คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย-5

247

ดงั นั้น x = -b ± b2 - 4ac
2a

= -(1 - i) ± (1+ 3i) = -1 + i ± (1+ 3i)
2(2) 4

x= -1 + i + 1 + 3i , -1+ i -1 - 3i
4 4

= 4i , -2 - 2i
4 4

= i, - 2 - 2i = i, - 1 - 1i ตอบ
4 4 2 2

7. จำนวนเชงิ ซ้อนในรูปโพลาร์ หรอื เชงิ ขัว้ y
จาก z = a + bi และ z  0

a, b R b (a, b)
θ ax
tan  = b และ r = a2 + b2
a 0

เนือ่ งจาก cos  = a
r

r b a = r cos 
θ
sin  = b
a r

b = r sin 
ดงั นั้น z = a + bi = r cos  + r sin i

สตู ร z = r (cos  + i sin )

z1 × z2 = r1 × r2 [cos (1 + 2) + i sin (1 + 2)]

z1 = r1 [cos (1 - 2) +i sin (1 - 2)]
z2 r2

zn = rn(cos n + i sin n)

เรยี ก  ว่า อาร์กวิ เมนตข์ อง z

1 = 1 [cos (- ) + i sin (- )] = 1 (cos  - i sin )
z r r

( เน่ืองจาก sin (- ) = - sin , cos (- ) = cos  )

248

ตัวอยา่ งที่ 9 กำหนดให้ z1 = 6 (cos 110o + i sin110o)

z2 = 2 (cos 210o + i sin 210o)

z3 = 4 (cos 80o + i sin 80o)

จงหาคา่ ของ z1 × z2
z3

วิธคี ดิ z1 × z2 = r1 × r2 [cos (1 + 2 - 3) +i sin (1 + 2 - 3)]
z3 r3

= 36 × 2 [cos (110o + 210o - 80o) + i sin (110o + 210o - 80o)]
4 2

= 3(cos 240o + i sin 240o)

= 3 [(cos (180o + 60o) + i sin (180o + 60o)]

= 3 [(-cos 60o) + i (-sin 60o)]

( )=3  - 1 + i  - 3 
 2 2

= - 3 - 3 3 i ตอบ
2 2

ตัวอย่างท่ี 10 ถ้า z1 = cos 12o + i sin12o

z2 = -cos 16o - i sin16o แล้ว  z1 15 เทา่ กับเท่าใด
 z2 

1. -1 + 3 i 2. 1+ 2 3 i
2

3. - 3 +i 4. - 3 -i
2 2

วธิ ีคิด z1 = cos 12o + i sin12o [cos180 +  = cos
sin180 +  = sin ]
z2 = -cos 16o - i sin16o

= cos (180o +16o) + i sin (180o +16o)

z2 = cos 196o + i sin196o
z115 = cos 15 (12o) + i sin15 (12o)

= cos180o + i sin180o = -1+ i(0) = -1

249

z215 = cos15(196o) + isin15(196o)

= cos 2940o + i sin 2940o

= cos (8(360o) + 60o) + i sin (8(360o) + 60o)

= cos 60o + i sin 60o

z215 = 1 + 3 i
2 2

(( ))z115 = z115 = -1 = -1 = -2 × 1- 3i
z2  15 1+ 3 1+ 3 1- 3i
z 2 1 + 3 i i i
2 2 2

= -2(1 - 3 i) = -2(1 - 3 i) = -2(1 - 3 i) = -1 + 3i ตอบ ข้อ 1.
12 - ( 3 i)2 1+ 3 4 2 ตอบ ขอ้ 1.

หรืออกี วิธี  z1 15 = z115 = cos (180o - 60o) + i sin (180o - 60o)
z2  15
z 2

= cos 120o + i sin 120o = - 1 + 3 i = -1 + 3i
2 2 2

ตวั อย่างท่ี 11 กำหนดให้ z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนท่ี 2z1z2 = 1+ z2 และ

( )z1 =  6
18 18
cos + isin ข้อใดเป็นอินเวอร์สของการคูณของ z2 (คณติ 1/2543)

1. 1 - 3 i 2. 1 + 3 i 3. 3 i 4. - 3 i
2 2 2 2
----------
วธิ คี ิด 2z1z2 = 1+ z2

2z1z2 - z2 = 1

z2 (2 z1 - 1) = 1

z2 = 2 1 - 1
z1

หา z1 จาก   = 180o = 10o 
 18 18o 

( )z1 =   6
18 18
cos + i sin

= (cos10o + i sin10o)6

250

= 16(cos 6 (10o) + i sin 6 (10o))

= (cos 60o + i sin 60o)

z1 = 1 + 3 i
2 2

แทนคา่ ใน  , ( )z2=2  1 1 i  = 1 1 3 i 
2 3 2 + 2  2
+ 2 - 1 2 - 1

= 1 + 1 = 1 = 1 × i = 1i i2 = 1i
3i - 1 3i 3i i 3 3 (-1)

หรอื z2 = 1 i
3

z2-1 เปน็ อนิ เวอรส์ การคณู , z -1 = 1 = 3 × i = 3 i = - 3i ตอบ ขอ้ 4.
2 z2 i i i2

ตวั อย่างท่ี 12 ถ้า 2z3 = 1 + 3 i และ z18 = a + bi เม่อื a, b R แลว้ a + b มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด
i - z27

1. -1 2. 0 3. 1 4. 2

วธิ คี ดิ จาก 2z3 = 1 + 3 i

z3 = 1 + 3 i
2 2

b 23 3 2
a 1 2 1
หาคา่  โดย tan  = = = × = 3 = tan 60o
ดงั น้ัน
และ 2

 = 60o หรือ 1 = cos 60o , 3 = sin 60o
2 2

z3 = cos 60o + i sin 60o y
z18 = (z3)6 = cos 6 (60o) + i sin 6 (60o) (0,1)

= cos 360o + i sin 360o (-1,0) 0 (1,0) x
(0,-1)
= 1 + i (0) = 1

z27 = (z3)9 = cos 9 (60o) + sin 9 (60o) i

= cos 540o + i sin 540o (540 = 360 +180o)

251

= cos (360o +180o) + i sin (360o +180o)

= cos180o + i sin180o

= (-1) + i (0) = -1

ดังน้นั z18 = i - 1 = i 1 × (i - 1) = i -1 = i-1 = -1 + i
- z27 (-1) +1 (i - 1) i2 - 12 -1 - 1 -2
i

หรอื z18 = -1 + i = 1 - 1 i = a + bi
- z27 -2 2 2
i

a = 1 , b = - 1
2 2

( ) ( )a+b = 1 + - 1 =0 ตอบ
2 2

ตัวอย่างท่ี 13 กำหนดให้ w = cos  + i sin  เมือ่ cos  < 0 และ 2 cos2  = 1 ถ้า z เป็นจำนวน

เชิงซ้อนมีสมบตั ิวา่ wz = 2 และอารก์ วิ เมนตข์ อง z เทา่ กบั  แลว้ z2 + z +1 มคี ่าเทา่ กับข้อใด
w 4

1. -3 + 2i 2. -3 - 2i 3. 3 + 2i 4. 3 - 2i

วิธีคดิ 2 cos2  = 1

cos2  = 1
2

cos  = ± 1
2

แต่ cos  < 0

 cos  = - 1 แสดงว่า  อยู่ Q2 กับ Q3
2

แต่ w = cos  + i sin  และ cos  < 0 เปน็ ลบ

แสดงวา่  อยู่ Q3 [ ∵ a = - , b = -]
ดังน้นั
 = 180o + 45o = 225o

wz = w z

( )2 = a2 + b2 ( z )

( ) ( )2= - 1 2 - 1 2  z
 2 2 
+ ( )

252

( )2 = 1 + 1 (z)
2 2

2=( 1 )( z ) [แสดงวา่ w = 1 = r ]

z =2=r [r = a2 + b2 = z ]

z = r1 [(cos (1 - 2) + i sin (1 - 2)]
w r2

แตโ่ จทย์บอกมุมอารฺกวิ เมนต์ =  = 45o
4

แสดงว่า 1 - 2 = 45o เม่อื 2 = 225o (ของ w)

1 - 225o = 45o และ 1 (ของ z)

1 = 45o + 225o = 270o

ดงั นน้ั z = r(cos  + i sin )

= 2(cos 270o + i sin 270o)

= 2(0 + i(-1))

= -2 i

แต่โจทย์ถาม z2 + z +1 = (-2i)2 + (-2i) +1

= 4i2 - 2i +1

= -4 - 2i + 1

= -3 - 2i ตอบ ข้อ 2.

ตัวอยา่ งท่ี 14 กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน ถา้ -1+ 3 i เปน็ รากที่ 5 ของ z และรากท่ี 2 ของ z คือขอ้

ใด

1. 2 2 (- 3 - i) , 2 2 ( 3 + i)

2. 2 2 (-1 - 3 i) , 2 2 (1+ 3 i)

3. 2 2 (- 3 + i) , 2 2 ( 3 - i)

4. 2 2 (-1+ 3 i) , 2 2 (1 - 3 i)

วธิ ีคิด -1+ 3 i เปน็ รากท่ี 5 ของ z

1 3 i หรอื z = (-1 + 3 i)5

แสดงว่า z5 = -1+

253

tan  = 3 = - 3 อยู่ Q2 `เพราะ a - , b +
-1

ดงั น้ัน  = 180o - 60o = 120o

r = a2 + b2 = (-1)2 + 3 2 = 1+ 3 = 4 = 2

z = (-1 + 3i)5

= r5(cos 5 + i sin 5)

= r5(cos 5 (120o) + i sin 5 (120o)

= r5(cos 600o + i sin 600o)

= 25(cos (360o + 240o) + i sin (360o + 240o))

= 25(cos 240o + i sin 240o)

= 25(cos (180o + 60o) + i sin (180o + 60o))

= 32(-cos 60o + i(-sin 60o))

z = 32  - 1 - 3 i 
2 2

z = -16 -16 3i

( )รากที่ 2 ของ z = ± r +a - r -a i
2 2

r = a2 + b2 = (-16)2 + (-16 3)2 = 256 + 768

= 1024 = 210 = 25 = 32

ดังนัน้ z = ±  32 + (-16) - 32 - (-16) i 
2 2

= ± 32 - 16 - 32 + 16 i 
2 2

= ±( 8 - 24 i)

= ±(2 2 -2 6 i)

= 2 2 - 2 6 i , -(2 2 - 2 6 i) ตอบ ขอ้ 4.
= 2 2 - 2 6 i, -2 2 + 2 6 i
= 2 2(1 - 3 i), 2 2(-1+ 3 i)

254

ตวั อยา่ งที่ 15 ให้ z = -1 - 3 i แลว้ z6 + z 6 เท่ากบั ขอ้ ใด 4. 228

1. 120 2. 128 3. 130

วธิ คี ดิ z = -1 - 3 i

tan  = - 3 = 3 = tan (180o + 60o) อยใู่ น Q3 เพราะ a เปน็ ⊝ ,
-1

b เป็น ⊝

  = 180o + 60o = 240o

r = a2 + b2 = (-1)2 + (- 3)2 = 1 + 3 = 4 = 2

แต่ z = r (cos  + i sin )

ดังนั้น z = 2(cos 240o + i sin 240o)

z6 = 26(cos (6 (240o)) + i sin (6 (240o))
= 64(cos1440o + i sin1440o)
= 64(cos (4 (360o)) + i sin (4 (360o)))
= 64 (cos 0o + i sin 0o)

= 64 (1 + i(0))

= 64 (1) = 64

z = a - bi = r (cos  - i sin )
z 6 = 26((cos 6 (240o) - i sin (6 (240o))
z 6 = 26(cos 1140o - i sin1140o)

= 64(cos 0o - i sin 0o)

= 64(1 - i(0))

= 64

ดังนัน้ z6 + z 6 = 64 + 64 = 128 ตอบ ขอ้ 2.

8. รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อน

z = r (cos  + i sin )

( ) ( )รากที่ 1
n ของ z หรอื = n r  cos 2k +  + i sin 2k +  
zn n n

255

เม่ือ k {0,1,2,3,...,n -1} เชน่ รากท่ี 3 ของ z, k มี 3 ตวั คือ 0, 1, 2, เปน็ ต้น

ตวั อยา่ งที่ 16 กำหนดให้ z1, z2, z3 เปน็ รากของสมการ (1 - i)z3 = 2 โดยท่ี z1, z2, z3 อยใู่ นจตุภาคที่
4. 2
1, 2, 3 ตามลำดับ z1z3 + z 2 เท่ากบั ข้อใด
2

1. -2i 2. 2i 3. -2

วธิ คี ดิ (1 - i)z3 = 2

z3 = 2 × 1+ i = 2(1 + i)
1-i 1+ i 1 - i2

z3 = 2(1+ i)
1 - (-1)

z3 = 2(1 + i) = 2(1 + i) = 2 + 2i
1+1 2 2 2

b 2
a 2
หา  , tan  = = 2 =1

2

แต่ a + , b + อยใู่ น Q1 (จตภุ าคท่ี 1)

ดังนนั้  = 45o

จากสูตร ( ) ( )z = 3 r cos 2k +  + i sin 2k +  
3 3

r= a2 + b2 =  2 2 +  2 2 = 2 + 2 = 4 =1
2 2 4 4 4

k = 0, 1, 2 , k=0, z1 = 3 1  cos  360o(0) + 45o  + i sin  360o(0) + 45o 
  3   3  

=( )15o z1 = cos 45o + i sin 45o
3 3
12

(อยจู่ ตุภาคท่ี 1) z1 = cos 15o + i sin 15o = cos  + i sin 
12 12
k=1
(อยจู่ ตุภาคที่ 2) z2 = cos (360o(1) + 45o) + i sin (360o(1) + 45o)
3 3

z2 = cos 135o + i sin135o

256

z2 = cos 9 + i sin 9
12 12

( )9= 135o ,k=2, z3 = cos  360o(2) + 45o  + i sin  360o(2) + 45o 
12  3   3 

z3 = cos 765o + i sin 765o
3 3

(อยจู ตุภาคที่ 3) z3 = cos 255o + i sin 255o

( )17 = 255o หรอื z 3 = cos 17 + i sin 17
12 12 12

z1z3 = cos (15o + 255o) + i sin (15o + 255o)

= cos 270o + i sin 270o = 0 + i(-1) = -i
z22 = z2z2 = cos (135o +135o) + i sin (135o +135o)

= cos 270o + i sin 270o
= 0 + i(-1) = -i

z1z 3 + z 2 = (-i) + (-i)
2

= -2i ตอบ ขอ้ 1.

ตัวอยา่ งที่ 17 จงหารากท่ี 4 ของ 2 + 2 3 i

วิธคี ดิ ให้ z=2+2 3i

tan  = 2 3 = 3 อยู่ Q1 ,  = 60o
2

จากสตู ร ( ) ( )z = 4 r = cos 2k +  + i sin 2k +  
4 4

r = a2 + b2 = 22 + (2 3)2 = 4 + 12 = 16 = 4

k = 0, 1, 2, 3 , k = 0, z1 = 4 4  cos 60o + i sin 60o 
 4 4 

 180o = 15o  ( )= 4 22(cos 15o + i sin15o) = 2 cos  + i sin 
 12  12 12

( )= 15o k = 1 , z2 = 2  cos  360o(1) + 60o  + i sin  360o(1) + 60o  
  4   4  
12

257

( )7 ( )= 7 7
=12105o 2 (cos 105o + i sin105o) = 2 cos 12 + isin 12

k = 2 , z3 = 2  cos  360o(2) + 60o  + i sin  360o(2) + 60o  
  4   4  

( )5=75o= 2(cos 195o + i sin195o)

12

= 2(cos (180o + 15o) + i sin (180o + 15o)

= 2(-cos 15o - i sin15o)

( ) ( )= 13 13  
2 cos 12 + i sin 12 หรือ = 2 -cos 12 - i sin 12

k = 3, z4 = 2  cos  360o(3) + 60o  + i sin  360o(3) + 60o  
  4   4  

= 2(cos 285o + i sin 285o)

= 2(cos (360o - 75o) + i sin (360o - 75o))

( )= 2(cos 75o - i sin 75o) หรือ 2 cos 5 - i sin 5
12 12

ตอบ z มี 4 คำตอบ

( ) ( ) 2 cos  + i sin   ,  2 cos 7 + i sin 7  ,
12 12 12 12

( ) ( ) 2 cos 13 + i sin 13  หรอื 2 -cos  - i sin  ,
12 12 12 12

( ) 2 cos 5 - i sin 5 
12 12

ตัวอยา่ งที่ 18 จงหาจำนวนเชิงซอ้ นทงั้ หมดท่สี อดคลอ้ งกับสมการ z5 +1 = 0

วธิ คี ิด z5 +1 = 0

z5 = -1 = -1+ i(0) อย่ใู น Q2

( ) ( )หารากท่ี 5 ของ z5 หรือ z = n r cos 2k +  + i sin 2k +  
n n

258

หา  , tan  = 0 = 0 ,  = 180o เพราะอยู่ใน Q2
1

r = a2 + b2 = (-1)2 + 02 = 1 = 1

ดังน้ัน z = 5 1  cos  2k + 180o  + i sin  2k + 180o  
  5   5  

k = 0, 1, 2 ,3, 4,

k = 0, z1 = 1 cos 180o + isin 180o 
5 5 

(2 = 360o) = cos 36o + i sin 36o = cos  +i sin 
5 5

( )=36o k=1 z 2 = 1  cos  360o(1) + 180o  + i sin  360o(1) + 180o  
5   5   5  

( )3=108o = cos  540o  + i sin  540o 
5  5   5 

=( )7252o = cos 108o + i sin 108o = cos 3 + i sin 3
5 5 5

=( )9324o k = 2, z 3 = 1  cos  360o(2) + 180o  + i sin  360o(2) + 180o  
5   5   5  

=( )272o = cos 900o + i sin 900o
5 5 5

= cos180o + i sin180o = -1+ i(0) = -1

k = 3, z 4 = 1 cos  360o(3) + 180o  + i sin  360o(3) + 180o  
 5   5  

= cos 1260o + i sin 1260o = cos 252o + i sin 252o
5 5

= cos (180o + 72o) + i sin (180o + 72o)

= -cos 72o - i sin 72o

= cos 7 + i sin 7 หรือ -cos 2 - i sin 2
5 5 5 5

k = 4, z 5 = 1  cos  360o(4) + 180o  + i sin  360o(4) + 180o  
  5   5  

259

= cos 1620o + i sin 1620o = cos 324o + i sin 324o
5 5

= cos (360o - 36o) + i sin (360o - 36o)

= cos 36o - i sin 36o = cos  - i sin 
5 5

ตอบ z มี 5 คำตอบ คอื

( ) ( ) ( )cos±isin,cos3 + i sin 3 , (-1), -cos 2 - i sin 2
5 5 5 5 5 5

9. สมการพหนุ าม

9.1 การหารสังเคราะห์ เชน่ x4 + 4x3 -16x - x2 -14 ÷ (x - 2) = เศษ 
กำหนดให้ x - 2 = 0 หรือ x = 2

1x4 + 4x3 - 1x2 - 16x - 14

1 4 - 1 - 16 - 14
+ +++

x = 2 2 12 22 12
1 6 11 6 -2 หารไม่ลงตัวเหลอื เศษ -2

ผลลัพธ์ 1x3 + 6x2 +11x + 6 เศษ -2 [ลดดีกรผี ลลพั ธไ์ ป 1 ระดับ]

กรณที ี่เหลอื เศษ 0 แสดงวา่ หารลงตัว หรอื ตัวหารเปน็ ตัวประกอบหนง่ึ ของตัวตงั้ เช่น

x3 + 2x2 - 5x - 6 ÷ (x +1) =
ให้ x + 1 = 0 , x = -1

1x3 + 2x2 - 5x - 6

1 2 -5 -6
+++

x = -1 - 1 - 1 6
1 1 - 6 0 หารลงตัวเหลอื เศษ 0

ผลลพั ธ์ 1x2 +1x - 6

260

แสดงว่า x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x +1)(x2 + x - 6)
= (x + 1)(x + 3)(x - 2)

กรณีที่ ไมท่ ราบวา่ จะหารดว้ ยอะไรลงตัว ตอ้ งหาตัวประกอบจาก ±[(ตวั สุดท้าย ÷
ตวั ประกอบของตวั แรก)] แล้วลองแทนคา่ ดู หากเทา่ กับ 0
แสดงว่า หารลงตวั หรอื หากไมเ่ ท่ากับ 0 แสดงว่า หารไม่ลงตัว เหลือเศษเท่าน้นั เชน่

ตวั อยา่ งท่ี 19 จงหาคำตอบของ 6x5 - x4 +13x3 + 2x2 - 44x + 24 = 0
หาตัวหารโดย ตวั ประกอบ 24 ÷ ตัวประกอบของ 6

±[(1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24) ÷ (1, 2, 3, 6)]

= ±1, ± 1 , ± 1 , ± 1 , ±2, ± 2 , ± 2 , ±3, ± 3 , ± 4 , ± 4 , ± ± ... มากมาย
2 3 6 3 6 2 3 6 3

ลองแทนค่า นอ้ ยๆ งา่ ยๆ ก่อน เช่น x = ±1, ±2, ±3 เป็นตน้

x = 1, 6(1)5 - (1)4 +13(1)3 + 2(1)2 - 44(1) + 24 = 0 ✓
ต่อไปการหารสังเคราะห์ เพอ่ื หาผลหาร

6x5 - x4 + 13x3 + 2x2 - 44x + 24

6 -1 13 2 - 44 24

+ + +++

x = 1 6 5 18 20 - 24

65 18 20 - 24 0 หารลงตวั

หาผลหาร 6x4 + 5x3 +18x2 + 20x - 24
หาตวั หาร ±[(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) ÷ (1, 2, 3, 6)] เหมือนเดมิ
ลองแทน 2 ดู

ลองแทน -2 ดู 6(2)4 + 5(2)3 +18(2)2 + 20(2) - 24

= 96 + 40 + 72 + 40 - 24  0

= 6(-2)4 + 5(-2)3 +18(-2)2 + 20(-2) - 24

= 96 - 40 + 72 - 40 - 24  0

ลองแทน 2 ดู , = 6(23)4 + 5(32)3 +18(32)2 + 20(23) - 24
3

= 32 + 40 + 8 + 40 - 24
27 27 3

261

= 32 + 40 + 40 - 16
27 27 3

= 432 - 16
27

= 16 - 16 = 0

หาผลหาร

x = 2 6x4 + 5x3 + 18x2 + 20x - 24
3
6 5 18 20 - 24
+ + ++

4 6 16 24

6 9 24 36 0 หารลงตวั

ผลหาร 6x3 + 9x2 + 24x + 36

หาตัวหาร = 3(2x3 + 3x2 + 8x +12)
±[(1, 2, 3, 4, 6, 12) ÷ (1, 2)]

= ±1, ± 1 , ± 2, ± 3, ± 3 , ± 4, ± 6, ±12
2 2

ลองแทน x = - 3 ( ) ( ) ( )=6-33 - 3 2 - 3 + 36
2 2 2 2
+9 + 24

= - 81 + 81 - 36 + 36 = 0
4 4

หาผลหาร

6x3 + 9x2 + 24x + 36

6 9 24 36

+++

x = - 3 -9 0 -36
2 0 24 0 หารลงตัวเหลอื เศษ 0

6

ผลหาร 6x2 + 0x + 24 = 6x2 + 24

6x2 + 24 แยกตัวประกอบไมไ่ ด้ ตอ้ งใชส้ ตู ร

x = -b ± b2 - 4ac = 0± 02 - 4(6)(24) 262
2a 2(6)
ตอบ
= ±24 -1 = ±2 -1 = ±2 i
12

ดงั นนั้ คำตอบท้งั หมด x = 1, 2 , - 3 , ±2 i
3 2

ตัวอย่างท่ี 20 จงแก้สมการ 3x3 + 5x2 + 8x + 4 = 0

หาตัวหาร ±[(1, 2, 4) ÷ (1, 3)] = ±1, ± 1 , ±2, ± 2 , ±4, ± 4
3 3 3

ลองแทน x = - 2 ดู
3

( ) ( ) ( )3x3 + 5x2 + 8x + 4 = 3 - 2 3 - 2 2 - 2 +4
3 3 3
+5 +8

= - 8 + 20 - 16 + 4
9 9 3 1

= - 8 + 20 - 48 + 36 = 0 หารลงตัว
9 9 9 9

แสดงว่า x = - 2 หรอื x + 2 เป็นตวั ประกอบของ 3x3 + 5x2 + 8x + 4
3 3

หาผลหาร

3x3 + 5x2 + 8x + 4

3 5 84

+++

x = - 2 -2 -2 -4
3

3 3 6 0 หารลงตัวเหลือเศษ 0

ผลหาร 3x2 + 3x + 6
แสดงวา่
( )3x3 + 5x2 + 8x + 4 = x + 2 (3x2 + 3x + 6)
3

( )= x + 2 3(x2 + x + 2)
3

แต่ x2 + x + 2 ไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบ โดยวิธีงา่ ยๆได้ 263

ตอ้ งใช้สูตรหาคา่ x = -b ± b2 - 4ac ตอบ
2a

x = -1± 12 - 4(1)(2)
2(1)

= -1 ± -7 = -1± 7 -1 = -1 ± 7i
2 2 2

ดงั นั้น x = - 2 , -1 ± 7 i
3 2

ตัวอยา่ งท่ี 21 ถา้ a, b และ c เปน็ รากของสมการ x3 - 8x2 + 5x + 7 = 0 แล้ว a2 + b2 + c2 มีคา่ เทา่ กบั

เท่าใด

1. 39 2. 54 3. 63 4. 74

วิธีคดิ a, b, c เปน็ รากของสมการ แสดงวา่ (x - a)(x - b)(x - c) = 0

(x - a)(x - b) = (x2 - bx - ax + ab)
(x - a)(x - b)(x - c) = (x2 - bx - ax + ab)(x - c)

= x3 - bx2 - ax2 + abx - cx2 + bcx + acx - abc
= x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x - abc
ดงั นน้ั x3 - 8x2 + 5x + 7 = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x - abc

หรอื -(a + b + c) = -8

a+b+c=8 ----------

ab + bc + ac = 5 ----------

-abc = 7

abc = -7 ----------

จาก (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

82 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ac) ตอบ

64 = (a2 + b2 + c2) + 2(5)
a2 + b2 + c2 = 64 - 10 = 54

264

( )ตวั อย่างที่ 22 1 3 Re(z1 + z2 + z3) มคี ่าเทา่ ใด
ให้ z1, z2, z3 เป็นรากของสมการ 1 + 1 + z
=0,

1. 1 2. -1 3. 3 4. - 3
วิธคี ิด 2 2

( )1+ 1 + 1 3
z
=0

( ) ( ) ( )113 2 1 1 2 1 3  [(น + ล)3 = น3 + 3น2ล + 3นล2 + ล3]
 z z z 
+ + 3(1) + 3(1) + = 0

 

1+1+ 3 + 3 + 1 = 0
z z2 z3

2 + 3 + 3 + 1 = 0
z z2 z3

z3 คูณ, 2z3 + 3z2 + 3z +1 = 0

2 หาร , z3 + 3 z2 + 3 z + 1 = 0
จาก 2 2 2

(x - a)(x - b)(x - c) = x2 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x - abc

หรือ (z - a)(z - b)(z - c) = z3 - (a + b + c)z2 + (ab + bc + ac)z - abc

ดังน้ัน z3 + 3 z2 + 3 z + 1 = z3 - (a + b + c)z 2 + (ab + bc + ac)z - abc
2 2 2

โดยท่ี a, b, c เป็นรากของสมการดงั กลา่ ว

ดังนั้น z1, z2, z3 เปน็ ราก จงึ ทำให้

-(z1 + z2 + z3) = 3
2

หรอื z1 + z2 + z3 = - 3 ตอบ ขอ้ 4.
2

265

ลำดบั และอนุกรม

1. ลำดบั ทัว่ ไป เชน่ an = (-1)n+1(2n +1) เมื่อ a คอื ค่าของตวั เลข
n คือ ลำดับที่

a1 = (-1)1+1(2(1) +1) = (-1)2(2 +1) = (1)(3) = 3
a2 = (-1)2+1(2(2) +1) = (-1)3(4 +1) = (-1)(5) = -5
a3 = (-1)3+1(2(3) +1) = (-1)4(6 +1) = (1)(7) = 7
a4 = (-1)4+1(2(4) +1) = (-1)5(8 +1) = (-1)(9) = -9

2. ลำดับเลขคณติ

สูตร an = a1 + (n - 1)d
เม่อื d = ผลต่างร่วมโดย d = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = an+1 - an เชน่ ลำดับ
,16, 3, -10, -23,..., a10, แลว้ พจน์ที่ 10 มคี า่ เท่าไร
หาผลต่างรว่ มวา่ เทา่ กนั หรอื ไม่ และถ้าเทา่ กนั จะเท่ากบั เท่าไร = d

d = 3 - 16 = -10 - 3 = -13

จากสตู ร a10 = a1 + (10 - 1)d

a10 = 16 + 9d = 16 + 9(-13) = 16 - 117 = -101
ดงั น้ัน พจน์ท่ี 10 = -101

หรือ หาก พจน์ที่ n (an) = -244 แลว้ n มีคา่ เท่าไร
จากสูตร an = a1 + (n - 1)d

-244 = 16 + (n - 1)(-13)

-244 - 16 = (n - 1)(-13)

-260 = (n - 1)(-13)

-260 = n - 1
-13

20 = n - 1

20 + 1 = n

n = 21 ตอบ

266

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาจำนวนพจน์ทงั้ หมดของลำดับเลขคณิตโดยมเี งอ่ื นไข

1. จำนวนนบั ทมี่ คี า่ ระหว่าง 100 กับ 600 ท่หี ารด้วย 5 และ 12 ลงตัว

2. จำนวนนบั ท่ีมีค่าตั้งแต่ 100 กับ 600 ที่หารด้วย 5 และ 12 ลงตัว

วิธคี ิด ใช้สูตร an = a1 + (n - 1)d หา a1 กับ an แต่ละเงอ่ื นไข แลว้ หาจำนวน n แตล่ ะเงอ่ื นไขโดยลบ
ด้วยจำนวนนบั ที่หารพรอ้ มกนั 2 ตวั เพราะ นับซำ้ กันมาตั้งแต่หารด้วย 2 ตัวแรกแล้ว

ขอ้ 1 หาจำนวนนบั ท่หี ารดว้ ย 5 ระหวา่ ง 100 กับ 600 หรอื ตั้งแต่ 101 กบั 599

หา a1 จาก 101 ขนึ้ ไป หารดว้ ย 5 ลงตวั มีค่า a1 = 105
หา an จาก 599 ลงมา หารด้วย 5 ลงตัว an = 595
จากสตู ร an = a1 + (n - 1)d หาค่า n ทีห่ ารดว้ ย 5 ลงตวั

595 = 105 + (n - 1)(5)

595 - 105 = (n - 1)(5)

490 = (n - 1)(5)

98 = 490 = n -1
5

n = 98 + 1 = 99

∴ จำนวนนบั ที่หารดว้ ย 5 ลงตวั มีทั้งหมด 99 ตัว

หาจำนวนนบั ที่หารด้วย 12 ลงตัว ตง้ั แต่ 101 กับ 588

หา a1 = 108 และ an = 588
หา n จากสูตร an = a1 + (n - 1)d

588 = 108 + (n - 1)(12)

588 - 108 = (n - 1)(12)

40 = 480 = (n - 1)
12

40 = n - 1

n = 40 + 1 = 41

∴ จำนวนนบั ที่ หารดว้ ย 12 ลงตัว มที ้ังหมด 41 ตวั

หาจำนวนนับ ท่หี ารด้วย 5 และ 12 ลงตวั ตง้ั แต่ 101 ถึง 599
โดยหา ค.ร.น. ของ 5, 12 คอื 60

แสดงวา่ ตอ้ งหาจำนวนนับ ทีห่ ารด้วย 60 ลงตวั ตั้งแต่ 101 ถึง 599 267

หา a1 = 120 และ an = 540 ตอบ ขอ้ 1
จากสตู ร an = a1 + (n - 1)d
540 = 120 + (n - 1)(60)

540 - 120 = (n - 1)(60)

420 = n - 1
60

7=n-1

n=7+1=8

∴ จำนวนนับ ที่หารดว้ ย 60 ลงตวั มที ง้ั หมด 8 ตัว

สรุป จำนวนนบั ทห่ี ารดว้ ย 5 และ 12 ลงตวั ระหวา่ ง 100 กบั 600

= (จำนวนนับทห่ี ารดว้ ย 5 ลงตัว) + (จำนวนทห่ี ารดว้ ย 12 ลงตวั )

- (จำนวนนับที่หารด้วย 5 และ 12 หรอื 60 ลงตัว เพราะซ้ำ)

= 99 + 41 - 8 = 132 ตวั

ขอ้ 2 เปลีย่ นคา่ ตัง้ แต่ 100 กบั 600 แสดงว่า a1 = 100, an = 600
ดังน้ัน จำนวนนับทห่ี ารดว้ ย 5 และ 12 ลงตัว ตัง้ แต่ 100 กับ 600 จงึ ต่างที่ a1 กบั an
ของแต่ละตวั หาร

หารดว้ ย 5 ลงตวั ; an = a1 + (n - 1)d
600 = 100 + (n - 1)(5)

n - 1 = 600 - 100 = 100
5

n = 101

หารด้วย 12 ลงตวั ; 600 = 108 + (n - 1)(12)

n -1= 600 - 108 = 41
12

n = 42

หารดว้ ย 5, 12 และ 60 ลงตัว

600 = 120 + (n - 1)(60)

n - 1 = 600 - 120 = 8 268
60
ตอบ ข้อ 2
n=9

สรปุ จำนวนนับ ทหี่ ารด้วย 5 และ 12 ลงตัว ตัง้ แต่ 100 กับ 600

= 101 + 42 - 9 = 134 ตวั

3. ลำดับเรขาคณิต

สูตร an = a1rn-1
เม่ือ r = อัตราส่วนร่วม โดย r = a2 ÷ a1 = a3 ÷ a2 = a4 ÷ a3 = an+1 ÷ an
เช่น 3, 9, 27, 81, ..., a10 แล้ว พจน์ท่ี 10 มคี ่าเท่าไร

หาอตั ราส่วนร่วมวา่ เทา่ กันหรือไม่ ถ้าเท่ากนั เท่ากับเทา่ ไร = r

r = 9 ÷ 3 = 27 ÷ 9 = 3

จากสูตร an = a1rn-1

a10 = a1r9 = 3(3)9 = 310

ดังน้นั a10 = 310

หรือ หากพจน์ท่ี n (an) มคี า่ เทา่ กับ 729 แล้ว n มีค่าเท่าไร

จากสูตร an = a1rn-1

729 = 3(3)n-1

243 = 729 = (3)n-1
3

35 = 3n-1
5=n-1

ดังนั้น n = 6 ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้าลำดับเรขาคณติ ท่มี ี a1 = 1 และ a7 = 1 แล้ว r เทา่ กับเท่าไร
2 128

วธิ ีคิด จากสูตร an = a1rn-1

a7 = a1r7-1

( )1 = 1 r6 269
2
128 ตอบ

6 6

หรอื =
[ ลบยกกำลงั ค่ไู ด้บวก ] ( ) ( )r6 =1 × 2 = 1 = 1 - 1
ดังนั้น 128 1 64 2 2

r= 1 หรือ - 1
2 2

ตัวอยา่ งท่ี 3 ลำดับเรขาคณิต 5 จำนวนเรียงกนั ถ้า a1 = 1 และ a5 = 4 แลว้ ลำดับเรขาคณติ เปน็ อย่างไร
4 81

วธิ คี ิด r1 = a2 ÷ a1 = a3 ÷ a2 = a4 ÷ a3 = a5 ÷ a4

r2 = a3 ÷ a1 = a4 ÷ a2 = a5 ÷ a3

ดงั นน้ั r4 = a5 ÷ a1

( )r4 4 1 4 4 16 24 2 4
81 4 81 1 81 34 3
= ÷ = × = = =

( ) ( )ดงั นั้นr4 = 2 4 2 4
3 3
= - [ ลบยกกำลงั คู่ไดบ้ วก ]

r= 2 หรือ - 2
3 3

มี 2 กรณี

( )( )กรณี 1r 2 , 1 2 = 1
= 3 a2 = a1r = 4 3 6

( )( )a3 = a1r2 = 1 2 2 1
4 3 9
=

( )( )a4 = a1r3 = 1 2 3 2
4 3 27
=

ตอบ 1 , 1 , 1 , 2 , 4 เป็นลำดับเรขาคณิต
4 6 9 27 81

( )( )กรณี 2r = - 2 , 1 2 1
3 a2 = a1r = 4 - 3 = - 6

( )( )a3 = a1r2 = 1 2 2 1
4 3 9
- =

270

( )( )a4 = a1r3 = 1 2 3 2
4 3 27
- = -

ตอบ 1 , - 1 , 1 , - 2 , 4 เปน็ ลำดบั เรขาคณิต
4 6 9 27 81

4. ลมิ ิตของลำดับอนนั ต์

4.1 สญั ลักษณ์ lim an = เชน่

n→

ลำดบั 1 , 1 , 1 , ..., 1 พบว่า เม่ือ n มากขึ้นเร่ือยๆ จน n เข้าใกล้  แลว้ คา่ ของ an จะ
2 4 8 n

เขา้ ใกล้ 0

ดังนัน้ lim an = 0

n →

แตบ่ างกรณีก็ไมส่ ามารถหาคา่ ลำดับอนันตไ์ ด้ เนื่องจาก คา่ an เมอ่ื n เข้าใกล้  ค่า an มากข้นึ หรอื

ลดลงไปเรื่อยๆ ไมม่ ที ีส่ ิน้ สุด ซึง่ เรยี กวา่ ลำดบั ไดเวอร์เจน เช่น 2, 4, 6, 8, ... แตห่ ากสามารถหาค่าลำดับ

อนนั ต์ได้ เนอ่ื งจาก ค่า an เมอ่ื n เข้าใกล้  ค่า an คอ่ ยๆ เข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่งมีทส่ี นิ้ สุด ซึง่ เรียกวา่ ลำดบั
คอนเวอรเ์ จน ดงั เช่นกรณีแรก

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาลำดับอนนั ตข์ องลำดับ 2, -2, 2, -2, ..., (-1)n+1(2), ...
วิธีทำ ค่าแกวง่ ไปมา ขน้ึ ลง เทา่ เดิมไมม่ ที ีส่ ้ินสุด

ดังนน้ั จงึ ไมส่ ามารถหาลำดับอนนั ตไ์ ด้

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาลำดับอนนั ต์ของลำดบั cos , cos 2 , cos 3 ,...
วธิ ีคดิ ต้องเปลี่ยนฟงั กช์ นั ตรโี กณ cos  ให้เปน็ ค่าของฟงั ก์ชันก่อน

(0,1) cos  = -1
ดังนนั้
cos 2  = 1
(-1, 0) 0 0, 2 cos 3  = -1
(1, 0) cos 4  = 1

cos sin (0,-1)

แสดงวา่ ลำดับนี้ เปน็ -1, 1, -1, 1, ... 271
คา่ แกว่งไปมา ขึน้ ลง เท่าเดมิ ไมม่ ที ่ีส้ินสดุ
ตอบ
ดงั น้นั จึงไมส่ ามารถหาลำดบั อนนั ตไ์ ด้

4.2 คณุ สมบัตขิ องลิมิต

สามารถกระจาย หรอื แจกแจงไดท้ กุ รปู แบบ ทั้งการบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง หรอื

ถอดราก เชน่ จงหาลำดับอนันต์ของลำดบั an = n2 + 2n - 1
n + 8n3

ใส่ลมิ ิตทัง้ 2 ข้าง

lim an = lim  n2 + 2n - 1  [ ทำใหอ้ ยใู่ นรปู เศษส่วน ]
 n + 8n3 
n→ n→

 n2 + 2n - 1 
 n3 n3 n3 
= lim  n 8n3  [ n กำลังสงู สุด หารทงั้ ขา้ งบน และข้างลา่ ง ]
 n3 n3 
n→ +

= lim  1 + 2 - 1 
 n n2 n3 
n→  1 
n2 + 8

( ) ( ) ( )lim 1 + lim 2 - lim 1
( )= n→ n n→ n2 n→ n3

lim 1 + lim (8)
n2 n→
n→

= 0 +0 -0 = 0 = 0
0+ 8 8

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาลำดับอนันต์ของลำดับ an = 3n2 + 4n - 1
5n2 -8

วธิ ีคิด ใส่ lim ท้งั 2 ข้าง และปรับ n ใหเ้ ปน็ เศษสว่ น
n→

an = 3n2 + 4n - 1
5n2 -8

lim an = lim  3n2 + 4n - 1  272
 5n2 -8 
n→ n→ [ n2 สงู สดุ หารทง้ั เศษและส่วน ]
ตอบ
 3n2 + 4n - 1 
 n2 n2 n2 
= lim  5n2 8 
 n2 n2 
n→ -

lim an = lim  3 + 4 - 1 
 5 n n2 
n→ n→  8 
- n2

= 3 +0 + 0 = 3
5- 0 5

ตวั อย่างที่ 7 จงหาลำดับอนันต์ของลำดบั an = 2n +1
3n - 1

วธิ คี ิด ใสล่ ิมิตทัง้ 2 ข้าง แล้วทำเลขยกกำลังใหฐ้ าน < 1 โดยใช้ฐานที่มีตัวเลขมากยกกำลัง n หาร

an = 2n +1
3n - 1

lim an = lim  2n +1 
 3n - 1 
n→ n→

 2nn + 1 
 3n 3n 
= lim  3n 1 
 3n 3n 
n→ -

( ) 2 n + 1 
3 1 3n 
 1 - 3n 
= lim  

n → 

= 0+0 = 0 ตอบ
1-0

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาลำดับอนันตข์ องลำดบั an = 2n - 5n 273
5n + 9
ตอบ
วิธคี ดิ lim an = lim  2n - 5n  ตอบ
 5n + 9 
n→ n→

 2n - 5n 
 5n 5n 
= lim 
 5n 9 
n→ 5n + 5n 

( ) 2 n 
5 
 - 1
= lim 
1 + 9 
n →   5n 

= 0- 1 = -1 = -1
1+ 0 1

ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาลำดบั อนันตข์ องลำดบั an = 5n + 2n
3n +1

วธิ ีคดิ lim an = lim  5n + 2n 
 3n +1 
n→ n→

= lim  5n + 2n 
 5n + 5n 
n→  3n 1 
 5n 5n 

 1+ 2 n 
5 
( ) 1 
3 n 5n 
= lim  5
+
( )n→ 

= 1 + 0 = 1 หาค่าไม่ได้
0 + 0 0

ตวั อยา่ งที่ 10 จงหาลำดับอนันตข์ องลำดับ an = n +1 274
n -1
ตอบ
วธิ ีคดิ lim an = lim  n +1  ตอบ
n -1
n→ n→

 n + 1
 n n
= lim  n 1 
 n n 
n→ -

= lim  1+ 1 
 1- 
n→  n 
1
n

= 1+ 0 = 1 = 1
1- 0 1

ตัวอย่างท่ี 11 จงหาลำดับอนันต์ชองลำดับ an = n + 3 - n
วิธคี ดิ ตอ้ งสงั ยุคเพอ่ื ให้เกดิ เศษสว่ น

an = n + 3 - n

( )lim

n→
an = lim n+3 - n

n→

= lim  ( n+3 - n) × ( n+3 + n) 
( n+3 + n)
n→

= lim  ( n + 3)2 - ( n)2 
 n+3 + n 
n→

= lim  n +3- n 
n +3 +
n→ n

( )= lim
n→
3
n+3+ n

=0

275

5. อนุกรม
5.1 ความหมายของอนุกรม คือ ผลบวกของแต่ละพจนใ์ นลำดับ ประกอบด้วย
1. อนกุ รมเลขคณิต 2. อนกุ รมเรขาคณิต 3. อนุกรมจำกัดและอนุกรมอนันต์

5.2 สญั ลักษณ์ ลำดับผลบวกยอ่ ย = S1, S2, S3, S4, ..., Sn

ผลบวกย่อย n พจน์แรก ใช้สัญลกั ษณ์ Sn หรอื n ai



i=1

อนุกรมอนนั ต์  ai = lim Sn = S

 n→

i=1

5.3 สมบตั ขิ อง  (ซกิ มา)

n เมื่อ k = ค่าคงตัวใดๆ

 k = k + k + k + ... n ตัว = nk

i=1

n k ai = k n ai

 
i=1 i=1

n i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... n พจน ์ = n (n + 1)
2

i=1

n i2 = 12 + 22 + 32 + 4 2 + ... n พจน์ = n (n + 1)(2n + 1)
6


i=1

( ) ( )ni3 13 23 33 43 n 2 n 2
2
 = + + + + ... n พจน์ =  i = (n + 1)

i=1 i=1

n (ai + bi) = n ai + n bi

  
i=1 i=1 i=1

5.4 ผลรวมของอนกุ รม

1. อนกุ รมเลขคณิต Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d) + ... + (a1 + (n - 1)d)

Sn = n (a1 + an) = n (2a1 + (n - 1)d)
2 2

S หาค่าไมไ่ ด้ ยกเว้น a = 0, d = 0 ทำให้ S = 0

2. อนุกรมเรขาคณิต Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 เมอ่ื a  0,r  0

276

1. Sn = a1(rn - 1) เม่อื r > 1 หรอื r > 1 หรือ r < -1
r- 1

แล้ว S หาค่าไม่ได้

2. Sn = a1(1 - rn) เมื่อ r < 1 หรือ -1 < r < 1
1-r

S = a1 เม่ือ r < 1
1-r

ตัวอยา่ งที่ 12 ถา้ อนุกรมเลขคณติ มี Sn = 2n2 + 3n จงหา a15 ตอบ
วิธีคดิ a15 = S15 - S14

จาก Sn = 2n2 + 3n
S15 = 2(15)2 + 3(15) = 450 + 45 = 495
S14 = 2(14)2 + 3(14) = 392 + 42 = 434

ดังน้นั a15 = 495 - 434 = 61

ตัวอย่างที่ 13 จงหาผลบวกย่อย 15 พจนแ์ รกของอนกุ รม 2 + 6 + 10 + ...

วธิ ีคดิ ตอ้ งหาวา่ เปน็ อนกุ รมอะไรกอ่ น

d = 6 - 2 = 10 - 6 = 4 เป็นอนกุ รมเลขคณติ

สตู ร Sn = n (a1 + an)
2

an = a1 + (n - 1)d

a15 = 2 +14(4) = 2 + 56 = 58

ดงั นนั้ S15 = 15 (2 + 58) = 15 (60) = 450 ตอบ
2 2

ตวั อยา่ งท่ี 14 จงหาผลบวกยอ่ ย 10 พจน์แรกของอนกุ รม 1 + 1 + 2 + ...
2

วิธีคิด r = 1 ÷ 1 = 2 ÷1 = 2 เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ
2

Sn = a1(rn - 1)
r- 1

( )S10 = 1 (210 - 1) 277
2
ตอบ
2-1

= 1 (1024 - 1) = 1023 = 511 1
2 1 2 2

ตัวอยา่ งท่ี 15 จงหาผลบวก 12 พจนแ์ รกของอนกุ รม 1+ 25 + 81+169 + ...(4n - 3)2 + ...

วิธคี ดิ หา an และใส่  an = Sn

 an = (4n - 3)2 = (4n)2 - 2(4n)(3) + 32

an = 16n2 - 24n + 9

 an = 12 (16n2 - 24n + 9)


n=1

Sn = 16n2 - 24n + 9

( ) ( )=16 n (n + 1)(2n + 1) - 24 n (n + 1) + 9n
6 2

Sn = 8 n (n + 1)(2n + 1) - 12n(n + 1) + 9n
3

( )S12 = 8 12 (12 +1)(2(12) +1) - 12((12)(12 +1)) + 9(12)
3

= 32(13)(25) - 144(13) + 108

= 10,400 - 1,872 + 108

S12 = 8, 636 ตอบ

ตวั อย่างท่ี 16 จงหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ 1 + 1 + 1 + ... + 2 3 + ...
2 6 18  3n

วิธคี ิด r = 1 ÷ 1 = 1 ÷ 1 = 1
6 2 18 6 3

a 1
1-r 2
S = = 1
1 - 3

S = 1 × 3 = 3 ตอบ
2 2 4

278

ตวั อย่างที่ 17 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม 4 + 44 + 444 + 4444 + ...

วธิ ีคดิ ทำอนุกรมให้เป็น 9, 99, ... แล้วแปลงเปน็ 10 - 1, 100 - 1, ...

Sn = 4 + 44 + 444 + 4444 + ...

คณู 9 , 9 Sn = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...
4 4

= (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + (10000 - 1) +...

9 Sn = (10 + 102 + 103 + 104 + ...) - (1 + 1 + 1 + ...)
4

= 10(10n - 1) - n
10 - 1

Sn = 4  10(10n - 1) - n  ตอบ
9  9 

5.5 ผลรวมของอนกุ รมผสมกันระหว่าง อนกุ รมเลขคณิต × อนกุ รมเรขาคณติ

เช่น 1 + 2 + 3 + 4 + ...
5 25 125 625

ตวั อยา่ งท่ี 18 จงหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

1 + 5 + 12 + 22 + 35 + ...
2 4 8 16

วิธีคิด Sn = 1 + 5 + 12 + 22 + 35 + ... ----------
2 4 8 16 ----------
----------
คูณ 1 ; 1 Sn = 1 + 5 + 10 + 22 + ... ----------
2 2 2 4 8 16 ----------

 - , (1 - 12) Sn = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...
2 4 8 16

1 Sn = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...
2 2 4 8 16

คณู 1 ; 1 Sn = 1 + 4 + 7 + 10 + ...
2 4 2 4 8 16

( ) -  1 - 1 Sn = 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + ...
2 4 2 4 8 16

1 Sn = 1 + 3  1 + 1 + 1 + 1 + ... 
4  2 4 8 16 

1 279
 2 
= 1+ 3  1  ตอบ
 1 - 2 
ตอบ
( )1Sn = 1 + 3 1 ÷ 1
2 2
4

1 Sn = 1 + 3
4

S = 4 × 4 = 16

ตัวอยา่ งที่ 19 จงหาผลบวกของอนุกรม 1 + 1 + 1 + ...
15 35 63

วธิ ีคดิ แยกสว่ นประกอบของสว่ นดวู ่าเป็นลำดบั เลขคณิตคณู กนั หรอื ไม่

Sn = 1 + 1 + 1 + ...
15 35 63

= 1 + 1 + 1 + ...
35 57 79

( ) ( ) ( )Sn=1 1 - 1 + 1 1 - 1 + 1 1 - 1 + ...
2 3 5 2 5 7 2 7 9

Sn = 1  1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
2  3 5 5 7 7 9

S = 1  1  = 1
2  3  6

5.6 หลักการพจิ ารณา อนกุ รมอนนั ต์เป็นอนกุ รมคอนเวอร์เจน หรอื อนกุ รมไดเวอร์เจน

1. ถา้ an เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจน จะได้ lim an = 0 หรอื ถ้า lim Sn หาคา่ คงท่ไี ดจ้ ะ

n→ n→

เปน็ อนกุ รมคอนเวอร์เจน แสดงว่า ถา้ lim an  0 หรอื lim Sn หาค่าไม่ได้ อนกุ รมต้องเปน็ ไดเวอร์เจน

n→ n→

2. แตถ่ า้ lim an = 0 อนุกรมอาจเปน็ คอนเวอร์เจน หรือไดเวอร์เจนก็ได้

n→

สามารถตรวจสอบได้ โดย lim an+1 <1 แสดงวา่ เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจน
an
n→

280

ถา้ lim an+1 >1 แสดงว่า เป็นอนุกรมไดเวอร์เจน
an
n→

แต่ถ้า lim an+1 =1 สรปุ ไม่ได้
an
n→

ตวั อย่างที่ 20 จงพิจารณาว่าอนกุ รมต่อไปน้เี ปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนหรอื ไดเวอร์เจน

เม่ือกำหนดให้ Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an

( )1. Sn = 53 - 4 1 2. Sn = 3(5n - 1) 3. Sn = 7n+1 - 3n
2 5n - 4  7n

( ) ( ) ( )ข้อ 1 3 4
Sn = 5 2 - 5n - 1 =5 3(5n - 1) - 4(2) =5 15n - 3 - 8
2(5n - 1) 10n - 2

Sn = 5(15n - 11) = 75n - 55
10n - 2 10n - 2

( )lim  75n - 58 =0 
 n n 
n→  2 =0 
Take lim , Sn = lim 75n - 55 = lim  10n n  = 75 - 0
n→ 10n - 2 n 10 - 0
n→ n→ -

 S = 75 = 15 ดังน้ัน อนุกรมนี้เป็นอนกุ รมคอนเวอรเ์ จน ตอบ
10 2

ขอ้ 2 Sn = 3(5n - 1) = 3 5n - 3

Take lim , lim Sn = lim (3  5n - 3) = 
n→
n→ n→

 S =  ดงั นน้ั อนกุ รมน้เี ปน็ อนุกรมไดเวอร์เจน ตอบ

ขอ้ 3 Sn = 7n+1 - 3n = 7n  71 - 3n = 71  7n - 3n
4  7n 4  7n 4 7n 4  7n

( )Sn 7 1 3 n
4 4 7
= -

( ) ( )lim  7 1 3 n  7 1  3 =0 n
 4 4 7  4 4  7 
Take lim , n→ Sn = lim  -  = lim - lim  
n→
 n→ n→ n→

= 7 - 1 (0) = 7 - 0
4 4 4

S = 7
4

ดังนัน้ อนกุ รมน้ีเปน็ อนกุ รมคอนเวอรเ์ จน 281

ตอบ

282

แคลคลู ัสเบื้องต้น

1. ลมิ ติ ของฟังกช์ นั

สญั ลกั ษณ์ lim f(x) = L
x→a
หมายความวา่ หากให้ x เขา้ ใกล้ a ทงั้ ทางนอ้ ยกว่า a, x → a- หรอื ทางมากกว่า

a, x → a+ แล้ว f(x) จะเข้าใกล้ L

ดังนัน้ lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = L
x → a- x → a+ x→a

ตวั อย่างเช่น

ฟังก์ชนั y = f(x) = x + 5 พบว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 5 ทง้ั ทางน้อยกว่า 5 และมากกวา่ 5

แล้ว y จะมีค่าเขา้ ใกล้ 10 ดงั นัน้ จึงเขียนเปน็ สัญลักษณ์ lim f(x) = 10
x→5

2. ทฤษฎีบทเกย่ี วกับลิมติ

lim [f(x)]n =  lim f(x)  n
 
lim c = c x→a x→a

x→a

lim x = a lim n f(x) = n lim f(x)
x→a x →a
x→a

lim xn = an

x→a

lim c f(x) = c lim f(x)
x→a x →a

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
x→a x →a x →a

lim [f(x) × g(x)] = lim f(x) × lim g(x)
x→a x→a x→a

lim [f(x) ÷ g(x)] = lim f(x) ÷ lim g(x) เมื่อ lim g(x)  0
x→a x →a x →a x→a

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ ลมิ ติ ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ขอ้ 1 lim (x2 + x +1) = (-1)2 + (-1) +1 = 1 - 1+1 = 1 ตอบ
x → -1

ข้อ 2 lim  x3 - 8  = 03 - 8 = -8 = 8 × 2 = 8 2 = 4 2
 x-  0- -2 2 2 2
x→0 2 2

ตอบ

283

ข้อ 3 lim x2 - 9 = 32 - 9 = 0 หาค่าไมไ่ ด้
3-x 3-3 0
x→3

ต้องลองแยกคา่ สมั บรู ณ์ เมื่อ x → 3- กับ x → 3+

กรณี  x → 3- , lim (x2 - 9) = lim (x - 3)(x + 3)
(3 - x) (3 - x)
x→3- x→3-

= lim (x - 3)(x + 3) = -(x + 3) = -(3 + 3) = -6
-(x - 3)
x→3-

กรณี  x → 3+ , lim (x2 - 9) = lim (x - 3)(x + 3) = lim (x - 3)(x + 3)
-(3 - x) -3 + x (x - 3)
x→3+ x→3+ x→3+

=x+3=3+3=6

แสดงว่า lim x2 - 9 x2 - 9 จึงสรุปวา่ หาคา่ ลิมิตไมไ่ ด้
 lim
x→3- 3-x x →3+ 3-x

ตอบ ไมม่ ีลมิ ติ

ข้อ 4 lim 5 - 2x - 3
x -4
x→4

พิจารณา x → 4- , กบั x → 4+ กบั x - 4 = 0 เสมอ

แสดงว่าทำอะไรไมไ่ ดก้ ับ x - 4 แต่ลองเมอื่ x → 4 แล้ว 5 - 2x เปน็ ลบ ตอ้ งเปน็
-(5 - 2x)

ดงั นนั้ lim 5 - 2x - 3 = -(5 - 2x) - 3 = -5 + 2x - 3 = 2x - 8
x -4 x-4 x-4 x-4
x→4

= 2(x - 4) = 2
(x - 4)

ตอบ ลิมติ = 2

x ; x < -4.99
 ; x > 4.99
ข้อ 5 lim f(x) เม่ือ f(x) =  - x
 x
x→5-  x

lim -x = -5 = -1
x 5
x→5-

ตอบ ลิมิต = -1

284

ขอ้ 6 เมือ่ f(x) = x-4 ; x<6
lim f(x) x-5 ; x6

x→6

lim x - 4 = 6 - 4 = 2  ไม่เท่ากันแสดงว่าไม่มีลิมิต
xl→im6- x - 5 = 6 - 5 = 1 

x→6+

ตัวอย่างท่ี 2 กำหนดให้ f(x) = 13-xx-22 -5 ; x2 <1
 x ; x2 > 1

จงหา lim f(x), lim f(x)
x→1 x→ -1

วิธคี ิด พจิ ารณากรณี  ; x2 < 1

x2 -1 < 0
(x - 1)(x + 1) < 0

-1 1 เมอ่ื x2 < 1

พจิ ารณากรณี  ; x2 > 1
x2 -1 < 0

(x - 1)(x + 1) > 0

-1 1 เมื่อ x2 > 1

ดงั น้นั lim f(x) = 1 - x2 = 1 - 1 = 0
x→1- ไม่เทา่ กัน
3x - 2 3(1) - 2
lim f(x) = x - 5 = 1 - 5 = 1 - 5 = -4

x→1+

ตอบ ดังน้ัน lim f(x) จงึ หาคา่ ไม่ได้เพราะไดค้ ่าไม่เท่ากัน
x→1

lim f(x) = 3x - 2 - 5 = 3(-1) - 2 - 5 = -5 - 5 = 5 - 5 = 0
x -1 -1
x→ -1

lim f(x) = 1 - x2 = 1 - (-1)2 = 1 - 1 = 0

x→ -1+

285

ตอบ ดังนั้น lim f(x) = 0
x→ -1

.

3. ความต่อเนอื่ งของฟงั กช์ นั

3.1 ฟังก์ชัน f(x) ใดๆ จะต่อเนอ่ื งท่ี x = a ก็ตอ่ เม่ือ

lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x → a- x → a+

3.2 ฟังก์ชนั f(x) ต่อเนอื่ งบนช่วงเปดิ (a, b) ก็ตอ่ เมื่อ f(x) ต่อเน่อื งทกุ ๆจุดในช่วง (a, b)

3.3 ฟงั ก์ชนั f(x) ต่อเนอื่ งบนชว่ งปิด [a, b] กต็ ่อเมอื่ f(x) ตอ่ เนื่องบนชว่ งเปดิ (a, b) และต่อเนอ่ื ง

ทางขวาของ a [f(a) = lim f(x)] และต่อเนอื่ งทางซา้ ยของ b [f(b) = lim f(x)]
x → a+ x →b-

ตวั อย่างที่ 3 ถ้าฟังก์ชัน f(x) = a4x ; x<1
; x = 1 ต่อเนื่องที่จุดซ่งึ x = 1 แล้ว a, b มีค่าเท่าใด
x + b ; x > 1

วธิ ีคิด ฟังกช์ ันตอ่ เน่อื งท่จี ดุ x = 1 แสดงวา่

lim f(x) = lim f(x) = f(1)
x → 1- x →1+

ax = x + b = 4

หรือ a(1) = 1 + b = 4

ดังนนั้ a(1) = 4

a =4

หรอื 1 + b = 4

a = 4-1=3

ตอบ a = 4, b = 3

ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนดให้ f(x) = gx(3x)- 1 ; x 1 ถ้า f ตอ่ เนื่องท่ี x = 1 แล้วคา่ ของ lim (x + 3) g(x)
 x2 - 1 ; x >1 x → 1-

เทา่ กบั เท่าใด

lim f(x) = g(x) ----------
----------
x → 1-

lim f(x) = x3 -1 = (x - 1)(x2 + x +1) = x2 + x +1
x2 -1 (x - 1)(x +1) x +1
x →1+

286

เนอ่ื งจาก f ตอ่ เน่ืองที่ x = 1

ดังนัน้  = 

g(x) = x2 +x+ 1
x +1

g(1) = 12 +1+ 1 = 3
1+1 2

แต่ lim (x + 3) g(x) = lim (x + 3)  lim g(x) [ lim คูณกนั แยกคณู กันได้ ]
x →1- x →1- x →1-

= (1 + 3)(32)

= 4 × 3 = 6 ตอบ
2

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาลมิ ิตของ f(x) = x2 + 9 -5 เมื่อ x เข้าใกล้ 4
x-4

วิธีคิด ต้องสังยคุ เศษส่วน เพ่อื ถอดราก แล้วแยกตัวประกอบเพื่อกำจัด x - 4 ที่สว่ น

lim  x2 +9 - 5  = lim  ( x2 + 9 - 5) ( x2 + 9 + 5) 
 x -4   (x - 4) ( x2 + 9 + 5) 
x→4 x→4

= lim  (x - (x2 + 9) - 52 5) 
 4)( x2 + 9+ 
x→4

= lim  (x - x2 +9 - 25 + 5) 
 4)( x2 +9 
x→4

= lim  x 2 - 16 
 4)( x2 + 
x→4 (x - 9 + 5)

= lim  (x - (x - 4)(x + 4) 5) 
 4)( x2 +9 + 
x→4

= lim  x x + 4 + 5  = 4 + 4 + 5 = 8
 + 9  42 + 9 25 + 5
x→4 2
ตอบ
= 5 8 5 = 8 = 4
+ 10 5

287

ตัวอย่างท่ี 6 กำหนดให้ f และ g เป็นฟงั กช์ ันต่อเนื่องท่ีจดุ x = 4

g(x)( )และ=  f(x) x-4 เม่ือ x  4
 x -2
4 - kx2 เม่ือ x = 4

โดยท่ี k เปน็ ค่าคงท่ี ถ้ากราฟของ f ตดั เส้นตรง y = x + 1 ท่ีจดุ ซง่ึ x = 4 แลว้ k

จะอยใู่ นชว่ งใด

1. (-3, -1) 2.(-2, 0) 3. (-1, 1) 4. (0, 2)

( )วธิ คี ดิ x-4
หา lim จาก g(x) = f(x) x -2
x→4

เนื่องจาก f และ g เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนอื่ ง

( )ดังนัน้ x-4
g(x) = lim g(x) = lim f(x) x -2
x→4 x→4

= lim f(x)  lim  x- 4 × x + 2 
x -2 x + 2
x→4 x→4

= lim f(x)  lim  (x - 4)( 2 x+ 2) 
 x - 22 
x→4 x→4

= lim f(x)  lim (x - 4)( x + 2)
x 4
x→4 x→4 -

g(x) = f(x)  ( x - 2)

4 - kx2 = f(x)( x - 2)

4 - k(4)2 = f(4)( 4 - 2)

4 - 16k = f(4) (2 + 2)

4 - 16k = f(4)(4)

f(4) = 4 - 16k
4 4

f(4) = 1 - 4k ---------

หาค่า f(4) จากกราฟ f ตัดกับเส้นตรง y = x + 1

แทนคา่ x = 4, y = 4 + 1 = 5

∴ (x, y) = (4, 5) เปน็ จดุ ตัดของกราฟ f

แสดงว่า f(4) = 5

หรือ 1 - 4k = 5

1 - 5 = 4k 288

-4 = k ตอบ ข้อ 2
4

k = -1

4. อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั หรือดิฟเฟอรเ์ รนทฟี

4.1 อัตราการเปล่ยี นแปลง

ในฟงั กช์ ัน f(x) ใดๆ โดยให้ y1 = f(x1)
อตั ราการเปลยี่ นแปลงของคา่ ฟงั ก์ชัน = y2 - y1 = f(x2) - f(x1)
เทยี บกบั x ที่เปลยี่ นจาก x เปลีย่ นเปน็ x + h = (x + h) - x = h

ดงั น้ัน y1 = f(x1) = f(x)

y2 = f(x2) = f(x + h)
ก อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกบั x ในชว่ ง x ถงึ x + h

คอื  Y = y2 - y1 = f(x + h) - f(x) = f(x + h) - f(x)
 X x2 - x1 (x + h) - x h

ข อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกับ ขณะ x ใดๆ

คือ lim f(x + h) - f(x) = dy หรอื อนุพันธข์ อง f(x)
h dx
h→0

ตัวอย่างท่ี 7 ให้ y = x2 - x +1 จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ียของ y เมือ่ เทียบกบั x ในชว่ ง x = 3 ถงึ

x=5

วธิ ีคิด อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี =  Y = f(5) - f(3)
 X 5 - 3

= (52 - 5 + 1) - (32 - 3 + 1)
2

= 21 - 7
2

=7 ตอบ

289

ตวั อยา่ งที่ 8 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y = 2x2 + 3x - 4 เม่อื x มคี ่าใดๆ และเม่อื x = 2

วธิ คี ดิ อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ y เทยี บกบั ขณะ x ใดๆ

= lim f(x + h) - f(x) = dy
h dx
h→0

= lim [2(x + h)2 + 3(x + h) - 4] - [2x 2 + 3x - 4]
h
h→0

= lim [2(x + h)2 + (3x + 3h) - 4] - [2x 2 + 3x - 4]
h
h→0

= lim [2x2 + 4xh + 2h2 + 3x + 3h - 4 - 2x2 - 3x + 4]
h
h→0

= lim h(4x + 2h + 3)
h
h→0

= lim 4x + 2h + 3 = 4x + 2(0) + 3 = 4x + 3
h→0

เม่ือ x = 2, อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกับขณะ x = 2

= 4(2) + 3 = 11 ตอบ

ตัวอย่างท่ี 9 จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลีย่ ของปริมาตรทรงกลม เทียบกับรศั มี เมอื่ รัศมีเปลยี่ นจาก 2 ถงึ

3 หนว่ ย

วิธคี ดิ สูตร ปรมิ าตรทรงกลม V= 4 r3 ลบ.หนว่ ย
3

รศั มี = r หนว่ ย

อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ ของปริมาตรทรงกลม (V) เทยี บกับรัศมี (r)

= Y = V2 - V1 = 4 r23 - 4 r12
r r2 - r1 3 r2 4
- r1

= 4 (r23 - r13) = 4 (33 - 23)
3 r2 - r1 3 3-2

= 4 (27 - 8) = 4 (19) = 76  ตอบ
3 1 3 3

290

ตัวอยา่ งที่ 10 จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลง

ก. พ้นื ท่รี ูปสี่เหล่ยี มจัตุรสั เทยี บกับความยาวด้าน

ขณะที่ด้านยาว = 4 ซม.

ข. พน้ื ท่ีวงกลมเทยี บกบั รัศมี ขณะรัศมยี าว 12 นวิ้

วธิ ีคิด ก. สูตรพื้นท่สี ่เี หล่ยี มจัตรุ ัส A = x × x = x2 ตร.ซม.

ความยาว = x ซม. ดังนั้น A = f(x)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ A เทยี บกับ x ขณะ x = 4

= lim  A = lim A2 - A1 = lim f(x + h) - f(x)
 X h h
h→0 h→0 h→0

= lim (x + h)2 - x2
h
h→0

= lim x2 + 2xh + h2 - x2
h
h→0

= lim h(2x + h) = lim (2x + h) = 2x + 0
h
h→0 h→0

= 2x

เมื่อ x = 4 = 2(4) = 8

ข. สตู รพ้นื ทีว่ งกลม A = r2 ตร.นิว้

รัศมี = r น้ิว ดงั นน้ั A = f(r)

อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ A เทียบกับ r ขณะ r = 12

= lim A = lim A2 - A1 = lim f(r + h) - f(r)
r h h
h→0 h→0 h→0

= lim [(r + h)2 - r2] = lim [ (r 2 + 2rh + h2) - r 2]
h h
h→0 h→0

= lim [ r 2 + 2rh + h2 - r 2 ]
h
h→0

= lim h(2rh + h) = lim (2r + h)
h
h→0 h→0

เม่อื r = 12, = (2r + 0) = 2r ตอบ
= 2(12) = 24 ตร.น้วิ

291

4.2 สตู รในการหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั

1. ถ้า f(x) = y = c แลว้ f(x) = y = dy = 0
dx

2. ถ้า f(x) = y = x แล้ว f(x) = y = dy =1
dx

3. ถา้ f(x) = y = xn แลว้ f(x) = y = dy = nxn-1
dx

4. ถา้ f(x) = y = cxn แล้ว f(x) = y = dy = ncxn-1 เมอื่ n,c R
dx

5. ถ้า y = cf(x) แล้ว y = dy = cf(x)
dx

6. ถา้ y = f(x) ± g(x) แลว้ y = dy = f(x) ± g(x)
dx

7. ถา้ y = f(x)  g(x) แล้ว y = dy = f(x)  g(x) + g(x)  f(x)
dx

8. ถ้า y = f(x) เม่ือ g(x)  0, แล้ว y = dy = g(x)  f(x) - f(x)  g(x)
g(x) dx (g(x))2

วิธกี ารท่องจำ : ขอ้ 7 y = หน้า Diff หลัง + หลงั Diff หนา้

ขอ้ 8 y = ลา่ ง Diff บน - บน Diff ลา่ ง
ลา่ งยกกาลงั 2

4.3 สตู รในการหาอนุพนั ธฟ์ งั กช์ ันประกอบ

1. ถา้ y = (fog)(x) = f(g(x))

แลว้ y = dy = (fog)(x) = f(g(x))  g(x)
dx

2. ถา้ y = f(u) และ u =g(x) หรอื y = f(g(x)) [ก็จะเหมือนกับข้อ 1.]

y = dy = dy  du
dx du dx

3. ถ้าให้ y = un และ u = g(x)

แล้ว y = dy = nun-1 du
dx dx

4. ถ้า y = f(u) , u = g(x) และ x = h(t)

แล้ว y = dy = dy  du  dx
dt du dx dt

292

วธิ ีการท่องจำ : ข้อ 1, 3 Diff นอก × Diff ใน หรอื Diff ปกติ × Diff เปลือย
ข้อ 2, 4 Diff ต่อเนื่องเป็นลูกโซ่

4.4 สูตรในการหาอนพุ ันธฟ์ ังก์ชนั พเิ ศษ

1. d In x = 1
dx x

2. d ex = ex
dx

3. d sin x = cos x
dx

4. d cos x = -sin x
dx

ตัวอย่างที่ 11 ให้ f เป็นฟังก์ชันทหี่ าอนพุ ันธไ์ ด้ และ f(3) = -2 , f(3) = 5 ถ้า g(x) = f(x) แลว้ g(3)
x2 +1

มีคา่ เท่าใด (คณิต 1/2542)

วธิ คี ิด หา g(3) จาก g(x) = f(x) แล้วหา g(3)
x2 +1

g(3) = f(3) = -2
32 +1 10

g(x) = f(x)
x2 +1

(x2 + 1)f(x) - f(x) d(x2 + 1)
dx
g(x) = (x2 + 1)2

g(3) = (32 + 1)f(3) - f(3)(2x)
(32 + 1)2

= 10(5) - (-2)(2(3))
100

= 50 +12
100

= 62 = 0.62 ตอบ
100

ตัวอย่างท่ี 12 กำหนดให้ go f(x) = 4x3 + 2x - 7 และ f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1 จงหาค่าของ g(5)

293

วิธคี ดิ เปลย่ี น f(x) ใหเ้ ป็น g(x)

จาก go f(x) = g(f(x)) = 4x3 + 2x - 7 ----------
---------
d (g (f(x)) = d (4x3 + 2x - 7)
dx dx

gf(x) d (f(x)) = 12x2 + 2
dx

g(f(x))  d (x 3 - 3x 2 + 2x - 1)  = 12x 2 + 2
 dx 

g(f(x))(3x2 - 6x + 2) = 12x2 + 2

โจทยถ์ าม g(5) = g(f(x))

ดงั นน้ั f(x) = 5

x3 - 3x2 + 2x - 1 = 5
x3 - 3x2 + 2x - 6 = 0
ลองแทนค่า x = 3, = 33 - 3(32) + 2(3) - 6

= 27 - 27 + 6 - 6 = 0

แสดงว่า x - 3 = 0 เปน็ ตวั ประกอบของ x3 - 3x2 + 2x - 6 หาตัวประกอบทีเ่ หลือ
x3 -3x2 +2x - 6
1 -3 2 - 6
++ +

x=3 3 0 6

1 0 2 0 (เศษ 0)

ตวั ประกอบ = (1x2 + 0x + 2) = x2 + 2

ดงั นน้ั x3 - 3x2 + 2x - 6 = 0

(x - 3)(x2 + 2) = 0
แต่ x2 + 2 เป็นบวกเสมอ กำจัดทิ้งได้

(x - 3)(x2 + 2) = 0 ( x2 + 2 หารทั้ง 2 ข้าง)
x2 + 2 x2 +
2

x-3=0

x=3

ดงั นน้ั f(x) = 5

f(3) = 5 294

จาก  g(f(x)) (3x2 - 6x + 2) = 12x2 + 2 ตอบ

g(f(3)) (3(3)2 - 6(3) + 2) = 12(3)2 + 2

g(5) (27 - 18 + 2) = 108 + 2

g(5) (11) = 110

g(5) = 110 = 10
11

ตัวอยา่ งที่ 13 กำหนดให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ทีไ่ มใ่ ชศ่ ูนย์ และ y= x2 - a2 ถา้ เมื่อ x = 0, y = 1 และ
x-b

y = 1 แล้ว a และ b เป็นจรงิ ตามขอ้ ใด

1. a = b 2. a = -b 3. a = b 4. a = b

วิธีคิด แกส้ มการหาค่า a, b

แทน x = 0, y = 1 ใน y = x2 - a2
x -b

1 = 02 - a2
0 - b

1 = -a2
-b

-b = -a2

a2 = b ----------

และ y = x2 - a2
x -b

y = d  x2 - a2 
dx  x - b 

1 = (x - b) d (x2 - a2) - (x2 - a2) d (x - b)
dx (x - b)2 dx

1(x - b)2 = (x - b)(2x) - (x2 - a2)(1)

1(x - b)2 = 2x2 - 2bx - x2 + a2

แทน x = 0, (0 - b)2 = 2(0)2 - 2b(0) - (0)2 + a2

295

จาก , b2 = a2

b2 = b

b2 - b = 0 → b(b -1) = 0
b = 0 หรือ b = 1

แต่ b  0 ดงั นนั้ b = 1

จาก  , a2 = b

a2 = 1

a = ±1

ดงั น้ัน ตอบ ข้อ 4 เพราะ a = ± = 1 = b

ตัวอยา่ งท่ี 14 กำหนดให้ f(x) = x2 - 2 x และ g(x) = x2 +1 แลว้ (gof)(-3) + (fog)(3) เท่ากบั ข้อใด

(คณิต 1/2545)

1. -132 2. -84 3. 84 4. 132
วิธคี ิด (gof)(-3) = g(f(-3))(f(-3)) ----------
(fog)(3) = f(g(3))(g(3)) ----------

ถ้า x < 0, f(x) = x2 - 2(-x)

f(x) = x2 + 2x ----------

f(x) = 2x + 2

ถา้ x > 0, f(x) = x2 - 2x

f(x) = 2x - 2 ----------

แต่ g(x) = x2 +1 ----------
g(x) = 2x

f(-3) = (-3)2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3

f(-3) = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4
g(3) = 32 +1 = 9 +1 = 10

g(3) = 2(3) = 6

g(f(-3)) = g(3) = 6

f(g(3)) = f(10) = 2(10) - 2 = 20 - 2 = 18

296

จาก  g(f(-3))(f(-3)) = (6)(-4) = -24
จาก  f(g(3))(g(3)) = (18)(6) = 108
ดังนัน้ (g(f(-3))(f(-3)) + f(g(3))(g(3)) = -24 +108 = 84

ตอบ ข้อ 3

4.4 ความชนั ของกราฟ

ความชนั ของกราฟ y = f(x) ณ จุดใดๆ สามารถหาไดจ้ าก อนุพันธข์ อง

f(x) = dy = lim f(x + h) - f(x)
dx h
h→0

ตัวอย่างท่ี 15 จงหาเส้นสัมผัสเสน้ โคง้ y = x2 + 2x โดยท่เี ส้นสมั ผสั ดังกล่าวตัง้ ฉากกบั เสน้ ตรง

x - 4y - 10 = 0

วธิ คี ิด หาความชันทจ่ี ดุ สมั ผัสจากความชนั ของ x - 4y - 10 = 0

x - 4y - 10 = 0

x - 10 = 4y

y = 1 x - 10 ความชนั (m1) = 1
4 4 4

[จาก y = mx + c]

หาความชัน (m2) ทส่ี ัมผัสกับ y = x2 + 2x

m1 × m2 = -1

m2 = -1 = -1 = -4
m1 1
4

หาสมการเส้นตรงท่ีมีความชนั = -4

จากสมการ m = y - y1 ----------
x - x1

ดงั น้นั ตอ้ งหา (x1, y1) ท่จี ุดสมั ผัสกอ่ น

จาก y = x2 + 2x

ความชัน = y = 2x + 2 = -4

2x = -4 - 2 = -6