เล่มที่-4-การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

เร่อื ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

รายวิชาคณติ ศาสตร์ 6 (ค 23102)

สาหรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3

จัดทาโดย

นางเจนจิรา บุญรกั ษ์
ตาแหน่ง ครู

โรงเรยี นบางดีวทิ ยาคม อาเภอหว้ ยยอด จังหวัดตรัง
สานกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษามัธยมศกึ ษาตรงั กระบ่ี

เล่มท่ี
4

คำนำ

แบบฝึกทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้น รายวิชาคณิตศาสตร์6 รหัสวิชา ค23102 สาหรับนักเรียน
ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 3 จัดทาขึ้นเพื่อพัฒนาการจัดกระบวนการเรียนรู้และยกระดับผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของ
นักเรียนให้สูงขึ้น โดยผู้จัดทาได้จัดกระบวนการเรียนรู้ให้แก่นักเรียนได้เผชิญกิจกรรมอย่างหลากหลายทั้ง
ทักษะด้านความรู้ กระบวนการ และการปลูกฝังคุณธรรมจริยธรรมตามหลักปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง
ตลอดจนมเี จตคตทิ ดี่ ตี อ่ คณติ ศาสตร์และค่านิยมอันพงึ ประสงค์

แบบฝึกทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้น รายวิชาคณิตศาสตร์6 รหัสวิชา ค23102 สาหรับนักเรียน
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 จัดทาขึ้นครอบคลุมมาตรฐาน ตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 และหลักสูตรสถานศึกษาโรงเรียนบางดีวิทยาคม ซ่ึง
ประกอบด้วยแบบฝึกทักษะ เร่ือง ระบบสมการเชิงเส้น รายวิชาคณิตศาสตร์6 รหัสวิชา ค23102 สาหรับ
นกั เรยี นช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 3 ท้ังหมด 4 เล่ม

แบบฝึกทักษะน้ี เป็นเล่มท่ี 4 กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร ผู้จัดทาได้เรียบเรียงแบบฝึก
ทักษะดังกล่าวอย่างเป็นระบบสอดคล้องกับแผนการจัดการเรียนรู้ เพ่ือให้มีความสอดคล้องกับความรู้
ความสามารถ ความสนใจ ตามศักยภาพและความแตกต่างระหว่างบุคคลที่เอ้ือต่อการเรียนรู้อย่างมี
ประสิทธิภาพ โดยผ่านขั้นตอนการสร้างและทดลองใช้เพ่ือหาประสิทธิภาพของแบบฝึกทักษะ จนได้ส่ือที่มี
ประสทิ ธภิ าพสามารถนาไปพัฒนาผ้เู รยี นได้

ผู้จัดทาขอขอบพระคุณทุกฝ่ายท่ีเก่ียวข้องในความสาเร็จของการพัฒนาแบบฝึกทักษะ เรื่อง ระบบ
สมการเชิงเส้น รายวิชาคณิตศาสตร์6 รหัสวิชา ค23102 สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ในคร้ังนี้ หาก
เกดิ ข้อผิดพลาดประการใด ผจู้ ัดทายินดนี ้อมรับแก้ไขเพื่อประโยชนต์ อ่ การพฒั นาศักยภาพเยาวชนไทยต่อไป

เจนจิรา บุญรักษ์

ก

เล่มที่
4

สำรบญั

หนำ้

คานา......................................................................................................................... ................. ก
สารบญั .............................................................................................................................................. ข
คาชี้แจงการใช้แบบฝึกทักษะ......................................................................................... ................... 1
คาช้ีแจงสาหรบั ครูผสู้ อน................................................................................................................... 2
คาชี้แจงสาหรับนกั เรียน.................................................................................................................... 3
มาตรฐานและตัวชีว้ ัด........................................................................................................................ 4
จดุ ประสงค์การเรยี นร้.ู ...................................................................................................................... 4
แบบทดสอบกอ่ นเรียน...................................................................................................................... 5
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรยี น............................................................................................. 7
แบบฝึกทกั ษะทบทวน สมบัติการเท่ากันของการบวกและการคณู ……………………………………………. 8
ใบความรู้ที่ 4.1 การจดั รปู สมการเชงิ เส้นสองตวั แปรเพอ่ื หาค่าyในรปู ของxและหาคา่ yในรปู ของ x 9
แบบฝึกทกั ษะท่ี 4.1 จัดรปู สมการเชิงเสน้ สองตัวแปรเพือ่ หาค่าyในรูปของxและหาค่าyในรูปของ x 11
แบบฝกึ ทกั ษะทบทวน การจัดตวั แปร y ในรปู ตัวแปร x และจัดตัวแปร x ในรปู ตวั แปร y…………… 17
ใบความรทู้ ่ี 4.2 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรด้วยวิธีการแทนค่า...................................... 18
แบบฝึกทักษะที่ 4.2 การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรด้วยวิธีการแทนคา่ ............................. 23
แบบฝึกทักษะทบทวน การใช้สมบัตกิ ารเท่ากนั ของการบวกและการคณู …………………………………… 32
ใบความรู้ท่ี 4.3 การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรด้วยวธิ ีการกาจัดตัวแปร............................. 33
แบบฝึกทักษะท่ี 4.3 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรด้วยวธิ กี ารกาจดั ตัวแปร………............. 36
แบบฝึกทกั ษะทบทวน วิธกี ารแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร…………………………………………….. 45
ใบความรทู้ ่ี 4.4 การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร................................................................... 46
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4.4 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร........................................................... 48
แบบทดสอบหลังเรยี น....................................................................................................................... 54
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน............................................................................................. 56
บรรณานกุ รม.................................................................................................................................... 57
ภาคผนวก...................................................................................................................... ................... 58
59
เฉลยแบบทดสอบก่อน-หลังเรยี น.........................................................................................

ข

เล่มท่ี
4

สำรบญั (ต่อ)

หนา้

เฉลยแบบฝกึ หดั ทบทวน สมบัตกิ ารเท่ากันของการบวกและการคณู ……………………………… 60
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 4.1 จดั รปู สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรเพื่อหาคา่ y ในรูปของ x
61
และหา คา่ yในรปู ของ x …………………………………………………..
เฉลยแบบฝึกทักษะทบทวน การจดั ตวั แปร y ในรูปตวั แปร x และจัดตัวแปร x ในรปู 67
77
ตวั แปร y…………………………………………………………………………. 78
เฉลยแบบฝึกทักษะทบทวน การใชส้ มบัตกิ ารเท่ากนั ของการบวกและการคูณ………………… 87
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 4.3 การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรดว้ ยวิธกี ารกาจัดตวั แปร 88
เฉลยแบบฝึกทักษะทบทวน วิธีการแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร………………………….. 95
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 4.4 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร.......................................
แบบบันทึกคะแนน เล่มท่ี 4 เรอื่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร..........................

ค

เล่มท่ี
4

คำชี้แจงกำรใชแ้ บบฝึกทักษะ

1. แบบฝกึ ทกั ษะ เรอ่ื ง ระบบสมการเชงิ เส้น รายวิชาคณิตศาสตร์6 รหสั วชิ า ค23102 สาหรับนักเรียน
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 ประกอบด้วยแบบฝึกทกั ษะ 4 เล่ม ดังนี้

เลม่ ที่ 1 เรื่อง สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
เลม่ ที่ 2 เร่ือง ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
เลม่ ที่ 3 เร่ือง กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
เล่มที่ 4 เร่อื ง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
2. แบบฝึกทักษะเล่มน้ี เป็นเล่มที่ 4 เรื่อง กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร ใช้ประกอบ
แผนการจดั การเรียนรู้ รายวชิ าคณติ ศาสตร์6 รหสั วิชา ค23102 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 3 ใชเ้ วลา 4 ช่ัวโมง
3. ส่วนประกอบของแบบฝึกทักษะ ประกอบด้วย คาช้ีแจง คาช้ีแจงสาหรับครูผู้สอน คาชี้แจงสาหรับ
นักเรียน มาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัด จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน กระดาษคาตอบ
แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน กระดาษคาตอบหลังเรียน และเฉลย
แบบฝกึ ทักษะทั้งหมด
4. ผู้ใช้แบบฝึกเล่มน้ี ควรศึกษาแผนการจัดการเรียนรู้และคาช้ีแจงในการใช้แบบฝึกทักษะก่อนใช้และ
ปฏิบัติตาม ขน้ั ตอนการจัดการเรียนรูแ้ บบ 5 ขนั้ ตอน (5 STEPs) ดงั น้ี
ขั้นท่ี 1 การเรียนรตู้ ั้งคาถาม (Learn to Question)
ขั้นท่ี 2 การเรียนรแู้ สวงหาสารสนเทศ (Learn to Search)
ขนั้ ที่ 3 การเรยี นรู้เพื่อสร้างความรู้ (Learn to Construct)
ขนั้ ท่ี 4 การเรยี นรู้เพอ่ื สื่อสาร (Learn to Communicate)
ขั้นที่ 5 การเรยี นรเู้ พ่ือตอบแทนสังคม (Learn to Serve)
5. แบบฝกึ ทกั ษะนีน้ ้ีไดเ้ รยี บเรียงขึ้นอยา่ งเป็นระบบทาให้ผู้เรยี นสามารถนาไปศึกษาได้ดว้ ยตนเองหรือ
ครูใช้ประกอบการสอนร่วมกับแผนการจัดการเรียนรู้แบบ 5 ขั้นตอน (5 STEPs) ย่ิงทาให้แบบฝึกทักษะนี้มี
ประสทิ ธิภาพเกิดประสทิ ธผิ ลในการพฒั นาผู้เรยี นเปน็ อย่างดี

1

เล่มท่ี
4

คำชแี้ จงสำหรบั ครูผู้สอน

แบบฝึกทักษะ เร่ือง ระบบสมการเชิงเส้น รายวิชาคณิตศาสตร์6 รหัสวิชา ค23102 สาหรับนักเรียน
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่มที่ 4 เร่ือง กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร เพ่ือช่วยให้การจัดกิจกรรมการ
เรยี นรูม้ ีประสิทธภิ าพ ครูผสู้ อนควรดาเนนิ การ ดงั น้ี

1. ข้ันเตรียมกำรจัดกระบวนกำรเรียนรู้
1.1 ศึกษารายละเอียดคาชี้แจงในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะ ใหเ้ ข้าใจ
1.2 ศึกษามาตรฐานการเรียนรู้ ตัวช้ีวัด จุดประสงค์การเรียนรู้ และข้ันตอนต่างๆ ในแผนการ

จัดการเรียนร้ใู ห้เขา้ ใจชัดเจน
1.3 เตรียมสื่ออุปกรณ์สาหรับการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้พร้อมและครบจานวนนักเรียนใน

ช้นั เรียนแตล่ ะกลมุ่
1.4 แบ่งกลุ่มโดยใช้ผลจากการวิเคราะห์ผู้เรียนเป็นรายบุคคล กลุ่มละ 5 – 6 คน ให้มีการแบ่ง

หนา้ ท่คี วามรับผดิ ชอบในกลมุ่
2. ข้ันกำรจดั กระบวนกำรเรียนรู้
ครผู สู้ อนดาเนินการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ ตามกระบวนการเรียนรู้แบบ 5 ขั้นตอน (5 STEPs) ดงั น้ี
ขนั้ ท่ี 1 การเรยี นรู้ตั้งคาถาม (Learn to Question) เปน็ การกระตุน้ ใหน้ ักเรยี นมคี วามสนใจโดยใช้

คาถาม
ขั้นที่ 2 การเรยี นรแู้ สวงหาสารสนเทศ (Learn to Search) เปน็ การคน้ หาขอ้ มลู จากแหล่งเรียนรู้ที่

หลากหลาย แลว้ นามาสรุปเปน็ สารสนเทศ
ขั้นที่ 3 การเรียนรู้เพ่ือสร้างความรู้ (Learn to Construct) เป็นการนาความรู้ท่ีแสวงหามาใช้ใน

กิจกรรมต่าง ๆ เชน่ กระบวนการกลมุ่ และการทาแบบฝกึ เสริมทกั ษะการเรยี นรู้
ข้นั ที่ 4 การเรยี นร้เู พือ่ ส่อื สาร (Learn to Communicate) เปน็ การนาเสนอขอ้ มลู เพ่ือแลกเปลี่ยน

เรยี นร้ทู งั้ ภายในกลมุ่ และภายในช้นั เรียน
ขั้นท่ี 5 การเรียนรู้เพ่ือตอบแทนสังคม (Learn to Serve) เป็นการนาความรู้ท่ีได้รับขยายจาก

ตนเองเพอ่ื ประโยชนต์ ่อคนรอบข้าง ชมุ ชน สงั คม หรอื ระดับประเทศ
3. ข้ันหลงั กำรจดั กระบวนกำรเรียนรู้
นักเรียนวเิ คราะหต์ นเองว่าควรจะทบทวนบทเรยี นเพมิ่ เตมิ หรอื ศึกษาแบบฝึกเล่มต่อไป

2

เล่มท่ี
4

คำชแี้ จงสำหรบั นักเรียน

แบบฝึกทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้น รายวิชาคณิตศาสตร์6 รหัสวิชา ค23102 สาหรับนักเรียน
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 3 เล่มที่ 4 เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เพ่ือช่วยให้การจัดกิจกรรมการ
เรียนร้มู ีประสทิ ธภิ าพ นกั เรียนสามารถปฏบิ ตั ิตามลาดบั ขัน้ ตอนตามคาแนะนาอยา่ งละเอียดและถูกตอ้ ง ดงั นี้

1. อา่ นและทาความเขา้ ใจ คาชแี้ จงแบบฝึกทักษะ ใหช้ ัดเจน
2. ศกึ ษามาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ และสาระการเรียนรู้
3. นักเรียนทาแบบฝกึ ทกั ษะและปฏบิ ัตติ ามคาแนะนา มีความรบั ผดิ ชอบ ทางานเป็นกลุ่ม โดยมี
ครูผู้สอนใหค้ วามช่วยเหลือ
4. ตรวจสอบคาตอบท้ังแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียนจากเฉลย พร้อมบันทึกคะแนนท่ีได้
เพื่อเปรียบเทียบกับเกณฑ์ ซึ่งนักเรียนต้องทาแบบทดสอบหลังเรียนให้ถูกต้องตั้งแต่ 7 ข้อข้ึนไป จึงจะผ่าน
เกณฑ์ ถ้านักเรียนไม่ผ่านเกณฑ์ตามที่กาหนด ให้นักเรียนนาเอกสารไปทบทวนเนื้อหาด้วยตนเองและทา
แบบทดสอบใหม่อีกครง้ั
5. สรปุ ผลการเรยี นรู้ ประเมนิ ปรับปรงุ และพัฒนาตนเอง

3

เล่มที่
4

มำตรฐำนและตัวชว้ี ัด

สำระท่ี 1 จำนวนและพชี คณิต
มำตรฐำน ค 1.3 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธบิ ายความสมั พนั ธ์ หรือชว่ ยแก้ปัญหาที่
กาหนดให้
ตัวชี้วัด
ตวั ชี้วัด ค 1.3 ม.3/3 ประยกุ ต์ใชร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์

จุดประสงคก์ ำรเรยี นรู้

นกั เรียนสำมำรถ
1. จดั รูสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เพอ่ื หาคา่ x ในรปู ของ y และหาคา่ y ในรปู ของ x
2. แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ด้วยวธิ ีการแทนคา่ ตัวแปรได้
3. แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ดว้ ยวธิ กี ารกาจัดตวั แปรได้
4. แก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรได้

เป้ำหมำย
มไี ว้ให้พุง่ ชน

4

เล่มท่ี
4

แบบทดสอบก่อนเรียน

เรือ่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เวลา 20 นาที 10 คะแนน
รายวชิ าคณิตศาสตร์6 รหัสวชิ า ค231022 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 3

คำช้ีแจง ใหน้ ักเรยี นเลือกกาเครอื่ งหมาย x ขอ้ ทถ่ี ูกต้องที่สดุ เพียงคาตอบเดยี ว

1. คาตอบของระบบสมการ 3x – 4y = –1 และ 2x – 5y = 4 คอื ข้อใด

ก. (3, 2) ข. (–3, 2)

ค. (–3, –2) ง. (3, –2)

2. จุดตดั ของกราฟของระบบสมการ 3x – y + 5 = 0 และ 4x + 3y – 2 = 0 คือขอ้ ใด

ก. (–1, –2) ข. (1, –2)

ค. (1, 2) ง. (–1, 2)

3. คาตอบของระบบสมการ 21x – 4y = 2 และ 35x + 3y = 100 คอื ข้อใด

ก. (2, 9) ข. (2, 10)

ค. (10, 2) ง. (10, 3)

4. คาตอบของระบบสมการ x + 2y = 7 และ 2x – y = 4 คอื ข้อใด

ก. (3, 2) ข. (–3, –2)

ค. (–3, 2) ง. (3, –2)

5. (–1, 2) เป็นคาตอบของระบบสมการในข้อใด

ก. 3x + 4y – 8 = 0 และ 3x – 4y + 8 = 0

ข. 2x + y – 5 = 0 และ 0.5x = 1.25 – 0.25y

ค. 3x + 2y = 1 และ 2x – 3y + 8 = 0

ง. x – 2y = 7 และ 2x – 4y = 5

5

เล่มท่ี
4

6. (3, –7) เป็นจุดตดั ของกราฟที่เกิดจากระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรในข้อใด

ก. 5x – 3y = – 20 และ –3x + 6y = 12

ข. 2x + 3y = –15 และ 5x + 2y = 1

ค. 3x – 15y = 0 และ 6x + 10y = 0

ง. 2x – 8y = 0 และ 4x + 5y = 0

7. (4, 1) เปน็ คาตอบของระบบสมการในขอ้ ใด

ก. x + 2y = 1 และ x – 2y = 5

ข. x + y = 5 และ x – y = 0

ค. x + y = 5 และ y – x = 3

ง. x + y = 5 และ x – y = 3

8. (–3, –5) ไม่เป็นคำตอบ ของระบบสมการในข้อใด

ก. 4x – 3y = 3 และ x – y = 2

ข. 8x – 6y = 6 และ 2x – 2y = 4

ค. x – y = 2 และ 2x – 2y = 4

ง. 3x – y = 7 และ 4x – 3y = 11

9. ระบบสมการในข้อใด ไม่มีคำตอบ

ก. x + y = 5 และ x – y = 5

ข. y = x + 5 และ x – y = 5

ค. 2x – y = 5 และ 4x – 2y = 10

ง. 2x – y = 5 และ 2x + y = 5

10. ถา้ (1, –2) เป็นคาตอบของระบบสมการ x + ay = 3 และ bx – y = 4 จงหาค่า a2 + b2

ก. 1 ข. 3
ค. 5 ง. 7

6

เล่มท่ี
4

กระดำษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียน

ใหน้ ักเรยี นเลอื กข้อที่ถูกต้องที่สุดเพยี งคาตอบเดยี ว แลว้ ทาเครือ่ งหมาย (x) ลงในกระดาษคาตอบ

กระดาษคาตอบ

ทดสอบกอ่ นเรียน

ขอ้ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

รวมคะแนน

7

เล่มที่
4

ขั้นท่ี 1 แบบฝกึ ทกั ษะทบทวน
การเรยี นรู้ตั้งคาถาม สมบตั ิการเทา่ กันของการบวกและการคณู

คำชี้แจง จงใสเ่ คร่ืองหมาย ประโยคในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนโ้ี ดยใช้สมบตั กิ ารเทา่ กนั ของการบวกและการคูณ

ข้อ ประโยค สมบัตกิ ำรบวก สมบตั ิกำรคณู

1. ถา้ x = y แลว้ x+3 = y+3
2. ถ้า x – 8 = 13 แลว้ x – 8+8 = 13+8
3. ถ้า 5x = 10 แลว้ x = 2
4. ถ้า m = 2n แล้ว m-5 = 2n-5
5. ถ้า a = b แล้ว 4a = 4b
6. ถ้า 2x = 4y แล้ว x = 2y
7. ถ้า a – 5 = 6 แล้ว a = 11
8. ถ้า 4p+6 = 9 แลว้ 4p=3
9. ถ้า x = y แล้ว 3x = 3 y
10. ถ้า x = a+1 แล้ว = +1

33

8

เล่มท่ี
4

ขั้นที่ 2 การเรียนรู้ ใบควำมรทู้ ี่ 4.1
แสวงหาสารสนเทศ

กำรจัดรูปสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปรเพื่อหำค่ำx ในรูปของy และหำค่ำyในรปู ของx

กำรจดั สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรเพ่ือหำคำ่ x ในรปู ของ y และหำค่ำ yในรูปของ x

โดยใช้สมบตั ิกำรบวก และสมบตั ิกำรคูณ ดงั นี้
1. สมบัตกิ ำรบวก
ถา้ a, b, c และ d เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ
โดยที่ a = b และ c = d แล้ว a + b = b + d
2. สมบตั กิ ำรคูณ
ถ้า a, b และ k เปน็ จานวนจริงใด ๆ โดยท่ี a = b แลว้ ak = bk

จำกสมกำร Ax + By + C = 0 เมอื่ A ≠ 0 , B ≠ 0

จัดสมกำรใหม่เพอ่ื หำคำ่ x ในรปู ของ y จัดสมกำรใหมเ่ พื่อหำคำ่ y ในรูปของ x
จาก Ax + By + C = 0 จาก Ax + By + C = 0
นา (-c) บวกทัง้ สองข้างของสมการ นา (-c) บวกทง้ั สองข้างของสมการ
จะได้ Ax + By + C +(-C)= 0 + (-C) จะได้ Ax + By + C +(-C)= 0 + (-C)

Ax + By = -C Ax + By = -C
นา (-By) บวกท้ังสองขา้ งของสมการ นา (-Ax) บวกท้ังสองขา้ งของสมการ
จะได้ Ax + By+(-By) = -C+(-By) จะได้ Ax + By+(-Ax) = -C+(-Ax)

Ax = -C - By By = -C - Ax
นา 1 คณู ทัง้ สองข้างของสมการ นา 1 คูณทั้งสองข้างของสมการ

A B

จะได้ (1 ) Ax = ( 1 ) ( -C – By) จะได้ (1 ) Ax = ( 1 ) ( -C – Ax)

AA BB

ดังนนั้ x = − − ดังนัน้ y = − −


9

เล่มที่
4

ตวั อยำ่ ง ให้นกั เรียนจัดรปู สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้ เพื่อหาคา่ x
ในรปู ตวั แปร y หรือหาค่า y ในรปู ตวั แปร x โดยใช้สมบตั กิ ารเท่ากัน

1. x + y = 5

หำค่ำของ x ในรปู ของ y หำคำ่ ของ y ในรูปของ x
จากสมการ x + y = 5 จากสมการ x + y = 5
นา (-y) บวกท้งั สองข้างของสมการ นา (-x) บวกทง้ั สองข้างของสมการ
จะได้ x+y+(-y) = 5+(– y) จะได้ x+y+(-x) = 5+(-x)
ดังนนั้ x = 5 - y ดังนน้ั y = 5-x

2. 3x – y = 7

หำคำ่ ของ x ในรูปของ y หำคำ่ ของ y ในรปู ของ x
จากสมการ 3x – y = 7
จากสมการ 3x – y = 7 นา (-3x) บวกทง้ั สองข้างของสมการ
จะได้ 3x – y+(-3x) = 7+(-3x)
นา y บวกทั้งสองข้างของสมการ
-y = 7 – 3x
จะได้ 3x – y+y = 7 + y นา (-1) คูณทง้ั สองข้างของสมการ
จะได้ (-1)(-y) = (-1)(7-3x)
3x = 7 + y ดังนัน้ y = -7 + 3x
หรอื y = 3x – 7
นา 1 คูณทั้งสองขา้ งของสมการ

3

จะได้ 3x = 7 + y

( 1 ) 3x = ( 1 ) (7+ y)
33

ดังน้นั x = +

10

เล่มท่ี
4

ขั้นท่ี 2 การเรียนรู้ แบบฝกึ ทักษะท่ี 4.1
แสวงหาสารสนเทศ
ได้ จัดรปู สมการเชิงเส้นสองตัวแปรเพอ่ื หาคา่ xในรปู ของ y และหาคา่ yในรปู ของ x

ช่อื ......................................................ช้ัน.........เลขท.่ี ..........

จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้

นักเรียนสามารถ
จัดรูปสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร เพ่ือหาค่า x ในรปู ของ y และหาค่า y ในรปู ของ x ได้

ตอนท่ี 1 คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนจดั รูปสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เพ่ือหาค่า x ในรปู ของ y และหาค่า
y ในรปู ของ x

1. 2x + y = 5 หำค่ำของ y ในรปู ของ x
วธิ ที า………………………………………..
หำค่ำของ x ในรปู ของ y ………………………………………………..
วิธที า……………………………………….. ………………………………………………..
……………………………………………….. ดงั น้นั y = ……………………………….
………………………………………………..
ดังนั้น x = ……………………………….

2. 2y – x = 4 หำคำ่ ของ yในรปู ของ x
วิธที า………………………………………..
หำคำ่ ของ xในรูปของ y ………………………………………………..
วิธที า……………………………………….. ………………………………………………..
……………………………………………….. ดังนน้ั y = ……………………………….
………………………………………………..
ดังน้นั x = ……………………………….

11

เล่มท่ี
4

3. 2x + 3y = 8 หำค่ำของ yในรูปของ x
วิธที า………………………………………..
หำคำ่ ของ xในรปู ของ y ………………………………………………..
วธิ ที า……………………………………….. ………………………………………………..
……………………………………………….. ดังน้ัน y = ……………………………..…….
………………………………………………..
ดังนน้ั x = ………………………………….

4. x – 2y -6 = 0 หำคำ่ ของ yในรปู ของ x
วิธีทา………………………………………..
หำคำ่ ของ xในรูปของ y ………………………………………………..
วิธีทา……………………………………….. ………………………………………………..
……………………………………………….. ดงั นัน้ y = ……………………………..…….
………………………………………………..
ดงั นั้น x = ………………………………….

5. 2x + 3y = 0 หำค่ำของ yในรูปของ x
วิธีทา………………………………………..
หำค่ำของ xในรปู ของ y ………………………………………………..
วธิ ีทา……………………………………….. ………………………………………………..
……………………………………………….. ดังนนั้ y = ……………………………..…….
………………………………………………..
ดังนน้ั x = ………………………………….

12

เล่มท่ี
4

เกณฑ์การให้คะแนน แบบฝกึ ทกั ษะที่ 4.1 ตอนที่ 1
(ขอ้ ละ 2 คะแนน จานวน 5 ข้อ)

คะแนนทใ่ี ห้ ตัวชว้ี ดั ในกำรให้คะแนน
2 หาค่า x และ y ไดถ้ กู ต้อง และ ครบถว้ น
1 หาค่า x หรอื y ไดอ้ ยา่ งน้อย 1 ค่า
0 หาคา่ x หรือ y ไดไ้ ม่ถกู ต้อง

13

เล่มท่ี
4

ขนั้ ที่ 3 การเรียนรู้
เพื่อสร้ างความร้ ู
ตอนท่ี 2 คาช้ีแจง ใหน้ ักเรียนเขยี นสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรกลุ่มละ 2 สมการ และจดั รูปสมการเชิงเส้น
สองตัวแปร เพื่อหาคา่ x ในรูปของ y และหาคา่ y ในรูปของ x

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

14

เล่มท่ี
4

ข้ันท่ี 4 การเรยี นรู้
เพอื่ สื่อสาร

ตอนท่ี 3 คาช้แี จง นักเรียนสรุปองค์ความรูเ้ ก่ียวกับจัดรูปสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรเพ่ือหาค่า xในรูปของ y
และหาคา่ yในรูปของ x

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

15

เล่มท่ี
4

ข้นั ที่ 5 การเรยี นรู้
เพ่อื ตอบแทนสังคม

คาช้ีแจง ให้นกั เรียนนาแบบฝึกทกั ษะจากตอนที่ 2

และตอนที่ 3 ไปเผยแพร่ในสอ่ื สงั คมออนไลน์ของ
ตนเอง เชน่ facebook ,Line

16

เล่มท่ี
4

ขน้ั ที่ 1 แบบฝกึ ทักษะทบทวน
การเรียนรตู้ ้ังคาถาม กำรจัดตวั แปร y ในรปู ตวั แปร x และจดั ตัวแปร x ในรปู ตัวแปร y

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรียนเติมคาตอบลงในชอ่ งว่างให้ถูกตอ้ ง

สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร จัด y ในรปู x จัด x ในรูป y
1.x+2y = 3
2.3x+y = -11
3.x-3y = 1
4.y-4x = -1
5.2x-y = 7

17

เล่มท่ี
4

ข้นั ท่ี 2 การเรียนรู้ ใบควำมร้ทู ี่ 4.2

แสวงหาสารสนเทศ กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ สองตัวแปรดว้ ยวิธีกำรแทนคำ่

แกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ สองตัวแปรดว้ ยวธิ กี ำรแทนค่ำ

แกร้ ะบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรดว้ ยวิธกี ำรแทนคำ่ ซ่งึ มีวธิ กี ำรดงั นี้
ขั้นท่ี 1 แก้สมกำรโดยให้ตวั แปรตัวหน่งึ อยู่ในรปู ตวั แปรอีกตัวหนงึ่ (ถ้ำเปน็ ไปได้
ไม่ควรทำในรปู เศษสว่ น)

ขัน้ ท่ี 2 แทนค่ำตวั แปรท่ีได้จำกขัน้ ท่ี 1 ในสมกำรอีกสมกำรหนง่ึ ทำใหเ้ หลือตัว
แปรเพียงตวั เดียว

ขั้นท่ี 3 แกส้ มกำรทไ่ี ด้จำกขั้นท่ี 2

ขน้ั ท่ี 4 แทนค่ำคำตอบท่ีได้จำกขัน้ ท่ี3 ลงในข้นั ที่1 ก็จะได้คำตอบทง้ั หมดของ
ระบบสมกำร

ขัน้ ที่ 5 ตรวจสอบคำตอบ

18

เล่มท่ี
4

ตวั อยำ่ งที่ 1 จงแกร้ ะบบสมการ 3x + 5y = 26 และ y = 2x

วธิ ที ำ กาหนด 3x + 5y = 26 ………………… 1
2
y = 2x …………………

จากสมการท่ี 1 แทนค่าของ y ด้วย 2x หาคา่ x และ y
ได้แล้ว ก็อยา่ ลืม
3x + 5y = 26 ตรวจคาตอบด้วยนะคะ

จะได้ 3x + 5(2x) = 26

3x + 10x = 26

13x = 26

x = 26
13

x=2

แทนค่า x ดว้ ย 2 ในสมการ 2

จะได้ y = 2x

y = 2(2)

y=4

ตรวจคำตอบ โดยแทนคา่ x = 2 และ y = 4 ลงในสมการท้งั สองจะได้

3x + 5y = 26 y = 2x

3(2) + 5(4) = 26 4 = 2(2)

6 + 20 = 26 4 = 4 เปน็ จริง

26 = 26 เปน็ จรงิ

ดังนัน้ คำตอบของระบบสมกำรนค้ี ือ (2, 4)

19

เล่มท่ี
4

ตัวอยำ่ งท่ี 2 จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 16 และ y = x + 2

วิธีทำ กาหนด x + y = 16 ………………… 1
2
y = x + 2 …………………

จากสมการที่ 1 แทนคา่ ของ y ดว้ ย x + 2 หาค่า x และ y
ไดแ้ ลว้ ก็อย่าลืม
x + y = 16 ตรวจคาตอบดว้ ยนะคะ

จะได้ x + (x + 2) = 16

2x + 2 = 16

2x = 16 – 2

x = 14
2

x=7

แทนค่า x ดว้ ย 7 ในสมการ 2

จะได้ y = x + 2

y=7+2

y=9

ตรวจคำตอบ โดยแทนคา่ x = 7 และ y = 9 ลงในสมการทงั้ สองจะได้

x + y = 16 y=x+2
7 + 9 = 16 9=7+2
9 = 9 เปน็ จรงิ
16 = 16 เป็นจริง

ดังน้ัน คำตอบของระบบสมกำรน้คี ือ (7, 9)

20

เลม่ ท่ี
4

ตัวอย่ำงท่ี 3 จงแกร้ ะบบสมการ 2x + y = 6 และ 3x + 4y = 4

วธิ ีทำ กาหนด 2x + y = 6 ………………… 1
………………… 2
3x + 4y = 4
จากสมการท่ี 1 หาคา่ ของ y

จะได้ y = 6 – 2x ………………… 3

จากสมการท่ี 2 แทนคา่ ของ y ดว้ ย 6 – 2x 1
จะได้ 3x + 4y = 4
หาค่า x และ y
3x + 4(6 – 2x) = 4 ไดแ้ ล้ว ก็อยา่ ลืม
3x + 24 – 8x = 4 ตรวจคาตอบด้วยนะคะ

– 5x = 4 – 24

– 5x = – 2––020
x= 5

x=4

แทนคา่ x ด้วย 4 ในสมการ 3

จะได้ y = 6 – 2x

y = 6 – 2(4)

y=6–8

y=–2

ตรวจคำตอบ โดยแทนคา่ x = 4 และ y = – 2 ลงในสมการทั้งสอง

จะได้ 2x + y = 6 3x + 4y = 4

2(4) + (– 2) = 6 3(4) + 4(–2) = 4

8–2 =6 12 + (–8) = 4

6 = 6 เปน็ จรงิ 4 = 4 เป็นจรงิ

ดังน้ัน คำตอบของระบบสมกำรนคี้ ือ (4, –2)

21

เล่มท่ี
4

ตวั อยำ่ งท่ี 4 จงแก้ระบบสมการ x – 2y = 9 และ 4x – 3y = 6

วิธที ำ กาหนด x – 2y = 9 ………………… 1
4x – 3y = 6 ………………… 2
จากสมการที่ 1 หาคา่ ของ x
x = 9 + 2y ………………… 3
จะได้ 1

จากสมการที่ 2 แทนคา่ ของ x ดว้ ย 9 + 2y ในการแก้ระบบสมการ
เราสามารถเลือกใช้
4x – 3y = 6 การแทนค่าดว้ ยตวั แปร
จะได้ 4(9 + 2y) – 3y = 6
y หรอื x กไ็ ด้
36 + 8y – 3y = 6
5y = – 30
y=–6

แทนคา่ y ด้วย – 6 ในสมการ 3
จะได้ x1= 9 + 2y

x = 9 + 2(– 6)
x = 9 – 12
x=–3

ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x = – 3 และ y = – 6 ลงในสมการทั้งสอง

จะได้ x – 2y = 9 4x – 3y = 6

(– 3) – 2(– 6) = 9 4(– 3) – 3(– 6) = 6

– 3 + 12 = 9 (– 12) + 18 = 6

9 = 9 เป็นจรงิ 6 = 6 เป็นจรงิ

ดงั นั้น คำตอบของระบบสมกำรน้คี ือ (– 3, –6)

22

เล่มที่
4

ขั้นที่ 2 การเรียนรู้ แบบฝกึ ทักษะท่ี 4.2
แสวงหาสารสนเทศ กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรด้วยวิธกี ำรแทนคำ่

ชือ่ ......................................................ชั้น.........เลขที่...........

จุดประสงคก์ ำรเรยี นรู้
นกั เรยี นสามารถแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ด้วยวธิ ีการแทนคา่ ได้

ตอนที่ 1 คำชีแ้ จง ให้นกั เรียนเติมคาตอบลงในชอ่ งว่างการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรตอ่ ไปน้ี

1. จงแก้ระบบสมการ x + y = 20 และ x = y – 4

วิธีทำ กาหนดให้ x + y = 20 …………(1)

x = y – 4 ……..(2)

จากสมการที่ (1) แทนคา่ x ดว้ ย .............................

x + y = 20

จะได้ ....................... + y = 20

2y – 4 = 20

2y = 20 + …………….

y= 24 = …………….
2

แทนคา่ y = …………….ในสมการท่ี (2)

จะได้ x = y – 4

x = …… – 4

x = ………………

ตรวจคาตอบ แทนค่า x = …….. และ y = …….. ในสมการทงั้ สอง

จะได้ x + y = 20 x=y–4

8 + 12 = 20 ……….. = …….. – 4

20 = 20 เปน็ จริง ……….. = ……….. เปน็ จริง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการนค้ี ือ (……., 12)

23

เล่มท่ี
4

2. จงแก้ระบบสมการ 3x – 4y = 9 และ x = 4y – 1

วธิ ีทำ กาหนดให้ 3x – 4y = 9 …………(1)

x = 4y – 1 ….……..(2)

จากสมการท่ี (1) แทนคา่ x ด้วย ................................

3x – 4y = 9

จะได้ 3(........…..) – 4y = 9

…………… – 4y = 9

8y = 9 + …………….

y = 12 หรอื .................
8

แทนค่า y = …………….ในสมการท่ี (2)

จะได้ x = y – 4

x = …… – 4

x = …………………

ตรวจคำตอบ แทนค่า x = …….. และ y = …….. ในสมการทั้งสอง

จะได้ 3x – 4y = 9 x = 4y – 1
…………..... = 9 x = …….. – 1
……….= ………… เปน็ จรงิ ……….. = ……….. เปน็ จรงิ

ดังนั้น คาตอบของระบบสมการนค้ี ือ (……., ………)

24

เล่มท่ี
4

3. จงแกร้ ะบบสมการ 3x – y = 5 และ 2x + 3y = 6

วธิ ีทำ กาหนดให้ 3x – y = 5 …………(1)
….……..(2)
2x + 3y = 6 .......…..(3)

จากสมการที่ (1) จดั ใหม่จะได้ y = ………………….

แทนคา่ y = ....................... ในสมการท่ี (2)
2x + 3y = 6

2x + 3(………………) = 6

2x + 9x – 15 = 6

……..x = 6 + ……….

11x = 21

x = .............

แทนคา่ x = ............. ในสมการท่ี (3)

y = 3x – 5

y = 3(…….) – 5

y = …………….

ตรวจคำตอบ แทนค่า x = …….. และ y = …….. ในสมการทั้งสอง

จะได้ 3x – y = 5 2x + 3y = 6
…………..... = 5 ……………… = 6
……………….= ………… เป็นจรงิ
……….. = ……….. เปน็ จรงิ

ดงั นนั้ คาตอบของระบบสมการนีค้ ือ (……., ………)

25

เล่มท่ี
4

4.จงแกร้ ะบบสมการ x + 5y = –2 และ 3x – 4y = –25

วิธที า ..................................................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................

ตรวจคำตอบ ...............................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ดงั นนั้ คาตอบของระบบสมการ คือ ................................................................

26

เล่มท่ี
4

5.จงแกร้ ะบบสมการ 2x – y = 10 และ x + 2y = –1

วิธที า ..................................................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................

ตรวจคำตอบ ...............................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการ คอื ................................................................

27

เล่มท่ี
4

เกณฑก์ ำรใหค้ ะแนน แบบฝึกทักษะท่ี 4.2 ตอนท่ี 1
(ข้อละ 2 คะแนน จานวน 5 ข้อ)

คะแนนทใ่ี ห้ ตัวชีว้ ดั ในกำรให้คะแนน (ข้อละ 2 คะแนน)

2 หาค่า x และ y พรอ้ มตรวจคาตอบถูกต้อง
1 หาค่า x และ y ถกู ตอ้ ง แต่ตรวจคาตอบไมถ่ ูกตอ้ ง
0.5 หาคา่ x หรือ y ได้เพียงค่าเดียว และไม่ตรวจคาตอบ
0 หาคา่ x และ y ไม่ได้ และไม่ตรวจคาตอบ

28

เล่มที่
4

ข้ันท่ี 3
การเรียนร้ ูเพื่อสร้ างความร้ ู
ตอนท่ี 2 คาช้แี จง นักเรียนกาหนดสมการสองสมการพร้อมทั้งแสดงวธิ กี ารแกร้ ะบบสมการด้วยวิธีการแทนคา่
กลมุ่ ละ 1 ขอ้

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

29

เล่มท่ี
4

ขน้ั ที่ 4
การเรยี นรู้เพื่อส่ือสาร
ตอนท่ี 3 คาชีแ้ จง นกั เรยี นสรปุ องค์ความรู้เกย่ี วกับการแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรด้วยวิธีการแทนคา่

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

30

เล่มท่ี
4

ข้ันท่ี 5
การเรียนร้เู พื่อตอบแทนสังคม

คาชแ้ี จง ให้นกั เรียนนาแบบฝึกทกั ษะจากตอนที่ 2

และตอนที่ 3 ไปเผยแพร่ในสอ่ื สงั คมออนไลน์ของ
ตนเอง เชน่ facebook ,Line

31

เล่มท่ี
4

ขัน้ ที่ 1 แบบฝึกทักษะทบทวน
การเรยี นรตู้ ้ังคาถาม กำรใชส้ มบัติกำรเทำ่ กันของกำรบวก และกำรคูณ

คำชี้แจง ใหน้ กั เรียนเตมิ คาตอบให้ถูกต้อง สัมประ สัมประ กาจดั ตัวแปร x กาจัดตวั แปร y
ข้อ ระบบสมการ
สทิ ธิ์ x สทิ ธิ์ y
ตัวอย่ำง 2x + y = 3
4x – y = 0 21 - สมการท่ี 1 บวก

4 -1 สมการที่ 2

1. x+y = 4 สมการที่ 1 ………… ………… ………………… …………………………
x-y = 2 สมการที่ 2 ………... ………...

2. x+y = 7 สมการที่ 1 ………… ………… ………………… …………………………
x-y = 3 สมการท่ี 2 ………... ………...

3. x+2y = 5 สมการที่ 1 ………… ………… …………………… …………………………

2x-2y = 7 สมการท่ี 2 ………... ………...

4. x+7y = 8 สมการที่ 1 ………… ………… …………………… …………………………

3x+2y = 5 สมการที่ 2 ………... ………...

3 × สมการท่ี 1;

3x+21y = 24 สมการที่ 3

5. 3x+3y = 15 สมการที่ 1 ………… ………… …………………… …………………………
2x+6y =22 สมการท่ี 2 ………... ………...
2 × สมการที่ 1;
6x+6y = 30 สมการที่ 3

32

เล่มท่ี
4

ขนั้ ท่ี 2 การเรียนรู้ ใบควำมรทู้ ่ี 4.3
แสวงหาสารสนเทศ กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ สองตัวแปรดว้ ยวิธกี ำรกำจัดตวั แปร

แกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรดว้ ยวิธกี ำรกำจัด ตวั แปร ซ่งึ มีวิธีกำร
ดงั นี้

ขน้ั ท่ี 1 เขยี นสมกำรท้ังสองให้อยูใ่ นรปู Ax+By = C เมื่อ A,B และ C เป็น
จำนวนจริงใดๆ

ขนั้ ที่ 2 ถำ้ จำนวนนนั้ เป็นเศษสว่ นหรือทศนิยมใหท้ ำเป็นจำนวนเต็ม

ขั้นที่ 3 ทำสัมประสิทธ์ิของแต่ละตัวให้เท่ำกัน โดยนำจำนวนมำคณู ตัวแปรแต่ละตัว

ขน้ั ท่ี 4 ทำสมั ประสทิ ธข์ิ องตัวแปรแตล่ ะตวั ให้หมดไป โดยกำรบวกหรอื กำรลบ
สมกำรทง้ั สอง

-ถา้ สัมประสทิ ธข์ิ องตัวแปรท่ีต้องการกาจดั เทา่ กนั ให้ใชก้ ารลบ จะทาใหต้ วั
แปรนัน้ หมดไป

-ถ้าสัมประสทิ ธ์ขิ องตวั แปรที่ต้องการกาจดั เป็นจานวนตรงข้ามกนั ใหใ้ ชก้ าร
บวก จะทาให้ตวั แปรนั้นหมดไป

ขัน้ ท่ี 5 เม่ือแก้สมกำรได้คำตอบของตัวแปรตัวหนง่ึ แล้ว ใหน้ ำคำ่ ของตวั แปรน้นั ไป
แทนในสมกำรเพ่อื ใหไ้ ด้คำตอบของตัวแปรอีกตัวหนึง่

ขน้ั ที่ 6 ตรวจสอบคำตอบ

33

เล่มท่ี
4

ตวั อย่ำงท่ี 1 จงแก้ระบบสมการ 3x + 3y = 15 และ 2x + 6y = 22

วิธที ำ เน่อื งจากสมการทัง้ หมด อยู่ในรูป Ax + By = C แล้วจึงไมต่ อ้ งจัดรูป

3x + 3y = 15 .................... (1)

2x + 6y = 22 .................... (2) (1) x 2 หมายถึง
การนา 2 มาคูณ
(1) x 2 6x + 6y = 30 ……………….. (3)
(3) – (2)
6x + 6y – (2x + 6y) = 30 – 22

6x + 6y – 2x – 6y = 8 ทุกพจน์ของ

4x = 8 สมการ (1)
8 เพ่อื ทาให้
x = 4 สมั ประสทิ ธิ์
ของ y เท่ากนั
x=2

นาค่าตัวแปรที่ได้ ไปแทนในสมการ (1) แทนคา่ x = 2 ในสมการ

3x + 3y = 15

3(2) + 3y = 15 (3) – (2) หมายถงึ นาจานวน
ทีอ่ ยู่ขา้ งเดียวกันของเครือ่ งหมาย
6 + 3y = 15
“ = ” ของสมการ (3) และ
3y = 15 – 6 สมการ (2) มาลบกัน เพื่อทาให้สมการมี x

3y = 9 ตัวแปรเดียว
9
y = 3

y=3

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรนี้ คอื (2, 3)

ตรวจคำตอบ แทนคา่ ของ x = 2 และ y = 3 ใน (1) และ (2)

3(2) + 3(3) = 15 และ 2(2) + 6(3) = 22

6 + 9 = 15 4 + 18 = 22

15 = 15 เป็นจรงิ 22 = 22 เปน็ จรงิ

34

เล่มที่
4

ตัวอยำ่ งท่ี 2
จงแก้ระบบสมการ 5x + 4y = 11 และ 3x – 5y = –23

วิธที ำ 5x + 4y = 11 ....................(1)
3x – 5y = –23 ....................(2)
(1) x 5 25x + 20y = 55 ……………….. (3)
(2) x 4 12x – 20y = –92 ………………... (4)

(3) + (4) 25x + 20y + (12x – 20y) = 55 + (–92)

25x + 20y + 12x – 20y = – 37

37x = – 37

x = –1

แทนคา่ x = –1 ในสมการที่ (1) 5x + 4y = 11

5(–1) + 4y = 11

–5 + 4y = 11 เมอ่ื เราได้ค่า x แล้ว จะนาคา่ x ไปแทน
4y = 11 + 5 ในสมการใดสมการหนงึ่ กไ็ ด้
4y = 16 ค่าทไี่ ด้ จะมีคา่ เทา่ กนั นะคะ
y=4

ดงั น้นั คำตอบของระบบสมกำรนี้ คือ (–1, 4)

ตรวจคำตอบ แทนค่าของ x = –1 และ y = 4 ใน (1) และ (2)

5x + 4y = 11 และ 3x – 5y = –23

5(–1) + 4(4) = 11 3(–1) – 5(4) = –23

–5 + 16 = 11 –3 – 20 = –23

11 = 11 เปน็ จรงิ –23 = –23 เปน็ จริง

35

เล่มท่ี
4

ขนั้ ที่ 2 การเรียนรู้ แบบฝึกทักษะท่ี 4.3

แสวงหาสารสนเทศ กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ สองตวั แปรด้วยวธิ กี ำรกำจัดตัวแปร

ชอื่ ......................................................ชั้น.........เลขที.่ ..........

จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้
นกั เรยี นสามารถแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรดว้ ยวิธกี ารกาจัดตัวแปรได้

ตอนท่ี 1 คำช้แี จง ให้นกั เรียนเตมิ คาตอบการแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรตอ่ ไปน้ี โดยการกาจดั ตวั แปร

1. จงแก้ระบบสมการ x + 3y = 7 และ –x + 4y = 7

 เนื่องจากสมการทั้งหมด อยู่ในรปู Ax + By = C แล้วจึงไม่ต้องจัดรปู

กาหนด x + 3y = 7 …………(1)

–x + 4y = 7 ….……..(2)

 เลอื กกาจัดตวั แปร x

(1) + (2) x + 3y + (–x + 4y) = 7 + 7

x + …... – ……+ 4y = …………

……y = ………..

y = ............

 นาค่าตวั แปรที่ไดไ้ ปแทนในสมการ

แทนคา่ y = …………….ในสมการที่ (1)

จะได้ x + 3y = 7

x + 3(…..) = 7

x + …….. = 7

x = 7 – …………

x = ……………

ดังนนั้ คาตอบของระบบสมการ คอื (1, …….)

ตรวจคาตอบ แทนค่าของ x = …… และ y = …… ในสมการ (1) และ สมการ (2)

จะได้ x + 3y = 7 และ –x + 4y = 7

1 + 3(2) = 7 ……+4…....= 7

7 = 7 เปน็ จริง ……. = 7 เปน็ จริง

36

เล่มท่ี
4

2. จงแก้ระบบสมการ x – 2y = 6 และ –x + 3y = –4

 เนือ่ งจากสมการท้ังหมด อยู่ในรปู Ax + By = C แลว้ จึงไม่ตอ้ งจัดรูป

กาหนด x – 2y = 6 …………(….)

–x + 3y = –4 ….……..(….)

 เลอื กกาจดั ตัวแปร x

(1) + (2) x – 2y + (–x + 3y) = 6 + (–4)

x – …... – ……+ 3y = …………

y = ............

 นาคา่ ตวั แปรที่ไดไ้ ปแทนในสมการ

แทนค่า y = …………….ในสมการที่ (1)

จะได้ x – 2y = 6

x – 2(…..) = 6

x – …….. = 6

x = 6 + …………

x = ……………

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการ คือ (….., ……)

ตรวจคาตอบ แทนค่าของ x =……… และ y = ……. ในสมการ (1) และ สมการ (2)

จะได้ x – 2y = 6 และ –x + 3y = –4

10 – 2(…..) = 6 ……+ 3(…..) = –4

10 – …….. = 6 …….+ …….. = –4

…..……. = 6 เป็นจริง ……. = –4 เปน็ จริง

37

เล่มท่ี
4

3. จงแก้ระบบสมการ 6x – 3y = 18 และ 6x + 3y = –12

 เนอ่ื งจากสมการท้ังหมด อยู่ในรปู Ax + By = C แล้วจงึ ไมต่ ้องจดั รูป

กาหนด 6x – 3y = 18 …………(….)

6x + 3y = –12 ….……..(….)

 เลือกกาจดั ตวั แปร x

(1) – (2) 6x – 3y – (6x + 3y) = 18 – (–12)

6x – 3y – ……– …… = …….. + …….

…...y = ............

y = …………

 นาค่าตัวแปรท่ีได้ไปแทนในสมการ

แทนคา่ y = …………….ในสมการที่ (1)

จะได้ 6x – 3y = 18

6x – 3(….) = 18

6x + …….. = 18

6x = 18 – …………

x = ……………

x = ……………

ดงั น้ัน คาตอบของระบบสมการ คอื (……, …….)

ตรวจคาตอบ แทนค่าของ x =…….. และ y = …….. ในสมการ (1) และ สมการ (2)

จะได้ 6x – 3y = 18 และ 6x + 3y = –12

6(…..) – 3(…..) = 18 6(…..) + 3(…..) = –12

……..+ …….. = 18 …….+ …….. = –12

…..……. = 18 เป็นจริง ……. = –12 เปน็ จริง

38

เล่มท่ี
4

4. จงแก้ระบบสมการ 3x + 2y = 22 และ 9x – 8y = –4

วิธีทา ..................................................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ดังนนั้ คาตอบของระบบสมการ คอื ......................................................................

ตรวจคาตอบ .....................................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................

39

เล่มท่ี
4

5. จงแก้ระบบสมการ 6x + 2y = –16 และ –12x – 5y = 31

วิธีทา ..................................................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ดงั นั้น คาตอบของระบบสมการ คือ ................................................................

ตรวจคาตอบ .....................................................................................................

............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................

40

เล่มท่ี
4

เกณฑ์กำรให้คะแนน แบบฝกึ ทักษะท่ี 4.3 ตอนท่ี 1
(ข้อละ 2 คะแนน จำนวน 5 ข้อ)

คะแนนท่ีให้ ตัวชวี้ ัดในกำรให้คะแนน
2 หาคา่ x และ y พรอ้ มตรวจคาตอบถูกต้อง
1 หาคา่ x และ y ถูกต้อง แต่ตรวจคาตอบไมถ่ ูกตอ้ ง
0.5 หาค่า x หรือ y ไดเ้ พียงคา่ เดียว และไมต่ รวจคาตอบ
0 หาคา่ x และ y ไม่ได้ และไม่ตรวจคาตอบ

41

เล่มท่ี
4

ขนั้ ท่ี 3
การเรียนร้ ูเพ่ือสร้ างความร้ ู
ตอนที่ 2 คาชแ้ี จง นักเรยี นกาหนดสมการสองสมการพร้อมท้งั แสดงวิธกี ารแก้ระบบสมการด้วยวิธีการกาจดั
ตัวแปร กลุ่มละ 1 ขอ้

…………………………………………………………………………………………………………………………………….. 42
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

เล่มท่ี
4

ขน้ั ท่ี 4
การเรยี นรูเ้ พ่ือสอื่ สาร

ตอนท่ี 3 คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนสรุปองคค์ วามรู้เกยี่ วกบั การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยวธิ กี าร
กาจดั ตวั แปร

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

43

เล่มท่ี
4

ขัน้ ท่ี 5
การเรียนรู้เพื่อตอบแทนสงั คม

คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นนาความรู้ตอนที่ 2 และ
ตอนที่ 3 ไปตดิ ป้ายนเิ ทศหน้าชน้ั เรยี น เพื่อเป็น
การแลกเปลี่ยนความรกู้ บั เพอื่ นต่างห้องเรยี น

44

เล่มท่ี
4

ขัน้ ท่ี 1 แบบฝึกทักษะทบทวน
การเรียนรู้ตงั้ คาถาม วิธีกำรแกร้ ะบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปร

ชื่อ......................................................ชั้น.........เลขท่ี...........

คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นเขยี นสรุปวธิ ีการแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรมีกี่วิธี และมีหลกั ขนั้ ตอนอย่างไร
สรปุ มาโดยสังเขป

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

45

เล่มท่ี
4

ขั้นท่ี 2 การเรียนรู้ กำรแก้รใะบบคบวสำมมกรำทู้ ร่ี เ4ช.งิ4เส้นสองตวั แปร
แสวงหาสารสนเทศ

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร โดยวธิ กี ำรแทนคำ่ หรอื กำรกำจัดตวั แปร

คาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรจากการหาคาตอบโดยวิธีการแทนค่า หรือ วธิ ีการกาจดั ตัว
แปร นอกจากจะมีคาตอบเพยี งคาตอบเดียวแล้ว ยงั มีกรณีท่ีระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรที่ไม่มคี าตอบ หรือ
มีหลายคาตอบ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้

ตัวอยำ่ งท่ี 1 จงแก้ระบบสมการ 3x – y = 4 และ –9x + 3y = –12
ดังนี้
วิธีทำ 3x – y = 4 ....................(1)

–9x + 3y = –12 ....................(2)

(1) x 3 9x - 3y = 12 ………………..(3)

(2) + (3); –9x + 3y + 9x - 3y = –12 + 12

0 = 0 ซง่ึ เป็นสมการทเี่ ป็นจรงิ เสมอ

แสดงวา่ สมการ (1) และสมการ (2) มคี าตอบมากมายไมจ่ ากดั

ดังน้นั จึงหาคูอ่ ันดบั ทีเ่ ป็นคาตอบของระบบสมการน้ีไดจ้ ากสมการใดสมการหนง่ึ

จากสมการ (1); 3x – y = 4
3x-4 = y
y = 3x - 4

ดงั นนั้ คาตอบของระบบสมการนี้ มหี ลายคาตอบ อยู่ในรปู (x,3x-4)
เมอื่ x แทนจานวนจริงใดๆ

46