เอกสารแรวทางสมรรถนะทางคณิตศาสตร์

ทำให้แน่ใจวา่ วธิ กี ารและผลลัพธ์ทางคณติ ศาสตร์ ข้อจำกัด และเงื่อนไขต่าง ๆ
30 คะแนน

กดเคร่ืองคิดเลขดงั น้ี
กต้อง
รตรวจสอบวา่ วิธกี ารและผลลพั ธท์ างคณติ ศาสตร์ (solution) ทเ่ี กดิ ข้นึ ดว้ ยการคดิ

I4 ใชเ้ ครือ่ งมือทางคณิตศาสตรห์ รือคอมพิวเตอร์ในการจำลองสถานการณ์เพื่อท
ท่ีเกิดขึน้ จากวธิ ีการแกป้ ัญหาและบริบทของปัญหานั้นสมเหตสุ มผล

สถานการณ์ (สำหรบั ช้นั มัธยมศกึ ษา) 3x + 6y = 9
ถ้ามรี ะบบสมการ x - 2y = -3 และ

คำถาม จงหาคา่ x และ y จากระบบสมการน้ี

คำตอบ มีคำตอบมากมายไม่จำกัดในรูป ( x , x+3 ) เมอ่ื x แทนจำนวน

2

วธิ ที ี่ 1 การแกร้ ะบบสมการ
ให้ x - 2y = -3 (1)

และ 3x + 6y = 9 (2)

สงั เกตว่า (2) (-3) จะได้ x - 2y = -3 (3) ซ่ึงเป็นสม

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 29 จาก (1) จะไดว่า y = x+3 ดังนัน้ ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม

2

วธิ ที ่ี 2 กราฟ

ถ้าเขยี นกราฟ จะเห็นว่ามีคู่อันดบั มากมายทีเ่ ป็นคำตอบของสมการ

x - 2y = -3 และ 3x + 6y = 9
เน่อื งจากกราฟของสมการทง้ั สองเปน็ เส้นตรงสองเสน้ ซง่ึ ทับกนั หรือเป็นเสน้ ต
อันดบั ทกุ คูอ่ นั ดบั ที่เปน็ พิกัดของจุดบนเสน้ ตรงท่ที บั กนั น้ี เปน็ คำตอบของทัง้ ส

เหตผุ ล สถานการณ์นเ้ี ราสามารถใชเ้ ครื่องมือทางคณิตศาสตร์ (ซง่ึ ในทน่ี ้ีค
กราฟสมการเส้นตรง 2 เสน้ )
ในการจำลองสถานการณ์เพื่อทำให้แน่ใจว่าผลลัพธท์ างคณิตศาสตร์ทีไ่ ด้จากก
ดว้ ยวิธกี ารแกส้ มการตรง ๆ นั้นมคี ำตอบตรงกนั กบั วธิ ีการแก้สมการด้วยกรา

ทำให้แนใ่ จว่าวธิ ีการและผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ ข้อจำกดั และเง่ือนไขตา่ ง ๆ

นจริงใด ๆ

มการเดยี วกันกบั (1)
มจ่ ำกดั ในรูป ( x , x+3 ) เมอ่ื x แทนจำนวนจริงใด ๆ

2

ตรงเดยี วกนั แสดงวา่ คู่
สองสมการ
คือ
การแกป้ ัญหา
าฟ

I5 ตีความ ผลลัพธท์ างคณติ ศาสตร์ การแกป้ ัญหา การแสดงแทน ซง่ึ อยใู่ นรปู แบบ

หรอื ประเมนิ การแสดงแทนอย่างนอ้ ย 2 รูปแบบท่ีเกี่ยวข้องกับสถานการณ์

สถานการณ์ (สำหรบั ชัน้ ประถมศกึ ษา)

จัดหนังสอื วชิ าตา่ ง ๆ แบบแนวตงั้ ลงในกล่องใส่หนงั สืออันหน่ึงกวา้ ง 10 เซน

หนงั สือวิชาคณิตศาสตรห์ นา 1.25 เซนติเมตร

หนังสือวิชาวทิ ยาศาสตรห์ นา 0.75 เซนตเิ มตร

หนงั สอื วชิ าสงั คมศกึ ษาหนา 0.50 เซนตเิ มตร

คำถาม ถา้ ใสห่ นังสือทัง้ สามวิชาลงในกล่องจำนวน 10 เล่มใหพ้ อกับขนาด

คำตอบ

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 30 วิธที ่ี จำนวนหนงั สือวิชาคณิตศาสตร์ (เลม่ ) จำนวนหน

13
24
34
44
53

เหตผุ ล จากสถานการณน์ ีส้ ามารถประเมนิ การแสดงแทนไดอ้ ยา่ งน้อย 2 รปู

บท่ีหลากหลายเพ่ือเช่ือมโยงกับสถานการณห์ รือการใช้งาน เช่น การเปรยี บเทยี บ
นตเิ มตร โดยหนังสือแตล่ ะเล่มมีความหนาดังน้ี

ดของกล่อง หนงั สอื แตล่ ะวชิ ามีกเ่ี ลม่

นงั สอื วชิ าคณิตศาสตร์ (เล่ม) จำนวนหนังสอื วิชาคณติ ศาสตร์ (เล่ม)

4 3
3 3
4 2
5 1
6 1

ปแบบท่เี กยี่ วขอ้ งกบั สถานการณ์

I5 ตคี วาม ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ การแกป้ ญั หา การแสดงแทน ซง่ึ อยูใ่ นรูปแบบ
หรือประเมินการแสดงแทนอย่างน้อย 2 รปู แบบทเี่ กีย่ วข้องกบั สถานการณ์

สถานการณ์ (สำหรับชน้ั มธั ยมศึกษา)
หมู่บา้ นเบญจาต้องการสร้างสระวา่ ยนำ้ รูปสีเ่ หล่ียมมุมฉากขนาดกว้าง 10 เม
โดยใหข้ อบสระว่ายนำ้ ซ่ึงจะปูด้วยกระเบ้ืองมคี วามกวา้ งเทา่ กันโดยตลอด ถ้า
สระว่ายน้ำรวมขอบมพี ืน้ ที่ 286 ตารางเมตร
คำถาม ขอบสระวา่ ยน้ำนีก้ ว้างเท่าไร
คำตอบ 0.5 เมตร

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 31 วธิ ที ่ี 1 การแก้ระบบสมการ x
10 + 2x
ใหข้ อบสระวา่ ยนำ้ กวา้ ง 25 + 2x
ความกวา้ งของสระวา่ ยนำ้ รวมขอบสระ 286
ความยาวของสระวา่ ยนำ้ รวมขอบสระ
เนอื่ งจาก สระว่ายน้ำรวมขอบสระมีพืน้ ที่

จะได้สมการเปน็ (10 + 2x) (25 + 2x) = 286
จะได้ 2x2 + 35x - 18 = 0
(2x - 1) (x + 18) = 0
= 0.5,
x

บทีห่ ลากหลายเพื่อเช่ือมโยงกับสถานการณห์ รือการใช้งาน เช่น การเปรยี บเทยี บ

มตร ยาว 25 เมตร
าบรเิ วณท่ีจะสร้าง

เมตร
เมตร
เมตร
ตารางเมตร

-18

วิธที ี่ 2 คาดการณ์อยา่ งมเี หตผุ ล

พื้นที่ = กว้าง

286 = 22

= 11

=2

จากเดมิ กว้าง 10 เมตร ยาว 25 เมตร จงึ ควรเปน็ แบบที่ 2 นนั่ คือ

26ดงั นนั้ ดา้ นกว้าง เทา่ กบั 11 เมตร

ดา้ นยาว เท่ากับ 26 เมตร

เหตุผล เปรยี บเทยี บการแกป้ ัญหา 2 แบบ เพอ่ื ให้ได้คำตอบท่ถี กู ต้อง

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 32

ง ยาว
13 แบบท่ี 1
26 แบบที่ 2
143 แบบท่ี 3

11

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 33 I6 ใช้ความรใู้ นการพิจารณาวา่ สถานการณ์ในชีวิตจริงส่งผลกระทบต่อผลลพธแ์
เพือ่ ที่จะตดั สนิ ใจไดว้ ่าควรปรับปรุงหรือนำผลลัพธ์ไปประยุกตใ์ ชไ้ ด้

สถานการณ์ (สำหรับช้ันประถมศกึ ษา)
มาลีตอ้ งการตดั แบง่ กระดาษรปู สเี่ หลยี่ มมุมฉากกวา้ ง 20 ซม. ยาว 22 ซม. ด
กระดาษรปู สเ่ี หลีย่ มแผ่นเล็กกวา้ ง 2 ซม. ยาว 4 ซม. เพอื่ ที่จะหาจำนวนของ
ท่ีมากท่สี ุด เธอเริม่ ต้นหาพื้นที่ของกระดาษรูปสีเ่ หลย่ี มมุมฉาก เทา่ กับ 440 ตร
ของกระดาษรปู สเี่ หล่ยี มแผน่ เลก็ เทา่ กบั 8 ตร.ซม. จากนนั้ จงึ นำพ้ืนที่ของกร
มมุ ฉากหารดว้ ยพน้ื ที่ของกระดาษรูปสี่เหลี่ยมแผน่ เลก็ เทา่ กบั 55 มาลี จงึ สร
ตัดแบง่ กระดาษเป็นแผ่นเลก็ ไดท้ ้งั หมด 55 แผน่ โดยเธอจะตดั กระดาษด้วยก
ด้านยาว 4 ซม. ลงบนกระดาษแผน่ ใหญใ่ นด้านยาว 22 ซม. และดา้ นกวา้ ง 2
กระดาษแผน่ ใหญ่ในดา้ นกวา้ ง 20 ซม. ดงั รปู ข.
คำถาม วิธีการคิดและขอ้ สรุปของมาลีมีความสมเหตสุ มผลหรือไม่
คำตอบ ไม่สมเหตสุ มผล เพราะถ้าตัดกระดาษในแนวนจ้ี ะไมส่ ามารถตัดกระด
กระดาษในอกี แนวหน่งึ ดังรปู ค.
เหตุผล สถานการณ์นี้นักเรียนตอ้ งใช้ความร้ใู นการพิจารณาว่าสถานการณใ์ น
ได้มากสดุ 55 แผ่น ถา้ ตดั กระดาษถูกวธิ ี แต่หากตัดกระดาษในวิธีดงั กล่าวข้าง
จะต้องปรับปรุงวิธีการตัดกระดาษก่อนโดยต้องตดั กระดาษในรูป ค.

และการคำนวณตามข้นั ตอนหรือแบบจำลองทางคณติ ศาสตร์อยา่ งไร

ดงั รูป ก. ออกเป็น
งกระดาษแผ่นเลก็
ร.ซม. และพื้นที่
ระดาษรปู สเี่ หลย่ี ม
รปุ ว่า เธอสามารถ
การวางกระดาษ
2 ซม. ลงบน

ดาษไดท้ ง้ั หมด 55 แผน่ เพราะจะตัดกระดาษไดเ้ พยี ง 50 แผน่ ดงั นนั้ ต้องตดั

นชีวติ จริงสง่ ผลกระทบตอ่ ผลลัพธแ์ ละการคำนวณว่าจะตดั แบ่งกระดาษเปน็ แผ่นเลก็
งตน้ จะได้จำนวนกระดาษแผ่นเลก็ น้อยกว่า 55 แผ่น ดังนั้นนักเรยี นจะต้องรกู้ ่อนว่า

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 34 I6 ใชค้ วามรูใ้ นการพิจารณาวา่ สถานการณ์ในชีวติ จริงส่งผลกระทบต่อผลลพธแ์
เพอ่ื ทจ่ี ะตดั สินใจไดว้ า่ ควรปรับปรงุ หรือนำผลลพั ธไ์ ปประยุกต์ใช้ได้

สถานการณ์ (สำหรบั ชั้นมัธยมศกึ ษา)
ถา้ นักเรยี นทำกจิ กรรมจติ อาสากบั เพ่อื น ๆ โดยการเก็บขยะทะเลท่ีสถานท่ที
• จะมโี อกาสเปน็ ขวดน้ำด่ืมพลาสติกมากกว่าเป็นภาชนะบรรจุอาหาร
• จะมีโอกาสเปน็ ขยะที่ทำจากพลาสติกมากท่ีสุด
• จะมโี อกาสเป็นเศษเชอื กเทา่ ๆ กบั เปน็ กระป๋องนำ้
• จะมีโอกาสน้อยทีจ่ ะเปน็ ฝา/จุก
คำถาม ข้อคาดการณ์ขา้ งตน้ มีความสมเหตสุ มผลกบั สถานการณ์ปจั จบุ นั หร
คำตอบ ไม่สมเหตสุ มผลกบั สถานการณป์ ัจจุบนั เพราะขอ้ มลู นเี้ ป็นขอ้ มลู ในอ
ขยะทะเลอาจจะเปลี่ยนแปลงไป
เหตผุ ล จากสถานการณน์ ้ีนกั เรยี นสามารถใชค้ วามรู้พิจารณาวา่ สถานการณ
ผลกระทบต่อผลลพั ธเ์ พราะขอ้ มลู ที่ให้มาเปน็ ขอ้ มูลในอดีต หากจะนำขอ้ มลู น
ในอนาคตน้นั จะต้องพิจารณาใหด้ ีว่าอาจมีการเปลย่ี นแปลง
I7 สรา้ งและสื่อสารคำอธบิ ายและข้อโตแ้ ยง้ ในบรบิ ทของปัญหา

สถานการณ์ (สำหรับชัน้ ประถมศกึ ษา)
ต้องการห่อของขวญั โดยใชก้ ระดาษทต่ี ัดดังรูป
คำถาม จะสามารถห่อของขวญั ได้หรือไม่ อย่างไร
คำตอบ ไมส่ ามารถห่อของขวญั ได้ เพราะถ้าตัดกระดาษแบบนี้ จะไมส่ าม
เหตผุ ล กรณนี ีเ้ ราจะตอ้ งสรา้ งและส่อื สารข้อโต้แย้งวา่ ไมส่ ามารถหอ่ ของขวัญ

และการคำนวณตามขั้นตอนหรือแบบจำลองทางคณติ ศาสตร์อยา่ งไร
ท่องเท่ียวแห่งหนึ่ง

รอื ไม่ เพราะเหตุใด
อดตี อนั ดบั ของ

ณ์ในชีวิตจรงิ สง่
นไี้ ปเป็นขอ้ สรุป

ที่มา ฐานขอ้ มลู ขยะทะเล กรมทรพั ยากรทางทะเลและชายฝงั่ 2560

มารถปิดด้านล่างได้ ถ้าจะปดิ ดา้ นล่างได้
ญไดเ้ ต็มหรอื ปดิ รปู ได้

I7 สรา้ งและส่ือสารคำอธบิ ายและข้อโต้แย้งในบรบิ ทของปญั หา

สถานการณ์ (สำหรบั ชน้ั มธั ยมศึกษา)
อตั ราค่าเขา้ ใช้บริการศนู ย์กฬี าและสุขภาพของหมบู่ า้ นแห่งหน่งึ เป็นดังแสดง

ในกรณีทไี่ มเ่ ปน็ สมาชิก แตเ่ ปน็ ผูพ้ กั อาศยั ในหมบู่ ้านน้ี จะไดล้ ดราคาค่าใช้บ

คำถาม ถา้ ตแ๋ี ละน้องชายอย่ใู นหมบู่ า้ นแหง่ น้ี และวางแผนไวว้ า่ จะมาใช้บรกิ

และสขุ ภาพแห่งน้ี เขาควรเลอื กสมัครเปน็ สมาชกิ หรือไม่ เพราะเหตุใด

คำตอบ ขึน้ อยูก่ ับกรณีในการตัดสินใจว่าจะใชบ้ ริการก่คี รงั้ ต่อเดือน เช่น ถา้ จ

ศนู ยก์ ีฬาและสุขภาพนี้ 35 ครั้งในช่วง 3 เดือน จะพบว่า

กรณีไมเ่ ปน็ สมาชิก

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 35 เสยี คา่ บรกิ ารคนละ 35 15 = 525

แตเ่ นื่องจากตีแ๋ ละนอ้ งชายอยใู่ นหมบู่ า้ นน้ี จงึ ได้ลดราคาค่าใช้บรกิ า

ดงั นั้น จะเสียค่าบริการคนละ 525 0.9 = 472.

กรณเี ป็นสมาชิก

เสยี ค่าบริการคนละ 159 3 = 477

ดงั น้ันต๋แี ละน้องชายไม่จำเป็นต้องสมัครสมาชิก

เหตุผล สถานการณ์นีน้ ักเรยี นจะตอ้ งสรา้ งสมมตฐิ านหรือเงื่อนไขขึน้ มาก่อนว

การตัดสนิ ใจเปล่ยี นไป เพราะอาจจำเป็นต้องสมคั รสมาชกิ น่นั คือเป็นการฝกึ

งในภาพ
บริการ 10 %
การที่ศนู ยก์ ีฬา

จะใชบ้ ริการท่ี

าร 10% บาท
.50 บาท

บาท

วา่ จะใช้บริการก่คี รงั้ ในช่วงที่สนใจ เพราะถา้ จำนวนครงั้ เปล่ยี นไป จะทำให้
กให้นักเรียนสร้างและสื่อสารคำอธิบายและขอ้ โตแ้ ย้งในบรบิ ทของปัญหา

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 36 I8 อธบิ าย หรือตีความ หรอื แสดง ขอบเขต ข้อจำกดั ของมโนทศั นท์ างคณิต

สถานการณ์ (สำหรบั ชั้นประถมศกึ ษา)
ตารางเดินรถแสดงเวลาทร่ี ถไฟออกจากกรงุ เทพ ไปยงั สถานตี า่ ง ๆ
คำถาม ถ้าต้องการเดินทางจากกรุงเทพ ไปถึงเชียงใหม่ ก่อนเวลา
06.00 น.จะต้องข้นึ รถขบวนใด
คำตอบ ต้องข้ึนรถหมายเลขบวน 109 โดยเรมิ่ ต้นเดนิ ทางจากกรุงเทพ
เวลา 13.45 น. ถึงสถานอี ุตรดติ ถ์ เวลา 22.20 น. และออกจากสถานี
อุตรดิตถ์ เวลา 22.23 น. ถงึ เชยี งใหมเ่ วลา 04.05 น.
เหตุผล มโนทัศน์ทางคณิตศาสตรใ์ นสถานการณน์ ้ี คือ การอา่ น
ตารางเวลา ซึ่งในทีน่ ีค้ ือตารางการเดนิ รถไฟ โดยมขี ้อจำกดั วา่ จะมี
จำนวนรอบจำกดั ในการเดนิ ทาง คำถามนจี้ ะทำใหน้ ักเรียนตคี วาม
และแสดงขอบเขตข้อจำกัดของมโนทศั น์ทางคณิตศาสตร์
เพื่อนำไปสูว่ ิธกี ารแก้ปญั หาและผลลพั ธท์ างคณิตศาสตร์

ตศาสตร์ วธิ ีการแก้ปญั หาและผลลัพธท์ างคณติ ศาสตร์

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 37 I8 อธบิ าย หรอื ตีความ หรือแสดง ขอบเขต ข้อจำกดั ของมโนทศั น์ทางคณติ
สถานการณ์ (สำหรับชนั้ มธั ยมศึกษา)
โรงเรยี นและโรงพยาบาลตงั้ อยคู่ นละฟากของรมิ ฝั่งแมน่ ำ้ ซึ่งขนานกันที่จุด A

ต้องการสรา้ งสะพานขา้ มแมน่ ำ้ โดยใหแ้ นวสะพานตั้งฉากกับริมฝัง่ แมน่ ้ำทงั้ สอ
ทจี่ ะสร้างสะพานดงั กลา่ ว พร้อมคำอธิบาย
คำถาม ข้อจำกัดของวธิ กี ารและผลลัพธข์ องสถานการณป์ ัญหานี้คืออะไรบา้
คำตอบ ให้รมิ ฝั่งแมน่ ำ้ คอื AC และ B D ดังรปู วิธีหาตำแหนง่

1. สร้าง AP ให้ตง้ั ฉากกับ B D ที่จุด X
2. สรา้ ง RS แบง่ ครง่ึ และตง้ั ฉากกบั XB จะได้ R S เปน็ แ
เหตผุ ล มโนทัศน์ทางคณิตศาสตรใ์ นสถานการณน์ ้ี คือ การแบ่งครง่ึ สว่ น
และแสดงขอบเขตข้อจำกัดของมโน
ทัศนท์ างคณิตศาสตร์ เพอื่ นำไปสวู่ ธิ ีการแกป้ ัญหาและผลลัพธท์ างคณติ ศา

ตศาสตร์ วธิ ีการแกป้ ญั หาและผลลพั ธท์ างคณติ ศาสตร์
และ B ตามลำดบั ดังแผนภาพ

อง และอยู่ห่างจากโรงเรียนและโรงพยาบาลเป็นระยะเท่ากัน จงหาตำแหนง่
าง
งท่ีจะสร้างสะพานทำได้ดงั น้ี
แนวเสน้ ตรงที่จะสร้างสะพาน
นของเสน้ ตรง โดยคำถามนีจ้ ะทำใหน้ ักเรียนตีความ
าสตร์

I9 เข้าใจความสมั พันธร์ ะหวา่ งบริบทของปญั หากบั การแสดงแทน เพื่อชว่ ยในกา

สถานการณ์ (สำหรับช้ันประถมศึกษา)
นาย ก. เดินทางจากบ้านไปท่ารถใชเ้ วลา 1 ชั่วโมง 30 นาที หลงั จากน้ันก็ข
จากบา้ นไปโรงพยาบาลได้เป็น 1.30 + 0.40 = 1.70 ชว่ั โมง ดังนัน้ นาย ก. จึงส
คำถาม แนวคิดและผลลพั ธ์ของนาย ก. สมเหตสุ มผลกับบริบทหรือไม่
คำตอบ ไม่สมเหตสุ มผล เพราะเวลา 70 นาที แท้จริงแล้วคอื 1 ชว่ั โมง 1
เหตุผล สถานการณน์ ีจ้ ะทำใหน้ ักเรยี นเข้าใจความสัมพนั ธ์ระหวา่ งบริบทขอ
1.30 ชั่วโมง แต่ไมถ่ ูกตอ้ ง เพราะจริง ๆ แลว้ ควรเขียนเปน็ 1.50 ชัว่ โมง
0.67 ชวั่ โมง

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 38

ารตคี วามและการประเมนิ ความเป็นไปได้และข้อจำกัดของวิธกี ารแกป้ ัญหาและผลลัพธ์

ขน้ึ รถโดยสารไปโรงพยาบาลในจังหวดั ใช้เวลา 40 นาที นาย ก. คำนวณเวลาเดินทาง
สรุปวา่ เขาใช้เวลาเดนิ ทางทั้งส้นิ 1 ชั่วโมง 70 นาที

10 นาที ดังน้ัน คำตอบท่ีถูกต้องคือ 2 ชัว่ โมง 10 นาที
องปญั หากบั การแสดงแทน เชน่ เวลา 1 ชั่วโมง 30 นาที สามารถแสดงแทนไดด้ ้วย
งมากกว่า ในทำนองเดยี วกนั เวลา 40 นาที สามารถแสดงแทนได้ด้วย 2/3 =

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 39 I9 เข้าใจความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งบริบทของปญั หากบั การแสดงแทน เพ่ือช่วยในกา

สถานการณ์ (สำหรบั ชั้นมัธยมศึกษา)
จากการสอบถามยอดขายโทรศพั ทร์ ่นุ A และร่นุ B ของรา้ นค้าแห่งหน่งึ ในท
สนิ้ เดอื นตงั้ แตเ่ ดือนมกราคมถงึ เดือนกนั ยายน
สามารถนำข้อมลู มาแสดงไดด้ งั กราฟตอ่ ไปนี้ คำถาม
ก. ในเดอื นมนี าคม ร้านค้าแห่งนข้ี ายโทรศพั ท์รุน่ ใดไดม้ ากกว่ากนั และนกั เร
ข. ในเดอื นใดท่ียอดขายโทรศัพท์ร่นุ A และรุ่น B เทา่ กนั และนกั เรียนทรา
ค. ในเดือนตลุ าคม รา้ นคา้ แหง่ นค้ี วรสง่ั โทรศัพท์ร่นุ ใดมาขายมากกว่ากัน เพ
คำตอบ
ก. รนุ่ A เพราะเส้นกราฟของรุ่น A เหนือกว่าเส้นกราฟของร่นุ B ที่เดือนม
ข. เดอื นพฤษภาคม เพราะเสน้ กราฟทงั้ สองเสน้ ตดั กันแสดงวา่ จำนวนยอดขา
ค. รุน่ B เพราะเส้นกราฟของรนุ่ B มีแนวโนม้ วา่ จะเพม่ิ ขึ้นในเดือนถัดไป ใน
เหตผุ ล นักเรยี นจะต้องเขา้ ใจวา่
(1) ร้คู วามสมั พนั ธร์ ะหว่างบริบทของปัญหากับการแสดงแทนว่า เมอ่ื เวลาผา่
(2) ขอ้ จำกดั ของวธิ ีการแก้ปัญหาและผลลพั ธข์ องกราฟน้ี คือ การทำนายผล

โทรศัพท์รุ่นใหมเ่ ขา้ มาและทำใหจ้ ำนวนการขายโทรศัพทเ์ ปลีย่ นแปลงได

ารตีความและการประเมินความเปน็ ไปไดแ้ ละข้อจำกดั ของวิธีการแก้ปัญหาและผลลัพธ์

ทุก ๆ

รียนทราบไดอ้ ย่างไร
าบได้อยา่ งไร
พราะเหตใุ ด

มีนาคมซึ่งอยรู่ ะหว่างเดอื นมกราคมถึงเดือนพฤษภาคม
ายโทรศัพท์ทง้ั 2 รุ่นมคี า่ เทา่ กัน
นขณะท่เี สน้ กราฟของรุ่น A มีแนวโน้มลดลง

านไปโทรศัพทร์ ุ่น A ขายได้ลดลงในขณะโทรศพั ท์รุ่น B ขายไดเ้ พ่ิมขนึ้
ลจะถูกตอ้ งในชว่ งระหวา่ งเดอื นมกราคมถึงกันยายนนี้เทา่ นั้น เพราะในอนาคตอาจมี
ด้

สมรรถนะการให้เหตุผลทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Reasoning: R)

สมรรถนะการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ คือ ความสามารถของบคุ คลในการให้เหตผุ ลอยา่ งสมเหตสุ มผล
และนำเสนอข้อโต้แย้งที่น่าเชื่อว่าเป็นไปได้อย่างตรงไปตรงมา ด้วยคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่มีกรอบแนวคิด
ที่ชัดเจน แต่ก็สามารถวิเคราะห์และแปลความได้หลากหลาย การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ จึงมีความสำคัญ
เพิ่มมากขน้ึ ในการลงข้อสรปุ ทแี่ น่ชดั และเป็นจรงิ อยเู่ สมอ นอกจากน้ี ผู้เรียนจะได้เรยี นรู้วา่ ในบริบทโลกชีวติ จริง
ที่มีความหลากหลาย ผลลัพธท์ างคณิตศาสตร์ที่เช่ือถือได้จะต้องเกิดจากการให้เหตุผลและการกำหนดข้อตกลง
เบ้ืองต้นทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม และสิ่งที่สำคัญที่สุด คือ การลงข้อสรุปนั้นจะต้องทำอย่างเป็นกลาง แม้จะ
ไม่มีการตรวจสอบจากผู้อื่นก็ตาม สมรรถะการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกระบวนการต่าง ๆ
ดงั แสดงในตารางที่ 3.7 และตัวอยา่ งกจิ กรรมการเรยี นร้ทู จ่ี ะสนับสนุนผเู้ รยี นใหไ้ ด้ฝึกฝนกระบวนการเหล่าน้ัน
ดงั แสดงในตารางที่ 3.8

หน่วยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรียนรู้ | 40

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 41 ตารางท่ี 3.7 การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (R)

การใหเ้ หตผุ ลทางคณิตศาสตร์ (R)
R1 แสดงขอ้ สรุปทีไ่ ม่ซบั ซ้อนได้
R2 เลือกใชเ้ หตผุ ลทเ่ี หมาะสม
R3 อธบิ ายไดว้ ่าผลลัพธห์ รอื ข้อสรุปทีไ่ ดส้ มเหตุผลหรอื ไม่กบั บริบทของปญั หา
R4 นำเสนอปญั หาในรปู แบบท่ีแตกต่าง รวมถงึ จัดการกับปัญหาใหส้ อดคลอ้ งกับ
R5 ใชบ้ ทนยิ าม กฎ และระบบที่มีข้ันตอนและวธิ กี ารทีช่ ดั เจน รวมถึงอลั กอริทึม
R6 อธบิ ายและหาขอ้ สนับสนุนวา่ การใหเ้ หตุผลสำหรบั การแสดงแทนสถานการณ
R7 อธิบายหรอื หาข้อสนบั สนนุ วา่ การใหเ้ หตุผลสำหรับกระบวนการ รวมถงึ ข้ันต

สมเหตุสมผล
R8 ระบขุ ้อจำกดั ของแบบจำลองทีใ่ ชใ้ นการแกป้ ญั หา
R9 เขา้ ใจบทนิยาม กฎ และระบบทม่ี ขี ้นั ตอนและวธิ กี ารท่ีชดั เจน รวมถงึ การใช
R10 ให้เหตุผลวา่ การใช้การแสดงแทนสถานการณใ์ นโลกจรงิ นน้ั สมเหตสุ มผล
R11 ให้เหตผุ ลว่ากระบวนการและข้ันตอนในการหาผลลัพธห์ รอื วิธีการแก้ปัญหาท
R12 สะท้อนขอ้ โต้แย้งทางคณติ ศาสตร์ เพื่ออธบิ ายและแสดงเหตุผลต่อผลลพั ธ
R13 วพิ ากษ์ข้อจำกดั ของแบบจำลองในการแก้ปัญหา
R14 ตคี วามผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ และอธิบายความหมายของผลลพั ธ์ที่ไดว้
R15 อธบิ ายความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งคำเฉพาะท่ใี ชก้ ับโจทยป์ ญั หาในบรบิ ทนน้ั ๆ กับ

บมโนทัศนท์ างคณติ ศาสตร์และการกำหนดขอ้ ตกลงเบื้องตน้ ทเ่ี หมาะสม
มและการคดิ เชงิ คำนวณ
ณใ์ นโลกจรงิ ท่ีกำหนดมาให้นัน้ สมเหตุสมผล
ตอนหรือการจำลอง ทใ่ี ชใ้ นการหาผลลัพธ์หรอื วธิ ีการแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตรน์ ้นั

ช้อลั กอริทึมและการให้เหตุผลเชงิ คำนวณ

ทางคณิตศาสตร์น้นั สมเหตุสมผล
ธท์ างคณิตศาสตรท์ ีไ่ ด้

วา่ สมเหตุสมผลกับบริบทโลกจรงิ
บ ภาษาหรอื สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

การใหเ้ หตุผลทางคณิตศาสตร์ (R)
R16 สะทอ้ นวธิ ีการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ พรอ้ มทง้ั สร้างคำอธิบายทสี่ นบั สนนุ
R17 วิเคราะหค์ วามเหมอื นและความแตกต่างระหวา่ งปัญหาทางคณิตศาสตร์กบั แ
R18 อธบิ ายการทำงานของอลั กอรทิ มึ ทไ่ี ม่ซับซ้อน รวมท้ังอธิบายการตรวจสอบแล

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 42

น หรอื สรา้ งข้อโตแ้ ย้งท่ีปฏิเสธวิธกี ารแก้โจทย์ปัญหาน้ัน
แบบจำลองทางคณติ ศาสตร์ท่ีใชแ้ ก้ปญั หานั้น
ละการแกไ้ ขขอ้ ผดิ พลาดอลั กอริทมึ หรอื โปรแกรม

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 43 ตารางท่ี 3.8 ตวั อย่างกิจกรรมการเรียนร้ทู ี่เกีย่ วกับสมรรถนะการให้เหตุผลทางคณิตศ

R1 แสดงขอ้ สรปุ ทไี่ ม่ซบั ซ้อนได้
ครูกำหนดสถานการณ์ ให้นกั เรยี นพบั แถบกระดาษ 3 ชนิ้ ท่ีมีขนาดเท่ากัน (
ชิ้นท่ี 2 ให้เป็น 4 สว่ น และชิ้นที่ 3 ใหเ้ ป็น 8 สว่ น ทแ่ี ต่ละสว่ นมีขนาดเทา่ ๆ กนั
และ 1/8 แลว้ จึงเปรยี บเทียบเศษสว่ นท้งั สามนั้น วา่ เศษสว่ นใดมคี า่ มากหรือ
แนวคำตอบ: นกั เรยี นจะได้ข้อสรุปจากการทำกิจกรรมวา่ เศษสว่ นเปน็ การแ
มคี ่ามาก (แบง่ เปน็ หลาย ๆ ส่วน) แตล่ ะส่วนกจ็ ะมีขนาดเล็กลง หรอื มีจำนวน

R2 เลอื กใชเ้ หตุผลทีเ่ หมาะสม
ครตู ั้งคำถามกับนกั เรยี นในห้องว่า เมื่อลากเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกัน เพราะเหตุใ
แนวคำตอบ: มมุ ทัง้ สองมีขนาดเทา่ กันเพราะเปน็ “มมุ ตรงขา้ ม”

R3 อธิบายได้ว่าผลลัพธห์ รือข้อสรุปท่ไี ด้สมเหตผุ ลหรือไม่กบั บริบทของปญั หา
ครกู ำหนดสถานการณ์ ใหม้ ีพิซซ่า 2 ถาด ทมี่ ีขนาดเท่ากัน ถาดแรกถกู ตัดเป
พิซซ่าในถาดแรกไปแลว้ 5 ชน้ิ ในขณะที่รบั ประทานถาดทสี่ องไปแลว้ 7 ชนิ้
นักเรยี นคดิ ว่าข้อสรุปนี้ถูกต้องหรือไม่ เพราะเหตุใด
แนวคำตอบ: แมว้ ่าทง้ั สองถาดจะมีพซิ ซ่าเหลือ จำนวน 1 ชนิ้ เท่ากัน แต่ดว้ ยก
แตล่ ะชิ้นในถาดแรกมีขนาดใหญ่กวา่ ถาดที่สอง พซิ ซ่าที่เหลือในถาดแรกจงึ ม

ศาสตร์ (R)

(ประมาณ 2 เซนตเิ มตร x 20 เซนติเมตร) โดยพบั กระดาษชิ้นท่ี 1 ให้เป็น 2 สว่ น
น ตอ่ มาใหน้ ักเรยี นระบายสลี งบนกระดาษเพื่อแสดงเศษสว่ น เช่น 1/2 1/4
อนอ้ ยกวา่ กนั โดยการเปรียบเทยี บขนาดของกระดาษส่วนที่ถูกระบายสี
แสดงถึงการแบง่ สว่ นของสิ่งหน่งึ ๆ ให้มีขนาดหรือจำนวนเท่า ๆ กัน และเม่ือตัวส่วน
นน้อยลง

ใดมมุ ที่อย่ตู รงขา้ มกันบริเวณจดุ ตัดของเส้นตรงจึงมีขนาดเท่ากนั

ปน็ 6 ชนิ้ เท่า ๆ กนั ส่วนถาดที่สองถกู ตัดเป็น 8 ชน้ิ เท่า ๆ กนั มีนักเรยี นรบั ประทาน
น ถา้ จะสรุปวา่ พิซซา่ ทีเ่ หลือในถาดแรกมปี รมิ าณมากกวา่ ถาดทสี่ อง

การตัดแบง่ ท่ีไมเ่ ทา่ กนั ถาดแรกแบ่งเปน็ จำนวนชิ้นนอ้ ยกวา่ ถาดทส่ี อง ทำใหพ้ ิซซา่
มปี ริมาณมากกวา่ พิซซา่ ในถาดท่ีสอง

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 44 R4 นำเสนอปญั หาในรปู แบบทีแ่ ตกต่าง รวมถึงจดั การกบั ปัญหาใหส้ อดคล้องกับ
หทยั สะสมเหรยี ญสบิ บาทและเหรยี ญห้าบาทไว้จำนวนหน่ึง เมอ่ื นำมานับดู พ
1,600 บาท อยากทราบว่าหทยั มเี หรียญสิบบาทและเหรยี ญห้าบาทอยา่ งละ
ให้ x แทน จำนวนเหรียญสิบบาท
y แทน จำนวนเหรยี ญห้าบาท
ดังน้ันประโยค
(1) มีเหรียญสิบบาทมากกวา่ เหรียญหา้ บาทอยู่ 49 เหรียญ เขยี นไดเ้ ป็น
(2) มเี งินรวม 1,600 บาท เขยี นได้เป็น
การแสดงแทนอยา่ งแรก คอื การแสดงประโยคดว้ ยสมการ (1) และ (2)
การแสดงแทนอย่างทส่ี อง คอื การแสดงประโยคดว้ ยกราฟ ดงั รูป

สมมตฐิ านทเี่ หมาะสม คอื x และ y จะต้องเปน็ จำนวนเตม็ บวกตั้งแต่ 1 เป็น

บมโนทัศนท์ างคณติ ศาสตร์และการกำหนดขอ้ ตกลงเบอ้ื งต้นทเ่ี หมาะสม

พบว่ามีเหรียญสิบบาทมากกวา่ เหรียญหา้ บาทอยู่ 49 เหรียญ คิดเป็นเงินรวม
ะก่เี หรยี ญ

x - y = 49 (1)

10x + 5y =1,600 (2)

นตน้ ไป (ไมส่ ามารถเป็นเศษส่วนแท้ หรอื จำนวนลบได)้

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 45 R5 ใชบ้ ทนิยาม กฎ และระบบท่ีมขี นั้ ตอนและวธิ กี ารท่ีชดั เจน รวมถงึ อลั กอริทึม
ครกู ำหนดสถานการณ์ ใหน้ กั เรยี นนำเสนอวิธีการหาค่าของ 1 + 2 + 3 +
แนวคำตอบ: สำหรบั 1 + 2 + 3 + … + 10 นกั เรยี นอาจใชว้ ธิ ีการบวกทกุ
(10 + 1) + (9 + 2) + (8 + 3) + (7 + 4) + (6 + 5) = 11 + 11 + 11
ครูชกั ชวนนกั เรยี นร่วมกันอภิปรายจนสงั เกตเหน็ รูปแบบ ดังน้ี

1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + [(n-1) + 2] + [(n-2) + 3] + ... =
ดงั นัน้ ในการหาค่าของ 1 + 2 + 3 + … + 100 นกั เรียนสามารถทำไ

R6 อธบิ ายและหาขอ้ สนับสนนุ ว่าการใหเ้ หตุผลสำหรบั การแสดงแทนสถานการณ
ครกู ำหนดสถานการณ์ ให้มีพิซซ่า 2 ถาด ที่มีขนาดเทา่ กัน ถาดแรกถกู ตดเป
พิซซา่ ในถาดแรกไปแลว้ 3 ชน้ิ ในขณะที่รบั ประทานถาดทสี่ องไปแลว้ 6 ชน้ิ
ซ่ึงมีปรมิ าณมากกวา่ ถาดแรกทม่ี ีเพียง 1 ชน้ิ นกั เรียนคดิ ว่าขอ้ สรปุ นี้ถูกต้องห
แนวคำตอบ: ข้อสรปุ นไี้ ม่ถกู ต้อง อย่างไรก็ตามครคู วรกระตนุ้ ใหเ้ กดิ การโต้แ
เพราะเหตุใดข้อสรุปนีจ้ ึงไมถ่ ูกตอ้ ง

R7 อธิบายหรือหาข้อสนบั สนนุ ว่าการใหเ้ หตผุ ลสำหรบั กระบวนการ รวมถงึ ขัน้ ตอ
สมเหตสุ มผล

ในสถานการณ์ที่ครูใหน้ ักเรียนแก้สมการแล้วไดผ้ ลลพั ธแ์ ตกตา่ งกัน ครคู วรให
แกป้ ญั หาของนักเรียนไม่ถูกต้อง ครูอาจแนะนำและชใ้ี ห้นกั เรยี นเห็นว่าวธิ กี า
500 บาท และให้นักเรียนแสดงสถานการณโ์ ดยใช้แปลงข้อมูลเปน็ แผนภาพ ส
250 บาท เมอ่ื พบว่าแผนภาพของตวั เองผดิ พลาด นกั เรียนสามารถอธบิ าย

มและการคิดเชงิ คำนวณ
+ … + 10 ตอ่ มาให้นักเรียนนำเสนอวธิ กี ารหาคา่ ของ 1 + 2 + 3 + … + 100
ๆ จำนวนโดยตรง ต่อมาครูอาจนำเสนอวธิ กี ารอืน่ เช่น
+ 11 + 11 = 11 x 5

= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... = n(n2+ 1)
ได้โดยการใช้ความสมั พนั ธต์ ามรปู แบบขา้ งต้น

ณ์ในโลกจรงิ ท่ีกำหนดมาให้นัน้ สมเหตุสมผล
ป็น 4 ชนิ้ เท่า ๆ กนั ส่วนถาดทสี่ องถกู ตดั เปน็ 8 ชน้ิ เท่า ๆ กนั มีนักเรียนรับประทาน
ถา้ จะสรปุ วา่ พิซซา่ ทเ่ี หลือในถาดทสี่ องจำนวน 2 ชิ้น
หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
แย้งกนั ในชนั้ เรยี น โดยนกั เรียนอาจใชก้ ารวาดแผนภาพเพ่ือสนบั สนุนเหตุผลวา่

อนหรอื การจำลองทใ่ี ชใ้ นการหาผลลัพธห์ รือวิธกี ารแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์นน้ั

หน้ ักเรยี นอธิบายกระบวนการคิดพร้อมอธิบายเหตผุ ลประกอบ กรณที ่วี ธิ กี าร
ารของตนเองไมถ่ ูกต้องอย่างไร เช่น ครูกำหนดสถานการณ์ ให้ เอ มีเงนิ มากกวา่ บี อยู่
สมมตใิ หน้ กั เรียนเขยี นแผนภาพผดิ โดยแสดงในแผนภาพว่า เอ มีเงนิ มากกวา่ บี เพยี ง
ยได้วา่ การใชแ้ บบจำลอง (แผนภาพ) ดังกล่าวไมถ่ ูกต้องเพราะเหตุใด

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 46 R8 ระบขุ ้อจำกัดของแบบจำลองทใ่ี ชใ้ นการแกป้ ญั หา
ครูกำหนดสถานการณ์ ให้นักเรยี นศกึ ษาเศษสว่ น 1/7 และ 2/7 โดยการแบ
ทำได้อยา่ งไร
แนวคำตอบ: ไมส่ ามารถทำได้ โดยนักเรยี นควรระบุไดว้ ่าทำไม่ได้ เพราะ มีข
เหมือนกนั ได้
นอกจากนีค้ รอู าจดัดแปลงรปู แบบกจิ กรรมโดยกำหนดให้มรี ูปเรขาคณิตให้นกั
และมรี ปู รา่ งเหมือนกัน เมอ่ื นักเรยี นเลือกแล้วครูถามเพมิ่ เติมเก่ยี วกับเหตผุ ล
แต่ไม่จำเป็นจะตอ้ งระบุไดว้ ่ามีขอ้ จำกัดอะไร

R9 เข้าใจบทนยิ าม กฎ และระบบท่มี ีขน้ั ตอนและวธิ กี ารทีช่ ัดเจน รวมถึงการใช
ครกู ำหนดสถานการณ์ ให้นักเรียนนำเสนอวธิ กี ารหาคา่ ของ 1 + 2 + 3

โดยให้นกั เรียนอธบิ ายว่าสตู รดงั กลา่ วมที ่ีมาอยา่ งไร และเพราะเหตุใดจึงใหผ้ ล
โดยตรง
แนวคำตอบ: ครชู ีใ้ ห้นกั เรยี นเห็นรปู แบบ ดังน้ี
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (10 + 1) + (9 + 2
+(6+5)=11+11+11+11+11=11 x 5
1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + [(n-1) + 2] + [(n-2) + 3] + ... =
(n + 1) +…= n(n + 1)

2

บง่ รปู หกเหล่ียมด้านเท่าเปน็ เจด็ สว่ นท่ีเท่ากันและเหมือนกนั นักเรยี นคดิ ว่าจะสามารถ
ข้อจำกดั ของรูปหกเหลีย่ มด้านเท่าทำให้ไม่สามารถแบง่ ใหเ้ ปน็ 7 สว่ นทเ่ี ท่ากนั และ
กเรยี นเลอื กเพอื่ ใช้ในการศึกษาเร่อื งเศษสว่ น ซึง่ จะตอ้ งแบ่งรปู ต่าง ๆ ให้เท่ากัน
ลว่าทำไมจึงเลือกหรอื ไม่เลือกรปู เรขาคณิตน้นั ๆ โดยนกั เรยี นอาจระบุไดว้ ่ามีข้อจำกดั

ชอ้ ลั กอริทึมและการใหเ้ หตผุ ลเชงิ คำนวณ
+ … + 10 โดยใชส้ ตู ร n(n +2 1) เปรยี บเทียบกบั การหาค่าโดยการบวกโดยตรง
ลลพั ธเ์ ดียวกนั กับการบวก

2) + (8 + 3) + (7 + 4)
= (n + 1) + (n + 1) +

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 47 R10 ให้เหตผุ ลว่าการใชก้ ารแสดงแทนสถานการณใ์ นโลกจรงิ น้ันสมเหตุสมผล
ครูกำหนดสถานการณ์ การเก็บขอ้ มูลจำนวนครัวเรือนในพ้ืนทแี่ ห่งหนงึ่ ในปี
พบว่าในปี พ.ศ. 2563 มจี ำนวนครวั เรอื นเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่า จาก พ.ศ. 2562
ของจำนวนครวั เรือนในพื้นทดี่ ังกล่าว
นกั เรยี นคิดว่ารปู ด้านลา่ งมีความเหมาะสมในการแสดงข้อมูลนีห้ รอื ไม่เพราะ

ครูอาจดัดแปลงโดยใชส้ ถานการณ์อ่ืนที่มีการกำหนดแผนภูมิ/แผนภาพท่ีเปน็ สิ่ง
เพื่อใหน้ กั เรียนใหเ้ หตผุ ลวา่ สง่ิ แสดงแทนนนั้ เหมาะสมและถกู ต้องสำหรบั ข้อม
R11 ให้เหตผุ ลว่ากระบวนการและขั้นตอนในการหาผลลัพธห์ รือวธิ กี ารแกป้ ญั หาท
ครกู ำหนดสถานการณ์ เสรีกำลังตดั สินใจจะซ้ือทีแ่ ปลงหน่ึงเพ่อื สรา้ งบา้ น

นน้ั มขี นาดเท่าไร จงึ ทำการวัดขนาดของพน้ื ท่แี ลว้ าดแผนภาพของพื้นท่ี
ดังแสดง

เสรเี ห็นวา่ พืน้ ที่ของตนเองมลี ักษณะเป็นสเี่ หลย่ี มคางหมู
จงึ นำขอ้ มูลทีว่ ัดได้มาคำนวณขนาดของพน้ื ทีโ่ ดยใช้สตู รต่อไปน้ี
พน้ื ทีส่ ีเ่ หลย่ี มคางหมู = 1/2 x (ผลบวกของด้านคู่ขนาน) x สูง
นักเรียนมแี นวคิดอืน่ ในการหาพื้นทท่ี เี่ สรีจะซื้อได้อย่างไรบ้าง
พร้อมอธบิ ายว่าเหตุใดจึงสามารถใชว้ ิธกี ารทน่ี ำเสนอได้

พ.ศ. 2562 และ พ.ศ. 2563
2 เพื่อแสดงข้อมลู การเพ่ิมขนึ้

ะเหตุใด

งแสดงแทนข้อมูลในแตล่ ะสถานการณ์
มลู ท่กี ำหนดให้หรือไม่ เพราะเหตใุ ด
ทางคณิตศาสตรน์ น้ั สมเหตสุ มผล

0 50 100 150 200
เมตร

64.5 เมตร 100.0 เมตร
ท˙’ด¯น

ท˙’เสร’จะซ อ 60.0 เมตร
71.2 เมตร

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 48 R12 สะท้อนข้อโตแ้ ย้งทางคณิตศาสตร์ เพ่ืออธิบายและแสดงเหตุผลตอ่ ผลลัพธ

ครูเตรียมสถานการณท์ ี่มีวธิ ีการคดิ หลายวธิ ี แตใ่ หค้ ำตอบไม่เหมือนกนั หรอื ส
เพอ่ื โตแ้ ย้งวธิ ีการคิดน้นั ๆ และความถูกตอ้ งของข้อสรปุ ดังกลา่ ว เชน่
• ครตู ง้ั คำถามกับนักเรียนว่า ถ้า x2 ≥ 2x การสรปุ ว่า x ≥ 2 ถูกตอ้ งหรือไม
• ครตู ั้งคำถามกับนักเรยี นว่า จริงหรือไม่ท่ี จำนวนตรรกยะ + จำนวนตรร
• ครตู ั้งคำถามกบั นักเรียนวา่ จากข้อมลู พยากรณ์อากาศในสัปดาห์ท่ผี า่ นม

ข้อสรปุ นี้จะเป็นจริงหรอื ไม่ เพราะเหตุใด
แนวคำตอบ: นกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายว่าข้อสรุปในแต่ละข้อเปน็ จริงหรอื ไม่

R13 วิพากษ์ขอ้ จำกัดของแบบจำลองในการแกป้ ัญหา

ครูกำหนดสถานการณ์ ให้นักเรียนศึกษาเศษสว่ น 1/7 และ 2/7 โดยการแบ
ทำได้ พร้อมระบุวา่ เป็นเพราะ รปู หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ ทำให้ไมส่ ามารถแบ่งให้เ
แนวคำตอบ: เพราะการแบ่งรูปหกเหลย่ี มออกเปน็ สว่ น ๆ ท่มี ีขนาดเทา่ กนั นั้น
ด้านของรูปหกเหลยี่ มดว้ ย ซงึ่ จะทำใหไ้ มส่ ามารถแบง่ เปน็ สว่ นทเี่ ทา่ กนั 7 สว่
รปู เจ็ดเหลย่ี มดา้ นเทา่ และรปู วงกลม เป็นตน้

R14 ตีความผลลพั ธท์ างคณิตศาสตร์ และอธบิ ายความหมายของผลลพั ธ์ที่ได้ว

ครกู ำหนดสถานการณ์ หมู่บ้านเบญจาตอ้ งการสร้างสระว่ายน้ำรูปสเ่ี หลี่ยมมมุ
โดยขอบของสระว่ายนำ้ จะปูด้วยกรวดล้างใหม้ คี วามกวา้ งเท่ากนั โดยตลอด ถ
จะสามารถทำขอบสระวา่ ยน้ำให้มีความกวา้ งไดเ้ ทา่ ไร
แนวคำตอบ: คำตอบท่ีได้จากการแกส้ มการจะมี 2 คำตอบ ไดแ้ ก่ 0.5 และ
เมตรพร้อมใหเ้ หตุผลว่าความกวา้ งของขอบสระจะตอ้ งเป็นจำนวนจริงบวก

ธ์ทางคณิตศาสตร์ทีไ่ ด้
สถานการณ์ท่ีมีข้อสรุปท่ีอาจจะมขี ้อผดิ พลาดหรอื ไมส่ มบรู ณ์ เพ่ือให้นกั เรียนอภปิ ราย

ม่ เพราะเหตุใด
รกยะ ไดผ้ ลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะเหตุใด
มา มฝี นตก 5 วัน ฝนไม่ตก 2 วัน ถ้าจะสรปุ วา่ ในวันพรุง่ น้ี ฝนจะตก

เพราะเหตใุ ด พร้อมยกตวั อย่างสนบั สนนุ หรอื ตวั อย่างคา้ นประกอบ

บ่งรูปหกเหล่ียมด้านเท่าเปน็ เจ็ดสว่ นท่ีเท่ากันและเหมือนกนั นักเรยี นพบว่าไม่สามารถ
เป็น 7 ส่วน ทเี่ ทา่ กันและเหมือนกนั ได้ เพราะเหตุใดนักเรยี นจึงสรปุ ดงั น้ัน
น เสน้ ท่ลี ากแบ่งแต่ละส่วนจะตอ้ งลากผา่ นจุดศนู ย์กลางของรูป และผ่านมมุ /หรือ
วนได้ รปู เรขาคณิตท่จี ะสามารถแบง่ ออกได้เปน็ 7 สว่ น เทา่ ๆ กัน เชน่

ว่าสมเหตสุ มผลกบั บริบทโลกจรงิ
มฉากท่ีมีขนาดกว้าง 10 เมตร ยาว 25 เมตร (ไมร่ วมขอบของสระว่ายน้ำ)
ถา้ บรเิ วณทจ่ี ะสร้างสระว่ายน้ำรวมขอบสระมีพ้ืนที่ 286 ตารางเมตร

-18 นกั เรยี นควรเลือกตอบวา่ ขอบสระว่ายน้ำมีความกว้าง = 0.5

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 49 R15 อธบิ ายความสมั พนั ธร์ ะหว่างคำเฉพาะทีใ่ ชก้ ับโจทย์ปัญหาในบริบทนนั้ ๆ กับ
ครูกำหนดสถานการณ์ ใหบ้ ้านของเสรีและสนั ตอิ ย่ใู กล้กนั ดงั แสดง
ในแผนผงั ดว้ ยจดุ A และ B ตามลำดบั ท้งั สองคนตกลงกันวา่ จะชว่ ยกัน
ขดุ บ่อน้ำเพื่อใช้ร่วมกันโดยบ่อน้ำจะตอ้ งอยหู่ า่ งจากบา้ นทั้งสองหลงั
เปน็ ระยะทางเท่ากนั และใกลก้ บั บา้ นทง้ั สองหลงั มากทส่ี ุด ทง้ั สองคน
ควรขดุ บอ่ น้ำทต่ี ำแหนง่ ใด ใหร้ ะบตุ ำแหน่งของบ่อน้ำในแผนผงั
และหาระยะห่างจากบ้านของเสรถี งึ บ่อน้ำ
เช่น เขยี นสมการ แผนภาพ กราฟ ตาราง ใชก้ ารหา ครม./หรม. หรือ
ความรู้อืน่ ๆ แล้วใหน้ กั เรยี นนำเสนอวธิ ีการแกโ้ จทย์ปัญหานนั้ ดว้ ยตนเอง
ในระหวา่ งการนำเสนอ ครคู วรถามเพิ่มเตมิ เพื่อให้นักเรยี นอธบิ ายว่านักเรยี น
แปลงคำเฉพาะท่ีอยู่ในสถานการณ์มาเปน็ สญั ลกั ษณท์ างคณติ ศาสตรใ์ ดบา้ ง
ในแบบจำลองท่ีใช้

บ ภาษาหรอื สญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ B

0 50 100 150 200
เมตร

A

น

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 50 R16 สะทอ้ นวธิ กี ารแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ พร้อมทั้งสร้างคำอธิบายทสี่ นับสนนุ
ครกู ำหนดสถานการณ์ ให้มีรูปส่เี หลี่ยมมุมฉาก 4 รูป ดังแสดง

กข
ทีม่ า: หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 1 หนา้ 114
ครูให้นักเรยี นแต่ละคนเขียนคำตอบและวธิ ีคิดของตนเอง วา่ รปู ใดบา้ งทเ่ี ปน็ ร
จากน้ันครูให้นักเรยี นได้อภิปรายกบั เพื่อนท้ังทมี่ ีคำตอบใกล้เคยี งกันและไมใ่ ก
เพราะเหตุใด และทสี่ ำคัญ ครูควรสรา้ งบรรยาการในช้นั เรียนใหเ้ กิดการอภิป

น หรือสรา้ งขอ้ โตแ้ ย้งทีป่ ฏเิ สธวิธกี ารแกโ้ จทยป์ ญั หานัน้

คง
รูปคลา้ ยกนั ครูสอบถามว่ามนี ักเรียนคนไหนบ้างท่ตี อบว่าคล้ายหรอื ไมค่ ลา้ ย
กล้เคียงกนั พรอ้ มใหเ้ หตุผลประกอบวา่ ตนเองเห็นดว้ ยหรอื ไมเ่ หน็ ด้วยกับเพื่อน
ปรายอย่างสร้างสรรค์ (constructive criticism)

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 51 R17 วเิ คราะหค์ วามเหมอื นและความแตกต่างระหวา่ งปัญหาทางคณติ ศาสตร์กบั แ

ถ้านำสูตรขา้ งต้นไปใช้ในการประมาณลักษณะการเดนิ ของผู้ชายคนหน่ึง โดย
มีระยะการก้าวขาเปน็ เท่าไร
จากสถานการณ์ข้างต้น ครูอาจชกั ชวนนักเรียนอภปิ รายเกี่ยวกบั สูตรท่ใี ช้ในก
ตัวอยา่ งของประเดน็ ทใี่ ชใ้ นการอภิปราย เชน่
• เมอื่ คำนวณตามสูตรในสถานการณ์ พบว่าไดร้ ะยะการกา้ วขาของผชู้ ายคน

ระยะการก้าวขาจริงของผู้ชายคนนัน้ จะมีค่าเทา่ กับระยะการก้าวขาทค่ี ำ

แบบจำลองทางคณติ ศาสตร์ท่ใี ช้แกป้ ญั หานั้น
จากรปู แสดงรอยเท้าทเี่ กดิ จากการเดนิ ของคน ๆ หนึง่ กำหนดให้
ระยะการก้าวขา (P) วัดไดจ้ ากส้นเทา้ ของรอยเทา้ 2 รอยท่ีอยู่ตดิ กัน
สำหรับรอยเทา้ ผชู้ าย ความสมั พันธร์ ะหว่างระยะการก้าวขา
กับความเรว็ ในการเดนิ (n) สามารถแสดงไดด้ งั สตู ร
np = 140
โดยท่ี n = ความเรว็ ในการเดิน (กา้ ว/นาที)
P = ระยะการก้าวขา (เมตร)

ยความเร็วในการเดินของผู้ชายคนน้ันเปน็ 70 ก้าว/นาที ให้หาว่าผชู้ ายคนน้ัน

การคำนวณ ว่ามีความเหมือนหรือแตกต่างกับสถานการณ์จรงิ อย่างไรบ้าง

นน้นั เทา่ กับ 0.5 เมตร หรือ 50 เซนตเิ มตร นักเรียนคิดวา่ ถา้ ลองวดั
ำนวณไดห้ รือไม่ เพราะเหตุใด

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 52 R18 อธิบายการทำงานของอลั กอรทิ ึมที่ไม่ซับซ้อน รวมท้งั อธิบายการตรวจสอบแล
ครูกำหนดสถานการณ์ ให้มเี หรยี ญชนดิ เดยี วกันท้งั หมด 9 เหรียญ โดยมเี หร
ใหน้ ักเรยี นรว่ มกันพจิ ารณาวธิ กี ารเพื่อหาเหรียญปลอม โดยมีตาช่ัง 2 แขน เ
ครูนำเสนอวธิ ีการชง่ั เหรยี ญ 3 ข้ันตอน ดงั แสดง

หลงั จากพิจารณาวิธกี ารแล้ว ให้นักเรยี นวิเคราะห์ว่าถา้ ใช้วธิ กี ารดังกลา่ ว จะม
วิธกี ารเพ่ือใหเ้ จอเหรียญปลอมโดยใชจ้ ำนวนครั้งท่ีชั่งนอ้ ยท่ีสุดได้หรอื ไม่ อย่า

ละการแก้ไขข้อผิดพลาดอลั กอรทิ มึ หรือโปรแกรม
รยี ญปลอมปะปนอย่อู ยู่ 1 เหรยี ญ เหรยี ญปลอมจะมีน้ำหนักน้อยกว่าเหรียญจรงิ
เพื่อใชส้ ำหรบั เปรียบเทยี บนำ้ หนกั ของเหรียญ ดังนี้

มโี อกาสเจอเหรียญปลอมได้โดยใชก้ ารชงั่ ก่ีครั้ง และนกั เรยี นจะสามารถดดั แปลง
างไร

หนว่ ยที่ 3 สมรรถนะและตวั อย่างกจิ กรรมการเรยี นรู้ | 53 แนวคำตอบ: อาจแบ่งเปน็ กรณีตา่ ง ๆ ดงั นี้
กรณที ี่ 1 [ชั่งคร้ังที่ 1] ชง่ั A กบั B ถ้านำ้ หนกั ของ A < B แสดงว่า

[ชง่ั ครั้งที่ 2] ชั่ง A1 กับ A2
กรณีท่ี 1.1 ถ้า A1 < A2 แสดงวา่ A1 คือ เหรียญปลอม (
กรณที ี่ 1.2 ถ้า A1 > A2 แสดงวา่ A2 คอื เหรยี ญปลอม (
กรณที ี่ 1.3 ถ้า A1 = A2 แสดงวา่ ทัง้ สองเหรียญเปน็ เหรยี ญจ
[ช่ังครั้งท่ี 3] ชั่ง a1 กับ a2
กรณที ่ี 1.4 ถา้ a1 < a2 แสดงวา่ a1 คือ เหรยี ญปลอม (เจอเห
1.5 ถา้ a1 > a2 แสดงวา่ a2 คอื เหรยี ญปลอม (เจอเหรยี
กรณที ี่ 2 [ชั่งครง้ั ที่ 1] ช่งั A กบั B ถา้ น้ำหนกั ของ A > B แสดงว่า
[ชง่ั คร้ังที่ 2] ชง่ั B1 กบั B2
กรณที ี่ 2.1 ถ้า B1 < B2 แสดงว่า B1 คือ เหรยี ญปลอม (เจอเห
กรณีที่ 2.2 ถา้ B1 > B2 แสดงว่า B2 คือ เหรียญปลอม (เจอเห
กรณที ่ี 2.3 ถ้า B1 = B2 แสดงวา่ ทง้ั สองเหรียญเป็นเหรียญจ
[ชัง่ คร้ังที่ 3] ชง่ั b1 กับ b2
กรณีที่ 2.4 ถา้ b1 < b2 แสดงว่า b1 คอื เหรยี ญปลอม (เจอเห
2.5 ถา้ b1 > a2 แสดงวา่ b2 คือ เหรียญปลอม (เจอเหรีย
กรณีท่ี 3 [ชง่ั คร้ังท่ี 1] ชงั่ A กับ B
น้ำหนักของ A = B แสดงวา่ C คือ เหรยี ญปลอม (เจอเหรยี ญปลอ

ามเี หรียญปลอมปนอยู่ใน A

(เจอเหรยี ญปลอมในการชงั่ 2 ครัง้ )
(เจอเหรียญปลอมในการช่งั 2 ครั้ง)
จรงิ

หรยี ญปลอมในการชงั่ 3 ครั้ง) กรณีที่
ยญปลอมในการชง่ั 3 ครง้ั )
ามีเหรยี ญปลอมปนอยู่ใน B

หรยี ญปลอมในการช่ัง 2 ครั้ง)
หรียญปลอมในการชั่ง 2 คร้ัง)
จรงิ

หรยี ญปลอมในการชง่ั 3 คร้งั ) กรณีท่ี
ยญปลอมในการช่งั 3 ครั้ง)

อมในการช่ัง 1 ครัง้ )