LKS-Mat.XI-50
2. Substitusi (a) ke persamaan: x2 + y2 = 25 , diperoleh:
x2 + (mx + ( ..... + .....) )2 = 25
x2 + ....2 ....2 + 2 mx (.... + ....) + (.... + 7)2 = 25
x2 + ....2 ....2 + 2 m2 x + 14 .... x + .....2 + 14.... + 49 = 25
( 1 + .....2) x2 + (2 m2 + 14 .....) x + (m2 + 14 ..... + .....) = 0
Sehingga D = (2 m2 + 14 .....)2 – 4( 1 + .....2) (m2 + 14 ..... + .....)
= 4m4 + 56 ....3 + ......m2 – 4[m4 + 14 .....3 + .... m2 + m2 + ..... m + .....]
= 4m4 + 56 ....3 + ......m2 – 4m4 - 56 .....3 - .... m2 - ..... m - .....
= 96m2 - ...... m - ......
3. Syarat menyinggung, jika D = 0 maka:
96m2 - ...... m - ...... = 0
12m2 - ..... m - ...... = 0
(4m - ..... )(3m - ..... ) = 0
4m = ....... atau 3m = ..... didpat .... ....
m = - atau m =
Pada akhirnya didapat persamaan garis singgung:
.... ....
* Untuk .... .... x .... +7 4y = - .... x – 3 + ......
m = - , diperoleh: y=- -
.... .... ....
4y = - .... x + ......
* Untuk m = .... , diperoleh: y = .... x + .... + 7 4y = .... x + 4 + ......
.... .... ....
4y = - .... x + ......
Jadi persamaan garis singgung lingkaran : x2 + y2 = 25 melalui titik (-1, 7) adalah:
3x + .... y - ..... = 0 dan 4x - ..... y + ...... = 0
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 36 yang ditarik melalui
titik P(8, 0).
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 -6x +2y + 5 = 0 yang
ditarik melalui titik pangkal koordinat.
3. Diketahui lingkaran x2 + y2 -6x -2y + 8 = 0.
Dengan menggunakan pertolongan garis polar, carilah persamaan garis singgung
pada lingkaran yang ditarik dari titik pangkal.
(Gunakan buku referensi pendukung lainnya)
LKS-Mat.XI-51
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Persamaan garis singgung di titik (-3, 4) pada lingkaran x2 + y2 = 25 adalah:
a. 3y = 4x -25 c. 4y = -3x + 25 e. 4y = 3x + 25
b. 3y = -4x + 25 d. 4y = 3x -25
2. Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada lingkaran x2 + y2 -4x + 6y -12 = 0 adalah:
a. 3x+ 4y -19 = 0 c. 4x – 3y +19 = 0 e. x -7y -26 = 0
b. 3x -4y -19 = 0 d. x + 7y -26 = 0
3. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang ditarik melalui titik (7, 1) adalah .......
a. x - 2y = 25 dan x + 3y = 25 d. 7x + y = 25 dan 7x – y = 25
b. 4x -3y = 25 dan 3x + 4y = 25 e. 7x + y = 25
c. 2x -4y = 25 dan 2x + 4y = 25
4. Lingkaran x2+ y2 -2qx + q = 0 mempunyai jari-jari 2 akan menyinggung garis x – y = 0, bila
nilai p positif sama dengan:
a. 2 b. 2 2 c. 4 d. 4 2 e. 8
5. Persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x2 + y2 -2x - 4y +2 = 0 dan tegak lurus
garis 2x – y + 3 = 0 adalah .............
a. x+ 2y -3 = 0 c. x + y +1 = 0 e. 2x -y -1 = 0
b. 2x +y +1 = 0 d. x - 2y -1 = 0
6. Persamaan garis singgung di titik (5, 12) pada lingkaran x2 + y2 = 169 adalah:
a. 5x +12y = 169 c. -5x - 12y = 169 e. 5x + 12y +169 = 0
b. -5x +12y = 169 d. 5x -12y = 169
7. Persamaan garis singgung melalui titik (2, 1) pada lingkaran x2 + y2 +2x - 4y -5 = 0 adalah:
a. 3x- 5y +1 = 0 c. 3x +y +5 = 0 e. 3x -y -5 = 0
b. 3x +3y +5 = 0 d. 3x -y +5 = 0
8. Lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 3 memotong sumbu x positif, sumbu y positif,
dan sumbu y negatif berturut-turut di titik A, B, dan C. Dibuat garis singgung di B.
Garis yang melalui CA dan memotong garis singgung di titik P. Koordinat titik P adalah ........:
a. (3, 6) c. ( 6 , 10 ) e. ( 6 , 6 )
3
b. ( 10 , 6 ) d. ( 6, 3 )
3
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Diketahui lingkaran (x – 1)2 + (y + 4)2 = 36, Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
yang tegak lurus dengan garis 4x + y – 8 = 0 !
2. Diketahui L1 x2 + y2 = 25 dan L2 x2 + y2 -2x + 6y + 1 = 0:
a. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L1 yang melalui titik P(-3, 4) !
b. Tentukan pula persamaan garis isnggung pada lingkaran L2 , jika:
i. garis singgung sejajar dengan garis singgung pada soal (a).
ii. Garis singgung yang tegak lurus dengan garis singgung pada soal (a).
iii.
Ooo000ooO
LKS-Mat.X-2- 52
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR
Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara
pernyataan berikut):
Menyenangkan 12345 Membosankan
Bermanfaat 12345 Tidak Bermanfaat
Menarik 12345 Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari 12345 Tidak perlu dipelajari
Menantang 12345 Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan
Mempunyai korelasi dengan 1 2 3 4 5 Tidak Mempunyai korelasi
masalah sehari-hari dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian:
1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat
siswa.
2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik
minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.
Standar Kompetensi
Menyusun dan Menggunakan persamaan lingkaran beserta garis singgungnya;
menggunakan algoritma pembagian suku banyak, teorema sisa, dan teorema factor
dalam pemecahan masalah; menggunakan operasi dan manipulasi aljabar dalam
pemecahan masalah yang berkaitan dengan fungsi komposisi dan fungsi invers.
A. PENGERTIAN SUKU BANYAK (POLINOMIUM).
Kompetensi Dasar : 3.3. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menen-
tukan hasil bagi dan sisa pembagian.
A.1. PENGERTIAN, DERAJAT DAN KOEFISIEN SUKU BANYAK.
Pengalaman Belajar: 3.3.1. Mendiskripsikan pengertian suku banyak, derajat suku banyak
dan koefisien suku banyak.
3.3.2. Mendiskusikan dan menentukan nilai suatu suku banyak un-
tuk konstanta tertentu.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut suku banyak (polinomium) diharapkan
peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan
pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Sering kali kita temui model matematika yang sarat dengan operasi
penjumlahan/pengurangan dan tetap memuat variabel (biasanya variabel x), seperti
model berikut ini:
i. 3x2 – 5x + 6 : memiliki 3 suku, pangkat variabel tertinggi adalah .....
ii. 2x4 +x3 -3x2+x -1 : memiliki ..... suku, pangkat variabel tertinggi adalah 4
iii. x6 -3x3 +6x -1 : memiliki ..... suku, pangkat variabel tertinggi adalah .....
iv. 12x10 +5x7 -6x3 + 4x2 +x : memiliki ..... suku, pangkat variabel tertinggi adalah .....
Dalam operasi penjumlahan dan atau pengurangan, setiap elemen/unsur yang
diperlakukan dalam operasi biasa dikenal dengan SUKU.
Dalam kasus di atas nampak bahwa jumlah suku yang ditampilkan lebih dari satu,
sehingga sering dikenal dengan banyak suku dan selanjutnya dapat ditarik pengertian dari
suku banyak, sebagai berikut:
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a2 x2 + a1 x1 + ao xo
atau
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a2 x2 + a1 x1 + ao xo
disebut: Fungsi Suku banyak/Polinomium dalam x berderajat n, dimana nC dan an 0
an , an-1 , an-2 , an-3 , … , a2 , a1 , ao disebut koefisien variabel x.
dan ao disebut suku tetap.
Contoh 1 :
Tentukan derajat suku banyak, koefisien variabel x3 dan suku tetapnya.
a. 3x5 –x3 + 4x – 3 b. x2 (2x4 -3x2 + 12x -2)
Penyelesaian:
a. 3x5 –x3 + 4x – 3 , suku banyak berderajat 5 (sebab pangkat tertinggi)
koefisien variabel x3 adalah -1
suku tetapnya adalah -3
b. x2 (2x4 -3x2 + 12x -2) = 2x6 -3x4 +12x3 -2x2 , suku banyak berderajat ........
koefisien variabel x3 adalah ........
suku tetapnya adalah 0
LKS-Mat.XI- 53
LKS-Mat.XI-54
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahami
permasalahan berikut ini:
Masalah 1:
Diantara suku banyak di bawah ini tentukan derajat, suku tetap dan koefisien dari variabel
x3 dan x ! 6. x2 (2x – 4x3 - 10x – 23)
1. x3 -4x2 +2x – 1
2. x15 -3x4 +3x -4 7. (x – 1 ) ( 2x4 –2x + 23x2 -5)
3. 12x2 -6x + 5x4 – 12x8 8. (2x3 –x2 + 2x -5) (x2 –x)
9. (12x – 3x2 +5)(2x +1)
4. 5 +8x +9x2 -11x8 +12x125
5. 6x6 -7x3 +11x2 -45x +125 10. (x3 – 2x6 -2x) (x3 – 2x2 – 1)
Penyelesaian:
1. f(x) = x3 -4x2 +2x – 1 , f(x) berderajat 3 , suku tetapnya -1
koefisien x3 adalah 1 dan koefisien x adalah 2.
2. f(x) = x15 -3x4 +3x -4 , f(x) berderajat ..... , suku tetapnya ....
koefisien x3 adalah 0 dan koefisien x adalah .....
3. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
4. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
5. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
6. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
7. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
8. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
9. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
10. .........................................................................................................................................
......................................................................................................
OPERASI ALJABAR PADA SUKU BANYAK:
Dua atau lebih suatu suku banyak missal { f(x) dan g(x) } dapat dilakukan operasi
penjumlahan, pengurangan dan perkalian dengan aturan sebagai berikut:
a. Penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan pada setiap koefisien variabel yang
berderajat sama (dapat disederhanakan).
b. Perkalian dapat dilakukan dengan cara mengalikan setiap suku dengan suku yang
lainnya (menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan):
( a + b) (x + y) = a(x + y) + b (x + y) = ax + ay + bx + by
Masalah 2:
Jika f(x) = 3x4 -10x3 -12x2 +6x +20 dan g(x) = 4x2 –x + 11, Dengan menyederhanakan
suku banyak di bawah ini, tentukan derajat dan suku tetapnya:
1. 4 f(x) + 2 g(x) 2. f(x) – 3 g(x) 3. f(x) . g(x)
Penyelesaian :
1. 4 f(x) + 2 g(x) = 4 (3x4 -10x3 -12x2 +6x +20) + 2 (4x2 –x + 11)
= 12x4 -40x3 -48x2 +24x +80 + 8x2 –2x + 22
= 12x4 -40x3 -40x2 +22x + 102
Suku banyak berderajat …… , dan suku tetapnya ……..
LKS-Mat.XI- 55
2. …………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
3. …………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
A.2. NILAI SUKU BANYAK.
Pengantar materi:
Pada suatu fungsi suku banyak f(x) jika variabel x diganti dengan suatu konstanta cR,
diperoleh f(c) , di mana f(c) dikenal dengan Nilai dari fungsi suku banyak f(x)
untuk x = c.
Selanjutnya nilai dari suatu suku banyak f(x) dapat ditentukan dengan aturan:
A.2.1. Cara Substitusi:
Suku bayak f(x) untuk x = c, bernilai sama dengan f(c), jika setiap variabel x
nya diganti dengan c.
Contoh 2 : Nilai suku banyak f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15 untuk x = 2
Penyelesaian : f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15
Untuk x = 2 maka, f(2) = 4.(2)4 -2.(2)3 +11.(2)2 + 6.2 – 15
= 4 (.....) – 2 . ..... + 11 . 4 + ...... – 15
= 64 - ....... + ....... + 12 - 15
= 89 , Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 2 adalah 89.
Diskusikan dengan kelompk belajar anda, maslah berikut ini !
Masalah 3:
Tentukan nilai suku banyak berikut ini: dan y = 2
1. 1 – 3x +8x2 +11x3 -4x5 -10x12 untuk x = -1
2. 6x6 -7x3 +11x2 -45x + 125 untuk x = 3
3. x4 -5x2 + 11x6 -8x9 untuk x = 1
4. 13x3 -6x2 -4x + 8 untuk x = 2
5. (x -1)(x3 – 12x2 + 24) untuk x = ½
6. f(x, y) = x2y + x y2 + 3x – 4y + 2 untuk x = 4
Penyelesaian:
1. f(x) = 1 – 3x +8x2 +11x3 -4x5 -10x12
f(-1) = 1 – 3(-1) +8 (-1)2 +11 (-1)3 -4 (-1)5 -10 (-1)12
= 1 + 3 + 8 . 1 + 11.(-1) – 4 (-1) -10 . 1
= 1 + 3 + 8 – 11 + 4 -10
= ..........
2. f(x) = .....................................................
f(3) = ..............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
3. f(x) = .....................................................
f(3) = ..............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
4. f(x) = .....................................................
f(3) = ..............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
LKS-Mat.XI- 56
5. f(x) = .....................................................
f(3) = ..............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
6. f(x) = .....................................................
f(3) = ..............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
= .............................................................................................................
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Susunlah tiap suku banyak di bawah ini dalam pangkat turun, kemudian tentukan pula
derajat dan suku tetapnya!
a. 7x -2x2 +4x4 + 5x5 + 2x3 -15 d. 5x + x2 – 2x5 + 10x3 -12x
b. 8x – 15 + 3x6 – 2x3 – x4 + 12x5 -3x2 e. 7x -2x5 +4x7 + 5x2 + 2x3 -5
c. 15x + x5 – 2x3 + 10x4 -10
2. Tentukan hasil operasi aljabar suku banyak dan derajatnya di bawah ini!
a. (12x3 -5x2 +7x -6) + (7 -5x +10x2 -15x3 +x4)
b. (5t2 +6t4 -2t3 -3t +5) + (3t4 -3t2 + 4)
c. (x5 -3x3 +6x -11) –(4x4 +2x3 -5x2 + 9)
d. (12a3 -15a2 +7a +6a4 -8) – (17 +5a +10a2 +11a3 -2a4)
e. (x2 -2) (x2 +3x + 2)
f. (x3 +2x2 +x4) (x – 2)
g. (x + 2)3 (x2 –x + 3)
3. Tentukan nilai suku banyak pada no 1 untuk :
a. x = 2 c. x = -2 e. x = -1
b. x = 1 d. X = ½
A.2.2. Cara skema/bagan (Horner):
Suku bayak f(x) untuk x = c, bernilai sama dengan f(c), dapat ditentukan
dengan cara bagan/skema atau lebih dikenal cara Horner.
Missal: f(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + ao untuk x = k mempunyai nilai :
Menurut teorema Horner dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
k a4 a3 a2 a1 ao
+
a4 k + + +
a4 k2+ a3 k a4 k3+ a3 k2+ a2 k a4 k4+a3 k3+a2 k2+a1k
a4 a4 k + a3 a4 k2+ a3 k +a2 a4 k3+ a3 k2+ a2 k +a1 a4 k4+a3 k3+a2 k2+a1k+ao
: Tanda ini berarti kalikan dengan k f(k)
Contoh 3 : Dengan cara Horner tentukan Nilai suku banyak
f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15 untuk x = 2
Penyelesaian :
2 4 -2 11 6 -15
8 ....... 46 ……..
46 23 …… ……
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, beberapa masalah di bawah ini !
Masalah 4:
Tentukan nilai suku banyak di bawah ini dengan cara bagan:
1. f(x) = x3 –x2 +4x -2 untuk x = 1
LKS-Mat.XI- 57
2. f(x) = x4 +2x2 +4x -1 untuk x = 2
3. f(x, y) = x2y +x3y2 +x2 +3y +2 untuk x = 2
4. f(x, 3) Jika f(x, y) = 4x3 y2 -5x2y2 +6x2 –y2 +2
5. f(3) Jika f(x) = x4 -3x3 +x -1
Penyelesaian:
1. f(x) = x3 –x2 +4x -2 untuk x = 1
11 -1 4 -2
....... ...... ........
1 0 ...... 2 = f(1) Nilai f(x) untuk x = 1
2. f(x) = x4 +2x2 +4x -1 untuk x = 2
21 ....... 4 ........
1 ....... ...... ........
....... ...... ....... = f(2) Nilai f(x) untuk x = 2
3. f(x, y) = x2y +x3y2 +x2 +3y +2 untuk x = 2
Andaikan fungsi dalam variabel x, sehingga didapat:
f(x, y) = y2 x3 + (y +1) x2 + (3y +2)
........ y2 (y +1) 0 (3y +2)
....... ...... ............
y2 ............... ............ 8y2 +7y +6 = f(2, y)
4. f(3, y) Jika f(x, y) = 4x3 y2 -5x2y2 +6x2 –y2 +2
Andaikan fungsi dalam variabel x, sehingga didapat:
f(x, y) = 4y2 x3 + (6 - 5y2 ) x2 + (2 –y2)
........ 4y2 ………. 0 (2 –y2)
....... ...... ............
4y2 ............... ............ ……………….. = f(3, y)
5. f(3) Jika f(x) = x4 -3x3 +x -1
........ 1 ....... ...... ....... -1
....... ...... ....... .......
........ ........ ...... ....... ....... = f(3)
A.3. PEMBAGIAN SUKU BANYAK.
Pengantar materi:
Perhatikan operasi pembagian yang dilakukan pada bilangan: 242 : 5 = ......
5 48 Hasil Bagi [ H(x) ]
242 Bil. Yang dibagi [ F(x) ]
Pembagi 20
[ p(x) ] 42 Sisa Pembagian [ S(x) ]
40
2
Dapat disimpulkan bahwa: F(x) = p(x) . H(x) + S(x) Bentuk umum pembagian
LKS-Mat.XI-58
Yang perlu diingat dan penting adalah :
i. Derajat F(x) = Derajat H(x) + Derajat p(x)
ii. Derajat S(x) maximum adalah satu lebih kecil dari derajat p(x)
iii. Pembagian dikatakan habis dibagi jika S(x) = 0
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam
tentang aturan pembagian suku banyak [ f(x) ] oleh suku banyak lain [ g(x) ], berikut ini:
A.3.1. Cara bersusun / bertingkat / para gapit:
Contoh 4 : Tentukan Hasil dan sisa pembagian dari:
f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15 oleh x2 – 3x +5
Penyelesaian : f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15 oleh x2 – 3x +5
4x2 + ..... x + .......
x2 – 3x +5 4x4 - 2x3 + 11x2 + 6x – 15
4x4 -12x3 + ..... x2
10x3 - 9x2 + 6x – 15
10x3 - .....x2 + 50x
21x2 - .....x - .......
.....x2 - ......x + 180
......x + .......
Jadi f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15 dibagi oleh x2 – 3x +5
Hasil Baginya = 4x2 +10x + 21 Sisa 107 x - 120
A.3.2. Cara Bagan / Horner:
Metode ini akan lebih membantu jika digunakan untuk pembagi bentuk linier,
missalnya (x a) , ( ax b ) atau bentuk lain yang dapat difaktorkan.
Aturan yang digunakan dalam hal ini adalah:
Missal: f(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + ao dibagi oleh (x – k)
Menurut teorema Horner Hasil dan sisa pembagian dapat ditentukan, sbb:
k a4 a3 a2 a1 ao
+
a4 k + + +
a4 k2+ a3 k a4 k3+ a3 k2+ a2 k a4 k4+a3 k3+a2 k2+a1k
a4 a4 k + a3 a4 k2+ a3 k +a2 a4 k3+ a3 k2+ a2 k +a1 a4 k4+a3 k3+a2 k2+a1k+ao
Koefisien hasil bagi Sisa = f(k)
Contoh 4 : Tentukan Hasil dan sisa pembagian dari:
f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15 oleh ( x -2 )
Penyelesaian : f(x) = 4x4 -2x3 +11x2 + 6x – 15 dibagi oleh ( x -2 )
2 4 ....... ...... ....... -15
....... ...... ....... .......
........ ........ 23 ....... ....... = f(2)
Jadi f(x) : (x -2) = 4x3 +6x2 +23x + 52 sisa 89
LKS-Mat.XI-59
Diskusikan dengan kelompk belajar anda, masalah berikut ini !
Masalah 5:
1. Tentukan Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut ini dengan
metode bersusun! dibagi oleh p(x) = 3x2 + 4
a. f(x) = 3x3 -2x2 + 8x – 5
b. f(x) = 6x6 – 8x5 + x3 + 2x -2 dibagi oleh p(x) = 2x4 + 3x2 + x - 1
2. Tentukan Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut ini dengan meto
de horner!
a. f(x) = 2x3 -7x2 +7x + 5 dibagi oleh (x – 2 )
b. f(x) = 6x2 -5x + 3 dibagi oleh ( 2x -3 )
Penyelesaian: dibagi oleh p(x) = 3x2 + 4
1. a. f(x) = 3x3 -2x2 + 8x – 5
2
x+
3
3x2 +4 3x3 - 2x2 + 8 x – 5
3x3 + .….x
- 2x2 + …. x – 5
.....x2 + …..
..... x - .......
Jadi f(x) = 3x3 -2x2 + 8x – 5 dibagi oleh 3x2 +4
Hasil Baginya = x + ....... Sisa ..... x - .......
.......
b. f(x) = 6x5 – 8x4 + x3 + 2x -2 dibagi oleh p(x) = 2x3 + 3x2 + x - 1
3x2 - ..... ......
x+
..... ......
2x3 + 3x2 +x -1 6x5 - 8x4 + x3 + 2x – 2
6x5 + .....x4 + ..... x3 - ….x2
-17x4 - …..x3 - 3 x2 + 2x – 2
-17x4 - 51 x3 - ..... x2 .....
+x
2 ..... .....
..... x3 + ..... x2 - .....
x-2
..... ..... .....
..... x3 + ..... x2 + ..... .....
x-
..... ..... ..... .....
- ..... x2 - ..... .....
x+
..... ..... .....
Jadi f(x) = 6x5 – 8x4 + x3 + 2x -2 dibagi oleh p(x) = 2x3 + 3x2 + x - 1
Hasil Baginya = 3x2 - ..... ...... Sisa - ..... x2 - ..... + .....
x+ x
..... ...... ..... ..... .....
LKS-Mat.XI-60
2. a. f(x) = 2x3 -7x2 +7x + 5 dibagi olelh (x – 2 )
2 2 ....... ...... 5
....... ...... .......
........ ........ ...... ....... = f(2)
Jadi f(x) : (x -2) = ............................. sisa .........
b. f(x) = 6x2 -5x + 3 dibagi oleh ( 2x -3 )
3 ....... ......
6 ....... ......
2
........ ........ 3
...... = f( )
2
Jadi f(x) : (2x -3) = .......................... sisa .........
2
A.3.3. Pembagian suku banyak oleh pembagi bentuk kuadrat ax2 +bx + c, a 0.
Dalam hal ini : ax2 +bx + c misalkan dapat difaktorkan menjadi: a (x –p)(x –q),
maka secara umum pola pembagian suku banyak dapat dinyatakan sebagai
berikut: F(x) = p(x) . H(x) + S(x) atau F(x) = a (x –p)(x –q) . H(x) + (mx + n)
Diskusikan bersama-sama masalah berikut ini !
Masalah 6:
Tentukan Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut ini !
1. f(x) = 2x3 -3x2 + 2x –3 dibagi oleh p(x) = x2 -3x + 2
2. f(x) = 4x3 – 15x + x4 –x2 -10 dibagi oleh p(x) = x2 + x - 6
Penyelesaian: dibagi oleh p(x) = x2 -3x + 2
1. f(x) = 2x3 -3x2 + 2x –3
…. x + 3
x2 -3x + 2 2x3 – 3 x2 + 2 x –3
…. x3 - ….x2 + 4 x
3 x2 - …. x - …..
….x2 - …. x + .….
7 x - ……
Jadi Hasil baginya = ( 2x + …. ) dan Sisanya ( ….x – 9)
2. f(x) = 4x3 – 15x + x4 –x2 -10 dibagi oleh p(x) = x2 + x – 6
= x4 +4x3 –x2 – 15x -10 = (x -2)(x +3)
(x – 2) 2 1 4 -1 -15 -10
……. 12 ……. …….
1 6 …… ……. 4 = S1
(x + 3) -3 ……. -9 …….
……. 3 …… ……. = S2
Hasil baginya = x2 + …. x + …..
Sisanya = p1 S2 + S1 = (x -2) . ….. + ….. = x - ….. + 4 = x + 2
LKS-Mat.XI-61
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. f(x) = 3x4 +2x3 -3x2 +2x -3 dibagi oleh 2x -1
2. f(x) = 6x5 -5x4 -3x2 + 31 dibagi oleh 2x -3
3. f(x) = 3x5 +4x4 –x3 +x2 +x -10 dibagi oleh x -2
4. f(x) = 3x5 –x3 +2x -8 dibagi oleh x + 4
5. f(x) = 3x3 -2x2 +5x -8 dibagi oleh (x2 +2x +1)
6. f(x) = 6x4 -2x3 +4x2 +2x +1 dibagi oleh (x2 -x -3)
7. f(x) = 3x5 -5x4 +3x3 -12x2 +10x -12 dibagi oleh (x2 +2x +1)
8. f(x) = x5 –4x3 +2x -6 dibagi oleh (x2 -3x – 4)
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Jika f(x) = 6x3 +7x2 +kx -24 dan f( 1 ) = 0 maka nilai f( -1) adalah .........
a. -34 b. -15 c. -8 d. 15 e. 31
2. Suatu fungsi f(x) = 16x4 -4x3 +8x2 –x + 1 dibagi (2x + 1) maka Sisanya adalah ...................
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
3. Bila x3-4x2 +5x + p dan x2 +3x -2 dibagi (x +1) diperoleh sisa yang sama, maka nilai p adalah:
a. 6 b. 4 c. -2 d. -4 e. -6
4. Suatu fungsi f(x) = 2x5 -6x3 + x – 1 dibagi oleh (x + 1) didapat sisa = ......
a. -3 b. -2 c. -1 d. 1 e. 2
5. Nilai suku banyak f(x) = 10x3 -11x2 -7x +16 untuk x = -1 adalah ....................
a. 1 b. 2 c. 8 d. 10 e. 12
6. Bila f(x) = 3x3 +-11x + a habis dibagi oleh 3x -1 maka nilai a adalah .......
a. 5 b. 3 c. 2 d. 1 e. -1
7. Bila f(x) = 3x4 -2x3 +4x2 + px -12 habis dibagi oleh (x – 1), maka nilai p = .....
a. 7 b. 5 c. 3 d. 1 e. -1
8. Bila 2x3 –x2 –ax + 7 dan x3 +3x2 -4x -1 dibagi ( x + 1) diperoleh sisa yang sama, maka a = .
a. -10 b. -1 c. 1 d. 5 e. 10
9. Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak x5 -3x4 +3x2 +x + 3 oleh x -3 berturut-turut adalh
a. x4 +3x +10 sisa 21 c. x4 +3x +10 sisa 30 e. x4 +3x +10 sisa 33
b. x4 +3x +10 sisa 28 d. x4 +3x +10 sisa 31
10. Suatu fungsi -x2 -15x +x4 +4x3 -11 dibagi oleh x2 +x -16, maka sisanya adalah .......
a. x-2 b. X +1 c. X +3 d. X -4 e. X +2
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan Sisa pembagian berikut ini: c. (-15x4 -8x5 +12x –x3 +2 ) : (x -2)
a. (7x6 +5x4 +x – 2) : (x + 1)
b. (6x3 +2x2 -8x -11) : ( 2x – 1)
2. Tentukan nilai dari fungsi suku banyak berikut ini:
a. f(x) = 5 – 6x2 + x + 17x5 -14x3 -8x6 untuk x = -1
b. f(x) = -x2 -15x +x4 +4x3 -11 untuk x = ½
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut ini!
a. x3 +4x2 +x – 6 dibagi oleh x2 + 5x +6
b. 2x4 -17x3 +2x2 +180x -90 dibagi oleh x – 2
c. 7x2 -40 +2x + x3 dibagi oleh x2 +2x -8
d. -8 -18x + x2 +2x3 dibagi oleh -12 +x + x2
LKS-Mat.XI-62
B. TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR.
Kompetensi Dasar : 3.4. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan
masalah serta membuktikan teorema sisa dan teorema faktor.
Pengalaman Belajar : 3.4.1. Mendiskusikan teorema sisa dengan pembagi bentuk (x –k) ;
(ax +b) dan (ax2 +bx +c) dimana a 0.
3.4.2. Mendiskusikan teorema faktor untuk mencari akar persamaan su
ku banyak.
3.4.3. Mendiskusikan cara menentukan akar raional suatu suku banyak.
3.4.4. Mendiskusikan pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat guna
membuktikan teorema sisa dan teorema faktor.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan
matematika yang menyangkut Teorema Sisa dan Teorema faktor diharapkan peserta didik
secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar
terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
B.1. TEOREMA SISA.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Teorema sisa, dapat didefinisikan sebagai berikut:
a. Jika f(x) suatu suku banyak dibagi oleh (x k) maka Sisa -nya adalah f( k).
f(x) = (x k) H(x) + f( k)
b. Jika f(x) suatu suku banyak dibagi oleh (ax b) maka Sisa-nya adalah f( b )
a
f(x) = (ax b) H(x) + f( b )
a
c. Jika f(x) dibagi oleh (ax2+ bx +c) = (x –a)(x – b) maka Sisa-nya adalah px + q
f(x) = (x -a) (x – b) H(x) + (px + q) , di mana px + q dapat ditentukan dengan men-
substitusikan x = a dan x = b ke dalam bentuk: f(x) = (x -a) (x – b) H(x) + (px + q)
atau Sisa-nya dapat dinyatakan dalam : S(x) = (x b) . f (a) (x a) . f (b)
ab ba
Catatan: Jika pembagi berderajat n maka sisa pembagian berderajat n -1.
Masalah 7:
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) sisanya 5 dan bila dibagi (x + 2) sisanya -4.
Hitung sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 +x -2 !
Penyelesaian:
Pola pembagiannya: f(x) = (x2 +x -2) H(x) + (ax + b)
f(x) = (x -1)(x +2) H(x) + (ax + b)
Berdasar teorema sisa maka:
f( 1 ) = 5 sehingga f(1) = (1 -1)(1 +2) H(1) + a.1 + b = 5 ..... + b = 5 --------*)
f( -2) = -4 sehingga f(-2)= (-2-1)(-2+2) H(-2) + a(-2)+b = -4 -2a + …. = -4 ------**)
*) …… + b = 5 a + b = 5 b = 5 - …..
**) -2a + …. = …… b = ……..
3a = …… a = ……
Sehingga Sisanya = ax + b S(x) = ….. x + …..
Masalah 8:
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (2x2 +x -3) sisanya (4x +7)
Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (2x +3) !
LKS-Mat.XI-63
Penyelesaian:
3
f(x) : (2x +3) maka Sisanya: S(x) = f(- )
2
f(x) = (2x2 +x -3).H(x) + (…..x +…..) = (2x +.....)(x -......) H(x) + (.......x +7)
33
f(- ) = 0 . H( ...... ) + ( ..... ) ( - ) + 7 = ........
22
Jadi Sisanya adalah ....................
B.2. TEOREMA FAKTOR.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Teorema Faktor, dapat didefinisikan sebagai berikut:
a. Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh suku banyak lain p(x) bersisa 0 [Dengan kata
lain f(x) habis dibagi oleh p(x) ] maka p(x) disebut faktor dari f(x).
b. Jika f(x) = 0 dan f(a) = 0 maka (x – a) merupakan faktor dari f(x).
c. Jika f(x) = 0 dan (x –a) merupakan factor dari f(x), maka x = a merupakan akar dari
f(x) = 0.
Masalah 9:
Jika suatu suku banyak 2x3 +8x2 -2x -8 habis dibagi oleh (x + 1).
Tentukan akar yang lainnya !
Penyelesaian:
-1 2 ....... ........ -8
....... -6 .......
....... 6 ........ 0
2x3 +8x2 -2x -8 = (x + 1) (..... x2 + ..... x - ..... ) = (x + 1) ( 2x - .... ) (x + .....)
Jadi akar-akar yang lain adalah : ........ dan ........
Masalah 10:
Tentukan akar-akar rasional dari x4 -7x3 +5x2 +31x -30 !
Penyelesaian:
x4 -7x3 +5x2 +31x -30 , Akar-akar yang mungkin adalah pembagi -30, Kemungkinannya
adalah 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30
1 1 ....... ........ ........ -30
....... -6 ........ ......
-2 ....... -6 ........ ........ 0 jadi ( x - 1) faktor dari f(x)
....... 16 ........
3 ........ ....... 15 0 jadi ( x + 2 ) faktor dari f(x)
3 ........
5 1 ........ 0 jadi ( x – 3 ) faktor dari f(x)
.......
10 jadi ( x – 5 ) faktor dari f(x)
Jadi akar-akarnya adalah 1, -2, 3 dan 5
LKS-Mat.XI-64
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
9. Jika f(x) dibagi x2 –x dan x2 + x masing-maing bersisa 5x +1 dan 3x + 1, Tentukan
sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 -1 !
10. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x +3) bersisa 11 dan jika dibagi (x -1) bersisa -5.
Tentukan sisanya jika f(x0 dibagi oleh x2 +2x -3 !
11. Bila x4 + x3 -6x2 + 9 dibagi dengan (x -2)(x + 3), tentukan sisanya !
12. Tentukan nilai p jika (x +1) merupakan faktor dari g(x) = x4 -5x3 +2px2 + x + 1 !
13. Jika f(x) dibagi oleh x2 -8x + 15 sisanya 4x -7, Tentukan sisanya jika dibagi oleh (x – 3) !
14. Jika x = -2 adalah akar dari f(x0 = x3 +4x2 =7x + k = 0, maka tentukan hasil kali akar-akarnya
15. Tentukan Akar-akar bulat dari f(x) = 3x3 -2x2 -27x + 18 = 0 !
16. Tentukan nilai p jika f(x0 = x3 -4x2 +5x+ p dan x2 + 3x -2 dibagi ( x + 1) memberikan sisa
sama!
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Salah satu faktor dari 4x3 +14x2 +4x -6 adalah .........
a. 2x +1 b. 2x +3 c. 2x -3 d. 2x -1 e. 2x -2
2. Suku banyak 4x4 -5x2 +7x - 9 dibagi (x + 2) maka Sisanya adalah ...................
a. -25 b. -26 c. -27 d. -28 e. -30
3. Bila x5-2x3 +4x - 7 dibagi (3x -6) diperoleh sisa :
a. 15 b. 16 c. 17 d. 18 e. 19
4. Suatu fungsi f(x) = x3 -5x2 -8x + k habis dibagi oleh (x - 2) , nilai k = ......
a. 22 b. 24 c. 26 d. 28 e. 30
5. Jika suku banyak f(x) = x4 +5x3 -2x2 +Ax +B habis dibagi oleh x2 -1, maka A + B = .......
a. -5 b. -4 c. -3 d. -2 e. -1
6. Bila f(x) = 2x3 -6x2 +7x + a jika dibagi oleh x + 3 sisanya 11, maka nilai a adalah .......
a. 140 b. 141 c. 142 d. 143 e. 144
7. Bila f(x) dibagi (x +2) sisanya -1 dan dibagi (x -1) sisanya 2. Maka bila dibagi oleh x2 + x -2
sisanya adalah ...........
a. x -4 b. x +3 c. x +2 d. x -2 e. x + 1
8. Bila f(x) = 7x + 5x5 -12 –x3 +2x6 -14x4 jika dibagi dengan 1 + x + x2 , maka sisanya adalah:
a. 14 -x b. 16 -12x c. 15 +8x d. -16-12x e. 7 -x
9. Suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x -2 sisanya 8, dan jika dibagi x + 3 sisanya -7.
Sisa pembagian f(x) jika dibagi oleh x2 +x -6 adalah ..........
a. 9x -7 b. x +6 c. 2x +3 d. x -4 e. 3x + 2
10. Salah satu akar persamaan 2x3 -7x2 -7x + 30 = 0 adalah 3, maka jumlah dua akar yang lain
adalah .......
a. – ½ b. ½ c. 1 d. 3 e. 5
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
3. Apabila x -2 merupakan faktor dari 2x3 +3x2 -8x -12, Tentukan faktor-faktor yang lainnya !
4. Tentukan sisa pembagian dari f(x0 = 4x4 -2x3 +6x2 +x + 8 jika dibagi oleh (2x -1)
5. Tentukan faktor linier dari 2x3 +x2 -13x + 6 !
6. Jika f(x) dibagi (x +2) bersisa 7 dan dibagi (x -3) bersisa 10.
Tentukan sisanya jika dibagi x2 –x -6 !
7. Buktikan bahwa x = 2 merupakan akar persamaan x3 -6x2 +11x -6 = 0, kemudian
tentukanlah akar-akar yang lain !
ooo000O000ooo
LKS-Mat.X-2- 65
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR
Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara
pernyataan berikut):
Menyenangkan 12345 Membosankan
Bermanfaat 12345 Tidak Bermanfaat
Menarik 12345 Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari 12345 Tidak perlu dipelajari
Menantang 12345 Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan
Mempunyai korelasi dengan 1 2 3 4 5 Tidak Mempunyai korelasi
masalah sehari-hari dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian:
1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat
siswa.
2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik
minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.
Standar Kompetensi
Menyusun dan Menggunakan persamaan lingkaran beserta garis singgungnya;
menggunakan algoritma pembagian suku banyak, teorema sisa, dan teorema factor
dalam pemecahan masalah; menggunakan operasi dan manipulasi aljabar dalam
pemecahan masalah yang berkaitan dengan fungsi komposisi dan fungsi invers.
A. FUNGSI DAN FUNGSI KOMPOSISI.
Kompetensi Dasar : 3.5. Menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam
pemecahan masalah.
A.1. PENGERTIAN DAN JENIS-JENIS FUNGSI
Pengalaman Belajar: 3.5.1. Mendiskripsikan pengertian Fungsi dan Jenis-jenis fungsi.
3.5.2. Menjelaskan dan menentukan hasil dari operasi ajabar pada
fungsi.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut fungsi dan komposisi fungsi diharapkan
peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan
pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Fungsi berikut operasi aljabar sebenarnya sudah mulai dikenal pada saat anda mengikuti
pendidikan jenjang SLTP, sehingga guna memahami fungsi dan komposisi fungsi
sebenarnya tak sulit, berikut ini marilah kita mengingat kembali beberapa hal berikut ini.
Fungsi : Relasi yang merupakan pemetaan.
Pemetaan: Suatu relasi yang menghubungkan / f
memetakan setiap anggota himpunan a x
Daerah Asal (Domain) dengan tepat satu b y
anggota himpunan Daerah Kawan (Ko- z
Domain / Range) w
cv
AB
Dan pada akhirnya terdefinisi: f : A B f (x) = 2x2 -1
f : x 2x2 -1 atau
JENIS-JENIS FUNGSI:
f. Fungsi konstan.
Jika untuk setiap x (pada Domain) berlaku f(x) = c, di mana c Bilangan konstan.
Contoh 1: Fungsi pada R didefinisikan f(x) = 4, untuk setiap x maka:
Tentukan f(0) , f(3) dan tentukan daerah hasil (Hf) !
Penyelesaian:
f(0) = 4 , f(3) = ....... dan Hf = { 4 }
g. Fungsi Identitas.
Apabila untuk setiap x (pada Domain) berlaku f(x) = x.
Merupakan fungsi yang memetakan pada dirinya sendiri.
h. Fungsi Tangga.
Merupakan suatu fungsi f(x) yang grafiknya merupakan ruas-ruas garis yang sejajar
dan berurutan.
1,untuk : x 0
Contoh 2: Fungsi pada R didefinisikan f(x) = 1,untuk : 0 x 2 maka:
2,untuk : x 2
Tentukan f(-1) , f(1), f(2), f(3) tentukan daerah hasil (Hf) dan
Gambar grafiknya!
LKS-Mat.XI- 67
LKS-Mat.XI-68
Penyelesaian:
f(-1) = ..... , f(1) = ......, f(2) = ....... , f(3) = ....... dan Hf = { -1, 1, 2 }
2
1
-1
i. Fungsi Modulus (Harga Mutlak).
x,untuk : x 0
Suatu fungsi yang didefinisikan sebagai f(x) = I x I = x,untuk : x 0
j. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil.
Suatu fungsi f(x) disebuf fungsi genap jika berlaku f(-x) = f(x) dan
Suatu fungsi f(x) disebuf fungsi ganjil jika berlaku f(-x) = -f(x)
Contoh 3:
i. Fungsi f(x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab f(-x) = cos (-x) = cos x = f(x).
ii. Fungsi f(x) = x3 merupakan fungsi ganjil, sebab f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)
k. Fungsi Linier.
Suatu fungsi yang didefinisikan dalam f(x) = ax + b, di mana a, b Real dan a tidak 0.
Grafik fungsi linier berbentuk titik atau garis lurus.
l. Fungsi Kuadrat.
Fungsi yang didefinisikan dalam f(x) = ax2 + bx +c, di mana a, b, c Real dan a tidak 0.
Sifat fungsi kuadrat :
i. Grafiknya berbentuk parabola.
ii. Bila a > 0, grafiknya menghadap ke atas.
iii. Bila a < 0, grafiknya menghadap ke bawah. c
b
iv. Sumbu simetri : x =
2a
pq
b D Puncak
v. Puncak / Titik Balik : ( , )
2a 4a
SIFAT-SIFAT FUNGSI:
a. Fungsi Injektif (Satu-satu).
Fungsi f dari A B disebut satu-satu bila memenuhi: ”Jika a b maka f(a) f(b)”
atau ”Jika a = b maka f(a) = f(b)”
Fungsi Surjektif (Onto).
Fungsi f dari A B disebut fungsi surjektif (onto) bila daerah hasil fungsi f sama
dengan daerah kawan fungi f.
b. Fungsi Bijektif (Korespondensi satu-satu).
Apabila fungsi f dari A B sekaligus satu-satu dan onto, maka fungsi f tersebut
bijektif.
A.2. ALJABAR FUNGSI.
Aljabar fungsi pada hakekatnya mengikuti norma sebagai berikut:
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) d. f (x) f (x) , g(x) 0
g g(x)
b. (f - g)(x) = f(x) - g(x) e. (k f)(x) = k. f(x) , k R
c. (f . g)(x) = f(x) . g(x) f. (fn)(x) = [f(x)]n , DAfn = DAf
Domain fungsi-fungsi f +g, f – g, f . g dan f / g adalah Df Dg
LKS-Mat.XI-69
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahami
permasalahan berikut ini:
Masalah 1: dan g(x) = x2 16 , Tentukan Domain kedua fungsi tsb!
1
Diketahui f(x) =
2x 4
Penyelesaian:
1 , Syarat 2x + 4 0 2x -4 x ........
a. f(x) =
2x 4
Jadi Df = { x I x ........ , x R }
b. g(x) = x2 16 , Syarat x2 - ....... 0 x2 ...... x = 4 v x = -4
B -4 S 4 B
Jadi Dg = {xI x ……. V x ...... , x R }
Masalah 2:
Sebuah fungsi f(x) = ax + b, grafiknya melalui titik A (3, 2) , B (2, 0) dan C(-1, c)
Tentukan Nilai a, b dan c !
Penyelesaian:
f(x) = ax + b, melalui titik A (3, 2) 2 = 3 a + b
B (2, 0) ….. = …… a + b
2 = …… b = ……
C (-1, c) c = (-1) …. + …… = ……
A.3. NILAI SUATU FUNGSI.
Suatu fungsi f(x) akan mempunyai nilai untuk x = c, yang didefinisikan f(c).
Contoh 3 : Diketahui fungsi f(x) = 3x2-1,
Tentukan nilai fungsi untuk x = 2 , x = a -1 dan x = 3x +1
Penyelesaian:
f(x) = 3x2-1 maka f(2) = 3. 22 -1 = ..... -1 = ........
f(a-1) = 3(...... -1)2 -1
f(3x+1) = 3(…… +1)2 -1
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Selidiki mana yang termasuk fungsi ganjil dan atau genap !
a. f(x0 = x2 + 1 b. f(x) = x3 – x c. f(x) = x + 1
2. Diberikan fungsi f(x) = 1 , Tentukan daerah asal fungsi ini !
x2 x 2
3. Tentukan Daerah Hasil dari fungsi: f(x) = x2 -3x + 1, dengan Df = {xI -1 x 2 , x R }
4,untuk : x 2
4. Buatlah sketsa grafik fungsi: f(x) = x 2 , untuk : 2 x2
6 x,untuk : x 2
5. Diketahui : f(x) = 36 x2 dan g(x) = 2x , Tentukan fungsi dan Domainnya !
25 x2
a. (f + g)(x) b. (f – g)(x) c. (f . g)(x) f
d. ( )(x)
g
LKS-Mat.XI-70
A.3. FUNGSI KOMPOSISI.
Pengantar materi:
Suatu fungsi yang merupakan gabungan dari dua atau lebih fungsi-fungsi tunggal disebut
dengan fungsi komposisi.
Selanjutnya anda dipandu guna memahami pengertian fungsi komposisi sebagai berikut:
fg
A BC
gof
Dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi (f o g) jika Daerah Kawan bagi fungsi f adalah
himpunan bagian dari daerah asal bagi g yang berarti: DKf DAg.
Dan selanjutnya fungsi komposisi terdefinisi: (f o g)(x) = f[g(x)]
Masalah 4:
Sebuah fungsi f : R R yang didefinisikan f(x) = 2x + 1, dan g : R R yang didefinisi-
kan g(x) = 4x, Tentukan fungsi f o g dan g o f !
Penyelesaian:
a. f o g = f[g(x)] = f[4x] = 2(....... + 1) = ...... + ........
b. g o f = g[f(x)] = g[..... + 1] = 4 ( ...... + ......) = ....... + .......
SIFAT-SIFAT KOMPOSISI FUNGSI:
1. Tidak komutatif : fog gof
2. Berlaku Assosiatif : ( f o g ) o h = f o ( g o h )
3. Terdapat fungsi Identitas i(x) = x sedemikian hingga (f o i)(x) = (i o f)(x)
Masalah 5:
Sebuah fungsi f : R R yang didefinisikan f(x) = 2 + x, g : R R yang didefinisi-
kan g(x) = x2 -1 , dan h : R R yang didefinisikan h(x) = 3x.
Tentukan fungsi : a. (h o g o f)(x) c. (f o g o h)(x)
b. (h o g o f)(3) d. (f o g o h)(3)
Penyelesaian:
a. (h o g o f)(x) = h [ g { f(x) } ] = h [ g (2 +x) ] = h [ (2 +x)2 - .... ] = h [ 4 + ..... + ...... -1 ]
= h [...... + 4x + ...... ] = 3 [...... + 4x + ...... ]
= ....... + ....... + ........
b. (h o g o f)(3) = ....... + ....... + ........ = .......
c. (f o g o h)(x) = f [ g { h(x) } ] = f [ g (3x) ] = f [ (.......)2 – 1 ] = f ( 9x2 – 1 )
= 2 + ....... – 1
c. (f o g o h)(3) = 2 + ........ - ........ = ..........
Masalah 6:
Diketahui f(x) = x -1 dan (f o g)(x) = 2x +4. Tentukan g(x) !
Penyelesaian:
Gunakan definisi fungsi komposisi sehingga dapat diturunkan hubungan sebagai berikut:
f(x) = x -1 dan (f o g)(x) = 2x +4
(f o g)(x) = 2x +4
f( g (x) ) = 2x +4 g(x) – ....... = ......... + 4 g(x) = ...... + ........
LKS-Mat.XI-71
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Diketahui f(x) = 2x = 1 dan g(x) = x2 + 2, Tentukan:
a. (g o f)(x) b. (f o g)(x) c. (g o f)(x) – (f o g)(x) d. (f o g)(-2)
2. Diketahui f(x) = 2 + x dan (g o f)(x) = 4 + 2x , Tentukan : g(x) dan (f o g)(2) !
3. Diketahui g(x) = x2 – 2x dan (f o g)(2x -1) = 16x2 -32x +14, Tentukan f(x) !
4. Diketahui f(x) = x -2 dan g(x) = x2 + mx. Jika (g o f)(-3) = 20, Nilai m = .......
5. Diketahui f(x) = x2 -1 dan (f o g)(x) = 3x2 4x 1 , Tentukan g(x) dan g(1) !
x2
6. Jika f(x) = 3x , g(x) = x + 1 dan [(fog)oh](x) = x2 +4x +10, Tentukan h(x) !
7. Jika (f o g)(x) = x2 -4x + 3 dan g(x) = x -1 maka Tentukan f(x) dan f(-2) !
8. Jika f(x) = 2 –x dan g(x) = x2 + 1 dan h(x) = 2x maka Tentukan f o g o h dan h o g o f !
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Jika f(x) = 2X + 7 , g(x) = x2 -4x +6 dan (f + g)(x) = 28 maka nilai x yang memenuhi = .........
a. -5 v 2 b. -2 v -5 c. 3 v -5 d. 3 v 5 e. -3 v 5
2. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x +2, Jika (f o g)(x) = 5, maka nilai x adalah ............
a. -3 v ½ b. 3 v – ½ c. -3 v – ½ d. 3 v 3/2 e. -3 v 3/2
3. Bila Diketahui f(x) = x2 +x -2 dan g(x) = x2 –x -6, maka g(x) ........:
f (x)
x 1 x 1 x3 x3 x2
a. b. c. d. e.
x2 x3 x 1 x2 x 1
4. Suatu fungsi f(x) = 12x2 +3 dan g(x) = x 1 , maka (f –g)(3) = ........
a. 107 b. 108 c. 109 d. 110 e. 111
5. Jika p(x) = g(x) + f(x) dan f(x) = 2x +6, serta p(x) = 6x -12 maka g(x) adalah ....................
a. 4x -6 b. 4x +6 c. 6 -4x d. 4x -18 e. 8x -18
6. Bila f(x) = x2 dan g(x) = 4x =1, maka (f o g)(x) adalah .......
a. 16x2+8x +1 c. 8x2+16x -1 e. 6x2-8x -1
b. 16x2+8x -1 d. 8x2+16x +1
7. Bila f(x) = x + 2 dan (g o f)(x) = 6 -3x2 , maka g(x) = .....
a. -3x2 -8 c. -3x2 -12x -6 e. -3x2 –x +4
b. -3x2 +12x -6 d. -3x2 +x + 8
8. Bila g(x -1) = 4x2 -8x + 4 dan (f o g)(x) = 8x2 + 3 . maka f(1) = .....
a. -2 b. 0 c. 3 d. 5 e. 11
9. Diketahui f(x) = x2 , g(x) = 2x +1 dan h(x) = 1 , maka (h o g o f)(x) = .......
x
1 b. 2 1 1 d. 4 1 1
a. 2x2 1 x2 c. 4x2 8 x2 e.
(2x 1)
10. Jika diketahui f(x) = 4x2 -1 , g(x) = 3x -2 dan akar-akar dari (f o g)(p) = 63 adalah p dan q,
maka nilai p.q = ...... ......
4 1 1 3 7
a. - b. - c. - d. e.
3 3 4 4 3
LKS-Mat.XI-72
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Diketahui f(x) = 3x -1 dan (f o g)(x) = 8x + 10, Maka tentukan g(x) !
2. Jika f(x) = x2 -5x dan g(x) = 2x -3 dan h(x) = 3 + x
Tentukan g(x) – 3 h(x) + 2 f(x) !
3. Jika (f o g)(x) = x2 -4x +3 dan f(x) = x -1, Tentukan g(x) dan g(-3) !
4. Diketahui f(x) = 2x 1 dan (f o g)(x) = 6x 2 , Tentukan fungsi g(x) !
x 5 4x 3
B. FUNGSI INVERS. : 3.6. Menggunakan konsep, sifat dan aturan fungsi invers dalam peme-
Kompetensi Dasar cahan masalah.
Pengalaman Belajar : 3.6.1. Mengidentifikasi invers fungsi yang merupakan fungsi.
3.6.2. Mendiskusikan nilai dari fungsi invers.
3.6.3. Mendiskusikan cara menentukan invers fungsi komposisi
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan
matematika yang menyangkut Invers Fungsi diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau
kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber
referensi maupun media interaktif.
B.1. FUNGSI INVERS.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Bila terdapat fungsi g sedemikian hingga f o g = g o f = I dimana I adalah fungsi
identitas maka g disebut fungsi invers dari f dan dinyatakan dalam f-1.
Atau
Jika f fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B, maka setiap elemen a A ,
mempunyai peta/bayangan b = f(a) B .
Jika dapat ditemukan fungsi g yg memetakan himpunan B ke himpunan A, atau a = g(b)
maka dikatakan bahwa f dan g adalah fungsi saling invers dan atau f-1 = g v g-1 = f.
AB AB
f f
a b atau f-1(y) = x y = f(x)
f-1 f-1
Setelah anda memahami pengertian fungsi invers (sebagaimana gambar di atas) berikut
ini coba diskusikan dengan teman belajar anda langkah-langkah menentukan fungsi
invers, berikut ini:
Masalah 7: dan g(x) = x2 -3, Tentukan f-1 (x) dan g-1(x) !
Diketahui f(x) = x + 4
g(x) = x2 -3
Penyelesaian: y = x2 - ……
x2 = y + ……
f(x) = x + 4
y = x + ……
x = y - ……
f-1(x) = ….. – 4 x = ..... ....... g-1(x) = ..... .......
Masalah 8:
Diketahui f(x) = x , untuk x 1 ,Tentukan f-1 (x) serta tentukan pula Df dan Df-1!
5x 1 5
Penyelesaian: LKS-Mat.XI-73
x
Df 5x + 1 0 5x -1 x 1
f(x) = 5
5x 1
Jadi Df = { x I x 1 , x R }
y= x 5
5x 1
Df-1 1 -5x 0 5x 1 x 1
y(…... + 1) = x 5
5xy + ..... = ......
5xy - ….. = -y Jadi Df-1 = { x I x 1 , x R }
5
x ( .... – 1 ) = - ........
y
x=
...... 1
x = y
(1 ......)
Jadi f-1(x) = x
(1 5x)
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Diketahui f(x) = 2x - 1 dan g(x) = x2 + 2, Tentukan: f-1(x) dan g-1(x) !
2. Diketahui f(x) = 2 + x dan (g)(x) = 4 + 2x , Tentukan : g-1(x) dan f-1 (2) !
3. Diketahui g(x) = 3x 1 , untuk x 3 , Tentukan f-1 (x) !
2x 3 2
4. Diketahui f(x) = 2 x 2 1 , Tentukan f-1(x) dan f-1(-2) !
5. Diketahui g(x) = x2 -1 , Tentukan g-1(x) dan g-1(1) !
6. Jika f(x) = 3x , g(x) = x + 1 , Tentukan (fog) (x) dan (fog)-1 (x)
B.2. INVERS FUNGSI KOMPOSISI.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Missal h(x) = (g o f)(x), maka invers dari h(x) atau h-1(x) disebut invers dari fungsi
komposisi (g o f)(x) dan bisa dinyatakan dalam : h-1(x) = (g o f)-1 (x).
h = (g o f)(x)
fg
x yz
f-1 g-1
h-1 = (g o f)-1(x)
Selanjutnya untuk menentukan invers fungsi komposisi dapat diikuti pola sebagai berikut:
a. Ditentukan dulu fungsi komposisinya h = (f o g) baru ditentukan invers fungsinya h-1.
b. Masing-masing fungsi tunggal ditentukan inversnya baru fungsi inversnya dikomposisi
kan, dengan pola: (f o g)-1 = g-1 o f-1
LKS-Mat.XI-74
Masalah 9:
Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x2 , Tentukan (f o g)-1(x) dan (g o f)-1(x) !
Penyelesaian:
Untuk: (f o g)-1(x)
Cara 1: (f o g)(x) = f [g(x)] = f ( 2x2) Cara 2: Dengan: (f o g)-1 = g-1 o f-1
= 3 ( .......) + 5 f(x) = 3x + 5
= 6 ..... + 5 y = 3x + 5
3x = y - ….
(f o g)(x) = 6 ..... + 5 x = y .......
.......
y = 6x2 + 5 f-1(x) = x .......
.......
6x2 = y - .......
g(x) = 2x2 y = 2x2
x2 = y .......
....... x2 = y x = y
y ..... ........ ......
x=
6
(f o g)-1(x) = x ..... g-1(x) = x
6 ......
(f o g)-1 = g-1 o f-1 = g-1(f-1) = g-1( x .......
)
.......
x .....
= 3 x .....
....2.. 6
Untuk: (g o f)-1(x)
(g o f)(x) = g [ f(x) ] = g( 3x + ... ) = 2( 3x + 5 )2 = 2[(3x)2 + 2. 3x . 5 + 52]
= [........ + 30 x + ....... ]
y = 18x2 +60x + 50
y = x2 + 30 x 25 = ( x + 30 )2 - 900 25
18 99 18 324 9
y = ( x + .......)2 - 25 25 = ( x + .......)2
18 18 9 ...... 18
( x + .......)2 = y
18 ......
....... y
(x+ ) =
18 .......
x= y ....... (g o f)-1(x) = x .......
- Jadi: -
....... 18 ....... 18
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Fungsi f(x) = 3x +2 dan g(x) = 6 – 5x , Tentukan: f-1 , g-1 , (g o f) , (f-1 o g-1) dan (g o f)-1 !
2. Fungsi g(x) = 2x 3 ,untuk : x 5 , Tentukan invers fungsi f !
4x 5 4
3. Diketahui f(x) = 4log x dan g(x) = 4x +2, Tentukan (f o g)-1(x) dan (f o g)-1(0) !
4. Diketahui f(x) = x2 -4x +2 dan g(x) = 2 + 3Log x 1 , Tentukan f-1 o g-1 !
2x 1
5. Diberikan fungsi f(x+ 1) = log 2x dan g(x) = x – 1, Tentukan (f o g)-1(x) dan (g o f)-1(x) !
6. Fungsi f : R R dan g : R R didefinisikan oleh f(x) = 6 + x2 , g(x) = 2 sin x untuk
perioda I. Jika ( f o g )(x) = 7, Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi !
LKS-Mat.XI-75
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Jika f(x) =53x dan f-1 (x) invers dari f(x), maka nilai f-1(5 5 ) adalah .............
11 1 3
a. - b. c. d.1 e.
26 2
2
2. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = 2x 1 , x 3 jika f-1 invers dari f, maka f-1 (x+1) =...........
x3
a. 3x 1 , x 2 b. 3x 4 , x 2 c. 3x 2 , x 2 d. 3x 2 , x -2 e. 3x 4 , x 2
x2 x2 x 1 x 1 x 1
3. Bila fungsi f:R R dan g: R R di tentukan oleh rumus f(x) = x-3 dan g (x) = 3-2x, maka
(f g )-1 adalah .................
a. 2x 1 1 d. -2x 1
b. 3 - x c. - e. x-3
22 2
4. Jika f-1 adalah invers dari f(x) , g-1 (x) adalah invers dari g (x) . maka (f g ) ( x) inversnya (f g )-1
(x) . Apabila f(x) = 7x = 1 dan g (x) = 1 x-5 maka : (f g) -1 (x) untuk x= -4 adalh .....................
2
a. 22 b. 18 c.50 4 3
d. 8 e. 11
77
5. Jika fungsi f(x) = x3 dan g (x) =3x -4 , maka [g-1 f-1 ] [8] =...........
121
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
333
6. Jika diketahui f(x) = 2 dan g (x) = 3 – 5x maka (g f)-1 (x) =.......................
3 1 c. 6 (6 – x 6 1
a. ( 6+x) b. (3- x) d. (3+x) e. ( 6 - x )
11 10 11 11 10
7. Diberikan g(x) = 2x- 2dan h (x) = 2x(h-1 g-1 ) (1) =..................
a. 0 b.2 c. 2 log 3 d. -1 +2log 3 3
e. log
2
8. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = 3x 4 , x - ½ ,Jika f-1 invers dari f maka f-1 (x+2 ) =................
2x 1
a. f-1 (x) = 2 x dimana x - ½ d. f-1 (x) = 2 x dimana x - ½
2x 1 2x 1
b. f-1 (x) = 2x 3 dimana x ½ e. f-1 (x) = x dimana x ½
2x 1 2x
c. f-1 (x) = x 2 dimana x = 1
2x 1
9. Diketahui f(x) = 3x+4. Nilai f -1 (x) dan f-1 (81) adalah .........................
a. f-1 (x) = 3Log x- 4 , f-1 ( 81) =0 d. f-1 (x) = 3Log 3-x , f-1 (81) = 3
b. f-1 (x) = 3Log 4-x , f-1 (81 ) =1 e. f-1 (x) = 2Log 3 –x , f-1 (81) = 2
c. f-1 (x) = 4Log 3-x , f-1 (81) = 0
10. Diketahui fungsi f(x) =2x +1 ; g(x) = 2x-1 , mak nilai f-1 (4) ............
a. f-1 (4) = 8 b. f-1 (4) = 2 ½ c. f-1(4) = 1 ½ d. f-1 (4) =2 e. f-1 (4) = 3
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
8. Diketahui f(x) = 4x 1 dengan x R , Tentukan fungsi invers f-1(x) !
x4
9. Diketahui f -1(x) = 2x +1 dan (f-1 o g-1)(x) = 6x 7 Tentukan nilai g(2) !
,
8x 3
10. Diketahui f -1(x) = x 1 dan g-1(x) = 3 x , Tentukan: (g o f)-1 dan (g o f)-1(2) !
52
Ooo000ooO
LKS-Mat.X-2- 76
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR
Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara
pernyataan berikut):
Menyenangkan 12345 Membosankan
Bermanfaat 12345 Tidak Bermanfaat
Menarik 12345 Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari 12345 Tidak perlu dipelajari
Menantang 12345 Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan
Mempunyai korelasi dengan 1 2 3 4 5 Tidak Mempunyai korelasi
masalah sehari-hari dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian:
1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat
siswa.
2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik
minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.
Standar Kompetensi
Menggunakan Konsep limit fungsi dan turunan dalam memecahkan masalah.
A. LIMIT FUNGSI ALJABAR.
Kompetensi Dasar : 4.1. Menjelaskan limit fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta
teknis perhitungannya
A.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI.
Pengalaman Belajar:4.1.1. Mendefinisikan arti limit fungsi melalui kajian media interaktif.
4.1.2. Mendiskusikan dan menghitung limit fungsi menggunakan
definisi limit fungsi..
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut limit fungsi diharapkan peserta didik secara
mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu
dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Pengertian limit fungsi dapat dijabarkan menggunakan limit kiri dan limit kanan.
Sebuah fungsi f : R R yang ditentukan oleh y = f(x) = 4x -5.
Berapakah nilai f(x) untuk x mendekati 2 ?
Untuk menjawab persoalan ini diperlukan perhitungan dengan menggunakan tabel yang
menunjukan hubungan nilai x dengan f(x), jika x mendekati 2 ( x 2 ):
X 1,8 1,9 1,99 1,999 ........ 2 ...... 2,001 2,01 2,1
f(x) 2,2 ........ 2,96 ......... ......... ........ ...... 3,004 ...... .......
x dari arah kiri x dari arah kanan
Dari tabel dapat diperhatikan bahwa untuk nilai x yang mendekati 2 dari arah kiri, nilai
f(x) akan mendekati 3, demikian juga untuk nilai x yang mendekati 2 dari arah kanan,
nilai f(x) juga semakin mendekati 3.
Dari sini dapat ditarik kesimpulan bahwa:
Bila nilai x bergerak semakin mendekati 2 baik dari arah kiri maupun arah kanan, nilai f(x)
akan semakin mendekati ....... .
Dalam konsep matematika dapat dinyatakan dalam bentuk:
Lim(4x 5) Lim(4x 5) 3
x2 x2
* Lim(4x 5) dibaca Limit dari 4x -5 untuk x mendekati 2 dari arah kiri (Limit kiri).
x2
* Lim(4x 5) dibaca Limit dari 4x -5 untuk x mendekati 2 dari arah kanan (Limit kanan)
x2
Kesimpulan: Lim(4x 5) 3 , dibaca Limit dari (4x-5) untuk x mendekati 2 adalah 3.
x2
Dari fungsi y = 4x -5 dapat dibuat grafik, sebagai berikut:
y y=f(x)
3
02 x
LKS-Mat.XI- 77
LKS-Mat.XI- 78
Dari penjabaran di atas dapat didefinisikan pengertian umum limit fungsi, sebagai berikut:
Bila f suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap bilangan pada suatu selang terbuka yang
memuat a, kecuali mungkin a sendiri, maka Limit f(x) untuk x mendekati a adalah L
ditulis : Lim f (x) L dengan LR, Jika dan hanya jika untuk setiap bilangan > 0
xa
yang seberapaun kecilnya terdapat bilangan kecil > 0, sehingga: 0 < Ix –aI <
sehingga I f(x) – L I < .
y y = f(x)
L +
Untuk setiap > 0 ada > 0,
L sehingga 0 < Ix –aI <
I f(x) – L I < .
L-
a- a a+
Contoh 1:
Suatu fungsi f didefinisikan oleh persamaan f(x) = 4x-7 dan Lim f (x) 5,0 untuk = 0,01
x3
Tentukan > 0, sehingga 0 < Ix –3I < I f(x) – 5 I < 0,01
Jawab:.
5,01 Dari gambar terlihat bahwa diperlukan nilai x1 sehingga
0,01 f(x1) = 4,09 dan nilai x2 sehingga f(x2) = .......
5 f(x1) = 4,09 f(x2) = 5,01
4,09
0,01 4x1 - ...... = ....... 4x2 - ....... = ......
4x1 = ....... 4x2 = ......
x1 = ....... x2 = ......
x Karena 3 - x1 = 3 - ........ = .......... dan
x2
x1 a x2 – 3 = ........ – 3 = .........., maka = ............
Sehingga: 0 < Ix –3I < ........ I f(x) – 5 I < 0,01
A.2. MENENTUKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR.
Pada bagian depan telah dipaparkan cara-cara menentukan nilai limit fungsi secara
intuitif, yaitu dengan cara menghitung nilai f(x) untuk beberapa nilai x di sekitar x = a, atau
dengan cara menggambar grafik fungsi y = f(x) disekitar nilai x = a. Langkah
sebagaimana di atas terkesan sangat lamban dan tidak efektif, untuk itu perlu dilakukan
perhitungan nilai limit dengan pendekatan aljabar, sebagai berikut:
a. Substitusi langsung.
Menghitung nilai limit suatu fungsi untuk nilai x mendekati a dapat langsung didekati
dengan cara mensubstitusikan nilai x = a pada fungsi yang terdefinisi, dengan syarat
f(a) Real.
Lim f (x) f (a) R
xa
Masalah 1:
Hitunglah nilai limit fungsi dari beberapa fungsi berikut ini !
a. Lim(7x 2) b. Lim(5x2 x) x5 x2 1
x 1 x2 c. Lim d. Lim
x3 x 1 x1 x 1
Penyelesaian:
a. Lim(7x 2) = 7(....) – 2 = ...... c. Lim x 5 ...... 5 ..... ......
x 1 x3 x 1 .....1 .....
b. Lim(5x2 x) = 5 (.....)2 - ..... = ....... d. Lim x2 1 ....2 1 0 R
x2 =
x1 x 1 .....1 0
LKS-Mat.XI- 79
Nampak pada soal d) bahwa dengan substitusi fungsi untuk x = 1 didapat f(1) =
0 R , sehingga nilai tersbut bukan nilai dari Lim x2 1 dan selanjutnya:
0 x1 x 1
Jika dengan cara substitusi nilai limit diperoleh nilai dalam bentuk: 0 , , ,
0
atau dikenal dengan bentuk tak tentu maka perhitungan limit harus dilakukan dengan
cara-cara tertentu, sebagaimana dipaparkan di bawah ini:
b. Memfaktorkan.
Perhitungan limit fungsi dapat dilakukan dengan cara memfaktorkan fungsi f(x) dan
g(x) dan diupayakan ke dua fungsi memiliki faktor yang sama sehingga bentuk fungsi
akan menjadi lebih sederhana.
Lim f (x) Lim (x a)P(x) Lim P(x) P(a) R Q(a) 0
xa g(x) xa (x a)Q(x) xa Q(x) Q(a)
Masalah 2:
Hitung nilai limit fungsi di bawah ini!
x2 25 x2 x 20 x3 x
a. Lim b. Lim c. Lim
x5 x 5 x5 x 5 x0 x2 x
Penyelesaian :
a. x2 25 = .....2 25 ...... R , maka perlu menyedrhanakan fungsi, sbb:
Lim
x5 x 5 ...... 5 .......
Lim x2 25 Lim (x ....)(x ....) Lim(x ....) ..... ..... ......
x5 x 5 x5 (x 5) x5
b. x2 x 20 Lim (x ......)(x .....) Lim(x ......) (..... ......) .......
Lim
x5 x 5 x5 (x .....) x 5
c.
Lim x3 x Lim x(x2 ....) Lim x(x .....)(x .....) Lim(x .....) (...... ......) ......
x2 x x(x .....) x(x .....)
x0 x0 x0 x0
c. Membagi dengan variabel x pangkat tertinggi.
Bentuk Limit fungsi aljabar dengan nilai x mendekati tak berhingga (x ) yang
seringg dijumpai adalah bentuk: Lim f (x) atau Lim .[ f (x) g(x)] , dengan cara
x g(x) x
substitusi langsung akan didapat nilai bentuk tak tentu atau ).
(
Sehingga dengan cara membagi fungsi f(x) dan g(x) dengan variabel x pangkat
tertinggi akan diperoleh nilai limit fungsi aljabar sesungguhnya.
Masalah 3:
Hitung nilai limit fungsi di bawah ini!
8x 1 x2 6x 8 c. Lim x2
a. Lim b. Lim
x x2 x
x 4x 2 x x 2
Penyelesaian :
a. Lim 8x 1 Lim 8x 1 Lim 8 1 8 1 8 ..... ..... .......
x ..... ..... .....
x 4x 2 x 4x 2 x ...... 2 ..... 2 ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
LKS-Mat.XI- 80
b. Lim x2 6x 8 Lim x2 6x 8 ..... 6 8 ..... 6 8
x2 ..... ..... Lim .... ..... .....
x x x 3 2
3x2 2 3x2 2 ...... .....
..... ..... ..... 2
= ...... 0 ...... .......
...... ...... .......
c. Lim x2 Lim x .... ..... ..... 1 ...... ..... 0 ..... ......
..... x2 Lim x ..... ...... 2 ..... ..... .....
x x2 x x x2 ..... x ..... ..... ..... 1
..... ..... ..... .....
d. Mengalikan dengan faktor sekawan.
Ada cara lain dalam upaya menentukan nilai limit fungsi aljabar, yaitu dengan
menggalikan bilangan bentuk pecahan yang nilainya 1 dan tersusun dari bilangan
sekawannya.
Missal: Terdapat bilangan: a + b maka bentuk itu adalah: a b
a b
Masalah 4:
Hitung nilai limit fungsi di bawah ini!
x4 x2 2 c. Lim x2 2x x2 x
a. Lim b. Lim x
x4 x 2 x0 x
Penyelesaian :
a. Lim x 4 Lim x 4 . ( x ....) Lim (x ....)( .... ....) Lim .... ....
x4 x 2 x4 x 2 ( .... 2) x4 x ..... x4
= ..... ...... ....... ....... ........
b. Lim x 2 2 Lim x 2 2 . ( x 2 .....) Lim (x ....) .....
x0 x x0 x ( .... 2 .....) x0 x( .... 2 ....)
= Lim x Lim 1 .....
x0 ....( .... 2 ....) x0 .... 2 .... .... 2 ......
= ..... 1 1 .......
.... ..... ..... ...... .....
c. Lim x2 2x x2 x Lim( x2 2x x2 x ). ( x2 2x x2 ....)
x x ( ..... 2x .... .....)
(x2 .....) (..... x) Lim .....
= Lim x2(.... 2) ....(1 ....)
x .... 2x ..... ..... x
xx
= Lim 3x Lim ......
x .... 2 .... 1 1 x ..... ..... ...... .....
x .....
x .... ....
= ...... 3 .....
..... ..... ...... ..... .... 0 ..... ..... .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: LKS-Mat.XI- 81
1. Hitung nilai Limit fungsi dengan substitusi langsung:
x4 5
a. Lim(x2 8x 15) c. Lim 2x 1 e. Lim
x2
x 1 x2 3x 4 x2 x2
8x 1
b. lim 3x2 2x 1 d. lim 5x x2
x2 f. lim
x2 3x2 x5 x1 x 3
x2 49
2. Hitunglah limit – limit fungsi berikut ini !
e. lim
x2 64 x2 6x x7 x2 7
a. lim c. lim (x 3)(x2 3x 10)
x8 x 8 x6 x2 36 f. lim
x3 x2 x 10
x2 5x 14 3x2 17x 20 2x
b. lim d. lim
e. lim
x2 x 2 x4 4x2 25x 36 x0 5 5 x
3. Hitunglah limit – limit fungsi berikut ini! e. lim 4x2 6x (2x 1)
x
(x 1)2 1 c. lim x4 x2
a. lim x0
x2
x0 x
(2x 1)2 1 d. lim 2 x 2x
b. lim
x0 x x0 x
4. Hitunglah limit –limit dari fingsi berikut ini!
(x 2)2 4x2 3x 4
a. lim c. lim
x x2 1 x x2 2x 5
b. lim x 2 x d. lim x x2 8x
x x x
A.3. TEOREMA LIMIT.
Untuk menentukan nilai Limit fungsi, akan lebih mudah dan membantu jika mampu
memahami Teorema yang berlaku pada Limit Fungsi, diantaranya:
1. Jika m dan b suatu konstanta, maka: Lim(mx b) ma b
xa
2. Jika c suatu konstanta, maka untuk setiap bilangan a berlaku : lim c c
xa
3. lim x a
xa
4. Jika lim f (x) A dan lim g(x) B , maka:
xa xa
lim fx) g(x) lim f (x) lim g(x) A B
xa xa xa
5. Jika lim f (x) A dan n suatu konstanta, maka : lim nf (x) n.lim f (x) n.A
xa x xa
6. Jika lim f (x) A dan lim g(x) B, maka : lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x) A.B
xa xa xa xa xa
7. Jika lim f (x) A dan lim g(x) B, maka :
xa xa
f (x) lim f (x) A 0
lim xa asallim g(x)
xa g(x) lim g(x) B xa
xa
8. Jika lim f (x) A dan n suatu bilangan bulat, maka:
xa
lim f (x)n lim f (x) 2 An
xa xa
9. Jika n suatu bilangan bulat positif dan lim f (x) A, dengan A > 0 maka:
xa
lim n f (x) n lim f (x) n A
xa xa
LKS-Mat.XI- 82
Masalah 5:
Hitung nilai limit fungsi di bawah ini!
a. Lim(2x)(4x 3)(x2 1) b. Lim(4x 3)3 x x
x2 x2 c. Lim d. Lim 3
x5 1 3x x4 7x 1
Penyelesaian :
a. Lim(2x)(4x 3)(x2 1) Lim 2x.Lim(4x 3). Lim(x2 1)
x2 x2 x2 x2
= (2 . ....)(4. ..... - .....)(.....2 + .....) = 4 . ...... . ..... = .......
b. Lim(4x 3)3 Lim(4x 3) 3 [4(....) .....]3 [..... .....]3 [.....]3 ......
x2 x2
c. Lim x Lim(x) ..... ...... ......
x5
x5 1 3x Lim(1 3x) 1 3(....) ...... ...... ......
x5
x 3 Lim x Lim(x) ...... 3 ..... .....3 .....
x4
d. Lim 3 3 3
x4 7x 1 x4 7x 1 Lim7x 1 7(....) .... ..... 3
x4
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Gunakanlah teorema limit untuk menghitung limit di bawah ini!
a. Lim(3x 2)(x2 5x) c. Lim 3 x2 7 e. Lim (3x 1)3
x3 x4
x 1 (x2 2)
b. 1 x2 4)(5x 2) d. Lim(2x 1)4 (2x 1)(3x2 1)2
Lim( x2 f. Lim
x2 2
x3 (x 2)
2. Diketahui bahwa: Lim f (x) 3 : Lim g(x) 4 : dan Lim h(x) 2 , maka Hitunglah:
xa xa xa
a. Lim f (x) 2g(x) h(x) c. Limg(x)7
xa b. Lim xa
xa 2 f (x) g(x)
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Lim x2 4 sama dengan ..................
x2 x3 1
a. 0 b. 1 c. 1 d. 2 e.
9 3
e. 6
2. Nilai dari: Lim 4x adalah ................
e.
x4 2 x
e. 0
a. 0 b. 1 c. 2 d. 4
3. Nilai dari: Lim 2x2 x 1 = ...............
x 1 3x2 x 2
a. 3 b. 2 c. ½ d. 0
5 3
9 x2 adalah ......................... d. 1
4. Lim b. 4 c. 9
x3 4 x2 7 4
a. 8
5. Lim x2 9 adalah ......................... LKS-Mat.XI- 83
e. -5
x3 x2 16 5 e. 1
a. 10 b. 8 c. 5 d. -3 3a
e. Tak tentu
6. Nilai dari: Lim x2 ax adalah ................
a. - 1 a 1
3 xa x3 a3 e.
b. 1 a c. -3a d. 3a 10
3 e. 12
e.
7. Nilai untuk: Lim 7x2 7x 10 adalah ................
a. 10
3 x 2 x2 c. -7 d.
b. 0
8. Nilai dari: Lim x 5 adalah ................
x25 x 25
a. 0 b.1 c. 2 d.
9. Lim 4 x2 adalah .........................
x2 3 x2 5
a. 6 b. 8 c. 9 d. 10
d. 8
10. Lim x2 25 adalah .........................
x5 x2 9 4
a. 0 b. 1 c. 2
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
Tentukan nilai Limit fungsi-fungsi berikut ini:
1. Lim x 1 1 2 3. Lim x 1 x
x2 1 x
x 1
x2 3x 10 x
2. Lim 4. Lim
x2 x 2 x0 1 x 1 x
B. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI.
Kompetensi Dasar : 4.2. Menggunakan sifat dan aturan limit fungsi untuk menghitung ben-
tuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
Pengalaman Belajar : 4.2.1. Menggali informasi dan mengkomunikasikan arti bentuk tak tentu
dari limit fungsi.
4.2.2. Mendiskusikan dan menentukan Limit fungsi trigonometri.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan
matematika yang menyangkut Limit Fungsi Trigonometri diharapkan peserta didik secara
mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Pengantar materi:
Guna menentukan hubungan Limit Fungsi Trigonometri, perhatikan gambar berikut ini !
yC Titik O adalah pusat lingkaran, dengan jari-jari : OA = OB = r
B
g AOB adalah sudut lancip yang besarnya xo.
r Garis g tegal lurus garis OA dan memotong perpanjanganOB,
di titik C, E adalah proyeksi B pada OA.
xX Dalam OAC berlaku hubungan:
0 EA
tan x = AC AC = OA tan x = r tan x
OA
LKS-Mat.XI- 84
Dari gambar di atas tampak bahwa:
Luas AOB < Luas juring OAB < Luas OAC
½ OA . BE x
< Luas Lingkaran O < ½ OA . AC
2
½ (….) (….sin x) < x . . r2 < ½ (…) ( r ……..)
½ (….)2 ( sin x) 2 < ½ (…)2 ( ……..) (semua dikalikan 2)
< ½ (…..) (…..)2
sin x < ....... < .............. (*)
Jika pertidaksamaan tersebut dibagi dengan sin x, kemudian dilakukan proses limit dengan x
mendekati 0 ( x 0 ), maka diperoleh :
1 <x < Tanx
........... ...........
Lim .1 < ...... 1
Lim < Lim
x0 x0 sin x
x0 ............
1< ...... <1
Lim
x0 sin x
Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa: ...... = Lim sin x 1
Lim
x0 sin x x0 ......
Selanjutnya perhatikan kembali persamaan (*) :
sin x <x < tan x
Jika pertidaksamaan tersebut dibagi dengan tan x, kemudian dilakukan proses limit dengan x
mendekati 0 ( x 0 ), maka diperoleh :
sin x < ....... < tan x
....... tan x ........
cos x < ....... <1
tan x
Lim(cos x) < x <1
Lim <1
x0 x0 ..........
1< x
Lim
x0 ..........
Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa: Lim ...... = Lim tan x 1
x0 tan x x0 ......
Masalah 5:
Hitung nilai limit fungsi di bawah ini!
sin 5x 3x c. Lim sin2 x sin 3x
a. Lim b. Lim x0 d. Lim
x2
x0 x x0 tan 2x x0 tan 5x
Penyelesaian :
a. Lim sin 5x Lim sin 5x ..... .......... ...... 1.(....) ........
. Lim .
x0 x x0 ..... 5 x0 5x 1
b. Lim 3x Lim 3x . 2x Lim 2x ....... 1....... ......
x0 tan 2x x0 tan 2x ...... x0 ........... ...... ...... ......
LKS-Mat.XI- 85
c. Lim sin 2 x Lxim0 ....x......2 lxim0 .........2 [.....]2 .......
x2 ......
x0
d. Lim sin 3x Lim sin 3x ........ 3x Lim .......... 5x ........ Lim ..........lim 5x .......
x0 tan 5x x0 ......... 5x ...... x0 3x .......... ....... x0 3x x0 ......... ......
= 1 . ...... . ...... ......
...... ......
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
Tentukan nilai limit beberapa fungsi trigonometri berikut ini !
sin 2x sin 2x 1 cos 4x
1. Lim 6. Lim 11. Lim
x0 6x x0 tan 5x x0 3x2
4x tan2 2x 3sin2 6x
2. Lim 7. Lim 12. Lim
x0 tan 2x x0 sin x tan 5x x0 5x2
3x2 tan x sin x 1 cos 2x
3. Lim 8. Lim 13. Lim
x0 sin 2 6x x0 x cos x x0 5x.tan 5
x sin 3x x2 14. Lim 4 4cos 4x
4. Lim 9. Lim x0
2x2
x0 6x tan x x0 1 cos x
cos 2x 1 x sin x sin 5x sin 5x.cos 6x
5. Lim 10. Lim 15. Lim
x0 2x x0 tan 2 2x x0 5x.tan x
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Lim x x.cos x adalah ..
x2
x0
a. 0 b. 1 c. 2 1 1
d. e. -
2. Lim x2..sin2 x adalah ......
2 2
x0 2x.tan x 1 e. -1
d. -
1 2 1
a. 2 b. 1 c. 1 e.
d.
2 2 4
d. 2 e. 1
3. Lim( 2x).tan 5x adalah...... 3
x d. 2 2
2 d. 3 e. 2
e.
4 32
a. b. c.
5 55
4. Lim x.tan x adalah.........
x0 x2 x2.cos x
a.-3 b. - 2 c. 1
53
5. Nilai dari : Lim 1 sin2 x adalah .................
x0 sin x 1
a. -2 b. - 2 c. -1
6. Nilai Lim(sin x)(cot an.3x) adalah:
x0
a. 0 b. 1/3 c. 1
7. Lim x. 1 cos2 3x adalah .......... LKS-Mat.XI- 86
e. 1
x0 3 3cos.3x e. -2
e. -3
2 1 1 2 e. -4
a. - b. - c. d.
9 7 9 9
d. 2
8. Lim sin 2x.tan 3x adalah ........ : d. -2
b. 5 d. -3
x0 cos x. tan 2 2 x
a. 6 7
c.
2
9. Lim x.(cos2 6x 1) adalah ............
x0 sin 3x.tan2 2x
a. 3 b. 2 c. -1
10. Lim sin 2x tan 2x adalah ................
x0
x3
a. 0 b. -1 c. -2
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
Tentukan nilai limit dari fungsi berikut ini:
1 cos 3x
1. Lim
x0 x.sin 2x
cos 3x 1
2. Lim
x0 x.tan 2x
sin 2x sin 6x sin10x sin18x
3. Lim
x0 3.sin x sin 3x
Standar Kompetensi
Menggunakan Konsep limit fungsi dan turunan dalam memecahkan masalah.
A. TURUNAN (DEFFERENSIAL) FUNGSI.
Kompetensi Dasar : 4.3. Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam perhitungan turunan
/ defferensial fungsi.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan
matematika yang menyangkut Turunan (Defferensial) fungsi diharapkan peserta didik secara
mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
A.1. PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI.
Pengalaman Belajar:4.3.1. Dengan menggunakan konsep Limit fungsi mampu mendefinisi
kan pengertian dasar turunan fungsi.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Sir Isaac Newton, seorang ahli filsafat dari Ingris (1642-1727) merupakan orang pertama
yang mengemukakan tentang konsep Kalkulus, dan di dalamnya menyangkut Defferensial
(Turunan) dan Integral fungsi.
Beberapa konsep dasar yang dapat digunakan langkah memahami Turunan Fungsi,
dapat diperhatikan gambar di bawah ini:
y
f(x) Koordinat cartesius titik A( a, f(a) ), berarti:
B2 B OA1 = A2A = a dan OA2 = AA1 = f(a)
A2 A Koordinat cartesius titk B [ (a+h), f(a +h) ], berarti:
OB1 = B2B = a + h dan OB2 = BB1 = f(a +h)
ah
x Dengan demikian dapat disimpulkan, bahwa:
A1B1 = OB1 – OA1 = (a +h) – a = h
O A1 B1
dan A2B2 = f(a +h) – f(a)
Nilai rata–rata perbandingan nilai f terhadap harga x dalam interval dari x = a ke x = a+h
(h 0)adalah:
= perubahannilaifungsi = A2B2 = f (..... h) f (.....)
perubahanvariabel A1B1 ......
kemudian diambil limitnya diperoleh :
f (a .....) f (.....)
lim
x0 ......
Limit ini disebut laju perubahan dari f ke x = a. Limit ini yang diturunkan dari f(x), ditulis
f(a) dan disebut turunan f pada x = a dan diberi lambang f’(a).
Jadi f’ (a) = lim f (a .....) f (.....) , dengan cara yang sama, maka:
h0 ......
f’(b) = lim f (...... h) f (.....)
h0 h
Sehingga setiap anggota dari dominan (D) diperoleh f’ yang sesuai. Dengan demikian
didapat fungsi f’ dengan domain D yang disebut fungsi turunan dari f. Fungsi turunan
( f’ ) ditentukan oleh rumus :
f’(x) = lim f (x h) f (x)
h0 h
LKS-Mat.XI- 87
LKS-Mat.XI- 88
Masalah 1:
Carilah turunan dari fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = x2 !
Penyelesaian :
f(x+h) = ( x + h)2
= …..2 + 2(….)(….) + h2
f(x) = x2 ._
f(x+h) – f(x) = 2xh + ….2
f’ (x) = lim f (x h) f (x)
h0 h
= 2(....).h .....2 = lim h.[2(....) .....] = lim[2(....) h]= 2x +.… = 2x
lim h0 h
h0 ....... h0
Jadi, turunan dari f(x) = x2 adalah f’ (x) = …….
Masalah 2:
Diketahui f(x) = x3, Tentukan f’ (x) !
Penyelesaian :
f( x + h) = ( x + h)3
…..3 + 3(….)2 h + 3x(….)2 + ….3
= x3 . _
f( x ) = 3(….)2 h + 3x(….)2 + ….3
f( x +h ) – f(x) =
= h [ 3(....)2+ 3 x (....) + h2 ]
f’(x) = lim f (x h) f (x)
h0 h
= h.[3(....)2 3.x.(....) h2 ] = lim[3.(....)2 3(....)(....) (.....)2 ]
lim
h0 h h0
= 3 (....)2 + 0 + ..... = 3 (.....)2
Jadi, Turunan pertama dari f(x) = x3 adalah f’(x) = 3x2.
Masalah 3:
Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 5x2 !
Penyelesaian :
f ( x +h ) = 5 ( x +h )2
= 5 ( ….2 + 2 (….).h + ….2)
= 5 (….)2 + (….) x (….) + (….) h2
f(x) = 5x2 ._
f ( x +h ) – f(x) = (….) x (….) + (….) h2
h [ 10 x + (….) h ]
=
f’(x) = lim f (x h) f (x)
h0 h
= lim ......[10(.....) 5(.....)] = lim.(10x .....) = ...... x + ..... . 0 = 10x
h0 h h0
Jadi, Turunan pertama dari f(x) = 5x2 adalah f’(x) = ........
LKS-Mat.XI- 89
A.2. MENGENAL NOTASI df : A1 B1 =Tambahan pada x atau perubahan pada x,
dx yang dinyatakan dengan lambang x
(dibaca delta x).
Kita lihat kembali grafik berikut ini !
y Pada bab terdahulu dipakai lambang h. Sehingga
f(x) tambahan nilai f yang sesuai disebut f .
B2 B
f
A2 A
a x A2B2 = f ( x +h ) – f ( x ) = f ( x + x ) – f ( x )
= f
O A1 B1 x
Maka diperoleh :
f’(x) f (x h) f (x) f (x x) f (x) f df
= lim = lim = lim =
h0 h h0 x h0 x dx
Dengan catatan : lim f df
x0 x dx
Masalah 4 :
Diketahui fungsi f(x) =4x3, tentukan df !
dx
Penyelesaian :
df = f’(x) = lim f (x x) f (x)
dx x 0 x
= lim 4(.... x)3 4.....3 = lim 4 ....3 3....2 x 3...(x)2 (....)3 4....3
x 0 x x 0 x
= lim 4....3 12....2 x .....x(x) 4(......)2
x 0 x
x. ......x2 12.x.(.....) 4(.....)2 = lim (....)x2 12(....).(x) 4(.....)2
= lim
x0 ....... x 0
= (.....) x2 + 0 + ...... = 12 (....)2
Jadi, untuk f’(x) = 4x3, df = 12x2
besarnya
dx
Masalah 5 :
Diketahui f(x)= -3x2. df
Tentukan !
dx
Penyelesaian :
df = lim f (x x) f (x) = lim 3(..... x)2 (3x2 )
dx x0 x x0 ........
= lim 3 ....2 2x.(....) (....)2 ....x2 = lim ....x2 ....x.x ....(x)2 ....x2
x 0 x x 0 x
= lim x .....x ....(x) = lim.( .....x 3(.....) = - .....x - 0 = ........
x0 ......
x 0
Jadi, untuk f’(x) = -3x2, df = - ..... x
besarnya
dx
LKS-Mat.XI- 90
Berdasarkan gambar diatas, bila fungsi f(x) kita tulis dengan y, sehingga y = f(x), dan
f (x+ x ) = y + y , Maka diperoleh :
f’(x) = lim f (x x) f (x) = lim ( y y) y y dy
= lim =
x 0 x x 0 x x0 x
dx
Dari beberapa masalah yang telah dipelajari, dapat diperhatikan bahwa:
f(x) f’(x) f(x) f’(x)
x2 2x 4 x3 ........
x3 ....... - 3 x2 -6x
5 x2 ........
Pola ini selanjutnya dapat dikembangkan menjadi: ax6 axn
f(x) ax ax2 ax3 .......... n a xn -1
f’(x) = dy a 2 ..... x1 ..... a x2
dx
Maka dapat ditarik kesimpulan: Jika f(x) = a xn maka f’(x) = a.n.xn-1
Masalah 6 :
Tentukan turunan pertama fungsi berikut ini:
a. f(x) = 5x3 b. f(x) = (2x – 3)2
Penyelesaian : b. f(x) = (2x – 3)2 = ….x2 – …..x + …..
a. f(x) = 5x3
f’(x) = 5(….) x3-….. f’(x) = 4 (….) x – (…..).x + 0
= (….) x…. = (….) x - 12
Masalah 7 :
Diketahui f(x) = x3 +2x2 + x. Tentukan x agar f’(x) = 0 !
Penyelesaian :
f(x) = x3 +2x2 + x
f’(x) = 0
..... x2 + ......x +1 = 0
(....x +1)( x + ....) = 0
.....x+1 = 0 atau x +..... = 0
1 x = - ......
x=-
.....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Gunakan rumus f’ (x) lim f (x h) f (x) untuk menentukan turunan berikut ini !
h0 h
a. f(x) = 9x3 b. f(x) = -5x2 1
c. f(x) =
x
df dari fungsi – fungsi berikut ini !
2. tentukan
dx
a. f(x) = 5x3 b. f(x) = 3 x2 c. f(x) = 100x
5
LKS-Mat.XI- 91
3. Dengan menggunakan rumus: f(x) = xn mempunyai turunan f’(x) = n xn-1, Tentukan
turunan pertama fungsi f(x) berikut ini !
a. 8x3 e. x 1 2 i. 4 (x – 2 )2
x
5 (2 x)2 j. -6 3 x
b. f.
5x x
c. (x – 5)2 g. -5x7
d. 3x4 – 2x3 – x – 7 5
h.
x4
4. Diketahui f(x) = 1 tentukan :
4 x3
a. f’ (2) b. f’ (-1) c. f’ 1 d. f’ 1
2 3
5. Diketahui f(x) = ( x +2)(2 – x). Tentukan : f’ (x) dan f’ (-2) !
A.3. RUMUS-RUMUS TURUNAN FUNGSI.
Untuk menentukan dan menurunkan beberapa Rumus-rumus Turunan Fungsi, akan lebih
mudah dan membantu jika anda mengikuti beberapa aturan di bawah ini:
1. Jika y = u v , di mana u dan v adalah fungsi dalam variabel x atau biasa dinyatakan
f(x) = u(x) v(x) maka Turunan fungsinya adalah : f’(x) = u’(x) v’(x)
Bukti: f(x) = u(x) + v(x)
f’(x) = Lim f (x h) f (x) Lim u(x h) v(x h) [u(x) v(x)]
h0 h h0 h
u(x h) u(x) v(x h) v(x)
= Lim
h0 h
= Lim u(x h) u(x) Lim v(x h) v(x)
h0 h h0 h
= u’(x) + v’(x)
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan: f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) - v’(x)
Jadi dapat disimpulkan bahwa : y = u v maka y’ = f’(x) = u’ v’
Dengan cara yang sama dapat diperoleh:
2. Jika y = c.u maka y’ = c . u’
3. Jika y = u . v maka y’ = u . v’ + u’ . v
4. Jika y = un maka y’ = n . un – 1 . u’
u maka y’ = u'.v u.v'
5. Jika y = v2
v
Masalah 8 :
Diketahui f(x) = (3x2 +2) + ( 1 x3 - x). Tentukan f’(x) !
3
Penyelesaian :
Missal : u(x) = (3x2 +2) u’(x) = .... x
v(x) = ( 1 x3 - x) v’(x) = .....2 - .....
3
Jadi f’(x) = u’(x) + v’(x) = ...... x + .....2 – 1 = ......2 + ......x - 1
LKS-Mat.XI- 92
Masalah 9 :
Diketahui f(x) = 4 (x2-3x +5). Tentukan f’(x) !
Penyelesaian :
f(x) = 4 (x2 -3x +5)
misal: u (x) = x2 – 3x +5
u’ (x) = ….. x – …..
f (x) = 4 (x2 – 3x + 5)
f’ (x) = 4 (…..x - 3)
= …. x – ......
Masalah 10 :
Tentukan turunan dari f(x) = (2x +x) (3x-1) !
Penyelesaian :
f(x) = (2x2 +x) (3x-1)
misal: u(x) = 2x2 +x u’ (x) = ….. x +1
v(x) = 3x – 1 v’ (x) = .....
f’ (x) = u(x) .v’ (x) + u’ (x). v(x)
= (....x2 +....). (....) + (....x -.....). (4x +.....)
= .....x2 +....x +12(....)2 - x - .....
= ......x2 +.....x – 1
Masalah 11 :
Tentukan turunan dari f(x) = (5x2 – 2x5)6
Penyelesaian :
f(x) = (5x2 – 2x5)6
misal : u(x) = 5x2 – 2x5 u’(x) = …..x – 10 (…..)4
sehingga :f’(x) = (….) (....x2 – ......x5)6- ..... . (....... x – 10x4 )
= (.....x - ..... x4) [ 5(....)2 – ....x5]5
= 60x (1 – ......3) ( ..... x2 -...... x5)5
Masalah 12 :
2x x3
Tentukan turunan dari f(x) =
x2 3x
Penyelesaian : u’(x) = ….. +….. x2
Misal: u (x) = 2x +x3 v’(x) = ..... x – 3
v (x) = x2 -3x
f ’ (x) u'(x).v(x) u(x).v'(x)
= v(x)2
(..... 3.....2)(x2 .....x) (.....x .....3)(.....x 3)
=
(x2 .....x)2
.....x2 6x .....x4 9(...)2 ....x2 6x 2(....)4 3(....)3
=
(x2 .....(....))2
....x2 6x3 .....4 x2 (...... 6x3 .....2 ) 2 .....x .....2
=- = -
= x2 (..... 3)2 (..... 3)2
.....2 (x ....)2
LKS-Mat.XI- 93
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut ini !
a.f(x) = (x2 – 3 ) + (x3+3x) c. y = 5 (x7 +5x2 ) e. y = (1 – x) (x2 + x3)
5x d. f(x) = (x2 - 3x)9
b. y = x2 3
2. Diketahui f(x) = x4(3 – 2x3). Tentukan !
a. f’(x) b. f’(-2) c. f’( 1 )
2
3. Diketahui f(x) = (2x2 - x4)8. Tentukan !
c. x, supaya f’(x) = 0
a. f’(x) b. f’(0)
A.4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI.
Dengan menggunakan definisi Turunan Fungsi f’(x) = f (x h) f (x) dapat
Lim
h0 h
diturunkan definisi Turunan Fungsi Trigonometri dari y = sin x dan y = cos x, sbb:
a. y = f(x) = sin x
f’(x) = Lim f (x h) f (x) = Lim sin( x ....) sin x
h0 h h0 h
2.cos( ..... h .... x ..... ..... )
).sin(
2 2
= Lim
h0 h
= Lim 2. cos(...... .......h).sin(......h) . 1 Lim(.... 1 h). Lim sin . 1 h
2 2 2
h0 h0
h0 h 1 .....h
2
= cos ( x + ......) . 1 = cos x
Jadi, f(x) = sin x maka f’(x) = cos x
b. y = f(x) = cos x
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan berlakunya:
Jadi, f(x) = cos x maka f’(x) = - sin x
Masalah 13 : b. f(x) = sin2x c. y = tan x
Tentukan turunan dari: a. f(x) = sin 2x
Penyelesaian :
a. f(x) = sin 2x = 2 sin x . (..........)
missal : u = sin x u’ = cos x
v = cos x v’ = - ..........
sehingga: f’(x) = 2 [ u’ . v + u . v’ ] = 2 [ cos x . .......... + .......... (-sinx) ]
= 2 [ cos2 x - ......... ] = 2 . cos ......
b. f(x) = sin2x
missal : u = sin x u’ = cos x sehingga f(x) = u2 maka :
f’(x) = 2 . u . u’ = 2 . (...........) (.........) = sin .......
LKS-Mat.XI- 94
c. y = tan x
missal : y = tan x = sin x dan u = sin x u’ = ...........
cos x v = cos x v’ = ...........
Inggat: Jika y = u maka y’ = u'.v u.v' sehingga:
v v2
y’ = cos x(........) sin x.(........) = (...........)2 (sin x)2 = ....... sec2 x
(............)2 cos2 x cos2 x
Jadi, f(x) = tan x maka f’(x) = 1 = sec2 x
cos2 x
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut ini:
a. y = cos 4x b. 6 sin x + 2 cos x c. cotan x d. tan x – 5 + 5x
2. Diketahui f(x) = 3 cos x – sin x, Tentukan: a. f’(x) b. f’( ) c. x supaya f’(x) = 0
3. Tentukan x jika f’(x) > 0, untuk f(x) = 3 cos 2x ! 4
u
4. Dengan menggunakan rumus turunan dari y = , Buktikan bahwa turunan fungsi
v
dari y = sec x adalah y’ = sec x tan x !
5. Turunan fungsi triogonometri di bawah ini adalah ...................
a. f(x) = sin 2x cos 2x c. f(x) = cos x sin3 x
b. f(x) = 1 2sin x
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Diketahui g(x) = 2x 1 , maka Lim f (3 h) g(3) ..........
x h0 h
1 1 1 1 1
a. - b. - c. d. e.
3 9 9 3 12
2. Jika f(x) = 2 x6 maka Nilai dari: f’(1) = adalah ................
3
b. 6 c. 8 d. 12 e. 16
a. 4
3. Jika y = 2x2 + x maka y ’ = ............
a. 2x + x b. 4x - x c. 2x - 1 d. 4x + 1 e. x + 1
x 2x x
4. Jika f(x) = 3x2 -4x + 5 dan f ’(a) = 5, maka nilai a adalah .........................
11 3
a. b. c. 1 d. e. 2
32 2
5. Jika f(x) = x3 -2x2 dan g(x) = 2x2 + 4x serta h(x) = f(x) – g(x) , maka h’(x) = ........
a. 3x2 +8x -4 b. 3x2 -8x -4 c. 3x2 -8x +4 d. 3x2 -4 e. 3x2 + 4
6. Jika y = x2 x 1 dy adalah ................
x , maka dx
a. x3 + x x b. 3x2 + x c. 3x2 + 1 d. 3x2 + 3 x e. 3x2 + 1 x
2 2 2
LKS-Mat.XI- 95
7. 3x 2 maka Nilai dari f ’(0) adalah ................
Jika f(x) = x2 2
3 b. 1 c. ½ d. ¼ e. 0
a.
2
sin x cos x maka nilai dari f ’ adalah ................
8. Jika f(x) = 2
sin x
a. 1 b. ½ c. 0 d. -½ e. -1
9. Jka f(x) = 2x . tan x , maka f ’(x) = .................
a. 2 sin2x b. 2x sec2x c. 2 tan x + sec2x d. 2(tanx +x sec2x) e. tan x + 2x sec2x
10. Jika f(x) = cos5 (4x -2) maka f ’ (x) adalah .........................
a. -5 cos4(4x -2) . sin (4x -2) d. 10 cos3(4x -2).sin (8x -4)
b. 5 cos4(4x -2). Sin (4x-2) e. - 10 cos3(4x -2).sin (8x -4)
c. 20 cos4(4x -2) . sin (2x -1)
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan turunan pertama dari : y = 2x x 1 2
x !
x2 1 maka Tentukan nilai dari f’(2) = !
2. Jika f(x) =
2x 2
3. Tentukan turunan pertama dari : f(x) = sin 3x tan x + 2x !
4. Jika f(x) = a + b sin x dan f =4 serta f’ =1 maka Tentukan Nilai dari a2 + b!
6 3
5. Tentukan Turunan pertama dari : y = (2x -1)2 sin (2x -1) !
B. APLIKASI TURUNAN (DEFFERENSIAL) FUNGSI.
Kompetensi Dasar : 4.4. Menggunakan sifat dan aturan Turunan fungsi untuk menentukan
karakteristik suatu fungi dan memecahkan masalah.
Pengalaman Belajar : 4.4.1. Menggali informasi dan mengkomunikasikan aturan turunan fung
si dalam menentukan gradien garis singung suatu fungsi.
4.4.2. Mendiskusikan dan mengidentifikasikan fungsi Naik–Turun meng
gunakan aturan turunan fungsi.
4.4.3. Menentukan nilai stationer suatu fungsi beserta jenis ekstremnya.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan
matematika yang menyangkut beberapa kegunaan Turunan Fungsi diharapkan peserta didik
secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar
terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
B.1. GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG.
Pengantar materi: Pada gambar di sampaing terlihat bahwa koordi-
Perhatikan gambar di bawah ini ! nat titik:
C [ a, f(a) ] dan
y
B2 B B [ (a +h) , f(a +h) ]
E
ah
A2 C D
O A1 B1
LKS-Mat.XI- 96
f (a h) f (a) A2B2 BD Gradien tali busur CB
h A1B1 CD
Sehingga akan diperoleh :
Lim f (a h) f (a) Lim (Gradien tali busur CB) = Gradien garis singgung C.
h0 h h0
Bila diambil h cukup kecil, maka arah tali busur melalui titik C semakin dekat ke arah
garis singgung dari C, sehingga:
f ’ (x) = Lim f (a h) f (a) Gradien garis singgung pada titik ( a, f(a) ) pada grafik f.
h0 h
Masalah 14 :
Tentukan gradien garis singung dari fungsi f(x) = x3 -3x2 di titik (-2, -20) !
Penyelesaian :
mg = f’(x) = ..... x3 - ..... – 3 (....) x = ..... x2 - ..... x Ix = - 2
maka mg = f’(-2) = 3 (....)2 – 6 (.....) = ...... + ...... = .......
a. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada kurva.
Persamaan gari singgung melalui titik P(x1 , y1) dengan gradien m sudah dikenal saat
SLTP sebagai berikut: y – y1 = m ( x – x1 ) , dan konsep ini dapat digunakan untuk
menentukan korelasi antara Turunan fungsi dengan persamaan garis singgung kurva.
Masalah 15 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 -5x di titik ( 1, -4 ) !
Penyelesaian :
y = x3 -5x maka y’ = dy = 3 ......2 - ...... didapat dy = 3(....)2- .... = -2
mg =
dx dx x1
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
y – y1 = m ( x – x1 )
y - ..... = ..... (x - ..... )
y + .... = -2x + .......
y = -2x - ......
b. Persamaan garis inggung pada kurva, jika gradien garis singgung diketahui.
Persamaan garis y – y1 = m ( x – x1 ) , jika diketahui nilai gradiennya, dapat
ditentukan titik singgungnya, sehingga garis singgungnyapun dapat ditentukan.
Masalah 16 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 5x2 -6x, Bila diketahui gradien
garis singgungnya 4 !
Penyelesaian : sehingga: m = dy = .... x -6 = 4
y = 5x2 -6x y’ = ....x -6 dx
10x = 4 + ....
x = ..... y = 5x2 -6x
10x = ...... x = ......
y = 5 (….)2 – 6 (….) = ….. - ….. = ……. Didapat Titik singgung ( ....., ..... )
Jadi persamaan garis singgungnya adalah: y – y1 = m ( x – x1 )
y + 1= ….. ( x – …. ) y + …. = 4x - …… y = …. x - 5
LKS-Mat.XI- 97
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Diketahui f(x) = 5 - x , Tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang
ordinatnya 3 !
2. Diketahui kurva y = x2 -5x +4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva
tersebut di titik yang absisnya -1 !
3. Jika f(x) = 1 x3 -3x2. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva tersebut yang
3
mempunyai gradien -9 !
4. Tentukan persamaan garis singgung kurva berikut ini:
a. y = 5 x pada x = 4 b. y = x2 -2 pada y = 7 c. y = x3 -3x2 + 4 di titik (0, 4)
5. Diketahui kurva f(x) = x3 - 5 x2 -2x
2
a. Tentukan titik pada kurva tersebut, sehingga garis-singgung di titik tersebut
bergradien nol !
b. Tentukan persamaan-persamaan garis singgng di titik tersebut !
B.2. FUNGSI NAIK dan FUNGSI TURUN.
Pengantar materi: f(x) = 4 –x2 maka f’(x) = - ..... x
Perhatikan gambar di bawah ini ! 1. Bila x < 0 maka f’(x) > 0 (Gradien di setiap
y
4
f(x) = 4 –x2 titik positif). Terlihat grafiknya NAIK, maka
dikatakan fungsi selalu NAIK.
2. Bila x > 0 maka f’(x) < 0 (Gradien di setiap
-2 0 2 x titik negatif). Terlihat grafiknya MENURUN,
maka dikatakan fungsi selalu TURUN.
Dapat disimpulkan bahwa pada interval tertentu suatu fungsi f(x) akan:
1. NAIK jika f’(x) > 0 2. TURUN jika f’(x) < 0.
Masalah 17 :
Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x, akan mengalami:
a. Naik b. Turun.
Penyelesaian : f’(x) = ...... + 10x - .....
f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x
= 2 (.... x2 + .... x - ..... )
= 2 (3x - ..... ) (x + ..... )
Pembuat nol fungsi: 2 (3x - ..... ) (x + ..... ) = 0
(3x - ..... ) = 0 v ( x + ..... ) = 0
3x = ..... v x = - ......
1
x=
......
a. Fungsi Naik jika f’(x) > 0 6x2 + 10x - 4 > 0
untuk menentukan intervalnya, diuji dengan titik (0, 0) 6(....)2 + 10. 0 – 4 > 0 (Salah)
11
-2 Jadi fungsi naik pada: x < -2 dan x >
33
B SB
0
LKS-Mat.XI- 98
b. Fungsi Turun jika f’(x) < 0 6x2 + 10x - 4 < 0
untuk menentukan intervalnya, diuji dengan titik (0, 0) 6(....)2 + 10. 0 – 4 < 0 (Benar)
11
-2 Jadi fungsi naik pada: -2 < x <
33
SS
B
B.3. NILAI STATIONER. f(x) = 4 – x2 f’(x) = .......
Pengantar materi:
Perhatikan gambar di bawah ini !
y
f(x) = 4 – x2 Bila x = 0, maka f’(x) = 0 9gradien sama dengan
nol). Di titik (0, 4) grafik tidak naik & tidak turun,
dikatakan fungsi dalam keadaan stationer di x = 0
dan mempunyai nilai stationer f(0) = 4.
x
-2 2
Coba perhatikan grafik fungsi: f(x) = 3x5 – 5x3 berikut ini:
Ay f(x) = 3x5 – 5x3 f’(x) = 15x4 – 15x2
2 = 15x2 ( ....2 - ....)
= 15x2 (x +....) (.... -1)
-2 -1 O 1 Bila f’(x) = 0 maka 15x2 (x +....) (.... -1) = 0
-2 2 Di titik yang absisnya: x = 0, x = 1 dan x = -1 ada-
lah stationer (berhenti bergerak) yaitu titik A, O, B
B
f(0) = 3(...)5 -5. 03 = ..... - ..... = 0 (0, ....)
f(-1) = 3(...)5 -5. (...)3 = ..... + ..... = .... (-1, ....)
f( 1) = 3(...)5 -5. (...)3 = ..... - ..... = .... (...., ....)
Jadi titik stationernya A(-1, 2), O(0, 0) dan B(1, 2)
Dari grafik nampak bahwa jenis nilai stationernya tidak sama, sekarang akan diseldiki
keadaan nilai stationer itu dengan memperhatikan tanda f’(x) di sekitar titik-titik tersebut:
1. Nilai stationer di A:
Jika x < -1 maka f’(x) > 0, untuk x = -1 maka f’(x) = 0 dan untuk x > -1 maka f’(x) < 0
Jadi , f’(x) berganti tanda dari ( + ) melalui 0 terus ( - ), hal ini dikatakan bahwa f
mempunyai Nilai balik maksimum sebesar f(-1) = 2 pada x = -1
2. Nilai stationer di O:
Jika x < 0 maka f’(x) < 0, untuk x = 0 maka f’(x) = 0 dan untuk x > 1 maka f’(x) < 0
Jadi , f’(x) bertanda dari ( - ) melalui 0 terus tetap ( - ), hal ini dikatakan bahwa f
mempunyai Titik belok horizontal di titik O.
3. Nilai stationer di B:
Jika x < 1 maka f’(x) < 0, untuk x = 1 maka f’(x) = 0 dan untuk x > 0 maka f’(x) > 0
Jadi , f’(x) berganti tanda dari ( - ) melalui 0 terus ( + ), hal ini dikatakan bahwa f
mempunyai Nilai balik minimum sebesar f(1) = 2 pada x = 1
Ke tiga nilai stationer tersebut dapat ditentukan dengan syarat: f’(a) = 0 , maka f(a) adalah
nilai stationer fungsi f pada x = a.
Masalah 18 :
Tentukan nilai-nilai stationer fugsi f(x) = x3 -3x, dan tentukan pula jenisnya !
Penyelesaian : LKS-Mat.XI- 99
f(x) = x3 -3x f’(x) = .... x2 - ..... x .... x2 - ..... x = 0
3 ( .....2 - ..... ) = 0
Syarat mencapai stationer f’(x) = 0
3 (x + .....) (x - ....) = 0
sehingga didapat: x + .... = 0 v x - .... = 0
x = - .... x = ......
Untuk x = - 1, maka f(-1) = (.....)3 – 3 ( ..... ) = - ...... + ...... = .......
Untuk x = 1, maka f( 1) = (.....)3 – 3 ( ..... ) = ...... - ...... = - ......
Jadi, fungsi f mempunyai nilai stationer f(-1) = ...... untuk x = -1 dan f(1) = .... untuk x = 1
Atau dengan kata lain titik-titik stationernya adalah (-1, ....) dan (1, .....)
x x = -1 -1+ 1- x=1 1+
3x2 – 3x -1- -1 -- 1 +
+0 0
Bentuk
grafiknya
Titik balik maksimum (-1, 2) Titik balik minimum (1, -2)
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
]
1. Tentukan interval-interval fungsi f yang ditentukan oleh fungsi di bawah ini, akan
mengalami naik dan megalami turun !
a. f(x) = 1 x3 -x2 -2 b. f(x) = 1 x3 -2x2 c. f(x) = 1 x5 -4x2
3 3 5
2. Diketahui f(x) = 1 x3 + 2x2 +4x + 9, Tunjukkan bahwa setiap nilai x fungsi tersebut
3
tidak pernah turun !
4
3. Diketahui f(x) = , Tunjukkan bahwa setiap nilai fungsi tersebut turun !
x
4. Tentukan nilai-nilai stationer fungsi di bawah ini dan tentukan pula jenis-jenisnya !
a. f(x) = x2 – 3 b. f(x) = 3x2 -2x -5 c. f(x) = 2x3 d. f(x) = x3 -3x2 + 5
]
5. Diketahui f(x) = 2 cos x , 0 x 360o :
a. Tunjukkan bahwa f(x) mempunyai tiga titik stationer !
b. Sebutkan titik tersebut dan tentukan jenis stationernya !
B.4. NILAI MAKSIMUM dan MINIMUM FUNGSI.
Pengantar materi:
Jika suatu fungsi f(x) dalam interval tertutup a x b, nilai maksimum dan minimum
fungsi dapat diidentifikasi melalui proses penentuan nilai fungsi terhadap beberapa nilai x
yang merupakan titik-titik stationer, dan ujung-ujung interval yang dipersyaratkan.
Masalah 19 :
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = 4x3 – x4 pada interval 1 x 4 !
Penyelesaian : f(1) = 4.(....)3 – (....)4 = ......
f (x) = 4x3 – x4
f(4) = 4.(....)3 – (....)4 = ......
Syarat stationer : f ’ (x) = 0 (.....)x..... - (…..) x3 = 0 ……x2 (….. – x )= 0
x = …… atau x = …..
f(0) = ……. , f (3) = 4.(....)3 – (....)4 = ......
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Sebagai bahan belajar siswa
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search