แผนการจัดการเรียนรู้หน่วยที่ 1 ฟังก์ชันกำลังสอง

• คา่ สูงสุดของฟังก์ชนั สอดคลอ้ งกับคา่ ใดในสมการ _________________________________
จากกราฟข้อ 2) y = – 31 (x + 2)2
• คา่ a มคี ่าเป็นอย่างไร ____________________________________________________
• พาราโบลาทไ่ี ดจ้ ากสมการเป็นอย่างไร ________________________________________
• จดุ สงู สุดของพาราโบลาอยู่ทจี่ ุดใด ___________________________________________
• แกนสมมาตรคือแกนใด ___________________________________________________
• ค่าสงู สดุ ของฟังกช์ ันคือเทา่ ใด ______________________________________________
• ค่าสูงสดุ ของฟงั กช์ ันสอดคล้องกบั ค่าใดในสมการ _________________________________

ลกั ษณะกราฟ

จากกราฟสามารถสรปุ ได้ว่า ลกั ษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่ือ a ≠ 0
และ h ≠ 0 พบข้อสรปุ ดังน้ี
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________

เฉลยใบงาน เรื่อง กราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 และ

h≠0

นกั เรยี นพิจารณาแถบโจทย์สมการของพาราโบลารปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เมือ่ a < 0, h ≠ 0 และ
k = 0 ไดว้ ่า y = a(x – h)2 พร้อมตอบคำถาม ดังน้ี

พจิ ารณาสมการของพาราโบลาตอ่ ไปนี้
1) y = –3(x – 1)2
2) y = – 13 (x + 2)2

วธิ ีทำ 1) y = –3(x – 1)2 จะได้วา่ a < 0, h = 1, k = 0

x –2 –1 0 1 2 3 4
–12 –27
y = –3(x – 1)2 –27 –12 –3 0 –3
1
2) y = – 31 (x + 2)2 จะไดว้ า่ a < 0, h = 0, k = 3 0 –3
x –5 –4 –3 –2 –1 – 31

y = – 31 (x + 2)2 –3 –34 – 31 0 – 31

Y

(–2, 0) 1 (1, 0) X
–12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 1 2 3 4 5 6 7

(–5, –3) (0, –––323) (1, –3)
–4 (2, –3)

–5

y = – 1 (x + 2)2 –6 y = –3(x – 1)2
3 –7

–8

–9

–10

(–8, –12) –11 (3, –12) (4, –12)
(–1, –12)–12

–13

จากกราฟข้อ 1) y = –3(x – 1)2
• ค่า a มีค่าเปน็ อย่างไร (a < 0)
• พาราโบลาที่ได้จากสมการเป็นอย่างไร (เป็นพาราโบลาคว่ำ)
• จุดสูงสุดของพาราโบลาอยู่ที่จุดใด (จุด (1, 0))
• แกนสมมาตรคอื แกนใด (แกน Y หรือเสน้ ตรง x = 1)
• คา่ สงู สดุ ของฟังก์ชันคือเท่าใด (0)

• คา่ สงู สุดของฟงั ก์ชนั สอดคลอ้ งกบั คา่ ใดในสมการ (ค่าสูงสุดของฟงั กช์ นั สอดคล้องกบั ค่า h)
จากกราฟข้อ 2) y = – 31 (x + 2)2
• คา่ a มีค่าเป็นอยา่ งไร (a < 0)

• พาราโบลาทไี่ ด้จากสมการเป็นอยา่ งไร (เปน็ พาราโบลาคว่ำ)

• จดุ สงู สุดของพาราโบลาอยู่ท่ีจุดใด (จดุ (–2, 0))

• แกนสมมาตรคอื แกนใด (แกน Y หรือเสน้ ตรง x = –2)

• คา่ สงู สุดของฟงั กช์ นั คือเทา่ ใด (0)

• ค่าสูงสดุ ของฟงั กช์ นั สอดคลอ้ งกับคา่ ใดในสมการ (ค่าสงู สดุ ของฟังก์ชันสอดคล้องกบั คา่ k)

ลกั ษณะกราฟ
กราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = – 13 (x + 2)2
กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = –3(x – 1)2

1. เปน็ พาราโบลาคว่ำ (a < 0) 1. เปน็ พาราโบลาควำ่ (a < 0)

2. มีจุดยอดหรือจดุ สงู สุดอยู่ท่ี (h, k) = (1, 0) 2. มจี ดุ ยอดหรือจดุ สงู สุดอยู่ท่ี (h, k) = (–2, 0)

3. ค่าสงู สดุ ของฟังกช์ ัน คอื 0 (k = 0) 3. คา่ สูงสดุ ของฟงั ก์ชัน คือ 0 (k = 0)

4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือ เสน้ ตรง 4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือ เสน้ ตรง

x = 1 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เส้นตรง x = h)

จากกราฟสามารถสรปุ ไดว้ า่ ลกั ษณะของกราฟทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 และ

h ≠ 0 พบขอ้ สรปุ ดงั น้ี

1) ถ้า a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย

• มจี ุดยอดหรือจุดตํ่าสุดอยูท่ ่ี (h, k) อยู่ที่ (h, 0)

• ค่าต่ำสดุ ของฟงั กช์ นั คือ k

• แกนสมมาตร คอื เส้นตรง x = h

2) ถา้ a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่

• มีจดุ ยอดหรือจุดสูงสุดอยู่ท่ี (h, k) อยทู่ ่ี (h, 0)

• คา่ สูงสุดของฟังก์ชัน คอื k

• แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h

3) ถา้ h > 0 กราฟเล่อื นไปทางขวาตามแกน x และถ้า h < 0 กราฟเล่ือนไปทางซา้ ยตามแก

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 10

รหสั วิชา ค 20206 ชื่อวชิ า คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 6 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 3

หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ฟงั ก์ชันกำลงั สอง

เรอ่ื ง กราฟของฟงั ก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 h  0 ; 2 จำนวน 2 คาบ

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ผจู้ ดั ทำแผนการเรียนรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรียนรู้

1.1 ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใช้ความรู้เกย่ี วกับฟงั กช์ นั กำลังสองในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

1.2 จุดประสงค์

1.นกั เรียนสามารถอธิบายลกั ษณะกราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 , h ≠ 0ได้ (K)

2.นกั เรียนสามารถเขยี นกราฟท่กี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0 และ h ≠ 0 พร้อมท้งั ให้

เหตุผลประกอบการอธบิ ายเกี่ยวกบั ลกั ษณะกราฟได้ (P)

3. เข้าเรียนตรงเวลา ตอบคำถามครูเสมอ และสง่ งานตรงเวลา (A)

2. สาระสำคัญ

ลกั ษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 และ h ≠ 0 พบข้อสรุป ดงั นี้

1) ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย

• มีจดุ ยอดหรือจดุ ตํ่าสุดอยู่ท่ี (h, k) อยทู่ ่ี (h, 0)

• คา่ ตำ่ สดุ ของฟังกช์ ัน คือ k

• แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h

2) ถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่

• มีจุดยอดหรือจดุ สูงสดุ อยู่ท่ี (h, k) อยูท่ ี่ (h, 0)

• คา่ สงู สดุ ของฟงั กช์ นั คือ k

• แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h

3) ถ้า h > 0 กราฟเลื่อนไปทางขวาตามแกน X และถ้า h < 0 กราฟเล่ือนไปทางซา้ ยตามแกน X

3. สาระการเรียนรู้ กราฟของฟงั ก์ชนั กำลังสองท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 h  0 ; 2

4. การบรู ณาการ ทกั ษะการคิด

5. สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน

5.1 ความสามารถในการสอื่ สาร

- ทักษะการสื่อสาร

5.2 ความสามารถในการคดิ

- ทักษะการคดิ วเิ คราะห์

5.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

- ทักษะการแกป้ ัญหา

6. คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์

1. มีวนิ ัย

2. ใฝเ่ รียนรู้

3. มงุ่ มั่นในการทำงาน

7. กจิ กรรมการเรยี นรู้

ข้ันนำเขา้ สู่บทเรียน

1. นกั เรียนร่วมกนั สนทนาทบทวนเกีย่ วกบั กราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a  0 และ

h ≠ 0 โดยนกั เรยี นแตล่ ะคนกำหนดสมการพาราโบลาในรูป y = a(x – h)2 เมอื่ a  0 และ h ≠ 0 คนละ 1 ขอ้

จากน้ันผู้แทนนกั เรียน 2-3 คน ออกมาเขียนสมการที่ตนเองกำหนด โดยมีเพ่ือนคนอน่ื ๆ ช่วยกันบอกลกั ษณะ

ของพาราโบลา แกนสมมาตร และคา่ ต่ำสุดหรือคา่ สูงสดุ ของฟงั กช์ ัน

2. นักเรียนร่วมกนั แสดงความคดิ เหน็ โดยใชค้ ำถามกระตนุ้ ความคดิ ดังนี้

• เมื่อกำหนดกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เม่ือ a  0 และ h ≠ 0 จดุ ต่ำสุดหรือจุดสงู สุด

และจดุ ผา่ นของกราฟมาให้ นักเรยี นสามารถหาสมการของกราฟไดอ้ ย่างไร

3. นกั เรียนศกึ ษา รวบรวมขอ้ มลู เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ

y = a(x – h)2 จากแหล่งการเรยี นรู้ทห่ี ลากหลาย เช่น จากการสงั เกต การร่วมสนทนากับเพื่อนในชนั้ เรียน

จากหนังสือเรียนหรืออนิ เทอร์เนต็

ข้ันกจิ กรรม

4. นกั เรียนรว่ มกันพจิ ารณาแถบโจทยแ์ ละหาสมการของพาราโบลาจากกราฟท่ีกำหนดให้ โดยการ

ตอบคำถามกระตุ้นความคิด ดังนี้

จากกราฟ หาสมการของพาราโบลา

Y

3

2

(–4, 0) 1 X
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 12

(–5, –2) (–3, –2) –2

–3

–4

–5

–6

(–6, –8) –7
(–2, –8) –8

–9

–10

–11

• จากกราฟทีก่ ำหนดให้มลี ักษณะกราฟเปน็ อยา่ งไร (เป็นกราฟควำ่ )
• มีจุดยอดท่จี ุดใด (จุดยอดอยู่ที่จดุ (–4, 0) = (h, 0))
• กราฟท้ังสองมแี กนสมมาตรคือแกนใด (แกนสมมาตร คอื แกน Y)

• กราฟขา้ งตน้ ถูกกำหนดด้วยสมการใด (สมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0, h ≠ 0)
• จากจดุ ยอด (–4, 0) ทำให้ทราบว่าคา่ h มคี ่าเท่าใด (h = –4)
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นักเรียนควรทราบสิง่ ใดบ้าง (ควรทราบค่า a และ h)
• นกั เรยี นสามารถหาคา่ a ได้อยา่ งไร
วิธที ำ เม่ือพจิ ารณาจากกราฟจะเห็นไดว้ ่ากราฟน้ีมีแกน Y เปน็ แกนสมมาตรและมจี ดุ ยอดอย่ทู ี่ (–4, 0)

ดงั นนั้ สมการท่ีกำหนด กราฟอยูใ่ นรูป y = a(x – h)2
เนือ่ งจากกราฟผา่ นจดุ (–5, –2) สามารถหาค่า a โดยแทนคา่ x = –5 , y = –2
และ h = –4 ลงในสมการ y = a(x – h)2 ไดว้ า่

จากสมการ –2 = a(–5 – (–4))2
–2 = a(–5 + 4)2

จะได้ a = –2
ดงั น้นั สมการพาราโบลา คอื y = –2(x + 4)2
5. นักเรยี นรบั แถบโจทย์ คนละ 2 ข้อ แล้วร่วมกันหาสมการจากกราฟท่ีกำหนดให้ จากน้ันผู้แทน
นกั เรยี น 2 คน ออกมานำเสนอวธิ ีทำหน้าช้นั เรียน โดยมนี ักเรยี นคนอื่น ๆ รว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ต้องและ
เพ่ิมเติมในสว่ นท่ขี าดหายไปให้สมบูรณ์ ดังYน้ี

1 (3, 0)
1) – – – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X

3 2 1– (1, –2) (5, –2)
–1
–2

3–

4–

5–

6– (7, –8)
(–1, –8) 7–

–8

–190

Y

11

2) 10

9

8

7

6

5

4 (4, 4) (6, 4)
3

2

1 (5, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–2 –1 0 X
–1

6. นักเรยี นร่วมกนั อภปิ รายและสรุปเกีย่ วกับการหาสมการพาราโบลา y = a(x – h)2 เมือ่ a  0 และ
h ≠ 0 จากกราฟทก่ี ำหนด โดยเชอื่ มโยงจากแถบโจทย์ และการตอบคำถามขา้ งต้น ดังน้ี

ในการหาสมการพาราโบลาจากกราฟท่ีกำหนดให้ สง่ิ ท่จี ะต้องทราบ คือ พาราโบลามแี กนสมมาตร
คือแกน Y มีจุดยอดท่จี ุด (h, 0) และต้องทราบจดุ (x, y) ใด ๆ ทพ่ี าราโบลาผ่านอยา่ งน้อย 1 จดุ เพ่ือหาค่า a
จึงจะสามารถหาสมการพาราโบลาได้

ขัน้ สรปุ

7. นกั เรียนรว่ มกนั กำหนดกราฟพาราโบลาท่มี ีแกนสมมาตร คือแกน Y จดุ ยอด (h, 0) และระบจุ ุดบน
พาราโบลาอย่างน้อย 1 จดุ จากนน้ั นกั เรียนร่วมกนั หาสมการพาราโบลา y = a(x – h)2
จากกราฟทกี่ ำหนดบนกระดาน ลงในกระดาษลงในสมดุ และสลบั ผลงานกับเพ่ือน เพอ่ื ร่วมกันตรวจสอบและ
แกไ้ ขให้ถูกตอ้ ง

8. นกั เรยี นร่วมกนั สรุปส่งิ ท่ีเขา้ ใจเป็นความรูร้ ว่ มกนั ดงั น้ี
ลกั ษณะของกราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่ือ a ≠ 0 และ h ≠ 0 พบข้อสรุป ดังนี้
1) ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย
• มีจุดยอดหรือจุดตา่ํ สดุ อยู่ท่ี (h, k) อยูท่ ่ี (h, 0)
• คา่ ต่ำสุดของฟงั กช์ นั คือ k
• แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h
2) ถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ
• มจี ดุ ยอดหรือจุดสูงสุดอยู่ท่ี (h, k) อย่ทู ่ี (h, 0)
• คา่ สูงสุดของฟังก์ชนั คอื k
• แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h
3) ถา้ h > 0 กราฟเลื่อนไปทางขวาตามแกน x และถา้ h < 0 กราฟเลื่อนไปทางซ้ายตามแกน x

8. สื่อ/แหลง่ เรียนรู้
1. หนงั สือเรียนรายวิชาพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 เลม่ 1 ของ (พว.)
2. ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้พัฒนาการคิด คณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 3 เลม่ 1 ของ (พว.)
3. แถบโจทย์

9. การวัดและประเมนิ ผล

จดุ ประสงค์ วิธกี ารวดั เครอื่ งมือทใ่ี ช้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล

1. นักเรียนสามารถ ตรวจใบงาน เรอื่ ง ใบงาน เรื่อง กราฟของ

อธบิ ายลักษณะกราฟท่ี กราฟของฟงั กช์ นั กำลัง ฟงั กช์ ันกำลงั สองที่

กำหนดดว้ ยสมการ y = สองทีก่ ำหนดด้วย กำหนดดว้ ยสมการ

a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 สมการ y = a(x – h)2 เม่อื

และ h ≠ 0 ได้ (K) y = a(x – h)2 เมอื่ a  0 และ h  0 นกั เรยี นทำแบบฝึกหดั

a  0 และ h  0 ได้ถูกตอ้ งร้อยละ 60

2. นักเรียนสามารถเขยี น ตรวจใบงาน เรอ่ื ง ใบงาน เรอื่ ง กราฟของ ขนึ้ ไป

กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ กราฟของฟงั ก์ชันกำลงั ฟังกช์ ันกำลังสองท่ี
y = a(x – h)2 เมือ่ a ≠ 0 สองท่ีกำหนดด้วย กำหนดดว้ ยสมการ
และ h ≠ 0 พรอ้ มท้ังให้ สมการ y = a(x – h)2 เม่อื
เหตุผลประกอบการอธบิ าย y = a(x – h)2 เมือ่
เกยี่ วกับลักษณะกราฟ ได้ a  0 และ h  0
(P) a  0 และ h  0

3. เขา้ เรยี นตรงเวลา สังเกต แบบประเมินการสังเกต นกั เรยี นผา่ นการ

ตอบคำถามครเู สมอ ประเมินการสงั เกตร้อย

และสง่ งานตรงเวลา (A) ละ 60 ข้ึนไป

คำรบั รองของหัวหน้าสถานศึกษาหรือผู้ทไี่ ด้รบั มอบหมาย (ตรวจสอบ/นเิ ทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)

ได้ทำการตรวจแผนการจัดการเรียนรู้ของ......................................................................................

แลว้ มีความคิดเหน็ ดังน้ี

1. เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้ที่

 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ

2. การจัดกจิ รรมไดน้ ำกระบวนการเรียนรู้

 เน้นผู้เรียนเป็นสำคญั มาใชใ้ นการสอนได้อยา่ งเหมาะสม

 ยงั ไมเ่ น้นผู้เรยี นเปน็ สำคัญ ควรปรับปรุงพฒั นาต่อไป

3. เป็นแผนการจัดการเรียนรู้ที่

 นำไปใช้ไดจ้ รงิ  ควรปรบั ปรงุ กอ่ นนำไปใช้

4. ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ลงชือ่ .............................................หัวหนา้ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้
(นายอภิชาต เจนสารกิ ิจ)
…………./……………./…………

บันทึกหลังสอนแผนการสอนที่ 10

1. ผลการสอนระดับชนั้ ม....................................
 สอนไดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้
 สอนไม่ได้ตามแผนการจัดการเรียนรู้ เนื่องจาก .........................................................

2. ผลท่เี กิดกบั ผูเ้ รียน
1.) การประเมนิ ผลความร้หู ลังการเรยี น โดยใช้………………………..................................พบวา่ นกั เรียน

ผ่านการประเมินคดิ เป็นร้อยละ......................……. ไม่ผ่านเกณฑข์ ัน้ ต่ำท่กี ำหนดไวค้ ดิ เป็นร้อยละ
ได้แก่ ...................................................................................................................... ....................................

2.) การประเมินด้านทกั ษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ …………………….........................พบวา่ นกั เรียน
ผ่านการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ......................……. ไม่ผ่านเกณฑข์ ัน้ ต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ
ไดแ้ ก่ ..........................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคณุ ลักษณะท่ีพึงประสงค์ เรยี น โดยใช้………………………......................พบวา่
นักเรยี นผ่านการประเมินคิดเป็นร้อยละ.......……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ ้นั ต่ำท่ีกำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ
ได้แก่ ............................................................................................................................. .............................
3. ปญั หาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจดั การเรยี นรู้ ไมเ่ หมาะสมกับเวลา
 มีนักเรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทนั ตามกำหนดเวลา
 มนี ักเรยี นทีไ่ ม่สนใจเรียน
 อืน่ ๆ ...................................................................................................................... .......................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง .............................................................................................
......................................................................................................... .....................................

............................................................................................................................. ..................
 แนวทางแกไ้ ขนกั เรยี นท่ีไม่ผา่ นการประเมนิ ........................................................................

..............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
 ไม่มีข้อเสนอแนะ

ลงช่อื ผสู้ อน
(นางสาวนวพร งามขำ)

วนั ที.่ ......./.................../.................

แบบประเมินการสังเกต

รายการประเมิน สรุปผล
ผ่าน ไม่ผ่าน
เลขที่ ชื่อ-สกุล เขา้ เรยี น ตอบคำถาม ส่งงานตรง
ตรงเวลา ครูเสมอ เวลา รวม

0 1 2 012012

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

เกณฑ์การให้คะแนนระดับคุณภาพ

ดี - ปฏบิ ัติ ให้ 2 คะแนน

พอใช้ - ปฏบิ ตั ิบางคร้งั ให้ 1 คะแนน

ควรปรบั ปรงุ - ไมป่ ฏบิ ัติ ให้ 0 คะแนน

เกณฑ์การสรุปผล

ดี 3 - 4 คะแนน

พอใช้ 2 คะแนน

ควรปรบั ปรุง 0 - 1 คะแนน

…………………………………………. ผู้ประเมิน

วนั ท่ี……………เดือน…………..พ.ศ…………

ใบงาน เรอ่ื งกราฟของฟังก์ชันกำลงั สองทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ
y = a(x – h)2 เมื่อ a  0 และ h  0

ให้นักเรยี นหาสมการจากกราฟท่กี ำหนดให้ ดงั น้ี

1) Y1

–3 –2 –1 0 (3, 0) X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1

–2 (1, –2) (5, –2)

–3

–4

–5

–6

–7 (7, –8)

(–1, –8) –8
–9

–10

• จากกราฟทกี่ ำหนดให้มีลักษณะกราฟเปน็ อย่างไร ________________________________
• มจี ดุ ยอดทีจ่ ุดใด ________________________________________________________
• กราฟทั้งสองมแี กนสมมาตรคือแกนใด ________________________________________
• กราฟขา้ งตน้ ถูกกำหนดดว้ ยสมการใด _________________________________________
• จากจดุ ยอด (–4, 0) ทำให้ทราบวา่ คา่ h มีค่าเท่าใด _______________________________
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นกั เรียนควรทราบสง่ิ ใดบ้าง __________________________
• นกั เรยี นสามารถหาคา่ a ได้อยา่ งไร

วธิ ีทำ

2) Y

11

10

9

8

7

6

5

4 (4, 4) (6, 4)
3

2

1 (5, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–2 –1 0 X
–1

• จากกราฟทกี่ ำหนดให้มีลักษณะกราฟเป็นอย่างไร ________________________________
• มจี ุดยอดท่จี ุดใด ________________________________________________________
• กราฟทั้งสองมีแกนสมมาตรคือแกนใด ________________________________________
• กราฟขา้ งตน้ ถูกกำหนดดว้ ยสมการใด _________________________________________
• จากจดุ ยอด (–4, 0) ทำให้ทราบว่าค่า h มีค่าเท่าใด _______________________________
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นกั เรยี นควรทราบสิ่งใดบ้าง __________________________
• นกั เรียนสามารถหาค่า a ได้อย่างไร

วิธีทำ

ใบงาน เรอ่ื งกราฟของฟังกช์ ันกำลงั สองทกี่ ำหนดดว้ ยสมการ
y = a(x – h)2 เมื่อ a  0 และ h  0

ให้นกั เรียนหาสมการจากกราฟทก่ี ำหนดให้ ดงั น้ี

1) Y1

–3 –2 –1 0 (3, 0) X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1

–2 (1, –2) (5, –2)

–3

–4

–5

–6

–7 (7, –8)

(–1, –8) –8
–9

–10

• จากกราฟท่กี ำหนดใหม้ ลี ักษณะกราฟเปน็ อย่างไร (เปน็ กราฟคว่ำ)
• มจี ุดยอดที่จุดใด (จดุ ยอดอยทู่ ี่จดุ (3, 0) = (h, 0))
• กราฟทั้งสองมีแกนสมมาตรคือแกนใด (แกนสมมาตร คือ แกน Y)
• กราฟข้างต้นถูกกำหนดด้วยสมการใด (สมการ y = a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0)
• จากจดุ ยอด (3, 0) ทำให้ทราบวา่ คา่ h มีคา่ เท่าใด (h = 3)
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นกั เรียนควรทราบส่งิ ใดบ้าง (ควรทราบคา่ a และ h)
• นกั เรียนสามารถหาค่า a ได้อย่างไร

วิธีทำ เมื่อพจิ ารณาจากกราฟจะเห็นไดว้ ่ากราฟน้ีมแี กน Y เปน็ แกนสมมาตรและมจี ุดยอด
อย่ทู ่ี (3, 0)

ดังนั้น สมการที่กำหนด กราฟอยู่ในรปู y = a(x – h)2
เนอื่ งจากกราฟผา่ นจดุ (5, –2) สามารถหาค่า a โดยแทนค่า x = 5 , y = –2
และ h = 3 ลงในสมการ y = a(x – h)2 ได้วา่

จากสมการ -2 = a(5 – 3)2
–2 = a(5 - 3)2

จะได้ a = −1

2

ดังนั้น สมการพาราโบลา คือ y = −1 (x + (-3))2

2

2) Y

11

10

9

8

7

6

5

4 (4, 4) (6, 4)
3

2

1 (5, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–2 –1 0 X
–1

• จากกราฟทกี่ ำหนดใหม้ ลี ักษณะกราฟเปน็ อย่างไร (เปน็ กราฟหงาย)
• มจี ุดยอดท่จี ุดใด (จดุ ยอดอยทู่ ี่จุด (5, 0) = (h, 0))
• กราฟทั้งสองมีแกนสมมาตรคือแกนใด (แกนสมมาตร คือ แกน Y)
• กราฟขา้ งต้นถูกกำหนดดว้ ยสมการใด (สมการ y = a(x – h)2 เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0)
• จากจดุ ยอด (5, 0) ทำให้ทราบว่าค่า h มคี า่ เทา่ ใด (h = 5)
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นกั เรยี นควรทราบสง่ิ ใดบ้าง (ควรทราบคา่ a และ h)
• นักเรียนสามารถหาค่า a ได้อย่างไร

วิธที ำ เมอ่ื พิจารณาจากกราฟจะเห็นได้ว่ากราฟนี้มีแกน Y เปน็ แกนสมมาตรและมจี ดุ ยอด
อยทู่ ี่ (5, 0)

ดงั น้ัน สมการท่ีกำหนด กราฟอย่ใู นรูป y = a(x – h)2
เน่ืองจากกราฟผ่านจุด (6, 4) สามารถหาคา่ a โดยแทนค่า x = 6 , y = 4
และ h = 5 ลงในสมการ y = a(x – 5)2 ได้วา่

จากสมการ 4 = a(6 – 5)2
–2 = a(1)2

จะได้ a = –2
ดังน้นั สมการพาราโบลา คอื y = –2(x - 5)2

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 11

รหัสวิชา ค 20206 ชอ่ื วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 6 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 3

หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 ฟงั ก์ชันกำลงั สอง

เรื่อง กราฟของฟังกช์ ันกำลงั สองท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k (a,h,k  0) จำนวน 2 คาบ

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ผูจ้ ัดทำแผนการเรียนรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรียนรู้

1.1 ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจและใชค้ วามรู้เกยี่ วกบั ฟงั กช์ ันกำลังสองในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

1.2 จุดประสงค์

1. นกั เรียนสามารถอธบิ ายลักษณะกราฟทีก่ ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0

และ k ≠ 0 ได้ (K)

2. นกั เรียนสามารถเขยี นกราฟทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠

0 พรอ้ มท้งั ใหเ้ หตุผลประกอบการอธิบายเก่ียวกบั ลักษณะกราฟได้ (P)

3. เขา้ เรียนตรงเวลา ตอบคำถามครูเสมอ และตงั้ ใจทำงาน (A)

2. สาระสำคัญ

กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

• ถ้า a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดที่ (h, k) คา่ ตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชนั คือ k แกนสมมาตร คอื

เส้นตรง x = h

• ถา้ a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ มีจุดยอดท่ี (h, k) ค่าสูงสดุ ของฟังกช์ ัน คือ k แกนสมมาตร คอื

เส้นตรง x = h

3. สาระการเรียนรู้ กราฟของฟงั กช์ ันกำลังสองที่กำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k (a,h,k  0)

4. การบูรณาการ ทกั ษะการคิด

5. สมรรถนะสำคัญของผูเ้ รียน

5.1 ความสามารถในการสือ่ สาร

- ทกั ษะการส่อื สาร

5.2 ความสามารถในการคดิ

- ทกั ษะการคดิ วิเคราะห์

6. คุณลักษณะอนั พึงประสงค์

1. มวี นิ ัย

2. ใฝ่เรียนรู้

3. มุ่งมัน่ ในการทำงาน

7. กิจกรรมการเรียนรู้
ขัน้ นำเขา้ สบู่ ทเรียน

1. นกั เรยี นร่วมกนั สนทนาทบทวนเก่ียวกับฟังก์ชนั กำลงั สองที่อยู่ในรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k
โดยท่ี a ≠ 0 สามารถพจิ ารณาลกั ษณะกราฟในรปู ต่าง ๆ ได้ ดังน้ี

1) กราฟกำหนดด้วยสมการ y = ax2 เมอื่ a  0 มีจุดยอด (h, k) อย่ทู ่ี (0, 0)
• ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดยอดหรือจุดตํ่าสุดอยู่ที่ (h, k) อยู่ที่ (0,0) คา่ ตำ่ สดุ ของ

ฟังกช์ นั คือ 0 (ค่า k = 0) แกนสมมาตร คือ แกน Y หรอื เส้นตรง x = 0 (เส้นตรง x = h)
• ถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ มจี ดุ ยอดหรอื จดุ สูงสุดอยู่ท่ี (h, k) อยู่ที่ (0, 0) คา่ สงู สดุ ของ

ฟังกช์ ัน คือ 0 (คา่ k = 0) แกนสมมาตร คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = 0 (เส้นตรง x = h)
2) กราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เมือ่ a  0 และ k ≠ 0 มีจดุ ยอด (h, k) อยทู่ ่ี (0, k)
• ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย มีจุดยอดหรอื จุดต่าํ สุดอยู่ท่ี (0, k) คา่ ต่ำสุดของฟงั ก์ชัน คือ

k แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือ เส้นตรง x = 0 (เสน้ ตรง x = h)
• ถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ มจี ดุ ยอดหรอื จดุ สูงสดุ อยทู่ ่ี (0, k) คา่ สูงสุดของฟังก์ชนั คือ

k แกนสมมาตร คอื แกน Y หรือ เสน้ ตรง x = 0 (เส้นตรง x = h)
3) กราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a  0 และ h ≠ 0 มจี ุดยอด (h, k) อยู่ที่ (h, 0)
• ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มจี ุดยอดอยู่ท่ี (h, 0) คา่ ตำ่ สุดของฟงั ก์ชัน คือ k

แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h
• ถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ มจี ุดยอดอยู่ที่ (h, 0) ค่าสงู สุดของฟังกช์ ัน คอื k

แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h
2. นกั เรยี นร่วมกันแสดงความคิดเห็น โดยใชค้ ำถามกระตนุ้ ความคิด ดังน้ี
• เม่ือกำหนดสมการ y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 นักเรยี นสามารถบอก

ลักษณะของพาราโบลา จดุ ยอด แกนสมมาตร และคา่ ตำ่ สดุ หรอื คา่ สงู สดุ ของฟงั ก์ชนั ได้หรือไม่ อย่างไร
3. นักเรยี นศกึ ษา รวบรวมขอ้ มลู เกี่ยวกบั กราฟของฟงั ก์ชันกำลังสองท่ีกำหนดดว้ ยสมการ

y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 จากแหล่งการเรยี นรู้ทหี่ ลากหลาย เช่น จากการสังเกต
การร่วมสนทนากับเพ่ือนในชั้นเรยี น จากหนังสอื เรียนหรืออนิ เทอร์เนต็
ข้นั กจิ กรรม

4. นกั เรียนรว่ มกนั พจิ ารณาแถบโจทย์สมการมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เมอื่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ
k ≠ 0 พร้อมตง้ั คำถามกระตุน้ ความคิด ดังน้ี

พิจารณาสมการของพาราโบลาตอ่ ไปนี้

1) y = 2(x – 1)2 + 2
2) y = 3(x + 2)2 – 1

• จากสมการทัง้ 2 ข้อ ค่า a มคี ่าเป็นอยา่ งไร (a  0 และ a > 0)

• จากสมการข้อ 1) คา่ h และ k มคี า่ เทา่ ใด (ค่า h = 1, k = 2)
• จากสมการข้อ 2) คา่ h และ k มคี ่าเทา่ ใด (ค่า h = –2, k = –1)
• สมการข้างตน้ เป็นพาราโบลาท่กี ำหนดด้วยสมการใด (กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
เม่ือ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0)
• ลกั ษณะกราฟพาราโบลาขา้ งต้นนี้เป็นอย่างไร เพราะเหตุใด (กราฟพาราโบลาหงาย เพราะ a > 0)
5. จากกจิ กรรมข้อ 4. นกั เรียนร่วมกนั เขียนกราฟของสมการพาราโบลา เพอื่ สำรวจลกั ษณะของกราฟ
บนกระดาน
1) y = 2(x – 1)2 + 2
2) y = 3(x + 2)2 – 1

วธิ ที ำ 1) y = 2(x – 1)2 + 2 จะไดว้ า่ a > 0, h = 1, k = 2
x –2 –1 0 1 2 3 4

y = 2(x – 1)2 + 2 20 10 4 2 4 10 20

2) y = 3(x + 2)2 – 1 จะได้ว่า a > 0, h = –2, k = –1 1 2
x –4 –3 –2 –1 0 26 47

y = 3(x + 2)2 – 1 11 2 –1 2 11

Y

13

(–4, 11) 12 (3, 10)
(–3, 2) 11 (0, 11) (2, 4)
(–1, 10) 10

9

8

7

6

5
4 (0, 4)

3 (1, 2)
(–1, 2) 2

1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 123456 X
(–2, –1) –1
–2

จากกราฟข้อ 1) y = 2(x – 1)2 + 2
• ค่า a มีคา่ เป็นอยา่ งไร (a > 0)
• พาราโบลาท่ไี ด้จากสมการเป็นอยา่ งไร (เป็นพาราโบลาหงาย)
• จุดตาํ่ สดุ ของพาราโบลาอย่ทู จ่ี ุดใด (จุด (1, 2))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรือเส้นตรง x = 1)
• ค่าตา่ํ สดุ ของฟังกช์ ันคือเท่าใด (2)
• คา่ ตำ่ สดุ ของฟังก์ชันสอดคล้องกบั ค่าใดในสมการ (ค่าต่ำสุดของฟังกช์ ันสอดคล้องกับค่า k)

จากกราฟข้อ 2) y = 3(x + 2)2 – 1
• ค่า a มคี ่าเป็นอยา่ งไร (a > 0)
• พาราโบลาทีไ่ ด้จากสมการเป็นอยา่ งไร (เปน็ พาราโบลาหงาย)
• จดุ ตาํ่ สดุ ของพาราโบลาอยู่ทจ่ี ุดใด (จดุ (–2, –1))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรอื เส้นตรง x = –2)
• คา่ ตํ่าสดุ ของฟงั ก์ชนั คือเทา่ ใด (–1)
• ค่าตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชนั สอดคลอ้ งกับคา่ ใดในสมการ (คา่ ต่ำสดุ ของฟังกช์ ันสอดคล้องกบั คา่ k)

ลกั ษณะกราฟ

กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 กราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = 3(x + 2)2 – 1

1. เปน็ พาราโบลาหงาย (a > 0) 1. เป็นพาราโบลาหงาย (a > 0)

2. มจี ุดยอดหรือจุดต่ําสุดอยทู่ ี่ (h, k) = (1, 2) 2. มจี ุดยอดหรือจดุ ต่ําสดุ อยู่ท่ี (h, k) = (–2, –1)

3. ค่าตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชัน คือ 2 (k = 2) 3. คา่ ตำ่ สดุ ของฟงั กช์ นั คือ –1 (k = –1)

4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือเสน้ ตรง 4. แกนสมมาตร คอื แกน Y หรือเสน้ ตรง

x = 1 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เส้นตรง x = h)

6. นกั เรียนร่วมกันพจิ ารณาแถบโจทย์สมการมาตรฐานและให้นกั เรียนทำโจทยท์ ่ีกำหนดลงสมุด
y = a(x – h)2 + k เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k = 0 พร้อมตั้งคำถามกระตุ้นความคิด ดังน้ี

พิจารณาสมการของพาราโบลาต่อไปนี้

1) y = –2(x – 1)2 + 2
2) y = –3(x + 2)2 – 1

• จากสมการของพาราโบลาข้อ 1) และข้อ 2) ค่า a มีคา่ เป็นอย่างไร (a  0 และ a < 0)
• จากสมการขอ้ 1) ค่า h และ k มีค่าเท่าใด (คา่ h = 1, k = 2)
• จากสมการขอ้ 2) คา่ h และ k มีคา่ เทา่ ใด (คา่ h = –2, k = –1)
• สมการข้างต้นเปน็ พาราโบลาท่กี ำหนดดว้ ยสมการใด (กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0)

• ลักษณะกราฟของพาราโบลาข้างต้นน้เี ป็นอย่างไร เพราะเหตใุ ด (กราฟพาราโบลาควำ่
เพราะ a < 0)

7. จากกจิ กรรมข้อ 6. นักเรียนร่วมกนั เขยี นกราฟของสมการพาราโบลา เพอ่ื สำรวจลักษณะของกราฟ
บนกระดาน ดังนี้ (อาจใหน้ ักเรียนแตล่ ะกลุ่มสำรวจลกั ษณะกราฟโดยใชโ้ ปรแกรม GSP เพ่อื ความสะดวกใน
การมองกราฟและประหยดั เวลา)

1) y = –2(x – 1)2 + 2
2) y = –3(x + 2)2 – 1

วธิ ที ำ 1) y = –2(x – 1)2 + 2 จะได้ว่า a < 0, h = 1, k = 2 34
x –2 –1 0 1 2 –6 –16

y = –2(x – 1)2 + 2 –16 –6 0 2 0

2) y = –3(x + 2)2 – 1 จะไดว้ ่า a < 0, h = –2, k = –1 1 2
x –4 –3 –2 –1 0 –28 –49
y = –3(x + 2)2 – 1 –13 –4 –1 –4 –13

Y

2 (1, 2)

1
(0, 0) (2, 0)
–7 –6 –5 –4 –3(–2–,2–1)–1 0 1234 5 6 X
–1

–2

–3
(–3, –4) (–1, –4) –4

–5 (3, –6)
(–1, –6) –6

–7

–8

–9

–10

–11

(–4, –13) –12
–13 (0, –13)

จากกราฟข้อ 1) y = –2(x – 1)2 + 2
• ค่า a มีคา่ เป็นอย่างไร (a < 0)
• พาราโบลาท่ไี ดจ้ ากสมการเป็นอย่างไร (เป็นพาราโบลาควำ่ )
• จดุ สงู สดุ ของพาราโบลาอยู่ทจ่ี ุดใด (จดุ (1, 2))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรือเส้นตรง x = 1)
• คา่ สงู สดุ ของฟงั กช์ ันคือเท่าใด (2)

• ค่าสูงสุดของฟงั ก์ชนั สอดคล้องกบั คา่ ใดในสมการ (ค่าสงู สดุ ของฟังกช์ ันสอดคล้องกบั ค่า k)

จากกราฟข้อ 2) y = –3(x + 2)2 – 1

• ค่า a มีคา่ เปน็ อย่างไร (a < 0)

• พาราโบลาท่ีไดจ้ ากสมการเป็นอย่างไร (เป็นพาราโบลาควำ่ )

• จุดสงู สดุ ของพาราโบลาอยู่ท่ีจุดใด (จดุ (–2, –1))

• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรอื เส้นตรง x = –2)

• คา่ สูงสดุ ของฟังกช์ ันคือเท่าใด (–1)

• คา่ สงู สุดของฟังกช์ ันสอดคลอ้ งกบั ค่าใดในสมการ (ค่าสงู สุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับคา่ k)

ลักษณะกราฟ

กราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = –2(x – 1)2 + 2 กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = –3(x + 2)2 – 1

1. เปน็ พาราโบลาควำ่ (a < 0) 1. เป็นพาราโบลาควำ่ (a < 0)

2. มีจดุ ยอดหรือจุดสูงสุดอยู่ท่ี (h, k) = (1, 2) 2. มจี ุดยอดหรือจุดสูงสุดอยู่ที่ (h, k) = (–2, –1)

3. คา่ สูงสดุ ของฟังกช์ นั คอื 2 (k = 2) 3. ค่าสูงสดุ ของฟงั ก์ชนั คือ –1 (k = –1)

4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือเส้นตรง 4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือเส้นตรง

x = 1 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เส้นตรง x = h)

8. นักเรยี นร่วมกนั อภิปรายและสรปุ เกยี่ วกับกราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 โดยเชอ่ื มโยงจากตวั อยา่ ง และการตอบคำถามข้างต้น ดังนี้

จากกราฟสามารถสรุปไดว้ า่ ลกั ษณะของกราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 จะมจี ุดยอดอยู่ท่ี (h, k) พบขอ้ สรปุ ดงั นี้

1) ถ้า a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย
• มีจุดยอดหรือจดุ ตํ่าสุดที่ (h, k)
• ค่าตำ่ สดุ ของฟังกช์ ัน คือ k
• แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h

2) ถา้ a < 0 เป็นพาราโบลาควำ่
• มีจุดยอดหรือจุดสูงสดุ ท่ี (h, k)
• คา่ สูงสุดของฟงั กช์ นั คือ k
• แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h

ขน้ั สรปุ
9. นักเรียนทำใบงาน เร่ือง กราฟของฟังก์ชันกำลังสองท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a (x – h)2 + k
เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

10. นักเรยี นรว่ มกนั สรุปส่งิ ทเี่ ข้าใจเปน็ ความรู้รว่ มกัน ดังนี้
กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอื่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่ (h, k) ค่าตำ่ สุดของฟงั กช์ นั คือ k แกน
สมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h
ถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่ มีจดุ ยอดที่ (h, k) ค่าสงู สดุ ของฟังกช์ ัน คือ k แกนสมมาตร
คอื เสน้ ตรง x = h

8. สื่อ/แหลง่ เรยี นรู้

1. หนังสอื เรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 3 เลม่ 1 ของ (พว.)

2. ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้พฒั นาการคิด คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 3 เลม่ 1 ของ (พว.)

3. แถบโจทย์

4. แหลง่ การเรยี นรู้ทง้ั ภายในและภายนอกโรงเรยี น

9. การวัดและประเมนิ ผล

จดุ ประสงค์ วธิ ีการวัด เครอื่ งมือทีใ่ ช้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล

1.นกั เรยี นสามารถอธบิ าย ตรวจใบงาน เรอ่ื ง กราฟ ใบงาน เรอ่ื ง กราฟของ

ลกั ษณะกราฟทก่ี ำหนดดว้ ย ของฟงั กช์ ันกำลังสองที่ ฟังกช์ นั กำลงั สองทีก่ ำหนด

สมการ y = a(x – h)2 + k กำหนดด้วยสมการ ด้วยสมการ

เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k y = a (x – h)2 + k y = a (x – h)2 + k

≠ 0ได้ (K) เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0 และ

k≠0 k≠0

นักเรยี นทำแบบฝึกหัด

2. นักเรยี นสามารถเขียน ตรวจใบงาน เรือ่ ง กราฟ ใบงาน เร่อื ง กราฟของ ไดถ้ ูกต้องร้อยละ 60

กราฟท่กี ำหนดดว้ ยสมการ ของฟงั ก์ชันกำลงั สองที่ ฟังก์ชันกำลังสองทก่ี ำหนด ขนึ้ ไป
y = a(x – h)2 + k เม่ือ a กำหนดดว้ ยสมการ
ดว้ ยสมการ

≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 y = a (x – h)2 + k y = a (x – h)2 + k

พรอ้ มทงั้ ให้เหตผุ ล เม่ือ a ≠ 0, h ≠ 0 และ เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0 และ

ประกอบการอธบิ าย k≠0 k≠0

เกี่ยวกับลกั ษณะกราฟได้

(P)

3. เข้าเรียนตรงเวลา สงั เกต แบบประเมนิ การสงั เกต นักเรยี นผา่ นการ

ตอบคำถามครเู สมอ ประเมนิ การสังเกตร้อย

และตง้ั ใจทำงาน (A) ละ60 ขึน้ ไป

คำรับรองของหัวหนา้ สถานศกึ ษาหรอื ผู้ทไี่ ดร้ ับมอบหมาย (ตรวจสอบ/นเิ ทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)

ไดท้ ำการตรวจแผนการจดั การเรียนรู้ของ......................................................................................

แลว้ มีความคดิ เหน็ ดังน้ี

1. เป็นแผนการจดั การเรียนรู้ท่ี

 ดมี าก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง

2. การจัดกิจรรมไดน้ ำกระบวนการเรยี นรู้

 เนน้ ผู้เรียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนได้อยา่ งเหมาะสม

 ยังไมเ่ นน้ ผูเ้ รียนเปน็ สำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป

3. เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้ที่

 นำไปใชไ้ ด้จริง  ควรปรับปรุงก่อนนำไปใช้

4. ข้อเสนอแนะอื่นๆ

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ลงช่อื .............................................หวั หน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้
(นายอภชิ าต เจนสาริกจิ )

…………./……………./…………

บันทึกหลังสอนแผนการสอนท่ี 11

1. ผลการสอนระดับชน้ั ม....................................
 สอนได้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ด้ตามแผนการจัดการเรียนรู้ เน่อื งจาก .........................................................

2. ผลทเี่ กิดกบั ผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช…้ ……………………..................................พบว่านักเรยี น

ผา่ นการประเมินคดิ เปน็ ร้อยละ......................……. ไมผ่ ่านเกณฑข์ ้ันต่ำที่กำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ...................................................................................................................... ....................................

2.) การประเมินด้านทักษะกระบวนการเรียน โดยใช้……………………….........................พบวา่ นกั เรียน
ผา่ นการประเมินคิดเป็นร้อยละ......................……. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขนั้ ต่ำท่กี ำหนดไวค้ ดิ เปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ..........................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ด้านคณุ ลกั ษณะทพี่ งึ ประสงค์ เรยี น โดยใช้………………………......................พบวา่
นักเรียนผา่ นการประเมินคิดเปน็ รอ้ ยละ.......……. ไม่ผา่ นเกณฑข์ ั้นต่ำทกี่ ำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ............................................................................................................................. .............................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กจิ กรรมการจัดการเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกบั เวลา
 มีนักเรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มนี กั เรียนทไี่ ม่สนใจเรียน
 อ่ืน ๆ ...................................................................................................................... .......................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรบั ปรุง เรื่อง .............................................................................................
......................................................................................................... .....................................

............................................................................................................................. ..................
 แนวทางแกไ้ ขนักเรยี นที่ไมผ่ า่ นการประเมนิ ........................................................................

..............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
 ไม่มขี ้อเสนอแนะ

ลงชอื่ ผ้สู อน
(นางสาวนวพร งามขำ)

วันที่......../.................../.................

แบบประเมินการสงั เกต

รายการประเมิน สรุปผล

เลขที่ ช่อื -สกุล แต่งกาย ตงั้ ใจเรยี น ทำงาน รวม ผ่าน ไม่ผา่ น
เรียบรอ้ ย ตามทค่ี รสู ั่ง

0 1 2 012012

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

เกณฑ์การให้คะแนนระดบั คุณภาพ ให้ 2 คะแนน
ดี - ปฏบิ ตั ิ ให้ 1 คะแนน
พอใช้ - ปฏบิ ัตบิ างคร้ัง ให้ 0 คะแนน
ควรปรับปรุง - ไมป่ ฏิบัติ
…………………………………………. ผปู้ ระเมนิ
เกณฑ์การสรุปผล วนั ท่ี……………เดอื น…………..พ.ศ…………
ดี 3 - 4 คะแนน
พอใช้ 2 คะแนน
ควรปรบั ปรุง 0 - 1 คะแนน

ใบงาน เรอ่ื ง กราฟของฟงั กช์ ันกำลังสองทีก่ ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมื่อ a  0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

วันท่ี________เดือน_______________พ.ศ.___________ ได้__________คะแนน
ชอ่ื _____________________________เลขท_่ี _____ชนั้ __________ คะแนนเตม็ 10 คะแนน

เขยี นกราฟพาราโบลา พร้อมทั้งบอกลักษณะของพาราโบลา จดุ ยอด แกนสมมาตร และคา่ ต่ำสดุ
หรอื ค่าสูงสุดของฟังกช์ ัน (ข้อละ 2 คะแนน)

1. y = –(x + 2)2 – 1

2. y = 3(x – 2)2 – 3

เฉลยใบงานท่ี 20 เร่ือง กราฟของฟังก์ชนั กำลังสองทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมือ่ a  0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

วันท่ี________เดอื น_______________พ.ศ.___________ ได้__________คะแนน
ช่อื _____________________________เลขท_ี่ _____ชนั้ __________ คะแนนเตม็ 10 คะแนน

เขยี นกราฟพาราโบลา พร้อมท้งั บอกลกั ษณะของพาราโบลา จุดยอด แกนสมมาตร และคา่ ตำ่ สดุ
หรอื ค่าสูงสดุ ของฟงั กช์ นั (ข้อละ 2 คะแนน)

1. y = –(x + 2)2 – 1 0
วิธที ำ จะไดว้ า่ a < 0, h = –2, k = –1 5

x –4 –3 –2 –1
y = –(x + 2)2 – 1 –5 –2 –1 –2

Y

–7 –6 –5 –4 –3 (–2–,2–1) –1 0 12 3 X
–1

(–3, –2) (–1, –2) –2
–3

(–4, –5) –4

–5 (0, –5)
–6

–7

–8

–9

–10

–11

1. เป็นพาราโบลาคว่ำ (a < 0)
2. มจี ดุ ยอดหรือจุดสูงสุดอยู่ท่ี (h, k) = (–2, –1)
3. ค่าสูงสุดของฟังก์ชนั คือ –1
4. แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = –2

2. y = 3(x – 2)2 – 3
วิธีทำ

x0 123 4
y = 3(x – 2)2 – 3 9 0 –3 0 9

Y

10 (4, 9)
9 (0, 9)

8

7

6

5

4

3

2

1
(1, 0)
–3 –2 –1 0 1 2 (3, 0) 5 6 X
34
–1

–2

–3 (2, –3)

1. เปน็ พาราโบลาหงาย (a > 0)
2. มีจุดยอดหรือจดุ สูงสดุ อยู่ท่ี (h, k) = (2, –3)
3. คา่ ต่ำสดุ ของฟงั กช์ นั คือ –3
4. แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = 2

แผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 12

รหสั วิชา ค 20206 ชอื่ วิชา คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 6 ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 3

หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ฟงั กช์ ันกำลังสอง

เรือ่ ง กราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a  0 จำนวน 2 คาบ

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ผ้จู ดั ทำแผนการเรียนรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรียนรู้

1.1 ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใชค้ วามร้เู กีย่ วกบั ฟงั ก์ชนั กำลงั สองในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

1.2 จุดประสงค์

1. สามารถอธิบายเกีย่ วกับลักษณะกราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 ได้ (K)

2. สามารถเขียนจัดรปู ฟังกช์ ันกำลังสองทอี่ ยู่ในรปู ทัว่ ไป y = ax2 + bx + c ให้อย่ใู นรปู มาตรฐาน

y = a(x – h)2 + k พร้อมทั้งหาจุดยอด คา่ ต่ำสุดหรอื ค่าสงู สดุ แกนสมมาตร และให้เหตผุ ลประกอบการอธิบาย

เกีย่ วกบั ลักษณะกราฟได้ (P)

3. แต่งกายเรยี บร้อย ต้ังใจเรยี น และทำงานตามที่ครูสงั่ (A)

2. สาระสำคญั

การหาจุดยอด ค่าต่ำสดุ หรือค่าสูงสุดของฟังกช์ ัน แกนสมมาตรของฟงั ก์ชันกำลงั สองทอ่ี ยู่ในรปู ทว่ั ไป

y = ax2 + bx + c ได้โดยการจัดรปู ฟงั ก์ชนั กำลังสองใหอ้ ยู่ในรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้

กำลังสองสมบรู ณ์ และฟงั กช์ นั กำลงั สองที่อยใู่ นรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยท่ี a ≠ 0 มีกราฟเป็น

พาราโบลาหงายหรือคว่ำ ขึ้นอยู่กับค่า a ถ้า a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย และถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ

ซ่ึงสามารถใชส้ มการรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k ในการพจิ ารณาลกั ษณะกราฟได้ทุกรูปแบบ นน่ั คือ

1) จุดยอดอยู่ท่ี (h, k)

2) คา่ ตำ่ สุดหรอื คา่ สูงสุด คือ k

3) แกนสมมาตรของพาราโบลา คอื แกน Y หรือเส้นตรง x = h เสมอ

3. สาระการเรยี นรู้

กราฟของฟงั ก์ชนั กำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ่ื a ≠ 0

4. การบรู ณาการ ทักษะการคดิ

5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน

5.1 ความสามารถในการสอ่ื สาร

- ทกั ษะการส่ือสาร

5.2 ความสามารถในการคิด

- ทกั ษะการคดิ วิเคราะห์

6. คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์
1. มีวินยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มงุ่ มนั่ ในการทำงาน
7. กิจกรรมการเรียนรู้

ขน้ั นำเข้าสู่บทเรยี น

1. นักเรยี นรว่ มกันสนทนาทบทวนเก่ยี วกบั พาราโบลาท่ีกำหนดด้วยสมการตา่ ง ๆ โดยใช้การ
ตอบคำถามกบั นกั เรียน จนได้ขอ้ สังเกตร่วมกนั วา่ ฟังก์ชนั กำลงั สองที่อยู่ในรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k
โดยท่ี a ≠ 0 สามารถพิจารณาลกั ษณะกราฟในรูปต่าง ๆ ได้ ดงั น้ี

1) กราฟกำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 เม่อื a  0
2) กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a  0 และ k ≠ 0
3) กราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a  0 และ h ≠ 0
4) กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0
ซ่งึ ทกุ รูปแบบของสมการข้างต้นนี้ มีกราฟเป็นพาราโบลาหงายหรือคว่ำ ข้ึนอยกู่ บั คา่ a ถ้า a > 0
เป็นพาราโบลาหงาย และ ถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาคว่ำ ซ่งึ สามารถใช้สมการรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k
ในการพิจารณาลักษณะกราฟได้ทุกรปู แบบ นน่ั คือ
1) จดุ ยอดอยู่ท่ี (h, k)
2) ค่าตำ่ สดุ หรอื คา่ สูงสดุ คือ k
3) แกนสมมาตรของพาราโบลา คอื แกน Y หรอื เส้นตรง x = h เสมอ
2. นักเรียนรว่ มกนั แสดงความคดิ เห็น โดยใช้คำถามกระตนุ้ ความคดิ ดงั นี้
• นกั เรยี นสามารถหาจดุ ยอด ค่าตำ่ สดุ หรือค่าสงู สุด แกนสมมาตรของฟังกช์ ันกำลงั สองที่อยู่ใน
รูปท่ัวไป y = ax2 + bx + c ไดอ้ ยา่ งไร
• จัดรูปฟังก์ชันกำลังสองทีอ่ ยใู่ นรปู ท่ัวไป y = ax2 + bx + c ให้อยใู่ นรปู มาตรฐาน
y = a(x – h)2 + k ได้อย่างไร
3. นักเรยี นศึกษา รวบรวมขอ้ มลู เกยี่ วกับกราฟของฟังกช์ ันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ
y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปน็ จำนวนจริง และ a ≠ 0 จากแหลง่ การเรยี นรทู้ ีห่ ลากหลาย เช่น
จากการสงั เกต การรว่ มสนทนากับเพ่ือนในชนั้ เรยี น จากหนงั สือเรยี นหรืออนิ เทอร์เน็ต
ขน้ั กจิ กรรม
4. นักเรียนรว่ มกนั พจิ ารณาแถบโจทย์สมการมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เม่ือ a ≠ 0, h ≠ 0
และ k ≠ 0 พรอ้ มต้งั คำถามกระต้นุ ความคดิ ดังนี้

พจิ ารณาสมการของพาราโบลาต่อไปน้ี
1) y = 2(x + 3)2 – 1

• นกั เรยี นสามารถเขียนสมการมาตรฐานนใี้ นรูปทัว่ ไปได้อย่างไร (ใช้ความรูเ้ ก่ียวกบั

กำลังสองสมบรู ณ์ในการจัดรูปสมการ)

วิธที ำ จาก y = 2(x + 3)2 – 1

ใชก้ ำลังสองสมบรู ณ์ไดว้ ่า y = 2{x2 + 2(x)(3) + 32} – 1

y = 2(x2 + 6x + 9) – 1

y = 2x2 + 12x + 18 – 1

y = 2x2 + 12x + 17

ดังน้นั รูปทั่วไป คือ y = 2x2 + 12x + 17

5. นักเรยี นรว่ มกนั ตอบคำถามกระต้นุ ความคิดเกีย่ วกับการหาจดุ ยอดของพาราโบลา เมื่อกำหนด

สมการรปู ท่วั ไปมาให้ โดยเช่อื มโยงความรจู้ ากการสงั เกตท่ไี ด้จากกจิ กรรมข้อ 4. ดงั น้ี

• นกั เรียนสามารถหาจุดยอดของพาราโบลาได้อยา่ งไร เม่ือกำหนดสมการพาราโบลาในรูปท่ัวไป

y = 2x2 + 12x + 17 มาให้ (ควรจัดรูปจากสมการรปู ท่วั ไป y = 2x2 + 12x + 17 ให้อยใู่ นรูปมาตรฐาน

y = a(x – h)2 + k กอ่ น แล้วจงึ นำไปหาจุดยอด (h, k))

• ในการจดั รปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k นกั เรียนคดิ ว่าต้องใช้ความรใู้ ดในการดำเนนิ การ

(ใชค้ วามรู้เก่ียวกบั กำลงั สองสมบูรณ์)

• สามารถจดั รูปสมการรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k และหาจุดยอดได้อยา่ งไร

วิธีทำ จาก y = 2x2 + 12x + 17

จดั กลุ่มไดว้ า่ y = (2x2 + 12x) + 17

ดึงตวั ร่วม y = 2(x2 + 6x) + 17

จดั ให้อยใู่ นรูปกำลังสองสมบูรณ์

y = 2{x2 + 2(x)(3) + 32 – 32} + 17

y = 2(x2 + 2(x)(3) + 32) – 18 + 17

y = 2(x + 3)2 – 18 + 17

y = 2(x + 3)2 – 1

ไดส้ มการรูปมาตรฐาน y = 2(x + 3)2 – 1

จดุ ยอด (h, k) คือ จุด (–3, –1)

6. นกั เรยี นรว่ มกนั พจิ ารณาตัวอยา่ งการหาจุดยอด ค่าต่ำสุดหรอื คา่ สูงสุด แกนสมมาตร

พร้อมท้งั เขียนกราฟของสมการพาราโบลา บนกระดาน ดงั นี้

จากสมการ y = x2 – 6x + 11 จงหาจดุ ยอด คา่ ตำ่ สุดหรือค่าสงู สดุ แกนสมมาตรพร้อมทั้งเขยี น

กราฟของสมการพาราโบลา

วธิ ที ำ จากสมการ y = x2 – 6x + 11 5
จดั รปู ไดว้ า่ y = {x2 – 2(x)(3) + 32} – 32 + 11 6
y = (x –3)2 – 9 + 11
ดังนั้น y = (x – 3)2 + 2
และจากสมการ y = (x – 3)2 + 2 จะได้ว่า a > 0, h = 3 และ k = 2

ดงั นน้ั เปน็ พาราโบลาหงาย มีจุดยอดหรือจดุ ต่ำสดุ ที่ (h, k) = (3, 2)
แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = 2 และคา่ ตำ่ สุดของฟังก์ชัน คอื 2
สามารถเขียนกราฟได้ ดงั นี้
x –2 –1 0 1 2 3 4
y = (x – 3)2 + 2 27 18 11 6 3 2 3

Y

12

11

10

9

8

7 (5, 6)
6 (1, 6)

5

4

3 (2, 3) (4, 3)
2 (3, 2)
1

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
–1

7. นกั เรียนร่วมกนั อภิปรายและสรุปเกี่ยวกบั การหาจุดยอด ค่าตำ่ สุดหรอื ค่าสงู สดุ ของฟังกช์ นั
แกนสมมาตรของฟงั ก์ชนั กำลังสองที่อยู่ในรปู ท่วั ไป y = ax2 + bx + c ได้โดยการจดั รูปฟงั ก์ชันกำลงั สอง
ให้อยใู่ นรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้กำลงั สองสมบรู ณ์

ขน้ั สรปุ

8. นกั เรียนทำใบงาน เรอ่ื ง กราฟของฟังก์ชนั กำลังสองที่กำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ
a  0 จากนน้ั สลบั ผลงานกบั เพ่ือน เพอ่ื ร่วมกนั ตรวจสอบและแก้ไขให้ถกู ต้อง

9. นักเรียนร่วมกันสรุปสง่ิ ท่ีเขา้ ใจเปน็ ความร้รู ่วมกนั ดังน้ี
การหาจดุ ยอด คา่ ต่ำสดุ หรอื ค่าสงู สดุ ของฟงั ก์ชนั แกนสมมาตรของฟังกช์ ันกำลังสองท่อี ยู่ใน

รูปทวั่ ไป y = ax2 + bx + c ได้โดยการจดั รูปฟงั ก์ชนั กำลงั สองให้อยใู่ นรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้
กำลงั สองสมบูรณ์ และฟงั กช์ ันกำลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยท่ี a ≠ 0 มกี ราฟเปน็
พาราโบลาหงายหรือควำ่ ขนึ้ อยกู่ บั ค่า a ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย และถา้ a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ

ซงึ่ สามารถใชส้ มการรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k ในการพจิ ารณาลักษณะกราฟได้ทุกรูปแบบ นน่ั คือ
1) จดุ ยอดอยู่ที่ (h, k)
2) ค่าต่ำสดุ หรอื คา่ สงู สดุ คือ k
3) แกนสมมาตรของพาราโบลา คือ แกน Y หรือเสน้ ตรง x = h เสมอ

8. ส่ือ/แหลง่ เรียนรู้

1. หนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 3 เล่ม 1 ของ (พว.)

2. ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้พัฒนาการคดิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 เล่ม 1 ของ (พว.)

3. แถบโจทย์

4. ตวั อยา่ งการหาจดุ ยอด ค่าต่ำสุดหรอื ค่าสูงสดุ แกนสมมาตร

9. การวัดและประเมนิ ผล

จุดประสงค์ วิธกี ารวัด เครือ่ งมอื ท่ใี ช้ เกณฑ์การประเมนิ ผล

1. นกั เรียนสามารถอธบิ าย ประเมินความรู้ เรอ่ื ง กราฟ ใบงาน เรือ่ ง กราฟของ

เกยี่ วกับลกั ษณะกราฟที่ ของฟังกช์ ันกำลังสองที่ ฟงั ก์ชันกำลงั สองทก่ี ำหนด

กำหนดด้วยสมการ y = กำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 ด้วยสมการ y = ax2 + bx

ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 + bx + c เมอ่ื a ≠ 0 + c เมอ่ื a ≠ 0

ได้ (K) ประเมินความรู้ เรือ่ ง กราฟ ใบงาน เรื่อง กราฟของ นักเรียนทำแบบฝึกหดั
ของฟังกช์ ันกำลงั สองที่ ฟังกช์ ันกำลังสองที่กำหนด ไดถ้ ูกตอ้ งร้อยละ 60
2. นกั เรียนสามารถเขยี นจดั รปู กำหนดด้วยสมการ y = ax2 ด้วยสมการ y = ax2 + bx ข้นึ ไป
ฟังก์ชันกำลงั สองทีอ่ ยู่ในรปู + bx + c เมอ่ื a ≠ 0 + c เมอื่ a ≠ 0
ทั่วไป
y = ax2 + bx + c ให้อยู่ในรปู
มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k

พร้อมทั้งหาจุดยอด คา่ ต่ำสุด

หรือคา่ สูงสุด แกนสมมาตร และ
ให้เหตุผลประกอบการอธบิ าย
เก่ียวกบั ลกั ษณะกราฟ ได้ (P)

3. แตง่ กายเรยี บร้อย สงั เกต แบบประเมินการสงั เกต นักเรยี นผา่ นการ

ตง้ั ใจเรยี น และทำงาน ประเมนิ การสงั เกตร้อย

ตามท่คี รสู ่งั (A) ละ 60 ข้นึ ไป

คำรับรองของหัวหน้าสถานศึกษาหรอื ผู้ท่ไี ด้รบั มอบหมาย (ตรวจสอบ/นิเทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)

ไดท้ ำการตรวจแผนการจดั การเรยี นรู้ของ......................................................................................

แลว้ มีความคดิ เหน็ ดังน้ี

9. เป็นแผนการจดั การเรียนรู้ที่

 ดมี าก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง

10. การจัดกิจรรมได้นำกระบวนการเรียนรู้

 เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั มาใชใ้ นการสอนไดอ้ ยา่ งเหมาะสม

 ยงั ไม่เน้นผู้เรียนเปน็ สำคัญ ควรปรับปรงุ พัฒนาต่อไป

11. เป็นแผนการจดั การเรียนรู้ที่

 นำไปใชไ้ ด้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้

12. ขอ้ เสนอแนะอ่ืนๆ

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ลงชื่อ.............................................หวั หน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้
(นายอภชิ าต เจนสาริกิจ)
…………./……………./…………

บนั ทึกหลังสอนแผนการสอนท่ี 12

1. ผลการสอนระดบั ชั้น ม....................................
 สอนได้ตามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไม่ได้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เนื่องจาก .........................................................

4. ผลทเ่ี กิดกบั ผเู้ รยี น
1.) การประเมนิ ผลความรู้หลังการเรยี น โดยใช…้ ……………………..................................พบวา่ นกั เรยี น

ผา่ นการประเมินคดิ เป็นร้อยละ......................……. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้ันต่ำทกี่ ำหนดไวค้ ิดเปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ............................................................................................................................. .............................

2.) การประเมนิ ด้านทกั ษะกระบวนการเรียน โดยใช้……………………….........................พบวา่ นกั เรียน
ผา่ นการประเมินคดิ เปน็ ร้อยละ......................……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขน้ั ต่ำทก่ี ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ...................................................................................................................... ....................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคณุ ลกั ษณะทพี่ งึ ประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……………………......................พบว่า
นักเรียนผา่ นการประเมินคิดเปน็ รอ้ ยละ.......……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ ้นั ต่ำท่กี ำหนดไวค้ ิดเปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ..........................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจดั การเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มีนักเรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทนั ตามกำหนดเวลา
 มีนักเรียนทไ่ี มส่ นใจเรียน
 อื่น ๆ ...................................................................................................................... .......................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรอื่ ง .............................................................................................
......................................................................................................... .....................................

.......................................................................................... .....................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรยี นท่ีไมผ่ ่านการประเมิน ........................................................................

..............................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..................
 ไมม่ ขี ้อเสนอแนะ

ลงชอ่ื ผสู้ อน
(นางสาวนวพร งามขำ)

วนั ท่ี......../.................../.................

แบบประเมนิ การสงั เกต

รายการประเมิน สรุปผล

เลขที่ ช่อื -สกุล แตง่ กาย ต้ังใจเรียน ทำงาน รวม ผ่าน ไม่ผา่ น
เรยี บร้อย ตามทค่ี รสู ั่ง

0 1 2 012012

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

เกณฑ์การให้คะแนนระดบั คุณภาพ ให้ 2 คะแนน
ดี - ปฏบิ ตั ิ ให้ 1 คะแนน
พอใช้ - ปฏบิ ัติบางครัง้ ให้ 0 คะแนน
ควรปรับปรุง - ไมป่ ฏิบัติ
…………………………………………. ผปู้ ระเมนิ
เกณฑ์การสรุปผล วนั ท่ี……………เดอื น…………..พ.ศ…………
ดี 3 - 4 คะแนน
พอใช้ 2 คะแนน
ควรปรบั ปรุง 0 - 1 คะแนน

ใบงาน เรือ่ ง กราฟของฟังก์ชนั กำลังสองทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + bx + c
เมื่อ a  0

วนั ท่ี________เดือน_______________พ.ศ.___________ ได้__________คะแนน
ชอื่ _____________________________เลขท_ี่ _____ชนั้ __________ คะแนนเตม็ 10 คะแนน

หาจดุ ยอด คา่ ตำ่ สุดหรือคา่ สงู สุดของฟังกช์ ัน แกนสมมาตร พรอ้ มทัง้ เขียนกราฟ

1. y = x2 – 2x + 2

2. y = –x2 – 2x – 5

เฉลยใบงาน เร่ือง กราฟของฟงั ก์ชนั กำลังสองทีก่ ำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c
เม่ือ a  0

วันท่ี________เดอื น_______________พ.ศ.___________ ได้__________คะแนน
ช่อื _____________________________เลขท_่ี _____ชนั้ __________ คะแนนเตม็ 10 คะแนน

หาจุดยอด ค่าตำ่ สดุ หรือค่าสูงสุดของฟังก์ชนั แกนสมมาตร พรอ้ มท้งั เขียนกราฟ

1. y = x2 – 2x + 2
วธิ ีทำ จากสมการ y = x2 – 2x + 2
จดั รปู ได้วา่ y = {x2 – 2(x)(1) + 12} – 12 + 2
y = (x – 1)2 – 1 + 2
ดงั นัน้ y = (x – 1)2 + 1
และจากสมการ y = (x – 1)2 + 1 จะได้วา่ a > 0, h = 1 และ k = 1
ดงั นั้น เป็นพาราโบลาหงาย มีจดุ ยอดหรอื จดุ ต่ำสุดที่ (h, k) = (1, 1)
แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = 1 และคา่ ต่ำสดุ ของฟังก์ชนั คือ 1
สามารถเขียนกราฟได้ ดังน้ี

x –1 0 1 2 3
y = (x – 1)2 + 1 5 2 1 2 5

Y

13

12

11

10

9

8

7

6

(–1, 5) 5 (3, 5)
4

3

(0, 22) (2, 2) X
1 (1, 1)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

2. y = –x2 – 2x – 5
วิธที ำ จากสมการ y = –x2 – 2x – 5
จัดรปู ไดว้ ่า y = –{x2 + 2(x)(1) + 12} + 12 – 5
y = –(x + 1)2 + 1 – 5
ดงั นน้ั y = –(x + 1)2 – 4
และจากสมการ y = –(x + 1)2 – 6 จะไดว้ ่า a  0, h = –1 และ k = –6
ดังน้นั เปน็ พาราโบลาควำ่ มจี ุดยอดหรือจดุ ต่ำสดุ ที่ (h, k) = (–1, –6)
แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = –1 และค่าต่ำสดุ ของฟังก์ชนั คือ –6
สามารถเขียนกราฟได้ ดังน้ี

x –3 –2 –1 0 1
y = –(x + 1)2 – 6 –8 –5 –4 –5 –8

Y

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X
–1

–2

–3
(–1, –4–) 4
(–2, –5) –5 (0, –5)

–6

(–3, –8) –7
–8 (1, –8)

–9

–10

–11

–12

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 13

รหัสวิชา ค 20206 ชือ่ วิชา คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 6 ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 3

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 ฟงั กช์ ันกำลังสอง

เร่อื ง จุดต่ำสุดหรอื สูงสุด จำนวน 2 คาบ

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ผจู้ ัดทำแผนการเรยี นรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรียนรู้

1.1 ผลการเรียนรู้

เขา้ ใจและใช้ความรู้เกย่ี วกบั ฟงั กช์ ันกำลงั สองในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

1.2 จดุ ประสงค์

1. นักเรยี นสามารถอธบิ ายเกย่ี วกบั จุดต่ำสุดหรอื จุดสงู สุดของฟงั ก์ชันกำลงั สองได้(K)

2. นกั เรยี นสามารถจัดรปู ฟงั ก์ชันกำลังสองที่อยูใ่ นรูปท่ัวไป y = ax2 + bx + c ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน

y = a(x – h)2 + k พรอ้ มท้ังหาจุดยอด ค่าตำ่ สดุ หรือคา่ สงู สุด แกนสมมาตร และให้เหตุผลประกอบการ

อธบิ ายเกีย่ วกับลักษณะกราฟได้ (P)

3. เข้าเรียนตรงเวลา ตอบคำถามครูเสมอ และสง่ งานตรงเวลา (A)

2. สาระสำคญั

การหาจดุ ยอด ค่าตำ่ สดุ หรอื ค่าสูงสุดของฟังกช์ นั แกนสมมาตรของฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่ในรูปทัว่ ไป

y = ax2 + bx + c สามารถทำไดห้ ลายวธิ ี ดงั นี้

1) จัดรปู ฟงั กช์ นั กำลงั สองให้อยู่ในรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้กำลังสองสมบรู ณ์

กราฟเปน็ พาราโบลาหงายหรือคว่ำ ขน้ึ อยกู่ ับคา่ a ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย และถ้า a < 0

เปน็ พาราโบลาควำ่ ซ่งึ สามารถใช้สมการรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k ในการพิจารณาลักษณะกราฟ

ไดท้ ุกรูปแบบ นัน่ คือ

• จุดยอดอยู่ที่ (h, k)

• ค่าต่ำสุดหรือคา่ สงู สดุ คือ k

• แกนสมมาตรของพาราโบลา คอื แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = h เสมอ

2) จากรูปทั่วไปของฟังก์ชันกำลังสอง y = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เป็นคา่ คงตัว

ในการเขียนกราฟนยิ มจัดรปู สมการทวั่ ไปใหอ้ ยู่ในรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้กำลงั สองสมบรู ณ์

จาก y = ax2 + bx + c
= x2 + ba
= a x2 + 2 x+ c 2 –a 2ba 2 + c
= a 222bbbaaa 2ba (ax44b)aa2+4cba2–+22bbca+2
= a x + 2– c
= a x + 2– 4a
a x + 2+

• จคแดุกา่ ตยน่ำอสสดมดุ หมหรารอืตือจรคขดุ า่อตสง่ำงูพสสุดาดุ รหขารโออืบงจลฟุดาังสกคูง์ชอืสนั ุดเสค(้นhอื ,ตykร)ง=คxkอื ==–h42b=aac4–,a–42babac24a– b2
•
•

3. สาระการเรยี นรู้

จดุ ต่ำสดุ หรอื สูงสุด

4. การบรู ณาการ ทกั ษะการคิด

5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รียน

5.1 ความสามารถในการสอื่ สาร

- ทักษะการส่ือสาร

5.2 ความสามารถในการคดิ

- ทกั ษะการคดิ วิเคราะห์

5.3 ความสามารถในการแกป้ ัญหา

- ทักษะการแก้ปญั หา

6. คุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

1. มวี นิ ยั

2. ใฝเ่ รียนรู้

3. มุ่งมนั่ ในการทำงาน

7. กจิ กรรมการเรยี นรู้

ขนั้ นำเขา้ สบู่ ทเรียน

1. นกั เรยี นรว่ มกันสนทนาทบทวนเกยี่ วกบั การหาจดุ ยอด ค่าต่ำสุดหรือคา่ สูงสดุ ของฟังกช์ นั

แกนสมมาตรของฟังก์ชนั กำลังสองท่ีอยใู่ นรูปท่วั ไป y = ax2 + bx + c ไดโ้ ดยการจัดรปู ฟงั ก์ชนั กำลังสอง

ให้อยใู่ นรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้กำลงั สองสมบรู ณ์ และฟังกช์ ันกำลงั สองที่อยู่ในรูปมาตรฐาน

y = a(x – h)2 + k โดยท่ี a ≠ 0 มีกราฟเป็นพาราโบลาหงายหรือควำ่ ข้ึนอยู่กับค่า a ถ้า a > 0

เป็นพาราโบลาหงาย และถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่ ซ่งึ สามารถใช้สมการรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k

ในการพจิ ารณาลักษณะกราฟไดท้ ุกรูปแบบ น่นั คือ

1) จดุ ยอดอยู่ที่ (h, k)

2) คา่ ตำ่ สดุ หรอื คา่ สูงสุด คือ k

3) แกนสมมาตรของพาราโบลา คอื แกน Y หรือเส้นตรง x = h เสมอ

2. นกั เรียนรว่ มกันแสดงความคิดเหน็ โดยใชค้ ำถามกระต้นุ ความคิด ดังน้ี

• นักเรยี นสามารถหาจุดยอด ค่าตำ่ สดุ หรือคา่ สงู สดุ แกนสมมาตรของฟงั กช์ นั กำลงั สอง

ที่อยใู่ นรูปท่วั ไป y = ax2 + bx + c โดยใช้วิธีอน่ื ไดอ้ ีกหรือไม่ อย่างไร

3. นกั เรยี นศกึ ษา รวบรวมข้อมูลเกย่ี วกบั กราฟของฟังกช์ นั กำลงั สองท่ีกำหนดด้วยสมการ

y = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เป็นจำนวนจรงิ และ a ≠ 0 จากแหล่งการเรียนรทู้ ีห่ ลากหลาย เช่น

จากการสงั เกต การรว่ มสนทนากับเพื่อนในชั้นเรยี น จากหนงั สอื เรยี นหรืออนิ เทอรเ์ น็ต

ขัน้ กิจกรรม

4. นักเรยี นรว่ มกันพจิ ารณาฟังก์ชนั กำลงั สองที่อย่ใู นรูปทัว่ ไป y = ax2 + bx + c เพ่อื เชอื่ มโยง

ความรู้ส่คู วามสมั พันธ์ในการจัดรูปทวั่ ไปเทียบเคียงกบั รปู มาตรฐานในการหาจดุ ยอดของพาราโบลา พร้อมตอบ

คำถามกระต้นุ ความคิด ดังนี้

• จากฟังกช์ ันกำลังสองท่ีอยใู่ นรูปสมการทั่วไป y = ax2 + bx + c นกั เรียนสามารถจดั สมการ

ในรปู มาตรฐานไดห้ รือไม่ อย่างไร

จากสมการรปู ทวั่ ไป y = ax2 + bx + c
x2 + ba
=a x2 + 2 x +c – a 2ba 2+ c
=a 222bbbaaa 2222ba+–– (ax44b) aa2+4cb4a2+2–a2bacb+22
=a x+ c
=a x+
ดังนัน้ y = a x+ 22bbaa 2 + =a x+
• จากสมการ y = a x+ 2 + 44aacc44––aa b2
y = a(x – h)2 + k ได้อย่างไรบา้ ง
b2 สามารถเทียบกบั สมการมาตรฐาน

1) จุดยอดหรือจดุ ต่ำสุด หรือจดุ สงู สดุ (h, k) คอื (– =24baa–c,4–a2b4aba2c4–a b2 )
2) แกนสมมาตรของพาราโบลา คือ เสน้ ตรง x = h
3) ค่าตำ่ สดุ หรือคา่ สงู สุดของฟงั ก์ชัน คอื y = k =

5. นกั เรยี นรว่ มกันพิจารณาตวั อยา่ ง การหาจุดยอด คา่ ตำ่ สดุ หรือค่าสูงสดุ แกนสมมาตร

พร้อมทั้งเขียนกราฟของสมการพาราโบลาบนกระดาน ดงั นี้

จากสมการ y = x2 – 6x + 11 จงหาจุดยอด ค่าต่ำสดุ หรือค่าสูงสุด แกนสมมาตร

พร้อมทั้งเขยี นกราฟของสมการพาราโบลา

วิธที ำ จากสมการ y = x2 – 6x + 11 จะพบว่า a = 1, b = –6 และ c = 11
b2ba2 –4((21–()61(1)) 1=)
และ จาก h=– = 44 –4346(1) 3 (–6)2
k= 4ac4–a = –
=

=2

จะได้ (h, k) = (3, 2)

ดงั นน้ั สรปุ ได้วา่ เปน็ พาราโบลาหงาย มีจุดยอดหรือจุดต่ำสุดที่ (h, k) = (3, 2)

แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = 2 และคา่ ตำ่ สุดของฟงั กช์ นั คอื 2

สามารถเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี 5 6
x 01234 6 11
y = (x – 3)2 + 2 11 6 3 2 3

Y

12

11

10

9

8

7 (5, 6)
6 (1, 6)

5

4

3 (2, 3) (4, 3)
2 (3, 2)
1

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
–1

6. นกั เรยี นรว่ มกนั อภิปรายและสรปุ เกย่ี วกับการหาจดุ ยอด ค่าต่ำสุดหรือคา่ สูงสดุ ของฟังก์ชนั

แกนสมมาตรของฟงั ก์ชนั กำลังสองท่ีอยู่ในรปู ท่ัวไป y = ax2 + bx + c สามารถจดั รูปสมการมาตรฐานไดว้ า่
2ba 2 +คแจุดกา่ ตยน4่ำอสaสดมcดุ4หม–หaรารอืตbอื จร2คขุดา่อตสสง่ำางูพสมสุดาาุดรรหขาถรโอเือบทงจลฟียุดาบังสกกคูง์ชบัอืสนั สดุ เมสค(ก้นhอื า,ตyรkรม)ง=าคxตkือร==ฐ(–าhน42b=aaนc4–,่นั –a4ค2baือbac24–a b2)
y = a x+ 1)
2)
3)

ข้ันสรุป

7. นักเรียนรับแถบโจทย์ฟังก์ชนั กำลงั สองทอี่ ยู่ในรปู ทว่ั ไป y = ax2 + bx + c 2 ข้อ รว่ มกันหาจดุ
ยอด ค่าตำ่ สุดหรือค่าสงู สุดของฟงั กช์ ัน แกนสมมาตรพร้อมทั้งเขียนกราฟ จากนั้นสลบั ผลงานกบั เพ่อื น เพือ่
รว่ มกนั ตรวจสอบและแก้ไขให้ถูกต้อง ดังนี้

1) y = x2 – 4x + 2 2) y = x2 – 8x – 1

8. นักเรียนร่วมกนั สรุปส่งิ ทเ่ี ข้าใจเปน็ ความรรู้ ่วมกนั ดังน้ี
การหาจุดยอด คา่ ต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของฟงั กช์ นั แกนสมมาตรของฟงั ก์ชนั กำลงั สอง

ทีอ่ ยใู่ นรปู ท่ัวไป y = ax2 + bx + c สามารถทำไดห้ ลายวิธี ดงั น้ี
1) จัดรูปฟังก์ชันกำลงั สองให้อยู่ในรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้กำลงั สองสมบูรณ์

กราฟเป็นพาราโบลาหงายหรือคว่ำ ขึน้ อยู่กับคา่ a ถ้า a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย และถ้า a < 0
เป็นพาราโบลาคว่ำ ซงึ่ สามารถใช้สมการรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k ในการพิจารณาลักษณะกราฟ

ได้ทกุ รปู แบบ นัน่ คือ

• จุดยอดอยู่ท่ี (h, k)

• ค่าตำ่ สุดหรอื ค่าสูงสดุ คือ k

• แกนสมมาตรของพาราโบลา คอื แกน Y หรือเส้นตรง x = h เสมอ

2) จากรปู ทวั่ ไปของฟงั ก์ชันกำลงั สอง y = ax2 + bx + c เมอื่ a, b, c เปน็ ค่าคงตวั

ในการเขยี นกราฟนิยมจดั รปู สมการท่ัวไปใหอ้ ยู่ในรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใชก้ ำลงั สองสมบรู ณ์

จาก y = ax2 + bx + c
คจแดุก่าตยนำ่อสสดมดุ หมห=====รารอืตือจรคขุดaaaaaา่อตสง่ำxxxxงูxพส2ส2+++ุดาุด+ร+หขา222bbbรba2โอaaaือบงxจลฟ2222ุดbาังa+ส+––กคูง์ช(caอืสx4ัน4b)ุดaเa2+ส4คcb(4a้นhอื 2a–+2,ตy2kรbbca+)ง=2คxc2kือ==(––h4a2b=aac42–b,aa–42baba24c2+a–cb2)
•
•
•

8. สือ่ /แหลง่ เรียนรู้

1. หนงั สอื เรยี นรายวิชาพืน้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 เลม่ 1 ของ (พว.)

2. ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้พัฒนาการคดิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 เลม่ 1 ของ (พว.)

3. ตารางฟังกช์ ันกำลงั สอง

4. แถบโจทย์

5. ตัวอยา่ งการหาจดุ ยอด ค่าตำ่ สดุ หรอื ค่าสูงสุด แกนสมมาตร

9. การวัดและประเมนิ ผล

จุดประสงค์ วธิ กี ารวดั เครอ่ื งมือทใี่ ช้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล
แถบโจทย์ฟงั ก์ชนั กำลงั
1. นักเรียนสามารถ ประเมินความรู้ เร่ือง สองท่ีอยูใ่ นรูปทัว่ ไป
y = ax2 + bx + c
อธบิ ายเกยี่ วกบั จดุ ต่ำสุด ฟังกช์ นั กำลังสองท่อี ยู่

หรือจดุ สงู สุดของ ในรูปทวั่ ไป

ฟงั ก์ชนั กำลังสองได้ (K) y = ax2 + bx + c

ในสมดุ

2. นกั เรยี นสามารถจดั รปู ประเมินความรู้ เร่ือง แถบโจทย์ฟงั ก์ชันกำลัง นกั เรยี นทำแบบฝึกหดั
สองท่ีอยู่ในรปู ท่ัวไป ได้ถูกต้องร้อยละ 60
ฟงั ก์ชนั กำลังสองทีอ่ ยใู่ นรปู ฟังก์ชันกำลังสองทอ่ี ยู่ y = ax2 + bx + c ขึ้นไป
ทวั่ ไป ในรูปท่วั ไป
y = ax2 + bx + c ให้อยใู่ น
รูปมาตรฐาน y = ax2 + bx + c

y = a(x – h)2 + k พร้อม ในสมดุ

ทง้ั หาจุดยอด ค่าต่ำสดุ หรอื

ค่าสูงสดุ แกนสมมาตร

และใหเ้ หตผุ ลประกอบการ

อธบิ ายเกีย่ วกบั ลกั ษณะ

กราฟ ได้ (P)

3. เข้าเรียนตรงเวลา สังเกต แบบประเมนิ การสงั เกต นักเรียนผา่ นการ
ประเมนิ การสงั เกตร้อย
ตอบคำถามครูเสมอ ละ 60 ขึ้นไป

และสง่ งานตรงเวลา (A)

คำรับรองของหัวหนา้ สถานศกึ ษาหรอื ผู้ทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย (ตรวจสอบ/นิเทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)

ไดท้ ำการตรวจแผนการจัดการเรียนรู้ของ......................................................................................

แลว้ มีความคดิ เหน็ ดังน้ี

1. เป็นแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี

 ดมี าก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ

2. การจัดกิจรรมไดน้ ำกระบวนการเรยี นรู้

 เนน้ ผู้เรียนเปน็ สำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่างเหมาะสม

 ยังไม่เนน้ ผูเ้ รียนเปน็ สำคัญ ควรปรบั ปรงุ พัฒนาต่อไป

3. เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี

 นำไปใชไ้ ด้จริง  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้

4. ข้อเสนอแนะอื่นๆ

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ลงช่อื .............................................หวั หน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้
(นายอภิชาต เจนสาริกิจ)
…………./……………./…………

บนั ทึกหลังสอนแผนการสอนท่ี 13

1. ผลการสอนระดับชั้น ม....................................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ด้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เนื่องจาก .........................................................

2. ผลท่ีเกดิ กบั ผู้เรยี น
1.) การประเมนิ ผลความรู้หลังการเรยี น โดยใช…้ ……………………..................................พบวา่ นกั เรยี น

ผ่านการประเมินคดิ เปน็ ร้อยละ......................……. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้ันต่ำทกี่ ำหนดไวค้ ิดเปน็ ร้อยละ
ไดแ้ ก่ ............................................................................................................................. .............................

2.) การประเมนิ ด้านทกั ษะกระบวนการเรียน โดยใช้……………………….........................พบวา่ นกั เรียน
ผ่านการประเมินคิดเป็นร้อยละ......................……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขน้ั ต่ำทก่ี ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ
ไดแ้ ก่ ...................................................................................................................... ....................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคณุ ลกั ษณะทพี่ งึ ประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……………………......................พบว่า
นักเรยี นผา่ นการประเมินคิดเปน็ รอ้ ยละ.......……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ ้นั ต่ำท่กี ำหนดไวค้ ิดเปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ..........................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอุปสรรค

 กิจกรรมการจดั การเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มนี กั เรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทนั ตามกำหนดเวลา
 มนี ักเรยี นทไ่ี มส่ นใจเรียน
 อนื่ ๆ ...................................................................................................................... .......................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรอื่ ง .............................................................................................
......................................................................................................... .....................................

.......................................................................................... .....................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรยี นท่ีไมผ่ ่านการประเมิน ........................................................................

..............................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..................
 ไม่มีข้อเสนอแนะ

ลงชอ่ื ผสู้ อน
(นางสาวนวพร งามขำ)

วนั ท่ี......../.................../.................

แบบประเมินการสังเกต

รายการประเมิน สรุปผล
ผ่าน ไม่ผ่าน
เลขที่ ชื่อ-สกุล เขา้ เรยี น ตอบคำถาม ส่งงานตรง
ตรงเวลา ครูเสมอ เวลา รวม

0 1 2 012012

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

เกณฑ์การให้คะแนนระดับคุณภาพ

ดี - ปฏบิ ัติ ให้ 2 คะแนน

พอใช้ - ปฏบิ ตั ิบางคร้งั ให้ 1 คะแนน

ควรปรบั ปรงุ - ไมป่ ฏบิ ัติ ให้ 0 คะแนน

เกณฑ์การสรุปผล

ดี 3 - 4 คะแนน

พอใช้ 2 คะแนน

ควรปรบั ปรุง 0 - 1 คะแนน

…………………………………………. ผู้ประเมิน

วนั ท่ี……………เดือน…………..พ.ศ…………

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 14

รหสั วชิ า ค 20206 ช่ือวชิ า คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 6 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 3

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 ฟงั ก์ชนั กำลงั สอง

เรอ่ื ง โจทย์ปัญหาของฟังก์ชันกำลังสอง : 1 จำนวน 2 คาบ

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ผูจ้ ดั ทำแผนการเรียนรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรียนรู้

1.1 ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใช้ความร้เู ก่ยี วกบั ฟังกช์ นั กำลงั สองในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

1.2 จดุ ประสงค์

1. นักเรยี นสามารถอธบิ ายเกี่ยวกบั การแกโ้ จทย์ปัญหาของฟังกช์ นั กำลังสองได(้ K)

2. นักเรยี นสามารถเขยี นแสดงการแก้โจทย์ปัญหา โดยใช้ความร้ฟู งั กช์ ันกำลงั สองได้ (P)

3. แตง่ กายเรยี บรอ้ ย ตง้ั ใจเรยี น ทำงานตามที่ครูสั่ง (A)

2. สาระสำคัญ

จากความสมั พนั ธข์ องจุดยอด หรอื จดุ ตำ่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ ของฟังกช์ นั กำลงั สอง สามารถนำไปใชใ้ นการ

แกโ้ จทย์ปัญหาเกีย่ วกบั จำนวนได้ ซ่งึ ข้นั ตอนการแกโ้ จทย์ปัญหามหี ลกั การคลา้ ยกับการแก้โจทย์ปัญหา

ทั่วไป คอื

1) วเิ คราะห์โจทย์

2) กำหนดค่าตวั แปรที่โจทยต์ ้องการ

3) เขยี นในรปู ความสัมพนั ธข์ องฟังกช์ นั กำลังสอง

4) ดำเนนิ การแกป้ ญั หา

5) สรปุ ผลคำตอบ

ฟงั ก์ชนั กำลังสองสามารถนำไปประยุกต์ใชแ้ กโ้ จทยป์ ัญหาเก่ียวกบั พ้ืนที่ ระยะทาง ความสูง

หรืออน่ื ๆ ได้

3. สาระการเรียนรู้ โจทยป์ ญั หาของฟังก์ชนั กำลงั สอง

4. การบูรณาการ ทักษะการคิด

5. สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รียน

5.1 ความสามารถในการสื่อสาร

- ทกั ษะการสื่อสาร

5.2 ความสามารถในการคดิ

- ทักษะการคิดวิเคราะห์

5.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

- ทักษะการแกป้ ัญหา

5.4 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี