แบบฝึก การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่ม 6

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพทิ ักษ์ ก

คำนำ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ชดุ นี้เน้นเร่ืองรูปแบบท่นี ่าสนใจ มีเนอื้ หาสรปุ พร้อมตวั อย่าง
ที่เรียงจากง่ายไปหายากพร้อมรายละเอียดวิธีทา เมื่อนักเรียนศึกษาเน้ือหาแต่ละตอนจนเข้าใจแล้ว
จะมีแบบฝึกทักษะให้ได้ฝึกทักษะ ซึ่งโจทย์แต่ละข้อจะมีวิธีทาคล้ายตัวอย่างและแนะวิธีทา
ให้ในบางส่วนของแบบฝึกทักษะในช่วงข้อต้นๆ ส่วนแบบฝึกทักษะในช่วงข้อท้ายๆ นักเรียนจะต้อง
แสดงวิธีคิดเอง และมีการบูรณาการวชิ าคณิตศาสตร์กับวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษโดยนาคาท่ี
อยูค่ ู่กับคาตอบที่ถูกต้องมาเรียงเป็นสานวนไทยและสานวนภาษาอังกฤษ นอกจากน้นี ักเรียนสามารถ
ตรวจสอบความถูกต้องด้วยตนเองได้จากเฉลยแบบฝึกทักษะแต่ละตอนที่มีไว้ให้ในส่วนท้ายของเล่ม
นักเรียนสามารถตรวจสอบความรู้พื้นฐานตนเองจากการทาแบบทดสอบกอ่ นฝึกทักษะและตรวจสอบ
การพัฒนาผลการเรียนรไู้ ด้จากการทาแบบทดสอบหลังฝกึ ทักษะ

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุด “การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ระดับชน้ั มัธยมศกึ ษา
ปีที่ 3” แบ่งเปน็ 6 เล่ม ดังน้ี

เลม่ ที่ 1 เรื่อง การทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามอยา่ งง่าย
เล่มท่ี 2 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองทเี่ ป็นผลต่างของกาลงั สอง
เล่มท่ี 3 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องโดยวิธที าเป็นกาลังสองสมบรู ณ์
เล่มท่ี 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองโดยวิธีทาเป็นผลบวก
และผลตา่ งกาลงั สาม
เล่มที่ 5 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีดีกรีสูงกว่าสองท่ีมีสัมประสิทธ์ิเป็น
จานวนเตม็ และจดั พจน์พหนุ ามใหม่
เล่มที่ 6 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีสัมประสิทธ์ิเป็นจานวนเต็มโดยใช้
ทฤษฎีเศษเหลือ
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรเ์ ล่มน้ีเป็นเล่มท่ี 6 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มี
สัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือ ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่ิงว่าแบบฝึกทักษะ
คณิตศาสตร์ชุดน้ี จะเป็นประโยชน์และสามารถพัฒนานักเรียนให้มีศักยภาพในด้านการแยก
ตวั ประกอบของพหุนามมากยง่ิ ขึน้

สาวติ รี น้อยพทิ ักษ์

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพทิ ักษ์ ข

สำรบัญ

คานา หนำ้
สารบญั ก
ขัน้ ตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ข
คาชี้แจงการใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน ค
ผลการเรียนรู้ ง
แบบทดสอบกอ่ นฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 1
เรอื่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสมั ประสิทธเิ์ ปน็ จานวนเตม็ โดยใชท้ ฤษฎเี ศษเหลอื 2
เน้ือหาสรปุ และตวั อยา่ ง ตอนท่ี 1
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ที่ 1 5
เน้อื หาสรปุ และตวั อยา่ ง ตอนที่ 2 10
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่ 2 14
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ที่ 3 18
แบบทดสอบหลงั ฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 24
เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามท่ีมสี มั ประสิทธเิ์ ป็นจานวนเต็มโดยใช้ทฤษฎเี ศษเหลอื 26
แบบบนั ทกึ สรุปคะแนน
29
ภาคผนวก
เฉลยแบบทดสอบก่อนแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 30
เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ที่ 1 31
เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ท่ี 2 37
เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ที่ 3 40
เฉลยแบบทดสอบหลังฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 45
บรรณานุกรม 48
54

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทักษ์ ค

ข้นั ตอนกำรเรียนโดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศำสตร์ เลม่ ท่ี 6
เรอ่ื ง กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมที่มีสัมประสิทธ์เิ ป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลอื

1. อ่ำนคำช้ีแจงกำรใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศำสตร์
สำหรับนักเรียน

2.ทำแบบทดสอบกอ่ นฝึกทกั ษะคณติ ศำสตร์

3.ตรวจคำตอบกำรทำแบบทดสอบก่อนฝึกทักษะ
โดยครูเป็นผตู้ รวจพรอ้ มทงั้ แจง้ ผลนักเรียน

4.ศกึ ษำเนอื้ หำสรุปเพ่ือเปน็ กำรทบทวนควำมรู้เดมิ ไมผ่ ่ำนเกณฑ์
ทำควำมเข้ำใจในกำรแยกตัวประกอบจำกแตล่ ะ (ต่ำกวำ่ รอ้ ยละ 75)
ตวั อยำ่ ง

- ศึกษำเน้อื หำสรปุ และทำควำมเขำ้ ใจตวั อย่ำง
- ทำแบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์
- ตรวจแบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์

5.ทำแบบทดสอบหลังฝึกทกั ษะคณิตศำสตร์ ประเมินผล

6.ศกึ ษำฝึกทักษะคณติ ศำสตร์เล่มต่อไป ผำ่ นเกณฑ์
(รอ้ ยละ 75)

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทักษ์ ง

คำชแ้ี จงกำรใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะคณิตศำสตร์สำหรบั นักเรียน

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตรเ์ ล่มนี้ใชป้ ระกอบการจดั กระบวนการเรียนรู้
ในกลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 3 รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5

หน่วยการเรยี นรู้ เร่อื ง การแยกตวั ประกอบของพหุนาม
เลม่ ท่ี 6 เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามที่มีสัมประสิทธ์ิเปน็ จานวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือ

1. ทาแบบทดสอบก่อนฝึกทักษะจานวน 10 ข้อลงในตัวข้อสอบ และครูเป็นผู้ตรวจ
แบบทดสอบกอ่ นฝกึ ทักษะจากเฉลยท้ายเล่มหลังจากนั้นบนั ทกึ คะแนนในตารางบนั ทกึ คะแนน

2. ทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มท่ี 6 โดยเริ่มจากการศึกษาเนื้อหาสรุปเพ่ือเป็นการ
ทบทวนความรู้เดมิ ทาความเข้าใจในการแยกตวั ประกอบจากแตล่ ะตัวอย่างก่อนทาแบบฝกึ ทกั ษะ

3. ตรวจสอบวิธที าและคาตอบจากเฉลยทา้ ยเล่มแลว้ บนั ทกึ คะแนนลงในตารางบันทึกคะแนน
4. เมื่อทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ครบทุกตอนแล้วให้ทาแบบทดสอบหลังฝึกทักษะจานวน
10 ขอ้ ลงในตวั ขอ้ สอบ
5. ตรวจแบบทดสอบหลังฝึกทักษะจากเฉลยท้ายเล่มหลังจากน้ันบันทึกคะแนนในตาราง
บันทึกคะแนน
6. บันทึกคะแนนแต่ละตอนของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์รวมทั้งคะแนนแบบทดสอบก่อน
และหลงั ฝึกทักษะลงในแบบบนั ทกึ สรปุ คะแนนที่อยู่ท้ายเลม่ เพ่อื ทราบผลการฝกึ ทักษะและการพฒั นา
7. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อนักเรียน หากนักเรียนมีความซ่ือสัตย์
ตอ่ ตนเอง และมีความต้ังใจในการทาแบบฝึกทักษะ

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 1

ผลการเรียนรู้

ด้านความรู้
นกั เรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีสมั ประสทิ ธิ์เปน็ จานวนเต็มโดย
ใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือได้

ด้านทกั ษะกระบวนการ

1) นกั เรียนมีความสามารถในการแกป้ ัญหา
2) นกั เรียนมีความสามารถในการใหเ้ หตุผล
3) นักเรียนมีความสามารถในการเช่ือมโยงความร้ตู ่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และ
เชื่อมโยงคณติ ศาสตรก์ บั วชิ าอื่น

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

1) มวี นิ ยั
2) ใฝ่เรียนรู้
3) มงุ่ ม่นั ในการทางาน

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 2

แบบทดสอบกอ่ นฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6
เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามท่ีมสี ัมประสทิ ธิเ์ ป็นจานวนเตม็ โดยใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือ

คาชแ้ี จง แบบทดสอบฉบับน้เี ปน็ แบบทดสอบชนดิ เลือกตอบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ ขอ้ ละ 1 คะแนน
เวลาในการทาแบบทดสอบ 15 นาที โดยให้นักเรียนเลอื กคาตอบและทาเครอื่ งหมายกากบาท () ทับ
ตวั เลือกท่ถี ูกต้องเพียงข้อเดียว

ขอ้ ท่ี 1 ถ้า P(x)  x3  4x2  3x  6 แล้วค่าของ P(0) ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 2
ข. 6

ค. 2
ง. 6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อท่ี 2 ถ้า P(x)  x3  x2  10x  8แลว้ ค่าของ P(3) ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 30

ข. 40

ค. 50

ง. 60

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ ที่ 3 พหนุ าม 2x3  3x2  6 หารด้วย x  3 จะเหลอื เศษเท่าใด

ก. 11

ข. 22

ค. 33

ง. 44
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ข้อที่ 4 พจิ ารณาการหารพหุนามตอ่ ไปน้ี 2. x3  x2  8x  12 หารด้วย x  2
1. x3  x2  8x  12 หารด้วย x  2 4. x3  x2  8x  12 หารด้วย x  3
3. x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  3

ขอ้ ใดกล่าวถูกต้อง

ก. ไม่มีพหุนามใดหารกันลงตัว

ข. มพี หุนามที่หารกนั ลงตวั 1 ขอ้

ค. มพี หนุ ามทห่ี ารกันลงตวั 2 ข้อ

ง. มีพหุนามท่หี ารกันลงตัวมากกว่า 2 ขอ้

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 3

ขอ้ ที่ 5 ถา้ x3  px2  11x  10 หารดว้ ย x  2 ลงตวั แลว้ ค่า p คือข้อใด

ก.  1
ข. 0

ค. 1
ง. 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อท่ี 6 ถา้ พหนุ าม x3  6x2  7x  a และ x3  5x2  10x  11 หารด้วย x  3 เหลือเศษเท่ากนั

แล้วค่า a คอื ข้อใด

ก. 7
ข. 9

ค. 11
ง. 13
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อท่ี 7 ข้อใดไม่ใช่ตวั ประกอบของ x3  2x2  16x  32

ก. x  4
ข. x  2
ค. x  2
ง. x  4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ ที่ 8 ขอ้ ใดเปน็ การแยกตัวประกอบของ x3  4x2  11x  6

ก. (x 1)(x 1)(x  6)
ข. (x 1)(x  1)(x  6)
ค. (x 1)(x  2)(x  3)
ง. (x 1)(x  2)(x  3)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ ท่ี 9 ขอ้ ใดไม่ใช่ตวั ประกอบของ x4  5x3  5x2  5x  6

ก. x  4
ข. x  3
ค. x  2
ง. x  1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ ท่ี 10 ขอ้ ใดเปน็ การแยกตัวประกอบของ x4  2x3  11x2  12x  36
ก. (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)
ข. (x  2)(x  2)(x  3)(x 3)
ค. (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)
ง. (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทกั ษ์ 4

คะแนนเต็ม 10
คะแนนที่ได้
ผลการประเมิน
ลงชือ่ ผ้ตู รวจ

เกณฑ์การให้คะแนน เกณฑก์ ารประเมิน

ตอบถูกตอ้ ง ให้ 1 คะแนน 10 คะแนน ระดับ 4 ดีเยี่ยม
8 – 9 คะแนน ระดับ 3 ดี
ตอบผิดหรือไม่ตอบ ให้ 0 คะแนน 5 – 7 คะแนน ระดับ 2 พอใช้
0 – 4 คะแนน ระดบั 1 ปรบั ปรงุ

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 5

ตอนท่ี 1 เนื้อหาสรปุ และตวั อยา่ ง เลม่ ท่ี 6
เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทม่ี สี ัมประสิทธิเ์ ปน็

จานวนเตม็ โดยใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือ

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามที่มสี มั ประสิทธเิ์ ป็นจานวนเตม็ โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื
ทบทวนการหารพหนุ าม

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาผลหาร และเศษจากการหารของพหนุ ามต่อไปน้ี
1) x2  3x  4 หารดว้ ย x  2

วิธที า การใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลอื
x5 ให้ P(x)  x2  3x  4
เม่ือแทน x ดว้ ย 2 ใน P(x)  x2  3x  4
x  2 x2  3x 4

x2  2x จะได้ P(2)  (2)2  3(2)  4
5x  4
5x 10 464
6

6

ตอบ น่ันคือ การหารพหุนาม x2  3x  4 ดว้ ย x  2 จะได้ผลหาร เท่ากับ x  5เศษ 6

2) x3  x2  8x 12 หารดว้ ย x  2

วิธที า การใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
x2  x 6
ให้ P(x)  x3  x2  8x  12
x  2 x3  x2  8x 12 เมือ่ แทน x ดว้ ย 2 ใน P(x)  x3  x2  8x  12
x3 2x2

x2 8x จะได้ P(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12

x2 2x  8  4 16 12
 6x 12 0

 6x 12

0

ตอบ นนั่ คอื การหารพหุนาม x3  x2  8x 12 ดว้ ย x  2

จะได้ผลหาร เท่ากับ x2  x  6 เศษ 0

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทกั ษ์ 6

3) x3  3x2  2 หารดว้ ย x  1

วธิ ีทา การใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
x2  2x  2
ให้ P(x)  x3  3x2  2
x 1 x3  3x2  0x  2 เมอ่ื แทน x ดว้ ย  1 ใน P(x)  x3  3x2  2
จะได้ P(1)  (1)3  3(1)2  2
x3  x2
 1  3  2
2x2  0x 0

2x2  2x
 2x  2

 2x  2

0

ตอบ นั่นคอื การหารพหนุ าม x3  3x2  2 ดว้ ย x  1

จะได้ผลหารเท่ากบั x2  2x  2 เศษ 0

จากการหารข้างตน้ จะเหน็ ว่าเมือ่

1) x2  3x  4 หารดว้ ย x  2
ให้ P(x)  x2  3x  4
เมือ่ แทน x ดว้ ย2 ใน P(x)  x2  3x  4
จะได้ P(2)  (2)2  3(2)  4
464
6
P(2) เป็นคา่ ที่ไดจ้ ากการแทน x ดว้ ย2 ในพหุนาม P(x)

จากทีแ่ สดงขา้ งต้น จะเหน็ ได้ว่า P(2)  6 เป็นเศษท่ีได้จากการหารพหุนาม P(x) ดว้ ยพหนุ าม x  2
ดงั นั้น เมอื่ หาร x2  3x  4 ดว้ ย x  2 จะเหลือเศษเทา่ กบั 6

2) x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  2
ให้ P(x)  x3  x2  8x  12
เมอื่ แทน x ดว้ ย 2 ใน P(x)  x3  x2  8x  12
จะได้ P(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12
 8  4 16 12
0

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 7

P(2) เปน็ ค่าท่ีได้จากการแทน x ดว้ ย2 ในพหนุ าม P(x)
จากทีแ่ สดงขา้ งต้น จะเหน็ ได้วา่ P(2)  0 เป็นเศษทไ่ี ด้จากการหารพหนุ าม P(x) ดว้ ยพหนุ าม x  2
ดงั น้นั เม่ือหาร x3  x2  8x  12 ดว้ ย x  2 จะเหลอื เศษเท่ากบั 0

3) x3  3x2  2 หารดว้ ย x  1
ให้ P(x)  x3  3x2  2
เมือ่ แทน x ดว้ ย  1 ใน P(x)  x3  3x2  2
จะได้ P(1)  (1)3  3(1)2  2
 1  3  2
0
P(1) เปน็ ค่าท่ไี ดจ้ ากการแทน x ดว้ ย 1ในพหุนาม P(x)

จากท่แี สดงข้างต้น จะเห็นได้วา่ P(1)  0 เท่ากับเศษทีไ่ ด้จากการหารพหนุ าม P(x) ดว้ ยพหุนาม x  1
ดงั น้นั เมือ่ หาร x3  3x2  2 ดว้ ย x  1 จะเหลือเศษเท่ากับ 0

ในกรณที ัว่ ไป เมอ่ื หารดว้ ยพหุนาม P(x) ใดๆ ด้วยพหนุ าม x  a ท่ี a เปน็ คา่ คงตวั จะไดเ้ ศษ
ซึง่ เรียกว่าเศษเหลอื ดงั ทฤษฎีบทต่อไปน้ี
ทฤษฎีบท (ทฤษฎบี ทเศษเหลือ)

ถ้า หารพหุนาม P(x) ดว้ ยพหนุ าม x  a ท่ี a เป็นค่าคงตวั แลว้ จะไดเ้ ศษเหลอื เปน็ P(a)

ตัวอย่างที่ 2 จงใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือหาเศษเหลือท่ไี ดจ้ ากการหารพหนุ ามในแตล่ ะข้อต่อไปนี้
1)  2x 2  5x  6 หารดว้ ย x  3
วิธที า ให้ P(x)   2x2  5x  6

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(3) เปน็ เศษเหลือทีไ่ ด้จากการหาร P(x) ดว้ ย x  3
P(3)   2(3)2  5(3)  6

 (2)(9) 15  6
 18 15  6
3

ตอบ ดงั นน้ั เศษเหลอื เท่ากับ 3

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 8

2) x3  4x2  11x  30 หารดว้ ย x  3
วิธีทา ให้ P(x)  x3  4x2  11x  30
จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(3) เป็นเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย x  3
P(3)  (3)3  4(3)2  11(3)  30
 27  4(9)  33  30
 27  36  33  30
0
ตอบ ดงั นั้น เศษเหลือเทา่ กับ 0

3) x3  8x2  19x  12 หารดว้ ย x  1
วิธที า ให้ P(x)  x3  8x2  19x  12
จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(1) เป็นเศษเหลือท่ไี ด้จากการหาร P(x) ด้วย x  1
P(1)  (1)3  8(1)2  19(1)  12
 1  8  19  12
0
ตอบ ดงั น้ัน เศษเหลือเท่ากับ 0

4) x5  x4  x3  2x2  9x  7 หารดว้ ย x  2
วิธีทา ให้ P(x)  x5  x4  x3  2x2  9x  7
จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(2) เปน็ เศษเหลอื ท่ไี ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  2
P(2)  (2)5  (2)4  (2)3  2(2)2  9(2)  7
  32  16  8  8  18  7
P(2)   5
ตอบ ดังนั้น เศษเหลือเทา่ กับ  5

เขียน x  2  x  (2)
เพื่อเทยี บกบั x  a

ทาใหไ้ ด้ a  2

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 9

1) การหารพหุนาม  2x2  5x  6 หารดว้ ย x  3เหลอื เศษ 3
2) การหารพหุนาม x3  4x2  11x  30 หารดว้ ย x  3 เหลือเศษ 0
3) การหารพหนุ าม x3  8x2  19x  12 หารดว้ ย x  1เหลอื เศษ 0
4) การหารพหนุ าม x5  x4  x3  2x2  9x  7 หารดว้ ย x  2 เหลือเศษ  5

ซ่ึงตัวอยา่ งท่ี 1 ขอ้ ท่ี 2 กับ 3 จะเหน็ วา่ เศษของการเท่ากับ 0 ซง่ึ เป็นการหารลงตัว
จึงทาใหต้ ัวหารเปน็ ตัวประกอบของพหนุ ามนั้น

ทฤษฎีตวั ประกอบ ถ้า
เปน็ พหนุ ามที่มสี มั ประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนจริง

และ เปน็ คา่ คงท่ี จะได้
เป็นตัวประกอบของพหุนาม

ก็ต่อเม่ือ

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 10

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรท์ ่ี 1

คาช้แี จง จงใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารพหุนามในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ (ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1) 3x2  4x  3 หารด้วย x  4
วิธีทา ให้ P(x)  3x2  4x  3

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(........).เปน็ เศษเหลือทีไ่ ดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย x .........
P(4)  3(4)2  .......... 3

 .......... .......... 3
 .......... .......... 3
 ..............

ตอบ ดังนน้ั เศษเหลือเทา่ กับ ..............

2) 5x3  3x2  7x  6 หารด้วย x  2
วิธที า ให้ P(x)  .....................................

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(........)เป็นเศษเหลือที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x  (2)
P(........).  .........(2)3  3(........).2  .........(2)  .........

 .........(8)  3(........). 14  .........
  40  .........14  6
 ...............

ตอบ ดงั นั้น เศษเหลือเท่ากับ ..............

3) 2x4  5x2  6x 14 หารดว้ ย x  3

วิธที า ให้ P(x)  .....................................

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(........).เป็นเศษเหลือทไ่ี ด้จากการหาร P(x) ด้วย ..............

P(........).  ..............................................
 ..............................................

 ..............................................
 ..............................................

ตอบ ดงั น้นั เศษเหลอื เท่ากับ .............

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทักษ์ 11

4) 2x4  2x3  5x2  3x  4 หารด้วย x 1

วิธีทา ให้ P(x)  .....................................

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ P(........).เป็นเศษเหลอื ท่ไี ดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย ..............

P(........).  ..............................................
 ..............................................

 ..............................................
 ..............................................

ตอบ ดงั นัน้ เศษเหลือเทา่ กับ .............

5)  2x5  4x4  3x3  8x  7 หารด้วย x 1
วิธีทา ให้ P(x)  .....................................

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(........).เป็นเศษเหลอื ที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย ..............

P(........).  ..............................................
 ..............................................

 ..............................................
 ..............................................

ตอบ ดงั นั้น เศษเหลือเท่ากับ .............

6) 4x5  3x4  2x3  9x2  29x  2 หารดว้ ย x  2
วธิ ที า ให้ P(x)  .....................................

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(........).เปน็ เศษเหลือทีไ่ ด้จากการหาร P(x) ด้วย ..............

P(........).  ..............................................
 ..............................................

 ..............................................
 ..............................................

ตอบ ดังนัน้ เศษเหลอื เท่ากับ .............

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทกั ษ์ 12

เราแค่เขียนตัวหารให้อยูใ่ น
รูป x  a แล้วนาค่า a
มาแทนคา่ ของตัวแปร

เทา่ นน้ั เองเนอะ

คะแนนเต็ม 12
คะแนนท่ีได้
ผลการประเมนิ
ลงชอ่ื ผู้ตรวจ

เกณฑ์การใหค้ ะแนน เกณฑ์การประเมิน

แสดงวธิ ีทาอย่างครบถว้ นและถกู ต้อง ให้ 2 คะแนน 11 – 12 คะแนน ระดับ 4 ดเี ย่ยี ม
9 – 10 คะแนน ระดบั 3 ดี
แสดงวิธีทาบางส่วนถูกต้อง ให้ 1 คะแนน 6 – 8 คะแนน ระดับ 2 พอใช้
0 – 5 คะแนน ระดับ 1 ปรบั ปรุง
แสดงวธิ ที าไมถ่ ูกต้องหรอื ไม่ตอบ ให้ 0 คะแนน

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทักษ์ 13

คาชแ้ี จงที่ 2 จากแบบฝึกทักษะขา้ งต้นจงนาคาทอี่ ยู่คู่กบั คาตอบทถ่ี ูกต้องมาเรียงเปน็ สานวนไทยพร้อมท้ังอธิบายความหมาย

คาตอบ คาสานวนไทย คาตอบ คาสานวนไทย

85 ดี 14 วนั

0 สี่  60 วนั

17 หาว 35 สาม

75 ปาก 0 ไข้

สานวนไทยทพี่ บและความหมาย
……………………………………………………………………………………………………………………………………

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 14

ตอนที่ 2 เนอื้ หาสรุปและตัวอย่าง เลม่ ท่ี 6
เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทมี่ สี มั ประสทิ ธิ์

เป็นจานวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื

ทฤษฎีตัวประกอบ ถ้า P(x) เป็นพหนุ ามทมี่ สี ัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนจริงและ a เป็นค่าคงท่ี จะได้ x  a
เปน็ ตัวประกอบของพหนุ ามP(x) กต็ อ่ เมื่อ P(a)  0

ตัวอย่างที่ 3 จงแสดงวา่ x  1 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  4x2  11x  6
วิธที า ให้ P(x)  x3  4x2  11x  6

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(1) เป็นเศษเหลือทไี่ ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  1
P(1)  (1)3  4(1)2  11(1)  6

 1  4 11  6
0
น่ันคอื เศษเหลือเทา่ กบั 0
ตอบ ดงั น้ัน x  1 เปน็ ตัวประกอบของ x3  4x2  11x  6

สรปุ
การแยกตวั ประกอบของพหุนามท่มี ีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนเต็มโดยใช้ทฤษฎเี ศษเหลือ
มีขนั้ ตอนดังนี้

ให้ P(x)  xn  xn1  xn2  ...  x2  x  a0

ขน้ั ตอนท่ี 1 หาตัวประกอบของ a0
ข้ันตอนที่ 2 หาค่าของ a จากตวั ประกอบของ a0 ทท่ี าให้ P(a)  0 จะได้ (x  a)

เปน็ ตวั ประกอบตัวหนึ่งของ P(x)
ขั้นตอนท่ี 3 หาผลจากการหาร P(x) ด้วย x  a
ข้ันตอนที่ 4 แยกตวั ประกอบของพหนุ ามทมี่ ีดีกรีต่ากวา่ P(x)

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทกั ษ์ 15

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีสัมประสิทธิเ์ ปน็ จานวนเตม็ ตอ่ ไปน้ี โดยใชท้ ฤษฎีเศษเหลือ
1) x3  x2  8x  12
วิธที า ให้ P(x)  x3  x2  8x 12

ข้ันตอนที่ 1 หาตวั ประกอบของ a0
ตวั ประกอบของ 12 คอื  1,  2,  3,  4,  6,  12

ขั้นตอนท่ี 2 หา a ทท่ี าให้ P(a)  0

พิจารณา P(2) จะไดว้ ่า
P(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12

 8  4  16  12
0

ดงั นั้น x  2 เป็นตวั ประกอบของ x3  x2  8x  12
ขน้ั ตอนท่ี 3 หาผลจากการหาร P(x) ด้วย x  2

นา x  2 ไปหาร x3  x2  8x 12 ได้ผลหารเปน็ x2  x  6

ดงั นั้น P(x)  (x  2)(x2  x  6)

ข้ันตอนท่ี 4 แยกตัวประกอบของพหนุ ามทีม่ ดี ีกรีตา่ กวา่ P(x)

จะได้ P(x)  (x  2)(x2  x  6)

 (x  2)(x  2)(x  3)

ดงั นนั้ x3  x2  8x 12  (x  2)(x  2)(x  3)
หรือ x3  x2  8x 12  (x  2)2 (x  3)
ตอบ (x  2)(x  2)(x  3) หรือ (x2)2 (x  3)

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทักษ์ 16

2) x3  3x2  2

วธิ ีทา ให้ P(x)  x3  3x2  2

ตัวประกอบของ 2 คอื  1,  2

พิจารณา P(1) จะได้ว่า
P(1)  (1)3  3(1)2  2

 132
0

ดงั น้ัน x  (1) หรอื x  1 เปน็ ตัวประกอบของ x3  3x2  2
นา x  1ไปหาร x3  3x2  2 ได้ผลหารเป็น x2  2x  2
จะได้ P(x)  (x  1)(x2  2x  2)
ดังน้นั x3  3x2  2  (x  1)(x2  2x  2)
ตอบ (x  1)(x2  2x  2)

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทักษ์ 17

3) x4  15x2  10x  24
วิธที า ให้ P(x)  x4  15x2  10x  24

ตัวประกอบของ 24 คอื  1,  2,  3,  4,  6,  8,  12,  24
พจิ ารณา P(1) จะไดว้ า่

P(1)  (1)4 15(1)2 10(1)  24

 1  15  10  24
0

ดังนน้ั x  1 เป็นตวั ประกอบของ x3  x2  8x 12
นา x  1ไปหาร x4  15x2  10x  24 ไดผ้ ลหารเป็น x3  x2  14x  24
จะได้ P(x)  (x1)(x3  x2  14x  24)

ให้ Q(x)  x3  x2  14x  24

ตัวประกอบของ 24 คอื  1,  2,  3,  4,  6,  8,  12,  24
พจิ ารณา Q(2) จะได้ว่า

Q(2)  (2)3(2)2 14(2)  24

  8  4  28  24
0

ดังนน้ั x  2 เป็นตวั ประกอบของ x3  x2  14x  24
นา x  2 ไปหาร x3  x2  14x  24 ไดผ้ ลหารเปน็ x2  x  12
จะได้ Q(x)  (x  2)(x2  x  12)
ดังนนั้ P(x)  (x  1)(x  2)(x2  x  12)

 (x 1)(x  2)(x  4)(x  3)

น่นั คือ x4  15x2  10x  24  (x 1)(x  2)(x  4)(x  3)

ตอบ (x 1)(x  2)(x  4)(x  3)

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 18

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ที่ 2

คาชแ้ี จง จงแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมสี มั ประสิทธเิ์ ป็นจานวนเต็มตอ่ ไปนี้ โดยใชท้ ฤษฎีเศษเหลือ
(ข้อละ 4 คะแนน)

1) x3  8x2  19x  12
วิธีทา ให้ P(x)  x3  8x2  19x 12
ขน้ั ตอนท่ี 1 หาตวั ประกอบของ a0
ตัวประกอบของ 12 คือ 1,  2, ........., 4,........,. 12

ขน้ั ตอนท่ี 2 หา P(1) ทเ่ี ทา่ กบั 0
พิจารณา P(1) จะไดว้ า่
P(1)  ......... 8(1)2 19(1) .........

 1 .........19  .........
0

ดังนน้ั x 1 เปน็ ตวั ประกอบของ ..............................................

ขัน้ ตอนท่ี 3 หาผลจากการหาร P(x) ด้วย x  a

นา x 1ไปหาร x3  8x2  19x 12 ได้ผลหารเป็น ..............................................

ขั้นตอนที่ 4 แยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมดี ีกรตี า่ กวา่ P(x)

จะได้ P(x)  (x 1)...........................
 (x 1).(x  .........).(x .........)

ดงั นัน้ x3  8x2  19x  12  (x 1).(x  .........).(x .........)

ตอบ ..............................................

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทักษ์ 19

2) x3 19x  30

วธิ ีทา ให้ P(x)  x3 19x  30
ตัวประกอบของ .........คอื 1,........,.3,........,.6,........,.15,.........

พิจารณา P(........). จะไดว้ ่า

P(.........)  (.........)3 19(.........)  30

  8  ........ 30
 .........

ดงั นน้ั x .........ห. รอื x ......... เป็นตวั ประกอบของ ..............................................
นา x .........ไปหาร ...................................... ไดผ้ ลหารเปน็ ......................................

จะได้ P(x)  (x  .........).(x2  ......... 15)
 (x  .........).(x  .........).(x  5)

ดังนั้น x3 19x  30  (x  .........).(x  .........).(x  5)

ตอบ ..............................................

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทักษ์ 20

3) x4  2x3 11x2 12x  36
วิธที า ให้ P(x)  x4  2x3 11x2 12x  36

ตวั ประกอบของ ……… คอื ......................................................................................

พิจารณา P(........). จะไดว้ ่า
P(.........)  ................................................................

 ................................................................
 ................................................................

ดังนัน้ x ......... เป็นตวั ประกอบของ .........................................................................
นา x .........ไปหาร ........................................ไดผ้ ลหารเปน็ .........................................
จะได้ P(x)  .................................................

ให้ Q(x)  .................................................

ตัวประกอบของ .........คอื ......................................................................................

พิจารณา Q(........). จะไดว้ า่

Q(........).  .................................................
 .................................................
 ..............................................

ดังน้นั x ......... เปน็ ตัวประกอบของ .........................................................................
นา x .........ไปหาร ........................................ไดผ้ ลหารเปน็ .........................................
จะได้ Q(x)  .................................................

ดงั นั้น P(x)  .................................................
 .................................................

หรือ  .................................................

นนั่ คือ x4  2x3 11x2 12x  36  .................................................
หรือ  .................................................
ตอบ ................................................. หรือ .................................................

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทักษ์ 21

4) x4  5x3 17x2 129x 180

วิธที า ให้ P(x)  .........................................................................
ตวั ประกอบของ ……… คือ ......................................................................................

พิจารณา P(........). จะไดว้ ่า

P(.........)  ...............................................................

 ................................................................
 ................................................................

ดงั นัน้ x ......... เปน็ ตวั ประกอบของ .........................................................................
นา x .........ไปหาร ........................................ได้ผลหารเป็น .........................................
จะได้ P(x)  .................................................
ให้ Q(x)  .................................................
ตวั ประกอบของ .........คอื ......................................................................................
พิจารณา Q(........). จะไดว้ ่า
Q(........).  .................................................

 .................................................
 .................................................

ดงั นน้ั x ......... เปน็ ตวั ประกอบของ .........................................................................
นา x .........ไปหาร ........................................ไดผ้ ลหารเป็น .........................................
จะได้ Q(x)  .................................................

ดังน้นั P(x)  .................................................
 .................................................

หรือ  .................................................
นนั่ คอื x4  5x3 17x2 129x 180  .................................................

หรอื  .................................................
ตอบ ................................................. หรอื .................................................

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทกั ษ์ 22

ในการแยกตัวประกอบของ
พหนุ ามด้วยทฤษฎีเศษเหลอื
…ถ้าเราทาตามขนั้ ตอน....

…มนั กไ็ ม่ใชเ่ รื่องยากแลว้ ....

คะแนนเต็ม 16
คะแนนท่ไี ด้
ผลการประเมนิ
ลงช่ือผ้ตู รวจ

เกณฑก์ ารให้คะแนน เกณฑก์ ารประเมนิ

แสดงวิธที าอยา่ งครบถ้วนและถูกต้อง ให้ 4 คะแนน 15 – 16 คะแนน ระดบั 4 ดเี ยี่ยม
ทุกขั้นตอน 12– 14 คะแนน ระดับ 3 ดี
แสดงวิธีทาอย่างครบถ้วนและถกู ต้อง ให้ 3 คะแนน 8 – 11 คะแนน ระดบั 2 พอใช้
3 ขน้ั ตอน 0 – 7 คะแนน ระดับ 1 ปรับปรงุ
แสดงวิธีทาอย่างครบถว้ นและถูกต้อง ให้ 2 คะแนน
2 ขัน้ ตอน
แสดงวิธีทาอยา่ งครบถ้วนและถูกต้อง ให้ 1 คะแนน
1 ขนั้ ตอน
แสดงวธิ ีทาไมถ่ ูกต้องทุกขัน้ ตอน ให้ 0 คะแนน
หรอื ไม่ตอบ

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 23

คาชีแ้ จงที่ 2 จากแบบฝึกทักษะขา้ งต้นจงนาคาท่อี ยู่คู่กับคาตอบท่ถี ูกต้องมาเรียงเป็นสานวนไทยพร้อมท้งั อธิบายความหมาย

คาตอบ คาสานวนไทย คาตอบ คาสานวนไทย

(x 1)(x  4)(x  3) เสือ่ (x  4)(x  3)(x  5)(x  3) เขยี ว

(x  2)(x  2)(x  3)(x  3) หมอน (x  2)(x  3)(x  5) หล้า

(x  2)(x  2)(x  3)(x  3) ฟ้า (x  4)(x  3)(x  5)(x  3) ใบ

(x 1)(x  4)(x  3) สุด (x  2)(x  3)(x  5) ผืน

สานวนไทยท่พี บและความหมาย
……………………………………………………………………………………………………………………………………

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทักษ์ 24

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทักษ์ 25

สานวนภาษาอังกฤษ :............................................................................................................................. ......

สานวนภาษาไทย :............................................................................................................................. ......

ความหมาย :.......................................................................................................... .........................

เกณฑ์การให้คะแนน ให้ 4 คะแนน
ให้ 3 คะแนน
สานวนภาษาองั กฤษ และ สานวนภาษาไทย ให้ 2 คะแนน
รวมทั้งให้ความหมายได้ถูกต้อง ให้ 1 คะแนน
ให้ 0 คะแนน
สานวนภาษาอังกฤษ และ สานวนภาษาไทย
ถกู ต้องแต่ให้ความหมายไม่ถูกต้อง

สานวนภาษาองั กฤษ หรือ สานวนภาษาไทย
ถูกต้องรวมทั้งให้ความหมายไดถ้ ูกต้อง

สานวนภาษาอังกฤษ หรือ สานวนภาษาไทย
ถกู ต้องแตใ่ ห้ความหมายไม่ถกู ต้อง

สานวนภาษาองั กฤษ และ สานวนภาษาไทย
รวมทง้ั ให้ความหมายไมถ่ กู ต้องหรือไม่ตอบ

คะแนนเต็ม 4 เกณฑก์ ารประเมนิ
คะแนนทีไ่ ด้
ผลการประเมนิ 4 คะแนน ระดับ 4 ดเี ย่ยี ม
ลงช่ือผู้ตรวจ 3 คะแนน ระดบั 3 ดี
2 คะแนน ระดับ 2 พอใช้
0 – 1 คะแนน ระดับ 1 ปรบั ปรงุ

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทักษ์ 26

แบบทดสอบหลังฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6
เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทมี่ ีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม

โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

คาชี้แจง แบบทดสอบฉบับน้ีเป็นแบบทดสอบชนิดเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
เวลาในการทาแบบทดสอบ 15 นาที โดยให้นักเรียนเลือกคาตอบและทาเคร่อื งหมายกากบาท() ทบั ตัวเลอื ก
ทีถ่ ูกตอ้ งเพยี งขอ้ เดียว

ขอ้ ที่ 1 ถา้ P(x)  x3  x2  10x  8แล้วคา่ ของ P(3) ตรงกับข้อใด

ก. 30

ข. 40

ค. 50

ง. 60

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อที่ 2 ถ้า P(x)  x3  4x2  3x  6 แลว้ ค่าของ P(0) ตรงกับข้อใด

ก. 2
ข. 6

ค. 2
ง. 6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ ที่ 3 พหนุ าม 2x3  3x2  6 หารดว้ ย x  3 จะเหลอื เศษเท่าใด

ก. 11

ข. 22

ค. 33

ง. 44
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ขอ้ ท่ี 4 พิจารณาการหารพหุนามตอ่ ไปนี้
1. x3  x2  8x  12 หารด้วย x  2 2. x3  x2  8x  12 หารด้วย x  2
3. x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  3 4. x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  3

ข้อใดกล่าวถูกต้อง

ก. ไมม่ ีพหุนามใดหารกนั ลงตัว

ข. มพี หุนามทีห่ ารกนั ลงตัว 1 ข้อ

ค. มีพหนุ ามที่หารกนั ลงตัว 2 ขอ้

ง. มพี หนุ ามท่ีหารกนั ลงตัวมากกวา่ 2 ขอ้

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 27

ขอ้ ที่ 5 ถา้ พหุนาม x3  6x2  7x  a และ x3  5x2  10x  11 หารด้วย x  3 เหลอื เศษเท่ากัน
แล้วค่า a คือข้อใด

ก. 7
ข. 9

ค. 11
ง. 13
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อท่ี 6 ถา้ x3  px2  11x  10 หารด้วย x  2 ลงตัว แลว้ ค่า p คอื ข้อใด

ก.  1
ข. 0

ค. 1
ง. 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อท่ี 7 ขอ้ ใดไม่ใช่ตัวประกอบของ x3  2x2  16x  32

ก. x  4
ข. x  2
ค. x  2
ง. x  4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ ท่ี 8 ขอ้ ใดไม่ใช่ตวั ประกอบของ x4  5x3  5x2  5x  6

ก. x  4
ข. x  3
ค. x  2
ง. x  1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ ท่ี 9 ขอ้ ใดเป็นการแยกตวั ประกอบของ x3  4x2  11x  6

ก. (x 1)(x 1)(x  6)
ข. (x 1)(x  1)(x  6)
ค. (x 1)(x  2)(x  3)
ง. (x 1)(x  2)(x  3)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ข้อที่ 10 ข้อใดเปน็ การแยกตัวประกอบของ x4  2x3  11x2  12x  36

ก. (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)
ข. (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)
ค. (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)
ง. (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทกั ษ์ 28

คะแนนเต็ม 10
คะแนนทไ่ี ด้
ผลการประเมิน
ลงชื่อผตู้ รวจ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน เกณฑก์ ารประเมิน

ตอบถูกตอ้ ง ให้ 1 คะแนน 10 คะแนน ระดบั 4 ดเี ยี่ยม
8 – 9 คะแนน ระดบั 3 ดี
ตอบผดิ หรอื ไม่ตอบ ให้ 0 คะแนน 5 – 7 คะแนน ระดับ 2 พอใช้
0 – 4 คะแนน ระดับ 1 ปรับปรุง

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทักษ์ 29

แบบบนั ทึกสรปุ คะแนน

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6
เรอื่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามทม่ี ีสัมประสิทธิ์เปน็ จานวนเต็มโดยใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือ

คะแนน ระ ัดบ ุคณภาพ คะแนน
แบบทดสอบ ระ ัดบ ุคณภาพแบบทดสอบ
กอ่ นฝึกทักษะ ระ ัดบ ุคณภาพหลงั ฝกึ ทักษะ
(10 คะแนน) แบบฝกึ ทักษะ คะแนน คะแนน (10 คะแนน)

คณิตศาสตร์ท่ี เต็ม ท่ีได้

1 12
2 16
34
รวม 32

เกณฑก์ ารประเมิน

รายการประเมิน ระดบั คณุ ภาพ เกณฑก์ ารพิจารณา
1 (ปรับปรงุ ) คะแนน 0 – 15 คะแนน
1. คะแนนการทาแบบฝึกทกั ษะ 2 (พอใช้) คะแนน 16 – 23 คะแนน
คณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 3 (ดี) คะแนน 24 – 32 คะแนน
(คะแนนเต็ม 32 คะแนน) 1 (ปรับปรุง) คะแนน 0 – 4 คะแนน
2 (พอใช้) คะแนน 5 – 7 คะแนน
2. คะแนนการทาแบบทดสอบ 3 (ดี) คะแนน 8 – 10 คะแนน
หลังฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6
(คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

*หมายเหตุ ระดบั คุณภาพดี ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทักษ์ 30

ภาคผนวก

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทักษ์ 31

เฉลยแบบทดสอบก่อนฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6

1.ข 2.ข 3.ค 4.ค 5.ก 6.ค 7.ข 8.ก 9.ก 10.ง

เฉลยและอธบิ ายแนวคดิ

ข้อ 1 ตอบ ข.

วิธที า P(x)  x3  4x2  3x  6
P(0)  (0)3  4(0)2  3(0)  6

0006
6
ดงั นน้ั P(0)  6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อ 2 ตอบ ข.

วธิ ีทา P(x)  x3  x2 10x  8
P(3)  (3)3  (3)2 10(3)  8

 27  9  30  8
 40
ดังน้นั P(3)  40
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ้ 3 ตอบ ค.

วิธที า ให้ P(x)  2x3  3x2  6

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(3) เป็นเศษเหลอื ท่ีไดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  3

P(x)  2x3  3x2  6
P(3)  2(3)3  3(3)2  6

 54  27  6
 33
ดงั น้ัน พหุนาม 2x3  3x2  6 หารด้วย x  3 จะเหลือเศษ 33
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทักษ์ 32

ขอ้ 4 ตอบ ค.

วธิ ีทา 1. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(2) เปน็ เศษเหลอื ที่ไดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  2

P(x)  x3  x2  8x  12
P(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12

 8  4 16 12
0

ดงั นน้ั พหุนาม x3  x2  8x  12 หารด้วย x  2 ลงตัว

วิธที า 2. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(2) เปน็ เศษเหลือท่ไี ด้จากการหาร P(x) ด้วย x  2

P(x)  x3  x2  8x  12

P(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12

 8  4  16  12
 16

ดงั นั้น พหนุ าม x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  2 ไม่ลงตวั

วิธที า 3. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(3) เป็นเศษเหลอื ทไี่ ดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย x  3

P(x)  x3  x2  8x  12
P(3)  (3)3  (3)2  8(3)  12

 27  9  24 12
6

ดงั นั้น พหุนาม x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  3 ไม่ลงตัว

วิธที า 4. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(3) เป็นเศษเหลอื ทไี่ ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  3

P(x)  x3  x2  8x  12

P(3)  (3)3  (3)2  8(3)  12

 27  9  24 12
0

ดงั นัน้ พหุนาม x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  3 ลงตวั

น่ันคอื มีพหนุ ามที่หารกันลงตัว 2 ขอ้ คือข้อ 1 และ ข้อ 4

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทกั ษ์ 33

ข้อ 5 ตอบ ก.
วิธีทา ให้ P(x)  x3  px2 11x 10
จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(2) เป็นเศษเหลือที่ได้จากการหาร P(x) ดว้ ย x  2

P(x)  x3  px2 11x 10
P(2)  (2)3  p(2)2 11(2) 10
0  8  4p  22  10
ดงั นนั้ p  1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ขอ้ 6 ตอบ ค.

วิธีทา ให้ P(x)  x3  6x2  7x  a

และ x  3  0

x  3

P(3)  (3)3  6(3)2  7(3)  a

 27  54  21 a
 48  a

ดงั นน้ั เศษจากการหารของ x3  6x2  7x  a คอื  48  a ……………………………….(1)
ให้ P(x)  x3  5x2 10x 11

และ x  3  0

x  3
P(3)  (3)3  5(3)2 10(3) 11

 27  45  30  11
 59

ดังนั้น เศษจากการหารของ x3  5x2  10x  11 คอื  59 ………………………………….(2)

เนอื่ งจากเศษจากการหารเทา่ กัน
(1)=(2) ; 48  a  59
ดงั นั้น a  11
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทักษ์ 34

ข้อ 7 ตอบ ข.

วิธีทา ให้ P(x)  x3  2x2  16x  32

พจิ ารณา P(2) จะไดว้ า่
P(2)  (2)3  2(2)2 16(2)  32
  8  8  32  32
0

ดงั นน้ั x  2 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  2x2  16x  32

นา x  2 ไปหาร x3  2x2  16x  32 ได้ผลหารเปน็ x2  16
จะได้ P(x)  (x  2)(x2  16)

 (x  2)(x  4)(x  4)
นนั่ คือ x3  2x2  16x  32  (x  2)(x  4)(x  4)
ดงั นั้น x  2 ไมเ่ ป็นตวั ประกอบของ x3  2x2  16x  32

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ข้อ 8 ตอบ ก.

วธิ ีทา ให้ P(x)  x3  4x2 11x  6

พิจารณา P(1) จะไดว้ า่
P(1)  (1)3  4(1)2 11(1)  6
 1  4  11  6
0

ดงั นัน้ x  1 เปน็ ตัวประกอบของ x3  4x2  11x  6

นา x  1ไปหาร x3  4x2  11x  6 ได้ผลหารเปน็ x2  5x  6
จะได้ P(x)  (x 1)(x2  5x  6)

 (x 1)(x 1)(x 6)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทกั ษ์ 35

ขอ้ 9 ตอบ ก.

วธิ ที า ให้ P(x)  x4  5x3  5x2  5x  6

พจิ ารณา P(1) จะไดว้ า่
P(1)  (1)4  5(1)3  5(1)2  5(1)  6
 15556
0

ดังน้ัน x  1 เป็นตวั ประกอบของ x4  5x3  5x2  5x  6

นา x  1 ไปหาร x4  5x3  5x2  5x  6 ได้ผลหารเป็น x3  4 x2  x  6
จะได้ P(x)  (x1)x3 4 x2  x  6
ให้ Q(x)  x3 4 x2  x  6

พจิ ารณา Q(2) จะได้ว่า

Q(2)  (2)3  4(2)2  (2)  6

 8 16  2  6
0

ดงั นั้น x  2 เป็นตวั ประกอบของ x3  4 x2  x  6
นา x  2 ไปหาร x3  4 x2  x  6 ได้ผลหารเป็น x2  2x  3

จะได้ Q(x)  (x  2)(x2  2x  3)
ดงั นัน้ P(x)  (x 1)(x  2)(x2  2x  3)

 (x 1)(x  2)(x 1)(x  3)
นน่ั คือ x4  5x3  5x2  5x  6  (x 1)(x  2)(x 1)(x  3)
ดงั นน้ั x  4 ไม่เป็นตวั ประกอบของ x4  5x3  5x2  5x  6

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 36

ขอ้ 10 ตอบ ง.

วิธีทา ให้ P(x)  x4  2x3 11x2 12x  36

พจิ ารณา P(3) จะได้ว่า
P(3)  (3)4  2(3)3 11(3)2 12(3)  36
 81  54  99  36  36
0

ดังนั้น x  3 เปน็ ตัวประกอบของ x4  2x3  11x2  12x  36

นา x  3 ไปหาร x4  2x3  11x2  12x  36 ได้ผลหารเปน็ x3  x2  8x  12
จะได้ P(x)  (x  3)(x3  x2  8x 12)
ให้ Q(x)  x3  x2  8x  12

พิจารณา Q(2) จะได้วา่
Q(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12
 8  4 16 12
0

ดงั น้ัน x  2 เป็นตวั ประกอบของ x3  x2  8x  12
นา x  2 ไปหาร x3  x2  8x  12 ได้ผลหารเป็น x2  x  6

จะได้ Q(x)  (x  2)(x2  x  6)
ดงั นั้น P(x)  (x  3)(x  2)(x2  x  6)

 (x  3)(x  2)(x  2)(x  3)
น่ันคือ x4  2x3  11x2  12x  36  (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 37

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ที่ 1

คาช้ีแจง จงใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือท่ีได้จากการหารพหุนามในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ (ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1) 3x2  4x  3 หารด้วย x  4
วธิ ที า ให้ P(x)  3x2  4x  3

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(4) เป็นเศษเหลอื ท่ไี ด้จากการหาร P(x) ดว้ ย x  4
P(4)  3(4)2  4(4)  3

 3(16) 16  3
 48  16  3
 35
ตอบ ดงั นั้น เศษเหลอื เท่ากับ 35

2) 5x3  3x2  7x  6 หารดว้ ย x  2
วิธีทา ให้ P(x)  5x3  3x2  7x  6

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(2) เปน็ เศษเหลือทไี่ ด้จากการหาร P(x) ด้วย x  (2)
P(2)  5(2)3  3(2)2  7(2)  6

 5(8)  3(4) 14  6
  40 12 14  6
  60
ตอบ ดงั นนั้ เศษเหลือเท่ากับ  60

3) 2x4  5x2  6x 14 หารด้วย x  3
วิธที า ให้ P(x)  2x4  5x2  6x 14

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ P(3) เปน็ เศษเหลือทไ่ี ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  (3)
P(3)  2(3)4  5(3)2  6(3) 14

 2(81)  5(9) 18 14
 162  45 18 14
 85

ตอบ ดังนั้น เศษเหลอื เท่ากับ 85

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทกั ษ์ 38

4) 2x4  2x3  5x2  3x  4 หารดว้ ย x 1
วธิ ีทา ให้ P(x)  2x4  2x3  5x2  3x  4

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(1) เปน็ เศษเหลือทไ่ี ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  (1)
P(1)  2(1)4  2(1)3  5(1)2  3(1)  4

 2(1)  2(1)  5(1)  3  4
 22534
0

ตอบ ดงั นนั้ เศษเหลอื เท่ากับ 0

5)  2x5  4x4  3x3  8x  7 หารดว้ ย x 1
วธิ ีทา ให้ P(x)   2x5  4x4  3x3  8x  7

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(1) เป็นเศษเหลือที่ไดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย x 1
P(1)   2(1)5  4(1)4  3(1)3  8(1)  7

  2(1)  4(1)  3(1)  8(1)  7
 24387
 14

ตอบ ดงั นน้ั เศษเหลอื เทา่ กับ 14

6) 4x5  3x4  2x3  9x2  29x  2 หารดว้ ย x  2
วิธีทา ให้ P(x)  4x5  3x4  2x3  9x2  29x  2

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ P(2) เปน็ เศษเหลือทไี่ ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  (2)
P(2)  4(2)5  3(2)4  2(2)3  9(2)2  29(2)  2

 4(32)  3(16)  2(8)  9(4)  58  2
 128  48 16  36  58  2
0

ตอบ ดังนัน้ เศษเหลือเท่ากับ 0

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 39

คาชแ้ี จงที่ 2 จากแบบฝกึ ทักษะขา้ งตน้ จงนาคาท่อี ยู่ค่กู ับคาตอบทถี่ ูกต้องมาเรียงเปน็ สานวนไทยพร้อมทงั้ อธิบายความหมาย

คาตอบ คาสานวนไทย คาตอบ คาสานวนไทย
85 ดี วนั
0 ส่ี 14 วนั
 60

17 หาว 35 สาม

75 ปาก 0 ไข้

สานวนไทยที่พบและความหมาย สามวันดีส่ีวนั ไข้ หมายถึง เจ็บปว่ ยอยู่บ่อยๆ

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 40

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ท่ี 2

คาชแี้ จง จงแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสมั ประสทิ ธิ์เป็นจานวนเตม็ ตอ่ ไปนี้ โดยใชท้ ฤษฎเี ศษเหลือ
(ขอ้ ละ 4 คะแนน)

1) x3  8x2  19x  12
วิธที า ให้ P(x)  x3  8x2  19x 12

ขัน้ ตอนท่ี 1 หาตัวประกอบของ a0
ตวั ประกอบของ 12 คอื  1,  2,  3,  4,  6,  12
ข้นั ตอนท่ี 2 หา P(1) ทเ่ี ทา่ กบั 0

พิจารณา P(1) จะไดว้ ่า

P(1)  (1)3  8(1)2  19(1) 12
 1  8  19 12
0

ดังน้ัน x 1 เปน็ ตัวประกอบของ x3  8x2  19x  12
ขน้ั ตอนที่ 3 หาผลจากการหาร P(x) ดว้ ย x  a
นา x 1ไปหาร x3  8x2  19x  12 ได้ผลหารเป็น x2  7x  12
ขั้นตอนที่ 4 แยกตัวประกอบของพหุนามทีม่ ดี ีกรีตา่ กวา่ P(x)

จะได้ P(x)  (x 1)(x2 7x 12)

 (x 1)(x  4)(x  3)
ดังนั้น x3  8x2  19x  12  (x 1)(x  4)(x  3)

ตอบ (x 1)(x  4)(x  3)

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 41

2) x3 19x  30

วิธที า ให้ P(x)  x3 19x 30

ตัวประกอบของ  30 คือ 1,  2,3,5,6,10,15,30

พิจารณา P(2) จะได้วา่

P(2)  (2)3 19(2)  30
  8  38  30
0

ดังนั้น x  (2) หรอื x  2 เปน็ ตัวประกอบของ x3 19x  30
นา x  2ไปหาร x3 19x  30 ไดผ้ ลหารเปน็ x2  2x  15
จะได้ P(x)  (x  2)(x2  2x  15)

 (x  2)(x  3)(x  5)

ดงั นัน้ x3 19x  30  (x  2)(x  3)(x  5)

ตอบ (x  2)(x  3)(x  5)

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 42

3) x4  2x3 11x2 12x  36
วิธที า ให้ P(x)  x4  2x3 11x2 12x  36

ตวั ประกอบของ 36 คอื 1,  2,  3,  4,  6,  9, 12, 18,36

พจิ ารณา P(2) จะได้วา่

P(2)  (2)4  2(2)3 11(2)2 12(2)  36
 16  16  44  24  36
0

ดงั น้นั x  2 เป็นตัวประกอบของ x4  2x3 11x2 12x  36
นา x  2ไปหาร x4  2x3 11x2 12x  36 ไดผ้ ลหารเปน็ x3  4x2  3x 18
จะได้ P(x)  (x  2)(x3  4x2  3x 18)

ให้ Q(x)  x3  4x2  3x 18

ตัวประกอบของ 18 คือ 1,  2,  3,  6,  9, 18

พิจารณา Q(2) จะได้วา่

Q(2)  (2)3  4(2)2  3(2) 18)
 8 166 18
0

ดงั น้ัน x  2 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  4x2  3x 18
นา x  2 ไปหาร x3  4x2  3x 18 ไดผ้ ลหารเป็น x2  2x  9
จะได้ Q(x)  (x  2)(x2  6x  9)

ดงั นน้ั P(x)  (x  2)(x  2)(x2  6x  9)
 (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)

หรอื  (x  2)2 (x  3)2
นนั่ คือ x4  2x3 11x2 12x  36  (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)

หรือ  (x  2)2 (x  3)2
ตอบ (x  2)(x  2)(x  3)(x  3) หรอื (x  2)2 (x  3)2

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทกั ษ์ 43

4) x4  5x3 17x2 129x 180
วธิ ที า ให้ P(x)  x4  5x3 17x2 129x 180

ตวั ประกอบของ 36 คือ 1,  2,  3,  4,5,  6,  9,10, 12, 15,...,180

พจิ ารณา P(4) จะได้ว่า

P(4)  (4)4  5(4)3 17(4)2 129(4) 180
 256  320  272  516 180
0

ดังนั้น x  4 เปน็ ตัวประกอบของ x4  5x3 17x2 129x 180
นา x  4ไปหาร x4  5x3 17x2 129x 180 ได้ผลหารเป็น x3  x2  21x  45
จะได้ P(x)  (x  4)(x3  x2  21x  45)

ให้ Q(x)  x3  x2  21x  45

ตวั ประกอบของ 45 คือ 1,  3,  5,  9, 15,45

พจิ ารณา Q(3) จะได้ว่า

Q(3)  (3)3  (3)2  21(3)  45
 279 63 45
0

ดงั นั้น x  3 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  x2  21x  45
นา x  3 ไปหาร x3  x2  21x  45 ได้ผลหารเปน็ x2  2x 15
จะได้ Q(x)  (x  3)(x2  2x 15)

ดังนั้น P(x)  (x  4)(x  3)(x2  2x 15)
 (x  4)(x  3)(x  5)(x  3)

หรอื  (x  3)2 (x  4)(x  5)
นั่นคือ x4  5x3 17x2 129x 180  (x 4)(x 3)(x  5)(x 3)

หรอื  (x  3)2 (x  4)(x  5)
ตอบ (x  4)(x  3)(x  5)(x 3) หรือ (x  3)2 (x  4)(x  5)

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 44

คาชแี้ จงที่ 2 จากแบบฝกึ ทกั ษะข้างตน้ จงนาคาที่อยู่คกู่ ับคาตอบทีถ่ ูกต้องมาเรียงเป็นสานวนไทยพร้อมท้งั อธบิ ายความหมาย

คาตอบ คาสานวนไทย คาตอบ คาสานวนไทย

(x 1)(x  4)(x  3) เสอ่ื (x  4)(x  3)(x  5)(x  3) เขยี ว

(x  2)(x  2)(x  3)(x  3) หมอน (x  2)(x  3)(x  5) หลา้

(x  2)(x  2)(x  3)(x  3) ฟ้า (x  4)(x  3)(x  5)(x  3) ใบ

(x 1)(x  4)(x  3) สดุ (x  2)(x  3)(x  5) ผืน

สานวนไทยทพ่ี บและความหมาย เสื่อผนื หมอนใบ หมายถึง สร้างฐานะมาจากการไม่มี
อะไรเลย , ไมม่ ีอะไรติดตัวมา

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 45

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ที่ 3

1) x3  2x2  2x  12

วิธีทา ให้ P(x)  x3  2x2  2x 12

ตวั ประกอบของ 12 คอื  1,  2,3,4,6,12

พิจารณา P(2) จะได้ว่า

P(2)  (2)3  2(2)2  2(2)  12
  8  8  4  12
0

ดงั นน้ั x  (2) หรอื x  2 เปน็ ตัวประกอบของ x3  2x2  2x  12

นา x  2ไปหาร x3  2x2  2x  12 ไดผ้ ลหารเปน็ x2  4x  6
จะได้ P(x)  (x  2)(x2  4x  6)

ดงั นัน้ x3  2x2  2x  12  (x  2)(x2  4x  6)

ตอบ (x  2)(x2  4x  6) a

2) x3  4x2  11x  6

วธิ ีทา ให้ P(x)  x3  4x2 11x  6

ตัวประกอบของ 6 คอื  1,  2,3,6

พิจารณา P(1) จะไดว้ ่า

P(1)  (1)3  4(1)2  11(1)  6
 1  4  11  6
0

ดังนั้น x  1 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  4x2  11x  6

นา x  1 ไปหาร x3  4x2  11x  6 ได้ผลหารเปน็ x2  5x  6

จะได้ P(x)  (x  1)(x2  5x  6)

 (x 1)(x 1)(x  6)

 (x  1)2 (x  6)

ดังนั้น x3  4x2  11x  6  (x 1)(x 1)(x  6) หรอื (x  1)2 (x  6)

ตอบ (x 1)(x 1)(x  6) หรือ (x  1)2 (x  6) cat