ระบบสมการเชิงเส้น

~1~

~1~

3

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
ชดุ ที่ 1

กราฟของระบบสมการเชงิ เส้น

~2~

แบบฝึกทกั ษะ

ชุดท่ี 1 กราฟของระบบสมการเชงิ เสน้

สาระสำคัญ
ให้ a , b , c , d , e และ f เปน็ จำนวนจรงิ ที่ a , b ไม่เปน็ ศนู ย์พร้อมกนั และ c , d ไม่เปน็ ศนู ยพ์ ร้อม

กนั เรียกระบบท่ปี ระกอบด้วยสมการ
ax + by = e
cx + dy = f

ว่าระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรทีม่ ี x และ y เปน็ ตัวแปร
กล่าววา่ a และ c เปน็ สัมประสิทธิข์ อง x
b และ d เปน็ สัมประสทิ ธิข์ อง y

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คือ คอู่ ันดบั ( x , y ) ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการทั้งสองของระบบ
สมการหรอื คู่อันดับ ( x , y ) ทคี่ า่ x และคา่ y ทำใหส้ มการทง้ั สองของระบบสมการเป็นจรงิ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
นกั เรียนสามารถ
1. หาคอู่ ันดบั ท่ีเป็นคำตอบของกราฟของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรได้
2. เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรได้
3. บอกไดว้ า่ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร มคี ำตอบเดียว มหี ลายคำตอบหรอื ไม่มีคำตอบ
4. หาคำตอบและแปลความหมายจากกราฟของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรที่กำหนดให้ได้

~3~

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1

เรือ่ ง กราฟของระบบสมการเชงิ เส้น

นักเรียนทราบมาแล้ววา่ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร หมายถึงสมการที่อยใู่ นรูป Ax + By + C = 0 เม่ือ
A , B , C เปน็ คา่ คงตัวท่ี A และ B ไมเ่ ปน็ ศูนยพ์ ร้อมกัน

เม่อื x และ y แทนจำนวนจรงิ ใดๆ กราฟของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรดงั กลา่ วจะเป็นเสน้ ตรง เช่น
สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 2x – y = 5 เมอ่ื x และ y แทนจำนวนจริงใดๆ จะมีกราฟเป็นเสน้ ตรงดังนี้

เราทราบมาแลว้ วา่ คู่อนั ดบั ( x , y ) เปน็ คู่อันดบั ทีส่ อดคล้องกับสมการ 2x – y = 5 กต็ ่อเม่ือ แทนค่า
x และ y ในสมการ 2x – y = 5 แลว้ ทำให้สมการเป็นจรงิ เราเรียกคู่อนั ดบั ทส่ี อดคล้องเหลา่ นนั้ ว่า คำตอบของ
สมการ 2x – y = 5 ค่อู นั ดับ ( x , y ) ท่เี ปน็ คำตอบเหลา่ นั้นเปน็ พกิ ัดของจดุ ท่ีอยู่บนเส้นตรง 2x – y = 5
ในทางกลับกนั คู่อันดบั ( x , y ) ทเ่ี ป็นพิกัดของจดุ ที่อย่บู นเสน้ ตรง2x – y = 5 กเ็ ปน็ คำตอบของสมการ
2x – y = 5 ด้วย

เนอ่ื งจากคู่อันดบั ท่สี อดคลอ้ งกบั สมการ 2x – y = 5 มมี ากมายนับไม่ถ้วน ดงั นัน้ สมการ 2x – y = 5
จงึ มคี ำตอบมากมายไมจ่ ำกดั

โดยท่วั ไปเราเรียกคู่อนั ดบั ( x , y ) ที่สอดคลอ้ งกับสมการ Ax +By + C = 0 เม่อื A , B , C เป็นคา่ คง
ตวั ท่ี A และ B ไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์พรอ้ มกัน วา่ คำตอบของสมการ และกราฟแสดงคำตอบของสมการ
Ax + By + C = 0 น้ี จะเปน็ เสน้ ตรง Ax + By + C = 0

~4~

ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาปัญหาต่อไปนี้

ถ้านักเรยี นทราบแตเ่ พียงวา่ “จ้อยกบั แจ้มีดินสอรวมกัน 12 แท่ง” นกั เรียนจะทราบได้อย่างแน่นอน

หรือไมว่ า่ เขามีดนิ สอคนละก่ีแท่ง

ถ้านกั เรยี นทราบแตเ่ พียงว่า “จ้อยมดี ินสอมากกวา่ แจ้ 2 แท่ง” นกั เรยี นจะทราบไดอ้ ย่างแน่นอน

หรอื ไมว่ ่า เขามดี ินสอคนละกี่แท่ง

จากประโยคข้อความ 2 ประโยคข้างตน้ ได้แก่

จ้อยกบั แจ้มีดินสอรวมกนั 12 แทง่ ..................... 

และ จ้อยมีดนิ สอมากกว่าแจ้ 2 แทง่ ..................... 

นกั เรยี นจะหาไดห้ รอื ไม่วา่ เขามดี นิ สอคนละกี่แทง่ ทำอย่างไร

เมอื่ เปลี่ยนประโยค  และประโยค  เป็นประโยคสญั ลกั ษณ์

โดยให้ x แทนจำนวนดินสอของจอ้ ย

และ y แทนจำนวนดนิ สอของแจ้

จะได้ x + y = 12 ..................... 

และ x - y = 2 ..................... 

เรยี ก x + y = 12 ว่าระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

x-y=2

หาคำตอบของสมการ  และสมการ 

จะได้ ( 1 , 11 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 7 ) , ( 6 , 6 ) , ( 7 , 5 ) , ( 8 , 4 ) ,

( 9 , 3 ) , ( 10 , 2 ) , ( 11 , 1 ) เปน็ คำตอบของสมการ 

และ ( 3 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 3 ) , ( 6 , 4 ) , ( 7 , 5 ) , ( 8 , 6 ) , ... เปน็ คำตอบของสมการ 

จะเห็นว่า ( 7 , 5 ) เป็นคอู่ ันดับคู่เดียวทเี่ ปน็ คำตอบของท้งั สมการ  และ 

เรียก ( 7 , 5 ) วา่ เป็นคำตอบของระบบสมการ x + y = 12 และ x - y = 2

เมอื่ เขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ  และ  ในระบบพกิ ัดฉากเดียวกนั ไดด้ ังนี้

~5~

นักเรียนจะเหน็ ว่ากราฟท้ังสองมจี ุด ( 7 , 5 ) เป็นจุดรว่ ม
ให้ a , b , c , d , e และ f เปน็ จำนวนจรงิ ที่ a , b ไมเ่ ป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั และ c , d ไมเ่ ป็นศูนย์พร้อม
กัน เรยี กระบบทปี่ ระกอบด้วยสมการ

ax + by = e
cx + dy = f
วา่ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรท่ีมี x และ y เป็นตวั แปร
กล่าววา่ a และ c เป็นสัมประสทิ ธิข์ อง x
b และ d เปน็ สมั ประสทิ ธข์ิ อง y
คำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร คือ คูอ่ ันดบั ( x , y ) ท่สี อดคลอ้ งกบั สมการทั้งสองของ
ระบบสมการหรือ คู่อนั ดบั ( x , y ) ท่คี า่ x และค่า y ทำให้สมการท้งั สองของระบบสมการเปน็ จริง

คำชแี้ จง ~6~
วธิ ีทำ
จงเปลยี่ นประโยคต่อไปนเ้ี ป็นประโยคสญั ลักษณ์ ให้ x และ y เปน็ ตัวแปรพร้อมท้ังหาคำตอบ
โดยการเขียนกราฟ
“ซ้อื สม้ และมงั คดุ มาทงั้ หมด 15 ผล มีส้มนอ้ ยกว่ามังคดุ 3 ผล”
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................

~7~

แบบฝึกทักษะท่ี 2

เรือ่ ง กราฟของระบบสมการเชิงเส้น

ให้นักเรียนพิจารณาการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรด้วยการเขียนกราฟของแต่ละ
สมการบนระนาบโดยใช้แกนค่เู ดยี วกัน ดังตวั อย่างตอ่ ไปนี้
ตวั อย่างที่ 1 กำหนดให้ x , y เป็นจำนวนจริงใดๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ทมี่ สี องสมการดังต่อไปน้ี ในระบบพิกัดฉากเดยี วกัน พรอ้ มทัง้ หาคำตอบของระบบสมการ
2x + y = 5
x-y=1

วิธีทำ ให้ 2x + y = 5 ................. 
x - y = 1 ................ 

เขียนกราฟของสมการท้งั สองได้ดังนี้

เนือ่ งจากเส้นตรงทีไ่ ดจ้ ากสมการ  และเส้นตรงที่ไดจ้ ากสมการ  ตัดกนั ทจี่ ุด (2 , 1) ดังน้ัน
คำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรคือ ( 2 , 1 )

~8~

ตวั อย่างที่ 2 กำหนดให้ x , y เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัว
วธิ ีทำ แปรทม่ี สี องสมการดังต่อไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกนั พร้อมท้ังหาคำตอบของระบบ
สมการ x + 3y = 10 และ 2x + 6y = 20
ให้ x + 3y = 10 ................. 

2x + 6y = 20 ................ 
เขยี นกราฟของสมการทงั้ สองไดด้ ังนี้

เน่อื งจาก เสน้ ตรงทไ่ี ด้จากสมการ  และเส้นตรงที่ได้จากสมการ  ขนานกัน จงึ ไม่มีจดุ ตดั
ดังนั้นไม่มีค่า x และคา่ y ท่สี อดคล้องกับระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรนี้

~9~

คำชแ้ี จง จงเขยี นกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรทีม่ ีสองสมการดงั ต่อไปนี้ ในระบบ
พกิ ดั ฉากเดียวกัน พร้อมท้งั หาคำตอบของระบบสมการ ( กำหนดให้ x , y เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ )

1. x + y = 7 และ x - y = 3

2. x - 2y = 6 และ 2x - 4y = 8

~ 10 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 3

เรอื่ ง กราฟของระบบสมการเชิงเส้น

ตวั อยา่ ง กำหนดให้ x , y เปน็ จำนวนจริงใดๆ จงเขยี นกราฟของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร
วิธีทำ ทีม่ สี องสมการดงั ต่อไปนี้ ในระบบพิกดั ฉากเดียวกัน พร้อมท้งั หาคำตอบของระบบสมการ
2x - y = 4 และ 4x - 2y = 8
ให้ 2x - y = 4 ..................... 
และ 4x - 2y = 8 ..................... 
เขยี นกราฟของสมการทง้ั สองได้ดังน้ี

จากกราฟ จะเห็นวา่ คู่อันดับมากมายท่ีเปน็ คำตอบของสมการ 2x - y = 4 และมคี ่อู ันดบั
มากมายท่ีเป็นคำตอบของสมการ 4x - 2y = 8

เนอื่ งจากกราฟของสมการทั้งสองเป็นเสน้ ตรงสองเส้นซงึ่ ทับกัน แสดงว่าคู่อนั ดับทุกคู่อันดับท่ี
เป็นพกิ ดั ของจดุ บนเส้นตรงที่ทับกนั นี้ เปน็ คำตอบของระบบสมการ

ดงั นัน้ ระบบสมการนจ้ี งึ มีคำตอบมากมายไมจ่ ำกัด ซึ่งเขยี นในรปู ( x , 2x - 4)

~ 11 ~

คำช้ีแจง กำหนดให้ x , y เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
ที่มีสองสมการดังต่อไปน้ี ในระบบพิกัดฉากเดียวกนั พรอ้ มท้ังหาคำตอบของระบบสมการ

1. 2y - x = 6 และ 2y = x – 4

2. 2x + y = 3 และ 4x + 2y = 6

~ 12 ~

3. จากกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรต่อไปน้ี จงหาว่าแตล่ ะระบบสมการ มีคำตอบ
หรอื ไม่ ในกรณีทม่ี คี ำตอบเดียวให้ระบคุ ำตอบนั้น

1.

......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................

2.

......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................

~ 13 ~

3.

......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................

4.

......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................

~ 14 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 4

เร่อื ง กราฟของระบบสมการเชงิ เส้น
ตัวอย่างท่ี 1 กราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟแสดงความสมั พันธ์ระหวา่ งระยะทางทีเ่ ดินทางโดยรถยนตข์ อง
นายสันกับปรมิ าณน้ำมนั ท่ีมอี ย่ใู นถัง จากกราฟทีก่ ำหนดให้ จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1) ก่อนออกเดินทาง รถยนต์ของนายสนั มีนำ้ มนั อย่ใู นถังก่ีลติ ร
ตอบ 60 ลติ ร
2) เมอ่ื เดินทางไปได้ 200 กิโลเมตร นำ้ มันในถังของรถยนต์นายสนั เหลือกี่ลิตร
ตอบ 40 ลติ ร
3) เม่อื เดินทางไปได้ 500 กิโลเมตร น้ำมันในถงั ของนายสันเหลอื กีล่ ติ ร
ตอบ 10 ลติ ร
4) ขณะที่น้ำมันในถงั เหลือ 20 ลิตร รถยนตข์ องนายสนั แล่นได้ทางท้งั หมดก่ีกโิ ลเมตร
ตอบ 400 กม.
5) นำ้ มันหมดถัง เมื่อนายสันขบั รถไปได้ก่กี โิ ลเมตร
ตอบ 600 กม.

~ 15 ~

ตวั อยา่ งที่ 2 รา้ นเมอื งไทย VCD คดิ คา่ เชา่ VCD ต่อแผน่ ดังน้ี คือ คิดค่าบริการ 30 บาท และค่าเช่าอีกวนั
ละ 35 บาท แต่รา้ นมอื หนึง่ VCD คิดคา่ เช่า VCD ต่อแผ่นดังนี้ คือคิดค่าบริการ 45 บาท และค่าเชา่ อกี วันละ
30 บาท ให้เปรียบเทยี บคา่ เช่า VCD ของทงั้ สองร้าน โดยใช้ กราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรแลว้
ตอบคำถามต่อไปน้ี

1) ถา้ ต้องการเชา่ VCD ไมเ่ กิน 3 วนั ควรจะเลือกเช่า VCD จากรา้ นใดจึงจะประหยดั กว่า
2) ถ้าต้องการเชา่ VCD มากกว่า 3 วัน ควรจะเลือกเช่า VCD จากรา้ นใดจึงจะประหยดั กว่า
3) ค่าเชา่ VCDจากร้านสองร้านนี้ จะเท่ากนั เมอ่ื เชา่ VCD เปน็ เวลากีว่ นั และเสยี คา่ ใช้จา่ ยกบ่ี าท
วิธีทำ ให้ y แทนค่าเช่า VCD

x แทนจำนวนวันท่ีเช่า VCD
ร้านเมืองไทย VCD คดิ ค่าบริการ 30 บาท และคา่ เช่าอีกวันละ 35 บาท
จะได้วา่ คา่ เชา่ ของร้านเมืองไทย VCD สอดคลอ้ งกบั สมการ y = 30 + 35x ..................... 
ร้านมอื หนงึ่ VCD คดิ ค่าบรกิ าร 45 บาท และค่าเช่าอีกวันละ 30 บาท
จะได้ว่า ค่าเช่าของร้านมือหนึ่ง VCD สอดคลอ้ งกบั สมการ y = 45 + 30x ..................... 

เขยี นกราฟของระบบสมการได้ดงั นี้

เม่อื พิจารณาจากกราฟ จะเห็นว่า กราฟตดั กนั ทจ่ี ุด ( 3 , 135 ) เมอ่ื 1 < x < 3
กราฟของเมอื งไทย VCD ( y = 30 + 35x ) อยตู่ ่ำกวา่ กราฟของมือหน่ึง VCD ( y = 45 + 30x ) และ
เมือ่ x > 3 กราฟของมือหน่งึ VCD อยู่ต่ำกวา่ กราฟเมืองไทย VCD จึงตอบคำถามได้ดังนี้

~ 16 ~

1) ถา้ ต้องการเช่า VCD ไม่เกิน 3 วัน ควรจะเลือกเช่า VCD จากรา้ นเมืองไทย VCD จงึ จะ
ประหยดั กวา่

2) ถา้ ตอ้ งการเชา่ VCD มากกว่า 3 วัน ควรจะเลอื กเช่า VCD จากรา้ นมือหนึง่ VCD จงึ จะ
ประหยัดกว่า

3) คา่ เช่า VCD จากร้านสองรา้ นนี้จะเทา่ กัน เมอื่ เช่า VCD เปน็ เวลา 3 วนั โดยเสยี
ค่าใชจ้ ่าย 135 บาท
คำชี้แจง จงหาคำตอบจากโจทยท์ ี่กำหนดให้ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
1. กราฟท่ีกำหนดให้เป็นกราฟแสดงการเดนิ ทางของนายชาญวิทย์

1) เม่ือเวลา 08.00 น. นายชาญวทิ ย์เดนิ ทางไดก้ ี่กิโลเมตร ..............................................................
2) เมอ่ื เวลา 10.00 น. นายชาญวทิ ย์เดนิ ทางไดก้ ี่กิโลเมตร …...........................................................
3 ) ชว่ งเวลา 07.00 น. – 12.00 น. นายชาญวทิ ย์เดนิ ทางไดก้ ่กี ิโลเมตร ...................................
4 ) นายชาญวทิ ย์ออกเดินทางเวลาใด ..........................................................................................

~ 17 ~

5) ขณะทีน่ ายชาญวทิ ย์เดินทางได้ 45 กโิ ลเมตร นายชาญวิทย์เดินทางมาแลว้ ก่ชี วั่ โมง
............................................................................................................................. .....................

6) อัตราเรว็ ในการเดนิ ทางของนายชาญวิทย์เท่ากบั กกี่ ิโลเมตรต่อช่ัวโมง ...........................................

2. คณุ รกั ษต์ ้องการเดนิ สายไฟฟ้าในโรงรถใหม่ เขาจึงโทรศัพท์ไปสอบถามราคาคา่ บริการจากชา่ งไฟฟา้
สองคน ชา่ งไฟฟา้ คนทหี่ น่ึง คิดค่ารถ 200 บาท และคิดค่าเดนิ สายไฟฟา้ ชัว่ โมงละ 200 บาทช่าง
ไฟฟ้าคนทสี่ อง คิดค่ารถ 300 บาท และคิดค่าเดินสายไฟฟ้าช่วั โมงละ 150 บาท โดยใชก้ ราฟของ
ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร จงหาว่าคุณรกั ษ์ตอ้ งเดนิ สายไฟฟ้าให้เสร็จภายในเวลาก่ีชว่ั โมงพอดี
จึงจะเสียค่าใชจ้ ่ายในการจ้างชา่ งไฟฟ้าคนท่ีหนง่ึ หรือในการจา้ งชา่ งไฟฟ้าคนท่สี องเท่ากัน

วธิ ที ำ .......................................................................................................................................... ......
.......................................................................................................................... ......................
............................................................................................................................. ...................
.................................................................................... ............................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
..................................................................................................................................... ...........
..................................................................................................................... ...........................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................ ................
................................................................................................................ ................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................

~ 18 ~

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ชุดที่ 2

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยใชก้ ราฟ

~ 19 ~

แบบฝกึ ทักษะ

ชุดที่ 2 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยใชก้ ราฟ

สาระสำคัญ
ให้ a , b , c , d , e และ f เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ ท่ี a , b ไม่เป็นศูนยพ์ ร้อมกนั และ c , d ไม่เป็นศูนย์

พร้อมกนั เรยี ก
ax + by = e

และ cx + dy = f
วา่ ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร และคำตอบของระบบสมการ คือ คา่ ของ x และ y ที่ทำให้สมการ
ทง้ั คเู่ ปน็ จกราฟของระบบสมการเชงิ เสน้

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
นกั เรยี นสามารถ
1. หาคำตอบของระบบสมการโดยวธิ ีเขียนกราฟได้
2. บอกจดุ ตดั ของกราฟเส้นตรงสองเส้นได้
3. บอกได้ว่าระบบสมการท่ีไม่มีคำตอบกราฟท่ไี ด้จะขนานกนั
4. บอกได้วา่ ระบบสมการท่ีมีคำตอบไมจ่ ำกดั กราฟทีไ่ ดจ้ ะเปน็ เส้นตรงเดียวกัน

~ 20 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5

เรอื่ ง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้กราฟ

ตวั อย่าง จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยใชก้ ราฟ
x + y = 5 ...................................................... 
x – y = 3 ………………………………………….…… 

วิธีทำ ตารางแสดงคู่อนั ดบั ( x , y ) ท่สี อดคล้องกับสมการ x + y = 5 หรือ y = 5 - x ไดแ้ ก่
x -2 -1 0 1 2
y76543

และตารางแสดงคู่อันดบั ท่ีสอดคล้องกบั สมการ x - y = 3 หรือ y = x - 3 ได้แก่
x -2 -1 0 1 2
y -5 -4 -3 -2 -1

เขียนคู่อนั ดับในระบบพิกดั ฉากเดยี วกันและลากเส้นตรงผา่ นจุดเหล่านั้นได้ดังนี้

กราฟเสน้ ตรงท้ังสองเสน้ ตดั กันทีจ่ ุด A (4 , 1 )
ดังน้ันคำตอบของระบบสมการท่ีกำหนดให้คือ ( 4 , 1 )

~ 21 ~

ให้ a , b , c , d , e และ f เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ a , b ไมเ่ ปน็ ศูนยพ์ ร้อมกนั และ c , d ไม่เปน็ ศนู ย์
พร้อมกัน เรียก

ax + by = e
และ cx + dy = f
วา่ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
และคำตอบของระบบสมการ คือ ค่าของ x และ y ที่ทำใหส้ มการทั้งคู่เปน็ จริง
เราทราบมาแล้วว่าสมการหน่ึง ก็คอื เสน้ ตรงเส้นหน่งึ เมอ่ื กำหนดสมการมาให้สองสมการจงึ มเี สน้ ตรง
2 เสน้ เสน้ ตรง 2 เส้นน้ี มกี รณที ี่เปน็ ไปได้ 3 กรณี คือ
1. เส้นตรงตัดกนั
2. เส้นตรงขนานกนั
3. เสน้ ตรงทั้งสองเป็นเสน้ ตรงเดยี วกนั
ให้นกั เรียนศึกษาตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่าง จงหาคำตอบของระบบสมการ โดยใช้กราฟ
x + y = 8 ...................................................... 
x - y = 2 ...................................................... 

วิธีทำ ตารางแสดงคู่อันดับ ( x , y ) ทสี่ อดคล้องกบั สมการ x + y = 8 หรอื y = 8 - x ไดแ้ ก่

x -2 -1 0 1 2
y 10 9 8 7 6

ตารางแสดงคู่อันดบั ( x , y ) ท่ีสอดคล้องกบั สมการ x - y = 2 หรือ y = x - 2 ไดแ้ ก่

x -2 -1 0 1 2
y -4 -3 -2 -1 0

~ 22 ~

เขยี นคอู่ นั ดับในระบบพิกดั ฉากเดยี วกันและลากเสน้ ตรงผา่ นจดุ เหลา่ นัน้ ไดด้ ังนี้

กราฟเสน้ ตรงทัง้ สองเสน้ ตดั กันที่จดุ ( 5 , 3 )
ดงั น้นั คำตอบของระบบสมการท่ีกำหนดให้คือ ( 5 , 3 )

คำชแี้ จง จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยใชก้ ราฟ
x + y = 6 ...................................................... 
x - y = 4 ...................................................... 

วิธที ำ ............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................

~ 23 ~

............................................................................................ ....................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................

~ 24 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 6

เรอื่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรโดยใชก้ ราฟ

ตวั อย่าง จงหาคำตอบของระบบสมการ โดยใช้กราฟ
วธิ ีทำ x + 3y = 1 ...................................................... 
2x - y = -5 ...................................................... 

คอู่ นั ดับ ( x , y ) ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ x + 3y = 1 ไดแ้ ก่

x -5 -2 4 7
y 2 1 -1 -2
คอู่ นั ดบั ( x , y ) ทส่ี อดคล้องกับสมการ 2x - y = -5 หรือ y = 2x + 5 ได้แก่

x -3 -2 -1 1
y -1 1 3 7
เขียนคูอ่ นั ดบั ในระบบพิกัดฉากเดยี วกันและลากเส้นตรงผ่านจดุ เหลา่ น้ันได้ดังน้ี

เสน้ ตรงท้ังสอง ตัดกนั ทจ่ี ดุ ( -2 , 1 )
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคอื ( -2 , 1 )

คำชแ้ี จง ~ 25 ~
วธิ ที ำ
จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยใชก้ ราฟ
y - 2x = 1 ...................................................... 
3x - y = 1 ...................................................... 

.......................................................................................................................... ......................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................

~ 26 ~

แบบฝึกทักษะที่ 7

เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใชก้ ราฟ

ตวั อยา่ ง จงหาคำตอบของระบบสมการ โดยใชก้ ราฟ
x + y = 8 ...................................................... 
x + y = 5 ...................................................... 

วิธที ำ คอู่ นั ดบั ( x , y ) ทสี่ อดคล้องกบั สมการ x + y = 8 หรอื y = 8 - x ได้แก่
x0357
y8531

คู่อนั ดับ ( x , y ) ท่ีสอดคลอ้ งกับสมการ x + y = 5 หรือ y = 5 - x ไดแ้ ก่
x0357
y 5 2 0 -2

เขียนคู่อนั ดับในระบบพิกดั ฉากเดียวกนั และลากเสน้ ตรงผา่ นจดุ เหล่านัน้ ได้ดังนี้

เสน้ ตรงทัง้ สอง ขนานกัน จึงไม่มจี ุดตัด
ดังนนั้ คำตอบของระบบสมการจงึ ไม่มีคำตอบ

คำชแ้ี จง ~ 27 ~
วธิ ที ำ
จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้ โดยใชก้ ราฟ
2x - 2y = 4 ...................................................... 
x - y = 8 ...................................................... 

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................

.......................................................................................... ......................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................

~ 28 ~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 8

เรอื่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้กราฟ

ตวั อย่าง จงหาคำตอบของระบบสมการ โดยใช้กราฟ
2y - x = 6 ...................................................... 
2y = x - 4 ...................................................... 

วธิ ที ำ ตารางแสดงคู่อนั ดับ ( x , y ) ทสี่ อดคล้องกบั สมการ 2y - x = 6 ได้แก่
x -4 -2 0 2 4
y12345

ตารางแสดงคู่อันดับ ( x , y ) ที่สอดคล้องกบั สมการ 2y = x - 4 ไดแ้ ก่
x -4 -2 0 2 4
y -4 -3 -2 -1 0

เขียนคอู่ ันดับในระบบพิกัดฉากเดยี วกันและลากเส้นตรงผ่านจุดเหลา่ นน้ั ได้ดงั น้ี

เส้นตรงท้งั สอง ขนานกนั จงึ ไมม่ ีจุดตัด
ดังนน้ั คำตอบของระบบสมการจึงไมม่ คี ำตอบ

คำชแ้ี จง ~ 29 ~
วธิ ที ำ
จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยใช้กราฟ
3x + y = 4 ...................................................... 
3x + y = -2 ...................................................... 

.......................................................................................................................... ......................
............................................................................................................................. ...................
.................................................................................... ............................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................

~ 30 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 9

เร่อื ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใชก้ ราฟ

ตัวอย่าง จงหาคำตอบของระบบสมการ โดยใช้กราฟ
วิธีทำ 2x + y = 5 ...................................................... 
4x + 2y = 10 ...................................................... 

ตารางแสดงคู่อันดับ ( x , y ) ทสี่ อดคล้องกบั สมการ 2x + y = 5 หรือ y = 5 - 2x ได้แก่

x -2 0 2 4 6
y 9 5 1 -3 -7
ตารางแสดงคู่อนั ดับ ( x , y ) ที่สอดคล้องกับสมการ 4x + 2y = 10 หรอื y = 5 - 2x ได้แก่

x -2 0 2 4 6
y 9 5 1 -3 -7
เขียนค่อู นั ดับในระบบพิกัดฉากเดยี วกนั และลากเสน้ ตรงผ่านจดุ เหลา่ น้นั ได้ดังนี้

จากสมการ  นำ 2 หารตลอด จะได้ 2x + y = 5 เป็นสมการเดยี วกันกับสมการ 
ทำใหไ้ ด้กราฟ  เสน้ ทบั กันสนิท

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมการน้ีมีมากมายหลายคำตอบ
อยู่ในรูปคู่อนั ดับ ( x , y ) คือ ( x , 5 - 2x )

คำชแ้ี จง ~ 31 ~
วธิ ที ำ
จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้ โดยใชก้ ราฟ
x + y = 4 ...................................................... 
2x + 2y = 8 ...................................................... 

............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................... .............
................................................................................................................... .............................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................

~ 32 ~

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
ชดุ ท่ี 3

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
โดยใช้สมบัตกิ ารบวกและการคณู

~ 33 ~

แบบฝกึ ทกั ษะ

ชุดที่ 3 การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร โดยใช้สมบัติการบวกและการคูณ

สาระสำคัญ
สมบัตกิ ารบวกและสมบัติการคูณ
1) ถา้ a , b , c และ d เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ โดยท่ี a = b และ c = d แล้ว
a+c=b+d
2) ถ้า a , b และ k แทนจำนวนจรงิ ใดๆ และ a = b แล้ว ak = bk

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
นกั เรยี นสามารถ
1. นำสมบัตกิ ารบวกมาใช้แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรได้
2. นำสมบัตกิ ารคูณมาใช้แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรได้

~ 34 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 10

เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้สมบัตกิ ารบวกและการคูณ

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร นอกจากจะใชก้ ราฟแล้วยงั มีวธิ อี นื่ อกี ซง่ึ
ต้องใช้สมบตั ิการบวกและการคณู เขา้ มาชว่ ย

สมบตั กิ ารบวกและสมบตั กิ ารคูณ
1) ถ้า a , b , c และ d เปน็ จำนวนจริงใดๆ โดยที่ a = b และ c = d แลว้ a + c = b + d
2) ถา้ a , b และ k แทนจำนวนจริงใดๆ และ a = b แล้ว ak = bk

ตัวอย่าง จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 4 ...................................................... 

x - y = 2 ...................................................... 

วธิ ที ำ จัดสมการในรปู ตวั แปรใดตัวแปรหนึง่ แลว้ แทนค่าในอกี สมการหน่งึ

จาก  จะได้ y = 4 - x ...................................................... 

แทนค่า y = 4 - x ใน 

จะได้ x - ( 4 – x ) = 2

x–4+x = 2

2x - 4 = 2

2x = 2 + 4

2x = 6

x =3

แทนคา่ x = 3 ใน 

จะได้ y = 4 - 3

y =1

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมการนค้ี ือ ( 3 , 1 )

ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 3 และ y = 1 ใน  จะได้ 3 + 1 = 4 ซึ่งเปน็ จริง

และแทนคา่ x = 3 และ y = 1 ใน  จะได้ 3 - 1 = 2 ซึง่ เป็นจรงิ

~ 35 ~

ตวั อย่าง จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 8 ...................................................... 

x - y = 4 ...................................................... 

วธิ ีทำ จดั สมการในรูปตัวแปรใดตวั แปรหนง่ึ แล้วแทนค่าในอกี สมการหนงึ่

จาก 2 จะได้ x = y + 4 ...................................................... 

แทนคา่ x = y + 4 ใน 

จะได้ y + 4 + y = 8

2y + 4 = 8

2y = 8 - 4

2y = 4

y =2

แทน y = 2 ใน 

จะได้ x = 2 + 4

x =6

ดงั น้นั คำตอบของระบบสมการ คือ ( 6 , 2 )

ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 6 และ y = 2 ในสมการท่ี 
จะได้ 6 + 2 = 8 ซึง่ เป็นจริง
แทนคา่ x = 6 และ y = 2 ในสมการที่ 
จะได้ 6 - 2 = 4 ซง่ึ เป็นจริง

คำชแ้ี จง ~ 36 ~
วิธที ำ
จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยสมบตั ิการบวกและการคูณ
x - y = 12 ...................................................... 
x + y = 2 ...................................................... 

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................... .............................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................

~ 37 ~

แบบฝึกทักษะที่ 11

เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้สมบัตกิ ารบวกและการคูณ

ตัวอยา่ ง จงแก้ระบบสมการ x + 7y = 8 ...................................................... 

3x + 2y = 5 ...................................................... 

วิธีทำ จดั สมการในรปู ตวั แปรใดตวั แปรหนึง่ แลว้ แทนคา่ ในอกี สมการหน่งึ

จาก  จะได้ x = 8 - 7y ...................................................... 

แทนคา่ x = 8 - 7y ใน 

จะได้ 3 ( 8 - 7y ) + 2y = 5

24 - 21y + 2y = 5

24 - 19y = 5

-19y = 5 - 24

-19y = -19

y =1

แทนค่า y = 1 ใน 

จะได้ x = 8 - 7(1)

x = 8-7

x =1

ดังนน้ั คำตอบของระบบสมการ คือ ( 1 , 1 )

ตรวจคำตอบ แทนคา่ x = 1 และ y = 1 ใน 
จะได้ 1 + 7(1) = 8 ซง่ึ เป็นจรงิ
และแทนคา่ x = 1 และ y = 1 ใน 
จะได้ 3(1) + 2(1) = 5 ซ่ึงเปน็ จริง

~ 38 ~

ตวั อยา่ ง จงแกร้ ะบบสมการ 3x - y = 7 ...................................................... 

4x - 3y - 11 = 0 ...................................................... 

วธิ ที ำ จัดสมการในรปู ตวั แปรใดตวั แปรหนึง่ แลว้ แทนค่าในอกี สมการหนง่ึ

จาก  จะได้ y = 3x - 7 ...................................................... 

แทนคา่ y = 3x - 7 ใน 

จะได้ 4x - 3( 3x – 7 ) - 11 = 0

4x - 9x + 21 - 11 = 0

-5x + 10 = 0

-5x = -10

x = − 10

−5

x =2

แทนคา่ x = 2 ใน 

จะได้ y = 3(2) - 7

y=6-7

y = -1

ดงั น้นั คำตอบของระบบสมการ คอื ( 2 , -1 )

ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 2 และ y = -1 ใน 
จะได้ 3(2) - (-1) = 7
ซึ่งเปน็ จริง
6+1 =7 ซึง่ เปน็ จริง
และแทน x = 2 และ y = -1 ใน 2
จะได้ 4(2) - 3(-1) - 11 = 0

8 + 3 – 11 = 0

คำชแ้ี จง ~ 39 ~
วิธีทำ
จงหาคำตอบของระบบสมการต่อไปน้ี โดยสมบัติการบวกและการคูณ
5x - 4y = 1 ...................................................... 
x - y = -7 ...................................................... 

......................................................................................................................... .......................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................... .............................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................

~ 40 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 12

เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร โดยใช้สมบัตกิ ารบวกและการคูณ

ตัวอยา่ ง จงแก้ระบบสมการ 2x + 3y = 11 ...................................................... 

3x - 2y = 10 ...................................................... 

วิธที ำ กำจดั ตัวแปรใดตวั แปรหนง่ึ ให้หมดไป โดยทำให้ค่าสัมประสิทธ์ขิ องตวั

แปรใดตวั แปรหน่ึงของทั้งสองสมการเทา่ กนั ถา้ เครื่องหมายต่างกันให้นำ

สมการมาบวกกนั ถา้ เครอ่ื งหมายเหมือนกนั ใหน้ ำสมการมาลบกนั

จาก 2x + 3y = 11 ...................................................... 

3x - 2y = 10 ...................................................... 

 × 2 4x + 6y = 22 ...................................................... 

 × 3 9x - 6y = 30 ...................................................... 

 +  (4x + 6y) + (9x - 6y) = 22 + 30

13x = 52

x =4

แทนคา่ x = 4 ใน  หรือ  กไ็ ด้

ในทนี่ ้ีเลือกแทนคา่ x = 4 ใน 

จะได้ 2(4) + 3y = 11

8 + 3y = 11

3y = 11 - 8

3y = 3

y =1

ดังน้ัน คำตอบของระบบสมการ คือ ( 4 , 1 )

ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 4 และ y = 1 ใน 

จะได้ 2(4) + 3(1) = 11 ซึง่ เปน็ จริง

และแทนคา่ x = 4 และ y = 1 ใน 

จะได้ 3(4) - 2(1) = 10 ซึง่ เปน็ จริง

~ 41 ~

ตวั อย่าง จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 5 ...................................................... 

2x - y = 1 ...................................................... 

วิธที ำ กำจัดตวั แปรใดตัวแปรหน่ึงให้หมดไป โดยทำให้คา่ สัมประสทิ ธิ์ของตัว

แปรใดตัวแปรหนงึ่ ของท้ังสองสมการเทา่ กนั ถ้าเคร่ืองหมายตา่ งกันให้นำ

สมการมาบวกกนั ถ้าเคร่อื งหมายเหมือนกันใหน้ ำสมการมาลบกนั

จาก x + y = 5 ...................................................... 

2x - y = 1 ...................................................... 

เมื่อพจิ ารณาแล้วจะเห็นวา่ สมั ประสิทธข์ิ อง y มีคา่ สัมบรู ณ์เท่ากัน

ถ้าต้องการให้ y หมดไป จะดำเนินการดงั น้ี

 +  จะได้ ( x + y ) + ( 2x – y ) = 5 + 1

3x = 6

x =2

แทนค่า x = 2 ใน  หรือ  กไ็ ด้

ในที่นเี้ ลือกแทนคา่ x = 2 ใน 

จะได้ 2 + y = 5

y =3

ดังนัน้ คำตอบของระบบสมการ คือ ( 2 , 3 )

ตรวจคำตอบ แทนคา่ x = 2 และ y = 3 ใน 

จะได้ 2 + 3 = 5 ซ่ึงเปน็ จริง

และแทนคา่ x = 2 และ y = 3 ใน 

จะได้ 2(2) - 3 = 1 ซง่ึ เปน็ จริง

คำชแ้ี จง ~ 42 ~
วิธที ำ
จงหาคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้ โดยสมบัติการบวกและการคูณ
3x + 4y = 23 ...................................................... 
5x – 2y = -5 ...................................................... 

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................... .............................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................

~ 43 ~

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 13

เรือ่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร โดยใช้สมบัติการบวกและการคณู

ตวั อย่าง จงแกร้ ะบบสมการ 2a - b = 3 ...................................................... 
a + 2b = 4 ...................................................... 
...................................................... 
วธิ ที ำ 2a - b = 3 =8-3
a + 2b = 4 =5
=5
นำสมการ  × 2 จะได้ 2a + 4b = 8 =1
นำสมการ  -  จะได้ ( 2a + 4b ) - ( 2a – b )

2a + 4b - 2a + b
5b
b

แทน b = 1 ใน 
จะได้ a + 2(1) = 4

a+2 =4
a =2
ดังน้นั คำตอบของระบบสมการ คอื ( 2 , 1 )

ตรวจคำตอบ แทนค่า a = 2 และ b = 1 ใน 

จะได้ 2(2) - 1 = 3 ซง่ึ เปน็ จริง

และแทนค่า a = 2 และ b = 1 ใน 

จะได้ 2 + 2(1) = 4 ซ่งึ เป็นจรงิ

~ 44 ~

ตวั อย่าง จงแก้ระบบสมการ 4x + y = 5

2x - 3y = 13

วิธที ำ 4x + y = 5 ...................................................... 

2x - 3y = 13 ...................................................... 

นำ สมการ  ×3 จะได้ 12x + 3y = 15 ...................................................... 

นำสมการ  +  จะได้ ( 2x - 3y ) + ( 12x + 3y ) = 13 + 15

2x - 3y + 12x + 3y = 28

14x = 28

x =2

แทน x = 2 ใน 

จะได้ 4(2) + y = 5

8+y =5

y =5-8

y = -3

ดังนนั้ คำตอบของระบบสมการ คือ ( 2 , -3 )

ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 2 และ y = -3 ใน 
จะได้ 4(2) + (-3) = 5
ซึ่งเป็นจรงิ
8-3 =5 ซ่ึงเป็นจรงิ
และแทนค่า x = 2 และ y = -3 ใน 
จะได้ 2(2) - 3(-3) = 13

4 + 9 = 13

คำชแ้ี จง ~ 45 ~
วิธีทำ
จงหาคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้ โดยสมบตั ิการบวกและการคูณ
4x – 2y = 6
x–y=5

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................... .............................................

~ 46 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 14

เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร โดยใช้สมบัตกิ ารบวกและการคูณ

ตัวอย่าง จงแกร้ ะบบสมการ 2x + 4y = 3

3x + 6y = 8

วิธที ำ 2x + 4y = 3 ...................................................... 

3x + 6y = 8 ...................................................... 

นำสมการ  ×3 จะได้ 6x + 12y = 9 ...................................................... 

นำสมการ  ×2 จะได้ 6x + 12y = 16 ...................................................... 

 -  จะได้ ( 6x + 12y ) - ( 6x + 12y ) = 9 - 16

0 = -7 ซง่ึ ไมเ่ ป็นจริง

แสดงวา่ ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่าง จงแกร้ ะบบสมการ 5x + 4y = -7

2x - 7y = -5

วิธที ำ 5x + 4y = -7 ...................................................... 

2x - 7y = -5 ...................................................... 

 ×2 จะได้ 10x + 8y = -14 ...................................................... 

 ×5 จะได้ 10x - 35y = -25 ...................................................... 

 -  ( 10x + 8y ) - ( 10x - 35y ) = -14 - ( -25 )

10x + 8y - 10x + 35y = -14 + 25

43y = 11

y = 11

แทนคา่ y = 11 ใน  43

43

จะได้ 5x + 4( 11 ) = -7

43

~ 47 ~

5x + 44 = -7
43

5x = -7 - 44
43

5x = - 301 - 44
43 43

x = - 345 x 1
43 5

x = - 69
43

คำตอบของระบบสมการ คือ ( - 69 , 11 )
43 43

คำชแี้ จง จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้ โดยสมบตั ิการบวกและการคูณ
วิธีทำ 7x - 10y = 4
12x + 18y = 1

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................

~ 48 ~

2x + 3y = 4
4x + 6y = 18
วธิ ีทำ ............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................... .............................................
............................................................................................................................. ...................

~ 49 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 15

เรือ่ ง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้สมบัตกิ ารบวกและการคูณ

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการ 2x + 2y = 10

5x + 5y = 25

วธิ ที ำ 2x + 2y = 10 ...................................................... 

5x + 5y = 25 ...................................................... 

นำสมการ  ÷ 2 จะได้ x + y = 5 ...................................................... 

นำสมการ  ÷5 จะได้ x + y = 5 ...................................................... 

จะเหน็ ว่าสมการ  และ  เป็นสมการเดียวกัน

แสดงวา่ สมการ  และ  เป็นสมการเดยี วกนั และมคี ำตอบอย่างเดียวกัน ซ่งึ มีมากมายไม่จำกัด

ดงั นน้ั จงึ หาคอู่ ันดับที่เปน็ คำตอบของระบบสมการนี้ได้จากสมการใด

สมการหนึ่ง ดังน้ี

จากสมการ  2y = 10 - 2x

y =5-x

ดังน้ัน ระบบสมการนจี้ ึงมีคำตอบมากมายไมจ่ ำกดั อยใู่ นรูป ( x , 5 – x )

เมื่อ x แทนจำนวนจริงใดๆ

ตัวอยา่ ง จงแกร้ ะบบสมการ 3x + 2y - 2 = 0

2x + 2y + 1 = 0

วธิ ีทำ 3x + 2y - 2 = 0 ...................................................... 

2x + 2y + 1 = 0 ...................................................... 

 -  จะได้ ( 3x + 2y – 2 ) - ( 2x + 2y + 1 ) = 0

3x + 2y – 2 - 2x - 2y - 1 = 0

x-3 =0

x =3

แทน x = 3 ในสมการ 