ระบบสมการเชิงเส้น

~ 50 ~

จะได้ 2(3) + 2y + 1 = 0

6 + 2y + 1 = 0

2y + 7 = 0

2y = -7

y = − 7
2

ดังนัน้ คำตอบของระบบสมการ คือ (3 , - 7 )
2

คำชแ้ี จง จงหาคำตอบของระบบสมการต่อไปน้ี โดยสมบตั ิการบวกและการคูณ
วธิ ที ำ 2x + 5y = 5
3x + 8y = 7

............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................................................ ........
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................

~ 51 ~

y + x = -2
2y + 2x = -4
วธิ ีทำ ............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................

~ 52 ~

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
ชดุ ท่ี 4

โจทยป์ ัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

~ 53 ~

แบบฝึกทกั ษะ

ชุดท่ี 4 โจทย์ปัญหาระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร

สาระสำคัญ
ใชค้ วามรูเ้ ร่อื งการแกร้ ะบบสมการชว่ ยหาคำตอบของโจทย์ปัญหาใหง้ า่ ยขน้ึ

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
นกั เรียนสามารถ
1. เปล่ยี นประโยคภาษาเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ได้
2. เขยี นระบบสมการสองสมการจากโจทย์ปญั หาได้
3. หาคำตอบจากโจทย์ปญั หาได้
4. ตระหนักถึงความสมเหตสุ มผลของคำตอบทีไ่ ด้

~ 54 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 16

เรอื่ ง โจทย์ปัญหาระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร

ในการแก้โจทยป์ ัญหาระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร จำเปน็ ต้องกำหนดตัวแปรขึ้นมา 2 ตัวเพ่ือแทน
สงิ่ ทไี่ ม่ทราบค่า และสร้างสมการ 2 สมการจากเงื่อนไขของโจทย์ แล้วจงึ หาคำตอบโดยใช้วิธกี ารแก้ระบบ
สมการจากที่ได้เรยี นมา ดงั ตัวอย่างต่อไปนี้

ตวั อย่าง ลวดหนามขดหน่ึงยาว 36 เมตร นำไปล้อมรัว้ รอบพ้ืนที่รูปสเ่ี หลย่ี มผนื ผ้าท่มี ีด้านกว้างสั้นกวา่

ด้านยาว 4 เมตร ได้พอดี จงหาขนาดของรปู สี่เหล่ียมผนื ผ้าน้ี

วธิ ีทำ ให้ x แทนความยาวของด้านยาวของพื้นท่ีรปู ส่ีเหลยี่ มผืนผา้

Y แทนความยาวของดา้ นกว้างของพื้นท่ีรปู สี่เหล่ยี มผืนผา้

ดา้ นกวา้ งสั้นกว่าด้านยาว 4 เมตร

จะได้ x - y = 4 ...................................................... 

และลวดหนามขดนยี้ าว 36 เมตร ลอ้ มรั้วรอบพนื้ ทรี่ ูปสเี่ หลี่ยมผืนผา้ ไดพ้ อดี

จะได้ 2x + 2y = 36 ...................................................... 

 ÷ 2 จะได้ x + y = 18 ...................................................... 

 +  จะได้ 2x = 22

x = 11

แทน x = 11 ใน 

จะได้ 11 – y = 4

y = 11-4

y =7

นน่ั คอื พ้ืนทร่ี ปู ส่ีเหล่ยี มผนื ผ้านี้มีด้านยาวยาว 11 เมตร และดา้ นกวา้ งยาว 7 เมตร

พจิ ารณาความสมเหตุสมผล

พน้ื ทีร่ ปู สเี่ หลี่ยมผนื ผา้ น้มี ดี า้ นยาวยาว 11 เมตร ด้านกว้างยาว 7 เมตร แสดงว่าด้านกวา้ งส้ันกวา่ ดา้ น

ยาว 4 เมตร ตามท่โี จทย์กำหนด และมีความยาวรอบ รูปเทา่ กับ ( 2 × 11 ) + ( 2 × 7 ) = 36 เมตร จริง

ดงั นัน้ พื้นทีร่ ูปส่ีเหลย่ี มผืนผา้ นม้ี ีด้านยาวยาว 11 เมตร และด้านกว้างยาว 7 เมตร

~ 55 ~

ตัวอย่าง จำนวนสองจำนวนมีผลบวกเทา่ กับยสี่ บิ และผลต่างเท่ากับสบิ จงหาจำนวนสองจำนวนน้นั

วิธที ำ ขั้นท่ี 1 เขา้ ใจปัญหา

1.1) โจทย์ถามหาอะไร

- ถามหาจำนวนสองจำนวน

1.2) โจทยใ์ ห้ขอ้ มลู อะไรบา้ ง

- จำนวนสองจำนวนมีผลบวกเท่ากบั ย่สี ิบ

- จำนวนสองจำนวนมผี ลตา่ งเท่ากับสบิ

ข้ันท่ี 2 วางแผนแก้ปญั หา

2.1) สมมตุ ติ วั แปรแทนส่งิ ทโ่ี จทย์ถาม

- ให้ x แทนจำนวนทห่ี นง่ึ

- ให้ y แทนจำนวนทสี่ อง

2.2) นำขอ้ มูลที่กำหนดใหม้ าสรา้ งเปน็ สมการ

- จะได้ x + y = 20 ...................................................... 

และ x - y = 10 ...................................................... 

2.3) ข้นั ตอนของการหาคา่ ตวั แปร

- นำ  +  จะได้ค่า x

- แทนคา่ x ในสมการ  หรอื  จะได้คา่ y

ขน้ั ที่ 3 ข้ันดำเนินงานตามแผน

- นำ  +  จะได้ 2x = 30

x = 15

- แทนคา่ x = 15 ใน  จะได้ 15 + y = 20

y =5

คำตอบของระบบสมการ คือ ( 15 , 5 )

นั่นคือ จำนวนทีห่ นึ่ง คือ 15 และจำนวนทีส่ อง คอื 5

ขัน้ ที่ 4 พิจารณาความสมเหตสุ มผลของคำตอบ

- จำนวนสองจำนวนมผี ลบวกเท่ากบั 15 + 5 = 20 จรงิ

- จำนวนสองจำนวนมผี ลตา่ งเท่ากบั 15 - 5 = 10 จรงิ

ดังนนั้ จำนวนท่หี นงึ่ คอื 15 และจำนวนทส่ี อง คอื 5

~ 56 ~

การแก้โจทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ข้ันตอนในการแก้โจทยป์ ญั หาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร มีดังน้ี
1) กำหนดตวั แปร 2 ตัว แทนส่ิงทไ่ี ม่ทราบคา่
2) เขยี นสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 สมการ ตามเง่ือนไขของโจทย์
3) หาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ใน 2)
4) ตรวจคำตอบกบั โจทยป์ ญั หาทีก่ ำหนดให้

คำช้ีแจง ให้นกั เรยี นแต่ละคนแสดงวธิ ที ำเพ่อื หาคำตอบของโจทย์ปัญหาต่อไปนี้
ในกระจาดใบหนึง่ มีมะม่วงและสม้ รวมกนั อยู่ 78 ผล ถ้าจำนวนมะม่วงนอ้ ยกวา่ จำนวนสม้ อยู่

24 ผล กระจาดใบนี้มมี ะม่วงและส้มอย่างละกผี่ ล
วธิ ที ำ ............................................................................................................................. ...................

............................................................................................................................................... .
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
......................................................................................... .......................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................

~ 57 ~

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 17

เรือ่ ง โจทยป์ ัญหาระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร

ตัวอย่าง ครนู ำส้มมาใหน้ ักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 ห้องหน่งึ รบั ประทาน ถา้ นักเรยี นรับประทานสม้

คนละ 3 ผล นกั เรยี นจะรับประทานส้มได้ครบทกุ คน และยังเหลือสม้ อีก 2 ผล แตถ่ า้ นักเรียนหอ้ งนี้

รับประทานส้มคนละ 4 ผล จะทำให้ไม่ได้รับประทานส้มกนั ครบทกุ คน โดยจะเหลือนักเรียนอีก 6 คน ที่ไม่ได้

รับประทานสม้ อยากทราบวา่ นักเรยี นหอ้ งนี้มีก่คี น และมสี ้มทั้งหมดกผ่ี ล

วิธที ำ ให้ x แทนจำนวนนักเรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 3

และ y แทนจำนวนส้ม

นักเรียนหอ้ งหนง่ึ รับประทานส้มคนละ 3 ผล จะรบั ประทานได้ครบทุกคนและเหลือส้มไสอ้ ีก 2 ผล

ดังนัน้ y = 3x + 2 ...................................................... 

ถา้ นักเรยี นห้องน้ีรับประทานสม้ คนละ 4 ผล จะทำให้ไม่ได้รบั ประทานสม้ กันครบทุกคน และเหลือ

นกั เรียนอีก 6 คน ที่ไมไ่ ดร้ ับประทานส้ม

ดังน้นั y = 4( x – 6 ) ...................................................... 

แต่  = 

จะได้ 3x + 2 = 4( x – 6 )

3x + 2 = 4x - 24

4x - 3x = 2 + 24

x = 26

แทนค่าของ x ใน 

y = 3( 26 ) + 2

= 78 + 2

= 80

ดังนั้น จำนวนนักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 มี 26 คนและมีส้มทงั้ หมด 80 ผล

พิจารณาความสมเหตสุ มผล

นักเรียนรบั ประทานส้มคนละ 3 ผล นักเรยี นจะรบั ประทานสม้ ได้ครบทุกคนและยังเหลือส้มอกี 2 ผล

แสดงวา่ นักเรียน 26 คน รบั ประทานส้ม 26 × 3 = 78 ผล แต่มสี ้มทัง้ หมด 80 ผล ซงึ่ จะเหลอื สม้ อกี 2 ผล

ตามทีโ่ จทย์กำหนด

~ 58 ~

ถ้านักเรยี นห้องนร้ี ับประทานส้มคนละ 4 ผล จะทำให้ไม่ได้รับประทานส้มกันครบทุกคน โดยจะเหลือ
นักเรยี นอีก 6 คน ท่ีไม่ได้รบั ประทานส้ม แสดงว่า มสี ้มอยู่ 80 ผล นกั เรียนรับประทานคนละ 4 ผล จะ
รับประทานได้ 80 ÷ 4 = 20 คน ซึ่งจะเหลือนักเรียนอกี 6 คน ท่ไี ม่ไดร้ ับประทานส้ม ตามทีโ่ จทยก์ ำหนด
คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนแตล่ ะคนแสดงวิธีทำเพอ่ื หาคำตอบของโจทย์ปญั หาต่อไปนี้

เมอ่ื เฝ้าดนู กกระจาบบินจับดอกบัวในสระน้ำแห่งหน่งึ พบว่าถา้ นกจับดอกบวั ดอกละตวั จะเหลอื นก 1
ตวั ท่ไี ม่มีบวั จบั และถา้ นกจับดอกละ 2 ตวั จะเหลอื บัว 1 ดอกทไ่ี ม่มนี กจบั อยากทราบว่าในสระน้ีมีดอกบัวกี่
ดอกและนกกี่ตวั
วิธีทำ ................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................

~ 59 ~

แบบฝึกทักษะที่ 18

เรือ่ ง โจทย์ปัญหาระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร

ตวั อย่าง สันต์มีแสตมป์ราคาดวงละ 5 บาท และดวงละ 10 บาท รวมทง้ั ส้นิ 27 ดวง ถา้ ราคาของ

แสตมป์ทงั้ หมดเทา่ กับ 175 บาท สนั ต์มีแสตมป์อยา่ งละก่ดี วง

วิธที ำ ให้ x แทนจำนวนแสตมป์ดวงละ 5 บาท

และ y แทนจำนวนแสตมปด์ วงละ 10 บาท

มีแสตมป์ราคาดวงละ 5 บาท และดวงละ 10 บาท รวมท้ังสิ้น 27 ดวง

ดงั น้นั x + y = 27 ...................................................... 

ราคาของแสตมป์ท้งั หมดเทา่ กับ 175 บาท

ดงั น้ัน 5x + 10y = 175 ...................................................... 

 × 5 จะได้ 5x + 5y = 135 ...................................................... 

 -  จะได้ ( 5x + 10y ) - ( 5x + 5y ) = 175 - 135

5x + 10y - 5x - 5y = 40

5y = 40

y =8

แทน y = 8 ใน 

จะได้ x + 8 = 27

x = 27 - 8

x = 19

ดงั นั้น คำตอบของระบบสมการ คือ ( 19 , 8 )

นั่นคือ แสตมป์ดวงละ 5 บาท มจี ำนวน 19 ดวงและดวงละ 10 บาท มีจำนวน 8 ดวง

พจิ ารณาความสมเหตุสมผล

- จำนวนแสตมป์ทั้งหมดเท่ากับ 8 + 19 = 27 จริง

- ราคาของแสตมป์ท้ังหมดเท่ากับ 5(19) + 10(8) = 175 จริง

ดังนน้ั สนั ต์มีแสตมป์ดวงละ 5 บาท จำนวน 19 ดวง และแสตมปด์ วงละ 10 บาท จำนวน 8 ดวง

~ 60 ~

คำชีแ้ จง ให้นกั เรียนแตล่ ะคนแสดงวิธที ำเพ่ือหาคำตอบของโจทยป์ ญั หาตอ่ ไปน้ี
จำนวนเหรียญหา้ บาทของสมพรเป็น 3 เท่าของมานี และมานมี ีเหรียญบาทเปน็ 8 เทา่ ของสมพร ถ้า

สมพรมเี หรยี ญอย่ทู ัง้ หมด 41 เหรียญ และมานมี ีอยู่ท้ังหมด 52 เหรยี ญ อยากทราบวา่ สมพรและมานมี เี หรยี ญ
หา้ บาทคนละกี่เหรียญ และใครมีเงินมากกว่ากัน
วิธที ำ ............................................................................................................................. ...................

............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................ ........................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................... .............................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
.............................................................................................. ..................................................
............................................................................................................................. ...................

~ 61 ~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 19

เรอื่ ง โจทย์ปัญหาระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร

ตัวอย่าง นายสมรกั มเี งิน 9,600 บาท เขาเอาเงนิ ไปลงทนุ ส่วนหนึ่งได้ดอกเบีย้ 6 % ต่อปี สว่ นทเ่ี หลอื

ลงทนุ ได้ดอกเบย้ี 8 % ต่อปี ถา้ ในหนงึ่ ปีได้ดอกเบย้ี ทัง้ หมด 632 บาท จงหาว่าเขาลงทุนแห่งละเท่าไร

วธิ ีทำ ให้ x เป็นจำนวนเงินทเี่ ขาลงทนุ ได้ดอกเบ้ีย 6 %

y เป็นจำนวนเงินที่เขาลงทุนได้ดอกเบีย้ 8 %

จะได้ x + y = 9,600 ...................................................... 

0.06x + 0.08y = 632 ...................................................... 

 ×100 จะได้ 6x + 8y = 63,200 ...................................................... 

 × 6 จะได้ 6x + 6y = 57,600 ...................................................... 

 -  ( 6x + 8y ) - ( 6x + 6y ) = 63,200 - 57,600

6x + 8y - 6x - 6y = 5,600

2y = 5,600

y = 2,800

แทนค่า y = 2,800 ใน 

จะได้ x + 2,800 = 9,600

x = 9,600 - 2,800

x = 6,800

ดังนนั้ เขาลงทุน 6,800 บาท ซึง่ ได้ดอกเบี้ย 6% และลงทุน 2,800 บาท ซ่งึ ไดด้ อกเบย้ี 8 %

ตรวจคำตอบ

0.06( 6,800 ) + 0.08( 2,800 ) = 632 ซ่ึงเปน็ จรงิ

~ 62 ~

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นแตล่ ะคนแสดงวธิ ีทำเพ่อื หาคำตอบของโจทย์ปัญหาตอ่ ไปนี้
1. รัตนามเี งินเก็บอยู่ 120,000 บาท สว่ นหนง่ึ นำไปฝากธนาคารเพ่ือรบั ดอกเบี้ย 2% อกี ส่วนหนึ่ง

นำไปลงทนุ เพอ่ื รบั เงนิ ปันผล 4% สนิ้ ปมี รี ายไดร้ วมกัน 4,000 บาท อยากทราบว่ารตั นานำเงินไปลงทนุ แตล่ ะ
ประเภทเท่าใด
วิธีทำ ............................................................................................................................. ...................

................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
........................................................................................................................................ ........
........................................................................................................................ ........................
............................................................................................................................. ...................
.................................................................................. ..............................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................... .............
................................................................................................................... .............................
............................................................................................................................. ...................
2. แมค่ า้ ขายสม้ สองชนิดดงั น้ี ชนดิ แรกขายกิโลกรัมละ 25 บาท ชนิดทีส่ องขายกโิ ลกรัมละ 30
บาท ถา้ แม่คา้ ขายส้มทงั้ สองชนิดได้ 70 กโิ ลกรัม เปน็ เงนิ 1,780 บาท จงหาวา่ แม่ค้าขายส้มได้ชนดิ
ละก่ีกิโลกรัม
วิธีทำ ............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................................. ...................
............................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................
................................................................................................................................................

~1~