คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย-5

97

ตัวอยา่ งที่ 24 f(x) = x 1 1 โดยที่ x  -1 ให้ Ι เป็นฟังก์ชนั เอกลกั ษณ์ และ g = (fof)(f + Ι) แลว้ g(x)
+

เท่ากับเทา่ ใด (คณิต กข/2541)

1. 1 2. (x +1)2
x+2

3. (x +1)2 + x 4. (x +1)2 - x
x+2 x+2

วิธคี ดิ จาก g = (fof) . (f + Ι)

g(x) = [(fof) . (f + )](x)

= (fof)(x) . (f + )(x)

หา fof(x) = f(f(x))

= 1 f(x) = x 1 1 
f(x) +1 + 

= 1 1 (x + 1) = 1 1 x +1 = 1
x +1 x + 1 x +1 + x +1 1+ x +1
+ 1
x +1

= x +1
x +2

(f + Ι)(x) = f(x) + Ι (x) [จาก Ι(x) = x]

= x 1 1 + x(x +1)
+ 1(x +1)

= 1+ x(x +1) = 1+ x2 + x
x +1 x +1

ดังนั้ (fof)(x) . (f + )(x) = x +1  1+ x2 + x
x+2 x +1

= x2 + x + 1 = x2 + 2x +1 - x
x+2 x+2

= (x + 1)2 - x ตอบ ข้อ 4.
x +2

98

ตัวอยา่ งที่ 25 กำหนดให้ f(x) = 2-x และ g(x) =x- 3 แล้ว (fog)(1 - x) คอื ข้อใดต่อไปนี้
1-x

(คณติ 2/2543)

1. 1-x 2. 5- x 3. x+1 4. x +4
3-x 4- x x+2 x +3

วิธคี ดิ (fog)(1 - x) = f(g(1 - x))

แต่ g(x) = x - 3

หรือ g(1 - x) = (1 - x) - 3

=1-x-3

= -x - 2

และ f(x) = 2 - x
1 - x

หรือ f(g(1 - x)) = 2 - g(1- x)
1 - g(1- x)

= 2 - (-x - 2) = 2+ x+2 = x +4 ตอบ ข้อ 4.
1 - (-x - 2) 1+ x+2 x +3

ตัวอย่างท่ี 26 ถา้ f(x) = 4x และ g(x) = 2 แลว้ ค่า x ท่ีทำให้ (fog)(x) = (gof)(x) เท่ากบั เท่าไร
x -1

(คณติ 1/2542)

วิธีคิด fog(x) = f(g(x)) แต่ f(x) = 4x

∴ f(g(x)) = 4(g(x)) แต่ g(x) = 2
x -1

( )= 4 2
x -1

= x 8 1 ----------
-

gof(x) = g(f(x)) แต่ f(x) = 4x

 g(f(x)) = 2 - 1
f(x)

= 2 1 ----------
4x -

=, 8 1 = 2 1 99
x- 4x -
ตอบ
32x - 8 = 2x - 2

32x - 2x = -2 + 8

30x = 6

x = 6 = 1
30 5

ตวั อยา่ งที่ 27 ให้ x เปน็ จำนวนจริงใดๆ f, g และ h เปน็ ฟังกช์ ัน โดยท่ี f(x) = 2x - 1 ,

h(x) = 2x2 - 2x +1 และ (fog)(x) = h(x) และ g(3) มีค่าเท่ากับเท่าใด (คณิต 2/2542)

วธิ ีคิด จาก (fog)(x) = h(x)

f(g(x)) = h(x)

หา f(g(x)) จาก f(x) = 2x - 1

f(g(x)) = 2(g(x)) - 1 ----------

จาก h(x) = 2x2 - 2x +1 ----------

 = , 2(g(x)) - 1 = 2x2 - 2x +1 [ (fog)(x) = h(x)]

2(g(x)) = 2x2 - 2x +2

2 หารตลอด g(x) = x2 - x +1

 g(3) = 32 - 3 +1 = 9 - 3 +1 = 7 ตอบ

ตัวอยา่ งที่ 28 กำหนดให้ f(x) = 1 x x และ g(x) = x2 - 1 ถา้ A = Dgof และ B = Dg แล้ว A  B
-
2. (-1, )
คือเซตในข้อใด (คณติ 1/2542) 4. (-1,1)  (1, )

1. R - {-1, 1}

3.  1 ,1  (1, )
 2

A = Dgof หาคา่ x ใน gof
gof(x) = g(f(x)) แต่ g(x) = x2 - 1

100

 g(f(x)) = f(x)2 -1 แต่ f(x) = 1 x
-x

( )= x 2
1- x
-1

( )g(f(x)) จะเป็นจำนวนจรงิ เมือ่ x 2
1-x
-1  0

( 1 x2 - 1  0
- x)2

x2 - (1- x)2  0
(1- x)2

(1 - x)2 > 0 คณู , x2 - (1 - x)2  0  (1 - x)2 เม่อื (1 - x)2  0

คำตอบ x2 - (1 - 2x + x)2  0 1-x 0
x2 - 1 + 2x - x2  0 x  1 (รอตอบ)

1 -1+2x  0

2x 1

x  1
2

 Dgof = [21 ,1)  (1, ) = A

B = Dg หาค่า x ใน g

g(x) = x2 -1

g(x) จะเป็นจำนวนจริงก็ตอ่ เม่ือ x2 - 1  0

หาค่าวิกฤต, (x -1)(x +1)  0 +-+
x - 1 = 0 หรือ x + 1 = 0 -1 1

x = 1 หรอื x = -1

x = (- , -1] [1, )

หรือ Dg = (- , -1]  [1, ) = B

คำถาม A  B = ซ่งึ = จำนวนจรงิ R

คำตอบ  B = (-1,1) 101

A A B = [12 ,1)  (1, )  (-1,1) ตอบ ขอ้ 4.
-1 0 1 = (-1,1)  (1, )

9. ฟงั ก์ชันผกผัน

ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั 1 - 1 แลว้ f-1 เปน็ ฟงั ก์ชันผกผนั

โดยมเี งื่อนไข f = {(x, y)}

f-1 = {(y, x) / (x, y)  f} [ สลับ Y เป็น x , x เปน็ y ]
ดังนน้ั Df = Rf-1

Rf = Df-1

ตวั อยา่ งท่ี 29 กำหนดให้ f(x) = 3x - 4 และ (fog)(x) = x + 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูกต้อง (คณิต 2/2544)

1. g-1(x) = x - 5 2. g-1(x) = x + 5
3 3

3. g-1(x) = 3x + 5 4. g-1(x) = 3x - 5

วิธคี ิด (fog)(x) = f(g(x)) = x + 1

3(g(x)) - 4 = x + 1

3(g(x)) = x + 5

g(x) = x + 5
3

ให้ g1(x) = y , x = y + 5
3

3x = y + 5

y = 3x - 5

g-1(x) = 3x - 5 ตอบ ขอ้ 4.

102

10. ส่งิ ทีค่ วรจำเกยี่ วกับฟงั กช์ ันประกอบ
ก. fogoh = (fog)oh = fo(goh)
ข. ถ้า f และ g เป็นฟงั กช์ นั 1 - 1 และ f : A ⎯ท⎯1ั่ ว-1ถึ⎯ง→B และ g : B ⎯ท⎯1่ั ว-1ถึ⎯ง→ C
จะไดว้ า่ (gof)-1 = f -1og-1

ตวั อย่างท่ี 30 ถ้า f = {(1, a) , (2, b) , (3, c) , (4, d)} และ f-1og = {(1, 3), (3,1), (4, 4)} แลว้ g คือ

ฟงั กช์ นั ในข้อใด (คณติ 2/2542)

1. {(a, 3) , (c, 1) , (d, 4)} 2. {(1, c) , (3, a) , (4, d)}

3. {(1, 1) , (3, 3) , (4, 4)} 4. {(a, c) , (c, a) , (d, d)}

วธิ คี ดิ (f-1og)(x) = f-1(g(x)) = {(1, 3), (3,1), (4, 4)}

ขอ้ 2 f(x) = {(1, a) , (2, b) , (3, c) , (4, d)}

1gc ลองขอ้ 2 ตรวจคำตอบตรงกับ f(x) หรือไม่

3a 3 f(x) = {(3, c) , (1, a) , (4, d)} ใช่
4d 1
4 ดงั นั้น g(x) = {(1, c) , (3, a) , (4, d)} ตอบ ขอ้ 2

ตัวอยา่ งท่ี 31 กำหนดให้ f(x) = (2x - 1)2 เมื่อ x  -1 และ g(x) = f(x) + 2
เม่ือ - 1 < x < 2
x + 1 เม่ือ x  2

ถ้า k เปน็ จำนวนเต็มนอ้ ยท่ีสดุ ทท่ี ำให้ g(k) > 5 แลว้ (gof)(k) มีคา่ เท่ากับขอ้ ใด (คณิต 1/2545)

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

วธิ ีคิด (gof)(k) = g(f(k))

g(x) = f(x) + 2

 g(k) = f(k) + 2

f(k) + 2 > 5

f(k) > 3

k+1>3

k>2

แสดงว่า k ทีเ่ ป็นจำนวนเต็มนอ้ ยทสี่ ุด = 3

∴ gof(k) = g(f(k)) = f(f(k)) + 2 103
= f(f(3)) + 2
= f(3 + 1) + 2 [f(x) = x + 1 เมื่อ x  2]
= f(4) + 2 [f(x) = x + 1 เมื่อ x  2]
= (4 + 1) + 2
=7 ตอบ ข้อ 3.

ตวั อยา่ งท่ี 32 กำหนดให้ f(x) = 5x +1 ถา้ a เป็นจำนวนจรงิ ซึ่ง a4 แล้ว f-1(a +1) คือ เท่าใด (คณติ
x-2

2/2543)

วิธีคดิ f(x) = y = 5x +1
x-2

ดงั นัน้ ให้ f -1(x) = y, x= 5y +1
y-2

xy - 2x = 5y + 1

xy - 5y = 1 + 2x

y(x - 5) = 1 + 2x

f -1( x) = y = 1 + 2x
x-5

ตอบ  f -1( a + 1 ) = 1+ 2(a + 1) = 1 + 2a + 2 = 2a + 3
(a +1) - 5 a+1-5 a-4

ตัวอยา่ งท่ี 33 กำหนดให้ f(x) = -(x -1)2 ทุก x  1

g(x) = 1 - x ทุก x  1

พิจารณาข้อความต่อไปน้ี (คณิต 1/2546)

ก. f-1(x) = 1 - x ทุก x  0

( )ข. (g-1of-1) - 1 = 3
4 4

ขอ้ ความใดถูก, ผิด

วธิ คี ดิ 1. หา f-1(x) , f(x) = -(x - 1)2 เมือ่ x 1

104

ให้ y = f-1(x) , x = -(y - 1)2 เม่อื y  1

(y - 1)2 = -x เมอ่ื y  1, x  0

y - 1= - -x

y = - -x +1

y = f-1(x) = - -x +1 แต่ -x = x เมือ่ x  0

= 1- -x = 1- x

ตอบ ขอ้ ก. ถูก f-1(x) = 1 - x , เม่ือ y  1 และ x  0

จาก (g-1of-1)(- 41) = g-1(f -1(- 41))
จาก g(x) = 1 - x เมื่อ x  1

ให้ y = g-1(x) , x = 1 - y เมอ่ื y  1

x2 =1- y

y =1- x2

หรือ y = g-1(x) = 1 - x2 เมื่อ x  0

จาก f-1(x) = 1- x

( )f-1-1 =1- - 1
4 4

=1- 1
4

= 1 - 1 = 1
2 2

ดงั น้ัน g-1(f-1(- 41)) = 1 - (f -1(- 41))2

( )=1- 1 2 1 3
2 4 4
= 1 - = ถูก

ตอบ ข้อ ข. ถกู

105

ตัวอยา่ งท่ี 34 กำหนดให้ f(x) = 1 x x , x  -1 และ g(x) = x เมอื่ x1 ขอ้ ใดผิด
+ 1-x

(คณิต 1/2544)

1. (fog)-1(x) = x , x  1 2. (f -1og-1)(x) = x , x  -1

3. (f-1og)(x) = x , x 1 4. (g-1of)(x) = x , x  -1
1 + 2x x +2x

วิธีคดิ หา (fog)(x)

ข้อ 1. (fog)(x) = f(g(x)) = 1 g(x)  f(x) = 1 x x 
+ g(x) + 

xx x 1-x
1-x 1-x 1-x 1
= x = 1 - x + x = × = x ถกู
1 + -
1 x 1-x

และ (fog)-1(x) = x ถูก [ f(x) = x แลว้ f-1(x) = x , y = x

x = y]

ขอ้ 2. (f-1og-1)(x) = (gof)-1(x) [ สูตร (gof)-1 = f -1og-1 ]

หา gof(x) = g(f(x)) = 1 f(x)  g (x) = 1 x x 
- f(x) - 

xx x 1+ x
1+ x 1+ x 1+ x 1
(gof)(x) = g(f(x)) = x = 1+ x - x = × = x
1 - + 1+ x
1 x

 (gof)-1(x) = x ถูก [ (gof)(x) = x, (gof)-1(x) = x เหมอื นกับ y = x

แลว้ x = y ]

ข้อ 3. (f-1og)(x) = f -1(g(x))

f(x) = x x
1+

ให้ f -1(x) = y , x = y
1+ y

x + xy = y

xy - y = -x
y(x - 1) = -x

106

f -1( x) = y = -x
x -1

-g(x) -x [ g(x) = 1 -xx]
g(x) -1 1-x
ดงั นัน้ f -1(g(x)) = = x
1-x -1

-x -x -x -x 1- x
1-x 1-x 1-x 1-x 2x -1
= x - (1- x) = x -1+ x = 2x -1 = ×

1-x 1-x 1-x

= 2 -x 1 ผดิ ตอบ ขอ้ 3.
x-

ขอ้ 4. (g-1of)(x) = 1 x
+ 2x

(g-1of)(x) = g-1(f(x))

g(x) = 1 x x
-

ให้ g-1(x) = y , x= y
1-y

x - xy = y

x = y + xy

x = y(1 + x)

g- 1(x ) = y = 1 x x
+

f(x) xx x
1+ f(x) 1+ x 1+ x 1+
g-1(f(x)) = = x = 1+ x + x [f(x) = x]
1 + +
1 x 1+ x

x x 1+ x x
1+ x 1+ x 1 + 2x 1 + 2x
= 1 + 2x = × = ถกู

1+ x

107

ตัวอย่างท่ี 35 กำหนดให้ f(x) = x เมื่อ x  0

g(x) x เมื่อ 0  x < 1
x + 1 เม่ือ x  1

พิจารณาข้อความต่อไปน้ี

ก. gof-1 เป็นฟังก์ชันเพิม่ บน Rf [Rf = Df ]-1
ข. fog-1 เปน็ ฟังกช์ นั เพิม่ บน Rg [Rg = Dg-1]
ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูก, ผิด (คณิต 1/2545)

วธิ คี ดิ ขอ้ ก. gof -1(x) = g(f -1(x))

จาก f(x) = x เมื่อ x  0

ให้ y = f -1(x) , x = y เมื่อ y  0

y=x

ยกกำลงั 2, y = x2 เมื่อ x  0

 f-1(x) = x2

บน Df-1 [0, ) g(f -1(x)) = g(x2) = x2 เม่อื 0  x < 1
= x2 +1 เม่อื x  1

ข้อ ก. ถูก คำตอบเปน็ ฟงั ก์ชนั เพิม่ เพราะ f1(x) เพ่ิมแลว้ x2, x2 + 1 เพ่มิ

ข้อ ข. fog-1(x) = f(g-1(x))

จาก g(x) = x เมอ่ื 0  x < 1

= x + 1 เม่ือ x  1

ให้ y = g-1(x) , x = y เมือ่ 0  y < 1
=y+1 เมอ่ื y  1
เมื่อ 0  x < 1
หรอื y = x
=x-1 เมื่อ x - 1  1 หรือ x  2

บน Dg-1 [0,1)  [2, ), f(g-1(x)) = f(x) = x เมอื่ 0  x < 1

f(x - 1) = x - 1 เม่ือ x  2

ขอ้ ข. ถูก คำตอบเป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ เพราะ g-1(x)  แล้ว x, x - 1 

108

ตวั อยา่ งที่ 36 กำหนดใหฟ้ งั ก์ชัน f และ g ดังนี้

f(x) = x3 -1

g(x) = 2x + 1 เม่ือ x  0
x - 3 เม่ือ x 0
>

ถา้ (f-1og)(1) = a และ (gof-1)(-1) = b แลว้ ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง (คณิต 2/2544)

1. a = 1 , b = 1 2. a = 1 , b = -1

3. a = -1 , b = 1 4. a = -1 , b = -1

วธิ คี ิด จาก (f-1og)(1) = a

(f-1(g(1)) = a ----------

แต่ f(x) = x3 - 1

ให้ f-1(x) = y , x = y3 - 1

y3 = x +1

y = 3 x+1

หรอื f -1(x) = 3 x + 1

ดังนั้น f -1(g(x)) = 3 g(x) + 1

เมื่อ x = 1 แสดงวา่ g(x) = x - 3

หรือ f-1(g(x)) = 3 (x - 3) +1 = 3 x - 3 +1 = 3 x - 2

f-1(g(1)) = 3 1 - 2 = 3 -1 = -1 = a (จาก  )

ดงั น้นั a = -1

จาก (gof-1)(x) = b

g(f-1(x)) = b
แต่ g(x) = 2x + 1 เม่ือ x = -1

หรือ g(f-1(x)) = 2(f -1(x)) +1

( )g(f -1(-1)) = 2 3 x + 1 + 1

b = 2 ( 3 (-1) +1 ) +1 = 23 0 +1 = 2(0) +1 = 1

ตอบ ขอ้ 3

109

เรขาคณติ วิเคราะห์ และภาคตัดกรวย

1. หาระยะห่างระหวา่ งจุดพกิ ัด A (x1, y1) กับจุด B (x2, y2)

y
B

A AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
0 x = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2

2. หาจดุ แบ่งของส่วนของเส้นตรง AP : PB = m : n

y x
B

Pn
A m (x, y)

0

จุดพิกัด P(x, y), x = mxm2 + nnx1
+
mym2 + nny1
y = +

ถ้า P เป็นจดุ กึง่ กลางของ AB

จะได้ จดุ พกิ ดั P =  x1 + x2 , y1 + y2 
 2 2 

ตัวอย่างที่ 1 รปู ∆ ทีม่ ีจุดมุมอย่ทู ี่ A (4, 7) , B (2, 3) , C (-4, 5) ความยาวของเส้นมธั ยฐานทลี่ ากจากจุด A

มายังดา้ นตรงขา้ มกีห่ น่วย

* เส้นมธั ยฐานของ ∆ คือ เส้นท่ีลากจาก จุดมุมของ ∆ ไปแบง่ ครึง่ ด้านตรงข้ามกับมุมนนั้ ของ ∆

( )หาจุด P =  x1 + x2 , y1 + y 2  = -4 + 2 , 5 + 3
2 2 2 2

= (-1, 4)

y AP = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 110

C 7 A (4, 7) = (4 - (-1))2 + (7 - 4)2 = (4 + 1)2 + 32 ตอบ
= 52 + 32 = 25 + 9 = 34 หน่วย
(-4, 5) 5
P B (2, 3)

-4 0 2 4 x

3. ความชันของเส้นตรง m = ความชนั ,  คือมมุ ที่เสน้ ตรงทำกับแกน x

y ทวนเข็มนาฬิกา
B
m = tan  = ข้าม = y 2 - yx11
Aθ ชิด x 2 -
0
x ถ้า  < 90o, tan  = + (มุมแหลม)

y ถา้ 90o <  < 180o, tan  = - (มมุ ปา้ น)
BD
A = (x1, y1)
0 Aθ Cθ B = (x2, y2)
x C = (x3, y3)
D = (x4, y4)

3.1 เสน้ ตรงขนานกัน

เม่อื m1 = m2
3.2 เส้นตรงตดั กัน

m1  m2
3.3 เสน้ ตรงตดั กนั เปน็ มุมฉาก

m1 × m2 = -1

111

3.4 การหาสมการเสน้ ตรงเมอ่ื รู้คา่ ความชนั และจุดพิกดั 1 จุด (x1, y1)

m = y2 - y1 = y - y1 หรอื y = mx + c เมื่อ c เป็นจดุ ตดั แกน y หรือ x + y =1
x2 - x1 x - x1 a b

เมอื่ a เปน็ จุดตัดแกน x และ b เป็นจุดตดั แกน y

4. ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงกบั จดุ พกิ ัด d = ระยะหา่ งจากจุด P กบั เส้นตรง

yP AX + BY + C = 0
d
d= Ax1 + By1 + C
0x A2 + B2

5. ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง 2 เสน้ ขนานกนั d = ระยะหา่ งจากเสน้ ตรง 2 เสน้ ขนานกัน

y d= C2 - C1
A2 + B2
d0 x

6. วงกลม

6.1 จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมอยู่ท่ี (0, 0)

x2 + y2 = r2 y

r (x, y)
yr
-r 0 x r x

-r

112

6.2 จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมอยทู่ ่ี (h, k) กรณี x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
( )(h,k) = -A , -B
y 2 2

(h, k) r = 1 A2 + B2 - 4C
0x 2

6.3 ความยาวเส้นสมั ผัสวงกลม P
AP = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C

0
A

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาสมการเส้นตรงท่ผี า่ นจุด (4, 1) และตง้ั ฉากกับเสน้ ตรงท่ผี ่านจุด A (-1, 1) และ B (3, 7)

วธิ คี ดิ หาความชนั m ก่อน

m = y2 - y1
x2 - x1

= 7 -1 เมอ่ื (x1, y1) = (-1,1)
3- (-1)

(x2, y2) = (3, 7)

m1 = 3 6 1 = 6 = 3
+ 4 2

แต่ m2 ⊥ m1 ,  m2 × m1 = -1 ดงั นั้น m2 = - 2 [กลบั เศษสว่ นเปลยี่ นเครือ่ งหมาย]
3

สร้างสมการ m2 = y - y1 (x1, y1) = (4,1)
x - x1

- 2 = y-1 113
3 x-4
ตอบ
- 2 = y -1
3 x-4

-2x + 8 = 3y - 3

0 = 3y - 3 + 2x - 8

2x + 3y - 11 = 0

ตวั อย่างที่ 3 จงแสดงวา่ R (4, 5) อยบู่ นเสน้ ตรงท่ตี งั้ ฉาก และแบ่งครงึ่ ส่วนของเสน้ ตรงท่ีมจี ุดปลายที่ P(-1, 4)

และ Q (5, 10)

วิธคี ิด หาความชนั m1 กอ่ น และ หา m2 เพราะต้งั ฉากกนั

หาจุดกึ่งกลาง PQ และหา m2 จากจุดก่งึ กลางกับจุด R แล้วดวู ่า m2 เทา่ กนั หรือไม่

ถา้ เทา่ กันแสดงว่า จดุ R อยบู่ นเส้น m2

(2, 7) Q (5, 10) m1 = y2 - y1 เมือ่ (x1, y1) = (-1, 4)
S x2 - x1 (x2, y2) = (5,10)

P (-1, 4) R (4, 5) = 10 - 4 = 5 6
5 - (-1) +1

=1

 m2 = -1 ----------

หาจดุ S = (x, y) =  x1 + x2 , y1 + y2 
2 2

( )= -1 + 5 , 4 + 10
2 2

= (2, 7)

m3 = y2 - y1 = 7 - 5 = 2 = -1
x2 - x1 2 - 4 -2

m3 = m2 จาก 

ตอบ R (4, 5) อยบู่ นเสน้ ต้งั ฉาก และแบ่งครงึ่ ด้าน PQ

114

ตวั อย่างที่ 4 จงหาสมการของวงกลมท่ผี ่านจุด (0, 0) , (1, 2) และ (-1, -1) จากสมการ

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

วธิ ีคิด ผ่านจดุ (((xxx321,,, yyy132))) = (0, 0)  แทนค่าในสมการ x2 + y2 + Ax + By + C = 0
= (1, 2) 
= (-1, -1) 

แล้วแก้สมการ หาค่า A, B, C

(x1, y1) = (0, 0) , 02 + 02 + A(0) + B(0) + C = 0 ----------
C=0

(x2, y2) = (1, 2),12 + 22 + A(1) + B(2) + 0 = 0 [C=0]
1 + 4 + A + 2B + 0 = 0

A + 2B = -5 ----------

(x3, y3) = (-1, -1) , (-1)2 + (-1)2 + A(-1) + B(-1) + C = 0
1+1-A-B+0=0

-A - B = -2 ----------

+ B = -7

แทน B = -7 ใน  , A + 2(-7) = -5

A - 14 = -5

A = -5 + 14

A=9

ตอบ ∴ สมการ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 คือ x2 + y2 + 9x - 7y = 0

ตวั อย่างที่ 5 จงหาสมการของเสน้ ตรงท่ีขนานกับเสน้ ตรง 3x + 4y + 2 = 0 และอยหู่ า่ งจากเส้นตรงนี้ 3

หน่วย

วิธีคดิ เสน้ ตรงขนานกับเส้นตรง 3x + 4y + 2 = 0

แสดงว่า Ax, By เทา่ กัน แต่ C ไมเ่ ท่ากนั

จาก Ax + By + C = 0

ดงั นน้ั สมการเสน้ ตรงนี้ = 3x + 4y + c = 0 d
d
จากสูตร ระยะหา่ ง d= C2 - C1
A2 + B2

115

3= C-2 = C-2
32 + 42 5

15 = C - 2

C - 2 = 15

C - 2 = 15 หรือ C - 2 = -15

C = 17 หรือ C = -13

ตอบ สมการเสน้ ตรง คือ 3x + 4y + 17 = 0 หรือ 3x + 4y - 13 = 0

ตัวอย่างที่ 6 จงหาสมการของวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางท่ี (0, 1) และเส้นสัมผัสเสน้ ตรง 3x + 4y - 6 = 0

สูตร จดุ ห่างเสน้ ตรง (r)

A P r= Ax1 + By1 + C
0r A2 + B2
(x, y) = (0, 1)
(0, 1)

(h, k)

= 3(0) + 4(1) - 6
32 + 42

= 0+4-6 = -2 = 2
9 +16 25 5

∴ สมการวงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2

( )(x - 0)2 + (y -1)2 = 2 2
5

x2 + (y - 1)2 = 4
25

x2 + (y2 - 2y + 1) = 4
25

25 คณู ตลอด, 25x2 + 25y2 - 50y + 25 = 4

25x2 + 25y2 - 50y + 25 - 4 = 0

25x2 + 25y2 - 50y + 21 = 0 ตอบ

116

ตวั อยา่ งที่ 7 จงตรวจสอบวา่ 4x2 + 4y2 - 20x + 8y - 12 = 0 เปน็ สมการวงกลมหรอื ไม่ ในกรณีท่เี ป็นสมการ

วงกลม จงหารศั มี และจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม

วธิ ีคดิ วธิ ีที่ 1 4x2 + 4y2 - 20x + 8y - 12 = 0

4x2 - 20x + 4y2 + 8y = 12

2 2 2 2

+ y2 + 2y + =3+ +
( ) ( ) ( ) ( )4 หารตลอด, x2 - 5x +5 2 5 2 [ ทำกำลังสองสมบรู ณ์]
2 2 2 2

(x - 25) 2 + (y + 22)2 = 3 + 25 + 1
4

= 41
4

(x - 25)2 + (y + 1)2 =  41 2
2 

ตอบ เปน็ สมการวงกลม มีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (25 , -1)

รัศมียาว 41
2

วิธีท่ี 2 ใช้สูตรจาก x2 + y2 + Ax + By + C = 0

แตโ่ จทยเ์ ปน็ 4x2 + 4y2 - 20x + 8y - 12 = 0

ไมเ่ หมือนกับสูตร ต้องทำให้ สปส หน้า x2 และ y2 = 1

เอา 4 หารตลอด, x2 + y2 - 5x + 2y - 3 = 0

∴ A = -5, B = 2, C = -3

( )∴ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม = - A , - B
2 2

( )= - -5 , - 2 
2 2

(h,k) = (25 , -1) ตอบ

รศั มี = 1 A2 + B2 - 4C 117
2
1 1 ตอบ
= 2 (-5)2 + 22 - 4(-3) = 2 25 + 4 +12

= 1 41
2

7. พาราโบลา

แกนพาราโบลา x = 0
y ความยาวของLatus rectum หน่วย

F
(0, C)

0 x กราฟหงาย C+
F = จดุ โฟกสั

(0, -c) เส้นไดเรกตริกซ์ O = จุดกำเนดิ หรอื จดุ ยอด
y = -c เป็นสมการเส้นไดเรกตริกซ์

118

y ความยาวของ Latus rectum
เสน้ ไดเรกตริกซ์

( -c, 0) 0 F x กราฟตะแคงขวา C+
สมการไดเรกตริกซ์ x = -c (c, 0) แกนพาราโบลา y = 0

y แกนพาราโบลา x = h
ความยาวของ Latus rectum
0
F

(h, k)
x

เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์

y

F x แกนพาราโบลา y = k
(h, k) ความยาวของ Latus rectum
0
เส้นไดเรกตรกิ ซ์

ตัวอย่างที่ 8 จงหาสมการพาราโบลาทมี่ โี ฟกัสที่ (0, -6) และสมการเส้นไดเรกตริกซ์ คอื y = 6

วธิ ีคดิ วาดรปู จะร้เู ลยว่าจะเปน็ สมการแบบไหน

y6 สมการ x2 = 4cy
x2 = 4(-6)y
y=6 x2 = -24y

0x ตอบ

-6 F

119

ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาจดุ ยอด โฟกัส สมการไดเรกตรกิ ซ์ สมการแกนพาราโบลา และความยาวเสน้ Latus

rectum พรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟอย่างง่าย ของ 4y2 - 3x = 0

วธิ คี ิด จาก 4y2 - 3x = 0

4y2 = 3x

y 2 = 3 x [y2 = 4cx]
4 C + กราฟตะแคงขวา
โฟกัสเป็น +
y ดงั น้ัน 4c = 3 จดุ กำเนดิ (h, k) = (0, 0)
4

c = 4 3 4 = 3
× 16
F
∴x โฟกัส
( )0 3 , 0
16

จดุ ยอด (h, k) = (0, 0)

สมการไดเรก็ ตริกซ์ x = - 3
16

สมการแกนพาราโบลา y = 0

( )ความยาว Latus rectum = 4c = 4 3 = 3 หนว่ ย ตอบ
16 4

ตวั อย่างท่ี 10 เสาไฟฟ้าสองตน้ ซงึ่ สงู 30 เมตร อยู่หา่ งกัน 100 เมตร สายไฟฟา้ ท่ีอยู่ระหว่างเสาสองตน้ น้ี

หย่อน มีลกั ษณะเป็นรปู พาราโบลา และสูงจากพ้ืนดิน 20 เมตร ณ จดุ กงึ่ กลางระหว่างเสาสองต้นนี้ จงหา

สายไฟฟ้านีส้ ูงจากพน้ื ดินกเี่ มตร ณ จุดทีอ่ ย่หู ่างจากเสา 10 เมตร

y x2 = 4cy (x, y) = (50, 10)

(-50, 10) 10 (40, y) (50, 10) 502 = 4c(10)
สายไฟฟา้ 50 30 x
0 20 2500 = 40 c
30 50 เสา
เสา c = 2500 = 125
∴ สมการ 40 2
พ้ืน
( )x2 = 4125
2 y

x2 = 250y

แทน (40, y) , 402 = 250y

120

y = 840 × 40 = 32 = 6.4 ม.
5250 5

ตอบ ดงั นน้ั สายไฟอยูส่ ูงจากพน้ื 20 + 6.4 = 26. 4 ม.

ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาจุดยอด โฟกสั สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ สมการแกนพาราโบลา ความยาวของเส้น Latus

rectum ของพาราโบลา x2 + 6x - 4y +1 = 0

วิธคี ดิ ทำใหอ้ ยู่ในรูป (x - h)2 = 4c(y - k)

y x2 + 6x + (32) = 4y - 1 + (32) [ ทำกำลงั 2 สมบรู ณ์]

-3 F 0 x (x + 3)2 = 4y - 1+ 9
-2 = 4y + 8
(-3, -2) -3 y=-2-1=-3
เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ (x + 3)2 = 4(y + 2) ( c + หงาย)
จาก (x - h)2 = 4c(y - k)

∴ h = -3 , k = -2 , c = 1

จุดยอด (h, k) = (-3, -2)

โฟกัส = (-3, -2+1) = (-3, -1)

ความยาว Latus rectum = 4c = 4(1) = 4 หน่วย

สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ y = -3

สมการแกนพาราโบลา x = -3 ตอบ

8. วงรี

y

a p bB pa PF + PF = 2a (คงทีเ่ สมอ)
Fc V x
b จุดโฟกสั F (c, 0) , F(-c,0)

bp -c 0 แกนเอก, จุดยอด V(a,0), V(-a,0)
-b
p แกนโท, จดุ ปลาย B (0, b), B (0, -b)

V V ความยาวแกนเอก = 2a

ความยาว Latus rectum B B ความยาวแกนโท = 2b

121

ความยาว Latus rectum = 2b2
a

a2 = b2 + c2 a ยาวที่สุด

y
aa
b x2 y2
-c 0 c b x a2 + b2 =1 (จุดกำเนิด 0, 0)

y y2 x2
bb a2 b2
+ = 1
ca
0 -c a x a2 = b2 + c2 a ยาวท่ีสดุ

y x กรณีเลือ่ นจากจุดกำเนดิ (0, 0) เปน็ (h, k)
(h, k)
สมการวงรี (x - h)2 + (y - k)2 =1 [เมอ่ื a อยบู่ นแกน X]
0 a2 b2
y

(h, k) สมการวงรี (y - k)2 + (x - h)2 =1 [เม่ือ a อยบู่ นแกน Y]
x a2 b2

0

9. ไฮเปอรโ์ บลา P PF - PF = 2a [คงท่ีเสมอ]
จดุ โฟกัส F (c, 0) , F (-c, 0)
y แกนตามขวาง, จดุ ยอด V (a, 0), V (-a, 0)
x แกนสังยคุ , จดุ ปลาย B (0,b),B (0, -b)
p bB V V ความยาวแกนตามขวาง = 2a
B B ความยาวแกนสังยุค = 2b
-c V -a 0 a cF L1, L2 เป็นเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา
-b

122

ความยาว Latus rectum = 2b2
a

c2 = a2 + b2 c ยาวที่สุด

y สมการไฮเปอร์โบลา

aa x2 - y2 =1 จดุ กำเนดิ (0,0)
b a2 b2

0bF x b
a
สมการเสน้ กำกับ y = ± x

y y2 - x2 =1 จุดกำเนดิ (0, 0)
b bF a2 b2

a x สมการเสน้ กำกบั y = ± a x
0a b

ตัวอยา่ งที่ 12 จงหาจดุ ยอด โฟกัส ความยาวของแกนเอก ความยาวของแกนโท และความยาวของเสน้ Latus

rectum ของวงรี 4x2 + 9y2 + 24x + 36y + 36 = 0

วิธีคิด จดั สมการใหม่ เป็น (x - h)2 + (y - k)2 = 1
a2 b2

4x2 + 24x + 9y2 + 36y = -36

4(x2 + 6x + 32) + 9(y2 + 4y + 22) = -36 + 4(32) + 9(22)

4(x + 3)2 + 9(y + 2)2 = -36+36 + 36

4(x + 3)2 + 9(y + 2)2 = 36

36 หารตลอด, (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1
9 4

(x + 3)2 + (y + 2)2 = 1
32 22

a = ±3,b = ±2 , c2 = a2 - b2 = 9 - 4 = 5 y

c=± 5 -6 a -3 B a 0 x
F b
จุดศูนย์กลาง (h, k) = (-3, -2) V-2
(-3, -2) b-4
จดุ ยอด V (-6, -2) , V (0, -2)

123

ความยาวของแกนเอก , 2a = 2 × 3 = 6 หนว่ ย

ความยาวของแกนโท , 2b = 2 × 2 = 4 หนว่ ย

จุดโฟกัส, (-3 + 5,- 2),(-3 - 5,- 2)

ความยาวของเส้น Latus rectum = 2a2 = 2(3)2 = 9 หนว่ ย
b 2

ตัวอยา่ งท่ี 13 จงหาจุดยอด โฟกสั และเขยี นกราฟอยา่ งงา่ ย ของวงรีทีม่ สี มการ 16x2 + 36y2 - 576 = 0

วธิ ีคิด จดั รปู แบบสมการใหเ้ ป็น x2 + y2 = 1
a2 b2

16x2 + 36y2 = 576

16 x 36 หาร, x2 + y2 = 1
36 16

ดังน้ัน a2 = 36 , b2 = 16 → c2 = a2 + b2 = 36 - 16 = 20

a = ±6 , b = ±4 c = ± 20 = ±2 5

จดุ ยอด a, (6, 0) , (-6, 0) โฟกัส c,(2 5,0),(-2 5,0)

y

(-6, 0) B (0, 4) V (6, 0x)
-6 F’ 4 6
0F
-4
(0, -4)

ตัวอย่างท่ี 14 ผลตา่ งของระยะของจดุ ใดๆ บนไฮเปอรโ์ บลาไปยังจดุ (13, 0) และ (-13, 0) เท่ากับ 10 หนว่ ย
จงหาสมการไฮเปอร์โบลา

วธิ ีคิด PF - PF = 2a
10 = 2a
5=a

จดุ (13, 0) , (-13, 0) เปน็ จดุ โฟกสั = ±13

โดยใหจ้ ดุ กำเนิด = (0, 0) c = 13 124
F = (13, 0)
ตอบ
F = (-13, 0)

สมการไฮเปอรโ์ บลา = x2 - y2 = 1
หา b จาก a2 b2

c2 = a2 + b2

b2 = c2 - a2

= 132 - 52 = 169 - 25

b2 = 144

b = ±12

∴ สมการ x2 - y2 = 1
52 122

x2 - y2 = 1
25 144

25 × 144 คูณ, 144x2 - 25y2 = 25 ×144

144x2 - 25y2 = 3600
144x2 - 25y2 - 3600 = 0

ตัวอยา่ งท่ี 15 จงหาสมการวงรี ท่ีมจี ุดศนู ยก์ ลางที่ (0, 0) จุดยอดจดุ หนง่ึ (0, 4) และวงรผี า่ นจุด ( 3, 2)

วธิ ีคิด จุดยอด (0, 4) แสดงวา่ เป็นวงรแี นวตง้ั แกนเอกอย่บู น

แกน y, a = 4 ผ่านจุด ( 3, 2) = (x1, y1) แทนในสมการ

y2 + x2 =1
a2 b2
(0, 4)
0x 22 + 32 = 1
42 b2

(0, -4) 4 + 3 = 1
16 b2

1 + 3 = 1
4 b2

3 = 1 - 1
b2 4

3 = 3 125
b2 4
ตอบ
b2 = 3 × 4
3

b2 = 4

∴ สมการ y2 + x2 = 1
16 คณู ตลอด, 16 4

y2 + 4x2 = 16

4x2 + y2 - 16 = 0

ตัวอยา่ งท่ี 16 ให้ F1 และ F2 เปน็ โฟกัสของไฮเปอรโ์ บลา 16y2 - 9x2 + 36x - 32y - 164 = 0 และ O
เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 แล้วรปู F1F2 O มีเส้นรอบรูปยาวเท่าไร
วิธคี ดิ สมการไฮเปอร์โบลา 16y2 - 9x2 + 36x - 32y - 164 = 0

16y2 - 32y - 9x2 + 36x = 164

16(y2 - 2y +12) - 9(x2 - 4x + 22) = 164 +16(12) - 9(22)

16(y - 1)2 - 9(x - 2)2 = 164 +16 - 36

16(y - 1)2 - 9(x - 2)2 = 144

144 หาร, (y - 1)2 - (x - 2)2 = 1
9 16

y (y - 1)2 - (x - 2)2 = 1
32 42
(-1,2)O 2 (2,6)
-1 0 (2,1) ∴ a = 3, b = 4 และ c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 +16
4 (2,-4)
x c2 = 25

c = ±5

สมการวงกลม, x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0

(x2 + 2x + 12) + (y2 - 4y + 22) = -1 + 12 + 22

(2,6) (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4
O
-A -B -2 -(-4)
( ) ( )(-1,2) 2 2 2 2
หรือ (h,k) = , = , = (-1,2) , (h, k) = (-1, 2)

(2,-4) F1F2 = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10

126

F1 O = (6 - 2)2 + (2 - (-1))2 = 42 + 32 = 16 + 9

= 25 = 5
F2 O = (2 - (-4))2 + (-1 - 2)2 = (2 + 4)2 + (-3)2

= 62 + 9 = 36 + 9 = 45 = 3 5
ตอบ ∴ ความยาวรอบรูป F1F2 O = 10 + 5 + 3 5 = 15 + 3 5 หน่วย

ตวั อยา่ งที่ 17 จงหาสมการของไฮเปอรโ์ บลาทีม่ ีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ี (1, 2) มแี กนตามขวางขนานกบั แกน x

Latus rectum ยาว 6 หนว่ ย และแกนสงั ยุคยาว 12 หน่วย

วิธีคดิ Latus rectum = 6

2b2 = 6 ----------
a

y แกนสงั ยคุ ยาว = 12

แกนสงั ยคุ 2b = 12
b = 6 แทน 
แกนตามขวาง 2 (1, 2)

01 x 2(6)2 = 6
a

a = 2(6)2 = 12
6

∴ สมการ (x - h)2 - (y - k)2 = 1
a2 b2

(h, k) = (1, 2)

(x - 1)2 - (y - 2)2 = 1
122 62

144 คูณตลอด, (x - 1)2 - 4(y - 2)2 = 144 (ค.ร.น. ของ 122, 62 = 144 ]

(x2 - 2x +1) - 4(y2 - 4y + 4) = 144

x2 - 2x +1 - 4y2 +16y - 16 = 144

x2 - 4y2 - 2x +16y - 15 - 144 = 0

x2 - 4y2 - 2x +16y - 159 = 0 ตอบ

127

ตวั อยา่ งที่ 18 สวนแห่งหนึง่ เปน็ รปู วงรี มสี มการ คอื 16x2 + 25y2 - 32x - 150y - 159 = 0 ถ้าสว่ นที่แรเงา

คือสนามหญา้ จงหาว่าสนามหญ้ามพี น้ื ท่เี ทา่ ไร

วธิ ีคดิ จดั สมการให้อย่ใู นรูป (x - h)2 + (y - k)2 = 1
a2 b2

16x2 + 25y2 - 32x - 150y - 159 = 0

16x2 - 32x + 25y2 - 150y = 159

16(x2 - 2x +12) + 25(y2 - 6y + 32) = 159 +16(12) + 25(32)

16(x - 1)2 + 25(y - 3)2 = 159 + 16 + 225
= 400

16 × 25 หาร, (x - 1)2 + (y - 3)2 = 1
25 16
y
จดุ ศูนยก์ ลาง = (h, k) = (1, 3)
B
(x - 1)2 + (y - 3)2 = 1 V
52 42 3
x
a2 = 52 , b2 = 42 (1, 3)

01

a = ±5 , b = ±4

 c2 = a2 - b2 = 52 - 42 = 25 - 16 = 9

c = ±3

ความยาวแกนเอก = 2a = 2(5) = 10 หน่วย

ความยาวแกนโท = 2b = 2(4) = 8 หนว่ ย

พืน้ ที่ ป ขนมเปียกปูน = 1 × ผลคูณเส้นทแยงมุม
2

= 1 × 10 ×8 = 40 ตารางหนว่ ย ตอบ
2

ตวั อย่างที่ 19 จงหาจุดยอด โฟกัส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค สมการของเสน้ กำกบั และ
ความยาวของ Latus rectum ของไฮเปอรโ์ บลา x2 - 4y2 = -4
วธิ ีคิด x2 - 4y2 = -4

จดั ใหม่ 4y2 - x2 = 4

128

4 หาร, y2 - x2 = 1 [ไฮเปอรโ์ บลา]
1 4

a2 = 1 , b2 = 4

a = ±1 , b = ±2 , c2 = a2 + b2 = 1+ 4 = 5

y c=± 5
จดุ ยอด V (0,1) , V (0,-1)
F
โฟกัส F(0, 5) , F(0, - 5)
V ความยาวแกนตามขวาง = 2a

-2 1 B x = 2(1) = 2 หน่วย
-01 2

ความยาวแกนสงั ยคุ = 2b

= 2(2) = 4 หนว่ ย

สมการเสน้ กำกับ = ± a x
b

= ± 1 x
2

ความยาว Latus rectum = 2b2
a

= 2(2)2 = 8 หนว่ ย
1

129

ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ และการประยุกต์

1. ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

B ดา้ นตรงขา้ มมมุ A

sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉ

A C sin A = a ----------
ดา้ นประชิดมุม A B c

cos A = ความยาวด้านประชิดมุม A = ช
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉ
c
b
cos A = c ----------

A bC tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข
ความยาวด้านประชิดมุม A ช

tan A = a ----------
b

cosec A = กลับเศษเป็นสว่ นของ sin A

cosec A = 1 A = c ----------
sin a

sec A = กลับเศษเปน็ ส่วนของ cos A

sec A = 1 A = c ----------
cos b

cot A = กลบั เศษเปน็ สว่ นของ tan A

tan A = 1 A = b ----------
tan a

2. คา่ ฟงั ก์ชันตรโี กณของมุม 30o, 45o, 60o ของสามเหลยี่ มมุมฉาก

จากรปู สามารถหาค่าฟังกช์ ันตรโี กณมติ ไิ ดห้ มด

2 1 sin 60o = ข = 3 = cos 30o = ช = 3
ฉ 2 ฉ 2

1 1 sin 30o = ข = 1 = cos 60o = ช = 1
ฉ 2 ฉ 2

130

sin 45o = ข = 1 = cos 45o = ช = 1 tan 60o = ข = 3 = cot 30o = 1 = 1
ฉ 2 ฉ 2 ช 1 tan 30o 1

3

=3

tan 45o = ข = 1 = 1 tan 30o = ข = 1 = cot 60o = 1 = 1
ช 1 ช 3 tan 60o 3

1

= 1
3

ตัวอยา่ งท่ี 1 ให้ ABC เป็น รปู ∆ มุมฉาก ดังรปู

40 40 A ให้ AB = 40 3 ซม.
AD = 40 ซม.

B C และ 4(sin2 2) = 3 แลว้ ADˆC = ?
D

วธิ คี ิด 4(sin2 2) = 3

sin2 2 = 3
4

sin 2 = ± 3 = ± 3
4 2

แต่ sin 2 เปน็ + เพราะ 0o < 2 < 90o

sin 2 = ± 3
2

sin 2 = 3 = sin 60o
2

2 = 60o

 = 30o

จาก ∆ ADC , sin  = AC = AC ----------
จาก ∆ ABC , AD 40

sin  = AC = AC
AB 40 3

sin 30 = AC
40 3

131

1 × 40 3 = AC
2

AC = 20 3 แทนใน 

sin = 20 3 = 3
40 2

sin β = sin 60 [ sin 60o = 3 ]
2

 = 60o ตอบ

ตวั อย่างที่ 2 ถ้ารปู ∆ ABC มี BAˆC = 45o, ACˆB = 60o และดา้ น AC ยาว 20 นว้ิ แลว้ พ้นื ทข่ี อง ∆ ABC มี

คา่ เท่าไร

วธิ ีคดิ หาพ้ืนท่ี  ABC = 1 × ฐาน × สูง B
2 x
A 20 D C
ลากเส้น BD ⊥ AC เป็นความสงู

หาความสงู BD = x นว้ิ

จาก ∆ ABD , หา AD ติดค่า BD ไว้

จาก ∆ CBD , หา DC ตดิ ค่า BD ไว้

แล้วเขา้ สมการ AD + DC = 20 โดยตดิ คา่ BD แลว้ แก้สมการ

หาค่า BD ได้

 ABD, tan ABˆ D = BD
AD

tan 45o = BD
AD

1 = BD
AD

AD = BD ----------

 CBD, tan BCˆD = BD
DC

tan 60o = BD
DC

3 = BD
DC

3 DC = BD

132

DC = BD ----------
3

 +  = 20, AD + DC = 20

BD + BD = 20
3

x+ x = 20
3

3 คณู , 3x + x = 20 3

x( 3 +1) = 20 3

x= 20 3
3 +1

∴ พ.ท.  ABC = 1 × ฐาน × สูง
2

= 1 × AC × BD
2

= 1 × 2010 × 20 3 = 200 3 น้ิว2
2 3 +1 3 +1

ตอบ 200 3 ตารางน้ิว
3 +1

3. คา่ ของฟังกช์ ัน Sine กบั Cosine ของวงกลม 1 หน่วย (รัศมี = 1) y
3.1 มมุ 2 แบบ 0 2π x
0 องศา = 0 เรเดียน

180 องศา =  เรเดียน π

360 องศา = 2  เรเดียน

90 องศา =  เรเดียน
2

sin 60o = sin  = cos  = 3
3 6 2

sin 30o = sin  = cos  = 1
6 3 2

sin 0o = sin 0 = cos  = 0

133

sin 90o = sin  = cos 0 = 1
2

3.2 ฟังก์ชนั sin ,cos  y

sin = y = y = y (0,1) (x,y)
r 1 r=1
 y

cos  = x = x = x (-1,0) 0 θ x (1,0) x
r 1
(0,-1)

(x, y) = (cos θ ,sin θ)

3.3 เคร่อื งหมายของฟงั ก์ชนั sin ,cos  Quadrant Q1

y sin  + (y+)
S+ S+
π C- C+ 0 x cos  + (x+)
S- S- 2π
C- C+ ( )tan  + y + +
x +

Quadrant Q2

sin  + (y+)

cos  - (x -)

( )tan  - y + -
x -

Quadrant Q3

sin  - (y -)

cos  - (x -)

( )tan  + y - +
x -

Quadrant Q4

sin  - (y -)

cos  + (x+)

( )tan  - y- -
x+

134

4. การเปลย่ี นฟังกช์ นั ของมุมใหญ่ เปน็ มุมเลก็ ไม่เกนิ 90o หรอื  เรเดียน
2

4.1 เปลยี่ นมุมตามแนวนอนไมต่ ้องเปล่ียนฟงั ก์ชัน

π  คอื 0o,180o, 360o

0 หรอื 0, , 2 เรเดยี น

0, 2π  คอื มุมเลก็ กวา่ 90o

sin ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...sin 
ตามมุมเดิม

cos ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...cos 
ตามมุมเดิม

เมือ่ = 0o,180o, 360o tan ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...tan 
ตามมุมเดิม
= 0, , 2  เรเดียน

เชน่ sin120o = sin (180o - 60o) = + sin 60o (Qเดิม = Q2)
(Qเดิม = Q2)
sin 3 = sin ( - 4 ) = + sin  (Qเดิม = Q3)
4 4 (Qเดิม = Q4)
(Qเดิม = Q4)
cos 210o = cos (180o + 30o) = - cos 30o

cos 300o = sin (360o - 60o) = + cos 60o

tan 7 = tan (2 - 4 ) = - tan 
4 4

4.2 เปล่ยี นมมุ ในแนวตัง้ ต้องเปลย่ี นฟังกช์ ัน

y  คือ 90o, 270o

หรือ  , 3 เรเดียน
2 2

0x  คอื มุมเล็กกวา่ 90o

ต้องเปลย่ี นฟังกช์ ัน เปน็ ฟังกช์ ันใหม่

sin ( ± ) ⎯⎯⎯→เคร่ืองหมาย ...cos 
ตามมุมเดิม

cos ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...sin 
ตามมุมเดิม

135

tan ( ± ) ⎯⎯⎯→เคร่ืองหมาย ...cot 
ตามมุมเดิม

เชน่ sin120o = sin (90o + 30o) = + cos 30o

มุมเดมิ = Q2 sin +
cos 210o = cos (270o - 60o) = - sin 60o

มุมเดิม = Q3 cos -

tan 225o = tan (270o - 45o) = + cot 45o

มุมเดมิ = Q3 tan +

4.3 กรณี  เกนิ 360o , 720o , ... ให้หักมุมท่คี รบทกุ รอบออก เหลือมุมไม่ครบรอบ หรอื ไมเ่ กนิ

360o มาพิจารณา

เช่น sin1020o = sin (720o + 300o) = sin 300o

sin 300o = sin (360o - 60o) = -sin 60o

4.4 กรณี  เป็นคา่ - แสดงว่า หมุนถอยหลัง ก็ให้ใชห้ ลักเดียวกัน

เชน่ sin - 30o หมุนถอยหลังอยู่ Q4 sin เป็น -

sin - 30o = sin (0 - 30o) = -sin 30o
cos - 120o หมนุ ถอยหลัง อยู่ Q3 cos เปน็ -
cos - 120o = cos (-180o + 60o) = -cos 60o
tan - 150o หมุนถอยหลัง อยู่ Q3 tan เปน็ +
tan - 150o = tan (-180o + 30o) = +tan 30o
cos - 240o หมุนถอยหลัง อยู่ Q2 cos เป็น -
cos - 240o = cos (-180o - 60o) = -cos 60o

cos - 240o = cos (-270o + 30o) = - sin 30o
เปลี่ยนฟังก์ชัน
[ อยู่ Q2 cos เปน็ - ]

tan - 150o = tan (-90o - 60o) = + cot 60o
เปลี่ยนฟังก์ชัน
[ อยู่ Q3 tan เป็น +]

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคา่ สงู สุด และตำ่ สุดของ sin x - 3 cos x 136

วิธีคิด ปกตคิ ่าสงู สุด และตำ่ สุดของ sin  , cos  อย่ทู ี่ -1 , +1 ตอบ

= sin x - 3 cos x

= 2  1 sin x - 3 cos x 
 2 2 

= 2[cos 60o sin x - sin 60o cos x]

= 2[sin x cos 60o - cos x sin 60o]

= 2 sin (x - 60o)

 sin x - 3 cos x = 2 sin (x - 60o)
แต่ -1  sin   1

 - 2  2 sin   2

แสดงวา่ ค่าของ sin x - 3 cos x = 2 sin (x - 60o)

-2  sin x - 3 cos x  2 , มคี า่ ตำ่ สุด -2 , สงู สุด 2

5. สตู รฟังก์ชันตรโี กณมิตพิ นื้ ฐาน ที่ตอ้ งจำ

sin2  + cos2  = 1
sec2  - tan2  = 1
cosec2  - cot2  = 1

6. สูตรฟงั ก์ชันตรีโกณประยกุ ต์ ท่ีต้องจำ
เมือ่ A และ B เป็นจำนวนจริง(เรเดียน) หรือ มมุ องศาใดๆ
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
สรุป sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B ----------
cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
สรุป cos (A ± B) = cos A cos B sin A sin B ----------

137

tan (A + B) = tan A + tan B
1 - tan A tan B

tan (A - B) = tan A - tan B
1+ tan A tan B

สรปุ tan (A ± B) = tan A ± tan B ----------
1 tan A tan B

cot (A ±B) = กลบั เศษเป็นสว่ น / กลบั หนา้ เปน็ หลงั ของ tan (A ±B)

สรุป cot (A ± B) = cot A cot B 1 ----------
cot B ± cot A ----------

sin 2A = 2 sin A cos B

(มาจาก sin (A + A) = sin A cos A + sin A cos A)

cos 2A = cos2 A - sin2 A

(มาจาก cos (A + A) = cos A cos A - sin A sin A)

cos 2A = 2 cos2 A - 1 ----------

(มาจาก sin2 A + cos2 A = 1 , sin2 A = 1 - cos2 A )

cos 2A = 1 - 2 sin2 A ----------

(มาจาก sin2 A + cos2 A = 1 , cos2 A = 1 - sin2 A )

tan 2A = 2 tan A ----------
1- tan2 A
----------
(มาจาก tan (A + A) = tan A + tan A ) ----------
1 - tan A tan A

sin 2A = 1 2 tan A
+ tan2 A

cos 2A = 1- tan2 A
1+ tan2 A

ตวั อย่างท่ี 4 ผลบวกของคำตอบของสมการ x + 1-x = 2 1 เปน็ เท่าใด
1-x x 6

วธิ ีคดิ ให้ A= 1 x , A + 1 = 2 1
-x A 6

A คูณตลอด (A)A + (A) 1 = (A) 13
A 6

138

A 2 + 1 = 13A
6

6 คูณตลอด 6A2 + 6 = 13A

3A -9A -3

6A2 - 13A + 6 = 0

2A -4A -2

(3A - 2)(2A - 3) = 0

ดงั น้นั x =A แล้ว 1-x = 1
1- x x A

ทำให้ A + 1 = 2 1
A 6

หรือ (3A - 2)(2A - 3) = 0

3A - 2 = 0 หรือ 2A - 3 = 0

A = 2 หรอื A = 3
3 2

แทนค่า A,

x = 2 หรอื x = 3
1-x 3 1-x 2

( ) x 2 2 2 ( ) x 2 3 2
-x  3 -x  2
1 = หรอื 1 =

1 x = 4 หรือ 1 x x = 9
-x 9 - 4

9x = 4 - 4x หรอื 4x = 9 - 9x

13x = 4 หรือ 13x = 9

x = 4 หรือ x = 9
13 13

เวลาจะตอบ ในกรณีติดกรณฑ์ ตอ้ งตรวจคำตอบก่อนเพราะ

จำนวนลบตดิ กรณฑ์คไู่ ม่ได้ เพราะไม่เปน็ จำนวนจริง ( ลบ ไมไ่ ด้ )

139

4 x 4
13 1- x 13
x = → = 4 ถูก
1 - 13

9 x 9
13 1- x 13
x = → = 9 ถูก
1 - 13

ตอบ ดังนน้ั ผลบวกของคำตอบ = 4 + 9 = 13 =1
13 13 13

7. กราฟของฟังกช์ นั Sine
sine = {(x, y) / y = sin x}

สมการ y = sin x
เมื่อ -2  x  2

-1  y  1
y

1

0 x
2 -1

ดังนนั้ Df เปน็ เซตของจำนวนจริง (x) เม่อื คา่  เรเดยี น แทนด้วย 3.14 หรือ 22
7

Rf เป็นเซตของคา่ -1  y  1 (y)

เม่ือ x = 0, y = 0 หรือ (x, y) = (0, 0) จุดกำเนิด

8. กราฟของฟงั กช์ ัน Cosine
Cosine = {(x, y) / y = cos x}

สมการ y = cos x
เม่อื -2  x  2

-1  y  1

y 140
x
1

0
2 -1

ดงั นั้น Df เปน็ เซตของจำนวนจรงิ (x)
Rf เป็นเซตของคา่ -1  y  1 (y)

เมอื่ x = 0, y = 1 หรือ (x, y) = (0, 1)

9. กราฟของฟังกช์ ัน Tangent

y tangent = {(x, y) / y = tan x} เมือ่ x  n +  , n
2

หรอื y = tan x เมือ่ x   , 3 , 5 , 7 , ...
2 2 2 2
0 x

หรือ x  90o, 270o, (360o + 90o), (360o + 270o),...

y

1 x

0

-1

2

เมื่อ -2  x  2 แต่ x  n + 
2

ดงั นั้น Df เปน็ เซตของจำนวนจริง (x) โดย x  n +  , n 
2

Rf เปน็ เซตของของจำนวนจรงิ (y)

141

10. กราฟของฟงั ก์ชัน cosec, sec, cot ซงึ่ เป็นส่วนกลบั ของ sine, cos, tan

y cosec θ

1 sin θ
x
sin θ
0

-1

cosec θ

y sec θ sec θ y tan θ
cos θ tan θ
1

0 x1

cos θ -1 0 x
sec θ
-1

cot θ cot θ

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า sin (-79 1 ) และ cos (-79 1 )
4 4

วธิ คี ิด มมุ ลบ หมนุ ถอยหลัง หาดวู า่ อยู่ Q ไหนก่อน

-79 1  หมุนรอบละ -2
4

เหลือเศษ -1 1  อยู่ Q2 -1  เลยไปอีก - 1 
4 4

 sin (-79 1 ) = sin (-1 1 )
4 4

= sin (-1 - 41) 

= sin (-  - 1 ) ( อยู่ Q2 sin + )
4

= +sin 1  (41 = 45o)
4

142

= 1 หรือ 2 เหมอื นกนั
2 2

 cos (-79 1 ) = cos (-1 1 )
4 4

= cos(-  - 1 ) (อยู่ Q2 cos - )
4

= -cos 1  (41 = 45o)
4

=- 1 = -2
2 2

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาค่า cos 65o cos 20o + sin 65o sin 20o

วธิ ีคิด จากสูตร cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

cos (65o - 20o) = cos 65o cos 20o + sin 65osin 20o

cos 45o = cos 65o cos 20o + sin 65o sin 20o

1 = 2 ตอบ
2 2

( ) ( )ตวั อย่างที่ 5 4 11
7 จงหาค่าของ sin 6 + cos - 3 - tan - 4

วิธที ำ sin 5 5 ×  = 5 × 30o = 150o อยู่ใน Q2 sin เป็น +
6 6

sin 5 = sin 150o = sin (180o - 30o) = +sin 30 = 1
6 2

( )cos- 4 4 ×  = 4 × 60o = 240o , - 240o อยู่ใน Q2 
3 3 

cos (-240o) = cos (-180o - 60o) = -cos 60o = - 1
2

( )tan-11 11 ×  = 11 × 45o = 495o หัก 360o = 135o , - 135o อยู่ใน Q3 
4 4 

tan (-135o) = tan (-180o + 45o) = +tan 45o = 1

( ) ( )sin5+cos - 4 - tan - 11 = 1 +  - 1  +1 = 1 ตอบ
6 3 4 2 2

143

ตวั อยา่ งที่ 8 จงหาคา่ ของ tan 20o + tan 25o + tan 20o tan 25o

วิธีคิด สตู ร tan (20o + 25o) = tan 20o + tan 25o
1 - tan 20o tan 15o

tan 45o = tan 20o + tan 25o
1 - tan 20o tan 25o

1 = tan 20o + tan 25o
1 - tan 20o tan 25o

1- tan 20o tan 25o = tan 20o + tan 25o

1 = tan 20o + tan 25o + tan 20o tan 25o

ตอบ 1

ตวั อย่างที่ 9 จงหาคา่ ของ sin2 A + sin2 (60o + A) + sin2 (60o - A)

= sin2 A + [sin 60o cos A + cos 60o sin A]2 + [sin 60o cos A - cos 60o sin A]2

= sin2 A + sin2 60o cos2 A + 2 sin 60o cos A cos 60o sin A + cos2 60o sin2 A

+sin2 60 cos2 A - 2 sin 60o cos A cos 60o sin A + cos2 60o sin2 A

= sin2 A + 2 sin2 60o cos2 A + 2 cos2 60o sin2 A

( )= sin2 A + 2 3 2 cos2 A + 2 1 2
2  2
sin2 A

( ) ( )= sin2 A + 2 3 1
4 cos2 A + 2 4 sin2 A

= 1 sin2 A + 3 cos2 A + 1 sin2 A
2 2

= 1 sin2 A + 1 sin2 A + 3 cos2 A
2 2

= 3 sin2 A + 3 cos2 A
2 2

= 3 (sin2 A + cos2 A) = 3 (1) = 3 ตอบ
2 2 2

144

ตัวอยา่ งท่ี 10 กำหนด cos 2 = - 1 เมื่อ  < 2 < 3 จงหาค่าของ sin  ,cos  และ tan 
2 2

วิธคี ดิ  < 2 < 3 หรือ 180o < 2 < 270o (Q3)
2

หรือ 90o <  < 135o อยู่ Q2

cos 2 = - 1 อยู่ Q3
2

= cos (180 + 60)

2 = 240o

 = 120o

 sin  = sin120o = sin (180o - 60o) = +sin 60o = 3
2

cos  = cos 120o = cos (180o - 60o) = -cos 60 o = - 1
2

tan  = tan120o = tan (180o - 60o) = -tan 60o = - 3 ตอบ

11. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของ 3 เทา่ ของจำนวนจริง (เรเดียน) หรือมุมองศา

sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A

cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A

tan 3A = 3 tan A - tan3 A
1 - 3 tan2 A

ตวั อยา่ งที่ 11 กำหนด tan A = 1 จงหาค่า sin A + cos A - tan A
2 2

วิธีคดิ tan A = 1
2 2

จาก sin 2A = 1 2 tan A
+ tan2 A

(( ))หรอื sin A = 2 tan A 2 1 = 1 = 1 = 4
+ 2 = 2 + 5 5
A 1 2 1 4
1 tan2 2 1+ 2 1 4

145

cos 2A = 1- tan2 A
1+ tan2 A

(( ))หรือ 1- tan2 A 1- 1 2 1- 1 3 3 4 3
1+ tan2 2 = 2 2 1+ 4 4 4 5 5
cos A = A 1 = 1 = 5 = × =
2 1+ 2 4
4

tan 2A = 2 tan A
1- tan2 A

(( ))หรอื tan A = 2 tan A 2 1 = 1 = 1 = 4
1- 2 = 2 3 3
A 1 2 1 4
tan2 2 1- 2 1 - 4

 sin A + cos A - tan A = 4 + 3 - 4 = 7 - 4 = 21 - 20 = 1 ตอบ
5 5 3 5 3 15 15

4.12 เปลี่ยนฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิจากผลคูณ เปน็ ผลบวก
1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)
2. 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)
3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)
4. 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)

ตวั อย่างท่ี 12 จงหาค่าของ sin 20o sin 40o sin 80o

วธิ คี ดิ เปลีย่ น 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)

sin 20o sin 40o = 1 (2 sin 40o sin 20o)
2

= 1 (cos (40o - 20o) - cos (40o + 20o))
2

= 1 (cos 20o - cos 60o)
2

= 1 (cos 20o - 12)
2

= 1 cos 20o - 1
2 4

146

sin 20o sin 40o sin 80o = ( 1 cos 20o - 41) sin 80o
2

= 1 cos 20o sin 80o - 1 sin 80o
2 4

= 1 (2 sin 80ocos 20o) - 1 sin 80o
4 4

= 1 (sin (80o + 20o) + sin (80o - 20o)) - 1 sin 80o
4 4

= 1 (sin 100o + sin 60o) - 1 sin 80o
4 4

= 1 (sin 100o + 3 ) - 1 sin 80o
4 2 4

= 1 (sin 80o + 3 ) - 1 sin 80o sin100o = sin(180o - 80o)
4 2 4
 
= 3 ตอบ  =sin80o (Q2) 
8

4.13 เปลย่ี นฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ จากผลบวก เปน็ ผลคูณ

( ) ( )1. sin A + sin B = 2 sin A+B cos A-B
2 2

( ) ( )2. sin A - sin B = 2 sinA-B cos A+B
2 2

( ) ( )3. cos A + cos B = 2 cos A+B cos A -B
2 2

( ) ( )4. cos A - cos B = -2 sin A+B sin A-B
2 2

ตวั อยา่ งท่ี 13 จงหาคา่ ของ sin 500o - cos10o - cos110o

วธิ ีคิด เปลีย่ นเป็นมมุ เล็ก แล้วเปลี่ยนฟังก์ชนั ± เป็นคูณ

sin500o = sin(360o +140o) = sin140o

sin500o - cos10o - cos110o = sin140o - cos10o - cos110o

= sin140o - (cos10o + cos110o) ----------

cos 10o + cos110o = 2 cos (10o + 110o ) cos (10 - 110o )
2 2

= 2cos60o cos - 50o