45 เรื่องที่ 2 สัดส่วน สัดส่วนเป็นกำรเขียนแสดงกำรเท่ำกนัของอตัรำส่วนสองอตัรำส่วน เช่น a : b = c : d หรือ d c b a อ่ำนวำ่เอต่อบีเท่ำกบัซีต่อดี ตัวอย่ำงที่ จงหำค่ำ m ในสัดส่วน 12 5 m 3 วิธีที่ 1 12 5 m 3 5 3 12 5 3 5 m 3 (ทำ เศษใหเ้ท่ำกบั 3 โดยคูณด้วย 5 3 ) 7.2 3 m 3 ดงัน้นั m มีค่ำเท่ำกบั 7.2 วิธีที่ 2 12 5 m 3 12 5 m 3 (คูณไขว้) m 5 3 12 ดงัน้นั m = 7.2 กำรแก้โจทย์ปัญหำโดยใช้สัดส่วน ในชีวติประจำ วนัเรำจะพบสถำนกำรณ์ที่ตอ้งแกไ้ขปัญหำโดยกำรใชห้ลกักำรคิดคำ นวณ เช่น กำ หนดอตัรำส่วนของเครื่องดื่มโกโกส้ำ เร็จรูป 1ถว้ย ต่อผงโกโก้2 ชอ้นโตะ๊ต่อน้ำ ตำล 1 ชอ้นโตะ๊ต่อน้ำ ตม้ สุก1ถว้ย(1 : 2 : 1 : 1 ) หำกมีผงโกโกท้ ้งัหมด 30 ชอ้นโตะ๊ สมมติวำ่ชงเครื่องดื่มได้A ถว้ยใชน้ ้ำ ตำล B ช้อนโต๊ะ ครีมเทียม C ช้อนโต๊ะ และน้ำ ตม้ สุก D ถ้วย ดงัน้นัอตัรำส่วนของจำ นวนถว้ยโกโกท้ ี่ชงไดต้่อจำ นวนผงโกโก้เท่ำกบั1ถว้ย ต่อ2 ชอ้นโตะ๊หรือ A ถว้ย ต่อ30 ชอ้นโตะ๊ นนั่คือ 1 : 2 = A : 30 หรือ 2 1 = 30 A จะไดว้ำ่1 x 30 = A x 2 A = 15 ดงัน้นัผงโกโก้30 ชอ้นโตะ๊จะชงเครื่องดื่มได้15 ถว้ย
46 ตัวอย่ำง ซ้ือส้มโอมำ 3ลูกรำคำ 50 บำท ถำ้มีเงิน 350 บำท จะซ้ือส้มโอในอตัรำเดิมไดก้ี่ลูก วิธีท ำ สมมติมีเงิน 350 บำท ซ้ือส้มโอได้A ลูก รำคำของส้มโอ50 บำท ซ้ือได้3ลูก จะไดว้ำ ่ A 50 = 3 350 50 A50 = 50 3350 A = 21 จะซ้ือส้มโอได้21ลูก วิดีทัศน์ เรื่อง การค านวนสัดส่วนและการแก้โจทย์ปัญหา …
47 เรื่องที่ 3 ร้อยละ ในชีวิตประจ ำวัน ผเู้รียนจะเห็นวำ่เรำเกี่ยวขอ้งกบัร้อยละอยเู่สมอ เช่น กำรซ้ือขำย กำ ไร ขำดทุน กำรลดหรือกำรเพิ่มที่คิดเป็นร้อยละ กำรคิดภำษีมูลค่ำเพิ่ม ฯลฯ คำ วำ่ ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์เป็นอตัรำส่วนแสดงกำรเปรียบเทียบปริมำณใดปริมำณหน่ึง ต่อ 100 เช่น ร้อยละ 50 หรือ 50% เขียนแทนด้วย 50:100 หรือ 100 50 ร้อยละ 7 หรือ 7% เขียนแทนด้วย 7:100 หรือ 100 7 กำรเขียนอตัรำส่วนใดใหอ้ยใู่นรูปร้อยละ จะตอ้งเขียนอตัรำส่วนน้นั ใหอ้ยใู่นรูปที่มีจำ นวนหลงั อตัรำส่วนเป็น 100 ดงัตวัอยำ่งต่อไปน้ี 80 100 80 5 4 % 20 100 20 10 2 0.2 % กำรเขียนร้อยละใหเ้ป็นอตัรำส่วนทำ ไดโ้ดยเขียนอตัรำส่วนที่มีจำ นวนหลงัเป็น 100 ดงัตวัอยำ่ง ต่อไปน้ี 33% = 100 33 25.75 % = 400 103 10000 2575 100 25.75 ตวัอยำ่ง จงเขียน 7 3 ใหอ้ยใู่นรูปร้อยละ วิธีท ำ วิธีที่ 1 ทำ ใหอ้ตัรำส่วน 7 3 โดยมีจ ำนวนหลังของอตัรำส่วนเป็น 100 7 3 = 7 100 7 7 100 3 = 100 7 300 ดงัน้นั 7 3 คิดเป็ นร้อยละ 7 300 หรือ 7 300 % วิธีที่ 2 สมมติ 7 3 = ร้อยละ A หรือ 100 A 3 x 100 = A x 7 A = 7 300 7 3 100 วิดีทัศน์ เรื่อง ร้ อยละ และการเขียนอัตราส่วนในรูปของร้ อยละ …
48 กำรค ำนวณเกี่ยวกับร้อยละ ผเู้รียนเคยคำ นวณโจทยป์ ัญหำเกี่ยวกบัร้อยละมำแลว้โดยไม่ไดใ้ชส้ ัดส่วน ต่อไปน้ีจะเป็นกำรนำ ควำมรู้เรื่องสัดส่วนมำใชค้ำ นวณเกี่ยวกบัร้อยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลกัษณะ ดงัตวัอยำ่งต่อไปน้ี 1) 25% ของ 60 เท่ำกบัเท่ำไร หมำยควำมวำ่ ถ้ำมี 25 ส่วนใน 100 ส่วน แลว้จะมีกี่ส่วนใน 60 ส่วน ให้มี a ส่วนใน 60 ส่วน เขียนสัดส่วนไดด้งัน้ี 100 25 60 a จะได้ a 100 60 25 100 60 25 a ดงัน้นั a 15 นนั่คือ 25% ของ 60 คือ 15 2) 9 เป็นกี่เปอร์เซ็นตข์อง 45 หมำยควำมวำ่ ถ้ำมี 9 ส่วนใน 45 ส่วน แลว้จะมีกี่ส่วนใน 100 ส่วน ให้ 9 เป็ น x% ของ 45 แปลงใหอ้ยใู่นรูปสมกำรไดด้งัน้ี9= 100 x × 45 x% หมำยถึง 100 x เขียนสัดส่วนไดด้งัน้ี 100 x 45 9 จะได้ 9100 45 x 45 9 100 x ดงัน้นั x = 20 นนั่คือ 9 เป็ น 20% ของ 45 3) 8 เป็ น 25% ของจ ำนวนใด หมำยควำมวำ่ ถ้ำมี 25 ส่วนใน 100 ส่วน แล้วจะมี 8 ส่วนในกี่ส่วน ให้ 8 เป็ น 25% ของ y เขียนสัดส่วนไดด้งัน้ี 100 25 y 8 แปลงใหอ้ยใู่นรูปสมกำรไดด้งัน้ี8= 100 25 × y จะได้ 8100 y25 25 8 100 y ดงัน้นั y = 32 นนั่คือ 8 เป็ น 25% ของ 32 วิดีทัศน์ เรื่อง การเขียนร้ อยละในรูปอัตราส่วน
49 เรื่องที่ 4 กำรแก้โจทย์ปัญหำเกี่ยวกับอัตรำส่วน สัดส่วน และร้อยละ ใหน้กัเรียนพิจำรณำตวัอยำ่งโจทยป์ ัญหำและวธิีแกป้ ัญหำเกี่ยวกบัร้อยละ โดยใชส้ ัดส่วน หรือ อตัรำส่วน ต่อไปน้ี ตวัอยำ่ง 1 ในหมู่บำ้นแห่งหน่ึงมีคนอำศยัอยู่1,200คน 6% ของจำ นวนคนที่อำศยัอยใู่นหมู่บำ้นทำ งำนใน โรงงำนสับปะรดกระป๋องจงหำจำ นวนคนงำนที่ทำ งำนในโรงงำนแห่งน้ี วิธีท ำ ให้จ ำนวนคนที่ท ำงำนในโรงงำนสับปะรดกระป๋ อง เป็ น s คน อตัรำส่วนของจำ นวนคนที่ทำ งำนในโรงงำนต่อจำ นวนคนท้งัหมด เป็ น 1,200 s อตัรำส่วนดงักล่ำวคิดเป็น 100 6 6% เขียนสัดส่วนไดด้งัน้ี 100 6 1,200 s จะได้ s 100 1,200 6 100 1,200 6 s ดงัน้นั s 72 นนั่คือ จ ำนวนคนงำนที่ท ำงำนในโรงงำนสับปะรดกระป๋ องเป็ น 72 คน ตวัอยำ่ง 2 โรงเรียนแห่งหน่ึงมีนกัเรียน 1,800คน นกัเรียนคนที่หนกัเกิน 60กิโลกรัมมีอยู่81คน จงหำวำ่ จำ นวนนกัเรียนที่หนกัเกิน 60กิโลกรัม คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นตข์องจำ นวนนกัเรียนท้งัหมด วิธีท ำ ใหจ้ำ นวนนกัเรียนที่หนกัเกิน 60 กิโลกรัม เป็ น n% ของจำ นวนนกัเรียนท้งัหมด เขียนสัดส่วนไดด้งัน้ี 1,800 81 100 n จะได้ n 1,800 100 81 1,800 100 81 n ดงัน้นั n 4.5 นนั่คือ จำ นวนนกัเรียนที่หนกัเกิน 60 กิโลกรัมคิดเป็น 4.5% ของจำ นวนนกัเรียนท้งัหมด กำรแก้ปัญหำโจทย์อัตรำส่วน กำรแก้ปัญหำโจทย์สัดส่วน กำรแก้ปัญหำโจทย์ร้อยละ
50 กิจกรรมบทที่ 1 แบบฝึ กหัดที่ 1 1. จงเขียนอตัรำส่วนจำกขอ้ควำมต่อไปน้ี 1).ระยะทำงในแผนที่1 เซนติเมตรแทนระยะทำงจริง 100กิโลเมตร ……………………………………………………………………………………………... 2).รถยนตแ์ล่นไดร้ะยะทำง 200กิโลเมตรในเวลำ 3 ชวั่ โมง ……………………………………………………………………………………………... 3). โรงเรียนแห่งหน่ึงมีครู40คน นกัเรียน 1,000คน ……………………………………………………………………………………………... 4).อตัรำกำรเตน้ของหวัใจมนุษยเ์ป็น 72คร้ังต่อนำที ……………………………………………………………………………………………... 2. สลำกกินแบ่งรัฐบำลแต่ละงวดเป็นเลข6 หลกัเช่น 889748 ซ่ึงมีหมำยเลขต่ำงกนัท้งัหมด 1,000,000 ฉบบั ในจำ นวนท้งัหมดน้ีมีสลำกที่ถูกรำงวลัเลขทำ้ย2 ตวัท้งัหมด 10,000 ฉบบัถูกรำงวลัเลขทำ้ย3 ตวั4,000 ฉบับ และถูกรำงวัลที่ 1 อีก 1 ฉบับ จงเขียนอตัรำส่วนแสดงกำรเปรียบเทียบจำ นวนต่อไปน้ี 1) จ ำนวนที่ถูกรำงวลัที่1 ต่อท้งัหมด ……………………………………………………………………………………………... 2) จำ นวนที่ถูกรำงวลัเลขทำ้ย3 ตวัต่อท้งัหมด ……………………………………………………………………………………………... 3) จำ นวนที่ถูกรำงวลัเลขทำ้ย2 ตวัต่อท้งัหมด ……………………………………………………………………………………………... 4) อตัรำส่วนของสลำกที่ถูกรำงวลัเลขทำ้ย2 ตวัต่อเลขทำ้ย3 ตวั ……………………………………………………………………………………………... 3. พอ่คำ้จดัลูกกวำดคละสีขนำดเท่ำกนัลงในขวดโหลเดียวกนั โดยนบัเป็นชุดดงัน้ี“ลูกกวำดสีแดง 3 เม็ด สี เขียว 2 เม็ด สีเหลือง 5 เม็ด”จงหำ 1)อตัรำส่วนจำ นวนลูกกวำดสีแดงต่อลูกกวำดท้งัหมด ……………………………………………………………………………………………... 2) อตัรำส่วนของจำ นวนลูกกวำดสีแดงต่อลูกกวำดสีเหลือง ……………………………………………………………………………………………... 3) ถำ้สุ่มหยบิลูกกวำดข้ึนมำจำกโหลจำ นวน 5 เมด็น่ำจะไดลู้กกวำดสีใดมำกที่สุด เพรำะเหตุใด ……………………………………………………………………………………………...
51 แบบฝึ กหัดที่ 2 1.ถำ้อตัรำกำรแลกเปลี่ยนเงินดอลลำร์อเมริกำต่อเงินบำทเท่ำกบั1 ดอลลำร์: 43 บำท จงเติมรำคำเงินในตำรำง เงินดอลลำร์ (US) 1 2 3 10 20 งำนบำท 2.จงเขียนอตัรำส่วนที่เท่ำกบัอตัรำส่วนที่กำ หนดใหต้ ่อไปน้ีมำอีก3อตัรำส่วน 1) 3 2 = ............................................................................................................................... 2) 9 5 = ............................................................................................................................... 3.จงตรวจสอบวำ่อตัรำส่วนต่อไปน้ีเท่ำกนัหรือไม่ อตัรำส่วนที่กำ หนดไว้ พิจำรณำกำรคูณไขว้ ผลกำรตรวจสอบ 1) 6 5 กบั 12 10 5 12 = 10 6 เพรำะ 60 = 60 6 5 = 12 10 2) 4 3 กบั 5 4 3 5 4 4 เพรำะ 15 16 4 3 5 4 3) 8 6 กบั 9 7 4) 10 12 กบั 15 18 5) 10 0.3 กบั 200 6
52 4.จงทำ ใหอ้ตัรำส่วนต่อไปน้ีมีหน่วยเดียวกนัและอยใู่นรูปอยำ่งง่ำย ตัวอย่ำง อตัรำส่วนควำมกวำ้งต่อควำมยำวของโตะ๊เป็น 50 เซนติเมตร : 1.2 เมตร มีควำมหมำยเหมือนกบั 50 เซนติเมตร : 1.2 x 100 เซนติเมตร ดงัน้นัอตัรำส่วนควำมกวำ้งต่อควำมยำวของโตะ๊เป็น 50 : 120 หรือ 5 : 12 1)อตัรำส่วนของจำ นวนวนัที่นำยก. ทำ งำน ต่อชวั่ โมงที่นำยข. ทำ งำน เป็น 2วนั : 10 ชวั่ โมง ดงัน้นั อตัรำส่วนเวลำที่นำย ก. ทำ งำน ต่อเวลำที่นำย ข. ทำ งำนเป็น ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2)อตัรำส่วนของระยะทำงจำกบำ้นไปตลำด ต่อระยะทำงจำกบำ้นไปโรงเรียนเป็น 200 เมตร : 1.5 กิโลเมตร ดงัน้นัอตัรำส่วนของระยะทำงจำกบำ้นไปตลำด ต่อระยะทำงจำกบำ้นไปโรงเรียนเป็น ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... แบบฝึ กหัดที่ 3 1. พอ่แบ่งเงินใหลู้กสำมคนโดยกำ หนด อตัรำส่วนของจำ นวนเงินลูกคนโต ต่อคนกลำง ต่อคนเล็กเป็น 5 : 3 : 2จงหำอตัรำส่วนต่อไปน้ี 1) อตัรำส่วนจำ นวนเงินที่ลูกคนโตไดร้ับต่อลูกคนเล็ก ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) อตัรำส่วนจำ นวนเงินที่ลูกคนเล็กไดร้ับต่อลูกคนกลำง ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3) อตัรำส่วนจำ นวนเงินที่ลูกคนกลำงไดร้ับต่อเงินท้งัหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 4) อตัรำส่วนจำ นวนเงินที่ลูกคนเล็กไดร้ับต่อเงินท้งัหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………..
53 2. เศรษฐีคนหน่ึงไดเ้ขียนพินยักรรมไวก้่อนจะเสียชีวติวำ่ถำ้ภรรยำที่กำ ลงัต้งัครรภค์ลอดลูกเป็นชำยใหแ้บ่ง เงินในพินยักรรมเป็นอตัรำส่วนเงินของภรรยำต่อบุตรชำยเป็ น 1 :2แต่ถำ้คลอดลูกเป็นหญิงใหแ้บ่งเงินใน พินยักรรมเป็นอตัรำส่วนเงินของภรรยำต่อบุตรหญิงเป็น 2 : 1 เมื่อเศรษฐีคนน้ีเสียชีวติลงปรำกฏวำ่ภรรยำ คลอดลูกแฝด เป็นชำย1คน หญิง 1คน จงหำอตัรำส่วนของเงินในพินยักรรมของภรรยำต่อบุตรชำย ต่อบุตร หญิง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. แบบฝึ กหัดที่ 4 1.จงเขียนสัดส่วนจำกอตัรำส่วนต่อไปน้ี 1) 3 : 4 = 6 : 8 …………………………………………………….. 2) A :7 =9 :27 …………………………………………………….. 3) 12 : 10 = B : 5 …………………………………………………….. 4) 5 : 4 =65 : D …………………………………………………….. 2. จงหำค่ำตวัแปรจำกสัดส่วนที่กำ หนดให้ต่อไปน้ี 1) 15 12 3 A ……………………………………………………..……………………………………………… 2) 28 3 21 B ……………………………………………………..………………………………………………
54 แบบฝึ กหัดที่ 5 1.ขำยมะละกอ3ผลรำคำ 50 บำท ถำ้ขำย มะละกอ15ผลจะไดเ้งินเท่ำไร ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 2.กศน.แห่งหน่ึงมีนกัศึกษำท้งัหมด 400คน มีจำ นวนนกัศึกษำหญิงต่อจำ นวนนกัศึกษำชำย เป็ น 5: 3จงหำวำ่มีนกัศึกษำชำยกี่คนและนกัศึกษำหญิงกี่คน ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 3. พอ่แบ่งมรดกใหลู้กสองคน โดยอตัรำส่วนของส่วนแบ่งของลูกคนโตต่อส่วนแบ่งลูกคนเล็ก เป็ น 7: 3ถำ้ลูกคนโตไดเ้งินมำกกวำ่ลูกคนเล็ก80,000 บำท จงหำส่วนแบ่งที่แต่ละคนไดร้ับ ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..………………………………………………
55 แบบฝึ กหัดที่ 6 1. จงแสดงวิธีหำค ำตอบ 1)15% ของ 600 เท่ำกบัเท่ำไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… …………………………………………………………………….................................................. 2)120% ของ 40 เท่ำกบัเท่ำไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………................................................... 3)28คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ 400 ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………................................................... 4)1.5 เป็นกี่เปอร์เซ็นตข์อง 6 ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………................................................... 5) 180 เป็ น 30 % ของจ ำนวนใด ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………................................................... 6) 0.125 เป็ น 25% ของจ ำนวนใด ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………...................................................
56 แบบฝึ กหัดที่ 7 จงแสดงวิธีหำค ำตอบ 1. นกัศึกษำกศน. 500คน สอบไดเ้กรด 4จำ นวน 25% ของท้งัหมด จงหำจำ นวนนกัศึกษำที่สอบได้ เกรด 4 ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………........................... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………........................... 2. โรงเรียนแห่งหน่ึงมีนกัเรียน 2,000คน เป็นชำย40% ของท้งัหมด ในจำ นวนน้ีมำจำกต่ำงจงัหวดั ร้อยละ60 จงหำ 1) จ ำนวนนักเรียนหญิง ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………........................... 2) จำ นวนนกัเรียนชำยที่ไม่ไดม้ำจำกต่ำงจงัหวดัท้งัหมด ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………........................... 3. ร้ำนคำ้แห่งหน่ึงประกำศลดรำคำสินคำ้ทุกชนิด ร้อยละ20ถำ้คุณแม่ซ้ือเครื่องแกว้มำไดร้ับส่วนลด 250 บำท จงหำวำ่ร้ำนคำ้ปิดรำคำขำยผลิตภณัฑน์ ้นัก่อนลดรำคำเท่ำไร ……………………………………………………………………………………………...……… …………………………………………………………………………………………………….... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………….……………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………….……………...
57 4. แผนผงัสนำมหญำ้แห่งหน่ึงกวำ้ง 5 เซนติเมตรยำว8 เซนติเมตรใชม้ำตรำส่วน 1 เซนติเมตร : 50 เมตรจงหำวำ่สนำมหญำ้แห่งน้ีมีพ้ืนที่เท่ำไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………………….……... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………..……………………………... 5. นกนอ้ยฝำกเงินไวก้บัธนำคำรเป็นเวลำ 2 ปีอตัรำดอกเบ้ียร้อยละ3 ต่อปีคิดดอกเบ้ียทบตน้ทุก12 เดือนและถูกหกัภำษีดอกเบ้ีย 15% ถำ้นกนอ้ยฝำกเงินไว้10,000 บำท ครบ 2 ปี จะมีเงินในบัญชี เท่ำไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… …………………………………………………………………………………………………..... ……………………………………………………………………………….……………...……… ……………………………………………………………………………………..……………... …………………………………………………………………………………………….……... 6. วรีะซ้ือรถยนตม์ำคนัหน่ึงรำคำ 200,000 บำท นำ ไปขำยต่อไดก้ำ ไรร้อยละ20 ต่อมำเอำเงินท้งัหมด ไปเล่นหุน้ขำดทุนร้อยละ20วรีะจะมีเงินเหลือจำกกำรเล่นหุน้เท่ำไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………….…...……… ……………………………………………………………………………….……………………... …………………………………………………………………….………………………...……… …………………………………………………………………………………….………………... …………………………………………………………………………..…………………...……… ……………………………………………………………………………………………..………...
58 บทที่ 5 กำรวัด สำระส ำคัญ 1. กำรวดัควำมยำวพ้ืนที่ที่มีหน่วยต่ำงกนัสำมำรถนำ มำเปรียบเทียบกนัได้ 2. เครื่องมือกำรวดัตอ้งเลือกใชใ้หเ้หมำะสมกบัสิ่งที่จะวดั 3. กำรคำดคะเนเกิดจำกประสบกำรณ์ของผสู้ ังเกตเป็นสำ คญั ผลกำรเรียนรู้ทคี่ำดหวงั 1. เปรียบเทียบหน่วยควำมยำวพ้ืนที่ในระบบเดียวกนัและต่ำงระบบได้ 2. เลือกใชห้น่วยกำรวดัเกี่ยวกบัควำมยำวและพ้ืนที่ไดอ้ยำ่งเหมำะสม 3. หำพ้ืนที่ของรูปเรขำคณิตได้ 4. แกโ้จทยป์ ัญหำเกี่ยวกบัพ้ืนที่สถำนกำรณ์ต่ำง ๆ ในชีวติประจำ วนัได้ 5. กำรคำดคะเนเวลำ ระยะทำง ขนำด น้ำ หนกั ขอบข่ำยเนื้อหำ เรื่องที่ 1 กำรเปรียบเทียบหน่วยควำมยำวและพ้ืนที่ เรื่องที่2 กำรเลือกใชห้น่วยกำรวดัควำมยำวและพ้ืนที่ เรื่องที่3 กำรหำพ้ืนที่ของรูปเรขำคณิต เรื่องที่4กำรแกโ้จทยป์ ัญหำเกี่ยวกบัพ้ืนที่ในสถำนกำรณ์ต่ำง ๆ เรื่องที่5 กำรคำดคะเนเวลำ ระยะทำง ขนำด น้ำ หนกั
59 เรื่องที่ 1 กำรเปรียบเทียบหน่วยควำมยำวและพื้นที่ กำรวัด กำรวดัหมำยถึงกำรชงั่กำรตวงกำรวดัควำมยำวกำรจบัเวลำ เป็นตน้ ในควำมเป็นจริงน้นักำรวดัมี หลำยอยำ่งเช่น 1.กำรวดัควำมยำว มีหน่วยเป็น มิลลิเมตรเซนติเมตร นิ้ว ฟุต เมตรกิโลเมตร 2.กำรวดัพ้ืนที่มีหน่วยเป็น ตำรำงวำ ตำรำงเมตรงำน ไร่ 3.กำรชงั่มีหน่วยเป็น กรัม ขีด ปอนด์ตนั 4.กำรตวง มีหน่วยเป็น ลูกบำศกเ์ซนติเมตรลิตรถงั 5.กำรวดัอุณหภูมิมีหน่วยเป็น องศำเซลเซียส องศำฟำเรนไฮต์ 6.กำรวดัเวลำ มีหน่วยเป็น วินำทีนำทีชวั่ โมงวนั ปี 7.กำรวดัควำมเร็วหรืออตัรำเร็ว มีหน่วยเป็น กิโลเมตร/ชวั่ โมง วิดีทัศน์ เรื่อง กำรวัด …………….. 1.1 กำรเปรียบเทียบกำรวัดควำมยำว หน่วยกำรวดัควำมยำวที่นิยมใชก้นั ในประเทศไทย หน่วยกำรวัดควำมยำวในระบบอังกฤษ 12 นิ้ว เท่ำกบั1 ฟุต 3 ฟุต เท่ำกบั1 หลำ 1,760 หลำ เท่ำกบั1 ไมล์ หน่วยกำรวัดควำมยำวในระบบเมตริก 10 มิลลิเมตร เท่ำกบั1 เซนติเมตร 100 เซนติเมตร เท่ำกบั1 เมตร 1,000 เมตร เท่ำกบั1 กิโลเมตร หน่วยกำรวัดควำมยำวในมำตรไทย 12 นิ้ว เท่ำกบั1 คืบ 2 คืบ เท่ำกบั1 ศอก 4 ศอก เท่ำกบั1 วำ 20 วำ เท่ำกบั1 เส้น 400 เส้น เท่ำกบั1 โยชน์ กำ หนดกำรเทียบ 1 วำ เท่ำกบั2 เมตร
60 หน่วยกำรวัดควำมยำวในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก ( โดยประมำณ ) 1 นิ้ว เท่ำกบั2.54 เซนติเมตร 1 หลำ เท่ำกบั0.9144 เมตร 1 ไมล์ เท่ำกบั1.6093 กิโลเมตร ตัวอย่ำง กำรเปรียบเทียบหน่วยกำรวดัในระบบเดียวกนั 1. สุดำสูง 160 เซนติเมตรอยำกทรำบวำ่สุดำสูงกี่เมตร เนื่องจำก100 เซนติเมตร เท่ำกบั1 เมตรและสุดำสูง 160 เซนติเมตร ดงัน้นัสุดำสูง 160 = 1.60 เมตร 100 2. ควำมกวำ้งของร้ัวบำ้นดำ้นติดถนนเท่ำกบั1.05กิโลเมตรอยำกทรำบวำ่ควำมกวำ้งของร้ัวบำ้น ดำ้นติดกบัถนนเท่ำกบักี่เมตร เนื่องจำก1กิโลเมตรเท่ำกบั1,000 เมตรและร้ัวบำ้นกวำ้ง 1.05กิโลเมตร ดงัน้นัควำมกวำ้งของร้ัวบำ้นเป็น 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร วิดีทัศน์ เรื่องการเปรียบเทียบหน่วยการวัดความยาวในระบบเดียวกัน ตัวอย่ำง กำรเปรียบเทียบหน่วยกำรวดัต่ำงระบบกนั 1. นกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวไทยสูง 175 เซนติเมตร นกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวอิตำลีสูง 6 ฟุต 6 นิ้ว อยำกทรำบวำ่ ใครสูงกวำ่กนัเท่ำไร (ตอ้งหำควำมสูงของคนท้งัสองใหเ้ป็นหน่วยเดียวกนัจึงจะทรำบวำ่ ใครสูงกวำ่กนัเท่ำไร ตอ้ง เปลี่ยนหน่วยกำรวดัควำมสูงของนกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวอิตำลีใหเ้ป็นหน่วยเซนติเมตรก่อน) นกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวอิตำลีสูง 6 ฟุต 6 นิ้ว เนื่องจำก1 ฟุตเท่ำกบั12 นิ้ว คิดควำมสูงเป็นนิ้ว (6 12) + 6 = 72 + 6 = 78 นิ้ว เนื่องจำก 1 นิ้วเท่ำกบั2.54 เซนติเมตรโดยประมำณ ดงัน้นันกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวอิตำลีสูงประมำณ 78 2 – 54 = 198.12 เซนติเมตร แต่นกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวไทยสูง 175 เซนติเมตร นกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวอิตำลีสูงกวำ่นกัวอลเลยบ์อลหญิงชำวไทย ประมำณ 198.12 – 175 = 23.12 เซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่องการเปรียบเทียบหน่วยการวัดความยาวต่างระบบกัน
61 1.2 กำรเปรียบเทียบกำรวัดพื้นที่ หน่วยกำรวดัพืน้ที่ทสี่ ำคัญ ที่ควรรู้จัก หน่วยกำรวัดพื้นที่ในระบบเมตริก 1 ตำรำงเซนติเมตร เท่ำกบั100 หรือ 102 ตำรำงมิลลิเมตร 1 ตำรำงเมตร เท่ำกบั10,000 หรือ 104 ตำรำงเซนติเมตร 1 ตำรำงกิโลเมตร เท่ำกบั1,000,000 หรือ 106 ตำรำงเมตร หน่วยกำรวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ 1 ตำรำงฟุต เท่ำกบั144 หรือ 122 ตำรำงนิ้ว 1 ตำรำงหลำ เท่ำกบั9 หรือ 3 2 ตำรำงนิ้ว 1 เอเคอร์ เท่ำกบั4, 840 ตำรำงหลำ 1 ตำรำงไมล์ เท่ำกบั640 เอเคอร์ หรือ 1 ตำรำงไมล์ เท่ำกบั1, 7602 ตำรำงหลำ หน่วยกำรวัดพื้นที่ในมำตรำไทย 100 ตำรำงวำ เท่ำกบั1 งำน 4 งำน เท่ำกบั1 ไร่ หรือ 400 ตำรำงวำ เท่ำกบั1 ไร่ หน่วยกำรวัดพื้นที่ในมำตรำไทยเทียบกับระบบเมตริก 1 ตำรำงวำ เท่ำกบั4 ตำรำงเมตร 1 งำน เท่ำกบั400 ตำรำงเมตร หรือ 1 ไร่เท่ำกบั1, 600 ตำรำงเมตร 1 ตำรำงกิโลเมตร เท่ำกบั625 ไร่ ตัวอย่ำง 1. ที่ดิน 12.5 ตำรำงกิโลเมตรคิดเป็นกี่ตำรำงเมตร เนื่องจำกพ้ืนที่1 ตำรำงกิโลเมตรเท่ำกบั10 6 ตำรำงเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่12.5 ตำรำงกิโลเมตรเท่ำกบั12.5 x 106 = 1.25 x 107 ตำรำงเมตร ตอบ 1.25 x 107 ตำรำงเมตร
62 2. พ้ืนที่ช้นัล่ำงของบำ้นรูปสี่เหลี่ยมผนืผำ้กวำ้ง 6วำยำว12วำผรู้ับเหมำปูพ้ืนคิดค่ำปูพ้ืนตำรำง เมตรละ 37 บำท จะตอ้งเสียค่ำปูพ้ืนเป็นเงินเท่ำไร พ้ืนที่ช้นัล่ำงของบำ้นมีควำมกวำ้ง 6 วำ ควำมยำว 12 วำ ดงัน้นัพ้ืนที่ช้นัล่ำงของบำ้นมีพ้ืนที่เป็น 6 x 12 = 72 ตำรำงวำ เนื่องจำก พ้ืนที่1 ตำรำงวำ เท่ำกบั4 ตำรำงเมตร ถำ้คิดพ้ืนที่เป็นตำรำงเมตร พ้ืนที่ช้นัล่ำงของบำ้นมีพ้ืนที่เป็น 72 x 4 = 288 ตำรำงเมตร ดงัน้นัเสียค่ำปูพ้ืนเป็นเงิน 288 x 37 = 10, 656 บำท ตอบ 10, 656 บำท วิดีทัศน์ เรื่องการเปรียบเทียบหน่วยการวัดพื้นที่ในระบบเดียวกัน วิดีทัศน์ เรื่องการเปรียบเทียบหน่วยการวัดพื้นที่ต่างระบบกัน
63 เรื่องที่ 2 กำรเลือกใช้หน่วยกำรวัด ควำมยำวและพื้นที่ กำรวดัควำมยำว หรือกำรวดัพ้ืนที่ควรเลือกใชห้น่วยกำรวดัที่เป็นมำตรฐำน และเหมำะสมกบัสิ่งที่ ตอ้งกำรวดัเช่น - ควำมหนำของกระเบ้ืองหรือควำมหนำของกระจก ใชห้น่วยวดัเป็น "มิลลิเมตร" - ควำมยำวของกระเป๋ำหรือควำมสูงของนกัเรียน ใชห้น่วยวดัเป็น "เซนติเมตร" - ควำมกว้ำงของถนน ควำมสูงของตึก ใชห้น่วยวดัเป็น "เมตร" - ระยะทำงจำกกรุงเทพฯ ถึงนครศรีธรรมรำช ใชห้น่วยวดัเป็น "กิโลเมตร" วิดีทัศน์ เรื่องการเปรียบเทียบหน่วยการวัดพื้นที่ต่างระบบกัน
64 เรื่องที่ 3 กำรหำพ ื น้ทขี่องรูปเรขำคณติ 1.รูปสำมเหลี่ยม รูปสำมเหลยี่ม คือรูปปิดที่มีดำ้นสำมดำ้น มุมสำมมุม เมื่อกำ หนดใหด้ำ้นใดดำ้นหน่ึงเป็นฐำนของ รูปสำมเหลี่ยม แลว้มุมที่อยตู่รงขำ้มกบัฐำนจะเป็นมุมยอด และถำ้ลำกเส้นตรงจำกมุมยอดมำต้งัฉำกกบัฐำน หรือส่วนต่อของฐำนจะเรียกเส้นต้งัฉำกวำ่ส่วนสูง จำกรูปสำมเหลี่ยม ABC ให้กำ หนด BC เป็ นฐำน เรียก A วำ่มุมยอด เรียก AD วำ่ส่วนสูง จำกรูปที่ 1รูปที่ 2 รูปที่ 3 พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมผนืผำ้ ABCD แต่ละรูปเท่ำกบั 12 ตำรำงหน่วยและพ้ืนที่ สำมเหลี่ยมแต่ละรูปเท่ำกบัคร่ึงหน่ึงของพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมผนืผำ้ จำกสูตร พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมผนืผำ้ = ฐำน x สูง ดงัน้นัพ้ืนที่รูปสำมเหลี่ยม = 2 1 ฐำน สูง
65 ตัวอย่ำง รูปสำมเหลี่ยมรูปหน่ึงพ้ืนที่40 ตำรำงเซนติเมตร และมีฐำนยำว 8 เซนติเมตรจะมีควำมสูงกี่ เซนติเมตร วิธีท ำ ดงัน้นัควำมสูงของสำมเหลี่ยมเท่ำกบั 10 เซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่อง สามเหลี่ยม และการหาพื้นที่สามเหลี่ยม 2.รูปสี่เหลยี่ม 2.1 พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำก บทนิยำม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกคือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแต่ละมุมเป็นมุมฉำก ให้ควำมสูงของสำมเหลี่ยม h เซนติเมตร สูตร พ้ืนที่ = 2 1 ฐำน สูง 40 = 8 h 2 1 h 8 40 2 10 = h รูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกมี 2 ชนิด คือ ก) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกที่มีดำ้นทุกดำ้นยำวเท่ำกนั ข) รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำ เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกที่มีดำ้นตรงขำ้มยำวเท่ำกนั
66 ถำ้แบ่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกออกเป็นตำรำง ๆ โดยแบ่งดำ้นกวำ้งและดำ้นยำวออกเป็นส่วนๆ เท่ำๆ กนัแลว้ ลำกเส้นเชื่อมจุดแบ่งดงัรูป จำกรูปตำรำงเล็กๆ ที่เกิดจำกแบ่งแต่ละรูป จะมีควำมกวำ้ง 1 หน่วยและยำว1 หน่วยคิดเป็น พ้ืนที่1 ตำรำงหน่วย กำรหำพ้ืนของสี่เหลี่ยมมุมฉำกรูปที่ 1 สี่เหลี่ยมมุมฉำกรูปที่ 1 มีด้ำนกว้ำง 3 หน่วย ดำ้นยำว3 หน่วยเมื่อแบ่งแลว้ไดจ้ำ นวนตำรำง 9 ตำรำง หรือมีพ้ืนที่9 ตำรำงหน่วย สี่เหลี่ยมมุมฉำกรูปที่ 2 มีด้ำนกว้ำง 3 หน่วย ดำ้นยำว4 หน่วยเมื่อแบ่งแลว้ไดจ้ำ นวนตำรำง 12 ตำรำง หรือมีพ้ืนที่12 ตำรำงหน่วย กำรหำพ้ืนที่ดงักล่ำว สำมำรถคำ นวณไดจ้ำกผลคูณของดำ้นกวำ้งและดำ้นยำว นนั่คือ พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉำก= ด้ำนกว้ำง x ด้ำนยำว ในกรณีที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตัุรัส จะมีดำ้นกวำ้งเท่ำกบัดำ้นยำว นนั่คือ พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจตัุรัส = ด้ำน x ด้ำน หรือ พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจตัุรัส = (ด้ำน)2 ตัวอย่ำงจงหำพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมต่อไปน้ี (ก) 5 หน่วย 8 หน่วย พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง xยาว = 5 x 8 = 40 ตารางหน่วย ดงัน้นัพ้ืนที่สี่เหลี่ยมผนืผา้เท่ากบั 40 ตารางหน่วย พ.ท. สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน = 4 x 4 = 16 ตารางเซนติเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่สี่เหลี่ยมจตัุรัส เท่ากบั 16 ตารางเซนติเมต 4 ซม. (ข) 4 ซม.
67 วิดีทัศน์ เรื่องการพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 2.2 พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมดำ้นขนำน บทนิยำม รูปสี่เหลี่ยมด้ำนขนำน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดำ้นตรงขำ้มขนำนกนัสองคู่ กำรหำพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมดำ้นขนำน กำ หนดให้AB เป็นฐำนของรูปสี่เหลี่ยมดำ้นขนำน ส่วนของเส้นตรงที่ลำกจำกดำ้นตรงขำ้มมำต้งั ฉำกกบัฐำน หรือส่วนของฐำน เรียกวำ่ส่วนสูง รูปสี่เหลี่ยมด้ำนขนำน ABCD มีควำมสูง 3 หน่วย ฐำนยำว 4 หน่วย ทบัตำรำงไดพ้ ้ืนที่12 ตำรำงหน่วย (ค) 7 นิ ้ว 3 นิ ้ว 4 นิ ้ว 4 นิ ้ว 2 นิ ้ว พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผ้า = (2x3) + (4x7) = 34 ตารางนิ้ว ดงัน้นัพ้ืนที่สี่เหลี่ยมผนืผา้เท่ากบั 34 ตารางนิ้ว D C A ฐำน B ส่วนสูง สูตรพ้ืนที่สี่เหลี่ยมด้ำนขนำน = ควำมยำวของฐำน × ควำมสูง
68 ตัวอย่ำง จงหำพ้ืนที่สี่เหลี่ยม ABCD วิธีท ำ สูตรพ้ืนที่ รูปสี่เหลี่ยมด้ำนขนำน = ฐำน สูง = AB AB = 10 7 ตำรำงเซนติเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่สี่เหลี่ยมด้ำนขนำน ABCD =70 ตำรำงเซนติเมตร 2.3 พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมดำ้นขนำนที่มีดว้นทุกดำ้นยำวเท่ำกนัและมุมไม่เป็นมุมฉำก เรียกวำ่รูปสี่เหลี่ยมขนม เปี ยกปูน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มีดำ้นตรงขำ้มขนำนกนัสองคู่เช่นเดียวกบัรูปสี่เหลี่ยมดำ้นขนำน มีสูตร กำรหำพ้ืนที่เช่นเดียวกนั ในกรณีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ถำ้ลำกเส้นทะแยงมุม แบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นรูปสำมเหลี่ยมสอง รูป จะใชสู้ตรดงัน้ี ส่วนสูง ฐำน สูตรพ้ืนที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ควำมยำวของฐำน × ควำมสูง สูตรพ้ืนที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 2 1 × ผลคูณของเส้นทะแยงมุม
69 ตัวอย่ำง กระดำษรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีควำมยำวดำ้นละ20 นิ้ว สูง 9 นิ้วกระดำษแผน่น้ีมีพ้ืนที่เท่ำใด วิธีท ำ สูตรพ้ืนที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ควำมยำวของฐำน × ควำมสูง = 20 9 = 180 ตำรำงนิ้ว ดงัน้นัพ้ืนที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 180 ตำรำงนิ้ว วิดีทัศน์ เรื่องการพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปี ยกปูน 2.4 กำรหำพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมคำงหมู บทนิยำม รูปสี่เหลี่ยมคำงหมูคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดำ้นขนำนกนัหน่ึงคู่เท่ำน้นั รูปสี่เหลี่ยมท้งัสำมรูป แต่ละรูปมีดำ้นขนำนกนัเพียง 1คู่เท่ำน้นัรูปสำมเหลี่ยมท้งัสำมรูปจึงเป็น สี่เหลี่ยมคำงหมู รูปสี่เหลี่ยมรูปที่2 มีดำ้นที่ไม่ขนำนกนั1 ดำ้น ต้งัฉำกกบัดำ้นคู่ขนำน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคำงหมูน้ีวำ่ สี่เหลี่ยมคำงหมูมุมฉำก รูปสี่เหลี่ยมรูปที่3 มีดำ้นที่ไม่ขนำนกนัยำวเท่ำกนัเรียกรูปสี่เหลี่ยมคำงหมูน้ีวำ่สี่เหลี่ยมคำงหมูหน้ำ จวั่ รูปสี่เหลี่ยมคำงหมู ABCD มีด้ำน AB ขนำนกบัดำ้น CD ลำก CE ใหต้้งัฉำกกบั AB และ ลำกเส้นทแยงมุม AC ดังรูปที่ 2 สูตร พ้ืนที่ คำงหมู = 2 1 สูง ผลบวกดำ้นคู่ขนำน
70 ตัวอย่ำง จงหำพ้ืนที่ของสี่เหลี่ยม ABCD วิธีท ำ พ้ืนที่สี่เหลี่ยมคำงหมู ABCD = 2 1 สูง ผลบวกดำ้นคู่ขนำน = DE AB DC 2 1 = 6 12 8 2 1 = 3 20 ตำรำงเซนติเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่สี่เหลี่ยมคำงหมูABCD = 60 ตำรำงเซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่องการพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู 2.5 พ้ืนที่ของสี่เหลี่ยมรูปวำ่ว บทนิยำม รูปสี่เหลี่ยมรูปวำ่วคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดำ้นประชิดกนัยำวเท่ำกนัสองคู่ เมื่อลำกเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปวำ่วจะพบวำ่เส้นทแยงมุมตดักนัเป็นมุมฉำกและแบ่งคร่ึง ซ่ึงกนัและกนั
71 กำรหำพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวำ่ว สูตร พ้ืนที่สี่เหลี่ยมรูปวำ่ว = 2 1 ผลคูณของเส้นทแยงมุม ตัวอย่ำง จงหำพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวำ่ว ABCD ที่มี BD 10 เซนติเมตร และ AC 12 เซนติเมตร วิธีท ำ พ้ืนที่รูปวำ่ว = 2 1 ผลคูณของเส้นทแยงมุม = AC BD 2 1 = 12 10 2 1 ตำรำงเซนติเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวำ่ว ABCD = 60 ตำรำงเซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่องการพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว
72 2.6 พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ รูปสี่เหลี่ยมใดๆ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่เขำ้ลกัษณะของรูปสี่เหลี่ยมขำ้งตน้กำรหำพ้ืนที่อำจทำ ไดโ้ดย ลำกเส้นทแยงมุม ใชสู้ตรดงัน้ี สูตร พ้ืนที่สี่เหลี่ยมใดๆ = 2 1 ควำมยำวของเส้นทแยงมุม ผลบวกของควำมยำวของเส้นกิ่ง ตวัอยำ่ง จงหำพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เส้นกิ่ง DF = 7 เซนติเมตร และ EB = 5 เซนติเมตร วิธีท ำ พ้ืนที่ ABCD = 2 1 เส้นทแยงมุม ผลบวกของควำมยำวของเส้นกิ่ง = AC BE DF 2 1 = 10 7 5 2 1 ตำรำงเซนติเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่ ABCD = 60 ตำรำงเซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่องการพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
73 2.7 พืน้ทรีู่ปหลำยเหลี่ยม กำรหำพ้ืนที่รูปหลำยเหลี่ยม ใชว้ธิีแบ่งรูปหลำยเหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมยอ่ยๆ แลว้หำพ้ืนที่ของรูป แต่ละรูปนำ ผลลพัธ์มำรวมกนัแต่บำงคร้ังอำจใชว้ธิีต่อเติมรูปเพื่อให้เกิดรูปเหลี่ยมใหม่แลว้นำ มำหกัลบกนั ดงัตวัอยำ่ง ตวัอยำ่ง จงหำพ้ืนที่รูปเหลี่ยมที่แรเงำ วธิีทำ ลำกต่อ EF และ HG ทำ ใหเ้กิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกยอ่ย3รูป คือ DEJC, FGKJ, ABKH พ้ืนที่รูปหลำยเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ+ พ.ท. ABKH = ( 26) + (14) + (310) = 12 + 4 + 30 ตำรำงเซนติเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่รูปหลำยเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตำรำงเซนติเมตร จำกรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนติเมตร
74 2.8 พืน้ทรีู่ปวงกลม กำรหำพ้ืนที่ของรูปวงกลมโดยวธิีแบ่งออกเป็นส่วนเล็กๆ แลว้นำ แต่ละส่วนมำสลบักนัดงัรูป จะเห็นไดว้ำ่ถำ้ยงิ่แบ่งส่วนยอ่ยใหม้ีจำ นวนมำกข้ึน รูปสี่เหลี่ยมที่ไดจ้ะมีรูปใกลเ้คียงกบัรูป สี่เหลี่ยมผนืผำ้โดยมีส่วนสูงใกลเ้คียงกบัรัศมีของวงกลม ควำมยำวของฐำน ใกลเ้คียงกบัคร่ึงหน่ึงของเส้นรอบวง หรือ 2r r 2 1 จำกสูตร พ้ืนที่ ผืนผ้ำ = ฐำน สูง = r r = 2 r สูตร พ้ืนที่วงกลม = 2 r เมื่อ 7 22 หรือ 3.14 โดยประมำณ r แทนควำมยำวรัศมี ตัวอย่ำง จงหำพ้ืนที่วงกลมที่มีรัศมียำว 7 เซนติเมตร วิธีท ำ วิดีทัศน์ เรื่องการพื้นที่วงกลม พ้ืนที่วงกลม = 2 r = 7 7 7 22 ตำรำงเซนติเมตร พ้ืนที่วงกลม = 154 ตำรำงเซนติเมตร
75 ส รุ ป สู ต ร ก ำ ร ห ำ พื น ้ ที่
76
77 เรื่องที่ 4 กำรแก้โจทย์ปัญหำเกี่ยวกับพื้นที่ในสถำนกำรณ์ต่ำงๆ ตัวอย่ำง ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำกว้ำง 12 วำยำว 20 วำ ต้องกำรท ำถนนในที่ดินกว้ำง 1 วำ โดยรอบ ถนน จะมีพ้ืนที่กี่ตำรำงวำ วิธีท ำ ตัวอย่ำง หอ้งๆ หน่ึง 6.5 เมตรกวำ้ง 4 เมตร ตอ้งกำรปูกระเบ้ืองรูปสี่เหลี่ยมจตัุรัส ซ่ึงมีควำมกวำ้งดำ้นละ25 เซนติเมตรจะตอ้งใชก้ระเบ้ืองกี่แผน่ วิธีท ำ ห้องมีควำมยำว 6.5 เมตร = 6.5 100 = 650 เซนติเมตร ควำมกว้ำง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร พ้ืนที่หอ้ง = 400 650 = 260,000 ตำรำงเซนติเมตร พ้ืนที่กระเบ้ือง = 25 25 = 625 ตำรำงเซนติเมตร ตอ้งใชก้ระเบ้ือง = 416 625 260,000 แผน่ ดงัน้นัตอ้งใชก้ระเบ้ือง 416 แผน่ วิดีทัศน์เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ พ้ืนที่ท้งัหมด = 12 20 = 240 ตำรำงวำ พ้ืนที่รูปใน = 10 18 = 180 ตำรำงวำ พ้ืนที่ถนน = 240 – 180 พ้ืนที่ถนน = 60 ตำรำงวำ 12 วำ 20วำ 18 10 1
78 เรื่องที่ 5 กำรคำดคะเนเวลำ ระยะทำง ขนำด น ้ำหนัก ในชีวติประจำ วนับำงคร้ังเรำอำจตอ้งกำรทรำบรำยละเอียดเกี่ยวกบัเวลำระยะทำงขนำด หรือ น้ำ หนกัของสิ่งต่ำงๆ แต่ไม่สะดวกที่จะวดัสิ่งต่ำงๆ เหล่ำน้นัเนื่องจำกมีขอ้จำ กดับำงประกำร ตวัอยำ่งเช่น ตอ้งกำรวดัควำมยำวและควำมกวำ้งของสนำมฟุตบอลของโรงเรียน แต่ไม่มีอุปกรณ์ที่เหมำะสม ทำ ใหต้อ้งมี กำรประมำณอยำ่งคร่ำวๆ ซ่ึงในบำงคร้ังอำจจะถูกตอ้ง หรืออำจผดิไปจำกควำมเป็นจริงบำ้ง เรำเรียกวธิีกำร ประมำณในลกัษณะน้ีวำ่กำรคำดคะเน กำรคำดคะเนปริมำณต่ำงๆ เช่น ช่วงเวลำระยะทำงขนำด และน้ำ หนกัของสิ่งต่ำงๆ ผคู้ำดคะเนมกั ใชส้ำยตำรวมกบั ประสบกำรณ์ของผคู้ำดคะเนเอง ซ่ึงในกำรคำดคะเนแต่ละคร้ังอำจถูกตอ้งพอดีหรืออำจมี ขอ้ผดิพลำดเกิดข้ึนบำ้งก็ได้เรำเรียกขอ้ผดิพลำดน้ีวำ่ ควำมคลำดเคลื่อน และควำมคลำดเคลื่อนค ำนวณได้ จำกผลต่ำงของปริมำณที่คำดคะเนไวก้บั ปริมำณที่วดัไดจ้ริง เช่น คะเนวำ่หนงัสือเรียนกวำ้ง 15 เซนติเมตรยำว20 เซนติเมตรและหนำ 1 เซนติเมตรแต่เมื่อวดัจริง พบวำ่หนงัสือเรียนกวำ้ง 14.6 เซนติเมตรยำว20.9 เซนติเมตรและหนำ 1 เซนติเมตร ดงัน้นัคะเนควำมกวำ้ง และควำมยำวของหนังสือเรียนคลำดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตำมล ำดับ (15.0 เซนติเมตร – 14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนติเมตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนติเมตร =0.9 เซนติเมตร ส่วนควำมหนำคำดคะเนไดถู้กตอ้งไม่ คลำดเคลื่อนเลย ) หมำยเหตุบำงคร้ังอำจพบกำรใชส้ ัญลกัษณ์ ตำมควำมคลำดเคลื่อน เช่น เครื่องบรรจุน้ำ ไดข้วด ละ1,000ลูกบำศกเ์ซนติเมตร 5 ลูกบำศกเ์ซนติเมตร หมำยควำมวำ่ โดยปกติแลว้น้ำ ดื่มที่บรรจุขวดโดย เครื่องน้ีจะมีปริมำตร1,000ลูกบำศกเ์ซนติเมตรแต่อำจจะมีบำงขวดที่มีปริมำตรมำกกวำ่หรือนอ้ยกวำ่1,000 ลูกบำศกเ์ซนติเมตร ซ่ึงปริมำตรที่คลำดเคลื่อนน้ีไม่เกิน 5ลูกบำศกเ์ซนติเมตร นนั่คือ น้ำ ดื่มที่บรรจุขวดจะมี ปริมำตรต้งัแต่995ลูกบำศกเ์ซนติเมตรถึง 1,005ลูกบำศกเ์ซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่องการคาดคะเนระยะทาง เวลา ขนาด และน ้าหนัก
79 กิจกรรมบทที่5 แบบฝึ กหัดที่ 1 1. จงเติมหน่วยควำมยำวหรือหน่วยพ้ืนที่ใหเ้หมำะสมกบัขอ้ควำมต่อไปน้ี 1)ไมอ้ดัชนิดบำงมีควำมหนำแผน่ละ4 ......................................................................................... 2)จงัหวดัเชียงใหม่และจงัหวดัเลยอยหู่ ่ำงกนั ประมำณ 1,600 ...................................................... 3) สนำมฟุตบอลแห่งหน่ึงมีควำมกวำ้ง 45 …………… มีควำมยำว 90 .....................และถำ้วงิ่ รอบสนำมแห่งน้ีสำมรอบ จะไดร้ะยะทำง 1 ............................... 4) หอ้งเรียนมีพ้ืนที่ประมำณ 80 ................................................ 5)แม่น้ำ โขงช่วงจงัหวดัมุกดำหำรมีควำมกวำ้งประมำณ 200 ............................ 2. จงเติมคำ ลงในช่องวำ่งที่กำ หนดใหถู้กตอ้ง 1) พ้ืนที่17 ตำรำงเมตรคิดเป็นพ้ืนที่ .................................. ตำรำงเซนติเมตร 2) ที่ดิน 3,119 ตำรำงวำ เท่ำกบัที่ดิน ............................... (ตอบเป็นไร่งำน ตำรำงวำ) 3)กระดำษแผน่หน่ึงมีพ้ืนที่ 720 ตำรำงนิ้วกระดำษแผน่น้ีมีพ้ืนที่............................ ตำรำงฟุต 4) พ้ืนที่9.5 ตำรำงวำจะเท่ำกบั.......................... ตำรำงเมตร 5)ลุงสอนมีที่ดินอยู่2 งำน 68 ตำรำงวำคิดเป็นพ้ืนที่..................... ตำรำงเมตรแลว้ถำ้ลุงสอน ขำยที่ดินไป ตำรำงเมตรละ 875 บำท ลุงสอนจะได้รับเงิน ...................... บำท แสดงวำ่ที่ดิน ของลุงสอน รำคำไร่ละ......................... บำท 3. จงตอบคำ ถำมต่อไปน้ีพร้อมแสดงวธิีทำ 1) สวนแห่งหน่ึงมีพ้ืนที่ 4,800 ตำรำงเมตรคิดเป็นพ้ืนที่กี่ไร่ 2) ลุงแดงแบ่งที่ดินใหลู้กชำย3คน โดยแบ่งใหลู้กชำยคนโตได้ 2 ไร่ลูกชำยคนกลำง 850 ตำรำงวำ และลูกชำยคนเล็กได้ 3,000 ตำรำงเมตรอยำกทรำบวำ่ ใครไดส้่วนแบ่งที่ดินมำกที่สุด 3) สมเกียรติซ้ือโลหะแผน่ชนิดหน่ึง 3 ตำรำงเมตร รำคำ 456 บำท สมนึกซ้ือโลหะแผน่ชนิดเดียวกนั 4 ตำรำงหลำ รำคำ 567 บำท อยำกทรำบวำ่ ใครซ้ือไดถู้กกวำ่กนัตำรำงเมตรละกี่บำท (กำ หนด 1 หลำ =90 เซนติเมตร)
80 แบบฝึ กหัดที่2 1.จงเติมหน่วยกำรวดัที่เหมำะสมลงในช่องวำ่ง 1.ควำมยำวของร้ัวโรงเรียน ………………………………… 2.ควำมหนำของหนังสือ …………………………………. 3.ระยะทำงจำกกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่…………………………….. 4. น้ำ หนกัของแตงโม ………………………………………….. 5. เวลำที่นกัเรียนใชใ้นกำรวงิ่แข่งในระยะทำง 100 เมตร …………………….. 6. อุณหภูมิห้อง ..................................... 7. พ้ืนที่สวน ...................................... 8. ปริมำณของน้ำ 1 เหยือก ...................................... 9. ส่วนสูงของนกัเรียน ..................................... 10. น้ำ หนกัของขำ้วสำร1ถุง .................................... แบบฝึ กหัดที่3 1. จงหำพ้ืนที่ส่วนที่แรเงำของรูปต่อไปน้ีตวัเลขที่เขียนกำ กบัดำ้นไวถ้ือเป็นควำมยำวของดำ้น และมีหน่วย เป็นหน่วยควำมยำว ............................................................................. ...................................................................... ............................................................................ ....................................................................... ............................................................................ ....................................................................... ............................................................................ ....................................................................... ........................................................................... ....................................................................... ........................................................................... ....................................................................... ........................................................................... .......................................................................
81 แบบฝึ กหัดที่4 1. จงหำพืน้ทขี่องรูปสี่เหลี่ยมจำกรูป 1) รูปสี่เหลี่ยม มี ด้ำนยำวด้ำนละ 8 เซนติเมตร 2) รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำ มีรำยละเอียดควำมยำวดำ้นต่ำงๆ ดังรูป 3) รูปสี่เหลี่ยมด้ำนขนำน มีรำยละเอียดควำมยำวดำ้นต่ำงๆ ดังรูป 4) รูปสี่เหลี่ยมคำงหมู มีรำยละเอียดควำมยำวดำ้นต่ำงๆ ดังรูป 5) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปี ยกปูน มีรำยละเอียดควำมยำวดำ้นต่ำงๆ ดังรูป 6) รูปสี่เหลี่ยมรูปวำ่ว มีรำยละเอียดควำมยำวดำ้นต่ำงๆ ดังรูป 8 ม. 12 ม. 10 ม. 5 ม. 11 ม. 10 ม. 6 ม. 10 ม. 10 ม. 8 ม. 12 ม. 8 ม. 10 ม. 6 ม. 9 ม. 7 ซม. 4 ซม.
82 7) รูปสี่เหลี่ยมใดๆ มีรำยละเอียดควำมยำวดำ้นต่ำงๆ ดังรูป 2.จงหำพ้ืนที่ส่วนที่แรเงำ ตวัเลขที่เขียนกำ กบัไวถ้ือวำ่เป็นควำมยำวของดำ้นและมีหน่วยควำมยำวเป็นเมตร แบบฝึ กหัดที่5 1. จงหำพ้ืนที่ส่วนที่แรเงำ ตวัเลขที่เขียนกำ กบัดำ้นมีหน่วยเป็นเซนติเมตรและจุด O แทน จุดศูนย์กลำงของวงกลม 6 ม. 7 ม. 10 ม. 8 ม. 7 ม. 9 ม. 5 ม. 6 8 4 9 1) 3.5 0 2) 7 0 3) 4) 1 2 2.5 2.5 6
83 แบบฝึ กหัดที่6 1. แผนผงับำ้นหลงัหน่ึงมีลกัษณะและขนำดดงัรูป ถำ้บริเวณที่แรเงำตอ้งกำรเทปูนซีเมนต์โดยเสียค่ำใชจ้่ำยตำรำงเมตร ละ250 บำท จะตอ้งเสียค่ำใชจ้่ำยท้งัหมดกี่บำท กำ หนดควำมยำวมีหน่วยเป็นเมตร แบบฝึ กหัดที่7 1. จงคำดคะเนเวลำหรือช่วงเวลำใหเ้หมำะสมกบัสถำนกำรณ์ต่อไปน้ี 1) ฟ้ำใกลส้วำ่งอำกำศเยน็สบำยไก่ตวัผตู้ีปีกและส่งเสียงขนัมีน้ำ คำ้งจบัตำมยอดหญำ้น่ำจะเป็นเวลำ ประมำณ...................นำฬิกำ 2) เมื่ออยกู่ลำงแจง้ดวงอำทิตยอ์ยตู่รงศีรษะพอดีเงำของตวัเองอยบู่นพ้ืนที่ยนือยพู่อดีน่ำจะเป็นเวลำ ประมำณ...................นำฬิกำ 3) ในจงัหวดัทำงภำคเหนือเป็นเวลำเชำ้ตรู่ ฟ้ำสวำ่งแลว้แต่ยงัไม่เห็นพระอำทิตย์ทอ้งฟ้ำขมุกขมวัอำกำศ หนำวเยน็จดัน่ำจะเป็นฤดู....................และควรจะเป็นช่วงเดือน..................... 2. จงวงกลมลอ้มรอบขอ้ที่เหมำะสมที่สุด สำ หรับใชห้น่วยในกำรคำดคะเน ระยะทำง น้ำ หนกัหรือ ขนำดของสิ่งต่อไปน้ี 1) ควำมยำวของคัตเตอร์ ก. 1.5 มิลลิเมตร ข. 15 เซนติเมตร ค. 15 เมตร 2) น้ำ หนกัของมะพร้ำว1ผล ก. 1 กรัม ข. 1กิโลกรัม ค. 1 ตัน 3) รถกระบะ 3.1 มีน้ำ หนกัก. 10กิโลกรัม ข. 100กิโลกรัม ค. 1 ตัน 3.2 ควำมกว้ำง ก. 160 เซนติเมตร ข. 16 ฟุต ค. 16 เมตร 3.3 ควำมยำว ก. 5 ฟุต ข. 5 เมตร ค. 5 วำ
84 3. ทำงหลวงสำยพหลโยธินกรุงเทพฯ-แม่สำยยำว952กิโลเมตรรถประจำ ทำงปรับอำกำศวงิ่บนทำงหลวงสำยน้ี ตลอดเส้นทำงด้วยอัตรำเร็ว 80-100กิโลเมตรต่อชวั่ โมง (1)รถประจำ ทำงปรับอำกำศใชเ้วลำวงิ่ตลอดเส้นทำงนำนเท่ำไร (2)ถำ้รถออกจำกกรุงเทพฯ ประมำณ 18.00 นำฬิกำจะถึงแม่สำยในช่วงใด (3)ถำ้ตอ้งกำรใหถ้ึงแม่สำยประมำณเที่ยงวนัที่16กนัยำยน จะตอ้งออกจำกกรุงเทพฯ เวลำเท่ำไร 4. ลิฟตข์องโรงแรมแห่งหน่ึงบรรทุกผูโ้ดยสำยไดเ้ที่ยวละไม่เกิน 10คน (600 กิโลกรัม) บำงคร้ังมีผูโ้ดยสำรเขำ้ ลิฟตเ์พียง 8คน ลิฟตจ์ะมีเสียงเตือน บำงคร้ังมีผโู้ดยสำร12คน ลิฟตไ์ม่มีเสียงเตือนยงัใชง้ำนไดเ้ป็นเพรำะเหตุใด จงอธิบำย
85 บทที่ 6 ปริมำตรและพื้นที่ผิว สำระส ำคัญ กำรหำพ้ืนที่ผวิและปริมำตรของ ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จำ เป็นจะตอ้งรู้ กระบวนกำรคิด และกำรใชสู้ตรเพื่อสะดวกในกำรคำ นวณอนัจะเป็นประโยชน์ต่อกำรนำ ไปใชใ้นชีวติจริง ผลกำรเรียนรู้ทคี่ำดหวงั 1. อธิบำยลักษณะและสมบตัิของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หำปริมำตรและพ้ืนที่ ผิวของปริซึมได้ 2. หำปริมำตรและพ้ืนที่ผวิของทรงกระบอกได้ 3. เปรียบเทียบควำมจุหรือหน่วยปริมำตรในระบบเดียวกนัหรือต่ำงระบบได้ 4. เลือกใชห้น่วยวดัควำมจุหรือปริมำตรไดอ้ยำ่งเหมำะสม 5. แกป้ ัญหำเกี่ยวกบั ปริมำตรและพ้ืนที่ผวิแกป้ ัญหำในสถำนกำรณ์ต่ำง ๆ ได้ 6. คำดคะเนปริมำตรและพ้ืนที่ผิวในสถำนกำรณ์ต่ำง ๆ ได้ ขอบข่ำยเนื้อหำ เรื่องที่1 ลกัษณะสมบตัิและกำรหำพ้ืนที่ผวิและปริมำตรของปริซึม เรื่องที่2 กำรหำปริมำตรและพ้ืนที่ผวิของทรงกระบอก เรื่องที่ 3 กำรหำปริมำตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เรื่องที่4 กำรเปรียบเทียบหน่วยปริมำตร เรื่องที่5 กำรแกโ้จทยป์ ัญหำเกี่ยวกบั ปริมำตรและพ้ืนที่ผวิ เรื่องที่6 กำรคำดคะเนปริมำตรและพ้ืนที่ผวิ
86 เรื่องที่ 1 ลักษณะสมบัติและกำรหำพื้นที่ผิวและปริมำตรของปริซึม พื้นที่ผิวและปริมำตรของปริซึม รูปเรขำคณิตสำมมิติที่มีหน้ำตัด (ฐำน) ท้งัสองเป็นรูปหลำยเหลี่ยมที่เท่ำกนัทุกประกำรและ อยใู่นระนำบที่ขนำนกนัมีหนำ้ขำ้งเป็นรูปสี่เหลี่ยมดำ้นขนำน เรียกวำ่ ปริซึม ส่วนต่ำง ๆ ของปริซึมมีชื่อเรียกดงัน้ี เรำเรียกชื่อปริซึมชนิดต่ำง ๆ ตำมลกัษณะของฐำนของปริซึมดงัตวัอยำ่ง ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้ำ ปริซึมสำมเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคำงหมู ปริซึมห้ำเหลี่ยม ปริซึมหกเหลี่ยม สูตร กำรหำพ้ืนที่ผวิของปริซึม = พ้ืนที่ผวิขำ้ง+ พ้ืนที่ผวิหนำ้ตดั ปริมำตรปริซึม = พ้ืนที่ฐำน x สูง
87 ตัวอย่ำง 1 จงหำพ้ืนที่ผวิของปริซึมต่อไปน้ีกำ หนดควำมยำวที่หน่วยเป็นเซนติเมตร วิธีท ำ ตัวอย่ำง 2 จงหำปริมำตรของปริซึมต่อไปน้ี(ควำมยำวที่กำ หนดใหม้ีหน่วยเป็นเมตร) วิธีท ำ วิดีทัศน์เรื่องการหาพื้นที่และปริมาตรของปริซึม ปริมำตรปริซึม = พ้ืนที่ฐำน x สูง = (4 x 5) x 8 = 160 ลูกบำศกเ์มตร พ้ืนที่ผวิดำ้นขำ้ง 4 ดำ้น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5) = 70 ตำรำงเซนติเมตร พ้ืนที่หนำ้ตดั = 2 ( 3 x 4) = 24 ตำรำงเซนติเมตร พ้ืนที่ผวิของปริซึม = 70 + 24 = 94 ตำรำงเซนติเมตร
88 เรื่องที่ 2 กำรหำปริมำตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก ทรงกระบอกคือ ทรงสำมมิติที่มีฐำนเป็นรูปวงกลมที่เท่ำกนัทุกประกำรและอยใู่นระนำบที่ขนำนกนัซ่ึง เมื่อตดัทรงสำมมิติน้ีดว้ยระนำบที่ขนำนกบัฐำนแลว้จะไดร้อยตดัเป็นวงกลมที่เท่ำกนัทุกประกำรกบัฐำนเสมอ พื้นที่ผิวของทรงกระบอก เมื่อคลี่ผวิขำ้งของทรงกระบอกใด ๆ พบวำ่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผนืผำ้ที่มีควำมยำวเท่ำกบัเส้นรอบฐำน วงกลม และส่วนสูงเท่ำกบัควำมสูงของทรงกระบอก สูตร พ้ืนที่ผวิของทรงกระบอก = พ้ืนที่ผวิขำ้ง + พ้ืนที่ฐำนท้งัสอง = 2 2rh 2r เมื่อ r แทน รัศมีของฐำนของทรงกระบอก h แทน ควำมสูงของทรงกระบอก
89 ปริมำตรทรงกระบอก จำก ปริมำตรของปริซึม = พ้ืนที่ฐำน x สูง ปริมำตรทรงกระบอก = r h 2 สูตร ปริมำตรทรงกระบอก = r h 2 ตวัอยำ่งที่3 กระป๋องทรงกระบอกใบหน่ึงมีรัศมี7 เซนติเมตรและสูง 10 เซนติเมตร ก) ตอ้งกำรปิดกระดำษรอบขำ้งและปิดฝำท้งัสองจะตอ้งใชก้ระดำษกี่ตำรำงเซนติเมตร ข) กระป๋องใบน้ีมีควำมจุกี่ลูกบำศกเ์ซนติเมตร วิธีท ำ ข) ปริมำตร = พ้ืนที่ฐำน x สูง = r h 2 = 7 7 10 7 22 = 1,540 ลูกบำศกเ์ซนติเมตร ดังน้นัก. ตอ้งใชก้ระดำษ 748 ตำรำงเซนติเมตร ข.กระป๋องมีควำมจุ1,540ลูกบำศกเ์ซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่องการหาพื้นที่และปริมาตรของทรงกระบอก ก) พ้ืนที่ฐำนท้งัหมด = 2 2r = 7 7 7 22 2 = 308 ตำรำงเซนติเมตร พ้ืนที่ผวิขำ้ง = ควำมยำวรอบฐำน x สูง = 2r h = 7 10 7 22 2 = 440 ตำรำงเซนติเมตร พ้ืนที่ผวิกระป๋อง = 308 + 440 = 748 ตำรำงเซนติเมตร
90 เรื่องที่ 3 กำรหำปริมำตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม 3.1 พื้นที่ผิวและปริมำตรของพีระมิด พีระมิด คือ ทรงสำมมิติที่มีฐำนเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลม ซ่ึงไม่อยใู่นระนำบเดียวกบัฐำน และหนำ้ ทุกหนำ้เป็นรูปสำมเหลี่ยม ที่มีจุดยอดร่วมกนัที่ยอดแหลม ลักษณะของพีระมิดตรง 1. หนำ้ของพีระมิดตรงเป็นรูปสำมเหลี่ยมหนำ้จวั่ 2. สันของพีระมิดตรงจะยำวเท่ำกนัทุกเส้น 3. ควำมสูงเอียงของพีระมิดตรง ดำ้นเท่ำ มุมเท่ำจะยำวเท่ำกนัทุกเส้น 4. ปริมำตรของพีระมิด เป็นหน่ึงในสำมของปริมำตร ปริซึมที่มีฐำนเท่ำกบัพีระมิด และมีส่วนสูงเท่ำกบั พีระมิด สูตร พ้ืนที่ผวิขำ้งของพีระมิด = 2 1 ควำมยำวรอบฐำน x สูงเอียง พ้ืนที่ผวิท้งัหมดของพีระมิด = พ้ืนที่ผวิขำ้ง + พ้ืนที่ฐำน ปริมำตรของพีระมิด = 3 1 พ้ืนที่ฐำน x สูง
91 ตวัอยำ่งที่4 พีระมิดฐำนสี่เหลี่ยมผืนผ้ำ กว้ำง 10 เซนติเมตร ยำว 18 เซนติเมตร และควำมสูงของพีระมิดเป็ น 12 เซนติเมตรจงหำควำมสูงเอียงของพีระมิดท้งัสองดำ้น 1. ควำมสูงเอียงด้ำนกว้ำง 2. ควำมสูงเอียงด้ำนยำว ตวัอยำ่งที่5 พีระมิดแห่งหน่ึงมีฐำนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตัุรัส ยำวดำ้นละ6 เมตร สูงเอียง 5 เมตรและสูงตรง 4 เมตร จงหำพ้ืนที่ผวิและปริมำตรของพีระมิด วิธีท ำ พ้ืนที่ผวิขำ้งของพีระมิด = 2 1 ควำมยำวรอบฐำน x สูงเอียง = 2 1 (6x4) x 5 = 60 ตำรำงเมตร พ้ืนที่ฐำน = 6 x 6 = 36 ตำรำงเมตร ดงัน้นัพ้ืนที่ผิวของพีระมิด = 60 + 36 =96 ตำรำงเซนติเมตร ปริมำตรของพีระมิด = 3 1 พ้ืนที่ฐำน x สูง = 3 1 36 x 4 = 48 ลูกบำศกเ์มตร 2 2 2 a 12 9 =144 + 81 225 2 a a 15 เซนติเมตร ควำมสูงเอียงด้ำนกว้ำงวัดสูง 15 เซนติเมตร 2 2 2 c 5 12 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนติเมตร ควำมสูงเอียงด้ำนยำว 13 เซนติเมตร
92 3.2 พื้นที่ผิวและปริมำตรของทรงกรวย กรวยคือ ทรงสำมมิติที่มีฐำนเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยบู่นระนำบเดียวกบัฐำน และเส้นที่ต่อ ระหวำ่งจุดยอดกบัจุดใด ๆ บนเส้นรอบวงของฐำน เรียกเส้นตรงน้ีวำ่ “สูงเอียง” พ้ืนที่ผวิของกรวย กำรหำพ้ืนที่ผวิเอียงของกรวย ทำ ไดโ้ดยตดักรวยตำมแนวสูงเอียงแลว้คลี่แผอ่อกจะเกิดเป็นรูปสำมเหลี่ยม ฐำนโค้ง สูตร พ้ืนที่ผวิของกรวย = 2 rl r เมื่อ r เป็ นรัศมีของฐำนกรวย l เป็ นควำมยำวของสูงเอียง ปริมำตรของกรวย ควำมสัมพนัธ์ของปริมำตรของกรวยกบัทรงกระบอกจะเหมือนกบัควำมสัมพนัธ์ของปริซึมกบัพีระมิด ที่ มีส่วนสูงและพ้ืนที่ฐำนเท่ำกนันนั่คือ h สูงตรง สูงเอียง l
93 ปริมำตรของกรวย เป็ น 3 1 ของปริมำตรของทรงกระบอก ที่มีพ้ืนที่ฐำนและส่วนสูงเท่ำกบักรวย สูตร ปริมำตรของกรวย = 3 1 r h 2 เมื่อ r แทน รัศมีของฐำนกรวย h แทน ควำมสูงของกรวย ตวัอยำ่งที่6 จงหำพ้ืนที่ผวิและปริมำตรของกรวย ซ่ึงสูง 24 เซนติเมตรและเส้นผำนศูนย์กลำง 14 เซนติเมตร ่ วิธีท ำ พ้ืนที่ผวิท้งัหมด = พ้ืนที่ผวิขำ้ง + พ้ืนที่ฐำน = 550 + 154 = 704 ตำรำงเซนติเมตร ปริมำตรของกรวย = 3 1 r h 2 = 7 7 24 7 22 3 1 = 1,232 ลูกบำศกเ์ซนติเมตร พ้ืนที่ผวิท้งัหมด 704 ตำรำงเซนติเมตร ปริมำตรของกรวย 1,232 ลูกบำศกเ์ซนติเมตร รัศมี = 7 2 14 เซนติเมตร หำควำมสูงเอียง (l)จำก ABO 2 2 2 l 24 7 = 576 + 49 = 625 l = 25 เซนติเมตร พ้ืนที่ผวิขำ้ง = rl = 7 25 7 22 = 550 ตำรำงเซนติเมตร พ้ืนที่ฐำน = 2 r = 7 7 7 22 = 154 ตำรำงเซนติเมตร
94 3.3 พื้นที่ผิวและปริมำตรของทรงกลม ทรงกลม คือ ทรงสำมมิติที่มีผวิโคง้เรียบ และจุดทุกจุดอยูบ่นผวิโคง้อยหู่ ่ำงจำกจุดคงที่จุดหน่ึงเป็นระยะ เท่ำกนั จุดคงที่เรียกวำ่ จุดศูนย์กลำงของทรงกลม ระยะที่เท่ำกนัเรียกวำ่รัศมีของทรงกลม พ้ืนที่ผวิของทรงกลม พ้ืนที่ผวิของทรงกลม เป็นสี่เท่ำของพ้ืนที่วงกลม ซ่ึงมีรัศมีเท่ำกบัรัศมีของทรงกลม จำก พ้ืนที่ของรูปวงกลม = 2 r ดงัน้นัพ้ืนที่ผิวของทรงกลม = 4 2 r สูตร พืน้ทผี่วิของทรงกลม = 4 2 r ปริมำตรของทรงกลม ปริมำตรของทรงกลมอำจหำไดจ้ำกกำรทดลองหำควำมสัมพนัธ์ระหวำ่งปริมำตรของคร่ึงวงกลมกบั ปริมำตรของกรวย ขอ้กำ หนด 1) ครึ่ งของทรงกลมที่มีรัศมี r หน่วย 2) กรวยที่มีรัศมีเท่ำกบัคร่ึงทรงกลม r หน่วยและส่วนสูงของกรวย (h) เป็น 2 เท่ำของรัศมีฐำน ของกรวย คือ 2 r หน่วย