ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 139 3 +i ; 3 1 2 2 2 i + ; −2i 3 +i ; − +3 i ; −2i ຕົວຢ່າງ 14: ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) 1 6 −i ແກ້: 3 3 cos sin 2 2 i i − = + ( ) 1 1 6 6 3 3 cos sin 2 2 i i − = + 1 3 3 6 cos 2 sin 2 2 2 r i r = + + + ( ) ( ) 1 6 4 3 4 3 cos sin 2 2 r r i + + = + (4 3 4 3 ) ( ) cos sin 12 12 r r i + + + ໃຫ້ r = 0,1,2,3,4,5; ຄ່າທີື່ຕ້ອງການແມ່ນ: 3 3 cos sin 12 12 i + ; 7 7 cos sin 12 12 i + ; 11 11 cos sin 12 12 i + ; 15 15 cos sin 12 12 i + ; 19 19 cos sin 12 12 i + ; 23 23 cos sin 12 12 i + ຕົວຢ່າງ: 3 3 cos sin 12 12 i + ; 7 7 cos sin 12 12 i + ; 11 11 cos sin 12 12 i + ; 3 cos sin 12 12 i − − ; 7 7 cos sin 12 12 i − − ; 11 11 cos sin 12 12 i − − 3 3 cos sin 12 12 i + ; 7 7 cos sin 12 12 i + ; 11 11 cos sin 12 12 i + cos sin 12 12 r r i + ໂດຍທີື່ r = 3,7,11 ຕົວຢ່າງ 15: ຈົົ່ງຊອກຫາທຸກໆ ຄ່າຂອງ 3 4 1 3 2 2 i + ແລະ ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຜົນຄູນຕໍໍ່ເນ ື່ອງແມ່ນ 1 ແກ້: ໃຫ້ ( ) 1 3 cos sin 2 2 + = + i r i ສົມຜົນພາກສ່ວນຈິງ ແລະ ພາກສ່ວນສໍານຶກ, ພວກເຮົາໄດ້: 1 cos 2 r = ແລະ 3 sin 2 r = ຂ ື້ນກໍາລັງສອງທັງສອງຟາກ ແລ້ວບວກກັນ, ພວກເຮົາໄດ້: 2 1 3 1 4 4 r = + = r =1
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 140 1 1 cos 2 2 r = = ແລະ 3 3 sin 2 2 r = = ສົມຜົນທັງສອງນີື້ມີຄວາມພໍດີເມ ື່ອ 3 = 1 3 1 cos sin 2 2 3 3 i i + = + 3 1 3 4 4 1 3 cos sin 2 2 3 3 i i + = + ( ) 1 cos sin 4 = + i ( ) ( ) 1 4 = + + + cos 2 sin 2 r i r (2 1 2 1 ) ( ) cos sin 4 4 r r i + + = + ໃຫ້ r = 0,1,2,3; ຄ່າທີື່ຕ້ອງການແມ່ນ: cos sin 4 4 i + ; 3 3 cos sin 4 4 i + ; 5 5 cos sin 4 4 i + ; 7 7 cos sin 4 4 i + ຕົວຢ່າງ: 1 2 + i ; 1 2 − + i ; 1 2 − −i ; 1 2 −i 1 2 i ; 1 2 − i ຜົນຄູນທີື່ຕ້ອງການແມ່ນ: 3 5 7 3 5 7 cos sin 4 4 4 4 4 4 4 4 i = + + + + + + + = + cos 4 sin 4 i = 1 ຕົວຢ່າງ 16: ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: n , ຮາກຂັື້ນ n ຂອງຮູບຮ່າງຫົວໜ່ວຍຂອງເຊຣີໃນ G.P. (Geometric Progression). ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: (i) ຜົນຄູນແມ່ນ ( ) 1 1 n− − (ii) ຜົນບວກຂອງ p ກໍາລັງຈະຫ າຍໄປສະເໝີ, ຍົກເວັື້ນແຕ່ p ຈະເປັນຜົນຄູນຂອງ n ( p ເປັນຈໍານວນ ຖ້ວນ) ແລະ ແລ້ວຜົນບວກແມ່ນ n (iii) ຖ້າ ແມ່ນບາງຮາກຂັື້ນ n ຂອງຫົວໜ່ວຍອ ື່ນຂອງຫົວໜ່ວຍ, ແລ້ວ 2 1 1 0 n − + + + + = ແກ້: ພວກເຮົາຕ້ອງປະເມີນ 1 cos sin 0 = + i ( ) ( ) 1 1 1 cos sin 0 n n = + i ( ) ( ) 1 cos 2 0 sin 2 0 n = + + + r i r ( ) 1 = + cos 2 sin 2 r i r n 2 2 cos sin r r i n n = + ໃຫ້ r n = − 0,1,2, , 1 ; ( ) ທີື່ n , ຮາກຂັື້ນ n ຂອງຫົວໜ່ວຍແມ່ນ:
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 141 cos0 sin 0 + i ; 2 2 cos sin i n n + ; 4 4 cos sin i n n + ; ; (2 1 2 1 ) ( ) cos sin n n i n n − − + ຖ້າ 2 2 cos sin i n n = + ແລ້ວ 2 2 2 2 4 4 cos sin cos sin i i n n n n = + = + 3 3 2 2 6 6 cos sin cos sin i i n n n n = + = + ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 cos sin cos sin n n n n i i n n n n − − − − = + = + ສະນັື້ນ, ທີື່ n , ຮາກຂັື້ນ n ຂອງຮູບຮ່າງຫົວໜ່ວຍແມ່ນ: 3 2 1 1, , , , , n − ໂດຍທີື່ 2 2 cos sin 1 i n n = + ຮາກເຫ ົົ່ານີື້ສ້າງຂ ື້ນໂດຍ ຮູບຮ່າງ G.P. ເຊິື່ງມີອັດຕາສ່ວນຮ່ວມແມ່ນ: (i) ຜົນຄູນຂອງ n , ຮາກຂັື້ນ n ຂອງຫົວໜ່ວຍແມ່ນ: 2 3 1 1 n − = 1 2 3 1 (n ) + + + + − = ( ) 1 1 1 2 n n − + − = ( 1) 2 n n − = ( 1) 2 2 2 cos sin n n i n n − = + ( 1) 2 2 2 cos sin n n i n n − = + ( ) 1 cos sin n i − = + ( ) 1 1 n− = − (ii) ຜົນບວກຂອງ p ຍົກກໍາລັງ n , ຮາກຂັື້ນ n ຂອງຫົວໜ່ວຍແມ່ນ: ( ) ( ) ( ) 2 1 p p p = = + + + Sn ຮອດ n ພົດ 2 1 p p = + + + ຮອດ n ພົດ ເຊິື່ງເປັນ G.P. ດ້ວຍອັດຕາສ່ວນຮ່ວມ p r = ຕອນນີື້ມີຢູ່ສອງກໍລະນີ ກໍລະນີ 1: ຖ້າ p ແມ່ນຜົນຄູນຂອງ n , ໃຫ້ p kn = ແລ້ວອັດຕາສ່ວນຮ່ວມ 2 2 cos sin kn p i n n = + = + cos 2 sin 2 k i k 111 n S = + + + ຮອດ n ພົດ = n ກໍລະນີ 2: ຖ້າ p ບໍໍ່ແມ່ນຜົນຄູນຂອງ n , ແລ້ວອັດຕາສ່ວນຮ່ວມ 1 p
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 142 1 1 ( ) 1 n p n p S − = − 1 1 np p − = − 2 2 1 cos sin 1 np p i n n − + = − 1 cos 2 sin 2 ( ) 1 p p i p − + = − 1 1 0 ( ) 1 p i − + = − 0 1 p = − = 0 (iii) 2 1 1 n − + + + + 1 1( ) 1 n − = − 1 1 n − = − 2 2 1 cos sin 1 n i n n − + = − 1 cos 2 sin 2 ( ) 1 i − + = − 1 1 0 ( ) 1 i − + = − 1 1 1 − = − 0 1 = − = 0 ຕົວຢ່າງ 17: ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ 6 5 4 3 2 x x x x x x + + + + + + =1 0 ແກ້: ໃຫ້ສົມຜົນແມ່ນ 6 5 4 3 2 x x x x x x + + + + + + =1 0 ..... 1( ) ຄູນທັງສອງຟາກດ້ວຍ ( x −1) , ພວກເຮົາໄດ້: 7 x − =1 0 ..... 2( ) 7 x =1 ( ) 1 x = 1 7 ( ) 1 cos0 sin 0 7 = + i ( ) ( ) 1 7 = + + + cos 2 0 sin 2 0 r i r
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 143 ( ) 1 = + cos 2 sin 2 r i r 7 2 2 cos sin 7 7 r r i = + ໃຫ້ r = 0,1,2,3,4,5,6; ຮາກຂັື້ນເຈັດຂອງ (2) ແມ່ນ: cos0 sin 0 + i ; 2 2 cos sin 7 7 i + ; 4 4 cos sin 7 7 i + ; 6 6 cos sin 7 7 i + ; 8 8 cos sin 7 7 i + ; 10 10 cos sin 7 7 i + ; 12 12 cos sin 7 7 i + ແຕ່ 8 8 6 6 6 6 cos sin cos 2 sin 2 cos sin 7 7 7 7 7 7 i i i + = − + − = − 10 10 4 4 4 4 cos sin cos 2 sin 2 cos sin 7 7 7 7 7 7 i i i + = − + − = − 12 12 2 2 2 2 cos sin cos 2 sin 2 cos sin 7 7 7 7 7 7 i i i + = − + − = − ສະນັື້ນ, ຮາກຂອງ (2) ແມ່ນ: 1 ; 2 2 cos sin 7 7 i ; 4 4 cos sin 7 7 i ; 6 6 cos sin 7 7 i ຫ 1 ; cos sin 7 7 r r i ໂດຍທີື່ r = 2,4,6 ຮາກຂອງ 1 ສອດຄ້ອງກັບຕົວປະກອບ x −1 ສະນັື້ນ, ຮາກທີື່ເຫ ອອີກຫົກຮາກຄ ຮາກຂອງສົມຜົນທີື່ກໍານົດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຮາກຂອງ (1) ຖ ກກໍານົດໂດຍ cos sin 7 7 r r i ໂດຍທີື່ r = 2,4,6 ຕົວຢ່າງ 18: ຈົົ່ງພິສູດ ໂດຍນໍາໃຊ້ທິດສະດີມົວຣ໌ ວ່າ: ຮາກຂອງສົມຜົນ ( 1) n n x x − = ( n ຈໍານວນຖ້ວນບວກ) ແມ່ນ 1 1 cot 2 r i n + ໂດຍທີື່ r n = − 1,2, , 1 ແກ້: ( 1) n n x x − = 1 1 n x x − = 1 cos0 sin 0 n x i x − = + = + + + cos 2 0 sin 2 0 ( r i r ) ( ) ນໍາຮາກຂັື້ນ n ເຂົື້າທັງສອງຟາກ, ພວກເຮົາໄດ້: ( ) 1 1 cos 2 sin 2 n x r i r x − = + 2 2 cos sin r r i n n = + ຫ 1 2 2 1 cos sin r r i x n n − = + ໂດຍທີື່ r n = − 0,1,2, , 1 ໂດຍທີື່ r = 0 ພວກເຮົາມີ 1 1 0 1 x x − = =
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 144 ແຕ່ x =1 ບໍໍ່ເປັນຕາມສົມຜົນທີື່ກໍານົດ, ແທ້ທີື່ຈິງແລ້ວ ການໃຫ້ສົມຜົນແມ່ນຂອງຂັື້ນ n −1 ແລະ ບໍໍ່ແມ່ນ ຂອງ n ຕັື້ງແຕ່ n x ຍົກເລີກທັງສອງຟາກ. r n = − 0,1,2, , 1 ໃສ່ 2r n = ກໍໍ່ຈະກາຍເປັນ 1 1 cos sin i x − = + 1 1 cos sin i x = − − 1 1 cos sin x i = − − 2 1 2sin 2 sin cos 2 2 2 i = − 1 2sin sin cos 2 2 2 i = − 2 2sin sin cos 2 2 2 i i i = − 2sin cos sin 2 2 2 i i = + cos sin 2 2 2sin 2 i i − = 1 2 cot 2 2 i i = − 1 1 cot 2 2 i = + ດັົ່ງນັື້ນ, 1 1 cot 2 r x i n = + ໂດຍທີື່ r n = − 1,2,3, , 1
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 145 ບົດເຝີກຫັດ ເພີື່ມເຕີມ 2 1. ຈົົ່ງຊອກຫາທຸກຄ່າຂອງ (i) ( ) 1 1 3 (ii) ( ) 1 −1 4 (iii) ( ) 1 −1 5 (iv) ( ) 1 −1 6 (v) ( ) 1 3 i (vi) ( ) 1 4 i 2. ຈົົ່ງຊອກຫາຫ້າຮາກຂັື້ນສິບຫ້າຂອງຫົວໜ່ວຍ ແລະ ສະແດງວ່າ: ຜົນບວກຂອງມັນທີື່ຫາຍໄປ. 3. ຈົົ່ງຊອກຫາທຸກໆ ຄ່າຂອງ ( ) 3 4 1 3 + − ແລະ ສະແດງວ່າ: ຜົນຄູນຕໍໍ່ເນ ື່ອງແມ່ນ 8 4. ຈົົ່ງຊອກຫາທຸກຄ່າຂອງ (i) ( ) 1 1 3 + i (ii) ( ) 2 1 3 + i (iii) ( ) 1 3 3 + i (iv) ( ) 1 3 1 3 − i 5. ຈົົ່ງຄັດຈ້ອນ 1 2 2 4 cos sin 3 3 i + ແລະ ສະແດງອອກມາໃນຮູບຮ່າງງ່າຍດາຍຈາກພົດໄຕມຸມມິຕິ. 6. ຈົົ່ງຊອກຫາທຸກໆ ຄ່າຂອງ ( ) 1 32 5 7. ຈົົ່ງຂຽນ n ຮາກຂັື້ນ n ຂອງ −1 ແລະ ສະແດງວ່າ: (i) ບໍໍ່ມີສອງສິື່ງນີື້ເທົົ່າກັນ. (ii) ມີໜຶື່ງຮາກສາມາດສະແດງເປັນກໍາລັງຂອງອ ື່ນໆ ໄດ້. 8. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ 5 x − =1 0 ແລະ ສະແດງວ່າ: ຜົນບວກຂອງກໍາລັງຂັື້ນ n ຂອງຮາກ ຫາຍໄປສະເໝີ, ເວັື້ນແຕ່ n ຈະເປັນທະວີຄູນຂອງ 5 , n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນ. 9. ຈົົ່ງແກ້ 7 x − =1 0 ແລະ ພິສູດວ່າ: ຜົນບວກຍົກກໍາລັງຂັື້ນ n ຂອງຮາກແມ່ນ 7 ຫ 0 , ຕາມທີື່ n ແມ່ນ ຫ ບໍໍ່ ແມ່ນຜົນຄູນຂອງ 7 10. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ 4 3 2 x x x x − + − + =1 0 11. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ 7 4 3 x x x + + + =1 0 12. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ 9 5 4 x x x − + − =1 0 13. ຈົົ່ງແກ້ສົມຜົນ 12 x − =1 0 ແລະ ຊອກຫາວ່າ: ຮາກໃດເໝາະສົມກັບສົມຜົນ 4 2 x x + + =1 0 14. ຈົົ່ງແກ້ 10 5 x x + − = 11 1 0 15. ຈົົ່ງແກ້ (1 1 ) ( ) n n + = − x x
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 146 ຄໍາຕອບ ບົດເຝີກຫັດ ເພີື່ມເຕີມ 1 1. cos12 sin12 + i 2. cos sin ( + − − + + − − ) i ( ) 3. cos7 sin 7 + i 4. sin 4 5 cos 4 5 ( + − + ) i ( ) 5. i 6. cos sin 6 6 i − 7. cos13 sin13 −i 8. cos107 sin107 −i 9. −1 10. 1 3 2 − + i ບົດເຝີກຫັດ ເພີື່ມເຕີມ 2 1. (i) 1, 1 3 2 − i (ii) 1 2 i , 1 2 − i (iii) cos sin 5 5 i , −1, 3 3 cos sin 5 5 i (iv) i , 3 2 i , 3 2 − i (v) 3 2 + i , 3 2 − + i , −i (vi) cos sin 8 8 i + , 5 5 cos sin 8 8 i + 2. 1, 2 2 cos sin 5 5 i + , 4 4 cos sin 5 5 i + , 6 6 cos sin 5 5 i + , 8 8 cos sin 5 5 i + 4. (i) 1 6 2 cos sin 12 12 r r i + , r =1,9,17 (ii) 1 3 3 2 2 + i , 1 3 3 2 2 − + i , 1 3 −2 i (iii) 1 3 2 cos sin 18 18 r r i + , r =1,13,25 (iv) 1 3 2 cos sin 9 9 r r i + , r =1,7,13 5. 3 2 + i , 1 3 2 − i 6. 2 , 2 2 2 cos sin 5 5 i , 4 4 2 cos sin 5 5 i 10. cos sin 5 5 r r i , r =1,3
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 147 11. −1, 1 2 i , 1 2 − i , 1 3 2 i 12. −1, 1, i , cos sin 5 5 r r i + ໂດທີື່ r =1,3 13. 1, i , 3 2 i , 1 3 2 i ຮາກທົົ່ວໄປແມ່ນ 1 3 2 i , 1 3 2 − i 14. 5 1 2 − , 2 2 cos sin 5 5 r r i ໂດທີື່ r = 0,1,2 15. tan r x i n = ໂດທີື່ r n = − 0,1,2, , 1
ພ ື້ນຖານຕໍາລາຈໍານວນສົນ Fundamental Function of Complex Numbers 148 ເອກະສານອ້າງອີງ ສວສ. (2004). ແບບຮຽນ ພຶດຊະຄະນິດ-ເລຂາຄະນິດ, ຊັື້ນມັດທະຍົມສຶກສາ ປີທີ 6. ພິມທີື່ ວິສາຫະກິດໂຮງພິມສຶກ ສາ. ພັດຊາລາ ໄຊສຸຣິຍາ (2544). ຕໍາລາຂອງຕົວປ່ຽນສົນ (Functions of one Complex Variable). ສໍານັກພີມ ມະຫາວິທະຍາໄລຮາມຄໍາແຫງ. A. David Wunsch (2005). Complex Variable with Applications, Third Edition. Publisher: Greg Tobin. A. G. Sveshnokov, A. N. Tikhonov (1974). The Theory of Functions of a Complex Variable. MIR Publishers, Moscow. Deniel Alpay (2015). An Advanced Complex Analysis Problem Book. Printed on Acid-Free Paper, Springer International Publishing Switzerland. Dennis G. Zill, Patrick D. Shanahan (2003). A First Course in Complex Analysis with Applications. Printed in the United States of America. Hari Kishan. (2005). Trigonometry. Atlantic Publishers and Distributors, Delhi, India. James Ward Brown, Ruel V. Churchill (2009). Complex Variables and Applications, Eighth Edition. Published by McGraw-Hill. Joaquim Bruna, Julia Cufi (2013). Complex Analysis. European Mathematical Society Publishing House, Printed on Acid-Free Paper. Joe Erickson. Complex Analysis. John B. Reade (2003). Calculus with Complex Numbers. First Published by Taylor & Francis, London and New York. Juan Carlos Ponce Campuzano (2016). Complex Analysis Problems with Solutions. L. I. Volkovyskii, G. L. Lunts, I. G. Aramanovich (1956). A Collection of Problems on Complex Analysis. Dover Publications, Inc. Mineola, New York. Matthias Beck, Gerald Marchesi, Dennis Pixton, Lucas Sabalka (2002-2018). A First Course in Complex Analysis. Orthogonal Publishing L3C. Roland Deaux (1956). Introduction to the Geometry of Complex Numbers. Dover Publications, Inc. Mineola, New York. S. Ponnusamy, Herb Silverman (2006). Complex Variables with Applications. Printed in the United States of America.