MoMduOlRe E&
Pembelajaran BERPANDU dan SISTEMATIK
MATEMATIK 5TINGKATAN
Mathematics KSSM
Tan Soon Chen
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2021
Hak cipta terpelihara. Tiada bahagian daripada terbitan ini
boleh diterbitkan semula, disimpan untuk pengeluaran, atau
ditukarkan dalam apa-apa bentuk atau dengan alat apa jua
pun, sama ada dengan cara elektronik, sawat, gambar,
rakaman, atau sebagainya, tanpa kebenaran daripada
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. terlebih dahulu.
ISBN: 978-967-2930-00-6
Cetakan Pertama 2021
Lot 8, Jalan P10/10, Kawasan Perusahaan Bangi,
Bandar Baru Bangi, 43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia.
Tel: 03-8922 3993 Faks: 03-8926 1223 / 8920 2366 E-mel: [email protected]
Pertanyaan: [email protected]
Dicetak di Malaysia oleh UG Press Sdn. Bhd.
40, Jalan Pengasah 15/13, 40000 Shah Alam, Selangor Darul Ehsan.
Sila layari www.ePelangi.com/errata untuk mendapatkan pengemaskinian bagi buku ini (sekiranya ada).
KANDUNGAN
Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid............................................. iii 5.3 Gabungan Transformasi...............................................................69
BAB Combined Transformation
1 Ubahan 1 5.4 Teselasi............................................................................................75
Variation
Tessellation
Praktis SPM 5........................................................................................77
1.1 Ubahan Langsung...........................................................................1 Sudut KBAT...........................................................................................82
Direct Variation Online Quick Quiz ...............................................................82
1.2 Ubahan Songsang...........................................................................9 BAB
Inverse Variation 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
Ratios and Graphs of Trigonometric Functions
1.3 Ubahan Bergabung.......................................................................14 83
Combined Variation
Praktis SPM 1........................................................................................17 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut q,
Sudut KBAT...........................................................................................18 0° < q < 360°...............................................................................83
Online Quick Quiz ...............................................................18 The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle q, 0° < q < 360°
BAB Matriks 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen....................................88
Matrices
2 19 The Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions
Praktis SPM 6........................................................................................91
2.1 Matriks ..........................................................................................19 Sudut KBAT...........................................................................................94
Matrices Online Quick Quiz ...............................................................94
2.2 Operasi Asas Matriks...................................................................21 BAB Sukatan Serakan Data Terkumpul
Measures of Dispersion for Grouped Data
Basic Operation on Matrices 7 95
Praktis SPM 2........................................................................................35
Sudut KBAT...........................................................................................38 7.1 Serakan...........................................................................................95
Online Quick Quiz ...............................................................38 Dispersion
BAB Matematik Pengguna: Insurans 7.2 Sukatan Serakan..........................................................................110
Consumer Mathematics: Insurance
3 Measures of Dispersion
39 Praktis SPM 7......................................................................................117
3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans.............................................39 Sudut KBAT.........................................................................................122
Risk and Insurance Coverage Online Quick Quiz .............................................................122
Praktis SPM 3........................................................................................47 BAB Pemodelan Matematik
Mathematical Modeling
Sudut KBAT...........................................................................................49 8 123
Online Quick Quiz ...............................................................49
BAB Matematik Pengguna: Percukaian 8.1 Pemodelan Matematik...............................................................123
Consumer Mathematics: Taxation
4 50 Mathematical Modeling
Praktis SPM 8......................................................................................129
4.1 Percukaian......................................................................................50 Sudut KBAT.........................................................................................131
Taxation Online Quick Quiz .............................................................132
Praktis SPM 4........................................................................................59 Kertas Model SPM..................................................................... 133
Sudut KBAT...........................................................................................60 Jawapan
Online Quick Quiz ...............................................................60 http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T5/
JawapanKeseluruhan.pdf
BAB Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Lembaran PBD
Transformasi
5 Congruency, Enlargement and Combined Transformations 61 http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T5/LPBD.pdf
5.1 Kekongruenan...............................................................................61 Jawapan Lembaran PBD
Congruency http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T5/
JawapanLPBD.pdf
5.2 Pembesaran....................................................................................64
Enlargement
BONUS Lembaran PBD dengan Jawapan
untuk Guru http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T5/
BonusLPBD.pdf
Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid
Matematik Tingkatan 5
Nama Murid: ................................................................. Kelas: .............................................
Penguasaan
Bab Tahap Tafsiran (✓) (✗)
penguasaan Menguasai Belum
1 menguasai
UBAHAN
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan.
2
MATRIKS 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan.
3 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah.
MATEMATIK
PENGGUNA: 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam
INSURANS konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
4 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam
MATEMATIK konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
PENGGUNA:
PERCUKAIAN 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks.
2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah.
4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang insurans.
2 Mempamerkan kefahaman tentang insurans.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang insurans untuk melaksanakan tugasan
mudah.
4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang percukaian.
2 Mempamerkan kefahaman tentang percukaian.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang percukaian untuk melaksanakan tugasan
mudah.
4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
iii
Penguasaan
Bab Tahap Tafsiran (✓) (✗)
penguasaan Menguasai Belum
menguasai
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang kekongruenan, pembesaran dan
gabungan transformasi.
2 Mempamerkan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan
transformasi.
5 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan
transformasi untuk melaksanakan tugasan mudah.
KEKONGRUENAN, 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan,
pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin
PEMBESARAN yang mudah.
DAN GABUNGAN
TRANSFORMASI Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan,
5 pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin
yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan,
6 pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah
bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri.
2 Mempamerkan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri.
6 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk
melaksanakan tugasan mudah.
NISBAH DAN 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf
GRAF FUNGSI fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
TRIGONOMETRI
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf
fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan
6 graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara
kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan dan sukatan serakan data
terkumpul.
2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul.
7 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul
SUKATAN untuk melaksanakan tugasan mudah.
SERAKAN DATA
TERKUMPUL 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemodelan matematik.
2 Mempamerkan kefahaman tentang pemodelan matematik.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pemodelan matematik untuk melaksanakan
tugasan mudah.
8 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik
PEMODELAN 4 dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi
MATEMATIK
linear.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik
5 dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi
kuadratik dan eksponen.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik
6 dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi
kuadratik dan eksponen secara kreatif.
iv
BAB 1: UBAHAN
VARIATION
Tahap Penguasaan Tafsiran
1
2 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan.
Mempamerkan kefahaman tentang ubahan.
1. Nyatakan setiap hubungan berikut dalam bentuk ubahan dan bentuk persamaan dengan k ialah pemalar.
State each of the following relations in variation form and equation form where k is a constant. TP 1
Hubungan Bentuk ubahan Bentuk persamaan 1
Relation Variation form Equation form
p berubah secara langsung dengan kuasa dua q. p q2 p = kq2
p varies directly as the square of q.
p berubah secara songsang dengan kuasa tiga q. p 1 p= k
q3 q3
p varies inversely as the cube of q.
p berubah secara langsung dengan q dan punca p qr p = kqr LEMBARAN PBD
kuasa dua r.
p varies directly as q and the square root of r.
p berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga p 3q p= k(3q)
r2 r2
q dan secara songsang dengan kuasa dua r.
p varies directly as the cube root of q and inversely as the
square of r.
2. Ungkapkan y dalam sebutan x. TP 2
Express y in terms of x.
(a) Diberi bahawa y berubah secara langsung (b) Diberi bahawa y berubah secara songsang
dengan kuasa dua x dan y = 36 apabila x =3. dengan kuasa tiga x dan y = 1 apabila x = 3.
Given that y varies directly as the square of x and Given that y varies inversely as the cube of x and
y = 36 when x = 3. y = 1 when x = 3.
y x2 y 1
y = kx2 x3
36 = k(3)2
9k = 36 y = k
k = 4 x3
∴ y = 4x2 1 = k
(3)3
k = 27
∴ y = 27
x3
B1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
3
4 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang mudah.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 3
Solve each of the following.
(a) y berubah secara langsung dengan x dan punca (b) y berubah secara langsung dengan punca kuasa
kuasa tiga z. Jika y = 24, maka x = 4 dan z = 27. dua x dan secara songsang dengan kuasa tiga z.
Cari nilai x apabila y = 16 dan z = 64. Jika y = 27, maka x = 36 dan z = 2. Cari nilai z
2 y varies directly as x and the cube root of z. If y = 24,
apabila x = 9 dan y = 4.
then x = 4 and z = 27. Find the value of x when y = 16 y varies directly as the square root of x and inversely as
and z = 64. the cube of z. If y = 27, then x = 36 and z = 2. Find the
y x(3z ) Apabila / When value of z when x = 9 and y = 4.
y = kx(3z ) y = 16, z = 64,
24 = k(4)(327) y x Apabila / When
24 = k(4)(3) 16 = 2(x)(364) z3 x = 9, y = 4,
12k = 24 16 = 2x(4) x
k = 2 8x = 16 y = z3 4 = 369
x = 2 z3
∴ y = 2x(3z ) 27 = 36
23 z3 = 108
4
6k = 216
z3 = 27
k = 36 z = 327
LEMBARAN PBD ∴ y = 36x z = 3
z3
4. Selesaikan. TP 4
Solve.
Jadual di sebelah menunjukkan dua set nilai x dan y yang memuaskan hubungan x3 n
1
y x2 . y 1 1
3 27
The table shows two sets of values of x and y which satisfy the relationship y 1 .
x2
(i) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi n.
Find the possible values of n.
3
(ii) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi x apabila y = 64 .
3
Find the possible values of x when y = 64 .
(i) y 1 ∴ y = 3 (ii) y = 3
x2 x2 x2
y = k Apabila / When y = 1 , 3 = 3
x2 27 64 x2
1 = k 217 = 3 3x2 = 192
3 32 n2
1 x2 = 64
k = 3 × 9 n2 = 81 x = ±64
n = ±81
k = 3 n = 9, –9 x = 8, –8
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B2
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
5. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
(a) Jadual di sebelah menunjukkan beberapa nilai x dan y. Diberi bahawa y p
berubah secara langsung dengan (x + 1) dan secara songsang dengan (x – 1). x –8 q
–5q + 2
Cari nilai p dan q jika p = q–1 . y3
The table shows some values of x and y. Given that y varies directly as (x + 1) and 3
inversely as (x – 1). Find the values of p and q if p = –5q + 2 .
q–1
x+1 q+1 Gantikan q = 6 ke dalam
y x–1 p = –4 q–1 Substitute q = 6 into
x+1 –5qq–+12 = –4 q+1 p = –5q + 2
y = k x–1 q–1 q–1
3+1 –5q + 2 = –4(q + 1) p = –5(6) + 2
3–1 6– 1
–8 = k = –4q – 4
–30 + 2
2k = –8 –5q + 4q = –4 – 2 = 5
k = –4 –q = –6 28
5
∴ y = 4 x+1 q = 6 =– LEMBARAN PBD
x–1
(b) Jadual di sebelah menunjukkan beberapa nilai P, Q dan R. Diberi bahawa P 1
2
berubah secara langsung dengan kuasa dua Q dan secara songsang dengan P 2 s
t Q t
punca kuasa tiga R. Cari nilai s dan t jika s = 4 . R 8 27
The table below shows some values of P, Q and R. Given that P varies directly as the
t
square of Q and inversely as the cube root of R. Find the value of s and t if s = 4 .
P Q2 Apabila / When P = s, Q = t, R = 27
3R
s = 1 t2
P = kQ2 4 327
3R
t 1 t2
1 = k(2)2 4 = 4 327
2 38
t2
1 = 4k t = 327
2 2
t2 = 327
4k = 1 t
1
k = 4 t = 327
1 Q2 t = 3
4 3R
∴ P=
B3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah
bukan rutin secara kreatif.
6. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
(a) Masa yang diperlukan, t berubah secara songsang (b) Bilangan mesin, m di sebuah kilang berkadaran
dengan bilangan pekerja, x. Jika terdapat 8 orang secara langsung dengan bilangan tin makanan
pekerja, maka masa yang diperlukan ialah 80 yang boleh dihasilkan, P dan secara songsang
minit. Cari bilangan pekerja jika masa yang dengan bilangan pekerja, w. Jika terdapat 4 buah
4 diperlukan ialah 16 minit. mesin dan 2 orang pekerja yang mengendalikan
The time needed, t varies inversely as the number of mesin, maka bilangan tin makanan yang
workers, x. If there are 8 workers, then the time needed
is 80 minutes. Find the number of workers if the time dihasilkan ialah 120. Berapakah bilangan pekerja
needed is 16 minutes. yang diperlukan untuk mengendalikan 5 buah
mesin jika kilang perlu menghasilkan 225 tin
t 1 makanan?
x
The number of machines, m in a factory is directly
t = k
x proportional to the number of food cans produced, P
80 = k and inversely as the number of workers, w. If there are
8 4 machines and 2 workers to handle the machines,
then the number of food cans produced is 120. How
many workers are needed to handle 5 machines if the
factory requires to produce 225 food cans?
k = 640
LEMBARAN PBD ∴ t = 640 m P
x w
Apabila t = 16, m = kP
w
When t = 16
4 = k(120)
2
640
16 = x 120k = 8
x = 40 k = 1
15
Bilangan pekerja ialah 40 orang. ∴ m = P
15w
Number of workers is 40.
Apabila m = 5 dan P = 225,
When m = 5 and P = 225,
5 = 225
15w
15w = 45
w = 3
3 orang pekerja diperlukan.
3 workers are needed.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B4
BAB 2: MATRIKS
MATRICES
Tahap Penguasaan Tafsiran
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks.
2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah.
1. Nyatakan kedudukan bagi setiap unsur yang berikut. TP 1
State the position of each of the following elements.
Diberi matriks Kedudukan / Position Unsur / Element 5
a31
Given matrix a41 –11
a34 –1
3 8 5 2 a43 11
–3 –5 9 a22 4
A = 2 9 8 11 a13 –3
–11 4 4 –6 5
–1
2. Selesaikan. TP 2 LEMBARAN PBD
Solve.
(a) 2 –2 + –96 4 (b) –1 9 4 – –45 6 1
–3 8 –1 7 5 0 4 –2
= 2 – 6 –2 + 4 = –1 + 5 9 – 6 4–1
–3 + 9 8–1 7 – 4 5 – 4 0+2
= –4 2 = 4 3 3
6 7 3 1 2
3. Selesaikan. TP 3
Solve.
(a) –2 8 –3 –1 6 7 –1 –6
–1 1 9 (b) 3 –3 1 2 –5
0
–4
= 6 + 72 –7 + 6 1 + 12 6 – 30
3+9 = 21 – 3 –3 – 6 –18 + 15
= 78 –28 + 0 4 + 0 24 + 0
12
–1 13 –24
= 18 –9 –3
–28 4 24
B5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah
5 rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah
rutin yang kompleks.
4. Cari matriks songsang bagi setiap matriks yang berikut. TP 4
Find the inverse matrix of each of the following matrices.
(a) A = 5 7 (b) P = 1 –3
10 3 4 10
6 A–1 = 1 3 –7 P–1 = 1 10 3
– 7(10) –10 5 1(10) – (–3)(4) –4 1
5(3)
= 1 3 –7 = 10 1 12 10 3
15 – 70 –10 5 + –4 1
= – 1 3 –7 = 1 10 3
55 –10 5 22 –4 1
LEMBARAN PBD 5. Selesaikan setiap persamaan linear serentak dengan menggunakan kaedah matriks. TP 5
Solve each of the following simultaneous linear equations by using matrix method.
(a) 3x – y = 11 (b) 3p + q = –11
5x – 2y = 19 2p + 5q = 10
3 –1 x = 11 3 1 p = –11
5 –2 y 19 2 5 q 10
x = 1 –2 1 11 p = 1 5 –1 –11
y 3(–2) – (–1)(5) –5 3 19 q 3(5) – 1(2) –2 3 10
= – –2 1 11 = 1 5 –1 –11
–5 3 19 13 –2 3 10
=– –2(11) + 1(19) = 1 5(–11) – 1(10)
–5(11) + 3(19) 13 –2(–11) + 3(10)
=– –22 + 19 = 1 –55 – 10
–55 + 57 13 22 + 30
=– –3 = 1 –65
2 13 52
= 3 = –5
–2 4
∴ x = 3, y = –2 ∴ p = –5, q = 4
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B6
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
6. Selesaikan setiap masalah yang berikut dengan menggunakan kaedah matriks. TP 6
Solve each of the following problems by using matrix method.
(a) Harga bagi 5 bungkus nasi lemak dan 3 bungkus (b) Diberi bahawa garis lurus PQ melalui (3, 5) dan 7
mi goreng ialah RM25. Beza harga antara (4, 8) dan garis lurus RS melalui (–3, –1) dan
3 bungkus nasi lemak dan sebungkus mi goreng (1, 7).
ialah RM8.
Given that straight line PQ passes through (3, 5) and
The price for 5 packs of nasi lemak and 3 packs of (4, 8) and the straight line RS passes through (–3, –1)
fried noodles is RM25. The difference in price between and (1, 7).
3 packs of nasi lemak and a packet of fried noodles is
RM8. (i) Cari persamaan garis lurus PQ dan RS.
(i) Bentukkan dua persamaan linear yang Find the equation of the straight line PQ and RS.
mewakili situasi di atas.
(ii) Cari titik persilangan antara garis lurus PQ
Form two linear equations to represent the above dengan garis lurus RS.
situation.
Find the points of intersection between the
(ii) Cari harga, dalam RM, bagi sebungkus nasi straight line PQ and the straight line RS.
nasi lemak dan sebungkus mi goreng.
(i) Garis lurus PQ: Garis lurus RS:
Find the price, in RM, of a pack of nasi lemak and Straight line PQ: Straight line RS:
a pack of fried noodles. 5 – 8 –1 – 7
mPQ = 3 – 4 = 3 mRS = –3 – 1 =2
(i) x = harga sebungkus nasi lemak
the price of a packet of nasi lemak y = 3x + c y = 2x + c
y = harga sebungkus mi goreng Menggunakan (3, 5), Menggunakan (1, 7), LEMBARAN PBD
the price of a pack of fried noodles By using (3, 5), By using (1, 7),
5x + 3y = 25 5 = 3(3) + c 7 = 2(1) + c
3x – y = 8 c = –4 c=5
∴ y = 3x – 4 ∴ y = 2x + 5
(ii) 5 3 x = 25 (ii) PQ : 3x – y = 4
3 –1 y 8 RS : 2x – y = –5
x = 1 –1 –3 25 3 –1 x 4
y 5(–1) – 3(3) –3 5 8 2 –1 y –5
=
=– 1 –1(25) – 3(8) x = 1 –1 1 4
14 –3(25) + 5(8) y 3(–1) – (–1)(2) –2 3 –5
=– 1 –25 – 24 =– –1(4) + 1(–5)
14 –75 + 40 –2(4) + 3(–5)
=– 1 –49 =– –9
14 –35 –23
= 3.5 = 9
2.5 23
Harga bagi sebungkus nasi lemak ialah RM3.50 Maka, titik persilangan ialah (9, 23).
dan harga bagi sebungkus mi goreng ialah
RM2.50. Thus, the point of intersection is (9, 23).
The price of a pack of nasi lemak is RM3.50 and a
pack of fried noodle is RM2.50.
B7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
BAB 3: MATEMATIK PENGGUNA: INSURANS
CONSUMER MATHEMATICS: INSURANCE
Tahap Penguasaan Tafsiran
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang insurans.
2 Mempamerkan kefahaman tentang insurans.
1. Isi tempat kosong dengan jawapan yang betul. TP 1
Fill in the blanks with correct answer.
premium prinsip indemniti pemegang polisi risiko pampasan
8 premium
principle of indemnity policyholder risk compensation
(a) Kontrak insurans ialah bukti perjanjian antara pemegang polisi dengan syarikat insurans.
Insurance contract is an agreement between policyholder and insurance company.
(b) Syarikat insurans akan membayar pampasan kepada pemegang polisi jika kerugian berlaku
seperti yang ditetapkan dalam polisi insurans.
Insurance company will pay compensation to policyholder if loss happens as stated in the policy insurance.
LEMBARAN PBD (c) Prinsip indemniti dalam insurans tidak akan membenarkan pemegang polisi mengaut keuntungan
dalam insuransnya.
Principal of indemnity in insurance will not allow policyholders to gain profit from their insurance.
(d) Risiko ialah kemungkinan berlakunya musibah yang tidak dapat dielakkan.
Risk is the possibility of a disaster that cannot be avoided.
2. Hitung premium tahunan dan premium bulanan bagi setiap yang berikut. TP 2
Calculate the annual premium and monthly premium of each of the following.
(a) (b)
Kadar premium tahunan bagi RM0.185 Kadar premium tahunan bagi RM3.02
setiap RM100 nilai muka RM500 000
setiap RM1 000 nilai muka
Annual premium rate per RM100 face
value Annual premium rate per RM1 000
face value
Nilai muka
Nilai muka RM1 000 000
Face value
Face value
Premium tahunan / Annual premium Premium tahunan / Annual premium
RM500 000 RM1 000 000
= RM100 × RM0.185 = RM1 000 × RM3.02
= RM925 = RM3 020
Premium bulanan / Monthly premium Premium bulanan / Monthly premium
RM925 RM3 020
= 12 = 12
= RM77.08 = RM251.67
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B8
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
3
4 Mengaplikasikan kefahaman tentang insurans untuk melaksanakan tugasan mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah
rutin yang mudah.
3. Hitung premium kasar bagi polisi komprehensif dan polisi pihak ketiga, kebakaran dan kecurian bagi kenderaan
berikut. TP 3
Calculate the gross premium for comprehensive policy and third party, fire and theft policy for the following vehicle.
Jumlah yang diinsuranskan RM80 000 9
2 200 cc
Sum insured 24%
Kapasiti enjin RM339.10
RM26
Engine capacity
NCD
Kadar premium bagi RM1 000 pertama polisi komprehensif
Premium rate for the first RM1 000 of comprehensive policy
Kadar premium bagi setiap RM1 000 baki jumlah yang diinsuranskan
Premium rate for each RM1 000 balance of the sum insured
Polisi komprehensif: Polisi pihak ketiga, kebakaran dan kecurian:
Comprehensive policy: Third party, fire and theft policy:
RM1 000 pertama RM339.10 Premium asas 0.75 × RM2 393.10 LEMBARAN PBD
= RM1 794.83
The first RM1 000 RM2 054 Basic premium
0.24 × RM1 794.83
RM26 × 79 RM2 393.10 NCD 24% = RM430.76
Premium asas
0.24 × RM2 393.10 Premium kasar RM1 364.07
Basic premium = RM574.34
Gross premium
NCD 24% RM1 818.76
Premium kasar
Gross premium
4. Hitung jumlah pampasan yang diterima dalam situasi berikut. TP 4
Calculate the total amount of compensation received in the following situation.
Encik Hassan telah membeli insurans motor untuk keretanya yang mempunyai peruntukan deduktibel
sebanyak RM560. Sepanjang tempoh insurans tersebut, Encik Hassan perlu menanggung kerugian
sebanyak RM490, RM770, RM920 dan RM540 masing-masing pada bulan Mac, Mei, Ogos dan November.
Encik Hassan has bought a motor insurance for his car that has an allocation of deductible of RM560. During the
period of insurance, Encik Hassan has to bear losses of RM490, RM770, RM920 and RM540 in March, May, August and
November respectively.
Bulan / Month Kerugian / Loss Pampasan / Compensation Jumlah pampasan yang diterima
Mac / March RM490 –
Mei / May RM 770 Total amount of compensation received
Ogos / August RM 920 RM770 – RM560 = RM210
November RM 540 RM920 – RM560 = RM360 = RM210 + RM360
– = RM570
B9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah
6 rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah
bukan rutin secara kreatif.
5. Selesaikan.
Solve.
10 (a) Zulwatina mempunyai insurans perubatan dengan peratusan ko-insurans 90/10. Kos rawatan untuk
merawat penyakitnya yang dilindungi polisi insurans ialah RM34 000. Jika polisi insurans Zulwatina
mempunyai deduktibel sebanyak RMx dan dia telah menerima jumlah pampasan sebanyak RM24 300
bagi kos rawatannya itu, hitung nilai x. TP 5
Zulwatina has a medical insurance with a co-insurance percentage of 90/10. The treatment cost to treat her illness that
covered by the insurance policy is RM34 000. If Zulwatina’s policy insurance has a deductible of RMx and she received
the compensation amount of RM24 300 for the treatment cost, calculate the value of x.
Jumlah pampasan = 90 × (Kos rawatan − Deduktibel)
100
Compensation amount = 90 × (Treatment cost − Deductible)
100
RM24 300 = 90 × (RM34 000 − x)
100
LEMBARAN PBD
RM34 000 – x = RM27 000
x = RM7 000
(b) Wan Zarena mempunyai insurans kebakaran untuk rumahnya. Nilai boleh insurans rumah itu ialah
RM800 000. Polisi insurans kebakaran itu mempunyai ko-insurans 70% dan deduktibel RM5 500.
Rumahnya telah mengalami kerugian akibat kebakaran sebanyak RM95 000. Hitung jumlah penalti ko-
insurans dan peratusan penalti ko-insurans jika Wan Zarena menginsuranskan rumahnya dengan nilai
muka sebanyak RM476 000. TP 6
Wan Zarena has a fire insurance for her house. The insurable value of the house is RM800 000. The fire insurance
policy has a co-insurance of 70% and a deductible or RM5 500. Her house has a loss of RM95 000 due to fire incident.
Calculate the amount of co-insurance penalty and the percentage of co-insurance penalty if Wan Zarena insures her
house with a face value of RM476 000.
Jumlah insurans yang harus dibeli Peratusan penalti ko-insurans
Amount of required insurance Percentage of co-insurance penalty
= 70 × RM800 000 RM476 000
100 RM560 000
= 1– × 100
= RM560 000
= 15%
Jumlah penalti ko-insurance
Amount of co-insurance penalty
= 1 – RM476 000 × RM95 000
RM560 000
= RM14 250
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B10
BAB 4: MATEMATIK PENGGUNA: PERCUKAIAN
CONSUMER MATHEMATICS: TAXATION
Tahap Penguasaan Tafsiran
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang percukaian.
2 Mempamerkan kefahaman tentang percukaian.
1. Lengkapkan peta minda yang berikut. TP 1
Complete the following mind map.
Cukai pendapatan Lembaga Hasil Dalam Negeri (LHDN) 11
Income tax Inland Revenue Board (IRB)
Jenis-jenis Cukai jalan Jabatan Pengangkutan Jalan (JPJ)
Cukai Road tax Road Transport Department
dan Pihak Cukai pintu Majlis perbandaran atau majlis daerah
Pengutip Property assessment tax Municipal council or district council
Types of Cukai tanah Pejabat tanah dan galian negeri
Taxes and The Quit tax
State land office authority
Collectors
Cukai jualan dan perkhidmatan Jabatan Kastam Diraja Malaysia LEMBARAN PBD
Sales and service tax Royal Malaysian Customs Department
2. Hitung pendapatan bercukai bagi setiap yang berikut. TP 2
Calculate the chargeable income of each of the following.
(a) (b)
Pendapatan tahunan RM120 000 Pendapatan tahunan RM87 000
RM3 000 RM800
Annual income RM34 250 Annual income
RM28 600
Pengecualian cukai Pengecualian cukai
Tax exemption Tax exemption
Pelepasan cukai Pelepasan cukai
Tax relief Tax relief
Pendapatan bercukai / Chargeable income Pendapatan bercukai / Chargeable income
= RM120 000 – RM3 000 – RM34 250 = RM87 000 – RM800 – RM28 600
= RM82 750 = RM57 600
B11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
3
4 Mengaplikasikan kefahaman tentang percukaian untuk melaksanakan tugasan mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian masalah
rutin yang mudah.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 3
Solve each of the following.
12 (a) Phang memiliki sebuah rumah berkeluasan (b) Diberi bahawa nilai tahunan sebuah rumah ialah
200 m2. Diberi bahawa kadar cukai tanah yang RM14 400 dan kadar cukai pintu ialah 4.8%.
dikenakan ialah RM1.45 setiap meter persegi. Hitung jumlah cukai pintu tahunan yang perlu
Hitung jumlah cukai tanah yang perlu dibayar dibayar.
oleh Phang pada setiap tahun.
Given that the annual value of a house is RM14 400
Phang owns a house with an area of 200 m2. Given and the rate of assessment tax is 4.8%. Calculate the
that the rate of quit tax levied is RM1.45 per square amount of the annual property assessment tax payable.
meter. Calculate the amount of quit rent payable by
Phang each year. Cukai pintu tahunan
Cukai tanah / Quit rent Annual property assessment tax
= RM1.45 × 200
= RM290 = RM14 400 × 4.8%
= RM691.20
LEMBARAN PBD (c) Siew Mei bercuti di Pulau Pinang dan dia (d) Kapasiti enjin (cc) 1 601 – 1 800
menginap sebuah bilik di sebuah hotel selama RM200
empat malam. Kadar penginapan bilik itu ialah Engine capacity (cc)
RM150 semalam. Jika kadar cukai perkhidmatan RM0.40
ialah 6%, berapakah cukai perkhidmatan yang Kadar asas / Base rate
perlu dibayar oleh Siew Mei?
Kadar progresif bagi setiap cc
Siew Mei is on holiday in Penang and she rents a room melebihi 1 600 cc
in a hotel for four nights. The rate of rental is RM150 per
night. If the rate of service tax is 6%, what is the service Progressive rate for each cc
tax paid by Siew Mei? exceeding 1 600 cc.
Cukai perkhidmatan / Service tax Hitung cukai jalan bagi sebuah kereta 1 740 cc.
= RM150 × 4 × 6%
= RM36.00 Calculate the road tax for a 1 740 cc-car.
Cukai jalan / Road tax
= RM200 + (1 740 – 1 600) × RM0.40
= RM200 + RM56
= RM256
4. Puan Chew mempunyai jumlah pendapatan Pelepasan cukai Jumlah (RM)
tahunan sebanyak RM60 000 pada tahun
Tax relief Amount (RM)
2019. Dia menderma RM500 kepada sebuah
Individu 9 000
badan kebajikan yang diluluskan oleh pihak
Individual
kerajaan. Jadual yang berikut menunjukkan
Yuran pengajian sendiri (Terhad RM7 000) 5 500
pelepasan cukai yang dituntut oleh Puan
Self education fees (Limit RM7 000)
Chew.
Gaya hidup (Terhad RM2 500) 2 400
Madam Chew has the total annual income of
RM60 000 in the year 2019. She donated RM500 Lifestyle (Limit RM2 500)
to a charity organisation approved by government.
The table shows the tax relief which are claimed Insurans nyawa dan KWSP (Terhad RM7 000) 6 650
by Madam Chew. TP 4 Life insurance and EPF (Limit RM7 000)
Insurans perubatan (Terhad RM3 000) 1 600
Medical insurance (Limit RM3 000)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B12
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Diberi banjaran pendapatan bercukai Puan Chew seperti di bawah, hitung cukai pendapatan yang perlu
dibayar oleh Puan Chew pada tahun 2019.
Given the range of chargeable income of Madam Chew is as shown below, calculate the income tax payable by Madam
Chen for 2019.
Pendapatan bercukai (RM) Pengiraan (RM) Kadar (%) Cukai (RM)
Chargeable income (RM) Calculation (RM) Rate (%) Tax (RM)
20 001 – 35 000 20 000 pertama / The first 20 000 3 150
15 000 berikutnya / Next 15 000 450
Pendapatan bercukai / Chargeable income 13
= Jumlah pendapatan tahunan – Pengecualian cukai – Pelepasan cukai
Total annual income – Tax exemption – Tax relief
= RM60 000 – RM500 – (RM9 000 + RM5 500 + RM2 400 + RM6 650 + RM1 600)
= RM59 500 – RM25 150 = RM34 350
Cukai bagi RM20 000 pertama / Tax on the first RM20 000 Rebat yang layak / Eligible rebate = RM400
= RM150 Cukai pendapatan yang perlu dibayar
Cukai atas baki berikutnya / Tax on the next balance
= (RM34 350 – RM20 000) × 3% Income tax payable
= RM14 350 × 3% = RM430.50
= RM150 + RM430.50 – RM400
= RM180.50
Tahap Penguasaan Tafsiran LEMBARAN PBD
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian
6 masalah rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
5. Pendapatan bercukai Razif pada suatu tahun tertentu ialah RM48 000. Banjaran pendapatan bercukai Razif
adalah ditunjukkan seperti berikut. Razif telah membuat potongan cukai bulanan (PCB) sebanyak RM150
sebulan pada tahun itu. Perlukah Razif membuat bayaran baki cukai pendapatan? Jelaskan jawapan anda.
Razif’s chargeable income of a certain year is RM48 000. The range of chargeable income of Razif is a shown below. Razif
has made monthly tax deduction (PCB) for that year amounting RM150 per month. Does Razif need to pay balance of
income tax? Explain your answer. TP 5 TP 6
Pendapatan bercukai (RM) Pengiraan (RM) Kadar (%) Cukai (RM)
Chargeable income (RM) Calculation (RM) Rate (%) Tax (RM)
35 001 – 50 000 35 000 pertama / The first 35 000 8 600
15 000 berikutnya / Next 15 000 1 200
Cukai bagi RM35 000 pertama Jumlah PCB yang dipotong / Total PCD deducted
= RM150 × 12 = RM1 800
Tax on the first RM35 000
Cukai yang perlu dibayar , PCB
= RM600
Cukai atas baki berikutnya / Tax on the next balance Tax payable , PCB
= (RM48 000 – RM35 000) × 8%
= RM13 000 × 8% = RM1 040 Lebihan potongan / Excess deduction
= RM1 800 – RM1 640 = RM160
Rebat yang layak / Eligible rebate = RM0
Cukai pendapatan yang perlu dibayar Razif tidak perlu membayar baki cukai pendapatan
kerana terdapat lebihan potongan PCB.
Income tax payable
Razif does not need to pay the balance of income tax as
= RM600 + RM1 040 = RM1 640 there is excess of deduction of PCB.
B13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
BAB 5: KEKONGRUENAN, PEMBESARAN DAN GABUNGAN
TRANSFORMASI
CONGRUENCY, ENLARGEMENT AND COMBINED TRANSFORMATIONS
Tahap Penguasaan Tafsiran
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi.
2 Mempamerkan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi.
1. Lengkapkan jadual di bawah. TP 1
Complete the table below.
14 Faktor skala, k Luas objek Luas imej
Scale factor, k Area of object Area of image
3 27 cm2 (a) 27 × 32
= 243 cm2
(b) 100 × (–2)2
–2 100 cm2 = 400 cm2
LEMBARAN PBD (c) 800 800 m2
4 42
= 50 m2
(d) 18.75 = 75 m2
12
1 18.75 m2
22
(e) k2 = 180 45 cm2 180 cm2
45 56 cm2 504 cm2
k = 4
= 2 atau / or –2
(f) k2 = 504
56
k = 9
= 3 atau / or –3
2. Nyatakan koordinat imej bagi titik K(1, 5) di bawah gabungan transformasi berikut. TP 2
State the coordinates of the image of point K(1, 5) under the following combined transformation.
Diberi / Given that
T = pantulan pada garis y = 2
reflection in the line y = 2
U = translasi / translation 3
–3
(a) UT (b) U2
K(1, 5) T K(1, –1) U→ K(4, –4) K(1, 5) U U K(7, –1)
→ → K(4, 2) →
∴ Imej / Image = (4, –4) ∴ Imej / Image = (7, –1)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B14
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
3
Mengaplikasikan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi untuk melaksanakan
4 tugasan mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan
transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
3. Lukiskan imej bagi objek U di bawah gabungan transformasi berikut dan tandakan dengan U. TP 3 TP 4
Draw the image of objek U under the following combined transformations and mark as U.
R = translasi / translation–3
–2
15
S = pantulan pada garis y = 6
reflection in the line y = 6
T = putaran 90° lawan arah jam pada titik (7, 2)
rotation of 90° anticlockwise at point (7, 2)
(a) ST
y
10
8 UЉ U LEMBARAN PBD
6 y=6
4 UЈ
2
O x
(b) TR 2 4 6 8 10
y
10
–3
8 –2
U
6
UЈ
4
2
UЉ
O x
2 4 6 8 10
B15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan
6 transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan
transformasi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
4. Selesaikan. TP 5 TP 6
Solve.
16 Rajah di bawah menunjukkan tiga heksagon, ABCDEF, PQRSTU dan JKLMNR, dilukis pada suatu satah
Cartes.
Diagram below shows three hexagons, ABCDEF, PQRSTU and JKLMNR, drawn on a Cartesian plane.
y
PQ
6
AB
DC 4 T U
FE 2
K J
ML
S NR
–4 –2 O x
2468
LEMBARAN PBD Heksagon JKLMNR ialah imej bagi heksagon ABCDEF di bawah transformasi bergabung XY.
Hekxagon JKLMNR is the image of hexagon ABCDEF under the combined transformation XY.
(a) Jika kedua-dua transformasi Y dan X ialah pembesaran, huraikan transformasi Y dan X selengkapnya.
If both transformation Y and X are enlargements, describe completely the transformation Y and X.
(b) Diberi bahawa luas heksagon JKLMNR ialah 18 m2, hitung luas kawasan berlorek.
It is given the area of hexagon JKLMNR is 18 m2, calculate the area of the shaded region.
(c) Nyatakan satu transformasi tunggal yang bersamaan dengan transformasi bergabung XY.
State a single transformation which is equivalent to the combined transformation XY.
(a) k = – 6 = –3 k = 2 = 1
2 6 3
Y = Pembesaran pada pusat (–1, 4) dengan X = Pembesaran pada pusat R(8, 1) dengan faktor
faktor skala –3.
skala 1 .
Enlargement at centre (–1, 4) with a scale factor 3
of –3. at centre R(8, 1) with a scale factor of 1 .
Enlargement 3
(b) (–3)2 = Luas heksagon PQRSTU Luas kawasan berlorek
Area of hexagon PQRSTU Area of shaded region
18 = 162 – 18
= 144 m2
Luas heksagon PQRSTU = 9 × 18
Area of hexagon PQRSTU
= 162 m2
(c) Pembesaran pada pusat (2, 3) dengan faktor skala –1.
Enlargement at centre (2, 3) with a scale factor of –1.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B16
BAB 6: NISBAH DAN GRAF FUNGSI TRIGONOMETRI
RATIOS AND GRAPHS OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
Tahap Penguasaan Tafsiran
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri.
2 Mempamerkan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri.
1. Nyatakan koordinat titik M bagi setiap bulatan unit berikut. TP 1
State the coordinates of point M for each of the following unit circles.
(a) y (b) y (c) y
1
M(x, y) 1 1 17
–1 112° x 235° 1x 304° 1x
O1 –1 O –1 O M(x, y)
M(x, y)
–1 –1
–1
x = kos 112° = −0.3746 x = kos 235° = −0.5736 x = kos 304° = 0.5592
y = sin 112° = 0.9272 y = sin 235° = −0.8192 y = sin 304° = −0.8290
∴ M(−0.3746, 0.9272) ∴ M(−0.5736, −0.8192) ∴ M(0.5592, −0.8290)
2. Cari semua nilai θ yang memuaskan setiap persamaan berikut untuk 0° < θ < 360°. TP 2 LEMBARAN PBD
Find all values of θ which satisfy each of the following equation for 0° < θ < 360°.
(a) sin θ = 0.8660 (b) tan θ = 0.7239 (c) kos θ = 0.8192
Sudut rujukan sepadan Sudut rujukan sepadan cos θ = 0.8192
Corresponding reference angle Corresponding reference angle Sudut rujukan sepadan
= sin–1 0.8660 = tan–1 0.7239 Corresponding reference angle
= 60° = 35°54
= kos–1 0.8192
Sukuan I atau II Sukuan I atau III = 35°
Quadrant I or II Quadrant I or III Sukuan I atau IV
θ = 60°, (180° – 60°) θ = 35°54, (180° + 35°54) Quadrant I or IV
= 60°, 120° = 35°54, 215°54
θ = 35°, (360° – 35°)
= 35°, 325°
(d) sin θ = –0.2807 (e) tan θ = –0.5317 (f) kos θ = –0.9848
Sudut rujukan sepadan Sudut rujukan sepadan cos θ = –0.9848
Corresponding reference angle Corresponding reference angle Sudut rujukan sepadan
= sin–1 0.2807 = tan–1 0.5317 Corresponding reference angle
= 16°18 = 28° = kos–1 0.9848
= 10°
Sukuan III atau IV Sukuan II atau IV
Sukuan II atau III
Quadrant III or IV Quadrant II or IV
Quadrant II or III
θ =(180°+16°18),(360°–16°18) θ = (180° – 28°), (360° – 28°)
= 196°18, 343°42 = 152°, 332° θ = (180° – 10°), (180° + 10°)
= 170°, 190°
B17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
3
4 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
3. Cari nilai m bagi setiap graf fungsi trigonometri yang berikut. TP 3
Find the value of m for each of the following graphs of trigonometry functions.
(a) (b) (c)
y
y y
m y = tan x
1 y = kos x
18 0 y = sin x 0.5736 y = cos x
x 0 m x 0 m x
90° 180° 270° 360° –1 360° 360°
y = sin x 0 .5736 = kos q 0 = tan q
m = sin 90° q = kos–1 0.5736 q = 0°, 180°, 360°
= 1 = 55°
m = 180°
m = 360° – 55°
= 305°
LEMBARAN PBD 4. Selesaikan. TP 4
Solve.
Dalam rajah di bawah, PQR ialah sebuah segi tiga bersudut tegak dan QRS ialah garis lurus.
In the diagram, PQR is a right angled triangle and QRS is a straight line.
P
34 cm
y
Q 16 cm R S
(a) Cari panjang, dalam cm, PQ.
Find the length, in cm, of PQ.
(b) Cari sin y, kos y dan tan y.
Find sin y, cos y and tan y.
(a) PQ = 342 – 162 (b) sin y = 30 kos y = – 16 tan y = – 30
34 34 16
= 30 cm cos y
= 15 15
17 =– 8 =– 8
17
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B18
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks
6 penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks
penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
5. Lakarkan setiap graf trigonometri berikut. TP 5
Sketch each of the following trigonometric graphs.
(a) y = sin 2q + 1 Tempoh / Period (b) y = 3 kos 2q – 1 Tempoh / Period 19
= 360° = 360°
y y
2 2 2
= 180° 3 = 180°
1 2
1 x
90° 180° 270° 360°
0
–1
–2
x –3
0 90° 180° 270° 360°
–4
6. Selesaikan. TP 6 LEMBARAN PBD
Solve.
Sebahagian laluan permainan roller coaster mempunyai bentuk sebahagian graf sinus seperti yang
ditunjukkan dalam rajah di bawah. Titik terendah laluan itu berada pada 10 m di bawah tanah. Tuliskan
satu fungsi trigonometri dalam bentuk y = a sin bq + c yang mewakili laluan roller coaster itu.
A part of the track of a roller coaster has the shape of a part of sinus graph as shown in the diagram. The lowest point of
the track is 10 m below the ground. Write a trigonometric function in the form y = a sin b q + c that represents the track
of the roller coaster.
Jarak menegak, y (m)
Vertical distance, y (m)
70
0 Jarak mengufuk, x (m)
–10 60 Horizontal distance, x (m)
Amplitud / Amplitude Tempoh / Period = 120
a = 70 – (–10)
= 80 b = 360
120
Tempoh bagi satu graf lengkap
=3
Period for a complete graph
c = –10
= 60 × 2
= 120 ∴ y = 80 sin 3q – 10
B19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
BAB 7: SUKATAN SERAKAN DATA TERKUMPUL
MEASURES OF DISPERSION FOR GROUPED DATA
Tahap Penguasaan Tafsiran
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul.
2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul.
1. Lengkapkan setiap jadual berikut. TP 1 TP 2
Complete the following table.
(a)
22 Umur Kekerapan Had Had atas Titik Sempadan Sempadan Kekerapan
(tahun) bawah tengah longgokan
Frequency Upper limit bawah atas
Age Lower limit Midpoint Cumulative
(years old) 32 Lower Upper frequency
35 31 boundary boundary
38 34 1
30 – 32 1 30 41 37 29.5 32.5
44 40 3
33 – 35 2 33 47 43 32.5 35.5
46 5
36 – 38 2 36 35.5 38.5
11
39 – 41 6 39 38.5 41.5
15
42 – 44 4 42 41.5 44.5
20
45 – 47 5 45 44.5 47.5
LEMBARAN PBD (b)
Masa Kekerapan Had Had atas Titik Sempadan Sempadan Kekerapan
(minit) bawah tengah longgokan
Frequency Upper limit bawah atas
Time Lower limit Midpoint Cumulative
(minutes) 7 Lower Upper frequency
11 5.5 boundary boundary
4–7 15 9.5 12
12 4 19 13.5 3.5 7.5
8 – 11 15 8 23 17.5 27
20 12 27 21.5 7.5 11.5
12 – 15 22 16 25.5 47
18 20 11.5 15.5
16 – 19 13 24 69
15.5 19.5
20 – 23 87
19.5 23.5
24 – 27 100
23.5 27.5
(c)
Panjang Kekerapan Had Had atas Titik Sempadan Sempadan Kekerapan
(m) bawah tengah longgokan
Frequency Upper limit bawah atas
Length (m) Lower limit Midpoint Cumulative
1.5 Lower Upper frequency
1.8 1.4 boundary boundary
2.1 1.7 98
1.3 – 1.5 98 1.3 2.4 2.0 1.25 1.55
1.6 – 1.8 110 1.6 2.7 2.3 208
1.9 – 2.1 115 1.9 3.0 2.6 1.55 1.85
2.2 – 2.4 120 2.2 2.9 323
2.5 – 2.7 102 2.5 1.85 2.15
2.8 – 3.0 100 2.8 443
2.15 2.45
545
2.45 2.75
645
2.75 3.05
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B20
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
3
4 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul untuk melaksanakan tugasan mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang mudah.
2. Hitung julat antara kuartil bagi setiap yang berikut. TP 3
Calculate the interquartile range of each of the following.
(a) (b)
Kekerapan longgokan / Cumulative frequency Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
40 20 21
30 15
20 10
10 5
0 0.45 0.95 1.45 1.95 2.45 2.95 0 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5
Isi padu (liter) / Volume (litre) Skor / Score
1 × 40 = 10 3 × 40 = 30 1 × 20 = 5 3 × 20 = 15 LEMBARAN PBD
4 4 4 4
Q1 = 1.3 Q3 = 1.9 Q1 = 43.5 Q3 = 59.5
Julat antara kuartil / Interquartile range Julat antara kuartil / Interquartile range
= 1.9 – 1.3 = 59.5 – 43.4
= 0.6 = 16
3. Hitung varians dan sisihan piawai bagi data berikut. TP 4
Calculate the variance and standard deviation of the following data.
Data jisim, dalam kg, bagi 40 orang murid.
Data of the masses, in kg, of 40 pupils.
Kekerapan Titik tengah 171 440 2 600 2
40 40
Jisim (kg) Frequency Midpoint fx fx2 σ2 = –
Mass (kg) (f) (x) 260 13 520 = 61
5 52 342 19 494
50 – 54 6 57 434 26 908 σ = 61
55 – 59 7 62 603 40 401 = 7.81 kg
60 – 64 9 67 576 41 472
65 – 69 8 72 385 29 645
70 – 74 5 77 fx = 2 600 fx2 = 171 440
75 – 79
B21 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks
6 penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks
penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
4. Selesaikan. TP 5 TP 6
Solve.
Ogif di sebelah menunjukkan mata yang diperoleh Kekerapan longgokan / Cumulative frequency Kumpulan A
Group A
22 dua kumpulan murid dalam sebuah permainan. 20 Kumpulan B
Group B
The ogive shows the points obtained by two groups of pupils
in a game. 15
(a) Hitung min dan sisihan piawai bagi kedua-dua 10
kumpulan. 5
Calculate the mean and standard deviation of both 0 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5
groups. Mata / Points
(b) Kemudian, tentukan kumpulan yang
menunjukkan prestasi yang lebih baik dan
konsisten,
Hence, determine which group shows a better and
consistent performance.
LEMBARAN PBD (a) Kumpulan A / Group A :
Mata Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 –x = 1 050
Frequency, f Midpoint, x 20
Point 71 2 520.5
2 35.5 318.5 14 491.75 = 52.5
31 – 40 388.5 21 561.75
41 – 50 7 45.5 196.5 12 870.75 σ = 57 145 – (52.5)2
51 – 60 75.5 5 700.25 20
61 – 70 6 55.5 fx = 1 050 fx2 = 57 145
71 – 80 = 10.05
3 65.5
1 75.5
Kumpulan B / Group B :
Mata Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 x– = 1 100
20
Point Frequency, f Midpoint, x 182 8 281
721.5 40 043.25 = 55
41 – 50 4 45.5 196.5 12 870.75
51 – 60 13 55.5 fx = 1 100 fx2 = 61 195 σ = 61 195 – (55)2
61 – 70 3 65.5 20
= 5.89
(b) Kumpulan B menunjukkan prestasi yang lebih baik kerana minnya lebih besar daripada kumpulan A
dan sisihan piawainya yang lebih kecil menunjukkan prestasi yang konsisten.
Group B shows a better performance because the mean is greater than group A and the smaller standard deviation
shows a consistent performance.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B22
BAB 8: PEMODELAN MATEMATIK
MATHEMATICAL MODELING
Tahap Penguasaan Tafsiran
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemodelan matematik.
2 Mempamerkan kefahaman tentang pemodelan matematik.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pemodelan matematik untuk melaksanakan tugasan mudah.
1. Lengkapkan peta minda berikut. TP 1
Complete the following mind map.
Mengenal pasti Membuat Menentusahkan Memurnikan 23
dan andaian dan Mengaplikasi dan mentafsir model Melaporkan
mendefinisikan mengenal pasti matematik penyelesaian matematik dapatan
masalah pemboleh ubah Applying Verifying and Refining the Reporting the
mathematics interpreting mathematical findings
Identifying and Making
defining the assumptions solutions model
problems and identifying
the variables
2. Jawab setiap yang berikut. TP 2 TP 3 LEMBARAN PBD
Solve each of the following.
(a) Yann Ping menyimpan RM32 000 di sebuah (b) Harga sebuah telefon pintar akan menurun
bank yang menawarkan kadar faedah mudah
2% setahun. Dia ingin membeli sebuah kereta sebanyak 0.04% setiap bulan. Harga telefon
yang berharga RM36 000 menggunakan
hasil simpanannya. Berapakah masa yang pintar itu pada 1 Februari 2021 ialah RM1 200.
diperlukan, dalam tahun, oleh Yann Ping untuk
membeli kereta itu? Jeremy ingin membeli telefon pintar itu pada
Yann Ping saves RM32 000 in a bank that offers a bulan 1 Julai 2021. Berapakah harga yang perlu
simple interest rate of 2% per annum. She wants to
buy a car that costs RM36 000 using her savings. How dibayar oleh Jeremy?
long does it take, in years, for Yann Ping to buy the
car? The price of a smartphone will decrease by 0.04%
in every month. The price of the smartphone on
Kenal pasti dan definisikan masalah dalam
situasi di atas. 1 February 2021 is RM1 200. Jeremy wants to
purchase the mobile phone on 1 July 2021. How
Identify and define the problem in the situation above. much is the price that Jeremy has to pay?
(i) Tentukan satu andaian dalam situasi di
atas.
Determine one assumption in the above situation.
(ii) Kenal pemboleh ubah dalam situasi di atas.
Identify one variable in the above situation.
Menentukan tempoh simpanan di bank dengan (i) Andaian bahawa kadar penurunan harga
telefon pintar pada setiap bulan sehingga
menyimpan RM32 000 dan kadar faedah 2%
setahun untuk mendapatkan jumlah simpanan 1 Julai 2021 adalah tidak berubah.
Assume that the decreasing rate in the price of
RM36 000. the smartphone every month until 1 July 2021 is
unchanged.
Determining the period of savings in the bank by
saving RM32 000 with the interest rate of 2% per (ii) P ialah harga telefon pintar dan t ialah masa,
annum to receive the total savings of RM36 000.
dalam bulan.
P is the price of the smartphone and t is the time, in
months.
B23 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Lembaran PBD
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah
5 kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi linear.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah
kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi kuadratik dan eksponen.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah
kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi kuadratik dan eksponen secara kreatif.
3. Nyatakan andaian, pemboleh ubah dan model matematik bagi setiap permasalahan berikut.
State the assumption, variable and mathematical model for each of the following problems.
24 (a) Harga bagi sebotol air mineral yang mempunyai isi padu sebanyak 300 ml ialah RM0.80. Berapakah
harga bagi sebotol air mineral yang mempunyai isi padu sebanyak 1 500 ml? TP 4
The price of a bottle of mineral water with a volume of 300 ml is RM0.80. What is the price of a bottle of mineral water
with a volume of 1 500 ml?
Andaian dan pemboleh ubah / Assumption and variable:
• Andaian bahawa harga bagi setiap 1 ml air mineral adalah sama.
Assume the price for every 1 ml of mineral water is the same.
• x mewakili isi padu air mineral dan y mewakili harga sebotol air mineral.
x represents the volume of mineral water and y represents the price of a bottle of mineral water.
Model matematik / Mathematical model : Apabila / When x = 1 500
1 500
y = kx, k ialah pemalar / k is a constant y = 375 = 4
LEMBARAN PBD 0.80 = k(300)
1
k = 375 Maka, harga sebotol air mineral 1 500 ml ialah RM4.
Thus the price of a 1 500 ml bottle of mineral water is RM4.
∴ y = x
375
(b) Jadual di bawah menunjukkan jumlah hasil, R, dalam RM, bagi pengeluaran x unit produk.
The table shows the total revenue, R, in RM, of the production of x units product. TP 5 TP 6
x 0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 500
R (RM) 0
52 000 88 000 108 000 114 000 100 000 72 000 28 000 0
Tentukan hasil maksimum produk itu. Hasil,R (RM) / Revenue, R (RM)
Determine the maximum revenue of the product. 120 000 x
100 000 x
Andaian dan pemboleh ubah / Assumption and variable :
• Andaian bahawa hasil maksimum dicapai pada suatu 80 000 x
60 000 x
paras pengeluaran tertentu. 40 000
20 000 x
Assume that the maximum revenue is achieved at a certain
production level. x
• R mewakili jumlah hasil dan x mewakili bilangan x
produk.
xx
R represents the total revenue and x represents the number of 0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400
products.
Bilangan produk (unit)/ Number of products (units)
Model matematik / Mathematical model :
R = –0.2x2 + 300x
Apabila / When x = 750,
R = –0.2(750)2 + 300(750) = 112 500
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B24
BAB Ubahan 1
1 Variation
1.1 Ubahan Langsung
Direct Variation
NOTA IMBASAN
1. Apabila pemboleh ubah y bertambah, pemboleh 3. Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan
ubah x juga bertambah pada kadar yang sama, dan keadaan satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil
sebaliknya. Hubungan ini dikenali sebagai ubahan darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain.
langsung dan boleh ditulis sebagai y berubah secara Joint variaton is a direct variation such that one variable varies
langsung dengan x. as a product of two or more variables.
When variable y increases, variable x also increases at the same
rate, and vice versa. This relation is known as direct variation Ubahan Langsung Tercantum
and can be written as y varies directly as x. Variation Direct Joint
2. Graf y melawan x bagi hubungan langsung ialah graf Hubungan ubahan y ∝ xn y ∝ xmzn
garis lurus yang melalui asalan. Variation relation
Graph of y against x for a direct variation is a straight line graph y = kxmzn
that passes through the origin. Bentuk persamaan y = kxn
Equation form
y
dengan keadaan / where
m=k
m = 1, 2, 3, 1 , 1 , n = 1, 2, 3, 1 , 1
Ox 2 3 2 3
k = pemalar / constant
1. Nyatakan perubahan setiap yang berikut. TP 1 (a) Jumlah simpanan Filzah berubah secara
langsung dengan bilangan hari dia menyimpan.
State the change in each of the following. Nyatakan perubahan pada bilangan hari Filzah
menyimpan jika jumlah simpanannya
CONTOH
Filzah’s savings amount varies directly as the number
Masa bekerja seorang pekerja di sebuah kilang of days she saves. State the change in the number of
berubah secara langsung dengan pengeluaran days Filzah saves if her savings amount
sejenis produk di kilang itu. Nyatakan perubahan
pada pengeluaran produk itu jika masa bekerja (i) berkurang dua kali ganda,
The working time of a worker in a factory varies directly as decreases by two times,
the output of a product in the factory. State the change in
the output of the product if the working time (ii) bertambah 80%.
(i) bertambah 0.5 kali ganda, increases by 80%.
increases by 0.5 times, (i) Bilangan hari menyimpan berkurang dua
kali ganda.
(ii) berkurang 50%.
The number of days saving decreases by two
decreases by 50%. times.
Penyelesaian: (ii) Bilangan hari menyimpan bertambah
(i) Pengeluaran produk bertambah 0.5 kali ganda. 80%.
The output of the product increases by 0.5 times. The number of days saving increases by 80%.
(ii) Pengeluaran produk berkurang 50%.
The output of the product decreases by 50%.
1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
2. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan persamaan dengan
keadaan k ialah pemalar. TP 2
State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant.
BAB 1 Ubahan / Variation Persamaan / Equation
CONTOH y x2 y = kx2
y berubah secara langsung dengan x2.
y varies directly as x2.
(a) p berubah secara langsung dengan q3. p q3 p = kq3
p varies directly as q3. 1 1
(b) s berubah secara langsung dengan punca kuasa dua t. s t2 s = kt 2
s t s = kt
s varies directly as the square root of t.
Cj C = kj
(c) Lilitan sebuah bulatan, C berkadar langsung dengan
jejari, j bulatan itu. 1 1
The circumference of a circle, C is directly proportional to the w h3 w = kh3
radius, j of the circle. w 3h w = k3h
(d) w berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga h. v q2 v = kq2
w varies directly as the cube root of h.
(e) v berubah secara langsung dengan kuasa dua q.
v varies directly as the square of q.
3. Tentukan sama ada pemboleh ubah x dan y berikut mempunyai hubungan ubahan langsung yang dinyatakan
atau tidak. Jika ya, nyatakan hubungan tersebut dalam bentuk ubahan. TP 3
Determine whether the variables x and y have the stated direct variation relation. If yes, state the relation in variation form.
CONTOH (a) x 216 343 729 1 728 2 197
x12345 y 12 14 18 24 26
y 0.3 2.4 8.1 19.2 37.5
y berubah secara langsung dengan 3x.
y berubah secara langsung dengan x3.
y varies directly as 3x.
y varies directly as x3.
5 x 216 343 729 1 728 2 197
Penyelesaian: 37.5
y 12 14 18 24 26
x1234 0.3 y
y 0.3 2.4 8.1 19.2 3 x 2 2 2 2 2
y
x3 0.3 0.3 0.3 0.3 y berubah secara langsung dengan 3x kerana nilai
berubah secara langsung dengan kerana nilai y y ialah pemalar. Maka, y 3x.
x3 3 x
y x3 y
y varies directly as 3x because the value of 3x is a
ialah pemalar. Maka, y x3.
y constant. Thus, y 3x .
y varies directly as x3 because the value of x3 is a constant.
Thus, y x3.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
(b) x 2 346 7 (c) x 0.2 0.5 0.8 1.2 1.4
y 4 6 12 18 21 y 0.16 1.00 2.56 5.76 7.84
y berubah secara langsung dengan x. y berubah secara langsung dengan x2. BAB 1
y varies directly as x. y varies directly as x2.
x23467 x 0.2 0.5 0.8 1.2 1.4
y 4 6 12 18 21 y 0.16 1.00 2.56 5.76 7.84
y
x22333 y
x2 4 4 4 4 4
y tidak berubah secara langsung dengan x kerana y berubah secara langsung dengan x2 kerana nilai y
y x2
nilai x bukan pemalar. ialah pemalar. Maka, y x2.
y does not vary directly as x because the value of y is not y varies directly as x2 because the value of y is a constant.
x x2
a constant. Thus, y x2.
4. Dengan melukis graf yang sesuai, tentukan sama ada hubungan yang diberikan adalah benar atau tidak.
Berikan justifikasi anda. TP 3
By drawing a suitable graph, determine whether the given relation is true. Give your justification.
CONTOH (a) y berubah secara langsung dengan kuasa tiga x.
1 y berubah secara langsung dengan kuasa dua x.
y varies directly as the cube of x.
y varies directly as the square of x.
x 2 3 4 4.5
x34567 y 0.04 0.14 0.32 0.46
y 18 32 50 72 98
Penyelesaian: x3 y y
y 0.5
x2 y 100 8 0.04
9 18
0.4
80
27 0.14
16 32 60
0.3
25 50 40
64 0.32
36 72 20
0.2
91 0.46
0.1
O 20 40 60 80 100 x3
49 98 x2
O 10 20 30 40 50
Benar kerana graf garis lurus melalui asalan. Benar kerana graf garis lurus melalui asalan.
True because the straight line graph passes through the True because the straight line graph passes through the
origin. origin.
Tip
Plot graf y melawan pemboleh ubah yang dikehendaki.
Plot the graph of y against the required variable.
3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
2 y berubah secara langsung dengan punca kuasa (b) y berubah secara langsung dengan 3x.
dua x. y varies directly as 3x.
y varies directly as the square root of x.
BAB 1 x4 9 16 25 x 125 512 1 000
y 29 36 43 50 y 17.5 22 25
Penyelesaian: 3x y y
5 17.5 25
x y y 8 22 20
10 25 15
50 10
2 29
40
3 36
30
4 43
20
5 50 5
10
√x O 2 4 6 8 10 3√x
O 1 23 45
Tidak benar kerana graf garis lurus tidak melalui Tidak benar kerana graf garis lurus tidak melalui
asalan. asalan.
Not true because the straight line graph does not pass Not true because the straight line graph does not pass
through the origin. through the origin.
5. Ungkapkan y dalam sebutan x bagi setiap yang berikut. TP 3
Express y in terms of x for each of the following.
CONTOH (a) Diberi y berubah secara langsung dengan x dan
y = 6 apabila x = 3.
Diberi y berubah secara langsung dengan 3x dan
y = 48.6 apabila x = 729. Given y varies directly as x and y = 6 when x = 3.
Given y varies directly as 3x and y = 48.6 when x = 729. yx
y = kx
Penyelesaian: Tip
y 3x Gantikan nilai y = 6 dan x = 3,
Langkah umum dalam
y = k 3x mengungkap ubahan dalam Substitute the values of y = 6 and x = 3,
bentuk persamaan:
Gantikan nilai General steps in expressing variation 6 = k(3)
in the equation form:
Substitute the values of Tulis hubungan dalam k = 6
3
y = 48.6, x = 729, bentuk ubahan dan
48.6 = k 3729 persamaan. =2
Write the relation in variation
k = 48.6 and equation forms. ∴ y = 2x
3729 Gantikan nilai x dan nilai y.
Substitute the value of x and of y.
= 5.4 Cari nilai k.
Find the value of k.
∴ y = 5.43x Tulis ungkapan y dalam
sebutan x.
Write the expression of y in
terms of x.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
(b) Diberi y berubah secara langsung dengan kuasa (c) Diberi y berubah secara langsung dengan punca BAB 1
tiga x dan y = 16 apabila x = 2. kuasa dua x dan y = 18 apabila x = 196.
Given y varies directly as the cube of x and y = 16 Given y varies directly as the square root of x and
when x = 2. y = 18 when x = 196.
y x3 y x
y = kx3 y = kx
Gantikan nilai y = 16 dan x = 2, Gantikan nilai y = 18 dan x = 196
Substitute the values of y = 16 and x = 2,
Substitute the values of y = 18 and x = 196,
16 = k(23)
16 18 = k(196)
23
k = k = 18
196
= 2
= 9
∴ y = 2x3 7
∴ y = 9 x
7
6. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
CONTOH
Diberi y berubah secara langsung dengan x3 dan y = 32 apabila x = 2. Hitung nilai x apabila y = 108.
Given y varies directly as x3 and y = 32 when x = 2. Calculate the value of x when y = 108.
Penyelesaian: Kaedah 2: Menggunakan konsep perkadaran
Kaedah 1: Menggunakan nilai pemalar k
Method 2: Using concept of proportion
Method 1: Using the value of constant k
Diberi x1 = 2, y1 = 32 dan y2 = 108
y x3 G(xiy1v1)e3n =x1(=xy222),3y1 = 32 and y2 = 108
y = kx3
Gantikan nilai y = 32 dan x = 2,
Substitute the values of y = 32 and x = 2,
32 = 108
32 = k(23) 23 (x2)3
32
k = 23 (x2)3 = 108 × 23
32
= 4 = 27
∴ y = 4x3 x2 = 327
= 3
Apabila / When y = 108,
108 = 4x3
108
x3 = 4
= 27 Konsep perkadaran dalam ubahan adalah dengan menyatakan
x = 327 kesamaan antara pemalar.
Concept of proportion in variation is by stating the equality between the
= 3 constants.
5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
BAB 1 (a) Diberi p berubah secara langsung dengan q2 (b) Diberi v berubah secara langsung dengan w
dan p = 27 apabila q = 3. Hitung nilai q apabila dan v = 10 apabila w = 25. Hitung nilai w apabila
v = 12.
p = 12.
Given v varies directly as w and v = 10 when w = 25.
Given p varies directly as q2 and p = 27 when q = 3. Calculate the value of w when v = 12.
Calculate the value of q when p = 12.
p q2 Apabila / When p = 12, v w Apabila / When v = 12,
p = kq2 v = kw 12 = 2w
12 = 3q2
Gantikan nilai q2 = 12 Gantikan nilai w = 12
3 2
Substitute the values of Substitute the values of
=4 =6
p = 27 dan / and q = 3, q = ±4 v = 10 dan / and w = 25,
w = 62
27 = k(32) q = 2 atau / or –2 10 = k25 = 36
k = 27 k = 10
32 25
=3 =2
∴ p = 3q2 ∴ v = 2w
7. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan persamaan dengan
keadaan k ialah pemalar. TP 2
State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant.
Ubahan / Variation Persamaan / Equation
CONTOH
y berubah secara langsung dengan x dan z. y xz y = kxz
y varies directly as x and z.
(a) y berubah secara langsung dengan kuasa dua x y x2z3 y = kx2z3
dan kuasa tiga z.
y varies directly as the square of x and the cube of z.
(b) y berubah secara langsung dengan kuasa tiga x dan y x3z y = kx3z
punca kuasa dua z. y (x)(3z ) y = k(x)(3z )
y varies directly as the cube of x and the square root of z.
(c) y berubah secara langsung dengan punca kuasa
dua x dan punca kuasa tiga z.
y varies directly as the square root of x and the cube root
of z.
(d) p berubah secara langsung dengan q3 dan r. p q3r p = kq3r
p varies directly as q3 and r.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
8. Ungkapkan y dalam sebutan x dan z bagi setiap yang berikut. TP 3
Express y in terms of x and z for each of the following.
CONTOH (a) Diberi y berubah secara (b) y berubah secara langsung
dengan x dan punca kuasa
Diberi y berubah secara langsung langsung dengan x dan z2. dua z. y = 40.32 apabila BAB 1
dengan x3 dan z. y = 6 apabila
x = 2 dan z = 9. y = 1.2 apabila x = 48 dan x = 3.2 dan z = 0.49.
1
Given y varies directly as x3 and z . z = 8 . y varies directly as x and the
y = 6 when x = 2 and z = 9. square root of z. y = 40.32 when
Given y varies directly as x and x = 3.2 and z = 0.49.
Penyelesaian: 1
y x3z z 2. y = 1.2 when x = 48 and z = 8 .
y = kx3z
y xz2 y xz
y = kxz2 y = kxz
Gantikan nilai Gantikan nilai Gantikan nilai
Substitute the values of Substitute the values of 1 Substitute the values of
8
y = 6, x = 2 dan / and z = 9, y = 1.2, x = 48 dan / and z = y = 40.32, x = 3.2 dan / and
z = 0.49
6 = k(23)(9) 1.2 = k(48) 1 2 40.32 = k(3.2)0.49
8
k = 6 1.2 k = 40.32
(23)(9) (3.2)0.49
k =
= 1 (48) 1 2
4 8
= 18
∴ y = x3z = 1.6 ∴ y = 18xz
4
∴ y = 1.6xz2
9. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
CONTOH
Diberi r berubah secara langsung dengan s dan kuasa dua t. Jika r = 72 apabila s = 6 dan t = 2, hitung nilai
r apabila s = 4 dan t = 3.
Given r varies directly as s and the square of t. If r = 72 when s = 6 and t = 2, calculate the value of r when s = 4 and t = 3.
Penyelesaian: Kaedah 2: Menggunakan konsep perkadaran
Kaedah 1: Menggunakan nilai pemalar k
Method 2: Using concept of proportion
Method 1: Using the value of constant k
Diberi r1 = 72, s1 = 6, t1 = 2 dan s2 = 4, t2 = 3
r st2
r = kst2 Given r1 = 72, s1 = 6, t1 = 2 and s2 = 4, t 2 = 3
Gantikan nilai r = 72, s = 6 dan t = 2, r1 = r2
s1(t1)2 s2(t2)2
Substitute the values of r = 72, s = 6 and t = 2,
72 r2
72 = k(6)(2)2 (6)(2)2 = (4)(3)2
72
k = (6)(2)2 72(4)(3)2
(6)(2)2
= 3 r2 =
∴ r = 3st2 = 108
Apabila / When s = 4, t = 3
r = 3(4)(3)2
= 108
7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
BAB 1 (a) Diberi e berubah secara langsung dengan punca (b) Diberi u berubah secara langsung dengan
kuasa dua f dan kuasa tiga g. Jika e = 512 apabila punca kuasa tiga v dan punca kuasa dua w. Jika
f = 16 dan g = 4, hitung nilai f apabila e = 1 750
dan g = 5. u = 180 apabila v = 64 dan w = 81, hitung nilai w
apabila u = 200 dan v = 125.
Given e varies directly as the square root of f and the
cube of g. If e = 512 when f = 16 and g = 4, calculate Given u varies directly as the cube root of v and the
the value of f when e = 1 750 and g = 5. square root of w. If u = 180 when v = 64 and w = 81,
calculate the value of w when u = 200 and v = 125.
e f g3 Apabila / When u 3vw Apabila / When
e = kf g3 u = k 3vw u = 200, v = 125,
e = 1 750, g = 5,
Gantikan nilai
1 750 = 2(f )(5)3 200 = 5(3125)(w)
Substitute the values of
f = 1 750 Gantikan nilai w = 200
e = 512, f = 16 dan / and g = 4 2(5)3 5(3125)
Substitute the values of
= 7 = 8
u = 180, v = 64 dan / and
512 = k(16)(4)3 f = 72 w = 82
= 49 w = 81 = 64
k = 512 180 = k(364)(81)
(16)(4)3
k = 180
= 2 (364)(81)
∴ e = 2f g3 = 5
∴ u = 5(3v)(w )
10. Selesaikan setiap masalah berikut.
Solve each of the following problems.
(a) Jumlah upah seorang pekerja, RMG, berubah secara langsung dengan kuasa dua bilangan jam dia
bekerja, t, pada suatu hari. Dia menerima upah sebanyak RM128 apabila bekerja selama 8 jam. TP 5
The total wages of a worker, RMG, varies directly as the square of the number of working hours, t in a day. He receives
RM128 when working for 8 hours.
(i) Ungkapkan G dalam sebutan t.
Express G in terms of t.
(ii) Hitung jumlah upah jika pekerja itu bekeja selama 9 jam.
Calculate the total wages if the worker works for 9 hours.
(iii) Berapa lamakah pekerja itu bekerja jika dia mendapat jumlah upah sebanyak RM84.50?
What is the number of working hours if he receives the total wages of RM84.50?
(i) G t2 (ii) Apabila / When t = 9, (iii) Apabila / When G = 84.5,
G = kt2
G = 2(9)2 84.5 = 2(t2)
= 162
Gantikan nilai t2 = 84.5
Maka jumlah upah ialah 2
Substitute the values of RM162 jika dia bekerja
selama 9 jam. = 42.25
G = 128 dan / and t = 8,
Thus, the total wages is RM162 if
128 = k(8)2 he works for 9 hours. t = 42.25
128 = 6.5
82
k = Maka, dia bekerja selama
6.5 jam.
= 2
Thus, he works for 6.5 hours.
∴ G = 2t2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
(b) Kehilangan haba, H Watts, bagi sebuah tingkap berbentuk segi empat tepat berubah secara langsung
dengan luas tingkap, A m2, dan beza antara suhu, T Kelvin, di dalam rumah dengan di luar rumah.
Diberi bahawa sebuah tingkap dengan luas 2.16 m2 kehilangan 63.18 Watts haba apabila beza suhu
ialah 7.5 Kelvin. TP 6 BAB 1
The heat loss, H Watts, of a rectangular window varies directly as the area of the window, A m2, and the difference
between the temperatures, T Kelvin, inside and outside of a house. Given that a window of an area 2.16 m2 losses
63.18 Watts of heat when the difference of the temperature is 7.5 Kelvin.
(i) Tulis satu persamaan yang mengaitkan H dengan A dan T.
Write an equation that relates H with A and T.
(ii) Berapakah haba yang hilang bagi tingkap yang sama dengan panjang 2.1 m dan lebar 1.8 m apabila
suhu di dalam dan di luar rumah masing-masing ialah 299 Kelvin dan 307 Kelvin?
How much is the heat loss of the same window with 2.1 m in length and 1.8 m in width when the temperatures
inside and outside of the house are 299 Kelvin and 307 Kelvin respectively.
(iii) Nyatakan peratus perubahan kehilangan haba jika luas tingkap berkurang 5% dan beza suhu
bertambah 10%.
State the percentage of change in the heat loss if the area of the window decreases 5% and the difference of the
temperature increases 10%.
(i) H AT (ii) A = 2.1 × 1.8 = 3.78
H = kAT T = 307 – 299 = 8
Gantikan nilai H = 3.9(3.78)(8)
= 117.94 Watts
Substitute the values of
(iii) Perubahan kehilangan haba
H = 63.18, A = 2.16 dan / and T = 7.5,
The change in the heat loss
63.18 = k(2.16)(7.5)
= 0.95 × 1.10
k = 63.18 = 1.045
(2.16)(7.5)
Bertambah 4.5%.
= 3.9 Increase 4.5%.
∴ H = 3.9AT
1.2 Ubahan Songsang
Inverse Variation
NOTA IMBASAN
1. Apabila pemboleh ubah y bertambah, pemboleh ubah y m=k
x berkurang pada kadar yang sama, dan sebaliknya.
Hubungan ini dikenali sebagai ubahan songsang dan O 1
boleh ditulis sebagai y berubah secara songsang dengan x
x.
When variable y increases, variable x decreases at the same rate, Ubahan songsang
and vice versa. This relation is known as inverse variation and
can be written as y varies inversely as x. Hubungan ubahan : y 1 dengan keadaan / where
Variation relation xn
2. Graf y melawan 1 bagi ubahan songsang ialah graf garis n = 1, 2, 3, 1 , 1 ,
x k 2 3
Bentuk persamaan: y = xn
lurus yang bermula daripada asalan. Equation form k = pemalar / constant
1
Graph of y against x of an inverse variation is a straight line graph
that starts from the origin.
9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
BAB 1 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan (a) Masa yang diambil, dalam jam, oleh sebuah
kereta berubah secara songsang dengan laju
11. Nyatakan perubahan setiap yang berikut. TP 1 puratanya, dalam km/j. Nyatakan perubahan
pada masa yang diambil oleh kereta itu jika laju
State the change in each of the following. puratanya
CONTOH The time taken, in hours, by a car varies inversely as
the average speed, in km/h. State the change in the
Bilangan kampit beras yang akan diterima oleh time taken by the car if the average speed
mangsa banjir berubah secara songsang dengan
bilangan mangsa banjir yang memerlukan bantuan. (i) berkurang tiga kali ganda,
Nyatakan perubahan pada bilangan kampit beras
yang akan diterima jika bilangan mangsa banjir decreases by three times,
The number of rice bags will be received by flood victims (ii) bertambah 80%.
varies inversely as the number of flood victims that need
help. State the change in the number of rice bags will be increases by 80%.
received if the number of flood victims
(i) Masa yang diambil bertambah tiga kali
(i) bertambah 1.5 kali ganda, ganda.
increases by 1.5 times, The time taken increases by three times.
(ii) berkurang dua kali ganda. (ii) Masa yang diambil berkurang 80%.
decreases by two times. The time taken decreases by 80%.
Penyelesaian:
(i) Bilangan kampit beras yang akan diterima
berkurang 1.5 kali ganda.
The number of rice bags will be received decreases by
1.5 times.
(ii) Bilangan kampit beras yang akan diterima
bertambah dua kali ganda.
The number of rice bags will be received increases by
two times.
12. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan persamaan dengan
keadaan k ialah pemalar. TP 2
State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant.
Ubahan / Variation Persamaan / Equation
CONTOH
y berubah secara songsang dengan x 1 . y 1 y= k
4
1 1
1 x4 x4
y varies inversely as x 4 .
(a) d berubah secara songsang dengan kuasa dua t. d 1 d = k
t2 t2
d varies inversely as the square of t.
(b) L berubah secara songsang dengan 3j. L 1 L= k
3j 3j
L varies inversely as 3j .
t 1 t= k
(c) Masa yang diambil, t bagi sebuah lori untuk a a
bergerak dalam suatu jarak tertentu berkadaran
songsang dengan pecutannya, a.
The time taken, t of a lorry to travel in a certain distance
is inversely proportional to its acceleration, a.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
13. Tentukan sama ada pemboleh ubah x dan y berikut mempunyai hubungan Tip BAB 1
ubahan songsang yang dinyatakan atau tidak. Jika ya, nyatakan hubungan
tersebut dalam bentuk ubahan. TP 3 Dalam ubahan songsang, pemalar
In inverse variation, constant
Determine whether the variables x and y have the stated inverse variation relation. If k = yxn
yes, state the relation in variation form.
CONTOH
y berubah secara songsang dengan x2. x 2 4 5 10
y 30 7.5 4.8 1.2
y varies inversely as x2.
Penyelesaian:
x 2 4 5 10 y berubah secara songsang dengan x2 kerana nilai yx2 ialah pemalar.
y 30 7.5 4.8 1.2 1.
yx2 120 120 120 120 Maka, y x2
y varies inversely as x2 because the value of yx2 is a constant. Thus, y ∝ 1 .
x2
(a) y berubah secara songsang dengan x3. (b) y berubah secara songsang dengan x.
y varies inversely as x3. y varies inversely as x .
x 0.4 0.5 2.0 2.5 x 2.56 4 16 25
y 37.5 19.2 0.3 0.1536 y 122.5 98 49 32.5
x 0.4 0.5 2.0 2.5 x 2.56 4 16 25
y 37.5 19.2 0.3 0.1536 98 49 32.5
yx3 2.4 2.4 2.4 2.4 y 122.5 196 196 162.5
yx 196
y berubah secara songsang dengan x3 kerana nilai yx3 y tidak berubah secara songsang dengan x kerana
1. nilai yx bukan pemalar.
ialah pemalar. Maka, y x3
y does not vary inversely as x because the value of yx
y varies inversely as x3 because the value of yx3 is a is not a constant.
1
constant. Thus, y x3 .
14. Berdasarkan graf berikut, tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan pemboleh ubah yang
dinyatakan. TP 3
Based on the following graphs, determine whether y varies inversely as the stated variable.
CONTOH (a) y (b) y
y
1 O 1 O 1
x2 √x x3
O
Penyelesaian: y berubah secara songsang y tidak berubah secara songsang
dengan x kerana graf y
y berubah secara songsang dengan 1 dengan x3 kerana graf y melawan
x2 kerana graf y melawan 1 melawan x ialah garis lurus 1 bukan garis lurus yang
x3
x2 yang bermula daripada asalan. bermula daripada asalan.
ialah garis lurus yang bermula
y varies inversely as x because the y does not vary inversely as x3
daripada asalan. 1
graph of y against x is a straight because the graph of y against 1 is
y varies inversely as x2 because the x3
1
graph of y against x2 is a straight line line that starts from the origin. not a straight line that starts from the
that starts from the origin. origin.
11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
15. Ungkapkan y dalam sebutan x bagi setiap yang berikut. TP 3
Express y in terms of x for each of the following.
CONTOH (a) Diberi y berubah secara (b) Diberi y berubah secara
songsang dengan x dan songsang dengan kuasa tiga
BAB 1 Diberi y berubah secara songsang x dan y = 108 apabila x = 2.
dengan x2 dan y = 5 apabila x = 4. y = 3 apabila x = 16.
Given y varies inversely as the
Given y varies inversely as x2 and Given y varies inversely as x cube of x and y = 108 when
y = 5 when x = 4. and y = 3 when x = 16.
x = 2.
Penyelesaian: y 1
x y 1
y 1 x3
x2 y = k
x
y= k y k
x2 x3
Gantikan nilai y = 3 dan x = 16
Gantikan nilai y = 5 dan x = 4, Gantikan nilai y = 108 dan x = 2,
Substitute the values of y = 3 and Substitute the values of y = 108 and
Substitute the values of y = 5 and x = 16, x = 2,
x = 4, 3 = k k
16 23
5 = k k = 3 × 16 108 =
42
k = 5 × 42 k = 108 × 23
= 12
= 80 = 864
∴ y = 80 ∴ y = 12 ∴ y = 864
x2 x x3
16. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
CONTOH
Diberi p berubah secara songsang dengan q dan p = 4 apabila q = 7. Hitung nilai p jika q = 3 .
4
Given p varies inversely as q and p = 4 when q = 7. Calculate the value of p if q = 3 .
4
Penyelesaian:
Kaedah 1: Menggunakan nilai pemalar k Kaedah 2: Menggunakan konsep perkadaran
Method 1: Using the value of constant k Method 2: Using concept of proportion
p 1 Diberi p1 = 4, q1 = 7 dan q2 = 3
q 4
3
p= k Given p1 = 4, q1 = 7 and q2 = 4
q
p1q1 = p2q2
Gantikan nilai p = 4 dan q = 7,
Substitute the values of p = 4 and q = 7, (4)(7) = p23
k 4
4 = 7
p2 = (4)(7)
k = 4 × 7 3
= 28 4
∴ p = 28 = 37 1
q 3
Apabila / When q = 3
28 4
p = 3
4
= 37 1
3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 12
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
(a) Diberi d berubah secara songsang dengan m3 (b) Diberi y berubah secara songsang dengan x dan BAB 1
dan d = 72 apabila m = 2. Hitung nilai m jika
y = 3 apabila x = 36. Hitung nilai y jika x = 81.
d = 9. Given y varies inversely as x and y = 3 when x = 36.
Given d varies inversely as m3 and d = 72 when
Calculate the value of y if x = 81.
m = 2. Calculate the value of m if d = 9.
y 1 ∴ y = 18
d 1 576 x x
m3 ∴ d = m3
y= k
k x
d = m3 Apabila / When x = 81,
Apabila / When d = 9,
Gantikan nilai y= 18
Gantikan nilai 9 = 576 81
m3 Substitute the values of
Substitute the values of =2
576 y = 3 dan / and x = 36,
d = 72 dan / and m = 2 9
m3 = 3 = k
36
72 = k = 64
23 k = 3 × 36
m = 364
k = 72 × 23 = 18
= 576 = 4
17. Selesaikan setiap masalah berikut. TP 5
Solve each of the following problems.
(a) Bilangan jubin besar, p yang digunakan dalam (b) Diberi laju cahaya, s dalam satu medium adalah
pengubahsuaian sebuah bilik tidur adalah
berkadar secara songsang dengan indeks biasan,
berkadar secara songsang dengan bilangan jubin
n. Jika indeks biasan bagi suatu objek ialah 1,
kecil, q. Jika terdapat 300 keping jubin kecil
yang digunakan, maka bilangan jubin besar maka laju cahaya dalam medium tersebut ialah
yang akan digunakan ialah 40 keping. 345 m s–1.
The number of big tiles, p used in renovation of a Given that the speed of the light, s in a medium varies
bedroom is inversely proportional to the number of inversely as the refractive index, n. If the refractive
small tiles, q. If there are 300 small tiles used, then the index of an object is 1, then the speed of the light in the
number of big tiles used is 40. medium is 345 m s–1.
(i) Ungkapkan p dalam sebutan q. (i) Ungkapkan s dalam sebutan n.
Express p in terms of q. Express s in terms of n.
(ii) Cari bilangan keping jubin kecil yang perlu (ii) Cari indeks biasan bagi suatu objek yang
digunakan jika bilangan jubin besar yang mempunyai laju cahaya dalam medium
digunakan ialah 1 200 keping. tersebut sebanyak 230 m s–1.
Find the number of small tiles that need to be Find the refractive index of an object which has
used if the number of big tiles used is 1 200. the speed of light in medium of 230 m s–1.
(i) s 1 (ii) Apabila / When
n
(i) p 1 (ii) Apabila / When s = 230,
q
p = 1 200, s= k 230 = 345
n n
p= k 1 200 = 12 000
q q 345
Gantikan / Substitute n = 230
12 000 s = 345, n = 1,
Gantikan / Substitute q = 1 200 = 1.5
p = 40, q = 300,
= 10 345 = k
k 1
40 = 300
k = 345
k = 40 × 300 ∴ s = 345
= 12 000 n
∴ p = 12 000
q
13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
1.3 Ubahan Bergabung
Combined Variation
BAB 1 NOTA IMBASAN
1. Ubahan bergabung melibatkan gabungan ubahan langsung atau ubahan tercantum, dan ubahan songsang.
Combined variation involves a combination of direct variation or joint variation, and inverse variation.
Ubahan tercantum Ubahan langsung dan ubahan songsang Ubahan tercantum dan ubahan songsang
Joint variation and inverse variation
Combined variation Direct variation and inverse variation
Hubungan ubahan y xp y wpxq
Variation relation zq zr
Bentuk persamaan y = kxp y= kwpxq
Equation form zq zr
dengan keadaan / where
p = 1, 2, 3, 1 , 1 , q = 1, 2, 3, 1 , 1 , r = 1, 2, 3, 1 , 1
2 3 2 3 2 3
k = pemalar / constant
18. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan bentuk persamaan
dengan keadaan k ialah pemalar. TP 3
State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant.
Ubahan / Variation Persamaan / Equation
CONTOH y x y = kx
z2 z2
y berubah secara langsung dengan x dan secara
songsang dengan z2. d e3 d = ke3
3f 3f
y varies directly as x and inversely as z2.
(a) d berubah secara langsung dengan kuasa tiga e dan
secara songsang dengan punca kuasa tiga f.
d varies directly as the cube of e and inversely as the
cube root of f.
(b) p berubah secara langsung dengan q dan r, dan p qr p = kqr
s2 s2
secara songsang dengan kuasa dua s.
p varies directly as q and r, and inversely as the square
of s.
(c) w berubah secara langsung dengan x2 dan secara w x2 w = kx2
songsang dengan v. v v
w varies directly as x2 and inversely as v.
(d) s berubah secara langsung dengan hasil darab x dan x(3z) s= kx(3z)
s t2 t2
punca kuasa tiga z, dan secara songsang dengan t2.
s varies directly as the product of x and the cube root of z,
and inversely as t2.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 14
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
19. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
CONTOH BAB 1
Diberi y berubah secara langsung dengan x2 dan secara songsang dengan z. Jika y = 8 apabila x = 2 dan z = 3,
ungkapkan y dalam sebutan x dan z. Seterusnya, hitung nilai z apabila x = 3 dan y = 18.
Given y varies directly as x2 and inversely as z. If y = 8 when x = 2 and z = 3, express y in terms of x and z. Hence, calculate
the value of z when x = 3 and y = 18.
Penyelesaian:
y x2 Apabila x = 3 dan y = 18,
z
When x = 3 and y = 18,
y = kx2 18 = 6(3)2
z z
Gantikan nilai y = 8, x = 2 dan z = 3, z = 6(3)2
Substitute the values of y = 8, x = 2 and z = 3, 18
8 = k(2)2 =3
3
8×3
k = 22
= 6 6x2
z
∴ y =
(a) Diberi y berubah secara langsung dengan x2 dan (b) Diberi L berubah secara langsung dengan hasil
secara songsang dengan z3. Jika y = 16 apabila darab p dan kuasa dua q, dan secara songsang
dengan r. Jika L = 30 apabila p = 4, q = 2 dan
x = 6 dan z = 3, ungkapkan y dalam sebutan x r = 12, ungkapkan L dalam sebutan p, q dan r.
dan z. Seterusnya, hitung nilai x apabila z = 2 Seterusnya, hitung nilai p apabila L = 86.4, q = 4
dan y = 37.5. dan r = 25.
Given y varies directly as x2 and inversely as z3. If Given L varies directly as the product of p and the
y = 16 when x = 6 and z = 3, express y in terms of x square of q, and inversely as r. If L = 30 when p = 4,
and z. Hence, calculate the value of x when z = 2 and q = 2 and r = 12, express L in terms on p, q and r.
y = 37.5. Hence, calculate the value of p when L = 86.4, q = 4
and r = 25.
y x2 Apabila z = 2 dan y = 37.5,
z3
When z = 2 and y = 37.5,
y = kx2 37.5 = 12x2 L pq2 Apabila L = 86.4,
z3 23 r q = 4 dan r = 25,
Gantikan nilai x2 = 37.5 × 23 L= kpq2 When L = 86.4,
12 r q = 4 and r = 25,
Substitute the values of
= 25 22.5(p)(4)2
y = 16, x = 6 dan / and x = ± 25 86.4 = 25
Gantikan nilai
z = 3, x = 5 atau / or –5 86.4 × 25
Substitute the values of 22.5 × 42
16 = k(6)2 p =
33 L = 30, p = 4, q = 2, r = 12
16 × 33 30 = k(4)(2)2 = 6
62 12
k =
30 × 12
= 12 k = 4 × 22
12x2 = 22.5
z3
∴ y = ∴ L = 22.5pq2
r
15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
20. Selesaikan setiap masalah berikut.
Solve each of the following problems.
BAB 1 (a) Bilangan tukang jahit, x yang diupah di sebuah (b) Rintangan, R Ω, suatu wayar berubah secara
kilang berubah secara langsung dengan bilangan langsung dengan panjangnya, p m, dan secara
helai baju, n yang dihasilkan dan secara
songsang dengan bilangan hari bekerja, d. Jika songsang dengan kuasa dua diameternya,
terdapat 80 orang tukang jahit dan bilangan
hari bekerja ialah 24 hari, maka 4 200 helai baju d mm. Sejenis wayar dengan panjang 25 m dan
dapat dihasilkan oleh kilang tersebut.
diameter 4.5 mm mempunyai rintangan 3 Ω.
The number of tailors, x hired in a factory varies directly
as the number of shirts, n produced and inversely as The resistance, R Ω, of a wire varies directly as the
the number of working days, d. If there are 80 tailors length, p m, and inversely as the square of its diameter,
and the number of working days is 24 days, then d mm. A type of wire with the length of 25 m and
4 200 shirts can be produced by the factory. TP 5 diameter of 4.5 mm has a resistance of 3 Ω. TP 6
(i) Nyatakanpersamaan yangmenghubungkan (i) Tuliskan rumus bagi rintangan wayar itu.
x dengan n dan d.
Write a formula of the resistance of the wire.
State the equation that relates x with n and d.
(ii) Hitung diameter wayar dengan nilai
(ii) Hitung bilangan hari bekerja untuk
menghasilkan 5 600 helai baju dengan 40 rintangan dan panjangnya masing-masing
orang pekerja.
ialah 22.5 Ω dan 30 m.
Calculate the number of working days, to
produce 5 600 shirts with 40 workers. Calculate the diameter of a wire with the
resistance and the length are 22.5 Ω and 30 m
(i) x n respectively.
d
(iii) Apakah yang perlu dilakukan untuk
x = kn
d menurunkan rintangan wayar itu jika
diameternya adalah tetap? Berikan
justifikasi anda.
What can be done to decrease the resistance
of the wire if its diameter is fixed? Give your
justification.
Gantikan nilai x = 80, n = 4 200 dan d = 24, (i) R p (ii) Apabila R = 22.5,
d2 p = 30,
Substitute the value of x = 80, n = 4 200 and d = 24, When R = 22.5, p = 30,
R = kp
80 = k(4 200) d2 2 2.5 = 2.43(30)
24 d2
Gantikan nilai
80 × 24
k = 4 200 Substitute the value of d2 = 2.43(30)
22.5
= 16 R = 3, p = 25, d = 4.5,
35
3 = k(25) = 3.24
16n 4.52
∴ x = 35d d = 3.24
k = 3 × 4.52 = 1.8
25
(ii) Apabila n = 5 600 dan x = 40, = 2.43
When n = 5 600 and x = 40, ∴ R = 2.43p
d2
40 = 16(5 600)
35d
d = 16(5 600) (iii) Gunakan wayar yang lebih pendek untuk
35(40)
menurunkan rintangan wayar itu kerana nilai R
= 64
adalah berubah secara langsung dengan nilai p.
Maka, bilangan hari bekerja ialah 64 hari.
Use a shorter wire to decrease the resistance of the wire
Hence, the number of working days is 64 days. because the value of R varies directly as the value of p.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 16
PRAKTIS SPM Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
1
Kertas 1 A —14 C –2 BAB 1
B —21 D –4
1. Diberi g berubah secara songsang dengan kuasa
dua h. Nyatakan hubungan dalam bentuk ubahan.
Given g varies inversely as the square of h. State the
relation in variation form. 1 6. Diberi W berubah secara langsung dengan X dan
h2
A g ℎ C g 2S0P1M7 berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga
Y. Jadual di bawah menunjukkan nilai W, X dan Y.
k Given W varies directly as X and varies inversely as the
B g ℎ2 D g h2
cube root of Y. The table below shows the values of W,
X and Y.
2. Isi padu sebuah hemisfera, I, adalah berubah WX Y
secara langsung dengan kuasa tiga jejarinya, 4 6 27
j. Dengan menggunakan k sebagai pemalar, 16 4 p
ungkapkan k dalam sebutan I dan j.
The volume of a hemisphere, I, varies directly as the
Hitung nilai p.
cube of its radius, j. By using k as a constant, express k
Calculate the value of p.
in terms of I and j.
A —18
A k = —I– C k = Ij—12 C 16
j—21 B —12 D 32
B k = —jI3 D k = Ij3
7. Diberi bahawa x berubah secara langsung dengan
3. Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan 2S0P1M8 kuasa tiga y dan secara songsang dengan punca
kuasa dua z. Antara berikut, manakah persamaan
Q dan P = 32 apabila Q = 8. Ungkapkan P dalam
sebutan Q. yang mewakili hubungan antara x, y dan z?
Given P varies directly as Q and P = 32 when Q = 8.
Given that x varies directly as the cube of y and inversely
Express P in terms of Q.
as the square root of z. Which of the following is the
A P = —Q8
C P = 4Q equation representing the relationship between x, y and
z? 1
3
B P = —Q4 D P = 8Q A x y C x y3
z2 z 1
2
4. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai B x z2 D x z 1
2
bagi hubungan antara pemboleh ubah x dan y.
y 1 y3
The table below shows some values of the relation 3
between variables x and y.
8. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi
x34567 2S0P1M9 pemboleh ubah G dan V.
y 45 80 125 180 245
The table below shows the values of variables G and V.
Ungkapkan y dalam sebutan x. G p 72
Express y in terms of x. Vq r
A y = 5x –2 C y = 5x2 Diberi G berubah secara langsung dengan V dan
B y = 5x D y = 5x3 nilai p ÷ q is 8. Hitung nilai r.
Given G varies directly as V and the value of p ÷ q is 8.
5. Diberi y berubah secara songsang dengan 3x + 4 Calculate the value of r. C – —91
D –9
2S0P1M7 dan y = 3 apabila x = 2. Cari nilai x apabila y = –15. A 9
B —19
Given y varies inversely as 3x + 4 and y = 3 when x = 2.
Find the value of x when y = –15.
17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
Kertas 2 2. Harga kos bagi sejenis piza, RMC berubah secara
langsung dengan kuasa dua jejarinya, j. Diberi
BAB 1 1. Masa yang diambil untuk memasang sebuah harga kos bagi satu piza dengan jejari 6 inci ialah
mesin, t jam berubah secara songsang dengan RM9.
bilangan pekerja, w. Diberi bahawa 4 orang
pekerja memerlukan 2 jam 45 minit untuk The cost price of a type of pizza, RMC varies directly as
the square of its radius, j. Given the cost of a pizza with a
memasang sebuah mesin. radius of 6 inch is RM9.
The time taken to assemble a machine, t hours varies (a) Ungkapkan C dalam sebutan j.
inversely as the number of workers, w. Given that 4
workers need 2 hours 45 minutes to assemble a machine. Express C in terms of j.
(a) Ungkapkan t dalam sebutan w. (b) Cari beza harga kos antara piza dengan jejari
5 inci dengan jejari 8 inci.
Express t in terms of w.
Find the difference in cost price between the pizza
(b) Nyatakan masa yang diambil oleh 10 orang with radii of 5 inch and 8 inch.
pekerja untuk memasang sebuah mesin. Jawapan / Answer :
Berikan jawapan dalam minit. (a) C j2
C = kj2
State the time taken by 10 workers to assemble a
machine. Give answer in minute.
Jawapan / Answer :
(a) t 1 Gantikan nilai C = 9 dan j = 6,
w
Substitute the values of C = 9 and j = 6,
t = k 9 = k(6)2
w
k = 9
62
Gantikan nilai t = 2.75, w = 4,
Substitute the values of t = 2.75, w = 4, 1
k = 4
4
2.75 = ∴ C = j2
4
k = 2.75 × 4 = 11
∴ t = 11 (b) Beza harga kos
w
Difference in cost price
(b) Apabila / When w = 10,
11 82 52
t = 10 = 4 − 4
= 1.1 jam / hours = RM9.75
= 66 minit / minutes
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
Luas permukaan, A sebuah silinder berubah secara langsung dengan jejari, j dan hasil tambah jejari dengan
tingginya, t. Sebuah silinder dengan jejari 7.7 cm dan tinggi 14.4 cm mempunyai luas permukaan 1 069.64 cm2.
Hitung tinggi sebuah silinder dengan luas permukaan 645.48 cm2 dan jejari 6.3 cm.
Surface area, A of a cylinder varies directly as the radius, j and the sum of the radius and the height, t. A cylinder with a radius
of 7.7 cm and a height of 14.4 cm has a surface area of 1 069.64 cm2. Calculate the height of a cylinder with the surface area of
645.48 cm2 and radius of 6.3 cm.
Jawapan / Answer:
A j(j + t) Apabila / When A = 645.48, j = 6.3
44(6.3)(6.3 + t)
A = kj(j + t) 645.48 = 7
1 069.64 = k(7.7)(7.7 + 14.4) 645.48 × 7 Kuiz 1
44 × 6.3
k = 44 6.3 + t =
7
44j(j + t) = 16.3
7
∴ A = t = 10
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 18
BAB Matriks
2 Matrices
2.1 Matriks
Matrices
NOTA IMBASAN
1. Matriks merupakan nombor-nombor yang disusun Jenis matriks Contoh / Example
dalam baris dan lajur yang ditulis dalam kurungan [ ]. Type of matrix m n Matriks / Matrix
A matrix is numbers arranged in rows and columns which are
written in brackets [ ]. Matriks baris 13 [3 9 –1]
Row matrix
2. Matriks dengan m baris dan n lajur ialah matriks 21 –3
peringkat m × n dan dibaca sebagai“matriks m dengan n”. Matriks lajur 6
A matrix with m rows and n columns is a matrix of order m × n Column matrix
and read as “matrix m by n”. 22 5 –7
Matriks segi empat sama –2 –4
Misalnya, matriks peringkat 3 × 2, Square matrix
For example, matrix with order 3 × 2,
Lajur 1 / Column 1 Lajur 2 / Column 2 Matriks segi empat tepat 23 –2 3 1
Rectangular matrix 4 0 –1
Baris 1 / Row 1 ➞ –3 4
Baris 2 / Row 2 ➞ 6 –2 4. Dua matriks adalah sama jika mempunyai peringkat
Baris 3 / Row 3 ➞ 5 1
matriks yang sama dan unsur-unsur dalam matriks
3. Unsur pada baris ke-i dan lajur ke-j dalam matriks boleh
diwakili sebagai aij. Misalnya matriks A, yang sepadan adalah sama. Misalnya.
The element at the ith row and jth column in matrix can be
represented as aij. For example, matrix A, Two matrices are the same if having the same order of matrix
a11 a12 … a1n and the corresponding elements in the matrices are equal. For
A = a21 a22 … a2n
example,
am1 am2 … amn
(a) P = Q (b) P ≠ Q
3 4 = 3 4 2 4
1 5 1 5 5 0 ≠ 2 5 1
4 0 3
1 3
1. Wakilkan setiap situasi berikut dalam bentuk matriks. TP 1
Represent each of the following situations in the form of matrix.
CONTOH
Jadual di sebelah menunjukkan bilangan gelas Jus / Juice Isnin / Monday Selasa / Tuesday
jus buah-buahan yang dijual di sebuah gerai Oren / Orange 26 35
pada hari Isnin dan Selasa. Epal / Apple 22 40
Avokado / Avocado 30 38
The table shows the number of glasses of fruit juices
sold in a stall on Monday and Tuesday. Baris = Hari, Lajur = Jus
Penyelesaian: Row = Day, Column = Juice
26 35 Baris = Jus, Lajur = Hari atau 26 22 30
22 40 35 40 38
30 38 Row = Juice, Column = Day or
19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 2 Matriks
(a) Jadual di bawah menunjukkan bilangan ahli (b) Jadual di bawah menunjukkan jarak, dalam
Kelab Matematik dan Kelab Sains dalam tiga km, antara tiga buah bandar.
buah kelas. Table below shows the distance, in km, between three
towns.
The table below shows the number of members in
Mathematics Club and Science Club in three classes. Bandar / Town A B C
5 Arif 5 Bestari 5 Dedikasi A 0 28 35
Kelab 13 8 10 B 28 0 32
Matematik
C 35 32 0
Mathematics Club
BAB 2 Kelab Sains 11 12 6 0 28 35
28 0 32
Science Club 35 32 0
13 8 10 atau / or 1 3 11
11 12 6 8 12
1 0 6
2. Lengkapkan jadual berikut. TP 1 Bilangan baris Bilangan lajur Peringkat
Complete the following table. Number of rows Number of columns Order
Matriks 3 3 3×3
Matrix 3 1 3×1
3 2 3×2
CONTOH 2 2 2×2
1 4 1×4
–3 0 2 2 4 2×4
–2 4 5
1 –1 –1
(a) 3
–1
4
(b) 4 5
–1 –2
6 –1
(c) –2 7
0 –8
(d) [–5 0 1 –2]
(e) –0.1 –0.2 0.7 0
0.4 0.1 0.3 0.5
3. Senaraikan unsur-unsur bagi setiap matriks berikut. TP 1
List the elements of each of the following matrices.
CONTOH 2 0 –3 5 1.0 1.5 4.2 0.2
3 0 6 (a) B = –1 –2 0 1 (b) C = 0 0.5 –2.1 0.3
A = 2 1 –3 2 –3.3 0.8 0 0.1
4 5 2 3
0 .9 2.8 –1.0 0
–1 5 4
b22 = –2 b11 = 2
Penyelesaian: 1 b34 = 3 c42 = 2.8 c21 = 0
= 2 b14 = 5 c44 = 0 c43 = –1.0
a12 = 0 a23 = –3 b24 b32 = 5 c34 = 0.1 c13 = 4.2
a31 = –1 a33 = 4 c14 = 0.2 c42 = 2.8
a22 = 1 a13 = 6 b31 = 4
b13 = –3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 20
Matematik Tingkatan 5 Bab 2 Matriks
4. Tentukan sama ada dua matriks berikut adalah sama atau tidak. Berikan sebab anda. TP 1
Determine whether the following two matrices are equal. Give your reason.
CONTOH –1 –1
(a) A = 3 , B = 3
A= –2 3 ,B= –2 3
4 –1 4 –1 6 6
Penyelesaian: A = B kerana peringkat matriks adalah sama dan BAB 2
setiap unsur adalah sepadan.
A = B kerana peringkat matriks adalah sama dan
A = B because the matrices have the same order and each
setiap unsur adalah sepadan. corresponding element is equal.
A = B because the matrices have the same order and each
corresponding element is equal.
(b) A = –2 –3 ,B= –3 –2 (c) A = –6 –2 0 –6 –3
0 –1 –1 0 –3 0 –1 , B = –2 0
–1
0
A ≠ B kerana unsur yang sepadan adalah tidak sama. A ≠ B kerana peringkat matriks adalah tidak sama.
A ≠ B because the corresponding element is not equal. A ≠ B because the matrices do not have the same order.
5. Nyatakan nilai p, q, r dan s bagi setiap yang berikut jika kedua-dua matriks yang diberikan adalah sama.
State the values of p, q, r and s of each of the following if the given two matrices are equal. TP 2
CONTOH (a) (b)
6 –3 3p –r 4 + p 6 10 5 + 2q 1 4p 2 1 8 2
–4 8q + 4 2s 10
A= ,B= G = 7 3 , H = 7r 3 X = 9 3 –4 , Y = 3q 3 –4
6r 3 12 5s – 3 –3
4s –10 16 –10 2 –3
Penyelesaian: –3 = –r 4 + p = 10 7 = 7r 4p = 8 3 = 5s – 3
6 = 3p r = 3 p = 6 r = 1 p = 2 2
p = 2 3 = 2(5s – 3)
9 = 3q
8q + 4 = 10 –4 = 2s 6 = 5 + 2q 4s = 16 q = 3 10s – 6 = 3
s = –2
8q = 6 2q = 1 s = 4 6r = 12s 10s = 9
r = 2 9
q = 3 q = 1 s = 10
4 2
2.2 Operasi Asas Matriks
Basic Operation on Matrices
NOTA IMBASAN
1. Penambahan dan penolakan matriks hanya boleh 2. Pendaraban skalar ialah pendaraban matriks dengan
dilakukan bagi matriks yang mempunyai peringkat
yang sama. suatu nombor, k.
Addition and subtraction of matrices can only be performed for
the matrices with same order. Scalar multiplication is multiplication of a matrix by a number, k.
a b
Katakan / Let P = c d ,
kP = k a b = ka kb
c d kc kd
21 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
eBook M&M 2021 Matematik Tg5
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search