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ຕົວຢ່າງ 2.1 ກໍານົດໃຫ້ 0 z = 0 , =1 ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ກໍໍ່ຄ ເມັດໃກ້0 ຂອງເມັດ 1 ກໍໍ່ຄ ກຸ່ມຂອງ ເມັດ z ທັງໝົດ ເຊິື່ງ z z − = 0 1 ນິຍາມ 2.2 ເມັດ 0 z ຈະເອີື້ນວ່າ: ເມັດຂອບເຂດ (Limit Point) ຫ ເມັດສະສົມ (Accumulation Point) ຂອງກຸ່ມ A ຖ້າທຸກໆ ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ປະກອບໄປດ້ວຍເມັດໃນກຸ່ມ A ຢ່າງນ້ອຍ 1 ເມັດທີື່ບໍໍ່ແມ່ນເມັດ 0 z ສ່ວນເມັດຂອບເຂດ 0 z ນີື້ ອາດຈະຢູ່ໃນຂອບເຂດ A ຫ ບໍໍ່ກໍໍ່ໄດ້. y i −1 1 x −i ຮູບທີ 2.2 ເມັດໃກ້1 ຂອງເມັດ 0


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 21 ຕົວຢ່າງ 2.2 ໃຫ້ A ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດ z ທັງໝົດ ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະວ່າ z 3 ກຸ່ມ A ສະແດງດັົ່ງຮູບທີ 2.3 ຈາກຮູບຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ກຸ່ມ A ຄ ກຸ່ມຂອງເມັດພາຍໃນວົງມົນແຕ່ລະເມັດຂອງ z ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະວ່າ z = 3 ແມ່ນເມັດຂອງ z ເຊິື່ງຢູ່ເທິງເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ ເຊິື່ງມີລັດສະໝີເທົົ່າກັບ 3 ໝ່ວຍ ແລະ ເມັດໃຈກາງຢູ່ທີື່ເມັດ 0. ເມັດ z ເຫ ົົ່ານີື້ຈະເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງກຸ່ມ A ພວກເຮົາຈະສັງເກດເຫັນວ່າ: ເມັດ ຂອບເຂດເຫ ົົ່ານີື້ຂອງ A ຈະບໍໍ່ຢູ່ພາຍໃນກຸ່ມ A , ສ່ວນແຕ່ລະເມັດຂອງ z ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະ z 3 ກໍໍ່ຍັງເປັນເມັດ ຂອບເຂດຂອງ A ແລະ ຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: ເມັດຂອບເຂດຂອງ A ເຫ ົົ່ານີື້ຢູ່ພາຍໃນກຸ່ມ A ທັງໝົດ. y 3i −3 3 x −3i ຮູບທີ 2.3 A z z = : 3 ນິຍາມ 2.3 ເມັດ 0 z ຈະເອີື້ນວ່າ: ເມັດພາຍໃນ (Interior Point) ຂອງກຸ່ມ A ຖ້າປາກົດມີເມັດໃກ້ ຂອງ ເມັດ 0 z ຢູ່ພາຍໃນກຸ່ມ A ທັງໝົດ. ຕົວຢ່າງ 2. 3 ໃຫ້ A ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດ z ທັງໝົດ ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະ 0 1 z ຈາກນິຍາມຂອງເມັດພາຍໃນຂອງກຸ່ມ A ຈະໄດ້ວ່າ: ທຸກໆ ເມັດ ເຊິື່ງເປັນສະມາຊິກຂອງກຸ່ມ A ເປັນເມັດພາຍ ໃນຂອງກຸ່ມ A ນິຍາມ 2.4 ແຖວໃກ້ຄຽງ ຂອງເມັດ 0 z (Delete -Neighborhood of 0 z ) ຄ ກຸ່ມຂອງເມັດ z ທັງໝົດ ເຊິື່ງ z ມີຄຸນລັກສະນະ 0 0 − z z ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກ N z( 0 ; ) ແທນແຖວໃກ້ຄຽງ ຂອງເມັດ 0 z ນິຍາມ 2.5 ເມັດ 0 z ຈະເອີື້ນວ່າ: ເມັດພາຍນອກ (Exterior Point) ຂອງກຸ່ມ A ຖ້າປາກົດມີເມັດໃກ້ ຂອງ ເມັດ 0 z ຢູ່ພາຍໃນ − A ຫ ສ່ວນເຕີມເຕັມ (Complement) ຂອງ A ທັງໝົດ. ນິຍາມ 2.6 ເມັດ 0 z ຈະເອີື້ນວ່າ: ເມັດຂອບເຂດ (Boundary Point) ຂອງກຸ່ມ A ຖ້າທຸກໆ ເມັດໃກ້ ຂອງ ເມັດ 0 z ປະກອບໄປດ້ວຍເມັດທີື່ຢູ່ໃນກຸ່ມ A ແລະ ຢູ່ໃນສ່ວນເຕີມເຕັມຂອງ A ໃນຕົວຢ່າງ 2.2 ແຕ່ລະເມັດຂອງ z ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະ z = 3 ຄ ເມັດຂອງ z ເທິງເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ ໃນຮູບທີ 2.3 ຈະເປັນເມັດເທິງຂອບເຂດຂອງກຸ່ມ A ແລະ ແຕ່ລະເມັດຂອງ z ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະ z 3 ຄ ເມັດ ຂອງ z ພາຍນອກວົງມົນໃນຮູບທີ 2.3 ຈະເປັນເມັດພາຍນອກຂອງກຸ່ມ A ນິຍາມ 2.7 ກຸ່ມ S ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມເປີດ (Open Set) ຖ້າ S ປະກອບໄປດ້ວຍເມັດພາຍໃນເທົົ່ານັື້ນ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 22 ຕົວຢ່າງ 2.4 ກຸ່ມຕໍໍ່ໄປນີື້ເປັນກຸ່ມເປີດ: 1) S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດ z ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະ 0 1 z 2) ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ໃດໆ 3) ກຸ່ມເປົົ່າ 4) ກຸ່ມຂອງຈໍານວນສົນ ນິຍາມ 2.8 ກຸ່ມ S ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມປິດ (Closed Set) ຖ້າທຸກໆ ເມັດຂອບເຂດຂອງ S ຢູ່ໃນກຸ່ມ S ຕົວຢ່າງ 2.5 ກຸ່ມຕໍໍ່ໄປນີື້ເປັນກຸ່ມເປີດ: 1) S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດ z ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະ z 1 2) ກຸ່ມເປົົ່າ 3) A B ເມ ື່ອ A B, ເປັນກຸ່ມປິດ. 4) A B ເມ ື່ອ A B, ເປັນກຸ່ມປິດ. ນິຍາມ 2.9 ກຸ່ມ S ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ (Bounded Set) ຖ້າມີຈໍານວນຈິງບວກຄົງຄ່າ M ເຊິື່ງ ທຸກໆ ສະມາຊິກ z ຂອງ S ມີຄຸນລັກສະນະ z M ນິຍາມ 2.10 ກຸ່ມ S ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມໜາແໜ້ນ (Compact Set) ຖ້າ S ເປັນກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ ແລະ ເປັນ ກຸ່ມປິດ. ນິຍາມ 2.11 ການໂຮມຂອງກຸ່ມ A ກັບກຸ່ມຂອງເມັດຂອບເຂດຂອງ A ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມໂຄລເຊີຣ໌ຂອງ A (Closure of A ) ແລະ ໃຊ້ສັນຍາລັກ A ນິຍາມ 2.12 ກຸ່ມ S ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ (Connected Set) ຖ້າບໍໍ່ມີກຸ່ມເປີດ G ແລະ H ເຊິື່ງເປັນ ໄປຕາມເງ ື່ອນໄຂຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) G H 2) S G H 3) G H H S , ຕົວຢ່າງ 2.6 ຈົົ່ງພິຈາລະນາວ່າກຸ່ມຕໍໍ່ໄປນີື້ເປັນກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ ຫ ບໍໍ່ 1) A z z = : 1 ກຸ່ມ A ສະແດງຢູ່ໃນຮູບທີ 2.4 ຈາກນິຍາມ 2.12 ຈະໄດ້ວ່າ: A ເປັນກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ. y i −1 1 x −i ຮູບທີ 2.4 A z z = : 1 2) B z z z z = − : 1 : 3 1 ຈະສະແດງຢູ່ໃນຮູບທີ 2.5 ຈາກນິຍາມ 2.12 ໂດຍໃຫ້ G z z = : 1 ແລະ H z z = − : 3 1 ຈະໄດ້ວ່າ: B ເປັນກຸ່ມຂາດຕອນ.


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 23 y −1 1 2 4 x ຮູບທີ 2.5 B z z z z = − : 1 : 3 1 3) C z z z z = − + : 2 1 : 2 1 ຈະສະແດງຢູ່ໃນຮູບທີ 2.6 ໂດຍໃຫ້ G z z = − : 2 1 ແລະ H z z = + : 2 1 ແລ້ວ G , H ເບິື່ງຕາມນິຍາມ 2.12 ດັົ່ງນັື້ນ, C ເປັນກຸ່ມຂາດຕອນ. y −3 −1 1 3 x ຮູບທີ 2.6 C z z z z = − + : 2 1 : 2 1 ນິຍາມ 2.13 ກຸ່ມ A ຈະເອີື້ນວ່າ: ຫວ່າງກໍານົດ (Domain) ຖ້າ A ເປັນກຸ່ມປິດທີື່ບໍໍ່ຂາດຕອນ. ຕົວຢ່າງ 2.7 ຈົົ່ງພິຈາລະນາການເປັນຫວ່າງກໍານົດຂອງກຸ່ມຕໍໍ່ໄປນີື້ 1) A z z = : 0 1 A ແມ່ນຫວ່າງກໍານົດ, ເພາະວ່າ A ເປັນກຸ່ມເປີດ ແລະ A ຍັງເປັນກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ. 2) B z z = : 3 B ບໍໍ່ແມ່ນຫວ່າງກໍານົດ, ເພາະວ່າ B ເປັນກຸ່ມຂາດຕອນ. 3) C z z z z = − + : 2 1 : 2 1 C ບໍໍ່ແມ່ນຫວ່າງກໍານົດ, ເພາະວ່າ C ເປັນກຸ່ມຂາດຕອນ. 2.2 ທິດສະດີຕ່າງໆ ທິດສະດີ 2.1 ຖ້າ 0 z ເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງກຸ່ມ A ແລ້ວ ທຸກໆ ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ຈະປະກອບດ້ວຍ ເມັດຕ່າງໆ ໃນກຸ່ມ A ເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດ. ພິສູດ: ກໍານົດໃຫ້ 0 z ເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງ A ແລະ ສົມມຸດໃຫ້ເມັດໃກ້ຄຽງ ຂອງເມັດ 0 z ບາງຕົວ ປະກອບໄປດ້ວຍເມັດຕ່າງໆ ໃນກຸ່ມ A ເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດ ເຊິື່ງເມັດທີື່ນັບໄດ້ເຫ ົົ່ານີື້ກໍານົດໃຫ້ 1 2 , , , n z z z ແລະ ໃຫ້ min : 1,2,3, , z z i n 0 i = − = ແລ້ວເມັດໃກ້ຄຽງ ຂອງເມັດ 0 z ຈະບໍໍ່ມີເມັດໃດໆ ຂອງ A ເຊິື່ງຈະຂັດແຍ້ງກັບທີື່ 0 z ເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງ A ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ຖ້າ 0 z ເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງ ແລ້ວທຸກໆ ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ຈະຕ້ອງປະກອບດ້ວຍເມັດຕ່າງໆ ໃນ A ເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດ. ບົດເພີື່ມເຕີມ 2.1 ທຸກໆ ກຸ່ມ ເຊິື່ງເປັນກຸ່ມສິື້ນສຸດ (Finite Set) ຈະເປັນກຸ່ມປິດ.


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 24 ພິສູດ: ໃຫ້ A ເປັນກຸ່ມສິື້ນສຸດ ຈາກທິດສະດີ 2.1 ຈະໄດ້ວ່າ: ກຸ່ມຂອງເມັດຂອບເຂດຂອງ A ຈະເປັນກຸ່ມເປົົ່າ. ດັົ່ງນັື້ນ, A ຈະລວມເມັດຂອບເຂດຂອງ A ໄວ້ໝົດ ນັື້ນກໍໍ່ຄ A ເປັນກຸ່ມປິດ. ທິດສະດີ 2.2 ເມັດ 2 ເມັດໃດໆ ໃນຫວ່າງກໍານົດສາມາດທີື່ຈະເຊ ື່ອມຕໍໍ່ກັນໄດ້ ໂດຍເສັື້ນຫ າຍແຈ (Polygonal Paths) ເຊິື່ງຂີດໃຫ້ຢູ່ພາຍໃນຫວ່າງກໍານົດນັື້ນ. ພິສູດ: ກໍານົດໃຫ້ D ເປັນຫວ່າງກໍານົດ ແລະ 0 z ເປັນເມັດພາຍໃນ D ໃຫ້ A ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທັງໝົດໃນ D ເຊິື່ງສາມາດເຊ ື່ອມກັບເມັດ 0 z ໄດ້ ໂດຍເສັື້ນຫ າຍແຈ ເຊິື່ງຂີດຢູ່ພາຍ ໃນຫວ່າງກໍານົດ D ; ແລະ B ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທັງໝົດໃນ D ເຊິື່ງບໍໍ່ສາມາດເຊ ື່ອມກັບເມັດ 0 z ໄດ້ ໂດຍເສັື້ນຫ າຍ ແຈ ເຊິື່ງຂີດຢູ່ພາຍໃນຫວ່າງກໍານົດ D ; ຈາກຄຸນລັກສະນະຂອງ A ແລະ B ພວກເຮົາຈະໄດ້: D A B = ແລະ A B = ຕໍໍ່ໄປພວກເຮົາຈະຕ້ອງການພິສູດວ່າ: B = ໃຫ້ 1 z A ຈະໄດ້ 1 z D ແລະ ຈາກ D ເປັນກຸ່ມເປີດເພາະເປັນຫວ່າງກໍານົດ. ສະນັື້ນ, ຈະມີ 1 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ເຊິື່ງ N z D ( 1 1 ; ) ແຕ່ທຸກໆ ເມັດໃນ N z( 1 1 ; ) ສາມາດທີື່ຈະເຊ ື່ອມກັບ 1 z ໂດຍເສັື້ນຊ ື່ ເຊິື່ງຂີດຢູ່ພາຍໃນ D . ດັົ່ງນັື້ນ, ແຕ່ລະເມັດຂອງ N z( 1 1 ; ) ຕ້ອງຢູ່ພາຍໃນ A ເຊິື່ງຈະເຮັດໃຫ້ໄດ້ວ່າ: A ເປັນກຸ່ມ ເປີດ. ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ໂດຍໃຫ້ 2 z B ແລ້ວ 2 z D ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະມີ 2 z 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ເຊິື່ງ N z D ( 2 2 ; ) ສະນັື້ນ, ທຸກໆ ເມັດໃນ N z( 2 2 ; ) ຕ້ອງຢູ່ພາຍໃນ B ເພາະຖ້າມີເມັດ z N z ( 2 2 ; ) ແລະ 2 z B ແລ້ວ z ກໍໍ່ຕ້ອງຢູ່ພາຍໃນ A . ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະມີເສັື້ນຫ າຍແຈທີື່ຂີດຢູ່ໃນ D ແລະ ເຊ ື່ອມລະຫວ່າງ 0 z ກັບ z ແລະ ຈາກ z ໄປຫາ 0 z ຈະເຊ ື່ອມໄດ້ໂດຍເສັື້ນຊ ື່ທີື່ຂີດຢູ່ພາຍໃນຫວ່າງກໍານົດ D ກໍໍ່ຈະເກີດເສັື້ນຫ າຍແຈ ເຊິື່ງ ສາມາດທີື່ຈະເຊ ື່ອມກັບ 0 z ໂດຍເສັື້ນຫ າຍແຈ, ແລ້ວເສັື້ນຊ ື່ຈາກ 2 z ໄປຫາ b ສາມາດຈະເຊ ື່ອມກັບເສັື້ນຫ າຍແຈ ເຊິື່ງຂີດຈາກ 0 z ໄປຫາ 2 z ເຊິື່ງຈະຂັດແຍ້ງກັບທີື່ 2 z B ດັົ່ງນັື້ນ, N z B ( 2 2 ; ) ຈະເຮັດໃຫ້ B ເປັນກຸ່ມເປີດ. ຈາກທີື່ D ເປັນກຸ່ມທີື່ບໍໍ່ຂາດຕອນ, ສະນັື້ນ, ກຸ່ມ A ຫ ກຸ່ມ B ຕ້ອງເປັນກຸ່ມເປົົ່າ, ແຕ່ພວກເຮົາມີ 0 z A ດັົ່ງນັື້ນ, B = ນັື້ນກໍໍ່ຄ D A = ຕົວຢ່າງ 2.8 ໃຫ້ , , , 2 3 i i A i = ຈົົ່ງຕອບຄໍາຖາມລຸ່ມນີື້: 1) A ເປັນກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ ຫ ບໍໍ່ A ເປັນກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ ເພາະວ່າ: ຖ້າພວກເຮົາກໍານົດໃຫ້ M = 2 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: z M ສໍາລັບ ທຸກໆ ເມັດ ໃນ A 2) ຈົົ່ງຊອກຫາເມັດຂອບເຂດຂອງ A ເມັດຂອບເຂດຂອງ A ຄ z = 0 ເພາະວ່າທຸກໆ ເມັດໃກ້ຄຽງ N (0; ) ຂອງເມັດ z = 0 ປະກອບດ້ວຍ ເມັດໃນ A ເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດ. 3) A ເປັນກຸ່ມປິດ ຫ ບໍໍ່ A ບໍໍ່ເປັນກຸ່ມປິດ ເພາະວ່າ: ເມັດຂອບເຂດ z = 0 ບໍໍ່ຢູ່ໃນ A 4) ຈົົ່ງຊອກຫາເມັດພາຍໃນ ແລະ ເມັດຂອບເຂດຂອງ A A ບໍໍ່ມີເມັດພາຍໃນ ເພາະວ່າ: ທຸກໆ ເມັດ, ເມັດໃກ້ ຂອງເມັດໃດໆ ໃນ A ຈະປະກອບດ້ວຍເມັດທີື່ຢູ່ທັງ ໃນ A ແລະ ບໍໍ່ຢູ່ໃນ A ດັົ່ງນັື້ນ, ສະມາຊິກໃນ A ລວມທັງເມັດ z = 0 ຈະເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງ A 5) A ເປັນກຸ່ມເປີດ ຫ ບໍໍ່ A ບໍໍ່ເປັນກຸ່ມເປີດ ເພາະວ່າ: A ບໍໍ່ແມ່ນກຸ່ມທີື່ປະກອບດ້ວຍເມັດພາຍໃນທັງໝົດ. 6) A ເປັນກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ ຫ ບໍໍ່


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 25 A ເປັນກຸ່ມຂາດຕອນ ເພາະວ່າ: ຖ້າເຊ ື່ອມຕໍໍ່ 2 ເມັດໃດໆ ໃນ A ດ້ວຍສ່ວນຂອງເສັື້ນຊ ື່ ຈະມີເມັດເທິງສ່ວນ ເສັື້ນຊ ື່ທີື່ບໍໍ່ໄດ້ຢູ່ໃນ A 7) A ເປັນຫວ່າງກໍານົດ ຫ ບໍໍ່ A ບໍໍ່ເປັນຫວ່າງກໍານົດ ເພາະວ່າ: A ບໍໍ່ເປັນຫວ່າງເປີດ ແລະ A ເປັນກຸ່ມຂາດຕອນ. 8) ຈົົ່ງຊອກຫາໂຄລເຊີຣ໌ຂອງ A ໂຄລເຊີຣ໌ຂອງ A ຄ 0, , , , 2 3 i i A i = 0 z 1 z 0 z 1 z 1 z 0 z ຮູບທີ 2.7 ລັກສະນະຂອງຫວ່າງກໍານົດ ເຊິື່ງ 2 ເມັດໃນຫວ່າງກໍານົດບໍໍ່ສາມາດເຊ ື່ອມດ້ວຍເສັື້ນຊ ື່ ເຊິື່ງຂີດຢູ່ໃນຫວ່າງກໍານົດ ຂໍໍ້ຄວນສັງເກດ: 1) ອາດຈະມີ 2 ເມັດພາຍໃນຫວ່າງກໍານົດ ເຊິື່ງບໍໍ່ສາມາດເຊ ື່ອມກັນໄດ້ ໂດຍສ່ວນຂອງເສັື້ນຊ ື່ ເຊິື່ງຂີດພາຍໃນ ຫວ່າງກໍານົດນັື້ນ. ດັົ່ງຮູບທີ 2.7 2) ກັບຄ ນທິດສະດີ2.2 ກໍໍ່ຍັງເປັນຄວາມຈິງ ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ຖ້າເມັດ 2 ເມັດໃດໆ ໃນກຸ່ມເປີດສາມາດຈະເຊ ື່ອມຕໍໍ່ກັນ ໄດ້, ໂດຍເສັື້ນຫ າຍແຈ ເຊິື່ງຂີດພາຍໃນກຸ່ມເປີດນັື້ນແລ້ວ ກຸ່ມເປີດນັື້ນສາມາດເປັນກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ.


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 26 ບົດເຝິກຫັດ 2 1. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ກຸ່ມ A ເຊິື່ງ A ເປັນກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ ຖ້າໃຫ້ 0 z ຈະມີຈໍານວນຈິງ M ເຊິື່ງ z N z M ( 0 ; ) ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z A 2. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ກຸ່ມ A ເປັນກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ ກຸ່ມຂອງພາກສ່ວນຈິງຂອງກຸ່ມ A ແລະ ກຸ່ມຂອງ ພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງກຸ່ມ A ຈະເປັນກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ. 3. ຈົົ່ງອະທິບາຍກຸ່ມຕໍໍ່ໄປນີື້ໃນລັກສະນະຂອງກຸ່ມເປີດ, ກຸ່ມປິດ, ກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ ແລະ ກຸ່ມທີື່ມີຂາດຕອນ. 1) z z :1 2 ບໍໍ່ລວມ z ເມ ື່ອ z ເປັນຈໍານວນຈິງ 2) x x: ແລະ x ເປັນຈໍານວນປົກກະຕິ 3) z z x iy : = + ເມ ື່ອ x y , ເປັນຈໍານວນປົກກະຕິ 4) x x: ແລະ x ເປັນຈໍານວນຖ້ວນ 4. ໃຫ້ S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດ ເຊິື່ງຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ x iy + ເມ ື່ອ x y , ເປັນຈໍານວນປົກກະຕິ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນຮູບຈະຕຸ ລັດ. ຈົົ່ງຕອບຄໍາຖາມຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) S ກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ ຫ ບໍໍ່? 2) ຈົົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ S ຖ້າມີ y 3) S ເປັນກຸ່ມປິດ ຫ ບໍໍ່? 4) ຈົົ່ງຊອກຫາເມັດພາຍໃນ ແລະ ເມັດຂອບເຂດຂອງ S i 1+ i 5) S ເປັນກຸ່ມເປີດ ຫ ບໍໍ່? 6) S ເປັນກຸ່ມບໍໍ່ຂາດຕອນ ຫ ບໍໍ່? 0 1 x 7) S ເປັນຫວ່າງກໍານົດ ຫ ບໍໍ່? 8) ຈົົ່ງຊອກຫາໂຄລເຊີຣ໌ຂອງ S 9) ຈົົ່ງຊອກຫາສ່ວນເຕີມເຕັມຂອງ S 10) S ເປັນກຸ່ມໜາແໜ້ນ ຫ ບໍໍ່? 5. ໃຫ້ ເປັນກຸ່ມໃດໆ ຖ້າເມັດຂອບເຂດຂອງກຸ່ມ ບໍໍ່ເປັນສະມາຊິກຂອງກຸ່ມ ແລ້ວ. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ເມັດຂອບເຂດນັື້ນຈະ ຕ້ອງເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງ 6. ຈົົ່ງພິຈະລະນາວ່າ: ກຸ່ມຕໍໍ່ໄປນີື້ທີື່ບໍໍ່ເປັນທັງກຸ່ມເປີດ ແລະ ກຸ່ມປິດ ໃຫ້ເຫດຜົນປະກອບດ້ວຍ 1) z z z i : , 2 1 − + 2) z z z : , 2 3 4 + 3) z z z : , 1 ( ) 4) : , 0, 0 arg( ) 4 z z z z 5) z z z z : , 4 − 7. ກຸ່ມໃດໃນຂໍໍ້ 6. ເປັນກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດ. 8. ຈົົ່ງຊອກຫາເມັດຂອບເຂດຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) : , 1, 2, 3, n n n z z i n = = 2) : , 1, 2, 3, n n n i z z n n = = 3) ( 1 1 1 ) ( )( ) : , 1, 2, 3, n n n i n z z n n − + − = =


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 27 ບົດທີ 3 ອັນດັບຈໍານວນສົນ (Sequences of ComplexNumbers) ອັນດັບຈໍານວນສົນກໍໍ່ຄ ຮູບພາບຂອງການສົົ່ງ (Mapping) ຈາກກຸ່ມຂອງຈໍານວນທໍາມະຊາດ ໄປຫາກຸ່ມ ຂອງຈໍານວນສົນ ; ພວກເຮົາອາດຈະຂຽນສັນຍາລັກຂອງອັນດັບຂອງຈໍານວນສົນ ເປັນ z n ຫ ຂຽນໃນແຕ່ລະພົດ (Term) ເຊັົ່ນ: 1 2 3 z z z , , , ຈະເອີື້ນ n z ວ່າເປັນພົດທີື່ n ຂອງອັນດັບຂອງຈໍານວນສົນ z n ຕໍໍ່ໄປພວກເຮົາຈະ ເອີື້ນອັນດັບຂອງຈໍານວນສົນສັື້ນໆວ່າ: ອັນດັບຈໍານວນສົນ 3.1 ອັນດັບຈໍານວນສົນ ເມ ື່ອໄດ້ພວກເຮົາຮູ້ຈັກກັບອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ແລ້ວ, ພວກເຮົາລອງພິຈາລະນາຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ ອັນດັບຈໍານວນສົນກັບກຸ່ມ ເຊິື່ງມີສະມາຊິກເປັນພົດຂອງອັນດັບຈໍານວນສົນ ເຊັົ່ນ: ອັນດັບຈໍານວນສົນ 2 3 + i , 2 3 + i , 2 3 + i , ມີຈໍານວນພົດບໍໍ່ສິື້ນສຸດ; ກຸ່ມທີື່ມີສະມາຊິກແຕ່ລະພົດຂອງອັນດັບຈໍານວນສົນນີື້ຄ ເຊິື່ງໃນກຸ່ມນີື້ ປະກອບດ້ວຍສະມາຊິກພຽງ ສະມາຊິກເທົົ່ານັື້ນ. ຕົວຢ່າງ 3.1 ອັນດັບຈໍານວນສົນ i , −1, −i , 1, i , −1, −i , ເປັນອັນດັບຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງເປັນຮູບພາບ ຂອງການສົົ່ງຈາກຈໍານວນທໍາມະຊາດ 1, 2, 3, ໄປຫາຈໍານວນສົນ ກໍານົດໂດຍ n n i → ດັື້ງນັື້ນ, ອັນດັບຈໍາ ນວນສົນ i i i i , 1, , 1, , 1, , − − − − ອາດຂຽນແທນສັື້ນໆ ໄດ້ວ່າ: n i ກຸ່ມທີື່ມີສະມາຊິກເປັນພົດຂອງອັນດັບນີື້ຄ i i , 1, , 1 − − ອັນດັບຈໍານວນສົນ 2 ອັນດັບ ຄ : z n , wn ຈະເວົື້າວ່າເທົົ່າກັນກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອພົດທີື່ທຽບເທົົ່າກັນ ນັື້ນຄ n n z w= , = k 1, 2, 3, . ສ່ວນອັນດັບ z n ເຊິື່ງແຕ່ລະພົດເປັນພົດດຽວກັນໝົດ ເຊັົ່ນ: 1; 1, 2, 3, k z k k = + = ຈະເອີື້ນວ່າ: ອັນດັບຄົງຄ່າ (Constant Sequence) ຕໍໍ່ໄປພວກເຮົາຈະເວົື້າເຖິງການຈ້ອມ ແລະ ການຫວາຂອງອັນດັບຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງນິຍາມຕໍໍ່ໄປນີື້ຈະເປັນຄວາມໝາຍ ຂອງອັນດັບຈ້ອມ ແລະ ອັນດັບຫວາຂອງຈໍານວນສົນ. ນິຍາມ 3.1 ອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ຈະເວົື້າວ່າ: ມີຂອບເຂດທີື່ z ຫ ຈ້ອມ (Converges) ຫາເມັດ 0 z ຈະ ໃຊ້ສັນຍາລັກວ່າ: lim n n z z → = ໝາຍຄວາມວ່າ: ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີຈໍານວນທໍາ ມະຊາດ ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ n z z − ສໍາລັບ n ຄວາມໝາຍນີື້ໃນທາງຄະນິດສາດກໍໍ່ຄ : ທຸກໆ ເມັດຂອງ n z ເມ ື່ອ n ຈະຢູ່ພາຍໃນເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ z ໃນກໍລະນີທີື່ອັນດັບຂອງຈໍານວນສົນຈ້ອມຈະຈ້ອມຫາເມັດໆ ໜຶື່ງ ຈະເອີື້ນອັນດັບຈໍານວນສົນນີື້ວ່າ: ອັນດັບຈ້ອມ (Convergent Sequence); ແລະ ອັນດັບທີື່ບໍໍ່ມີຂອບເຂດ ຫ ບໍໍ່ຈ້ອມຫາເມັດໃດເມັດໜຶື່ງ ຈະເອີື້ນວ່າ: ອັນດັບຫວາ (Divergent Sequence) y z (z0 ; ) 2 z 1 z 3 z x ຮູບທີ 3.1 ການຈ້ອມຂອງອັນດັບ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 28 ຕົວຢ່າງ 3.2 ອັນດັບຕໍໍ່ໄປນີື້ເປັນອັນດັບຈ້ອມ ຫ ອັນດັບຫວາ 1) 1 n ເປັນອັນດັບຈ້ອມຫາເມັດ 0 2) ( 1) n − ເປັນອັນດັບຫວາ ເພາະຈ້ອມເຂົື້າຫາ 2 ຄ່າ ຄ : −1 ແລະ 1 3) 2 5 6 7 1 3, 2, , , , n 3 4 5 + = ເປັນອັນດັບຈ້ອມຫາເມັດ 1 4) n =1, 2, 3, ເປັນອັນດັບຫວາ 5) 1 2 3 5 5 7 3 2 1 1 3 , 2 , , , 2 3 3 4 2 i i i i i n n − + + = + + + + ເປັນອັນດັບຈ້ອມຫາເມັດ 2 + i ທິດສະດີ 3.1 ຖ້າ z n ອັນດັບຈ້ອມ ແລ້ວ z n ຈະມີຄ່າຂອບເຂດພຽງຄ່າດຽວເທົົ່ານັື້ນ. ສໍາລັບການພິສູດທິດສະດີນີື້ຈະໄວ້ເປັນແບບເຝີກຫັດສໍາລັບນັກສຶກສາ. ອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ເມ ື່ອຂຽນໃນແຕ່ລະພົດຈະໄດ້ 1 2 3 z z z , , , ຖ້າສະແດງພົດທີື່ n ໃນຮູບແບບຂອງ ພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ ພວກເຮົາຈະໄດ້ n n n z x iy = + ເຊິື່ງພວກເຮົາຈະໄດ້ອັນດັບຂອງພາກສ່ວນຈິງ ຄ : 1 2 3 , , , n x x x x = ແລະ ອັນດັບຂອງພາກສ່ວນສໍານຶກ ຄ : 1 2 3 , , , n y y y y = ຕົວຢ່າງ 3.3 ອັນດັບ 1 2 2 1 n z i n n = − + + ຈ້ອມຫາເມັດ 2 + i 3 5 5 7 3 1 3 , 2 , , , 2 3 3 4 2 n z i i i i = + + + + ຈະໄດ້ອັນດັບຂອງພາກສ່ວນຈິງຄ : 357 1, , , , 234 ແລະ ອັນດັບຂອງພາກສ່ວນສໍານຶກຄ : 5 3 3, 2, , , 3 2 ພວກເຮົາຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: ອັນດັບຂອງພາກສ່ວນຈິງຈ້ອມຫາຄ່າ 2 ແລະ ອັນດັບຂອງພາກສ່ວນສໍານຶກຈະ ຈ້ອມຫາຄ່າ 1 ເຊິື່ງຜົນອັນນີື້ຈະເວົື້າເຖິງໃນທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 3.2 ກໍານົດໃຫ້ z n ເປັນອັນດັບຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງ n n n z x iy = + ສໍາລັບ n =1, 2, 3, ແລ້ວ lim n n z a ib → = + ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ lim n n x a → = ແລະ lim n n y b → = ພິສູດ () ສົມມຸດໃຫ້ lim n n z a ib → = + ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ຈະມີເລກຈໍານວນທໍາມະຊາດ M ເຊິື່ງ ສໍາລັບ n M ແລ້ວ z a ib n − + ( ) = + − + ( x iy a ib n n ) ( ) ພິຈາລະນາ z a ib x iy a ib n n n − + = + − + ( ) ( ) ( ) = − + − ( x a i y b n n ) ( ) ສະນັື້ນ, x a x a i y b n n n − − + − ( ) ( ) ແລະ y b x a i y b n n n − − + − ( ) ( ) n x a − ແລະ n y b − ເມ ື່ອ n ນັື້ນກໍໍ່ຄ lim n n x a → = ແລະ lim n n y b → =


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 29 () ສົມມຸດໃຫ້ lim n n x a → = ແລະ lim n n y b → = ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ຈະມີເລກຈໍານວນທໍາມະຊາດ N ເຊິື່ງ ສໍາລັບ n N ແລ້ວ 2 n x a − ແລະ 2 n y b − ພິຈາລະນາ z a ib x iy a ib n n n − + = + − + ( ) ( ) ( ) = − + − ( x a i y b n n ) ( ) − + − x a i y b n n ( ) ຈາກອະສົມຜົນຂອງຮູບສາມແຈ n n = − + − x a y b 2 2 + = ສະນັື້ນ, lim n n z a ib → = + ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: lim n n z a ib → = + ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ lim n n x a → = ແລະ lim n n y b → = ຕົວຢ່າງ 3.4 ອັນດັບ 1 1, 1, 1, n = ເປັນອັນດັບຄົງຄ່າ ເຊິື່ງຈ້ອມຫາຄ່າ 0 z =1 ເພາະວ່າທຸກໆ ເມັດໃກ້ ຂອງ 1 ຈະປະກອບໄປດ້ວຍພົດທັງໝົດຂອງອັນດັບ 1 n ຕົວຢ່າງ 3.5 ອັນດັບ 1 1 , , , , 2 3 4 n i i i n = − − ອັນດັບນີື້ຈະຈ້ອມຫາຄ່າ 0 ເພາະອັນດັບນີື້ຈະມີຄ່າເຂົື້າ ໃກ້ 0 ໃນເວລາທີື່ n ເຂົື້າໃກ້ y 5 z 1 z 8 z 2 z 4 z x 6 z 3 z 7 z ຮູບທີ 3.2 ພົດທໍາອິດຂອງອັນດັບ n i n ຕົວຢ່າງ 3.6 ອັນດັບ ( 1) n − + i ເປັນອັນດັບຫວາ ເພາະວ່າ: ເມ ື່ອ n → ອັນດັບນີື້ຈະຈ້ອມຫາຂອບເຂດ 2 ຄ່າຄ − +1 i ແລະ 1+ i ຕົວຢ່າງ 3.7 ອັນດັບ ( ) 3 3 ni i i i n i = − − − − , 8 , 27 , , ເປັນອັນດັບຫວາ ເພາະວ່າ: ເມ ື່ອ n ມີຄ່າ ຫ າຍໆ ຂ ື້ນ, ພົດທີື່ n ຂອງອັນດັບກໍໍ່ຈະມີຄ່າຫ າຍຂ ື້ນ ຈົນບໍໍ່ຈ້ອມໄປທີື່ຄ່າໃດເລີຍ. ນິຍາມ 3.2 ອັນດັບ 1 2 3 z z z , , , ຈະເວົື້າວ່າ: ອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ (Bounded Sequence), ຖ້າມີຈໍານວນ ຈິງບວກ M ເຊິື່ງພົດທັງໝົດຂອງອັນດັບຈະຢູ່ພາຍໃນທໍໍ່ກົມ ເຊິື່ງມີລັດສະໝີເທົົ່າກັບ M ແລະ ເມັດໃຈກາງທີື່ເມັດ


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 30 ເຄົື້າ ນັື້ນກໍໍ່ຄ : , n z M n ໃນກໍລະນີທີື່ອັນດັບບໍໍ່ເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ ຈະເອີື້ນວ່າ: ອັນດັບບໍໍ່ມີຂອບເຂດ (Unbounded Sequence) ຕໍໍ່ໄປນີື້ກໍໍ່ຈະເວົື້າເຖິງທິດສະດີຂອງອັນດັບ ເຊິື່ງກ່ຽວຂ້ອງກັບອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ ແລະ ອັນດັບທີື່ບໍໍ່ມີຂອບເຂດ. ທິດສະດີ 3.3 ອັນດັບຈ້ອມທຸກໆ ອັນດັບຈະເປັນອັນດັບມີຂອບເຂດ. ພິສູດ ກໍານົດໃຫ້ z n ເປັນອັນດັບຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງຈ້ອມຫາ 0 z ນັື້ນກໍໍ່ຄ 0 lim n n z z → = ຖ້າກໍານົດໃຫ້ =1 ແລ້ວຈະມີ N ເຊິື່ງ ສໍາລັບ n N ພວກເຮົາຈະໄດ້: 0 1 n z z − 0 0 1 n n z z z z − − ສະນັື້ນ, 0 1 n z z + ສໍາລັບ n N (3.1) ກໍານົດໃຫ້ M z z z z max , , , , 1 2 3 n = ສະນັື້ນ, n z M ສໍາລັບ n N (3.2) ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກ (3.1) ແລະ (3.2) ; ແລະ ໃຫ້ M M z max ;1 0 = + ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: M ເປັນຈໍາ ນວນຈິງບວກ ເຊິື່ງ n z M ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ n ; ນັື້ນກໍໍ່ຄ z n ເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ. ຈາກຜົນຂອງທິດສະດີ 3.3 ຈະເວົື້າໄດ້ວ່າ: ຖ້າອັນດັບໃດເປັນອັນດັບທີື່ບໍໍ່ມີຂອບເຂດແລ້ວ, ອັນດັບນັື້ນຈະເປັນອັນ ດັບຫວາ, ພິສູດກັບຂອງທິດສະດີ 3.3 ນີື້ຈະບໍໍ່ເປັນຄວາມຈິງດັົ່ງຈະເຫັນໄດ້ຈາກຕົວຢ່າງຕໍໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 3.8 ອັນດັບ 1) 1, 0, 1, 0, ເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ, ແຕ່ບໍໍ່ເປັນອັນດັບຈ້ອມ. 2) 1, 2, 3, ເປັນອັນດັບທີື່ບໍໍ່ມີຂອບເຂດ ແລະ ເປັນອັນດັບຫວາ. 3) 1 1 1 , 2, , 3, , 4, 2 3 4 ເປັນອັນດັບທີື່ບໍໍ່ມີຂອບເຂດ ແລະ ເປັນອັນດັບຫວາ. 3.2 ອັນດັບຍ່ອຍ (Subsequences) ນິຍາມ 3.3 ອັນດັບຍ່ອຍ ຂອງອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ຄ : ອັນດັບ z nk ເຊິື່ງແຕ່ລະພົດເລ ອກມາຈາກອັນດັບ z n ແລະ ລຽງອັນດັບກ່ອນຫ ັງຄ ກັບອັນດັບ z n ຕົວຢ່າງ 3.9 ໃຫ້ ( 1) n n z = − 1) ( ) 2 2 1 k k n k z z = = − ເມ ື່ອ k =1, 2, 3, ( ) 2 1 k − ຈະເປັນອັນດັບຍ່ອຍຂອງອັນດັບ ( 1) n − ເຊິື່ງອັນດັບຍ່ອຍນີື້ຈະຈ້ອມຫາຄ່າ 1 2) ( ) 2 1 2 1 1 l l n l z z − = = − − ເມ ື່ອ l =1, 2, 3, ( ) 2 1 1 l− − ຈະເປັນອັນດັບຍ່ອຍຂອງອັນດັບ ( 1) n − ເຊິື່ງອັນດັບຍ່ອຍນີື້ຈະຈ້ອມຫາຄ່າ −1 ທິດສະດີ 3.4 ຖ້າອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ຈ້ອມຫາຄ່າ 0 z ແລ້ວທຸກໆ ອັນດັບຍ່ອຍ z nk ຂອງອັນດັບຈໍາ ນວນສົນ z n ຈະຈ້ອມຫາຄ່າ 0 z ດ້ວຍ. ພິສູດ ໃຫ້ 0 lim n n z z → =


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 31 ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນເລກຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີຈໍານວນທໍາມະຊາດ N ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ n 0 z z − ສໍາລັບ n N ດັົ່ງນັື້ນ, 0 k n z z − ສໍາລັບ k n n n N ນັື້ນກໍໍ່ຄ 0 lim k k n n z z → = ທິດສະດີຕໍໍ່ໄປຂອງອັນດັບຈໍານວນສົນຈະຕ້ອງອາໄສເລ ື່ອງສໍາຄັນຂອງອັນດັບຈໍານວນຈິງມາຊ່ວຍ. ດັົ່ງນັື້ນ, ກ່ອນທີື່ ເວົື້າເຖິງທິດສະດີຂອງຈໍານວນສົນຕໍໍ່ໄປ, ພວກເຮົານໍາທິດສະດີບາງທິດສະດີຂອງອັນດັບຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງພວກເຮົາຈະອ້າງ ເຖິງ ການລວບລວມໄວ້ໃນທີື່ນີື້ ໂດຍບໍໍ່ພິສູດ. ຈາກຄຸນລັກສະນະຂອງຈໍານວນຈິງ, ພວກເຮົາໄດ້ຮູ້ແລ້ວວ່າ: ຖ້າກຸ່ມຂອງຈໍານວນຈິງມີຂອບເຂດເທິງ (Upper Bound) ແລ້ວ, ຈະມີຂອບເຂດເທິງຄ່ານ້ອຍທີື່ສຸດ (Least Upper Bound) ແລະ ໃນທໍານອງດຽວກັນ ຖ້າກຸ່ມ ຂອງຈໍານວນຈິງມີຂອບເຂດລຸ່ມ (Lower Bound) ແລ້ວຈະມີຂອບເຂດລຸ່ມຄ່າຫ າຍທີື່ສຸດ (Greatest Upper Bound) ນິຍາມ 3.4 ອັນດັບຈໍານວນຈິງ xn ຈະເອີື້ນວ່າ: ອັນດັບເພີື່ມຂ ື້ນທາງດຽວ (Monotonically Increasing) ຖ້າວ່າ n n 1 x x + ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ n . ອັນດັບຈໍານວນຈິງ xn ຈະເອີື້ນວ່າ: ອັນດັບຫ ຼຸດລົງທາງດຽວ (Monotonically Decreasing) ຖ້າວ່າ n n 1 x x + ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ n . ແລະ ອັນດັບຈໍານວນຈິງ xn ຈະ ເອີື້ນວ່າ: ອັນດັບທາງດຽວ (Monotonically Sequence) ຖ້າວ່າ xn ເປັນອັນດັບເພີື່ມຂ ື້ນທາງດຽວ ຫ ອັນດັບຫ ຼຸດ ລົງທາງດຽວ. ທິດສະດີ 3.5 (Monotone Convergent Theorem) ທຸກໆ ອັນດັບຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງເປັນອັນດັບທາງດຽວຈະຈ້ອມ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ. ນັື້ນກໍໍ່ຄ ຖ້າວ່າ xn ເປັນອັນດັບຂອງຈໍານວນຈິງທີື່ເປັນອັນດັບທາງດຽວ ແລະ 0 lim n x x x → = ເມ ື່ອ 0 x ເປັນຄ່າຄົງຄ່າໜຶື່ງ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ xn ເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ. ທິດສະດີ 3.6 ທຸກໆ ອັນດັບຂອງຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງມີຂອບເຂດ ຈະມີອັນດັບຍ່ອຍຈ້ອມຢ່າງນ້ອຍ 1 ອັນດັບ. ຈາກທິດສະດີ3.5 ແລະ 3.6 ນີື້ຈະສາມາດເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາພິສູດທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 3.7 ທຸກໆ ອັນດັບຈໍານວນສົນທີື່ມີຂອບເຂດ (Bounded Sequence) ຈະມີອັນດັບຍ່ອຍຈ້ອມຢ່າງ ນ້ອຍ 1 ອັນດັບ. ພິສູດ ໃຫ້ອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ, ນັື້ນກໍໍ່ຄ ຈະມີຈໍານວນຈິງບວກ M ເຊິື່ງ n z M ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ n ຈາກ n n n z x iy = + ສະນັື້ນ, 2 2 n n n z x y M = + ແຕ່ພວກເຮົາມີ 2 2 n n n x x y + ແລະ 2 2 n n n y x y + ດັົ່ງນັື້ນ, n x M ແລະ , n y M n ນັື້ນກໍໍ່ຄ xn ແລະ yn ຈະ ເປັນອັນດັບຈໍານວນຈິງທີື່ມີຂອບເຂດ ໂດຍທິດສະດີ 3.6 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ອັນດັບຈໍານວນຈິງ xn ແລະ yn ຈະມີອັນດັບຍ່ອຍຈ້ອມ xnk ແລະ ynk ຕາມລໍາດັບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າໃຫ້ k k k n n n z x iy = + ແລ້ວ z nk ຈະເປັນອັນ ດັບຍ່ອຍຂອງອັນດັບ z n ແລະ ຈາກທິດສະດີ 3.2 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ອັນດັບຍ່ອຍ z nk ເປັນອັນດັບຈ້ອມ. 3.3 ອັນດັບໂກຊີ (Cauchy-Sequences) ນິຍາມ 3.5 ອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ຈະເອີື້ນວ່າ: ອັນດັບໂກຊີ ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີຈໍານວນທໍາມະຊາດ N ເມ ື່ອ m n N , ແລ້ວ m n z z − ທິດສະດີ 3.8 ອັນດັບຈໍານວນສົນ z n ຈະຈ້ອມ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ z n ເປັນອັນດັບໂກຊີ.


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 32 ພິສູດ () ສົມມຸດໃຫ້ z n ຈ້ອມຫາຄ່າ 0 z ສະນັື້ນ, ຈາກນິຍາມພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍາ ນວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີຈໍານວນທໍາມະຊາດ N ເຊິື່ງ 0 2 n z z − ສໍາລັບ n N (3.3) ຖ້າໃຫ້ m ເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດໃດໆ ເຊິື່ງ m n ຈາກ (3.3) ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: m n N ດັົ່ງນັື້ນ, 0 2 m z z − ສໍາລັບ m n ພິຈາລະນາ m n m n 0 0 z z z z z z − = − + − = − − − (z z z z m n 0 0 ) ( ) = − + − − (z z z z m n 0 0 ) ( ( )) − + − − z z z z m n 0 0 ( ) m n 0 0 − + − z z z z 2 2 + = ສໍາລັບ m n N , ນັື້ນກໍໍ່ຄ z n ເປັນອັນດັບໂກຊີ. () ສົມມຸດໃຫ້ z n ອັນດັບໂກຊີ. ສະນັື້ນ, ຈາກນິຍາມພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນ ຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີຈໍານວນທໍາມະຊາດ N ເຊິື່ງ m 0 z z − ເມ ື່ອ m n N , ຖ້າໃຫ້ =1 ແລະ m N= +1 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ສໍາລັບ n N ແລ້ວ 1 1 n N z z − + 1 1 1 n N n N z z z z − − + + ດັົ່ງນັື້ນ, 1 1 n N z z + + ສໍາລັບ n N ໃຫ້ M z z z z max , , , , 1 2 3 n = ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: n z M ສໍາລັບ n N =1,2, , ກໍານົດໃຫ້ M M z max ,1 N 1 = + + ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: , n z M n ດັົ່ງນັື້ນ, z n ເປັນອັນດັບທີື່ມີ ຂອບເຂດ ແລະ ຈາກທິດສະດີ3.7 z n ຈະມີອັນດັບຍ່ອຍ z nk ເຊິື່ງຈ້ອມຫາເມັດ 0 z ພວກເຮົາຈະຕ້ອງພິສູດວ່າ: z n ຈະຈ້ອມຫາເມັດ 0 z ພິຈາລະນາ 2 k n n z z − (ເພາະວ່າ z n ເປັນອັນດັບໂກຊີ) 0 2 k n z z − (ເພາະວ່າ z nk ຈ້ອມຫາ 0 z ) 0 2 2 n z z − + = ສໍາລັບ n N


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 33 ດັົ່ງນັື້ນ, z n ຈ້ອມຫາ 0 z ຈາກການພິສູດຂ້າງເທິງ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: z n ເປັນອັນດັບຈ້ອມ ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ z n ເປັນອັນດັບໂກຊີ. ຕົວຢ່າງ 3.10 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: lim 1 1, n z z → n + = ພິຈາລະນາ 1 1 z z n n + − = ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງ z n ພວກເຮົາຈະໄດ້: z n z n N = ດັື້ງນັື້ນ, ຖ້າມີ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີຈໍານວນທໍາມະຊາດ N ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ 1 1 z n + − ສໍາລັບ n N ນັື້ນກໍໍ່ຄ lim 1 1, n z z → n + =


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 34 ບົດເຝິກຫັດ 3 1. ຈົົ່ງຊອກຫາພົດທີື່ 1, 2, 3 ຂອງອັນດັບຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 3 n n + 2) 2 2 1 n n + 3) 3 n i n 4) 1 in n + 5) n 2 i n n i + 6) ( 1 2 ) n − + n i 2. ຈົົ່ງຊອກຫາພົດທີື່ 1, 2, 3, 4 ແລະ 5 ຂອງອັນດັບ ເຊິື່ງມີ 1 z =1, 2 2 i z = ແລະ n n n 1 1 z iz z = − − ເມ ື່ອ n = 3, 4, 5, ແລະ ຈົົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດຂອງອັນດັບນີື້. 3. ອັນດັບຕໍໍ່ໄປນີື້ ອັນໃດເປັນອັນດັບມີຂອບເຂດ, ອັນໃດເປັນອັນດັບຈ້ອມ, ໃນກໍລະນີທີື່ເປັນອັນດັບຈ້ອມ ຈົົ່ງຊອກ ຫາຂອບເຂດຂອງອັນດັບ: 1) n i 2) n i n 3) 1 in n + 4) 2 n n i + 5) ( ) 3 1 n n − 6) 4 in i 4. ໃຫ້ອັນດັບ z n ຈ້ອມຫາ 0 z ແລະ ອັນດັບ wn ຈ້ອມຫາ w0 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 1) ອັນດັບ z w n n + ຈ້ອມຫາ 0 0 z w+ 2) ອັນດັບ z wn n ຈ້ອມຫາ 0 0 zw 5. ອັນດັບໃດຕໍໍ່ໄປນີື້ເປັນອັນດັບຈ້ອມ: 1) n i 2) cos sin n i n n + 3) 0 n z ເມ ື່ອ 0 z 1


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 35 4) 1 1 1 1 2 3 n n + + + + 6. ຖ້າອັນດັບ z n ຈ້ອມ, ຈົົ່ງສະແເດງວ່າ: ອັນດັບ z n ເປັນອັນດັບຈ້ອມ, ພິສູດກັບຂອງປະໂຫຍກນີື້ເປັນຈິງ ຫ ບໍໍ່? 7. ຖ້າອັນດັບ z n ຈ້ອມຫາ 0 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ອັນດັບ 1 2 n z z z n + + + ຈະຈ້ອມຫາ 0 8. ຖ້າອັນດັບ z n ຈ້ອມຫາ 0 z ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ອັນດັບ 1 2 n z z z n + + + ຈະຈ້ອມຫາ 0 z 9. ຈົົ່ງຊອກຫາຕົວຢ່າງຂອງອັນດັບ ເຊິື່ງ 1) ບໍໍ່ເປັນອັນດັບຈ້ອມ, ແຕ່ມີເມັດຂອບເຂດພຽງເມັດດຽວ. 2) ເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດ n ເມັດ, ສໍາລັບ n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນໃດໆ ທີື່ກໍານົດໃຫ້. 3) ເປັນອັນດັບທີື່ມີເມັດຂອບເຂດເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດບໍໍ່ຖ້ວນ. 10. ໃຫ້ 1 1 n n k s = k = ຈົົ່ງໃຊ້ກົດຂອງໂກຊີ ສະແດງວ່າອັນດັບ sn ຈ້ອມ. 11. ໃຫ້ z n ເປັນອັນດັບ ເຊິື່ງ ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ຈະມີຈໍານວນທໍາມະ ຊາດ N ເຊິື່ງເມ ື່ອ n N ແລ້ວ n n 1 z z + − ຈົົ່ງຍົກຕົວຢ່າງເພ ື່ອທີື່ຈະສະແດງວ່າ: ອັນດັບ z n ຕາມຄຸນ ລັກສະນະຂ້າງເທິງນີື້ບໍໍ່ຈໍາເປັນຈະຕ້ອງເປັນອັນດັບໂກຊີ.


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 36 ບົດທີ 4 ຕໍາລາຕົວປ່ຽນສົນ (Functions of Complex Variable) ໃນບົດນີື້ຈະເວົື້າເຖິງຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ, ຄວາມໝາຍຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ (Continuous Function), ຕໍາລາທີື່ຫາຜົນຕໍາລາ (Differentiable Function), ຕໍາລາທີື່ຫາຜົນຕໍາລາຫ າຍຕົວ (Partial Differentiable Function), ແລະ ຄວາມໝາຍຕໍາລາວິເຄາະ (Analytic Function) ຂອງຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນ ເປັນຈໍານວນສົນ. 4.1 ຕໍາລາທີື່ມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ (Functions of Complex Variable) ນິຍາມ 4.1 ຖ້າ ເປັນຕໍາລາ ຫ ເປັນການສົົ່ງ (Mapping) ຈາກກຸ່ມ A ໄປຫາກຸ່ມ B ຈະຂຽນເປັນສັນຍາລັກ ວ່າ: f A B : → , f ກໍໍ່ຄ ກົດເກນ ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ແຕ່ລະຄ່າຂອງ z A ໄປໄດ້ຄ່າ w ໜຶື່ງຄ່າ ເຊິື່ງຄ່າ w B ສໍາລັບ ກຸ່ມ A ນີື້ຈະເອີື້ນວ່າ: ຫວ່ງກໍານົດ (Domain) ຂອງ f . ສ່ວນກຸ່ມ B ຈະເອີື້ນວ່າ: ກຸ່ມທີື່ຍອມຮັບ (Receving Set); ສ່ວນກຸ່ມທີື່ປະກອບໄປດ້ວຍສະມາຊິກ ເຊິື່ງຖ ກສົົ່ງໄປໂດຍ f ຈະຂຽນສັນຍາລັກຂອງກຸ່ມນີື້ວ່າ: f A( ) ຈະ ສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: f A B ( ) ເອີື້ນກຸ່ມ f A( ) ນີື້ວ່າ: ເຂດຄຸນຄ່າ (Range) ຂອງ f . ຕໍາລາ f ຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາເທິງ (Onto) ກຸ່ມ B ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອເຂດຄຸນຄ່າຂອງ f ເປັນກຸ່ມດຽວກັນກັບກຸ່ມທີື່ ຍອມຮັບ ນັື້ນກໍໍ່ຄ f A B ( ) = . ຕໍາລາ f ຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາໃນ (Into) ກຸ່ມ B ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອເຂດຄຸນຄ່າຂອງ f ເປັນ ກຸ່ມດຽວກັນກັບກຸ່ມທີື່ຍອມຮັບ ນັື້ນກໍໍ່ຄ f A B ( ) . ຕໍາລາ f ຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາໜຶື່ງຕໍໍ່ໜຶື່ງ (One-to-one) ຖ້າ f z f z ( 1 2 ) = ( ) ແລ້ວ 1 2 z z = ຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຕົວ ປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ ອາດຈະເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ (Real Valued Function) ຫ ຕໍາລາຄ່າສົນ (Complex Valued Function) ກໍໍ່ໄດ້ ເຊັົ່ນ: f z( ) = 0, z ຈະເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ, ສ່ວນ ( ) ( ) 2 2 2 2 f z z x iy x y ixy = = + = − + 2 ຈະເປັນຕໍາລາຄ່າສົນ; ແຕ່ຈາກທີື່ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: ຈໍານວນຈິງເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງຈໍານວນສົນ, ສະນັື້ນ, ຕໍາລາເຊິື່ງມີຕົວ ປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ ກໍໍ່ເວົື້າໄດ້ວ່າ: ຕໍາລາຄ່າສົນ ແລະ ຕໍໍ່ໄປພວກເຮົາຈະເອີື້ນສັື້ນໆ ວ່າ: ຕໍາລາສົນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຮູບຮ່າງທົົ່ວ ໄປຂອງຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ f z u iv ( ) = + ເຊິື່ງຈະເອີື້ນ u ວ່າ: ພາກສ່ວນຈິງ (Real Part) ຂອງຕໍາລາ f z( ) ແລະ v ວ່າ: ພາກສ່ວນສໍານຶກ (Imaginary Part) ຂອງຕໍາລາ f z( ) u , v ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນຈິງ x , y ; ຕົວປ່ຽນ x , y ນີື້ໄດ້ມາຈາກຮູບຮ່າງຂອງຈໍາ ນວນສົນ f z x iy ( ) = + ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງສາມາດຂຽນພົດທົົ່ວໆ ໄປຂອງ u , v ໃນຮູບຕົວປ່ຽນຈໍານວນຈິງ ໄດ້ວ່າ: u u x y = ( , ) ແລະ v v x y = ( , ) ຕົວຢ່າງ 4.1 ຈົົ່ງຊອກຫາພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງຕໍາລາ ( ) 2 f z z = ພິຈາລະນາ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f z z x iy x y i xy = = + = − + 2 ເມ ື່ອປຽບທຽບກັບ f z u iv ( ) = + ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ( )) 2 2 u u x y f z x y = = = − , v v x y f z xy = = = ( , 2 ) ( ( )) ໃນການແຕ້ມເສັື້ນສະແດງຂອງຕໍາລາຈໍານວນສົນ ພວກເຮົາຕ້ອງການໃຊ້ໜ້າພຽງ 2 ໜ້າພຽງ, ດັົ່ງນີື້ຄ ຖ້າໃຫ້ z x iy = + ຢູ່ໃນໜ້າພຽງ xy ແລ້ວ f z u iv ( ) = + ຈະຢູ່ໃນໜ້າພຽງ uv ດັົ່ງຕົວຢ່າງຕໍໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 4.2 ໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ: z i = +2 ສົົ່ງໄປຫາ f z f i i ( ) = + = + (2 3 4 )


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 37 z i = +1 2 ສົົ່ງໄປຫາ f z f i i ( ) = + = − + (1 2 3 4 ) z i = −3 ສົົ່ງໄປຫາ f z f i i ( ) = − = − (3 8 6 ) ຈະແຕ້ມເສັື້ນສະແດງດັົ່ງຮູບທີ 4.1 y v (−3,4) (3,4) (1,2) (−3,4) x u (3, 1− ) (8, 6− ) ຮູບທີ 4.1 ເສັື້ນສະແດງຂອງຕໍາລາສົນ ຕົວຢ່າງ 4.3 ໃຫ້ ( ) 2 f z z z = +3 ແລ້ວ: 1) ຈົົ່ງຊອກຫາ ( f z( )) ແລະ ( f z( )) 2) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ f i (1 3 + ) ແກ້: 1) ສະແດງ f z( ) ໃນພົດຂອງ x ແລະ y ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 2 f z x iy x iy = + + + 3 ( ) ( ) 2 2 = − + + + x y x i xy y 3 2 3 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ( )) 2 2 = − + f z x y x3 (4.1) ແລະ = + ( f z xy y ( )) 2 3 (4.2) 2) ໃນການຊອກຫາຄ່າຂອງ f i (1 3 + ) ພວກເຮົາເຮັດໄດ້ 2 ວິທີ ດັົ່ງນີື້: ວິທີ 1: ຫາຄ່າໂດຍກົງ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 2 f i i i 1 3 1 3 3 1 3 + = + + + = − +5 15i ດັົ່ງນັື້ນ, + = − ( f i (1 3 5 )) ແລະ + = ( f i (1 3 15 )) ວິທີ 2: ແທນຄ່າ x =1, y = 3 ແທນຄ່າລົງໃນ (4.1) ແລະ (4.2) ຕາມລໍາດັບ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ( )) ( ) 2 2 + = − + f i 1 3 1 2 3 1 =−5 ແລະ + = + ( f i (1 3 2 1 3 3 3 )) ( )( ) ( ) =15 ດັົ່ງນັື້ນ, f i f i i f i (1 3 1 3 1 3 + = + + + ) ( ( )) ( ( )) = − +5 15i


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 38 v u c = v u = y A ic 2 2 2 xyc + B v c = E D x D u −c c E B −ic A v c =− v u =− ຮູບທີ 4.2 ເຂດທີື່ເປັນເຂດກໍານົດ ແລະ ເຂດຄຸນຄ່າຂອງຕໍາລາ ຕົວຢ່າງ 4.4 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 2 f z x y iy = + − ໃຫ້ເຂດກໍານົດຂອງ f ຄ ຄ່າຂອງ x , y ເຊິື່ງມີເງ ື່ອນໄຂ 2 2 2 xyc + ເມ ື່ອ c 0 ຈົົ່ງຊອກຫາເຂດຄຸນຄ່າ f ຈາກ ( ) 2 2 f z x y iy = + − ເມ ື່ອປຽບທຽບກັບ f z u iv ( ) = + ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 2 2 u x y x y , = + ແລະ v x y y ( , ) = − ພິຈາລະນາເຂດກໍານົດສ່ວນທີື່ 2 2 2 x y c + = ເຊິື່ງຈາກຮູບທີ 4.2 ກໍໍ່ຄ ວົງຮອບວົງມົນນັື້ນເອງ, ສ່ວນນີື້ຂອງຄ່າ x , y ຈະສົົ່ງໄປໄດ້ຄ່າ u , v ເຊິື່ງຈະໄດ້: u x y c ( , ) = ແລະ v x y y ( , ) = − ເມ ື່ອ − c y c ດັົ່ງນັື້ນ, ເຂດກໍານົດສ່ວນທີື່ເປັນຄ່າ x , y ເຊິື່ງ 2 2 2 x y c + = ຈະສົົ່ງໄປທີື່ໜ້າພຽງ uv ທີື່ເປັນເສັື້ນຊ ື່ ທີື່ເຊ ື່ອມເມັດ (c ic , ) ແລະ (c ic ,− ) ; ເຂດກໍານົດສ່ວນທີື່ 2 2 2 xyc + ພວກເຮົາຈະໄດ້ຄ່າຂອງ u ແລະ v ເປັນ u c , − u v u ດັົ່ງນັື້ນເຂດກໍານົດສ່ວນທີື່ 2 2 2 xyc + ຈະສົົ່ງໄປໄດ້ເຂດຄຸນຄ່າ ເຊິື່ງຢູ່ໃນໜ້າພຽງ uv ໂດຍມີຄ່າ u c ແລະ − u v u ເສັື້ນສະແດງຂອງເຂດກໍານົດ ແລະ ເຂດຄຸນຄ່າສະແດງດັົ່ງຮູບ 4.2 ຕົວຢ່າງ 4.5 ຈົົ່ງຊອກຫາເຂດກໍານົດ ເຊິື່ງເປັນເມັດໃນໜ້າພຽງ xy ທີື່ສົົ່ງໂດຍຕໍາລາ f z z ( ) = 2 ໄປຫາເມັດໃນ ໜ້າພຽງ uv ໂດຍມີຄ່າ u = 2 ແລະ v = 4 ຈາກ f z z ( ) = 2 = + 2( x iy) = + 2 2 x iy ພວກເຮົາຈະໄດ້: u x y x ( , 2 ) = ແລະ v x y y ( , 2 ) = ຈາກທີື່ກໍານົດໃຫ້ u = 2 ແລະ v = 4 ສະນັື້ນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 x = ແລະ 2 4 y = ນັື້ນກໍໍ່ຄ ເຂດກໍານົດຂອງ f x y x = = ( , : 1 ) ແລະ y = 2


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 39 v A y v = 4 y = 2 A x u x =1 u = 2 ຮູບທີ 4.3 ເສັື້ນສະແດງເຂດກໍານົດ ແລະ ເຂດຄຸນຄ່າຂອງຕໍາລາ ນິຍາມ 4.2 ຖ້າ f z w ( ) = ເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງມີ w ພຽງ 1 ຄ່າທີື່ເທົົ່າກັບແຕ່ລະຄ່າຂອງ z ຈະເອີື້ນ w ວ່າ: ຕໍາລາຄ່າດ່ຽວ (Single-Valued Function) ຂອງ z , ແຕ່ຖ້າວ່າມີ w ຫ າຍກວ່າ 1 ຄ່າທີື່ເທົົ່າກັບແຕ່ລະຄ່າຂອງ z ຈະເອີື້ນ w ວ່າ: ຕໍາລາຫ າຍຄ່າ (Multiple-Valued Function) ຂອງ z ຕົວຢ່າງ 4.6 1) ( ) 2 f z z w = = ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ແຕ່ລະຄ່າຂອງ z ຈະມີ w ໄດ້ພຽງ 1 ຄ່າເທົົ່ານັື້ນ ເຊັົ່ນ: ຖ້າ z =1 ພວກ ເຮົາຈະໄດ້: ( ) 2 f 1 1 1 = = ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 2 f z z w = = ເປັນຕໍາລາຄ່າດ່ຽວ. 2) ( ) 1 2 f z z w = = ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: z ແຕ່ລະຄ່າຈະມີ w ໄດ້ 2 ຄ່າ ເຊັົ່ນ: ຖ້າ z = 4 ຈະໄດ້ f (4 2, 2 ) = − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 1 2 f z z w = = ເປັນຕໍາລາຫ າຍຄ່າ. ນິຍາມ 4.2 ຖ້າ w f z = ( ) ເປັນຕໍາລາສົນ, ຖ້າພິຈາລະນາ z ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນ w ພວກເຮົາຈະ ໄດ້ ( ) 1 z g w f − = = ; ຕໍາລາ ( ) 1 g w f − = ນີື້ຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາປິື້ນ (Inverse Function) ຂອງຕໍາລາ f 4.2 ຂອບເຂດຂອງຈໍານວນສົນ ນິຍາມ 4.3 ຕໍາລາສົນ f z( ) ຈະເວົື້າວ່າ: ຂອບເຂດ A ເວລາທີື່ z ເຂົື້າໃກ້ 0 z ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ຈະມີຈໍານວນຈິງ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f z A ( ) − ເມ ື່ອ 0 0 − z z ສໍາລັບສັນຍາລັກຂອງຕໍາລາ f z( ) ມີຂອບເຂດ A ເວລາທີື່ z ເຂົື້າໃກ້ 0 z ຄ : ( ) 0 lim z z f z A → = ໃນທາງເລຂາຄະນິດໝາຍຄວາມວ່າ: ໃນໜ້າພຽງ uv ເມ ື່ອມີເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ A ຈະຕ້ອງມີເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ໃນໜ້າພຽງ xy ເຊິື່ງເມ ື່ອເມັດ z ຢູ່ໃນເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ 0 z ແລ້ວ f z( ) ຈະຕ້ອງຢູ່ໃນເມັດໃກ້ ຂອງເມັດ A ດັົ່ງຮູບທີ4.4


ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 40 iy iv 0 z x u A ຮູບທີ 4.4 ຄວາມໝາຍຂອງ ( ) 0 lim z z f z A → = ຕົວຢ່າງ 4.7 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ຕໍາລາ ( ) 2 iz f z = ມີຂອບເຂດເທົົ່າກັບ 2 i ເມ ື່ອ z ມີຄ່າເຂົື້າໃກ້ 1 ກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍາວນຈິງໃດໆ ພິຈາລະນາ: 2 2 iz i − ( 1) 2 i z − = 1 2 i z − = 1 2 z − = ຖ້າໃຫ້ 1 2 2 2 iz i z − − = ພວກເຮົາຈະໄດ້: z − 1 2 ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ຖ້າມີ 0 ແລ້ວມີ = 2 ເຊິື່ງເມ ື່ອ z − 1 ແລ້ວ 2 2 iz i − ດັົ່ງນັື້ນ, 1 lim z 2 2 iz i → = ຕົວຢ່າງ 4.8 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 0 lim z z → z ບໍໍ່ມີຄ່າ ໃຫ້ z → 0 ຕາມແກນ x ສະນັື້ນ, ຄ່າ y = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: z x iy x = + = ແລະ z x iy x = − = ດັົ່ງນັື້ນ 0 0 lim lim 1 z z z x → → z x = = ໃຫ້ z → 0 ຕາມແກນ y ສະນັື້ນ, ຄ່າ x = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: z x iy iy = + = ແລະ z x iy iy = − = −


Click to View FlipBook Version