Standar Kompetensi
Menggunakan aturan Statistika dalam menyajikan dan meringkas data dengan
berbagai cara serta memberi tafsiran; menyusun, dan menggunakan kaidah
pencacahan dalam menentukan banyak kemungkinan; dan menggunakan aturan
peluang dalam menentukan dan menafsirkan peluang kejadian majemuk.
A. PENGUMPULAN DAN PENYAJIAN DATA.
Kompetensi Dasar : 1.1. Membaca,menyajikan, serta menafsirkan kecenderungan data da-
lam bentuk tabel dan diagram.
Pengalaman Belajar: 1.1.1. Menggali informasi tentang sajian data dalam bentuk diagram garis,
batang , diagram garis dan diagram lingkaran.
1.1.2. Menyajikan data dalam bentuk diagram .
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan
matematika yang menyangkut statistika diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau
kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber
referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Untuk menghindari kejenuhan membaca data berupa angka-angka, suatu kumpulan angka /
data, banyak kita jumpai disajikan dalam bentuk diagram. Hal ini diperlukan guna menarik
perhatian pembaca. Data merupakan keterangan–keterangan dari objek–objek yang diamati.
Makin lengkap data–data yang dikumpulkan biasanya makin baik dan makin memperkuat
kesimpulan dan ramalan yang di hasilkan.
Darri segi bentuknya, data dapat dibedakan sebagai berikut :
1. Data kuantitatif, yaitu data yang berbentuk bilangan.
Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan, data tentang upah buruh, dll.
2. Data kualitatif, yaitu data yang tidak berbentuk bilangan.
Misalnya data tentang pekerjaan orang tua murid, data tentang mutu barang, (apakah
kualitasnya tinggi, sedang atau rendah ).
A.1. PENGUMPULAN DATA.
Macam – macam cara pengumpulan data, antara lain:
1. Penelitian lapangan (pengamatan langsung ) atau observasi.
Pengumpulan data dilakukan langsung mengadakan penelitian ke lapangan atau
laboratorium terhadap suatu objek penelitian.
2. Wawancara (interview).
Pengumpulan data dilakukan dengan wawancara langsung kepada objek atau kepada
orang yang mengetahui persoalan objek.
3. Angket (kuesioner).
Pengumpulan data dilakukan dengan menggunakan daftar isian atau suatu daftar
pertanyaan yag telah disiapkan dan disusun oleh peneliti sedemikian rupa sehingga
nantinya di dapatkan jawaban atau isian yang dikehendaki.
4. Media cetak atau elektronika, dll.
A.2. PENYAJIAN DATA.
Data dapat disajikan dalam bentuk daftar (tabel) atau gambar. Gambar meliputi kartogram
(peta) dan diagram. Maksud dari penyajian data adalah untuk mempermudah membaca
data. Kegunaan diagram antara lain untuk memperjelas dan mempertegas penyajian data.
1. Diagram Lambang (piktogram) 1981
Piktogram lebih cocok untuk menyajikan data 1961
jika data tersebut menunjukkan jumlah (angka)
yang besar. Ukuran harus diperhatikan pada 126000 Kg 1008000 Kg
piktogram. Penjualan Susu Perah
LKS-Mat.XI- 01
LKS-Mat.XI- 02
2. Diagram Lingkaran.
Diagram ini lebih cocok untuk menunjukkan perbandingan Suntik
dingan jika data tersebut terdiri atas beberapa kategori. Pil
Dalam diagram lingkaran, lingkaran dibagi atas juring-ju-
juring sesuai dengan data yang disajikan. IUD
Luas masing-masing juring sebanding dengan sudut pu-
sat lingkaran (atau panjang busurnya). Prosentase KB Mandiri 2004
3. Diagram Batang
Diagram batang dilengkapi dengan skala dan kata-kata yang jelas sehingga ukuran
ukuran data yang bersangkutan dapat dibaca dari diagram.
Jumlah produksi Susu Perbandingan Jumlah Banyaknya Mobil Jumlah Kasus Remidi
2001 - 2004 Guru 2001-2003 A
50 B 50
50 C 40
40 40 20
20
25 30
01 02 03 04 SD SMP 10 20 30 40 01 02 03 04
2001 2003 Pribadi belum tuntas
2002 Angkot tuntas
diagram batang tunggal diagram batang berganda diagram batang horizontal diagram batang bersusun
4. Diagram Garis. Produksi Telur 2001-2005 (Kg)
Diagram garis dipergunakan untuk menggambar- 50 2001 2002 2003 2004 2005
: Ayam Buras : Ayan Petelur
kan perkembangan (pertumbuhan) suatu hal (kegi
atan) dari waktu ke waktu secara terus-menerus. 40
Melalui diagram garis ini kita sering melakukan
interpolasi dan ekstrapolasi. 30
Interpolasi adalah memperkirakan nilai diantara
dua nilai. 20
Eekstrapolasi adalah memperkirakan nilai yang
akan datang.
5. Tabel Distribusi Frekuensi.
Apabila terdapat data yang jumlahnya cukup ba- Interval Frekuensi
nyak maka akan lebih efektif dan simple jika pe- 41 – 50 6
nyajiannya dalam tabel distribusi frekuensi. 31 – 40 3
Data dikelompokkan dalam beberapa kelas/inter- 21 – 30 7
val di mana dalam satu interval memuat/mengan 11 – 20 4
dung beberapa data tunggal. 10
1 – 20 30
Agar mudah memperoleh keterangan dari data Ada beberapa cara menyatakan
sekumpulan data dalam Distribusi frekuensi, sbb:
a. Distribusi frekuensi tunggal
Berikut adalah nilai matematika pada Raport Semester 2 dari 40 siswa Kelas X:
4567867688975667676575667556775778878496
Jika data itu akan di susun dalam daftar distri Nilai (X) Turus/Tally f
busi frekuensi tunggal, caranya: 4 II 2
1. Nilai diurutkan dari terendah s/d tertinggi. 5 IIII II .....
2. Data diitulis dalam kolom nilai yang biasa 6 .................... .....
7 .................... 12
nya dinyatakan dengan variabel x 8 .................... .....
3. Dengan pertolongan turus (tally) dapat di - 9 .................... .....
tentukan frekuensi masing-masing nilai. 40
LKS-Mat.XI- 03
b. Distribusi frekuensi berkelompok.
Berikut ini adalah hasil evaluasi (tes) mata pelajaran matematika kelas XI dari 40
siswa tersebar sebagai berikut.
75 84 60 68 53 70 67 57 67 70 76 63 68 66 67 64 44 34 62 60
56 56 63 61 69 38 48 68 62 81 64 65 55 64 49 54 72 39 66 25
Daridata itu diperoleh ukuran paling rendah (minimal ) ..... dan ukuran paling tinggi
(maksimal) ........
Selisih ukuran tertinggi dengan ukuran terendah disebut Jangkauan (range,
rentang (J) = 84 – ...... = ........
Jika data akan di susun dalam tabel distribusi frekuensi, anda ikuti langkah sbb:
1). Semua ukuran harus termuat dalam kelas-kelas interval. Ukuran minimum
termuat dalam kelas-kelas interval terendah (tidak perlu menjadi batas bawah),
Ukuran maksimum termuat dalam kelas interval tertinggi (tidak perlu menjadi
batas atas).
2). Tentukan range / jangkauan (J) = nilai maksimum – nilai minimum.
3). Tentukan banyaknya kelas interval dengan rumus k = 1 +3,3 log n; n = banyak
ukuran (data) ,k = banyak kelas.
jangkauan
4). Tentukan lebar kelas dengan rumus i =
k
Data itu disusun dalam tabel sebagai berikut.:
Jangkauan = .........
Banyanya kelas interval : k = 1 + 3,3 log (.....)
= 1 + 3,3 (...........)
= 1 + ......... = 6,287 .......
Lebar kelas ( i ) = jangkauan ........ ........
k6
Nilai (X) Turus (Tally) Nilai Tengah Frekuensi ( f )
24 – 32
33 – 41 I 28 1
...... - 50 ........................................... ....... .......
51 - ..... ........................................... ....... .......
..... - ..... ........................................... 55
..... - ..... ........................................... ....... 6
..... - 86 ........................................... ....... .......
II 82 .......
.......
40
Dari kelas interval 1: 24 – 32 dapat diidentifikasi beberapa hal, sbb:
24 disebut batas bawah kelas , 32 disebut batas atas kelas.
24 – 0,5 = ...... disebut tepi bawah kelas.
32 + ...... = ...... disebut tepi atas kelas.
c. Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif.
Jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari batas nyata (tepi atas) suatu
inteval tertentu disebut frekuensi kumulatif kurang dari (fk kurang dari).
Jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari batas bawah tepi (tepi bawah)
interval tertentu disebut frekuensi kumulatif lebih dari (fklebih dari).
Tabel frekuensi kumulatif :
Lihat tabel ”Hasil evaluasi matematika kelas I” pada sub bagian b:
Nilai (x) Frekuensi (f) Tepi atas (U) Tepi bawah (L) fk fk
24 – 32
33 – 41 1 32,5 ........ 0 40
...... - 50 ....... ........ 32,5 1 ........
51 - ..... ....... ........ ........ 4 ........
..... - ..... ........ ........ .......
..... - ..... 6 68,5 ........ ........ 33
..... - 86 ....... ........ ........ 32 ........
....... ........ 77,5 ........ ........
....... ........
40 2
......
LKS-Mat.XI- 04
40 40
30 30
20 20
10 10
00
23,5 32,5 41,5 50,5 59,5 68,5 77,5 86,5 23,5 32,5 41,5 50,5 59,5 68,5 77,5 86,5
Frekuensi komulatif kurang dari Frekuensi komulatif lebih dari
Kurva / grafik garis yang terjadi disebut dengan OGIVE
Jika dalam penelitian memerlukan frekuensi kumulatif dalam prosentase, maka fk
dibagi dengan f kemudian dikalikan 100%. Frekuensi kumulatif seperti itu
dinamakan frekuensi kumulatif relatif.
Nilai Frekuensi kumulatif Frekuensi kumulatif
(x)
relatif (%)
24 – 32
33 – 41 fk fk fk fk
...... - 50
51 - ..... 0 40 2,5 100
..... - ..... 1 ........
..... - ..... 4 ........ ........ ........
..... - 86 .......
........ 33 ........ 90
32 ........
........ ........ ........ ........
........
2 ........ ........
......
80 67,5
........ ........
100 0
d. Histogram dan Poligon frekuensi.
Suatu diagram yang menyajikan data yang disusun dalam kelas-kelas interval
(distribusi frekuensi) dalam bentuk batangan persegi panjang disebut Histogram.
Jika titik-titik tengah sisi atas persegi panjang pada histogram di hubungkan, maka
diperoleh sebuah poligon frekuensi. Agar poligonnya tertutup, maka sebelah kiri
dan kanan histogram ditambahkan dengan satu kelas interval lagi dengan
frekuensi nol.
20
15 Poligon frekuensi
10
5
0
28 37 46 55 64 73 82
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
Dalam sebuah tes Matematika Sub Pokok Bahasan Eksponen Logaritma Kelas X didapat:
60 49 90 73 51 72 61 73 58 59 70 70 61 81 62 85 63 63 74 46
60 75 40 73 91 63 88 64 85 41 99 50 55 72 95 71 42 72 96 42
1. Buatlah tabel distribusi frekuensi dengan batas bawah kelas adalah 38.
2. Susun dan lukis tabel frekuensi komulatif lebih dari dan kurang dari beserta ogive-nya!
3. Buat dan lukis Histogram serta Poligon frekuensinya !
LKS-Mat.XI- 05
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Nilai Frekuensi Pada Data nilai Matematika siswa di samping, Persentase
5 12 Siswa yang mendapat nilai 6 adalah ...........
6 6 a. 10 % d. 50%
7 8 b. 20 % e. 60%
8 10 c. 30 %
94
2. Nilai Frekuensi Pada Data nilai Matematika siswa di samping, Lebar kelas
2–5 4 Dan nilai tepi bawah kelas ke tiga berturut-turut adalah ....
6–9 3 a. 3 dan 9 c. 4 dan 9 e. 4 dan 10
10 – 13 7 b. 3 dan 9,5 d. 4 dan 9,5
14 – 17 8
3. Nilai Frekuensi Pada Data nilai Matematika siswa di samping, Nilai tepi
0–4 3 atas kelas ke dua dan titik tengah kelas ke tiga adalah ......
5–9 4 a. 4,5 dan 12 c. 4,5 dan 12,5 e. 14,5 dan 7
10 – 14 2 b. 9,5 dan 12 d. 9,5 dan 12,5
15 - 19 5
4. Data yang diperoleh dari hail mencacah disebut dengan data ..........................
a. diskrit b. kontinu c. kualitatif d. kuantitatif e. ukuran
5. Jika pada daftar distribusi frekuensi, frekuensi tiap kelas dinyatakan dalam persen ter-
hadap frekuensi keseluruhan, maka diperoleh .................
a. distribusi frekuensi persen d. distribusi frekuensi komulatif
b. distribusi frekuensi bagian e. distribusi frekuensi relative
c. Distribusi frekuensi parsial.
6. Data hasil ulangan matematika kelas X sebagai berikut: 9
Nilai 4 5 6 7 8 3
f 2 4 15 16 8
Banyaknya siswa yang memperoleh nilai kurang dari 7 adalah ..........
a. 2 b. 4 c. 6 d. 15 e. 21
7. Nilai f. komulatif Dari data di samping, banyaknya siswa yang memperoleh
5 4 Nilai 8 adalah
6 9 a. 6 c. 9 e. 18
7 12 b. 8 d. 12
8 18
9 20
8. Jika frekuensi total data di samping adalah 27, 10
6
Maka banyaknya siswa yang mendapat nilai
p
kurang dari 20,5 adalah ......................
a. 8 c. 13 e. 23
b. 11 d. 18 4 p
5
2
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Diketahui data: 14, 13, 18, 18, 17, 15, 20, 19, 11, 13, 18, 15, 17, 16, 17, 15, 20, 18, 14,
15, 16, 20, 18, 11, 13, 19, 18, 13, 15, 14, 11, 14, 15, 17, 19, 12, 18, 20, 16, 13.
Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dengan interval-interval 10 – 12, 13 – 15
dan seterusnya!
2. Diketahui data: 4, 5, 7, 7, 10, 11, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 18, 18, 20, 20, 20, 22, 23, 24.
Dari data ini, buat distribusi frekuensi dan poligon frekuensinya dengan interval 1 – 6,
dan seterusnya !
LKS-Mat.XI- 06
B. PENGOLAHAN DATA.
Kompetensi Dasar : 1.2. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penye-
baran data serta penafsirannya.
Pengalaman Belajar: 1.2.1. Menggali informasi dan kajian pustaka untuk menentukan ukuran
pemusatan data tunggal dan data kelompok.
1.2.2. Menggunakan rumus mean, median, dan modus untuk menyelesa-
kan soal simbolik dan verbal.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
B.1. UKURAN TENDENSI SENTRAL (UKURAN PEMUSATAN).
Ada tiga buah ukuran yang sangat penting yang dianggap mewakili kelompoknya. Ketiga
ukuran itu adalah mean, median, dan modus.
a. Rata-rata (Mean):
_
Mean atau nilai rata-rata hitung ( x ), yaitu Jumlah semua ukuran dibagi banyaknya
ukuran.
a.1. Mean data tunggal:
Mean x x1 x2 x3 x4 ......... xn n x1
n i1 n
Keterangan :
x = Nilai rata-rata hitung (mean)
n = banyak nilai (ukuran) , xi = data ke- i
Masalah 1:
Tentukan mean dari : 11, 10, 12, 9, 8, 12, 9, 9, 7, 13
Penyelesaian:
Mean _ 7 ... ... ... 9 ... ... 12 ... .... ...... ......
x .... ......
a.2. Mean data kelompok:
Pada tabel distribusi frekuensi berkelompok, kita hanya dapat mengetahui fre-
kuensi untuk masing-masing kelas interval. Kita menganggap bahwa frekuensi di
dalam setiap tersebar merata. Dengan demikian , perhitungan pada data
berkelompok tidak seteliti sebagaimana dengan data tunggal.
Masing-masing kelas interval diwakili oleh titik tengahnya.
Mean dari data berkelompok sama dengan data mean dari titik-titik tengah
interval kelas yang dapat dihitung seperti pada data tunggal, dengan aturan:
(1). Mean ( x ) = f1.x1
f1
Masalah 2:
Tentukan mean dari data kelompok yang Berat (Kg) f
Datanya terlihat pada tabel ! 50 – 52 5
53 – 55 17
56 - 58 14
59 – 61 10
62 - 64 4
50
Penyelesaian:
Berat (kg) Tabel berat badan siswa f . x1
50 – 52 .............
Titik tengah Interval (x1) Frekuensi (f)
51 5 918
.............
53 – 55 ............. 17 .............
.............
56 - 58 ............. 14
2823
59 – 61 ............. 10
62 - 64 63 4
50
Mean ( x ) = f1.x1 ........... ..............
f1 ......
LKS-Mat.XI- 07
Hasil yang diperoleh dengan cara ini, mungkin masih mengandung kesalahan
karena bilangannya besar.
Untuk memperkecil kesalahan ditempuh cara dengan menggunakan rata-rata
sementara. Dari tabel ditentukan rata-ata sementara yaitu titik tengah interval,
misalnya Ms= 57.
Berat (kg) Titik Tengah (x1) Frekuensi Simpangan f.d
(f) d = xi - Ms
50 – 52 51 -30
53 – 55 ............. 5 ............. .............
56 - 58 ............. = Ms 17 -3 .............
59 – 61 ............. 14 .............
62 - 64 10 .............
63 4 3 24
50 ............. ............
Mean ( x ) = Ms f .d ..... ....... ...... 0,..... .......
f 50
Untuk mempermudah kolom simpangan (d) dapat digant: d x M s d '
ii
f .d '
Akibatnya, Mean ( x ) = Ms + f . i
Berat(x) Titik Frekuensi d' x Ms f.d’
(kg) (x1) (f) i
.......
50 – 52 51 5 -2 -17
53 – 55 ............. 17 ..... .......
56 - 58 ............. = Ms 14 0 .......
59 – 61 ............. 10 ..... .......
62 - 64 4 ..... -9
63 50
Mean ( x ) = ....... + ....... x...... ...... ..... ..........
50
b. Modus (Mo) :
Modus adalah nilai atau ukuran yang paling sering terdapat (muncul).
b.1. Modus data tunggal:
Masalah 3:
Tentukan modus dari : 6, 8, 5, 6, 7, 11, 10, 12, 9, 8, 12, 9, 9, 7, 13
Penyelesaian:
Data diurutkan: 5, ...., 6, …, 7, ...., ...., 9, ..., 9, ...., 11, ...., ...., 13
Nampak bahwa Modusnya: ……
a.2. Modus data kelompok:
Untuk menentukan modus data berkelompok ada beberapa cara pendekatan,
antara lain:
1). Modus besar, yaitu nilai titik tengah kelas interval yang memiliki frekuensi
terbanyak. Kelas interval yang memilki frekuensi terbanyak disebut kelas
modus.
Pendekatan ini jarang digunakan sebab penyimpangannya terlalu besar.
2). Dengan menggunakan rumus yang diperoleh dari histogram.
LKS-Mat.XI- 08
Masalah 4 :
Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
Tabel berat badan 50 siswa
Berat(x) Titik tengah interval Frekuensi
(x1) (f)
(kg)
51 5
50 – 52 54 17
53 – 55 57 14
56 – 58 60 10
59 – 61 63 4
62 – 64 50
a. Modus besar = ....... ( adalah titik tengah kelas modus [53 – 55] )
b. Menggunakan rumus.
Distribusinya dianggap merata, maka kita dapat menetapkan bahwa jarak
modus dari tepi bawah dan tepi atas kelas tersebut sebanding dengan selisih
frekuensi kelas modus dengan kelas yang mendahuluinya.
Rumus modus:
Modus (Mo) = Lo + d1 . i
d1 d2
Lo = Tepi bawah kelas modus
i = Interval kelas = lebar kelas
d1 = Selisih fekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.
d2 = Selisih fekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.
Modus terletak pada kelas modus: 53 - .......
d1 = 17 - ......... , d2 = 17 - ...... , i = ..... , dan Lo = 52,5
Modus = Lo + d1 . i = ........ + ...... .(.....)
d1 d2
12 ......
= ........ + .......... = ...........
c. Median (Md) :
Median adalah nilai atau ukuran yang membagi ukuran–ukuran yang telah diurutkan
menurut besarnya menjadi dua bagian yang sama banyaknya.
Median adalah ukuran yang ditengah-tengah jika banyaknya data ganjil, atau rata–
rata kedua nilai tengah jika banyaknya data genap.
c.1. Median data tunggal:
Jika n ganjil, median : Md x1 (n1)
Jika n genap, median: 2
x1 x1 n1
n
Md 2 2
2
Masalah 5 :
Tentukan mean, median, dan modus dari : 11, 10, 12, 9, 8, 12, 9, 9, 7
Penyelesaian :
n = 9 (ganjil)
Mean.(x) .... 10 .... .... 8 .... .... .... 7 ....... ........
....... .......
Untuk mencari median, ukuran diurutkan: 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 12
Median : Md x1 (9.....) x...... ........
2
Modus (Mo) = ...... (sebab frekuensinya paling banyak, yaitu tiga).
LKS-Mat.XI- 09
Masalah 6 :
Tentukan mean, median, dan modus dari data yangada pada tabel berikut.
x f f.x
428
5 7 35
6 10 60
7 13 91
8 6 48
9 2 18
f 40 f .x 260
Penyelesaian :
Mean ( _ = f .x ....... ...... .........
x) f ....... ......
x1 x1 n1 x...... x...... 7 ...... = …………
n
Md 2 2
Median : 2 ....... ........
Modus (Mo) = ........ (karena frekuensinya paling besar, yaitu 13)
Catatan :
Suatu distribusi frekuensi mungkin tidak ada modusnya (bila mana distribusi
tidak mempunyai modus?)
Jika hanya ada satu modus dinamakan unimodal.
Jika ada dua modusnya dinamakan bimodal.
Jika mempunyai lebih dari dua modus dinamakan multimodal.
c.2. Median data kelompok:
Ada beberapa cara menentukan median dari data berkelompok antara lain:
1). Menggunakan ogive. 3). Mungunakan rumus.
2). Mengunakan histogram.
Masalah 7:
Berat (x) f
(kg) 5
17
50 -52 14
53 – 55 10
56 – 58 4
59 – 61 50
62 - 64
Tentukan median-nya !
Penyelesaian:
Berat (x) (Kg) f Tepi Atas fk Tepi Bawah fk
(U) (L)
50 – 52 5
53 – 55 17 52,5 5 .......... .......
56 – 58 14 .......... ....... .......... 45
59 – 61 10 .......... ....... 55,5 .......
62 - 64 4 61,5 ....... .......... 14
50 .......... 46 .......... .......
1). Menggunakan ogive.
1
Median adalah ukuran tengah. Kita tentukan n pada sumbu frekuensi
2
kumulatif, yaitu ..........
LKS-Mat.XI- 10
Dari titik 25 ditarik garis mendatar 50
memotong ogive di titik A, kemudi- 45
an dari titik A ditarik tegak lurus
memotong sumbu ukuran berat 36 A
di M.
Dengan anggapan bahwa penye- 25
baran ukuran di 55,5-58,5 merata, 22
maka:
Median = 55,5 + 3 .(....... – ......) 5
14
M
= ..............
52,5 55,5 58,5 61,5 64,5
2). Menggunakan histogram. 17 DN C
14
Median adalah suatu ukuran (nilai)
yang membagi data menjadi dua 10
bagian yang sama frekuensinya.
Luas persegi panjang pada histo- 5
gram sebanding dengan frekuensi. 4
Jadi median dapat digambarkan
Suatu titik M pada sumbu menda-
tar (sumbu berat).
Garis MN membagi luas bidang
DCUL berbanding 3 :11, sehing-
ga luas bidang persegi panjang
seluruhnya menjadi dua bagian
yang sama luasnya. 0 LM U
3
Median mempunyai nilai: Md = 55,5 + .(.....) = ............
......
Keterangan :
L = Tepi bawah kelas, U = Tepi atas kelas dan M = median
3). Menggunakan rumus.
Dengan mengikuti langkah-langkah cara menentukan (mencari) median
menggunakan histogram, kita dapat menemukan rumus untuk mencari
median sebagai berikut.
1
Banyaknya ukuran (frekuensi) = n. Tentukan nilai n untuk menentukan
2
kelas median, yaitu kelas terletaknya median.
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median.
fm = Frekuensi kelas median.
L = Tepi bawah kelas median U = Tepi atas kelas median
Perhatikan gambar histogram pada gambar Histogram:
LM : LU = Luas LMND : Luas LUCD
i = 1 n 1n fk
2 2
LM : f k : fm LM x i
fm
1n fk
2
Jadi: Median (Md) = L+ .I
fm
Lihat tabel : ½ n = ....., i = 3 , fk = ...... , L = ........ dan f m = .........
Jadi, Median (Md) = ....... + 25 ....... x ..... = 55,5 +....... = .........
.......
LKS-Mat.XI- 11
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
Tentukan mean, modus dan median dari data di bawah ini!
1. a. 3, 4, 6, 7, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7 b. 7, 8, 3, 5, 7, 4, 6, 7, 3, 6, 3, 7, 8, 3
2. a. Ukuran Sepatu Frekuensi b. Upah Buruh Frekuensi
Siswa Kelas X Ribuan (Rp)
2
32 2 40 – 48 7
33 6
34 10 49 – 57 11
35 5
36 2 58 – 66 17
37 2
38 1 67 – 75 14
39
30 76 – 84 9
85 – 93 5
94 - 102 2
65
d. Kuartil (Q):
Suatu data dapat diurutkan dari yang terkecil s/d terbesar, sehingga Jika banyaknya
ukuran lebih dari atau sama dengan 4 n 4, maka dapat ditentukan tiga ukuran yang
membagi kelompok data yang telah diurutkan menjadi empat kelompok data yang
sama banyaknya.
Ketiga ukuran (nilai) yang membagi kelompok data menjadi 4 bagian sama banyak
tersebut disebut kuartil, diberi lambang Q1, Q2 dan Q3.
1
Q1 = Kuartil bawah , Q1 membagi kelompok ukuran menjadi bagian dengan nilai
4
3
ukuran dari Q1 dan bagian dengan nilai lebih dari Q1.
4
2
Q2 = Kuartil tengah [median (Md) ] , Q2 membagi kelompok ukuran menjadi dengan
4
2
nilai kurang dari Q2 dan bagian dengan nilai lebih dari Q2.
4
3
Q3 = Kuarti atas , Q3 membagi kelompok ukuran mejadi bagian dengan nilai kurang
4
1
dari Q3 dan bagian dengan nilai lebih dari Q3.
4
Kuartil bukan ukuran yang ada hubungannya dengan niai rata-rata, melainkan hanya
sebagai ukuran lokal.
d.1. Kuartil data tunggal:
Ukuran-ukuran diurutkan menurut besarnya mulai dari yang terkecil.
Mula-mula ditentukan Q2 (median), kemudian tentukan Q1, yaitu nilai tengah
dari bagian I (kiri), kemudian tentukan Q3 , yaitu nilai tengah dari bagian II
(kanan).
Q1 Q2 = Md Q3
Masalah 8:
Nilai raport seorang siswa kelas XI untuk 9 bidang mata pelajaran adalah
sebagai berikut : 8, 7, 7, 6, 5, 6, 8, 6, 7. Tentukanlah: Q1, Q2 , Q3. !
Penyelesaian :
Ukuran (data) diurutkan dahulu dengan n = 9.
5, ....., ......, ......, 7, ....., ......, 8, ......
Q1 Me = x5 = 7 Q3
Bagian I ( kiri dari Q2) ada 4 ukuran, maka Q1 = x2 x3 ...... 6 ........
2 .......
Bagian II (kanan dari Q2) ada 4 ukuran, maka Q3 = x7 x8 ...... ...... ........
22
LKS-Mat.XI- 12
Masalah 9 :
Tabel berikut adalah tabel hasil ulangan 40 siswa di suatu sekolah.
Nilai frekuensi
41
56
6 19
79
84
91
f 40
Tentukanlah nilai dari kuartil: Q1, Q2 = Md dan Q3 !
Penyelesaian :
Jumlah data (frekuensi) n = 40
Md= Q2 = x....... x21 ...... ...... .........
....... 2
Q1 = x....... x11 ....... ...... ..........
..... 2
Q3 = x....... x31 ....... 7 ...........
....... .......
d.1. Kuartil data Kelompok:
Seperti menetukan median (Q2) pada data berkelompok, menentukan kuartil
bawah (Q1) dan kuartil atas (Q3) -pun dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu :
1). Dengan ogive. 2). Dengan histogram. 3). Dengan rumus
Khusus untuk langkah menggunakan Ogive dan histogram tidak jauh berbeda
dengan langkah-langkah menentukan Median data kelomppok.
Dapat pula kita gunakan rumus untuk menentukan Kuartil bawah (Q1) dan kuiartil
atas (Q3) sebagai berikut:
1n f k1 3n fk3
4 4
Q1 = L1 + .i dan Q3 = L3 + .i
f q1 fq3
Dimana : L1 = tepi bawah kelas Q1 , L3 = tepi bawah kelas Q3
f k1 = frekuensi kelas sebelum kelas Q1
f k3 = frekuensi kelas sebelum kelas Q3
f q1 = frekuensi kelas yang memuat Q1
f q3 = frekuensi kelas yang memuat Q3
Masalah 10 :
Tabel berikut adalah distribusi frekuensi upah Upah (Rp) f fk1
Buruh pada suatu perusahaan. 40 – 48 7 fq1
Tentukan Nilai Kuartil bawah, dan atas ! 49 – 57 10
58 – 66 15 fk3
Penyelesaian : 67 – 75 12 fq3
Dari data didapat: Lebar kelas (i) = 9 76 – 84 9
Kelas Q1 : 49 – 57 L1 = ........ , fq1 = ....... 85 – 93 5
2
fk1 = ....... 94 - 102
Kelas Q3 : ..... – 84 L3 = ........ , fq3 = ....... 60
fk3 = .......
Jadi:
1n f k1 . i = ....... + ...... ......(......) ....... ......(.....)
4
Q1 = L1 +
fq1 ....... ......
= ........ + ........ = ...........
LKS-Mat.XI- 13
3n fk3 ...... ...... ......
4 (......) (.....)
Q3 = L3 + . i = ....... + .......
fq3 ....... ......
= ......... + ......... = ...........
B.2. UKURAN PENYEBARAN (DISPERSI).
Pengertian ukuran penyebaran (dispersi).
Ukuran pemusatan (tendensisentral) seperti mean, mdian, dan modus merupakan ukuran
yang dapat dipakai sebagai wakil dari sekumpulan data (ukuran).
Tetapi, gambaran yang diberikan kadang-kadang tidak jelas dan kurang banyak
memberikan arti.
Oleh karena itu, perlu diberikan keterangan mengenai penyebaran ukuran itu sendiri yang
disebut ukuran penyebaran (dispersi).
Ukuran dispersi ada beberapa macam, diantaranya adalah :
a. Jangkauan atau range (J):
Jangkauan atau range merupakan ukuran penyebaran yang paling sederhana.
Range sekumpulan data dirumuskan sebagai selisih nilai tertinggi (nilai maksimum)
dan nilai terendah (nilai terendah) data tersebut.
a.1. Range dari data tunggal:
J = Xn – Xo
Masalah 11 :
Tentukanlah range dari nilai : 6, 8, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 7, 7, 9, 10
Penyelesaian:
J = ......... - ......... = .........
a.2. Range dari data kelomppok:
Range dari data berkelompok dapat ditentukan dengan 3 cara:
1). Range= selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
2). Range= selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.
3). Range= selisih batas atas kelas tertinggi dengan batas bawah kelas terendah
Masalah 12 : Upah (Rp) f
Tabel berikut adalah distribusi frekuensi upah 40 – 48 7
Buruh pada suatu perusahaan. 49 – 57 10
Tentukan Nilai jangkauan atau range ! 58 – 66 15
67 – 75 12
Penyelesaian : 76 – 84 9
1. J = Xin – Xio = ........ - ......... = ........ 85 – 93 5
2
2. J = Ln – Lo = ......... - ......... = ........ 94 - 102
60
3. J = Bn – Bo = ......... - 40 = ........
b. Jangkauan semi–inter kuartil (simpangan kuartil) (Qd) :
Range dapat dugunakan sebagai ukuran penyebaran dari nilai data. Akan tetapi
range merupakan ukuran penyebaran yang kurang baik karena range hanya
ditentukan ekstrim saja.
Selain pengertian range diatas ada bentuk range yang laihn yang bisa di pakai
sebagai ukuran penyebaran, yaitu jangkauan semi–interkuartil.
Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah (Q3– Q1)
Hal ini menunjukkan bahwa 50% dari data terletak antara Q3 dan Q1.
Pada umumnya orang lebih suka menggunakan Jangkauan semi-interkuartil yang
dirumuskan dengan Qd = 1 (Q3 – Q1)
2
LKS-Mat.XI- 14
Masalah 13 : Upah (Rp) f fk
Tabel berikut adalah distribusi frekuensi upah 1 – 10 7 7
Buruh pada suatu perusahaan. 11 – 20 9 16
Tentukan Nilai jangkauan atau range ! 21 – 30 12 28
Penyelesaian : 31 – 40 21 49
Q1 = ........ + (...... – 49) . (.....) / 39 = ....... + ........
41 – 50 39 88 Q1
= ..........
Q3 = ........ + (...... – 49) . (.....) / 39 = ....... + ........ 51 – 60 44 132
= .......... 61 - 70 29 161 Q3
71 – 80 18 179
Jadi : Qd = ½ (......... - ........ ) = ........... 14 193
81 - 90 7 200
91 - 100 200
c. Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata (SR) :
Simpangan rata-rata adalah ukuran dispersi yang menyatakan penyebaran nilai-nilai
terhadap mean.
Dispersi suatu data akan kecil jika nilai-nilai tersebut terkonsentrasi pada rata-ratanya.
Sebaliknya, dispersi akan besar jika nilai-nilai (data) tersebar dari rata-ratanya.
c.1. Simpangan rata-rata untuk data tunggal:
Pada data: x1, x2 , x3 , x4 ,.................., xn memiliki rata-rata hitung (mean) = x ,
maka simpangannya dapat dinyatakan dengan:
(x1 - x ), (x2 - x ), (x3 - x ), (x4 - x ),........., (xn - x )
Jumlah harga mutlak untuk simpangan-simpangan itu adalah :
x1 x + x2 x + x3 x + x4 x +...................+ xn x
sehingga simpangan rata-rata seluruh data dapat dirumuskan sebagai :
1 n x1 x atau n
SR = x1 x
n i1
SR = i1
n
Jika suatu data : x1, x2, x3 , x4, .................., xk dengan masing-masing frekuensi
f1, f2, f3, f4, ............, fk disusun dalam bentuk distribusi frekuensi, maka simpangan
rata-rata dapat dirumuskan sebagai :
1 n fi x1 x atau _ dengan n = f
SR = k fi xi x
n i1
SR =
i1 n
Simpangan rata-rata dari suatu data adalah nilai rata-rata hitung dari harga
mutlak simpangan-simpangannya.
Masalah 14 :
tentukan simpangan rata –rata dari : 3, 4, 6, 8, 9.
Penyelesaian:
x = 3 ...... ...... ...... ....... ........
........
3 ...... ...... ...... ....... 6 ...... ...... ...... ......
SR =
..........
= ...... ...... 0 ...... ...... ....... ........
....... .......
LKS-Mat.XI- 15
c.2. Simpangan rata-rata untuk data kelompok:
Pada data berkelompok setiap kelas diwakili oleh titik-titik tengahnya.
Simpangan rata-rata pada data berkelompok adalah simpangan rata-rata titik-titik
tengah interval kelas terhadap mean dari data itu.
Masalah 15 :
Tentukan simpangan rata-rata dari data yang terdapat pada tabel berikut jika
diketahui rata-rata hitung tinggi siswa adalah x = 149,5.
Hasil pengukuran tinggi badan siswa kelas II.
No Nilai Titik tegah (xi) f xx f. x x
1 130 - 134 132 1 x 149,5 17,5
2 135 - 139 .............. 2 25
3 140 - 144 .............. 5 17,5 ..............
4 145 - 149 .............. 6 .............. 15
5 150 - 154 .............. 10 ..............
6 155 - 150 6 7,5 ..............
7 160 - 164 157 2 .............. ..............
.............. 32 190
Penyelesaian: 2,5
n = f ....... , f . x x ........ , x = 149,5. ..............
..............
f . x x = ........... ..........
SR =
n ......
d. Simpangan baku ( Deviasi standar ) ( S ):
Simpangan baku dari suatu data ialah akar dari jumlah kuadrat simpangan dibagi
dengan banyak data, atau akar dari nilai rata-rata deviasi standar. Jika data-nya : x1,
x2, x3, x4, ......, xn , maka simpangan bakunya dirumuskan sebagai :
n_ S = _
(xi x)2 atau (xi x)2
S = i1 n
n
Jika datanya terdiri atas sekelompok ukuran : x1, x2, x3, x4, ......xk, dan masing-masing
frekuensi f1, f2, f3, f4, ...... , fk, maka :
n_ S = _
fi.(xi x)2 f .(xi x)2
S = i1
n atau n ,dengan n = f
Masalah 16 : Lihat tabel berikut. Tabel ukuran jari tengah.
Panang (x) Frekuensi xi x xi x f. xi x 2
(f)
xi 9,80 xi 9,802 f. xi 9,802
8,0 1 -1,8 ............ 3,24
............
8,5 6 ............ ............ ............
9,0 9 ............ 1,8
............
9,5 20 -0,3 0,09 ............
............
10 27 ............ ............
5,78
10,5 8 ............ ............ ............
11,0 7 ............ ............
11,5 2 1,7 ............
80
LKS-Mat.XI- 16
Penyelesaian:
f x x 2 ...........
S = = = .............. = .............. = ..........
n ........
Penyederhanaan rumus simpangan baku:
x x 2 x , x2 n.x2
S= , x=
nn
S 2 x x
n
x2 2x.x x2 = x2 2 x .x x2 = x2 2 x . x n.x2
nn n n nn n
=
n
S2 = x2 2 x 2 x 2 Maka, S = .x2 x 2
n 2 n n n
Jika frekuensi untuk masing –masing nilai dinyatakan dengan f1, f2, f3, f4, ......, fn
(bila data tunggal berbobot), maka:
S = f .x2 f .x 2
n n
Untuk menghindari bilangan-bilngan besar, digunakan deviasi sementara (simpangan
sementara ) sehingga rumus simpangan menjadi
S = f .d 2 f .d 2
n n
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Hasil pengamatan suatu jenis barang C sebanyak 40 kotak tercatat dalam Kg yang
terdekat adalah sebagai berikut:
127, 146, 143, 119, 152, 146, 159, 147, 164, 137, 149, 139, 142, 159, 151, 139, 130, 135,
177, 145, `32, 156, 135, 144, 14\52, 167, 157, 162, 140, 134, 140, 145, 149, 166, 171,
156, 125, 176, 154, 146.
Tentukan : a. Range c. Buat kurva ogive-nya.
b. Tabel distribusi frekuensinya. d. Nilai dari Kuartil & Simpangan kuartil.
2. Diketahui data tunggal: 10, 9, 8, 10, 12, 15, 6, 10
Tentukan nilai dari:
a. Jangkauan c. Simpangan rata-rata
b. Simpangan kuartil d. Simpangan baku.
3. Dari tabel distribusi berkelompok berikut, tentukanlah: Interval f
a. Jangkauan (Range). 80 – 84 2
b. Simpangan kuartil. 75 – 79 3
c. Simpangan rata-rata. 70 – 74 6
d. Simpangan baku. 65 – 69 11
60 – 64 12
55 – 59 4
50 – 54 3
45 – 49 2
40 – 44 1
35 – 39 2
30 – 34 1
1
25 - 29
48
LKS-Mat.X-2- 17
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
14
1. Jika nilai rata-rata dari data : 3, 7, x, 12, 9, 2, -3, 7, 11, 10, y, 4, 6, 8, 5 , adalah , maka nilai
3
x + y = .....
a. 6 b. 4 c. 3 d. -4 e. -11
2. Rata-rata 15 bilangan adalah 26,8. Rata-rata bilangan yang pertama adalah 25, sedangkan
rata-rata enam bilangan kedua adalah 30. Bilangan yang kelima belas adalah............
a. 28 b. 26 c. 24 d. 22 e. 20
3. Modus dari data di samping ini Nilai 3-5 6-8 9 - 11 12 - 14
adalah .......... f 5 7 10 8
a. 71,25 b. 72,34 c. 72,79 d. 74,24 e. 79,41
4. Kuartil ke-3 dari data di sam - Nilai 30 -39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79
ping ini adalah ..........
f 2 6 13 4 1
a. 58 b. 58,4 c. 59 d. 59,6 e. 69
5. Simpangan baku dari data: 5, 5, 5, 4, 4, 7, 6, 7, 8, 9. adalah ........................
26 26 14 14 26
a. b. c. d. e.
10 9 9 8 11
6. Simpangan baku dari data: 5, 10, 9, 5, 5, 10, 9, 15, 6, 10, 7, 10, 8, 10, 9, 7, 9, 10, 8, 15.
adalah ..................
a.2,35 b. 2,45 c. 2,56 d. 2,66 e. 2,76
7. Median dari data di samping ini Nilai 2- 5 6 - 9 10 - 13 14 - 17 18 - 21
f 35
adalah .......... 943
c. 11,27
a. 11 b. 11,2 d. 11,28 e. 12,4
8. Modus dari data di samping ini Nilai 2-5 6-9 10 - 13 14 - 17
adalah .......... f 2 6 13 16
e. 8,5
a. 10,51 b. 10,5 c. 9,6 d. 9
e. 0,5
9. Simpangan rata – rata dari data: 6, 7, 8, 3, 9, 5, 6, 4 adalah ........................
e. 3 2
a. 3 b. 2 c. 1,5 d. 1 2
10. Simpangan baku dari data: 10, 6, 6, 2, 4, 8 adalah..............................
a. 6 2 b. 2 2 c. 2 d. 2
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan Nilai rata-rata data Nilai 0 - 2 3 - 5 6 – 8 9 - 11 12 - 14 15 – 17
di samping !
f 21 4 7 2 3
2. Tentukan: Nilai 6 - 10 11 - 15 16 – 20 21 - 25 26 - 30 31 – 35 36 – 40
a. Modus b. Median f 3 12 24 36 24 2 9
3. Tentukan Nilai dari: Nilai 5 - 9 10 -14 15-19 20-24 25-29 30-34
a. Simpangan rata-rata. f 1 5 4 7 19 14
b. Simpangan baku.
4. Seorang siswa mengambil 10 mata pelajaran dengan nilai rata-rata 6,5. Dua dari 10 mata
pelajaran itu tidak lulusdengan nilai 4 dan 5. Ke-dua mata pelajaran itu harus diulang
kembali, setelah diulang nilainya menjadi 6 dan 7. Tanpa mengikut-sertakan nilai yang tidak
lulus, berapa nilai rata-rata siswa tersebut setelah perbaikan ?
Standar Kompetensi
Menggunakan aturan Statistika dalam menyajikan dan meringka data dengan
berbagai cara serta memberi tafsiran; menyusun, dan menggunakan kaidah
pencacahan dalam menentukan banyak kemungkinan; dan menggunakan aturan
peluang dalam menentukan dan menafsirkan peluang kejadian majemuk.
A. KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI
Kompetensi Dasar : 1.3. Menyususn dan menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan
kombinasi dalam pemecahan masalah.
A.1. KAIDAH PENCACAHAN (PRINSIP PERKALIAN).
Pengalaman Belajar:1.3.1. Menggali informasi tentang aturan pengisian tempat yg kosong
1.3.2. Mendiskusikan dan mendefinisikan pengertian faktorial.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut kaidah pencahahan, permutasi dan
kombinasi diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali
informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun
media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Jika untuk terjadinya suatu peristiwa, memerlukan beberapa peristiwa secara berantai,
missalnya: Kejadian pertama dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian ke-dua dapat terjadi
dengan n2 cara, kejadian ke-tiga dapat terjadi dengan n3 cara, dan seterusnya hingga
kejadian ke z dapat terjadi dengan np cara, maka keseluruhan kejadian berantai tersebut
dapat terjadi dalam ( n1 . n2 . n3 . ... . np ) cara.
Contoh 1 :
Dari enam (6) buah bilangan yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, akan disusun menjadi bilangan
yang terdiri dari tiga angka.
Berapa banyak susunan yang dapat dibuat jika:
a. Boleh ada angka yang sama b. Tidak boleh ada angka yang sama.
Penyelesaian: I II III
a. Perhatikan tiga susunan kotak, di samping:
Kotak I : Tempat untuk angka yang mewakili ratusan.
Dapat dipilih salah satu angka dari 6 angka yang tersedia. (Ada ..... cara)
Kotak II : Tempat untuk angka yang mewakili ...................
Dapat dipilih salah satu angka dari ..... angka yang tersedia. (Ada ..... cara)
Kotak III: Tempat untuk angka yang mewakili ...................
Dapat dipilih salah satu angka dari .... angka yang tersedia. (Ada ..... cara)
Jadi, banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah: 6 x ..... x ...... = 216 bilangan.
b. Perhatikan tiga susunan kotak, di samping: I II III
Kotak I : Tempat untuk angka yang mewakili ratusan.
Dapat dipilih salah satu angka dari ..... angka yang tersedia. (Ada ..... cara)
Kotak II : Tempat untuk angka yang mewakili ...................
Dapat dipilih salah satu angka dari 5 angka yang tersedia. (Ada ..... cara)
Kotak III: Tempat untuk angka yang mewakili ...................
Dapat dipilih salah satu angka dari .... angka yang tersedia. (Ada ..... cara)
Jadi, banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah: ...... x ..... x ...... = 120 bilangan.
LKS-Mat.XI- 18
LKS-Mat.XI- 19
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahami
permasalahan berikut ini:
Masalah 1:
Untuk membentuk pengurus baru suatu organisasi melalui pemilihan, tersedia 2 orang
calon ketua, 3 orang calon sekretaris, dan 2 orang calon bendahara.
Dalam berapa cara susunan pengurus itu dapat dipilih jika setiap calon hanya dapat dipilih
untuk jabatan yang sesuai ?
Penyelesaian: Ketua Sekretaris Bendahara
Perhatikan tiga posisi pengurus, sebagai berikut:
2 32
Memilih ketua dapat dilakukan dengan ....... cara.
Memilih sekretaris dapat dilakukan dengan ...... cara.
Memilih bendahara dapat dilakukan dengan ..... cara.
Jadi, susunan pengurus yang mungkin terbentuk ada: ....... x ........ x ........ = ........
FAKTORIAL:
Definisi: Hasil Perkalian semua bilangan Asli dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial.
Dan dilambangkan dengan: n ! = 1 . 2 . 3 . 4 . ... (n -2) . (n -1) . n
n ! = n . (n -1) ! atau n! n
(n 1)!
1!=0!=1
Masalah 2:
Hitunglah, beberapa hubungan berikut ini :
a. 4! b. 2! + 4! – 3! c. 3! . 5! c. 9! d. 7!
5! 3!4!
Penyelesaian :
a. 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
b. 2! + 4! – 3! = (1 x 2) + ( 1 x .... x .... x 4 ) – ( .... x .... x .... )
= 2 + ...... - ...... = ...... - ......
c. 3! . 5! = ( 1 x .... x .... ) . ( 1 x .... x ...0. x .... x .... ) = ...... x ...... = ......
d. 9! 1x....x....x....x5x....x....x....x9 ....x....x....x9 .......
5! 1x....x....x....x5
e. 7! 1x....x....x....x5x....x.... . 5x....x.... 5x..... .......
3!.4! (1x....x....)(....x....x....x4) 1x....x....
A.2. PERMUTASI.
Pengantar materi:
Permutasi adalah suatu aturan menyusun semua atau sebagian anggota/elemen/unsur
suatu anggota himpunan dengan tetap memperhatikan urutan
(susunan)-nya. (Maksudnya: AB dengan BA berbeda).
A.2.1. Permutasi k unsur dari n unsur:
Permutasi yang dapat terjadi dari n unsur yang ada dan akan disusun dalam k
unsur, dilambangkan (dinotasikan) dengan: n P k atau P (n , k)
n!
n P k = (n k)!
LKS-Mat.XI- 20
Sedangkan Permutasi n unsur dari n unsur yang ada, terdefinisi: n P n = n !
Diskusikan dengan kelompk belajar anda, masalah berikut ini !
Masalah 3:
Dari 5 orang siswa, akan dipilih 2 orang untuk menjadi Ketua Kelas dan Sekretaris.
Ada berapa pasangan (cara memilih) yang mungkin dapat dilakukan ?
Penyelesaian:
Karena pasangan yang terpilih dapat menempati posisi yang bergantian (dibolak-
balik berbeda maknanya) maka cara pemilihan tersebut merupakan pola
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia, sehingga:
5P2= .....! .....! .....x.....x.....x.....x5 .....x..... .....
(5 .....)! 3! .....x.....x.....
Masalah 4:
Dari 10 orang siswa, akan dipilih untuk menjadi Pengurus Kelas yang terdiri dari
Ketua Kelas, Sekretaris dan Bendahara. Ada berapa pasangan (cara memilih)
yang mungkin dapat dilakukan ?
Penyelesaian:
Permutasi 3 unsur dari 10 unsur yang tersedia, sehingga:
10 P 3 = .....! .....! .....x.....x.....x.....x5x....x....x....x....x.... .....x.....x..... .....
(10 .....)! .....! .....x.....x.....x4x.....x.....x.....
A.2.2. Permutasi n unsur yang mengandung k elemen yang sama:
Jika dari n unsur terdapat beberapa unsur yang sama, yaitu p unsur yang sama, q
unsur yang sama, r unsur yang sama dan seterusnya, maka Banyaknya Permutasi
yang tersusun, terdefinisi dalam :
n!
Pn p , q, r , ....... =
p!.q!.r!.........
Masalah 5:
Dari susunan huruf pada kata “PALAPA“, ada berapa susunan huruf yang dapat
dibuat ?
Penyelesaian:
Dari kata PALAPA, dapat diidentifikasi bahwa huruf P ada 2, A ada 3 dan L ada 1,
jumlah huruf semuannya ada 6.
Sehingga Banyaknya susunan huruf yang mungkin terjadi dapat ditentukan
dengan pola Permutasi n unsur dengan beberapa elemen yang sama, sbb:
6 P 3,2,1 = ......! .....x.....x3x.....x.....x..... .....x.....x..... ...... ......
.....!.2!.....! (.....x.....x3)(.....x.....).1 .....x..... ......
A.2.3. Permutasi Siklis:
Permutasi siklis adalah Permutasi yang susun elemen-elemennya mengikuti
kaidah urutan melingkar, dan
Permutasi Siklis dari n unsur yang berbeda didefinisikan : P = (n – 1)!
Masalah 6:
Dalam suatu rapat yang akan dihadiri oleh 6 utusan menggunakan media
komunikasi tempat duduk mengelilingi sebuah meja. Ada berapa cara duduk yang
dapat terjadi ?
Penyelesaian:
Karena mereka harus duduk melingkar, maka Kemungkinan cara duduk
merekadapat ditentukan dengan Permutasi siklis dari 6 unsur berbeda:
P = (6 – 1) ! = ..... ! = .... x .... x .... x .... x 5 = ..........
LKS-Mat.XI- 21
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Dari himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka Tentukan banyaknya bilangan yang
dapat disusun terdiri dari 4 angka, jika dipersyaratkan:
a. Tidak boleh ada angka yang berulang.
b. Boleh ada angka yang berulang.
c. Bilangan yang dibentuk genap, tanpa pengulangan.
d. Bilangan yang dibentuk antara 2000 sampai 5000, tnpa pengulangan.
2. Berapa banyak bendera yang dapat dibuat dengan menggunakan 3 warna
yang berbeda dari 6 kain dengan warna yang berbeda, maing-masing dengan
ukuran yang sama ?
3. Tiga buah botol minuman merk A, B dan C, akan disusun berjajar. Tentukan
banyaknya susunan yang mungkin dapat terjadi !
4. Terdapat 5 buku matematika, 4 buku fisika dan 3 buku kimia akan disusun
dalam rak yang dapat memuat semua buku. Berapa susunan yang mungkin,
jika: a. Buku sejenis saling berdampingan.
b. Buku-buku fisika saja yang saling berdampingan.
5. Jika huruf-huruf pada kata-kata berikut ditukar tempatnya, ada berapa macam
susunan huruf berbeda yang mungkin terjadi?
a. BANDUNG b. MISSISIPPI
6. Dengan tanpa mengurangi angka pada bilangan ”3442124”, Tentukan:
a. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk.
b. Banyak bilangan yang dapat dibentuk jika angka 1 harus selalu di
belakang.
7. Ada 9 kursi yang berbeda akan disusun secara melingkar. Berapa macam poisi
tempat duduk yang mungkin tersusun?
8. 5 pria dan 4 wanita akan duduk secara melingkar. Berapa macam posisi duduk
mereka jika dua orang yang jenis kelaminnya sama tidak boleh duduk
berdekatan ?
9. Sekumpulan siswa terdiri dari 3 laki-laki dan 2 perempuan:
a. Berapa macam formasi duduk berjajar yang mungkin terjadi jika
perempuan harus berdekatan ?
b. Berapa macam formasi duduk melingkar yang mungkin terjadi jika laki-
laki harus berdekatan ?
10. Tentukan banyaknya bilangan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda yang
dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 ?
A.3. KOMBINASI.
Pengantar materi:
Kombinasi adalah suatu aturan menyusun semua atau sebagian anggota/elemen/unsur
suatu anggota himpunan dengan tanpa memperhatikan urutan
(susunan)-nya. (Maksudnya: AB dengan BA sama saja).
Kombinas k unsur dari n unsur:
Kombinasi yang dapat terjadi dari n unsur yang ada dan akan disusun dalam k unsur,
dilambangkan (dinotasikan) dengan: n C k atau C (n , k)
nCk= n! n Pk
(n k)!.k! k!
Masalah 7:
Dalam suatu kelompok yang terdiri dari 10 siswa akan dipilih untuk menjadi tim inti Bola
Volley :
a. Ada berapa cara yang dapat dilakukan untuk memilih tim tersebut?
b. Berapa cara dapat dilakukan pemilihan jika dua orang siswa harus selalu dipilih?
LKS-Mat.XI- 22
Penyelesaian:
a. Karena yang dipilih obyek hidup yang tidak memandang tempat/posisi maka
Banyaknya cara pemilihan dapat ditentukan dengan kaidah Kombinasi, sebagai
berikut:
C (10, 6) = 10 C 6 = 10! .....! 7x.....x.....x..... ...... .....
(..... 6)!x.....! .....!x......! .....x.....x.....x4 ......
b. Karena yang dua sudah pasti dipilih, maka tinggal memilih 4 orang dari 8 orang yang
tersedia, sehingga berlaku:
C (8, 4) = 8 C 4 = 8! .....! 5x.....x.....x..... ...... .....
(..... 4)!x.....! .....!x......! .....x.....x.....x4 ......
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Diketahui A = {a, b, c, d, e} . tentukan banyaknya himpunan bagian dari A yang terdiri
dari 3 elemen ?
2. Dalam suatu tes, seorang siswa diwajibkan mengerjakan 4 soal dari 8 soal yang
disediakan:
a. Tentukan banyaknya jenis cara memilih soal yang mungkin untuk dikerjakan.
b. Tentukan banyaknya jenis piliughan soal yang mungkin dikerjakan jika soal
nomor 7 dan 8 wajib dipilih?
3. Dalam suatu acara jamuan makan malam dihadiri 40 orang, dalam acara ada kegiatan
sling bersalaman. Berapa banyak slaman yang terjadi (dilakukan) seluruhnya ?
4. Berapa banyak team sepak bola dapat dibentuk oleh seorang pelatih dari 15 orang
pemain handal yang tersedia ?
5. Dalam suatu pentas kesenian terdapat 2 macam kreai tari yang masing-masing
memerlukan 3 penari dan 4 penari.
Berapa cara penyusunan formasi penari yang dapat dibentuk dari 10 penari yang ada,
jika tidak ada satu penaripun yang merangkap dua jenis tarian tersebvut ?
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Jika akan dibentuk bilangan dengan 3 angka dari angka 2, 3, 7, dan 8 maka banyaknya
bilangan yang dapat dibentuk adalah ............
a. 6 b. 13 c. 24 d. 36 e. 42
2. A = B C = D. Gambar di samping menunjukkan jalur perjalanan dari kota A ke kota D,
maka banyaknya jalur perjalanan dari kota A menuju kota D kembali ke A lagi adalah .....
jalur
a. 144 b. 112 c. 96 d. 12 e. 7
3. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk antara 100 s/d 500 dari angka 3, 4, 6, 8 dan
tidak boleh ada angka yang sama adalah ...........
a. 4 b. 12 c. 24 d. 32 e. 64
4. Banyak permutasi dari ”SIKLIS” adalah ........
a. 180 b. 120 c. 84 d. 62 e. 48
5. Lima buiah buku masing-masing buku KIMIA, MATEMATIKA, BIOLOGI, FISIKA dan
BAHASA akan disusun pada satu tumpukan. Banyaknya cara untuk menyusun buku-buku
tersebut adalah ...........
a. 120 b. 115 c. 100 d. 90 e. 85
6. Dalam sebuah rapat pengurus kelas yang diikuti oleh 6 orang, Banyaknya cara mereka
duduk melingkar bila Ketua dan sekretaris harus selalu berdampingan adalah ........
a. 48 b. 96 c. 120 d. 240 e. 720
7. Tujuh botol disusun dalam posisi melingkar. Dari botol-botol tersebut terdapat 2 botol A
dan 3 botol B. Banyaknya cara menyusun botol tersebut jika botol A tidak boleh saling
berdekatan adalah ………
a. 120 b. 243 c. 12 d. 6 e. 4
LKS-Mat.XI- 23
8. Dari 10 siswa akan dipilih 3 siswa untuk mengikuti lomba. Banyaknya cara memilih yang
dapat dilakukan adalah .......
a. 164 b.120 c. 84 d. 30 e. 7
9. Ada 6 cat dengan warna berbeda. Dua buah cat dapat dicampur untuk menghasilkan
warna yang baru. Banyaknya warna baru yang dapat terbentuk adalah ..........
a. 12 b. 15 c. 22 d. 30 e. 35
10. Dari 14 orang pelamar terdiri 8 pria dan 6 wanita, akan dipilih 6 orang terdiri dari 4 pria
dan 2 wanita. Banyaknya cara melakukan pemilihan yang mungkin terjadi adalah .......
a. 584 b. 625 c. 975 d. 1.050 e. 1.125
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Terdapat 5 celana, 4 kaos, dan 2 topi.
Jika Budi akan mengenakan 1 celana, 1 kaos dan 1 topi bersama-sama, maka Tentukan
banyaknya cara memilih pasangan yang mungkin untuk dipakai Budi!
2. Terdapat 4 botol A dan 5 botol B, akan disusun secara berjajar, maka Tentukan:
a. Banyaknya susunan berbeda yang mungkin terjadi!
b. Banyaknya susunan berbeda jika botol B harus berdekatan !
3. Dari 5 siswa putra dan 4 siswa putri akan dipilih 3 orang. Berapa banyaknya pilihan
berbeda yang mungkin jika 3 orang tersebut banyaknya siswa putraharus lebih besar
daripada siswa putri?
B. TEORI PELUANG.
Kompetensi Dasar : 1.4. Merumuskan dan menentukan peluang kejadian dari berbagai
situasi serta tafsirannya.
Pengalaman Belajar : 1.4.1. Menggali informasi tentang kejadian sederhana, & ruang sampel
1.4.2. Mendiskusikan dan menentukan peluang suatu kejadian dari ber-
bagai situasi.
1.4.3. Mendiskusikan cara menentukan kisaran peluang.
1.4.4. Mendiskusikan/menentukan peluang komplemen suatu kejadian.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan
matematika yang menyangkut Teori Peluang suatu kejadian diharapkan peserta didik secara
mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
B.1. TEORI PELUANG.
Pengantar materi:
Bila terjadi suatu kejadian tentunya dapat dimungkinkan ada kejadian lain yang memiliki
keterkaitan dengan kejadian sebelumnya, missal: Kejadian mati pasti ada kejadian lain
yaitu hidup. Hal ini akan selalu ada dalam suatu sistem kehidupan. Untuk itu agar
pemahaman terhadap Peluang suatu kejadian menjadi lebi baik, perlu dipahami beberapa
hal sebagai berikut:
a. Ruang Sampel.
Dalam suatu kejadian atau perlakuan/percobaan dimungkinkan muncul atau terjadi
banyak (n) kejadian yang mungkin terjadi.
Himpunan yang anggotanya merupakan hasil/kejadian yang mungkin dari suatu
percobaan/perlakuan dikenal dengan Ruang Sampel (S).
Missal:
a.1. Dalam suatu kegiatan melempar sebuah dadu sebanyak 1X.
Maka mata dadu yang mungkin muncul/keluar adalah: mata 1, 2, 3, 4, 5, & 6
Jadi banyaknya anggota ruang sampel [n(S)] adalah 6 dan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
a.2. Pada pelemparan 2 buah mata uang logam sebanyak 1X. {A: Angka, G: Gambar}
Maka pasangan mata uang logam yang mungkin muncul adalah:
AG
A (A, A) (A, ….) S = { (A, ….) ; (…., …..) ; (….., A) ; (….., G) }
G (…., A) (G, ….) n(S) = ……..
LKS-Mat.XI- 24
b. Kejadian.
Suatu peristiwa yang merupakan himpunan bagian dari himpunan Ruang Sampel
(atau peristiwa yang dikehendaki terjadi dari beberapa peristiwa lainnya).
Missal:
Dalam pelemparan sebuah dadu sebanyak 1 X, maka:
A adalah Kejadian muncul mata dadu 4, sehingga:
A={4} n(A) = ……
B adalah Kejadian muncul mata dadu bilangan Prima, sehingga:
B = {2, …, ….} n(B) =........
c. Peluang suatu kejadian.
Peluang suatu kejadian dapat diartikan Nilai yang menyatakan tafsiran kemungkinan
kejadian itu dapat terjadi.
Peluang suatu kejadian A didefinisikan : P(A) = n( A)
n(S )
Di mana: P(A) = Peluang terjadinya kejadian A.
n(A) = Banyaknya kejadian A terjadi.
n(S) = Banyaknya anggota ruang sampel.
Perlu diperhatikan bahwa rentang atau kisaran nilai peluang [ P(A) ] terletak pada
interval: 0 P(A) 1 , Dengan ketentuan bahwa:
1. Jika P(A) = 0, maka kejadian A tidak mungkin terjadi (Mustahil).
2. Jika P(A) = 1, maka kejadian A merupakan kejadian Pasti terjadi.
Diskusikan masalah berikut ini dengan kelompok belajar anda!
Masalah 8:
Pada peristiwa pelemparan sebuah dadu sebanyak 1 kali. Tentukan Peluang muncul:
a. Mata dadu bilangan ganjil.
b. Mata dadu yang nilainya kurang dari 5.
Penyelesaian:
Dadu dilempar 1X, maka n(S) = 6 dan:
a. A = muncul mata dadu bilangan ganjil A = {1, 3, 5} sehingga n(A) = 3
P(A) = n(A) ....... .......
n(S) ....... .......
b. B = muncul mata dadu kurang dari 5 B = {1, 2, 3, 4} sehingga n(B) = 4
P(B) = n(B) ....... .......
n(S) ....... .......
Masalah 9:
Dari seperangkat kartu Bridge (Remi) akan diambil sebuah kartu secara acak.
Tentukan Peluang terambil kartu:
a. As b. Hati
Penyelesaian:
Kartu bridge pada hakekatnya terdiri dari 4 jenis kartu, yaitu: Hati, Wajik, Kriting, dan
Gunung, Masing-masing seri terdiri dari 1 As, 1 King, 1 Queen, 1 jack dan 9 kartu
biasa sehingga jumlah setiap seri 13 kartu.
Jadi dalam satu set kartu Bridge terdapat 4 x 13 kartu = 52 n(S) = .........
a. n(As) = …… P(As) = n( As) ....... .......
n(S) ....... .......
b. n(Hati) = ....... P(Hati) = n(Hati) ....... .......
n(S) ....... .......
LKS-Mat.XI- 25
Apabila dalam suatu peristiwa A terdapat n objek pertama dan m objek ke-dua,
kemudian diambil k objek secara acak, maka Peluang terambilnya n1 objek pertama
dan m1 objek ke-dua didefinisikan dalam :
P(A) = n Cn1 .m Cm1 , k = n1 + m1
C(n m) k
Masalah 9:
Dalam sebuah kotak terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Jika diambil 3
kelereng sekaligus, maka Peluang terambil 2 kelereng merah , 1 kelereng putih
adalah…….
Penyelesaian:
Missal : n = 5 , m = 3 dan n1 = 2 , m1 = 1
Maka P(2,1) = 5C2.3 C1 = .....x..... ....... .......
8C3 ...... ....... .......
d. Peluang komplemen suatu kejadian.
Peluang komplemen suatu kejadian merupakan peluang dari suatu kejadian yang
menjadi lawan atau kebalikan dari suatu kejadian yang ada.
Missal: A = muncul mata dadu bilangan genap, maka:
Ac (A komplemen) adalah kejadian bukan A
Dengan mendasarkan diri pada kisaran nilai peluang maka dapat ditarik hubungan,
sebagai berikut: P(Ac) = 1 – P(A)
Masalah 10:
Dua mata uang logam dilempar satu kali, Peluang muncul :
a. minimal satu gambar b. tidak ada gambar yang muncul.
Penyelesaian:
Dari 2 mata uang logam dilempar satu kali: n(S) = 4
a. A = minimal muncul satu gambar n(A) = 3 sehingga P(A) = ......
......
b. Tidak ada gambar yang muncul berarti Bukan A = Ac
P(Ac) = 1 – P(A) = 1 - ...... = ......
...... ......
e. Frekuensi Harapan suatu kejadian.
Dalam suatu percobaan atau perlakuan yang sama dilakukan berkali-kali (n kali),
maka Frekuensi harapan untuk terjadinya suatu kejadian A, didefiniskan sebagai Nilai
peluang kejadian A dikalikan n kali percobaannya, atau:
Fh (A) = n . P(A)
Masalah 11:
Sebuah dadu dilempar sebanyak 300 kali, tentukan Frekuensi harapan muncul mata
dadu 4 ?
Penyelesaian:
n(S) = ....... , n = 300 dan P(4) = ...... ...... = .........
maka Fh(4) = ........ x
...... ......
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang:
a. terambil kartu King. b. terambil kartu hitam c. terambil kartu As merah
2. Dua buah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang muncul mata dadu:
a. jumlahnya kurang dari 10. b. Jumlahnya sembilan.
3. Sebuah kantong berisi 7 bola merah dan 3 bola putih. Dari kantong akan diambil satu
bola secara acak tanpa pengembalian dan diambil satu bola lagi. Tentukan peluang
bahwa bola yang diambil pada pengambilan ke-dua merah, jika:
a. bola yang terambil pertama merah.
b. bola yang terambil pertama putih.
LKS-Mat.XI- 26
4. Peluang seorang anak terjangkit malaria adalah 0,01. Tentukan banyaknya anak yang
diperkirakan terjangkit malaria di antara 100.000 anak, dan tentukan pula peluang
anak yang tidak mungkin terjangkit malaria !
5. Dua buah dadu dilempar 150 kali. Berapakah Frekuensi harapan munculnya:
a. Mata dadu berjumlah 10. b. mata dadu kembar.
6. Sebuah kotak berisi 4 bola hijau, 3 bola putih. Jika diambil 2 bola sekaligus, tentukan
peluang bola terambil:
a. ke-duanya hijau b. ke-duanya putih c. satu hijau dan satu putih.
7. Tiga mata uang logam dilempar 120 kali. Tentukan frekuensi harapan muncul 2 angka
dan 1 gambar?
8. Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilempar bersama-sama. Tentukan:
a. Ruang sampel b. P(2, Angka) c. P(Genap, Gambar)
B.2. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK.
Peluang kejadian majemuk merupakan Peluang serentetan kejadian yang berbeda akan
tetapi diminta terjadi dalam waktu yang bersamaan.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
a. Kejadian saling Lepas / Asing.
Pengantar materi:
Kejadian A dan B disebut saling lepas (saling asing) jika A dan B tidak dapat terjadi
bersama-sama. Dengan kata lain, dua kejadian A dan B saling lepas jika A dan B
tidak mempunyai titik sampel persekutuan, sehingga A B = maka P(A B) = 0
Jika A dan B dua kejadian yang saling lepas maka: P(A U B) = P(A) + P(B)
Masalah 12:
Pada percobaan melemparkan dua buah dadu. Tentukan peluang muncul mata dadu
berjumlah 6 atau berjumlah 10.
Penyelesaian:
n(S) = 36 n(+6) = ....... , yaitu: (1, ....) ; ( ...., 4) ; (3, .....) ; (....., 2) ; (....., 1)
n(+10) = ....... , yaitu: (4, .....) ; (...., 5) ; (....., 4)
maka P(+6 U +10) = P(+6) + P(+10) = ...... ...... ......
...... ...... ......
b. Kejadian saling Bebas.
Pengantar materi:
Menurut pengertian sehari-hari, dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya
(atau tidak terjadinya) kejadian yang satu tidak mempengaruhi terjadinya (atau tidak
terjadinya) kejadian yang lain.
Jika A dan B dua kejadian yang salaing bebas maka : P(A B) = P(A) . P(B)
Masalah 13:
Pada percobaan melemparkan sekeping uang logam sebanyak 3 kali.
A adalah kejadian muncul gambar (G) pada lemparan pertama.
B adalah kejadian muncul gambar (G) pada lemparan ke-dua.
C adalah kejadian muncul 2 gambar (G) berturut-turut.
Tentukan peluang dari: a. P(A B) b. P(A C)
Penyelesaian:
S = {(A, A, A) ;(A, A, G) ;( A, G, A) ;(G, A, A) ;(A, G, G) ;(G, A, G) ;(G, G, A) ;(G, G, G)}
n(S) = ……
A = { (G, A, A) ;(G, A, G) ;(G, G, A) ;(G, G, G)} n(A) = …... maka P(A) = .....
.....
LKS-Mat.XI- 27
B = { (G, G, A) ;(G, G, G) ;(A, G, G) ;( A, G, A)} n(B) = …… maka P(B) = .....
.....
C = { (G, G, A) ; (A, G, G) } n(C) = …… maka P(C) = .....
.....
A B = { (G, G, G) ; (G, G, A) }
n(A B) = ……..
A C = { (G, G, A) } n(A C) = ……..
B C = { (G, G, A) ; (A, G, G) } n(B C) = ……..
a. P(A B) = ...... ...... = P(A) . P(B) A dan B saling bebas.
...... 4
b. P(A C) = ...... ...... = P(A) . P(C) A dan C saling bebas.
...... 8
c. Kejadian Bersyarat (Kondisional).
Pengantar materi:
Peluang seorang siswa yang dipilih secara acak dari seluruh peserta ujian akhir SMA
mendapat nilai 6 untuk Matematika (Lulus) berbeda dengan peluang seorang siswa
dipilih secara acak dari seluruh peserta ujian akhir yang mendapat nilai matematika 6.
Dalam kasus ini, kita berbicara tentang peluang kejadian bersyarat, yaitu Peluang
bahwa seorang peserta ujian mendapat nilai 6 untuk matematika jika diketahui
(dengan syarat) peserta tersebut lulus ujian akhir SMA.
Peluang kejadian bersyarat didefinisikan:
Jika A dan B kejadian dalam ruang sampel S dengan P(B) 0, maka Peluang
bersyarat kejadian A dengan syarat B, dinyatakan:
P(A B)
P(A/B) =
P(B)
Masalah 14:
Pada percobaan melempar dadu (merah dan putih) satu kali. Jika ditentukan jumlah
mata dadu sebanyak-banyaknya 5 atau diberi notasi m + p 5, Tentukan peluang
bahwa mata dadu merah menunjukan 2 atau m = 2.
Penyelesaian:
B = kejadian m + p 5 = {(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(3,1);(3,2);(4,1)}
n(B) = ...... maka P(B) = ......
......
A = kejadian m = 2 = {(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6)} n(A) = ..... maka P(A) = ......
......
A B = { (2,1) ; (2, 2) ; (2, 3) } n(A B) = ……. Maka P(A B) = ......
......
.....
Jadi : P(A/B) = ..... = ...... x ...... ......
..... ...... ...... ......
.....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sebuah kartu akan diambil dari seperangkat kartu Bridge. Berapakah peluang terambil
satu kartu merah atau satu kartu king?
2. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar bersama-sama satu kali. Berapa
peluang muncul mata dadu 3 atau 6 dan muncul gambar pada mata uang ?
LKS-Mat.XI- 28
3. Budi dan Adi masing-maing duduk di kelas X SMA dan Kelas XI SMA. Peluang Budi
naik kela adalah 0,7 dan Peluang Adi naik kelas 0,9. Tentukan Peluang:
a. Budi naik dan Adi naik. c. Salah satu yang naik.
b. Budi naik dan adai tinggal kelas.
4. Dua buah dadau dilempar bersama. Tentukan peluang muncul mata dadu:
a. berjumlah 5 atau berjumlah 10. b. berjumlah genap atau kembar.
5. Dalam sebuah keranjang terdapat 20 jeruk, 6 diantaranya asam rasanya. 3 orang
bersama-sama makan jeruk tersebut, masing-masing sebanyak 2 buah. Berapa
peluang ke-enam jeruk tersebut tidak termakan oleh ke-tiga orang tersebut ?
6. Pada suatu tes yang berbentuk jawaban benar atau salah tersedia 10 soal. Jika
seorang menjawab secara acak, Berapa peluang mendapatkan nilai benar 8 butir atau
lebih ?
7. Dua orang mengunjungi supermaket yang sama, sekali dalam minggu yang sama.
Masing-masingmempunyai besar kemungkinan yang sama untuk berkunjung ke
tempat itu pada hari apa saja. Berapa peluang mereka mengunjungi tempat itu:
a. pada hari yang sama b. pada hari yang berurutan.
8. Pada satu set kartu Bridge diambil secara acak 3 kartu sebanyak dua kali berturut-
turut dengan pengembalian. Berapa peluang pada pengambilan pertama terambil 3
King dan pada pengambilan ke-dua terambil 3 Queen ?
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Sebuah dadu dilempar satu kali, maka peluang muncul mata dadu 3 atau lebih adalah ..
a. 1 b. 1 c. 1 d. 2 e. 5
6 32 36
2. Dua buah dadu dilempar bersama, Peluang muncul mata dadu berjumlah 4 adalah ......
1 11 11
a. b. c. d. e.
3 46 9 12
3. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng putih dan 3 kelereng merah. Jika diambil 4kele
reng secara acak,maka peluang terambil 2 kelereng merah dan 2 kelereng putih adalah
a. 18 b. 12 c. 9 d. 6 e. 3
35 35 35 35 35
4. Sebuah dadu dilempar 10X, maka Frekuensi harapan muncul mata dadu prima adalah..
a. 2 b. 3 c. 5 d. 6 e. 8
5. Peluang seorang anak terjangkit TBC adalah 0,02. Dari 1000 anak, jumlah anak yang ti
dak terjangkit TBC kira-kira berjumlah ............ anak.
a. 20 b. 80 c. 920 d. 980 e. 1000
6. Peluang muncul mata dadu berjumlah 8 atau kembar pada pelemparan 2 dadu adalah:
21 11 10 7 1
a. b. c. d. e.
36 36 36 36 36
7. Dari 5 pria dan 3 wanita akan dipilih 3 orang secara acak, Peluang bahwa yang ter-
pilih pria lebih banyak dari wanita adalah ..........
5 10 5 41
a. b. c. d. e.
7 56 56 56 15
8. Peluang Aswan lulus UMPTN adalah 0,95. Peluang Agus lulus UMPTN adalah 0,90.
Peluang salah satu dari ke-duanya lulus adalah ........ :
a. 0,855 b. 0,14 c. 0,10 d. 0,05 e. 0,005
9. Pada pengetosan sebuah dadu dan sebuah mata uang logam, Peluang muncul mata
dadu ganjil dan angka pada mata uang adalah ............
1 11 8 3
a. b. c. d. e.
2 34 12 4
LKS-Mat.XI- 29
10. Dalam kotak I terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih, Kotak II terdapat 2 bola merah dan
7 bola hitam. Dari setiap kotak diambil satu bla secara acak. Peluang terambilnya bola
putih dari kotak I dan bola hitam dari kotak II adalah ................
5 6 8 21 28
a. b. c. d. e.
63 63 63 63 63
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Jika dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5, Maka
tentukan peluang terbentuknya bilangan ganjil dan bilangan lebih dari 400 ?
2. Tiga mata uang dilempar 120 kali. Tentukan frekuensi harapan muncul 2 angka dan 1
gambar ?
3. Pada sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola hijau. Diambil satu bola dua kali
berturut-turut tanpa pengembalian, Berapa peluang mendapatkan :
a. Bola pertama merah dan bola ke-dua hijau ?
b. Ke-duanya bola hijau ?
4. Dari 100 orang siswa, 45 diantaranya gemar membaca, 50 siswa gemar menari, dan 25
siswa gemar ke-duanya. Jika dipanggil seorang siswa maka Berapakah peluang siswa
yang terpanggil tidak gemar membaca maupun menari ?
LKS-Mat.X-2- 30
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR
Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara
pernyataan berikut):
Menyenangkan 12345 Membosankan
Bermanfaat 12345 Tidak Bermanfaat
Menarik 12345 Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari 12345 Tidak perlu dipelajari
Menantang 12345 Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan
Mempunyai korelasi dengan 1 2 3 4 5 Tidak Mempunyai korelasi
masalah sehari-hari dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian:
1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat
siswa.
2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik
minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.
Standar Kompetensi:
Menggunakan manipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri
dan menyusun bukti.
A. RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
Kompetensi Dasar : 5.1. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua sudut
dan sudut ganda.
5.2. Merancang rumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua sudut
dan sudut ganda.
A.1. Rumus Trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut.
Pengalaman Belajar: 5.1.1. Membuktikan rumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua
sudut dan sudut ganda.
5.1.2. Menerapkan perkalian sinus dan kosinus dalam jumlah dan seli
sih sinus atau kosinus untuk menyelesaiakan soal.
5.1.3. Menyelesaikan masalah yang menggunakan rumus-rumus ju-
mlah dan selisih dua sinus dan jumlah atau selisih dua kosinus
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami, dang menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut Trigonometri diharapkan peserta didik secara
mandiri menggali informasi terdahulu dari referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda guna memahami beberapa hal berikut ini.
A.1.1. Rumus untuk Cos ( )
C ( cos ( + ), sin ( + ) )
B (cos , sin )
- A (1, 0)
D ( cos , -sin )
Gambar di atas diperlihatkan sebuah lingkaran, jari-jari 1 satuan, sehingga A(1 , 0 ).
Misalkan AOB = dan BOC = maka AOC = AOB + …. = + …
dan AOD = -
Dengan demikian maka titik B, C dan D dalam koordinat kutub: B ( Cos , Sin ) ;
C (Cos ( … + …), Sin (… + … )) dan D( Cos (- ), Sin ( …..)) = (Cos , …… ).
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik : AC2 = (Xc – Xa)2 + (Yc –Ya)2
diperoleh :
AC2 = [Cos( + ) – 1 ]2 + [Sin( + ) – 0 ]2
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
= ………………………… *)
BD2 = (Cos - Cos )2 + (- Sin - Sin )2
= ……………………………………………………
= …………………………………………………....
= …………………………………………………… **)
Karena AOC = BOD maka AC = BD atau AC2 = BD2
sehingga dari *) dan **) didapat : ……………………… = ……………………………
……………………... = …………………………….
Cos ( + ) = …………….. - …………………
LKS-Mat.XI- 31
LKS-Mat.XI- 32
Oleh karena - = +(- ) maka
Cos ( - ) = Cos [ +(- )] = …………………………….
= ………………………………
Cos ( - ) = …………….. + …………………
Catatan : Rumus-rumus tersebut berlaku untuk dan dalam ukuran derajat ma-
maupun ukuran radian.
Masalah 1:
Dengan menggunakan rumus Cos ( ) , jabarkan bentuk berikut :
a. Cos (a + 2b)o b. Cos ( 3x – 2y )
Penyelesaian :
a. Cos (a + 2b)o = Cos ao ……. - …… …….
b. Cos ( 3x – 2y ) = …… …… + …… ……
Masalah 2:
Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai dari Cos 75o !
Penyelesaian : Cos 75o = Cos ( 45 + … )o
= Cos 45o ….. – Sin 45o …...
= ….. . ….. - ….. . ……
= 1 ( …. - ….. )
4
Permasalahan untuk didiskusikan siswa :
1. Hitunglah nilai : a. Cos 105o b. Cos 15o c. Cos 195o
2. Nyatakan ke dalam bentuk yang lebih sederhana :
a. Cos 80o Cos 10o – Sin 80o Sin 10o b. Cos 70o Cos 25o + Sin 70o Sin 25o
3 12
3. Jika A dan B keduanya sudut lancip, dengan Sin A = dan Sin B = ,
5 13
Hitunglah : a. Cos ( A + B) b. Cos (A – B )
4. Diketahui Cos A = 0,8 dan Sin B = 0,96 . Jika sudut A lancip & sudut B tumpul,
Hitunglah nilai Cos (A + B) !
A.1.2. Rumus untuk Sin ( ).
Karena Cos ( – A ) = Sin A dan Sin ( – A) = Cos A maka
22
Sin ( + ) - ( + )] = Cos [(…. - … ) - ]
= Cos [
2
= Cos (…. - … ) . Cos …. + Sin(…. - … ) . Sin ….
= …… ……. + ….. …..
Sin( + ) = …………….. + …………………
Oleh karena - = +(- ) maka:
Sin ( - ) = Sin [ +(- )] = ………………………………
= ………………………………
Sin ( - ) = …………….. - …………………
LKS-Mat.XI- 33
Masalah 3:
Dengan menggunakan rumus Sin ( ) , jabarkan bentuk berikut :
a. Sin (a + 2b)o b. Sin ( 3x – 2y )
Penyelesaian :
a. Sin (a + 2b)o = Sin ao ……. + …… …….
b. Sin ( 3x – 2y ) = …… …… - …… ……
Masalah 4:
Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai dari Cos 75o !
Penyelesaian :
Sin 75o = Sin ( 45 + ......… )o = Sin 45o ….. + Cos 45o …...
= ….. . ….. + ….. . …… = 1 2 ( …. + ….. )
4
Permasalahan untuk didiskusikan siswa :
1. Hitunglah nilai : a. Sin 105o b. Sin 15o c. Sin 195
2. Nyatakan ke dalam bentuk yang lebih sederhana :
a. Sin 80o Cos 10o + Cos 80o Sin 10o b. Sin 70o Cos 25o - Cos 70o Sin 25o
3 24
3. Jika A dan B keduanya sudut lancip, dengan Cos A = dan Cos B = , maka:
5 25
Hitunglah : a. Sin ( A + B) b. Sin (A – B )
45
4. Ulangi pertanyaan nomer 3 jika Cos A = dan Tan B = .
5 12
A.1.3. Rumus untuk Tan ( )
Karena Tan A = SinA maka Tan ( - ) = Sin( ) = SinCos ..................
CosA ................ .................. .................
SinCos .......... ........ sin .....
.......... ......... ......
.......... ....... cos
1 = CosCos .......... ...... = Tan ......
CosCos .......... ...... 1 .......... ....
.......... .......... =
.......... .......... .
Tan( + ) = ........ ........
........ ........
Dengan cara yang sama diperoleh :
Tan( - ........ ........
)=
........ ........
Masalah 5:
Tanpa menggunakan table trigonometri atau kalkulator hitunglah nilai Tan 75o !
Penyelesaian : Tan 75o = Tan ( 45 + …)0 = Tan45o ........ = 1 ............ = 2 + …..
1 .................. 1 .............
Permasalahan untuk didiskusikan siswa :
1. Tanpa menggunakan table trigonometri atau kalkulator hitunglah nilai :
Tan50o Tan70o Tan86o Tan36o
a. b.
1 Tan50oTan70o 1 Tan86oTan36o
2. Tunjukkan bahwa : a. Tan ( - 15 )o = ( 3 2 ) b. Tan 105o = - ( 3 2 )
3. Jika A dan B keduanya sudut lancip, dengan Cos A = 4 dan Cos B = 12 ,
5 13
Hitunglah : a. Tan ( A + B ) b. Tan ( A – B )
LKS-Mat.XI- 34
A.2. Rumus Trigonometri sudut Rangkap/Ganda.
Pengantar Materi :
Jika sebuah sudut tunggal maka 2 disebut sudut rangkap / ganda.
Rumus-runus trigonometri sudut ganda biasanya dipergunakan untuk melakukan
manipulasi (Mengubah bentuk tanpa mengubah nilai) bentuk-bentuk trigonometri sehingga
memudahkan penyelesaian persoalan matematis.
A.2.1. Rumus untuk Sin 2
Dengan mengingat rumus Sin ( ) = Sin Cos + Cos Sin dan apabila
= , maka rumus diatas menjadi Sin ( + ) = …………… + …………….
Sin 2 = 2 …… . ……..
Sin 2 = …… ……… ……..
A.2.2. Rumus untuk Cos 2
Dengan mengingat rumus Cos ( ) = Cos Cos - Sin Sin bila = ,
maka rumus diatas menjadi: Cos ( + ) = …………… - …………….
Cos 2 = Cos2 - ……
Cos 2 = ……….. - …..……..
Bentuk lain rumus Cos 2 :
Dengan mengingat identitas trigonometri Sin2 + Cos2 = 1 didapat hubungan ;
Sin2 =1 - Cos2 atau Cos2 = 1 - Sin2 dan bila disubstitusikan pada rumus
diatas, diperoleh : Cos 2 = Cos2 - ( 1 - Cos2 ) = 2 Cos2 - ….
Cos 2 = ( 1 - …… ) - ……. = 1 - ………….
Jadi
Cos 2 = 2 ……………. - 1
Cos 2 = 1 – 2 ……………
A.2.3. Rumus untuk Tan 2 .
Dengan mengingat rumus Tan ( ) = .......... ......... dan apabila = ,
....... .............
maka rumus diatas menjadi Tan ( + ) = Tan ............
1 ....................
Tan 2 2.......... .........
= 1 Tan2
2....................
Tan 2 =
1 Tan 2
Masalah 6.
Jika Tan A = p dan 0o A 90o , tentukan nilai :
a. Sin 2A b. Cos 2A c. Tan 2A
Penyelesaian :
p
Tan A = p =
....
............ p2 1 p
maka Sin A =
............
............ 1
Cos A =
............
a. Sin 2A = 2 Sin A . ….. b. Cos 2A = Cos2A - …… ...................
c. Tan 2A =
...................
= …. ………… = ……………….. ...................
=
...................
= …. ………… = ……………….. = …………...
LKS-Mat.XI- 35
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 4 :
a. Sin 8 b. Cos 8 c. Tan 8
2. Nyatakan :
a. Sin 6x dalam Sin 3x dan Cos 3x d. Cos 6x dalam Cos 3x
b. Cos 6x dalam Sin 3x dan Cos 3x 1
e. Cos x dalam Sin x
2
c. Cos 6x dalam Cos 3x 1
f. Cos x dalam Cos x
2
4
3. Diketahui A adalah sudut lancip dan Sin A = . Hitunglah :
5
a. Cos A b. Sin 2A c. Cos 2A d. Tan 2A e. sin 4A f. Cos 4A
4. Dengan menyatakan 3 = 2 + , Tunjukkan bahwa ;
a. Sin 3 = 3 Sin - 4 Sin3
c. Cos 3 = 4 Cos3 - 3 Cos
3Tan Tan3
b. Tan 3 =
1 3Tan2
A.3. Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus.
Pengalaman belajar : 5.2.1. Menyatakan perkalian sinus dan cosinus jumlah dan silisih
Sinus atau cosinus.
5.2.2. Menggunakan rumus perkalian sinus dan cosinus dalam
memecahkan masalah.
A.3.1. Rumus untuk 2 Sin Cos .
Sin ( + ) = ……… . …….. + ……… . ………..
Sin ( - ) = ……… . ……… - ……… . ………..
---------------------------------------------------------------------- +
Sin ( + ) + Sin ( - ) = 2 ………... . ………...
Jadi
2 Sin Cos = …………….… +…………………...
A.3.2. Rumus untuk 2 Cos Sin .
Sin ( + ) = ……… . …….. + ……… . ………..
Sin ( - ) = ……… . …….. - ……… . ………..
----------------------------------------------------------------------- -
Sin ( + ) - Sin ( - ) = 2 ……… . …………
Jadi
2 Cos Sin = …………….… - ....………………...
A.3.3 Rumus untuk 2 Cos Cos .
Cos ( + ) = ……………….. - ………………..
Cos ( - ) = ……………….. + ………………..
------------------------------------------------------------------ +
Cos ( + ) + Cos ( - ) = 2 ……… . …………
Jadi
2 Cos Cos = …………….… + …………………..
A.3.4. Rumus untuk 2 Sin Sin .
Cos ( + ) = ……………….. - ………………..
Cos ( - ) = ……………….. + ………………..
-------------------------------------------------------------------- -
Cos ( + ) - Cos ( - ) = -2 …………. ...………
LKS-Mat.XI- 36
Jadi
2 Sin Sin = - { …………….……- ………………... }
Masalah 7. c. Sin 75o Sin 15o
Hitunglah : a. 2 Sin 75o Cos 15o b. 4 Cos 15o Cos 75o
Penyelesaian : = Sin ( 75 + ….)o + Sin ( … - … )o
a. 2 Sin 75o Cos 15o = Sin …. + Sin …. = ………
b. 4 Cos 15o Cos 75o = 2 . 2 Cos 15o Cos 75o
= 2 [ Cos ( 15 + … )o + Cos ( …. - …. )o ]
= 2 [ Cos … + ……… ] = 2 ( …. + …. ) = ….
c. Sin 75o Sin 15o = 1 . 2 Sin 75o Sin 15o
2
= 1 [ Cos ( 75 - … )o – Cos ( …. + …. )0 ]
2
= 1 [ Cos … - ……… ] = 1 ( …. - …. ) = ….
2 2
Permasalahan untuk didiskusikan siswa :
1. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai dari :
a. 2 Sin 37 1 o Cos 7 1 o c. Cos 37 1 o Sin 7 1 o
2 2 2 2
b. 2 Sin 105o Cos 75o d. Cos 105o Cos 75o
2. Hitunglah nilai dari 2 Sin35o Cos 25o – 2 Sin 30o Sin 20o – 2 Cos 35o Cos 5o
3. Tunjukkan bahwa :
a. 2 Sin ( + A ) Cos ( - A) = 1 + Sin 2A
44
3
b. 2 Cos ( + A ) Cos ( - A) = -1 + Sin 2A
44
A.4. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus.
Pengalaman Belajar : 1. Membuktikan rumus jumlah dan selisih Sinus dan Cosinus
2. Menggunakan rumus jumlah dan selisih Sinus dan Cosinus da-
lam pemecahan masalah.
Pengantar materi ;
Ikuti langkah-langkah pembuktian berikut dan diskusikan dengan kelompok belajar anda.
Dengan mengingat rumus-rumus terdahulu, yakni :
Sin ( + ) + Sin ( - ) = …………………….
Sin ( + ) - Sin ( - ) = …………………….
Cos ( + ) + Cos ( - ) = …………………….
Cos ( + ) - cos ( - ) = …………………….
dan dengan memisalkan + = A dan - = B maka didapat :
+ =A + =A
- =B - =B
---------------- + ----------------- -
2 = A + B 2 =A –B
= 1 ( A + B) = 1 ( A – B) *)
2 2
LKS-Mat.XI- 37
Jika *) kita substitusikan pada rumus di atas diperoleh :
Sin A + Sin B = 2 Sin 1 ( A + B) Cos 1 ( A – B)
2 2
Sin A - Sin B = 2 Cos 1 ( A + B) Sin 1 ( A – B)
2 2
Cos A + Cos B = 2 Cos 1 ( A + B) Cos 1 ( A – B)
22
Cos A - Cos B = - 2 Sin 1 ( A + B) Sin 1 ( A – B)
2 2
Setelah mengenal rumus-rumus tersebut. pikirkan cara yang mudah untuk mengingatnya.
Masalah 8: b. Cos 75o - Cos 15o
Hitunglah nilai : a. Sin 75o + Sin 15o
Penyelesaian :
a. Sin 75o + Sin 15o = 2 Sin 1 (75 + …)o Cos 1 ( … - 15 )o
2 2
= 2 Sin …. Cos …. = 2 . …. . …. = …..
b. Cos 75o - Cos 15o = - 2 Sin 1 (75 + …)o Sin 1 (…- … )o
2
2
= - 2 Sin …. Sin …. = - 2 . …. . …. = …..
Permasalahan untuk didiskusikan siswa :
1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian
a. Sin 3x + Sin x b. Cos 8x + Cos 2x c. Cos 3p – Cos p
2. Hitunglah nilai : c. sin 105o – Sin 15o
a. sin 105o + Sin 15o
Cos75o Cos15o Cos75o Cos15o
b. Sin75o Sin15o d. Sin75o Sin15o
3. Tunjukkan bahwa : Cos 10o + Cos 110o + Cos 130o = 0
B. IDENTITAS FUNGSI TRIGONOMETRI
Pengalaman Belajar : 5.2.1. Membuktikan berlakunya identitas fungsi trigonometri
5.2.2. Mendiskusikan pola pembuktian dan mempresentasikan hasilnya.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami, dang menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut Identitas fungsi Trigonometri diharapkan peserta
didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu tentang beberapa
materi Trigonometri meliputi Pengertian dasar fungsi trigonometri, Jumlah dan selisih sudut,
sudut rangkap, dll dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Pengantar materi:
Diskusikan dengan kelompok belajar anda guna memahami beberapa hal berikut ini.
Identitas fungsi trigonometri pada hakekatnya merupakan beberapa bentuk hubungan fungsi
trigonometri yang mempunyai nilai sama. Dan pada akhirnya kita harus mampu membuktikan
hubungan tersebut berlaku dengan mendasarkan diri pada beberapa hubungan fungsi
trigonomeri yang ada.
Masalah 9: sin 6x sin 2x tan 4x
Buktikan bahwa: cos 6x cos 2x
Penyelesaian: Bukti :
Ruas Kiri: sin 6x sin 2x 2 sin 1 (6x ......)cos 1 (...... 2x)
22
cos 6x cos 2x 2 cos 1 (...... 2x) cos 1 (6x ......)
22
= sin 4x tan ....... (Ruas Kanan) Jadi terbukti benar.
cos 4x
Masalah 10: 1 cos 2a tan a LKS-Mat.XI- 38
Buktikan bahwa: sin 2a Jadi terbukti.
Penyelesaian: Bukti :
Ruas kiri : 1 cos2a 1 (1 2sin2 a)
sin 2a 2sin a cosa
(.......)(.............)
=
2(.........) cos a
= sin a tan a (Ruas kanan)
.........
Permasalahan untuk didiskusikan siswa.
Buktikan bahwa:
1. a. cos5x cos3x 4sin x cos x b. sin 4x sin 2x tan 3x
sin x sin 3x cos 4x cos 2x
2. sin x +sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x
3. cos x –cos 3x – cos 5x + cos 7x = -4 sin x sin 2x cos 4x
4. a. cos4 b – sin4 b = cos 2b b. (cos ½ x – sin ½ x)2 = 1 – sin x
5. a. cos 4a = 8 cos4 a – 8 cos2 a + 1 b. 2 cos x ( cos ½ x + sin ½ x )2 = 2 cos x + sin 2x
6. a. 1 tan2 x cos2x b. 1 tan x 1 sin 2x
1 tan2 x 1 tan x cos 2x
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Nilai dari sin 245o . cos 20o - cos 245o . sin 20o adalah .......
a. 2 b. - 2 c. – ½ 2 d. ½ 2 e. 1/3 2
3 cos (p –q) adalah ……..
dan cos p cos q = , maka nilai
2. Jika p + q =
64
a. 1 3 b. 3 3 c. 3 3 d. 3 3 e. 3
92 22 42 22 2
3. Jika tan a = 5 dan sin b = 0,6 (tumpul) , maka Tan (a – b) = .........
(lancip )
12
5 6 56 56 56
a. - b. - c. - d. e. -
33 33 3 33 33
4. Diketahui cos (A – B) = 8 dan cos A cos B = 2 , maka nilai Tan A Tam B = …….
93
a. -3 b. -1/3 c. ¼ d. 1/3 e. 3
5. Jika Tan A = p, untuk A lancip maka Sin 2A = ………
2p 1 22 2p
a. p2 1 b. c. d. e. p2 2
p p2 1 p p2 1 p2 1
6. Nilai cos2 15o - sin2 15o adalah ……
a. ½ b. ½ 2 c. ½ 3 d. 2 e. 1
LKS-Mat.XI- 39
7. Nilai cos 105o + cos 15o = ………
a. ¼ 2 b. ¼ 6 c. ½ 2 d. ½ 3 e. ½ 6
8. Bentuk lain dari: sin 2x + sin 4x + sin 6x adalah …….
a. 4 cos x cos 2x sin 3x c. 2 cos x cos 2x sin 3x e. sin x cos 2x sin 3x
b. 4 cos x cos 2x cos 3x d. 2 cos x cos 2x cos 3x
9. Diketahui sin A cos B = 2 , A + B = 90o dan Sin (A – B) = 5a, nilai a sama dengan:
5
1 31 2 3
a. - b. c. d. e.
25 25 5 5 2
10. cos 3x cos 5x ........
sin 3x sin 5x
a. tan x b. Tan 3x c. Cotan 4x d. Cotan 8x e. Tan x + Sin 3x
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Jika Tan A = 2 - 3 dan Tan B = 1, Tentukan nilai Tan (A + B) !
2. Sudut A tumpul dan sudut B lancip dengan Sin A = 2 dan Cos B = 1 , Tentukan :
3 3
a. Sin ( A + B) b. Cos ( A – B )
3. Jika p sudut lancip dan Sin ½ p = x 1 , Tentukan Tan p !
2x
4. Tentukan nilai dari : a. 2 sin 75o cos 15o b. 4 cos 75o cos 15o
5. Buktikan bahwa : b. Sin 2x + Sin 4x + Sin 6x = 4Sin 3x Cos 2x Cos x
a. sin 3A sin A Tan2A
cos3A cos A
ooooo000OO000ooooo
Standar Kompetensi
Menyusun dan Menggunakan persamaan lingkaran beserta garis singgungnya;
menggunakan algoritma pembagian suku banyak, teorema sisa, dan teorema factor
dalam pemecahan masalah; menggunakan operasi dan manipulasi aljabar dalam
pemecahan masalah yang berkaitan dengan fungsi komposisi dan fungsi invers.
A. PERSAMAAN LINGKARAN.
Kompetensi Dasar : 3.1. Merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam
pemecahan masalah
A.1. PENGERTIAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN LINGKARAN.
Pengalaman Belajar: 3.1.1. Mengamati lingkaran dengan pusat O(0, 0).
3.1.2. Menentukan posisi titik P(x, y) pada lingkaran.
3.1.3. Merumuskan persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut Lingkaran dan Persamaan Lingkaran
diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi
dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media
interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Definisi:
Lingkaran dapat dipahami dengan pendekatan geometri ruang, sebagai berikut:
Lingkaran adalah bangun datar (penampang irisan) yang terjadi jika sebuah kerucut diiris
oleh sebuah bidang datar sejajar alas. P(x, y)
R
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jarak-
nya sama terhadap sebuah titik terten- O
tu (pusat).
TK = { (x, y) I OP = R } , R = jari-jari.
= { (x, y) I (xp xo )2 ( yp yo )2 = R }
Unsur-unsur Lingkaran:
Perhatikan gambar:
A OP = R = Jari-jari lingkaran
P AB = 2R = Diameter lingkaran
R CD = Tali busur
O Bangun CBD = Tembereng kecil dan CAD = Tembereng besar
C D Bangun AOP = Juring
Sudut AOP = AOP = Sudut pusat
Q Sudut AQP = AQP = Sudut keliling
Bg g = garis singgung lingkaran
PERSAMAAN LINGKARAN:
Disamping melalui pendekatan geometri (gambar), Bagun lingkaran dapat dipahami dan
dipelajari lebih mudah jika dimensi abstrak dapat ditarik dalam dimensi pendekatan
ukuran melalui pendekatan aljabar dengan model matematikannya, sebagai berikut:
a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) jari-jari R. P(x,y)
R
Dengan penjabaran lebih lanjut dari definisi
O
Lingkaran sebagai tempat kedudukan, dida-
pat: TK = { (x, y) I OP = R }
LKS-Mat.XI-40
y LKS-Mat.XI-41
P(x, y)
Perhatikan gambar:
R TK = { (x, y) I OP = R } , dengan Teo. Phytagoras,
y
O x P’ X = { (x, y) I (OP')2 (P' P)2 R }
= { (x, y) I .....2 ......2 R }
= { (x, y) I .....2 + y2 = .....2 }
Didapat: Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari R adalah:
x2 + ...... = R2
Masalah 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik (-3, 5).
Penyelesaian:
Lingkaran Pusat O(0, 0) melalui titik (-3, 5) maka jari-jarinya:
R .....2 ......2 = ......... sehingga : R2 = ........
Jadi persamaan lingkarannya : x2 + .....2 = .......
Masalah 2:
Diketahui titik A(0, 1) dan B(0, 9).
Tentukan persamaan tempat kedudukan titik P(x, y) sehingga PB = 3PA
Penyelesaian:
Tempat kedudukan titik dapat dinyatakan dalam: { (x, y) I PB = 3PA }
{(x, y) I PB2 = (3PA)2 }
{(x, y) I PB2 = ..... PA2 }
{(x, y) I (xp – xb)2 +(yp –yb)2 = 9[(xp – xa)2 +(yp –ya)2 }
{(x, y) I (x – ....)2 +(y –.....)2 = 9[(x – .....)2 +(y –......)2 ]}
{(x, y) I x2 + .....2 – 18y + ...... = 9x2 + ....... -18y + 9 }
{(x, y) I 8x2 +....... = ........ }
{(x, y) I ...... + ...... = ........ }
Jadi, persamaan tempat kedudukannya berupa lingkaran yang berpusat di O(0, 0)
dengan jari-jari R = .......
Masalah 3:
Diketahui titik A terletak pada sumbu X dan titik B terletak pada sumbu Y dengan
panjang AB = a. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik tengah AB, jika A
bergerak sepanjang sumbu X dan B bergerak sepanjang sumbu Y.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar di samping:
Missalkan, C(x, y) terletak pada AB sehingga CA = CB
Dan sudut BAO = y
x = ½ (xA + xB) = ½ a cos cos = ...... B (0, a sin )
a
y = ½ (…. +yB) = ½ a sin sin ...... a
=
a
cos2 + sin2 = 1 ( ......)2 + ( ......)2 = ….
aa
...... + ...... = …… O A ( a cos , 0)
a2 a2
...... ...... .... atau x2 + …. = .... ….2
a2 + a2 = 4 4
Jadi, Tempat kedudukannya berupa lingkaran dengan pusat O(0, 0) jari-jari R = …….
LKS-Mat.XI-42
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) yang:
a. Berjari-jari 7 c. Melalui titik P(-3, 4)
b. Berjari-jari 2 3 d. Melalui titik Q( ½ 3 , ½ )
2. Ditentukan titik A(1, -3) dan B(-1, 3). Carilah persamaan lingkaran dengan ruas garis AB
merupakan diameter lingkaran tersebut!
3. Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh persamaan x = -3, x = 3 , y = -3 dan y = 3.
Tentukan persamaan lingkaran yang:
a. Menyinggung sisi-sisi persegi, dan
b. Melalui titik-titik sudut persegi.
4. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenuhi hubungan:
{P(x, y) I PB = 2PA }, jika A(2, 0) dan B(8, 0) !
5. Tentukan tempat kedudukan titik P(4 cos a, 4 sin a), Jika a berubah dari 0 s/d 360o !
b. Persamaan lingkaran dengan pusat titik sebarang P(a, b) jari-jari R.
Lingkaran dengan pusat titik pangkal O(0, 0) y P(x, y)
dan jari-jari R, Jika pusatnya digeser/ditran-
slasikan ke titik A(a, b) atau oleh vektor tran R y-b
a A(a, b) P’
slasi b didapat kondisi lingkaran sebagai
x-a
mana gambar disamping:
Dengan cara yang sama, menggunakan teo. x
Pythagoras pada AP ' P didapat hubungan:
AP2 = (AP’)2 + (PP’)2
R2 = ( x - .....)2 + (..... - .....)2
(x - ......)2 + (...... - ......)2 = ......2
Jadi, Persamaan lingkaran dengan pusat titik A(a, b) dan jari-jari R adalah:
(x - ......)2 + (...... - ......)2 = ......2
Masalah 4:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan (x -2)2 + (y + 3)2 = 16
Penyelesaian:
Dari persamaan: (x -2)2 + (y + 3)2 = 16 , didapat a = .... , b = .... dan R = ...... ......
Sehingga Pusatnya P( ...... , ....... ) dan jari-jari R = ......
Masalah 5:
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(-2, -3) dan melalui titik B(1, 1) !
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat P(-2, -3) adalah: ( x + .... )2 + (y + .... )2 = R2
Lingkaran melalui titik B(1, 1) maka dapat disubstitusikan dalam persamaan, sehingga:
( 1 + ..... )2 + ( ..... + ..... )2 = R2
( ...... )2 + ( ...... )2 = R2 R2 = ......
Jadi, Persamaan lingkarannya adalah : ( x + .... )2 + (y + .... )2 = .......
c. Persamaan umum lingkaran.
Dari persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 pada hakekatnya secara aljabar
dapat dijabarkan melalui konsep memfaktorkan, sehingga didapat bentuk:
LKS-Mat.XI-43
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
[ x2 – 2ax + ….2 ] + [ ….2 – 2by + ….2 ] = R2
x2 + y2 – 2ax – 2by + ….2 + ….2 = ….2
x2 + y2 – ….x – ….y + ….2 + ….2 - ….2 = 0
disejarkan dengan fungsi berikut
x2 + y2 + AX + By + C = 0 ; didapat hubungan sebagai berikut:
-2a = A a = - ½ …… , -2b = ….. b = - ½ ….. dan
C = a2 + …..2 – R2 R2 = a2 + ….2 – C
= ( - ½ …. )2 + (- ½ B)2 - …...
= ¼ A2 + ¼ …..2 - …..
= ¼ (…..2 + …..2 – 4C)
Sehingga: R = ½ A2 .....2 4......
Jadi, Persamaan bentuk umum lingkaran terdefinisi, sebagai berikut:
x2 + y2 + AX + By + C = 0 , dengan:
Pusat P ( - ½ …. , - ½ …. ) dan Jari-jari R = ½ A2 .....2 4......
Masalah 6:
Carilah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 +8x -2y + 15 = 0 !
Penyelesaian:
Cara I : Dengan rumus: x2 + y2 +8x -2y + 15 = 0 ; didapat : A = 8 , B = -2 dan C = 15
Pusat : P ( - ½ A , - ½ B) P ( - ½ .... , - ½ ..... ) P ( ..... , ..... )
Jari-jari : R = ½ A2 .....2 4...... = R = ½ .....2 .....2 4......
= ½ ........ = ½ ……. = ……
Cara II: Dengan mengembalikan pada bentuk persamaan dasar melalui konsep
faktor kuadrat sempurna, sebagai berikut:
x2 + y2 + 8x -2y + 15 = 0
x2 + …..x + y2 - ….. = -15
(x + …. )2 - ….. + (y - ….)2 - …. = -15
(x + ….. )2 + (y - …..)2 - ….. = …..
(x + ….. )2 + (y - …..)2 = …..
Jadi, lingkaran tersebut berpusat di P (….. , …..) dan jari-jari R = …..
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang : c. Pusat (3, -2) dan melalui titik P(-3, 4)
a. Berpusat A(-2, 7) dan jari-jari 5
b. Berpusat B(5, 6) dan jari-jari 2 3 d. Pusat (2, -4) dan melalui titik Q(0, 1)
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan sebagai berikut:
a. (x -5)2 + y2 = ¼ b. x2 + y2 + 10y – 75 = 0 c. x2 + y2 +25x +10y + 12 = 0
3. Melalui tiga buah titik yang ketiganya tidak segaris (tidak kolinier) dapat dilukis sebuah
lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran tersebut, jika titik-titik tersebut adalah O(0, 0) ;
A(-2, 4) dan B(-1, 7) !
4. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di (-2, 3) serta menyinggung:
a. menyinggung sumbu x b. menyinggung sumbu y
LKS-Mat.XI-44
d. Posisi titik terhadap lingkaran.
Posisi sebuah titik Q(x, y) pada sebuah lingkaran dapat dibedakan menjadi 3 katagori,
jika koordinat titik tersebut disubstitusikan pada persamaan lingkarannya, Jika:
1. Persamaan lingkaran < R2 , maka titik Q berada di dalam Lingkaran.
2. Persamaan lingkaran > R2 , maka titik Q berada di luar lingkaran.
3. Persamaan lingkaran = R2 , maka titik Q berada pada lingkaran.
Masalah 7:
Selidiki posisi titik (2, 3) terhadap lingkaran dengan persamaan : (x -1)2 + (y -4)2 = 9
Penyelesaian:
(2, 3) (.... -1)2 + (.... – 4 )2 = ....... + ...... = ....... < 9
Jadi, titik (2, 3) Terletak di dalam lingkaran.
Masalah 8:
Tentukan nilai p, agar titik (p, 2p) terletak pada lingkaran (x -2)2 + (y + 5)2 = 18
Penyelesaian:
Agar titik (p, 2p) terletak pada lingkaran maka:
(p -2)2 + (..... + 5)2 = 18
p2 - ....p + ..... + 4p2 + ....p + ...... = 18
….p2 + ……. + 29 = 18
…… + 16p + …… = 0
( ….. + 1)(…. + …… ) = 0
p + ..... = 0 v 5p + ...... = 0
p = ....... v 11
p =-
.....
11
Jadi agar titik (p, 2p) terletak pada lingkaran maka nilai p = ....... atau p = -
.....
e. Posisi garis terhadap lingkaran.
Posisi sebuah garis g terhadap lingkaran L, dapat ditentukan dengan cara
mengidentifikasi nilai Diskriminan D = b2 -4ac dari fungsi kuadrat yang terbentuk
setelah persamaan garis g disubstitusikan pada persamaan lingkaran, sebagai berikut:
1. D > 0 garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda;
2. D = 0 garis g menyinggung lingkaran L (Memotong di satu titik);
3. D < 0 garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.
Masalah 9:
Diketahui lingkaran dengan persamaan L x2 + y2 -2x -2y -2 = 0, Tanpa melukis
lingkarannya, Tentukan posisi garis-garis berikut ini terhadap lingkaran L !
a. g 2x + y = 1 b. k y = 3
Penyelesaian:
a. Dari g 2x + y = 1 didapat y = -2x + .... kemudian disubstitusikan pada persa-
maan lingkaran, sbb: x2 + (-2x + ..... )2 - .....x -2 (-2x + ....) – 2 = 0
x2 + ....x2 -.....x + ..... -2x + 4x - ..... – 2 = 0
5x2 - ...... - ....... = 0 , maka:
D = b2 – 4ac = .....2 – 4 (......)(......) = 4 + ...... = ....... > 0
Jadi, Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.
b. k y = 3 disubstitusikan pada persamaan lingkaran didapat:
x2 + ( ..... )2 – 2x - ....... – 2 = 0
x2 - ....... + 1 = 0 , sehingga didapat:
D = (-2 )2 – 4 (.....)(.....) = ...... - ....... = 0
Jadi, Garis g menyinggung lingkaran.
LKS-Mat.XI-45
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan nilai a jika titik-titik berikut terletak pada lingkaran sebagaimana diketahui:
a. Titik (-a, 3 ) terletak di luar lingkaran : (x +4)2 + y2 = 12
b. Titik (a, 0) terletak pada lingkaran : x2 + y2 -4x +6y -23 = 0
c. Titik (1, 2) terletak pada lingkaran : x2 + y2 – ½ ax + 2y -5 = 0
2. Titik P(-2, n) terletak dalam lingkaran x2 + y2 + 4x – 8y – 5 = 0, Tentukan semua nilai n
yang mungkin!
3. Tentukan koordinat titik potong garis g x – y – 4 = 0 dgn lingkaran x2 +y2 -8x -2y +12 = 0
4. Koordinat titik singgung antara garis g 2x + y + 2 = 0 dengan lingkaran :
x2 +y2 +2x -10y +21 = 0
5. Diketahui garis g dan lingkaran L dengan persamaan sebagai berikut:
Garis g x = y – 8 = 0 dan L x2 + y2 -8x -2y + 12 = 0
a. Tunjukan bahwa garis g memotong lingkaran L di dua titik berlainan.
b. Carilah koordinat ke dua titik potong tersebut.
c. Hitunglah panjang ruas gari potong yang treletak di dalam lingkaran.
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 5) dan menyinggung sumbu X adalah:
a. x2 + y2 -6x -10y + 9 = 0 d. x2 + y2 +6x +10y + 25 = 0
b. x2 + y2 +6x +10y + 9 = 0 e. x2 + y2 +10x +6y + 25 = 0
c. x2 + y2 -6x -10y + 25 = 0
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (-4, 2) dan menyinggung sumbu Y adalah :
a. x2 + y2 +8x -4y + 16 = 0 d. x2 + y2 +8x +4y + 4 = 0
b. x2 + y2 -8x +4y + 16 = 0 e. x2 + y2 -8x +4y + 4 = 0
c. x2 + y2 +8x -4y + 4 = 0
3. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan menyinggung garis y – 7 = 0 adalah:
a. x2 + y2 -4x -6y + 7 = 0 d. x2 + y2 +4x +6y -3 = 0
b. x2 + y2 +4x -6y + 4 = 0 e. x2 + y2 -4x -6y -3 = 0
c. x2 + y2 +4x +6y + 4 = 0
4. Lingkaran x2 + y2 – 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x untuk a = ........
a. 7 v -7 b. 7 v -3 c. -7 v -3 d. 2 v -3 e. 2 v 7
5. Pusat lingkaran 3x2 +3y2 -4x + 6y -12 = 0 adalah :
a. (2, 1) b. (5, 9) c. (2, 3) d. ( 1 , 5) e. ( 2 , -1)
3 3
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan Persamaan lingkaran yang berpusat di P(2, 3) melalui B(5, -1) !
2. Sebuah titik A bergerak sedemikian hingga jaraknya terhadap O(0, 0) senantiasa sama
dengan dua kali jaraknya terhadap titik B (3, 0). Tempat kedudukan titik A ini adalah ling-
karan dengan Pusat dan jari-jari adalah .......
3. Hitung jarak terdekat titik (-7, 2) terhadap lingkaran x2 + y2 -10x -14y -151 = 0 !
4. Tentukan batas-batas nilai a supaya:
Titik (a, 2) terletak di dalam lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 16
LKS-Mat.XI-46
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN.
Kompetensi Dasar : 3.2. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran dalam berbagai
situasi.
Pengalaman Belajar : 3.6.1. Mengidentifikasi syarat-syarat garis menyinggung lingkaran.
3.6.2. Mendiskusikan cara menentukan persamaan garis singgung:
a. Melalui titik tertentu pada lingkaran.
b. Dengan gradien tertentu.
3.6.3. Mendiskusikan cara menentukan persamaan garis singgung deng
an pendekatan nilai diskriminan.
Sebelum mempelajari serta memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matemati
ka yang menyangkut Persamaan Garis singgung pada lingkaran diharapkan peserta didik
secara mandiri/kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Pada bagian terdahulu sudah dibicarakan tentang posisi sebuah garis terhadap lingkaran di
mana salah satunya menyinggung di satu titik, jika terpenuhi Diskriminan (D) sama dengan O.
B.1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN MELALUI TITIK PADA LINGKARAN.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Persamaan garis singgung lingkaran melalui sebuah titik pada lingkaran pada hakekatnya
dapat didekati dengan menggunakan konsep hubungan antara dua garis yang saling
tegak lurus, sebagai berikut:
a. Persamaan garis singgung lingkaran Pusat O(0, 0) dan jari-jari R.
Perhatikan gambar di samping, di mana g garis
Singgung lingkaran , dan titik Q(x1 , y1 ) merupa- Q(x1, y1)
kan titik singungnya. x2 + y2 = R2
y1 grs sgg
Berarti titik Q terletak pada lingkaran, sehingga O x1 Q X’
didapat hubungan: x12 + ......2 = R2
g
Garis singgung g dapat ditentukan persamaannya, sbb:
* Gradien garis OQ adalah moq = Tan QOQ’ = ......
......
* Karena g OQ maka : mg . ...... = -1 , sehingga berlaku ...... ......
mg = - ....... =-
......
........
* Persamaan garis singgung g merupakan persamaan garis yang melalui Q(x1 , y1 )
dengan gardien mg, sehingga memenuhi: y – y1 = mg (x – x1)
y – y1 = mg (x – x1)
y – .... = - ...... (..... – x1)
......
y1y - .....2 = -x1 x + ......2
x1x + ...... = x12 + ......2
x1x + ...... = ......2 , Jadi persamaan garis singgung lingkaran pusat O(0, 0) jari-ja
ri R melalui titik Q pada lingkaran adalah: x1 x + y1 y = R2
b. Persamaan garis singgung lingkaran Pusat A(a, b) dan jari-jari R.
Dengan melalui pendekatan yang sama y Q(x1, y1)
Sebagaimana di atas, dapat diturunkan (y1-b)
Persamaan garis singgung lingkaran de-
A(a, b)
ngan pusat A(a, b) jari-jari R yang mela-
lui sebuah titik Q(x1 , y1) pada lingkaran (x1-a) g
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
adalah:
g (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = R2 O x
LKS-Mat.XI-47
Masalah 10:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, jika diketahui :
a. L x2+ y2 = 10 melalui titik (-3, 1).
b. L (x + 2)2 + (y -3)2 = 40 melalui titik (4, 1)
Penyelesaian:
a. L x2+ y2 = 10 melalui titik (-3, 1).
Kedudukan titik (-3, 1) terhadap lingkaran perlu diuji dengan substitusi:
(-3)2 + .....2 = 10 ...... + ...... = 10 ...... = ......
Jadi jelas bahwa titik (-3, 1) terletak pada lingkaran, sehingga garis singgung
lingkaran di titik tersebut dapat diturunkan, sbb: x1 x + y1 y = R2
sehingga: g (-3) x + ..... y = ...... -3x + ...... = .......
b. L (x + 2)2 + (y -3)2 = 40 melalui titik (4, 1)
Kedudukan titik (4, 1) terhadap lingkaran perlu diuji dengan substitusi:
(..... + 2)2 + ( 1 -.....)2 = 40 ......2 + ......2 = 40 ...... = ......
Jadi jelas bahwa titik (4, 1) terletak pd lingkaran, maka garis singgung lingkaran
di titik tersebut dapat diturunkan, sbb: (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = R2
sehingga: g (4 + .... )(x + 2) + (...... - 3 )( y - ..... ) = 40
...... ( x + .... ) + ....... ( y - ..... ) = 40
6x + ...... – 2y +....... = .......
6x - ....... - ........ = ......
3x - ....... - ....... = 0
B.2. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN DENGAN GRADIEN TERTENTU.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu pada hakekatnya juga dapat
didekati dengan menggunakan konsep hubungan antara dua garis yang saling tegak
lurus, sebagai berikut:
a. Untuk Persamaan garis singgung lingkaran Pusat O(0, 0) dan jari-jari R.
Misalkan ada garis g dengan persamaan : y = mx + n dan lingkaran L x2+ y2 = R2
Guna mengetahui garis g memotong atau menyinggung, ke dua persamaan
disubstitusikan, sehingga didapat hubungan, sebagai berikut:
x2 + ( mx + ..... )2 = R2
x2 + m2x2 + 2. ..... . ..... + (.....)2 = R2
(.... +m2) ....2 + 2mnx + (.....2 - .....2) = 0 , akhirnya diperoleh nilai D(diskriminan):
D = b2 -4ac = (2mn)2 – 4 (..... + m2) (.....2 - .....2)
Agar garis g menyinggung lingkaran L, maka syarat harus terpenuhi: D = 0, maka:
(2mn)2 – 4 (..... + m2) (.....2 - .....2) = 0
4m2n2 - 4 [m2n2 - ....2 R2 + n2 - .....2 ] = 0
4 [......2 R2 - ......2 +R2 ] = 0
[......2R2 - ......2 + R2 ] = 0
n2 = ......2 R2 + R2 = R2 ( .....2 + ..... )
n = R 1 .....2 , sehingga berlaku:
LKS-Mat.XI-48
Persamaan garis singgung lingkaran pusat O(0, 0) dan jari-jari R dengan gardien m,
adalah: y = mx R 1 m2
b. Untuk Persamaan garis singgung lingkaran Pusat A(a, b) dan jari-jari R.
Dengan melalui pendekatan yang sama sebagaimana di atas, dapat diturunkan Per-
samaan garis singgung lingkaran dengan pusat A(a, b) jari-jari R yang bergradien m,
adalah:
g ( y – b ) = m ( x – a ) R 1 m2
Masalah 11:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, jika diketahui :
a. L x2+ y2 = 16 dan garis singgungnya membentuk sudut 60o terhadap sumbu X.
b. L x2 + y2 -2x + 4y -4 = 0 dan garis singgung sejajar dengan garis 5x-12y+15 = 0
Penyelesaian:
a. L x2+ y2 = 6 dan garis singgung (g) membentuk sudut 60o terhadap sumbu X.
Garis singgung membentuk sudut 60o terhadap sumbu datar, maka gradient garis
singgungnya mg = Tan 60o = .........,
Jadi persamaan garis g y = mx R 1 m2
y = ..... x ..... 1 (......)2
y = ...... x .......
b. L x2 + y2 -2x + 4y -4 = 0 dan garis singgung sejajar garis k 5x-12y+15 = 0
Sehingga berlaku: mg . mk = -1
k 5x-12y+15 = 0 12y = ...... + 15 y = 5 x ...... , diperoleh : mk = ....
..... 12 ....
Sehingga nilai mg = 1 ...... =0
mk ......
Dari L x2 + y2 -2x + 4y -4
x2 - ..... + y2 + ...... = 4
(x - ......)2 - ..... + (y + .....)2 - ..... = 4
(x - ......)2 + (y + .....)2 - ..... = .....
(x - ......)2 + (y + .....)2 = ..... , didapat R = ...... = .......
Jadi persamaan garis singgung g ( y – b ) = m ( x – a ) R 1 m2
( y + ….) = .... ( x – ….. ) ….. 1 (....)2
.... ....
( y + ….) = .... ( x – ….. ) ….. (.......)
.... .......
( y + ….) = .... ( x – ….. ) ….. ....
.... ....
( y + ….) = .... ( x – ….. ) ....
.... ....
_______________________________ (dikalikan 12)
12y + ....... = 5x - ...... 39
5x - ..... y - ...... 39 = 0
5x - ...... y + ..... = 0 dan 5x - ..... y - ...... = 0
LKS-Mat.XI-49
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, jika diberikan kondisi, sbb:
a. L x2 + y2 = 25 melalui titik (-3, 4)
b. L x2 + y2 = 12 melalui titik (-3, 3 )
c. L (x + 3)2 + (y -2)2 = 58 melalui titik (0, 9)
d. L (x -1)2 + (y -4)2 = 25 melalui titik (-3, 1)
e. L x2 + y2 -2x -10y + 17 = 0 melalui titik (4, 5)
2. Lingkaran L dengan pusat A(5, 12) dan jari-jari 13:
a. Tentukan koordinat titik potong lingkaran L dengan sumbu-sumbu kordinat
(ada tiga titik potong)!
b. Tentukan persamaan gari singgung pada lingkaran yangmelaui masing-
masing titik potong tersebut !
3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, jika diketahui:
a. L x2 + y2 = 12 dengan gradien 3
b. L x2 + y2 = 9 dan garis singung tegak lurus garis 4x -3y + 12 = 0
c. L (x + 2)2 + (y -1)2 = 4 dengan gradien 3
-
4
e. L x2 + y2 -2x -10y + 17 = 0 dengan gradien -2
B.3. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN MELALUI SEBUAH TITIK DI LUAR
LINGKARAN.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Persamaan garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran pada
hakekatnya dapat anda perhatikan pada uraian, sebagai berikut:
Melalui titik Q(x1, y1) di luar lingkaran dapat
ditarik garis singgung ke lingkaran (ada 2 - y
buah garis singgung), di mana persamaan
garis singgungnya dapat ditentukan dengan
langkah-langkah, sbb:
1. Persamaan garis singgung melalui Q dimi garis singgung 1
ssalkan memiliki gradien m, sehingga: P
g y – ..... = m ( x - ..... )
2. Substitusikan persamaan g ke persamaan A Q(x1, y1)
lingkaran, dan didpat persamaan kuadrat
kemudian tentukan nilai Diskriminan (D).
3. Agar persamaan garis g menyinggung P’
lingkaran maka syarat D = 0 sehingga di- garis singgung 2
dapat nilai m yang memenuhi.
Kemudian nilai m disubstitusikan pada
Persamaan g (persamaan garisnya).
Masalah 11:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 melalui titik (-1, 7) !
Penyelesaian:
Titik (-1, 7) (-1)2 + ....2 > ...... jadi titik berada di luar lingkaran.
1. Garis melalui (-1, 7), missal garis singgung memiliki gradien m, didapat:
g y – ..... = m ( x + ..... ) y = mx + ..... + ...... : persm (a)
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Sebagai bahan belajar siswa
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search