คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย-5

147

[cos - 50o = cos (0o - 50o) = cos50o (Q4)] = 2 cos 60o cos 50o

( )= 21 cos 50o = cos 50o
2

จาก  sin140o - (cos10o + cos110o) = sin140o - cos 50o

= sin140o - cos (90o - 40o)

= sin140o - sin 40o

= 2 sin  140o - 40o  cos  140o + 40o 
 2   2 

= 2 sin 50o cos 90o

= 2 sin 50o (0) ตอบ
=0

4.14 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ

ปกติ y y = sin x อนิ เวอร์ส y y = arc sin x = sin-1x
(ผกผนั ) ค่า x (โดเมน) = [-1, 1]
1

0 x -1 0 1 x มมุ y (เรนจ์) = [-  , 2 ]
2
-1

ปกติ y = cos x อนิ เวอร์ส y = arc cos x = cos-1x
คา่ x (โดเมน) = [-1, 1]
y (ผกผนั ) y มุม y (เรนจ์) = [0, ]

1 -1 0 x

0x 1

-1

ปกติ y y = tan x อนิ เวอรส์ y y = arc tan x = tan-1x
(ผกผัน) คา่ x (โดเมน) = R
1
-1 0 1 x มมุ y (เรนจ)์ = (-  , 2 )
-10 x 2

148

ปกติ y y = cosec x อนิ เวอรส์ y y = arc cosec x = cosec-1x
ค่า x (โดเมน) = R - (-1, 1)
1 (ผกผัน)
x มุม y (เรนจ)์ = [-  , 2 ] - {0}
0x -1 0 2
1
-1

ปกติ y y = sec x อินเวอรส์ y = arc sec x = sec-1x

1 (ผกผัน) y คา่ x (โดเมน) = R - (-1, 1)

0x -1 0 x  มุม y (เรนจ)์ = [0,] - 
2
-1

1

ปกติ y = cot x อินเวอร์ส y y = arc cot x = cot-1x
(ผกผัน) ค่า x (โดเมน) = R
y
0 x มุม y (เรนจ)์ = (0, )

0x

ตวั อย่างที่ 14 กำหนด sin x = - 1 จงหาคา่ x ของ
2

1. arc tan x

2. arc cos x y

วิธคี ิด sin x = - 1 1 sin x
2 tan x

sin x = -sin  0 x

6 -1 cos x

= sin(0 - 6), sin( + 6)

sin x = sin(- 6), sin(76)

x = - , 7
6 6

ข้อ ก.  arctan x = -  , 7 149
6
6 ตอบ
ตอบ
( )=- -  < 
6 arctan x <
2 2

ดงั นน้ั x = tan(- 6) = - 1
3

ข้อ ข. และ arccos x = -  , 7
6
6
= ไม่มีคำตอบ (0  arccos x  )

ดงั นั้น x = ไมม่ คี ำตอบ

4.15 ความสมั พันธข์ องฟงั ก์ชันและอินเวอรส์ ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ เนือ่ งจาก ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิไมเ่ ป็น

ฟงั กช์ ัน 1-1 จงึ ทำให้ ไม่สามารถทำอนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั ได้ แตส่ ามารถกำหนดโดเมนของฟังก์ชันให้เหมาะสม

ได้ ซง่ึ ทำให้สามารถทำอินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันได้

ฟงั กช์ นั โดเมน (เซต x ) เรนจ์ (เซต y )

y = arc sin x [-1, 1] [-  , 2 ]
2

y = arc cos x [-1, 1] [0, ]
y = arc tan x R
(-  , 2 )
2

( )arc tan x ± arc tan y = arc tan x±y
1 xy

sin (arc sin x) = x เม่อื -1  x 1 และ arc sin (sin x) = x เมอ่ื -   x  
2 2

cos (arc cos x) = x เม่ือ -1  x  1 และ arc cos (cos x) = x เม่ือ 0  x  

tan (arc tan x) = x เมอื่ x R และ arc tan (tan x) = x เมือ่ -  < x < 
2 2

( )ตัวอยา่ งที่ 15 จงหาคา่ ของ cos2arcsin3 150
5
ตอบ
ให้ arc sin 3 = x
5
5
3 = sin x 3
5 x
4
( )แต่cos 2 arc sin 3 = cos 2x
5

cos 2x = cos2 x - sin2 x

( ) ( )=4 2 3 2
5 5
-

= 16 - 9 = 7
25 25 25

ตวั อย่างที่ 16 จงหาค่า x จากสมการ arc tan (x + 1) - arc tan (x - 1) = arc cot 2

ให้ arc tan(x +1) = y1

x +1 = tan y1

ให้ arc tan(x - 1) = y2

x - 1 = tan y2

tan (y1 - y 2) = tan y1 - tan y2
1 + tan y1 tan y
2

tan (y1 - y2) = (x +1) - (x - 1) = x +1 - x +1 = 1 + 2 - 1
1+ (x +1)(x - 1) 1 + (x2 - 1) x2

tan (y1 - y2) = 2
x2

y1 - y2 = arc tan 2 ----------
x2

แต่ y1 - y2 = arc cot 2

 arc tan 2 = arc cot 2 ให้ arc cot 2 = A
x2 1

= arc tan 1 2 = cot A
2

151

2 = 1  tan A = 1
x2 2 2

4 = x2 A = arc tan 1
2
x = ±2
ตอบ

วธิ ีที่ 2

( ) ( )arc tan
(x +1) - (x - 1) = arc cot 2 arc tan x - arc tan y = arc tan x-y 
1+ (x +1)(x - 1) 1+ xy 

arc tan  x + 1 - x +1  = arc cot 2
1 + (x2 - 12)

arc tan 1 + 2 - 1 = arc cot 2
x2

arc tan 2 = arc cot 2
x2

arc tan 2 = arc tan 1
x2 2

2 = 1
x2 2

x = ±2 ตอบ

ลองแทนค่าดู (ตรวจคำตอบ) x = -2
x = +2
arc tan (2 + 1) - tan (2 - 1) = arc cot 2 arc tan(-2 + 1) -1 - arc tan(-2 - 1) -3 = arc cot 2

arc tan 3 - arc tan 1 = arc cot 2 arc tan  (-1) - +3(-3)  = arc cot 2
 1+ (-1)(-3) 

( )arc tan ( )arc tan 2 2
3-1 = arc cot 2 3+1 = arc cot 1
1 + (3)(1)

( )arc tan 2 = arc cot 2
4

arc tan 1 = arc tan 1 arc tan 2 = arc tan 1
2 2 4 2

152

เท่ากัน arc tan 1 = arc tan 1 เทา่ กนั
2 2

ตวั อย่างที่ 17 จงหาคา่ arc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1
3 5 7 8

วิธที ี่ 1 ให้ arc tan 1 = x1
3

1 = tan x1
3

arc tan 1 = y1
5

1 = tan y1
5

แต่ tan (x1 + y1) = tan x1 + tan y1
1 - tan x1 tan y1

1 + 1 88
3 5 15 15
( )( )= 1 1 = 1 = 14
5 1 - 15 15
1 - 3

tan (x1 + y1) = 8 ÷ 14 = 8 4 × 15 = 4
15 15 15 14 7 7

x1 + y1 = arc tan 4 ----------
7

ให้ arc tan 1 = x 2
7

1 = tan x2
7

arc tan 1 = y2
8

1 = tan y 2
8

แต่ tan (x 2 + y 2) = tan x2 + tan y2
1 - tan x2 tan y2

1 + 1 15 15 153
7 8 56 56
( )( )= 1 1 = 1 = 55 ตอบ
8 1 - 56 56
1 - 7

tan (x2 + y2) = 15 ÷ 55 = 153 × 56 = 3
56 56 56 5511 11

x 2 + y 2 = arc tan 3 ----------
11

( ) ( )ดงั นั้นarc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1
3 5 7 8

(x1 + y1) + (x 2 + y 2) = arc tan 4 + arc tan 3
7 11



A+ B

ให้ A = arc tan 4 B = arc tan 3
7 11

tan A = 4 tan B = 3
7 11

ดงั นน้ั tan (A + B) = tan A + tan B
1 - tan A tan B

4 + 3 44 + 21
7 11 77
( )( )= 4 = 12
3 1 - 77
1 - 7 11

65 65 65 65 77
77 77 77 77 65
= 65 = ÷ = × = 1

77

ดังนั้น tan (A + B) = 1 = tan 45o

หรือ A + B = 45o = 
4

วธิ ที ี่ 2 ใช้สูตรลดั ( )arc tan x + arc tan y = arc tan x+y
1 - xy

154

 1 + 1 
 3 5 
( )( )arc tan 1 + arc tan 1 = arc tan  1 
3 5 1 
 1- 3 5

= arc tan 4 ----------
7

1 1  1 + 1 
( )( )arctan7+ arc tan 8 = arc tan  7 8 
 1 1 
 1 - 7 8 

= arc tan 3
11

arc tan 4 + arc tan 3 = arc tan ( )( ) 4 + 3 
7 11  7 11 
 43 
1 - 7 811 

= arc tan 1

arc tan 1 = A

1 = tan A

tan 45o = tan A

45o = A =  ตอบ
4

ตวั อย่างท่ี 18 จงแก้สมการ sin 5 + sin  = sin 3

1) เม่ือ   [0, 2] 2)   R

( ) ( )สตู ร A+B A-B
sin A + sin B = 2 sin 2 cos 2

( ) ( )sin 5 + sin  = 2 sin 5 +  cos 5 - 
2 2

= 2 sin 3 cos 2
ดังนน้ั 2 sin 3 cos 2 = sin 3

2 sin 3 cos 2 - sin 3 = 0

155

sin 3 (2 cos 2 -1) = 0

sin 3 = 0 หรอื 2 cos 2 -1 = 0

sin 3 = sin 0,180o, 360o cos 2 = 1
2

 = 0, 60o,120o ------ cos 2 = cos 60o, cos (360o - 60o)

= 0,  , 2 cos 2 = cos 60o, cos 300o
3 3

2 = 60o, 300o

1) เมอ่ื   [0, 2] หรอื  = 30o,150o --------

  [0, 360o] จะได้  รวม  ⟶  = 0, 30o, 60o,120o,150o

 = 0,  ,  , 2 , 5 ตอบ
6 3 3 6

2) เม่ือ   R หมนุ เปน็ รอบๆ

ตอบ 2n, 2n +  , 2n + 2 , 2n + 4 , 2n + 5 เม่ือ n = 0, 1, 2, 3, ...
6 6 6 6

4.16 ความสมั พนั ธร์ ะหว่างความยาวกับมมุ ของ ∆

C a2 = b2 + c2 - 2 bc cos A
ba
b2 = a2 + c2 - 2 ac cos B
AcB
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

sin A = sin B = sin C
a b c

ตัวอยา่ งท่ี 19 ในรูป ∆ ABC ถา้ BC = 10 , AB = 2 และ B = arc cos 2 จงหาความยาวของ AC
5
และ Aˆ C

จาก B = arc cos 2
5
A B

156

 cos B = 2
5
1
ดงั น้ัน sin B = 1 B
5
2

จาก AC2 = AB2 + BC2 - 2(AB)(BC) cos B

( )= 22 + 2
10 2 - 2 ( 2 )( 10 ) 5

= 2 +10 - 4 20 4
5

= 12 - 4( 4) = 12 - 4(2) = 4

ตอบ AC = 4 = 2

( )BC AC 10 2 10 1 2
sin B sin A 1 2 5 2
sin A
= → = → sin A =  =

5

sin A = 2 → Aˆ = 45o ตอบ
2

ตัวอยา่ งท่ี 20 กำหนด cos A = 3 และ 3 < A < 2 จงหาคา่ sin 3A cos 3A และ tan 3A
5 2

วิธคี ดิ 3 < A < 2
2

5 4 270o < A < 360o อยูใ่ น Q4 sin - , cos + , tan -
A3 sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A

( ) ( )=3 4 4 3
5 5
- -4 -

( )=- 12 - 4 - 64
5 125

( )= 25 × -12 + 256 = -300 + 256
25 5 125 125 125

= -44 ตอบ
125

cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A 157

( ) ( )= 433 3 ตอบ
5 5 ตอบ
-3

( )= 427 - 9
125 5

( )=108 - 9 × 25 = 108 - 225 = - 117
125 5 25 125 125 125

tan 3A = sin 3A
cos 3A

-44 -44 125 44
125 125 -117 117
= -117 = × =

125

158

ฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ล และฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ

1. เลขยกกำลงั เม่ือ a  0 , b  0

a5 = a × a × a × a × a สรุป am = a × a × a × a × ... × a

2 m ตัว

a5 = 5 a2 m

สรุป a n = n am

1 1

a5 =5 a สรุป an = n a

(a2)5 = a2 × a2 × a2 × a2 × a2 = a2×5 = a10 สรุป (am)n = amn

(a2b3)5 = a2b3 × a2b3 × a2b3 × a2b3 × a2b3

= (a2 × a2 × a2 × a2 × a2) × (b3 × b3 × b3 × b3 × b3)

= a2×5 × b3×5

= a10b15 สรุป (ambn)p = amp bnp

 a2 5 = a2×5 = a10  am p = amp
 b3  b3×5 b15  bn  bnp

a0 = 1 เมอ่ื a0

a-m = 1 หรอื 1 = am
am a-m

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า f(x) = ex - e-x และ g(x) = ex + e-x แล้ว f(x + y) = ?
2 2

1. f(x) g(y) + g(x) f(y) 2. f(x) g(x) + f(y) g(y)

3. g(x) f(y) - f(x) g(y) 4. f(y) g(y) - f(x) g(x)

วธิ ีคิด f(x) = ex - e-x
2

 f(x + y) = ex+y - e-(x+y) = ex+y - e-x-y ----------
2 2

ดู ex+y กบั e-(x+y) แสดงวา่ f(x) น่าจะคณู กบั g(y)

หรือ f(y) คณู กับ g(x)

159

f(x) g(y) =  ex - e-x   ey + e-y 
 2   2 

= exey + exe-y - e-xey - e-xe-y
4

= ex+y + ex-y - e-x+y - e-x-y ----------
4 ----------

f(y) g(x) =  ey - e-y   ex + e-x 
 2   2 

= eyex + eye-x - e-yex - e-ye-x
4

= ex+y + e-x+y - ex-y - e-x-y
4

ลองเอา  + 

f(x) g(y) + f(y) g(x) = ex+y + ex-y - e-x+y - e-x-y + ex+y + e-x+y - ex-y - e-x-y
4 4

= 2(ex+y) - 2(e-x-y)
4

= 2(ex+y - e-x-y) = ex+y - e-x-y
42 2

เทยี บกับ  เท่ากัน ดังน้นั f(x + y) = f(x) g(y) + f(y) g(x) ตอบ ขอ้ 1

2. รากที่ n ในระบบจำนวนจรงิ และจำนวนจรงิ ในรปู กรณฑ์

1

n a = an เม่อื a เป็นจำนวนจริง และ n เปน็ จำนวนเต็มท่ีมากกว่า 1
2.1 ถา้ n เปน็ จำนวนคู่ ผลลพั ธข์ องรากท่ี n ตอ้ งเปน็ บวก เสมอ โดยท่ี a ตอ้ งเปน็ บวกเสมอ

หาก a เปน็ ลบ จะเป็นจำนวนไม่จรงิ
2.2 ถ้า n เปน็ จำนวนคี่ และ a เปน็ บวก ผลลพั ธข์ องรากที่ n จะเปน็ บวก ถา้ a เปน็ ลบ

ผลลพั ธข์ องรากท่ี n จะเป็นลบ

ตวั อยา่ งเช่น

25 = 5
4 16 = 2

160

3 -8 = -2
3 -125 = -5
แต่ -25 หาค่าไมไ่ ด้ ไมเ่ ป็นจำนวนจรงิ

2.3 ข้อสังเกต

4 x4 = x ผดิ ทีถ่ กู ตอ้ ง 4 x4 = x

เพราะหาก x เปน็ ลบ แลว้ ผลลพั ธจ์ ะเปน็ ลบซึ่งผดิ แต่ถา้ x เปน็ บวก ก็ถูก แต่ไม่รูว้ ่า x
เปน็ บวก หรอื ลบ จงึ ต้องใสค่ ่าสัมบูรณ์ เพอื่ ปอ้ งกนั

2.4 สงิ่ ท่ีควรรู้

n

n an = an = a1 = a เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ ค่ี

n

(n a)n = an = a1 = a เมอื่ n เป็นจำนวนเต็มค่ี

n an = a เม่ือ n เปน็ จำนวนเตม็ ใดๆ

n a n b = n ab

n a = n a เมอ่ื b  0
n b b เม่อื a > 0

1

m n a = mn a = amn

2.5 สตู ร หน้า + หลัง ± 2 หน้า × หลัง = ( หน้า ± หลัง)2 = หน้า ± หลัง

หรอื a + b ± 2 ab = a ± b เมอ่ื a > 0 ; b > 0

แต่รากที่สองของ a + b ± 2 ab = ±( a ± b)

เพราะ รากที่ 2 ต้องได้ 2 คา่ +, - เสมอ

แต่ถ้าสญั ลกั ษณ์ จะได้คา่ + เท่าน้ัน

เชน่ รากท่สี องของ 4 ได้ ±2

แต่ 4 = 2

161

ตัวอย่างท่ี 2 ผลบวกของคำตอบของสมการ x + 1-x = 2 1 เป็นเทา่ ใด
1-x x 6

วธิ คี ิด ให้ A= 1 x , A + 1 = 2 1
-x A 6

A คณู ตลอด (A)A + (A) 1 = (A) 13
A 6

A 2 + 1 = 13A
6

6 คูณตลอด 6A2 + 6 =13A

3A -9A -3

6A2 -13A + 6 = 0

2A -4A -2

(3A – 2)(2A – 3) = 0

ดงั นั้น x =A แล้ว 1-x = 1
1-x x A

ทำให้ A + 1 = 2 1
A 6

หรือ (3A – 2)(2A – 3) = 0

3A – 2 = 0 หรือ 2A – 3 = 0

A = 2 หรือ A = 3
3 2

แทนคา่ A,

x = 2 หรอื x = 3
1-x 3 1-x 2

( ) ( ) ( ) ( )x2 2 2 x 2 3 2
1-x 3 1-x 2
= หรือ =

1 x = 4 หรือ 1 x = 9
-x 9 -x 4

9x = 4 – 4xหรอื 4x = 9 – 9x

13x = 4 หรือ 13x = 9

x = 4 หรือ x = 9
13 13

เวลาจะตอบ ในกรณีติดกรณฑ์ ตอ้ งตรวจคำตอบก่อนเพราะ

จำนวนลบตดิ กรณฑ์คไู่ ม่ได้ เพราะไม่เป็นจำนวนจรงิ ( ลบ ไม่ได้)

162

x = 4 → x = 4 ถูก
13 1-x 1 1- 3143

x = 9 → x = 9 ถกู
13 1-x 1 1- 3193

ตอบ ดงั น้นั ผลบวกของคำตอบ = 4 + 9 = 13 = 1
13 13 13

ตัวอยา่ งที่ 3 จำนวนจรงิ x ท่ีเปน็ คำตอบของสมการ 3 - x = 14 - 6 5 มีคา่ เทา่ กับเทา่ ใด

วธิ คี ดิ 14 - 6 5 ทำใหเ้ ป็น a + b - 2 ab = a - b

= 14 - 2 × 3 5

= 14 - 2 32 × 5

= 14 - 2 45
= 9 + 5 - 2 9 × 5 [เลขอะไรเอ่ย 2 ตัว บวกกนั ได้ 14 แตค่ ณู กันได้ 45 คือ 9 กบั 5]

= 9- 5=3- 5
แต่ 3 - x = 14 - 6 5

3- x =3- 5

ตอบ x = 5

3. ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล
กำหนดให้ f(x) = y = ax เมอื่ a > 0 และ a  1 เพราะ ถ้า a เปน็ ลบจะยุง่
ฟงั ก์ชนั จะไมต่ อ่ เน่อื ง และถ้า a = 1, y = 1 ตลอดเวลา
ดงั นน้ั ถา้ a > 0 และ a  1 แลว้
ฟงั ก์ชนั {(x, y) R × R / y = ax} นเ้ี รียกวา่ ฟงั กช์ นั เอกโพเนนเชียล

เมอ่ื y = ax แล้ว f(x) จะเปน็ ฟังกช์ ัน 1-1 จาก R ไปทว่ั ถึง R+ หรอื จาก R ไปบน R+

ดังนนั้ Df = R ( คา่ x แทนอะไรก็ได้ 0 กไ็ ด้ ลบกไ็ ด้บวกก็ได้)

Rf = R+ ( ค่า y เปน็ R+ เทา่ น้นั ไมเ่ ปน็ ลบ ไมเ่ ปน็ 0)

163

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาโดเมน (Df) และเรนจ์ (Rf) ของฟงั ก์ชนั y = 5 x-1
วิธคี ิด y = 5 x-1

หา Df ลบ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ หาค่า x ใน x - 1 ได้

x-1 0

x 1

ตอบ Df = [1, )

หา Rf y = 5 x-1

เมือ่ x -1  0 เปน็ ลบไมไ่ ด้ ( = ลบ ไม่ได)้

และจะทำให้ ค่า y = 5 0

ถ้า y > 0 เปน็ 0 ไม่ได้ เป็นลบไมไ่ ด้

แต่ y = 50 = 1

ดังนั้น y = 5 >0 > 1

ตอบ Rf = [1, )

ตัวอย่างท่ี 5 เซตคำตอบของสมการ ( )2x2(x-3) > 8 2 -x คือข้อใด
3

1. (2, ) 2. (-2, 100) 3. (-10, 10) 4. (- , 2]

( )วิธีคิด 2 -x
2 x 2(x - 3) > 8 3

( )( )> 23 2 -x
3

> 2( 3( 2 )-3x )
3

2x2(x-3) > 22-3x

เน่อื งจาก ฐาน 2 ยกกำลัง เปน็ ฟังก์ชนั เพมิ่

ดังนนั้ x2(x - 3) > 2 - 3x

x3 - 3x2 - 2 + 3x > 0
หรือ x3 - 3x2 + 3x - 2 > 0
ใช้ทฤษฎีเศษเหลือ หาตวั ประกอบของ 2 ได้แก่ ±1, ±2

164

แทนค่า x ±1, x ± 2 ดูวา่ x3 - 3x2 + 3x - 2 ได้ 0 หรือไม่ ถา้ ได้ก็เปน็ ตวั ประกอบหนง่ึ

เช่นแทน x = 1, 13 - 3(1)2 + 3(1) - 2 = 1 - 3 + 3 - 2  0 ไม่ใช่

x = -1, (-1)3 - 3(-1)2 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 3 - 2  0 ไมใ่ ช่

x = 2, (2)3 - 3(2)2 + 3(2) - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0 ใช่

แสดงวา่ x = 2 หรือ x - 2 = 0 เป็นตวั ประกอบหน่งึ ของ x3 - 3x2 + 3x - 2

เพราะเมื่อนำ x - 2 ไปหารแลว้ ลงตวั หรือ เหลอื เศษ 0

x3 - 3x2 + 3x - 2 ÷ (x – 2) = ?

1 -3 3 -2

+ ++

x=2 2 - 2 2

1 -1 1 0 เศษ

ผลหาร = 1x2 -1x +1

แสดงว่า x3 - 3x2 + 3x - 2 = (x - 2)(x2 - x +1)

หรือ (x - 2)(x2 - x +1) > 0

หาคา่ วิกฤต x - 2 = 0 หรอื x2 - x +1 = 0

x = 2 หรือ แยกไม่ได้ ใชส้ ูตร x = -b ± b2 - 4ac
2a

b2 - 4ac = (-1)2 - 4(1)(1)

= 1 - 4 = -3 ไม่เปน็ จำนวนจรงิ

x2 - x +1 กราฟหงาย y > 0 แสดงว่า x2 - x +1 > 0 ตลอดเม่อื x R

ดงั นั้น (x - 2)(x2 - x +1) > 0

(x - 2)( + ) > 0

x - 2 เป็น + ดว้ ย, x-2>0

x>2

ตอบ (2, )

165

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาค่าสงู สุด และตำ่ สุด ของฟังก์ชัน y = 3sin x หาคา่ สงู สุด และต่ำสุดของ f(x) คอื ค่า y

จาก y = 3sin x

แต่ -1  sin x  1

เมอ่ื sin x = -1 แล้ว y = 3-1 = 1
เม่อื sin x = 0 3

แล้ว y = 30 = 1

เมอ่ื sin x = 1 แลว้ y = 31 = 3

ดงั นนั้ 1  y  3
3
ค่าต่ำสดุ
คา่ สงู สดุ = 1 ตอบ
3 ตอบ

=3

ตัวอยา่ งที่ 7 A = { x / x เป็นคำตอบของสมการ 4x2 - 2x2+2x+2 = 24x+5 } A เป็นสับเซตของเซตใด

1. [-2, 3) 2. [-3, 2) 3. (-3, 1) 4. (-2, 3]

วิธีคดิ 4x2 - 2x2+2x+2 = 24x+5

(22)x2 - 2x2+2x+2 = 24x  25

(2x2)2 - 2x2+2x  22 - 24x  25 = 0

22x2 - 4  2x2  22x - 32  24x = 0

(2x2)2 - 4(2x2)(22x) - 32  24x = 0

(2x2 + 4  22x)(2x2 - 8  22x) = 0

2x2 + 4  22x = 0 หรือ 2x2 - 8  22x = 0

2x2 = -4  22x หรือ 2x2 = 8  22x

เป็นไปไม่ได้ที่ 2 ยกกำลังแลว้ จะได้ = 23  22x
คา่ ลบ
2 x2 = 23+2x
ดังนนั้
x2 = 3 + 2x

x2 - 2x - 3 = 0

166

(x - 3)(x + 1) = 0
x - 3 = 0 หรือ x + 1 = 0

x = 3 หรอื x = -1

-1 3

1. [-2, 3) ผิด ตอบ
2. [-3, 2) ผิด
3. (-3, 1) ผิด
4. (-2, 3] ถกู

4. กราฟของสมการเอกซโ์ พเนนเชียล

y = ax เม่ือ a > 0 และ a  1 y ฟังกช์ ันเพ่มิ
4.1 เช่น y = 2x 4
x
x 0 1 -1 2 -2 2 2
1
y12 1 4 1
24

เลียบแกน x -2 -1 0 1
แตไ่ ม่ชนแกน x

แสดงว่า y  0

แมว้ า่ x จะเป็นลบเท่าไรก็ตาม

( )4.2 y =1 x y
2 4
= (2-1)x = 2-x

x 0 1 -1 2 -2 2 ฟังก์ชันเลด
y1 1 2 1 4
1
24
-2 -1 0 1 2 x

4.3 y = -2x y 167

0 x
-1

( )4.4 1 x y
2 0x
y=- -1

4.5 y = 2x y
y = -2x
1
-1 0 x

y=( )4.6 1 x y
2
= 2-x 1
-1 0
( )y = - 1 x x
2
= -(2-x)

168

4.7 กรณกี ราฟเล่อื นแกน x และแกน y

เลื่อนแกน x ไปทางขวา 1 ช่อง
↑ เล่ือนแกน y ขึ้นขา้ งบน 2 ช่อง

y

3

2 (1, 2)
1
x
0 12

4.8 y = 2 x y

1 x
0

5. ฟังกช์ ันลอการิทมึ (ยา้ ย a ข้าง log ไปยกกำลัง y แล้วตัด log ทิ้ง)
5.1 สมการลอการทิ มึ y = logax เม่ือ a > 0 , และ a  1

ay = x

5.2 สูตรลอการิทึม

y = logax หรอื ay = x

loga1 = 0

logaa = 1

logaMN = logaM + logaN

loga M = logaM - logaN
N

169

logaMp = p logaM logac Mb = b logaM
c

loga M = logb M log10 a = log a
logb a

loga b = 1 a
logb

aloga M = M

ตวั อย่างที่ 8 จงหาค่าของ log 15 + log 12 + log 5 - log 9
วธิ คี ิด แยก log ออกเป็น log ย่อย

log15 + log12 + log 5 - log 9 = log (3 × 5) + log (22 × 3) + log 5 - log 32
= (log 3 + log 5) + (log 22 + log 3) + log 5 - 2 log 3
= log 3 + log 5 + 2 log 2 + log 3 + log 5 - 2 log 3
= 2 log 5 + 2 log 2
= 2(log 5 + log 2)
= 2 log (5 × 2)
= 2 log 10
= 2(1)

ตอบ = 2

ตวั อย่างที่ 9 จงหาคา่ ของ log4 (log3 (log2 512))
วิธคี ดิ ทำจากข้างในออกมาข้างนอก

log2 512 = log2 29 = 9

log3 9 = log3 32 = 2 log3 3 = 2

log4 2 = log22 21 = 1 log2 2 = 1
2 2

ตอบ 1
2

ตัวอยา่ งที่ 10 จงหาค่าของ (log3 4)(log4 5)(log5 6)...(log242 243) 170

วธิ คี ิด เปล่ียนเปน็ log ฐาน 10 เป็นเศษส่วน แลว้ ตัดกนั ไปเรือ่ ยๆ ตอบ

( )( )( ) ( )=log4 log5 log6
log3 log4 log5 ... log243
log242

3 243 = 35 = log 243 = log 35 = 5 log 3 = 5
3 81 log 3 log 3 log 3

3 27

39

3

ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาคา่ ของ 18 log2 23 23 2
วิธีคิด หาคา่ 23 23 2 เป็นเลขยกกำลังก่อน จากข้างในไปขา้ งนอก

1

= 3 2 = 23

= 23 2 = 1 = 21+ 13 = 4

21  23 23

= 3 4 = 41 = 4

23 (23) 3 29

= 4 = (21+ 4 1 = 13 1 13
2
21  29 9) (2 9 ) 2 = 218

 18 log2 23 23 2 = 18 log2 13 = 18 × 13 log2 2
18
2 18

ตอบ 13

ตวั อย่างที่ 12 จงหาค่าของ 1 A + 2 A + 3 A + 4
log 1 log 2 log 3 log2 A
334

วิธีคิด เปลี่ยนฐาน log ให้เป็น log ฐาน 10 กลับเศษเป็นส่วน

= 1 A + 2 A + 3 A + 4 A
log 1 log 2 log 3 log2
334

171

= 1 + 2 A + 3 + 4 A
log A log log A log
1 2 3 log 2
log 3 log 3 log 4

= log 1 + 2 log 2 + 3 log 3 + 4 log 2
3 3 4 log A
log A log A log A

( ) ( )=log1 + log 2 2 3 3
3 3 4
+ log + log(2)4

log A

( ) ( )= 1 2 2 3 3 24 
 3 3 4 
log  × × ×

log A 

( )log 1 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 log 1
3 3 3 4 4 4 log A
= = = 0 ตอบ
log A

ตัวอยา่ งที่ 13 จงเปรยี บเทยี บค่าของ 2. log5 (0.5) และ log1(0.5)
3
1. log5 3 และ log13
3 ขอ้ 2. log5 (0.5)  log1 (0.5) 
3
วธิ ีคดิ เปล่ยี นฐาน log เปน็ ฐาน 10

ขอ้ 1. log5 3  log1 3 
3

log 3 log3-1 3 ( )log 1 ( )log3-11
log 5 2 2

log 5

log 3 1 log3 3 log 2-1 log 2-1
log 5 -1 log 5 log 3-1

log 3 > -1 -1log 2 -1log 2
log 5 log 5 -1log 3

log 2
log 3

∴ log5 3 > log1 3 ตอบ -log 2 < log 2
3 log 5 log 3

172

 log5 (0.5) < log1 (0.5) ตอบ
3

ตัวอย่างท่ี 14 จงหาเซตคำตอบของสมการ xlogx = 100 x
วธิ คี ิด Take log ทง้ั 2 ข้าง

xlog x = 100 x
log xlog x = log 100 x
(log x)(log x) = log 100 + log x

(log x)2 = 2 + log x

(log x)2 - log x - 2 = 0

(log x - 2)(log x + 1) = 0

log x - 2 = 0 หรือ log x + 1 = 0

log10 x = 2 หรอื log10 x = -1

x = 102 = 100 x = 10-1 = 1 = 0.1
10

ตอบ x = 100 , 0.1

ตัวอยา่ งที่ 15 จงแกส้ มการ loga x - loga2 x + loga4 x = 3
4

วิธีคิด เปล่ยี นฐาน log เปน็ ฐาน 10

log x - log x + log x = 3
log a log a2 log a4 4

log x - log x + log x = 3
log a 2 log a 4 log a 4

4 log x - 2 log x + log x = 3
4 log a 4

3 log x = 3
4 log a 4

log x = 3 × 4 = 1
log a 4 3

log x = log a

ตอบ x = a

173

ตวั อย่างที่ 16 จงหาเซตคำตอบของสมการ log(4 - 3x - x2) - log(1 - x) = 0

log(4 - 3x - x2) - log(1 - x) = 0

log (4 - 3x - x2) = log (1 - x)

4 - 3x - x2 = 1- x
0 = x2 + 2x - 3

(x + 3)(x - 1) = 0

x + 3 = 0 หรือ x - 1 = 0

x = -3 หรือ x=1

x = -3 , ตรวจคำตอบ log (4 - 3x - x2) = log (4 - 3(-3) - (-3)2)

= log (4 + 9 - 9)
= log 4 ถกู

log (1 - x) = log (1 - (-3))

= log 4 ถกู

x = 1 , log (1 - x) = log (1 - 1)

= log 0 ผดิ (log 0 หาคา่ ไม่ได)้

ดังนนั้ ตอบ x = -3

ตวั อยา่ งท่ี 17 จงหาเซตคำตอบของสมการ log (x - 2) + log (x + 2) - log 5 =0

วิธีคิด log (x - 2)(x + 2) = 0
5

log (x2 - 4) = log 1
5

 x2 - 4 = 1
5

x2 - 4 = 5

x2 - 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

x - 3 = 0 หรือ x + 3 = 0

x = 3 หรือ x = -3

x = -3 ตรวจคำตอบ log (x - 2) = log (-3 - 2)

174

= log -5 (log ลบ หาคา่ ไมไ่ ด้)
x = 3 ตรวจคำตอบ log (x - 2) = log (3 - 2)

= log 1 = 0
ตอบ x = 3

ตวั อยา่ งท่ี 18 จงแก้สมการ log (35 - x3) =3
log (5 - x)

วิธีคดิ log (35 - x3) = 3 log (5 - x)

log (35 - x3) = log (5 - x)3

[(น - ล)3 = น3 - 3น2ล + 3นล2 - ล3] 35 - x3 = (5 - x)3
35 - x3 = 53 - 3(52)(x) + 3(5)(x2) - x3

15 หารตลอด , 35 - x3 = 125 - 75x +15x2 - x3
0 = 15x2 - 75x +125 - 35
0 = 15x2 - 75x + 90

x2 - 5x + 6 = 0

(x - 3)(x - 2) = 0

x - 3 = 0 หรอื x - 2 = 0

x = 3 หรือ x=2

ลองตรวจคำตอบดวู ่า log ลบหรือไม่ ถา้ เปน็ ลบ ก็ใช้ไม่ได้

x = 3, log (35 - x3) = log (35 - 33)

= log (35 - 27) = log 8 ถกู

log (5 - x) = log (5 - 3) = log 2 ถูก

x = 2, log (35 - x3) = log (35 - 23)

= log (35 - 8) = log 27 ถูก

log (5 - x) = log (5 - 2) = log 3 ถูก

ตอบ x = 3, 2

175

ตัวอยา่ งที่ 19 จงหาเซตคำตอบของสมการ log2 x + 4 logx 2 = 5

วิธีคิด logx 2 = 1 x (กลับเศษเปน็ ส่วน)
log2

ดงั น้ัน log2 x + 4 logx 2 = 5

log2 x + 4  1 x  = 5
log2

ให้ log2 x = A , ( )A +4 1 =5
A

( )เอา A คูณตลอด , 1
(A) A + (A) 4 A = (A) 5

A2 + 4 = 5A

A2 - 5A + 4 = 0

(A - 4)(A - 1) = 0

A - 4 = 0 หรอื A - 1 = 0

A = 4 หรอื A = 1

แทนค่า log2 x = A หรือ log2 x = 1
log2 x = 4
หรือ x = 21
x = 24

x = 16 หรือ x=2

ตอบ x = 16, 2

ตวั อยา่ งท่ี 20 จงหาผลบวกของรากของสมการ 2 log3 x - 2 logx2 9 + 3 = 0

วธิ ีคิด ทำให้เป็น log3 x ใหห้ มด

2 log3 x - 2 logx2 9 + 3 = 0

2 log3 x - 2 log 3 2 + 3 = 0
2
x

2 log3 x - 2 logx 3 + 3 = 0

ให้ log3 x = A แลว้ logx 3 = 1
A

176

( )ดงั นัน้ 1
2A - 2 A +3=0

( )A คูณตลอด, 1
(A) 2A - (A) 2 A + (A) 3 = (A) 0

2A2 - 2 + 3A = 0

2A2 + 3A - 2 = 0

(2A - 1)(A + 2) = 0

2A - 1 = 0 หรอื A + 2 = 0

2A = 1 หรือ A = -2

A = 1
2

แทน log3 x = A , log3 x = 1 หรือ log3 x = -2
2

1 x = 3-2

x = 32 หรือ

x = 3 หรอื x = 1 = 1
32 9

x= 3, 1 [ค่า log เปน็ + , - ได้ไม่ตอ้ งตรวจคำตอบ]
9

ผลบวกของรากของสมการ = 3 + 1 ตอบ
9

ตวั อย่างท่ี 21 เซตคำตอบของอสมการ log1 (2x2 - 3x + 5) < log1 (x2 + 2x +1) คอื ขอ้ ใด
33
1. (- ,1)  (4, )

2. (- , -1)  (4, )

3. (- ,1)  (1, 4)

4. (- , -1)  (-1,1)  (4, )

วิธีคิด ดู log1 จะได้ -log3 เพราะ 1 = 3-1
3 3

log1 (2x2 - 3x + 5) < log1 (x2 + 2x +1)
33

177

log3-1 (2x2 - 3x + 5) < log3-1 (x2 + 2x + 1)

1 log3 (2x2 - 3x + 5) < 1 log3 (x2 + 2x + 1)
-1 -1

(-1) คูณตลอด, log3 (2x2 - 3x + 5) > log3 (x2 + 2x +1)

เนอ่ื งจาก log3 เป็นฟังก์ชนั เพมิ่

ดังนน้ั 2x2 - 3x + 5 > x2 + 2x +1

x2 - 5x + 4 > 0

(x - 4)(x - 1) > 0

+-+

14

ดังนั้น x < 1 หรือ x > 4 ----------

แตเ่ พิ่มเง่อื นไข log  จะเปน็ จริงเม่ือ  > 0

ดงั นั้น 2x2 - 3x + 5 > 0 และ x2 + 2x +1 > 0

แยกตัวประกอบไมไ่ ด้ ให้ใช้ b2 - 4ac (x + 1)(x + 1) > 0

(-3)2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31 หาค่าไมไ่ ด้ (x +1)2 > 0

คำตอบ คำตอบ x  -1 ----

รวมตอบ


-1 1 4

(- , -1)  (-1,1)  (4, ) ตอบ ข้อ 4

178

5.3 กราฟของฟังก์ชนั y = logax เมอื่ a > 0 และ a  1

เช่น y = log2x y

x1248 ฟังกช์ นั เพม่ิ

y0123 3 x
2 8
1

0 12 3 4
x เขา้ ใกล้ 0 แต่

y = log1 x หรอื y = log2-1 x = -log2 x
2

x1248 y x เขา้ ใกล้ 0 แต่

y 0 -1 -2 -3 1 x
8
-1 0 1 2 3 4
-2
-3

ฟังกช์ นั ลด

เลื่อนแกน y = log2 (x - 1) + 3 

y

4
3
2 (1,3) (2,3)
1
x
0 12

179

y = log2 x y

x 1 -1 2 -2 1 - 1
2 2

y 0 0 1 1 -1 -1 2
1
x
-4 -3 -2 -1 0
-1 1234
-2
-3

y = log1 x y
2 -1 0 1

x

180

เมทรกิ ซ์

1. เมทรกิ ซ์ คือ ชุดของจำนวน m × n ตวั เมอ่ื m, n + ใหเ้ รียงกนั m แถว n หลัก

หรอื แถวละ n ตวั ภายในเครอื่ งหมายวงเลบ็ ในรูปแบบ

 aa1211 aa1222 aa1233 aa1244 ... aa12nn   แถวที่ 1
 ...   แถวที่ 2
 ... 
am1 am2 am3 am4 ... amn  แถวที่ m

 
หลัก หลัก หลัก หลัก หลัก

ที่ 1 ที่ 2 ที่ 3 ท่ี 4 ท่ี n

2. สญั ลักษณ์ A เป็นเมทริกซ์ ที่มี m แถว และ n หลัก
A = [aij]m×n เมือ่ aij แทนสมาชิกของ A ในแถวท่ี i หลัก ท่ี j และ i = 1, 2, 3, ..., m
และ j = 1, 2, 3, ..., n

3. การบวกเมทริกซ์ และการคณู เมทรกิ ซด์ ว้ ยจำนวนจรงิ

ตวั อยา่ งท่ี 1

A = 1 2 A + B = 1 + 5 2 + 6 = 6 8
3 4  3 + 7 4 + 8 10 12

B = 5 6
7 8

5A = 5 1 2 = 5 ×1 5 × 2 = 5 10 
3 4 5 ×3 5 × 4 15 20

4. การคณู เมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

4.1 เง่อื นไขสำคญั คือ เมทริกซ์จะคณู กันได้กต็ อ่ เมอ่ื n ของเมทรกิ ซ์แรก ต้องเทา่ กับ m

ของเมทรกิ ซห์ ลงั เชน่

A2×3 × B3×2 = AB2×2

เท่ากัน
ผลลัพธ์

181

4.2 วธิ ีคณู A1 × A2

ตรงกนั คูณกันได้ = 2 × 2

ตัวอย่างที่ 2 A1 =  -1 -2 2 × 2 A 2 = 1 -1 2 ×2
 5 8  3 -2

-1 -2 

13 

A1 × A 2 =  -1 -2 × 1 -1
 5 8  3 -2



= (1)(-1) + (3)(-2) (-1)(-1) + (-2)(-2) 
 (1)(5) + (3)(8) (-1)(5) + (-2)(8) 

=  -1 - 6 1+4 
5 + 24 -5 - 16

A1 × A2 =  -7 5 ตอบ
29 21

ตัวอย่างที่ 3 ตรงกันคณู กนั ได้ = 3 × 2

0 -1 0 2 1
A = 4 0 2 3 × 3 b = -3 4 3 × 2

8 -1 7  1 3

0 --101 0  2 1
A ×B = 4 2 × -3 4
7  1 6
8

(2)(0) + (-3)(-1) + (1)(0) (1)(0) + (4)(-1) + (6)(0)
=  (2)(4) + (-3)(0) + (1)(2) (1)(4) + (4)(0) + (6)(2) 

(2)(8) + (-3)(-1) + (1)(7) (1)(8) + (4)(-1) + (6)(7)

0+3+0 0-4+0 
=  8 - 0 + 2 4 + 0 +12

16 + 3 + 7 8 - 4 + 42 

 3 -4  ตอบ
= 10 16

26 46

182

ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนดให้ A =  x + y 2 , B = 2 y , C = 1 a ถ้า AB = C แลว้ a มีค่า
 3 z  -2 y  0 1

เทา่ ใด

1. 29 2. 27 3. 19 4. 17
36 36 36 36

วิธคี ดิ จาก AB = C

x + y 2  2 y = 1 a
 3 z -2 y  0 1

2(x + y) + (-2)(2) y(x + y) + y(2)  = 1 a
 2(3) + (-2)z y(3) + y(z)  0 1

2x + 2y - 4 xy + y2 + 2y  = 1 a
 6 - 2z 3y + yz  0 1

ดงั นนั้ ตัง้ สมการ เพือ่ แก้สมการหาคา่ a

2x + 2y - 4 = 1

2x + 2y = 5 ----------

6 - 2z = 0

6 = 2z

z = 3 ----------

3y + yz = 1

แทน z = 3 , 3y + y(3) = 1

6y = 1

y = 1
6

แทน y= 1 ใน  2x + 2(16) = 5
6

2x + 1 = 5
3

2x = 5 - 1 = 14
3 3

x = 14 ÷ 2
3

= 14 × 1 = 7
3 2 3

183

ดังนัน้ จาก a = xy + y2 + 2y

( )( ) ( ) ( )=71 + 1 2 1
3 6 6 6
+2

= 7 + 1 + 1 = 2(7) + 1+ 1(12)
18 36 3 36

= 14 +1+ 12 = 27 ตอบ ขอ้ 2.
36 36

5. อินเวอรส์ การคูณ หรอื ตัวผกผนั การคูณ

อินเวอร์สการคูณ ใชไ้ ด้เฉพาะเมทรกิ ซ์จัตุรัส (n × n) ถ้า AB = BA = n แล้ว อาจกล่าวไดว้ า่ B เปน็

อินเวอรส์ การคูณ หรือตัวผกผันการคูณของ A และสามารถเขยี นแทน B = A-1 และ A ต้องเปน็ เมทรกิ ซ์ มิใช่

เอกฐาน หรอื นอนซงิ กลู าร์

5.1 n × n = 2 × 2 , A = a b หาก A เป็นเมทริกซ์ มิใช่เอกฐาน แล้ว ad  bc
c d

หรอื ad - bc  0 เพราะ A -1 = 1 d -b
ad - bc -c a 

ตวั อยา่ งท่ี 5 กำหนดให้ A = 0 1 , B = 2 -1 และ C = -1 0 ถา้ X = (B + C) A และ
1 2 -1 3   0 -2

x-1 เป็นอนิ เวอรส์ การคณู ของ x แลว้ x-1 เปน็ เมทรกิ ซใ์ นขอ้ ใด

1. -2 -1 2. 2 1 3. 1 -1 4. -1 1
 1 1  -1 -1 -1 0   1 0

วิธีคิด จาก (B + C) A =  2 -1 + -1 0  0 1
-1 3   1 -2 1 2

= 2 -1 -1 + 0 0 1
-1 +1 3 - 2  1 2

= 1 -1 0 1
0 1  1 2

= 0-1 1-2
0 +1 0 + 2

(B + C) A = -1 -1 = X
 1 2 

184

 x -1 = 1 2 1
(-1)(2) - (1)(-1) -1 -1

= 1 1 2 1
-2 + -1 -1

= 1 2 1 = -2 -1
-1 -1 -1  1 1 

ตอบ ข้อ 1

1 -1 0 1 x
ตัวอย่างท่ี 6 กำหนดให้ B = 0 1 2 C = 0 X = y 3 เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์
3 0 1 2 z

1 0 0
ขนาด 3 × 3 = 0 1 0 ซง่ึ สอดคล้องกบั สมการ 2AB = Ι และ AX = C แล้วค่าของ x + y + z

0 0 1
เท่ากับขอ้ ใด (คณติ 1/2548)

1. 20 2. 24 3. 36 4. 30

วิธีคิด 2AB = Ι

A (2B) = Ι

แสดงวา่ 2B = A-1
และ AX = C

Take A-1 ท้งั 2 ข้าง, A-1 AX = A-1 C

แต่ A-1 = 2B, X = A-1C
X = A-1C

X = (2B) C

x 1 -1 0 1
y = 2 0 1 2 0
z 3 0 1 2

(1)(1) + (0)(-1) + (2)(0)
=  (1)(0) + (0)(1) + (2)(2) 

 (1)(3) + (0)(0) + (2)(1) 

185

x 1  2 
y = 2 4 =  8 
z 5 10
∴ x = 2 , y = 8 , z = 10 หรือ x + y + z = 2 + 8 + 10
= 20 ตอบ ขอ้ 1.

ตวั อยา่ งที่ 7 กำหนด A = cos  sin    = 1 0 และ B = A2 + (A -1) 2 + 2 แลว้ (A-1)2B
 sin  -cos  0 1

มีค่าตรงกบั ข้อใด

1. 2 Ι 2. 4 Ι 3. 4A 4. 8A

วิธคี ดิ A 2 = A × A = cos  sin   cos  sin  
 sin  -cos   sin  -cos 

=  cos2 + sin2  sin  cos  - cos  sin 
cos  sin  - sin  cos sin2 + cos2 

A 2 = 1 0 =  [ sin2 + cos2 = 1]
0 1

A -1 = 1 -cos  -sin 
) -  -sin  cos 
(cos )(-cos (sin )(sin )

= 1 sin2) -cos  -sin 
-(cos2 +  -sin  cos 

= 1 -cos  -sin 
-1  -sin  cos 

= cos  sin  
 sin  -cos 

(A -1)2 = cos  sin   cos  sin  
 sin  -cos   sin  -cos 

= A2 = 

จาก B = A2 + (A-1)2 + 2

=Ι+ Ι+2Ι

=4Ι

 (A-1)2 B = (4) = 42 186

=4Ι ตอบ ข้อ 2.

5.2 n×n  3 × 3

A -1 = 1 adj (A) = 1 [Cij (A)]t
det (A) det (A)

6. ชนิดของเมทรกิ ซ์

1. เมทรกิ ซศ์ นู ย์ 0 เช่น 0 0 [0 0] เป็นตน้ (Zero matrix)
0 0

2. เมทริกซ์จตั รุ สั มีขนาด m × n แล้ว m = n (Square matrix)

เชน่ A 2×2 = 2 4
0 1

A = 2 4 5 
3 1 2 เป็นตน้
3×3 0 1 -2

3 0 0 (Diagonal matrix)
3. เมทริกซเ์ ฉยี ง 0 2 0 เป็นตน้

0 0 5

4. เมทรกิ ซ์หน่งึ หนว่ ย หรือเมทริกซ์เอกลักษณ์ n ต้องเป็นเมทริกซจ์ ัตุรสั (Identity matrix)

= 1 0 1 0 0
1 = [1] 0 1 0 1 0 เป็นต้น
2 3 0 0 1

187

5. เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix)

At = A 3 1 6
1 2 7
6 7 5

ตอ้ งเปน็ เมทรกิ ซ์จัตรุ สั

6. เมทรกิ ซ์เสมอื นสมมาตร (Skew symmetric matrix)

At = -A  3 1 -6
-1 2 7 
 6 -7 5 

7. เมทรกิ ซ์ซ่งึ มิใช่เอกฐาน (Non - Singular matrix)
determinant ≠ 0
A = 4 1
det (A) = (4)(3) – (2)(1) 2 3

= 12 - 2 = 10  0

8. เมทรกิ ซเ์ อกฐาน (Singular matrix)
determinant = 0
det (A) = (4)(3) - (2)(6) A = 4 6
2 3
= 12 - 12 = 0

9. เมทรกิ ซ์สามเหล่ียม (Triangular matrix)
1 0 0
2 7 0 1 2 9
4 3 5 0 3 7
0 0 6

188

10. เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar matrix)
5 0
0 5 4 0 0
0 4 0
0 0 4

7. ทรานสโพสของเมทริกซ์ หรอื เมทริกซส์ ลบั เปล่ยี น

เปน็ การสลับเปลยี่ นตำแหนง่ จาก aij เปน็ aji ทำให้ขนาดของเมทริกซ์ เปลยี่ นจาก m × n เปน็
n×m

ใชส้ ัญลกั ษณ์ จาก A → At

เช่น 2 7 A t = 2 3 6
A = 3 5 → 7 5 92×3
93×2
6

7.1 คณุ สมบัตขิ องการสลับเปล่ยี น

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt

(A - B)t = At - Bt เม่อื A เปน็ เมทรกิ ซจ์ ัตุรัส และ n+ (จานวนเตม็ +)
(KA)t = KAt
(AB)t = BtAt

(At)n = (An)t

ถา้ A เป็นเมทริกซส์ มมาตร แลว้ จะได้ At = A

ถา้ A เป็นเมทริกซจ์ ัตุรัส แลว้ A + At จะเปน็ เมทริกซส์ มมาตร

ถ้า A เปน็ เมทริกซ์จัตรุ ัส และ A - At จะเปน็ เมทริกซ์สมมาตร

ตวั อยา่ งท่ี 8 ถา้ A = 1 -2 B = -1 1 แลว้ 2A -1 Bt คอื เมทรกิ ซ์ในข้อใด
-3 4   2 1

1. 2 -10 2. -2 10 3. 5 2 4. -5 -2
2 -7  -2 7  6 6  6 6 

วิธีคิด A -1 = (1)(4) 1 4 2
- (-2)(-3) 3 1

189

(( )) (( ))=1 4 2 = 1 4 2 = 4 - 1 2 - 1 
- 3 1 -2 3 1 3 2 2 

4 6 - 1 1 - 1 
2 2 

=  -2 -1 
3 1
- 2 - 2 


B t = -1 2
 1 1

2A -1 B t = 2  -2 -1  -1 2 =  -2(2) -1(2)  -1 2
3 1   1 1 3 1  1 1
- 2 - 2  - 2 (2) - 2 (2)

= -4 -2 -1 2 = -4(-1) + (-2)(1) -4(2) + (-2)(1)
-3 -1  1 1 -3(-1) + (-1)(1) -3(2) + (-1)(1)

= 4 - 2 -8 - 2 = 2 -10 ตอบ ข้อ 1.
 3 - 1 -6 - 1 2 -7 

8. ดเี ทอร์มแิ นนต์ ไมเนอร์ และโคแฟคเตอร์

8.1 ดเี ทอร์มิแนนต์ (Determinant) เขยี นสัญลกั ษณ์ดีเทอร์มแิ นนต์ ของเมทริกซ์

A = det (A) หรือ A

8.2 สตู รการหา Det (A)

ดีเทอร์มิแนนต์ ของเมทริกซ์ A = det (A) หรือ A

1. กรณเี ป็นเมทริกซข์ นาด 1 × 1

เชน่ A =[5]

det(A) = 5 หรือ A = 5

หรือ A = [a]

det(A) = a หรือ A = a

2. กรณีเปน็ เมทริกซข์ นาด 2 × 2

ถา้ ให้ A = a b โดย a,b, c, dR
c d

det(A) = a b = ad - bc
c d

190

3. กรณีเป็นเมทริกซ์ขนาด 3 × 3, 4 × 4, ...

1 2 3
ถ้าให้ A = 4 5 6

7 8 9

(7)(5)(3)+(8)(6)(1)+(9)(4)(2)

1 2 31 2
det(A) = 4 5 6 4 5

7 8 97 8

(1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8)

det(A) = ลา่ ง - บน
ล่าง = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8)
= 45 + 84 + 96 = 225

บน = (7)(5)(3) + (8)(6)(1) + (9)(4)(2)
= 105 + 48 + 72 = 225

det(A) = 225 - 225 = 0

8.3 การหาไมเนอร์ และโคแฟคเตอร์ของเมทรกิ ซ์ (Mij , Cij)

A = a b
c d

M11 = a b = d =d
c d

M12 = a b = c = c
c d

M21 = a b = b =b
c d

M22 = a b = a =a
c d

C11 = (-1)1+1M11 = (-1)2(d) = d
C12 = (-1)1+2M12 = (-1)3(c) = -c
C21 = (-1)2+1M21 = (-1)3(b) = -b
C22 = (-1)2+2M22 = (-1)2+2(a) = a

191

1 2 3
A = 4 5 6

7 8 9

M11 = 1 2 3 5 6
4 5 6 = 8 9 = (5)(9) – (8)(6) = 45 – 48 = -3
7 8 9

M12 = 1 2 3 4 6
4 5 6 = 7 9 = (4)(9) – (7)(6) = 36 – 42 = -6
7 8 9

M13 = 1 2 3 4 5
4 5 6 = 7 8 = (4)(8) – (7)(5) = 32 – 35 = -3
7 8 9

ทำไปเรื่อยๆ จนถึง M33

1 2 3 1 2
M33 = 4 5 6 = 4 5 = (1)(5) – (4)(2) = 5 – 8 = -3
7 8 9

C11 = (-1)1+1M11 = (-1)2(-3) = -3

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3(-6) = 6

C13 = (-1)1+3M13 = (-1)4(-3) = -3

ทำไปเร่ือยๆ จนถงึ M33

C33 = (-1)3+3M33 = (-1)6(-3) = -3

8.4 การหา det(A) จาก Cij (A) → แถวท่ี 1
→ แถวที่ 2
1 2 3 → แถวท่ี 3
A = 4 5 6

7 8 9
det (A) = 1(C11) + 2(C12) + 3(C13)

= 4(C21) + 5(C22) + 6(C23)
= 7(C31) + 8(C32) + 9(C33)

192

= 1(C11) + 4(C21) + 7(C31) → หลักที่ 1

= 2(C12) + 5(C22) + 8(C32) → หลกั ท่ี 2

= 3(C13) + 6(C23) + 9(C33) → หลกั ที่ 3

เลอื กเอาแถว หรอื หลักใดก็ได้ โดยมวี ิธเี ลือก แถวหรอื หลักทม่ี ี 0 เป็นสมาชกิ ในแถว หรอื

หลักน้นั หลายๆตวั เพราะผลลัพธข์ องการคูณระหวา่ งสมาชกิ กับ Cij จะเป็น 0
det(A) ใน 8.4 จะไดค้ ่าเทา่ กับ det(A) ใน 8.2 วธิ ีการใน 8.4 ยุ่งยาก แต่ตวั เลขนอ้ ย

ใหเ้ ลอื กวธิ ีเอาเอง

* แนะนำ ใหใ้ ชว้ ิธีใน 8.2 จะสะดวกกว่า *

8.5 คณุ สมบตั ิของดเี ทอร์มแิ นนต์

1. หากสมาชกิ มี 0 ทัง้ แถว แถวใดแถวหน่งึ หรอื ท้ังหลัก หลักใดหลกั หนงึ่ ในเมทริกซ์

จัตุรัส (A) แลว้ det(A) = 0

2. หากมี 2 แถว หรือ 2 หลัก เหมอื นกนั ในเมทรกิ ซ์จัตุรสั (A) แลว้ det(A) = 0

3. หากมีการสลับที่ระหว่างแถวคใู่ ดคหู่ นึง่ หรอื หลักคู่ใดคู่หนง่ึ แลว้ det(ใหม่) = -det(เดิม)

4. det (At) = det (A)

5. det(An) = (det(A))n

6. det (A -1) = 1
det (A)

7. det (A×B) = det (A) × det (B) เมอื่ A, B เปน็ เมทริกซ์จตั ุรัส

แต่ det (A ±B)  det (A) ± det (B)

8. det (KA)n = Kndet (A)
9. det (n) = 1 และ det (0) = 0
10 ถ้า A เปน็ เมทริกซ์เอกฐาน แล้ว det (A) = 0

หาก A มใิ ช่เมทรกิ ซ์เอกฐาน det (A)  0

ตัวอยา่ งท่ี 9 ถา้ A = -1 1 แลว้ det (-2A3 At (A + At)) เทา่ กบั เทา่ ใด
 3 -1

1. 768 2. -768 3. 384 4. -384

193

วธิ คี ดิ A t = -1 3
 1 -1

A + A t = -1 1 + -1 3 = (-1) + (-1) 1 + 3  = -2 4
 3 -1  1 -1  3 + 1 (-1) + (-1)   4 -2

จาก det (-2A3 At (A + At)) = (-2)2det (A3) det (At) det (A + At)

= 4(det(A)3)det(A)det(A + At) -----

หา det (A) = -1 1 = (-1)(-1) - (3)(1) = 1- 3 = -2
3 -1

det (A + At) = -2 4 = (-2)(-2) - (4)(4) = 4 - 16 = -12
4 -2

ดงั นนั้ det (-2A3At (A + At)) = 4(-2)3(-2)(-12)

= 4(-8)(24) = -768 ตอบ ข้อ 2.

1 2 -1
ตวั อย่างที่ 10 กำหนดให้ A = 2 x 2 โดยที่ x เป็นจำนวนจรงิ ถ้า C11(A) = 13 และ C21(A) = 9
2 1 y 

แล้ว det (A) เท่ากับเท่าใด

1. -33 2. -30 3. 30 4. 33

วิธีคดิ หาค่า x, y ใน A แล้วค่อยหาคา่ det (A)

1 2 -1
A = 2 x 2 

2 1 y 

C11(A) = (-1)1+1 x 2
1 y

13 = (-1)2[(x)(y) - (1)(2)]

13 = xy - 2

13 + 2 = xy

xy = 15 ----------

C21(A) = (-1)2+1 2 -1
1 y

9 = (-1)3 [(2)(y) - (-1)(1)]

9 = -1 (2y + 1) 194

9 = -2y - 1 ตอบ

2y = -1 - 9

2y = -10

y = -10 = -5
2

y = -5 แทน 

x(-5) = 15

x = 15 = -3
-5

1 2 -1
 A = 2 -3 2 

2 1 -5

6 + 2 - 20 = -12

1 2 -1 1 2
det(A) = 2 -3 2 2 -3

2 1 -5 2 1

15 + 8 - 2 = 21

= 21 - (-12)

det (A) = 21 + 12 = 33 ขอ้ 4.

 x2 -x 1 
ตวั อยา่ งท่ี 11 ให้ f(x) = det   0 1 2  ถ้าช่วง [a, b] เป็นเซตคำตอบของอสมการ f(x)  -2 แล้ว
  x 1 1 
 

a - b คือขอ้ ใดต่อไปนี้

1. 1 2. 2
3 3

3. 4 4. 5
3 3

วธิ คี ดิ หาค่า x จากอสมการ f(x)  -2

195

 x2 -x 1 
f(x) = det   0 1 2 
  x 1 1 
 

x + 2x2 + 0 = 2x2 + x

 x2 -x 1  x2 -x 1 x2 -x
det   0 1 2  = 0 1 2 0 1
  x 1 1  x 1 1x 1
 

x2 + (-2x2) + 0 = -x2

= (-x)2 - (2x2 + x)

= -x2 - 2x2 - x

= -3x2 - x

แต่ f(x)  -2

ดังน้นั -3x2 - x  -2

ย้ายข้างให้หน้า x2 เปน็ + จะง่ายกว่า

0  -2 + 3x2 + x
0  3x2 + x - 2
หรอื 3x2 + x - 2  0

3x +3x +1

3x2 + x - 2 ≤ 0

x -2x -2

(3x - 2)(x + 1) ≤ 0

หาคา่ วกิ ฤต 3x - 2 = 0 หรอื x + 1 = 0

3x = 2 หรือ x = -1

x = 2
3

+-+

-1

196

คำตอบ [-1, 32] = [a,b]

ดังนั้น a = -1, b = 2
3

a-b = -1 - 2 = -3 - 2 = -5 = 5
3 3 3 3 3

ตอบ 5 ขอ้ 4.
3

ตวั อย่างที่ 12 กำหนดให้ เมทรกิ ซ์ A และ B ดังน้ี

A =  x 2 -2 2  B = -2 -4x 
2 x   2 0 
2

โดยที่ x เป็นจำนวนจริง ถ้า det (2A) = -76 แลว้ เมทรกิ ซ์ C ในขอ้ ใดต่อไปนี้ ท่ีทำใหค้ า่ ของ det (BC)

อยภู่ ายในชว่ ง (-100, -50)

1. C = 1 -1 2. C = -1 2
1 2   1 1

3. C = 2 1 4. C = 2 1
-1 4  3 -1

วิธีคิด จากโจทย์ det (BC) = (det B) (det C)

ดงั นั้น ต้องหา det B กับ det C
แต่ A, B ตดิ x ดังนั้น ต้องหาค่า x กอ่ นเพื่อน
โดยใชส้ มการ det (2A) = -76 เปน็ ตวั ต้งั สมการ

det (2A) = 22det (A) [n × n = 2 × 2]
= 4 det (A)

= 4 x2 -2 2
22 x

= 4[(x2)(x) - (2 2)(-2 2)]

แทนคา่ det (2A) , -76 = 4(x3 + 8)

-7619 = x3 + 8
4

-19 = x3 + 8

-19 - 8 = x3