ฟังก์ชัน ม.5

48

2) ถ้า เป็นฟงั ก์ชัน จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนั

เนอ่ื งจากควาสมั พันธ์นไี้ มเ่ ปน็ ฟังก์ชนั ทำใหไ้ มส่ ามารถหาโดเมน

และเรนจ์ของฟังกช์ ันได้ ตอบ

3) {(2,4), (3,4), (3,4), (5,6)}
วธิ ีทำ 1) จงตรวจสอบวา่ 3 เปน็ ฟงั ก์ชันหรือไม่

ตรวจสอบโดยใช้แผนภาพดงั นี้

จากแผนภาพจะเห็นว่าความสมั พนั ธน์ ้ีไม่มีสามาชิกตัวหน้าใดทีจ่ บั ค่กู บั

ตวั หลงั มากกวา่ 1 ตวั จงึ สรุปได้วา่ ความสมั พันธ์น้เี ปน็ ฟังก์ชนั ตอบ

2) ถ้า 3 เปน็ ฟังก์ชัน จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชัน 3

= {2,3,5}

= {4,6} ตอบ

4) {(2,4), (4,6), (6,8), (7,8)}
วธิ ที ำ 1) จงตรวจสอบว่า 4 เปน็ ฟังก์ชันหรือไม่

ตรวจสอบโดยใช้แผนภาพดงั นี้

49

จากแผนภาพจะเห็นว่าความสัมพนั ธน์ ไ้ี ม่มสี ามาชกิ ตัวหน้าใดท่จี บั คู่กับ

ตวั หลงั มากกว่า 1 ตวั จงึ สรปุ ได้วา่ ความสัมพนั ธ์นเ้ี ป็นฟังก์ชัน ตอบ

2) ถา้ 4 เป็นฟงั กช์ ัน จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชัน 4

= {2,4,6,7}

= {4,6,8} ตอบ

5) {(2,1), (3,1), (5,1), (−1,1)}
วธิ ีทำ 1) จงตรวจสอบวา่ 5 เปน็ ฟังก์ชันหรอื ไม่

ตรวจสอบโดยใช้แผนภาพดงั น้ี

จากแผนภาพจะเห็นว่าความสมั พนั ธน์ ีไ้ ม่มสี ามาชิกตัวหนา้ ใดทจ่ี ับคู่กับ

ตัวหลงั มากกวา่ 1 ตวั จึงสรปุ ได้วา่ ความสมั พันธน์ ี้เปน็ ฟงั ก์ชัน ตอบ

2) ถ้า 5 เป็นฟังก์ชนั จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชนั 5

= {2,4,6,7}

= {4,6,8} ตอบ

50

เฉลย...แบบฝึกหดั ท่ี 18

เร่อื ง การพิจารณาฟงั กช์ ันโดยใชก้ ราฟของฟังกช์ ัน

1.จงเขยี นกราฟของ r และพจิ ารณาวา่ r เป็นฟงั กช์ ันหรือไม่

1) r=(x,y) y= -x + 2

วิธีทำ แทน x ในสมการ y = −x + 2 ดว้ ย 0, 1 และ 2 จะได้คอู่ ันดับซึ่งเป็นสมาชิกของ
เซต r ดงั ตาราง
x 012

y = -x + 2 2 1 0

( x, y) (0,2) (1,1) (2,0)

ซ่ึงเขียน เรื่อง การพจิ ารณาฟังก์ชนั โดยใช้กราฟของฟังกช์ ัน กราฟของคู่อนั ดับใน
ตาราง ไดจ้ ดุ (0,2) , (1,1) และ
เมอ่ื ให้ x เปน็ จำนวน
(2,0) และ

จรงิ จะเขยี นกราฟของ r ได้ดังน้ี

จากรปู พบว่าไมม่ เี สน้ ขนานกับแกน Y เส้นใดทตี่ ดั กราฟของ r มากกว่า 1 จดุ
ดังน้นั r เป็นฟงั กช์ นั

51

 2) r= (x,y) y2= -x + 4

วิธีทำ แทน x ในสมการ y2= - x + 4 ด้วย 0, 3 และ 4 จะได คู่อันดบั ซ่ึงเป็นสมาชกิ 4
ของเซต r ดงั ตาราง 0
x 03 (4, 0)

y2= - x + 4 -2, 2 -1, 1

( x, y) (0,-2), (2, 2) (3,1), (3, 1)

ซ่งึ เขยี นกราฟของค่อู นั ดับในตาราง ได้จุด (0,-2), (2, 2), (3,1), (3, 1) และ (4,0) และเมอ่ื ให้ x เป็นจำนวนจรงิ
จะเขยี นกราฟของ r ไดด้ ังนี้

จากรปู สังเกตวา่ มีเสน้ ตรงที่ขนานกับแกน Y ทตี่ ดั กบั กราฟ r สองจุด
เช่น เส้นตรง x = 3 ตัดกราฟสองจุด คือ (3, 1− ) และ (3,1)
ดงั นัน้ r ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั

เฉลย...แบบฝกึ หดั ท่ี 19 52

เรื่อง...การหาค่าของฟังกช์ ัน f ที่ x หรือ (f(x)) ตอบ
จงหาค่า ( ) เมื่อ ∈ {−2, −1,0,1,2}ของฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ี ตอบ
ตอบ
1. = 2 + 9 ตอบ
ตอบ
วธิ ที ำ จาก ( ) = 2 + 9
จะได้ (−2) = 2(−2) + 9

= −4 + 9
=5
(−1) = 2(−1) + 9
= −2 + 9
=7
(0) = 2(0) + 9
= 0+9
=9
(1) = 2(1) + 9
= 2+9
= 11
( ) = 2(2) + 9
= 4+9
= 13

2. = 1 + 4
5

วิธที ำ จาก ( ) = 1 + 4
5

53

จะได้ (−2) = 1 (−2) + 4
5
3. = 5 2
= − 2 + 4 = − 2 + 20
5 5 5

= 18 ตอบ
5 ตอบ
ตอบ
(−1) = 1 (−1) + 4 ตอบ
5 ตอบ

= − 1 + 4 = − 1 + 20
5 5 5

= 19
5

(0) = 1 (0) + 4
5

= 0+4

=4

(1) = 1 (1) + 4
5

= 1 + 4 = 1 + 20
5 5 5

= 21
5

( ) = 1 (2) + 4
5

= 2 + 4 = 2 + 20
5 5 5

= 22
5

วิธีทำ จาก ( ) = 5 2 54
จะได้ (−2) = 5(−2)2
ตอบ
= 5(4) ตอบ
= 20 ตอบ
(−1) = 5(−1)2 ตอบ
= 5(1) ตอบ
=5
(0) = 5(0)2
= 5(0)
=0
(1) = 5(1)2
= 5(1)
=5
( ) = 5(2)2
= 5(4)
= 20

55

เฉลย...แบบฝึกหดั ที่ 20
เรอื่ ง...การหาค่าโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนั
1. จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชนั ต่อไปนี้

1.1 = √ + 2

วธิ ที ำ จาก = √ + 2
เมือ่ ≥ 0 จะได้ √ + 2 ≥ 0 เนื่องจาก √ + 2 แทนรากทบ่ี วกของ + 2
เมือ่ < 0 เนอ่ื งจาก = √ + 2 ดังนน้ั + 2 ≥ 0 จะไดว้ า่ ≥ −2 จงึ จะทำให้

ได้รากที่บวกของ x + 2

ดังน้ัน = { | ∈ และ ≥ (−2)}

= { | ∈ และ ≥ 0}
1.2 = 2 − 1

วธิ ที ำ จาก = 2 − 1
ให้ > 0 จะได้ 2 > 0 ดังนัน้ 2 − 1 > 0 แสดงวา่ มากกว่าศนู ย์
= 0 จะได้ 2 = 0 ดงั น้ัน 2 − 1 = −1 แสดงวา่ = −1
< 0 จะได้ 2 > 0 ดงั น้นั 2 − 1 > 0 แสดงว่า มากกว่าศูนย์
นั่นคือ y เปน็ จำนวนจรงิ ที่มากกวา่ หรือเท่ากัน -1 ไม่วา่ x จะเปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ
ดงั นัน้ = { | ∈ }

= { | ∈ และ ≤ (−1)}
2. จงหาโดเมนและเรนจ์ จากกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้

2.1

ดังน้นั = { | ∈ }

= { | ∈ และ > 0}

2.2

56

ดงั นน้ั = { | ∈ และ ≥ 1 }

= { | ∈ และ > 0}

2.3

ดังนั้น = { | ∈ }

= { | ∈ และ ≥ (−2)}

57

ใบงานท่ี 3

จงวาดกราฟของฟังกช์ ันเชิงเสน้ ทม่ี คี า่ สัมประสิทธิ์หน้า x เปน็ จำนวนประเภทตา่ ง ๆ
ในระนาบเดียวกนั ประเภทละ 1 ฟงั กช์ นั พรอ้ มท้งั ตบแต่งให้สวยงาม

58

เฉลยแบบฝกึ หดั ท่ี 21

เรื่อง...กราฟของฟังก์ชันเชงิ เส้น

1. จงเขียนกราฟของสมการที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้

1) y = 2x + 9

วธิ ีทำ หาจุดตดั แกน x โดยการแทน y=0 จะได้วา่ 0 = 2 + 9
9 คือ (0, − 29)
ดังนน้ั = − 2 จุดตดั แกน x

หาจดุ ตดั แกน y โดยการแทน x = 0 จะได้วา่ = 2(0) + 9

ดงั นัน้ = 9 จดุ ตดั แกน y คือ (0,9)

เขยี นกราฟได้ ดงั น้ี

2) y = −1− x

วธิ ีทำ หาจดุ ตดั แกน x โดยการแทน y=0 จะไดว้ ่า 0 = −1 −
ดงั น้นั = −1จดุ ตัดแกน x คือ (−1,0)

หาจุดตดั แกน y โดยการแทน x = 0 จะไดว้ า่ = −1 − 0
ดังนัน้ = −1จดุ ตดั แกน y คือ (0, −1)

เขยี นกราฟได้ ดังน้ี

59

3) y = 2 x + 4
5
2
วิธีทำ หาจุดตัดแกน x โดยการแทน y=0 จะได้ว่า 0 = 5 + 4

ดังน้นั = −10 จดุ ตัดแกน x คือ (−10,0)
2
หาจดุ ตัดแกน y โดยการแทน x = 0 จะไดว้ ่า = 5 (0) + 4

ดังน้ัน = 4จุดตดั แกน y คือ (0,4)

เขียนกราฟได้ ดงั น้ี

2. จงพจิ ารณาว่าจุดที่กำหนดให้ตอ่ ไปนอ้ี ย่บู นกราฟของฟังก์ชนั ทกี่ ำหนดให้ไดห้ รือไม่
2
1) จุด (3, 5) เมื่อ y = 7 x+1

ให้ f ( x) = 2 x + 1
7
2 13
ค่าของฟังกช์ ัน f ท่ี 3 จะได้ f ( 3) = 7 (3) + 1 = 7

( )จะไดจ้ ดุ 3, 173 อยู่บนกราฟของ f ดังนัน้ จุด (3, 5) ไม่อยู่บนกราฟ y = 2 x + 1
7

2) จดุ (-4, -5) เม่ือ 2x + y = −7
ให้ f ( x) = −2x − 7
หาคา่ ของฟังก์ชัน f ท่ี -4 จะได้ f (−4) = −2(−4) − 7 = 1
จะได จดุ (−4, 1) อยู่บนกราฟของ f ดังนน้ั จดุ (− 4, -5) ไมอ่ ยู่บนกราฟ 2x + y = −7

***แบบฝึกหัด 2.2 ในหนังสือเรยี นเป็นบางข้อเพือ่ ให้เกดิ ความเขา้ ใจมากยิ่งขึ้น โดยใหน้ กั เรยี นทำ
แบบฝกึ หดั ข้อ 3 ใหญ่ และ ข้อ 4 ใหญ่