Module & More Math Tg 5

  Matematik  Tingkatan 5  Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul KBAT KBAT

Sudut Ekstra

Histogram berikut menunjukkan markah bagi sekumpulan Kekerapan / Frequency Markah
20 Marks
murid. 15
10
The following histogram shows the marks of a group of pupils. 5
0
(a) Hitung sisihan piawai markah bagi kumpulan murid 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5

itu.

Calculate the standard deviation of the group of pupils.

(b) Lukis satu ogif bagi data itu dengan menggunakan skala

2 cm kepada 10 markah pada paksi mengufuk dan 2 cm

kepada 10 orang murid pada paksi mencancang.

Draw an ogive for the data by using the scale of 2 cm to
10 marks on the horizontal axis and 2 cm to 10 pupils on the

vertical axis.

Jawapan / Answer :
(a) f = 8 + 17 + 19 + 9 + 5 + 2 = 60

fx = 8(45.5) + 17(55.5) + 19(65.5) + 9(75.5) + 5(85.5) + 2(95.5)
= 3 850

fx2 = 8(45.5)2 + 17(55.5)2 + 19(65.5)2 + 9(75.5)2 + 5(85.5)2 + 2(95.5)2
= 256 535

256 535 3 850 2
60 60
   – 
σ =

= 12.58 2 cm
2 cm
(b) Kekerapan longgokan / Cumulative frequency
60
Sempadan Kekerapan 50
Markah Kekerapan atas longgokan 40
Marks Frequency Upper Cumulative 30

boundary frequency

31 – 40 0 40.5 0

41 – 50 8 50.5 8

51 – 60 17 60.5 25

BAB 7 61 – 70 19 70.5 44 20
71 – 80 9 80.5 53 10
81 – 90 5 90.5 58

91 – 100 2 100.5 60 0
40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
Markah / Marks

Kuiz 7

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 122

BAB Pemodelan Matematik

8 Mathematical Modeling

8.1 Pemodelan Matematik

Mathematical Modeling

NOTA IMBASAN Mengenal pasti dan mendefinisikan masalah
Identifying and defining the problems
1. Model matematik ialah hubungan matematik
yang mewakilkan situasi dalam kehidupan sebenar. Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah
Misalnya, model tafsiran cukai pendapatan mengikut Making assumptions and identifying the problems
tahun, model yang digunakan untuk membina
sebuah jambatan dan sebagainya. Mengaplikasi matematik
Mathematical model is a mathematical relation that Applying mathematics
represent a real-life situation. For example, the model of tax
assessment according to year, the model that is used to build Menentusahkan dan mentafsir penyelesaian
a bridge and many more. Verifying and interpreting solutions

2. Pemodelan matematik ialah proses membina Memurnikan model matematik
model matematik. Refining the mathematical model
Mathematical modeling is a process of constructing a
mathematical model. Melaporkan dapatan
Reporting the findings

1. Berdasarkan setiap situasi berikut / Based on each of the following situations TP 1 TP 2 TP 3
(i) kenal pasti dan definisikan masalah / identify and define the problem
(ii) tentukan andaian yang sesuai / determine the suitable assumptions
(iii) kenal pasti pemboleh ubah / identify the variables

CONTOH

Gaji tahunan Fathiyyah pada tahun pertamanya bekerja di sebuah syarikat ialah RM24 000. Gaji tahunannya
akan meningkat sebanyak 3% pada setiap tahun. Pada tahun keberapakah gaji Fathiyyah akan mencapai
lebih daripada RM30 000 setahun?

Fathiyyah’s annual income in the first year of working in a company is RM24 000. Her annual income will increase by 3%
every year. At which year Fathiyyah’s income will achieve more than RM30 000 in a year?

Penyelesaian:

(i) – Diketahui gaji tahunan permulaan Fathiyyah dan kadar peningkatan setiap tahun

It is known that the initial Fathiyyah’s annual income and the rate of increment every year

– Cari bilangan tahun gaji Fathiyyah akan mencapai lebih daripada RM30 000 setahun

Find the number of years of Fathiyyah’s income will achieve more than RM30 000 in a year

(ii) – Kadar peningkatan gaji setiap tahun adalah tetap / The rate of increment every year is fixed
(iii) G = gaji tahunan dalam RM / annual income in RM
t = masa dalam tahun / time in year

123 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik

(a) Suhu di sebuah bandar bermula pada 9°C dan turun pada kadar tetap 0.5°C untuk setiap 30 minit pada
waktu malam. Berapakah suhu bandar tersebut selepas 4 jam?

The temperature in a city starts at 9°C and decreases at a constant rate of 0.5°C for every 30 minutes at night. What
is the temperature of the city after 4 hours?

(i) – Diketahui suhu awal dan kadar penurunan suhu di bandar itu

It is known the initial temperature and the rate of temperature decrease in the city

– Cari suhu di bandar itu selepas 4 jam

Find the temperature of the city after 4 hours

(ii) – Kadar penurunan suhu di bandar itu adalah tetap

The rate of temperature decrease in the city is fixed

– Tiada faktor luar yang mengganggu suhu kawasan persekitaran yang direkodkan

No other factors that affecting the temperature of the surrounding area being recorded

(iii) P = suhu dalam °C / temperature in °C
t = masa dalam minit / time in minute

BAB 8 (b) Encik Kamal memandu keretanya dari Klang, Selangor pada kelajuan seragam 75 km/j sebelum tiba di
Johor Bahru, Johor. Berapakah masa yang diambil untuk tiba di Johor Bahru, Johor jika Encik Kamal
memandu keretanya dengan kelajuan seragam 60 km/j?

Encik Kamal drives his car from Klang, Selangor at a constant speed of 75 km/h before arriving at Johor Bahru, Johor.
What is the time taken to arrive in Johor Bahru, Johor if Encik Kamal drives his car at a constant speed of 60 km/h?

(i) – Jarak antara Klang, Selangor dengan Johor Bahru, Johor yang boleh diperoleh dari Internet

Distance between Klang, Selangor and Johor Bahru, Johor can be obtained from internet

– Masa yang diambil oleh Encik Kamal memandu dari Klang, Selangor ke Johor Bahru, Johor boleh
dihitung menggunakan rumus laju × masa

Time taken by Encik Kamal driving from Klang, Selangor to Johor Bahru, Johor can be calculated using formula
speed × time

– Cari masa yang diambil jika Encik Kamal memandu keretanya dengan kelajuan seragam 60 km/j

Find the time taken if Encik Kamal driving his car at a constant speed of 60 km/h

(ii) – Kelajuan kereta yang dipandu oleh Encik Kamal adalah tetap

The speed of car driven by Encik Kamal is fixed

– Encik Kamal menggunakan laluan yang sama

Encik Kamal uses the same road

(iii) t = masa yang diambil dalam jam / time taken in hour
v = laju kereta dalam km/j / speed of the car in km/h

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 124

Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik 

2. Selesaikan setiap situasi berikut menggunakan pemodelan matematik.

Solve each of the following situations using mathematical modeling.

CONTOH

Shuhada akan menerima upah sebanyak RM42 jika dia bekerja selama 6 jam sebagai juruwang di sebuah
pusat beli-belah. Jika Shuhada bekerja selama 9 jam, berapakah jumlah upah yang akan diterima?

Shuhada will receive a wage of RM42 if she works for 6 hours as a cashier in a shopping mall. If Shuhada works for
9 hours, how much wage will be received?

Penyelesaian:

Mengenal pasti dan mendefinisikan Membuat andaian dan mengenal pasti
masalah pemboleh ubah

Identifying and defining the problems Making assumptions and identifying the problems

• Tentukan jumlah upah yang akan diterima • Andaikan bahawa upah sejam yang diterima

oleh Shuhada jika dia bekerja selama 9 jam. adalah sama bagi suatu tempoh bekerja.

Determine the total wages that will be received by Assume that the wage per hour received is the
Shuhada if she works for 9 hours. same for a period of working time.

• Diketahui bahawa apabila bilangan jam bekerja • Katakan x mewakili bilangan jam dan y

bertambah, jumlah upah yang diterima juga mewakili jumlah upah yang diterima.

bertambah. Oleh itu, jumlah upah berubah Let x represents the number of working hours and
y represents the total wages received.
secara langsung dengan bilangan jam bekerja.
• y berubah secara langsung dengan x, maka
It is known when the number of working hours
increases, the total wages will be received also y = kx dengan keadaan k ialah pemalar.
increases. Therefore, the total wages varies directly
as the number of working hours. y varies directly as x, thus y = kx such that k is a
constant.

Mengaplikasi matematik untuk menyelesaikan masalah / Applying mathematics to solve problem

Gantikan y = 42 dan x = 6 ke dalam y = kx Apabila / When x = 9,
Substitute y = 42 and x = 6 into y = kx
y = 7(9)
42 = k(6)
= 63
6k = 42
Maka, Shuhada akan menerima upah sebanyak
k=7
RM63 jika dia bekerja selama 9 jam.
Maka, / Thus, y = 7x Thus, Shuhada will receive the wages of RM63 if she works
for 9 hours.

Menentusahkan dan mentafsir Memurnikan model Melaporkan
dapatan
penyelesaian matematik
Verifying and interpreting solutions Reporting the findings
Refining mathematical
Model fungsi linear y = 7x yang model Buat laporan

diperoleh tidak dapat digunakan untuk Pemurnian model berdasarkan tafsiran

semua situasi upah jam yang diterima tidak dapat dilakukan penyelesaian yang BAB 8

dan masa bekerja kerana nilai tersebut kerana maklumat diperoleh.

mungkin berbeza mengikut situasi. yang diberikan adalah Make a report based on
the interpretations on
The model of linear function y terhad. the obtained solution.
y = 7x obtained cannot be used
Refining the model
to all situations of total wage y = 7x cannot be done because
received and working hours as the information provided
is limited.
the values may be different O x
according to the situation.

125 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik

(a) Seorang jurutaip menggunakan masa selama 60 saat untuk menaip 30 patah perkataan pada sebuah
komputer riba. Jika jurutaip itu menggunakan komputer riba yang sama untuk menaip, berapakah
masa yang diperlukan untuk menaip 450 patah perkataan? TP 4

A typist uses 60 seconds to type 30 words on a laptop. If the typist uses the same laptop to type, how much time
needed to type 450 words?

Mengenal pasti dan mendefinisikan Membuat andaian dan mengenal pasti
masalah pemboleh ubah

Identifying and defining the problems Making assumptions and identifying the problems

• Tentukan masa yang diperlukan untuk • Andaikan kecekapan jurutaip semasa menaip

menaip 450 patah perkataan. semua perkataan adalah sama.

Determine the time needed to type 450 words. Assume that the efficiency of the typist when typing
all words is the same.
• Diketahui bahawa semakin banyak bilangan
• Katakan x mewakili bilangan perkataan yang
perkataan yang ditaip, semakin banyak masa
ditaip dan y mewakili jumlah masa yang
yang diperlukan. Oleh itu, jumlah masa
diperlukan.
yang diperlukan berubah secara langsung
Let x represents the number of words typed and y
dengan bilangan perkataan yang ditaip. represents the amount of time needed

It is known that as the number of words typed • y berubah secara langsung dengan x, maka
increases, the time needed increases. Therefore,
the amount of time needed varies directly as the y = kx dengan keadaan k ialah pemalar.
number of words typed.
y varies directly as x, thus y = kx such that k is a
constant.

Mengaplikasi matematik untuk menyelesaikan masalah / Applying mathematics to solve problem

Gantikan y = 60 dan x = 30 ke dalam y = kx Apabila / When x = 450,
Substitute y = 60 and x = 30 into y = kx
y = 2(450) = 900
60 = k(30)
Maka, jumlah masa yang diperlukan oleh jurutaip
30k = 60
tersebut untuk menaip 450 patah perkataan ialah
k=2
900 saat.
Maka, / Thus, y = 2x
Thus, the amount of time needed by the typist to type
450 words is 900 seconds.

Menentusahkan dan mentafsir Memurnikan model Melaporkan
dapatan
penyelesaian matematik
Verifying and interpreting solutions Reporting the findings
Refining mathematical
Model fungsi linear y = 2x yang model Buat laporan

diperoleh tidak dapat digunakan untuk Pemurnian model berdasarkan tafsiran

semua situasi masa menaip dan jumlah tidak dapat dilakukan penyelesaian yang

patah perkataan yang ditaip kerana nilai kerana maklumat diperoleh.

tersebut mungkin berbeza mengikut yang diberikan adalah Make a report based on
the interpretations on
BAB 8 situasi. terhad. the obtained solution.

The model of linear function y Refining the model
y = 2x obtained cannot be used cannot be done because
the information provided
to all situations of the time is limited.

needed to type and the total y = 2x

words typed as the values may x
be different according to the O

situation.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 126

Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik 

(b) Sebuah syarikat menjual kalkulator ingin membuat Bilangan unit, x Keuntungan, P(x)
model keuntungan jualan. Jadual di sebelah
menunjukkan jumlah keuntungan jualan, P(x) Number of units, x Profit, P(x)
apabila x unit kalkulator dijual. Tentukan keuntungan
maksimum syarikat itu. TP 5 0 – RM90 000
1 000 RM110 000
A company selling calculators wants to make a model of sale 2 000 RM230 000
profits. The table shows the total profit, P(x) when x units of 3 000 RM270 000
calculators sold. Determine the maximum profit of the company. 4 000 RM230 000
5 000 RM110 000
Mengenal pasti dan mendefinisikan masalah 6 000 – RM90 000

Identifying and defining the problems

Dapatkan model keuntungan jualan syarikat itu dan
tentukan keuntungan maksimum daripada model tersebut.

Obtain the sale profits model of the company and determine the
maximum profit from the model.

Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah

Making assumptions and identifying the problems

• Andaikan bahawa keuntungan maksimum dicapai pada suatu paras jualan tertentu dan jumlah

keuntungan maksimum ini bukan dicapai berdasarkan bilangan unit kalkulator tertinggi yang dijual.

Assume that the maximum profit is achieved at a certain sale level and this maximum profit is not achieved based on
the highest number of units of calculators sold.

• Dua pemboleh ubah yang terlibat ialah jumlah keuntungan, P dan bilangan unit kalkulator yang dijual, x.

Two variables involved are the total profit, P and the number of units of calculators sold, x.

Mengaplikasi matematik untuk menyelesaikan masalah P(x)

Applying mathematics to solve problem

• Graf P(x) melawan x dilukis. Bentuk graf yang terhasil 300 000 (3 000, 270 000)

menunjukkan lengkung graf fungsi kuadratik.
Graph of P(x) against x is drawn. The shape of the graph shows a 200 000

quadratic function curve.

• Berdasarkan graf, keuntungan maksimum ialah 100 000

RM270 400 apabila 3 000 unit kalkulator dijual. 0 x
1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000
Based on the graph, the maximum profit is RM270 400 when
3 000 units of calculator are sold.

–100 000

Menentusahkan dan mentafsir penyelesaian

Verifying and interpreting solutions

Fungsi kuadratik / Quadratic function P(x) = ax2 + bx + c  : 36 000a + 6b = 0
Apabila / When (0, –90 000), (1 000, 110 000)
dan / and (6 000, –90 000), –  × 6 : 6 000a + 6b = 1 200
−90 000 = a(0)2 + b(0) + c → c = −90 000
30 000a = −1 200

a = −0.04

110 000 = a(1 000)2 + b(1 000) − 90 000 Gantikan a = –0.04 ke dalam  BAB 8
1 000 000a + 1 000b = 200 000
1 000a + b = 200 …  Substitute a = –0.04 into 

−90 000 = a(6 000)2 + b(6 000) − 90 000 b = 200 − 1 000(−0.04) = 240
36 000 000a + 6 000b = 0 ∴ P(x) = −0.04x2 + 240x − 90 000
36 000a + 6b = 0 … 
Apabila / When x = 3 000,
P(3 000)
= −0.04(3 000)2 + 240(3 000) – 90 000
= 270 000

127 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik

Memurnikan model matematik

Refining mathematical model

• Model ini mungkin tidak benar bagi keuntungan maksimum yang diperoleh syarikat lain. Model baharu
diperlukan untuk situasi yang berbeza.

This model may no be true for maximum profit obtained by other company. New model may be needed for different
situation.

• Kejituan jawapan akan bertambah jika lebih banyak data yang diambil.

The answer will be more accurate if more data is taken.

Melaporkan dapatan

Reporting the findings

Buat laporan berdasarkan tafsiran penyelesaian yang diperolehi.

Make a report based on the interpretations on the obtained solution.

(c) Populasi penduduk di sebuah negara ialah 2.5 juta dengan kadar pertumbuhan populasi 6% setiap
tahun. Hitung populasi penduduk di negara itu 4 tahun akan datang. TP 6

The population of a country is 2.5 million with the population growth rate of 6% every year. Calculate the population
of the country in 4 years.

Mengenal pasti dan mendefinisikan masalah

Identifying and defining the problems

Tentukan populasi penduduk di sebuah negara bagi 4 tahun akan datang dengan populasi 2.5 juta dan kadar
pertumbuhan 6% setiap tahun.

Determine the population of a country for the next 4 years with population of 2.5 million and the growth rate of 6% per
year.

Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah

Making assumptions and identifying the problems

• Andaikan bahawa kadar kelahiran dan kematian adalah tetap setiap tahun di negara itu.

Assume that the birth and death rates are fixed every year in the country.

• Katakan P ialah populasi dan r ialah kadar pertumbuhan.

Let P is the population and r is the growth rate.

Mengaplikasi matematik untuk menyelesaikan masalah

Applying mathematics to solve problem

Tahun Populasi Pertambahan populasi Jumlah populasi

Year Population Population increment Total population

1 2 500 000 2 500 000 × 0.06 2 500 000 + 2 500 000 × 0.06 2 500 000(1.06)
= 2 500 000(1 + 0.06)

2 2 500 000(1.06) 2 500 000(1.06) × 0.06 2 500 000(1.06) 2 500 000(1.06)2

+ 2 500 000(1.06) × 0.06

BAB 8 = 2 500 000(1.06)(1 + 0.06)

3 2 500 000(1.06)2 2 500 000(1.06)2 × 0.06 2 500 000(1.06)2 2 500 000(1.06)3

+ 2 500 000(1.06)2 × 0.06

= 2 500 000(1.06)2 (1 + 0.06)

4 2 500 000(1.06)3 2 500 000(1.06)3 × 0.06 2 500 000(1.06)3 2 500 000(1.06)4

+ 2 500 000(1.06)3 × 0.06

= 2 500 000(1.06)3 (1 + 0.06)

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 128

Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik 

Menentusahkan dan mentafsir penyelesaian Populasi / Population, P(t)
4 000 000
Verifying and interpreting solutions 3 800 000
3 600 000
Pola jumlah populasi, P(t) pada masa tahun ke-t digeneralisasikan 3 400 000
kepada model matematik dengan P0 ialah populasi awal dan r ialah 3 200 000
kadar pertumbuhan: 3 000 000
2 800 000
The pattern of the total population, P(t) at tth year is generalised to mathematical 2 600 000
model with P0 is the initial population and r is the growth rate:

P(t) = P0(1 + r)t

Graf P(t) melawan t menunjukkan satu pertumbuhan eksponen
apabila t bertambah.

The graph of P(t) against t shows an exponential growth when t increases.

Memurnikan model matematik

Refining mathematical model

Kejituan jawapan akan bertambah jika lebih banyak data yang
diambil.

The answer will be more accurate if more data is taken.

Melaporkan dapatan 2 400 000

Reporting the findings 0 2 468
Masa, t (tahun) / Time, t (year)
Buat laporan berdasarkan tafsiran penyelesaian yang diperolehi.

Make a report based on the interpretations on the obtained solution.

PRAKTIS SPM 8

Kertas 2 BAB 8

1. Seorang tukang jahit menggunakan masa selama 60 minit untuk menjahit tiga helai baju yang sama. Berapakah
masa yang diperlukan untuk menjahit 13 helai baju?

A tailor spends 60 minutes to sew three of similar shirts. What is the time needed to sew 13 shirts?

(a) Kenal pasti dan definisikan masalah dalam situasi itu.

Identify and define the problem in the situation.

(b) Nyatakan andaian yang boleh dibuat dan pemboleh ubah.

State the assumption that can be made and the variables.

Jawapan / Answer :
(a) – Untuk menentukan masa yang diperlukan tukang jahit itu untuk menjahit 13 helai baju.

To determine the time needed by the tailor to sew 13 shirts.

– Diketahui bahawa apabila bilangan baju bertambah, maka masa yang diperlukan untuk menjahit baju
bertambah. Oleh itu, masa yang diperlukan untuk menjahit baju berkadar secara langsung dengan
bilangan baju.

It is known that when the number of shirts increases, then the time needed to sew increases. Therefore, the time
needed to sew shirts varies directly as the number of shirts.

(b) – Andaikan masa yang diperlukan untuk menjahit sehelai baju adalah sama.

Assume the time needed to sew a shirt is the same.

– Katakan x mewakili bilangan baju dan y mewakili masa yang diperlukan untuk menjahit baju.

Let x represents the number of shirts and y represents the time needed to sew shirts.

– y berubah secara langsung dengan x, maka y = kx dengan keadaan k ialah pemalar.

y varies directly as x, then y = kx such that k is a constant.

129 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik

2. Terdapat 1 080 kalori dalam dua biji burger ayam yang sama. Modelkan jumlah kalori dalam burger.

There are 1 080 calories in two of the same chicken burgers. Model the total calories in burgers.

(a) Nyatakan andaian yang boleh dibuat dan pemboleh ubah bagi masalah itu.

State the assumptions that can be made and the variables for the problem.

(b) Dapatkan satu model matematik bagi jumlah kalori dalam burger.

Obtain a mathematical model of the total calories in burgers.

(c) Kemudian, hitung jumlah kalori yang terdapat dalam enam biji burger ayam.

Hence, calculate the total calories in six chicken burgers.

Jawapan / Answer :

(a) – Andaikan kalori bagi sebiji burger ayam adalah sama.

Assume the calories of a chicken burger is the same.

– Katakan x mewakili bilangan burger ayam dan y mewakili jumlah kalori.

Let x represents the number of chicken burgers and y represents the total calories.

– y berubah secara langsung dengan x, maka y = kx dengan keadaan k ialah pemalar.

y varies directly as x, then y = kx where k is a constant.

(b) Gantikan y = 1 080 dan x = 2 ke dalam y = kx

Substitute y = 1 800 and x = 2 into y = kx

1 080 = k(2)
k = 540
∴  y = 540x

(c) y = 540(6)
= 3 240

3. Rajah di sebelah menunjukkan satu graf halaju suatu zarah, v bagi masa, t. Bina satu v (cm/s)
12 (6, 12)
model matematik bagi halaju zarah tersebut.

The diagram shows the graph of velocity of a particle, v in time, t. Construct a mathematical model
for the velocity of the particle.

Jawapan / Answer : (1, 7) t (s)
O
Bentuk graf itu ialah graf kuadratik.
Gantikan b = –6 ke dalam 
The shape of the graph is a quadratic graph.
Substitute b = –6 into 
v = at2 + bt + c
Bagi / For (0, 12), 12 = a(0)2 + b(0) + c a + (−6) = −5
c = 12 a = 1

Bagi / For (1, 7), 7 = a(1)2 + b(1) + 12 Maka, model matematik bagi halaju zarah
a + b = −5 … 
Thus, the mathematical model for the velocity of the particle
Bagi / For (6, 12), 12 = a(6)2 + b(6) + 12
36a + 6b = 0 …  v = t2 − 6t + 12

BAB 8 Daripada / From , a = −b − 5 … 
Gantikan  ke dalam  / Substitute  into 
36(−b − 5) + 6b = 0
−36b − 180 + 6b = 0
30b = −180
b = −6

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 130

Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik 

Sudut KBAT KBAT

Ekstra

Rajah di sebelah menunjukkan laluan koridor di sebuah pejabat. Seorang pekerja xm

pembinaan ingin menghantar sebatang paip berbentuk bulatan dengan panjang 4.8 m

melalui koridor itu. Paip itu tidak dapat melalui koridor itu jika paip itu terlalu 2 m

panjang. Bina satu model matematik untuk mencari panjang maksimum paip yang

boleh melalui laluan koridor itu secara mengufuk. Paip ym
Pipe
The diagram shows a corridor of an office. A construction worker wants to deliver a circular pipe
with a length of 4.8 m passing through the corridor. The pipe will not be able to pass through
2m
the corridoe if it is too long. Construct a mathematical model to find the maximum length of the

pipe that can pass through the corridor horizontally.

(a) Nyatakan satu andaian yang berkaitan bagi pembinaan model ini.

State an assumption that related to the model construction.

(b) Menggunakan pemboleh ubah yang sesuai, aplikasikan konsep matematik untuk membina model ini.

By using suitable variables, apply mathematical concept to construct this model.

(i) Ungkapkan y dalam sebutan x.
Express y in terms of x.

(ii) Nyatakan model matematik bagi panjang paip untuk melalui laluan koridor itu, dalam sebutan x.
State the mathematical model for the length of the pipe to pass through the corridor, in terms of x.

(iii) Lengkapkan jadual dalam ruang jawapan. Kemudian, lukis graf panjang paip melawan x.
Complete the table in the answer space. Hence, draw a graph of the length of pipe against x.

(iv) Tentusahkan model matematik yang diperoleh.

Verifying the mathematical model obtained.

(c) Dapatkah pekerja itu menghantar paip tersebut melalui koridor itu?

Does the worker able to deliver the pipe through the corridor?

Jawapan / Answer :

(a) Andaikan diameter paip itu diabaikan.

Assume the diameter of the pipe is negligible.

(b) (i) Katakan p ialah panjang paip. xm
Let p is the length of the pipe. A
B
AC adalah satu garis lurus, maka
AC is a straight line, thus 2m
2 y pm 2m
x = 2 ym

 y = 4 C
x

(ii) p2 = (x + 2)2 + (y + 2)2
p = (x + 2)2 + (y + 2)2

  = 4 2 BAB 8
(x + 2)2 + x +2

131 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Bab 8 Pemodelan Matematik ym Panjang paip (m) / Length of the pipe (m)
4 6.7
(iii) x m 2 5.7
1 1.3 6
2 1 6.7
3 0.8 7.5
4 0.7 8.4
5 0.6 9.4
6 0.5 10.3
7
8 Berdasarkan graf, titik terendah
ialah (2, 5.7).
Panjang paip / Length of the pipe (m)
10 Based on the graph, the lowest point
is (2, 5.7).

9

8
7

6

5
4

3

2

1

0 1 234567 8
x (m)

(iv) Gantikan nilai x = 2 / Substitute the value of x = 2

  p = 4 2 Kuiz 8
2
BAB 8 (2 + 2)2 + +2

= 5.66 m

Hampir dengan jawapan yang diperoleh daripada graf.

Approximately with the answer obtained from the graph.

(d) Ya, pekerja itu dapat menghantar paip tersebut melalui koridor itu kerana 4.8 m , 5.66 m.

Yes, the worker able to deliver the pipe through the corridor because 4.8 m , 5.66 m.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 132

KERTAS MODEL

Kertas 1

Paper 1
Satu jam tiga puluh minit

One hour thirty minutes

Arahan: Kertas soalan ini mengandungi 40 soalan. Jawab semua soalan. Rajah dalam soalan tidak dilukis mengikut

skala kecuali dinyatakan. Anda boleh menggunakan kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram.

Instruction: This question paper consists of 40 questions. Answer all questions. The diagrams in the questions provided are not
drawn to scale unless stated.You may use a non-programmable scientific calculator.

1. Nyatakan nilai digit 7 dalam nombor 207648 C Semua nilai suhu adalah negatif.
dalam asas sepuluh.
7 207648 All values of temperature are negative.
State the value of the digit in the number in
base ten. D Semua segi tiga sama kaki mempunyai dua

A 56 C 448 sisi yang sama panjang.

B 392 D 3 584 All isosceles triangles have two equal length of
sides.

2. 101102 + 10012 = C 111102 6. Rajah 1 menunjukkan had bilangan peserta bagi
A 110112 D 111112
B 111012 dua jenis kursus, memasak dan menjahit, yang

3. Cari beza antara 1011002 dengan 110012. Berikan ditawarkan oleh sebuah pusat latihan kemahiran.
jawapan anda dalam asas tiga.
Diagram 1 shows the limits of the number of participants
for two types of courses, cooking and sewing, offered
by a skill training centre.

Find the difference between 1011002 and 110012. Give • Bilangan maksimum peserta bagi kedua-
your answer in base three.
dua kursus ialah 100 orang.
A 2013
B 2103 The maximum number of participants for both
C 100113 courses is 100 people.
D 101013
• Bilangan peserta yang menyertai kursus
4. Antara berikut, yang manakah merupakan satu
memasak adalah sekurang-kurangnya
pernyataan?
20 orang.
Which of the following is a statement?
The number of participants who joins the
A m − 2 = 7 cooking course is at least 20 people.
B (−8)2 , 82
Rajah 1
C Wah, hebatnya atlet itu!
Diagram 1
Wow, the athlete is so great!
Diberi bahawa x ialah bilangan peserta dalam
D Bagaimanakah anda mendapat keputusan
kursus memasak dan y ialah bilangan peserta
cemerlang?
dalam kursus menjahit. Antara berikut, yang
How do you get an excellent result?
manakah mewakili ketaksamaan linear bagi

situasi di atas?

5. Antara berikut, yang manakah adalah pernyataan It is given that x is the number of participants in the

benar? cooking course and y is the number of participants in

Which of the following is a true statement? the sewing course. Which of the following are the linear

A Semua integer adalah positif. inequalities represent the situation above?

All integers are positive. A x + y < 100 C x + y , 100

B Semua silinder mempunyai dua bucu. x , 20 x < 20

All cylinders have two vertices. B x + y < 100 D x + y < 100

x . 20 x > 20

133 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

7. Rajah 2 menunjukkan sebuah bulatan berpusat A 8 C 8.1
B 8.0 D 8.09
O dan RST ialah tangen kepada bulatan tersebut
11. (1.02 × 102)–3 =
pada titik S. 0.008

Diagram 2 shows a circle with the center O and RST is
the tangent of the circle at the point S.

V y° U A 1.18 × 10−4
50° B 1.18 × 10−3
R C 1.33 × 108
O D 1.33 × 109
Cari nilai y. 60°
12. Rajah 5 menunjukkan dua segi tiga, ABC dan
Find the value of y. ST
DEF, dan tiga garis lurus yang dilukis pada grid
A 20° Rajah 2
B 25° segi empat sama.
Diagram 2
Diagram 5 shows two triangles, ABC and DEF, and
C 30° three straight lines drawn on a square grids.
D 50°
y

R P 6
5
8. Rajah 3 menunjukkan sebuah pentagon PQRST. A B

Diagram 3 shows a pentagon PQRST. 4
T 3C
P
2
120° T

Q x° 100° 1

110° S –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 x
R D –1 123456
–2
Rajah 3 F –3 U

Diagram 3 E –4 Q S

Diberi bahawa QR = RS, cari nilai x.
Given that QR = RS, find the value of x.
Rajah 5
A 54° C 85°
Diagram 5

B 70° D 95° Diberi bahawa segi tiga DEF ialah imej bagi

9. Dalam Rajah 4, ABCDG ialah sebuah pentagon segi tiga ABC di bawah suatu pantulan. Antara

sekata dan DEFG ialah sebuah rombus. berikut, garis lurus manakah yang merupakan

In Diagram 4, ABCDG is a regular pentagon and DEFG paksi pantulan?
is a rhombus.
Given that the triangle DEF is the image of the triangle

ABC under a reflection. Which of the following straight

C lines is the axis of the reflection?
x°
E A Garis PQ C Garis TU
BD Line PQ Line TU

B Garis RS D Paksi-x
Line RS x-axis
AG F

Rajah 4 13. Rajah 6 menunjukkan sukuan pertama bagi
sebuah bulatan unit.
Diagram 4
Diagram 6 shows the first quadrant of a unit circle.
Jika AGF ialah garis lurus, cari nilai x.
If AGF is a straight line, find the value of x. y

A 108° C 144° 1 K (0.34, 0.94)

B 126° D 180° y° L (0.87, 0.50)

10. Cari nilai bagi 1.35 × 6 − 0.008. Bundarkan O x° x
jawapan anda betul kepada satu angka bererti. 1

Find the value of 1.35 × 6 − 0.008. Round off your Rajah 6
answer correct to one significant figure. Diagram 6

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 134

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

Cari nilai bagi kos x + sin y. Diberi sudut tunduk U dari R ialah 52°. Cari
Find the value of cos x + sin y.
sudut dongakan R dari T.
A 0.74 C 1.44 Given the angle of depression of U from R is 52°. Find

B 1.21 D 1.81 the angle of elevation of R from T.

14. Rajah 7 menunjukkan sebuah segi tiga bersudut A 18°21 C 32°13
tegak PQR dan QRS ialah garis lurus.
B 28°3 D 61°56
Diagram 7 shows a right-angled triangle PQR and QRS
is a straight line. 17. Dalam Rajah 9, C dan D adalah dua titik pada
tanah mengufuk. AC ialah tiang tegak.
P
In Diagram 9, C and D are the two points on a horizontal
ground. AC is a vertical pole.

A

nm B
QR
S

C 10 m D

Rajah 7 Rajah 9

Diagram 7 Diagram 9

Diberi sin n = 3 , cari tan m. Diberi bahawa B ialah titik tengah AC dan sudut
5
Given sin n = 3 , find tan m.
5 dongakan B dari D ialah 40°. Cari panjang tiang
4 3
A – 3 C 4 itu.

Given that B is the midpoint of AC and the angle of
3 4 elevation of B from D is 40°. Find the length of the pole.
B – 4 D 3
A 8.39 m C 16.78 m

15. Graf manakah yang mewakili sebahagian graf B 11.92 m D 23.84 m

bagi fungsi y = kos x? 18. Antara berikut, individu manakah yang tidak
Which graph represents a part of graph function menggunakan pendekatan SMART untuk
y = cos x?
mencapai matlamat kewangan?
A y C y
Which individual does not use SMART approach to
1 1 achieve financial goal?
x
x A Encik Andrew akan menyambut ulang tahun
0 90° 180° 0 90° 180° perkahwinan ke-25 dengan isterinya pada
–1
empat bulan yang akan datang. Sambutan
B y D y
ini memerlukan perbelanjaan sebanyak
1 1
RM1 200. Dia bercadang menyimpan RM300
x x
0 90° 180° 0 90° 180° sebulan daripada pendapatan bulanannya
–1 –1
yang berjumlah RM3 200 untuk mencapai
16. Dalam Rajah 8, RS dan TU adalah dua batang
tiang tegak pada tanah mengufuk. matlamat kewangan ini.

In Diagram 8, RS and TU are the two vertical poles on Mr Andrew will celebrate his 25th wedding
a horizontal ground. anniversary with his wife in the next four months.
This celebration needs an expense of RM1 200. He
R plans to save RM300 per month from his monthly
income of RM3 200 to achieve this goal.
12 m T
7m B Puan Zalina ingin membeli barang kemas
yang berharga RM3 000 dalam masa lima
SU
bulan. Dia akan menyimpan RM600 sebulan
Rajah 8
daripada pendapatan bulanannya sebanyak
Diagram 8
RM4 000 untuk mencapai matlamat kewangan

ini.

Puan Zalina wants to purchase a jewellery with
the price of RM3 000 in five months. She will save
RM600 per month from her monthly income of

RM4 000 to achieve this financial goal.

135 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM A RM104 000 C RM130 000
B RM129 500 D RM140 000
C Encik Amirul ingin membeli sebuah kereta
berharga RM95 000 jika dia mempunyai 21. (3x − 2y)(3x + 2y) + 4xy =
wang yang mencukupi. A 9x2 + 4xy − 4y2
B 9x2 + 16xy − 4y2
Encik Amirul wants to buy a car with the price of C 9x2 + 4xy + 4y2
RM95 000 if he has enough money. D 9x2 + 16xy + 4y2

D Puan Siti mempunyai pendapatan bulanan 22. Ungkapkan n – n2 + 5 sebagai pecahan tunggal
RM3 000. Dia ingin mengumpul RM45 000 4 2n
dalam bentuk termudah.
dalam masa 5 tahun untuk membiayai n n2 + 5
keperluan pendidikan anaknya di universiti. Express 4 – 2n as a single fraction in its simplest
Oleh itu, dia bercadang menyimpan RM750 form.
setiap bulan daripada pendapatan bulanannya.
A –n2 + 10 C 3n2 + 10
Puan Siti has a monthly income of RM3 000. She 4n 4n
wants to save RM45 000 in 5 years to fund her
children’ educational needs in university. Therefore,
she plans to save RM750 every month from her
monthly income.

19. Jadual 1 menunjukkan jumlah pendapatan dan B –n2 – 10 D 3n2 – 10
4n 4n
jumlah perbelanjaan bagi empat orang individu.
23. Diberi p = 2q + 3r, ungkapkan r dalam sebutan p
Table 1 shows the total income and the total expenses
of four individuals. dan q.

Jumlah Jumlah Given p = 2q + 3r, express r in terms of p and q.
pendapatan perbelanjaan
Individu A r = 3(p – 2q) C r= p + 2q
Total income Total expenses 3
Individual

B r= –p + 2q D r= p – 2q
3 3
P RM2 500 RM1 800

Q RM3 000 RM2 500 24. Selesaikan 3x – 2 = 1 .
x+3 4
R RM2 400 RM2 250 3x – 2 1
x+3 = 4
S RM3 840 RM4 000 Solve .

Jadual 1 A –1 C 9
11
Table 1 5
B – 11 D 1

Siapakah yang mempunyai aliran tunai negatif? 25. Cari penyelesaian bagi x − 4 . 2x + 6.
3
Who has the negative cash flow?

A P C R Find the solution of x – 4 . 2x + 6.
3
B Q D S A x . –6 C x , –6

20. Nilai boleh insurans rumah Puan Fatimah ialah B x . 6 D x , 6
RM550 000. Polisi insurans kebakaran yang dibeli
26. r2 =
oleh Puan Fatimah mempunyai ko-insurans 80% 4s2
1 r2s–2 C 1 r2s2
daripada nilai boleh insurans rumah itu. Rumah A 4 4

Puan Fatimah mengalami kerugian sebanyak B 1 1 D 4r2s–2
4
RM200 000 disebabkan kebakaran. Berapakah r2s 2

jumlah pampasan yang akan diterima jika 27. (34 × 625)– 1 =
4
Puan Fatimah membeli insurans pada jumlah
(5–3 × 27)– 1
RM286 000? 3

The insurable value of Puan Fatimah’s house is A 1 C 9
RM550 000. The fire insurance bought by Puan Fatimah 25 D 25
has coinsurance of 80% of the insurable value. Puan
Fatimah’s house incurred a loss RM200 000 due to fire. B 1
What is the amont of compensation will be received if 9
Puan Fatimah buys insurance at RM286 000?

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 136

28. Hitung median bagi data 124, 132, 108, 114, 122 Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

dan 129. 31. Rajah 11 ialah gambar rajah Venn dengan set A
Calculate the median of data 124, 132, 108, 114, 122 dan set B.
and 129.
Diagram 11 is a Venn diagram with set A and set B.
A 121 C 123
AB

B 122 D 124

29. Jadual 2 menunjukkan kekerapan longgokan Rajah 11

bagi 25 orang murid dan skor yang diperoleh Diagram 11

dalam suatu kuiz. Diberi bahawa set semesta,  = A  B, n(A) = 15,

Table 2 shows the cumulative frequency of 25 pupils
and the score obtained in a quiz.

Skor Kekerapan longgokan n(B) = 24 dan n(A  B) = 36. Cari n(B)’.
Given that the universal set,  = A  B, n(A) = 15,
Score Cumulative frequency n(B) = 24 and n(A  B) = 36. Find n(B).

0 3 A 12 C 21
1 7
2 9 B 15 D 24
3 12
4 18 32. Rajah 12 ialah gambar rajah Venn yang dengan
5 25 set semesta, , set R dan set S. Diberi bahawa,
Jadual 2  = R  S,  = {bilangan penduduk}, set R =
{penduduk yang menyertai Kelab Kebudayaan}
Table 2 dan set S = {penduduk yang menyertai Kelab
Masakan}.
Hitung varians skor.
Diagram 12 is a Venn diagram with the universal set, ,
Find the variance of the score. set R and set S. It is given that  = R  S,  = {number of
residents}, set R = {residents who joined Culture Culb}
A 1.4909 C 2.2228 and set S = {residents joined Cooking Club}.

B 1.7772 D 3.1584 ξR S

30. Rajah 10 ialah histogram yang menunjukkan 25
masa yang digunakan oleh 40 orang murid untuk
menyiapkan kerja sekolah mereka. Rajah 12

Diagram 10 is a histogram showing the time spent by Diagram 12
40 pupils to complete their homework.
Jika n() = 220, n(R) = 130 dan n(S) =100, cari
Kekerapan/Frequency bilangan penduduk yang tidak menyertai kedua-
dua kelab.
14
If n() = 220, n(R) = 130 and n(S) = 100, find the
12 number of residents who did not join both clubs.

10 A 15
B 25
8 C 75
D 105
6
33. Diberi y = (2p + 1)x – 4 dan 2y + 3 = (–4 + p)x
4 adalah dua garis lurus yang selari, hitung nilai p.

2 Given that y = (2p + 1)x – 4 and 2y + 3 = (–4 + p)x are
two parallel straight lines, calculate the value of p.
0 Masa (min)
19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 Time (min) A –5
B –2
Rajah 10 C –1
D 3
Diagram 10

Hitung min, masa yang digunakan oleh seorang

murid untuk menyiapkan kerja sekolah.

Calculate the mean of the time spent by a pupil to

complete the homework.

A 35.5 C 44.5

B 40.5 D 45.5

137 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

34. Sebuah bakul mengandungi 200 biji oren. Sebiji 38. Jadual 3 menunjukkan beberapa nilai bagi
pemboleh ubah p, q dan r.
oren dipilih secara rawak daripada bakul tersebut.
Table 3 shows some values of the variable p, q and r.
Kebarangkalian memilih sebiji oren yang rosak
3
ialah 8 . Cari bilangan oren yang tidak rosak. p4 6
q2 s
A basket contains 200 oranges. An orange is chosen at r9 16

random from the basket. The probability of choosing a
3
rotten orange is 8 . Find the number of oranges that are
not rotten.
Jadual 3
A 50 C 125
Table 3
B 75 D 150
q
35. Kebarangkalian Mina dan Kamariah lulus dalam Diberi bahawa p  r , cari nilai s.

ujian Matematik masing-masing ialah 2 dan 3 . q
5 4 Given that p  r , find the value of s.
Cari kebarangkalian hanya salah seorang daripada
A 4 C 16
mereka yang lulus dalam ujian Matematik.
B 8 D 24
The probabilities of Mina and Kamariah pass in a
2 3
Mathematics test are 5 and 4 respectively. Find 39. Kedai Kasut Roslina menempah 10 pasang kasut
sekolah dan 14 pasang kasut sukan. Kedai Kasut
the probability that only one of them passes the Shahrul menempah 11 pasang kasut sekolah
dan 7 pasang kasut sukan. Setiap pasang kasut
Mathematics test. sekolah berharga RM30 dan setiap pasang kasut
sukan berharga RM60. Antara berikut, manakah
A 1 C 9 kaedah yang betul untuk mengira jumlah
10 20 bayaran yang perlu dibayar oleh Kedai Kasut
Roslina, x dan Kedai Kasut Shahrul, y?
B 3 D 11
10 20 Kedai Kasut Roslina orders 10 pairs of school shoes
and 14 pairs of sport shoes. Kedai Kasut Shahrul orders
36. Diberi R berubah secara langsung dengan punca 11 pairs of school shoes and 7 pairs of sport shoes. The
price of each pair of school shoes is RM30 and each pair
kuasa dua S dan secara songsang dengan kuasa of sport shoes is RM60. Which of the following is the
correct method to calculate the amount of payment paid
tiga T. Cari hubungan antara R, S dan T. by Kedai Kasut Roslina, x, and Kedai Kasut Shahrul, y?

Given R varies directly as the square root of S and A 10 11 30   =  x
inversely as the cube of T. Find the relation between R, 14 7 60 y
S and T.
B 10 11 60   =  x
A R  S2 14 7 30 y
3T
C 10 14 30   =  x
B R  S 11 7 60 y
T3
D 10 14 60   =  x
C R  S 11 7 30 y
3T

D R  T3
S

37. Diberi y berubah secara langsung dengan

punca kuasa tiga x dan y = 18 apabila x = 729.

Ungkapkan y dalam sebutan x. 40. Diberi bahawa:
Given y varies directly as the cube root of x and y = 18
when x = 729. Express y in terms of x. Given that:

A y = 1 3x 7 1  +  1 –6 n  =  56 5
8 3 –6 3 9 6 –4

B y= 1 3x Hitung nilai n.
2
Calculate the value of n.
C y = 23x C 4
A –12 D 12
D y = 83x B –4

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 138

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

Kertas 2

Paper 2
Dua jam tiga puluh minit

Two hours thirty minutes

Bahagian A

Section A

[40 markah]

[40 marks]

Jawab semua soalan dalam bahagian ini.

Answer all questions in this section.

1. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set R, set S dan set T dengan keadaan set semesta,
 = R ∪ S ∪ T. Pada rajah di ruang jawapan, lorek set

The Venn diagram in the answer space shows set R, set S and set T such that the universal set,  = R ∪ S ∪ T. On the
diagram in the answer space, shade the set

(a) R ∩ T
(b) R ∩ (S ∪ T)

[3 markah]

[3 marks]

Jawapan / Answer :

(a) S T (b) S T

R R

2. Jarak antara Bandar A dengan Bandar B ialah 2110203 km. Nyatakan jarak, dalam km, antara kedua-dua
bandar tersebut dalam asas lapan.

The distance between City A and City B is 2110203 km. State the distance, in km, between the two cities in base eight.

[4 markah]

[4 marks]

Jawapan / Answer :

Nilai nombor / Number value 8 600
= (2 × 35) + (1 × 34) + (1 × 33) + (0 × 32) + (2 × 31) + (0 × 30) 8 75 – 0
= 486 + 81 + 27 + 0 + 6 + 0 8 9 –3
= 60010 8 1 –1

Jarak antara Bandar A dengan Bandar B ialah 11308 km. 01

Distance between City A and City B is 11308 km.

139 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

3. Selesaikan persamaan linear serentak yang berikut.

Solve the following simultaneous linear equations.

x − 4y = −8
3x + 7y = −5

[4 markah]

[4 marks]

Jawapan / Answer : Apabila / When y = 1,
x = 4y − 8
x − 4y = −8 …  = 4(1) − 8
3x + 7y = −5 …  = −4
Daripada / From : x = 4y − 8 … 
Gantikan  ke dalam : / Substitute  into : ∴  x = –4, y = 1
3(4y − 8) + 7y = −5
12y − 24 + 7y = −5
19y = 19
y = 1

4. Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut.

Solve the following quadratic equation.

−(3x − 1)2 = 25x + 1

[4 markah]

[4 marks]

Jawapan / Answer :

−(3x − 1)2 = 25x + 1

−(9x2 − 6x + 1) = 25x + 1

−9x2 + 6x − 1 = 25x + 1

−9x2 − 19x − 2 = 0

9x2 + 19x + 2 = 0

(9x + 1)(x + 2) = 0 1
9
x = − , x= −2

5. Kotak P mempunyai sebatang pen biru, 2 batang pen hitam dan 3 batang pen merah. Kotak Q mempunyai
4 biji pemadam putih dan 5 biji pemadam hitam. Kotak R pula mempunyai 6 keping kad bernombor
yang dilabel dengan nombor “1, 2, 3, 5, 7, 8”. Satu item dipilih secara rawak daripada setiap kotak. Cari
kebarangkalian mendapat sebatang pen hitam, sebiji pemadam putih dan satu keping kad bernombor yang
dilabel dengan nombor genap.

Box P has a blue pen, 2 black pens and 3 red pens. Box Q has 4 white erasers and 5 black erasers. Box R has 6 pieces of
number cards labelled with the numbers “1, 2, 3, 5, 7, 8”. An item is randomly selected from each box. Find the probability
of getting a black pen, a white eraser and a piece of number card labelled with an even number.

[3 markah]

[3 marks]

Jawapan / Answer :

Kebarangkalian / Probability
2 4 2
= 6 × 9 × 6

= 4
81

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 140

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

6. Rajah 1 menunjukkan gabungan pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma dan sebuah kuboid.

Diagram 1 shows a composite solid consisting of a prism and a cuboid.

p cm

4 cm

12 cm

15 cm

9 cm

Rajah 1 / Diagram 1

Diberi bahawa isi padu gabungan pepejal itu ialah 780 cm3. Hitung nilai p.

Given that the volume of the composite solid is 780 cm3. Calculate the value of p.

[4 markah]

[4 marks]

Jawapan / Answer :
21 (12
+ p + 4)(9)(4) + (15)(4)(4) = 780
18(16 + p) + 240 = 780

288 + 18p = 540

18p = 252

p = 14

7. Rajah 2 menunjukkan dua garis lurus, PQ dan QR. Diberi bahawa kecerunan garis lurus PQ ialah –2.

Diagram 2 below shows two straight lines, PQ and QR.Given the gradient of the straight line PQ is –2.

y
Q

O x
R(–4, –4) P(6, 0)

Rajah 2 / Diagram 2

(a) Cari koordinat titik Q.

Find the coordinates of point Q.

(b) Cari persamaan garis lurus QR.

Find the equation of the straight line QR.

(c) Cari pintasan-x bagi garis lurus QR.

Find the x-intercept of the straight line QR.

[5 markah]

[5 marks]

Jawapan / Answer : mPQ = – Pintasan-y / y-intercept
Pintasan-x / x-intercept
(a)

–2 = – Pintasan-y / y-intercept
6

Pintasan-y / y-intercept = 2 × 6
= 12

∴  Q(0, 12)

141 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

(b) mQR = 12 – (–4)
0 – (–4)

= 16
4

= 4

∴  y = 4x + 12

(c) 4 = – 12
Pintasan-x / x-intercept

Pintasan-x / x-intercept = – 12
4
= –3

8. Jadual 1 menunjukkan maklumat kewangan Encik Lau.

Table 1 shows the financial information of Mr Lau.

Pendapatan bulanan RM2 500
RM480
Monthly income RM1 150
RM940
Pendapatan pasif

Passive income

Perbelanjaan tetap

Fixed expenses

Perbelanjaan tidak tetap

Variable expenses

Jadual 1 / Table 1

(a) Encik Lau bercadang menyimpan 12% daripada pendapatan bulanannya setiap bulan sebagai dana

kecemasan. Hitung jumlah terkumpul dana kecemasan itu selepas setahun.

Mr Lau plans to save 12% of the monthly income every month for emergency fund. Calculate the accumulated amount
of the emergency fund after one year.

(b) Kemudian, hitung aliran tunai bulanan Encik Lau.

Hence, calculate Mr Lau’s monthly cash flow.

[4 markah]

[4 marks]

Jawapan / Answer :

(a) Simpanan bulanan untuk dana kecemasan (b) Aliran tunai bulanan Encik Lau

Monthly savings for emergency fund Mr Lau’s monthly cash flow

= 12 × RM2 500 = RM2 500 + RM480 – RM300 – RM1 150 – RM940
100
= RM590

= RM300

Jumlah terkumpul

Accumulated amount

= RM300 × 12

= RM3 600

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 142

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

9. Rajah 3 menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan dua buah objek, M dan N. Graf OA mewakili

pergerakan objek M dan graph OBCD mewakili pergerakan objek N. Kedua-dua objek bermula pada titik

yang sama dan bergerak pada laluan yang sama.

Diagram 3 shows a speed-time graph for the movement of two objects, M and N. The graph OA represents the movement
of object M and the graph OBCD represents the movement of the object N. Both objects start at the same point and move
along the same route.

Laju (m s–1)/ Speed (m s–1)
A
BC
16 D

O Masa (s)
Time (s)
5T

Rajah 3 / Diagram 3

(a) Nyatakan laju seragam, dalam m s–1, bagi objek N.

State the uniform speed, in m s–1, of object N.

(b) Pada T saat, perbezaan jarak yang dilalui antara objek M dengan objek N ialah 16 m. Cari nilai T.

At T seconds, the difference in the distance travelled between object M and object N is 16 m. Find the value of T.

[5 markah]

[5 marks]

Jawapan / Answer :
(a) Laju seragam objek N

Uniform speed of object N

= 16 m s–1

(b) Jumlah jarak yang dilalui oleh objek M

Total distance travelled by object M
1
= 2 × T × 16

= 8T

Jumlah jarak yang dilalui oleh objek N

Total distance travelled by object N
1
= 2 × (T +T − 5)(16)

= 8(2T − 5)

= 16T − 40

Perbezaan jarak = 16

Difference in distance

16T − 40 − 8T = 16
8T − 40 = 16
8T = 56
T = 7

143 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

10. Rajah 4 menunjukkan tiga keping kad bernombor di dalam kotak P dan 4 keping kad berhuruf di dalam
kotak Q.

Diagram 4 shows three pieces of numbered cards in box P and 4 pieces of letter cards in box Q.

15 P RK
4 A

Kotak P / Box P Kotak Q / Box Q

Rajah 4 / Diagram 4

Sekeping kad dipilih secara rawak daripada setiap kotak. Cari kebarangkalian bahawa kad-kad yang dipilih

ialah kad dengan nombor ganjil dan huruf vokal.

A piece of card is picked at random from each box. Find the probability that the cards picked are cards with an odd
number and a vowel.

[4 markah]

[4 marks]

Jawapan / Answer :

P(memilih nombor ganjil / picking an odd number)

= 2
3

P(memilih huruf vokal / picking a vowel)

= 1
4

P(memilih nombor ganjil dan huruf vokal / picking an odd number and a vowel)

= 2 × 1
3 4

= 1
6

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 144

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

Bahagian B

Section B

[45 markah]

[45 marks]

Jawab semua soalan dalam bahagian ini.

Answer all questions in this section.

11. (a) Lukis dan lorekkan rantau yang memuaskan x > 0, y > 0 dan ketaksamaan linear berikut pada satah
Cartes yang disediakan pada ruang jawapan.

Draw and shade the region that satisfies x > 0, y > 0 and the following linear inequalities on the Cartesian plane
provided in the answer space.

2y > x + 2
5x + 4y , 40

[6 markah]

[6 marks]

(b) Berdasarkan rantau di 11(a), tentukan sama ada titik-titik berikut memuaskan sistem ketaksamaan linear
tersebut atau tidak.

Based on the region in 11(a), determine whether the following points satisfy the system of linear inequalities.

(i) (2, 4)
(ii) (4, 5)
(iii) (6, 8)

[3 markah]

[3 marks]

Jawapan / Answer :

(a) y 2y > y + 2 5x + 4y , 40
1
10 y > 2 x + 1 4y , –5x + 40
8 5
6 1 y , – 4 x + 10
4 2
y = x + 1 5
4
(6, 8) y =– x + 10

x2 8
5
y2 x08

(4, 5) 2y = x + 2 y 10 0

(2, 4)

2 5x + 4y = 40 x
468 10
O2

(b) (i) Ya
Yes

(ii) Tidak
No

(iii) Tidak
No

145 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM L

12. Rajah 5 menunjukan tiga sisi empat, ABCD, EFGH dan GJKL.

Diagram 5 shows three quadrilaterals, ABCD, EFGH and GJKL.

y
x=1

12

10 F
B HG

CD 8 J E
6

A
4

2 K
–4 –2 O x

24 68

Rajah 5 / Diagram 5

(a) Sisi empat GJKL ialah imej bagi sisi empat ABCD di bawah gabungan transformasi MN. Huraikan
selengkapnya, transformasi

Quadrilateral GJKL is the image of the quadrilateral ABCD under the combined transformation MN. Describe in full, the
transformations

(i) N
(ii) M

[5 markah]

[5 marks]

(b) Diberi bahawa sisi empat ABCD mewakili kawasan dengan luas 40 m2. Hitung luas, dalam m2, yang
diwakili oleh kawasan berlorek.

Given that quadrilateral ABCD represents a region of area 40 m2. Calculate the area, in m2, represented by the shaded
region.

[4 markah]

[4 marks]

Jawapan / Answer :

(a) (i) Transformasi N ialah pantulan pada garis x = 1.

Transformation N is a reflection in the line x = 1.

(ii) k = 12 = 3
4

Transformasi M ialah pembesaran pada pusat G(5, 7) dengan faktor skala 3.
Transformation M is an enlargement at center G(5, 7) with a scale factor of 3.

(b) Luas GJKL / Area of GJKL Luas kawasan berlorek / Area of the shaded region
= 32 × 40 = 360 − 40
= 9 × 40 = 320 m2
= 360 m2

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 146

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

13. Jadual 2 menunjukkan maklumat tentang insurans kebakaran yang dibeli oleh Encik Halim untuk rumahnya.

Table 2 shows the information about the fire insurance bought by Encik Halim for his house.

Butiran Jumlah

Details Amount

Nilai boleh insurans rumah RM420 000

Insurable value of the house RM2 800
75% daripada nilai boleh insurans harta
Peruntukan deduktibel
75% of the insurable value of the property
Allocation of deductible

Peruntukan ko-insurans

Allocation of co-insurance

Jadual 2 / Table 2

(a) Hitung jumlah insurans yang harus dibeli oleh Encik Halim.

Calculate the the amount of required insurance by Encik Halim.

[2 markah]

[2 marks]

(b) Rumah Encik Halim telah mengalami kebakaran dan menyebabkan kerugian berjumlah RM39 000.

Hitung bayaran pampasan yang akan diterima oleh Encik Halim jika dia menginsuranskan rumahnya

Encik Halim’s house has caught fire and incurred a loss of RM39 000. Calculate the compensation payment that will
be received by Encik Halim if he insures his house

(i) pada jumlah insurans yang harus dibeli,

on the amount of required insurance ,

(ii) dengan jumlah RM200 000.

with the total of RM200 000.

[5 markah]

[5 marks]

(c) Rumah Encik Halim telah mengalami kerugian menyeluruh dan nilai yang diinsuranskan ialah

RM25 0000. Berapakah bayaran pampasan yang akan diterima oleh Encik Halim?

Encik Halim’s house suffered a total loss and the insured value is RM250 000. What is the compensation payment that
will be received by Encik Halim?

[2 markah]

[2 marks]

Jawapan / Answer :

(a) Jumlah insurans yang harus dibeli

The amount of required insurance
75
= 100 × RM420 000

= RM315 000

(b) (i) Bayaran pampasan
Compensation payment
= RM39 000 – RM2 800
= RM36 200

(ii) RM200 000 , RM315 000

Bayaran pampasan

Compensation payment
RM200 000
= RM315 000 × RM39 000 − RM2 800

= RM24 761.90 – RM2 800

= RM21 961.90

147 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

(c) Bayaran pampasan

Compensation payment

= RM250 000 – RM2 800
= RM247 200

14. (a) Tentukan sama ada suatu graf boleh dilukis bagi bilangan darjah yang berikut. Berikan satu sebab.

Determine whether a graph can be drawn for the following number of degrees. Give one reason.

(i) 4, 2, 3, 1, 2
(ii) 2, 2, 3, 1, 4, 1

[4 markah]

[4 marks]

(b) Rajah 6 menunjukkan graf tak terarah berpemberat. Pemberat tersebut mewakili jarak, dalam m, antara
bucu.

Diagram 6 shows an undirected weighted graph. The weight represents the distance, in m, between vertices.

A8B

9

5 73C

5

E 10 D

Rajah 6 / Diagram 6


(i) Hitung bilangan darjah bagi graf itu.

Calculate the sum of degrees of the graph.

(ii) Lengkapkan Rajah 7 dalam ruang jawapan bagi membentuk satu pokok dengan jumlah jarak yang
minimum. Kemudian, hitung jumlah jarak minimum itu, dalam m.

Complete Diagram 7 in the answer space to form a tree with a minimum total distance. Hence, calculate the
minimum total distance, in m.

[5 markah]

[5 marks]

Jawapan / Answer :

(a) (i) Jumlah darjah
Sum of degrees
= 4 + 2 + 3 + 1 + 2
= 12

Graf boleh dilukis kerana jumlah darjah adalah genap.

Graph can be drawn because the sum of degrees is even.

(ii) Jumlah darjah
Sum of degrees
=2+2+3+1+4+1
= 13

Graf tidak boleh dilukis kerana jumlah darjah adalah ganjil.

Graph cannot be drawn because the sum of degrees is odd.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 148

(b) (i) Bilangan darjah B Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 
Sum of degrees
Bilangan bucu
= 2(7)
= 14 Number of vertices

(ii) A =5
Bilangan tepi
5 7 3C
Number of edges
5
ED =5–1
=4
Rajah 7 / Diagram 7 Bilangan tepi yang perlu dibuang

Number of edges to be removed

=7–4
=3
Jumlah jarak minimum

Minimum total weight

=5+7+3+5
= 20 m

15. (a) (i) Rajah 8 menunjukkan lokus bagi titik R. Huraikan lokus R selengkapnya.

Diagram 8 shows the locus of point R. Describe completely the locus of R.

10 cm Lokus R
O Locus of R

Rajah 8 / Diagram 8

(ii) Rajah 9 menunjukkan segi empat sama PQRS. Garis AC dan BD masing-masing ialah garis yang
membahagi tengah garis PQ dan QR.

Diagram 9 shows a square PQRS. Lines AC and BD are lines that divide at middle of lines PQ and QR respectively.

PA Q

D B
O

SCR

Rajah 9 / Diagram 9

Nyatakan lokus bagi titik yang berjarak sama dari garis lurus PR dan QS yang bersilang di O.

State the locus of a point that is equidistant from straight lines PR and QS intersecting at O.

[4 markah]

[4 marks]

149 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

(b) Rajah 10 dalam ruang jawapan menunjukkan sebuah trapezium KLMN. Pada Rajah 10,

Diagram 10 in the answer space shows a trapezium KLMN. On Diagram 10,

(i) lukis lokus bagi titik X yang bergerak dengan jaraknya sama dari titik K dan titik N,

draw locus of a moving point X which is equidistant from point K and point N,

(ii) lukis lokus bagi titik Y yang bergerak dengan keadaan jaraknya adalah sentiasa sama dari garis LM
dan garis MN,

draw a locus of a moving point Y which is equidistant from line LM and line MN,

(iii) tandakan titik persilangan lokus X dan lokus Y dengan simbol ⊗.

mark the point of intersection of locus of X and locus of Y with the symbol ⊗.

[5 markah]

[5 marks]

Jawapan / Answer :

(a) (i) Lokus bagi titik R yang bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa 10 cm dari titik O.

Locus of a moving point R which is constantly 10 cm from point O.

(ii) Garis AC dan garis BD.

Line AC and line BD

(b) (i), (ii), (iii)

KL
Lokus X
Locus of X

Lokus Y M
Locus of Y

N

Rajah 10 / Diagram 10

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 150

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

Bahagian C

Section C

[15 markah]

[15 marks]

Jawab satu soalan daripada bahagian ini.

Answer one question from this section.

16. Sebuah sekolah mengadakan lawatan sambil belajar ke sebuah kilang kejuruteraan. Murid-murid yang
menyertai lawatan itu dibahagikan kepada dua kumpulan, iaitu kumpulan Sigma dan kumpulan Gamma.
Antara aktiviti semasa lawatan tersebut ialah pertandingan menjawab kuiz yang melibatkan dua jenis
soalan, soalan Matematik dan soalan Sains.

A school is organising a study tour to an engineering factory. The pupils who joined the study tour are divided into two
groups, that are Sigma group and Gamma group. Among the activities during the tour is a quiz competition that involved
two types of questions, Mathematics questions and Science questions.

(a) Jumlah bilangan murid yang menyertai lawatan sambil belajar itu ialah 55 orang. Bilangan murid dalam
kumpulan Gamma melebihi bilangan murid dalam kumpulan Sigma sebanyak 5 orang. Nyatakan nisbah
bilangan murid dalam kumpulan Sigma kepada kumpulan Gamma.

The total number of pupils who joined the study tour is 55 pupils. The number of pupils in Gamma group exceeds the
number of pupils in the Sigma group by 5 pupils. State the ratio of the number of pupils in Sigma group to Gamma
group.

[4 markah]

[4 marks]

(b) Setiap kumpulan diminta mencipta satu logo kumpulan daripada sekeping kadbod berbentuk bulatan
berdiameter 24 cm. Kumpulan Sigma mencipta logo berbentuk sebuah heksagon sekata bersisi 12 cm
seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 11.

Each group is required to create a group logo from a circular cardboard with a diameter of 24 cm. Sigma group creates

a logo with a shape of regular hexagon with side 12 cm as shown in Diagram 11.

Rajah 11 / Diagram 11

Hitung luas, dalam cm2, bagi lebihan kadbod yang tidak digunakan. Berikan jawapan anda betul kepada

dua tempat perpuluhan.
Calculate the area, in cm2, of the remaining unused cardboard. Give your answer correct to two decimal places.
22
[Guna / Use π = 7 ]

[3 markah]
[3 marks]

151 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

(c) Jadual 3 menunjukkan bilangan soalan yang berjaya dijawab oleh kumpulan Sigma dan Gamma bagi
pertandingan kuiz.

Table 3 shows the number of questions answered successfully by groups Sigma and Gamma in the quiz competition.

Kumpulan Soalan Matematik Soalan Sains

Group Mathematics questions Science questions

Sigma 12 14
Gamma 10 18
Jadual 3 / Table 3

(i) Dalam pertandingan kuiz itu, jumlah bilangan soalan yang ditanya bagi soalan Matematik dan
soalan Sains masing-masing ialah 15 dan 20. Bagi setiap satu soalan Matematik yang betul akan
mendapat p markah manakala bagi soalan Sains akan mendapat q markah. Jumlah markah bagi
satu soalan Matematik dan dua soalan Sains ialah 7 markah. Markah keseluruhan pertandingan
kuiz ini ialah 85 markah. Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai p dan q.

In the quiz competition, the total number of questions asked for Mathematics questions and Science questions are
15 and 20 respectively. For each correct Mathematics question will get p marks whereas Science questions will
get q marks. The total marks for one Mathematics question and two Science questions is 7. The total marks for
the quiz competition is 85 marks. By using matrix method, calculate the values of p and q.

[5 markah]

[5 marks]

(ii) Salah seorang murid dalam kumpulan Gamma menyatakan bahawa mereka akan memenangi
pertandingan kuiz itu. Dengan menggunakan jawapan di 16 (c)(i), adakah anda bersetuju dengan
pernyataan itu? Justifikasikan jawapan anda.

One of the pupils in Gamma group says that they will be winning the quiz competition. By using the answer in
16 (c)(i), do you agree with the statement? Justify your answer.

[3 markah]

[3 marks]

Jawapan / Answer :

(a) x = bilangan murid dalam kumpulan Sigma / number of pupils in Sigma group
y = bilangan murid dalam kumpulan Gamma / number of pupils in Gamma group

x + y = 55 … 
y−x=5…
 +  : 2y = 60
y = 30

Gantikan y = 30 ke dalam  / Substitute y = 30 into ,
x + 30 = 55
x = 25

x : y = 25 : 30
=5:6

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 152

(b) OA = 122 − 62 Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 
= 108
= 10.39 cm 12 cm
A
Luas satu segi tiga 6 cm

Area of one triangle O 12 cm

= 1 × 12 × 10.39
2

= 62.34 cm2

Luas heksagon sekata Luas lebihan kadbod yang tidak digunakan

Area of regular hexagon Area of the remaining unused cardboard

= 62.34 × 6 = 22 × 122 − 374.04
= 374.04 cm2 7 374.04

= 452.57 −

= 78.53 cm2

(c) (i) p + 2q = 7
15p + 20q = 85

1 2 p = 7
15 20 q 85

p = 1 20 –2 7
q (1)(20) – (2)(15) –15 1 85

= – 1 140 – 170
10 –105 + 85

= 3
2

∴  p = 3, q = 2

(ii) Jumlah markah kumpulan Sigma / Total marks for Sigma group
= 12(3) + 14(2)
= 64

Jumlah markah kumpulan Gamma / Total marks for Gamma group
= 10(3) + 18(2)
= 66

Ya, pernyataan murid itu adalah benar kerana jumlah markah kumpulan Gamma lebih tinggi
daripada kumpulan Sigma.

Yes, the statement of the pupil is true because the total marks for Gamma group is higher than Sigma group.

153 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

17. Jadual 4 menunjukkan kekerapan Shahirah menghantar mesej kepada rakannya dalam sehari bagi suatu
tempoh masa.

Table 4 shows the frequency of Shahirah sent messages to her friends in a day for a period of time.

Bilangan mesej yang dihantar 10 11 12 13 14 15
25 6 p−2 10 8
Number of messages sent
Jadual 4 / Table 4
Kekerapan

Frequency

(a) (i) Jika mod bagi data tersebut ialah 14, nyatakan nilai maksimum bagi p.

If the mode of the data is 14, state the maximum value of p.

(ii) Dengan menggunakan jawapan di 17 (a)(i), hitung min bagi bilangan mesej harian yang dihantar
oleh Shahirah.

By using answer in 17 (a)(i), calculate the mean of the daily messages sent by Shahirah.

[4 markah]

[4 marks]

(b) Kemudian, lukis plot kotak bagi data itu pada graf yang disediakan pada ruang jawapan.

Hence, draw a box plot of the data on the graph provided in the answer space.

[5 markah]

[5 marks]

(c) Shahirah mencatatkan masa yang diambilnya untuk menaip setiap mesej tersebut. Jadual 5 menunjukkan
jumlah masa, dalam saat, yang digunakan dalam sehari untuk menghantar mesej tersebut pada tempoh
masa yang sama.

Shahirah records the time taken to type each of the messages. Table 5 shows the total time taken, in seconds, in a day
to send the messages in the same period of time.

Jumlah masa yang digunakan (s) 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50

Total time taken (s)

Kekerapan 103 113 118 102 88

Frequency

Jadual 5 / Table 5

(i) Lengkapkan Jadual 6 pada ruang jawapan. Kemudian, hitung sisihan piawai bagi jumlah masa yang
digunakan oleh Shahirah untuk menghantar mesej tersebut.

Complete Table 6 in the answer space. Hence, calculate the standard deviation of the total time taken by Shahirah
to send the messages.

(ii) Rakan baik Shahirah, Sri Devi juga telah mencatatkan jumlah masa yang digunakan, dalam saat,
olehnya dalam sehari untuk menghantar mesej pada tempoh masa yang sama. Sisihan piawai bagi
data Sri Devi ialah 15.23 s. Serakan siapakah, antara Shahirah dengan Sri Devi, mempunyai jumlah
masa yang digunakan dalam sehari untuk menghantar mesej lebih luas? Berikan sebab anda.

Shahirah’s best friend, Sri Devi also has recorded the total time taken, in seconds, by her in a day to send
messages in the same period of time. The standard deviation for Sri Devi’s data is 15.23 s. Which dispersion,
between Shahirah and Sri Devi, has the wider of the total time taken in a day to send the messages? Give your
reason.

[6 markah]

[6 marks]

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 154

Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM 

Jawapan / Answer :

(a) (i) p − 2 < 9
p < 11

∴  Nilai maksimum p ialah 11.

  The maximum value of p is 11.

(ii) Min / Mean

= 10(2) + 11(5) + 12(6) + 13(9) + 14(10) + 15(8)
2 + 5+6 + 9 + 10 + 8
524
= 40

= 13.1

(b)

10 11 12 13 14 15
Bilangan mesej yang dihantar / Number of messages sent

Bilangan mesej yang dihantar 10 11 12 13 14 15
2 5 6 9 10 8
Number of messages sent 2 7 13 22 32 40

Kekerapan

Frequency

Kekerapan longgokan

Cumulative frequency

Nilai minimum = 10

Minimum value

Kuartil pertama

First quartile
14
× 40 = 10
Q1 = 12

Median / Median
12 × 40 = 20
Q2 = 13

Kuartil ketiga / Third quartile
43 × 40 = 30
Q3 = 14

Nilai maksimum
Maximum value = 15

155 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Matematik  Tingkatan 5  Kertas Model SPM

(c) (i) Jumlah masa yang
digunakan (s)
Kekerapan, f Titik tengah, x fx fx2
Total time taken (s)
Frequency, f Midpoint, x 566.5 3 115.75
1 751.5 27 148.25
1 – 10 103 5.5 3 009 76 729.5
3 621 128 545.5
11 – 20 113 15.5 4 004 182 182

21 – 30 118 25.5

31 – 40 102 35.5

41 – 50 88 45.5
Jadual 6 / Table 6

f = 524
fx = 12 952
fx2 = 417 721

12 952 2
524
 
σ = 417 721 –
524

= 13.65 s

(ii) Serakan jumlah masa yang digunakan oleh Sri Devi adalah lebih luas daripada Shahirah kerana

sisihan piawainya lebih besar, iaitu 15.23 s . 13.65 s.

The dispersion of the total time taken by Sri Devi is wider than Shahirah because her standard deviation is larger,
that is 15.23 s . 13.65 s.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KERTAS SOALAN TAMAT

END OF QUESTION PAPER
156