ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 41 ດັົ່ງນັື້ນ, 0 0 lim lim 1 z z z iy → → z iy = = − − ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະເຫັນໄດ້ວ່າຄ່າຂອບເຂດບໍໍ່ເທົົ່າກັນ ນັື້ນກໍໍ່ຄ 0 lim z z → z ບໍໍ່ມີຄ່າ. 4.3 ທິດສະດີກ່ຽວກັບຂອບເຂດ (Theorems on Limits) ທິດສະດີ 4.1 ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ), 0 0 0 z x iy = + ແລະ w u iv 0 0 0 = + ແລ້ວ ( ) 0 0 lim z z f z w → = ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y u x y u → = ແລະ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y v x y v → = ພິສູດ: () ກໍານົດໃຫ້ ( ) 0 0 lim z z f z w → = ສະນັື້ນ, ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີ 0 ເປັນເລກຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ ( ) 0 f z w− ເມ ື່ອ 0 0 − z z ພິຈາລະນາ ພວກເຮົາຈະໄດ້: f z w u x y iv x y u iv ( ) − = + − + 0 0 0 ( , , ) ( ) ( ) = − + − u x y u i v x y v ( , , ) 0 0 ( ( ) ) ເມ ື່ອ 0 − + − ( x x i y y 0 0 ) ( ) ແຕ່ພວກເຮົາມີ u x y u u x y u i v x y v ( , , , ) − − + − 0 0 0 ( ) ( ( ) ) ແລະ v x y v u x y u i v x y v ( , , , ) − − + − 0 0 0 ( ) ( ( ) ) ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 0 u x y u , − ແລະ ( ) 0 v x y v , − ເມ ື່ອ 0 − + − ( x x i y y 0 0 ) ( ) ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y u x y u → = ແລະ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y v x y v → = () ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y u x y u → = ແລະ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y v x y v → = ສະນັື້ນ, ກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ພວກເຮົາຈະມີ 1 0 , 2 0 ເປັນຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງເຮັດ ໃຫ້ ( ) 0 , 2 u x y u − ເມ ື່ອ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 1 0 − + − = − + − x x i y y x x y y ແລະ ໃນທໍານອງດຽວກັນ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) 0 , 2 v x y v − ເມ ື່ອ ( ) ( ) 2 2 2 0 0 1 0 − + − x x y y ໃຫ້ = min , 1 2 ແລະ ຈາກອະສົມຜົນຂອງຮູບສາມແຈ ພວກເຮົາຈະໄດ້: (u x y u i v x y v ( , , ) − + − 0 0 ) ( ( ) ) − + − u x y u v x y v ( , , ) 0 0 ( ) 2 2 + =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 42 ເມ ື່ອ 0 min , + − + = ( x iy x iy ) ( 0 0 1 2 ) ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) 0 0 lim z z f z w → = ຈາກການພິສູດຂ້າງເທິງ ພວກເຮົາຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: ( ) 0 0 lim z z f z w → = ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y u x y u → = ແລະ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , lim , x y x y v x y v → = ທິດສະດີ 4.2 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 0 lim z z f z A → = ແລະ ( ) 0 lim z z g z B → = ແລ້ວ 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim z z z z z z f z g z f z g z A B → → → + = + = + 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim z z z z z z f z g z f z g z A B → → → − = − = − 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim z z z z z z f z g z f z g z AB → → → = = 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim z z z z z z f z f z A g z g z B → → → = = ຖ້າ B 0 ໃນການພິສູດນີື້ກໍໍ່ຄ້າຍໆ ກັບການພິສູດໃນເລ ື່ອງຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຈໍານວນຈິງ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງຈະບໍໍ່ນໍາມາສະເໜີ ພິສູດໃນທີື່ນີື້. ຕົວຢ່າງ 4.9 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) ( ) 2 1 lim 5 10 z i z z → + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 lim 5 10 lim lim 5 lim 10 z i z i z i z i z z z z → + → + → + → + − + = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1( ) lim lim lim 5 lim lim 10 z i z i z i z i z i z z z → + → + → + → + → + = + − + = + + − + + (1 1 5 1 10 i i i )( ) ( ) = −5 3i ຕົວຢ່າງ 4.10 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 3 3 4 2 2 8 lim i 4 16 z e z z z → + + + ໃນກໍລະນີຈະໃຊ້ທິດສະດີຂອງຂອບເຂດໂດຍກົງບໍໍ່ໄດ້ ເພາະຂອບເຂດຢູ່ໃນຮູບແບບຍັງບໍໍ່ກໍານົດ (Indeterminate Form) ຄ 0 0 ຈຶື່ງຕ້ອງໃຊ້ຫ ັກເກນຂອງໂລປີຕານ (l’ Hospital’s Rule) 2 ຄັື້ງ ເຊິື່ງພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 3 3 4 2 2 8 lim i 4 16 z e z z z → + + + 3 2 3 2 3 lim i 4 8 z e z z z → = + 3 2 2 6 lim i 12 8 z e z z → = + 3 2 2 3 lim i 6 4 z e z z → = + 3 3 8 8 = − i 4.4 ການຕໍໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາ (Continuous Functions) ນິຍາມ 4.4 ຕໍາລາສົນ f z( ) ເຊິື່ງນິຍາມເຂດກໍານົດ D ຈະເວົື້າວ່າ: ຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ (Continuous Function) ທີື່ເມັດ 0 z D ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວພວກເຮົາຈະມີ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງ f z f z ( ) − ( 0 ) ເມ ື່ອ 0 z z −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 43 ຫ ຈະເວົື້າອີກຢ່າງວ່າ: f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z D ຖ້າສອດຄ້ອງກັບເງ ື່ອນໄຂຕໍໍ່ໄປນີື້ຄ : 1) f z( 0 ) ຫາຄ່າໄດ້, 2) ( ) 0 lim z z f z → ຫາຄ່າໄດ້, 3) ( ) ( ) 0 0 lim z z f z f z → = ຖ້າ f z( ) ຕໍໍ່ເນ ື່ອງທຸກໆ ເມັດໃນເຂດກໍານົດ D ຈະເວົື້າໄດ້ວ່າ: f ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນ D ທິດສະດີ 4.3 ຖ້າ f z( ) ແລະ g z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z z = ແລ້ວຕໍາລາ f z g z ( ) + ( ), f z g z ( ) − ( ), f z g z ( ) ( ) ແລະ ( ) ( ) f z g z ເມ ື່ອ g z( 0 ) 0 ຈະເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ດ້ວຍ. ໃນການພິສູດທິດສະດີ 4.3 ໃນຜົນຂອງທິດສະດີ 4.2 ກໍໍ່ຈະພິສູດໄດ້ຕາມຕ້ອງການ. ທິດສະດີ 4.4 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ແລະ g ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ f z( 0 ) ແລ້ວຕໍາລາ ປະກອບ g f z ( ( )) ຈະເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ດ້ວຍ. ພິສູດ: ຈາກ g ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ f z( 0 ) ສະນັື້ນ, ຖ້າໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ g f z g f z ( ( )) − ( ( 0 )) ເມ ື່ອ f z f z ( ) − ( 0 ) ຈາກ f ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ສະນັື້ນ, ຈາກທີື່ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ຈະມີ 1 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f z f z ( ) − ( 0 ) ເມ ື່ອ 0 1 z z − ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະໄດ້ວ່າ: ຖ້າໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລ້ວຈະມີ 1 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ g f z g f z ( ( )) − ( ( 0 )) ເມ ື່ອ 0 1 z z − ນັື້ນກໍໍ່ຄ g f z ( ( )) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ຕົວຢ່າງ 4.11 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 , 2 5, 2 z z f z z = = ແລ້ວ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ z = 2 ຫ ບໍໍ່? ພວກເຮົາຊອກຫາຄ່າຂອງຂອບເຂດ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) 2 lim 4 2 z f z f → = ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) ໃນທີື່ນີື້ບໍໍ່ຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ z = 2 ຕົວຢ່າງ 4.12 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ 1) ( ) 2 1 z f z z = + 2) f z z ( ) = cos ແກ້: 1) ( ) 2 1 z f z z = + ( )( ) z z i z i = − + ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: (z i z i − + = )( ) 0 ເມ ື່ອ z i = ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) ໃນທີື່ນີື້ຈະຕໍໍ່ເນ ື່ອງທຸກໆ ເມັດ, ຍົກເວັື້ນເມັດເມ ື່ອ z i = 2) f z z ( ) = cos 1 sin z =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 44 ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: sin 0 z = ເມ ື່ອ z = 0, , 2 , ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) ໃນທີື່ນີື້ຈະຕໍໍ່ເນ ື່ອງທຸກໆ ເມັດ, ຍົກເວັື້ນເມັດເມ ື່ອ z = 0, , 2 , ທິດສະດີ 4.5 ຕໍາລາສົນ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 0 0 z x y = + ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ ( x y 0 0 , ) ພິສູດ: () ກໍານົດໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z z = ສະນັື້ນ, ຖ້າໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ພວກ ເຮົາຈະມີ 0 ເຊິື່ງ f z f z ( ) − ( 0 ) ເມ ື່ອ 0 z z − ພິຈາລະນາ f z f z ( ) − ( 0 ) = + − − u x y iv x y u x y iv x y ( , , , , ) ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) = − + − u x y u x y i v x y v x y ( , , , , ) ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ແຕ່ພວກເຮົາມີ: u x y u x y f z f z ( , , ) − − ( 0 0 0 ) ( ) ( ) ເມ ື່ອ 0 z z − = ແລະ v x y v x y f z f z ( , , ) − − ( 0 0 0 ) ( ) ( ) ເມ ື່ອ 0 z z − = ດັົ່ງນັື້ນ, u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ ( x y 0 0 , ) () ກໍານົດໃຫ້ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ ( x y 0 0 , ) ສະນັື້ນ, ຖ້າໃຫ້ 0 ເປັນຈໍາ ນວນຈິງໃດໆ ພວກເຮົາຈະມີ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ ( , , ) ( 0 0 ) 2 u x y u x y − ເມ ື່ອ ( ) ( ) 2 2 0 0 0 x x y y z z − + − = − = ແລະ ( , , ) ( 0 0 ) 2 v x y v x y − ເມ ື່ອ ( ) ( ) 2 2 0 0 0 x x y y z z − + − = − = ພິຈາລະນາ f z f z ( ) − ( 0 ) = − + − u x y u x y i v x y v x y ( , , , , ) ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) = + − − u x y iv x y u x y iv x y ( , , , , ) ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 2 2 + = ເມ ື່ອ 0 z z − = ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z z = ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 0 0 z x y = + ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 0 0 z x iy = + ຕົວຢ່າງ 4.13 ໃຫ້ ( ) 2 2 , xy f x y x y = + , ( x y, 0,0 ) ( ) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຖ້າວ່າຂອບເຂດມີຄ່າແລ້ວ ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,0 0 lim , lim ,0 x y x f x y f x → → = ( ) 0 lim 0, y f y → =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 45 ( ) 0 lim , x f x mx → = ຄ່າຂອງ ( ) ( ) 0 0 lim ,0 lim 0, x y f x f y → → = = 0 ແຕ່ ( ) 2 2 2 2 0 0 lim , lim x x mx f x mx → → x m x = + 2 1 m m = + ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ຂອບເຂດຂອງຕໍາລານີື້ມີຫ າຍຄ່າຂ ື້ນຢູ່ກັບຄ່າ m ດັົ່ງນັື້ນຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ບໍໍ່ມີຄ່າ. ຕົວຢ່າງ 4.14 ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) 2 2 3 2 , x y f x y x y = + , ( x y, 0,0 ) ( ) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ສົມມຸດວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ມີຄ່າ, ພິຈາລະນາ ເມ ື່ອ y mx = ເພ ື່ອທີື່ຈະຫາຄ່າຂອງ ( ) 0 lim , x f x mx → ເຊິື່ງ ( ) ( ) 2 4 3 2 2 , m x f x mx x m x = + ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,0 0 lim , lim , x y x f x y f x mx → → = ( ) 2 4 3 0 2 2 lim x m x x m x → = + ( ) 2 3 0 2 lim 0 1 x m x m x → = = + ພິຈາລະນາ ເມ ື່ອ 2 x y = ເພ ື່ອທີື່ຈະຫາຄ່າຂອງ ( ) 2 0 lim , y f y y → ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0,0 0 lim , lim , x y y f x y f y y → → = ( ) 4 2 3 0 2 2 lim y y y y y → = + 6 6 0 lim x 8 y → y = 1 8 = ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ຂອບເຂດມີຄ່າແຕກຕ່າງກັນ. ດັງນັື້ນ, ຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ບໍໍ່ມີຄ່າ. ຕົວຢ່າງ 4.15 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 3 3 2 2 2 , x y f x y x y − = + , ( x y, 0,0 ) ( ) ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f x y → = ໃນການສະແດງວ່າຂອບເຂດມີຄ່າ, ພວກເຮົາບໍໍ່ສາມາດທີື່ຈະໃຊ້ວິທີທີື່ໃຊ້ໃນຕົວຢ່າງ 4.14 ໄດ້ໃນທີື່ນີື້, ພວກເຮົາ ຈະສະແດງໂດຍໃຊ້ນິຍາມຂອງຂອບເຂດ, ເຊິື່ງສະແດງໄດ້ 2 ວິທີດັົ່ງນີື້: ວິທີ 1: ພິຈາລະນາ 3 3 x y −2 ( ) 3 3 3 3 x y x y − = + − 2 2 3 3 + − x y 2 ຈາກອະສົມຜົນຂອງຮູບສາມແຈ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 46 3 3 = + x y 2 2 2 = + x x y y 2 2 2 2 2 = + x x y y 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 + + + x y x x y y 2 ( )( ) 2 2 2 2 = + + x y x y 2 ( )( ) 2 2 2 2 + + x y x y 2 2 ( ) 3 2 2 2 = + 2 x y 2 2 2 2 = + + 2 x y x y ດັົ່ງນັື້ນ, 3 3 2 2 2 2 2 2 x y x y x y − + + ເມ ື່ອ 2 2 2 x y + = ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f x y → = ວິທີ 2: ປ່ຽນໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ໂດຍກໍານົດໃຫ້ x r = cos ແລະ y r = sin ສະນັື້ນ, 2 2 2 x y r + = , 1 tan y x − = ຕ້ອງການສະແດງວ່າ: f r( , ) ເມ ື່ອ r ( ) 3 3 2 2 2 , x y f x y x y − = + ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 3 3 3 3 2 cos 2 sin , r r f r r − = 3 3 = − r cos 2sin 3r ເພາະວ່າ cos 1 , sin 1 ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າເລ ອກ 3 = ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ເມ ື່ອ 3 r = ແລ້ວ ( , 3 ) 3 f r = = ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f x y → = ນິຍາມ 4.5 ຕໍາລາສົນ f z( ) ເຊິື່ງນິຍາມເຂດກໍານົດ D ພວກເຮົາຈະເວົື້າວ່າ: f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະ ໝໍໍ່າສະເໝີ (Uniformly Continuous Function) ເທິງ D , ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ຈະມີ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f z f z ( ) ( ) − ເມ ື່ອໃດກໍໍ່ຕາມທີື່ z z D , ແລະ z z − ຈາກນິຍາມ 4.5 ເມ ື່ອປຽບທຽບກັບນິຍາມ 4.4 ພວກເຮົາຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: ຖ້າ f ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 47 ໝໍໍ່າສະເໝີເທິງ D ແລ້ວ f ຈະມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D ດ້ວຍ ແລະ ໃນກໍລະນີທີື່ f ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າ ສະເໝີ, ຄ່າ 0 ນີື້ຈະບໍໍ່ຂ ື້ນຢູ່ກັບເມັດ z ໃນ D ເຊິື່ງຄວາມແຕກຕ່າງຈະເຫັນຈາກຕົວຢ່າງຕໍໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 4.16 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) 2 f z z = ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງບໍລິເວນ z 1 ໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ແລະ ໃຫ້ z , z ເປັນເມັດໃດໆ ໃນບໍລິເວນ z 1 ສະນັື້ນ, ( ) 2 2 z z − z z z z = + − z z z z + − ຈາກອະສົມຜົນຂອງຮູບສາມແຈ 2 z z − ເພາະວ່າ: z 1 ແລະ z 1 ຖ້າໃຫ້ 2 = ຈະໄດ້ວ່າ: ເມ ື່ອ z z − ແລ້ວ ( ) 2 2 2 2 2 2 z z z z − − = = ຈາກຕົວຢ່າງນີື້ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ຄ່າ ຂ ື້ນຢູ່ກັບຄ່າ ບໍໍ່ຂ ື້ນຢູ່ກັບຄ່າ z ດັົ່ງນັື້ນ ( ) 2 f z z = ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງບໍລິເວນ z 1 ຕົວຢ່າງ 4.17 ຈົົ່ງສະແດງ ( ) 1 f z z = ບໍໍ່ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີໃນບໍລິເວນ z 1 ພວກເຮົາຈະສະແດງໂດຍການຂັດແຍ້ງ ຄ : ສົມມຸດໃຫ້ ( ) 1 f z z = ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີໃນບໍລິເວນ z 1 ຖ້າໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ຈະມີ 0 ເຊິື່ງ ຈະມີຄ່າລະຫວ່າງ 0 ແລະ 1 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f z f z ( ) − ( 0 ) ເມ ື່ອ 0 z z − ເມ ື່ອ z , 0 z ຢູ່ໃນບໍລິເວນ z 1 ໃຫ້ z = ແລະ 0 1 z = + ສະນັື້ນ, z ແລະ 0 z ຈະຢູ່ໃນບໍລິເວນ z 1 ພິຈາລະນາ 0 1 z z − = − + 1 + − = + 1 = + 0 1 1 1 1 1 z z − = − + = ເພາະວ່າ 0 1 ດັົ່ງນັື້ນ, ຂັດແຍ້ງກັບນິຍາມ, ສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: ( ) 1 f z z = ບໍໍ່ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີໃນບໍລິເວນ z 1
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 48 4.5 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ (Differentiable Functions) ນິຍາມ 4.6 ໃຫ້ f D: → ເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງນິຍົມເຂດກໍານົດ D ຈະເວົື້າວ່າຕໍາລາ f ມີຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ 0 z D (Differentiable) ຖ້າ ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim z z z f f z f z z z z → → − = − ມີຄ່າ, ຖ້າຄ່ານີື້ເທົົ່າກັບ A ຈະເອີື້ນ A ວ່າ: ຄ່າ ຜົນຕໍາລາ (Derivative) ຂອງ f ທີື່ເມັດ 0 z ແລະໃຊ້ສັນຍາລັກວ່າ: f z ( 0 ) ຫ ( 0 ) df z dz ຖ້າ f ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) 0 lim z f z z f z f z z → + − = ໃນກໍລະນີ f ມີຄ່າ ຜົນຕໍາລາເທິງ D ຕົວຢ່າງ 4.18 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) 2 f z z = ສາມາດຫາຄ່າຜົນຕໍາລາໄດ້ທຸກໆ ເມັດຂອງ z ພິຈາລະນາ ( ) ( ) ( ) 0 lim z f z z f z f z z → + − = ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − ( ) 2 2 0 lim z z z z z → + − = ( ) 0 2 lim z z z z z → + = ( ) 0 lim 2 z z z → = + = 2z ດັົ່ງນັື້ນ, ບໍໍ່ວ່າ z ຈະມີຄ່າໃດໆ ກໍໍ່ຕາມ f z z ( ) = 2 ເຊິື່ງຈະເປັນຄ່າທີື່ເປັນໄປໄດ້ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ການພົວພັນລະຫວ່າງຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຜົນຕໍາລາ ແລະ ຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ທິດສະດີ 4.6 ຖ້າ f z ( 0 ) ມີຄ່າ ແລ້ວຕໍາລາ f ຈະຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 z ພິສູດ: ໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ 0 z ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະມີຄ່າ A ເຊິື່ງ ( ) ( ) 0 0 0 lim z z f z f z A → z z − = − ພິຈາລະນາ f z f z ( ) − ( 0 ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f z f z f z f z z z z z − − = − − ສະນັື້ນ, ( ) ( ) 0 0 lim z z f z f z → − ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim z z f z f z z z → z z − = − − ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim z z z z f z f z z z → → z z − = − − = A 0 = 0
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 49 ສະນັື້ນ, ( ) ( ) 0 0 lim 0 z z f z f z → − = ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim z z z z f z f z f z → → = = ດັົ່ງນັື້ນ, f ຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ດ້ວຍ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z , ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາທີື່ຕໍໍ່ ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ z ດ້ວຍ. ແຕ່ບົດພິສູດກັບຂອງປະໂຫຍກນີື້ບໍໍ່ເປັນຄວາມຈິງ. ນັື້ນກໍໍ່ຄ , ຖ້າຕໍາລາ f ຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ແລ້ວ f ອາດຈະບໍໍ່ ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ 0 z ດັົ່ງຕົວຢ່າງຕໍໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 4.19 ໃຫ້ ( ) 2 2 f z z x y = = + ຕໍາລານີື້ຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ ( x y, 0,0 ) = ( ) ເພາະວ່າ: ( ) 2 2 0 0 lim lim z z f z x y → → = + = 0 = f (0) ແຕ່ ( ) ( ) 0 0 0 lim z f z f z → + − ( ) ( ) 0 0 lim z f z f z → − = 0 0 lim z z z → − = = − − 1, 1, ,i i ຄ່າຂອງຂອບເຂດມີຫ າຍຄ່າ, ຂ ື້ນຢູ່ກັບການຫາຄ່າຂອງຂອບເຂດວ່າ: ຈະເລ ອກຄ່າຂອງ →z 0 ທາງດ້ານໃດ. ເມ ື່ອເລ ອກຄ່າຂອງ →z 0 ແທນແກນ x ທາງຂວາມ ເຊິື່ງຄ່າ x ເປັນບວກ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ຄ່າຂອງຂອບເຂດເປັນ 1 ; ຖ້າເລ ອກທາງຊ້າຍມ ເຊິື່ງຄ່າ x ເປັນລົບ ພວກເຮົາຈະໄດ້ຄ່າຂອງຂອບເຂດເປັນ −1 ເປັນຕົື້ນ. ເມ ື່ອຂອບເຂດມີ ຫ າຍຄ່າ ດັົ່ງນັື້ນ, f (0) ຫາຄ່າບໍໍ່ໄດ້. ຈາກຕົວຢ່າງນີື້, ພວກເຮົາຈະສາມາດສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: ເຖິງແມ່ນວ່າ f z( ) ຈະຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ແຕ່ອາດຈະບໍໍ່ມີຄ່າ ຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ 0 z ນັື້ນໄດ້. ຫ ັກເກນການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຈໍານວນສົນກໍໍ່ຈະຄ ກັບຫ ັກເກນການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຈໍານວນຈິງ. ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກ ເຮົາຈະເວົື້າໄວ້ໃນທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 4.7 ໃຫ້ f z( ) , g z( ) ເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງມີຄ່າຜົນຕໍາລາ ແລະ c ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ແລ້ວ: 1) ( ) 0 d c dz = 2) ( ) 1 d z dz = 3) ( ( )) ( ( )) ( ) d cf z d f z c cf z dz dz = = 4) ( ) 1 n n d z nz dz − = ເມ ື່ອ n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນບວກ 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f z g z d f z d g z f z g z dz dz dz = = 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f z g z d f z d g z g z f z g z f z f z g z dz dz dz = + = +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 50 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 d f z g z f z f z g z dz g z g z + = ເມ ື່ອ g z( ) 0 8) ຖ້າໃຫ້ຕໍາລາ g ຫາຄ່າຜົນຕໍາລາໄດ້ທີື່ເມັດ z ແລະ ຕໍາລາ f ຫາຄ່າຜົນຕໍາລາໄດ້ທີື່ເມັດ g z( ) ແລ້ວ ( ( )) ( ( )) ( ) d f g z f g z g z dz = ຕົວຢ່າງ 4.20 ໃຫ້ ( ) ( ) 10 3 f z z = +1 ຈົົ່ງຊອກຫາ f z ( ) ( ) ( ) 10 3 1 d f z z dz = + ( ) ( ) 9 3 3 10 1 1 d z z dz = + + ( ) ( ) 9 3 2 = + 10 1 3 z z ( ) 9 2 3 = + 30 1 z z( ) 9 2 3 = + 30 1 z z 4.6 ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ (Cauchy-Riemann Equations) ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ນີື້ຈະມີການພົວພັນກັບການຫາຄ່າຜົນຕໍາລາ ດັົ່ງໃນທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 4.8 ຖ້າຕໍາລາ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z ແລ້ວຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂັື້ນທີື່ 1 ຂອງ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເຊິື່ງທຽບກັບຕົວປ່ຽນຈິງ x ແລະ y ຈະມີຄ່າ; ແລະ ສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິ ມານນ໌ ທີື່ເມັດ ພິສູດ: ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາທີື່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z ດັງນັື້ນ, ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − ມີຄ່າເປັນໄປໄດ້ ຫາຄ່າຂອບເຂດນີື້ ໂດຍໃຫ້ = + → z x i y ຕາມແກນ x ດັງນັື້ນ, = y 0 , = z x ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , lim x u x x y iv x x y u x y iv x y → x + + + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , lim x u x x y u x y v x x y v x y i → x x + − + − = + ຖ້າ f z ( ) ມີຄ່າທີື່ເປັນໄປໄດ້ ແລ້ວຂອບເຂດທາງຂວາມ ກໍໍ່ຈະມີຄ່າເປັນໄປດ້ວຍ ແລະ ຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: ຂອບເຂດທາງຂວາມ ກໍໍ່ຄ ຄ່າຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂອງ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເມ ື່ອທຽບກັບຕົວປ່ຽນ x ( ) u x y v x y ( , , ) ( ) f z i x x = + (4.3) ຕໍໍ່ໄປພວກເຮົາຈະຊອກຫາຄ່າຂອງ f z ( ) ໂດຍໃຫ້ = + → z x i y ຕາມແກນ y ດັົ່ງນັື້ນ, = x 0 ແລະ = z i y ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , lim y u x y y iv x y y u x y iv x y → i y + + + − − =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 51 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , lim yx u x y y u x y v x y y v x y i → i y i y + − + − = + ຖ້າ f z ( ) ມີຄ່າທີື່ເປັນໄປໄດ້ ແລ້ວຂອບເຂດທາງຂວາມ ກໍໍ່ຈະມີຄ່າເປັນໄປດ້ວຍ ແລະ ຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: ຂອບເຂດທາງຂວາມ ກໍໍ່ຄ ຄ່າຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂອງ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເມ ື່ອທຽບກັບຕົວປ່ຽນ y ( ) 1 u x y v x y ( , , ) ( ) f z i i y y = + 1 i u x y v x y ( , , ) ( ) i i i y y = + v x y u x y ( , , ) ( ) i y y = − (4.4) ຈາກ (4.3) , (4.4) ພວກເຮົາຈະໄດ້: u x y v x y v x y u x y ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) i i x x y y + = − ປຽບທຽບພາກສ່ວນຈິງເທົົ່າກັບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກເທົົ່າກັບພາກສ່ວນສໍານຶກ ພວກເຮົາຈະໄດ້: u x y v x y ( , , ) ( ) x y = ແລະ v x y u x y ( , , ) ( ) x y = − ສົມຜົນທັງສອງນີື້ ພວກເຮົາຈະເອີື້ນວ່າ: ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌. ຂໍໍ້ຂັດແຍ້ງຂອງທິດສະດີ 4.8 ຄ : ຖ້າຕໍາລາ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ບໍໍ່ສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ທີື່ເມັດ 0 z ແລ້ວຕໍາລາ f z( ) ຈະບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ 0 z ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໃຊ້ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ເປັນ ເງ ື່ອນໄຂທີື່ບອກວ່າຕໍາລາສົນ ຈະບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດໃດແດ່. ຕົວຢ່າງ 4.21 ໃຫ້ f z z x iy ( ) = = − ຈົົ່ງຊອກຫາເມັດ z ທີື່ f z ( ) ມີຄ່າ. ໃນທີື່ນີື້ ພວກເຮົາຈະໄດ້: u x y x ( , ) = ແລະ v x y y ( , ) = − ສະນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ ( , ) 1 u x y x = ແລະ ( , ) 1 v x y y = − ສ່ວນ ( , ) 0 u x y y = ແລະ ( , ) 0 v x y x = ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) ( ) ( ) , , , , v x y v x y x y x y ສະນັື້ນ, f z z ( ) = ບໍໍ່ເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ທຸກໆ ເມັດຂອງ z ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) ບໍໍ່ມີຄ່າ ຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດໃດເລີຍ. ຕົວຢ່າງ 4.21 ນີື້ຈະສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ: ຖ້າຕໍາລາ f ບໍໍ່ເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ແລ້ວຈະສະຫ ຼຸບວ່າ: f ຈະບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາດ້ວຍ ເຊິື່ງການທີື່ f z z ( ) = ບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາ ຈະເຫັນໄດ້ຈາກການເບິື່ງຄ່າຂອບເຂດຕໍໍ່ໄປນີື້: ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − 0 lim z z z z z → + − = ( , 0,0 ) ( ) lim x y x iy x i y x iy x i y → + + + − + = +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 52 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim x y x x i y y x iy → x i y − − − − − = + ( , 0,0 ) ( ) lim x y x i y → x i y − = + ຖ້າ →z 0 ທາງແກນ x ນັື້ນກໍໍ່ຄ = y 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 0 lim 1 x d z x dz x → = = ຖ້າ →z 0 ທາງແກນ y ນັື້ນກໍໍ່ຄ = x 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 0 lim 1 y d z i y dz i y → − = = − ດັົ່ງນັື້ນ, d z( ) dz ຫາຄ່າບໍໍ່ໄດ້. ຈາກທີື່ພວກເຮົາໄດ້ຮູ້ກັນມາແລ້ວວ່າ: ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ສາມາດບອກໄດ້ວ່າ: ຕໍາລາສົນຈະບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ ໃດແດ່, ພວກເຮົາສະແດງໃນຕົວຢ່າງຕໍໍ່ໄປນີື້ວ່າ: ເຖິງແມ່ນວ່າຕໍາລາສົນ f z( ) ມີຄຸນລັກສະນະຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິ ມານນ໌ ແລ້ວກໍໍ່ອາດບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາໄດ້. ຕົວຢ່າງ 4.22 ໃຫ້ ( ) 5 4 , 0 0 , 0 z z f z z z = = ຫາຄ່າ f (0) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim z 0 f z f f → z − = − 4 4 0 lim z z z → = 4 0 lim z z → z = ຖ້າໃຫ້ z x iy = + → 0 ຕາມແກນ x ນັື້ນກໍໍ່ຄ y = 0 ດັົ່ງນັື້ນ, z x = → 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 4 0 0 lim z z f → z = 4 0 lim x x → x = = 1 ຖ້າໃຫ້ z x iy = + → 0 ຕາມເສັື້ນ y x = ນັື້ນກໍໍ່ຄ z x ix = + → = 0 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 4 0 0 lim z z f → z =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 53 4 0 lim 2 x x ix → x + = =−1 ດັົ່ງນັື້ນ, f (0) ບໍໍ່ມີຄ່າ ພິຈາລະນາຄ່າຂອງ f z( ) ເມ ື່ອ z x i x = + = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 5 4 x f x x = ເມ ື່ອ x 0 ດັົ່ງນັື້ນ, u x x ( ,0) = ແລະ v x( ,0 0 ) = ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ,0) 1 u x x = , ( ,0) 0 v x y = ແລະ (0,0) 1 u x = ເມ ື່ອ z iy iy = + = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 5 4 , 0 iy f iy y iy = 5 4 iy iy y = = ດັົ່ງນັື້ນ, u y (0, 0 ) = ແລະ v y y (0, ) = ນັື້ນກໍໍ່ຄ : (0, 0,0 ) ( ) 0 0 u y u y y = = (0, 0,0 ) ( ) 1 1 v y v y y = = (0, 0,0 ) ( ) 0 0 u y u x x = = (0, 0,0 ) ( ) 1 0 v y v x x = = ດັົ່ງນັື້ນ, (0,0 0,0 ) ( ) 1 u v x y = = ແລະ (0,0 0,0 ) ( ) 0 u v y x = − = ເຊິື່ງບໍໍ່ເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິ ມານນ໌ ທີື່ z = 0 ແຕ່ f (0) ບໍໍ່ມີຄ່າ. 4.7 ຕໍາລາວິເຄາະ (Analytic Functions) ຈາກຕົວຢ່າງ 4.22 ພວກເຮົາພົບວ່າ: ເຖິງແມ່ນວ່າຕໍາລາຈະເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ທີື່ເມັດ 0 z ແຕ່ກໍໍ່ ຍັງບໍໍ່ພຽງພໍທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ຕໍາລາມີຄ່າຜົນຕໍາລາໄດ້, ພວກເຮົາຕ້ອງການທີື່ຈະຫາເງ ື່ອນໄຂທີື່ພຽງພໍທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ຕໍາລາມີຄ່າ ຜົນຕໍາລາ. ກ່ອນອ ື່ນພວກເຮົາຈະໃຫ້ຄວາມໝາຍຂອງຕໍາລາທີື່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາພາຍໃນເມັດໃກ້ ຂອງເມັດໜຶື່ງໆ ໃນນິຍາມຕໍໍ່ໄປນີື້: ນິຍາມ 4.7 ຕໍາລາສົນ f z( ) ຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາວິເຄາະ (Analytic or Holomorphic Function) ທີື່ເມັດ 0 z ຖ້າ f z( ) ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທຸກໆ ເມັດ ເຊິື່ງຢູ ື່ໃນເມັດໃກ້ ບາງອັນຂອງເມັດ 0 z
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 54 ຈາກນິຍາມຂອງຕໍາລາວິເຄາະ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ຖ້າຕໍາລາ f z( ) ເປັນຕໍາລາທີື່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາໃນເຂດກໍານົດ D ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນ D . ຕໍາລາ f z( ) ຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາເອັມໄທຣ໌(Entire Function), ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະທີື່ທຸກໆ ເມັດໃນໜ້າພຽງຈໍານວນສົນ (Complex Plane) ຕົວຢ່າງ 4.23 ພິຈາລະນາການເປັນຕໍາລາວິເຄາະຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ( ) 2 2 2 f z z x y = = + ຈະມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z = 0 ເທົົ່ານັື້ນ, ແຕ່ບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາເມັດ ເຊິື່ງຢູ່ໃນເມັດ ໃກ້ ຂອງເມັດ z = 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 2 f z z = ບໍໍ່ເປັນຕໍາລາວິເຄາະເວລາເມັດໃດໆ. 2) ( ) 2 2 f z x y = ຈະສາມາດຫາຄ່າຜົນຕໍາລາໄດ້ສະເພາະເມັດ ເຊິື່ງຢູ່ເທິງແກນໂຄອອຣ໌ດິເນຕ (Coordinate Axes) ເທົົ່ານັື້ນ, ແຕ່ນອກເໜ ອຈາກເມັດເທິງແກນໂຄອອຣ໌ດິເນຕຈະບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາ. ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 2 2 f z x y = ບໍໍ່ ເປັນຕໍາລາວິເຄາະເວລາເມັດໃດໆ. 3) ( ) 1 2 1 2 1 0 n n n n n n f z a z a z a z a z a − − = + + + + + − − ເປັນຕໍາລາພະຫຸບົດ (Polynomial Function) ຈະ ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z ທຸກໆ ເມັດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຕໍາລາພະຫຸບົດຈະເປັນຕໍາລາເອັມໄທຣ໌. 4) ( ) 1 1 f z z = − ຈະມີຄ່າຜົນຕໍາລາທຸກໆ ເມັດຍົກເວັື້ນທີື່ເມັດ z =1 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 1 1 f z z = − ເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະທຸກໆ ເມັດ ຍົກເວັື້ນທີື່ເມັດ z =1 ຂໍໍ້ຄວນສັງເກດ: ຈາກຄວາມໝາຍຂອງຕໍາລາວິເຄາະ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ຖ້າ f z( ) ແລະ g z( ) ເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະເຂດກໍານົດ D ແລ້ວ 1) f z g z ( ) + ( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D 2) f z g z ( ) − ( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D 3) f z g z ( ) ( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D 4) ( ) ( ) f z g z ເມ ື່ອ g z( ) 0 ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D 5) ຕໍາລາປະກອບ f g z ( ( )) ຂອງ f z( ) ແລະ g z( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D 6) ( ) ( ) P z Q z ເມ ື່ອ P z( ), Q z( ) ເປັນຕໍາລາພະຫຸບົດ ແລະ Q z( ) 0 ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະດ້ວຍ. ຕົວຢ່າງ 4.24 ໃຫ້ ( ) 1 1 z f z z + = − 1) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ d f x ( ( )) dz 2) ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າເມັດ z ທີື່ໃດແດ່ ທີື່ f z( ) ບໍໍ່ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ. ແກ້: 1) ໂດຍໃຊ້ນິຍາມ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ( )) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 lim lim z z 1 1 d f x f z z f z z z z dz z z z z z → → + − + + + = = − − − − ( )( ) ( ) 2 0 2 2 lim 1 1 1 z z z z z → = = − − − − ມີຄ່າທີື່ເປັນໄປໄດ້ ເມ ື່ອ z 1 2) ຈາກການຫາຄາຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ໃນຂໍໍ້ 1) ພົບວ່າ: ຜົນຕໍາລາມີຄ່າທີື່ເປັນໄປໄດ້ຍົກເວັື້ນທີື່ເມັດ z =1 ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງເວົື້າໄດ້ວ່າ: ( ) 1 1 z f z z + = − ນີື້ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະທີື່ເມັດ z =1
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 55 ທິດສະດີ 4.9 ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງນິຍາມໃນເຂດກໍານົດ D ທີື່ມີເມັດ 0 z ແລະ ໃຫ້ u x y ( , ), v x y ( , ) ມີຜົນຕໍາລາຍ່ອຍ x u , y u , x v , y v ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນ D ແລະ ສອດຄ້ອງຕາມ ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ທີື່ 0 z ແລ້ວ f z ( 0 ) ຈະມີຄ່າ. ພິສູດ: ພິຈາລະນາ ( ) ( 0 ) 0 f z f z z z − − ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z f z u x y u x y v x y v x y , , , , i z z z z z z − − − = + − − − ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 u x y u x y u x y u x y , , , , z z − + − = − ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 v x y v x y v x y v x y , , , , i z z − + − + − ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 u x y u x y v x y v x y , , , , i z z z z − − = + − − ( 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 0 u x y u x y v x y v x y , , , , i z z z z − − + + − − ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x u x y u x y v x y v x y , , , , i z z x x x x − − − = + − − − ( 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 y y u x y u x y v x y v x y , , , , i z z y y y y − − − + + − − − ( ( ) ) ( ( ) ) 0 0 1 0 0 2 0 0 , , x x x x u x t x x y iv x t x x y z z − = + − + + − − ( ( )) ( ( )) 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 , , y y y y u x y t y y iv x y t y y z z − + + − + + − − ເມ ື່ອ 0 1 k t , k =1, 2, 3, 4 ໂດຍທິດສະດີຄ່າສະເລ່ຍ (Mean Value Theorem) ແລະ ຈາກທີື່ກໍານົດໃຫ້ ຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂອງ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ທີື່ເມັດ 0 z ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 , , , , x x x x f z f z x x y y u x y iv x y u x y iv x y z z z z z z − − − = + + + + + − − − ເມ ື່ອ 1 2 , 0 → ເວລາທີື່ 0 z z → ຈາກທີື່ຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂອງ u x y ( , ), v x y ( , ) ສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນ ໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ໃຊ້ສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ກັບພົດສຸດທ້າຍຂອງສົມຜົນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 , , , , x x x x f z f z x x y y u x y iv x y v x y iu x y z z z z z z − − − = + + + − + + − − − ( ) ( ) 1 0 2 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , x x x x y y x x y y x x y y u x y i iv x y i z z z z z z z z z z − − − − − + − = + + + + − − − − − ( ) ( ) 1 0 2 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , x x x x y y u x y iv x y z z − + − = + + − (4.5) ພິຈາລະນາ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 56 1 0 2 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 0 0 0 x x y y x x y y x x y y z z z z z z z z z z − + − − − − − + = + = + − − − − − ເຊິື່ງ 1 2 + →0 ເວລາທີື່ 0 z z → ດັົ່ງນັື້ນ, ເມ ື່ອຫາຄ່າຂອບເຂດ ໂດຍໃຫ້ 0 z z → ຈາກ (4.5) ພວກເຮົາ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim , , , , x x y y z z f z u x y iv x y v x y iu x y → = = + = − ຈາກທິດສະດີ 4.9 ຖ້າພວກເຮົາເພີື່ມເຕີມເງ ື່ອນໄຂວ່າ: f z( ) ມີຜົນຕໍາລາຍ່ອຍ x u , y u , x v , y v ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ ເນ ື່ອງ ແລະ ເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ທີື່ທຸກໆ ເມັດຂອງ z ໃນເຂດກໍານົດ D ແລ້ວ f ຈະເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ຈາກທິດສະດີ 4.8 ແລະ ທິດສະດີ 4.9 ພວກເຮົາຈະໄດ້ທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 4.10 ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງນິຍາມໃນເຂດກໍານົດ D ແລ້ວ x u , y u , x v , y v ຈະເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ແລະ ເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ທີື່ທຸກໆ ເມັດໃນເຂດກໍານົດ D ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ຈາກທີື່ພວກເຮົາໄດ້ສະແດງແລ້ວວ່າ: ເມ ື່ອ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ 0 z ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f z u x y iv x y v x y iu x y ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) = + = − x x y y ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ພວກເຮົາອາດຈະຂຽນອີກຮູບແບບໜຶື່ງວ່າ: ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 0 f x y f x y , , f z i x y = = − ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະໃຊ້ສົມຜົນຂ້າງເທິງນີື້ໄປຊ່ວຍໃນການຫາຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ເມ ື່ອ f z( ) ມີຄ່າຜົນຕໍາລາ. ຕົວຢ່າງ 4.25 ໃຫ້ ( ) ( ) 2 2 f z z x iy = = + ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f z x y i xy =−+ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 f x y f z x i y x iy z x = = + = + = ທິດສະດີ 4.11 ຖ້າ f z ( ) = 0 ສໍາລັບທຸກໆ ເມັດຂອງ z ໃນເຂດກໍານົດ D ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງ ຄ່າໃນເຂດກໍານົດ D ພິສູດ ຈາກ f z ( ) = 0 , z D ສະນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( , ) 0, f x y f f z i z D x y = = − = ສະນັື້ນ, ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) 0 u x y v x y v x y y x y i i x x y y + = − = ປຽບທຽບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ ພວກເຮົາາຈະໄດ້: ( , , ) ( ) 0 u x y u x y x y = = ແລະ ( , , ) ( ) 0 v x y v x y x y = = ດັົ່ງນັື້ນ, u x y ( , ), v x y ( , ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງຈະເຮັດໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າໃນ D ທິດສະດີເພີື່ມ 4.1 ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງມີພາກສ່ວນຈິງ u x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ. ພິສູດ ໃຫ້ u x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ ແລະ f ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ສະນັື້ນ, u x y u x y x y ( , , 0 ) = = ( ) ຈາກ f ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ໂດຍສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: u x y v x y x y ( , , 0 ) = = ( ) ແລະ v x y u x y x y ( , , 0 ) = − = ( )
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 57 ດັົ່ງນັື້ນ, f z u x y iv x y z D ( ) = + = x x ( , , 0, ) ( ) ທິດສະດີເພີື່ມ 4.2 ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງມີພາກສ່ວນສໍາ ນຶກ v x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງທີື່. ພິສູດ ໃນທໍານອງດຽວກັນກັບທິດສະດີເພີື່ມ 4.1 ທິດສະດີເພີື່ມ 4.3 ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງມີ f ເປັນຕໍາ ລາຄົງທີື່ ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງທີື່. ພິສູດ ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ແລະ ( ) 2 2 f z u v c = + = ເມ ື່ອ c ເປັນຈໍານວຄົງຄ່າ ສະນັື້ນ, 2 2 2 u v c + = ດັງນັື້ນ, 0 u v u v x x + = ແລະ 0 u v u v y y + = ຈາກສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 0 u u u v x y − = ແລະ 0 u u u v y x + = ກໍາຈັດຄ່າຂອງ u y ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 2 2 0 u u v x + = ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ 0 u x = ເພາະວ່າ: ຖ້າ 0 u x ແລ້ວ 2 2 u v + = 0 ເຊິື່ງຈະໄດ້ວ່າ 2 v u iu = − = v ຈະເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງຂັດແຍ້ງ. ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ກໍໍ່ສາມາດຈະພິສູດໄດ້ວ່າ: 0 u v v y x y = = = ດັົ່ງນັື້ນ, u x y ( , ), v x y ( , ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງທີື່ ແລະ ເຮັດໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງ ຄ່າດ້ວຍ. ທິດສະດີເພີື່ມ 4.4 ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງມີ arg(z) ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາຄົງທີື່. ພິສູດ ກໍານົດໃຫ້ f u iv = + ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ໂດຍທີື່ມີ ( ) 1 arg tan v f c u − = = ເມ ື່ອ c ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ, ຖ້າ u = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ ໂດຍທິດສະດີເພີື່ມ 4.1 ຖ້າ u 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: tan v c u = (4.6) v u c = tan (4.7) v u c − = tan 0 (4.8) ພິຈາລະນາ (1 tan 1 tan − = − + i c f i c u iv ) ( )( ) (1 tan tan tan − + = + + − i c u iv u v c i v u c )( ) ( ) ດັົ່ງນັື້ນ, + = + + = − = ((1 tan 1 tan tan 0 i c f i c u iv v u c ) ) (( )( ))
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 58 ຈາກທີື່ກໍານົດໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ, ຈະເຮັດໃຫ້ (1 tan +i c f ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະດ້ວຍ ເຊິື່ງມີພາກສ່ວນສໍາ ນຶກເປັນຄ່າຄົງຄ່າເທົົ່າກັບ 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກທິດສະດີເພີື່ມ 4.2 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: (1 tan +i c f ) ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ f ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ. ຕົວຢ່າງ 4.26 ໃຫ້ ( ) (cos sin ) z x f z e e y i y = = + ສະນັື້ນ, ( , cos ) x u x y e y = ແລະ ( , sin ) x v x y e y = ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) ( ) ( ) , , cos , , x u x y v x y e y x y x y = = ( ) ( ) ( ) , , sin , , x v x y u x y e y x y x y = − = ແລະ u x y ( , ) x , u x y ( , ) y , v x y ( , ) x , v x y ( , ) y ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ, ສໍາລັບ ( x y, ) ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກທິດສະດີ 4.9 ຈະເວົື້າໄດ້ວ່າ: ( ) z f z e = ເປັນຕໍາລາເອັນໄທຣ໌ ແລະ ( ) ( , ) cos sin x x z f x y f z e y ie y e x = = + = ຕໍໍ່ໄປພວກເຮົາຈະເວົື້າເຖິງສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ໃນທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 4.12 ຖ້າໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຄ່າຜົນຕໍາລາ ແລະ ມີຜົນຕໍາລາຍ່ອຍ ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ i z re = , r 0 ແລ້ວ u v 1 r r = ແລະ v u 1 r r = − ພິສູດ ໃຫ້ x r = cos , y r = sin ແລ້ວ 2 2 x y r + = ແລະ 1 tan y x − = ຈາກທີື່ ຜົນຕໍາລາຍ່ອຍເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ໂດຍໃຊ້ກົດລູກໂຊ່ (Chain Rule) ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos sin u u x u y u u r x r y r x y = + = + (4.9) ( sin cos ) ( ) v u x u y u u r r x y x y = + = − + (4.10) ໂດຍສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( sin cos cos sin ) ( ) v u u u u r r r y x x y = + = + ໂດຍ (4.9) ພວກເຮົາຈະໄດ້: v u u v 1 r r r r = = − (4.11) ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ກໍໍ່ສາມາດພິສູດ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: v u 1 r r = − (4.12) (4.11) ແລະ (4.12) ຈະເປັນສິື່ງທີື່ຕ້ອງການ. ຕົວຢ່າງ 4.27 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) 1 4 cos sin 4 4 f z r i = + ສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ທີື່ທຸກໆ ເມັດ, ຍົກເວັື້ນທີື່ r = 0 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 4 cos sin , , cos sin 4 4 f z f r i u r iv r r i = + = + = +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 59 ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 1 4 , cos 4 u r r = ແລະ ( ) 1 4 , sin 4 v r r = ສະນັື້ນ, ( ) 3 4 , 1 cos 4 4 u r r r − = (4.13) ແລະ ( ) 1 4 , 1 cos 4 4 v r r = ( ) 1 4 1 1 1 , cos 4 4 v r r r r = (4.14) ຈາກ (4.13) ແລະ (4.14) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( , ) 1 4 u r v r = (4.15) ( ) 3 4 , 1 sin 4 4 v r r r − = (4.16) ( ) 1 4 , 1 sin 4 4 u r r = − (4.17) ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 1 3 4 4 1 1 1 1 , sin sin 4 4 4 4 u r r r r r − − = − − = ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກ (4.16) ແລະ (4.17) ພວກເຮົາຈະໄດ້: v r( , ) 1 u r r = − (4.18) ຈາກ (4.15) ແລະ (4.18) ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f z( ) ສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ໃນຮູບຮ່າງໄຕ ມຸມມິຕິ. ທິດສະດີ 4.13 ໃຫ້ f z( ), g z( ) ເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ 0 z ແລະ f z g z ( 0 0 ) = = ( ) 0 ຖ້າ g z ( 0 ) 0 ແລ້ວ ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 lim z z f z f z → g z g z = ພິສູດ ຈາກນິຍາມຂອງຜົນຕໍາລາ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim z z z z z z f z f z f z f z f z z z z z g z g z g z g z g z z z z z → → → − − − − = = − − − − ຈາກທີື່ກໍານົດໃຫ້ f z g z ( 0 0 ) = = ( ) 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 lim z z f z f z g z g z → = ຕົວຢ່າງ 4.28 ໃຫ້ f z az ( ) = sin , g z z ( ) = sin ດັົ່ງນັື້ນ, f g (0 sin 0 0 0 ) = = = ( ) ແລະ f z( ) , g z( ) ເປັນຕໍາລາທີື່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z = 0 ( ) ( ) 0 0 sin cos0 lim lim z z sin cos0 f z az a a → → g z z = = = ຕົວຢ່າງ 4.29 ໃຫ້ ( ) 10 f z z = +1 ແລະ ( ) 6 g z z = +1 ໃນທີື່ນີື້ f i g i ( ) = = ( ) 0 ແລະ f z( ) , g z( ) ເປັນຕໍາລາທີື່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ z i = ດັົ່ງນັື້ນ, 10 9 4 6 5 1 10 5 5 lim lim lim z i z i z i 1 6 3 3 z z z → → → z z + = = = +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 60 4.8 ຕໍາລາຮາໂມນິກ (Harmonic Functions) ນິຍາມ 4.8 ໃຫ້ u x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ ເຊິື່ງມີ 2 ຕົວປ່ຽນຄ່າຈິງ x , y ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນເຂດກໍານົດ D ແລະ ຖ້າ u x y ( , ) ມີຄ່າຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂັື້ນສອງ ທຽບກັບຕົວປ່ຽນ x ແລະ y ຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ໃນ D ແລະ ເປັນໄປຕາມສົມຜົນລາປລາຊ (Laplace’s Equation) ຄ 2 2 2 2 0 u v x y + = , ( x y D , ) ແລ້ວຈະ ເອີື້ນຕໍາລາ u x y ( , ) ວ່າ: ຕໍາລາຮາໂມນິກ ໃນເຂດກໍານົດ D ພິຈາລະນາຕໍາລາສົນ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ແລະ ມີຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂັື້ນສອງຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນ D ແລ້ວຈະເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ນັື້ນ ຄ : u v x y = ແລະ u v y x = ດັົ່ງນັື້ນ, 2 2 2 u v x y x = ແລະ 2 2 2 u v y x x = − 2 2 2 u v x y y = ແລະ 2 2 2 u v y x y = − ຈາກຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂັື້ນສອງມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນ D ດັົ່ງນັື້ນ, 2 2 v v y x x y = ແລະ 2 2 u u y x x y = ນັື້ນກໍໍ່ຄ 2 2 2 2 2 2 0 u u v v x y y x x y + = − = ແລະ 2 2 2 2 2 2 0 v v u u x y y x x y + = − − = ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະເວົື້າໄດ້ວ່າ: u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເຊິື່ງເປັນພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງຕໍາ ລາສົນ f z( ) ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວິເຄາະໃນ D ແລະ ຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂັື້ນສອງຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນ D ແລ້ວຕໍາລາ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ນີື້ຈະມີຄຸນລັກສະນະເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ. ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໃຫ້ຄວາມໝາຍຂອງຕໍາລາ v x y ( , ) ດັົ່ງໃນນິຍາມຕໍໍ່ໄປນີື້: ນິຍາມ 4.9 ຕໍາລາຄ່າຈິງ v x y ( , ) ຈະເອີື້ນວ່າ: ຄອນຈຸເກດຮາໂມນິກ (Harmonic Conjugate) ຂອງຕໍາລາ u x y ( , ) ຖ້າຕໍາລາສົນ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ. ຈາກ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ພິຈາລະນາຕໍາລາ if z i u x y iv x y v x y iu x y ( ) = + = − + ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ສະນັື້ນ, u x y ( , ) ຈະເປັນຄອນຈຸເກດຮາໂມນິກຂອງ −v x y ( , ) ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: v x y ( , ) ຈະເປັນຄອນຈຸ ເກດຮາໂມນິກຂອງ u x y ( , ) ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ u x y ( , ) ເປັນຄອນຈຸເກດຮາໂມນິກຂອງ −v x y ( , ) ຕົວຢ່າງ 4.30 ໃຫ້ ( , cos ) x u x y x e y − = + ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: u x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ ແລະ ຈົົ່ງຊອກຫາ ຄອນຈຸເກດຮາໂມນິກຂອງ u x y ( , ) ຈາກ ( , cos ) x u x y x e y − = + 1 cos u x e y x − = − sin u x e y y − = − 2 2 cos u x e y x − = 2 2 cos u x e y y − = −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 61 ດັົ່ງນັື້ນ, 2 2 2 2 0 u u x y + = ດັົ່ງນັື້ນ, u x y ( , ) ສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນຂອງລາປລາຊ ນັື້ນກໍໍ່ຄ u x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ. ໃຫ້ v x y ( , ) ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດແລ້ວພວກເຮົາຈະ ໄດ້: 1 cos u v x e y x y − = − = ດັົ່ງນັື້ນ, ( , 1 cos sin ) ( ) ( ) x x v x y e y dy y e y g x − − = − = − + ຫາຜົນຕໍາລາຍ່ອຍຂອງ v ທຽບກັບ x ພວກເຮົາຈະໄດ້: sin ( ) v x e y g x y − = + ໂດຍສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ພວກເຮົາຈະໄດ້: sin sin ( ) x x e y e y g x − − − = − + ດັົ່ງນັື້ນ, g x g x c ( ) = = 0 ( ) ເມ ື່ອ c ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ແທນຄ່າ g x ( ) ລົງໃນ v x y ( , ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( , sin ) x v x y y e y c − = − + v x y ( , ) ຈະເປັນຄອນຈຸເກດຮາໂມນິກຂອງ u x y ( , ) ຕາມຕ້ອງການ. ຄວາມສໍາພັນລະຫວ່າງຕໍາລາວິເຄາະ ແລະ ຕໍາລາຮາໂມນິກ 1) ຕໍາລາ u x y ( , ) ຈະເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກໃນເມັດໃກ້ຂອງເມັດໆ ໜຶື່ງກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອຕໍາລາ u x y ( , ) ເປັນພາກສ່ວນ ຈິງຂອງບາງຕໍາລາວິເຄາະ. 2) ສອງຕໍາລາຄອນຈຸເກດຮາໂມນິກ v x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ຂອງຕໍາລາ u x y ( , ) ຈະຕ່າງກັນ ໂດຍຄ່າຄົງຄ່າ ເພາະວ່າ: ຖ້າ v x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຄອນຈຸເກດຮາໂມນິກຂອງ u x y ( , ) ແລ້ວ ຈະເປັນໄປຕາມສົມຜົນ ໂກຊີ-ຣິມານນ໌ ນັື້ນຄ : u x y v x y v x y x y y ( ,,, ) ( ) ( ) = = ແລະ u x y v x y v x y y x x ( , , , ) ( ) ( ) − = = ດັົ່ງນັື້ນ, v v c = + ເມ ື່ອ c ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ. 3) ພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງຕໍາລາວິເຄາະ f z( ) ເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ, ໂມດຸນຂອງ f z( ) ບໍໍ່ຈໍາເປັນຈະຕ້ອງເປັນຮາໂມນິກ.
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 62 ບົດເຝິກຫັດ 4 1. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ f i (2+ ), f i (3 ) , f i (− +4 ) ເມ ື່ອ f z( ) ຄ 1) 2 3z z + 2) 2 1 z 3) 1 1 z z + − 2. ຈົົ່ງຊອກຫາພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ( ) 2 f z z z = − 2 3 2) ( ) 1 1 f z z = − 3) ( ) 3 2 f z z z z = − + 3. ສົມມຸດໃຫ້ z ຢູ່ໃນເຂດກໍານົດ D ໜຶື່ງ, ເຊິື່ງເປັນສ່ວນໜຶື່ງໃນໜ້າພຽງສົນ. ຈົົ່ງຊອກຫາບໍລິເວນ ໃນໜ້າ ພຽງສົນ ເຊິື່ງ f D( ) = ແລະ ຈົົ່ງແຕ້ມເສັື້ນສະແດງຂອງ D ແລະ ເມ ື່ອ f z( ) ແລະ z D ກໍານົດດັົ່ງຕໍໍ່ ໄປນີື້: 1) f z z ( ) = 3 , arg ( ) 2 z 2) ( ) 1 f z z = , (z) 0 3) ( ) 2 f z z = , z 3 4) ( ) 3 f z z = , arg ( ) 4 z 5) ( ) 2 1 f z z = , arg ( ) 4 z 4. ຖ້າ ( ) 0 lim z z f z → ມີຄ່າ. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຂອບເຂດນີື້ຈະມີພຽງ 1 ຄ່າເທົົ່ານັື້ນ. 5. ຈົົ່ງພິຈາລະນາວ່າ: ຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດກໍາເນີດ ຫ ບໍໍ່? 1) ( ) (z) f z z = ເມ ື່ອ z 0 , f (0 0 ) = 2) ( ) ( ) 1 z f z z = + ເມ ື່ອ z 0 , f (0 0 ) = 3) ( ) ( ( )) 2 z f z z = ເມ ື່ອ z 0 , f (0 0 ) = 6. ຈົົ່ງໃຊ້ນິຍາມຂອງຂອບເຂດ, ສະແດງວ່າ: ( ) 2 f z z = ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ. 7. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ( ) ( ) 2 2 f z z = +1 2) ( ) 1 1 f z z = − 3) ( ) ( ) 2 2 1 1 z f z z + = + 8. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຜົນຕໍາລາ ຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ ໃນເວລາເມັດທີື່ກໍານົດໃຫ້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 63 1) ( ) 3 f z z z = − 2 , 0 z i = −1 2) ( ) 2 2 z i f z z i + = − , 0 z i = +3 3) ( ) ( ) 2 2 f z z = −1 , 0 z i = 4) ( ) ( ) 2 f z iz i z = + +1 , 0 z i = − +2 9. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: f z z x ( ) = = ( ) ບໍໍ່ມີຄ່າຜົນຕໍາລາໃນເວລາເມັດ z ໃດໆ. 10. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ສອດຄ້ອງກັບສົມຜົນໂກຊີ-ຣິມານນ໌ 1) u x y x ( , ) = , v x y y ( , ) = 2) ( , cos ) x u x y e y = , ( , sin ) x v x y e y = 3) ( ) 3 2 u x y x x y , 3 = − , ( ) 2 3 v x y x y y , 3 = − 11. ຖ້າໃຫ້ຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ມີຄ່າ f (0,0 0 ) = ແລ້ວຕໍາລາໃດເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດກໍາເນີດ 1) ( ) 2 2 4 4 , x y f x y x y = + 2) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , x y f x y x y = + 3) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 , x y f x y x y = + 4) ( ) 2 2 , 1 x x ye f x y y − + = + 5) ( ) ( ) 2 2 2 2 , x y f x y x y + = + 12. ຈົົ່ງພິຈາລະນາວ່າຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ ອັນໃດເປັນຕໍາລາວິເຄາະ 1) ( ) 3 f z z z = + 2) f z z ( ) = ( ) 3) f z z ( ) = 4) ( ) 2 f z z = 5) ( ) 1 1 f z z = − 6) ( ) (cos sin ) x f z e y i y = + 7) ( ) cos x f z e y = 8) ( ) 2 1 f z z = 9) f z z ( ) = arg( ) 13. ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ແລ້ວ, ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 z ດ້ວຍ. 14. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ ແລະ ຈົົ່ງຊອກຫາຕໍາລາວິເຄາະ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) 1) u x y x ( , ) = 2) v x y xy ( , ) =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 64 3) u x y xy ( , ) = 4) u x y x y ( , sin cosh ) = 5) v x y x y ( , sin sinh ) = − 6) ( ) 2 2 , x u x y x y = + 15. ເງ ື່ອນໄຂຫຍັງທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ ( ) 3 2 2 3 u x y ax bx y cxy dy , = + + + ເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ. 16. ເງ ື່ອນໄຂຫຍັງທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ ( ) 2 , cos x u x y e y = ເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ. 17. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຄົງຄ່າ a , b ແລະ c ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາເອັນໄທຣ໌ 1) f z x ay i bx cy ( ) = + − + ( ) 2) ( ) 2 2 f z ax by icxy = − + 3) ( ) ( ) 2 2 f z a x y ibxy c = + + + 4) ( ) cos sin( ) x x f z e ay ie y b c = + + + 18. ຖ້າ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ແລະ f z u x y iv x y ( ) = − ( , , ) ( ) ທັງ f z( ) ແລະ f z( ) ເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະ. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: f z( ) ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ. 19. ຈົົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດຕໍໍ່ໄປນີື້: ຖ້າຂອບເຂດມີຄ່າ. 1) 0 1 lim 3 z z e → z − 2) 2 0 lim z z → z 3) 0 2sin lim 1 z z z → e − 4) 0 1 lim sin z z → z 20. ຖ້າ f z u iv ( ) = + ເປັນຕໍາລາເອັນໄທຣ໌ແລະ 2 v u = ແລ້ວ. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: f ເປັນຕໍາລາຄົງຄ່າ. 21. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: lim 2 1 2 ( ) z i z z i → + = + 22. ຈົົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 4 2 4 lim i 1 z e z z z → + + 2) ( )( ) ( ) 2 2 2 3 4 lim z 1 z z i iz → − + − 23. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດກໍານົດໃຫ້ ຫ ບໍໍ່? 1) ( ) ( ) 2 z i z i 2 2 f z z i − + + = − ທີື່ z i = 2) f z zz ( ) = ທີື່ z i =− 3) ( ) ( ) 2 2 1 4 2 z i z i f z z + + + = + ທີື່ z i = −2 4) ( ) 2 f z z− = ທີື່ z i =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 65 ບົດທີ 5 ຕໍາລາພ ື້ນຖານ (Elementary Functions) ໃນບົດນີື້ຈະເວົື້າເຖິງຄວາມໝາຍຂອງຕໍາລາພ ື້ນຖານຂອງຕໍາລາສົນແຕ່ລະຊະນິດ ເຊັົ່ນ: ຕໍາລາໃຈກໍາລັງ, ຕໍາລາໄຕ ມຸມມິຕິ, ຕໍາລາໂລກາລິດ ເປັນຕົື້ນ ຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາພ ື້ນຖານ. ນອກຈາກນັື້ນ, ກໍໍ່ສະແດງຄວາມສໍາພັນຂອງຕໍາລາ ໃຈກໍາລັງ z e (Exponential Function) ກັບຕໍາລາໄຕມຸມມິຕິ sin z, cosz, sec z, csc z, tan z ແລະ cot z ແລະ ຕໍາລາອີແປກໂບລິກ sinh z, cosh z, tanh z ແລະ coth z ຕະຫ ອດຮອດຄວາມສໍາພັນກັບຕໍາລາໂລກາລິດ log z (Logarithmic Function) 5.1 ຕໍາລາໃຈກໍາລັງ (Exponential Functions) ຕໍາລາໃຈກໍາລັງ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ ຈະຢູ່ໃນຮູບແບບ z e . ກ່ອນອ ື່ນ, ພວກເຮົາຈະເວົື້າເຖິງຄຸນ ລັກສະນະບາງປະການຂອງຕໍາລາໃຈກໍາລັງ ເຊິື່ງຈົວກໍາລັງເປັນຕົວປ່ຽນຄ່າຈິງທີື່ມີຢູ່ໃນຮູບແບບ z e ກ່ອນ. ພິຈາລະນາ ( ) x f x e = ເມ ື່ອ x ເປັນຕົວປ່ຽນຄ່າຈິງ ຈະເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງສົົ່ງຈາກກຸ່ມຂອງຈໍານວນຈິງໄປສູ່ກຸ່ມ ຂອງຈໍານວນຈິງບວກ ແລະ ເປັນໄປຕາມຫ ັກເກນດັົ່ງລຸ່ມນີື້: 1 2 1 2 x x x x e e e + = ( ) x x e e x = 2 3 1 ... 2! 3! x x x e x = + + + + ພວກເຮົາອາໄສຄຸນລັກສະນະຂອງ ມາຊ່ວຍຫາຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາໃຈກໍາລັງທີື່ມີຕົວກໍາລັງເປັນຕົວປ່ຽນສົນ ເຊິື່ງຢູ່ໃນຮູບແບບ z e ນິຍາມ 5.1 ຕໍາລາໃຈກໍາລັງ ເຊິື່ງມີຕົວກໍາລັງເປັນຕົວປ່ຽນສົນ (Complex Exponential Function) ຄ ຕໍາລາ ສົນ ( ) (cos sin ) z x f z e e y i y = = + ເມ ື່ອ e 2.71828 ນິຍາມຂອງ z e ນີື້ໄດ້ມາຈາກຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາ x e ດັົ່ງນີື້ຄ ( ) z x iy x iy f z e e e e + = = = ພວກເຮົາມີ ( ) ( ) 2 3 1 2 3 iy iy iy e iy = + + + + ຈາກອະນຸກົມນີື້ ຖ້າແຍກພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 4 3 5 1 cos sin 2! 4! 3! 5! iy y y y y e i y y i y = − + + − + = + ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໃຫ້ນິຍາມຂອງ iy e ດັົ່ງນີື້: ນິຍາມ 5.2 ໃຫ້ y ເປັນຈໍານວນຈິງແລ້ວ ຕໍາລາສົນ iy e ຈະນິຍາມໂດຍ cos sin iy e y i y = + ຮູບແບບເສັື້ນເຄົື້າຫົວໜ່ວຍຕັື້ງສາກຂອງ z e ເມ ື່ອ z x iy = + ຄ ( ) (cos sin ) z z f z e e i = = + ເມ ື່ອ z x e e = ແລະ arg ( ) z = e ຕົວຢ່າງ 5.1 ໃຫ້ 1 z e = − ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ z ແກ້: 1 cos sin ( ) z z e e i = − = + ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 z x e e = = ແລະ = + 2k ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ຈາກ 1 x e = ພວກເຮົາຈະໄດ້: x = = ln1 0 ເມ ື່ອ ln ຄ ໂລກາລິດເນແປ (Natural Logarithm) = + = + + = + z x iy i k k i 0 2 1 2 ( ) ( ) ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2,
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 66 ຄຸນລັກສະນະຂອງ z e 1) ທິດສະດີ ດີມົວຣ໌(De Moivre’s Law) ພວກເຮົາຈະໄດ້: (cos sin cos sin ) n y i y ny i ny + = + ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) n iy iny e e = ແລະ 2 2 cos sin 1 iy e y y = + = ເມ ື່ອ y ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ. 2) z x iy x iy x e e e e e e = = = ແລະ 0 z e z 3) ( ) 2 2 cos2 sin 2 z i z i z z e e e e i e + = = + = ດັົ່ງນັື້ນ, z e ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງຮອບວຽນແມ່ນ 2i 4) ຖ້າ 1 1 1 z x iy = + ແລະ 2 2 2 z x iy = + ແລ້ວ ( 1 2 ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z x iy x iy x iy x iy x x z z i y y e e e e e e e e e e e + + + + + = = = = 5) ໃນທໍານອງດຽວກັນກັບຂໍໍ້ 4. ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 1 2 2 z z z z e e e − = 6) z a z ln e a = ເມ ື່ອ a ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ. 7) ( ) z z e e = ເພາະ (cos sin cos sin ) ( ) ( ) z x iy x x x iy z e e e y i y e y i y e e e − = = − = + = = 8) z e ເປັນຕໍາລາເອັນໄທຣ໌(Entire Function) ແລະ ( ) z z d e e dz = ເພາະວ່າ: (cos sin ) z x iy x e e e y i y + = = + ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( , cos ) x u x y e y = ແລະ ( , sin ) x v x y e y = ສະນັື້ນ, ( , cos ) x x u x y e y = ສ່ວນ ( , sin ) x x v x y e y = ແລະ ( , sin ) x y u x y e y = − ສ່ວນ ( , cos ) x y v x y e y = ຈະພົບວ່າເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣີມານ ( x y, ) ແລະ , , , x y x y u u v v ມີຄວາມຕໍໍ່ເນ ື່ອງ. ດັົ່ງນັື້ນ, z e ເປັນຕໍາລາເອັນໄທຣ໌ ແລະ ( ) ( , , , , cos cos ) ( ) ( ) ( ) z x x x x x y y d e u x y iv x y iu x y v x y e y ie y e dz = + = − + = + = ຖ້າກໍານົດໃຫ້ x e a ib = + ເຊິື່ງ a 0 , b 0 ແລ້ວ (cos sin ) x e y i y a ib + = + ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos x e y a = (5.1) sin x e y b = (5.2) ຍົກກໍາລັງສອງທັງສອງຟາກຂອງ (5.1) ແລະ (5.2) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 cos x e y a = (5.3) 2 2 2 sin x e y b = (5.4) ເອົາ (5.3 5.4 ) +( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin x x x e y e y a b e a b + = + = + ( ) 1 2 2 ln 2 = + x a b ໃນການຫາຄ່າ y ພິຈາລະນາ ເມ ື່ອ a 0 ນໍາ (5.2) ຫານດ້ວຍ (5.1)
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 67 ພວກເຮົາຈະໄດ້: tan b y a = ເມ ື່ອ a 0 1 tan 2 b y k a − = + ເມ ື່ອ n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນໃດໆ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນຄ ( ) 1 2 2 1 ln tan 2 2 b z a b i k a − = + + + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 3, ພິຈາລະນາ ເມ ື່ອ a = 0 ຈາກ (5.1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos 0 2 2 y y k = = + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 3, ດັົ່ງນັື້ນ, ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນຄ ln 2 , 0 2 ln 2 , 0 2 b i k b z b i k b + + = + − + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 3, ຕົວຢ່າງ 5.2 ກໍານົດໃຫ້ 5 5 z e i = − ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າ z ( ( ) ) 2 1 5 ln 50 2 1 ln 5 5 tan 2 2 5 2 4 z i i k − − = + − + = + − + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 3, ຕົວຢ່າງ 5.3 ກໍານົດໃຫ້ 5 5 z e i = − + ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າ z (( ) ) 2 1 5 ln 50 3 2 1 ln 5 5 tan 2 2 5 2 4 z i i k − = − + + = + + − ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 3, ໝາຍເຫດ: 1 1 tan tan b b a a − − − − 5.2 ຕໍາລາໄຕມຸມມິຕິ (Trigonometric Functions) ຈາກຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາກໍໍ່ໄດ້ນິຍາມຕໍາລາໄຕມຸມມິຕິ ໂດຍອາໄສຕໍາລາ z e ຈາກນິຍາມ 5.2 ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos sin iy e y i y = + (5.5) cos sin cos sin ( ) ( ) iy e y i y y i y − = − + − = − (5.6) ເອົາ (5.5 5.6 ) +( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos 2 iy iy e e y − + = ເອົາ (5.5 5.6 ) −( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: sin 2 iy iy e e y − − = ດັົ່ງນັື້ນ, ນິຍາມຂອງຕໍາລາໄຕມຸມມິຕິທີື່ມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ z ຄ : ນິຍາມ 5.3 ໃຫ້ z ເປັນຈໍານວນສົນແລ້ວ cos 2 iz iz e e z − + = ແລະ sin 2 iz iz e e z i − − = ສໍາລັບໄຕມຸມມິຕິອ ື່ນໆ ກໍໍ່ສາມາດໃຫ້ນິຍາມໄດ້ ໂດຍອາໄສຕໍາລາ cosz ແລະ sin y ດັົ່ງນີື້: sin tan cos z z z = , cos cot sin z z z = , 1 sec cos z z = , 1 csc sin z z = ຈາກການຫາຜົນຕໍາລາຂອງ z e ຈະໄດ້ຄ່າຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາໄຕມຸມມິຕິ ດັົ່ງນີື້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 68 (sin ) cos d z z dz = , (cos ) sin d z z dz = − , ( ) 2 tan sec d z z dz = , ( ) 2 cot csc d z z dz = , (sec ) sec tan d z z z dz = , (csc ) csc cot d z z z dz = − ຕົວຢ່າງ 5.4 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ sin cos 2 z z + = ຈາກນິຍາມ 5.3 ຂອງ sin z ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 sin 2 2 i z i z e e z i + − + − + = 2 2 2 i i iz iz e e e e i − − − = 2 iz iz ie ie i − + = 2 iz iz e e − + = = cosz ຕົວຢ່າງ 5.5 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ sin 2 2sin cos z z z = 2sin cos 2 2 2 iz iz iz iz e e e e z z i − − − + = 2 2 2 4 iz iz e e i − − = 2 2 2 iz iz e e i − − = = sin 2z ຕົວຢ່າງ 5.6 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງ cos 2 z = ຈາກນິຍາມ 5.3 ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos 2 2 iz iz e e z − + = = ດັົ່ງນັື້ນ 4 0 iz iz e e − + − = ຄູນດ້ວຍ iz e ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 0 2 4 0 4 1 0 iz iz iz iz e e e e e + − = − + = 4 16 4 2 3 2 iz e − = = ຈາກທີື່ ( ) (cos sin ) iz y i x iy e e e x i x + − = = + ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: (cos sin 2 3 ) y e x i x − + = ທຽບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ ພວກເຮົາຈະໄດ້: cos 2 3 y e x − = (5.7) sin 0 y e x − = (5.8) ຈາກ (5.8) ພວກເຮົາຈະໄດ້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 69 x k = ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ແລະ ຈາກ (5.7) ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: k ຕ້ອງເປັນຈໍານວນຄູ່. ສະນັື້ນ, y = − ln 2 3 ( ) ດັົ່ງນັື້ນ, z k i = − 2 ln 2 3 ( ) ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 5.3 ຕໍາລາອີແປກໂບລິກ (Hyperbolic Functions) ເມ ື່ອໄດ້ຮູ້ຈັກໄຕມຸມມິຕິແລ້ວ ຕໍໍ່ໄປກໍໍ່ຈະໃຫ້ນິຍາມຂອງຕໍາລາອີແປກໂບລິກໃນພົດຂອງຕໍາລາໃຈກໍາລັງ ດັົ່ງນີື້: ນິຍາມ 5.4 ຕໍາລາອີແປກໂບລິກ cosh z, sinh z ຄ ຕໍາລາທີື່ກໍານົດໂດຍ cosh 2 z z e e z − + = ແລະ sinh 2 z z e e z − − = ສ່ວນຕໍາລາອີແປກໂບລິກອ ື່ນໆ ກໍໍ່ຈະໄດ້ຈາກການພົວພັນຕໍໍ່ໄປນີື້: sinh tanh cosh z z z = , cosh coth sinh z z z = , 1 sech cosh z z = , 1 csch sinh z z = ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະສາມາດສະແດງຕໍາລາອີແປກໂບລິກທຸກຕົວໃນພົດຂອງ z e ແລະ z e − ໄດ້, ຈາກທີື່ z e ແລະ z e − ເປັນຕໍາລາເອັນໄທຣ໌. ດັົ່ງນັື້ນ, cosh z, sinh z ຈະເປັນຕໍາລາເອັນໄທຣ໌, ສ່ວນ tanh z, sech z ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ເມ ື່ອ cosh 0 z ແລະ coth z , csch z ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ເມ ື່ອ sinh 0 z ຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາອີແປກໂບລິກ 1) cosh z, sinh z, tanh z, coth z ,sech z ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຮອບວຽນແມ່ນ 2i 2) ການພົວພັນລະຫວ່າງຕໍາລາ cosz, sin z ແລະ cosh z, sinh z ຈະເປັນໄປດັົ່ງນີື້: cosh cos (iz z ) = ແລະ sinh sin (iz i z ) = 3) 2 2 cosh sinh 1 z z − = 4) 2 2 coth csch 1 z z − = 5) cosh cosh (− = z z ) 6) sinh sinh (− = − z z ) 7) sinh sinh cosh cosh sinh (z z z z z z 1 2 1 2 1 2 = ) 8) cosh cosh cosh sinh sinh (z z z z z z 1 2 1 2 1 2 = ) ຕົວຢ່າງ 5.7 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ sinh 0 z = ຈາກນິຍາມ sinh 2 z z e e z − − = ດັົ່ງນັື້ນ, sinh 0 z = ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ z z e e − = ນັື້ນກໍໍ່ຄ : (cos sin cos sin ) ( ) x x e y i y e y i y − + = − ( ) cos sin 0 ( ) x x x x e e y i e e y − + − = − − ປຽບທຽບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) cos 0 x x e e y − − = (5.9) ( )sin 0 x x e e y − − = (5.10) (5.9) ແລະ (5.10) ຈະເປັນຈິງ ເມ ື່ອ x = 0 ແລະ y k k = = , 0, 1, 2, ດັົ່ງນັື້ນ, z k i = ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2,
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 70 x y e = y x = ln ຮູບທີ5.1 ເສັື້ນສະແດງຂອງຕໍາລາ x y e = ແລະ y x = ln 5.4 ຕໍາລາໂລກາລິດ (Logarithmic Functions) ກ່ອນຈະເວົື້າເຖິງໂລກາລິດ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ, ພວກເຮົາຈະເວົື້າເຖິງຕໍາລາໂລກາລິດທີື່ມີຕົວປ່ຽນ ເປັນຈໍານວນຈິງກ່ອນ. ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງຈໍານວນຈິງບວກ x ຈະມີຈໍານວນຈິງບວກ y ພຽງໜຶື່ງຈໍານວນເທົົ່ານັື້ນ ເຊິື່ງ y e x = . ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ y x = ln ເມ ື່ອ ln x ຄ loge ສໍາລັບ 1 2 x x, 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ln , ln ln ( x x x x 1 2 1 2 ) = + ຕໍາລາ f x x ( ) = ln ຈະເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງສົົ່ງຈາກກຸ່ມຂອງຈໍານວຈິງບວກ ໄປຫາກຸ່ມຂອງຈໍານວນຈິງ ແລະ ຕໍາລາ ປິື້ນ 1 f − ຂອງຕໍາລາ f x x ( ) = ln ຈະສົົ່ງຈາກກຸ່ມຂອງຈໍານວນຈິງໄປຫາກຸ່ມຈໍານວນຈິງບວກ ຄ ດັົ່ງຮູບທີ5.1; ( ) x y f x e = = ຈະເປັນຕໍາລາໜຶື່ງຕໍໍ່ໜຶື່ງ (One-One Function). ດັົ່ງນັື້ນ, ຕໍາລາປິື້ນ ( ) 1 f x x ln − = ຈະເປັນຕໍາ ລາໜຶື່ງຕໍໍ່ໜຶື່ງດ້ວຍ. ເຊິື່ງຕໍໍ່ໄປພວກເຮົາຈະເວົື້າເຖິງຕໍາລາໂລກາລິດ ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນເປັນຈໍານວນສົນ. ນິຍາມ 5.5 ຖ້າ u z e = ແລ້ວ u z = ln ຈະເອີື້ນວ່າ: ໂລກາລິດເນແປຂອງຕົວປ່ຽນສົນ z ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ u z z i z = = + ln ln arg( ) ຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາໂລກາລິດ 1) ຕໍາລາ ln z ຈະມີຜົນຕໍາລາ, ຖ້າ z u = ln ແລ້ວ dz d u (ln ) 1 du du u = = 2) ln , ln ln (u v u v ) = + 3) ln ln ln u u v v = − ເມ ື່ອ v 0 ສໍາລັບການພິສູດຄຸນລັກສະນະຂອງໂລກາລິດ ຈະສາມາດພິສູດໄດ້ ໂດຍນໍາໃຊ້ນິຍາມ ດັົ່ງນັື້ນຈະບໍໍ່ສະແດງໃນທີື່ນີື້. ຕົວຢ່າງ 5.8 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ln 1( −i) 1 2 − = i ແລະ ( ) 7 arg 1 2 4 i k − = + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ສະນັື້ນ, ຮູບຮ່າງເມັດເສັື້ນເຄົື້າຂອງ 1−i ແມ່ນ 7 2 7 7 4 1 2 cos 2 sin 2 2 4 4 i k i k i k e + − = + + + = ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 7 ln 1 ln 2 2 4 i i k − = + +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 71 5.5 ຕໍາລາກໍາລັງສົນທົົ່ວໆ ໄປ (Complex Exponents) ຕໍາລາກໍາລັງທົົ່ວໆ ໄປ ຈະຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ ( ) u f z z = ເມ ື່ອ u ແລະ z ເປັນຈໍານວນສົນ ຈາກທີື່ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: ln z z e = ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະໄດ້ນິຍາມຂອງ u z ດັົ່ງນີື້: ນິຍາມ 5.6 ໃຫ້ z ແລະ u ເປັນຈໍານວນສົນ ແລ້ວຕໍາລາກໍາລັງທົົ່ວໆ ໄປ u z ຈະກໍານົດໂດຍ: u u z ln u z i z ln arg( ) z e e + = = ຕົວຢ່າງ 5.9 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ i i , 1 2 i ແລະ ( ) i −i ln1 2 2 2 ln 2 2 2 i i k k k i i i i e e e e + + − + − + = = = = ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 1 1 1 1 ln ln arg 2 2 2 2 4 2 2 k i i i i i i k i i e e e e + + + = = = = ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, ( ) ( ) ln1 2 2 2 ln 2 2 2 i k i i k i k i i i i e e e e + − + + − + − − = = = = ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2,
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 71 ບົດເຝິກຫັດ 5 1. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1) z z e e = 2) 2 3 2 i e e = − 3) z i z e e + = − 4) ( ) n nz z e e = ເມ ື່ອ n ຈໍານວນຖ້ວນ 5) 2 i e i = 6) ( ) ( ) nz 1 n z e e − = ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 2. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 2 ຄ ຮອບວຽນຂອງຕໍາລາ ( ) iz f z e = 3. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງ 1) 3 1 z e = 2) 2 z e = − 3) 2 1 1 z e − = 4) 4z e i = 5) 1 3 z e i = + 4. ຖ້າ cos 2 z = ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ cos 2z ແລະ cos3z 5. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ໃຈຜົນທັງໝົດຂອງສົມຜົນ sin z a = ແລະ cosz a = ເມ ື່ອ − 1 1 a ເປັນຈໍານວນຈິງ. 6. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) 2 1 sinh cosh 1 2 2 z z = − ແລະ ( ) 2 1 cosh cosh 1 2 2 z z = + 7. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ln i , ln 1( +i) ແລະ ( ) 1 1 i i + + 8. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ເຊິື່ງ 1) sinh 2z u iv = + 2) 2cosh z u iv = + 9. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1) sin sin cos cos sin (z z z z z z 1 2 1 2 1 2 + = + ) 2) sin 2 2sin cos z z z = 3) 2 2 cos 2 cos sin z z z = − 10. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1) sinh 3 i 2) cosh 2 1 , 0, 1, 2, ( ) 2 k i k + = 3) 3 coth 4 i 11. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ (5 ) i , ( ) e i , (2 ) i i ແລະ ln 1( ) i i + 12. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 1 3 4 ln 2 2 2 3 i k i − − = + ເມ ື່ອ k = 0, 1, 2, 13. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ln 4 (− ) , ln 3( i) ແລະ ln 3 ( −i)
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 72 14. ຈົົ່ງຊອກຫາພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກຂອງພົດຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) x x ເມ ື່ອ x ເປັນຈໍານວນຈິງ ແລະ x 0 2) ( ) iy iy ເມ ື່ອ y ເປັນຈໍານວນຈິງ ແລະ y 0 3) z z ເມ ື່ອ z 0 15. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ z z ເມ ື່ອ z ມີຄ່າດັົ່ງຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 4 i 2) 1+ i 3) 4 i − 4) 3+i 16. ຈົົ່ງຊອກຫາພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 2z e 2) 4z e − 3) 2 z e 4) 3 z e 17. ຈົົ່ງຊອກຫາໃຈຜົນຂອງສົມຜົນຕໍໍ່ໄປນີື້ ແລະ ສະແດງໃຈຜົນຂອງສົມຜົນເຫ ົົ່ານີື້ລົງໃນລະບົບຈໍານວນສົນ. 1) 1 z e = 2) 2 z e =− 18. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: cosz, sin z, cosh z ແລະ sinh z ເປັນຕໍາລາວິເຄາະສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z 19. ຈົົ່ງຊອກຫາໃຈຜົນຂອງສົມຜົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) cos 5 z = 2) cosh 0 z = 3) 1 cosh 2 z = 4) sin 1000 z = 5) sinh 0 z = 6) sin sinh1 z i = 7) ln 2 z i = 8) ln 1 z i = + ( ) 9) ln 2 z i = − 10) ln 1 z i = + 20. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1) cosz 2) tanh z 3) (cot z) 4) ln 2 5) ln e 6) ln(−ie) 7) ( ) 2 ln e − 8) ln1 9) ln i
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 73 10) ln ( ) i e 11) ln(ie) 21. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງເສັື້ນເນັົ່ງຈອມ (Principal Value) ຂອງ 1) (1 ) i + i 2) (1 ) i i i + − 3) 2 2 i 4) 3 2 2 + i 5) ( ) 1 2 2 i 6) ( ) 1 1 i i − + 7) 3 3 −i 8) ( ) 1 2 i i + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 74 ບົດທີ 6 ສັງຄະນິດ (Integral) ກ່ອນທີື່ຈະເວົື້າເຖິງສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາຄ່າສົນ, ຈະທວນຄ ນຄຸນລັກສະນະບາງປະການຂອງສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາຄ່າ ຈິງກ່ອນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ສົມມຸດໃຫ້ f t( ) , g t( ) ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງຂອງຕົວປ່ຽນຈໍານວນຈິງ t ເຊິື່ງຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງຫວ່າງ a t b ແລະ 1 c , 2 c ເປັນຈໍານວນຄົງຄ່າ ແລ້ວ: 1) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a c f t c g t dt c f t dt c g t dt + = + 2) ( ) ( ) b b a a f t dt f t dt ໃນກໍລະນີຂອງຕໍາລາສົນກໍໍ່ມີຄຸນລັກສະນະຄ້າຍກັນຄ : ຖ້າໃຫ້ F t f t if t ( ) = + 1 2 ( ) ( ) ເມ ື່ອ f t 1 ( ), f t 2 ( ) ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ ເຊິື່ງຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງຫວ່າງ a t b ແລ້ວ, ນິຍາມຂອງສັງຄະນິດຂອງ F t( ) ຄ : ( ) 1 2 ( ) ( ) b b b a a a F t dt f t dt i f t dt = + ແລະ ຈະສັງເກດພົບວ່າ: ( ) ( ( )) 1 ( ) b b b a a a F t dt F t dt f t dt = = ( ) ( ( )) 2 ( ) b b b a a a F t dt F t dt f t dt = = ໃນການຫາຄ່າສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາສົນ, ພວກເຮົາຈະຫາຄ່າຂອງສັງຄະນິດເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ (Curves) ທົົ່ວໆ ໄປ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະເວົື້າເຖິງເສັື້ນໂຄ້ງຊະນິດຕ່າງໆ ກ່ອນ. 6.1 ເສັື້ນໂຄ້ງ (Curves) ເສັື້ນໂຄ້ງທີື່ຈະເວົື້າເຖິງຕໍໍ່ໄປນີື້ ສ່ວນໃຫຍ່ຈະເປັນເສັື້ນໂຄ້ງທີື່ຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັນຕະຫ ອດ (Continuous Curves) ນິຍາມ 6.1 ເສັື້ນໂຄ້ງທີື່ຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັນຕະຫ ອດໃນໜ້າພຽງສົນ ກໍໍ່ຄ ການສົົ່ງແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງ (Continuous Map) z a b : , → ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງທີື່ຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັນຕະຫ ອດໃນໜ້າພຽງສົນ, ພວກເຮົາຈະແທນ C ໂດຍ: C z t x t iy t a t b : , ( ) = + ( ) ( ) (6.1) ເມ ື່ອ x t( ), y t( ) ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງທີື່ຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນຫວ່າງ a t b ໂດຍມີ t ເປັນຕົວປ່ຽນຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງເອີື້ນ ວ່າ: ຕົວພາຣາມິເຕີ (Parameter), ສົມຜົນ (6.1) ນີື້ຈະເອີື້ນວ່າ: ສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ ຫ ສົມຜົນຕົວປ່ຽນເສີມ (Parameter Equation) ຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ. ໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ C z t x t iy t a t b : , ( ) = + ( ) ( ) ແລ້ວ ເມັດ z a( ) ຈະເອີື້ນວ່າ: ເມັດເລີື່ມຕົື້ນ (Initial Point) ຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ເມັດ z b( ) ຈະເອີື້ນວ່າ: ເມັດສຸດທ້າຍ (Terminal Point) ຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ຖ້າເມັດເລີື່ມຕົື້ນ z a( ) ເປັນເມັດດຽວກັບເມັດສຸດທ້າຍ z b( ) ພວກເຮົາຈະເອີື້ນເສັື້ນໂຄ້ງນີື້ວ່າ: ເສັື້ນໂຄ້ງປິດ (Closed Curves); ຖ້າ z t z t ( 1 2 ) ( ) ເມ ື່ອ 1 2 t t ນັື້ນກໍຄ C ບໍໍ່ມີເມັດຕັດກັນເລີຍ ພວກເຮົາຈະເອີື້ນ C ວ່າ: ເສັື້ນໂຄ້ງດ່ຽວ (Simple Curves); ຖ້າ C ມີຄຸນລັກສະນະເປັນທັງເສັື້ນໂຄ້ງປິດ ແລະ ເສັື້ນໂຄ້ງດ່ຽວ ພວກເຮົາຈະເອີື້ນ C ວ່າ: ເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ (Simple Closed Curves) ຫ ເສັື້ນໂຄ້ງຈໍແດນ (Jordan Curves) ທິດສະດີ 6.1 ທິດສະດີເສັື້ນໂຄ້ງຈໍແດນ (Jordan Curves Theorem)
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 75 ຖ້າ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງຈໍແດນແລ້ວ, ສ່ວນເຕີມເຕັມ (Complement) ຂອງ C ຈະປະກອບໄປດ້ວຍ 2 ເຂດກໍາ ນົດ ເຊິື່ງບໍໍ່ມີເມັດຮ່ວມກັນ. z b( ) z a z b ( ) = ( ) z a( ) Simple Closed Curve Simple Curve z a z b ( ) = ( ) z a( ) z b( ) Closed Curve but Not Simple Not Closed, Not Simple z a( ) z b( ) Not Closed, Not Simple ຮູບທີ 6.1 ເສັື້ນໂຄ້ງຊະນິດຕ່າງໆ y C Outside Domain Inside Domain x ຮູບທີ 6.2 ເຂດກໍານົດພາຍໃນ ແລະ ເຂດກໍານົດພາຍນອກ ໝາຍເຫດ: ການພິສູດທິດສະດີນີື້ ຈະຫາເບິື່ງໄດ້ໃນ [Newman] ເຊິື່ງຈະບໍໍ່ໄດ້ພິສູດໃນທີື່ນີື້. ເຂດກໍານົດທີື່ມີຂອບເຂດ (Bounded Domain) ຈະເອີື້ນວ່າ: ເຂດກໍານົດພາຍໃນ (Inside Domain) ແລະ ເຂດກໍານົດທີື່ບໍໍ່ມີຂອບເຂດ (Unbounded Domain) ຈະເອີື້ນວ່າ: ເຂດກໍານົດພາຍນອກ (Outside Domain) ແລະ ເສັື້ນໂຄ້ງ C ຈະເປັນຂອບເຂດ (Bounded) ຂອງແຕ່ລະເຂດກໍານົດ. ນິຍາມ 6.2 ໃຫ້ D ເປັນເຂດກໍານົດ ຈະເອີື້ນ D ວ່າ: ເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ (Simply Connected Domain), ຖ້າທຸກໆ ເສັື້ນໂຄ້ງຈໍແດນຢູ່ພາຍໃນ D ແລ້ວເສັື້ນໂຄ້ງຈໍແດນນັື້ນຈະຕ້ອງປະກອບດ້ວຍເມັດພາຍໃນເຂດ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 76 ກໍານົດ D ເທົົ່ານັື້ນ. ຖ້າ D ບໍໍ່ເປັນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ (Simply Connected Domain) ຈະເອີື້ນ D ວ່າ: ເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງຫ າຍທາງ (Multiply Connected Domain) Simply Connected Domain Multiply Connected Domain ຮູບທີ 6.3 ເຂດກໍານົດຊະນິດຕ່າງໆ ຕົວຢ່າງ 6.1 ໃຫ້ A z z = : 0 1 ຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: 0 A ; ຖ້າພວກເຮົາແຕ້ມເສັື້ນໂຄ້ງຈໍແດນລົງໃນ A ດັົ່ງຮູບທີ6.4 ພວກເຮົາຈະພົບວ່າ: ຈະຢູ່ເທິງເສັື້ນໂຄ້ງຈໍແດນ. ດັົ່ງນັື້ນ, A ຈະບໍໍ່ເປັນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ. y i A C −1 1 x −i ຮູບທີ6.4 A z z = : 0 1 ຖ້າໃຫ້ເສັື້ນໂຄ້ງ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ ເຊິື່ງເປັນຂອບເຂດຂອງເຂດກໍານົດ D , ເຂດກໍານົດໃດເຂດກໍານົດໜຶື່ງ ຈະເວົື້າວ່າ: C ມີການວາງທິດທາງເປັນບວກ (Positive Orientation) ຫ ມີທິດທາງບວກ ເມ ື່ອ C ມີທິດທາງດຽວ ກັບທິດທາງການເດິນຂອງຜູ້ເດິນທາງຕາມເສັື້ນໂຄ້ງ C ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ສ່ວນຂອງເຂດກໍານົດຈະຢູ່ທາງທິດທາງຊ້າຍຂອງຜູ້ ເດິນທາງ. ໃນກໍລະນີ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນແລ້ວ C ຈະມີທິດທາງເປັນບວກ, ຖ້າ C ມີກົງກັນຂ້າມກັບ ການເດິນຂອງເຂັມໂມງ ແລະ C ຈະມີທິດທາງເປັນລົບ, ຖ້າ C ມີທິດທາງດຽວກັບການເດິນຂອງເຂັມໂມງ, ແຕ່ ພວກເຮົາບໍໍ່ໄດ້ໝາຍຄວາມວ່າ: ທິດທາງບວກຂອງເສັື້ນໂຄ້ງທີື່ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ ຈະເປັນທິດທາງດຽວກັບ ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບການເດິນຂອງເຂັມໂມງ ເຊັົ່ນ: ວົງແຫວນເຂດກໍານົດ ເຊິື່ງມີຂອບເຂດເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງ ວົງມົນ C1 , C2 ດັົ່ງຮູບທີ6.5 ພວກເຮົາຈະພົບວ່າ: ເສັື້ນຮອບວົງນອກ ເຊິື່ງເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ C1 ຈະມີ ທິດທາງກົງກັນຂ້າມເຂັມໂມງເປັນທິດທາງບວກ, ສ່ວນເສັື້ນຮອບວົງໃນ ເຊິື່ງເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ C2 ມີທິດ ທາງຕາມເຂັມໂມງເປັນທິດທາງບວກ. C1 C2 ຮູບທີ 6.5 C1 ມີທິດທາງບວກ, C2 ມີທິດທາງລົບ ຕົວຢ່າງ 6.2 ພິຈາລະນາເສັື້ນໂຄ້ງ C1 , C2 , C3 , C4 ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕາມຕົວປ່ຽນສໍາຮອງດັົ່ງຕໍໍ່ໄປນີື້: ທັງ C1 , C2 , C3 ແລະ C4 ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນທີື່ມີເມັດໃຈກາງທີື່ 0 ແລະ ລັດສະໝີເທົົ່າກັບ 1 ຫົວ ໜ່ວຍ. ຄວາມແຕກຕ່າງຂອງ C1 , C2 , C3 ແລະ C4 ຢູ່ທີື່ເມັດເລີື່ມຕົື້ນ ແລະ ທິດທາງຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ; ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 ,
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 77 C2 ມີເມັດເລີື່ມຕົື້ນທີື່ (1,0) , ສ່ວນ C3 , C4 ມີເມັດເລີື່ມຕົື້ນທີື່ (−1,0) . ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 , C3 ມີທິດທາງ ກົງກັນຂ້າມເຂັມໂມງ, ສ່ວນ C2 , C4 ມີທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ ດັົ່ງຮູບທີ 6.6 y y z(0) z(0) x x C1 C2 y y z(0) z(0) x x C3 C4 ຮູບທີ 6.6 ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 , C2 , C3 , C4 6.2 ສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາສົນເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ ຈາກສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C z t x t iy t a t b ( ) = + ( ) ( ), ຖ້າເສັື້ນໂຄ້ງນີື້ມີຄ່າຜົນຕໍາລາເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ, ນັື້ນຄ : z t x t iy t ( ) = + ( ) ( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ແລ້ວຈະເອີື້ນ ເສັື້ນໂຄ້ງນີື້ວ່າ: ເສັື້ນໂຄ້ງກ້ຽງ (Smooth Curve) ນິຍາມ 6.3 ກໍານົດໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງກ້ຽງ ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ z t x t iy t a t b ( ) = + ( ) ( ), ແລະ ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງເສັື້ນໂຄ້ງກ້ຽງ C ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f z t z t ( ( )) ( ) ຈະເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ ເນ ື່ອງ ສໍາລັບ a t b ດ້ວຍ ແລະ ຄ່າຂອງສັງຄະນິດຂອງ f z( ) ເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ C ຈະກໍານົດໂດຍ: ( ) ( ( )) ( ) b C a f z dz f z t z t dt = ຂໍໍ້ຄວນລະວັງ ຄ່າຂອງສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາສົນຈະມີຂໍໍ້ທີື່ຄວນສັງເກດຄ : 1) ຄ່າຂອງ ( ) ( ( )) ( ) b C a f z dz f z t z t dt = ຈະເປັນຄ່າທີື່ຖ ກຕ້ອງ ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງກ້ຽງ ແລະ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງ C 2) ຈາກ ( ) ( ( )) ( ) b C a f z dz f z t z t dt = ຄ່າຂອງສັງຄະນິດເບ ື້ອງຂວາ ໄດ້ຈາກການແທນຄ່າ z z t = ( ) , dz z t dt = ( ) ແລະ ຂອບເຂດຈະເປັນຂອບເຂດຂອງ t ຄ : ຈາກ a ຫາ b 3) ໃນກໍລະນີ C ມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ z t t ( ) = ເສັື້ນໂຄ້ງ C ຈະເປັນເສັື້ນຊ ື່ເທິງແກນຄ່າຈິງ (Real Axis) ແລະ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ( )) b C a f z dz f z t dt =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 78 4) ຄ່າຂອງ ( ) b a f x dx ເມ ື່ອ f x( ) ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ ເຊິື່ງມີ x ເປັນຕົວປ່ຽນຈໍານວນຈິງ ຈະຂ ື້ນຢູ່ກັບ f x( ) ແລະ ເມັດປາຍ a , b ສ່ວນຄ່າຂອງ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ f z( ) ເປັນຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງມີ z ເປັນຕົວປ່ຽນຈໍານວນສົນ ຈະ ຂ ື້ນຢູ່ກັບຕໍາລາ f z( ) ແລະ ທຸກໆ ເມັດເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ C ຕົວຢ່າງ 6.3 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 C z dz ເມ ື່ອ C ຄ : 1) C z t t it t 1 1 : , 0 1 ( ) = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 2 2 1 1 2 1 1 3 3 C t z dz t it i dt i t dt i i = + + = + = + = + 2) ( ) 2 2 2 C z t t it t : , 0 1 = + ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 5 3 4 2 0 0 0 2 2 C z dz t it t i dt t t dt i t t dt = + + = + + + 1 1 6 4 5 3 0 0 2 2 1 1 1 1 5 8 6 4 5 3 3 2 5 3 6 15 t t t t i i i = + + + = + + + = + ລັກສະນະຂອງ C1 ແລະ C2 ໃນຕົວຢ່າງ 6.3 ຈະເປັນດັົ່ງໃນຮູບທີ6.7 ຈາກຕົວຢ່າງ 6.3 ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: C1 ແລະ C2 ຈະເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງມີເມັດເລີື່ມຕົື້ນ z z 1 2 (0 0 0 ) = = ( ) ແລະ ເມັດປາຍ z z i 1 2 (1 1 1 ) = = + ( ) ຄ ກັນ ແລະ ຄ່າຂອງ f z( ) ກໍໍ່ເປັນຄ່າດຽວກັນ ແຕ່ຄ່າຂອງ 1 2 2 2 C C z dz z dz ທີື່ເປັນແບບນີື້ເພາະເມັດອ ື່ນໆ ເທິງ C1 ແລະ C2 ຈະແຕກຕ່າງກັນ. y C1 C2 x ຮູບທີ6.7 ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 ແລະ C2 ໃນຕົວຢ່າງ 6.3 ຕົວຢ່າງ 6.4 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 C z dz ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນໂຄ້ງຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) C z t t it t 1 1 : , 0 1 ( ) = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 1 2 C z dz t it i dt t it t i dt i it dt = + + = + − + = + ( ) ( ) 1 3 0 2 1 2 2 2 1 3 3 3 3 t i i i i i + = + = = − + 2) ( ) 2 2 2 C z t t it t : , 0 1 = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 4 3 2 5 4 3 2 0 0 0 2 2 2 2 5 C z dz t it t i dt t it t t i dt t it t it dt = + + = + − + = + − −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 79 1 6 5 4 3 0 2 5 1 2 2 1 6 5 4 3 3 3 3 3 t it t it i i i = + − − = + − − = − + ໃນຕົວຢ່າງ 6.4 ຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: 1 2 2 2 C C z dz z dz = ເມ ື່ອ C1 ແລະ C2 ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງຄ ດັົ່ງຮູບທີ6.7 ແລະ ( ) 2 f z z = ມີຜົນຕໍາລາເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ C ຄວາມແຕກຕ່າງຂອງຕົວຢ່າງ 6.3 ຕໍາລາ ( ) 2 f z z = ແລະ ຕົວຢ່າງ 6.4 ຄ : ຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາ ໃນຕົວຢ່າງ 6.3 ມີຄ່າ ບໍໍ່ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ, ແຕ່ໃນ ຕົວຢ່າງ 6.4 ຕໍາລາ ( ) 2 f z z = ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະ. 6.3 ຄຸນລັກສະນະຂອງສົມຜົນອິງຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ ໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງກ້ຽງ ເຊິື່ງມີສົມຜົນເປັນ z t x t iy t ( ) = + ( ) ( ) ກໍານົດເທິງຫວ່າງ a b, ຖ້າແບ່ງຫວ່າງ a b, ອອກເປັນຫວ່າງຍ່ອຍ 2 ຫວ່າງຄ : a c, ແລະ c b, ພວກເຮົາຈະໄດ້ເສັື້ນໂຄ້ງ 2 ເສັື້ນຄ : C1 ແລະ C2 ຈາກສົມຜົນ z t x t iy t ( ) = + ( ) ( ) ໂດຍເຮັດໃຫ້ຕົວສໍາຮອງ (Parameter) t ໃຫ້ຢູ່ໃນແຕ່ລະຫວ່າງ a c, ແລະ c b, ຕາມລໍາດັບ ແລະ ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ C ແລ້ວ ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) b c b C a a c f z dz f z t z t dt f z t z t dt f z t z t dt = = + ( ) ( ) C C 1 2 = + f z dz f z dz ໃນທໍານອງດຽວກັນນີື້, ຖ້າແບ່ງເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບຂອງເສັື້ນໂຄ້ງຍ່ອຍ ເສັື້ນດ້ວຍກັນຄ C C C C C = + + + + 1 2 3 n ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) C C C C C 1 2 3 n f z dz f z dz + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C 1 2 3 n = + + + + f z dz f z dz f z dz f z dz ນິຍາມ 6.4 ຕໍາລາ f z( ) ພວກເຮົາຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເປັນຫວ່າງໆ (Sectionally Continuous) ໃນ ຫວ່າງໆ ໜຶື່ງ, ຖ້າ f z( ) ມີເມັດບໍໍ່ຕໍໍ່ເນ ື່ອງເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດ ແລະ ຄ່າຂອງຂອບເຂດເບ ື້ອງຊ້າຍ, ຂອບເຂດເບ ື້ອງ ຂວາ ຂອງເມັດທີື່ບໍໍ່ຕໍໍ່ເນ ື່ອງນັື້ນມີຄ່າ. ນິຍາມ 6.5 ເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງມີຜົນຕໍາລາຂອງ z t( ) ຄ : z t ( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເປັນຫວ່າງໆ ພວກເຮົາຈະເອີື້ນວ່າ: ຄອນທົວຣ໌(Contour) ເມ ື່ອ z t( ) ໄດ້ມາຈາກສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ z t x t iy t a t b ( ) = + ( ) ( ), ຖ້າໃຫ້ C ເປັນຄອນທົວຣ໌ ສາມາດຈະຂຽນຢູ່ໃນຮູບຂອງຜົນບວກຂອງເສັື້ນໂຄ້ງກ້ຽງ n ເສັື້ນ, ນັື້ນກໍໍ່ຄ : C C C C C = + + + + 1 2 3 n ດັົ່ງນັື້ນ, ສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງຕາມຄອນທົວຣ໌ ສາມາດຈະຊອກຫາໄດ້ຈາກ ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C C 1 2 1 n n f z dz f z dz f z dz f z dz + + + = = + + ຕົວຢ່າງ 6.5 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ C zdz ເມ ື່ອ C ຄ : ຄອນທົວຣ໌ຕໍໍ່ໄປນີື້: ( ) ( ) 2 , 0 1 : 2 1 , 1 2 t t C z t i t t = + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 80 ໃຫ້ C1 ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງຄ່າຂອງຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ t ຢູ່ໃນຫວ່າງ 0,1 ແລະ C2 ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງຄ່າຂອງ ຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ t ຢູ່ໃນຫວ່າງ 1,2 ແລ້ວ C C C = +1 2 C C C 1 2 zdz zdz zdz = + ( ) ( ) 1 2 0 1 = + + − 2 2 2 1 t dt i t idt 1 2 2 2 0 1 1 1 = + − + 4 2 tdt i dt tdt dt 2 2 1 2 2 2 0 1 1 1 2 2 2 t t i t t = + − + ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 4 1 2 1 2 = + − − − + − i 3 2 2 = + i ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C1 , C2 ໃນຕົວຢ່າງ 6.5 ຈະເປັນໄປດັົ່ງຮູບທີ6.8 y (2,1) C2 C1 (2,0) x ຮູບທີ6.8 ເສັື້ນໂຄ້ງ C1 , C2 ໃນຕົວຢ່າງ 6.5 ຈາກສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງເສັື້ນໂຄ້ງກ້ຽງ C C z t x t iy t a t b : , ( ) = + ( ) ( ) ຖ້າໃຫ້ l ເປັນລວງຍາວຂອງ C , ຈາກແຄລຄູລັສ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) b b b 2 2 a a a dx dy dx dy l z t dt i dt dt dt dt dt dt = = + = + ໃນກໍລະນີສະເພາະທີື່ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງເຊ ື່ອມລະຫວ່າງເມັດ 0 0 0 z x iy = + ກັບເມັດ 1 1 1 z x iy = + ສົມຜົນ ຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງ C ຄ : C z t x t x x i y t y y t : , 0 1 ( ) = + − + + − 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 z t z z = − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 1 1 1 0 1 0 0 0 l z t dt z z dt z z = = − = − ເມ ື່ອ z ຢູ່ເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ C ພວກເຮົາຈະໄດ້: dz z t dt = ( ) ດັົ່ງນັື້ນ, l ອາດຈະຂຽນເປັນ C l dz =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 81 ທິດສະດີ 6.2 ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງຄອນທົວຣ໌ C ເຊິື່ງມີລວງຍາວ l ແລະ f z M ( ) ສໍາລັບ ທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເທິງ C ແລ້ວ ( ) ( ) C C C f z dz f z dz M dz Ml = ພິສູດ ໃຫ້ C ເປັນຄອນທົວຣ໌ ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ z t( ) ເທິງຫວ່າງ a b, ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) b b b b C a a a a f z dz f z t z t dt f z t z t dt f z dz M z t dt Ml = ຕົວຢ່າງ 6.6 ຈົົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດເທິງ (Upper Bound) ຂອງ 2 10 C dz z + ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ : 2 , ( ) it C z t e t = − ຈາກທິດສະດີ6.2 2 2 2 1 2 C C C C 10 6 3 10 10 dz dz dz dz z z z + + − ຈາກການຫາຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນໂຄ້ງໃນຮູບຮ່າງຂອງສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ z t x t iy t a t b ( ) = + ( ) ( ), ພວກເຮົາຈະພົບວ່າ: ໃນກໍລະນີທີື່ເສັື້ນໂຄ້ງເປັນເສັື້ນໂຄ້ງດ່ຽວ, ຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນໂຄ້ງນັື້ນເປັນອິດສະຫ ະບໍໍ່ຂ ື້ນຢູ່ ກັບຄ່າຂອງຕົວສໍາຮອງໃນຫວ່າງໃດຫວ່າງໜຶື່ງ ດັົ່ງຕົວຢ່າງຕໍໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 6.7 ຈົົ່ງຊອກຫາຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C1 ແລະ C2 ເມ ື່ອສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງ 1 1 : , 0 ( ) it C z t e t = ແລະ ( ) 2 2 2 : , 0 2 it C z t e t = ( ) 1 1 1 C 0 0 dz z t dt dt = = = ( ) 2 2 2 2 2 0 0 2 C dz z t dt dt = = = ຈາກສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງ C1 ແລະ C2 ໃນຕົວຢ່າງ 6.7 ພວກເຮົາຈະພົບວ່າ: ເຖິງແມ່ນວ່າສົມຜົນຕົນ ຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຈະແຕກຕ່າງກັນ, ແຕ່ທັງ C1 ແລະ C2 ກໍໍ່ຍັງມີຄວາມຍາວເທົົ່າກັນ. ຖ້າ C ເປັນຄອນທົວຣ໌ ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ C z t x t iy t a t b : , ( ) = + ( ) ( ) ແລ້ວ −C ຈະເປັນຄອນທົວຣ໌ ເຊິື່ງມີລັກສະນະຄ C ແຕ່ມີທິດທາງກົງກັນຂ້າມ C ແລະ −C ຈະມີສົມຜົນຕົວ ປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ − − = − + − − − C z t x t iy t b t a : , ( ) ( ) ( ) ແລະ ຄ່າຂອງສັງຄະນິດເທິງຄອນທົວຣ໌ −C ຈະເປັນໄປດັົ່ງນີື້: ( ) ( ( )) ( )( 1) a C b f z dz f z t z t dt − − − = − − − ໃຫ້ r t =− ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) a b C b a C f z dz f z r z r dt f z r z r dt f z dz − = = − = − ຕົວຢ່າງ 6.8 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ C z dz ຕາມເສັື້ນຊ ື່ C ເຊິື່ງເຊ ື່ອມລະຫວ່າງເມັດກໍາເນີດ ແລະ ເມັດ 1+ i ; ສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງ C ຄ : C z t t it t : , 0 1 ( ) = + ດັົ່ງນັື້ນ, z t i dt ( ) = + (1 ) ແທນຄ່າລົງໃນສັງຄະນິດ ພວກເຮົາຈະໄດ້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 82 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 it it it it ir i C ir z dz re ire dt ir e dt e d it r e r e e i = = = = = − 2 2 = + − = + − = r i r cos2 sin 2 1 1 0 1 0 y (0,r) x (−r,0) (−r,0) (0,r) ຮູບທີ 6.9 ເສັື້ນໂຄ້ງໃນຕົວຢ່າງ 6.8 ຕົວຢ່າງ 6.9 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ n C z dz ເມ ື່ອ n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນ ແລະ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ ເຊິື່ງມີເມັດໃຈກາງທີື່ເມັດກໍາເນີດ, ລັດສະໝີ r , ລັກສະນະຂອງ C ຈະຢູ່ໃນຮູບທີ 6.9 ພວກເຮົາຈະໄດ້ ສົມຜົນຕົວ ປ່ຽນສໍາຮອງຂອງ C ຄ : : , 0 2 ( ) it C z t re t = ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0 0 0 n it it n nit it n it n C z dz re ire dt ir e dt ir e dt + + + + = = = ( ) ( ) ( ( )) 1 2 1 0 1 1 n ir it n e d it n i n + + = + + ເມ ື່ອ n −1 ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 0 1 1 0 n n r r it n i n e e e n n + + + + = = + + + ( ) ( ) 1 1 cos 1 2 sin 1 2 1 1 0 1 0 1 1 n n r r n i n n n + + = + + + − = + − = + + ຖ້າ n = −1 2 2 2 1 0 0 0 2 0 2 it it C ire z dz dt i dt i t i i re − = = = = − = ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈຶື່ງສະຫ ຼຸບໄດ້ວ່າ: 0 2 n C z dz i = ຖ້າ n −1 ຖ້າ n =1 ຈາກຕົວຢ່າງ 6.9 ພວກເຮົາຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ຄ່າຂອງສັງຄະນິດບໍໍ່ຂ ື້ນຢູ່ກັບຄ່າ r ເຊິື່ງເປັນລັດສະໝີຂອງວົງມົນ. 6.4 ສັງຄະນິດຕາມເສັື້ນ (Line Integral) ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາສົນໃດໆ ຈະຂຽນ f z( ) ໃນພົດຂອງຕໍາລາຄ່າຈິງ u x y ( , ) ແລະ v x y ( , ) ພວກເຮົາຈະ ໄດ້ວ່າ: f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງຄອນທົວຣ໌ C ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ C z t x t iy t a t b : , ( ) = + ( ) ( ) ແລ້ວຈາກນິຍາມ 6.3 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) b b C a a f z dz f z t z t dt u z t iv z t x t iy y dt = = + + ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) b b a a = − + + u z t x t v z t y y dt i u z t y t v z t x y dt
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 83 ເຊິື່ງພວກເຮົາຂຽນສັື້ນໆ ໄດ້ວ່າ: ( ) b b C a a f z dz ux vy dt i uy vx dt = − + + (6.2) ຈາກ (6.2) ຂ້າງເທິງນີື້, ຈະສະແດງຄ່າສັງຄະນິດຕາມເສັື້ນຂອງຕໍາລາສົນ. ຕົວຢ່າງ 6.10 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 C z dz ເມ ື່ອ C ເປັນຄອນທົວຣ໌ ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ ( ) 2 C z t t it t : , 0 1 = + ວິທີ1 ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 z t t it t it t = + = + − 2 dz t i dt = + (2 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 4 3 2 5 3 4 2 0 0 0 2 2 2 2 2 4 5 3 3 C z dz t it t t i dt t t dt i t t dt i = + − + = − + − = − + ວິທີ2 ( ) 2 z t t it = + , ( ) 2 x t t = , y t t ( ) = ( ) ( ) 2 2 2 2 f z z x iy x y xy = = + = + − 2 ສະນັື້ນ, 2 2 u x y = + , v xy = 2 ຈາກ (6.2) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) b b C a a f z dz ux vy dt i uy vx dt = − + + ແທນຄ່າ u , v , x , y ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 4 2 2 2 4 2 0 0 2 2 2 2 C z dz t t t t t dt i t t t t t dt = − − + + − ( ) ( ) 1 1 5 3 4 2 0 0 = − + − 2 4 5 t t dt i t t dt 2 2 3 3 = − + i y y f x = 2 ( ) C a R b x y f x = 2 ( ) C ຮູບທີ 6.10 ບໍລິເວນ R ສໍາລັບທິດສະດີກ ິນ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 84 y d x g y = 1 ( ) C C R x g y = 2 ( ) x c ຮູບທີ 6.11 ບໍລິເວນ R ສໍາລັບທິດສະດີກ ິນ ຫ ັງຈາກທີື່ໄດ້ຊອກຫາຄ່າສັງຄະນິດຕາມເສັື້ນໂຄ້ງໂດຍໃຊ້ນິຍາມ 6.3 ມາແລ້ວ, ຕໍໍ່ໄປນີື້ພວກເຮົາຈະມາເວົື້າເຖິງທິດ ສະດີທີື່ກ່ຽວກັບການຫາຄ່າສັງຄະນິດ. ໃນການພິສູດທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້, ພວກເຮົາຕ້ອງອາໄສທິດສະດີກ່ຽວກັບຄ່າສັງຄະ ນິດຊ້ອນ (Double Integral) ຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 6.3 ທິດສະດີກ ິນ (Green’s Theorem) ໃຫ້ R ເປັນບໍລິເວນປິດເຊ ື່ອມໂຍງດຽວໃນໜ້າພຽງ xy ເຊິື່ງມີເສັື້ນຮອບບໍລິເວນ R ເປັນຄອນທົວຣ໌ C ແລະ ໃຫ້ f x y ( , ), g x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ແລະ ມີຜົນຕໍາລາຫ າຍຕົວປ່ຽນ f y ແລະ g x ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນ ເຂດກໍານົດ ເຊິື່ງປະກອບດ້ວຍບໍລິເວນ R ແລ້ວ ( ) C R g f fdx gdy dxdy x y + = − ພິສູດ ພິຈາລະນາບໍລິເວນ ໃນຮູບທີ 6.10 ພວກເຮົາຈະໄດ້: a x b f x y f x , 1 2 ( ) ( ) ແລະ ຈາກຮູບທີ6.11 ພວກເຮົາຈະໄດ້: c y d g y x g y , 1 2 ( ) ( ) ຈາກຮູບທີ6.10 ( ) 2 ( ) 1 b f x R a f x f f dxdy dy dx y y = (6.3) ຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 2 ( ) 1 f x f x f dy y ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 2 2 1 1 2 1 , , , f x f x f x f x f dy f x y f x f x f x f x y = = − ແທນຄ່າ ( ) 2 ( ) 1 f x f x f dy y ໃສ່ (6.3) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( , , 2 1 ( )) ( ( )) b R a f dxdy f x f x f x f x dx y = − ( , , 2 1 ( )) ( ( )) b b a a = − f x f x dx f x f x dx ( , , 1 2 ( )) ( ( )) b a a b = − − f x f x dx f x f x dx ຈາກຮູບທີ6.10 y f x = 1 ( ) ຈະແທນເສັື້ນໂຄ້ງ C ແລະ y f x = 2 ( ) ຈະແທນເສັື້ນໂຄ້ງ C ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າ ຂອງສັງຄະນິດເບ ື້ອງຂວາມ ຈະຂຽນໃນພົດຂອງສັງຄະນິດຕາມເສັື້ນ C , C ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 85 ( , , , ) ( ) ( ) R C C C f dxdy f x y dx f x y dx f x y dx y = − = − ( , , 1 2 ( )) ( ( )) b a a b = − − f x f x dx f x f x dx ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ( , ) C R f f x y dx dxdy y = − ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ພວກເຮົາສາມາດທີື່ຈະໃຊ້ 6.11 ໂດຍໃຊ້ຄ່າຂອງ g y 1 ( ), g y 2 ( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( , ) C R g g x y dy dxdy x = ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) C R g f fdx gdy dxdy x y + = − ຕົວຢ່າງ 6.11 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 2 2 C xydx x y dy + + ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບຂອງຮູບສີື່ແຈຈະຕຸລັດ ເຊິື່ງ ມີ 0 1 x , 0 1 y ວິທີ1 ຫາຄ່າໂດຍກົງ ( ) 2 2 C xydx x y dy + + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 = + + + + + x dx y dy x dx y dy 0 1 1 0 4 1 1 0 3 2 3 = + − − 1 2 = ວິທີ2 ໂດຍໃຊ້ທິດສະດີກ ິນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: f xy = ແລະ 2 2 g x y = + ສ່ວນ f x y = ແລະ 2 g x x = ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 2 C xydx x y dy x x dxdy + + = − ( , , ( )) ( ( )) b b a a = − f x v x dx f x u x dx 1 1 2 0 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 x dy dy y = = = =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 86 y (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) x ຮູບທີ 6.12 ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນຕົວຢ່າງ 6.11 ຕົວຢ່າງ 6.12 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ C xdx ydy − ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບຂອງຮູບສາແຈ ເຊິື່ງມີເມັດ (1,1) , (2,1), (2,2) ວິທີ1 ຫາຄ່າໂດຍກົງ ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 C xdx ydy dx dy ydy ydy − = − + + − 1 2 0 1 = − + + = ວິທີ2 ໂດຍໃຊ້ທິດສະດີກ ິນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: f xy = ແລະ 2 2 g x y = + ສ່ວນ f x y = ແລະ 2 g x x = ( ) 1 1 0 0 1 1 C xdx ydy dxdy − = + 2 R = dxdy ແຕ່ R dxdy ຄ ພ ື້ນທີື່ຂອງ ໃນຮູບທີ 6.13 ດັົ່ງນັື້ນ, 2 C R xdx ydy dxdy − = 1 2 2 1 = = y (2,2) (1,1) (2,1) x ຮູບທີ 6.13 ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນຕົວຢ່າງ 6.12 ເມ ື່ອໄດ້ສຶກສາເຖິງທິດສະດີຂອງກ ິນແລ້ວ, ຕໍໍ່ໄປກໍໍ່ຈະເວົື້າເຖິງທິດສະດີຂອງສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາສົນ ເຊິື່ງຕ້ອງອາໄສ ທິດສະດີຂອງກ ິນເຂົື້າມາຊ່ວຍໃນການພິສູດ.
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 87 ທິດສະດີ 6.4 (Cauchy Weak Theorem) ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ໃນບໍລິເວນເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ D ເຊິື່ງມີ f z ( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ແລະ ໃຫ້ C ເປັນຄອນທົວຣ໌ປິດ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນ D ແລ້ວ ( ) 0 C f z dz = ພິສູດ ໃຫ້ f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) ຈາກ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ. ດັົ່ງນັື້ນ, f z ( ) ມີຄ່າ ແລະ ( ) x x y y f z u iv v iu = + = − ຈາກທີື່ກໍານົດໃຫ້ f z ( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D ຖ້າໃຫ້ R ເປັນສ່ວນທີື່ອ້ອມຮອບດ້ວຍ C ໂດຍທິດສະດີ ກ ິນ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) C C C f z dz udx vdy i vdx udy = − + + ( x y x y ) ( ) R R = − − + − v u dxdy i u v dxdy ຈາກ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະຕ້ອງສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣີມານນ໌ ໂດຍສົມຜົນໂກຊີ-ຣີ ມານນ໌ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( x x x x ) ( ) C R R f z dz v v dxdy i u u dxdy = − + + − = 0 D D C2 1 z C2 1 z C1 C1 0 z 0 z ຮູບທີ 6.14 ລັກສະນະຂອງ C1 , C2 ໃນທິດສະດີເພີື່ມ 6.1 ທິດສະດີເພີື່ມ 6.1 ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ, ໃນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ D ເຊິື່ງມີ f z ( ) ເປັນຕໍາລາ ຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D ແລະ ຖ້າໃຫ້ C1 , C2 ເປັນຄອນທົວຣ໌ໃດໆ ໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງມີເມັດເລີື່ມຕົື້ນ ແລະ ເມັດສຸດ ທ້າຍຄ ກັນແລ້ວ ( ) ( ) C C 1 2 f z dz f z dz = ພິສູດ ໃຫ້ C1 , C2 ມີເມັດເລີື່ມຕົື້ນດຽວກັນຄ : 0 z ແລະ ເມັດສຸດທ້າຍດຽວກັນຄ : 1 z ຕາມຮູບທີ 6.14 ສະນັື້ນ, C C C = − 1 2 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) C C C 1 2 f z dz f z dz − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 C C C C f z dz f z dz f z dz f z dz − = + = − ຈາກ C ເປັນຄອນທົວຣ໌ປິດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກທິດສະດີ 6.4 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 1 2 0 C C C f z dz f z dz f z dz = − = ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ( ) ( ) C C 1 2 f z dz f z dz =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 88 ຈາກບົດເພີື່ມນີື້, ພວກເຮົາຈະເວົື້າໄດ້ວ່າ: ຄ່າຂອງສັງຄະນິດນັື້ນບໍໍ່ໄດ້ຂ ື້ນຢູ່ກັບສ່ວນໃດໆ ໃນເຂດກໍານົດ, ແຕ່ຂ ື້ນຢູ່ ກັບເມັດເລີື່ມຕົື້ນ ແລະ ເມັດສຸດທ້າຍຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນເຂດກໍານົດທີື່ເຮັດໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ແລະ ຄ່າຂອງ f z ( ) ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງ. ພິຈາລະນາຄ່າຂອງ 1 C dz z ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ ເຊິື່ງມີເມັດໃຈກາງທີື່ເມັດກໍາເນີດ ແລະ ຄວາມ ຍາວຂອງລັດສະໝີເປັນ 1 ຫົວໜ່ວຍ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 0 1 2 it it C ie dz dt i z e = = ຈາກຄ່າສັງຄະນິດນີື້, ຈະສັງເກດເຫັນໄດ້ວ່າ: ເຖິງແມ່ນວ່າເສັື້ນໂຄ້ງ C ຈະເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດ, ແຕ່ຄ່າຂອງສັງຄະ ນິດບໍໍ່ເທົົ່າກັບ 0 ເປັນເພາະຕໍາລາ ( ) 1 f z z = ບໍໍ່ເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນເຂດກໍານົດທີື່ປະກອບດ້ວຍເສັື້ນໂຄ້ງ C ຕໍາ ລາ ( ) 1 f z z = ຈະບໍໍ່ເປັນຕໍາລາວິເຄາະທີື່ເມັດ z = 0 ເຊິື່ງເມັດ z = 0 ນີື້ຈະເອີື້ນວ່າ: ເມັດເອກະຖານ (Singularity Point) ຂອງຕໍາລາ ( ) 1 f z z = ຖ້າພວກເຮົາລອງພິຈາລະນາຊອກຫາຄ່າຂອງສັງຄະນິດຂອງຕໍາລາ ( ) 1 f z z = ຕາມເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃໝ່ ໂດຍໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນຮອບຮູບວົງແຫວນ 0 1 0 r z r ດັົ່ງໃນຮູບ, ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 0 1 1 1 C z r z r dz dz dz z z z = = = + 2 2 1 0 0 0 1 0 2 2 0 i i i i ire ir e d d re r e i i − = + = − = ການທີື່ຄ່າສັງຄະນິດນີື້ມີຄ່າເປັນ 0 ຈະເຫັນໄດ້ໃນທິດສະດດີຕໍໍ່ໄປ ເຊິື່ງຈະເວົື້າເຖິງ ທິດສະດີຂອງໂກຊີ ໃນບໍລິເວນ ເຊ ື່ອມໂຍງຫ າຍທາງ. ກ່ອນອ ື່ນພວກເຮົາຈະໃຫ້ຄວາມໝາຍຂອງຄໍາບາງຄໍາກ່ອນທີື່ຈະເວົື້າເຖິງທິດສະດີ. ນິຍາມ 6.6 ໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວໃນບໍລິເວນເຊ ື່ອມໂຍງ D ພວກເຮົາຈະເວົື້າວ່າ: C ມີການປ່ຽນຮູບ ແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງ (Continuously Deformed) ກັບເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ C ໃນບໍລິເວນ D ຖ້າ C ສາມາດທີື່ຈະຫົດຕົວ ມາເປັນ C ໂດຍບໍໍ່ຕ້ອງຜ່ານອອກນອກບໍລິເວນ D D C C ຮູບທີ 6.15 ເສັື້ນໂຄ້ງ C ມີການປ່ຽນຮູບແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັບເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນບໍລິເວນ D ການທີື່ເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ C ມີການປ່ຽນຮູບແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັບເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ C ໃນບໍລິເວນ D ນີື້; ພວກເຮົາ ຈະເວົື້າວ່າ: C ໂຮໂມໂທປິດ (Homotopic to) ກັບ C ໃນ D ພວກເຮົາສາມາດທີື່ຈະໃຊ້ການປ່ຽນຮູບແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງ ຂອງເສັື້ນໂຄ້ງມາໃຫ້ນິຍາມຂອງບໍລິເວນເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວໄດ້ດັົ່ງນີື້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 89 ນິຍາມ 6.7 ບໍລິເວນ D ຈະເອີື້ນວ່າ: ບໍລິເວນເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ (Simply Connected), ຖ້າທຸກໆ ເສັື້ນໂຄ້ງ ປິດດ່ຽວໃນ D ສາມາດທີື່ຈະປ່ຽນຮູບແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັບເສັື້ນໂຄ້ງຄົງຄ່າ 0 z D ຫ ເວົື້າອີກຢ່າງໜຶື່ງວ່າ: C ເປັນໂຮ ໂມໂທປິດກັບເມັດໜຶື່ງໃນບໍລິເວນ D ທິດສະດີ 6.5 (Deformation Theorem) ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ແລະ ໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນບໍລິເວນ D ຖ້າ C ມີການປ່ຽນຮູບແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັບເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ C ໃນບໍລິເວນ D ແລະ f z ( ) ມີການຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນ D ແລ້ວ ( ) ( ) C C f z dz f z dz = ໝາຍເຫດ: ຕໍາລາ f ໃນທິດສະດີຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະເທິງ C ແຕ່ຈະບໍໍ່ເປັນຕໍາລາວິເຄາະທີື່ເມັດພາຍໃນຂອງ ເສັື້ນໂຄ້ງ C ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໃຊ້ທິດສະດີ 6.4 ສໍາລັບ C ບໍໍ່ໄດ້. ພິສູດ ສ້າງເສັື້ນໂຄ້ງ 0 ເຊິື່ງເຊ ື່ອມລະຫວ່າງ C ກັບ C ດັົ່ງຮູບທີ 6.16 ໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງທີື່ປະກອບ ດ້ວຍເສັື້ນໂຄ້ງ C , 0 −C ແລະ 0 ຕາມລໍາດັບ. ດັົ່ງນັື້ນ, C ຈະເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດ ແລະ ຈາກຮູບທີ 6.16 ສ່ວນທີື່ ເປັນເງົາຈະເປັນເມັດທີື່ຢູ່ພາຍໃນຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ເຊິື່ງຕໍາລາ f ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ແລະ ຕໍໍ່ເນ ື່ອງເທິງເມັດພາຍໃນ ຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ດ້ວຍ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໂດຍທິດສະດີ 6.4 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) 0 0 0 C C f z dz + − − = ສະນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 C C f z dz f z dz f z dz f z dz + − − = ນັື້ນກໍໍ່ຄ ( ) ( ) C C f z dz f z dz = D C 0 C ຮູບທີ 6.16 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ 6.5 ຕົວຢ່າງ 6.13 ຖ້າໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ ເຊິື່ງມີ0 ເປັນເມັດພາຍໃນແລ້ວ. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 1 2 C dz i z = ພວກເຮົາສາມາດທີື່ຈະຫາຄ່າ r 0 ເຊິື່ງວົງມົນເມັດໃຈກາງທີື່ 0 ລັດສະໝີ r ຢູ່ພາຍໃນ C ດັົ່ງຮູບທີ 6.17 ໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນທີື່ສ້າງນີື້. ດັົ່ງນັື້ນ, C ຈະປ່ຽນຮູບແບບຕໍໍ່ເນ ື່ອງກັບ C ໂດຍບໍໍ່ຕ້ອງຜ່ານ 0 ຈາກທິດສະດີ6.5 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 1 1 C C dz dz z z = = 2i