แบบฝึก การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่ม 6

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 46

3) x3  2x2  16x  32

วธิ ีทา ให้ P(x)  x3  2x2 16x  32

ตัวประกอบของ  32 คือ  1,  2,4,8,16,32

พจิ ารณา P(2) จะไดว้ า่

P(2)  (2)3  2(2)2  16(2)  32
  8  8  32  32
0

ดงั นน้ั x  (2) หรอื x  2 เป็นตัวประกอบของ x3  2x2  16x  32

นา x  2ไปหาร x3  2x2  16x  32 ไดผ้ ลหารเปน็ x2 16
จะได้ P(x)  (x  2)(x2 16)

 (x  2)(x  4)(x  4)

ดงั นัน้ x3  2x2  16x  32  (x  2)(x  4)(x 4)

ตอบ (x  2)(x  4)(x 4) and

4) x3  x2  11x  4
วธิ ที า ให้ P(x)  x3  x2 11x  4

ตัวประกอบของ  4 คอื  1,  2,4

พจิ ารณา P(4) จะได้ว่า

P(4)  (4)3  (4)2 11(4)  4
 64  16  44  4

0

ดังนน้ั x  4 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  x2 11x  4

นา x  4 ไปหาร x3  x2 11x  4 ได้ผลหารเปน็ x2  3x  1

จะได้ P(x)  (x  4)(x2  3x  1)

ดงั นัน้ x3  x2 11x  4  (x  4)(x2  3x  1)

ตอบ (x  4)(x2  3x  1) dog

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี นอ้ ยพิทกั ษ์ 47

5) x4  34x2  225
วธิ ที า ให้ P(x)  x4  34x2  225

ตัวประกอบของ 225 คอื  1,  3,5,9,15,25,75,225

พจิ ารณา P(3) จะได้ว่า

P(3)  (3)4  34(3)2  225
 81  306  225
0

ดงั นั้น x  3 เป็นตวั ประกอบของ x4  34x2  225
นา x  3 ไปหาร x4  34x2  225 ได้ผลหารเป็น x3  3x2  25x  75
จะได้ P(x)  (x  3)(x3  3x2  25x  75)

ให้ Q(x)  x3  3x2  25x  75
ตัวประกอบของ  75 คอื  1,  3,  5,  15,25,75

พจิ ารณา Q(3) จะไดว้ ่า

Q(3)  (3)3  3(3)2  25(3)  75

 27 27 7575
0

ดงั นนั้ x  (3) หรอื x  3 เป็นตวั ประกอบของ x3  3x2  25x  75
นา x  3 ไปหาร x3  3x2  25x  75 ไดผ้ ลหารเป็น x2  25
จะได้ Q(x)  (x  3)(x2  25)

ดังนน้ั P(x)  (x  3)(x  3)(x2  25)
 (x 3)(x  3)(x  5)(x 5)

น่นั คือ x4  34x2  225  (x  3)(x  3)(x  5)(x 5)

ตอบ (x 3)(x  3)(x  5)(x 5) life

สานวนภาษาองั กฤษ : A cat and dog life.
สานวนภาษาไทย : ขมน้ิ กับปูน
ความหมาย : ชอบวิวาทกนั อยู่เสมอเม่อื อยู่ใกลก้ นั ไมถ่ ูกกนั

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 48

เฉลยแบบทดสอบหลงั ฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6

1.ข 2.ข 3.ค 4.ค 5.ค 6.ก 7.ข 8.ก 9.ก 10.ง

เฉลยและอธบิ ายแนวคิด

ขอ้ 1 ตอบ ข.

วธิ ที า P(x)  x3  x2 10x  8
P(3)  (3)3  (3)2 10(3)  8

 27  9  30  8
 40
ดงั นน้ั P(3)  40
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ขอ้ 2 ตอบ ข.

วธิ ที า P(x)  x3  4x2  3x  6
P(0)  (0)3  4(0)2  3(0)  6

0006
6
ดงั นน้ั P(0)  6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ข้อ 3 ตอบ ค.

วิธีทา ให้ P(x)  2x3  3x2  6

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(3) เป็นเศษเหลือทีไ่ ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  3

P(x)  2x3  3x2  6
P(3)  2(3)3  3(3)2  6

 54  27  6
 33
ดงั นนั้ พหนุ าม 2x3  3x2  6 หารดว้ ย x  3 จะเหลือเศษ 33
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทักษ์ 49

ขอ้ 4 ตอบ ค.

วธิ ที า 1. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(2) เป็นเศษเหลือทีไ่ ด้จากการหาร P(x) ด้วย x  2

P(x)  x3  x2  8x  12
P(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12

 8  4 16 12
0

ดงั นน้ั พหุนาม x3  x2  8x  12 หารดว้ ย x  2 ลงตัว

วิธีทา 2. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(2) เปน็ เศษเหลอื ท่ไี ดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย x  2

P(x)  x3  x2  8x  12

P(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12

 8  4 16 12
 16

ดังนน้ั พหนุ าม x3  x2  8x  12 หารด้วย x  2 ไม่ลงตวั

วิธีทา 3. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(3) เป็นเศษเหลือทีไ่ ดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย x  3

P(x)  x3  x2  8x  12
P(3)  (3)3  (3)2  8(3)  12

 27  9  24 12
6

ดังนั้น พหุนาม x3  x2  8x  12 หารด้วย x  3 ไม่ลงตวั

วธิ ที า 4. ให้ P(x)  x3  x2  8x  12

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(3) เป็นเศษเหลอื ที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x  3

P(x)  x3  x2  8x  12

P(3)  (3)3  (3)2  8(3)  12

 27  9  24 12
0

ดงั น้นั พหนุ าม x3  x2  8x  12 หารด้วย x  3 ลงตัว

นั่นคือ มีพหุนามที่หารกนั ลงตวั 2 ขอ้ คือข้อ 1 และ ข้อ 4

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทกั ษ์ 50

ขอ้ 5 ตอบ ค.

วิธที า ให้ P(x)  x3  6x2  7x  a

และ x  3  0

x  3

P(3)  (3)3  6(3)2  7(3)  a

 27  54  21 a
 48  a

ดังนน้ั เศษจากการหารของ x3  6x2  7x  a คือ  48  a ……………………………….(1)
ให้ P(x)  x3  5x2 10x 11

และ x  3  0

x  3
P(3)  (3)3  5(3)2 10(3) 11

 27  45  30  11
 59

ดงั นัน้ เศษจากการหารของ x3  5x2  10x  11 คือ  59 ………………………………….(2)

เนื่องจากเศษจากการหารเท่ากัน
(1)=(2) ; 48  a  59
ดงั น้นั a  11

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ข้อ 6 ตอบ ก.
วธิ ีทา ให้ P(x)  x3  px2 11x 10

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ P(2) เปน็ เศษเหลือทไี่ ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x  2
P(x)  x3  px2 11x 10
P(2)  (2)3  p(2)2 11(2) 10
0  8  4p  22  10

ดังน้นั p  1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี นอ้ ยพิทกั ษ์ 51

ขอ้ 7 ตอบ ข.

วธิ ที า ให้ P(x)  x3  2x2  16x  32

พจิ ารณา P(2) จะไดว้ ่า
P(2)  (2)3  2(2)2 16(2)  32
  8  8  32  32
0

ดังน้นั x  2 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  2x2  16x  32

นา x  2 ไปหาร x3  2x2  16x  32 ได้ผลหารเป็น x2  16
จะได้ P(x)  (x  2)(x2  16)

 (x  2)(x  4)(x  4)
นัน่ คอื x3  2x2  16x  32  (x  2)(x  4)(x  4)
ดงั นน้ั x  2 ไมเ่ ปน็ ตวั ประกอบของ x3  2x2  16x  32

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อ 8 ตอบ ก.

วิธที า ให้ P(x)  x4  5x3  5x2  5x  6

พิจารณา P(1) จะไดว้ า่
P(1)  (1)4  5(1)3  5(1)2  5(1)  6
 15556
0

ดังนน้ั x  1 เป็นตัวประกอบของ x4  5x3  5x2  5x  6

นา x  1 ไปหาร x4  5x3  5x2  5x  6 ได้ผลหารเป็น x3  4 x2  x  6
จะได้ P(x)  (x1)x3 4 x2  x  6
ให้ Q(x)  x3 4 x2  x  6

พิจารณา Q(2) จะไดว้ า่

Q(2)  (2)3  4(2)2  (2)  6

 8 16  2  6
0

ดังน้นั x  2 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  4 x2  x  6
นา x  2 ไปหาร x3  4 x2  x  6 ไดผ้ ลหารเปน็ x2  2x  3

จะได้ Q(x)  (x  2)(x2  2x  3)

รายวชิ า ค23201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวิตรี น้อยพิทักษ์ 52

ดังนน้ั P(x)  (x 1)(x  2)(x2  2x  3)

 (x 1)(x  2)(x 1)(x  3)

น่นั คือ x4  5x3  5x2  5x  6  (x 1)(x  2)(x 1)(x  3)
ดงั นน้ั x  4 ไม่เป็นตวั ประกอบของ x4  5x3  5x2  5x  6

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อ 9 ตอบ ก.

วิธที า ให้ P(x)  x3  4x2 11x  6

พจิ ารณา P(1) จะไดว้ ่า
P(1)  (1)3  4(1)2 11(1)  6

 1  4  11  6
0

ดงั นน้ั x  1 เปน็ ตวั ประกอบของ x3  4x2  11x  6

นา x  1ไปหาร x3  4x2  11x  6 ไดผ้ ลหารเปน็ x2  5x  6
จะได้ P(x)  (x 1)(x2  5x  6)

 (x 1)(x 1)(x 6)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อ 10 ตอบ ง.

วิธที า ให้ P(x)  x4  2x3 11x2 12x  36

พจิ ารณา P(3) จะไดว้ ่า
P(3)  (3)4  2(3)3 11(3)2 12(3)  36
 81  54  99  36  36
0

ดงั นั้น x  3 เป็นตวั ประกอบของ x4  2x3  11x2  12x  36

นา x  3 ไปหาร x4  2x3  11x2  12x  36 ได้ผลหารเปน็ x3  x2  8x  12
จะได้ P(x)  (x  3)(x3  x2  8x 12)
ให้ Q(x)  x3  x2  8x  12

พจิ ารณา Q(2) จะได้ว่า
Q(2)  (2)3  (2)2  8(2)  12
 8  4 16 12
0

ดังนน้ั x  2 เป็นตัวประกอบของ x3  x2  8x  12

รายวชิ า ค23201 คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทกั ษ์ 53

นา x  2 ไปหาร x3  x2  8x  12 ไดผ้ ลหารเปน็ x2  x  6

จะได้ Q(x)  (x  2)(x2  x  6)
ดงั นั้น P(x)  (x  3)(x  2)(x2  x  6)

 (x  3)(x  2)(x  2)(x  3)
นั่นคอื x4  2x3  11x2  12x  36  (x  2)(x  2)(x  3)(x  3)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

รายวิชา ค23201 คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 โดย นางสาวสาวติ รี น้อยพิทักษ์ 54

บรรณานกุ รม

กมล เอกไทยเจริญ.คู่มอื เตรียมสอบคณิตศาสตร์ สาระพืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม. 3 เล่ม 1.กรงุ เทพฯ :
เจริญดมี น่ั คงการพิมพ์, 2555.

โชคชยั สริ ิหาญอุดม.ขอ้ สอบแข่งขนั คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ระดับมธั ยมศึกษาตอนต้น (ม. 1-2-3)
ของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์. กรงุ เทพฯ : เจรญิ รฐั , 2555.

ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา.ขยันก่อนสอบ คณติ ศาสตร์ ตรงตามหลักสตู รแกนกลาง พ.ศ. 2551. กรุงเทพฯ :
โกลด์ เพาเวอร์ พรนิ้ ติ้ง จากัด, 2555.

พานุพงษ์ วิจันทมขุ .Compact คณิตศาสตร์ ม. 3 ตรงตามหลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551. กรงุ เทพฯ :
แปลนพริ้นต้ิง จากัด, 2555.

วินิจ วงศร์ ัตนะ.THE TOP MATHEMATICS M. 1-2-3.กรงุ เทพฯ : เจริญดมี น่ั คงการพิมพ์, 2555.

สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธิการ.หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ
คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 3. กรงุ เทพฯ : สกสค, 2555.

สมยั เหล่าวานิชย.์ ตะลยุ โจทยเ์ ขม้ อัจริยภาคณติ ศาสตร์ ม. 1-2-3 เตรยี มสอบเข้าม. 4. กรุงเทพฯ :
เจา้ พระยาระบบการพิมพ์ จากดั , 2555.

“สานวนไทย.” (ออนไลน์). เขา้ ถงึ ไดจ้ าก : http://www.สานวนไทย.com/ (สบื ค้น : 1 สงิ หาคม 2555).

สุชิน ทามาหากิน.คู่มอื ประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ม. 3 เลม่ 1. นนทบรุ ี :
เพม่ิ ทรัพยก์ ารพิมพ์, 2555.