algebra_lineal_-_7ma_edicion_-_stanley_l-_grossman

7.4 Isomorfismos 527

EJEMPLO 7.4.3 Cómo determinar si una transformación es sobre

En el ejemplo 7.4.1, r(AT) 5 2; entonces im T 5 R2 y T es sobre. En el ejemplo 7.4.2, r(AT) 5 1 e

im T 5 gen ¯²© 1¹¿² Z R2; por lo tanto, T no es sobre.
±²°ª« 2º»ÁÀ²

T Teorema 7.4.2

Sea T : V S W una transformación lineal y suponga que dim V 5 dim W 5 n.

i) Si T es 1-1 entonces T es sobre.
ii) Si T es sobre, entonces T es 1-1.

Demostración

Sea AT una representación matricial de T. Entonces si T es 1-1, nu T 5 {0} y n(AT) 5 0,
lo que significa que r(T ) 5 r(AT) 5 n 2 0 5 n, de manera que im T 5 W. Si T es sobre,
entonces r(AT) 5 n; por lo tanto, n(T ) 5 n(AT) 5 0 y T es 1-1.

T Teorema 7.4.3

Sea T: V S W una transformación lineal. Suponga que dim V 5 n y dim W 5 m. En-
tonces

ii) Si n . m, T no es 1-1.

ii) Si m . n, T no es sobre.

Demostración

ii) Sea {v1, v2, . . . , vn} una base para V. Sea wi 5 Tvi para i 5 1, 2, . . . , n y observe el
conjunto S 5 {w1, w2, . . . , wn}. Como m 5 dim W , n, el conjunto S es linealmente
independiente. Así, existen escalares, no todos cero, tales que c1w1 1 c2w2 1 . . . 1
cnwn 5 0. Sea v 5 c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn. Como los elementos vi son
linealmente independientes y como no todos los coeficientes ci son cero, se
ve que v Z 0. Pero Tv 5 T(c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn) 5 c1Tv1 1 c2Tv2 1 . . .
1 cnTvn 5 c1w1 1 c2w2 1 . . . 1 cnwn 5 0. Por lo tanto, v P nu T y nu T Z {0}.

ii) Si v P V, entonces v 5 a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn para algunos escalares a1, a2, . . . ,
an y Tv 5 a1Tv1 1 a2Tv2 1 . . . 1 anTvn 5 a1w1 1 a2w2 1 . . . 1 anwn. Así, {w1, w2,
. . . , wn} 5 {Tv1, Tv2, Tvn} genera a la imagen de T. Entonces, del problema 5.5.34
de la página 359, r(T) 5 dim im T # n. Como m . n, esto muestra que im T Z W.
Entonces T no es sobre.

EJEMPLO 7.4.4 Una transformación de R3 en R2 no es 1-1

Sea T : R3 S R2 dada por T © x¹ 5 © 1 2 3¹ © x¹ . Aquí n 5 3 y m 5 2, de manera que T no es
ª zy»ººº ª« 4 5 6»º ª zyººº»
ª«ª ª«ª

1-1. Para ver esto, observe que

528 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

© 21¹ © 3¹ © 21¹ © 3¹ © 2¹ © 3¹ © 2¹ © 3¹
ª 2ºº ª« 6º» ª «ª 6º» ª 24ºº ª« 6»º ª 24ºº ª« 6º»
T ª 0º» 5 1 2 ª 2 º 5 y T ª 3 »º 5 1 2 ª 3 º» 5
ª« 4 5 «ª º «ª 4 5 ª«
0º»

Es decir, dos vectores diferentes en R3 tienen la misma imagen en R2.

EJEMPLO 7.4.5 Una transformación lineal de R2 en R3 no es sobre

© [¹ © ¹ © [¹
«ª \»º «ª \º»
Sea T: R2 S R3 dada por 7 5 ª º»ºº En este caso, n 5 2 y m 5 3, por lo que T no es
ªª«

sobre. Para demostrar esto debe encontrarse un vector en que no esté en la imagen de T. Un

© ¹ ⎛ ⎞
⎛ [⎞
ejemplo de vector así es ª ºº»º Esto es, no existe un vector x 5 ⎜⎝ \⎠⎟ en R2 tal que Tx 5 ⎜ ⎟⎠⎟⎟ . Esto
ª«ª ⎜⎝⎜

se prueba suponiendo que 7 © [¹ 5 © ¹ . Es decir,
«ª \º» ª º»ºº
ªª«

© ¹ © [¹ © ¹ © [ 1 \¹ © ¹
ººº» «ª \»º ª ºº»º
ª 5 ªª« R ª [ 1 \ º 5 ª ººº»
«ªª ªª« [ 1 \ »ºº ª«ª

Reduciendo por renglones se tiene

© _ ¹ © _ ¹ © _ ¹

ª _ º»ºº ª 2 _ »ººº ª 2 _ »ººº © ¹
ª«ª _ «ªª 2 _ «ªª _

La última línea se lee 0 ? x 1 0 ? y 5 1. Por lo tanto, el sistema es inconsistente y ª »ººº no está
en la imagen de T. «ªª

D Definición 7.4.3

Observación Isomorfismo

La palabra “isomorfismo” proviene del Sea T : V S W una transformación lineal. Entonces T es un isomorfismo si T
griego isomorphus, que significa “de igual es 1-1 y sobre.
forma” (iso 5 igual; morphus 5 forma).

D Definición 7.4.4

Espacios vectoriales isomorfos

Se dice que los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de
V sobre W. En este caso se escribe V _ W.

Después de unos ejemplos se verá la relación tan cercana que tienen las “formas” de los espa-
cios vectoriales isomorfos.

7.4 Isomorfismos 529

Sea T : Rn S Rn y sea AT la representación matricial de T. Ahora bien, T es 1-1 si y sólo
si nu T 5 {0}, lo que se cumple si y sólo si n(AT) 5 0 si y sólo si det AT Z 0. Por ello, se puede
extender el teorema de resumen (visto por última vez en la página 395) en otra dirección.

T Teor e m a 7.4.4 Teorema de resumen (punto de vista 8)

Sea A una matriz de n 3 n; entonces las 11 afirmaciones siguientes son equivalentes, es
decir, cada una implica a las otras 10 (de manera que si una es cierta, todas son ciertas):

ii ii) Es invertible.
i iii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
i iii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada vector de dimensión n b.
i iv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad, In, de n 3 n.
i iv) A se puede expresar como el producto de matrices elementales.
i vi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii) Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.
viii) det A Z 0.
iix) n(A) 5 0.
iix) r(A) 5 n.
ixi) La transformación lineal T de Rn en Rn definida por Tx 5 Ax es un isomorfismo.

Ahora se verán algunos ejemplos de isomorfismos entre otros pares de espacios vectoriales.

EJEMPLO 7.4.6 Un isomorfismo entre R3 y P2

© D¹

Defina T : R3 S P2 por 7 ª EFº»ºº 5 a 1 bx 1 cx2. Es sencillo verificar que T es lineal. Suponga que
© D¹ «ªª

7 ª Eºº 5 0 5 0 1 0x 1 0x2. Entonces a 5 b 5 c 5 0. Es decir, nu T 5 {0} y T es 1-1. Si
ª
ª« F»º © D ¹
ª º
p(x) 5 a0 1 a1x 1 a2x2, entonces p(x) 5 7 ª D º Esto significa que im T 5 P2 y T es sobre. Por

lo tanto, R3 _ P2. ǻ D ȼ

Nota. dim R3 5 dim P2 5 3. Entonces por el teorema 7.4.2, una vez que se sabe que T es 1-1,
también se sabe que es sobre. Esto ya se verificó, aunque no era necesario hacerlo.

EJEMPLO 7.4.7 Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales
de dimensión infinita

Sea V 5 { f P C 1[0, 1]: f (0) 5 0} y W 5 C 1[0,1]. Sea D: V S W dado por Df 5 f 9. Suponga

que Df 5 Dg. Entonces f 9 5 g9 o ( f – g)9 5 0 y f (x) 2 g(x) 5 c, una constante. Pero f (0) 5 g(0)

5 0, de manera que c 5 0 y f 5 g. Entonces D es 1-1. Sea g P C 1[0,1] y sea f (x) 5 µ0x

g(t) dt .

Entonces, por el teorema fundamental de cálculo, f P C 1[0, 1] y f 9(x) 5 g(x) para todo x P [0, 1].

530 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

0

Más aún, como µ0 g(t) dt 5 0, se tiene que f (0) 5 0. Por lo tanto, para todo g en W existe una

f P V tal que Df 5 g. Así, D es sobre y se ha demostrado que V _ W.
El teorema que sigue ilustra la similitud entre dos espacios vectoriales isomorfos.

T Teorema 7.4.5

Sea T : V S W un isomorfismo.
iii) Si v1, v2, . . . , vn genera a V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn genera a W.
iii) Si v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes en V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn son

linealmente independientes en W.
iii) Si {v1, v2, . . . , vn} es una base en V, entonces {Tv1, Tv2, . . . , Tvn} es una base en W.
iv) Si V tiene dimensión finita, entonces W tiene dimensión finita y dim V 5 dim W.

Demostración

iii) Sea w P W. Entonces como T es sobre, existe un vector v P V tal que Tv 5 w. Como
los vectores vi generan a V, se puede escribir v 5 a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn, de manera
que w 5 Tv 5 a1Tv1 1 a2Tv2 1 . . . 1 anTvn, y eso muestra que {Tv1, Tv2, . . . , Tvn}
genera a W.

iii) Suponga que c1Tv1 1 c2Tv2 1 . . . 1 cnTvn 5 0. Entonces T(c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn)
5 0. Así, como T es 1-1, c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn 5 0, lo que implica que c1 5 c2 5
. . . 5 cn 5 0 ya que los vectores vi son independientes.

iii) Esto se deduce de los incisos i) y ii).
iiv) Esto se deduce del inciso iii).

Por lo regular es difícil demostrar que dos espacios vectoriales de dimensión infinita son iso-
morfos. Sin embargo, para los espacios de dimensión finita es muy sencillo. El teorema 7.4.3 señala
que si dim V Z dim W, entonces V y W no son isomorfos. El siguiente teorema muestra que si dim
V 5 dim W, y si V y W son espacios vectoriales reales, entonces V y W son isomorfos. Esto es,

Dos espacios reales de dimensión finita
de la misma dimensión son isomorfos.

T Teorema 7.4.6

Sean V y W dos espacios reales† de dimensión finita con dim V 5 dim W. Entonces
V _ W.

Demostración

Sea{v1, v2, . . . , vn} una base para V y sea {w1, w2, . . . , wn} una base para W. Defina la
transformación lineal T por

Tvi 5 wi para i 5 1, 2, . . . , n (7.4.2)

† Es necesaria la palabra “reales” porque es importante que los conjuntos de escalares en V y W sean el mismo. De otra
manera, la condición T(av) 5 aTv puede no cumplirse porque v P V, Tv P W, y av o aTv pueden no estar definidas.
El teorema 7.4.6 es cierto si se omite la palabra “real” y en su lugar se imponen las condiciones de que V y W estén
definidos con el mismo conjunto de escalares (como C por ejemplo).

7.4 Isomorfismos 531

Según el teorema 7.2.2, página 494, existe exactamente una transformación lineal que
satisface la ecuación (7.4.2). Suponga que v P V y Tv 5 0. Entonces, si v 5 c1v1 1 c2v2 1
. . . 1 cnvn, se tiene que Tv 5 c1Tv1 1 c2Tv2 1 . . . 1 cnTvn 5 C c1w1 1 c2w2 1 . . . 1 cnwn
5 0. Pero como w1, w2, . . . , wn son linealmente independientes, c1 5 c2 5 . . . 5 cn 5 0.
Por lo tanto, v 5 0 y T es 1-1. Como V y W tienen dimensión finita y dim V 5 dim W,
T es sobre por el teorema 7.4.2 y la prueba queda completa.

Este último resultado es esencial en el álgebra lineal. Nos indica que si se conoce un espacio
vectorial real de dimensión n, se conocen todos los espacios vectoriales reales de dimensión n.
Es decir, si se asocian todos los espacios vectoriales isomorfos, entonces Rn es el único espacio
de dimensión n sobre los reales.

R Resumen 7.4 (p. 526)
(p. 526)
• Transformación uno a uno
(p. 526)
Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es uno a uno, descrito 1-1, si Tv1 5 Tv2 (p. 527)
implica que v1 5 v2. Esto es, T es 1-1 si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exacta-
mente un vector en V. (p. 527)
• Sea T: V S W una transformación lineal; entonces T es 1-1 si y sólo si nu T 5 {0}
(p. 528)
• Transformación sobre
Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es sobre W o simplemente sobre, si (p. 529)
para todo w P W existe al menos un v P V tal que Tv 5 w. Es decir, T es sobre W si y sólo (p. 530)
si im T 5 W. (p. 529)

• Sea T: V S W una transformación lineal y suponga que dim V 5 dim W 5 n:
ii) Si T es 1-1, entonces T es sobre.
ii) Si T es sobre, entonces T es 1-1.

• Sea T: V S W una transformación lineal. Suponga que dim V 5 n y dim W 5 m. Entonces
ii) Si n . m, T no es 1-1.
ii) Si m . n, T no es sobre.

• Isomorfismo
Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es 1-1 y sobre.

• Espacios vectoriales isomorfos

Los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W. En este
caso, se escribe V _ W.

• Cualesquiera dos espacios vectoriales reales de dimensión finita con la misma dimensión son
isomorfos.

• Teorema de resumen
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces las siguientes 11 afirmaciones son equivalentes:
iii) Es invertible.
iii) La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).

532 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales (p. 530)

iiii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada n-vector b.
iiiv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad, In, de n 3 n.
iiiv) A se puede expresar como el producto de matrices elementales.
iivi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
ivii) Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.
viii) det A Z 0.
i ix) n(A) 5 0.
ii x) r(A) 5 n.
i xi) La transformación lineal T de Rn en Rn definida por Tx 5 Ax es un isomorfismo.

• Sea T: V S W un isomorfismo:
i iii) Si v1, v2, . . . , vn genera a V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn genera a W.
iiii) Si v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes en V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn son lineal-
mente independentes en W.
iiii) Si {v1, v2, . . . , vn} es una base en V, entonces {Tv1, Tv2, . . . , Tvn} es una base en W.
ii iv) Si V tiene dimensión finita, entonces W tiene dimensión finita y dim V 5 dim W.

A AUTOEVALUACIÓN 7.4

Indique si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos.
III) Una transformación lineal de Rn S Rm con n Z m no puede ser 1-1 y sobre a la vez.
III) Si dim V 5 5 y dim W 5 7, es posible encontrar un isomorfismo T de V en W.
III) Si T es 1-1, entonces nu T 5 {0}.
IV) Si T es un isomorfismo de un espacio vectorial V en R6, entonces r(T ) 5 6.
V) Si AT es una matriz de transformación de un isomorfismo de R6 en R6, entonces

det AT Z 0.

Respuestas a la autoevaluación
I) V II) F III) V IV) V V) V

Problemas 7.4

1. Demuestre que T: Mmn S Mnm definida por TA 5 A^ es un isomorfismo.
2. Demuestre que T: Rn S Rn es un isomorfismo si y sólo si AT es invertible.
*3. Sean V y W dos espacios vectoriales reales de dimensión n y sean B1 y B2 dos bases para

V y W, respectivamente. Sea AT la matriz de transformación relativa a las bases B1 y B2.
Demuestre que T: V S W es un isomorfismo si y sólo si det AT Z 0.
4. Encuentre un isomorfismo entre Dn, las matrices diagonales de n 3 n con elementos
reales, y Rn. [Sugerencia: Analice primero el caso n 5 2.]

7.4 Isomorfismos 533

5. ¿Para qué valor de m es isomorfo a Rm el conjunto de matrices simétricas de n 3 n? Transformación
inversa
6. Demuestre que el conjunto de matrices simétricas de n 3 n es isomorfo al conjunto de
matrices triangulares superiores de n 3 n.

7. Sea V 5 P4 y W 5 {p P P5: p(0) 5 0}. Demuestre que V _ W.

8. Defina T : Pn S Pn por Tp 5 p 1 p9. Demuestre que T es un isomorfismo.

9. Encuentre una condición sobre los números m, n, p, q tales que Mmn _ Mpq.

10. Demuestre que Dn _ Pn21.

11. Pruebe que cualesquiera espacios vectoriales complejos de dimensión finita V y W con
dim V 5 dim W son isomorfos.

12. Defina T: C [0, 1] S C [3, 4] por Tf (x) 5 f (x 2 3). Demuestre que T es un isomorfismo.

13. Sea B una matriz invertible de n 3 n. Demuestre que T: Mmn S Mnm definida por TA 5
AB es un isomorfismo.

14. Demuestre que la transformación Tp(x) 5 xp9(x) no es un isomorfismo de Pn en Pn.

15. Sea H un subespacio del espacio V de dimensión finita con producto interno. Demuestre
que T: V S H definida por T v 5 proyH v es sobre. ¿Bajo qué circunstancias será 1-1?

16. Demuestre que si T: V S W es un isomorfismo, entonces existe un isomorfismo S:
W S V tal que S(Tv) 5 v. Aquí S se llama transformación inversa de T y se denota
por T 21.

17. Demuestre que si T: Rn S Rn está definido por T x 5 Ax y si T es un isomorfismo, enton-
ces A es invertible y la transformación inversa T 21 está dada por T 21x 5 A21x.

18. Encuentre T 21 para el isomorfismo del problema 7.

*19. Considere el espacio C 5 {z 5 a 1 ib, donde a y b son números reales e i 2 521}. Demues-
tre que si los escalares se toman como reales, entonces C _ R2.

*20. Considere el espacio CnR 5 {(c1, c2, . . . , cn): ci P C y los escalares son reales}. Demuestre
que CnR _ R2n. [Sugerencia: Vea el problema 19.]

EJERCICIOS CON MATLAB 7.4

1. Sea T : R4 S R4 una transformación definida por T(vi) 5 wi para i 5 1, . . . , 4, donde

¯© ¹ © ¹ © 2 ¹ © ¹ ¿
°±²²²²ªªª«ª ²²
^Y Y Y Y ` 5 ºº ª ºº ª ºº ª ºº À
º ª º ª º ª º ²
»º ª »º ª »º ª »º ²Á
ª« ª« «ª

¯© ¹ © ¹ © 2 ¹ © ¹ ¿
²±²²²°ªª«ªª ²
^Z Z Z Z ` 5 ºº ª ºº ª 2 ºº ª ºº ²
º ª º ª 2 º ª º À
»º ª º» ª ª »º ²
ª« ª« »º «ª Á²

534 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

a) Verifique que el conjunto {v1, v2, v3, v4} es una base para R4 y, por lo tanto, que T está
bien definida.

b) Verifique que el conjunto {w1, w2, w3, w4} es una base para R4. ¿Por qué se puede con-
cluir que T es un isomorfismo?

c) Encuentre la representación matricial, A, de T respecto a la base canónica (vea el pro-
blema 6 de MATLAB 7.3). Utilice la representación matricial para encontrar una base
para el núcleo y la imagen de T y verifique así, que T es un isomorfismo. Verifique que
A es invertible.

d) Suponga que S: R4 S R4 es la transformación definida por S(wi) 5 vi, para i 5 1,
. . . , 4. Encuentre una representación matricial, B, de S y verifique que B 5 A21.

7.5 Isometrías

En esta sección se describe un tipo especial de transformación lineal entre espacios vectoriales.
Se comienza con un resultado sumamente útil.

T Teorema 7.5.1

Sea A una matriz de m 3 n con elementos reales.† Entonces para cualesquiera dos vec-
tores x P Rn y y P Rm:

(Ax) ? y 5 x ? (A^y) (7.5.1)

Ecuación (2.5.6) Teorema 2.5.1 ii) Ley asociativa para la Ecuación (2.5.6)

p. 129 p. 128 multiplicación de matrices p. 129

Ax ? y 5 (Ax)^y 5 (x^A^)y 5 x^(A^y) 5 x ? (A^y)

Recuerde que en el teorema 6.1.3 de la página 423, se demostró que la matriz Q con ele-
mentos reales es ortogonal si Q es invertible y Q 21 5 Q ^. En el mismo teorema se demostró
que Q es ortogonal si y sólo si las columnas de Q forman una base ortonormal para Rn. Ahora
sea Q una matriz ortogonal de n 3 n y sea T: Rn S Rn una transformación lineal definida por

Tx 5 Qx. Entonces, usando la ecuación (7.5.1), se calcula

(Tx ? Ty) 5 Qx ? Qy 5 x ? (Q^Qy) 5 x ? (Iy) 5 x ? y

En particular, si x 5 y, se ve que Tx ? Tx 5 x ? x, o sea

|Tx| 5 |x|

para todo x en Rn.

† Este resultado se puede extender fácilmente a matrices con componentes complejas. Vea el problema 21 de esta
sección.

7.5 Isometrías 535

D Definición 7.5.1

Isometría
Una transformación lineal T: Rn S Rn se denomina isometría si para cada x en Rn

|Tx| 5 |x| (7.5.2)

Debido a la ecuación (7.5.2) se puede decir que una isometría en Rn es una transformación
lineal que preserva la longitud en Rn. Note que (7.5.2) implica que

|Tx 2 Ty| 5 |x 2 y| (7.5.3)

ya que Tx 2 Ty 5 T (x 2 y).

T Teorema 7.5.2

Sea T una isometría de Rn S Rn y suponga que x y y están en Rn. Entonces

Tx ? Ty 5 x ? y (7.5.4)

Esto es, una isometría en Rn preserva el producto escalar.

Demostración

|Tx 2 Ty|2 5 (Tx 2 Ty) ? (Tx 2 Ty) 5 |Tx|2 2 2Tx ? Ty 1 |Ty|2 (7.5.5)

|x 2 y|2 5 (x 2 y) ? (x 2 y) 5 |x|2 2 2x ? y 1 |y|2 (7.5.6)

Como |Tx 2 Ty|2 5 |x 2 y|2, |Tx|2 5 |x|2 y |Ty|2 5 |y|2, las ecuaciones (7.5.5) y (7.5.6)
muestran que

22Tx ? Ty 5 22x ? y o Tx ? Ty 5 x ? y

Cuando se desarrolló la ecuación (7.5.2) se demostró que si la representación matricial de
T es una matriz ortogonal, entonces T es una isometría. Inversamente, suponga que T es una
isometría. Si A es la representación matricial de T, entonces para cualesquiera x y y en Rn

de (7.5.4) de (7.5.1)

x ? y 5 Tx ? Ty 5 Ax ? Ay 5 x ? A^Ay
x ? y 2 x ? A^Ay 5 0 o x ? (y 2 A^Ay) 5 0

Entonces (vea la página 426) y 2 A^Ay P (Rn)^ 5 {0}
Se ve que para toda y P Rn y 5 A^Ay

(7.5.6)

Esto implica que A^A 5 I, de manera que A es ortogonal.
Se ha demostrado el siguiente teorema:

536 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

T Teorema 7.5.3

Se dice que una transformación lineal T: Rn S Rn es una isometría si y sólo si la repre-
sentación matricial de T es ortogonal.

Isometrías de R2

Sea T una isometría de R2 S R2. Sea

u1 5T © 1¹ y u 2 5 T © 0 ¹
ª« 0»º ª« 1 º»

Entonces u1 y u2 son vectores unitarios (por la ecuación (7.5.2)) y
de (7.5.4)

u1 ? u 2 5 © 1 ¹ ? © 0¹ 5 0
«ª 0 º» ª« 1º»

Por lo tanto, u1 y u2 son ortogonales. De la ecuación 4.1.7 de la página 238, existe un número
u, con 0 # u , 2p tal que

© cos u¹
u1 5 ªª« sen uºº»

Como u1 y u2 son ortogonales,

Dirección de u2 5 dirección de u1 6 p
2

En el primer caso

u 2 5 © cos ª©«u 1 p2 ¹º» ¹ 5 © 2sen u ¹
ª sen ª«©u 1 p2 º»¹ º ª«ª cos u º»º
ª º
ª º
ª º
« »

En el segundo caso

u 2 5 © cos ©ª«u 2 p2 º»¹ ¹ 5 © sen u ¹
ª sen «ª©u 2 p2 ¹»º º ªª« 2cos u »ºº
ª º
ª º
ª º
« »

con lo que la representación matricial de T es

© cos u 2sen u¹ © cos u sen u¹
Q1 5 ªª« sen u cos uºº» o Q1 5 ªª« sen u 2cos uº»º

Del ejemplo 7.1.8 de la página 483, se ve que Q1 es la representación matricial de una transfor-
mación de rotación (un ángulo u en el sentido contrario al de las manecillas del reloj). Es fácil

verificar que

© cos u sen u¹ © cos u 2sen u¹ © 1 0¹
ªª« sen u 2cos uºº» 5 ª«ª sen u u ºº» ª 21»º
cos « 0

7.5 Isometrías 537

pero la transformación T: R2 S R2 dada por

T © x ¹ 5 © 1 0¹ © x¹ 5 © x¹
«ª y »º «ª 0 21º» «ª y»º ª 2y »º
«

es una reflexión de © x¹ respecto al eje x (vea el ejemplo 7.1.1, página 480). Entonces se tiene el
ǻ yȼ

siguiente teorema.

T Teorema 7.5.4

Sea T: R2 S R2 una isometría. Entonces T es

ii) una transformación de rotación, o bien

ii) una reflexión respecto al eje x seguida de una transformación de rotación.

Las isometrías tienen algunas propiedades interesantes.

T Teorema 7.5.5

Sea T: Rn S Rn una isometría. Entonces

ii) Si u1, u2, . . . , un es un conjunto ortogonal, entonces Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto
ortogonal.

ii) T es un isomorfismo.

Demostración

ii) Si i Z j y ui ? uj 5 0, entonces (Tui) ? (Tuj) 5 ui ? uj 5 0, lo que prueba i).
ii) Sea u1, u2, . . . , un una base ortonormal para Rn. Entonces por el inciso i) y el hecho

de que |Tui| 5 |ui| 5 1, se deduce que Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto ortonormal
en Rn. Por el teorema 6.1.1 de la página 419, estos vectores son linealmente indepen-
dientes y por lo tanto forman una base para Rn. Entonces im T 5 Rn, lo que prueba
que nu T 5 {0} [ya que n(T ) 1 r(T ) 5 n].

Se concluye esta sección con una descripción de cómo extender el concepto de isometría

a un espacio arbitrario con producto interno. Recuerde de la página 466 que un espacio V con

producto interno

1

||v|| 5 kv, vl2

(Recuerde que, con el fin de evitar confusiones, se usan dobles barras para denotar una norma.)

D Definición 7.5.2

Isometría

Sean V y W dos espacios vectoriales reales (o complejos) con producto interno y sea
T: V S W una transformación lineal. Entonces T es una isometría si para todo v P V

||v||V 5 ||Tv||W (7.5.7)

538 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Los siguientes dos hechos son consecuencia inmediata: primero, como T(v1 2 v2) 5 Tv1 2 Tv2,
se tiene que para todo v1 y v2 en V

||Tv1 2 Tv2||W 5 ||v1 2 v2||V

Segundo,

T Teorema 7.5.6

Sea T: V S W una isometría. Entonces para todo v1 y v2 en V

kTv1, Tv2l 5 kv1, v2l (7.5.8)

Es decir, una isometría preserva los productos internos.
Demostración

La demostración del teorema 7.5.6 es idéntica a la prueba del teorema 7.5.2 con produc-
tos internos en V y W en lugar de producto escalar en Rn.

D Definición 7.5.3

Espacios vectoriales isométricamente isomorfos

Se dice que dos espacios vectoriales V y W con el mismo conjunto de escalares son
isométricamente isomorfos si existe una transformación lineal T: V S W que sea tanto
isometría como isomorfismo.

T Teorema 7.5.7

Cualesquiera dos espacios reales de dimensión n con producto interno son isométri-
camente isomorfos.

Demostración

Sean {u1, u2, . . . , un} y {w1, w2, . . . , wn} dos bases ortonormales para V y W, respectiva-
mente. Sea T: V S W la transformación lineal definida por Tui 5 wi, i 5 1, 2, . . . , n. Si
se puede demostrar que T es una isometría, entonces la demostración queda completa,
ya que de acuerdo con el razonamiento del teorema 7.5.5 se llega a que T es también un
isomorfismo. Sean x y y en V. Entonces existen conjuntos de números reales c1, c2, . . . ,
cn, y d1, d2, . . . , dn tales que x 5 c1u1 1 c2u2 1 . . . 1 cnun y y 5 d1u1 1 d2u2 1 . . . 1 dnun.
Como los ui son ortonormales, kx, yl 5 k(c1u1 1 c2u2 1 . . . 1 cnun), (d1u1 1 d2u2 1 . . . 1
dnun)l 5 c1d1 1 c2d2 1 . . . 1 cndn. De manera similar, como Tx 5 c1Tu1 1 c2Tu2 1 . . . 1
cnTun 5 c1w1 1 c2w2 1 . . . 1 cnwn, se obtiene kTx, Tyl 5 k(c1w1 1 c2w2 1 . . . 1 cnwn), (d1w1
1 d2w2 1 . . . 1 dnwn)l 5 c1d1 1 c2d2 1 . . . 1 cndn, porque los wi son ortonormales. Esto
completa la prueba.

EJEMPLO 7.5.1 Una isometría entre R3 y P2[0, 1]

El teorema 7.5.7 se ilustra mostrando que R3 y P2[0, 1] son isométricamente isomorfos. En R3 se

`usala ¯© 1 ¹ , © 0¹ , © 0 ¹ ¿ 3 (2x 21), 5(6x2 2
base estándar °±²²ª«ª 0 º ª 1ºº ª 0 º ²À. En P2 se usa la base ortonormal 1,
0 º ª 0» ª 1 º Á²
» « « »

7.5  Isometrías          539

∫ ∫∫ ∫ ∫ R∫∫∫ ∫{∫∫∫  ∫R∫} e∫∫ s∫∫∫∫∫∫u{{ me∫ n 7∫.∫5∫∫∫∫∫ ∫}∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫{∫∫∫∫∫∫ ∫{∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫}{}{∫∫∫ { ∫ ∫ ∫∫ ∫ } }∫ ∫ }}∫ }∫ ∫∫∫ { ∫ }A552x5111x5aa//Ba2255)dbax3cTxzy[33dcq12,(11211sxoaa)x61i(((2l2254,2231A50Te,1111,baa22s/x5//55255n11T3c2311303y11113uT2212c001)1bc(3bu0l21522a66221222i2d5iid520b51x22xT01611171,1x1101x(1215001pc6b26001122x1TT3TT122ykkAAAA1(2(3b1TT3TT3255x2abakkAAAA00x12c0Ti655111x2/p23TTT//3210252112646[pTT5512(0x1c[00x13,y55111cb//a)aa)[[0012x6,2a22111155abxaac1A2yz0qq2]511a22201,551ab1x13c1.yzc6q226)6x12x,.11)A)aa((TBdb(((2l2112,23A12aa2T43)66122(((l2112,263123yD Aj1tx(cbaa6122T/11x52/32011/515buaa122iT5o/0b305B25/2311i/15231i5x053y1111AAx33T)222[13b116i30c003y11111q2b3cen221nxb(1c100101l1bc1125Td2abx••••210l322f12u15i,t22aiic)21d55)22i 0ib522iix2152oTd351]0nsb1c13x51A,íe20111(52T011x1111x1,yz1p0e1x1(o2bdsA3aiSUSUiITpsTx(1oTb22y20(6)6n21(3bii1x13222ys1baaxs(exs2c001c203(3b1ei2)3))221ab11arx(0012x2T3xx50o53enn)111o22 x uu1e20.51146[322x3a031113t12TT(xc222a]1 0346[TnSnc(bm//a),(c2saao23s12()c1b//a1A112xxT0q2hy211y2201T1ai132V1A12.0qcx1221u)2nu0c,x1eo.113e1.))ctyet22(T)xB)bo001x35.lu11A2211))002152(T66:B2222bsr112er)to11A23.xr(sc1512566221220r213)x(cr(a211a51iTT62a0b052tR220i121i522)1ruA1,iTA20br)052)[416ubíi1i15212i5o22121A5nn2x)/5[bmx]iaó//1Bx1u21]n5)d/n3eTxxd5[/21331/dnc123g1122s54(5s,3d333)2a1l1bc5s,xd2aocx)S?5x6f3)a1ifo2t2001543,2A250x1(501e311,i1oos3oxei,201(ys1xl(s2;nA5325.0iene11T(c(.1T22jrA3r(5s6s1o2u1(2T1T52exm(2s2nca.6BRc)113(12)m53mPoxus2c(cuTx5322)e5m2mTT3TTo662(20kkAAAA3l.Txx520131e2x3d6u5o55212200om23nx.0np31(1T2ax22ax2ax0sy0,n( p6TT17112xx1Tx1221oysp5(2r215u55o2001111xxT2ycc[c00u212u6cxu,e1211126aa50011a22u2xu1rc0011la3222515521abxn(icil52yz511xq1001txn)35o,2111fx2óc52ói2ouT1T3TT6)2kkrAAAAx1(2/15izy6/aaa2/1(55(((l2102522e)1//2,212361(2115/A62sT)Tnín12416s10x122x)111251y66pbAaaTT2)2x/5461/ta)]s5[///Bm/25655aa255bcxi)d/53T3]x2[3//1[33Bd1c0025]11a3202,3y11.11x111)d(3s3Taaxl221[6l33dc1b62c006x1122a22un3112(bcs55xbaxc33odAizy)3xiq6(b1niod20l21o154,sx31211Ao152)TTTT30xn2463ae)11in,TTTT3212kkA2A2AA2254.kk6ndAAAAAi,562aa0sii55eex,1xd555(((lt2bm3.852,223105b,T5T3Tn1sT51T1Tx2kkT2B1ec1e11p52x5TT111o1bn,poaaA55TT2x21Tu/0TT1c5x1/62/,5T2555c)R155,(uapa3T[003123x1p1[,(001b32u11110x13y,11e11),1aa111(3122523aaTx221TT3TT66a22xo2uy2ckk001AAAA55ap22abx1c22bc655l22[zy00(ab53x12bl1ceqx3d,zy2565562bqt)2111aba5,20ln11aa0021T,011T1d5a2221ax1122x212x0ban22c]2r2p23lás6TTTxc17aaqxiA3T12x1aa1iix1(((5l2x,222011d(15(((l2,2314c6[221565512,207S31xb00T511xzy1(4112í11cTe2c[T00:1(111631xo2,115gd1b1aja2aa11cb122100//a)161,bha/aaa(((00l1212522/acT20/111,2362x/515:/212a22512:/5201Tu556516ab)x(nc00311A122zy20qp321311q13R11231xb20113yc11a1a101ibx322s1,03y3111111(13x152.c/2231eic,5x222261)xRc00122yxnRc00.bc1x/n2c)3bc2)i/1aa(3b1/52b(T632yB)11b(((2R0l2lb10ab2a5uu1150,2122Al61131c/10011/02111/T02a1e3c1T62600122012x11122a102112.5xbc]2x1111262322xy1a(i2cb23aa1222tbiii312n/020x)1l5d52[ii/xn2h2021/d55611y046[b5)5)n12Ra0iTb150b203)(52T2n2[c2o131S121i25]T12631i531021y31111112A,cb113//a)1,d50)122[1x6b1Sx2]5i016,02xb12c6x002o11S,4121bctTp1A2A160yqxp(6b1b1111d6x11,0l0eb11121231511xA1.x00c1d2o4(3aox)2222yd2)2e11123222xy66.2p25(3i,b15)6)2322(343biib1)2(T1ba3caB2xbd)523baa006111A00db0015P6202T5nx115121166BTx223nxr1131172x2(233xb11xR13(c123,2233A125xu01(2aba|3B1RT0122x12100164165[22022012x21416[At1eTx1i(T1cp0bTx05(2tc326(i2(3c.2122b11i53c1Ab3//a)Acb]//a)2221e)oTx([2[b51(2/i12Tx/221yo2)n112([(162c121A222122n40(3q3bT111A2e31210xqx32)30cab11bax1/a15)xs2c10q113000a1211crbc.1301c53d12).22cg)cd21)11122x5)x3.(]nex0021T2xq35.)ssS)cx5,1A13e)(T)2Bs10bd51o(T2112B)1b11230]1A1463[s.,xsc11c0uAxx31o12Ax2)26yz6(1o2212xx5cx5e26:6.s2230323o2x)()ec;dnx2c3(1cb3x//(a()ce0zyb2110e12(2eT11120 e2s2o22d020111iT56)20besn1011A152ix2TxTT0q20b20niy5211221x1i5(2ce(i21011x2021Asia51uA3n6)13nAB212).[cb0i)(522l[u2)bu1Tci1q1x2sx]21.(0b02x6u2)1)x1s2151(Tx1)Blbxa00A13u115nux115s1211AcT)x215[ncb132512550d12)T66)2236du3a)2u1u]25u11e23(3x(5c,1Tx5x11051,1Te1l)21o]201)y20p13x(2)1215d0i31T1a6x220b520352x3x2ysm5,2i1321105i2255),13)eAn(2A031())1)2024[611(bx1is22,5ax25x3/511xx5Txy]|x2e(y//2B132(A,321(uiA13e12)d25113T(y001xd1511[T33d2c2(2u121u1122a13c(T2r612(1s(151,5n65100(112122x3112)x00s12nc351xc1)s23csx2xn(5c2)21o3zyTa52x)52)x6o(31i((6)225)4Tx5(//31AT/ex5T2501t2(0e1oxes2c1,i201oc5323x221200131213)(x26,2510a31216x2Ps22(xx0o1(s5mT2x22221220n)11(A532e5naAn(2]btc21o)1/|T24(162sc51x/21T/21s22(5xx6]x1o122xx124Tx/3u2/5101y1xxT5oT]/21223/ny3//(Bnx22s22c222a2)22cb2c1i433()dd23s2)T33c3ux2u3[3c3dc1u2uu21(eca00x1bcTx152[d3(s2m5e1c22x20016od6311x522000211c003s1325x1120so131xx5222u22uocx5)d25tx)21161o1i0122s)2;514no(|xx1A0500e12105eex2x2,1s20orT;(21565,61720(,2s51e11x1x)6xT12s2e21yx222()211m21225)A515n25sB)20011snAí4161,21)T2c51461u2cu(622c562n2125Bx6tu/50011xa]uyxy2/552)//T1xB1]0011//23B5x2)u12)d61()31T6(x52)d[r333dTc]21x365uT2[x)33d1c12ux2e/5(1x]2c(2i|5236|u161622y11)dí3ssx(2/ x11251so[sx6/dxc)21/xo61di)252tx26120y515i54(22)21212y6a254AA5u5)0Ae512e144612,0x1011eix5xs,x02r5oy,)61x76xs,1/515x2x)1]s[1//xB(65252151n05121e5)d1001T,35nT1íxc1511T[dyc33dc25]11c62,ys2y2s(6xu,00T11511au6221T62526x12n1)11211xs(1x()c1oiyzA3()|x(631uied(x22 u54ux//22TxxA/5yz22Tc5i.1s2054362e26)62,(e6)612(//26/6,26pdfs5u/x1dx5221035ó25122665)a2nbc61|651nTix122xB0xc10x22xxu0x61y7ax2dbc5A16x1x17u1aT1nT)x1;([16T215(6222lx210051)21x(2x00133c0363c(25]21u126222162ox23001162223351r(22T200111R362p5i61262x612006x11121,1(232c11x(26Ad5x(2)ód56x2a001x12c2ix2c16i243x)2x26o10(]./6ss6c/17x/An/61x/x1151/221105x(x12261203c5215126x0061TTTT31yz2?,105x1eic12Bxkk0xAA1AAt6dory.x/d2xy6A,x00)155115[2 TT2)126[612206To1126)(xn6l2]5xT2(.p2]51ox1TsT12)x62[cl2i6T6a6666x1x6556x11/xd2Ax/o2]5[005/1(A2x)d,2(),105u111ud55111262saax2y160431T)1241x10x21a2243)x]556ba]xycA6syz6c(xoqArd1461)1x5[T13,2x161131)x)5yztB15v2e62]5Bexo216daaAxx51xATx(((l36xT26T6a2,2316x16,205T6)un1xAeyp((11x1d11(b1xaxas1221222/11T50/0611243T/x)52n21125x162cn13x522613(1153)1r1)0x5y31111)3uu5325)11)221Txx5102e1TBc00121tt]2]bcsx]ec)xAAsecx1x)2bA5T10l5165222111x1oon)2zyx21ae2yz11]22eso(scd1x1isod12]ii2/TT?d5x5T/12x/020b5,,6)1120n2r22e1e46)23Tno1yd3)31xs1511,1xasbcR2d0111ux100c12e20221126)ynn]001xspcxxA55)11x55sb11u)u5111suu)511xox10x1sTzyT1n1021yeT]xo];dnt2(3b1)302e22uTbaua11005122)2201011156) s)na111]2x22e213xesn3B]x/2c211554x6[/12)/,,x(uc22c4y35n3s)y33ucub//a)5112a11obcx0021d101112T2c200123611u21221]211i20011A2y50q1510111y)11113ós1.00)1)cuoTxn22)T2xR.55;))2(T0Beb2x15)112A221115,2T221n21566sn225jy2223x(c12n]2B/11]20031u52/52110/125/2215112/12/1iT220b403u525224i313213i5.3A3]ab)cmxd)a[bcbyz/cT2dicnc36u(100221//001/x32111a111Eb5sc1121y221d151osxc6odox32001t;55,;0a2b]eac11/0)e1s5/21/oxo52sx2x2554nn32s35223323n022eB2ta02b1c(n1dB335c511351s001u3ur12--(2.11nA31soxox5(zy136Tu21236(u(iu61;2//1/0ex2s2yccc3yr52)6su222(52Tx55neBa2bc,oyi5t203x01312xux5250an(o2222651133s136u3511112511xxT32y12l2yg2x51zyxxu2uyzc2(15(//////xd14001352o26526(5)/11a2bca12bc,511e16(215-x62x22)1a22bcA2)x22421633yz63332(35xx//3/5/1]231//B12222)d336Txx[33dc12(2)a2bc142112sxox)x61i225422A1520,e2,33,3,s3x12525n116Tc6uT122)16(x3xu252)14,662412xd52116x2x06171x11(1215001xc62600112121((41112((1(xppx2p)p1c1i)6///2105..126)..120x1xy)[1556552]52)66336x133A(d243)6557661x35B))))xAxT6(112Tx12)52]scxA15xzy1eodT206)n1xsx5)uu511101T]1)x,y