ฟังก์ชัน ม.5

สำหรบั
ชัน้ มธั ยมศกึ ษำปที ี่ 5
รำยวิชำคณติ ศำสตร์(พ้ืนฐำน)

คำนำ

หนงั สือเล่มน้ีจัดทำข้ึนเพอื่ รวมรวมเอกกำร
สอนในเน้ือหำเร่อื ง...ฟงั กช์ นั (ถงึ เร่ืองฟงั ก์ชันเชงิ
เส้น) สำหรบั ช้นั มัธยมศึกษำปีที่ 5 รำกวิชำ
คณติ ศำสตร(์ พืน้ ฐำน) สรปุ ควำมรูใ้ นกำรสอนใน
แต่ละครง้ั เพือ่ ให้นกั เรยี นสำมมำรถกลับมำ
ทบทวนควำมรไู้ ดท้ ุกเวลำท่ตี อ้ งกำร

สุดทำ้ ยนี้ ผู้จัดทำหวงั ว่ำสรุปเลม่ น้ีจะมี
ประโยชน์ไมม่ ำกก็น้อยสำหรับผู้ทก่ี ำลงั ศึกษำอยู่
หำกมีขอ้ ผิดพลำดประกำรใดก็ขออภัยไว้ ณ ท่ีน้ี
ดว้ ยคะ

นำงสำวอัมรำพร ฉลวยศรี

สำรบญั

หนำ้ ท่ี

1.ควำมสัมพันธ์.......................................1
๏โดเมนและเรนจ์ของควำมสมั พันธ.์ ....4

2.ฟังกช์ นั ................................................9
๏กำรพจิ ำรณำฟงั ก์ชนั โดยใชก้ รำฟ....14
๏กำรหำคำ่ ของฟังก์ชัน f ท่ี x.............20
๏กำรหำโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชนั ...24

3.ฟงั กช์ นั เชิงเสน้ ...................................30
๏กรำฟของฟังก์ชันเชงิ เสน้ ................34
๏กำรนำควำมรู้เกย่ี วกับฟังกช์ ันเชิงเส้น

ไปใช้......................................................38
ภำคผนวก.........................................43







โดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์

➢ โดเมนของความสมั พนั ธ์ r คอื เซตของสมาชกิ ตวั หน้า
ของค่อู นั ดบั ใน r เขยี นแทนด้วย

โดยที่ = , ∈
➢ เรนจ์ของความพันธ์ r คอื เซตของสมาชกิ ตวั หลงั
ของค่อู นั ดับใน r เขียนแทนด้วย

โดยท่ี = , ∈

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาโดเมนและเรนจจ์ ากความสมั พันธ์ตอ่ ไปน้ี
1) r = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

2) r = {(2,-1),(0,3),(1,-4),(-2,-3),(-5,6)}

การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธท์ ี่เขียนในรูปแบบบอกเงอื่ นไข
ถ้า r เป็นความสมั พนั ธ์ใน R ซึ่งไมส่ ามารถแจกแจงสมาชกิ ได้ การหา

โดเมนและเรนจท์ าได้ ดงั นี้
➢ การหาโดเมน (ดคู า่ x ) ให้จดั y อยู่ในเทอมของ x กอ่ น แล้วพจิ ารณาค่า

ของ x ท่ีทาให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไข นาค่า x เหล่านั้นมาตอบเป็นโดเมน
➢ การหาเรนจ์ (ดคู ่า y ) ใหจ้ ัด x อยู่ในเทอมของ y ก่อน แลว้ พิจารณาค่า

ของ y ที่ทาให้ x เปน็ จริงตามเง่อื นไข นาคา่ y เหลา่ น้ันมาตอบเปน็ เรนจ์

ตัวอย่างท่ี 2 ให้ r1=(x,y) y = 2x + 5จงหาโดเมนและเรนจข์ อง r

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พันธ์

1. r1=(x,y) x+3=0

2. r2=(x,y) 3x - 5 = 0

 ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ r = (x,y)R × Ry=1 จงหาโดเมนและเรนจ์
3x-1

ของความสัมพันธ์

ให้ ตัวอยา่ งท่ี 5r=( x,y)y=2x + 1จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ r
5x + 3

ตวั อยา่ งท่ี 5 ให้ r =(x, y) y = x − 3จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์

 ตวั อย่างท่ี 7 ให้ r = (x, y) y = x2 - 4 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

สรปุ ความรู้

ฟงั กช์ นั

นยิ ามของฟังก์ชัน

ฟงั กช์ ัน คือ เซตของคูอ่ นั ดบั ซึง่ คอู่ ันดับสองคูใ่ ด ๆ ถ้ามสี มาชกิ ตัวหน้า

เหมือนกันแล้วสมาชกิ ตัวหลังต้องเหมอื นกนั

เซตของสมาชิกตัวหน้าของค่อู ันดับทงั้ หมด เรยี กกวา่ โดเมนของ

ฟังกช์ นั

เซตของสมาชกิ ตัวหลังของคอู่ ันดับท้งั หมด เรยี กวา่ เรนจข์ อง

ฟงั ก์ชัน

ถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั โดเมนของ fเขเขยี ยีนนแแททนนดดว้ ว้ยย
และเรนจ์ของ f

พิจารณาแผนภาพแสดงการจับค่รู ะหว่างช่อื ของนักเรยี นกับความสงู ดงั น้ี

ช่อื ของนักเรยี น ความสงู (ซ.ม.)

ตะวนั 170
ขา้ วป้นั 175
ภูผา
ทิวา
ตน้ กล้า

ความสูง(ซ.ม.) ชือ่ ของนกั เรียน

170 ตะวัน
175 ขา้ วป้ัน
ภผู า
ทิวา
ตน้ กล้า

ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดให้ เป็นเซตของคูอ่ นั ดับต่อไปนี้

= 1,3 , 2,3 , 3,4 , 4,4 , (5,5)

1) จงตรวจสอบว่า เปน็ ฟังกช์ นั หรือไม่
2) ถ้า เป็นฟงั กช์ ัน จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ เปน็ เซตของคอู่ นั ดบั ต่อไปน้ี

= 1, , 1, , 2, , 3,

1) จงตรวจสอบวา่ เป็นฟงั กช์ นั หรือไม่
2) ถา้ เป็นฟงั กช์ ัน จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ ัน

จงพิจารณาว่าแผนภาพแสดงการจับค่รู ะหว่างเซต และ
ของฟังกช์ นั และ ℎ แตกต่างกันอยา่ งไร







ถา้ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มีโดเมนเป็ นเซต และมเี รนจ์เป็นสบั เซตของเซต

จะกลา่ ววา่ เป็นฟังก์ชนั จาก ไป ( )

สรปุ ความรู้

นิยามของฟงั ก์ชนั
ฟงั กช์ นั คอื เซตของคูอ่ ันดับ ซง่ึ คูอ่ นั ดบั สองคู่ใด ๆ ถ้ามสี มาชิกตัว
หน้าเหมอื นกนั แล้วสมาชกิ ตวั หลงั ต้องเหมือนกนั

เซตของสมาชิกตัวหนา้ ของคู่อันดบั ทงั้ หมด เรียกกวา่ โดเมน
ของฟังกช์ นั

เซตของสมาชิกตัวหลงั ของค่อู ันดบั ทัง้ หมด เรยี กว่า เรนจข์ อง
ฟงั ก์ชัน

ถ้า f เปน็ ฟงั กช์ นั โดเมนของ f เขยี นแทนด้วย
และเรนจข์ อง f เขียนแทนดว้ ย

ถ้า เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มีโดเมนเป็ นเซต และมีเรนจ์เป็นสบั เซตของเซต

จะกลา่ ววา่ เป็นฟังก์ชนั จาก ไป ( )

จงหาว่า เซตของคู่อนั ดับท่กี าหนดให้ตอ่ ไปน้มี ีเซตใดเปน็ ฟังกช์ ัน พรอ้ มท้งั บอกโดเมนและเรนจ์

การพิจารณาฟังกช์ นั
โดยใช้กราฟของฟังก์ชนั

การพจิ ารณาความสมั พันธ์วา่ เป็นฟงั กช์ ันหรือไม่ทาได้โดยวธิ ีการ
ดงั น้ี
• สร้างกราฟของฟงั กช์ ัน
• ลากเสน้ ตรงตง้ั ฉากกับแกน x (ขนานกับแกน y) แล้วใหต้ ัดกราฟ ถ้า

- ตดั กราฟเพยี ง 1 จุด แสดงว่า ความสมั พันธ์นั้นเปน็ ฟงั กช์ ัน
- ตดั กราฟต้งั แต่ 2 จดุ ขน้ึ ไป ความสมั พนั ธ์นัน้ ไม่เป็นฟังกช์ ัน

จงพิจารณาว่าความสมั พันธ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเปน็ ฟงั กช์ ันหรือไม่
โดยใช้กราฟ

ตวั อยา่ งท่ี 1 1 = , = 2

ตัวอย่างที่ 2 2 = , =
วิธีทา




ตัวอยา่ งที่ 3 3 = , = 3 2

วิธีทา

ตัวอยา่ งที่ 4 4 = , = − , ≥ 0

วิธีทา

ตัวอยา่ งที่ 5 5 = , 2 = , ≥ 0

วิธีทา

สรุปความรู้ การพจิ ารณาความสมั พนั ธว์ ่าเป็นฟังกช์ นั หรือไม่
ทาได้โดยวธิ กี ารดังน้ี

• สรา้ งกราฟของฟงั กช์ ัน

• ลากเส้นตรงต้ังฉากกบั แกน x (ขนานกับแกน y)

ให้ตดั กราฟ ถา้

- ตัดกราฟเพียง 1 จุด แสดงว่า ความสมั พันธ์น้นั เป็นฟงั ก์ชนั

- ตัดกราฟต้ังแต่ 2 จุดขึ้นไป ความสัมพันธ์นนั้ ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั

การหาคา่ ของฟังกช์ ัน f ท่ี x (f(x))

ถ้า เปน็ ฟงั ก์ชนั และ , ∈ แล้วเรากล่าววา่
“ เป็นคา่ ของฟังก์ชนั ท่ี ”

เขยี นแทนด้วย อา่ นวา่ เอฟของเอกซ์ ดงั น้นั
=

= ( )

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาค่า , และ




ตวั อย่างที่ 2 กาหนดให้ = = จงหาคา่ =

การเขยี นแทนฟังกช์ ัน ทเี่ ขยี นในรูปเซตแบบบอกเงือ่ นไงของ
สมาชิกในเซต สามารถเขียนเฉพาะเงื่อนไขของฟงั กช์ ันซงึ่ อยใู่ นรปู ของ
สมการ โดยกาหนดคา่ ในรปู หรอื กาหนด ( ) แทน
เช่น

= , = 2
ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนดให้ = − จงหาค่าของ ( )

เมื่อ ∈ , ,

ตวั อยา่ งที่ 4 กาหนดให้ = − + จงหาค่าของ
( ) เม่อื ∈ − , ,

สรุปความรู้ การเขยี นแทนฟงั ก์ชัน ที่เขียนในรูปเซตแบบ
บอกเงือ่ นไงของสมาชิกในเซต สามารถเขียนเฉพาะเง่ือนไขของ
ฟงั ก์ชันซึ่งอยใู่ นรูปของสมการ โดยกาหนดคา่ ในรปู หรอื
กาหนด ( ) แทน เชน่

= , = 2

แบบฝกึ หัดที่ 19

จงหาคา่ เมือ่ ∈ −2, −1,0,1,2 ของฟงั ก์ชันต่อไปนี้
1. = 2 + 9

2. = 1 + 4
5

3. = 5 2

การหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชัน

การหาโดเมนและเรจนข์ องฟงั ก์ชันสามารถทาได้ 2 วธิ ี
วิธที ี่ 1 การแทนคา่ ทาไดโ้ ดย แทนคา่ x ด้วยจานวนจริงและ
พิจารณาคา่ ของ y ท่ีได้จากการแทนค่า x

วิธีท่ี 2 พจิ ารณาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของฟังกช์ นั

วธิ ที ่ี 1 การแทนค่า ทาไดโ้ ดย แทนค่า x ดว้ ยจานวนจรงิ
จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้
ตัวอยา่ งท่ี 1 = −2 2
วิธีทา

ตัวอย่างที่ 2 = 1
วิธที า

ตัวอย่างท่ี 3 =
วิธที า

วธิ ที ่ี 2 พจิ ารณาโดเมนและเรนจจ์ ากกราฟของฟังก์ชัน

จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปนี้
ตวั อย่างที่ 1 = −2 2
วิธที า

ตวั อยา่ งที่ 2 = 1
วิธีทา

ตวั อยา่ งที่ 3 =
วิธีทา

สรปุ ความรู้ การหาโดเมนและเรจนข์ องฟังก์ชันสามารถทาได้ 2 วิธี
วธิ ีท่ี 1 การแทนค่า ทาไดโ้ ดย แทนคา่ x ด้วยจานวนจริง

และพจิ ารณาคา่ ของ y ท่ีไดจ้ ากการแทนคา่ x

วธิ ีที่ 2 พจิ ารณาโดเมนและเรนจจ์ ากกราฟของฟงั ก์ชัน

แบบฝึกหดั ท่ี 20
1. จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้

1.1 = + 2
1.2 = 2 − 1
2. จงหาโดเมนและเรนจ์ จากกราฟของฟังก์ชนั ต่อไปนี้
2.1 2.2

2.3

ฟงั กช์ นั เชงิ เส้ น

ฟงั กช์ นั เชงิ เส้น (linear function) คอื ฟังกช์ นั ทอี่ ยใู่ นรูป

f ( x) = ax + b

เมื่อ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ โดยกรำฟของฟงั กช์ ันเชงิ
เสน้ จะเป็นเสน้ ตรง

ตวั อยำ่ งของฟงั ก์ชันเชิงเสน้ ไดแ้ ก่

1) = 2) = −3 3) = 2 + 1

พจิ ำรณำกรำฟของฟงั ก์ชันเชิงเส้นทม่ี ีสมั ประสทิ ธห์ิ น้ำ x เป็นจำนวนตำ่ ง ๆ
ดงั นี้

กรณีที่ 1 > 0

พบวา่ เมื่อ a มีคา่ มากขนึ ้ กราฟจะเบนเข้าหาแกน Y
เม่ือ a มีค่าน้อยลง กราฟจะเบนเข้าหาแกน X

กรณีที่ 2 < 0

พบวา่ เมื่อ a มีค่ามากขนึ ้ กราฟจะเบนเข้าหาแกน X
เมื่อ a มีคา่ น้อยลง กราฟจะเบนเข้าหาแกน Y

กรณที ่ี 3 = 0

พบวา่ เม่ือ a มีคา่ เป็นศนู ย์ จะได้ฟังก์ชนั = เราจะเรียก
ฟังก์ชนั รูปแบบนีว้ า่ ฟังก์ชันคงตัว(constant  function)

แบบฝึกหดั ที่ 21

จงวาดกราฟของฟังก์ชนั เชงิ เส้นที่มีคา่ สมั ประสทิ ธิ์หน้า x เป็นจานวน
ประเภทตา่ ง ๆ ในระนาบเดียวกนั ประเภทละ 1 ฟังก์ชนั พร้อมทงั้ ตบแต่งให้
สวยงาม

กราฟของฟังกช์ นั เชิงเสน้

การวาดกราฟของฟังก์ชนั เชิงเส้นบนระนาบ
สามารถทาไดโ้ ดย การหาจุดตดั แกน x และ จุดตดั แกน y
➢ หาจุดตดั แกน x ใหแ้ ทนค่า y=0
➢ หาจุดตัดแกน y ให้แทนค่า x=0

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขยี นกราฟของ y = x – 2 บนระนาบ

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขยี นกราฟของ y = 5x – 3 บนระนาบ

ตัวอยา่ งที่ 3 จงเขยี นกราฟของ y = -x + 3 บนระนาบและพจิ ารณาว่า
จดุ (2,1) อยู่บนกราฟหรอื ไม่

การพิจารณาจุดใด ๆวา่ อยู่บนกราฟของฟงั ก์ชนั
สามารถทาได้การ แทนคา่ x หรือคา่ y ของจดุ ทต่ี ้องการหาลงในสมการ

ของฟงั กช์ นั เพือ่ หาว่าค่าท่ไี ด้เปน็ คาตอบของค่า x หรอื คา่ y ที่ตอ้ งการหาหรอื ไม่

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาวา่ จดุ (3,5) อยบู่ นกราฟของ = 2 + 9 หรือไม่
ตวั อย่างท่ี 5 จงหาวา่ จดุ (1,1) อยู่บนกราฟของ = 5 − 4 หรอื ไม่

สรปุ ความรู้

การวาดกราฟของฟังกช์ นั เชงิ เสน้ บนระนาบ
สามารถทาได้โดย การหาจุดตัดแกน x และ จดุ ตดั แกน y
➢ หาจดุ ตดั แกน x ใหแ้ ทนค่า y=0
➢ หาจดุ ตดั แกน y ใหแ้ ทนค่า x=0

การพจิ ารณาจดุ ใด ๆว่าอยู่บนกราฟของฟงั กช์ นั
สามารถทาไดก้ าร แทนคา่ x หรือคา่ y ของจดุ ที่ต้องการหาลงในสมการ

ของฟงั ก์ชัน เพื่อหาว่าค่าทไ่ี ดเ้ ป็นคาตอบของคา่ x หรือคา่ y ทต่ี อ้ งการหาหรอื ไม่

การนาความรูเ้ กย่ี วกับเร่อื งฟงั กช์ นั เชงิ เสน้ ไปใช้ในการแกป้ ญั หา

การนาความรูเ้ กี่ยวกับเรือ่ งฟงั กช์ ันเชิงเส้น
ไปใช้ในการแกป้ ัญหา

การนาความรู้เก่ียวกบั เรอื่ งฟังก์ชันเชงิ เส้นไปใช้ในการแก้ปญั หา

สามารถทาได้โดยแปลงประโยคภาษาใหเ้ ป็นฟังก์ชันเชิงเสน้ แล้วนา
ฟังก์ชนั นน้ั ไปใชใ้ นการแก้ปญั หา

ตัวอย่างท่ี 1 พอ่ คา้ เปดิ ร้านขายอาหารกล่องเพ่อื สขุ ภาพ มีตน้ ทุนสองสว่ น ส่วนแรก
คอื ค่าเชา่ ร้านเดอื นละ 4,000 บาท ส่วนท่สี องคือค่าวตั ถดุ ิบกล่องละ 15 บาท ถ้า
พอ่ คา้ ตั้งราคาขายไว้ท่ีกลอ่ งละ 40 บาท จงหา

1) ฟงั ก์ชันต้นทนุ ในการผลติ อาหารกล่อง x กล่อง ในระยะเวลา 1 เดอื น
2) ฟังก์ชนั รายไดจ้ ากการขายอาหารกลอ่ ง x กลอ่ ง ในระยะเวลา 1 เดือน
3) จานวนเงนิ ทเ่ี ปน็ กาไรหรอื ขาดทุบของพอ่ คา้ ถ้าในระยะเวลา 1 เดือน
พอ่ คา้ ผลติ อาหารกล่องได้ 300 กลอ่ ง แต่ขายอาหารกล่องได้ 250 กล่อง
4) จานวนอาหารกล่องท่พี อ่ ค้าจะต้องขายในแต่ละเดอื น จงึ จะคุม้ ทนุ

การนาความรู้เกีย่ วกบั เรื่องฟงั ก์ชันเชงิ เส้นไปใช้ในการแกป้ ญั หา

ตวั อยา่ งท่ี 2 ฟงั กช์ นั แสดงราคารถยนต์คันหน่ึงเมือ่ ใชง้ านไประยะเวลาหนง่ึ เปน็
ฟงั ก์ชนั เชิงเส้น ถ้าปจั จุบนั รถยนตค์ นั นี้ราคา 500,000 บาท และเมอ่ื ใชร้ ถไปแล้ว 5
ปี จะมีราคา 350,000 บาท จงหา

1) ฟงั กช์ นั แสดงราคาของรถยนตค์ นั นี้ เมอ่ื ใชง้ านไป x ปี
2) ราคารถยนตค์ ันนี้ เม่อื ใชง้ านไปสองปี

การนาความรเู้ กี่ยวกับเรอ่ื งฟงั ก์ชนั เชิงเสน้ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

ตัวอยา่ งที่ 3 จากการสงั เกตของเจ้าของรา้ นขายขนมในโรงเรียนแห่งหนง่ึ พบว่า
ปรมิ าณคกุ ก้ที ี่ผู้บริโภคต้องการซอ้ื (มหี น่วยเป็นกล่อง) ณ ระดับราคาต่าง ๆ จะ
สอดคล้องกบั ฟังกช์ นั อปุ สงค์ ( ) = 65 − 3 และปริมาณคุกกที้ ่ีผผู้ ลติ ต้องการ
ขาย(มีหนว่ ยเปน็ กลอ่ ง) ณ ระดับราคาต่าง ๆ จะสอดคล้องกับฟงั ก์ชันอุปทาน
( ) = 2 + 15 เมือ่ แทนราคาคกุ กี้ตอ่ กลอ่ ง(มีหน่วยเป็นบาทตอ่ กลอ่ ง)

1) จงเขียนการฟของฟังกช์ ันอปุ สงค์ ( ) ฟงั กช์ ันอุปทาน ( ) ในระบบ
พกิ ัดฉากเดยี วกันพร้อมเขียนจุดดุลยภาพ

2) ราคาดุลยภาพ
3) จากการฟทีไ่ ดใ้ นขอ้ 1) จงพจิ ารณาว่าถ้าเจ้าของร้านตง้ั ราคาขายคกุ กส้ี ูง
กว่าราคาดลุ ยภาพจะเปน็ อยา่ งไร



การนาความรู้เกยี่ วกับเร่อื งฟงั กช์ นั เชิงเส้นไปใช้ในการแกป้ ญั หา

กำรบ้ำน
ให้นกั เรียนทำแบบฝึกหดั 2.2 ในหนงั สือเรียนวิชำคณิตศำสตร์(พนื ้ ฐำน)
หน้ำท่ี 68
- ข้อ 3 ใหญ่ และ
- ข้อ 4 ใหญ่

43

เฉลยแบบฝกึ หดั ที่ 15
เรื่อง ความสมั พนั ธ์
1.กำหนดใหเ้ ซต = {1,2,3} และ = {−1,0,2} จงเขียนความสมั พนั ธ์ท่ีมากกวา่ จาก A ไป B
วธิ ีทำ A×B={(1,-1),(1,0),(1,2), (2,-1),(2,0),(2,2),(3,-1),(3,0),(3,2)}
ความสมั พนั ธ์ที่มากกวา่ จาก A ไป B กำหนดให้แทนด้วย
คือ = {(1,-1),(1,0), (2,-1),(2,0),(3,-1),(3,0),(3,2)}
ตอบ = {(1,-1),(1,0), (2,-1),(2,0),(3,-1),(3,0),(3,2)}

2.กำหนดใหเ้ ซต = {6,3} และ = {2,12,16}จงเขยี นความสมั พันธด์ ังต่อไปนใ้ี นแบบแจกแจง
สมาชิกและแบบบอกเงื่อนไข

1) ความสัมพนั ธส์ ามเทา่ จาก A ไป B

2) ความสมั พันธห์ ารลงตวั จาก A ไป B

3) ความสมั พนั ธ์ครงึ่ หนึง่ จาก A ไป B
วธิ ีทำ A×B={(6,2),(6,12),(6,16), (3,2),(3,12),(3,16)}

1) ความสมั พันธ์สามเท่าจาก A ไป B กำหนดให้แทนด้วย 1

เขียนความสมั พนั ธแ์ บบแจกแจงสมาชิก

1 = {(6,2)} ตอบ

เขียนความสัมพนั ธ์แบบบอกเง่อื นไข

1 = {( , ) ∈ × |3 = 3} ตอบ
2) ความสมั พันธ์หารลงตวั จาก A ไป B กำหนดให้แทนด้วย 2

เขียนความสมั พันธแ์ บบแจกแจงสมาชกิ

2 = {(6,12), (3,12),} ตอบ

เขยี นความสัมพันธ์แบบบอกเงอื่ นไข 44
2 = {( , ) ∈ × | | }
ตอบ
3) ความสัมพนั ธ์ครงึ่ หนงึ่ จาก A ไป B กำหนดใหแ้ ทนด้วย 3
เขยี นความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ
ตอบ
3 = {(6,12)}
เขยี นความสมั พนั ธ์แบบบอกเงอื่ นไข

2 = {( , ) ∈ × |2 = }

45

เฉลย แบบฝึกหดั ที่ 16
เรอื่ ง การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

คำชีแ้ จง จงหาโดเมนและเรนจจ์ ากความสัมพนั ธต์ อ่ ไปน้ี

1. ให้ r เป็นความสมั พันธ์ “เปน็ ตวั ประกอบของ” จาก A = 1,2,3,4ไป B = 10,15,20,25 จงหา

โดเมนและเรนจ์ของ r
วธิ ที ำ เขียน r แบบบอกเงอื่ นไขดงั น้ี

r = (x,y)A × B xA, yB และ ( x,y)r 

x เปน็ ตวั ประกอบของ y หมายความวา่ x หาร y ลงตวั และ x A, yB จะได้เซต r ดงั นี้

r = (1,10),(1,15),(1,20),(1,25),(2,10),(2,20),(3,15),(4,20)
โดเมนของ r คอื Dr =1,2,3,4
เรนจข์ อง r คอื Rr =10,15,20,25

2. จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ r = (x,y)R×R x - 2y = 2

วธิ ที ำ r เป็นความสมั พนั ธใ์ นเซตของจำนวนจรงิ
หาโดเมน จัดรปู สมการใหม่จะได้ x − 2 y = 2
-2y = 2 – x
y = 2−x
−2
หรือ y = x − 2
2
ดังนั้น จะได้ว่าจะสามารถหาคา่ y ไดใ้ นทุก ๆ x

ดงั นน้ั Dr = R

หาเรนจ์ จัดรูปสมการใหม่จะได้ x − 2 y = 2
x = 2 + 2y

ดงั น้ัน จะไดว้ า่ จะสามารถหาค่า x ได้ในทุก ๆ y

ดังนน้ั Rr = R

46

 3. กำหนดให้ r =(x,y)y=x11จงหาโดเมนและเรนจ์
−
วิธีทำ หาโดเมน อาจจะหาค่า 1 เมอ่ื แทน x ด้วยจำนวนจริงใด ๆ ไดเ้ สมอ
x−1
ยกเว้นด้วย 1 เพราะ 1 ไม่มีความหมาย ดงั ได้กล่าวไวแ้ ลว้ ในเร่ืองจำนวนจรงิ
0
ดงั นัน้ Dr =x x  1หรือ R - 1
หาเรนจ์ การพจิ ารณาหาเรนจข์ อง r ทำไดโ้ ดย จดั รูป x ในเทอม y
=1
จะได้ y x−1

y( x −1) = 1

yx − y = 1

yx = 1 + y

x = 1+ y
y

จะเหน็ ว่า y  0

ดงั น้ัน Rr =y y  0 หรอื R - 0

 4. กำหนดให้ r = ( x, y) y = x −16 จงหาโดเมนและเรนจ์

วธิ ีทำ จาก y = x −16 จะเห็นว่าจำนวนท่ีจะนำมาแทน x นัน้

จะต้องไม่ทำให้ x −16เปน็ จำนวนลบ เพราะรากทสี่ องของจำนวนลบไม่เป็นจำนวนจรงิ

นนั่ คอื x – 16  0 หรอื x  16

ดงั นั้น Dr =x x 16

เนอ่ื งจาก x −16  0 ดงั นน้ั x −16  0

ดงั นน้ั Rr =y y  0

47

เฉลย แบบฝกึ หดั ที่ 17
เรือ่ ง ความหมายของฟังกช์ ัน

คำชแี้ จง จงหาวา่ เซตของค่อู ันดบั ทกี่ ำหนดให้ตอ่ ไปน้มี ีเซตใดเป็นฟังกช์ ัน พรอ้ มท้ังบอกโดเมนและเรนจ์
1 ) {(1,2), (2,3), (3,4), (5,6)}

วิธที ำ 1) จงตรวจสอบวา่ 1 เป็นฟังก์ชันหรือไม่
ตรวจสอบโดยใชแ้ ผนภาพดงั นี้

จากแผนภาพจะเหน็ ว่าความสมั พนั ธ์น้ีไมม่ สี ามาชกิ ตัวหน้าใดท่ีจบั คู่กบั

ตวั หลงั มากกว่า 1 ตวั จงึ สรุปได้ว่า ความสมั พนั ธ์นี้เป็นฟงั ก์ชนั ตอบ

2) ถา้ 1 เปน็ ฟงั ก์ชัน จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั 1

= {1,2,3,5}

= {2,3,4,6} ตอบ

2) {(1,2), (3,4), (3,7), (4,3)}
วธิ ีทำ 1) จงตรวจสอบว่า เปน็ ฟังก์ชันหรือไม่

ตรวจสอบโดยใช้แผนภาพดังนี้

จากแผนภาพจะเห็นวา่ ในเซตของความสัมพนั ธน์ ี้มสี ามาชกิ ตัว
หน้าของคูอ่ นั ดับทซ่ี ้ำกันจงึ สรุปไดว้ ่า ความสัมพันธ์น้ีไมเ่ ป็นฟังก์ชัน ตอบ