Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
15. Tandakan () bagi gabungan transformasi yang memenuhi kalis tukar tertib dan () jika tidak bagi setiap
objek berikut. TP 4
Mark () for the combined transformation that satisfies the commutative law and () if not for each of the following objects.
Transformasi Transformasi PQ Transformasi QP Kalis tukar
tertib
Transformation Transformation PQ Transformation QP
Commutative law
CONTOH y y
P = Putaran 180° pada K2 KЉ x K2 KЉ x
24
asalan –4 –2 O –4 –2 O 24
KЈ –2 –2 KЈ
Rotation of 180° –4 –4
about the origin
Q = Pantulan pada
paksi-x
Reflection in the x-axis
(a) y y=x y y=x
P = Translasi 1 2 2 6 KЉ KЈ
2 K KЈ +2 6
1 2 Translation 2 4 K +2
2 4 +2 x 2 +2 KЉ
Q = Pantulan pada garis 2 4 6 8 10
y=x O2 x
Reflection in the line y 4 6 8 10
+4 –1 x
y = x 4 O 2 4 6 8 10
2K KЉ
(b) y
O2
BAB 5 P = Translasi 1–412 –2 KЈ 4
4 –4 +4
–1
1 2 Translation 2K –1
Q = Pantulan pada KЈ
O 2 4 K6 Љ 8 10 x
paksi-x
Reflection in the x-axis
–2
–4
16. A’ ialah imej bagi objek A di bawah gabungan transformasi PQ. Perihalkan selengkapnya transformasi Q dan
P bagi setiap yang berikut. TP 4
A is the image of object A under combined transformation PQ. Describe completely the transformations Q and P of each of
the following.
CONTOH
y Penyelesaian:
8 Q = Translasi 1 3 2
1
1 2 Translation 3
6 1 k = 6
P = Pembesaran pada pusat (0, 2) dengan faktor skala 3. 2
P4 AЈ
24 Enlargement at centre (0, 2) with a scale factor of 3. =3
2
A x
6
Q
–2 O
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 72
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
(a) y (b) y
x=1
8
8
6 AЈ
AЈ AP
6
4
4P
A2 2Q
Q x x
24 6 6
–2 O –4 –2 O 24
Q = Pantulan pada garis x = 1 Q = Pantulan pada paksi-y
Reflection in the line x = 1 Reflection in the y-axis
P = Putaran 90° ikut arah jam pada titik (6, 5) P = Pembesaranpadapusat(2,3)denganfaktorskala2.
Rotation of 90° clockwise about point (6, 5) Enlargement at centre (2, 3) with a scale factor of 2.
(c) y (d) y x=6
P
8 6
AЈ
4 AЈ
6 2
4P
2 O x
2 4 6 8 10 12
O 24 Q x –2 BAB 5
68 10 12 Q
–2 A –4 A
Q = Pantulan pada paksi-x Q = Pembesaran pada pusat (6, –2) dengan faktor
skala –2
Reflection in the x-axis
Enlargement at centre (6, –2) with a scale factor of –2
P = Pembesaran pada pusat (12, –2) dengan faktor
skala 2. P = Pantulan pada garis x = 6
Enlargement at centre (12, –2) with a scale factor of 2. Reflection in the line x = 6
17. Q’ ialah imej bagi objek Q di bawah gabungan transformasi KL. Perihalkan selengkapnya (i) transformasi L
dan K dan (ii) satu transformasi tunggal yang setara dengan gabungan transformasi KL. TP 4
Q is the image of object Q under combined transformation KL. Describe completely (i) the transformations L and K and (ii)
a single transformation which is equivalent to combined transformation KL.
CONTOH
y Transformasi tunggal
Single transformation Penyelesaian:
1 26 –4
P (i) L = Translasi –2
QЈ Q 1 2 Translation –4
4 –2
K
–6 –4 K = Pembesaran pada pusat (–1, 2) dengan faktor skala 2.
Enlargement at centre (–1, 2) with a scale factor of 2.
2
L (ii) Pembesaran pada pusat (7, 6) dengan faktor skala 2.
–2 O 24 6 x Enlargement at centre (7, 6) with a scale factor of 2.
73 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
(a) y (i) L = Pantulan pada paksi-y
Reflection in the y-axis
6 K = Pembesaran pada pusat (4, 4) dengan faktor
QЈ skala 3.
Q4 Enlargement at centre (4, 4) with a scale factor of 3.
(ii) Pembesaran pada pusat (–8, 4) dengan faktor skala
2 3.
Enlargement at centre (–8, 4) with a scale factor of 3.
–8 –6 –4 –2 O x
24 6
(b) y (i) L = Putaran 180° pada titik (0, 4)
6 QЈ Rotation of 180° about point (0, 4)
Q 24 6
K = Pembesaran pada pusat (3, 4) dengan faktor
4 skala 2.
2
Enlargement at centre (3, 4) with a scale factor of 2.
–4 –2 O
(ii) Pembesaran pada pusat (–1, 4) dengan faktor skala
–2.
Enlargement at centre (–1, 4) with a scale factor of –2.
x
18. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
BAB 5 (a) Dalam rajah di sebelah, Aʹ ialah imej bagi A di bawah y
transformasi P dan Aʹʹ ialah imej bagi Aʹ di bawah
12
transformasi Q. TP 5
In the diagram, Aʹ is the image of A under a transformation P and
Aʹʹ is the image of Aʹ under a transformation Q. 10
(i) Huraikan selengkapnya transformasi P dan 8 Aࣳࣳ
transformasi Q.
Describe in full, the transformation P and transformation Q. 6
Aࣳ Q
(ii) Diberi A mewakili suatu kawasan yang mempunyai
luas 85 cm2. Hitung luas, dalam cm2, yang diwakili 4 P
oleh kawasan berlorek. A
Given A represents a region of area 85 cm2. Calculate the 2
area, in cm2, of the region represented by the shaded region.
x
0 2 4 6 8 10 12 14 16
(i) P ialah putaran 90° ikut arah jam pada titik (8, 2).
P is a rotation of 90° clockwise at point (8, 2).
Q ialah pembesaran pada pusat (2, 3) dengan faktor skala 2.
Q is an enlargement at centre (2, 3) with a scale factor of 2.
(ii) Luas kawasan berlorek
Area of the shaded region
= 22 × 85
= 340 cm2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 74
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
(b) Dalam rajah di sebelah, FGHIJ ialah imej bagi ABCDE y
di bawah transformasi P dan KGLMN ialah imej bagi
FGHIJ di bawah transformasi Q. TP 6 B A 12 KG
F
In the diagram, FGHIJ is the image of ABCDE under a
transformation P and KGLMN is the image of FGHIJ under 10 NM
a transformation Q.
P8 Q
(i) Huraikan selengkapnya transformasi P dan I
transformasi Q. DE J L
Describe in full, the transformation P and 6
transformation Q.
4 H
(ii) Diberi ABCDE mewakili suatu kawasan yang C 2 4 6 8x
mempunyai luas 92 cm2. Hitung luas, dalam x = –1 2
cm2, yang diwakili oleh kawasan berlorek. –10 –8 –6 –4 –2 0
Given ABCDE represents a region of area 92 cm2.
Calculate the area, in cm2, of the region represented
by the shaded region.
(i) P ialah pantulan pada garis x = –1.
P is a reflection in the line x = -–1.
Q ialah pembesaran pada pusat (6, 11) dengan faktor skala —21 .
Q is an enlargement at centre (6, 11) with a scale factor of —21 .
(ii) Luas KGLMN / Area of KGLMN
1 2 = —12 2 × 92 = 23 cm2
Luas kawasan berlorek / Area of the shaded region = 92 – 23 BAB 5
= 69 cm2
5.4 Teselasi
Tessellation
NOTA IMBASAN
1. Teselasi ialah pola bagi bentuk berulang yang memenuhi Teselasi yang terdiri
suatu satah tanpa ruang kosong atau pertindihan. daripada heptagon
A tessellation is a pattern of recurring shapes that fills a plane Tessellation that consists of
without leaving empty spaces or overlapping.
heptagons
Contoh teselasi yang melibatkan poligon:
Example of tessellation that involves polygons: Contoh teselasi dalam kehidupan harian:
Example of tessellation in daily life:
Teselasi yang terdiri daripada
gabungan segi empat sama
dan oktagon sekata
Tessellation that consists of the
combination of squares and
regular octagon
75 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
19. Tentukan sama ada setiap rajah berikut merupakan teselasi atau tidak. TP 3
Determine whether each of the following diagrams is a tessellation or not.
CONTOH (a)
Penyelesaian: Merupakan teselasi yang terdiri daripada heksagon
Merupakan teselasi yang terdiri daripada segi tiga sekata sahaja.
sama sisi sahaja. A tessellation which consists of regular hexagons only.
A tessellation which consists of equilateral triangles only.
(b) (c)
BAB 5 Bukan teselasi kerana terdapat pertindihan bentuk Merupakan teselasi yang terdiri daripada gabungan
dan ruang. segi tiga sama sisi, segi empat sama dan heksagon
Not a tessellation because there are overlapping of shapes sekata.
and spaces.
A tessellation which consists of the combination of
equilateral triangles, squares and regular hexagons.
20. Reka satu teselasi berdasarkan bentuk yang diberikan. TP 4
Design a tessellation based on the given shapes.
CONTOH (a) Lelayang / Kite
1 Heksagon sekata / Regular hexagon
2 Segi tiga sama sisi dan heksagon sekata (b) Segi empat sama dan oktagon sekata
Equilateral triangle and regular hexagon Square and regular octagon
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 76
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
21. Selesaikan. TP 6 B
Solve. A
C
Rajah di sebelah menunjukkan suatu bentuk teselasi yang terdiri daripada
segi tiga sama sisi dan segi empat sama. Nyatakan transformasi yang terlibat H 60° D 60° J
untuk menghasilkan 60°
The diagram shows a tessellation consisting of equilateral triangles and squares. State GE
the transformation involved to produce
F
(i) segi tiga DGH daripada segi tiga ADH
triangle DGH from triangle ADH
(ii) segi tiga CDE daripada segi tiga ADH
triangle CDE from triangle ADH
(iii) segi empat sama DEFG daripada segi empat sama ABCD
square DEFG from square ABCD
(i) Pantulan pada garis DH. / Reflection in the line DH.
Putaran 360° pada titik D. / Rotation of 360° about point D.
(ii) Sudut / Angle = 60° + 90° = 150°
Putaran 150° ikut arah jam pada titik D. / Rotation of 150° clockwise about point D.
(iii) Sudut / Angle = 90° + 60° = 150°
Putaran 150° ikut arah jam pada titik D. / Rotation of 150° clockwise about point D.
Pantulan pada garis HDJ. / Reflection in the line HDJ.
PRAKTIS SPM 5 BAB 5
Kertas 1
1. Antara berikut, pasangan segi tiga yang manakah 2. Rajah di bawah menunjukkan dua segi tiga yang
kongruen.
menunjukkan sifat kekongruenan segi tiga Sudut-
The diagram below shows two congruent triangles.
Sudut-Sisi (AAS)?
Apakah sifat kekongruenan segi tiga yang
Which of the following is the pair of triangles that show ditunjukkan oleh kedua-dua segi tiga di atas?
the property of triangle congruency Angle-Angle-Side What is the property of triangle congruency shown by
(AAS)? both triangles above?
A C A Sisi-Sudut-Sisi (SAS)
Side-Angle-Side (SAS)
PS PS B Sisi-Sisi-Sudut (SSA)
Side-Side-Angle (SSA)
R QU T R QU T C Sudut-Sisi-Sudut (ASA)
Angle-Side-Angle (ASA)
B D S D Sudut-Sudut-Sisi (AAS)
Angle-Angle-Side (AAS)
P SP
R QU T R QU T
77 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
3. Diberi bahawa luas imej dan objek di bawah suatu Diberi bahawa luas trapezium ABCD ialah 60 cm2.
pembesaran masing-masing ialah 64 cm2 dan Berapakah luas kawasan berlorek?
4 cm2. Berapakah faktor skala bagi pembesaran itu? Given that the area of trapezium ABCD is 60 cm2. What
is the area of the shaded region?
Given that the areas of image and object under an
enlargement are 64 cm2 and 4 cm2 respectively. What is A 60 cm2
the scale factor of the enlargement? B 120 cm2
C 180 cm2
A —41 C 4 D 240 cm2
B —12 D 16
6. Rajah di bawah menunjukkan tiga pentagon yang
4. Rajah di bawah menunjukkan lima anak panah, dilukis pada suatu satah Cartes.
2S0P1M9 K, L, M, N dan P yang dilukis pada grid segi empat
The diagram below shows three pentagons drawn on a
sama. K, L, N dan P ialah imej bagi M di bawah Cartesian plane.
suatu pembesaran.
y
The diagram below shows five arrows K, L, M, N and P
drawn on a square grids. K, L, N and P are images of M 4Q
under an enlargement. P
2
–6 –4 –2 O x
–2
N P 24
–4 R
L M
K
BAB 5 Antara berikut, yang manakah benar? Pentagon R ialah imej bagi pentagon P di bawah
Which of the following is true? gabungan transformasi ST. Antara berikut, yang
Anak panah Faktor skala, k manakah benar tentang transformasi S dan T?
Arrow Scale factor, k Pentagon R is the image of pentagon P under the
combined transformation ST. Which of the following is
AK 9 true about the transformation S and T?
BL —94 Transformasi S Transformasi T
1—96 Transformation S Transformation T
CN A Translasi 1 7 2 Pantulan pada
1 paksi-x
—53
DP 1 2Translation 7 Reflection in the x-axis
1
11 22B 7
5. Dalam rajah di bawah, trapezium AEFG ialah imej Pantulan pada Translasi 1
paksi-x
bagi trapezium ABCD di bawah suatu pembesaran. Translation 7
Reflection in the x-axis 1
In the diagram below, trapezium AEFG is the image of
trapezium ABCD under an enlargement. Putaran 180° pada
titik (–1, –1)
y C Pantulan pada
6G Rotation about 180° at paksi-x
point (–1, –1)
Reflection in the x-axis
4B F D Pantulan pada Putaran 180° pada
2A C paksi-x titik (–1, –1)
DE Reflection in the x-axis Rotation about 180° at
point (–1, –1)
O x
2 4 6 8 10
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 78
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
Kertas 2
1. Rajah di sebelah menunjukkan dua titik, A dan B, yang dilukis y
1 2pada suatu satah Cartes. Diberi T ialah translasi11 dan R ialah 6
–5
putaran 90° ikut arah jam pada (4, 5).
4
The diagram on the right shows two points, A and B, drawn on a Cartesian Bࣳ +11 A
B
1 2plane. Given T is a translation11 and R is a rotation of 90° clockwise 2
–5
–5
x
about (4, 5). 0 2 4 6 8 10 12
(a) Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah transformasi R. Aࣳ Bࣳࣳ
–2
State the coordinates of the image of point A under the transformation
R.
(b) Nyatakan koordinat imej bagi titik B di bawah gabungan transformasi TR.
State the coordinates of the image of point B under a combined transformation TR.
Jawapan / Answer :
(a) (2, –1) (b) (12, –2)
2. Dalam rajah di bawah, poligon Q ialah imej bagi poligon P di bawah suatu gabungan transformasi VW.
In the diagram below, polygon Q is the image of polygon P under a combined transformation VW.
y
6
4 BAB 5
P
2
–4 –2 O 24 x
–2 Q
–4
–6
–8
(a) Perihalkan selengkapnya transformasi
Describe completely the transformation
(i) W (ii) V
(b) Seterusnya, perihalkan satu transformasi tunggal yang setara dengan gabungan transformasi VW.
Hence, describe a single transformation that is equivalent to the combined transformation VW.
Jawapan / Answer :
(a) (i) Putaran 180° pada titik (–0.5, 0.5). / Rotation of 180° about point (–0.5, 0.5).
(ii) Pembesaran pada pusat (1, –1) dengan faktor skala 2. / Enlargement at centre (1, –1) with a scale factor of 2.
(b) Pembesaran pada pusat (–1, 1) dengan faktor skala –2.
Enlargement at centre (–1, 1) with a scale factor of –2.
79 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
3. (a) Rajah di sebelah menunjukkan titik L yang dilukis pada suatu y
2S0P1M7 satah Cartes. (a) (i) 6
(a) (ii)
The diagram shows point L drawn on a Cartesian plane. 4
1 2 –4
Transformasi P ialah translasi 3 .
Transformasi Q ialah pantulan pada garis y = 1. 2
Nyatakan koordinat imej bagi titik L di bawah setiap gabungan –4 –2 O y=1
–2 x
transformasi yang berikut.
6 L8
1 2 Transformation P is a translation –4 . 24
3
Transformation Q is a reflection in the line y = 1.
State the coordinates of the image of point L under each of the following
combined transformations.
(i) P2 (ii) PQ
(b) Rajah di bawah menunjukkan dua pentagon, ABCDE dan FGHIJ yang dilukis pada suatu satah Cartes.
The diagram below shows two pentagons, ABCDE and FGHIJ drawn on a Cartesian plane.
y
6 A
B 2
4
C D2 F 8 10 12 J 14 16 x
–4 E I
–2 O 46
G
BAB 5 –2
–4
–6 H
–8
Pentagon FGHIJ ialah imej bagi pentagon ABCDE di bawah gabungan transformasi RS.
Pentagon FGHIJ is the image of pentagon ABCDE under the combined transformation RS.
(i) Huraikan selengkapnya transformasi S dan transformasi R.
Describe in full, the transformation S and transformation R.
(ii) Diberi pentagon FGHIJ mewakili suatu kawasan yang luasnya 70 m2. Hitung luas, dalam m2, yang
diwakili oleh pentagon ABCDE.
Given pentagon FGHIJ represents a region of an area of 70 m2. Calculate the area, in m2, represented by pentagon
ABCDE.
Jawapan / Answer : (ii) (3, 6)
(a) (i) (–1, 5)
(b) (i) S ialah putaran 90° lawan arah jam pada titik (4, 6).
S is a rotation of 90° anticlockwise at point (4, 6).
R ialah pembesaran pada pusat (5, 3) dengan faktor skala 2.
R is an enlargement at centre (5, 3) with a scale factor of 2.
(ii) Luas / Area = 70 ÷ 22
= 17.5 m2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 80
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
4. (a) Rajah di sebelah menunjukkan titik P yang diplot pada suatu satah Cartes. y
2S0P1M9 The diagram shows point P plotted on a Cartesian plane.
6
Transformasi R ialah pantulan pada garis y = 2. P(4, 5)
Transformasi S ialah putaran 90° ikut arah jam pada pusat (2, 3). 4 (a)(ii)
Nyatakan koordinat bagi titik P di bawah transformasi berikut. 2
y=2
Transformation R is a reflection on the line y = 2.
Transformation S is a rotation of 90° clockwise at centre (2, 3).
State the coordinates of point P under the following transformations. O 2468 x
(i) R
(ii) RS (a)(i)
(b) Rajah di bawah menunjukkan tiga trapezium, ABCD, JKLM dan LNPQ yang dilukis pada satah Cartes.
The diagram shows three trapeziums, ABCD, JKLM and LNPQ drawn on a Cartesian plane.
y P
Q
8
6
A 4K J
D N
2 LM
BC 24 x
–4 –2 O 6
(i) Trapezium LNPQ ialah imej bagi trapezium ABCD di bawah gabungan transformasi TU. Huraikan BAB 5
selengkapnya, transformasi
Trapezium LNPQ is the image of the trapezium ABCD under the combined transformation TU. Describe in full, the
transformation
(a) U (b) T
(ii) Diberi bahawa trapezium ABCD mewakili luas kawasan 50 m2. Cari luas, dalam m2, kawasan berlorek.
Given that the trapezium ABCD represents a region of area 50 m2. Find the area, in m2, of the shaded region.
Jawapan / Answer :
(a) (i) (4, –1)
(ii) (4, 3)
(b) (i) (a) Putaran 90° ikut arah jam pada titik asalan.
Rotation of 90° clockwise about the origin.
(b) Pembesaran pada pusat L(1, 2) dengan faktor skala 3.
Enlargement at centre L(1, 2) with a scale factor of 3.
(ii) Luas LNPQ / Area of LNPQ
= 32 × 50
= 450 m2
Luas kawasan berlorek / Area of the shaded region
= 450 – 50
= 400 m2
81 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
Reka satu corak teselasi daripada segi tiga sama sisi di bawah. Anda boleh mengubah sisi poligon ini supaya
menjadi bentuk yang boleh berulang dan tidak mempunyai ruang.
Create a tessellation from an equilateral triangle below. You can change the side of the polygon such that the shape can be
recurring and no gaps.
Jawapan / Answer :
A Putar 60° ikut arah jam
corak sisi AB pada titik A
Rotate 60° clockwise pattern
of side AB about point A
BAB 5 CB
Putar 180° separuh corak
sisi BC pada titik tengah BC
Rotate 180° half pattern of
side BC about the midpoint
of BC
Kuiz 5
(Terima jawapan mengikut kreativiti murid)
(Accept answer according to pupil’s creativity)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 82
BAB Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6 Ratios and Graphs of Trigonometric Functions
6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut q, 0° < q < 360°
The Values of Sine, Cosine and Tangent for Angle q, 0° < q < 360°
NOTA IMBASAN
1. Diberi P ialah titik yang berada pada bulatan unit dan 2. Sudut rujukan sepadan, a dalam setiap sukuan:
The corresponding reference angle, a in each quadrant:
q ialah sudut yang terbentuk dari paksi-x yang positif
mengikut arah lawan jam. Sukuan I / Quadrant I a=q
It is given P is a point lies on the unit circle and q is the angle
formed from the x-axis positive in an anticlockwise direction. Sukuan II / Quadrant II a = 180° − q
y Sukuan III / Quadrant III a = q − 180°
1
Sukuan II / Quadrant II Sukuan I / Quadrant I Sukuan IV / Quadrant IV a = 360° − q
90° , q , 180° θ
O 0° , q , 90°
Hanya sinus positif Semua positif
Only sine positive –1 P All positive 3. sin q = koordinat-y = b y
1
–1 sin q = y-coordinate = b b P(a, b)
Sukuan III / Quadrant III
1x kos q = koordinat-x = a
180° , q , 270°
Hanya tangen positif Sukuan IV / Quadrant IV cos q = x-coordinate = a θ 1x
Only tangent positive 270° , q , 360° koordinat-y b a
tan q = koordinat-x = a –1 O
Hanya kosinus positif
Only cosine positive tan q = y-coordinate = b –1
x-coordinate a
1. Tentukan sukuan dan sudut rujukan sepadan, a bagi setiap sudut berikut. TP 1
Determine the quadrant and the corresponding reference angle, a of each of the following.
CONTOH (a) 336° (b) 81°
112° y Sukuan IV y Sukuan I
Penyelesaian: Quadrant IV Quadrant I
y Sukuan II / Quadrant II
336° Sudut rujukan 81° x Sudut rujukan
Sudut rujukan O sepadan O
α sepadan
x Corresponding
Corresponding
α 112° sepadan reference angle reference angle
O
x Corresponding a = 360° − 336° a = 81°
reference angle = 24°
a =180° − 112° = 68°
(c) 259° Sukuan III (d) 147° Sukuan II (e) 289° Sukuan IV
y Quadrant III y Quadrant II y Quadrant IV
259° Sudut rujukan 147° Sudut rujukan 289° Sudut rujukan
αO α Oα
sepadan sepadan sepadan
O
x Corresponding x Corresponding x Corresponding
reference angle reference angle reference angle
a = 259° − 180° a = 180° − 147° a = 360° − 289°
= 79° = 33° = 71°
83 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
2. Nyatakan hubungan fungsi trigonometri yang berikut dengan sudut rujukan sepadan. Kemudian, hitung
nilainya. TP 2
State the relationship of the following trigonometric functions with the corresponding reference angle. Hence, calculate the
value.
CONTOH (a) sin 312°
1 sin 106° Sukuan II → sin (+) 2 sin 200° Sukuan III → sin (–) 312° (Sukuan IV / Quadrant IV)
Quadrant II → sin (+) Quadrant III → sin (–) sin 312° = –sin (360° – q)
Penyelesaian: a = 180° – q Penyelesaian: a = q – 180° = –sin (360° – 312°)
= –sin 48°
106° (Sukuan II / Quadrant II) 200° (Sukuan III / Quadrant III) = –0.7431
sin 106° = sin(180° – 106°) sin 200° = –sin(200° – 180°)
= sin 74° = –sin 20°
= 0.9613 = –0.3420
(b) tan 164° (c) tan 256° (d) tan 315°
164° (Sukuan II / Quadrant II) 256° (Sukuan III / Quadrant III) 315° (Sukuan IV / Quadrant IV)
tan 164° = –tan (180° – q) tan 256° = tan (q – 180°) tan 315° = –tan (360° – q)
= –tan (180° – 164°) = tan (256° – 180°) = –tan (360° – 315°)
= –tan 16° = tan 76° = –tan 45°
= –0.2867 = 4.0108 = –1
(e) kos 138° / cos 138° (f) kos 237° / cos 237° (g) kos 334° / cos 334°
138° (Sukuan II / Quadrant II) 237° (Sukuan III / Quadrant III) 334° (Sukuan IV / Quadrant IV)
kos 138° = –kos (180° – q) kos 237° = –kos (q – 180°) kos 334° = kos (360° – q)
= –kos (180° – 138°) = –kos (237° – 180°) = kos (360° – 334°)
= –kos 42° = –kos 57° = kos 26°
= –0.7431 = –0.5446 = 0.8988
3. Tentukan nilai sin q, kos q dan tan q bagi setiap Tip
yang berikut. TP 3
sin q = koordinat-y kos q = koordinat-x tan q = koordinat-y
Determine the values of sin q, cos q and tan q for each koordinat-x
BAB 6 of the following.
sin q = y-coordinate cos q = x-coordinate tan q = y-coordinate
x-coordinate
CONTOH (a)
y Penyelesaian: y
1 sin q = 0.174
1 (0.643, 0.766) sin q = 0.766 kos q = –0.985
kos q = 0.643 (–0.985, 0.174) θ x cos q
cos q O
θ x –1 1 tan q = 0.174
O 1 –0.985
–1 0.766
tan q = 0.643
–1 = –0.177
–1 = 1.191
(b) y (c) y sin q = –0.966
1 sin q = –0.342 1
kos q = –0.940 θ kos q = 0.259
θ x cos q –1 O
O x cos q
1
–1 1 tan q = –0.342 –0.966
(–0.940, –0.342) –0.940 0.259
tan q =
–1 = 0.364 –1 (0.259, –0.966) = –3.730
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 84
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
4. Hitung setiap nilai yang berikut berdasarkan sudut rujukan sepadan tanpa menggunakan kalkulator saintifik.
Calculate each of the following values based on the corresponding reference angle without using calculator scientific. TP 3
Tip CONTOH (a) sin 225° (b) sin 300°
sin 150° = – sin (225° − 180°) = – sin (360° − 300°)
= sin (180° − 150°) = – sin 45° = – si3n 60°
= –
2 30° = sin 30° = – 1
1 2
√3 2 = 2 2
60° (c) tan 135° (d) tan 240° (e) tan 330°
11
1 √2 = – tan (180° − 135°) = tan (240° − 180°) = – tan (360° − 330°)
= – tan 45° = tan 60°
45° = –1 = 3 = – tan 30°
1 1
= – 3
SOH CAH TOA: (f) kos 120° / cos 120° (g) kos 210° / cos 210° (h) kos 315° / cos 315°
bertentangan / opposite
sin q = hipotenus / hypotenuse
bersebelahan / adjacent = – kos (180° − 120°) = – kos (210° − 180°) = kos (360° − 315°)
hipotenus / hypotenuse
kos q = = – kos 60° = – ko3s 30° = kos 45°
cos q 1 = – 2 1
=– 2 = 2
tan q = bertentangan / opposite
bersebelahan / adjacent
5. Diberi 0° < q < 360°, hitung sudut q bagi setiap yang berikut. TP 3
Given that 0° < q < 360°, calculate the angle q of each of the following.
CONTOH
1 sin q = 0.7193 sin (+) → 2 kos q = 0.2588/ cos q = 0.2588 3 tan q = –0.8391 tan (–) →
Sukuan I & II Sukuan II & IV
Penyelesaian: Quadrant I & II
Penyelesaian: kos (+) → Penyelesaian: Quadrant II & IV
Sukuan I & IV
Sudut rujukan Sudut rujukan Quadrant I & IV Sudut rujukan y
sepadan y sepadan y sepadan BAB 6
Corresponding Corresponding Corresponding 40° x
reference angle reference angle O 40°
reference angle
= tan–1 0.8391
= sin–1 0.7193 46° x = kos–1 0.2588 O 75° x
= 46° O = 75°
= 40°
q = 46°, (180° – 46°) q = 75°, (360° – 75°) q = (180° – 40°), (360° – 40°)
= 46°, 134° = 140°, 320°
= 75°, 285°
(a) sin q = 0.3584 (b) sin q = –0.6820 (c) sin q = 0.5592
Sudut rujukan sepadan y Sudut rujukan sepadan y Sudut rujukan sepadan y
Corresponding Corresponding Corresponding
reference angle reference angle reference angle
O 43° x = sin–1 0.5592
= sin–1 0.3584 = sin–1 0.6820 43° = 34° 34°
x = 43° O
= 21° 21° x
O
q = 21°, (180° – 21°) q = (180° + 43°), (360° – 43°) q = 34°, (180° – 34°)
= 21°, 159° = 223°, 317° =34°, 146°
85 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(d) kos q = 0.7193 (e) kos q = –0.1564 (f) kos q = –0.5446
cos q = 0.7193 cos q = –0.1564 cos q = –0.5446
Sudut rujukan sepadan Sudut rujukan sepadan y Sudut rujukan sepadan y
y Corresponding
Corresponding Corresponding
reference angle reference angle 81° reference angle 57°
O
= kos–1 0.7193 = kos–1 0.1564 O x = kos–1 0.5446 x
= 57° 57°
= 44° O 44° x = 81° 81°
q = 44°, (360° – 44°) q = (180° – 81°), (180° + 81°) q = (180° – 57°), (180° + 57°)
= 44°, 316° = 99°, 261° = 123°, 237°
(g) tan q = 0.7002 (h) tan q = 1.4281 (i) tan q = –0.3640
Sudut rujukan sepadan y Sudut rujukan sepadan y Sudut rujukan sepadan y
Corresponding Corresponding Corresponding
reference angle reference angle reference angle
= tan–1 0.7002 x = tan–1 1.4281 O x = tan–1 0.3640 20° 20° x
= 55° 55° = 20° O
= 35° O
35°
q = 35°, (180° + 35°) q = 55°, (180° + 55°) q = (180° – 20°), (360° – 20°)
= 35°, 215° = 55°, 235° = 160°, 340°
6. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Dalam rajah di bawah, BCD (b) Dalam rajah di bawah, RST (c) PQR dan TRS ialah segi tiga
ialah garis lurus. TP 4 bersudut tegak. Diberi
ialah garis lurus. TP 4
In the diagram below, RST is a QR = 2RS dan PT = TR. TP 4
In the diagram below, BCD is a straight line.
straight line. PQR and TRS are right-angled
U triangles. Given QR = 2RS and
DC 16 cm B PT = TR.
p 44°
BAB 6 P
qx 10 cm
A RS T Tx
Diberi tan q = 4 , hitung sin p. Hitung nilai tan x. Q 8 cm R S
3
Given tan q = 4 Calculate the value of tan x.
3
calculate sin p. Cari nilai kos x.
BC 90° , p , 180° ∠UST = 180° – 44° Find the value of cos x.
AB ∴ p berada pada 2
tan q = PR = 102 – 82 TS = 32 + 42
= 68° = 6 cm = 5 cm
4 = 16 sukuan II.
3 AB p is in quadrant II. 90° , x , 180°
AB = 12 cm ∴ x berada pada sukuan II.
AC = 162 + 122 sin p TR = 6 ÷ 2 kos x
= sin ∠ACB x is in quadrant II. = 3 cm
= –kos ∠RTS
= 20 cm = 12 RS = 8 ÷ 2 3
tan x = –tan ∠UST = 4 cm = – 5
20 = –tan 68°
=3
5 = –2.4751
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 86
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(d) Dalam rajah di sebelah, PTQ dan TQS ialah segi tiga P 20 cm T
bersudut tegak. QRS dan TSU ialah garis lurus. Diberi xy
4 QR
RS = 2QR dan sin x = 5 . Cari TP 5 8 cm
In the diagram, PTQ and TQS are right-angled triangles. QRS and
4
TSU are straight lines. Given that RS = 2QR and sin x = 5 . Find S
z
(i) kos y, (ii) tan z.
cos y, U
(i) sin x = PT (ii) RS = 2 × 8
PQ = 16 cm
4 = 20 QS = 8 + 16
5 PQ = 24 cm
PQ = 25 cm tan z = – 15
24
QT = 252 – 202
= 15 cm = – 5
8
RT = 152 + 82
= 17 cm
kos y = – 8
17
(e) Terdapat sebuah radar di suatu kawasan yang memberikan signal y
mengikut pusingan lawan arah jam. Naim berada 4 m daripada θ (5, 0) Naim x
O 4m
hujung signal radar tersebut pada suatu masa seperti yang
(x, y)
ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Selepas seketika, signal itu
BAB 6
telah berpusing dengan sudut q. Diberi bahawa tan q = 1.7321 dan
90° , q , 270°. TP 6
There is a radar in an area that gives signal in anticlockwise rotation. Naim is
4 m from the end of the signal in a certain time as shown in the diagram. After
a while, the signal has rotated with an angle of q. Given that tan q = 1.7321
and 90° , q , 270°.
(i) Hitung nilai q.
Calculate the value of q.
(ii) Kemudian, hitung jarak antara hujung signal itu dengan Naim.
Hence, calculate the distance between the end of the signal and Naim.
(i) tan q = 1.7321 (ii) sin 60° = PQ PO 9m R(Naim)
Sudut rujukan sepadan 5 60°
PQ = sin 60° × 5
Corresponding reference angle 5m
= 4.33 m
= tan–1 1.7321
= 60° kos 60° = OP Q
5
Oleh kerana 90° , q , 270°, OP = kos 60° × 5 QR = 4.332 + 11.52
maka = 12.29 m
= 2.5 m
Since 90° , q , 270°, thus Maka, jarak antara hujung signal
PR = 2.5 + 9 dengan Naim ialah 12.29 m.
q = 180° + 60° = 11.5 m
= 240° Thus, the distance between the end
of the signal and Naim is 12.29 m.
87 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen
The Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions
NOTA IMBASAN
1. Graf fungsi trigonometri: y y
Graphs of trigonometric functions: y = a tan bx
a y = a kos bx Fungsi tangen tidak
y y = a cos bx O mempunyai amplitud. Nilai
a a mengubah lengkung graf.
O x 180° x Tangent function has no
y = a sin bx b amplitude. The value of a
Ox –a changes the curvature of
360° the graph.
–a b
360°
b
2. Bagi fungsi y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan y = a tan bx + c, Bagi y = tan x dan 0° < x < 360°, NOTA
For functions y = a sin bx + c, y = a cos bx + c and y = a tan bx + c,
nilai tan 90° dan tan 270°
• apabila c . 0, graf beranjak c unit ke atas selari dengan paksi-y.
when c . 0, the graph moves c units upwards parallel to y-axis. tidak tertakrif.
For y = tan x and 0° < x < 360°,
• apabila c , 0, graf beranjak c unit ke bawah selari dengan paksi-y. the values of tan 90° and tan 270°
when c , 0, the graph moves c units downwards parallel to y-axis. are not defined.
7. Lukis graf dan nyatakan nilai maksimum, nilai minimum, pintasan-x dan pintasan-y bagi setiap graf fungsi
trigonometri berikut. TP 3
Draw the graph and state the maximum value, minimum value, x-intercept and y-intercept of each of the following graphs of
trigonomteric functions.
BAB 6 Fungsi y = sin x y = kos x y = tan x
Function y y = cos x y
Graf y
Graph
111
0 x 0 x 0 x
90° 180° 270° 360° 90° 180° 270° 360° 90° 180° 270° 360°
–1 –1 –1
Nilai maksimum 1 1 0°, 180°, 360°
–1 –1 0
Maximum value 0°, 180°, 360° 90°, 270°
0 1
Nilai minimum
Minimum value
Pintasan-x
x-intercept
Pintasan-y
y-intercept
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 88
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
8. Lakarkan graf setiap fungsi trigonometri yang berikut bagi 0° < x < 360°. TP 3
Sketch each of the following trigonometric functions for 0° < x < 360°.
CONTOH (a) y = sin 2x (b) y = sin x + 1
1 y = 2 sin x
Penyelesaian: y y
1
y 2
0 x 1
2 90° 180° 270° 360°
x
1 –1 0 90° 180° 270° 360°
x –1
–2
0 90° 180° 270° 360°
–1
–2
2 y = kos 4x / y = cos 4x (c) y = 3 kos x / y = 3 cos x (d) y = kos x – 1 / y = cos x – 1
Penyelesaian: y y
y Tempoh / Period: 2
1
1 = 360° = 90° 3
4 x
2 0 90° 180° 270° 360°
–1
1 –2
x –10 x
90° 180° 270° 360° 90° 180° 270° 360°
0 –2
–3
–1
3 y = tan x + 1 (e) y = 3 tan x (f) y = tan 2x
Penyelesaian: y y
1
y 3
x
2 2 0 90° 180° 270° 360° BAB 6
–1
1 1
x
0 x
0 90° 180° 270° 360° –1 90° 180° 270° 360°
–1
–2
–2
–3
9. Lakarkan setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0° < x < 360°. TP 4
Sketch each of the following trigonometric functions for 0° < x < 360°.
(a) y = 1.5 sin 4x (a) y = 2 kos x + 2 / y = 2 cos x + 2 (c) y = tan 0.5x + 1
y y y
1.5 4 2
1
3
x
0 x 2 90° 180° 270° 360°
90° 180° 270° 360° –1
–2
1
–1.5 0 x
90° 180° 270° 360°
89 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
10. Hitung nilai p bagi setiap graf fungsi trigonometri yang berikut. TP 3
Calculate the value of p of each of the following trigonometric functions.
CONTOH y = sin x (a)
y y
1 (p, 0.9397)
1
y = sin x
x x
0 90° 180° 270° 360°
0 90° 180° 270° 360°
(p, –0.5878)
–1 –1
Penyelesaian: Sukuan IV Sudut rujukan sepadan Sukuan I
Sudut rujukan sepadan
Quadrant IV Corresponding reference angle Quadrant I
Corresponding reference angle
∴ p = 360° – 36° = sin–1 0.9397 ∴ p = 70°
= sin–1 0.5878 = 324°
= 70°
= 36°
(b) (c)
y y
1 y = kos x 2 y = tan x
y = cos x
1
x
0 90° 180° 270° 360° 0 x
90° 180° 270° 360°
(p, –0.2079)
–1 –1
–2 (p, –1.4281)
Sudut rujukan sepadan Sukuan III Sudut rujukan sepadan Sukuan II
Corresponding reference angle Quadrant III Corresponding reference angle Quadrant II
= kos–1 0.2079 ∴ p = 180° + 78° = tan–1 1.4281 ∴ p = 180° – 55°
= 258° = 125°
= 78° = 55°
BAB 6 11. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Rajah di sebelah menunjukkan ketinggian air laut ketika pasang surut. h (m)
The diagram shows the height of an ocean tide. TP 5 6
4
(i) Nyatakan amplitud pasang surut air itu. 2
State the amplitude of the tide.
(ii) Tulis fungsi trigonometri yang mewakili ketinggian pasang Paras air 0 t (jam)/
Water level –2 3 6 9 12 t (hour)
surut air itu.
–4
Write a trigonometric function that represents the height of the tide.
–6
(i) Amplitud / Amplitude (ii) Tempoh / Period = 12
=6
360 = 12
b
b = 360
12
= 30
∴ h = 6 sin 30t
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 90
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(b) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah roda Ferris Tinggi (m) / Height (m)
berdiamater 16 m. Ketinggian Rosa daripada tanah
dicatatkan ketika dia berada pada kedudukan yang
paling tinggi semasa menaiki roda Ferries itu. Diberi
bahawa roda Ferris itu membuat satu pusingan
lengkap setiap 50 saat dan graf berikut menunjukkan
ketinggian Rosa bagi 125 saat pertama. TP 6
The diagram shows a Ferris wheel with a diameter of 16 m. 2m
The height of Rosa from the ground is recorded when she is 0 Masa (s)
125 Time (s)
at the highest position while on the Ferris wheel. It is given
that the Ferris wheel makes a complete rotation every 50 seconds and the following graph shows the height of Rosa
for the first 125 seconds.
(i) Tulis satu fungsi trigonometri untuk mewakili ketinggian Rosa, h pada masa, t ketika menaiki roda
Ferris itu.
Write a trigonometric function to represent Rosa’s height, h at time, t while on the Ferris wheel.
(ii) Hitung ketinggian Rosa selepas berpusing selama 1.8 minit.
Calculate Rosa’s height after rotating for 1.8 minutes.
(i) a = jejari roda Ferris / radius of the Ferris wheel ∴ h = 8 kos 7.2t + 10
= 126
h = 8 cos 7.2t + 10
= 8
(ii) 1.8 minit = 108 saat
Satu pusingan / A rotation = 50 s
360 1.8 minutes = 108 seconds
b = 50
Apabila t = 108,
= 7.2
When t = 108,
c = 8 + 2 = 10
h = 8 kos 7.2(108) + 10
= 14.29 m
PRAKTIS SPM 6 BAB 6
Kertas 1 2. Antara berikut, yang manakah bukan pasangan
sudut q dan sudut rujukan sepadannya, a?
1. Antara berikut, yang manakah bukan sudut
Which of the following is not the pair of angle q and its
rujukan sepadan, a yang betul? corresponding reference angle, a?
Which of the following is not the correct corresponding Sudut q Sudut rujukan sepadan, a
reference angle, a? C y Angle q Corresponding reference angle, a
A y A 206° 26°
α Ox α B 337° 23°
Ox C 112° 68°
B y D y D 195° 75°
Oα x 3. Diberi sin x = –0.9136 dan x terletak pada sukuan
α x IV, hitung nilai x.
O Given that sin x = –0.9136 and x lies in quadrant IV,
calculate the value of x.
A 66° C 294°
B 246° D 336°
91 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
4. Rajah di bawah menunjukkan satu bulatan unit. 8. Rajah di bawah menunjukkan dua segi tiga
The diagram below shows a unit circle. bersudut tegak, PQR dan SQT.
The diagram below shows two right-angled triangles,
y
PQR and SQT.
1 PQ T
P(a, b) 13 cm
–1 O
x R
1
39 cm
–1 S
Nyatakan nilai yang mungkin bagi a dan b. Diberi sin ∠TSQ = 12 dan kos ∠SRP = – 5 . Cari
State the possible values of a and b. 13 13
panjang, dalam cm, RS.
A a = 0.9397, C a = –0.9397,
Given sin ∠TSQ = 12 and cos ∠SRP = – 5
b = 0.3420 b = 0.3420 13 13 . Find the
B a = 0.9397, D a = –0.9397, length, in cm, of RS.
b = –0.3420 b = –0.3420 A 10 C 15
B 13 D 26
5. Diberi kos x = 3 dengan 270° < x < 360°. Cari nilai 9. Dalam Rajah di bawah, PQS ialah segi tiga
tan x. 5
bersudut tegak, QRST ialah garis lurus dan R ialah
Given cos x = 3 where 270° < x < 360°. Find the value
of tan x. 5 titik tengah QS.
A – 4 C 3 In the diagram below, PQS is a right-angled triangle,
3 4 QRST is a straight line and R is the midpoint of QS.
B – 3 D 4 Q 6 cm R ST
4 3 5 cm x
6. Rajah di bawah menunjukkan titik B pada suatu P
satah Cartes.
Cari nilai kos x.
The diagram below shows point B on a Cartesian plane.
Find the value of cos x.
y
B (–0.5, 0.86)
BAB 6 A – 12 C 5
13 12
5 12
θ x B – 12 D 13
O
Cari nilai θ. C 125°33 10. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi y = sin x dan
D 144°28 y = kos x.
Find the value of θ.
The diagram below shows the graphs of y = sin x and
A 30°10 y = cos x.
B 120°10
7. Cari nilai bagi sin 30° – kos 30°. y y = sin x y = kos x
Find the value of sin 30° – cos 30°. y = cos x
– 3 1 k
A 1 2 0.5 x
360°
1 – 3 0
B – 2 –0.5
–1
C 3 – 1 Cari nilai k.
2
+ 3 Find the value of k.
D – 1 2 C 225°
A 45° D 315°
B 210°
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 92
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
11. Diberi bahawa tan p adalah nilai tidak tertakrif 14. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan unit.
2
bagi y = 3 tan 3 x. Apakah nilai p? The diagram below shows a unit circle.
It is given that tan p is undefined for y = 3 tan 2 x. What 2017
3
y
is the value of p? P(–0.866, 0.5)
O
A 90°
B 135° x
Q(0.707, –0.707)
C 180°
D 270°
12. Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi kosinus. Cari nilai sudut bagi sektor major POQ.
The diagram below shows the graph of a cosinus Find the value of the angle of the major sector POQ.
function.
A 165°
y B 185°
4 C 195°
D 200°
x
0 90° 180° 270° 360° 15. Rajah di bawah menunjukkan titik K yang diplot
pada suatu satah Cartes.
–4
2018 The diagram below shows point K plotted on a Cartesian
Apakah fungsi bagi graf itu? plane.
What is the function of the graph? y K(9, 12)
A y = kos 2x
y = cos 2x 1
2
B y = 4 kos x θ x
O
y = 4 cos 1 x
2
Hitung nilai sin q.
C y = 4 kos 2 x
3 Calculate the value of sin q.
y = 4 cos 2 x A 4 C – 4
3 3 3
D y = 4 kos 2x B 4 D – 4
5 5
y = 4 cos 2x
13. Graf yang manakah mewakili y = kos x untuk 16. Rajah di bawah menunjukkan sebahagian BAB 6
daripada graf y = kos x.
90° x 270?
2019 The diagram below shows a part of graph y = cos x.
2017 Which graph represents y = cos x for 90° x 270°?
y
A y C y
m
11
0 x x – 1 0 90° 180° 270° x
90° 180° 270° 0 90° 180° 270° 2 m R
–1 –m
B y D y Apakah koordinat R?
1 What is coordinates of R?
x x A (110°, –0.5)
0 90° 180° 270° 0 90° 180° 270° B (120°, –0.5)
–1 –1 C (150°, –0.5)
D (160°, –0.5)
93 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
Kertas 2 H (cm)
40
3
1. Lakarkan graf y = kos 2x + 1 dan y = kos 2 x + 1
bagi 0° < x < 360° pada grid segi empat sama 20
yang disediakan di bawah. Kemudian, tandakan
⊗ pada titik persilangan dua graf tersebut. 2 Tanah
3 Ground 0
Sketch the graph of y = cos 2x + 1 and y = cos x + 1 t (s)
60
for 0° < x < 360° on the square grids provided. Hence, (a) Nyatakan fungsi trigonometri yang mewakili
mark ⊗ on the points of intersection of the two graphs. tinggi pedal basikal itu daripada tanah, H
Jawapan / Answer : dengan masa, t.
y y = kos 3 x + 1 y = kos 2x + 1 State the trigonometric function that represents the
2 2 height of the bicycle pedal from the ground, H and
time, t.
1
(b) Berapakah diameter putaran pedal basikal
itu?
What is the diameter of the bicycle pedal rotation?
x Jawapan / Answer :
0 60° 120° 180° 240° 300° 360° 40 – 20
(a) a = 2 = 10 ∴ H = 10 kos 24t + 30
H = 10 cos 24t + 30
b = 360 = 24
60 ÷ 4
c = 10 + 20 = 30
2. Rajah berikut menunjukkan tinggi pedal sebuah
(b) Diameter putaran pedal basikal
basikal semasa dikayuh pada laju seragam dalam
Diameter of the bicycle pedal rotation
tempoh seminit.
= 40 – 20 = 20 cm
The diagram shows the height of a bicycle pedal while
pedalling at a constant speed in a minute.
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
BAB 6 Populasi satu spesis ikan di sebuah tasik diwakili Jawapan / Answer :
oleh fungsi P(t) = 4 800 sin t + 6 400, dengan P ialah (a) Populasi maksimum ikan / Maximum fish population
populasi ikan, t ialah masa dalam hari dan 0 < t < 360. = 4 800 + 6 400 = 11 200
Populasi minimum ikan / Minimum fish population
The population of a species of fish in a lake is represented = –4 800 + 6 400 = 1 600
by function P(t) = 4 800 sin t + 6 400, where P is the fish
population, t is the time in days and 0 < t < 360. (b) t = 0, 180, 360
(a) Hitung populasi maksimum dan minimum ikan (c) 4 800 sin t + 6 400 = 1 889
itu.
sin t = –0.9398
Calculate the maximum and minimum population of
the fish. a = sin–1 0.9398
= 70
(b) Pada hari keberapakah populasi ikan mencapai
6 400 ekor? ∴ t = 180 + 70, 360 – 70 Kuiz 6
= 250, 290
During which days did the fish population reach 6 400?
(c) Hitung nilai-nilai t apabila terdapat 1 889 ekor
ikan.
Calculate the values of t when there was 1 889 fishes.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 94
BAB Sukatan Serakan Data Terkumpul
7 Measures of Dispersion for Grouped Data
7.1 Serakan
Dispersion
NOTA IMBASAN
1. Bagi satu data tak terkumpul, saiz selang kelas (ii) Seragam / Uniform
= Nilai data terbesar – Nilai data terkecil Kekerapan
Bilangan kelas Frequency
For an ungrouped data, the size of class interval
= Largest data value – Smallest data value
Number of classes
2. Bagi setiap selang kelas, / For each of class interval, Pemboleh ubah/Variable
(b) Pencong / Skewed
(a) Had bawah ialah nilai terkecil dan had atas ialah nilai
(i) Pencong ke kanan / Skew to the right
terbesar dalam selang kelas.
Pemboleh ubah /Variable
Lower limit is the smallest value and upper limit is the largest (ii) Pencong ke kiri / Skew to the left
value in class interval. Kekerapan
Frequency
(b) Titik tengah = Had bawah + Had atas
2
Lower limit + Upper limit
Midpoint = 2
(c) Sempadan bawah
= Had atas kelas sebelumnya + Had bawah kelas itu
2
Lower boundary + Lower Kekerapan
Upper limit of the class before it limit of the class Frequency
= 2
(d) Sempadan atas
= Had atas kelas itu + Had bawah kelas selepasnya Pemboleh ubah/Variable
2
5. Bagi suatu set data terkumpul dengan N data, kuartil
Upper boundary dapat ditentukan daripada ogif. Ogif ialah graf
Upper limit of the class + Lower limit of the class after it kekerapan longgokan.
= 2 For a set of grouped data with N data, quartiles can be
determined from ogive. Ogive is a cumulative frequency graph.
3. Bagi suatu data terkumpul, saiz selang kelas
Kekerapan longgokan
= sempadan atas – sempadan bawah Cumulative frequency
For a grouped data, the size of class interval N
= upper boundary – lower boundary –43 N
–12 N
4. Bentuk taburan data / The shapes of data distribution –41 N
(a) Simetri / Symmetrical
(i) Bentuk loceng / Bell-shaped
Kekerapan 0 Q1 Q2 Q3 Sempadan atas
Frequency Upper boundary
Pemboleh ubah /Variable
95 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
1. Berdasarkan set data dan bilangan kelas yang diberikan, bina jadual kekerapan dan nyatakan had bawah, had
atas, titik tengah, sempadan bawah dan sempadan atas. TP 1 TP 2
Based on the set of data and the number of classes given, construct a frequency table and state the lower limit, upper limit,
midpoint, lower boundary and upper boundary.
CONTOH
Markah murid: Markah Kekerapan Had Had Titik Sempadan Sempadan
Marks Frequency bawah atas tengah bawah atas
Pupils’ marks: 60 – 69 Lower Upper Midpoint Lower Upper
3 limit
89 75 74 67 70 – 79 limit 69 60 + 69 boundary boundary
91 81 88 90 6 60 2
97 99 72 61 80 – 89 79 59 + 60 69 + 70
67 81 83 84 7 70 = 64.5 2 2
78 71 86 78 90 – 99 89
4 80 70 + 79 = 59.5 = 69.5
Bilangan kelas = 4 99 2
90 69 + 70 79 + 80
Number of classes = 4 = 74.5 2 2
Penyelesaian: 80 + 89 = 69.5 = 79.5
2
Saiz selang kelas 79 + 80 89 + 90
= 84.5 2 2
Size of class interval
99 – 61 90 + 99 = 79.5 = 89.5
= 4 2
89 + 90 99 + 100
= 9.5 ≈ 10 = 94.5 2 2
= 89.5 = 99.5
(a) Harga makanan (RM):
Prices of food (RM):
1.20 3.10 5.80 Harga Had Had Titik Sempadan Sempadan
4.40 2.10 2.90 Price tengah bawah atas
4.90 2.50 4.80 Kekerapan bawah atas Midpoint Lower Upper
2.70 2.40 1.80 (RM) Frequency Lower Upper
3.70 1.30 1.90 limit 1.00 + 1.90 boundary boundary
1.00 3.00 2.80 limit 2
3.60 4.00 0.90 + 1.00 1.90 + 2.00
1.00 – 1.90 5 1.00 1.90 = 1.45 2 2
Bilangan kelas = 5 2.00 – 2.90 6 2.00 2.90 2.00 + 2.90 = 0.95 = 1.95
2
Number of classes = 5 1.90 + 2.00 2.90 + 3.00
= 2.45 2 2
BAB 7 Saiz selang kelas 3.00 – 3.90 4 3.00 3.90
3.00 + 3.90 = 1.95 = 2.95
Size of class interval 2
2.90 + 3.00 3.90 + 4.00
= 5.80 – 1.00 = 3.45 2 2
5
4.00 + 4.90 = 2.95 = 3.95
= 0.96 ≈ 1 4.00 – 4.90 4 4.00 4.90 2
3.90 + 4.00 4.90 + 5.00
5.00 – 5.90 1 5.00 5.90 = 4.45 2 2
5.00 + 5.90 = 3.95 = 4.95
2
4.90 + 5.00 5.90 + 6.00
= 5.45 2 2
= 4.95 = 5.95
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 96
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
2. Lengkapkan setiap jadual kekerapan longgokan yang berikut. TP 2 Kekerapakan longgokan bagi
suatu selang kelas ialah hasil
Complete each of the following cumulative frequency tables. tambah kekerapan bagi kelas
itu dengan jumlah kekerapan
CONTOH bagi kelas-kelas sebelumnya.
Cumulative frequency of a class
Saiz / Size 0.5 – 0.9 1.0 – 1.4 1.5 – 1.9 2.0 – 2.4 interval is the sum of the frequency
Kekerapan / Frequency 3 +6 +2 +5 of the class with the total frequency
Kekerapan longgokan of the classes before it.
3 9 11 16
Cumulative frequency
3+6=9 9 + 2 = 11 11 + 5 = 16
(a) (b)
Diameter (mm) Kekerapan Kekerapan Jisim (kg) Kekerapan Kekerapan
Diameter (mm) Frequency longgokan longgokan
Mass (kg) Frequency
100 – 109 4 Cumulative Cumulative
110 – 119 2 frequency 40.0 – 44.9 8 frequency
120 – 129 9 45.0 – 49.9 7
130 – 139 4 4 50.0 – 54.9 3 8
140 – 149 3 55.0 – 59.9 5
150 – 159 3 6 60.0 – 64.9 6 15
65.0 – 69.9 1
15 18
19 23
22 29
25 30
3. Lukis histogram dan poligon kekerapan pada graf yang sama menggunakan skala yang dinyatakan. TP 3
Draw a histogram and frequency polygon on the same graph using stated scale.
CONTOH
Skor Bilangan Sempadan Sempadan Titik Kekerapan/Frequency 2 cm
tengah 12 2 cm
Score murid bawah atas
Midpoint
Number of Lower Upper
pupils boundary boundary
1 – 10 6 0.5 10.5 5.5 10 BAB 7
11 – 20 9 10.5 20.5 15.5
21 – 30 11 20.5 30.5 25.5 8
31 – 40 12 30.5 40.5 35.5
41 – 50 10 40.5 50.5 45.5 6
51 – 60 7 50.5 60.5 55.5
Skala 2 cm kepada 10 skor pada paksi mengufuk 4 0.5 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5
dan 2 cm kepada 2 orang murid pada paksi 2
mencancang. 0
Scale of 2 cm to 10 score on the horizontal axis and 2 cm
to 2 pupils on the vertical axis.
Skor/Score
NOTA
97 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(a) 7–9 10 – 12 13 – 15 16 – 18 19 – 21 22 – 24
Panjang / Length (cm) 6 8 7 5 4 2
Bilangan utas reben / Number of ribbons 6.5 9.5
Sempadan bawah / Lower boundary 9.5 12.5 15.5 18.5 21.5
Sempadan atas / Upper boundary 8 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5
Titik tengah / Midpoint 11 14 17 20 23
Gunakan skala 2 cm kepada 3 cm pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada seutas reben pada paksi mencancang.
Use a scale of 2 cm to 3 cm on the horizontal axis and 2 cm to a ribbon on the vertical axis.
2 cm
Kekerapan /Frequency 2 cm
8
7
6
5
4
3
2
1
0 6.5 9.5 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5
Panjang/Length (cm)
(b) Bilangan Sempadan Sempadan Titik Kekerapan/Frequency 2 cm
tengah 12 2 cm
Masa pelanggan bawah atas 10
BAB 7 Midpoint
Time Number of Lower Upper 8
customers boundary boundary 6
(min) 4
10 49.5 59.5 54.5
50 – 59
60 – 69 11 59.5 69.5 64.5
70 – 79
80 – 89 11 69.5 79.5 74.5
90 – 99
10 79.5 89.5 84.5
11 89.5 99.5 94.5
Gunakan skala 2 cm kepada 10 minit pada paksi 2 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5
mengufuk dan 2 cm kepada 2 orang pelanggan pada paksi 0 Masa/Time (min)
mencancang.
Use a scale of 2 cm to 10 minutes on the horizontal axis and 2 cm
to 2 customers on the vertical axis.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 98
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
4. Bina poligon kekerapan bagi data berikut. TP 3
Construct a frequency polygon of the following data.
CONTOH
Isi padu (liter) 5.0 – 5.4 5.5 – 5.9 6.0 – 6.4 6.5 – 6.9 7.0 – 7.4 7.5 – 7.9
3 6 7 10 12 8
Volume (litres)
Bilangan botol
Number of bottles
Gunakan skala 2 cm kepada 0.5 liter pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 2 biji botol pada paksi
mencancang.
Use a scale of 2 cm to 0.5 litre on the horizontal axis and 2 cm to 2 bottles on the vertical axis.
Penyelesaian: Bilangan botol Titik tengah Selang kelas dengan
kekerapan 0.
Isi padu (liter) Number of bottles Midpoint Class interval with 0
frequency.
Volume (litres) 0 4.7
3 5.2
4.5 – 4.9 6 5.7
5.0 – 5.4 7 6.2
5.5 – 5.9 10 6.7
6.0 – 6.4 12 7.2
6.5 – 6.9 8 7.7
7.0 – 7.4 0 8.2
7.5 – 7.9
8.0 – 8.4
2 cm
Kekerapan /Frequency 2 cm
12
Tip
10 Membina poligon kekerapan tanpa histogram: BAB 7
8 Construct a frequency polygon without histogram:
6
4 Tambah satu selang kelas dengan kekerapan
2 0 sebelum selang kelas pertama dan selepas
selang kelas terakhir.
0 4.7 5.2 5.7 6.2 6.7 7.2 7.7 8.2
Isi padu (liter) / Volume (litres) Add a class interval with 0 frequency before the
first class interval and after the last class interval.
Hitung titik tengah setiap selang kelas.
Calculate the midpoint of each class interval.
Wakilkan kekerapan pada paksi mencancang
dan titik tengah pada paksi mengufuk.
Represent the frequency on the vertical axis and
the midpoint on the horizontal axis.
Tandakan titik tengah dengan kekerapannya.
Mark the midpoint with its frequency.
Lukis garis lurus yang menyambungkan
titik-titik tengah itu.
Draw straight lines that connect the midpoints.
99 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(a) Masa (jam) 3–5 6–8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20
15 30 40 35 30 20
Time (hours)
Bilangan mentol
Number of bulbs
Gunakan skala 2 cm kepada 3 jam pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 5 biji mentol pada paksi
mencancang.
Use a scale of 2 cm to 3 cm on the horizontal axis and 2 cm to 5 bulbs on the vertical axis.
Masa (jam) Bilangan mentol Titik tengah
Time (hours) Number of bulbs Midpoint
0–2 0 1
3–5 15 4
6–8 30 7
9 – 11 40 10
12 – 14 35 13
15 – 17 30 16
18 – 20 20 19
21 – 23 0 22
Kekerapan/Frequency 2 cm
40
2 cm
35
30
25
BAB 7 20
15
10
5
0 1 4 7 10 13 16 19 22
Masa (jam) / Time (hour)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 100
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
5. Selesaikan setiap yang berikut. TP 3
Solve each of the following.
CONTOH
Histogram di bawah menunjukkan harga bagi 65 jenama pen yang dijual di kedai P dan Kedai Q.
Histograms below show the prices of 65 brands of pens sold in shop P and shop Q.
Harga Pen di kedai P / Price of Pens in shop P Harga Pen di kedai Q/Prices of Pens in shop Q
Bilangan pen/Number of pens Bilangan pen /Number of pens
20 20
15 15
10 10
55
0 0 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75
1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 Harga (RM) / Price (RM)
Harga (RM) /Price (RM)
(i) Nyatakan bentuk taburan histogram bagi kedua-dua kedai itu.
State the shape of distribution of both shops.
(ii) Kedai yang manakah mempunyai serakan harga pen yang lebih luas? Berikan sebab anda.
Which shop has a wider dipersion of price of pens? Give your reason.
(iii) Cikgu Kamal ingin membeli pen berharga antara RM1.00 dengan RM2.00 untuk dihadiahkan kepada
muridnya. Kedai yang manakah mempunyai lebih banyak pilihan pen untuk dibeli oleh Cikgu Kamal?
Cikgu Kamal wants to buy pens of price between RM1.00 and RM2.00 to be gifted to his pupils. Which shop has more
variety of pens to be bought by Cikgu Kamal?
Penyelesaian:
(i) Bentuk taburan histogram bagi kedai P ialah pencong ke kanan manakala bagi kedai Q ialah pencong
ke kiri.
The shape of distribution for shop P is skew to the right whereas for shop Q is skew to the left.
(ii) Serakan harga pen kedai P lebih luas daripada kedai Q kerana beza harga pen lebih besar.
The dispersion of price of pen in shop P is wider than shop Q because the different of prices of pen is larger.
(iii) Kedai P kerana jenama bagi pen berharga antara RM1.00 dengan RM2.00 mempunyai lebih banyak
pilihan berbanding kedai Q.
Shop P because the brands of pen for price between RM1.00 and RM2.00 has more variety compared to shop Q.
(a) Histogram di bawah menunjukkan jisim bagi pesakit dalam dua kumpulan yang berbeza. BAB 7
The histograms below show the masses of patients in two different groups.
Jisim Pesakit Kumpulan A Jisim Pesakit Kumpulan B
Masses of Patients in Group A Masses of Patients in Group B
Bilangan pesakit/Number of patients Bilangan pesakit/Number of patients
40 40
30 30
20 20
10 10
0 0 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5
54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5 Jisim (kg) / Mass (kg)
Jisim (kg) / Mass (kg)
101 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(i) Nyatakan bentuk taburan histogram bagi kedua-dua kumpulan pesakit itu.
State the shape of distribution of both groups of patients.
(ii) Kumpulan pesakit yang manakah mempunyai serakan jisim yang lebih luas? Berikan sebab anda.
Which group of patients has a wider dipersion of mass? Give your reason.
(iii) Sekiranya salah satu kumpulan perlu mengikuti satu aktiviti senaman mengurangkan berat badan,
kumpulan yang manakah paling sesuai mengikuti aktiviti itu? Berikan justifikasi anda.
If one of the groups has to follow an activity to reduce body weight, which group is more suitable to follow the
activity? Give your justification.
(i) Bentuk taburan histogram bagi kumpulan A adalah sedikit pencong ke kiri manakala bagi kumpulan
B ialah bentuk loceng.
The shape of distribution of group A is slightly skew to the left whereas group B is bell-shaped.
(ii) Serakan jisim kumpulan B lebih luas daripada kumpulan A kerana beza jisimnya adalah lebih
besar.
The dispersion of group B is wider than group A because the different of the masses is larger.
(iii) Pesakit dalam kumpulan A kerana kebanyakan jisim pesakit dalam kumpulan itu lebih besar
berbanding kumpulan B.
Patients in group A because most of the masses of patients in the group are larger than in group B.
(b) Poligon kekerapan di bawah menunjukkan umur pelanggan yang menonton filem di dewan M dan
dewan N dalam sebuah pawagam pada suatu masa tertentu.
The frequency polygons below show the ages of customers watching film in hall M and hall N in a cinema at a certain
time.
Umur Pelanggan di Dewan M dan Dewan N
Age of Customers in Hall M and Hall N
Bilangan pelanggan/Number of customers
50 Dewan N
Hall N
40
Dewan M
30 Hall M
20
10
BAB 7 0
2 7 12 17 22 27 32 37
Umur (tahun) / Age (years old)
(i) Nyatakan bentuk taburan data bagi kedua-dua data itu.
State the shape of data distribution of both data.
(ii) Dewan yang manakah mempunyai serakan umur pelanggan yang lebih luas? Berikan sebab anda.
Which hall has a wider dipersion of ages of customers? Give your reason.
(iii) Pada pendapat anda, dewan yang manakah menayangkan filem kanak-kanak? Berikan justifikasi
anda.
In your opinion, which hall is showing a children’s film? Give your justification.
(i) Bentuk taburan data di dewan M ialah pencong ke kanan manakala di dewan N ialah hampir
seragam.
The shape of data distribution in hall M is skew to the right whereas in hall N is approximately uniform.
(ii) Serakan umur pelanggan di dewan M lebih luas daripada dewan N kerana beza umurnya adalah
lebih besar.
The dipersion of ages of customers in hall M is wider than in hall N because the different of the ages is larger.
(iii) Dewan M kerana kebanyakan umur pelanggannya adalah lebih muda.
Hall M because most of the customers’ ages are younger.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 102
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
6. Bina satu ogif bagi setiap data berikut. TP 3
Construct an ogive for each of the following data.
CONTOH
Jisim (g) / Mass (g) 100 – 199 200 – 299 300 – 399 400 – 499 500 – 599 600 – 699
Bilangan mangga 2 5 6 4 2 1
Number of mangoes
Gunakan skala 2 cm kepada 100 g pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 2 biji mangga pada paksi mencancang.
Use a scale of 2 cm to 100 g on the horizontal axis and 2 cm to 2 mangoes on the vertical axis.
Penyelesaian:
Jisim (g) Kekerapan Sempadan atas Kekerapan longgokan Selang kelas dengan
kekerapan 0.
Mass (g) Frequency Upper boundary Cumulative frequency Class interval with 0
frequency.
0 – 99 0 99.5 0
100 – 199 2 199.5 2
200 – 299 5 299.5 7
300 – 399 6 399.5 13
400 – 499 4 499.5 17
500 – 599 2 599.5 19
600 – 699 1 699.5 20
2 cm
Kekerapan longgokan /Cumulative frequency 2 cm
20
18
16 BAB 7
Tip
14
Membina ogif:
Contruct an ogive:
12 Tambah satu selang kelas sebelum kelas pertama
dengan kekerapan 0. Kemudian, hitung sempadan
atas dan kekerapan longgokan.
10 Add a class interval before the first class with 0 frequency.
Hence, calculate the upper boundaries and cumulative
frequencies.
8 Wakilkan kekerapan longgokan pada paksi
mencangcang dan sempadan atas pada paksi
mengufuk.
6 Represent the cumulative frequency on the vertical axis
and upper boundary on the horizontal axis.
Tandakan sempadan atas dengan kekerapan
4 longgokan.
Mark the upper boundary and the cumulative frequency.
Lukis lengkung licin yang melalui semua titik itu.
2 Draw a smooth curve that passes through all the points.
0 99.5 199.5 299.5 399.5 499.5 599.5 699.5
Jisim (g) / Mass (g)
103 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(a)
Wang saku (RM) 10 – 13 14 – 17 18 – 21 22 – 25 26 – 29 30 – 33
Pocket money (RM)
Bilangan murid 3 6 7 8 6 3
Number of pupils
Gunakan skala 2 cm kepada RM4 pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 5 orang murid pada paksi
mencancang.
Use a scale of 2 cm to RM4 on the horizontal axis and 2 cm to 5 pupils on the vertical axis.
Wang saku (RM) Kekerapan Sempadan atas Kekerapan longgokan
Pocket money (RM) Frequency Upper boundary Cumulative frequency
6–9 0 9.5 0
10 – 13 3 13.5 3
14 – 17 6 17.5 9
18 – 21 7 21.5 16
22 – 25 8 25.5 24
26 – 29 6 29.5 30
30 – 33 3 33.5 33
Kekerapan longgokan /Cumulative frequency 2 cm
35 2 cm
30
25
20
BAB 7 15
10
5
0 9.5 13.5 17.5 21.5 25.5 29.5 33.5
Wang saku (RM) / Pocket money (RM)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 104
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(b) 13 – 15 16 – 18 19 – 21 22 – 24 25 – 27 28 – 30
Umur (tahun) 8 10 12 9 6 2
Age (years old)
Bilangan pengguna
Number of users
Gunakan skala 2 cm kepada 3 tahun pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 5 orang pengguna pada
paksi mencancang.
Use a scale of 2 cm to 3 years old on the horizontal axis and 2 cm to 5 users on the vertical axis.
Umur (tahun) Kekerapan Sempadan atas Kekerapan longgokan
Age (years old) Frequency Upper boundary Cumulative frequency
10 – 12 0 12.5 0
13 – 15 8 15.5 8
16 – 18 10 18.5 18
19 – 21 12 21.5 30
22 – 24 9 24.5 39
25 – 27 6 27.5 45
28 – 30 2 30.5 47
Kekerapan longgokan /Cumulative frequency 2 cm
50 2 cm
45
40
35
30
25 BAB 7
20
15
10
5
0 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5
Umur (tahun) / Age (years old)
105 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
7. Hitung kuartil pertama, median dan kuartil ketiga bagi setiap data berikut. Kemudian, nyatakan maksud nilai-
nilai yang diperoleh. TP 3
Calculate the first quartile, median and third quartile of each of the following data. Hence, state the meaning of the values
obtained.
CONTOH
Ogif berikut menunjukkan mata yang diperoleh sekumpulan murid dalam suatu permainan.
The ogive shows the points obtained by a group of pupils in a game.
Penyelesaian: Kekerapan longgokan /Cumulative frequency
40
1 × 40 = 10
4
Kuartil pertama / First quartile, Q1 = 20.5 35 3 N
Terdapat 10 orang murid memperoleh mata kurang daripada 4
atau sama dengan 20.5. 30
There are 10 pupils who obtained point of less than or equal to 20.5.
1 × 40 = 20 25 1 N
2 2
Median, Q2 = 30.5 20
Terdapat 20 orang murid memperoleh mata kurang daripada
15 1
atau sama dengan 30.5. 4 N
There are 20 pupils who obtained point of less than or equal to 30.5. 10
3 × 40 = 30 5
4
Kuartil ketiga / Third quartile, Q3 = 40.5 0 20.5 30.5 40.5 69.5
Terdapat 30 orang murid memperoleh mata kurang daripada 9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5
Mata / Point
atau sama dengan 40.5.
There are 30 pupils who obtained point of less than or equal to 40.5.
(a) Ogif berikut menunjukkan upah yang diperoleh sekumpulan pekerja dalam sebuah syarikat.
The ogive shows the wages obtained by a group of workers in a company.
1
4 × 80 = 20
Kuartil pertama / First quartile, Q1 = RM274.50 Kekerapan longgokan /Cumulative frequency
Terdapat 20 orang pekerja memperoleh upah kurang 80
daripada atau sama dengan RM274.50.
There are 20 workers obtained wages of less than or equal to
RM274.50. 70
BAB 7 1 × 80 = 40 60
2 50
40
Median, Q2 = RM399.50 30
Terdapat 40 orang pekerja memperoleh upah kurang
daripada atau sama dengan RM399.50.
There are 40 workers obtained wages of less than or equal to
RM399.50.
3 × 80 = 60 20
4
Kuartil ketiga / Third quartile, Q3 = RM484.50
Terdapat 60 orang pekerja memperoleh upah kurang 10
daripada atau sama dengan RM484.50. 274.5 484.5
There are 60 workers obtained wages of less than or equal to 0 99.5 199.5 299.5 399.5 499.5 599.5 699.5
RM484.50. Upah (RM) / Wages (RM)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 106
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(b) Ogif berikut menunjukkan masa menunggu sekumpulan pelanggan di pandu lalu sebuah restoran.
The ogive shows the waiting time by a group of customers in a drive-thru of a restaurant.
1 × 100 = 25 Kekerapan longgokan /Cumulative frequency
4
Kuartil pertama / First quartile, Q1 = 158 min 100
Terdapat 25 orang pelanggan menunggu kurang daripada
atau sama dengan 158 minit. 80
There are 25 customers wait for less than or equal to 158 minutes.
1 × 100 = 50 60
2 40
20
Median, Q2 = 163.5 min
Terdapat 50 orang pelanggan menunggu kurang daripada
atau sama dengan 163.5 minit.
There are 50 customers wait for less than or equal to 163.5 minutes.
158 163.5 169
3 × 100 = 75 0 150.5 155.5 160.5 165.5 170.5 175.5 180.5
4 Masa (min) / Time (min)
Kuartil ketiga / Third quartile, Q3 = 169 min
Terdapat 75 orang pelanggan menunggu kurang daripada atau sama dengan 169 minit.
There are 75 customers wait for less than or equal to 169 minutes.
8. Selesaikan. TP 3
Solve.
CONTOH
Jadual kekerapan di bawah menunjukkan yuran keahlian beberapa buah gim di sebuah daerah.
The frequency table below shows the member fees of some gyms in a district.
Yuran (RM) 51 – 70 71 – 90 91 – 110 111 – 130 131 – 150
1 3 4 3 1
Fee (RM)
Kekerapan
Frequency
(i) Bina satu histogram longgokan bagi data di atas menggunakan skala 2 cm kepada RM20 pada paksi BAB 7
mengufuk dan 2 cm kepada 2 buah gim pada paksi mencancang.
Construct a cumulative histogram of the data above using a scale of 2 cm to RM20 on the horizontal axis and 2 cm to
2 gyms on the vertical axis.
(ii) Kemudian, bina satu ogif pada graf yang sama.
Hence, construct an ogive on the same graph.
Penyelesaian:
Yuran (RM) Kekerapan Sempadan bawah Sempadan atas Kekerapan longgokan
Fee (RM) Frequency Lower boundary Upper boundary Cumulative frequency
51 – 70 1 50.5 70.5 1
71 – 90 3 70.5 90.5 4
91 – 110 4 90.5 110.5 8
111 – 130 3 110.5 130.5 11
131 – 150 1 130.5 150.5 12
107 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
Kekerapan longgokan/Cumulative frequency 2 cm Tip
12 2 cm
Bagi membina histogram longgokan, wakilkan
10 sempadan bawah dan sempadan atas pada
paksi mengufuk dan kekerapan longgokan
8 pada paksi mencancang.
To construct a cumulative histogram, represent
the lower boundary and upper boundary on the
horizontal axis and the cumulative frequency on the
vertical axis.
6
4
2
0 50.5 70.5 90.5 110.5 130.5 150.5
Yuran (RM) / Fee (RM)
(a) Jadual kekerapan menunjukkan jarak yang dilalui oleh beberapa Jarak (km) Kekerapan
buah kereta dalam satu hari. Distance (km) Frequency
The frequency table shows the distance travelled by some cars in a day. 15 – 19 3
20 – 24 6
(i) Bina satu histogram longgokan bagi data tersebut menggunakan 25 – 29 14
30 – 34 5
skala 2 cm kepada 5 km pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 35 – 39 2
5 buah kereta pada paksi mencancang. 2 cm
Construct a cumulative histogram of the data using a scale of 2 cm to 2 cm
5 km on the horizontal axis and 2 cm to 5 cars on the vertical axis.
(ii) Kemudian, bina satu ogif pada graf yang sama.
Hence, construct an ogive on the same graph.
Jarak Sempadan Sempadan Kekerapan Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
30
Distance bawah atas longgokan
Lower Upper Cumulative 25
(km)
boundary boundary frequency
BAB 7 15 – 19 14.5 19.5 3
20 – 24 19.5 24.5 9 20
25 – 29 24.5 29.5 23 15
30 – 34 29.5 34.5 28 10
35 – 39 34.5 39.5 30 5
0
14.5 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5
Jarak yang dilalui (km) / Distance travelled (km)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 108
9. Selesaikan. TP 3 Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
Solve. (a) Ogif di bawah menunjukkan jarak lontaran bagi
lontar peluru oleh sekumpulan atlet.
CONTOH
The ogive below shows the distance of shot put by a
Ogif di bawah menunjukkan jisim bola yang dijual group of athletes.
di sebuah kedai.
Kekerapan longgokan /Cumulative frequency
The ogive below shows the masses of balls sold in a shop. 20
Kekerapan longgokan/Cumulative frequency
50
40 15
30 10
20 5
10 419.5 519.5
0 199.5 299.5 399.5 499.5 599.5 699.5
360.5 530.5 620.5 Jarak lontar peluru (cm) / Distance of shot put (cm)
0 200.5 300.5 400.5 500.5 600.5 700.5 800.5
Jisim (g) / Mass (g) (i) Berdasarkan ogif tersebut, hitung
(i) Berdasarkan ogif tersebut, hitung Based on the ogive, calculate
Based on the ogive, calculate (a) persentil ke-45, / 45th percentile, P45
(b) persentil ke-80, / 80th percentile, P80
(a) persentil ke-30, / 30th percentile, P30 (ii) Atlet dengan jarak lontaran sekurang-kurangnya
(b) persentil ke-68, / 68th percentile, P68
(ii) Bola berkualiti gred A mempunyai persentil 5 m layak ke pusingan akhir. Berapakah bilangan
ke-86 dan ke atas. Berapakah jisim minimum atlet yang layak ke pusingan akhir?
bola gred A? An athlete with the distance of at least 5 m is qualified
to the final. How many athletes are qualified to the
An A-grade ball has 86th percentile and above. What final?
is the minimum mass of grade A ball?
(iii) Anggarkan peratusan atlet melontar lebih
(iii) Berapakah peratusan bola itu mempunyai
daripada 4.6 m?
jisim kurang daripada 360.5 g?
Estimate the percentage of the athletes who can throw
What is the percentage of the ball with mass of less more than 4.6 m?
than 360.5 g?
Penyelesaian: (i) (a) 14050 × 20 = 9
(i) (a) 13000 × 50 = 15 Daripada ogif / From the ogive, P45 = 419.5 g
Daripada ogif / From the ogive, P30 = 400.5 g (b) 80 × 20 = 16
68 100
(b) 100 × 50 = 34 BAB 7
Daripada ogif / From the ogive, P80 = 519.5 g
Daripada ogif / From the ogive, P68 = 530.5 g
86
(ii) 100 × 50 = 43 (ii) Bilangan atlet dengan jarak lontaran sekurang-
kurangnya 5 m
P86 = 620.5 g
Maka, bola gred A mempunyai jisim minimum Number of athletes with the distance of throw at least
620.5 g. 5m
Thus, grade-A ball has a minimum mass of 620.5 g. = 20 – 15
= 5 orang atlet / athletes
(iii) 5110 × 100 = 22%
Maka, 22% bola mempunyai jisim kurang (iii) 20 – 12 = 8
daripada 360.5 g. 8 × 100 = 40%
20
Thus, 22% of the balls have mass of less than 360.5 g.
109 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
7.2 Sukatan Serakan
Measures of Dispersion
NOTA IMBASAN
1. Julat / Range 5. Bentuk taburan data berdasarkan plot kotak:
Shapes of distribution of data based on boxplot:
titik tengah titik tengah
kelas tertinggi kelas terendah
= – (a) Simetri / Symmetrical
Sungut Sungut
midpoint of the – midpoint of the Whisker Whisker
highest class lowest class
2. Julat antara kuartil ditentukan daripada ogif.
Interquartile range is determined from an ogive. (b) Pencong ke kanan / Skew to the right
(i)
Julat antara kuartil / Interquartile range
= Q3 – Q1 (ii)
3. Varians / Variance (c) Pencong ke kiri / Skew to the left
(i)
2 = fx2 – –x2 dengan keadaan / where
f x : titik tengah bagi selang kelas (ii)
midpoint of class interval
4. Sisihan piawai
Standard deviation f : kekerapan / frequency
–x : min / mean
= fx2 – –x2
f
10. Hitung julat bagi setiap data berikut. TP 3
Calculate the range of each of the following data.
CONTOH (a) (b)
BAB 7 Tinggi (cm) Kekerapan Harga (RM) Kekerapan Jarak (km) Kekerapan
Height (cm) Frequency Price (RM) Frequency Distance (km) Frequency
120 – 129 2 1 – 200 5 11 – 20 7
130 – 139 5 201 – 400 8 21 – 30 13
140 – 149 11 401 – 600 15 31 – 40 25
150 – 159 18 601 – 800 9 41 – 50 19
160 – 169 14 801 – 1 000 3 51 – 60 10
170 – 179 3 61 – 70 6
Penyelesaian: Julat / Range
801 +1 000 1 + 200
= 2 – 2 Julat / Range
Julat / Range 61 + 70 11 + 20
170 + 179 – 120 + 129 = 900.5 – 100.5 = 2 – 2
= 2 2
= RM800 = 65.5 – 15.5
= 174.5 – 124.5 = 50 km
= 50 cm
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 110
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
11. Hitung julat antara kuartil bagi data berikut. TP 3 (a)
Calculate the interquartile range of the following data. Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
CONTOH 120
Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
60
50 100
40 80
30 60
20 40
10 20
22.5 36.5 0 47.5 67
0 0.5 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5
Markah / Marks Diameter (cm)
Penyelesaian: 3 1 × 120 = 30 3 × 120 = 90
1 4 4 4
4 × 60 = 15 × 60 = 45
Q1 = 22.5 Q3 = 36.5 Q1 = 47.5 Q3 = 67
Julat antara kuartil / Interquartile range Julat antara kuartil / Interquartile range
= Q3 – Q1
= Q3 – Q1 = 67 – 47.5
= 36.5 – 22.5 = 19.5 cm
= 14
12. Hitung varians dan sisihan piawai bagi setiap data berikut. TP 4 Tip
Calculate the variance and standard deviation of each of the following data.
CONTOH
Jejari (cm) / Radius (cm) 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 Min / Mean, x–
Kekerapan / Frequency 6 7 14 11 2 = fx BAB 7
f
Penyelesaian: Varians / Variance, σ2
fx2
Jejari (cm) Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 = f – –x2
Radius (cm) Frequency, f Midpoint, x Sisihan piawai, σ
Standard deviation, σ
15 – 19 6 17 102 1 734 = σ2
20 – 24 7 22 154 3 388
29 330 1 060 2
40 40
25 – 29 14 27 378 10 206 σ2 = –
30 – 34 11 32 352 11 264 = 31
35 – 39 2 37 74 2 738 σ = 31
= 5.568
f = 40 fx = 1 060 fx2 = 29 330
111 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(a) 5–9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29
6 11 12 7 4
Panjang (cm) / Length (cm)
Kekerapan / Frequency
11 650 640 2
40 40
Panjang (cm) Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 σ2 = –
Length (cm) Frequency, f Midpoint, x
42 294 = 35.25
5–9 6 7 132 1 584
204 3 468
10 – 14 11 12 154 3 388 σ = 32.25
108 2 916 = 5.937
15 – 19 12 17 fx = 640 fx2 = 11 650
20 – 24 7 22
25 – 29 4 27
f = 40
(b) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50
8 13 10 9 7 3
Perbelanjaan (RM) / Expenses (RM)
Kekerapan / Frequency
58 165 1 665 2
50 50
Perbelanjaan Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 σ2 = –
Expenses Frequency, f Midpoint, x 184 4 232 = 54.41
364 10 192
(RM) 330 10 890
342 12 996
21 – 25 8 23 301 12 943 σ = 54.41
144 6 912 = 7.376
26 – 30 13 28 fx = 1 665 fx2 = 58 165
31 – 35 10 33
36 – 40 9 38
41 – 45 7 43
46 – 50 3 48
f = 50
BAB 7 (c) 0.20 – 0.29 0.30 – 0.39 0.40 – 0.49 0.50 – 0.59 0.60 – 0.69
7 13 17 15 8
Jisim (kg) / Mass (kg)
Kekerapan / Frequency
13.1175 27.1 2
60 60
Jisim (kg) Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 σ2 = –
Frequency, f Midpoint, x
Mass (kg) 1.715 0.4202 = 0.0146
7 0.245 4.485 1.5473
0.20 – 0.29 7.565 3.3664
0.30 – 0.39 13 0.345 8.175 4.4554 σ = 0.0146
0.40 – 0.49 5.16 3.3282 = 0.1209
0.50 – 0.59 17 0.445 fx = 27.1 fx2 = 13.1175
0.60 – 0.69
15 0.545
8 0.645
f = 60
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 112
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
13. Bina satu plot kotak berdasarkan setiap ogif berikut. Seterusnya, nyatakan bentuk taburan data tersebut. TP 4
Contruct a boxplot based on each of the following ogives. Hence, state the shape of distribution of the data.
CONTOH Penyelesaian:
Kekerapan longgokan / Cumulative frequency Daripada ogif / From the ogive:
12
10 Nilai minimum / Minimum value = 9.5
8 Nilai maksimum / Maximum value = 39.5
6 1 1 3
4 × 12 = 3 2 × 12 = 6 4 × 12 = 9
Q1 = 18.5 Q2 = 23 Q3 = 27.5
4 9.5 14.5 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5
Skor / Score
2
18.5 23 27.5 Taburan data ini ialah pencong ke kanan.
0 The distribution of the data is skew to the right.
9.5 14.5 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5
Skor / Score
(a) Kekerapan longgokan / Cumulative frequency Daripada ogif / From the ogive:
Nilai minimum / Minimum value = 10.5
60 Nilai maksimum / Maximum value = 70.5
50
40 1 × 60 = 15 1 × 60 = 30 3 × 60 = 45
30 4 2 4
20
10 Q1 = 25 Q2 = 30.5 Q3 = 38.5
25 38.5 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5
0 Umur (tahun) / Age (years old)
10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 Taburan data ini ialah pencong ke kanan.
Umur (tahun) / Age (years old)
The distribution of the data is skew to the right.
(b) Kekerapan longgokan / Cumulative frequency Daripada ogif / From the ogive:
Nilai minimum / Minimum value = 39.5
120 Nilai maksimum / Maximum value = 69.5 BAB 7
100 1 × 120 = 30 1 × 120 = 60 3 × 60 = 90
4 2 4
80 Q1 = 52.5 Q2 = 57.5 Q3 = 61
60
40
20 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5
Masa (minit) / Time (minute)
52.5 57.5 61
0 Taburan data ini ialah pencong ke kiri.
39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5
Masa (minit) / Time (minute) The distribution of the data is skew to the left.
113 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
14. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Jadual kekerapan di bawah menunjukkan markah yang diperoleh kumpulan Alfa dan Beta dalam
pertandingan Sains. TP 5
The frequency table below shows the marks obtained by Alfa group and Beta group in a Science competition.
Markah / Marks 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69
Alfa 4 3 5 11 9 8
Beta 2 2 4 10 13 9
Berdasarkan min dan sisihan piawai, tentukan kumpulan yang menunjukkan prestasi yang lebih baik
dan konsisten. Berikan justifikasi anda.
Based on the mean and standard deviation, determine the group that shows a better and consistent performance.
Give your justification.
Bagi kumpulan Alfa / For Alfa group,
Markah Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 Min / Mean,
Frequency, f Midpoint, x
Marks 168 7 056 –x = 2 290
4 42 141 6 627 40
40 – 44 260 13 520
45 – 49 3 47 627 35 739 = 57.25
50 – 54 558 34 596
55 – 59 5 52 536 35 912 Sisihan piawai,
60 – 64 fx = 2 290 fx2 = 133 450
65 – 69 11 57 Standard deviation,
133 450 2 290 2
40 40
9 62 σ = –
8 67 = 7.66
f = 40
Bagi kumpulan Beta / For Beta group,
Markah Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 Min / Mean,
–x = 2 365
Marks Frequency, f Midpoint, x 84 3 528 40
94 4 418
40 – 44 2 42 208 10 816 = 59.13
45 – 49 570 32 490
50 – 54 2 47 806 49 972
55 – 59 603 40 401
60 – 64 4 52 fx = 2 365 fx2 = 141 625 Sisihan piawai,
65 – 69
BAB 7 10 57 Standard deviation,
13 62
9 67 141 625 2 365 2
40 40
σ = –
= 6.70
f = 40
Prestasi kumpulan Beta adalah lebih baik kerana min markahnya lebih besar daripada kumpulan Alfa
(59.13 . 57.25) dan sisihan piawainya yang lebih kecil (6.70 , 7.66) menunjukkan prestasi yang lebih
konsisten.
The performance of Beta group is better because the mean of the marks is larger than Alfa group (59.13 . 57.25) and the
smaller standard deviation (6.70 , 7.66) shows that the performance is consistent.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 114
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(b) Rajah di bawah menunjukkan histogram longgokan bagi jisim telur ayam yang diambil daripada sebuah
ladang ternakan ayam pada suatu hari. TP 6
The diagram below shows the cumulative histogram of the masses of hens’ eggs collected from a poultry farm in a
certain day.
(i) Jisim telur pada persentil ke-40 dan ke atas akan dijual Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
sebagai telur biasa dan selebihnya akan dijadikan sebagai 300
telur masin. Anggarkan jisim minimum telur yang akan
dijual sebagai telur biasa. 250
Eggs’ mass at 40th percentile and above will be sold as regular eggs
and the rest will be turned into salted eggs. Estimate the minimum 200
mass of eggs that will be sold as regular eggs.
(ii) Bina jadual kekerapan bagi jisim telur ayam yang diambil 150
daripada ladang ternakan ayam itu dengan selang kelas 100
45.0 – 49.9 dan seterusnya.
Construct a frequency table of the masses of hens’ eggs collected 50
from the poultry farm using class interval 45.0 – 49.9 and so forth.
56.7
(iii) Penternak ayam tersebut membandingkan jisim telur 0
yang diambil dengan data pada hari sebelumnya. Diberi
bahawa sisihan piawai bagi jisim telur yang diambil hari 44.95 49.95 54.95 59.95 64.95 69.95
Jisim (g) / Mass (g)
sebelumnya itu ialah 5.12 g. Penternak telur ayam tersebut menyatakan bahawa jisim telur ayam
pada hari sebelumnya itu adalah lebih terserak. Tunjukkan bahawa pernyataan penternak itu
adalah benar.
The chicken breeder is comparing the masses of the eggs with the previous day data. It is given that the standard
deviation of the egg’s mass for the previous day is 5.12 g. The breeder said that the egg’s mass for the previous
day is more dispersed. Show that the breeder’s statement is true.
(i) 40 × 300 = 120 (ii) Jisim (g) / Mass (g) Kekerapan / Frequency
100
45.0 – 49.9 20
Daripada ogif / From the ogive, P40 = 56.7 g 50.0 – 54.9 80 – 20 = 60
Maka, jisim minimum telur yang akan dijual
sebagai telur biasa ialah 56.7 g. 55.0 – 59.9 200 – 80 = 120
60.0 – 64.9 280 – 200 = 80
Thus, the minimum mass of eggs that will be sold as
regular eggs is 56.7 g.
65.0 – 69.9 300 – 280 = 20
(iii) Jisim (g) Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2 BAB 7
Mass (g) Frequency, f Midpoint, x 949 43 030.05
3 147 165 060.15
45.0 – 49.9 20 47.45 6 894 396 060.3
50.0 – 54.9 60 52.45 4 996 312 000.2
55.0 – 59.9 120 57.45 1 349 90 990.05
60.0 – 64.9 80 62.45 fx = 17 335 fx2 = 1 009 140.75
65.0 – 69.9 20 67.45
f = 300
Sisihan piawai, 4.99 g , 5.12 g
Standard deviation, Ini menunjukkan jisim telur ayam pada hari sebelumnya itu
1 009 140.75 17 335 2 adalah lebih terserak. Pernyataan penternak itu adalah benar.
300 300
σ = – This shows that the egg’s mass for the previous day is more dispersed.
The breeder’s statement is true.
= 4.99
115 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
15. Jalankan satu penyiasatan statistik tentang taburan tinggi murid dalam kelas anda. Lengkapkan laporan
penyiasatan anda seperti berikut. TP 6
Carry out a statistical investigation on the distribution of heights of pupils in your class. Complete your investigation report
as follows.
Kandungan / Contents Butiran / Details
Soalan statistik
Berapakah tinggi murid dalam kelas anda?
Statistical question
What is the height of pupil in your class?
Kaedah pengumpulan
data Temu bual
Data collection method Interview
Kaedah mengorganisasi Jadual kekerapan Gundalan Kekerapan
data
Frequency table Tally Frequency
Data organisation method
Contoh / Example:
Tinggi (cm)
Height (cm)
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
175 – 179
180 – 184
BAB 7 Perwakilan secara grafik • Histogram
Graphical representations Histogram
Analisis data • Poligon kekerapan
Data analysis Frequency polygon
• Ogif
Ogive
• Mod / Mode
• Median / Median
• Min / Mean
• Julat / Range
• Julat antara kuartil / Interquartile range
• Varians / Variance
• Sisihan piawai / Standard deviation
Huraian dan rumusan Huraikan nilai-nilai yang diperoleh dalam analisis data. Kemudian,
Related description and buat satu kesimpulan tentang taburan tinggi murid dalam kelas anda.
conclusion
Describe the values obtained in data analysis. Hence, make a conclusion on the
distribution of the heights of pupils in your class.
* (Jawapan berdasarkan hasil dapatan murid)
(Answer based on results obtained by pupils)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 116
PRAKTIS Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
SPM 7
Kertas 1 3. Jadual kekerapan di bawah menunjukkan mata
yang diperoleh sekumpulan murid dalam suatu
1. Rajah di bawah menunjukkan ketinggian bagi 40
orang murid di sebuah kelas. kuiz.
The diagram below shows the heights of 40 pupils in a The frequency table below shows the points obtained by
class. a group of pupils in a quiz.
Kekerapan / Frequency Mata Kekerapan Kekerapan
longgokan
15 Point Frequency
Cumulative frequency
10 10 – 19
5 33
0 120.5 130.5 140.5 150.5 160.5 170.5 Ketinggian 20 – 29 7 10
Height (cm)
Hitung saiz selang kelas bagi data itu. 30 – 39 P 25
Calculate the size of class interval of the data. 40 – 49 10 Q
A 5 C 15
B 10 D 20 50 – 59 5 40
2. Antara berikut, yang manakah menunjukkan Hitung Q – P.
serakan taburan data yang lebih kecil?
Calculate Q – P.
Which of the following shows the smaller dispersion of
the distribution of data? A 20
B 25
A C 30
D 35
Kekerapan
Frequency 4. Ogif di bawah menunjukkan panjang tali yang
dibeli oleh pelanggan di sebuah kedai.
0 Pemboleh ubah
Variable The ogive below shows the length of rope bought by
B customers in a shop.
Kekerapan Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
Frequency
20
0 Pemboleh ubah 15 BAB 7
Variable
C
Kekerapan 10
Frequency
5
0 Pemboleh ubah 0
Variable 2.95 3.45 3.95 4.45 4.95 5.45
D Panjang tali (m) / Length of rope (m)
Pemboleh ubah
0 Kekerapan Variable Hitung julat antara kuartil.
Frequency
Calculate the interquartile range.
A 0.5 m
B 0.7 m
C 1.0 m
D 1.2 m
117 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
Kertas 2
1. Data berikut menunjukkan jisim 40 biji telur yang dikutip daripada 62 70 53 65 69 75 68 60
sebuah ladang. 57 72 64 70 75 65 74 77
63
2017 The data shows the masses of 40 eggs collected from a farm. 74
59
(a) Berdasarkan data tersebut, lengkapkan jadual di ruang jawapan. 73 65 80 58 70 71 55
Based on the data, complete the table in the answer space.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 g pada paksi 70 56 66 73 66 61 68
mengufuk dan 2 cm kepada 2 biji telur pada paksi mencancang, 75 66 79 67 64 71 67
lukis satu histogram bagi data terebut.
By using a scae of 2 cm to 5 g on the horizontal axis and 2 cm to 2 eggs
on the vertical axis, draw a histogram for the data.
(c) Berdasarkan histogram yang dilukis di (b), nyatakan bilangan telur dengan jisimnya melebihi 71 g.
Based on the histogram drawn in (b), state the number of eggs with the mass of more than 71 g.
Jawapan / Answer: Sempadan bawah Sempadan atas
(a) Jisim (kg) Kekerapan
Lower boundary Upper boundary
Mass (kg) Frequency
50.5 55.5
51 – 55 2 55.5 60.5
60.5 65.5
56 – 60 5 65.5 70.5
70.5 75.5
61 – 65 8 75.5 80.5
66 – 70 12
71 – 75 10
76 – 80 3
(b) 2 cm
2 cm
Kekerapan / Frequency
12
10
8
BAB 7 6
4
2
0
50.5 55.5 60.5 65.5 70.5 75.5 80.5
Jisim (g) / Mass (g)
(c) 10 + 3 = 13 biji telur / eggs
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 118
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
2. Jadual di bawah menunjukkan taburan kekerapan elaun bagi 80 orang pekerja di sebuah syarikat.
The table below shows the frequency distribution of the allowances of 80 workers in a company.
Elaun (RM) 1 – 50 51 – 100 101 – 150 151 – 200 201 – 250 251 – 300 301 – 350
3
Allowance (RM) 9 20 28 11 6 3
Kekerapan
Frequency
(a) Berdasarkan jadual di atas, lengkapkan jadual di ruang jawapan.
Based on the table above, complete the table in the answer space.
(b) Hitung min anggaran elaun bagi seorang pekerja.
Calculate the estimated mean of the allowances of a worker.
(c) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada RM50 pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 10 pekerja pada
paksi mencancang, lukis satu ogif bagi data tersebut.
By using a scale of 2 cm to RM50 on the horizontal axis and 2 cm to 10 workers on the vertical axis, draw an ogive for
the data.
(d) Dengan menggunakan ogif di (c), cari peratusan bilangan pekerja yang mendapat elaun melebihi RM200.
By using the ogive in (c), find the percentage of the number of workers who gets allowances more than RM200.
Jawapan / Answer:
(a) Elaun (RM) Kekerapan Titik tengah Sempadan atas Kekerapan longgokan
Allowance (RM) Frequency Midpoint Upper boundary Cumulative frequency
0 0 0 0.5 0
1 – 50 3 25.5 50.5 3
51 – 100 9 75.5 100.5 12
101 – 150 20 125.5 150.5 32
151 – 200 28 175.5 200.5 60
201 – 250 11 225.5 250.5 71
251 – 300 6 275.5 300.5 77
301 – 350 3 325.5 350.5 80
(b) Min anggaran / Estimated mean BAB 7
= 3(25.5) + 9(75.5) + 20(125.5) + 28(175.5) + 11(225.5) + 6(275.5) + 3(325.5)
3 + 9 + 20 + 28 + 11 + 6 + 3
= 13 290
80
= RM166.13
119 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(c) 2 cm
2 cm
Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.5 50.5 100.5 150.5 200.5 250.5 300.5 350.5
Elaun (RM) / Allowance (RM)
(d) 80 – 60 = 20 orang pekerja / workers
20 × 100 = 25%
80
BAB 7 3. Ogif berikut menunjukkan jumlah perbelanjaan, dalam RM, oleh Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
sekumpulan murid dalam suatu bulan tertentu. 35
30
2019 The ogive shows the expenses, in RM, by a group of pupils in a month. 25
20
(a) Berdasarkan ogif tersebut, lengkapkan jadual di ruang jawapan. 15
10
Based on the ogive, complete the table in the answer space.
5
(b) Hitung min anggaran perbelanjaan oleh seorang murid. 0
Calculate the estimated mean of expense by a pupil. 4.5 9.5 14.5 19.5 24.5 29.5 34.5
Perbelanjaan (RM) / Expenses (RM)
(c) Lukis satu poligon kekerapan bagi data tersebut dengan
menggunakan skala 2 cm kepada RM5 pada paksi mengufuk
dan 2 cm kepada seorang murid pada paksi mencancang.
Draw a frequency polygon for the data by using the scale of 2 cm to
RM5 on the horizontal axis and 2 cm to a pupil on the vertical axis.
(d) Berdasarkan poligon kekerapan yang dilukis di (c), nyatakan
peratusan murid yang membelanjakan lebih daripada RM25.
Based on the frequency polygon drawn in (c), state the percentage of
pupils who spend more than RM25.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 120
Jawapan / Answer: Kekerapan Matematik Tingkatan 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul
(a) Perbelanjaan (RM) Frequency Titik tengah
Expenses (RM) 0 Midpoint
3
0–4 4 2
5–9 7 7
10 – 14 8 12
15 – 19 6 17
20 – 24 4 22
25 – 29 0 27
30 – 34 32
35 – 39 37
(b) Min / Mean = 3(7) + 4(12) + 7(17) + 8(22) + 6(27) + 4(32)
3+4+7+8+6+4
= 654
32
= RM20.44
(c) 2 cm
2 cm
Kekerapan / Frequency
8
7
6
5
4
3 BAB 7
2
1
0
2 7 12 17 22 27 32 37
Perbelanjaan (RM) / Expenses (RM)
(d) 6+4 × 100 = 31.25%
32
121 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
eBook M&M 2021 Matematik Tg5
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search