คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต การหาร

คดิ เลขเรว็ แบบเวทคณิต

VEDIC MATHEMATICS

การหาร

สาํ นกั วชิ าการและมาตรฐานการศึกษา
สาํ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน

กระทรวงศกึ ษาธิการ



คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

สำ�นกั วิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา
ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน

กระทรวงศึกษาธิการ

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต
การหาร

ปีทีพ่ ิมพ ์ 2562
จ�ำ นวนพมิ พ ์ 45,000 เล่ม
พิมพ์ท ่ี โรงพมิ พช์ มุ นมุ สหกรณก์ ารเกษตรแหง่ ประเทศไทย จ�ำ กดั
79 ถนนงามวงศว์ าน แขวงลาดยาว เขตจตุจักร
กรุงเทพมหานคร 10900
โทร. 0-2561-4567 โทรสาร 0-2579-5101
นายโชคดี ออสวุ รรณ ผพู้ มิ พ์ผโู้ ฆษณา

คำ�น�ำ

ก า ร จั ด ก า ร เรี ย น ก า ร ส อ น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ด้ ว ย เ ท ค นิ ค
การคิดเลขเรว็ แบบอินเดีย (เวทคณิต) เล่มน้ี จดั ท�ำ ข้นึ โดยมวี ตั ถุประสงค์
เพื่อพัฒนาทักษะการคิดคำ�นวณทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ให้ผู้เรียน
คิดเลขได้รวดเร็ว ถูกต้อง และแม่นยำ� รู้จักคิด มีเหตุผลอย่างเป็นระบบ
สามารถแก้ปัญหาให้มีประสิทธิภาพมากข้ึน ในการจัดทำ�เอกสารเล่มนี้
ไดศ้ กึ ษาเทคนคิ การคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณติ : Vedic Mathematics)
มที ม่ี าจากคมั ภรี โ์ บราณในการคดิ เลขเรว็ ซงึ่ เปน็ สว่ นหนงึ่ ของคมั ภรี พ์ ระเวท
ของอินเดีย ประกอบด้วยสูตรหลัก 16 สูตร และสูตรย่อย 13 สูตร
ทเ่ี กยี่ วกบั การบวก ลบ คณู หาร ซง่ึ แตล่ ะสตู รเปน็ สตู รเฉพาะ สามารถน�ำ มา
ผสมผสานและผนวกกบั พน้ื ความรใู้ นดา้ นคดิ คำ�นวณได้
จากนโยบายของนายกรัฐมนตรี (พลเอกประยุทธ์ จันทร์โอชา)
ในงานนายกรัฐมนตรีพบเพ่ือนครู เมื่อปี 2559 สำ�นักงานคณะกรรมการ
การศึกษาข้ันพื้นฐาน ได้ดำ�เนินการจัดทำ�คู่มือเทคนิคการคิดเลขเร็ว
แบบอนิ เดยี (เวทคณติ ) พรอ้ มทงั้ ขยายผลครอบคลมุ ทกุ เขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษา
และได้ส่งผู้บริหาร ศึกษานิเทศก์ ครูผู้สอนคณิตศาสตร์เข้าร่วมโครงการ
ฝกึ อบรมและสมั มนาการจดั การเรยี นการสอนเวทคณติ ณสาธารณรฐั อนิ เดยี
จากผู้เชี่ยวชาญที่มีประสบการณ์ซ่ึงเป็นต้นกำ�เนิดเวทคณิต และพัฒนา
เป็นต้นแบบในการจัดการเรียนการสอน การพัฒนาเอกสารการจัด
การเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ด้วยเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย

ก

(เวทคณิต) เล่มนี้ ได้รอ้ ยเรยี งภาษาทง่ี ่าย กะทัดรดั เขา้ ใจไดอ้ ยา่ งรวดเร็ว
พร้อมตัวอย่างประกอบ ทำ�ให้ครูผู้สอนและผู้เรียนสามารถศึกษา
และท�ำ ความเขา้ ใจไดด้ ว้ ยตนเอง เอกสารการจดั การเรยี นการสอนคณติ ศาสตร์
ดว้ ยเทคนคิ การคดิ เลขเรว็ แบบอนิ เดยี (เวทคณติ ) ใน 1 ชดุ จดั ท�ำ เปน็ 4 เรอ่ื ง
ประกอบดว้ ย เรอื่ ง การบวก การลบ การคณู และการหาร
ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐานหวงั เปน็ อยา่ งยงิ่ วา่
เอกสารการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ด้วยเทคนิคการคิดเลขเร็ว
แบบอนิ เดยี (เวทคณติ )เลม่ นจี้ ะเปน็ ประโยชนต์ อ่ ครผู สู้ อนน�ำ ไปใชเ้ พอื่ พฒั นา
ผู้เรียนท่ีมีพ้ืนฐานการใช้เทคนิคเวทคณิตได้อย่างคล่องแคล่วรวดเร็ว
ถูกต้อง แม่นยำ�มากขึ้น ซ่ึงเป็นการบ่มเพาะและพัฒนาผู้เรียนท่ีมี
ความโดดเด่นทางคณิตศาสตร์เพื่อต่อยอดผู้เรียนไปสู่การแข่งขัน
ในระดับชาตแิ ละนานาชาติต่อไป

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน

สารบัญ

หน้า
ค�ำ น�ำ ก
สารบัญ ข
เกร่ินนำ� ค
การดำ�เนินการหารโดยวธิ นี ขิ ลิ มั (Nikhilam Method) 1
การหารแบบนขิ ิลัมผลลัพธเ์ ปน็ จ�ำ นวนเต็ม 1
การหารแบบนขิ ิลัมผลลพั ธ์เหลือเศษ 9
การหารแบบนิขิลัมโดยใช้การแปลงตวั ตง้ั 28
เปน็ จำ�นวนวนิ ควิ ลมั
การดำ�เนนิ การหารโดยวธิ พี าราวารท (Paravartya Method) 47
การหารแบบพาราวารทผลลพั ธ์เปน็ จ�ำ นวนเตม็ 47
การหารแบบพาราวารทผลลัพธเ์ หลือเศษ 51
การหารแบบพาราวารทโดยใช้การแปลงตวั ต้ัง 55
หรอื ตัวหารเปน็ จ�ำ นวนวินควิ ลัม
การด�ำ เนินการหารโดยวธิ ีเพ่ิมหรือลดสัดสว่ น 71
(Anurupyena Method)
การด�ำ เนนิ การหารโดยวธิ เี พิ่มสดั สว่ น 71
การดำ�เนินการหารโดยวธิ ีลดสัดส่วน 76

ข

สารบัญ (ตอ่ )

หน้า

การหารตรง (Dhvajanka Sutra) 96
ข้นั ตอนการหาร (The Division Algorithm) 96
การหารตรง (Dhvajanka Sutra) 97
วธิ ีการดำ�เนินการหารตรง 102
- การหารตรง กรณที ี่ตัวหารเปน็ จ�ำ นวนเต็มหนงึ่ หลกั 102
- การหารตรง กรณีทต่ี วั หารเปน็ จ�ำ นวนเต็มสองหลกั 129
- การหารตรง กรณีท่ตี ัวหารเป็นจำ�นวนเต็มต้ังแต ่ 169
สามหลักขึ้นไป
การด�ำ เนนิ การหารดว้ ยเศษสว่ นชว่ ย (Auxiliary Fractions) 218
เศษสว่ นชว่ ยแบบที่ 1 (ลงทา้ ยดว้ ย 9 หรืออนุกรมของ 9) 219
เศษส่วนช่วยแบบท่ี 2 (ลงทา้ ยด้วย 1 หรอื อนุกรมของ 1) 241
ภาคผนวกการหาร 275
บรรณานกุ รม 289
คณะทำ�งาน 291

เกริ่นน�ำ

การหารในเวทคณิตมีหลายรูปแบบ แต่ละรูปแบบขึ้นอยู่กับ
ตัวตั้งและตวั หาร ว่าอยใู่ นเงื่อนไขของรปู แบบใด ถ้าเลอื กรูปแบบการหาร
ได้เหมาะสมกบั โจทย์จะท�ำ ให้การหาผลหารถกู ตอ้ งและรวดเรว็
ตัวอย่างสูตรหลักและสูตรย่อยที่นำ�มาช่วยในการหาร
แต่ละรูปแบบ ได้แก่ การหารแบบนิขิลัม ใช้สูตร Nikhilam
Navatashcaramam Dashatah (All from 9 the last from 10)
การหารแบบพาราวารท ใช้สูตร Paravartya Yojayet (Transpose
and Adjust) การหารโดยวิธีเพิ่มหรือลดสัดส่วน ใช้สูตรย่อย
Anurupyena (Proportionately) การหารตรง ใช้สูตรย่อย
Dhvajanka (On the Flag) โดยมีสูตร Urdhva - Tiryagbhyam
(Vertically and Crosswise) เขา้ เสรมิ ในขน้ั ตอนการหาร และโจทยบ์ างขอ้
อาจต้องใช้สูตรย่อย Anurupyena ก่อนจะหาผลหารแบบหารตรง
และการหารด้วยเศษส่วนย่อย ใช้สูตร Ekadhikena Purvena
(By one more than the previous one) หรือสูตร Ekanyunena
Purvena (By one less than the previous one) และโจทยบ์ างข้อ
อาจต้องใช้สูตรย่อย Anurupyena ก่อนขยายผลหารด้วยเศษส่วนย่อย
เปน็ ต้น

ค



คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

1. ก(Nาiรkดhำ�ilเaนmินกMาeรtหhาoรdโ)ดยวิธีนิขิลัม

การดำ�เนินการหารโดยวิธีนิขิลัม เป็นวิธีการแปลงตัวหารท่ีมี
ค่าน้อยกว่าและใกล้เคียงกับฐานปฐมภูมิ 10, 100, 1000, …, 10n
จะทำ�ให้การหารนั้นง่ายข้นึ

1.1 การหารแบบนิขิลมั ผลลัพธเ์ ปน็ จำ�นวนเต็ม

การหารแบบนขิ ลิ มั ผลลพั ธเ์ ปน็ จ�ำ นวนเตม็ มขี น้ั ตอนดงั ตอ่ ไปน้ี
ข้นั ท่ี 1 ปรับปรงุ ตวั หารใหม่โดยใชห้ ลกั การทบสิบ ทบเกา้
ขน้ั ท่ี 2 ด�ำ เนนิ การหารโดยใชก้ ารหารสงั เคราะห์

ตวั อย่างที่ 1 จงหาผลหาร 57,942 ÷ 999
วิธีคิด

999 ) 57942
001

ขน้ั ที่ 1 ปรบั ปรุงตวั หารใหมโ่ ดยใช้หลกั การทบสบิ ทบเก้า ได้ 001

1

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

999 ) 57942
001
ขั้นที่ 2 จากตัวหารท่ีปรับปรุงใหม่ คือ 001 พิจารณาแบ่งตัวต้ัง
จากขวาไปซ้ายเท่ากบั จำ�นวนหลักของตัวหาร แล้วลากเส้นแบ่ง
999 ) 57942
001

ขั้นท่ี 3 นับบรรทัดลงมาให้เท่ากับจำ�นวนเลขโดดของตัวตั้งทางซ้าย
ของเส้นแบ่ง แล้วขีดเส้นใต้ (ทางซ้ายมือมีจำ�นวนเลขโดด 2 ตัว
นบั ลงมาสองบรรทัดแลว้ ขีดเสน้ ใต)้

2

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

999 ) 57942
001

5
ขั้นท่ี 4 ชักเลขโดดตัวแรกของตวั ตง้ั คือ 5 ดา้ นซ้ายมือลงมาใตเ้ ส้น

999 ) 57942

001 005

5

ข้ันท่ี 5 นำ�ตัวเลขโดดที่ชักลงมาไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณ
ไปใส่ในหลกั ถดั ไปใตต้ ัวตง้ั คอื 001 × 5
5 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ต้เลขโดด 7
5 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ต้เลขโดด 9
5 x 1 = 5 น�ำ 5 ใสใ่ ต้เลขโดด 4

3

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

999 ) 57942

001 005

57

ขนั้ ท่ี 6 บวกเลขโดดของตวั ตัง้ กบั เลขโดดท่ีคณู ได้ลงมาไว้ใต้เสน้ คอื
7+0=7

999 ) 57942

001 005

007

57

ข้ันที่ 7 นำ�เลขโดดท่ีบวกได้ไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณไปใส่
ในหลักถัดไปใตต้ วั ตัง้ คอื 001 × 7
7 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ตเ้ ลขโดด 9 และ 0
7 x 0 = 0 นำ� 0 ใส่ใตเ้ ลขโดด 4 และ 5
7 x 1 = 7 นำ� 7 ใส่ใตเ้ ลขโดด 2

4

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

999 ) 57942

001 005

007

57999

ขั้นที่ 8 บวกเลขโดดของตัวตั้งกับเลขโดดท่ีคูณได้ท้ังสองตอน
ลงมาไว้ใต้เส้น

999 ) 57942

001 005

007

57999 1001

ขั้นที่ 9 พิจารณาค่าของจำ�นวนหลังเส้นแบ่ง คือ 999 มีค่าเท่ากับ
ตวั หารเดมิ จงึ ตอ้ งด�ำ เนนิ การหารตอ่ โดยแปลงเศษ 999 ใหเ้ ปน็ จ�ำ นวน
ทีม่ บี าร์ จะได้ 999 = 1001 เพ่ือดำ�เนินการหารต่อ

5

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

999 ) 57942

001 005

007

57999

1 0 01

ข้ันท่ี 10 นำ�จำ�นวนที่แปลงได้มาแบ่งตัวต้ังและขีดเส้นใต้จากการ
พจิ ารณาตามข้ันท่ี 2 และขน้ั ที่ 3

999 ) 57942

001 005

007

57999

1 0 01

1
ข้นั ท่ี 11 ชกั เลขโดดตัวแรกของตวั ต้ัง คอื 1 ลงมาใต้เสน้

6

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

999 ) 57942

001 005

007

57999

1001
001

1

ขนั้ ท่ี 12 นำ�เลขโดดทช่ี กั ลงมาไปคณู กบั ตวั หารใหม่ แลว้ น�ำ ผลคณู ไปใส่
ในหลักถัดไปใตต้ วั ตง้ั คือ 001 × 1
1 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ต้เลขโดด 0
1 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ตเ้ ลขโดด 0
1 x 1 = 1 นำ� 1 ใสใ่ ตเ้ ลขโดด 1

7

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

999 ) 57942

001 005

007

57999

1001
001

1000

ขนั้ ที่ 13 หาผลรวมทอี่ ยหู่ ลงั เสน้ แบง่ เหลอื เศษ 000 เปน็ การหารลงตวั

999 ) 57942

001 005

007

57999

1001
001

1000
ข้ันท่ี 14 นำ�จำ�นวนท่ีอยู่หน้าเส้นแบ่งคร้ังท่ี 1 รวมกับครั้งที่ 2
ได้ผลลัพธ์ คือ 57 + 1 = 58

8

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

ดังนนั้ 57,942 ÷ 999 = 58
ตอบ 58

1.2 การหารแบบนิขิลัมผลลัพธ์เหลือเศษ

การหารแบบนิขลิ มั ผลลพั ธเ์ หลอื เศษมีขัน้ ตอนดังต่อไปนี้
ข้ันที่ 1 ปรบั ปรงุ ตัวหารใหมโ่ ดยใชห้ ลกั การทบสบิ ทบเก้า
ขั้นที่ 2 ดำ�เนินการหารโดยใช้การหารสงั เคราะห์

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลหาร 87,639 ÷ 998
วิธีคิด

998 ) 87639
002

ขน้ั ท่ี 1 ปรบั ปรุงตวั หารใหม่โดยใชห้ ลักการทบสิบ ทบเกา้ จะได้ 002

9

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

998 ) 87639
002
ขั้นท่ี 2 จากตัวหารที่ปรับปรุงใหม่ คือ 002 พิจารณาแบ่งตัวต้ัง
จากขวาไปซ้ายเท่ากับจำ�นวนหลักของตวั หาร แล้วลากเสน้ แบง่
998 ) 87639
002

ขั้นที่ 3 นับบรรทัดลงมาให้เท่ากับจำ�นวนเลขโดดของตัวต้ังทางซ้าย
ของเส้นแบ่ง แล้วขีดเส้นใต้ (ทางซ้ายมือมีจำ�นวนเลขโดด 2 ตัว
นบั ลงมาสองบรรทัดแล้วขีดเส้นใต)้

10

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

998 ) 87639
002

8
ขัน้ ท่ี 4 ชกั เลขโดดตัวแรกของตัวต้ัง คอื 8 ดา้ นซ้ายมอื ลงมาใตเ้ สน้

998 ) 87639

002 0 0 16

8

ขั้นท่ี 5 นำ�ตัวเลขโดดท่ีชักลงมาไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณ
ไปใส่ในหลกั ถัดไปใต้ตวั ต้ัง คือ 002 × 8
8 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ต้เลขโดด 7
8 x 0 = 0 นำ� 0 ใสใ่ ต้เลขโดด 6
8 x 2 = 16 นำ� 16 เขยี นเป็น 16 ใส่ใต้เลขโดด 3

11

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

998 ) 87639

002 0 0 16

87

ขนั้ ท่ี 6 บวกเลขโดดของตวั ต้ังกบั เลขโดดท่ีคูณไดล้ งมาไว้ใต้เสน้ คอื
7+0=7

998 ) 87639

002 0 0 16
0 0 14

87

ขน้ั ที่ 7 นำ�เลขโดดท่ีบวกได้ไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณไปใส่
ในหลกั ถดั ไปใตต้ ัวตง้ั คอื 002 × 7
7 x 0 = 0 นำ� 0 ใส่ใต้เลขโดด 6 และ 0
7 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ต้เลขโดด 3 และ 16
7 x 2 = 14 น�ำ 14 เขียนเปน็ 14 ใสใ่ ต้เลขโดด 9

12

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

998)8763 9

002 0 0 16
0 0 14

8 7 6 19 23

ขั้นท่ี 8 หาผลรวมที่อยหู่ ลังเสน้ แบ่ง

998 ) 87639

002 0 0 16
0 0 14
813
8 7 6 19 23

ขั้นท่ี 9 ปรับผลบวกที่ได้ คือ 6 19 23 ให้เปน็ 813

13

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

998 ) 87639

002 0 0 16
0 0 14

87813

ขั้นท่ี 10 พิจารณาจำ�นวนท่ีอยู่หลังเส้นแบ่งมีค่าน้อยกว่าตัวหารเดิม
(813 < 998) เหลือเศษ 813

ดังนั้น 87,639 ÷ 998 = 87 เศษ 813
ตอบ 87 เศษ 813

14

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

ตวั อย่างที่ 2 จงหาผลหาร 483,973 ÷ 9,897
วิธีคิด

9897 ) 483973
0103

ข้ันที่ 1 ปรบั ปรงุ ตวั หารใหม่โดยใช้หลกั การทบสิบ ทบเก้า จะได้ 0103
9897 ) 483973
0103

ข้ันท่ี 2 จากตัวหารที่ปรับปรุงใหม่ คือ 0103 พิจารณาแบ่งตัวต้ัง
จากขวาไปซา้ ยเท่ากบั จ�ำ นวนหลกั ของตวั หาร แล้วลากเสน้ แบ่ง

9897 ) 483973
0103

ข้ันท่ี 3 นับบรรทัดลงมาให้เท่ากับจำ�นวนเลขโดดของตัวตั้งทางซ้าย
ของเส้นแบ่ง แล้วขีดเส้นใต้ (ทางซ้ายมือมีจำ�นวนเลขโดด 2 ตัว
นับลงมาสองบรรทดั แลว้ ขีดเสน้ ใต้)

15

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

9897 ) 483973
0103

4
ขัน้ ท่ี 4 ชกั เลขโดดตัวแรกของตัวตัง้ คือ 4 ด้านซ้ายมือลงมาใต้เส้น

9897 ) 483973

0103 0 4 0 12

4

ขั้นที่ 5 นำ�ตัวเลขโดดที่ชักลงมาไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณ
ไปใส่ในหลกั ถดั ไปใต้ตัวต้ัง คอื 0103 × 4
4 x 0 = 0 น�ำ 0 ใส่ใต้เลขโดด 8
4 x 1 = 4 น�ำ 4 ใสใ่ ตเ้ ลขโดด 3
4 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ตเ้ ลขโดด 9
4 x 3 = 12 นำ� 12 เขยี นเป็น 12 ใส่ใต้เลขโดด 7

16

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

9897 ) 483973

0103 0 4 0 12

48

ขน้ั ท่ี 6 บวกเลขโดดของตัวต้งั กับเลขโดดท่คี ูณไดล้ งมาไวใ้ ตเ้ สน้ คือ
8+0=8

9897 ) 483973

0103 0 4 0 12
0 8 0 24

48

ขั้นที่ 7 นำ�เลขโดดท่ีบวกได้ไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณไปใส่
ในหลักถัดไปใตต้ วั ต้งั คอื 0103 × 8
8 x 0 = 0 นำ� 0 ใสใ่ ตเ้ ลขโดด 3 และ 4
8 x 1 = 8 นำ� 8 ใส่ใตเ้ ลขโดด 9 และ 0
8 x 0 = 0 น�ำ 0 ใสใ่ ต้เลขโดด 7 และ 12
8 x 3 =24 น�ำ 24 เขยี นเปน็ 24 ใสใ่ ต้เลขโดด 3

17

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

9897 ) 483973

0103 0 4 0 12
0 8 0 24

4 8 7 17 19 27

ข้ันที่ 8 หาผลรวมทอี่ ยหู่ ลังเสน้ แบ่ง

9897 ) 483973

0103 0 4 0 12
0 8 0 24
8917
4 8 7 17 19 27

ข้นั ท่ี 9 ปรบั ผลบวกท่ีได้ คือ 7 17 19 27 ให้เป็น 8917

18

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

9897 ) 483973

0103 0 4 0 12
0 8 0 24

488917

ขั้นที่ 10 พจิ ารณาจำ�นวนเศษทไ่ี ดม้ คี า่ นอ้ ยกวา่ ตัวหารเดมิ
(8917 < 9897) เหลอื เศษ 8917

ดงั นัน้ 483,973 ÷ 9,897 = 48 เศษ 8,917
ตอบ 48 เศษ 8,917

19

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาผลหาร 712,435 ÷ 8,999
วิธีคิด

8999 ) 712435
1001

ข้ันที่ 1 ปรับปรุงตวั หารใหม่โดยใช้หลักการทบสิบ ทบเก้า จะได้ 1001
8999 ) 712435
1001

ข้ันที่ 2 จากตัวหารท่ีปรับปรุงใหม่ คือ 1001 พิจารณาแบ่งตัวต้ัง
จากขวาไปซา้ ยเท่ากับจำ�นวนหลกั ของตวั หาร แลว้ ลากเส้นแบ่ง

8999 ) 712435
1001

ข้ันที่ 3 นับบรรทัดลงมาให้เท่ากับจำ�นวนเลขโดดของตัวต้ังทางซ้าย
ของเส้นแบ่ง แล้วขีดเส้นใต้ (ทางซ้ายมือมีจำ�นวนเลขโดด 2 ตัว
นบั ลงมาสองบรรทัดแล้วขดี เสน้ ใต)้

20

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

8999 ) 712435
1001

7
ขน้ั ที่ 4 ชักเลขโดดตัวแรกของตวั ต้ัง คือ 7 ด้านซา้ ยมอื ลงมาใตเ้ สน้

8999 ) 712435

1001 7007

7

ขั้นท่ี 5 นำ�ตัวเลขโดดที่ชักลงมาไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณ
ไปใส่ในหลักถดั ไปใต้ตัวต้ัง

21

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

8999 ) 712435

1001 7007

78

ขั้นท่ี 6 บวกเลขโดดของตัวตัง้ กับเลขโดดท่คี ูณไดล้ งมาไว้ใตเ้ ส้น คอื
1+7=8

8999 ) 712435

1001 7007

8008

78

ข้ันท่ี 7 นำ�เลขโดดท่ีบวกได้ไปคูณกับตัวหารใหม่ แล้วนำ�ผลคูณไปใส่
ในหลักถดั ไปใต้ตวั ต้ัง

22

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

8999 ) 712435

1001 7007
8008

7 8 10 4 10 13

ขัน้ ท่ี 8 หาผลรวมที่อย่หู ลงั เส้นแบง่

8999 ) 712435

1001 7007

8008

7 8 10 4 10 13 10513

ขั้นที่ 9 ปรบั ผลบวกทีไ่ ด้ 10 4 10 13 เปน็ 10513
เมอ่ื พจิ ารณาแล้ว จ�ำ นวนท่เี หลือมีค่ามากกวา่ ตัวหารเดิม
(10513 > 8999) ต้องด�ำ เนนิ การหารตอ่

23

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

8999 ) 712435

1001 7007

8008

7 8 10 4 10 13

10513

ขนั้ ท่ี 10 นำ�จำ�นวน 10513 มาแบง่ ตวั ตั้งและขีดเสน้ ใต้ พจิ ารณาตาม
ข้นั ท่ี 2 และขั้นท่ี 3

24

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

8999 ) 712435

1001 7007

8008

7 8 10 4 10 13

10513
1001

1

ขั้นที่ 11 ชักเลขโดดตัวแรก คือ 1 ลงมาใต้เส้น แล้วนำ�ไปคูณกับ
ตัวหารใหม่ คอื 1001 × 1 น�ำ ผลคณู ไปใสใ่ นหลกั ถัดไป

25

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

8999 ) 712435

1001 7007

8008

7 8 10 4 10 13

10513
1001

11514

ขั้นที่ 12 หาผลรวมที่อยู่หลังเส้นแบ่งได้ 1514 พิจารณาจำ�นวนท่ีอยู่
หลังเส้นแบง่ มคี ่านอ้ ยกว่าตวั หารเดมิ (1514 < 8999) เหลอื เศษ 1514

26

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

8999 ) 712435

1001 7007

8008

7 8 10 4 10 13

10513
1001

11514

ขั้นท่ี 13 นำ�ผลจากการดำ�เนินการหารคร้ังที่ 1 รวมกับคร้ังที่ 2
ได้ 78 + 1 = 79

ดงั น้ัน 712,435 ÷ 8,999 = 79 เศษ 1,514
ตอบ 79 เศษ 1,514

27

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

1.3 การหารแบบนขิ ลิ มั โดยใชก้ ารแปลงตวั ตงั้ เปน็ จ�ำ นวน
วินคิวลัม

การหารแบบนขิ ลิ มั โดยใชก้ ารแปลงตวั ตงั้ เปน็ จ�ำ นวนวนิ ควิ ลมั
มีขั้นตอนดงั ตอ่ ไปน้ี
ขั้นท่ ี 1 สงั เกตเลขโดดของตวั ตง้ั ทมี่ ีคา่ มากกว่า 5
ขั้นที่ 2 ปรับตวั ตัง้ ให้เปน็ จ�ำ นวนวนิ คิวลมั
ขนั้ ท่ี 3 ปรบั ปรงุ ตวั หารใหมโ่ ดยใชห้ ลกั การทบสิบ ทบเกา้
ขน้ั ท ่ี 4 ด�ำ เนินการหารโดยใชก้ ารหารสงั เคราะห์

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาผลหาร 99,716,489 ÷ 97,899
วิธีคิด

99716489 ÷ 97899
99716489 = 100,324,511

ขนั้ ท่ี 1 พิจารณาตวั ต้งั มีเลขโดดทมี่ คี า่ มากกวา่ 5 หลายตวั แปลงเป็น
จำ�นวนวินคิวลมั

28

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

9 7 8 9 9 ) 1 0 03 24 51 1
02101

ขนั้ ที่ 2 ปรับปรุงตวั หารใหมโ่ ดยใชห้ ลกั การทบสบิ ทบเก้า ได้ 02101
9 7 8 9 9 ) 1 0 03 24 51 1
02101

ขั้นท่ี 3 จากตัวหารที่ปรับปรุงใหม่ คือ 02101 พิจารณาแบ่งตัวต้ัง
จากขวาไปซ้ายเท่ากบั จ�ำ นวนหลกั ตวั หาร แลว้ ลากเสน้ แบ่ง

9 7 8 9 9 ) 1 0 03 24 511
02101

ขั้นที่ 4 นับบรรทัดลงมาให้เท่ากับจำ�นวนเลขโดดของตัวตั้งทางซ้าย
ของเสน้ แบ่ง แลว้ ขีดเส้นใต้

29

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

9 7 8 9 9 ) 1 0 03 24 51 1

02101 02101

1

ขั้นที่ 5 ชักเลขโดดตัวแรกของตัวต้ัง คือ 1 ด้านซ้ายมือลงมาใต้เส้น
แลว้ นำ�ไปคณู กบั ตวั หารใหม่ น�ำ ผลคณู ไปใส่ในหลกั ถดั ไปใต้ตัวต้งั

9 7 8 9 9 ) 1 0 03 24 51 1

02101 02101

00000

10

ข้ันท่ี 6 บวกเลขโดดของตัวตั้งกับเลขโดดที่คูณได้ตัวแรกลงมาไว้
ใต้เส้น คือ 0 + 0 = 0 นำ� 0 ไปคูณกับตัวหารใหม่ นำ�ผลคูณไปใส่
ในหลักถัดไปใต้ตวั ตงั้

30

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

9 7 8 9 9 ) 1 0 03 24 51 1

02101 02101

00000

04202

102

ข้ันท่ี 7 บวกเลขโดดของตัวตั้งกับเลขโดดที่คูณได้ลงมาไว้ใต้เส้น คือ
0 + 2 + 0 = 2 นำ� 2 ไปคูณกับตัวหารใหม่ น�ำ ผลคณู ไปใสใ่ นหลัก
ถดั ไปใต้ตัวต้ัง

9 7 8 9 9 ) 1 0 03 24 51 1

02101 02101

00000

04202

04 2 02

1 0 22

ข้ันที่ 8 บวกเลขโดดของตัวต้ังกับเลขโดดที่คูณได้ลงมาไว้ใต้เส้น คือ
3 + 1 + 0 + 0 = 2 นำ� 2 ไปคูณกับตัวหารใหม่ นำ�ผลคูณไปใส่
ในหลกั ถดั ไปใต้ตัวตั้ง

31

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

97899 ) 100 3 24511

02101 02 1 01

0 0 000

0 4202

04202

1022 65313 55307

ข้ันท่ี 9 หาผลรวมท่ีอยู่หลังเส้นแบ่ง แล้วปรับผลบวกท่ีได้ คือ
65313 = 55307

97899 ) 100 3 24511

02101 02 1 01

0 0 000

0 4202

04202

1022 55307

ข้ันที่ 10 พิจารณาจำ�นวนท่ีอยู่หลังเส้นแบ่งมีค่าน้อยกว่าตัวหารเดิม
(55307 < 97899) เหลือเศษ 55307

32

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

ขั้นที่ 11 ปรบั ผลหาร คอื 1022 = 1018
เหลือเศษ คือ 55307
ผลลัพธ์ คือ 1018 เศษ 55307
ดังนน้ั 99,716,489 ÷ 97,899 = 1,018 เศษ 55,307
ตอบ 1,018 เศษ 55,307

33

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

แบบฝึกหดั
เรอ่ื ง การด�ำ เนนิ การหารโดยวธิ นี ขิ ลิ มั (Nikhilam Method)

จงหาผลหารตอ่ ไปน้ี
1) 7,743 ÷ 87 = 
วิธีคดิ

ตอบ
2) 5,726 ÷ 97 = 
วธิ ีคดิ

ตอบ

34

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

3) 87,639 ÷ 878 = 
วิธีคดิ

ตอบ

4) 97,632 ÷ 899 = 
วิธีคิด

ตอบ

5) 89,742 ÷ 989 = 
วิธคี ิด

ตอบ

35

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

6) 29,365 ÷ 998 = 
วธิ คี ิด

ตอบ
7) 27,664 ÷ 988 = 
วธิ คี ิด

ตอบ
8) 483,973 ÷ 9,897 = 
วธิ คี ดิ

ตอบ

36

คิดเลขเรว็ แบบเวทคณิต

การหาร

9) 357,862 ÷ 9,999 = 
วธิ ีคิด

ตอบ

10) 4,973,218 ÷ 9,988 = 
วธิ ีคดิ

ตอบ

37

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

เฉลยแบบฝึกหดั
เรอ่ื ง การด�ำ เนนิ การหารโดยวธิ นี ขิ ลิ มั (Nikhilam Method)

จงหาผลหารต่อไปนี้

1) 7,743 ÷ 87 = 
วธิ ีคิด

87)77 43

1 3 7 21
14 42

7 14 39 45
39 45 = 435 > 87

4 35

4 12

4 7 17
7 17 = 87 113

1 13

13

1 00
7 14 + 4 + 1 = 89 เศษ 0

ดังนน้ั 7,743 ÷ 87 = 89
ตอบ 89

38

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

2) 5,726 ÷ 97 = 
วิธคี ดิ

97)57 26

0 3 0 15
0 21

5 7 17 27
17 27 = 197 > 97

1 97

03

1 9 10
9 10 = 100 > 97

1 00

03

03 < 97 1 03

57 + 1 + 1 = 59

ดังน้นั 5,726 ÷ 97 = 59 เศษ 3
ตอบ 59 เศษ 3

39

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

การหาร

3) 87,639 ÷ 878 = 

วิธีคิด

878)87 639

122 8 16 16

15 30 30

8 15 37 49 39
37 49 39 = 4229 > 878
4 229

488

4 6 10 17
6 10 17 = 717 < 878

8 15 + 4 = 99

ดงั นั้น 87,639 ÷ 878 = 99 เศษ 717
ตอบ 99 เศษ 717

40