ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 90 y D r C x C ຮູບທີ 6.17 ຮູບສໍາລັບຕົວຢ່າງ 6.13 ທິດສະດີ 6.6 (Generalized Deformation Theorem) ໃຫ້ 1 2 , , , C C Cn ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວທີື່ຢູ່ພາຍໃນຂອງເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ C ແລະ ໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະ ແລະ f ເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນບໍລິເວນລະຫວ່າງ C ແລະ 1 2 , , , C C Cn ແລ້ວ ( ) ( ) 1 k n C C k f z dz f z dz = = ພິສູດ ສ້າງເສັື້ນໂຄ້ງ 0 1 , , , n ເຊ ື່ອມລະຫວ່າງ C ໄປຫາ 1 2 , , , C C Cn ຕາມລໍາດັບ ດັົ່ງໃນຮູບທີ 6.18 ໃຫ້ ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປະກອບດ້ວຍເສັື້ນໂຄ້ງ 1 2 , , , , C C C C − − − n ສ່ວນເສັື້ນໂຄ້ງແຕ່ລະ i ຈະມີທິດທາງໄປ ກັບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ສາມາດທີື່ຈະຕັດທິື້ງອອກໄດ້, ຈາກທິດສະດີ6.4 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f z dz ( ) 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 C C C Cn f z dz f z dz f z dz f z dz − − − + + + + = ( ) ( ) 1 k n C C k f z dz f z dz = = C 0 1 2 0 − 1 − 2 − C1 C2 C3 ຮູບທີ 6.18 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ 6.6 ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ທິດສະດີຂອງໂກຊີນັື້ນເງ ື່ອນໄຂຂອງເຂດກໍານົດຈະເປັນໄປໄດ້ທັງກໍລະນີທີື່ເປັນ ເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ ຫ ເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງຫ າຍທາງ. ພວກເຮົາຈຶື່ງເອີື້ນທິດສະດີຂອງໂກຊີໃນກໍລະນີຂອງເຂດ ກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວວ່າ: Weak Cauchy Theorem. ຕໍໍ່ໄປຈະເວົື້າເຖິງທິດສະດີຂອງໂກຊີອີກຮູບແບບໜຶື່ງ.
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 91 y C1 C2 C x ຮູບທີ 6.19 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ 6.7 ທິດສະດີ 6.7 ທິດສະດີໂກຊີ-ເກີຊາທ (Cauchy-Goursat Theorem) ໃຫ້ D ເປັນກຸ່ມປິດ ແລະ f D: → ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ, ໃຫ້ R a b c d = ເປັນຮູບສີື່ແຈ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນ D ແລ້ວ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບຮູບສີື່ແຈ R ພວກເຮົາຈະເຫັນວ່າ: ທິດສະດີໂກຊີ-ເກີຊາທ ມີເງ ື່ອນໄຂນ້ອຍກວ່າທິດສະດີຂອງໂກຊີ ຢູ່ທີື່ວ່າ: f z ( ) ບໍໍ່ຈໍາເປັນ ຈະຕ້ອງເປັນຕໍາລາຕໍໍ່ເນ ື່ອງໃນເຂດກໍານົດ D ພິສູດ ແບ່ງຮູບສີື່ແຈ C ອອກເປັນສີື່ສ່ວນເທົົ່າໆ ກັນດັົ່ງຮູບທີ 6.19 ໃຫ້ຊ ື່ແຕ່ລະຮູບວ່າ: C1 ຈາກຄຸນ ລັກສະນະຂອງສັງຄະນິດ, ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: ( ) ( ) C C f z dz f z dz − = − ດັົ່ງນັື້ນ, ສໍາລັບຄ່າຂອງສັງຄະນິດທາງດ້ານຮ່ວມ ເຊິື່ງມີທິດທາງກົງກັນຂ້າມ, ສາມາດຈະລົບກັນໝົດໄປ. ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C 1111 f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz = + + + ແລະ ຈາກອະສົມຜົນຂອງຮູບສາມແຈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C 1111 f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz + + + ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ( ) ( ) 1 4 C C f z dz f z dz ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) 1 4 C C f z dz f z dz ນໍາຮູບສີື່ແຈ C1 ມາ 1 ຮູບ, ແລ້ວແບ່ງຄ ເກົົ່າຕາມຮູບທີ 6.19 ຈະໄດ້ຮູບສີື່ແຈເທົົ່າໆ ກັນອີກ 4 ຮູບ, ໃຫ້ແຕ່ລະ ຮູບມີຊ ື່ວ່າ: C2 ໃນທໍານອງດຽວກັນກັບການແບ່ງຄັື້ງທໍາອິດ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4 4 C C C f z dz f z dz f z dz ເຮັດການແບ່ງແບບນີື້ໄປເລ ື້ອຍໆ ພວກເຮົາຈະໄດ້ອັນດັບ (Sequence) ຂອງຮູບສີື່ແຈ ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະວ່າ:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 92 1) C C C C 1 2 3 2) ( ) ( ) ( ) 1 4 4 n n C C n C f z dz f z dz f z dz − 3) Ck ຈະມີເສັື້ນເນັື້ງຈອມມີຄວາມຍາວເປັນ 2 k D ເມ ື່ອ D ເປັນຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນເນັື້ງຈອມຂອງ C 4) Ck ຈະມີເສັື້ນຮອບຮູບມີຄວາມຍາວເປັນ 2 k P ເມ ື່ອ P ເປັນຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນຮອບຮູບຂອງ C ລັກສະນະຂອງການສ້າງ 1 2 3 C C C , , , ຈະສະແດງຢູ່ໃນຮູບທີ 6.19 ຈາກການສ້າງ 1 2 3 C C C , , , ພວກເຮົາຈະພົບວ່າ: ມີຢູ່ 1 ເມັດ, ໃຫ້ຊ ື່ວ່າ: 0 z ຢູ່ພາຍໃນ 1 k k C = ຈາກທີື່ 0 z ເປັນເມັດທີື່ຢູ່ໃນເຂດກໍານົດ. ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະທີື່ເມັດ 0 z ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເປັນຈໍາ ນວນຈິງໃດໆ ພວກເຮົາຈະມີ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z f z f z z z z − = − − (6.5) ເຊິື່ງ (z) ເມ ື່ອ 0 z z − ຄູນ 0 z z − ໃສ່ (6.5) ພວກເຮົາຈະໄດ້: f z z z f z f z z z z ( 0 0 0 0 )( − = − − − ) ( ) ( ) ( )( ) = − + + − f z f z z z f z z z z ( ) ( 0 0 0 0 )( ) ( ) ( )( ) ເອົາສັງຄະນິດເຂົື້າທັງສອງຟາກ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( 0 0 0 0 0 ) ( )( ) ( ) ( )( ) C C n n f z dz f z z z f z z z z dz = − + + − ( 0 0 0 0 )( ) ( ) ( )( ) C C n n = − + + − f z z z f z dz z z z dz (6.6) ຕໍາລາ f z z z f z ( 0 0 0 )( − +) ( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ດັົ່ງນັື້ນ, ທິດສະດີ 6.4 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( 0 0 0 )( ) ( ) 0 Cn f z z z f z dz − + = ຈາກ (6.6) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) Cn f z dz ( )( 0 ) Cn = − z z z dz ໃຫ້ n ມີຄ່າຫ າຍພໍທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ C N z n ( 0 , ) ( ) ( )( 0 0 0 ) ( ) C C C C n n n n f z dz z z z dz z z z dz z z dz = − − − (6.7) ໃຫ້ D n ເປັນຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນເນັື້ງຈອມຂອງຮູບສີື່ແຈ Cn ແລະ L n ເປັນຄວາມຍາວຂອງ Cn ດັົ່ງນັື້ນ, 0 n z z D − , n z C ຈາກ (6.7) ( ) 2 2 4 n n n n n n n n n n C D L D L f z dz D L = = ເມ ື່ອ D n ເປັນຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນເນັື້ງຈອມຂອງຮູບສີື່ແຈ C L n ເປັນຄວາມຍາວຂອງເສັື້ນຮອບຮູບ C
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 93 ຈາກການສ້າງ Cn ແລະ (6.7) ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) 4 4 n n n C DL f z dz DL = ຈາກ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ດັົ່ງນັື້ນ, ກໍານົດໃຫ້ ນ້ອຍຫ າຍຈົນເກ ອບເປັນ 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 0 C f z dz = ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ( ) 0 C f z dz = ຕົວຢ່າງ 6.14 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 cos x b e bxdx e − − − = ພວກເຮົານໍາທິດສະດີໂກຊີ-ເກີຊາທ ມາໃຊ້ ໂດຍໃຫ້ ( ) 2 x f z e− = ເຊິື່ງເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ ເຊິື່ງ ປະກອບດ້ວນຮູບສີື່ແຈ x a , 0 y b y − + a ib b a ib + −a 0 a x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 a b a x a iy x ib a iy a a b e dx e idy e dx e idy − − − + − + − − + − = + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a a b b x ibx b a iay y a iay y x a a e dx e dx i e dy i e dy − + − − + − − − − − − − = − + − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 cos 2 sin 2 a a b x b x a y iay iay a a e dx e e bx i bx dx ie e e e dy − − − − − − = − − + − 2 2 2 2 cos 2 sin 2 a a a x b x b a a a e dx e e bxdx ie bxdx − − − − − = − + ( ) 2 2 0 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 b a y ie e ay i ay ay i ay dy − + − − − ( ) 2 2 2 2 2 2 0 cos 2 cos 2 2 sin 2 2 a a b a x b x b a y a a a bx e dx e e bxdx ie ie e i ay dy b − − − − − − − = − + + − 2 2 2 2 2 0 cos 2 2 sin 2 a a b x b x a y a a e dx e e bxdx e e aydy − − − − − = − + ( ) 2 2 2 2 0 1 cos 2 2 sin 2 a b x b a y a e e bx dx e e aydy − − − − = − + ໃຫ້ a → ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 0 cos 2 x b x e dx e e bxdx − − − − = − (6.8)
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 94 ນັື້ນກໍໍ່ຄ : 2 2 2 cos 2 x b x e dx e e bxdx − − − − = (6.9) ພິຈາລະນາ ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x x y e dx e dx e dy e dxdy − + − − − − − − − − = = ຊອກຫາຄ່າຂອງສັງຄະນິດໃນຮູບຮ່າງໄຕມຸມມິຕິ ໂດຍພວກເຮົາຈະໃຫ້: x r = cos , y r = sin , 2 2 2 x y r + = ໃຫ້ Jocobian J = ເຊິື່ງ J ຈະຊອກຫາໄດ້ຈາກ cos sin sin cos x y r r J x r r = = − ດັົ່ງນັື້ນ, 2 2 J r r r = + = cos sin ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ( ) 2 2 2 2 0 0 x y r e dxdy e rdrd − + − − − = 2 2 0 0 2 0 2 0 2 1 2 2 r e d d − = − = = = ສະນັື້ນ, 2 x e dx − − = ແທນຄ່າລົງໃນ (6.8) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 cos 2 b x e e bxdx − − = 2 2 cos 2 x b e bxdx e − − − = ຂໍໍ້ຄວນສັງເກດ: ທິດສະດີຂອງໂກຊີ-ເກີຊາທ ຍັງຄົງເປັນຈິງ ບໍໍ່ວ່າ D ຈະເປັນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ ຫ ຫ າຍ.
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 95 y D 0 x iy + x iy + C1 0 0 x iy + C2 0 x iy + x ຮູບທີ6.20 ສໍາລັບທິດສະດີ 6.8 ທິດສະດີ 6.8 ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດໃນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ D ແລະ 0 z , z ເປັນ ເມັດ 2 ເມັດໃດໆ ໃນເຂດກໍານົດ D ແລ້ວ ຈະມີຕໍາລາວິເຄາະ F z( ) ເຊິື່ງກໍານົດໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງມີຄຸນ ລັກສະນະ F z f z ( ) = ( ) ພິສູດ ໃຫ້ 0 0 0 z x iy = + , z x iy = + ສ້າງຮູບສີື່ແຈ ເພ ື່ອເຊ ື່ອມລະຫວ່າງເມັດ 0 z ແລະ ເມັດ z ດັົ່ງຮູບ ທີ6.20 ໃຫ້ C1 ເປັນສ່ວນໂຄ້ງທີື່ປະກອບດ້ວຍເສັື້ນຊ ື່ຈາກ 0 0 x iy + ໄປຫາ 0 x iy + ແລະ 0 x iy + ໄປຫາ x iy + ສ່ວນ C2 ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງທີື່ປະກອບດ້ວຍເສັື້ນຊ ື່ຈາກ 0 0 x iy + ໄປຫາ 0 x iy + ແລະ 0 x iy + ໄປຫາ x iy + ໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 x y C x y F z f z dz f t iy dt f x it dt = = + + + (6.10) ຈາກຮູບທີ6.20 ພວກເຮົາຈະພົບວ່າ: C C 2 1 − ຈະເປັນເສັື້ນຮອບຮູບສີື່ແຈ ເຊິື່ງຢູ່ໃນ D ແລະ f z( ) ເປັນຕໍາ ລາວິເຄາະໃນ D ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກທິດສະດີຂອງໂກຊີ-ເກີຊາທ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 C C C C f z dz f z dz f z dz − = − = ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ( ) ( ) C C 1 2 f z dz f z dz = ຈາກ (6.10) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) C C 1 2 F z f z dz f z dz = = ( ) ( ) ( ) 0 0 x y x y F z f t iy dt i f x it dt = + + + (6.11) ຈາກ (6.11) ຜົນຕໍາລາທຽບກັບ y ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 0 y y F i f x it dt y y = + ໃຫ້ f x it dt F x it ( + = + ) ( ) ສະນັື້ນ, ( ) ( ) F f x it x it y + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 y y y y f x it F x it F x iy F x iy + = + = + − +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 96 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 y y F f x it x iy f x iy f z y y + = + = + = ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) F z if z y = ຜົນຕໍາລາ (6.11) ທຽບກັບ x ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 0 y y F f t iy dt f z y x = + = ດັົ່ງນັື້ນ, ເປັນໄປຕາມສົມຜົນໂກຊີ-ຣີມານນ໌ ຄ : ( ) F F f z i y y = = − ດັົ່ງນັື້ນ, F z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ແລະ ( ) ( ) F F z f x x = = ນິຍາມ 6.8 ຖ້າ F z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ແລ້ວພວກເຮົາຈະເອີື້ນ F z( ) ວ່າ: ປະຕິຜົນຕໍາລາ (Antiderivative) ຂອງຕໍາລາ f z( ) ທິດສະດີເພີື່ມ 6.2 ສອງປະຕິຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາອັນດຽວກັນ ຈະມີຜົນລົບເປັນຄ່າຄົງຄ່າ. ພິສູດ ໃຫ້ F z( ) ເປັນປະຕິຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ແລະ H z( ) ເປັນປະຕິຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ສະນັື້ນ, F z H z F z H z f z f z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 − = − = − = ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ດັົ່ງນັື້ນ, F z H z ( ) − ( ) ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ. ທິດສະດີ 6.9 ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ເຊິື່ງມີ F z( ) ເປັນປະຕິຜົນຕໍາລາ ແລະ C ເປັນ ຄອນທົວຣ໌ໃດໆ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນເຂດກໍານົດ D ຖ້າ C ມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງເປັນ C z t : , ( ) t ແລ້ວ ຄ່າຂອງ ( ) ( ( )) ( ( )) C f z dz F z F z = − ພິສູດ ໃຫ້ F z( ) ເປັນປະຕິຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ເຊິື່ງເປັນຕໍາລາວິເຄາະ. ດັົ່ງນັື້ນ, F z( ) ຈະເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະ. ຈາກສົມຜົນໂກຊີ-ຣີມານນ໌ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) F F f x i x y = = − ໃຫ້ f z u iv ( ) = + ແລະ F z U iV ( ) = + F U V i y y y = + F V U i i y y y − = − ດັົ່ງນັື້ນ, U V V U i u iv i x x y y + = + = − ນັື້ນກໍໍ່ຄ : U V x x y = = ແລະ V U y x y = = − ພິຈາລະນາ ( ) ( )( ) C C C C f z dz u iv dx idy udx vdy i vdx udy = + + = − + + ແທນຄ່າ u ແລະ v ພວກເຮົາຈະໄດ້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 97 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C U U V V f z dz x t y t dt i x t y t dt x y x y = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) z z z z z z C z z f z dz dU i dV U iV F z F z F z = + = + = = − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ( )) ( ( )) C f z dz F z F z = − ຕົວຢ່າງ 6.15 ໃຫ້ ( ) 2 f z z = ເປັນຕໍາລາວິເຄາະສໍາລັບທຸກໆ ເມັດຂອງ z ແລ້ວ ປະຕິຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ຄ ( ) 3 3 z F z = ຖ້າໃຫ້ C ເປັນຄອນທົວຣ໌ໃດໆ ໃນລະບົບຈໍານວນສົນ ໂດຍມີເມັດເລີື່ມເປັນ 0 z ແລະ ເມັດສຸດທ້າຍເປັນ 1 z ແລ້ວ 1 0 3 3 2 2 1 0 3 3 z C z z z z dz z dz = = − ຕົວຢ່າງ 6.16 ຈົົ່ງຊອກຄ່າຂອງ 0 1 C dz z z − ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດດ່ຽວ (Simple Closed Countour) ແລະ ມີເມັດ 0 z ຢູ່ພາຍໃນ. ໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ສ້າງວົງມົນ 1 0 C z z : − = ດັົ່ງໃນຮູບທີ 6.21 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 0 1 f z z z = − ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງຫ າຍທາງ (Multiply Connected Domain) ເຊິື່ງຢູ່ລະຫວ່າງ C ແລະ C1 ດັົ່ງນັື້ນ, 1 1 0 0 0 1 1 1 0 C C C C dz dz dz z z z z z z + = + = − − − 1 1 0 0 0 1 1 1 C C C dz dz dz z z z z z z − = − = − − − ໃຫ້ສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ −C1 ຄ : 1 0 : , 0 2 ( ) it − = + C z t e z t ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 2 0 0 0 1 1 2 it it C C i e dz dz dt i z z z z e − = = = − − y D C 0 z C1 x ຮູບທີ 6.21 ຮູບສໍາລັບຕົວຢ່າງ 6.16
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 98 ຈາກຕົວຢ່າງນີື້, ພວກເຮົາຈະສັງເກດໄດ້ວ່າ: ຄ່າຂອງ 0 1 C dz z z − ຈະມີຄ່າເທົົ່າກັບ 2i ຫ 0 ຂ ື້ນຢູ່ກັບເມັດ 0 z ວ່າ: ຢູ່ພາຍໃນ ຫ ພາຍນອກຄອນທົວຣ໌ປິດດ່ຽວຂອງ C , ຖ້າ 0 z ຢູ່ພາຍໃນເສັື້ນໂຄ້ງປິດ C ພວກເຮົາຈະໄດ້ 0 1 2 C dz i z z = − ; ຖ້າ 0 z ຢູ່ພາຍນອກເສັື້ນໂຄ້ງປິດ C ແລ້ວ 0 1 0 C dz z z = − y D r C 0 z C1 x ຮູບທີ 6.22 ຮູບສໍາລັບທິດສະດີ6.10 6.5 ສູດສັງຄະນິດຂອງໂກຊີ (The Cauchy Integral Formula) ທິດສະດີ 6.10 ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວ D ເຊິື່ງປະກອບດ້ວຍເສັື້ນໂຄ້ງ ປິດດ່ຽວ C , ຖ້າ 0 z ເປັນເມັດໃດໆ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນເສັື້ນໂຄ້ງປິດ C ແລ້ວ ( ) ( ) 0 0 1 2 C f z f z dz i z z = − ພິສູດ ໃຫ້ 0 ສ້າງວົງມົນ 1 0 C z z r : − = ແລະ ໃຫ້ C1 ຢູ່ພາຍໃນ C ແລະ ໃຫ້ C1 ເປັນວົງມົນ ນ້ອຍພໍທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ f z f z ( ) − ( 0 ) , z ເທິງ C1 ຈາກທິດສະດີໂກຊີ ສໍາລັບເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງຫ າຍທາງ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 C C C 0 0 0 f z f z f z f z f z dz dz dz z z z z z z + − = = − − − ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 C C 0 0 f z f z f z dz dz z z z z − = + − − (6.12) ຈາກຕົວຢ່າງ 6.16 ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: ( ) 1 0 2 C f z dz i z z = − ແທນຄ່າໃສ່ (6.12) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 2 C C f z f z f z dz if z dz z z z z − = + − − (6.13) ພິຈາລະນາຄ່າຂອງ ( ) ( ) 1 0 C 0 f z f z dz z z − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 0 2 2 C C C f z f z f z f z dz dz dz r z z z z r r − − = = − −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 99 ແຕ່ ເປັນຄ່າໃດໆ ທີື່ຫ າຍກວ່າ 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) 1 0 0 0 C f z f z dz z z − = − ແທນຄ່າທີື່ໄດ້ໃສ່ (6.13) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( 0 ) 0 2 C f z dz if z z z = − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) 0 0 1 2 C f z f z dz i z z = − y 2i x −2 2 −2i ຮູບທີ 6.23 ເສັື້ນໂຄ້ງ C z : 2 = y y 3 2 i 2 i 2 i 1 2 − 1 2 2 i − ຮູບທີ 6.24 ເສັື້ນໂຄ້ງ 1 : 2 C z = ຮູບທີ 6.25 ເສັື້ນໂຄ້ງ : 1 2 i C z − = ຕົວຢ່າງ 6.17 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 3 cos C z dz z z + ຕາມເສັື້ນໂຄ້ງ C z : 2 = , 1 : 2 C z = , : 1 2 i C z − = 1) C z : 2 = ໂດຍການຊອກຫາເສດສ່ວນງ່າຍດາຍ (Partial Fractions) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 3 cos cos cos cos 2 2 z z z z z z z z i z i = − − + + − ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C z : 2 = ຈະເຫັນໄດ້ຈາກຮູບທີ 6.23 3 cos cos 1 cos 1 cos 2 2 C C C C z z z z dz dz dz dz z z z z i z i = − − + + − ( ) 1 1 2 cos0 cos cos 2 2 i i i = − − −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 100 1 1 2 1 cosh1 2 2 i = − − = − 2 1 cosh1 i 2) 1 : 2 C z = ຈາກເສັື້ນໂຄ້ງ 1 : 2 C z = ຈະມີລັກສະນະດັົ່ງໃນຮູບທີ 6.24 ພິຈາລະນາ ( ) 2 cos 1 z f z z = + ຈະເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະເທິງ ແລະ ພາຍໃນ C ໂດຍທິດສະດີຂອງໂກຊີ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 3 2 cos cos C C 1 z z dz dz z z z z = + + 2 cos0 2 0 1 2 i i = + = 3) : 1 2 i C z − = ຈາກເສັື້ນໂຄ້ງ : 1 2 i C z − = ຈະມີລັກສະນະດັົ່ງໃນຮູບທີ 6.25 ພິຈາລະນາ ( ) cosz f z z i = − ຈະເປັນຕໍາລາ ວິເຄາະເທິງ ແລະ ພາຍໃນ C ດັົ່ງນັື້ນ, 3 cos cos 1 cos 1 cos 2 2 C C C C z z z z dz dz dz dz z z z z i z i = − − + + − ( ) ( ) 1 1 2 cos 0 2 cos 0 2 2 = − − − i i i 1 1 cosh1 2 2 i = − ຈາກທີື່ພວກເຮົາຮູ້ມາແລ້ວວ່າ: ຖ້າຕໍາລາເປັນຕໍາລາວິເຄາະທີື່ເມັດໃດໆ ແລ້ວຜົນຕໍາລາທຸກຂັື້ນຂອງຕໍາລານັື້ນຈະ ຊອກຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ຈະມີຄຸນລັກສະນະເປັນຕໍາລາວິເຄາະດ້ວຍ. ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະທີື່ເມັດພາຍໃນ ແລະ ເທິງເສັື້ນໂຄ້ງປິດ C ; ໃຫ້ 0 z ເປັນເມັດໃດໆ ໃນ C ແລະ z ເປັນເມັດເທິງ C ຈາກສູດຂອງສັງຄະນິດໂກຊີ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 0 0 1 2 C f z f z dz i z z = − ເລ ອກ 0 z ໃຫ້ນ້ອຍພໍທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ 0 0 z z + ຢູ່ພາຍໃນ C ຈາກສູດຂອງສັງຄະນິດໂກຊີ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 C f z f z z dz i z z z + = − + ພິຈາລະນາ ( 0 0 0 ) ( ) 0 f z z f z z + − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 C C f z f z dz dz f z z f z i z z z i z z z z − + − − − − = ( ) 0 0 0 0 1 1 1 2 C f z dz i z z z z z z − − − − =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 101 ( ) ( 0 0 0 )( ) 1 2 C f z dz i z z z z z = − − − ໃຫ້ 0 →z 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 lim lim z z 2 C f z z f z f z dz → → z i z z z z z + − = − − − ( ) ( ) ( ) 0 2 0 1 2 C f z f z dz i z z = − ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ເມ ື່ອຊອກຫາ f z ( 0 ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 3 0 2! 2 C f z f z dz i z z = − ແລະ ( ) ( ) ( ) 0 4 0 3! 2 C f z f z dz i z z = − ແລະ ໂດຍອະນຸມານທາງຄະນິດສາດ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ! 2 n n C n f z f z dz i z z + = − ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະສະຫ ຼຸບເປັນທິດສະດີໄດ້ວ່າ: ທິດສະດີ 6.11 ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງດ່ຽວໃດໆ ເຊິື່ງປະກອບໄປດ້ວຍເສັື້ນໂຄ້ງ ປິດ C ແລ້ວ f z( ) ຈະມີຄ່າຜົນຕໍາລາທຸກໆ ຂັື້ນທີື່ເມັດ 0 z ໃດໆ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນ C ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ! 2 n n C n f z f z dz i z z + = − ໝາຍເຫດ: ສໍາລັບສູດສັງຄະນິດໂກຊີນີື້ຈະເປັນຈິງໃນກໍລະນີທີື່ເຂດກໍານົດເຊ ື່ອມໂຍງຫ າຍທາງ. y 2i x −2 2 −2i ຮູບທີ 6.26 ເສັື້ນໂຄ້ງ C z : 2 = ຕົວຢ່າງ 6.18 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 2 3cos 2 z z z dz z = − − ໃຫ້ f z z z ( ) = −3cos ເຊິື່ງຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະທຸກໆ ເມັດຂອງ z ເຊິື່ງຢູ່ໃນເຂດກໍານົດທີື່ປະກອບດ້ວຍເສັື້ນ ໂຄ້ງ z = 2 ຈາກສູດສັງຄະນິດໂກຊີ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 102 2 2 3cos 2 2 2 z z z dz if z = − = − ເມ ື່ອ f z z ( ) = +1 3sin ດັົ່ງນັື້ນ, 1 3sin 4 2 2 f = + = ນັື້ນກໍໍ່ຄ : 2 2 3cos 8 2 z z z dz i z = − = − y 1+ i C1 C3 x C2 ຮູບທີ 6.27 ເສັື້ນໂຄ້ງສໍາລັບຕົວຢ່າງ 6.19 ຕົວຢ່າງ 6.19 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ f z z x ( ) = = ( ) ຕາມເສັື້ນ ເຊິື່ງເຊ ື່ອມຈາກເມັດ 0 z = 0 ໄປຫາເມັດ 1 z i = +1 ຖ້າໃຫ້ C1 ດັົ່ງໃນຮູບທີ 6.27 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງ C1 ຈະຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ z t x t iy t t it t ( ) = + = + ( ) ( ) , 0 1 ສະນັື້ນ, f z x z t t ( ) = = = ( ( )) dz i dt = + (1 ) ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 C C = = + = + = + z dz z dz t i dt i tdt i ຖ້າຊອກຫາຄ່າສັງຄະນິດຕາມເສັື້ນໂຄ້ງ C2 ແລະ ເສັື້ນໂຄ້ງ C3 ດັົ່ງໃນຮູບທີ6.27 C2 ຈະມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາ ຮອງ z t t t ( ) = , 0 1 ແລະ ເສັື້ນໂຄ້ງ C3 ຈະມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ z t i t t ( ) = + − 1 1 , 1 2 ( ) ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) C C C 2 3 z dz z dz + = 1 2 0 1 1 2 tdt idt i = + = +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 102 ບົດເຝິກຫັດ 6 1. ຈົົ່ງຊອກຫາສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຂອງເສັື້ນ ເຊິື່ງເຊ ື່ອມຈາກເມັດ A ໄປຫາເມັດ B 1) A = 0 , B i = +1 2 2) A i = +1 , B i = −3 4 3) A = 0 , B i = −4 8 4) A i = 3 , B i = −4 2. ຈົົ່ງຂຽນເສັື້ນໂຄ້ງຕໍໍ່ໄປນີື້ໃນຮູບຮ່າງຂອງສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງ 1) z i − + = 1 2 3 2) 2 y x = ຈາກເມັດ (0,0) ໄປຫາເມັດ (3,9) 3) 2 2 x y + = 9 9 4) ( ) ( ) 2 2 4 1 9 2 36 x y − + + = 5) 1 2 y = ຈາກເມັດ (1,1) ໄປຫາເມັດ 1 4, 4 3. ຈົົ່ງແຕ້ມເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງມີສົມຜົນຕົວປ່ຽນສໍາຮອງຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) z t i t t ( ) = + − 1 2 , 0 1 ( ) 2) ( ) 3 3 , 0 it z t i e t = + 3) ( ) 4 2 , 0 it z t e t = + − 4) ( ) 2 z t t t i t = + − 3 , 1 2 4. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 3 C z dz ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງເຊ ື່ອມຈາກເມັດຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ຈາກ z = 0 ໄປຫາ z i = 2 2) ຈາກ z i = 3 ໄປຫາ z i = −4 5. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 3 C z dz ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບຮູບສາມແຈ ເຊິື່ງມີເມັດຈອມທີື່ 0 , 1, 1+ i ແລະ C ມີ ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ y C x 6. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1 C z dz z + ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງຮູບວົງມົນ, ເມັດໃຈກາງທີື່ເມັດກໍາເນີດ, ລັດ ສະໝີ 1 ຫົວໜ່ວຍ ແລະ C ມີທິດຕາມເຂັມໂມງ 7. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ C zdz ເມ ື່ອ C ມີລັກສະນະດັົ່ງຮູບ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 103 y 1+ i 2 + i C 1 x 8. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C1 az b dz + ແລະ ( ) C C 2 3 az b dz + + ເມ ື່ອ C1 , C2 , C3 ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງເຊ ື່ອມຈາກ 0 ໄປຫາ − −4 4i ດັົ່ງຮູບ. y C2 x C3 C1 − −4 4i 9. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 1 3 C z dz − − ເມ ື່ອ C ກໍານົດໂດຍ 1) C z : 3 2 − = ແລະ ມີທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 2) C z : 3 2 − = ມີທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ. 10. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C z dz ຕາມເສັື້ນຮອບວົງມົນ z r = ແລະ C ມີທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 11. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ C z dz 1) ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຊ ື່ຈາກເມັດ A i = − ໄປຫາເມັດ v 2) ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງເຄິື່ງວົງມົນ ເຊິື່ງມີເມັດໃຈກາງ 0 ລັດສະໝີ1 ຫົວໜ່ວຍ ແລະ ເຄິື່ງວົງມົນນີື້ຢູ່ ທາງຂວາຂອງແກນ y ເຊ ື່ອມເມັດ A ໄປຫາເມັດ B 3) ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງເຄິື່ງວົງມົນ ເຊິື່ງມີເມັດໃຈກາງ 0 ລັດສະໝີ1 ຫົວໜ່ວຍ ແລະ ເຄິື່ງວົງມົນນີື້ຢູ່ ທາງຊ້າຍຂອງແກນ y ເຊ ື່ອມເມັດ A ໄປຫາເມັດ B 12. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1 C dz z 1) ເມ ື່ອ C ເປັນສ່ວນຂອງເຄິື່ງວົງມົນ z =1 ຢູ່ເໜ ອແກນ x ແລະ ເຊ ື່ອມເມັດ 1 ໄປຫາເມັດ −1
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 104 2) ເມ ື່ອ C ເປັນສ່ວນຂອງເຄິື່ງວົງມົນ z =1 ຢູ່ໃຕ້ແກນ x ແລະ ເຊ ື່ອມເມັດ 1 ໄປຫາເມັດ −1 13. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ: 1) f z az b ( ) = + ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຈໍາກັດ ຈາກເມັດ − −1 i ໄປຫາເມັດ 1+ i 2) ( ) 3 1 f z z z 2 − = + ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ ເຊິື່ງມີເມັດໃຈກາງທີື່ 0 ແລະ ລັດສະໝີ 1 ຫົວ ໜ່ວຍ ທິດທາງຂອງ C ກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 3) ( ) z f z e = ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຈໍາກັດ ເຊິື່ງເຊ ື່ອມເມັດ ຈາກ 0 ຮອດ 1 2 i + 4) ( ) ( ) ( ) 1 2 f z z z 1 2 1 − − = − + − ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ z − = 1 4 ທິດທາງຕາມເຂັມ ໂມງ. 5) f z z ( ) = sin ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຈໍາກັດ ເຊິື່ງເຊ ື່ອມຈາກເມັດ 0 ຮອດເມັດ i 14. ຈົົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດເທິງ (Upper Bound) ຂອງສັງຄະນິດຕໍໍ່ໄປນີື້: ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຈໍາກັດທີື່ເຊ ື່ອມຈາກເມັດ 0 ຮອດເມັດ 3 4 + i 1) C zdz 2) z C e dz 3) ln 1 ( ) C z dz + 4) ( ) 1 1 C z dz − + 15. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ທິດສະດີໂກຊີ(Cauchy’s Theorem) ເປັນຈໍານວນຈິງສໍາລັບ 2 C z dz ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບ ຮູບສາມແຈ ເຊິື່ງມີເມັດຈອມຢູ່ທີື່ 0, 2 ແລະ 2i ດັົ່ງຮູບ. y 2i 0 2 x 16. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງສັງຄະນິດທີື່ກໍານົດໃຫ້ຕາມ C ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນທີື່ມີເມັດໃຈກາງ (0,0) ລັດສະໝີ 1 ຫົວໜ່ວຍ ແລະ ໃຫ້ທິດທາງຂອງ C ກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. ຈົົ່ງບອກວ່າ: ຂໍໍ້ໃດທີື່ ສາມາດຈະຫາຄ່າສັງຄະນິດໄດ້ໂດຍໃຊ້ທິດສະດີໂກຊີ 1) ( ) z f z e− = 2) f z z ( ) = ( ) 3) f z z ( ) = tanh 4) f z z ( ) = 5) f z z ( ) = ( ) 6) ( ) 2 1 1 f z z = +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 104 17. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 1 1 1 4 1 C C C z dz dz dz i z z z z − = + = − − ເມ ື່ອ C ສະແດງດັົ່ງຮູບ. y 1 2 0 1 x 18. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ ( ) z f z z = ແລະ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງຂອງ: 1) ວົງມົນ z = 2 ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 2) ວົງມົນ z = 4 ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 19. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 1 C dz z ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ z − = 2 1 ທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ. 20. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 3 2 1 C z z dz z z − + − ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງມົນ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ: 1) C z : 2 = ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 2) 1 : 2 C z = ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 21. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 1 1 C dz z − ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງມົນ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ: 1) C z : 2 = ທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ. 2) C z : 1 1 − = ທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ. 22. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ z C e dz z ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງມົນ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ: 1) C z : 2 = ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 2) C z i : 1 + = ທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ. 23. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 2 cos C z dz z ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງມົນ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ C z i : 2 1 − = ທິດທາງກົງກັນ ຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 24. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 3 3 1 C z dz z z + − ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງມົນ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ: 1) 1 : 2 C z = ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 2) C z : 2 = ທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ. 25. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 3 2 4 2 2 4 4 C z z dz z z + + + ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງມົນ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ C z : 2 4 − = ທິດທາງ ຕາມເຂັມໂມງ. 26. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ 3 3 1 C z dz z z + − ເມ ື່ອ C ຄ ເສັື້ນຮອບວົງມົນ ເຊິື່ງກໍານົດໂດຍ:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 105 1) 3 : 2 C z = ທິດທາງຕາມເຂັມໂມງ. 2) C z : 1 = ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ. 27. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງສັງຄະນິດຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 3 2 1 i z dz 2) 1 3 1 i i z dz + − 3) 2 0 i z ze dz 4) 0 cos i zdz 5) ( ) 1 2 1 i z dz + 6) 1 1 i z e dz + 7) 1 2 1 i z i e dz + − 8) 2 0 cos i z z dz 28. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ ( ) 2 2 1 z f z z = + ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນທີື່ມີທິດທາງ ກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) C z i : 1 + = 2) 1 : 2 C z i − = 3) C z : 2 = 4) 1 : 2 C z = 29. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ ( ) 2 2 1 z f z z = − ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ ແລະ C ຄ ເສັື້ນຮອບ ວົງຂອງວົງມົນຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) z − = 1 1 2) 1 2 z i − = 3) z = 2 30. ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) C f z dz ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນເມັດໃຈກາງ (0,0) ລັດສະໝີຍາວ 1 ຫົວໜ່ວຍ ແລະ ທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບເຂັມໂມງ, ສ່ວນ f z( ) ຄ ຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ( ) 2 1 4 f z z = +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 107 2) ( ) 2 1 4 f z z = + 3) ( ) z e f z z = 4) ( ) 2 2 z e f z z i = − 5) ( ) 2 2 z e f z z i = + 6) ( ) ( ) 2 2 2 1 z f z z = − 7) ( ) ( ) 2 4 z f z z i = + 8) ( ) 1 4 f z z i = + 9) ( ) 1 z e f z z − = 10) ( ) sinh z f z z = 11) ( ) ( ) 2 4 2 1 z f z z = − 12) ( ) 2 z e f z z = ; n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນບວກ
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 108 ບົດທີ 7 ເຊຣີກໍາລັງ (Power Series) ໃນບົດທີ 3 ພວກເຮົາໄດ້ສຶກສາເລ ື່ອງອັນດັບ (Sequence) ມາແລ້ວ, ສໍາລັບໃນບົດນີື້ກໍໍ່ຈະເວົື້າເຖິງເລ ື່ອງເຊຣີ (Series) ເຊິື່ງເປັນຜົນຈາກການແນະນໍາແຕ່ລະພົດໃນອັນດັບມາບວກກັນໄປເລ ື້ອຍໆ ຈົນຮອດອະສົງໄຂພົດ, ກ່ອນທີື່ຈະ ເວົື້າຮອດເລ ື່ອງຂອງເຊຣີຈະທົບທວນເລ ື່ອງຂອງອັນດັບໃນຫົວຂໍໍ້ຕໍໍ່ໄປກ່ອນ. 7.1 ອັນດັບ ອັນດັບຈໍານວນສົນກໍໍ່ຄ ຕໍາລາເຊິື່ງກໍານົດຈໍານວນຖ້ວນບວກ ແຕ່ລະຕົວໄປໄດ້ຄ່າ ເຊິື່ງເປັນຈໍານວນສົນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາທີື່ເວົື້າມານີື້ແລ້ວ ຄ່າຂອງຕໍາລາກໍໍ່ຈະເປັນ f (1) , f (2), , f n( ), ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ຕໍາລາເຊິື່ງເປັນອັນດັບຈໍານວນສົນນີື້ ຈະມີເຂດກໍານົດ (Domain) ເປັນກຸ່ມຂອງຈໍານວນຖ້ວນ ຕະຫ ອດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈຶື່ງນິຍົມຂຽນອັນດັບຈໍານວນສົນວ່າ: 1 2 , , , , n n z z z z = ຕົວຢ່າງອັນດັບ i i i i i , 1, ,1, , 1, ,1, , − − − − ເປັນອັນດັບຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງເກີດຈາກຕໍາລາທີື່ກໍານົດໃຫ້ ຈໍານວນ ຖ້ວນບວກ 1,2,3, ໄປໄດ້ຄ່າ ເຊິື່ງເປັນຈໍານວນສົນ 2 3 i i i , , , ຕາມລໍາດັບ. ສໍາລັບອັນດັບ i i i i i , 1, ,1, , 1, ,1, , − − − − ອາດຈະຂຽນສັື້ນໆ ເປັນ 1 n n i = ຫ n i 7.2 ເຊຣີ ໃຫ້ 1 2 , , , w w wm ເປັນອັນດັບຈໍານວນ ເຊິື່ງອາດຈະເປັນຈໍານວຈິງ ຫ ຈໍານວນສົນກໍໍ່ໄດ້ ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້: ເຊຣີ 1 2 1 m m w w w = = + + ແຕ່ລະພົດຂອງ , 1,2, w i i = ຈະເອີື້ນວ່າ: ພົດ (Term) ຂອງເຊຣີ, ຖ້າໃຫ້ n S ເປັນຜົນບວກຂອງ n ພົດທໍາ ອິດຂອງເຊຣີ 1 m m w = ພວກເຮົາຈະໄດ້: n n 1 2 S w w w = + + + n S ນີື້ຈະເອີື້ນວ່າ: ຜົນບວກ n ພົດ (nth Partial Sum) ຂອງເຊຣີ 1 m m w = ໃຫ້ 1 2 1 n n n m n m R w w w S + + = = + + = − R n ຈະເອີື້ນວ່າ: ເສດເຫ ອຂອງເຊຣີ 1 m m w = ຫ ັງຈາກ n ພົດ. ພິຈາລະນາອັນດັບຂອງຜົນບວກ 1 2 3 S S S , , , ເມ ື່ອ 1 1 S w= 2 1 2 S w w = + ຖ້າອັນດັບນີື້ຈ້ອມ ນັື້ນຄ : lim n n S S → = ແລ້ວເຊຣີ 1 m m w = ຈະເອີື້ນວ່າ: ເຊຣີຈ້ອມ (Convergent Series) ແລະ S ຈະເອີື້ນວ່າ: ຄ່າຜົນບວກ (Sum) ຂອງເຊຣີ 1 m m w = ແລະ ຈະຂຽນໄດ້ວ່າ: 1 2 1 m m S w w w = = = + + ຖ້າອັນດັບຜົນບວກ 1 2 3 S S S , , , ຫວາ ແລ້ວພວກເຮົາຈະເວົື້າວ່າ: ເຊຣີ 1 m m w = ຫວາ ຫ ເປັນເຊຣີຫວາ (Divergent Series); ຖ້າເຊຣີ 1 m m w = ຈ້ອມ ແລະ ມີຄ່າເທົົ່າກັບ S ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: n n S S R = + ດັົ່ງນັື້ນ, R S S n n = −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 109 ຈາກນິຍາມຂອງການຈ້ອມ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: R n ສາມາດເຮັດໃຫ້ນ້ອຍເທົົ່າໃດກໍໍ່ໄດ້ ໂດຍກໍານົດໃຫ້ n ມີຄ່າ ໃຫຍ່ຫ າຍພໍ, ໃນບາງກໍລະນີ ພວກເຮົາອາດຈະບໍໍ່ສາມາດຫາຄ່າ S ຂອງເຊຣີຈ້ອມໄດ້. ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາອາດຈະໃຊ້ n S ເປັນຄ່າປະມານຂອງ S ໂດຍໃຫ້ R n ເປັນຕົວບອກຄ່າຄວາມຖ ກຕ້ອງນັື້ນຄ : ຖ້າ R n ນ້ອຍຫ າຍຈົນເກ ອບເຂົື້າ ໃກ້0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: S ເກ ອບເທົົ່າກັບ n S ແຕ່ຖ້າ R n ມີຄ່າຫ າຍ ຈະເຮັດໃຫ້ S ບໍໍ່ເທົົ່າກັບ n S ຕົວຢ່າງ 7.1 ເຊຣີ 1 1 1 1 1 2 2 4 8 m m = = + + + ເປັນເຊຣີຈ້ອມ ຫ ເຊຣີຫວາ, ຖ້າຈ້ອມ ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າທີື່ເຊຣີຈ້ອມ ດ້ວຍ. ເຊຣີນີື້ເປັນເຊຣີຈ້ອມ ແລະ ຈະຈ້ອມຫາຄ່າ 1 ເພາະວ່າ: 1 1 1 1 1 2 4 2 2 n n n S = + + + = − ດັົ່ງນັື້ນ, 1 lim lim 1 1 2 n n n n S → → = − = ຕົວຢ່າງ 7.2 ເຊຣີຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 1 1 2 3 m m = = + + + 2) ( ) 1 1 1 1 1 m m = − = − + − + 3) 1 1 1 1 1 m m 2 3 = = + + + ວ່າເປັນເຊຣີຈ້ອມ ຫ ເຊຣີຫວາ, ຖ້າຈ້ອມ ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າທີື່ເຊຣີຈ້ອມດ້ວຍ. 1) ເຊຣີ 1 1 2 3 m m = = + + + ເປັນເຊຣີຫວາ ເພາະວ່າ: ( 1) 2 n n n S + = ແລະ lim n n S → = 2) ເຊຣີ ( ) 1 1 1 1 1 m m = − = − + − + ເປັນເຊຣີຫວາເພາະວ່າ: 1 S = −1, 2 S = − + = 1 1 0 , 3 S = − + − = − 1 1 1 1, 4 S = − + − + = 1 1 1 1 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ອັນດັບຂອງຜົນບວກເປັນ − − 1,0, 1,0, ເຊິື່ງຈະເປັນອັນດັບຫວາ. 3) ເຊຣີ 1 1 1 1 1 m m 2 3 = = + + + ເປັນເຊຣີຫວາ ເພາະວ່າ: 1 1 1 2 n S n = + + + ດັົ່ງນັື້ນ, n S ຄ ຜົນບວກ ຂອງພ ື້ນທີື່ຂອງສີື່ແຈ n ຮູບ. ສ່ວນ A n ຈະເປັນພ ື້ນທີື່ຂອງສ່ວນໃຕ້ເສັື້ນໂຄ້ງ 1 y x = ເຊິື່ງທຽບເທົົ່າກັບ n S ດັົ່ງໃນຮູບທີ 7.1 n n S A ( ) 1 1 ln 1 n n dx A n x + = = + ດັົ່ງນັື້ນ, lim n x A → = ຈາກ n n S A ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: lim n x S → = y 1 y x = x 0 ຮູບທີ 7.1 ສີື່ແຈເຊິື່ງສ້າງຈາກພົດທີ n S ແລະ ພົດທີ A n
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 110 ທິດສະດີ 7.1 ໃຫ້ w u iv m m m = + ແລ້ວເຊຣີ 1 2 3 1 m m w w w w = = + + + ຈ້ອມຫາຄ່າ a ib + ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອເຊຣີ 1 m m u = ແລະ 1 m m v = ຈ້ອມ ແລະ 1 m m u a = = ແລະ 1 m m v b = = ຈາກທິດສະດີ 7.1 ນີື້, ຈະສະແດງການພົວພັນລະຫວ່າງເຊຣີຈໍານວນສົນ ແລະ ເຊຣີຈໍານວນຈິງ ສໍາລັບການພິສູດ ຈະສາມາດໃຊ້ຄຸນລັກສະນະຂອງອັນດັບມາສະແດງໄດ້ງ່າຍໆ. ທິດສະດີ 7.2 ເຊຣີ 1 m m w = ຈະເວົື້າວ່າ: ເຊຣີຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນ (Absolutely Convergent), ຖ້າເຊຣີ 1 2 1 m m w w w = = + + ຈ້ອມ, ຖ້າເຊຣີຈ້ອມ ແຕ່ເຊຣີຫວາ, ພວກເຮົາເອີື້ນເຊຣີ ນີື້ວ່າ: ເຊຣີຈ້ອມຢ່າງມີ ເງ ື່ອນໄຂ (Conditionally Convergent) ຕົວຢ່າງ 7.3 ເຊຣີ 1 1 1 1 2 4 8 16 + + + + ເປັນເຊຣີຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນ, ສ່ວນເຊຣີ 1 1 1 1 2 3 4 − + − + ເຊຣີຈ້ອມ ຢ່າງມີເງ ື່ອນໄຂ. ທິດສະດີ 7.3 ຖ້າເຊຣີ 1 m m w = ເປັນເຊຣີຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນແລ້ວ, ເຊຣີນີື້ຈະເປັນເຊຣີຈ້ອມ. ພິສູດ ໃຫ້ Sn ເປັນຜົນບວກ n ພົດຂອງເຊຣີ 1 m m w = ຈາກທີື່ເຊຣີນີື້ຈ້ອມ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ອັນດັບ Sn ເປັນອັນດັບຈ້ອມ ແລະ ຈາກທິດສະດີ 3.8 ພວກເຮົາຈະໄດ້ Sn ເປັນອັນດັບໂກຊີ. ໃຫ້ 0 ພວກເຮົາຈະມີ N ເຊິື່ງ ເມ ື່ອ m n N ແລ້ວ m n S S − ໃຫ້ m n p = + ເມ ື່ອ p ເປັນຈໍານວນຖ້ວນບວກ, ນັື້ນກໍໍ່ຄ : n p n m m p 1 2 S S w w w + + + − = + + + ແຕ່ພວກເຮົາມີ 1 1 p p m m m n m n w w = + = + ເຊິື່ງຈະເຮັດໃຫ້ຜົນບວກ n ພົດຂອງເຊຣີ 1 m m w = ເປັນອັນດັບໂກຊີ ໂດຍທິດສະດີ 3.8 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ອັນດັບຂອງຜົນບວກ n ພົດຂອງເຊຣີ 1 m m w = ເປັນອັນດັບຈ້ອມ ເຊິື່ງຈະເຮັດ ໃຫ້ເຊຣີ 1 m m w = ເປັນເຊຣີຈ້ອມ. ທິດສະດີ 7.4 ຖ້າເຊຣີ 1 m m w = ຈ້ອມ ແລ້ວ lim 0 m m w → = ພິສູດ ໃຫ້ເຊຣີ 1 m m w = ຈ້ອມຫາຄ່າ S ດັົ່ງນັື້ນ, n n 1 1 2 1 S w w w + + = + + + n n 1 2 S w w w = + + + ສະນັື້ນ, w S S n n n + + 1 1 = − ດັົ່ງນັື້ນ, 1 1 lim lim lim 0 n n n n n n w S S S S + + → → → = − = − = ຈາກຜົນຂອງທິດສະດີນີື້ ຈະເວົື້າໄດ້ວ່າ: ຖ້າເຊຣີ 1 m m w = ມີພົດທີື່ n ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: lim 0 n n w → ແລ້ວ ເຊຣີ 1 m m w = ເປັນເຊຣີຫວາ; ຖ້າເຊຣີ 1 m m w = ມີພົດທີື່ n ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: lim 0 n n w → = ກໍໍ່ຍັງບໍໍ່ສາມາດທີື່ຈະບອກ ວ່າ: ເຊຣີ 1 m m w = ເປັນເຊຣີຈ້ອມ. ດັົ່ງເຊັົ່ນຕົວຢ່າງຕໍໍ່ໄປນີື້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 111 ຕົວຢ່າງ 7.4 1) ເຊຣີ 1 1 1 1 1 n n 2 3 = = + + + ມີພົດທີື່ n ຄ : 1 n ແລະ 1 lim 0 n→ n = ແຕ່ເຊຣີຫວາ 1 1 1 1 1 m m 2 3 = = + + + 2) ພິຈາລະນາເຊຣີ 1 1 2 3 m m = = + + + ເຊິື່ງຈະມີພົດທີື່ m ຄ : w m m = ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: lim lim 0 m m m w m → → = ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກທິດສະດີ 7.4 ພວກເຮົາຈຶື່ງໄດ້ວ່າ: 1 1 2 3 m m = = + + + ເຊຣີເປັນເຊຣີຫວາ; ສ່ວນເຊຣີ ( ) 0 1 1 1 1 1 m m = − = − + − + ຈະພົບວ່າ: ພົດທີື່ n ຂອງເຊຣີຄ : wm ຈະເປັນດັົ່ງຕໍໍ່ໄປນີື້: 1 1 wn = − ຖ້າ n ເປັນຈໍານວນຄູ່ ຖ້າ n ເປັນຈໍານວນຄິກ ສະນັື້ນ, lim n n w → ບໍໍ່ມີຄ່າ, ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກທິດສະດີ 7.4 ຈຶື່ງໄດ້ວ່າ: ເຊຣີ ( ) 0 1 1 1 1 1 n n = − = − + − + ເປັນ ເຊຣີຫວາ. 7.3 ເຊຣີກໍາລັງ (Power Series) ໃນເລ ື່ອງຂອງເຊຣີນັື້ນ, ມີເຊຣີທີື່ສໍາຄັນເຊຣີໜຶື່ງ ຄ : ເຊຣີກໍາລັງ. ເຊຣີກໍາລັງນີື້ຈະຢູ່ໃນຮູບຍົກກໍາລັງຂອງ (z a − ) ເມ ື່ອ a ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ, ລັກສະນະທົົ່ວໆ ໄປຂອງເຊຣີກໍາລັງຈໍານວນສົນຈະຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 n n n c z a c c z a c z a = − = + − + − + ເມ ື່ອ z ຄ : ຕົວປ່ຽນຈໍານວນສົນ 0 1 2 c c c , , , ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ເຊິື່ງຈະເອີື້ນວ່າ: ສໍາປະສິດ (Coefficients) ຂອງ ເຊຣີກໍາລັງ; ສ່ວນ a ຈະເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ເອີື້ນວ່າ: ໃຈກາງ (Center) ຂອງເຊຣີກໍາລັງ. ໃນກໍລະນີ a = 0 ພວກເຮົາຈະ ໄດ້ເຊຣີກໍາລັງສະເພາະຮູບຍົກກໍາລັງຂອງ z ຄ : 2 0 1 2 0 n n n c z c c z c z = = + + + ພວກເຮົາພິຈາລະນາເບິື່ງຕົວຢ່າງຂອງເຊຣີກໍາລັງ ເຊິື່ງຈະພົບເຫັນກັນເລ ື້ອຍໆ. ຕົວຢ່າງ 7.5 ເຊຣີ 2 3 0 1 n n z z z z = = + + + + ເປັນເຊຣີເລຂາຄະນິດ (Geometry Series) ເຊິື່ງຈ້ອມຢ່າງສໍາ ບູນ ສໍາລັບຄ່າ z ເຊິື່ງ z 1 ແລະ ຈະເປັນເຊຣີຫວາ ສໍາລັບຄ່າ z ເຊິື່ງ z 1 ຕົວຢ່າງ 7.6 ເຊຣີກໍາລັງ 2 3 0 1 ! 2! 3! n n z z z z n = = + + + + ເປັນເຊຣີ ເຊິື່ງຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງພວກເຮົາຈະສະແດງໄດ້ ໂດຍການໃຊ້ການທົດສອບແບບອັດຕາສ່ວນ (Ratio Test) ເຊິື່ງພວກເຮົາໄດ້ສຶກສາມາ ແລ້ວຈາກແຄລຄູລັສ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 1 1 1 ! 1 ! n n n n z w n z w n z n + + + = = + ເຊິື່ງ lim 0 n 1 z → n = + ດັົ່ງນັື້ນ, 0 ! n n z n = ຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນ.
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 112 ຕົວຢ່າງ 7.7 ເຊຣີກໍາລັງ 2 3 0 ! 1 2 6 n n n z z z z = = + + + + ເປັນເຊຣີກໍາລັງທີື່ມີໃຈກາງທີື່ a = 0 ຈະຈ້ອມສໍາ ລັບ z = 0 ເທົົ່ານັື້ນ ແລະ ເຊຣີກໍາລັງນີື້ຈະຫວາສໍາລັບ ທຸກໆ ຄ່າຂອງ z 0 ເພາະວ່າ: ຈາກການທົດສອບແບບອັດຕາ ສ່ວນພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 1 1 1 ! 1 ! n n n n w n z n z w n z + + + = = + ສະນັື້ນ, lim 1 ( ) n 0 n z → + = ເມ ື່ອ z = 0 ເມ ື່ອ z 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ເຊຣີກໍາລັງ 0 ! n n n z = ຈະເປັນເຊຣີຫວາ ສໍາລັບ z 0 ແລະ ຈະເປັນເຊຣີຈ້ອມ ສໍາລັບ z = 0 ເທົົ່ານັື້ນ. ເຊຣີກໍາລັງ ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 n n n c z a c c z a c z a = − = + − + − + ຈະຈ້ອມ ເມ ື່ອ z a = ເພາະວ່າ: z a − = 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ເຊຣີທີື່ເຫ ອພຽງ 0 c ຖ້າເຊຣີ ( ) 0 n n n c z a = − ຈ້ອມສໍາລັບບາງຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງ 0 z a ແລ້ວ ເຊຣີນີື້ຈະຈ້ອມ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງໄລຍະຈາກໃຈກາງນ້ອຍກວ່າ 0 z ເຊິື່ງພວກເຮົາຈະເວົື້າເຖິງໃນທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 7.5 ຖ້າເຊຣີກໍາລັງ ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 n n n c z a c c z a c z a = − = + − + − + ຈ້ອມສໍາລັບ 0 z z = ແລ້ວ ເຊຣີນີື້ຈະຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງ 0 z a z a − − ນັື້ນກໍໍ່ຄ ເຊຣີນີື້ຈະຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງໄລຍະຫ່າງຂອງ z ຈາກໃຈກາງ a ນ້ອຍກວ່າ ໄລຍະຫ່າງຂອງ 0 z ຈາກໃຈກາງ a ພິສູດ ຈາກເຊຣີ ( ) 0 n n n c z a = − ຈ້ອມເມ ື່ອ 0 z z = ຈາກທິດສະດີ 7.4 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: lim 0 ( ) n n n c z a → − = ດັົ່ງນັື້ນ, ໂດຍທິດສະດີ 3.3 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ອັນດັບ ( ) n n c z a − ຈະເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບ ນັື້ນກໍໍ່ຄ : ຈະມີ M 0 ເຊິື່ງສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ n =1,2,3, ພິຈາລະນາ ( ) n n c z a − ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) 0 n n n n n z a c z a c z a z a − − = − − ( ) 0 0 n n n n z a c z a z a z a M z a − = − − − − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 0 0 0 0 0 n n n n n n n z a z a c z a M M z a z a = = = − − − = − − ຈາກ 0 z a z a − − ສະນັື້ນ, 0 1 z a z a − − ດັົ່ງນັື້ນ, 0 0 n n z a z a = − − ຈະເປັນເຊຣີເລຂາຄະນິດ ເຊິື່ງຈ້ອມ ຈະເຮັດໃຫ້ເຊຣີ ( ) 0 n n n c z a = − ຈະຈ້ອມ.
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 113 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 0 n n n c z a = − ຈະຈ້ອມຢ່າງສໍາບູນ ເມ ື່ອ 0 z a z a − − ເຊຣີກໍາລັງໃນຕົວຢ່າງ 7.7 ຈະສັງເກດເຫັນວ່າ: ເຊຣີກໍາລັງຈະຈ້ອມພຽງບາງຄ່າຂອງ z ເທົົ່ານັື້ນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກ ເຮົາພິຈາລະນາຫາຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ເຊຣີກໍາລັງຈ້ອມ, ພິຈາລະນາເຊຣີກໍາລັງ ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 n n n c z a c c z a c z a = − = + − + − + (7.1) ພວກເຮົາພິຈາລະນາຫາຄ່າ z ໃນລະບົບຈໍານວນສົນ ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ເຊຣີນີື້ຈ້ອມ. ສົມມຸດໃຫ້ R ເປັນຈໍານວນຈິງ ບວກທີື່ມີຄ່ານ້ອຍທີື່ສຸດ ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ທຸກໆ ເມັດ z ໃນລະບົບສົນ ເຊິື່ງເມ ື່ອ z a R − ແລ້ວຈະເຮັດໃຫ້ເຊຣີ ( ) 0 n n n c z a = − ຈ້ອມ ແລະ ທຸກໆ ເມັດ z ໃນລະບົບສົນ ເຊິື່ງເມ ື່ອ z a R − ແລ້ວຈະເຮັດໃຫ້ເຊຣີນີື້ຈະຫວາ. ພວກເຮົາຈະເອີື້ນວົງມົນ z a R − = ນີື້ວ່າ: ວົງມົນແຫ່ງການຈ້ອມ (Circle of Convergence) ແລະ ຄ່າ R ຈະເອີື້ນ ວ່າ: ລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມ (Radius of Convergence). ສ່ວນເມັດ z ເຊິື່ງຢູ່ເທິງເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ z a R − = ນີື້, ອາດຈະໃຫ້ເຊຣີຈ້ອມ ຫ ຫວາກໍໍ່ໄດ້. y x ຮູບທີ 7.2 ວົງມົນແຫ່ງການຈ້ອມ ຕົວຢ່າງ 7.8 ຈົົ່ງພິຈາລະນາ: ວົງມົນແຫ່ງການຈ້ອມຂອງເຊຣີຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ເຊຣີ 2 0 1 n n z z z = = + + + ຈະມີລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມເປັນ R = 1 ແລະ ເມັດເທິງເສັື້ນຮອບວົງ z =1 ຈະມີຄ່າ z ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ເຊຣີຫວາ ເຊັົ່ນ: z =1 ເຊຣີ 0 1 n n = ເປັນເຊຣີຫວາ. 2) ເຊຣີ 2 3 0 2 3 n n z z z z n = = + + + ເຊຣີນີື້ຈະຈ້ອມ ສໍາລັບ z ເມ ື່ອ z 1 ແລະ ຈະຫວາ ສໍາລັບ z ເມ ື່ອ z 1 ໃນກໍລະນີທີື່ z =1 ເຊຣີຈະຫວາໃນກໍລະນີທີື່ z =−1 ເຊຣີຈະເປັນ 1 1 1 1 2 3 4 − + − + − ແລະ ຈະເປັນເຊຣີ ເຊິື່ງຈ້ອມ. ຖ້າເຊຣີກໍາລັງ ( ) 1 n n n c z a = − ຈ້ອມສໍາລັບຄ່າ z ທັງໝົດໃນໜ້າພຽງສົນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: R = ແລະ 1 0 R = ແຕ່ຖ້າເຊຣີຈ້ອມສະເພາະເມັດ z a = ພວກເຮົາຈະໄດ້: R = 0 ແລະ 1 R = . ໃນການຫາຄ່າຂອງລັດ ສະໝີຂອງການຈ້ອມ R ຂອງເຊຣີກໍາລັງ ອາດຈະຫາໄດ້ຈາກສໍາປະສິດຂອງເຊຣີ ເຊິື່ງຈະເວົື້າເຖິງໃນທິດສະດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 7.6 ຖ້າອັນດັບ n n c ຈ້ອມ ດ້ວຍຂອບເຂດເທົົ່າກັບ L ແລ້ວ, ລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມ R ຂອງ ເຊຣີກໍາລັງ ( ) 1 n n n c z a = − ຄ : 1 R L =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 114 ຄ່າຂອງ R ທີື່ຫາໄດ້ຈາກສູດຂ້າງເທິງນີື້ຈະເອີື້ນວ່າ: ສູດໂກຊີ-ຮາດດາມາຣ໌ດ (Cauchy-Hardamard formula) ໃນກໍລະນີທີື່ L = 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: R = ນັື້ນຄ : ເຊຣີຈະຈ້ອມເຂົື້າສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ໃນໜ້າພຽງຂອງຈໍາ ນວນສົນ, ຖ້າອັນດັບ n n c ບໍໍ່ຈ້ອມ ແຕ່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: 1) ເປັນອັນດັບທີື່ມີຂອບເຂດແລ້ວ 1 R L = ເມ ື່ອ L ເປັນຄ່າຫ າຍທີື່ສຸດ ຂອບເຂດຂອງ n n c ຫ 2) ເປັນອັນດັບທີື່ບໍໍ່ມີຂອບເຂດ ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້ R = 0 ດັົ່ງນັື້ນ, ເຊຣີນີື້ຈະຈ້ອມ ສະເພາະຄ່າຂອງ z a = ເທົົ່ານັື້ນ. ສໍາລັບການພິສູດຫາເບິື່ງໄດ້ໃນ [Conway] ພວກເຮົາຈະບໍໍ່ນໍາມາພິສູດໃນທີື່ນີື້. ໃນການຫາລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມ R ຂອງເຊຣີກໍາລັງນັື້ນ, ພວກເຮົາອາດຈະຫາໄດ້ອີກວິທີໜຶື່ງ ໂດຍໃຊ້ທິດສະ ດີຕໍໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 7.7 ຖ້າເຊຣີກໍາລັງ ( ) 1 n n n c z a = − ມີລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມເປັນ R ແລ້ວ 1 lim n n n a R → a + = ຖ້າ ຂອບເຂດນີື້ມີຄ່າ. ການພິສູດຫາເບິື່ງໄດ້ໃນ [Conway] ພວກເຮົາຈະບໍໍ່ນໍາມາພິສູດໃນທີື່ນີື້. ໝາຍເຫດ: ຖ້າຄ່າຂອງຂອບເຂດໃນທິດສະດີມີຄ່າເປັນ ພວກເຮົາກໍໍ່ຈະໄດ້ວ່າ: R = ເຊິື່ງກໍໍ່ໝາຍຄວາມວ່າ: ເຊຣີຈະຈ້ອມສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ໃນໜ້າພຽງຂອງຈໍານວນສົນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໃນທິດສະດີນີື້ພວກເຮົາຍອມຮັບຄ່າຂອງ ຂອບເຂດເປັນ 7.4 ເຊຣີໄຕລໍຣ໌ (Taylor Series) ພິຈາລະນາ f z( ) ເຊິື່ງເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ໃນເມັດໃກ້ຂອງເມັດ z a = ແລະ ໃຫ້ C ເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງ ວົງມົນ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນໃກ້ເມັດ a ນີື້, ໂດຍສູດສັງຄະນິດຂອງໂກຊີ(Cauchy’s Integral Formula) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 1 ( ) 2 C f z f z dz i z z = − (7.2) ເມ ື່ອ z ເປັນເມັດຄົງຄ່າໃດໆ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນ C ແລະ z ເປັນຕົວປ່ຽນສົນ ເຊິື່ງຢູ່ເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ C ພິຈາລະນາ 1 z z − ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 z z z a z a z a z a z a z a z a z a = = = − − − − − − − − − − − − (7.3) ຈາກ z ຢູ່ເທິງ C ໃນເວລາທີື່ z ຢູ່ພາຍໃນ C ດັົ່ງນັື້ນ, 1 z a z a − − ຈາກສູດຂອງເຊຣີເລຂາຄະນິດທີື່ວ່າ: 1 2 1 1 1 n n q q q q q + − + + + + = − ສໍາລັບ q 1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 1 2 1 1 1 n n q q q q q q + = + + + + + − − ໂດຍການໃຫ້ z a q z a − = − ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 2 1 1 1 1 n n z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a + − − − − − = + + + + + − − − − − − − − ແທນຄ່ານີື້ລົງໃນ (7.3) ພວກເຮົາຈະໄດ້:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 115 2 1 1 1 1 n n z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a + − − − − − = + + + + + − − − − − − − ແທນຄ່ານີື້ລົງໃນ (7.2) ແລະ ຈາກທີື່ z ແລະ a ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 n n n C C C f z f z f z z a z a f z dz dz dz R z i z a i i z a z a + − − = + + + + − − − ເມ ື່ອ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 n n n C z a f z R z dz i z a z z + + − = − − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1! 2! ! n n n z a z a z a f z f a f a f a f a R z n − − − = + + + + + ເຊິື່ງເອີື້ນວ່າ: ສູດຂອງໄຕລໍຣ໌(Taylor’s Formula) ແລະ R z n ( ) ເອີື້ນວ່າ: ເສດເຫ ອ (Remainder); ຈາກທີື່ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ, ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) ຈະມີຜົນຕໍາລາທຸກໆ ອັນດັບ n ຖ້າເລ ອກ n ໃຫ້ໃຫຍ່ຫ າຍໆ ໂດຍໃຫ້ n → ພວກເຮົາຈະໄດ້ເຊຣີກໍາລັງ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ! n n n f a f z z a n = = − ເຊິື່ງຈະເອີື້ນວ່າ: ເຊຣີໄຕລໍຣ໌(Taylor’s Series) ຂອງ f z( ) ດ້ວຍໃຈກາງທີື່ a ໃນກໍລະນີທີື່ a = 0 ພວກເຮົາ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 0 ! n n n f f z z n = = ເຊິື່ງເອີື້ນວ່າ: ເຊຣີແມຄຄໍຣິນ (Maclaurine Series) ຂອງ f z( ) ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: ເຊຣີເຫ ົົ່ານີື້ຈະຈ້ອມ ແລະ ເທົົ່າ ກັບ f z( ) ກໍໍ່ຕໍໍ່ເມ ື່ອ lim 0 n ( ) n R z → = ເພ ື່ອທີື່ຈະສະແດງວ່າ: lim 0 n ( ) n R z → = ພວກເຮົາຈະພິຈາລະນາຄ່າ R z n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 n n n C z a f z R z dz i z a z z + + − = − − ເພາະວ່າ: z ຢູ່ເທິງ C ແລະ z ຢູ່ພາຍໃນ C ດັົ່ງນັື້ນ, z z 0 − ເພາະວ່າ: f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນ ແລະ ເທິງ C ດັົ່ງນັື້ນ, f z( ) M z z − ເມ ື່ອ M ເປັນຈໍານວນຈິງບວກຕົວໜຶື່ງສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເທິງ C ໃຫ້ r ເປັນລັດສະໝີຂອງ C ດັົ່ງນັື້ນ, z a r − = , z ເທິງ C ຄວາມຍາວຂອງ C r = 2 ຈາກການຫາຂອບເຂດ ເທິງ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 n n n C z a f z R z dz i z a z z + + − = − − 1 1 1 1 2 2 n n n z a M ir i r z a Mr r + + + − − = ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 1 lim lim 0 n n n n z a R z Mr r + → → − = =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 116 y a z r x ຮູບທີ 7.3 ລັກສະນະຂອງເສັື້ນໂຄ້ງ C ໃນທິດສະດີຂອງໄຕລໍຣ໌ ທິດສະດີ 7.8 ທິດສະດີຂອງໄຕລໍຣ໌ (Taylor’s Theorem) ໃຫ້ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະໃນເຂດກໍານົດ D ແລະ ໃຫ້ z a = ເປັນເມັດໃດໆ ໃນ D ແລ້ວຈະມີເຊຣີກໍາລັງ ອັນໜຶື່ງທີື່ໃຈກາງທີື່ a ເຊິື່ງແທນ f z( ) ແລະ ເຊຣີກໍາລັງນີື້ຈະຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ ( ) ( ) 0 n n n f z b z a = = − ເມ ື່ອ ( ) ( ) 1 , 0,1, 2, ! n n b f a n n = = ສໍາລັບຄ່າ f z( ) ໃນທິດສະດີ 7.8 ນີື້, ຈະມີຄ່າເທົົ່າກັບເຊຣີທາງຂວາ; ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງຢູ່ໃນວົງມົນ ເປີດທີື່ໃຫຍ່ທີື່ສຸດ ໂດຍມີໃຈກາງທີື່ a ແລະ ວົງມົນນີື້ຈະຕ້ອງຢູ່ທີື່ພາຍໃນ D ທິດສະດີ 7.9 ທຸກໆ ເຊຣີກໍາລັງ ເຊິື່ງມີລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມ R 0 ຈະເປັນເຊຣີໄຕລໍຣ໌ຂອງຕໍາລາວິເຄາະ ເຊິື່ງ ແທນໂດຍເຊຣີກໍາລັງ. ພິສູດ ໃຫ້ເຊຣີກໍາລັງ ( ) 0 n n n b z a = − ມີລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມ R 0 ແລະ ໃຫ້ເຊຣີນີື້ແທນດ້ວຍຕໍາ ລາວິເຄາະ f z( ) ບາງອັນ ສໍາລັບ z ເຊິື່ງ z a R − ນັື້ນຄ : ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 f z b b z a b z a = + − + − + f z b b z a ( ) = + − + 1 2 2 ( ) ແລະ ໂດຍທົົ່ວໆ ໄປ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ! 1 321 ( ) 1 ( ) n n n f z n b n n b z a = + + − + + ເຊຣີເຫ ົົ່ານີື້ຈະຈ້ອມ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງ z a R − ແລະ ຈະແທນຕໍາລາວິເຄາະນີື້ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າ ຂອງ z ເຊິື່ງ z a R − ໂດຍການໃຫ້ z a = ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 1 , , , ! ( ) n n f a b f a b f a n b = = = ແທນຄ່າ 0 1 , , , n b b b ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2! f a f z f a f a z a z a = + − + − + ຈະເປັນເຊຣີໄຕລໍຣ໌ຂອງຕໍາລາ f z( ) 7.5 ເຊຣີໄຕລໍຂອງຕໍາລາພ ື້ນຖານ (Taylor Series of Elementary Functions) ຕົວຢ່າງ 7.9 ໃຫ້ ( ) 1 1 f z z = − ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! , 0 ! 1 n n n n f z f n z + = = − ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະໄດ້ເຊຣີແມຄຄໍຣິນ ເຊິື່ງເປັນເຊຣີເລຂາຄະນິດ 2 0 1 1 , 1 1 n n z z z z z = = = + + + − f z( ) ມີເມັດເອກະຖານ (Singular Point) ທີື່ z =1 ເຊິື່ງເມັດນີື້ຈະຢູ່ເທິງເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນຂອງການ ຈ້ອມ. ຕົວຢ່າງ 7.10 ໃຫ້ ( ) z f z e = ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ສໍາລັບທຸກໆ ຂອງ z ແລະ ຄ່າຂອງ ( ) z f z e = ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະໄດ້ເຊຣີແມຄຄໍຣິນ 2 0 1 ! 2! n z n z z e z n = = = + + + ຕົວຢ່າງ 7.11 ພິຈາລະນາເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 117 1) ໃຫ້ f z z ( ) = cos ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ໃນ ເຊຣີແມຄຄໍຣິນ ຂອງ f z( ) ຄ ( ) ( ) 2 2 4 0 cos 1 1 2 ! 2! 4! n n n z z z z n = = − = − + − 2) ໃຫ້ f z z ( ) = sin ແລ້ວ f z( ) ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ໃນ ເຊຣີແມຄຄໍຣິນ ຂອງ f z( ) ຄ ( ) ( ) 2 1 3 5 0 sin 1 2 1 ! 3! 5! n n n z z z z z n + = = − = − + − + 7.6 ວິທີການຫາເຊຣີກໍາລັງ ພວກເຮົາເວົື້າເຖິງວິທີການຫາເຊຣີກໍາລັງໃນຕົວຢ່າງຕ່າງໆ ຕໍໍ່ໄປນີື້: 7.6.1 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການແທນໃນເອກະລັກສະເພາະ ຕົວຢ່າງ 7.12 ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາ ( ) 2 1 1 f z z = + ຈາກເອກະລັກ 2 0 1 1 , 1 1 n n z z z z z = = = + + + − ແທນທີື່ 2 −z ສໍາລັບ z ລົງໃນເອກະລັກ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 2 2 1 1 1 z 1 z = + − − ( ) ( ) 2 0 2 0 2 4 6 1 1 n n n n n z z z z z = = = − = − = − + − + ເມ ື່ອ 2 2 − zzz 1 1 1 7.6.2 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ສັງຄະນິດ ຕົວຢ່າງ 7.13 ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາ ( ) ( ) 1 f z z tan− = ຈາກ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 tan 1 f z z f z z − = = + ຈາກຕົວຢ່າງ 7.12 2 4 6 2 1 1 1 z z z z = − + − + + ( ) 2 4 6 = − + − + f z z z z 1 ສັງຄະນິດເທ ື່ອລະພົດ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 2 f z dz dz z dz = − + 3 5 7 , 1 3 5 7 z z z = − + − + z z ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 tan 2 1 n n n f z z z n − + = − = = + 7.6.3 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ເຊຣີເລຂາຄະນິດ ຕົວຢ່າງ 7.14 ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາ ( ) 1 f z c bz = −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 118 ພິຈາລະນາ ( ) 1 f z c bz = − ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 f z c bz c ab b z a b z a c ab c ab = = = − − − − − − − − (7.4) ໂດຍການໃຊ້ສູດ 2 0 1 1 , 1 1 n n z z z z z = = = + + + − (7.5) ແທນຄ່າ b z a ( ) z c ab − = − ລົງໃນ (7.5) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 b z a b z a b z a c ab c ab c ab − − = + + + − − − − − ແທນຄ່າທີື່ໄດ້ນີື້ໃນ (7.4) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 0 1 n n b z a f z c ab c ab = − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 2 2 3 1 n n n n b z a c ab b b z a z a c ab c ab c ab + = = − − = + − + − + − − − ເຊຣີນີື້ຈະຈ້ອມສໍາລັບ ( ) 1 b z a c ab − − ນັື້ນຄ : ເຊຣີຈະຈ້ອມສໍາລັບ z ເຊິື່ງ b z a ( ) c z a a c ab b − − = − − 7.6.4 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ເຊຣີທະວີພົດ ແລະ ເສດສ່ວນຍ່ອຍ (Binomial Series and Partial Fractions) ຕົວຢ່າງ 7.15 ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີໄຕລໍຣ໌ຂອງຕໍາລາ ( ) 2 3 2 2 9 5 8 12 z z f z z z z + + = + − − ດ້ວຍໃຈກາງ z =1 ຈາກເຊຣີທະວີພົດ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2! 3! n n n n n n n z nz z z z − + + + = + = − + − + + ຈາກຕໍາລາ ( ) ( ) 1 1 n f z z = + ທີື່ມີເມັດເອກະຖານທີື່ z =−1 ດັົ່ງນັື້ນ, ເຊຣີຂ້າງເທິງນີື້ຈະຈ້ອມເມ ື່ອ z 1 ພິຈາລະນາ ( ) 2 3 2 2 9 5 8 12 z z f z z z z + + = + − − ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 z z z z = + + − = − + − − −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 119 ( ) ( ) 2 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 2 3 z z = − − − + − 2 1 1 1 9 1 1 1 1 2 3 z z = − − − − + ໂດຍເຊຣີທະວີພົດ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 2 2 1 1 6 1 1 1 1 2 1 9 3 2! 3 2 2 z z z z f z − − − − = − + − − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 1 1 1 1 9 3 3 1 1 1 3 n n n n n n n n n z z n z = = + = − − = − − − + = − ( ) ( ) 8 31 23 2 1 1 9 54 108 = − − − − − − z z ເພາະວ່າ: z = 3 ເປັນເມັດເອກະຖານຂອງ f z( ) ແລະ ເປັນເມັດ ເຊິື່ງຢູ່ໃກ້ໃຈກາງ z =1 ຫ າຍທີື່ສຸດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ເຊຣີນີື້ຈະຈ້ອມ ສໍາລັບທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ເຊິື່ງ z − 1 2 7.6.5 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການໃຊ້ຊອກຫາຄ່າຜົນຕໍາລາ ຕົວຢ່າງ 7.16 ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາ f z z ( ) = tan ຈາກ f z z ( ) = tan ຊອກຫາຄ່າຜົນຕໍາລາຂອງ f z( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 2 2 2 f z z z f z = = + = + sec 1 tan 1 ນັື້ນກໍໍ່ຄ : f (0 1 ) = , f (0 0 ) = ຊອກຫາຄ່າຜົນຕໍາລາຂອງ f z ( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: f z f z f z ( ) = 2 ( ) ( ), f (0 0 ) = ( ) ( ( )) ( ) ( ) 2 f z f z f z f z = + 2 2 , f (0 0 ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 f z f z f z f z f z = + 6 2 , ( ) ( ) 4 f 0 0 = ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 4 f z f z f z f z f z f z = + + 6 8 2 , ( ) ( ) 5 f 0 16 = ຈາກສູດຂອງເຊຣີໄຕລໍຣ໌ ໃນທິດສະດີ7.8 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 2 17 3 5 7 tan , 3 15 315 2 z z z z z z = + + + + 7.6.6 ການຫາເຊຣີກໍາລັງ ໂດຍການທຽບສໍາປະສິດ (Unfertermined Confficients) ຕົວຢ່າງ 7.17 ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາ f z z ( ) = tan ຈາກ tan z ເປັນຕໍາລາຄິກ (Odd Function). ດັົ່ງນັື້ນ, ເຊຣີຈະຢູ່ໃນລັກສະນະ 3 5 1 3 5 tan z b z b z b z = + + + (7.6) ແລະ sin tan cos z z z = ແທນ sin z, cosz ໃນຮູບແບບຂອງເຊຣີ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 3 5 2 4 3 5 1 3 5 1 3! 5! 2! 4! z z z z z b z b z b z − + − = + + + − + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 120 ຈາກ tan z ເປັນຕໍາລາວິເຄາະ, ທຸກໆ ຄ່າຂອງ z ຍົກເວັື້ນຄ : 3 , , 2 2 z = ດັົ່ງນັື້ນ, ເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງ tan z ຈະຈ້ອມໃນກໍລະນີທີື່ 2 z ຄູນເຊຣີ ( ) 3 5 1 3 5 b z b z b z + + + ແລະ 2 4 1 2! 4! z z − + − ແລ້ວປຽບທຽບສໍາປະສິດຂອງກໍາລັງຂອງ z ທາງພົດເບ ື້ອງຊ້າຍ ແລະ ເບ ື້ອງຂວາ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 b =1 1 3 1 3! 2! b − = − + b 1 3 5 1 5! 4! 2! b b = − − + b ຫາຄ່າ 1 b , 3 b ແລະ 5 b ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 b =1, 3 1 3 b = , 5 2 15 b = , ແທນຄ່າ 1 2 b b, , ລົງໃນ (7.6) ພວກເຮົາຈະໄດ້ເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງ f z z ( ) = tan ເປັນ 1 2 17 3 5 7 tan 3 15 315 z z z z z = + + + + 7.7 ເຊຣີລອຣ໌ເຣນທ໌ (Laurent Series) ຈະມີເຊຣີກໍາລັງອີກຊະນິດໜຶື່ງ ເຊິື່ງຄ້າຍໆ ກັບເຊຣີໄຕລໍຣ໌ ເຊິື່ງຮູບຮ່າງຂອງເຊຣີນີື້ຄ : ( ) 0 1 ( ) n n n n n n c b z a z a = = − + − ເຊຣີນີື້ຈະແທນຕໍາລາ f z( ) ເຊິື່ງເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນວົງແຫວນ r z a R − ເຊິື່ງຈະເວົື້າເຖິງໃນທິດສະ ດີຕໍໍ່ໄປນີື້: y C1 C C2 r a R x ຮູບທີ 7.4 ວົງແຫວນທີື່ມີຂອບເຂດເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນໃນທິດສະດີລອຣ໌ເຣນທ໌ ທິດສະດີ 7.10 ທິດສະດີລອຣ໌ເຣນທ໌(Laurent Theorem) ຖ້າ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນວົງແຫວນ ເຊິື່ງມີຂອບເຂດເປັນເສັື້ນຮອບວົງຂອງວົງມົນ C1 ແລະ C2 ເຊິື່ງ ມີເມັດໃນກາງທີື່ a ແລ້ວ f z( ) ຈະສາມາດແທນໂດຍເຊຣີລອຣ໌ເຣນທ໌ຄ : ( ) ( ) 0 1 ( ) n n n n n n c f z b z a z a = = = − + − ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 2 n n c c b b z a b z a z a z a = + − + − + + + + − −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 121 ເມ ື່ອ ( ) ( ) 1 1 2 n n C f z b dz i z a + = − ແລະ ( ) ( ) 1 1 2 n n C c z a f z dz i + = − ເມ ື່ອ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງປິດ ຢູ່ພາຍໃນວົງແຫວນລະຫວ່າງ C1 , C2 ແລະ ທິດທາງຂອງ C ກົງກັນຈ້າມກັບເຂັື້ມ ໂມງ. ເຊຣີລອຣ໌ເຣນທ໌ນີື້ອາດຂຽນສັື້ນໆ ພວກເຮົາໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) n n n f z A z a =− = − ເມ ື່ອ ( ) ( ) 1 1 2 n n C f z A dz i z a + = − ພິສູດ ໃຫ້ z ເປັນເມັດໃດໆ ເຊິື່ງຢູ່ພາຍໃນວົງແຫວນ ຈາກສູດຂອງໂກຊີ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 C C f z f z f z dz dz i z z i z z = − − − ໃນທໍານອງດຽວກັນກັບການພິສູດທິດສະດີຂອງລອຣ໌ເຣນທ໌ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 1 0 1 2 n n C n f z dz b z a i z z = = − − ເມ ື່ອສໍາປະສິດ n b ຄ : ( ) 1 ( ) 1 1 2 n n C f z b dz i z a + = − ຈາກທີື່ a ບໍໍ່ແມ່ນເມັດທີື່ຢູ່ພາຍໃນວົງແຫວນ, ສະນັື້ນ ( ) ( ) n 1 f z z a + − ຈະເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນວົງແຫວນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະສາມາດໃຊ້ C ແທນເສັື້ນໂຄ້ງ C1 ໄດ້, ສະນັື້ນ ຈະໄດ້ສໍາປະສິດ n b ເປັນ ( ) 1 ( ) 1 1 2 n n C f z b dz i z a + = − ໃນກໍລະນີຂອງ C2 ຈາກ z ຢູ່ພາຍນອກຂອງເສັື້ນ C2 ດັົ່ງນັື້ນ, 1 z a z a − − ພິຈາລະນາ ( ) ( ) 1 1 1 1 z z z a z a z a z a z a − = = − − − − − − − − ຈາກເຊຣີເລຂາຄະນິດ ເມ ື່ອ 1 z a z a − − ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 1 1 1 1 n n z a z a z a z a z z z a z a z a z a z a z a − − − − = − + + + + = − − − − − − − − (7.7) ຄູນ ( ) 1 2 f z i − ໃສ່ (7.7) ແລະ ຊອກຫາສັງຄະນິດເທິງ C2 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 C C C f z dz f z dz z a f z dz i z z i z a z a − = + − + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 n n n C z a f z dz R z z a + + − + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 122 ເມ ື່ອ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 n n n C z a f z R z dz i z a z z + + − = − − ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ C ແທນ C2 ໄດ້ ໂດຍຄ່າຂອງສັງຄະນິດບໍໍ່ປ່ຽນແປງ ຈາກ z z 0 − ແລະ f z( ) ເປັນຕໍາລາວິເຄາະພາຍໃນວົງແຫວນ C2 ແລະ ເທິງ. ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) , f z M z z z − ເທິງ C2 ໃຫ້ລວງຍາວຂອງ C l 2 = ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 1 1 1 1 2 2 n n n n Ml z a R z z a Ml z a z a + + + − − = − − ຈາກ 1 z a z a − − ດັື້ງນັື້ນ, lim 0 n ( ) n R z → = ຕົວຢ່າງ 7.18 ເຊຣີລອຣ໌ເຣນທ໌ຂອງຕໍາລາ 1 2 z z e ເມ ື່ອໃຈກາງ 0 ຄ 1 2 2 2 2 2 1 1! 2! z z e z z z = + + + 2 2 1 1 1 , 0 2 3! 4! z z z z z = + + + + + ຕົວຢ່າງ 7.19 ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີລອຣ໌ເຣນທ໌ຂອງ ( ) 2 1 1 f z z = − ເມ ື່ອໃຈກາງ 1 ຈາກ ( )( ) ( )( ) 2 1 1 1 1 1 − = + − = − + − z z z z z ແລະ ຈາກເຊຣີເລຂາຄະນິດ 0 1 1 n n a a = = − ເມ ື່ອ a 1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 2 1 1 1 2 1 z z = − + − ( ) ( ) 0 1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 n n n n n n z z z = + = = − − − − = − − = − ເຊຣີທີື່ຈ້ອມ ເມ ື່ອ 1 1 2 z − ນັື້ນຄ : z − 1 2 ໃນທໍານອງດຽວກັນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 1 1 z z 1 1 2 = + − + ( ) 1 2 1 1 1 z z = − + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 123 ( ) ( ) 0 1 0 1 2 1 1 2 1 n n n n n z z z = + = = − − − − = − ເຊຣີທີື່ຈ້ອມ ເມ ື່ອ 2 1 z 1 − ນັື້ນຄ : z − 1 2 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( )( ) 1 1 1 f z z z − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 4 8 16 n n n n z z z z + − + = − = − − = + − − + − − − ເຊຣີທີື່ຈ້ອມ ເມ ື່ອ 0 1 2 − z ສ່ວນເຊຣີ ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 n n n f z z + = − = − − ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 2 4 z z z 1 1 1 = − + − + − − − ຈະຈ້ອມ ເມ ື່ອ z − 1 2
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 124 ບົດເຝິກຫັດ 7 1. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຖ້າອັນດັບ n 1 n c c + , n =1,2,3, ຈ້ອມດ້ວຍຂອບເຂດ L ແລ້ວ ລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມ R ຂອງເຊຣີກໍາລັງ ( ) 0 n n n c z a = − ຄ 1 R L = ເມ ື່ອ L 0 ແລະ R = ເມ ື່ອ L = 0 2. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຖ້າເຊຣີ 0 n n n c z = ມີລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມ R ເມ ື່ອ R ເປັນຈໍານວນທໍາມະຊາດ, ລັດສະໝີ ຂອງການຈ້ອມຂອງເຊຣີ 2 0 n n n c z = ຄ R 3. ຈົົ່ງຊອກຫາລັດສະໝີຂອງການຈ້ອມຂອງເຊຣີຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) ( ) 0 2 n n z i = − 2) ( ) 0 2 2 n n n z = − 3) ( ) 0 2 ! n n z n = 4) 2 0 ! n n z n = 5) 0 n n z n = 6) ( ) 0 1 ! n n n z n = − 7) 2 0 2 n n n n z = 8) ( ) ( ) 2 0 2 ! ! n n n z n = 9) 0 n n n z n = 10) ( ) ( ) 2 0 1 2 ! n n n z n = − 11) 1 n n n z n = 12) ( ) 0 6 n n n z i = − 13) ( ) 0 ! n n n z = 14) 2 0 3 n n n z = 15) 0 2 n n n z =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 125 4. ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີໄຕລໍຣ໌ຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: ເມ ື່ອກໍານົດໃຫ້ໃຈກາງຢູ່ທີື່ a ແລະ ຈົົ່ງຊອກຫາລັດສະໝີຂອງການ ຈ້ອມດ້ວຍ: 1) cos 2 , 0 z a = 2) , 0 z e a − = 3) , z e a i = 4) 1 , 1 a z = − 5) 1 , 1 1 a z = − − 6) 2 cos , 0 z a = 7) 2 sin , 0 z a = 8) , 1 z e a = 9) 1 , 1 a i z = − 10) 2 sin , 0 z a = 5. ຈົົ່ງຊອກຫາພົດທີື່ 1, 2 ແລະ 3 ຂອງເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) tan z 2) sin z e z 3) z z cot 6. ຈົົ່ງຊອກຫາເຊຣີແມຄຄໍຣິນຂອງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: 1) 3 1 1− z 2) 3 1 1+ z 3) 6 1 1− z 4) 2 z z e − 5) ( ) 2 2 1 1+ z 6) ( ) ( ) 2 3 4 30 68 4 2 z z z z + + + − 7) 2 cosz 8) 4 z e 7. ຈົົ່ງສະແດງຕໍາລາຕໍໍ່ໄປນີື້: ໃນຮູບຮ່າງຂອງເຊຣີລອຣ໌ເຣນທ໌ເຊິື່ງຈ້ອມ ສໍາລັບ 0 z R ແລະ ຈົົ່ງບອກບໍລິເວນ ເຊິື່ງເຊຣີຈະຈ້ອມດ້ວຍ: 1) 2 1 6 z e z 2) 2 cos 2z z 3) ( ) 4 1 z z 1+
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 126 4) ( ) 2 2 1 z z 1− 5) ( ) 2 1 z z −3 6) 3 sinh 3z z 7) 5 4 1 z z + 8) ( ) 2 2 1 z z 1+
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 127 ບົດເພີື່ມເຕີມ: ທິດສະດີມົວຣ໌ (De-Moivre’s Theorem) ❖ ຄໍາຊີື້ແຈງ (i) ຖ້າ n ແມ່ນຈໍານວນຖ້ວນໃດໆ (ບວກ, ລົບ ຫ ສູນ) ແລ້ວ (cos sin cos sin ) n + = + i n i n ແລະ (ii) ຖ້າ n ແມ່ນເສດສ່ວນ (ບວກ ຫ ລົບ) ສະນັື້ນໜຶື່ງໃນຄ່າຂອງ (cos sin ) n + i ແມ່ນ cos sin n i n + ກໍລະນີພິສູດ 1: ເມ ື່ອ n ແມ່ນ ຈໍານວນຖ້ວນບວກ ໂດຍການຄູນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: (cos sin cos sin 1 1 2 2 + + i i )( ) = − + + (cos cos sin sin sin cos cos sin 1 2 1 2 1 2 1 2 ) i( ) = + + + cos sin ( 1 2 1 2 ) i ( ) ອີກເທ ື່ອໜຶື່ງ, (cos sin cos sin cos sin 1 1 2 2 3 3 + + + i i i )( )( ) = + + + + cos sin cos sin ( 1 2 1 2 3 3 ) i i ( ) ( ) = + + + + + cos sin ( 1 2 3 1 2 3 ) i ( ) ດໍາເນີນຂະບວກການນີື້ຕໍໍ່ໄປ ພົດ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: (cos sin cos sin cos sin 1 1 2 2 + + + i i i )( ) ( n n ) = + + + + + + + cos sin ( 1 2 1 2 n n ) i ( ) ໃນຜົນຮັບນີື້, ໃຫ້ 1 2 3 = = = = = n ພວກເຮົາຈະໄດ້: (cos sin cos sin ) n + = + i n i n ກໍລະນີພິສູດ 2: ເມ ື່ອ n ແມ່ນ ຈໍານວນຖ້ວນລົບ ໃຫ້ n m =− ໂດຍ m ແມ່ນຈໍານວນຖ້ວນລົບ. (cos sin ) n + i (cos sin ) m i − = + ( ) 1 cos sin m i = + 1 cos sin m i m = + ໂດຍກໍລະນີພິສູດ 1 1 cos sin cos sin cos sin m i m m i m m i m − = + − 2 2 cos sin cos sin m i m m m − = + = − cos sin m i m = − + − cos sin ( m i m ) ( ) = + cos sin n i n ກໍລະນີພິສູດ 3: ເມ ື່ອ n = 0 ( ) ( ) ( ) 0 cos sin 1 cos 0 sin 0 + = = + i i ກໍລະນີພິສູດ 4: ເມ ື່ອ n ເປັນເສດສ່ວນບວກ ຫ ລົບ ໃຫ້ p n q = ເມ ື່ອ q ແມ່ນຈໍານວນຖ້ວນບວກ ແລະ p ແມ່ນຈໍານວນຖ້ວນລົບ. ສະນັື້ນ, p ແລະ q ແມ່ນຈໍານວນມູນເຊິື່ງກັນ ແລະ ກັນ.
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 128 q ແມ່ນຈໍານວນຖ້ວນບວກ cos sin cos sin q i q i q q q q q + = + ໂດຍກໍລະນີພິສູດ 1 = + cos sin i ການທີື່ຮາກຂັື້ນ q ຂ ື້ນກໍາລັງທັງສອງຟາກ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ cos sin i q q + ແມ່ນໜຶື່ງຂອງຮາກຂັື້ນ q ຂອງ = + cos sin i . ເວົື້າອີກຢ່າງໜຶື່ງຄ ໜຶື່ງຄ່າຂອງ ( ) 1 cos sin q + i ແມ່ນ: cos sin i q q + ທັງສອງຟາກຂ ື້ນກໍາລັງ p , ພວກເຮົາຈະໄດ້ຮັບໜຶື່ງຄ່າຂອງ (cos sin ) p q + i ແມ່ນ cos sin p i q q + ຕົວຢ່າງ: cos sin p p i q q + ໃຫ້ p n q = ສະນັື້ນ, ມັນໄດ້ພິສູດແລ້ວວ່າ ໜຶື່ງໃນຄ່າຂອງ (cos sin ) n + i ແມ່ນ cos sin n i n + ດັົ່ງນັື້ນ, ທິດສະດີຂອງມົວຣ໌ແມ່ນຖ ກສ້າງຂ ື້ນມາຢ່າງຖ ກຕ້ອງແລ້ວ. ໝາຍເຫດ: 1. (cos sin cos sin cos sin ) ( ) ( ) n i n i n n i n − + = − + − = − 2. (cos sin cos sin cos sin cos sin ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n − = − + − = − + − = − i i n i n n i n 3. (cos sin cos sin cos sin ) ( ) ( ) n n i i n i n − − − = − + − = + 4. ( ) 1 1 cos sin cos sin cos sin i i i − = + = − + 5. ( ) 1 1 cos sin cos sin cos sin i i i − = − = + − 6. (cos sin cos sin ) n + + i n i n ເພາະວ່າ (cos sin cos sin cos sin ) 2 2 2 2 n n i i n i n + = − + − = − + − ຕົວຢ່າງ 1: ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) 4 4 cos sin cos8 sin8 sin cos i i i + = + + ແກ້: ( ) ( ) 4 4 cos sin sin cos i i + + 4 cos 4 sin 4 cos sin 2 2 i i + = − + − cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 2 2 i i + = − + − ( ) ( ) cos 4 sin 4 cos 2 4 sin 2 4 i i + = − + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 129 ( ) ( ) cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 i i + = − ( )( ) 1 cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 i i − = + − ( ) ( ) ( ) 1 cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 i i − = + − + − = + + (cos4 sin 4 cos4 sin 4 i i )( ) = + + + cos 4 4 sin 4 4 ( ) i ( ) = + cos8 sin8 i ຕົວຢ່າງ 2: ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 7 5 cos3 sin 3 cos sin cos5 sin 5 cos 2 sin 2 i i i i + − + − ແກ້: ກໍານົດພົດ ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 7 5 cos3 sin 3 cos sin cos5 sin 5 cos 2 sin 2 i i i i + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 7 5 cos3 sin 3 cos sin cos5 sin 5 cos 2 sin 2 i i i i + − + − = + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos15 sin15 cos 3 sin 3 cos35 sin 35 cos 10 sin 10 i i i i + − + − = + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) cos 15 3 sin 15 3 cos 35 10 sin 35 10 i i − + − = − + − cos12 sin12 cos 25 sin 25 i i + = + ( )( ) 1 cos12 sin12 cos 25 sin 25 i i − = + + = + − + − (cos12 sin12 cos 25 sin 25 i i ) ( ) ( ) = − + − cos 12 25 sin 12 25 ( ) i ( ) = − + − cos 13 sin 13 ( ) i ( ) = − cos13 sin13 i ຕົວຢ່າງ 3: ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) 1 cos sin cos sin 1 cos sin n n i n i n i + + = + + − ແກ້: ( ) ( ) 1 cos sin 1 cos sin n n i i + + + − 2 2 2cos 2 sin cos 2 2 2 2cos 2 sin cos 2 2 2 n n i i + = − cos sin 2 2 cos sin 2 2 n n i i + = −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 130 cos sin cos sin 2 2 2 2 n n i i − = + − cos sin cos sin 2 2 2 2 n n n i i − = + − + − cos sin cos sin 2 2 2 2 n n n n i i = + + cos sin 2 2 2 2 n n n n i = + + + = + cos sin n i n ຕົວຢ່າງ 4: ຖ້າ 1 2cos x x = + ແລະ 1 2cos y y = + ແລ້ວພິສູດວ່າ: (i) 1 2cos n n x n x + = (ii) 2cos( ) m n n m x y m n y x + = − ແກ້: (i) ກໍານົດໃຫ້ 1 2cos x x = + 2 x x − + = 2 cos 1 0 2 2cos 4cos 4 2 x − = x i = cos sin ໃຫ້ x i = + cos sin ແລ້ວ (cos sin ) n n x i = + = + cos sin n i n ແລະ ( ) 1 1 cos sin n n x i = + (cos sin ) n i − = + = − + − cos sin ( n i n ) ( ) = − cos sin n i n ( ) ( ) 1 cos sin cos sin n n x n i n n i n x + = + + − = 2cos n ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ໂດຍໃຫ້ x i = − cos sin , ພວກເຮົາສາມາດວ່າ: 1 2cos n n x n x + = (ii) ໜຶື່ງຄ່າຂອງ x i = + cos sin , ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ໜຶື່ງຄ່າຂອງ y i = + cos sin m n n m x y y x + ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin cos sin cos sin m n n m i i i i + + = + + + cos sin cos sin cos sin cos sin m i m n i n n i n m i m + + = + + +
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 131 ( )( ) 1 cos sin cos sin m i m n i n − = + + + ( )( ) 1 cos sin cos sin n i n m i m − + + = + − + − + (cos sin cos sin m i m n i n ) ( ) ( ) (cos sin cos sin n i n m i m + − + − ) ( ) ( ) = − + − + − + − cos sin cos sin (m n i m n n m i n m ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − − − cos sin cos sin (m n i m n m n i m n ) ( ) ( ) ( ) = − 2cos(m n ) ຕົວຢ່າງ 5: ຖ້າ cos sin 2 2 r r r x i = + ແລ້ວພິສູດວ່າ: 1 2 3 x x x = −1 ແກ້: cos sin 2 2 r r r x i = + ໃຫ້ r =1,2,3, ຕາມລໍາດັບ, ພວກເຮົາໄດ້: 1 cos sin 2 2 x i = + 2 2 2 cos sin 2 2 x i = + 3 3 3 cos sin 2 2 x i = + 1 2 3 2 2 3 3 cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 x x x i i i = + + + 2 3 2 3 cos sin 2 2 2 2 2 2 i = + + + + + + + 2 2 cos sin 1 1 1 1 2 2 i = + − − = + cos sin i = − + ( 1 0 ) i( ) =−1 ຕົວຢ່າງ 6: ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 cos tan m m m n n n m b a ib a ib a b n a − + + − = + ແກ້: ໃຫ້ a r = cos , b r = sin ແລ້ວ ( ) 1 2 2 2 2 2 2 a b r r a b + = = + ແລະ 1 tan tan b b a a − = = ( ) ( ) m m a ib a ib + + − n n (cos sin cos sin ) ( ) m m n n = + + − r i r i (cos sin cos sin ) ( ) m m m n r i i n n = + + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 132 cos sin cos sin m n m m m m r i i n n n n = + + − 2 cos m n m r n = ( ) 2 2 1 2 2 cos tan m n m b a b n a − = + ຕົວຢ່າງ 7: ຖ້າຮາກຂອງສົມຜົນຂັື້ນສອງ 2 x x − + = 2 cos 1 0 ແມ່ນ: , ແລ້ວຊອກຫາສົມຜົນທີື່ມີຮາກແມ່ນ n , n ແກ້: ໃຫ້ສົມຜົນແມ່ນ: 2 x x − + = 2 cos 1 0 x i = cos sin ໃຫ້ = + cos sin i ແລະ = − cos sin i (cos sin cos sin ) ( ) n n n n + = + + − i i = + + − (cos sin cos sin n i n n i n ) ( ) = 2cos n ແລະ (cos sin cos sin ) ( ) n n n n = + − i i = + − (cos sin cos sin n i n n i n )( ) 2 2 = + cos sin n i n = 1 ດັົ່ງນັື້ນ, ສົມຜົນທີື່ມີຮາກແມ່ນ n , n ແມ່ນ ( ) 2 0 n n n n x x − + + = ( ) 2 x n x − + = 2cos 1 0 ຕົວຢ່າງ 8: ຖ້າ cos cos cos sin sin sin 0 + + = + + = ແລ້ວພິສູດວ່າ: cos3 cos3 cos3 3cos + + = + + ( ) ແລະ sin3 sin3 sin3 3sin + + = + + ( ) ແກ້: ຖ້າສົມມຸດວ່າ: a i = + cos sin b i = + cos sin c i = + cos sin ແລ້ວ abc + + = + + + + + (cos sin cos sin cos sin i i i ) ( ) ( ) = + + + + + (cos cos cos sin sin sin ) i( ) = +0 0 i( ) = 0 ຮູບຮ່າງພຶິດຊະຄະນິດ 3 3 3 a b c abc + + = 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 + + + + + cos sin cos sin cos sin i i i = + + + 3 cos sin cos sin cos sin ( i i i )( )( ) + + + + + (cos3 sin3 cos3 sin3 cos3 sin3 i i i ) ( ) ( ) = + + + + + 3 cos sin ( ) i ( )
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 133 ທຽບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ, ພວກເຮົາໄດ້: cos3 cos3 cos3 3cos + + = + + ( ) ແລະ sin3 sin3 sin3 3sin + + = + + ( ) ຕົວຢ່າງ 9: ຖ້າ x i = + cos sin ແລະ 2 1 1 − = − c nc ແລ້ວພິສູດວ່າ: 1 cos 1 1 ( ) 2 c n c nx n x + = + + ແກ້: x i = + cos sin .....(i) 1 1 cos sin cos sin i x i = = − + .....(ii) ນອກຈາກນີື້ 2 1 1 − = − c nc ຍົກກໍາລັງສອງທັງສອງຟາກ 2 2 2 1 2 1 − = − + c n c nc ( ) 2 2 c n nc 1 2 − = ( ) 2 c n n 1 2 − = .....(iii) ຈາກ (1 1 ) 2 c n nx n x + + 2 1 2 c n nx n n x = + + + ( ) 2 1 1 2 2 c c n n x n n x = + + + ( ) 2 1 1 2 2 c c n x n x = + + + ( ) 2 cos sin cos sin 2 2 n c i i n = + + + − ນໍາໃຊ້ (i), (ii) , (iii) 1 2cos 2 c = + = +1 cos c ຕົວຢ່າງ 10: ຖ້າ (a ib a ib a ib A iB 1 1 1 1 + + + = + )( ) ( n n ) ແລ້ວພິສູດວ່າ: (i) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n a b a b a b A B + + + = + (ii) 1 1 1 1 1 2 1 2 tan tan tan tan n n b b b B a a a A − − − − + + + = ແກ້: ຖ້າ a ib r i 1 1 1 1 1 + = + (cos sin ) ທຽບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ, ພວກເຮົາໄດ້: 1 1 1 a r = cos ແລະ 1 1 1 b r = sin ຂ ື້ນກໍາລັງທັງສອງຟາກ ແລ້ວບວກ, ພວກເຮົາໄດ້: 2 2 2 1 1 1 a b r + = ໃນການຫານ, ພວກເຮົາໄດ້: 1 1 1 tan b a =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 134 1 1 1 1 tan b a − = ໃນທໍານອງດຽວກັນ, 2 2 2 2 2 2 r a b = + , 1 2 2 2 tan b a − = 2 2 2 3 3 3 r a b = + , 1 3 3 3 tan b a − = 2 2 2 n n n r a b = + , 1 tan n n n b a − = ຕອນນີື້, ໄດ້ຮັບແລ້ວວ່າ: (a ib a ib a ib A iB 1 1 1 1 + + + = + )( ) ( n n ) r i r i r i A iB 1 1 1 2 2 2 (cos sin cos sin cos sin + + + = + ) ( ) n n n ( ) r r r i A iB 1 2 1 2 1 2 n n n cos sin ( + + + + + + + = + ) ( ) ທຽບພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ ທັງສອງຟາກ, ພວກເຮົາໄດ້: rr r A 1 2 1 2 n n cos( + + + =) .....(i) rr r B 1 2 1 2 n n sin( + + + =) .....(ii) ຂ ື້ນກໍາລັງທັງສອງຟາກ ແລ້ວບວກ (i) ແລະ (ii) , ພວກເຮົາໄດ້: 2 2 2 2 2 1 2 n r r r A B = + ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n a b a b a b A B + + + = + ຫານ (ii) ດ້ວຍ (i) ພວກເຮົາໄດ້: tan ( 1 2 n ) B A + + + = 1 1 2 n tan B A − + + + = 1 1 1 1 1 2 1 2 tan tan tan tan n n b b b B a a a A − − − − + + + =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 135 ບົດເຝີກຫັດ ເພີື່ມເຕີມ 1 1. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ ( ) ( ) 5 3 cos3 sin cos3 sin + − i i 2. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ ( )( ) ( )( ) cos sin cos sin cos sin cos sin i i i i + + + + 3. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ ( ) ( ) 4 3 cos sin cos sin i i + − 4. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ ( ) ( ) 4 5 cos sin cos cos i i + + 5. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ 3 2 2 cos sin 7 7 cos sin 7 7 i i + − 6. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ 1 2 1 2 cos sin 6 6 cos sin 6 6 i i − + 7. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 7 5 cos3 sin 3 cos sin cos5 sin 5 cos 2 sin 2 i i i i + − + − 8. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 12 6 cos 2 sin 2 cos3 sin 3 cos 4 sin 4 cos5 sin 5 i i i i − − − + + − 9. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ 10 10 3 cos sin cos sin 15 15 15 15 2 2 cos sin 3 3 i i i + + − + 10. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນສໍານວນ 5 2 3 4 cos sin cos sin 3 3 3 3 cos sin cos sin 3 3 3 3 i i i i − − + − + − 11. ຖ້າ x i = + cos sin , y i = + cos sin ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: tan 2 x y i x y − − = + 12. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) 1 1 cos sin 1 cos sin 2 cos cos 2 2 n n n n n i i + + + + + − = 13. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1 cos sin cos sin 1 cos sin n i n i n i + + = + + − 14. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1 sin cos cos sin 1 sin cos 2 2 n i n i n i + + = − + − + − 15. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: (sin cos cos sin ) 2 2 n i n i n + = − + −
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 136 16. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) 1 1 sin cos 1 sin cos 2 cos cos 4 2 4 2 n n n n i i n + + + + + − = − − 17. ຖ້າ p i = + cos 2 sin 2 , q i = + cos 2 sin 2 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 2cos( ) p q q p + = − ແລະ 2 sin ( ) p q i q p − = − 18. ຖ້າ a i = + cos sin , b i = + cos sin , c i = + cos sin ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: (i) 2cos( ) ab c c ab + = + − (ii) ( )( )( ) 8cos cos cos 2 2 2 b c c a a b abc + + + − − − = 19. ຖ້າ a i = + cos 2 sin 2 ດ້ວຍພົດທີື່ຄ້າຍກັນສໍາລັບ b ແລະ c ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) 1 abc 2cos abc + = + + 20. ຖ້າ 1 2cos a a = + , 1 2cos b b = + , … ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ໜຶື່ງຄ່າຂອງ (i) 1 ab ab + ແມ່ນ 2cos( + ) (ii) 1 abc abc + ແມ່ນ 2cos( + + ) (iii) p q r 1 p q r a b c a b c + ແມ່ນ 2cos( p q + + ) 21. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) 1 2 1 1 2 cos 4 n n n n i i + + + − = 22. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) 1 3 3 2 cos 6 n n n n i i + + + − = 23. ຖ້າ , ແມ່ນຮາກຂອງ 2 x x − + = 2 4 0 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: 1 2 cos 3 n n n n + + = 24. ຖ້າ (1 1 2 1 3 1 + + + + = + i i i ni x iy )( )( ) ( ) ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) 2 2 2 2 5 10 1+ = + n x y 25. ຖ້າ 1 1 1 x x x i i i A iB a b c + + + = + ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 2 2 2 222 1 1 1 x x x A B a b c + + + = + 26. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ຄ່າທົົ່ວໄປຂອງ ສໍາລັບສົມຜົນ (cos sin cos2 sin 2 + + i i )( ) ຫາ n ພົດເທົົ່າ −1 ແມ່ນ ( ) 4 1 r n n + ເມ ື່ອ r ແມ່ນບາງຈໍານວນຖ້ວນ. 27. ຖ້າ cos cos cos sin sin sin 0 + + = + + = ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 0 + + = + + = 28. ຖ້າ cos 2cos 3cos sin 2sin 3sin 0 + + = + + = ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: cos3 8cos3 27cos3 18cos + + = + + ( ) ແລະ sin3 8sin3 27sin3 18sin + + = + + ( )
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 137 ❖ ເພ ື່ອຫາຮາກ q ຂອງ (q), p ແລະ q ເລີື່ມຕົື້ນຈໍານວນມູນຖ້ວນຫາອ ື່ນໆ ພວກເຮົາໄດ້ເຫັນໃນບົດຄວາມຄໍາຊີື້ແຈງ ຖ້າວ່າ: n ແມ່ນເສດສ່ວນໜຶື່ງຂອງຄ່າຂອງ (cos sin ) n + i ແມ່ນ cos sin n i n + . ພວກເຮົາຈະຊອກຫາຄ່າອ ື່ນຂອງ (cos sin ) n + i . ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: (cos sin cos 2 sin 2 ) ( ) ( ) n n + = + + + i r i r ເມ ື່ອ r ແມ່ນບາງຈໍານວນຖ້ວນ. ໃຫ້ p n q = ເມ ື່ອ p ແລະ q ແມ່ນ ຈໍານວນມູນຖ້ວນຫາອ ື່ນໆ. ແລ້ວພວກເຮົາມີ ( ) ( ) ( ) (2 2 ) ( ) cos sin cos 2 sin 2 cos sin p p q q r p r p i r i r i q q + + + = + + + = + ໃຫ້ r q = − 0,1,2, , 1 ພວກເຮົາຊອກຫາຕາມ q ຄ່າຂອງ (cos sin ) p q + i cos sin , p p i q q + cos 2 sin 2 , ( ) ( ) p p i q q + + + cos 4 sin 4 , ( ) ( ) p p i q q + + + cos 2 1 sin 2 1 ( ) ( ) p p q i q q q + − + + − ຖ້າພວກເຮົາໃຫ້ r q q = + , 1, , ພວກເຮົາພົບວ່າ: ຊຼຸດຂໍໍ້ມູນຂ້າງເທິງຖ ກເຮັດຊໍໍ້າອີກຄັື້ງ. ນອກຈາກນັື້ນ, ບໍໍ່ມີຄ່າ ສອງຄ່າຂອງຊຼຸດຂໍໍ້ມູນຂ້າງເທິງເທົົ່າກັນ. ເພາະສະນັື້ນ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບຄ່າ q ທີື່ແຕກຕ່າງກັນຂອງ (cos sin ) p q + i ໝາຍເຫດ: ບົດຄວາມຂ້າງເທິງເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາຄົື້ນພົບຮາກຂອງຈໍານວນຈິງ ແລະ ຈໍານວນສົນ. ສິື່ງທີື່ພວກເຮົາ ຕ້ອງເຮັດຄ ໃສ່ປະລິມານທີື່ກໍານົດໃນຮູບແບບ (cos sin +i ) ແລ້ວເຮັດຕາມວິທີການຂອງບົດຄວາມຂ້າງເທິງ. ຕົວຢ່າງ 11: ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 1 1 4 ແກ້: ( ) ( ) 1 1 1 cos0 sin 0 4 4 = + i ( ) ( ) 1 4 = + + + cos 2 0 sin 2 0 r i r ( ) 1 = + cos 2 sin 2 r i r 4 2 2 cos sin 4 4 r r i = + cos sin 2 2 r r i = + ໃຫ້ r = 0,1,2,3; ຄ່າທີື່ຕ້ອງການແມ່ນ: cos0 sin 0 + i ; cos sin 2 2 i + ; cos sin + i ; 3 3 cos sin 2 2 i + ຕົວຢ່າງ: 1 0 + i ; 0 1 + i ; − +1 0i ; 0 1 + − i( ) 1 ; i ; −1 ; −i 1 ; i
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 138 ຕົວຢ່າງ 12: ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 1 −1 3 ແກ້: − = + 1 cos sin i ( ) ( ) 1 1 1 cos sin 3 3 − = + i ( ) ( ) 1 3 = + + + cos 2 sin 2 r i r (2 1 2 1 ) ( ) cos sin 3 3 r r + + = + ໃຫ້ r = 0,1,2; ຄ່າທີື່ຕ້ອງການແມ່ນ: cos sin 3 3 i + ; cos sin + i ; 5 5 cos sin 3 3 i + ຕົວຢ່າງ: 1 3 2 2 + i ; − +1 0i ; cos 2 sin 2 3 3 i − + − 1 3 2 + i ; −1 ; cos sin 3 3 i − 1 3 2 + i ; −1 ; 1 3 2 2 −i 1 3 2 + i ; −1 ; 1 3 2 −i −1 ; 1 3 2 i ຕົວຢ່າງ 13: ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 1 8 3 i ແກ້: 8 8 cos sin 2 2 i i = + ( ) 1 1 3 8 8 cos sin 3 2 2 i i = + 1 3 2 cos 2 sin 2 2 2 r i r = + + + ( ) ( ) 1 3 4 1 4 1 2 cos sin 2 2 r r i + + = + (4 1 4 1 ) ( ) 2 cos sin 6 6 r r i + + = + ໃຫ້ r = 0,1,2; ຄ່າທີື່ຕ້ອງການແມ່ນ: 2 cos sin 6 6 i + ; 5 5 2 cos sin 6 6 i + ; 3 3 2 cos sin 2 2 i + ຕົວຢ່າງ: 3 1 2 2 + i ; 2 cos sin 6 6 i − + ; 2 0 1 + − i( )