คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย-5

397

ตัวอย่างท่ี 24 จากการศกึ ษาความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ ันพาราโบลาของ x กบั y ดังข้อมูลตอ่ ไปน้ี

xy 2 60 120 450

x1346 x2 1 9 16 36
y 2 20 30 75 y2 1 27 64 216

สมการท่ีใช้ประมาณค่า Y ของความสมั พนั ธ์ 2 ตัวแปร คือ สมการ y = ax2 + c จงหา

1. สมการความสมั พันธข์ องฟังกช์ นั ทีใ่ ชท้ ำนาย Y

2. จงหาค่า Y เม่ือ x = 8

วิธีคิด จาก y = ax2 + c

ดงั นนั้  y = a x2 + nc

แทนคา่  y = 2 + 20 + 30 + 75 = 127
 x2 = 1+ 9 +16 + 36 = 62
127 = a(62) + 4c

127 = 62a + 4c ----------

จากสมการทว่ั ไปคูณ x , xy = ax3 + cx

 xy = a x3 + c x

 xy = 2 + 60 +120 + 450 = 632
 x3 = 1+ 27 + 64 + 216 = 308

 x = 1+ 3 + 4 + 6 = 14
แทนค่า 632 = a(308) + c(14)

632 = 308a + 14c ----------

 × 7, 889 = 434a + 28c ----------

 × 2, 1264 = 616a + 28c ----------

 - , 375 = 182a

a = 375 = 2.06 แทนใน 
182

127 = 62(2.06) + 4c

127 = 127.75 + 4c

c = -0.75 = -0.19 398
4
ตอบ
∴ สมการของฟังกช์ นั y = 2.06x2 - 0.19

แทน x = 8, y = 2.06x2 - 0.19

y = 2.06(82) - 0.19 ตอบ
= 131.84 - 0.19 = 131.65

ตัวอยา่ งที่ 25 ข้อมลู การศกึ ษาการเจริญเตบิ โตของหนอนชนิดหนงึ่ ซ่ึงเปน็ ความสัมพันธ์เชงิ ฟงั กช์ ันเอกซ์

โพแนนเชียลของ x กับ y ดงั ขอ้ มลู ต่อไปนี้

สปั ดาห์ที่ x 1 2 3 4 5 6 7 x2 1 4 9 16 25 36 49
น้ำหนัก (กรมั ) y 0.6 1.1 1.8 2.6 3.7 5.8 8.5

จงประมาณค่าน้ำหนักของหนอนในสัปดาห์ท่ี 10 [กำหนดให้ log 3.2 = 0.505]

วิธีคิด จาก y = abx หรอื log y = log a + x log b

ดงั นน้ั  (log y) = n log a + log b x ----------

และ  (x log y) = log a x + log b x2 ----------

สรา้ งตารางคา่ log y

x 1234567

y 0.6 1.1 1.8 2.6 3.7 5.8 8.5

log y -0.222 0.041 0.255 0.415 0.568 0.763 0.929

 (x log y) = 1(-0.222) + 2(0.041) + 3(0.255) + 4(0.415) + 5(0.568)
+ 6(0.763) + 7(0.929)
= 16.214

 x = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
 x2 = 1+ 4 + 9 +16 + 25 + 36 + 49 = 140

 (log y) = (-0.222) + 0.041+ 0.255 + 0.415 + 0.568 + 0.763 + 0.929
= 2.751

399

แทนคา่ ใน  2.751 = 7 log a + log b (28)

2.751 = 7 log a + 28 log b ----------

แทนค่าใน  16.214 = log a (28) + log b (140)

16.214 = 28 log a + 140 log b ----------

 × 4, 11.004 = 28 log a + 112 log b ----------

 - , 5.210 = 28 log b

log b = 5.210 = 0.186 แทน 
28

2.751 = 7 log a + 28(0.186)

2.751 = 7 log a +5.2

log a = 2.751 - 5.2 = -0.351
7

∴ สมการของฟงั ก์ชัน log y = log a + x log b

เมือ่ x = 10, log y = (-0.351) + (10)(0.186)

log y = -0.351 + 1.86 = 1.505

log y = 1 + 0.505 = log 10 + log 3.2

log y = log (3.2 × 10)

y = 32 กรัม ตอบ

7.3 ความสมั พันธเ์ ชิงฟังก์ชนั ในรูปอนุกรมเวลา
เนื่องจากตัวแปรอิสระ (x) เป็นขอ้ มูลที่แสดงการเปล่ียนแปลงตามลำดับกอ่ นหลังของเวลา ที่

ขอ้ มูลทเี่ กิดขึ้นมักเปน็ ช่วงเวลาเท่าๆ กนั เช่น ข้อมลู แต่ละวนั ขอ้ มลู แตล่ ะเดือน หรอื ขอ้ มูลแต่ละปี ดงั นัน้
ระยะเวลาท่ีเกิดข้ึนสามารถลดทอน หรอื ปรับเทยี บใหม่ให้งา่ ยตอ่ การคำนวณ ดังนี้

1. ถ้าจำนวนข้อมลู ตวั แปรอิสระ (x) มีจำนวนค่ใี ห้กำหนดตวั กลาง เปน็ 0 และนอ้ ยลงเป็น
-1, -2, -3, ... หรอื มากข้ึน เป็น 1, 2, 3, ...

2. ถา้ จำนวนขอ้ มูลตวั แปรอสิ ระ (x) มีจำนวนคู่ ใหก้ ำหนดตวั กลาง 2 ตัว เป็น -1 กับ 1
และนอ้ ยลงเปน็ -3, -5, -7, ... และมากขนั้ 3, 5, 7, ...

ทัง้ นี้เพือ่ ให้  x = 0 สะดวกต่อการคำนวณ

400

ตวั อยา่ งท่ี 26 จากข้อมูลอนกุ รมเวลา (y) มีคา่ แสดงในตารางข้างลา่ งต่อไปนี้ 2530
พ.ศ. (x) 2526 2527 2528 2529 60
y 20 30 20 40

ถา้ ให้ y มคี วามสัมพันธ์เชงิ ฟงั ก์ชันกบั เวลา (x) ในลกั ษณะเส้นตรง แล้วสามารถทำนายค่าของ y ในปี

2535 ไดเ้ ท่ากับเทา่ ใด

วธิ คี ิด จาก y = mx + c

ดังนัน้  y = m x + nc

สรา้ งตารางปรับ x ใหม่

พ.ศ. (x) x ปรับใหม่ y xy x2
2526 -2 20 -40 4

2527 -1 30 -30 1

2528 0 20 0 0

2529 1 40 40 1

2530 2 60 120 4

 y = 20 + 30 + 20 + 40 + 60 = 170

แทนค่า x=0
170 = m(0) + 5c
จาก
ดงั น้นั c = 170 = 34
5
แทนคา่
xy = mx2 + cx

 xy = m x2 + c x

 xy = (-40) + (-30) + 0 + 40 +120 = 90
 x2 = 4 +1+ 0 +1+ 4 = 10

90 = m(10) + c(0)

m = 90 = 9
10

∴ สมการของฟงั ก์ชนั y = 9x + 34 401
โจทย์ ปี 2535 แทนค่า x ปรบั ใหม่ = 7
ตอบ
y = 9(7) + 34 = 63 + 34 = 97

402

403