algebra_lineal_-_7ma_edicion_-_stanley_l-_grossman

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones 477

junto de vectores ortonormales obtenido con este proceso es ortonormal y que cada vector
en el conjunto original es una combinación lineal del conjunto de vectores obtenido.

2. a) Sea {u1, u2, u3, u4} el conjunto de vectores obtenido en el problema 1 anterior. Sea A la
matriz [u1 u2 u3 u4]. Sea w un vector aleatorio en C4. Verifique que

w 5 (w, u1) u1 1 . . . 1 (w, u4)u4

Repita para otro vector w.
b) (Lápiz y papel) ¿Qué propiedad de una base ortonormal para Cn es expresada en el

inciso a)? Describa cómo encontrar las coordenadas de un vector en Cn respecto a una
base ortonormal.

3. Genere cuatro vectores aleatorios en C6, v1, v2, v3 y v4. Sea H 5 gen {v1, v2, v3, v4}. Sea A 5
[v1 v2 v3 v4] y B 5 orth(A). Sea ui la i-ésima columna de B.

a) Sea w un vector aleatorio en Cn. Encuentre la proyección de w sobre H, p 5 proyH w.

© kw, uu21llºº¹
ª
Calcule ª kw, . Verifique que z 5 B'*w y p 5 B*B'*w. Repita para otro vector w.

ª kw, u3 llºº»º
ªª« kw, u4

b) Sea x un vector aleatorio en C4 y forme h 5 Ax. Entonces h está en H. Compare |w – p|
y |w – h|. Repita para otros tres vectores x. Escriba una interpretación de sus observa-

ciones.

c) Sea z 5 2v12 3v3 1 v4. Entonces H 5 gen {v1, v2, v3, z} (aquí H es el subespacio descrito
en los incisos anteriores de este problema). ¿Por qué? Sea C 5 [v1 v2 v3 z] y D 5
orth(C). Entonces las columnas de D serán otra base ortonormal para H.
Sea w un vector aleatorio en C6. Calcule la proyección de w sobre H usando B y

la proyección de w sobre H usando D. Compare los resultados. Repita para otros dos
vectores w. Escriba una interpretación de sus observaciones.

4. a) (Lápiz y papel ) Explique por qué el espacio nulo de A9 es ortogonal a la imagen de A;
es decir, si H 5 Im(A), entonces el espacio nulo de A9 5 H'.

b) Sea A una matriz aleatoria con elementos complejos de 7 3 4. (Sea A 5 2*rand(7,4)
–1 1 i*(2*rand(7,4)–1).) Sea B 5 orth(A) y sea C 5 null(A') (entonces las

columnas de B forman una base ortonormal para H 5 Im(A) y las columnas de C for-
man una base ortonormal para H'). Verifique que las columnas de C son ortonormales.
c) Sea w un vector aleatorio en C7. Encuentre h, la proyección de w sobre H, y p, la proyec-
ción de w sobre H'. Verifique que w 5 p 1 h. Repita para otros tres vectores w.

5. Si Q es una matriz de n 3 n con elementos complejos, entonces Q es una matriz unita-
ria si Q'*Q 5 eye(n). Se puede generar una matriz unitaria aleatoria Q generando una
matriz aleatoria compleja A y después haciendo Q 5 orth(A).

a) Genere dos matrices aleatorias unitarias de 4 3 4 como se acaba de describir. Verifique
que satisfacen la propiedad de ser unitarias y que las columnas forman una base orto-
normal para C4.

b) Verifique que la inversa de cada matriz es unitaria.
c) Verifique que el producto de las matrices es unitario.
d ) Genere un vector aleatorio v en C4. Verifique que cada matriz unitaria conserva la lon-

gitud, es decir, |Qv| 5 |v|.
e) Repita los incisos a) a d) para dos matrices aleatorias unitarias de 6 3 6.

478 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

E Ejercicios de repaso

De los ejercicios 1 al 5 encuentre una base ortonormal para el espacio vectorial dado.

1. En R2, © 22¹ , © 1¹ .
ª« 0º» ª« 22»º

2. R2 comenzando con la base ⎛ 2⎞ , ⎛ −1⎞ .
⎝⎜ 3⎟⎠ ⎜⎝ 4⎠⎟

3. {(x, y, z) P R3: x – y – z 5 0}

4. H 5 {(x, y, z) P R3: 3x 5 2y 5 5z}

5. {(x, y, z) P R4: x 5 z y y 5 w}

De los ejercicios 6 al 8:

a) Calcule proyH v.
b) Encuentre una base ortonormal para H'.

c) Exprese v como h 1 p, donde h P H y p P H'.

⎛ −1⎞

6. H es el subespacio del problema 3; v = ⎜ 24⎟⎟⎠⎟ .
⎜⎝⎜

© 0¹
ª º
7. H es el subespacio del problema 6.4.4; v 5 ª 21 º .

ª« 1º»

© 0¹
ª º
8. H es el subespacio del problema 6.4.5; v 5 ª 21 º .

«ª 1º»

Cálculo 9. Encuentre una base ortonormal para P2[0, 2].
Cálculo
10. Utilice el resultado del ejercicio 9 para encontrar un polinomio que sea la mejor aproxima-
ción por mínimos cuadrados a ex sobre el intervalo [0, 2].

11. Encuentre la recta que mejor se ajuste a los puntos (2, 5), (21, 23), (1, 4), (3, 4), (22, 25).
12. Encuentre el mejor ajuste cuadrático para los puntos en el ejercicio 11.

13. Encuentre el polinomio p(x) de grado 3 que ajuste los puntos del ejercicio 11 tal que

µ 2 [ p(x)]2 dx
21

sea mínimo.

Transformaciones lineales Capítulo

7

En la actualidad, las gráficas de computadora en dos y tres dimensiones son manipuladas utilizando transformaciones lineales.

Objetivos del capítulo • Comprenderá que, mediante la existencia de un tipo especial
de transformación lineal, se identifican espacios vectoriales
En este capítulo el estudiante. . . que comparten características equivalentes (sección 7.4).

• Aprenderá la definición de las transformaciones lineales, que • Profundizará en un tipo especial de isomorfismos (sección
se pueden interpretar como una generalización del concepto 7.5).
de funciones (sección 7.1).

• Estudiará el concepto de núcleo e imagen de las transforma-
ciones lineales, a partir de las cuales se caracteriza su com-
portamiento (sección 7.2).

• Entenderá que toda información lineal se puede escribir como
la multiplicación de una matriz por un vector, con cuya idea se
relacionan los conceptos de las secciones 5.7 y 7.2.

480 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

7.1 Definición y ejemplos

El presente capítulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones li-
neales que ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas.
Éstas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiarán
dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.

EJEMPLO 7.1.1 Reflexión respecto al eje x

En R2 se define una función T mediante la fórmula T © x¹ © x¹ . Geométricamente, T toma
«ª y»º 5ª º
2y »
«
un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. Esto se ilustra en la figura 7.1. Una vez que se ha

dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2.

EJEMPLO 7.1.2 Transformación de un vector de producción en un vector
de materia prima

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres

tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3 y P4, y a los materiales
por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que
se requieren para fabricar una unidad de cada producto.

y Productos necesarios para
(x, y) producir una unidad
de cada producto

x Número de P1 P2 P3 P4
0 unidades R1 2 1 3 4
de materia R2 4 2 2 1
T(x, y) 5 (x, 2y) prima

Figura 7.1 R3 3 3 1 2

El vector (x, 2y) es la Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿cuántas
reflexión respecto al eje x unidades de cada material se necesitan? Sean p1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados de
del vector (x, y). los cuatro productos, y sean r1, r2 y r3 el número de unidades necesario de los tres materiales.
Entonces se define

© p1¹ © r1 ¹ © 2 1 3 4¹

p 5 ª p2ºº r 5 ª rr23»ººº A 5 ª 4 2 2 21»ºº
ª ªª« ª 3 3 1
ª p3º «
ǻ p4ȼ

© 10¹
ª 30ºº
Por ejemplo, suponga que p 5 ª 20º . ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos
ª
«ª 50º»

números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que

r1 5 p1 ? 2 1 p2 ? 1 1 p3 ? 3 1 p4 ? 4
5 10 ? 2 1 30 ? 1 1 20 ? 3 1 50 ? 4 5 310 unidades

7.1 Definición y ejemplos 481

De manera similar,

r2 5 10 ? 4 1 30 ? 2 1 20 ? 2 1 50 ? 1 5 190 unidades
y

r3 5 10 ? 3 1 30 ? 3 1 20 ? 1 1 50 ? 2 5 240 unidades
En general se ve que

©2 1 3 4¹ © pp21¹ºº © r1 ¹
2 2 21ºº» ª pp34ººº» r2 º
ª 4 3 1 ª 5 ª º
ª 3 ª ª
« ªª« ª« r3»º

o

Ap 5 r

Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como el vector de producción y a r como Vector de
el vector de materia prima, se define la función T por r 5 T(p) 5 Ap. Esto es, T es la función producción
que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la
multiplicación de matrices ordinaria. Como se verá, esta función es también una transforma- Vector de
ción lineal. materia prima

Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la
sección 2.3 se escribió un sistema de ecuaciones como

Ax 5 b

donde A es una matriz de m 3 n, x P Rn y b P Rm. Se pidió encontrar x cuando A y b se cono-
cían. No obstante, esta ecuación se puede ver de otra forma: suponga que A se conoce. Enton-
ces la ecuación Ax 5 b “dice”: proporcione una x en Rn y yo le daré una b en Rm; es decir, A
representa una función con dominio Rn e imagen en Rm.

La función que se acaba de definir tiene las propiedades de que A(ax) 5 aAx si a es un
escalar y A(x 1 y) 5 Ax 1 Ay. Esta propiedad caracteriza las transformaciones lineales.

D Definición 7.1.1

Transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una
función que asigna a cada vector v P V un vector único Tv P W y que satisface, para
cada u y v en V y cada escalar a,

T(u 1 v) 5 Tu 1 Tv (7.1.1)
y (7.1.2)

T(av) 5 aTv

Tres observaciones sobre notación

1. Se escribe T: V S W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio
vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W
como su imagen.

482 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Operadores 2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es
lineales análogo a la notación funcional f (x), que se lee “f de x”.

3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los
espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números
complejos). Sin embargo, a excepción de la breve intervención de la sección 7.5, sólo se
manejarán espacios vectoriales reales y, por lo tanto, se eliminará la palabra “real” en el
análisis de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales.

Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.

EJEMPLO 7.1.3 Una transformación lineal de R2 en R3

© x¹ © x 1 y¹ © 2¹ © 21¹
«ª yº» ª«23»º
Sea T: R2 S R3 definida por T 5 ª x 23yyºº»º .Por ejemplo, T 5 «ªªª295»ººº . Entonces
«ªª

T ¬© x1 ¹ 1 © x2 ¹ ¼ 5 T © x1 1 x2 ¹ 5 © x1 1 x2 1 y1 1 y2 ¹
®­­ª« y1 »º «ª y2 »º ½ «ª y1 1 y2 º» ª x1 1 x2 2 y1 2 y2 º
¾½ «ªª 1 3 y2 º»º
3 y1

© x1 1 y1 ¹ © x2 1 y2 ¹
ª º ª º
5 ª«ª x1 2 y1 ºº» 1 «ªª x2 2 y2 »ºº
3 y1 3 y2

Pero © x1 1 y1 ¹ 5 T © x1 ¹ y © x2 1 y2 ¹ 5 T © x2 ¹
Así, ª x1 2 y1 º «ª y1 »º ª x2 2 y2 º «ª y2 º»
De manera similar, «ªª »ºº «ªª ºº»
3 y1 3 y2

T ¬© x1 ¹ 1 © x2 ¹ ¼ 5T © x1 ¹ 1 T © x2 ¹
­­®ª« y1 º» «ª y2 »º ½ «ª y1 º» «ª y2 º»
½¾

T ¬ © x¹ ¼ 5T © Fx¹ 5 © Fx 1 Fy¹ 5 F © x1 y¹ 5 FT © x¹
­F ª« yº» ½ «ª Fyº» ª Fx32FyFyººº» ª x32yy»ººº «ª yº»
®­ ¾½ «ªª «ªª

Así, T es una transformación lineal.

EJEMPLO 7.1.4 La transformación cero

Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V S W por Tv 5 0 para todo v en V. Entonces
T(v1 1 v2) 5 0 5 0 1 0 5 Tv1 1 Tv2 y T(av) 5 0 5 a0 5 aTv. En este caso, T se denomina la
transformación cero.

EJEMPLO 7.1.5 La transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y defina I: V S V por Iv 5 v para todo v en V. Aquí es obvio que I es
una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.

7.1 Definición y ejemplos 483

EJEMPLO 7.1.6 Transformación de reflexión

Sea T: R2 S R2 definida por T © x ¹ 5 © 2x ¹ . Es fácil verificar que T es lineal. En términos geomé-
ª« y »º ª« y º»

tricos, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y (vea la figura 7.2).

yy

(x, y) (2x, y)

x 0 x
0

a) b)

Figura 7.2

El vector (2x, y) es la reflexión respecto al eje y del vector (x, y).

EJEMPLO 7.1.7 Transformación de Rn S Rm dada por la multiplicación
por una matriz de m 3 n

Sea A una matriz de m 3 n y defina T: Rn S Rm por Tx 5 Ax. Como A(x 1 y) 5 Ax 1 Ay y
A(ax) 5 aAx si x y y están en Rn, se observa que T es una transformación lineal. Entonces toda
matriz A de m 3 n se puede utilizar para definir una transformación lineal de Rn en Rm. En la sec-
ción 7.3 se verá que se cumple el converso: toda transformación lineal entre espacios vectoriales
de dimensión finita se puede representar por una matriz.

EJEMPLO 7.1.8 Transformación de rotación

Suponga que el vector v 5 © x¹ en el plano xy se rota un ángulo u (medido en grados o radianes)
ª« y»º

en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Llame a este nuevo vector ro- N Nota

tado ve © xe¹ . Entonces, como se ve en la figura 7.3, si r denota la longitud de v Esto se deduce de la definición es-
5 «ª ye»º tándar de cos u y sen u como las
coordenadas x y y de un punto en el
(que no cambia por la rotación), círculo unitario. Si (x, y ) es un punto
en el círculo de radio r con centro en el
x 5 r cos a y 5 r sen a

xe 5 r cos (u 1 a) ye 5 r sen (u 1 a) origen, entonces x 5 r cos w y y 5 r
sen w, donde w es el ángulo que forma
Pero r cos (u 1 a) 5 r cos u cos a 2 r sen u sen a, de manera que el vector (x, y ) con el lado positivo del
eje x.

x9 5 x cos u 2 y sen u (7.1.3)

y

(x9, y9)

r

u1a (x, y)

r

Figura 7.3 p2a2u u x x
x9 a
(x’, y’) se obtiene rotando
(x, y) un ángulo u. 0

484 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales
De manera similar, r sen (u 1 a) 5 r sen u cos a 1 r cos u sen a, o sea

y9 5 x sen u 1 y cos u (7.1.4)

Sea

© cos u 2sen u¹ (7.1.5)
Au 5 «ªª sen u cos uºº»

Entonces de (7.1.3) y (7.1.4) se ve que Au © x ¹ 5 © x9¹ . La transformación lineal T: R2 S R2
«ª y º» ª« y9»º

Transformación definida por Tv 5 Au v, donde Au está dado por (7.1.5), se llama transformación de rotación.
de rotación

EJEMPLO 7.1.9 Transformación de proyección ortogonal

Sea H un subespacio de Rn. La transformación de proyección ortogonal P: V S H se define por

Pv 5 proyH v (7.1.6)

Sea {u1, u2, . . . , uk} una base ortonormal para H. Entonces de la definición 6.1.4, página 425,
se tiene

Pv 5 (v ? u1)u1 1 (v ? u2)u2 1 . . . 1 (v ? uk)uk (7.1.7)

Como (v1 1 v2) ? u 5 v1 ? u 1 v2 ? u y (av) ? u 5 a(v ? u), se ve que P es una transformación
lineal.

EJEMPLO 7.1.10 Dos operadores de proyección

© x¹ © x¹
ª zyº»ºº ª 0yº»ºº
Se define T: R3 S R3 por T ªª« 5 ª«ª . Entonces T es el operador de proyección que toma un

vector en el espacio de tres dimensiones y lo proyecta sobre el plano xy. De manera similar,

© x¹ © x¹
ª zyºº»º ª º
T «ªª 5 ª 0 º proyecta un vector en el espacio sobre el plano xz. Estas dos transformaciones se
« z »

describen en la figura 7.4.

z z ⎛ 2⎞
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜⎜⎜⎝ 64⎟⎟⎠⎟
⎜⎝⎜⎜ 64⎟⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝⎜ 60⎟⎟⎠⎟

Figura 7.4

a) Proyección sobre el plano xy:

©x¹ ©x¹
ª º ª º
T «ªª y ºº» 5 ª«ª y ºº» . 0 plano xz
z 0 plano xy 0
y y
a) ⎛ 2⎞ x
b) Proyección sobre el plano xz: ⎜⎜⎜⎝ 04⎟⎠⎟⎟ b)

©x¹ ©x¹
ª º ª º
T «ªª y ºº» 5 ª 0 º . x
z « z »

7.1 Definición y ejemplos 485

EJEMPLO 7.1.11 Operador de transposición

Defina T: Mmn S Mnm por T(A) 5 A^. Como (A 1 B)^ 5 A^ 1 B^ y (aA)^ 5 aA^, se ve que
T, denominado operador de transposición, es una transformación lineal.

EJEMPLO 7.1.12 Operador integral

11 † Cálculo

Sea J: C [0, 1] S R definida por Jf 5 f (x) dx. Para f, g P C [0, 1], como [ f (x) 1 g(x)]dx 5
µ µ0 0

1 11 1
µ0 f (x) dx 1 µ0 g(x) dx y µ0 af (x) dx 5 aµ0 f (x) dx, se ve que J es un operador lineal. Por

ejemplo, J (x3 ) 5 1 . J se denomina operador integral.
4

EJEMPLO 7.1.13 Operador diferencial

Suponga que D: C 1[0, 1] S C [0, 1] se define por Df 5 f 9. Para f, g P C 9 [0, 1], como ( f 1 g)9
5 f 9 1 g9 y (a f )9 5 a f 9, puede apreciarse que D es un operador lineal. D se denomina operador
diferencial.

EJEMPLO 7.1.14 Una transformación que no es lineal

Suponga que T: C [0, 1] S R está definida por T f 5 f (0) 1 1. Entonces T no es lineal. Para ver
esto se calcula

T ( f 1 g) 5 ( f 1 g) 1 1 5 f (0) 1 g (0) 1 1
T f 1 Tg 5 [ f (0) 1 1] 1 [g(0) 1 1] 5 f (0) 1 g (0) 1 2

Esto proporciona otro ejemplo de una transformación que puede parecer lineal, pero que de
hecho no lo es.

! Advertencia

No toda transformación que parece lineal lo es en realidad. Por ejemplo, defina T: R S R por Tx 5 2x 1 3. Enton-
ces la gráfica de {(x, Tx): x P R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T (x 1 y) 5 2(x 1 y)
1 3 5 2x 1 2y 1 3 y Tx 1 Ty 5 (2x 1 3) 1 (2y 1 3) 5 2x 1 2y 1 6. Las únicas transformaciones lineales de
R en R son funciones de la forma f (x) 5 mx para algún número real m. Así, entre todas las funciones cuyas gráficas
son rectas, las únicas que son transformaciones lineales son aquellas que pasan por el origen. En álgebra y cálculo,
una función lineal con dominio R está definida como una función que tiene la forma f (x) 5 mx 1 b. Así, se puede
decir que una función lineal es una transformación de R en R si y sólo si b (la ordenada al origen) es cero.

R Resumen 7.1 (p. 481)

• Transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que
asigna a cada vector v P V un vector único Tv P W y que satisface, para cada u y v en V y cada
escalar a,
T(u 1 v) 5 Tu 1 Tv
y
T(av) 5 aTv

† El símbolo Cálculo indica que se necesita el cálculo para resolver el problema.

486 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

A AUTOEVALUACIÓN 7.1

Falso-verdadero.

III) Si T es una transformación lineal, entonces T(3x) 5 3Tx.
III) Si T es una transformación lineal, entonces T(x 1 y) 5 Tx 1 Ty.
III) Si T es una transformación lineal, entonces T(xy) 5 TxTy.
IV) Si A es una matriz de 4 3 5, entonces Tx 5 Ax es una transformación lineal de R4 en

R5.
IV) Si A es una matriz de 4 3 5, entonces Tx 5 Ax es una transformación lineal de R5 en

R4.

Respuestas a la autoevaluación
I) V II) V III) F IV) F V) V

Problemas 7.1

De los problemas 1 al 39 determine si la transformación de V en W dada es lineal.

1. T: R2 S R1; T © x ¹ 5 x 2. T: R2 S R2; T © x¹ 5 © x¹
«ª y »º «ª yº» «ª 0 º»

3. T: R2 S R2; T © x ¹ 5 © 1 ¹ 4. T: R2 S R1; T © x¹ 5 x11
ª« y »º ª« y »º «ª yº»

© x¹ © x¹ © x¹ © 0¹
ª º ª« yº» ª zyººº» «ª yº»
5. T: R3 S R2; T ªª« y ºº» 5 6. T: R3 S R2; T ª«ª 5
z

7. T: R3 S R2; T © x¹ 5 © x ¹ 8. T: R3 S R2; T © x¹ 5 © 1¹
ª zyº»ºº ª 1 ª zyº»ºº ª« z º»
«ªª « y z º ªª«
»

9. T: R2 S R2; T © x¹ 5 © x2 ¹ 10. T: R2 S R2; T © x¹ 5 © x ¹
ª« yº» ª y2 º ª« yº» ª x º
« » ªª« y ºº»

© x¹
ª yºº
11. T: R2 S R2; T © x ¹ 5 © y ¹ 12. T: R2 S R4; T © x ¹ 5 ª x 1 º
«ª y º» «ª x »º ª« y º» ª x y
ª 2 yº»
«

© x1¹
ª º
13. T: R2 S R; T © x ¹ 5 xy 14. T: Rn S R; T ª x2 º 5 x1 1 x2 1 1 xn
«ª y »º ª
ª º
« º
xn »

7.1 Definición y ejemplos 487

© x1 ¹ © |¹ © x¹
ª x2 º ªª« º»º ª º
15. T: Rn S R2; T ª º 5 |x4 16. T: R S Rn; T
x 5 ª x º
ª x1
ª %º ªº
« º ª« x»º
xn »

© x¹ © x¹
ª º ª º
17. T: R4 S R2; T ª y º 5 © x 1z ¹ 18. T: R4 S M22; T ª y º © x z¹
ª º «ªª y 1w »ºº ª 5 «ª y wº»
«ª z »º zº
w ǻ wȼ

19. T: Mnn S Mnn; T(A) 5 AB, donde B es una matriz fija de n 3 n
20. T: Mnn S Mnn; T(A) 5 A^A
21. T: Mpq S Mpq; T(A) 5 A^
22. T: Mmn S Mqn; T(A) 5 BA, donde B es una matriz fija de q 3 m
23. T: Dn S Dn; T(D) 5 D2 (Dn es el conjunto de matrices diagonales de n 3 n)

24. T: D5 S R3; T(D) 5 © d11 1223dd3333ºº¹
ª d22
ª
ǻ d55 ȼ

25. T: P2 S P1; T(a0 1 a1x 1 a2x2) 5 a0 1 a1x
26. T: P2 S P1; T(a0 1 a1x 1 a2x2) 5 a1 1 a2x

27. T: P3 S M22; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 © a0 1 a1 a1 1 a2 ¹
ªª« a2 1 a3 a3 1 a0 ºº»

28. T: R S Pn; T(a) 5 a 1 ax 1 ax2 1 . . . 1 axn
29. T: P2 S P4; T( p(x)) 5 [p(x)]2
30. T: P2 S P4; T( p(x)) 5 p(x) 1 x2p(x)
31. T: C [0, 1] S C [0, 1]; Tf (x) 5 f 2(x)

32. T: C [0, 1] S C [0, 1]; Tf (x) 5 f (x) 1 1
33. T: C [0, 1] S C [0, 1]; Tf (x) 5 x2f (x) 1 x f (x)

1

34. T: C [0, 1] S R; Tf 5 ∫0 f (x)g(x) dx, donde g es una función fija en C [0, 1]

35. T: C 1[0, 1] S C [0, 1]; Tf (x) 5 d ( f (x)g(x)), donde g(x) es una función fija en C 1[0, 1]
dx

36. T: C [0, 1] S C [1, 2]; Tf (x) 5 f (x 2 1)

37. T: C [0, 1] S R; Tf 5 f ©«ª 1 º»¹
2

38. T: C 1[0, 1] S R; Tf (x) 5 ©d f (x)º»¹
ª« dx
x 5 1
2

39. T: Mnn S R; T(A) 5 det A

40. Sea T: R2 S R2 dado por T(x, y) 5 (2x, 2y). Describa T geométricamente.

488 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

41. Sea T una transformación lineal de R2 S R3 tal que T © 1¹ 5 © 1¹ y T © 0¹ 5 © 24¹ .
Encuentre: «ª 0»º ª 23º»º ª« 1»º ª 0ºº
ª ª 5»º
« «ª

a) T © 2¹ y b) T © 23¹
ª« 4»º «ª 7»º

42. En el ejemplo 7.1.8:

a) Encuentre la matriz de rotación Au cuando u 5 p.
6
© 23¹ ^
b) ¿Qué le ocurre al vector ª 4»º si se rota un ángulo de p en dirección contraria a
« 6

la de las manecillas del reloj?

© cos u 2sen u 0¹
ª cos u 0ºº . Describa geométricamente la transformación lineal T:
43. Sea Au 5 ª sen u 0 1»º

ǻ 0

R3 S R3 dada por Tx 5 Aux.

© cos u 0 2sen u¹
ª º
44. Conteste las preguntas del problema 42 para Au ª 0 1 0 º .

ª« sen u 0 cos u º»

45. Suponga que en un espacio vectorial real V, T satisface T(x 1 y) 5 Tx 2 Ty y T(ax) 5
aTx para a $ 0. Demuestre que T es lineal.

46. Encuentre una transformación lineal T: M33 S M22.

47. Si T es una transformación lineal de V en W, demuestre que T(x 2 y) 5 Tx 2 Ty.

48. Si T es una transformación lineal de V en W, demuestre que T 0 5 0. ¿Son estos dos
vectores cero el mismo?

49. Sea V un espacio con producto interno y sea u0 P V fijo. Suponga que T: V S R (o C) está
definido por Tv 5 (v, u0). Demuestre que T es lineal.

*50. Demuestre que si V es un espacio vectorial complejo con producto interno y T: V S C
está definido por Tv 5 (u0, v) para un vector fijo u0 P V, entonces T no es lineal.

51. Sea V un espacio con producto interno con el subespacio de dimensión finita H. Sea
{u1, u2, . . . , uk} una base para H. Demuestre que T: V S H definida por Tv 5 (v, u1)u1 1
(v, u2) u2 1 . . . 1 (v, uk)uk es una transformación lineal.

52. Sean V y W dos espacios vectoriales. Denote por L(V, W) el conjunto de transformacio-
nes lineales de V en W. Si T1 y T2 están en L(V, W ), defina aT1 y T1 1 T2 por (aT1)v 5
a(T1v) y (T1 1 T2)v 5 T1v 1 T2v. Pruebe que L(V, W ) es un espacio vectorial.

EJERCICIOS CON MATLAB 7.1

Información de MATLAB: impresión de gráficas
Para imprimir una gráfica en MATLAB es necesario seleccionar la ventana de la figura de
interés y del menú se escoge
File 2 Print.

7.1 Definición y ejemplos 489

También puede utilizar el atajo Ctrl2P

Precaución. La impresión directa de la pantalla no conserva las relaciones de aspecto en ella;
así, los ángulos rectos pueden no parecerlo y las longitudes iguales pueden ser distintas. Para
que se conserve una relación de aspecto cuadrada se introduce el comando axis square
(doc axis).

1. Gráficas en computadora: creación de una figura

Una figura que se quiere graficar se describe utilizando una matriz que contiene los puntos
importantes en la figura y una matriz que contiene información sobre los puntos que deben
conectarse con segmentos de recta.

La matriz de puntos

La matriz de puntos es una matriz de 2 3 n, donde n es el número de puntos; el primer
renglón contiene las coordenadas x y el segundo las coordenadas y de los puntos.

La matriz de líneas

La matriz de líneas es una matriz de 2 3 m, donde m es el número de líneas. Cada elemento
es el número de una columna de la matriz de puntos. La información indica que los dos
puntos a los que se hace referencia en una columna de la matriz de líneas deben conectarse
por un segmento de recta.

Por ejemplo, para describir el primer rectángulo de la siguiente figura:

(0, 3) (2, 3) punto 4 punto 3
punto 4 punto 3

(0, 0) (2, 0) punto 1 punto 2
punto 1 punto 2

a) b)

pts 5 © 0 2 2 0¹
«ª 0 0 3 3º»

lns 5 © 1 2 3 4¹
ª« 2 3 4 1º»

La matriz lns dice que el punto 1, (0, 0), (columna 1 de pts) está conectado con el punto
2, (2, 0), (columna 2 de pts); el punto 2 está conectado con el punto 3, (2, 3), (columna 3
de pts); el punto 3 está conectado al punto 4, (0, 3), (columna 4 de pts), y el punto 4 está
conectado con el punto 1.

Si se trata del segundo rectángulo de la figura anterior, con las diagonales de esquina
a esquina, la matriz pts sería la misma y

lns 5 © 1 2 3 4 1 2¹
«ª 2 3 4 1 3 4º»

Para graficar la figura después de introducir las matrices pts y lns se utiliza el archivo M
grafics.m que se presenta a continuación (copie las instrucciones a un archivo con nom-
bre grafics.m):

490 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

function grafics(pts,lns,clr,symb,M)

% GRAFICS Grafica puntos y líneas
% grafics(pts,lns,clr,symb,M) es una función que grafica
% puntos y líneas
%
% pts: Matriz de 2xn de puntos a graficar
% lns: Matriz de 2xm de líneas a graficar
% clr: Opciones de color, ejemplo 'r' (grafica en rojo)
% sym: Símbolo a utilizar para representar puntos,
% ejemplo '*','+'
% M: Entero positivo que se utiliza para los límites
% de los ejes
% Grafica los puntos y las líneas
plot(pts(1,lns(:)),pts(2,lns(:)),clr,...

pts(1,:),pts(2,:),[clr,symb]);
axis([2M,M,2M,M]);
axis square
grid on

La sintaxis para correr grafics desde la ventana de comandos de MATLAB es
grafics(pts, lns, clr, syrn, M):

pts 5 la matriz de puntos
lns 5 la matriz de líneas
clr 5 opciones de color; por ejemplo, 'r' representa el rojo; pida

con doc linespec una descripción de otras opciones de color
sym 5 '*' u 'o' o '1' o 'x' u 'o'; ver doc linespec

Los puntos en la matriz de puntos serán graficados individualmente utilizando el símbolo
que se elija.

M es algún número positivo, por lo general, un entero. Establece la escala sobre los ejes
de la pantalla de gráficas entre 2M # x # M y 2M # y # M.

Por ejemplo, grafics(pts, lns, ‘b’, ‘1’, 10) graficará el rectángulo dado por
el primer conjunto de matrices, pts y lns, en azul, con los vértices (las esquinas del rec-
tángulo) dibujados con un signo “1” y la escala de los ejes: 210 # x # 10 y 210 # y # 10.
a) Introduzca las siguientes matrices:

© 0 3 3 8 8 11 11 15 15 11 8 8 0 10¹
pts 5 ªª« 0 0 3 3 0 0 7 7 10 10 12 7 7 9ºº»

lns 5 © 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13¹
ª 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1º»
«

Dé el comando grafics(pts, los, ‘r’, ‘*’, 20).
Describa en palabras la figura producida y describa otras características de la pan-

talla de gráficas.
b) Diseñe su propia figura. Forme una matriz de puntos y de líneas y grafíquela utilizando

el archivo grafics.m.

2. Suponga que T: R2 S R2 es una transformación lineal (como una rotación respecto al ori-
gen) y que se desea graficar la imagen de una figura después de aplicarle la transformación.

a) (Lápiz y papel ) Considere los puntos P1 y P2 en el plano. Sea x el vector que comienza
en el origen y termina en P1 y sea y el vector que comienza en el origen y termina en P2.
Explique las razones por las cuales el vector z 5 x 2 y es paralelo al segmento de recta
entre P1 y P2.

7.1 Definición y ejemplos 491

P2 P1
y

x

Sea T: R2 S R2 una transformación lineal. Entonces el punto terminal de Tx será el
punto en la imagen transformada que viene de P1 y el punto terminal de Ty será el co-
rrespondiente a la imagen transformada que viene de P2. Así, Tx 2 Ty será paralelo al
segmento que une las imágenes transformadas de P1 y P2. Explique por qué, a partir de la
linealidad de T, es posible concluir que el segmento entre P1 y P2, representado por x 2 y,
se transforma en el segmento entre las imágenes transformadas de P1 y P2, representado
por Tx 2 Ty.

El inciso a) implica que para graficar la imagen de una figura después de aplicar
una transformación lineal T sólo es necesario aplicar la transformación a la matriz de
puntos; la matriz de líneas de la imagen transformada será la misma. Cualquier trans-
formación lineal T: R2 S R2 se puede representar por la multiplicación con una matriz
A de 2 3 2. Así, la matriz de puntos de la imagen transformada será A * pts, donde pts
es la matriz de puntos de la figura original.
b) Se desea graficar, sobre el mismo conjunto de ejes, la figura dada por las matrices de
puntos y líneas dadas en el problema 1a) de esta sección de MATLAB y su imagen
transformada después de aplicar una transformación de rotación. Recuerde que la ma-
triz de la transformación lineal que rota en el sentido contrario al de las manecillas del
reloj respecto al origen, un ángulo u, está dada por

© cos (u) 2sen (u)¹
A5 ª«ª sen (u) cos (u) º»º .

Los siguientes comandos grafican la figura original (en rojo) y su rotación positiva un
ángulo de p respecto al origen (en azul):

2

th 52pi/2;A 5[cos(th) 2sen(th);sen(th) cos(th)]
graphics(pts,lns,'r','*',20)
hold on
graphics(A*pts,lns,'b','*',20)
hold off

Observe que se utiliza el comando hold on para que ambas figuras aparezcan en el
mismo conjunto de ejes. El comando hold off libera la figura para que cuando se
ejecute el siguiente comando de graficación se borre la figura.

Interpretación. En la gráfica, identifique los cuatro puntos de la figura original que
se encuentran en la parte inferior (sobre el eje x). Identifique los puntos en los que se
transformaron. Identifique algunos segmentos entre los puntos de la figura original y
los segmentos correspondientes en la figura transformada. Verifique que estos segmen-
tos de la figura transformada sean en realidad rotaciones de p en sentido de las maneci-

2

llas del reloj de los segmentos de la figura original. Haga lo mismo para los dos puntos
de la figura original que se encuentran en el eje y.

492 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Una modificación útil para relacionar los puntos originales con los puntos transfor-
mados es utilizar la siguiente versión modificada de la función grafics con nombre
grafics1.m:

function grafics1(pts,lns,clr,symb)

% GRAFICS1 Grafica puntos con etiquetas y líneas
% grafics1(pts,lns,clr,symb) es una función que grafica
% puntos con etiquetas y líneas.
%
% pts: Matriz de 2xn de puntos a graficar
% lns: Matriz de 2xm de líneas a graficar
% clr: Opciones de color, ejemplo 'r' (grafica en rojo)
% sym: Símbolo a utilizar para representar puntos,
% ejemplo '*','+'
% Obtiene los límites de los ejes de estar presentes
rr=axis;
% Selecciona los límites de los ejes utilizando los mínimos
% y máximos de pts
M=[min(pts(1,:))–1,max(pts(1,:))+1,min(pts(2,:))–1,max(pts(2,:))+1];
M=[rr;M];
% Selecciona los límites para que quepan las figuras
M=[min(M(:,1)),max(M(:,2)),min(M(:,3)),max(M(:,4))];
% Grafica los puntos y las líneas
plot(pts(1,lns(:)),pts(2,lns(:)),clr,...

pts(1,:),pts(2,:),[clr,symb]);
% Etiqueta los puntos con números sucesivos
text(pts(1,:)',pts(2,:)',num2str([1:length(pts)]'));
axis(M);
axis square
grid on

c) En el mismo conjunto de ejes, grafique la figura original (la que se utilizó en los incisos
anteriores de este problema) y la imagen transformada después de la rotación positiva
de 2p respecto al origen. Interprete como se indicó en el inciso b).

3

d ) En el mismo conjunto de ejes, grafique la figura del problema 1b) de esta sección de
MATLAB y la imagen transformada después de la rotación respecto al origen por un
ángulo de su elección.

M 3. Considere la figura cuyas matrices de puntos y líneas están dadas en el problema 1a) an-
terior.

a) Utilice el archivo grafics.m y/o grafics1.m para graficar, sobre los mismos ejes
la figura original y la figura después de aplicar la transformación dada por la multipli-
cación por la matriz A, donde

A5 © 2 0¹
«ª 0 2 º»

Seleccione un parámetro M adecuado al llamar a grafics para que ambas figuras se
aprecien correctamente en la pantalla de gráficas (necesita experimentar con la selección
de este parámetro M. Después de determinar el adecuado valor de M, dé hold off y
repita la secuencia de comandos necesarios para graficar las dos imágenes en los mis-
mos ejes). También puede utilizar la función grafics1 y el programa seleccionará los
ejes adecuados por usted.

Describa la geometría de la transformación.

7.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo 493

b) Repita el inciso a) para las transformaciones siguientes:

A 5 © 2 0¹ , A © 1 0¹
ª« 0 1»º 5«ª 0 2 »º

c) (Lápiz y papel ) Describa la geometría de T: R2 S R2 dada por T(x) 5 Ax, donde

A 5 © r 0¹
ª« 0 s »º

para r . 0 y s . 0.

7.2 Propiedades de las transformaciones lineales:
imagen y núcleo

En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales.

T Teorema 7.2.1 Observación

Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vecto- Los incisos i) y ii) del teorema 7.2.1 son
res u, v, v1, v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an: casos especiales del inciso iii).

iii) T (0) 5 0

iii) T (u 2 v) 5 T u 2 T v

iii) T (a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn) 5 a1T v1 1 a2T v2 1 . . . 1 anT vn

Nota. En el inciso i), el 0 de la izquierda es el vector cero en V, mientras que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.

Demostración

iii) T (0) 5 T (0 1 0) 5 T (0) 1 T (0). Así,

0 5 T (0) 2 T (0) 5 T (0) 1 T (0) 2 T (0) 5 T (0)

iii) T (u 2 v) 5 T [u 1 (21)v] 5 T u 1 T [(21)v] 5 T u 1 (21)T v 5 T u 2 T v.

iii) Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice A). Para n 5 2 se tiene T (a1v1 1
a2v2) 5 T (a1v1) 1 T (a2v2) 5 a1T v1 1 a2T v2. Así, la ecuación (7.2.1) se cumple para
n 5 2. Se supone que se cumple para n 5 k y se prueba para n 5 k 1 1: T (a1v1 1
a2v2 1 . . . 1 akvk 1 ak 1 1 vk 1 1) 5 T(a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 akvk) 1 T(ak 1 1 vk 1 1),
y usando la ecuación en la parte iii) para n 5 k, esto es igual a (a1Tv1 1 a2Tv2
1 . . . 1 akT vk) 1 ak 1 1 T vk 1 1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa
la prueba.

Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamente determi-
nadas por el efecto sobre los vectores de la base.

494 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

T Teorema 7.2.2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B 5 {v1, v2, . . . , vn}. Sean
w1, w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de
V en W tales que T1vi 5 T2vi 5 wi para i 5 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector
v P V, T1v 5 T2v; es decir, T1 5 T2.

Demostración

Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares a1, a2, . . . , an tales
que v 5 a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn. Entonces, del inciso iii) del teorema 7.2.1,

T1v 5 T1(a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn) 5 a1T1v1 1 a2T1v2 1 . . . 1 anTnvn
5 a1w1 1 a2w2 1 . . . 1 anwn

De manera similar,

T2v 5 T2(a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn) 5 a1T2v1 1 a2T2v2 1 . . . 1 anTnvn
5 a1w1 1 a2w2 1 . . . 1 anwn

Por lo tanto, T1v 5 T2v.

El teorema 7.2.1 indica que si T: V S W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es ne-
cesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la
imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto
determina T por completo. Para ver esto, sean v1, v2, . . . , vn una base en V y sea v otro vector
en V. Entonces, igual que en la prueba del teorema 7.2.2,

T v 5 a1T v1 1 a2T v2 1 . . . 1 anT vn

Así, se puede calcular T v para cualquier vector v P V si se conocen T v1, T v2, . . . , T vn.

EJEMPLO 7.2.1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal
sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre
cualquier otro vector

© 1¹ © 2¹ © 0 ¹ © 21¹
ª º ª« 3º» ª 1 º «ª 4º»
Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que T ª 0 º 5 , T ª 0 º 5 y
« 0 » « »
© 0¹ © 3¹
© 5¹ ª 24ºº
T ª 0ºº 5 ª 23º» . Calcule T ª .
ª «
« 1» «ª 5»º

© 3¹ © 1¹ © 0¹ © 0¹
ª 24ºº 00º»º 01º»º
Solución Se tiene ª 53 ª 2 4 ª 1 5 ª 01ºº» .
ª ª ª
«ª 5»º « « «

Entonces

T © 3¹ 5 3T © 1¹ 2 4T © 0¹ 5 5T © 0¹
ª 24ºº ª 00»ºº ª 1ºº ª 0ºº
ª ª ª 0» ª 1»
«ª 5º» « « «

7.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo 495

5 © 2¹ 2 4 © 21¹ 1 5 © 5¹ 5 © 6¹ 1 © 4¹ 1 © 25¹ 5 © 35 ¹
3ª« 3»º «ª 4º» ª« 23»º «ª 9º» «ª 216º» «ª 215º» ª« 222 »º

Surge otra pregunta: si w1, w2, . . . , wn son n vectores en W, ¿existe una transformación lineal
T tal que Tv1 5 w1 para i 5 1, 2, . . . , n? La respuesta es sí, como lo muestra el siguiente teorema.

T Teorema 7.2.3

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B 5 {v1, v2, . . . , vn}. Sea W un
espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2, . . . , wn. Entonces existe una transfor-
mación lineal única T: V S W tal que T vi 5 wi para i 5 1, 2, . . . , n.

Se define la función T como sigue:

Demostración

ii) T vi 5 wi (7.2.1)
ii) Si v 5 a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn, entonces

T v 5 a1w1 1 a2w2 1 . . . 1 anwn

Como B es una base para V, T está definida para todo v P V; y como W es un espacio

vectorial, Tv P W. Entonces sólo falta demostrar que T es lineal, lo que se deduce di-
rectamente de la ecuación (7.2.1). Si u 5 a1v1 1 a2v2 1 . . . 1 anvn, y q 5 b1v1 1 b2v2
1 . . . 1 bnvn, entonces:

T ( u 1 q) 5 T [ ( a1 1 b1) v1 1 ( a2 1 b2) v2 1 . . . 1 ( an 1 bn) vn]
5 ( a1 1 b1) w1 1 ( a2 1 b2) w2 1 . . . 1 ( an 1 bn) wn
5 ( a1w1 1 a2w2 1 . . . 1 anwn) 1 ( b1w1 1 b2w2 1 . . . 1 bnwn)

5Tu1Tq

De manera similar, T (av) 5 aT v, así que T es lineal. La unicidad de T se obtiene del
teorema 7.2.2 y la prueba queda completa.

Observación. En los teoremas 7.2.2 y 7.2.3 los vectores w1, w2, . . . , wn no tienen que ser inde-
pendientes y, de hecho, ni siquiera tienen que ser distintos. Más aún, se hace hincapié en que
los teoremas se cumplen si V es cualquier espacio vectorial de dimensión finita, no sólo Rn.

Observe también que la dimensión de W no tiene que ser finita.

EJEMPLO 7.2.2 Definición de una transformación lineal de R2
en un subespacio de R3

Encuentre una transformación lineal de R2 en el plano

W 5 ¯© x¹ : ¿
°±²²ªª«ª yz »ººº 2x 2 y 1 3z 5 0²À

²
Á

496 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Solución Del ejemplo 5.5.3 de la página 333, se sabe que W es un subespacio de di-

© 1¹ © 0¹
ª º ª 3ºº
mensión dos de R3 con vectores básicos w1 5 ª 2 º y w2 5 ª . Utilizando la base estándar en
y v2 5 © 0¹ « 0 » 1¹ yT
«ª 1»º « 1» © 0¹ © 20»ºº © 1¹ © 0 ¹
© 1 ¹ lineal T por ª« 1»º «ª 0º» ª 3
R2, v1 5 «ª 0 º» , se define la transformación T 5 ª 5 ª 1 º .
ª « º
« »

Entonces, como lo muestra el análisis que sigue al teorema 7.2.2, T está completamente
determinada. Por ejemplo,

© 5¹ ¬© 1¹ © 01 »º¹ ½¾½¼ © 1¹ © 0¹ © 1¹ © 0¹ © 5¹
ª« 27 º» 0»º 7 «ª ª« 0»º «ª 1º» 20»ºº ª 211ºº
T 5T ­5 «ª 2 5 5T 2 7T 5 5 ª 2 7 ª 3 º 5 ª .
®­ ª ª 1 º
« « » ª« 27»º

De manera más general,

© x¹ ¬© 1¹ © 0¹¼ © 1¹ © 0¹ © 1¹ © 0¹
ª« y»º 0»º y ª« 1 º» ½¾½ «ª 0º» ª« 1»º ª 20»ºº 3ºº
T 5T ­x ª« 1 5 xT 1y T 5x ª 1 y ª 1»
­® « ª
«

© x¹
ª 3yºº
5 ª 2x 1 .

ª« y º»

Ahora se darán dos definiciones importantes en la teoría de transformaciones lineales.

D Definición 7.2.1

Núcleo e imagen de una transformación líneal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces
ii) El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por

nu T 5 {v H V: T v 5 0} (7.2.2)
ii) La imagen de T, denotado por im T, está dado por

im T 5 {w H W: w 5 T v para alguna v H V} (7.2.3)

Imagen Observación 1. Observe que nu T es no vacío porque, de acuerdo con el teorema 7.2.1, T(0) 5 0,
de manera que 0 P nu T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar
otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0)
5 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores en V
bajo la transformación T. De hecho, si w 5 Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran utilidad.

7.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo 497

T Teorema 7.2.4

Si T: V S W es una transformación lineal, entonces
ii) nu T es un subespacio de V.
ii) im T es un subespacio de W.

Demostración

ii) Sean u y v en nu T; entonces T (u 1 v) 5 T u 1 T v 5 0 1 0 5 0 y T (au) 5 aT x 5
a0 5 0 de forma que u 1 v y au están en nu T.

ii) Sean w y x en im T. Entonces w 5 T u y x 5 T v para dos vectores u y v en V. Esto
significa que T(u 1 v) 5 Tu 1 Tv 5 w 1 x y T(au) 5 aTu 5 aw. Por lo tanto,
w 1 x y aw están en im T.

EJEMPLO 7.2.3 Núcleo e imagen de la transformación cero
Sea Tv 5 0 para todo v P V (T es la transformación cero). Entonces nu T 5 V e im T 5 {0}.

EJEMPLO 7.2.4 Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea T v 5 v para todo v P V (T es la transformación identidad). Entonces nu T 5 {0} e im T 5 V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se
encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos
intermedios son más interesantes.

EJEMPLO 7.2.5 Núcleo e imagen de un operador de proyección

© x¹ © x¹
ª º ª 0yººº»
Sea T: R3 S R3 definida por T ªª« y º»º 5 «ªª .
z

Esto es (vea el ejemplo 7.1.10, página 484), T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

© x¹ © x¹ © 0¹ ¯© x¹ ¿
°±²²ªªª« ²
Si T ª yz »ººº 5 ª 0y»ººº 5 0 5 ª 0ºº , entonces x 5 y 5 0. Así, nu T 5 zyººº» : x 5 y 5 0, zP R À , es decir, el
ª«ª ª«ª ª 0»
« ²Á

¯© x¹ ¿
²²°±ªªª« 5 0À²,
eje z, e im T 5 zyº»ºº : z Á² es decir, el plano xy. Observe que dim nu T 5 1 y dim im T 5 2.

D Definición 7.2.2 (7.2.4)
(7.2.5)
Nulidad y rango de una transformación lineal
Si T es una transformación lineal de V en W, entonces se define

Nulidad de T 5 n (T) dim nu T
Rango de T 5 r(T) 5 dim im T

498 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Observación. En la sección 5.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y la nulidad
de una matriz. Según el ejemplo 7.1.7, toda matriz A de m 3 n da lugar a una transformación
lineal T: Rn S Rm definida por Tx 5 Ax. Es evidente que nu T 5 NA, im T 5 im A 5 CA,
n(T ) 5 n(A) y r(T ) 5 r(A). Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y
rango de una transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad

y el rango de una matriz.

EJEMPLO 7.2.6 Núcleo y nulidad de un operador de proyección

Sea H un subespacio de Rn y sea Tv 5 proyH v. Es obvio que la im T 5 H. Del teorema 6.1.7
de la página 428, se tiene que toda v P V si v 5 h 1 p 5 proyHv 1 proyH1v. Si Tv 5 0, entonces
h 5 0, lo que significa que v 5 p P H'. Así nu T 5 H', r(T ) 5 dim H, y n (T) 5 dim H' 5
n 2 r(T).

EJEMPLO 7.2.7 Núcleo e imagen de un operador transpuesto

Sea V 5 Mmn y defina T: Mmn S Mnm por T(A) 5 A^ (vea el ejemplo 7.1.11, página 480). Si TA
5 A^ 5 0, entonces A^ es la matriz cero de n 3 m, por lo que A es la matriz cero de m 3 n. Así,
nu T 5 {0} y es claro que im T 5 Mnm. Esto significa que n (T ) 5 0 y r(T ) 5 nm.

EJEMPLO 7.2.8 Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2

Defina T: P3 S P2 por T( p) 5 T (a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 a0 1 a1x 1 a2x2. Entonces si
T( p) 5 0, a0 1 a1x 1 a2x2 5 0 para toda x, lo que implica que a0 5 a1 5 ca2 5 0. Así nu T 5
{p P P3: p(x) 5 a3x3} e im T 5 P2, n (T ) 5 1 y r(T ) 5 3.

EJEMPLO 7.2.9 Núcleo e imagen de un operador integral

` b µ1 1

Sea V 5 C [0, 1] y defina J: C [0, 1] S R por Jf 5 f (x) dx (vea el ejemplo 7.1.12, página 485).
0
µ1

Entonces nu J 5 f PC[0, 1] : f (x) dx 5 0 . Sea a un número real. Entonces la función cons-
0
µ0 a
tante f (x) 5 a para x P [0, 1]: está en C [0, 1] y dx 5 a . Como esto se cumple para todo
número real a, se tiene que im J 5 R.

En la siguiente sección se verá que toda transformación lineal de un espacio vectorial de di-

mensión finita en otro se puede representar por una matriz, lo que permitirá calcular el núcleo

y la imagen de cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita

encontrando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente.

R Resumen 7.2 (p. 493)

• Propiedades básicas de las transformaciones lineales
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces, para todo vector u, v1, v2, . . . , vn en V y todo
escalar a1, a2, . . . , an
iii) T(0) 5 0
iii) T(u – v) 5 Tu 2 Tv
iii) T(a1v1, a2v2, . . . , anvn) 5 a1Tv1, a2Tv2, . . . , anTvn

7.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo 499
(p. 496)
• Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces el nú- (p. 497)
cleo de T, denotado por nu T, está dado por
nu T 5 {v P V: Tv 5 0}
La imagen de T, denotada por im T está dada por
im T 5 {w P W: Tv para algún v P V}
nu T es un subespacio de V e im T es un subespacio de W.

• Nulidad y rango de una transformación lineal
Si T es una transformación lineal de V en W, entonces
nulidad de T 5 n (T) 5 dim nu T
rango de T 5 r(T) 5 dim im T

A AUTOEVALUACIÓN 7.2

De los siguientes enunciados, indique si son verdaderos o falsos.

IVI) Sea T: V S W una transformación lineal. En ocasiones es posible encontrar tres
vectores diferentes v1 P V, v2 P V y w P W tales que Tv1 5 Tv2 5 w.

VII) Si T v1 5 T v2 como en el problema 7.2.1, entonces v1 – v2 P nu T.

IIII) Si T es una transformación lineal de v en w, entonces la imagen de T es w.

IIV) Sea v1, v2, . . . , vn una base para Rn y sea w1, w2, . . . , wn una base para Pn21. Enton-
ces existen dos transformaciones lineales S y T tales que T v1 5 w1 y S wi 5 vi para
i 5 1, 2, . . . , n.

IIV) Si T: R2 S R2 es una transformación lineal y T © 0¹ 5 © 0¹ , entonces T es la trans-
formación cero. ª« 0»º «ª 0º»

IVI) Existe una transformación lineal T de R5 S R5 con r(T ) 5 n (T ).

VII) Suponga que T: M22 S M22 con r(T ) 5 4. Si TA 5 © 0 0¹ , entonces A 5 © 0 0¹ .
ª« 0 0»º «ª 0 0»º

Respuestas a la autoevaluación

I) V II) V III) F IV) F

V) F VI) F VII) V

500 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Problemas 7.2

De los problemas 1 al 14 encuentre núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación lineal
dada.

1. T: R2 S R; T ⎛ x⎞ 5x 2. T: R2 S R2; T © x¹ 5 © x¹
⎝⎜ y⎟⎠ ª« yº» ª« 0 »º

3. T: R3 S R2; T © x¹ 5 © z ¹ 4. T: R2 S R2; T ⎛ x ⎞ 5 ⎛ 24 y ⎞
ª zy»ººº «ª y º» ⎜⎝ y ⎠⎟ ⎜ y ⎟
ªª« ⎝ ⎠

© x¹
ª º © 1z¹
5. T: R2 S R; T © x¹ 5 x 1 y 6. T: R4 S R2; T ª y º 5 ª«ª x 1 w»ºº
ª« y»º ª z º y

ª« wº»

7. T: M22 S M22; T(A) 5 BA, donde B 5 ⎛1 0⎞
⎜⎝ 3 1⎠⎟

8. T: R S P3; T(a) 5 a 1 ax 1 ax2 1 ax3

9. T: R2 S P3; T © a ¹ 5 a 1 bx 1 (a 1 b)x2 1 (a 2 b)x3
ª« b º»

Cálculo *10. T: Mnn S Mnn; T(A) 5 A^ 1 A
11. T: C1[0, 1] q C[0, 1]; Tf 5 f 9

12. T: C 2 [0, 1] q C[0, 1]; Tf 5 f 0

13. T: C [0, 1] S R; Tf 5 f (0)

14. T: R2 S R2; T es una rotación de p
.
3

15. Sea T: V S W una transformación lineal, sea {v1, v2, . . . , vn} una base para V y suponga
que T vi 5 0 para i 5 1, 2, . . . , n. Demuestre que T es la transformación cero.

16. En el problema 15 suponga que W 5 V y T vi 5 vi para i 5 1, 2, . . . , n. Demuestre que T
es el operador identidad.

17. Sea T: V S R3. Demuestre que im T es cualquiera de las siguientes: a) {0}; b) una recta
que pasa por el origen; c) un plano que pasa por el origen; d ) R3.

18. Sea T: R3 S V. Demuestre que nu T es uno de los cuatro espacios enumerados en el pro-
blema 17.

19. Encuentre todas las transformaciones lineales de R2 en R2 tales que la recta y 5 0 se trans-
forma en la recta x 5 0.

20. Encuentre todas las transformaciones lineales de R2 en R2 que llevan a la recta y 5 ax a
la recta y 5 bx.

21. Encuentre una transformación lineal T de R3 S R3 tal que

nu T 5 {(x, y, z): 2x 2 y 1 z 5 0}.
22. Encuentre una transformación lineal T de R3 S R 3 tal que

im T 5 {(x, y, z) 5 3x 1 2y 2 5z 5 0}.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 501

23. Defina T: Mnn S Mnn por TA 5 A 2 A^. Demuestre que nu T 5 {matrices simétricas de Cálculo
n 3 n} e im T 5 {matrices antisimétricas de n 3 n}.

24. Defina T: C 1[0, 1] S C [0, 1] por Tf (x) 5 xf 9(x). Encuentre el núcleo y la imagen de T.

*25. En el problema 7.1.52 se le pidió que demostrara que un conjunto de transformaciones li-
neales de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, denotadas por L(V, W), es un es-
pacio vectorial. Suponga que dim V 5 n , q y dim W 5 m , q. Encuentre dim L(V, W).

26. Sea H un subespacio de V donde dim H 5 k y dim V 5 n. Sea U el subconjunto de
L(V, V) que tiene la propiedad de que si T P U, entonces Th 5 0 para todo h P H.

a) Demuestre que U es un subespacio de L(V, V).
b) Encuentre dim U.

*27. Sean S y T en L(V, V) tales que ST es la transformación cero. Demuestre o contradiga que
TS es la transformación cero.

7.3 Representación matricial de
una transformación lineal

Si A es una matriz de m 3 n y T: Rn S Rm está definida por Tx 5 Ax, entonces, como se observó
en el ejemplo 7.1.7 de la página 483, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para
toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m 3 n tal que Tx 5 Ax para todo
x P Rn. Este hecho es de gran utilidad. Como se dijo en la observación de la página 498, si
Tx 5 Ax, entonces nu T 5 NA e im T 5 RA. Más aún, n(T) 5 dim nu T 5 n (A) y r(T) 5 dim im
T 5 r(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación
lineal de Rn S Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente.
Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx 5 Ax, se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn
mediante una simple multiplicación de matrices.

Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vecto-
riales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.

T Teorema 7.3.1

Sea T: Rn S Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m 3 n,
AT tal que

Tx 5 ATx para toda x P Rn (7.3.1)

Demostración

Sea w1 5 Te1, w2 5 Te2, . . . , wn 5 Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, . . . ,
wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn S Rm, que multiplica
un vector en Rn por AT. Si

© a1i ¹
a2i º
ª º
ª º
wi 5 ª para i 5 1, 2, … , n

ª ami º
« »

502 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

entonces i-ésima

posición

⎛ ⎞

⎛ D D p D L p D Q ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎛ D L ⎞
D p D L p D Q ⎟ ⎜ o⎟ ⎜ D L ⎟
⎜ D ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟
$7 HL 5 ⎜ o o p o ⎟ ⎜ 5 ⎜ o ⎟ 5 ZL
⎜ o DP p DPL DPQ ⎟⎠⎟ ⎜ ⎜⎝⎜ DPL ⎠⎟⎟
⎜⎝⎜ DP ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ o ⎟

⎝⎜ ⎟⎠

De esta forma, ATei 5 wi para i 5 1, 2, . . . , n. De acuerdo al teorema 7.2.2 de la página

494, T y la transformación AT son la misma porque coinciden en los vectores básicos.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx 5 ATx y que Tx 5 BTx

para todo x P Rn. Entonces ATx 5 BTx, o estableciendo CT 5 AT 2 BT, se tiene que
CTx 5 0 para todo x P Rn. En particular, CTei 5 0 para i 5 1, 2, . . . , n. Pero como se

deduce de la demostración de la primera parte del teorema, CTei es la columna i de CT.

Así, cada una de las n columnas de CT es el vector 0 de dimensión m, la matriz cero de
m 3 n. Esto muestra que AT 5 BT y el teorema queda demostrado.

N Nota Observación 1. En este teorema se supone que todo vector en Rn y Rm está expre-
sado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen
La matriz de transformación AT está otras bases para Rn y Rm, por supuesto que se obtendrá una matriz AT diferente.
definida usando las bases estándar Para ilustrar este caso, vea el ejemplo 5.6.1 de la página 365 o más adelante, el
tanto en Rn como en Rm. Si se utilizan ejemplo 7.3.8.
otras bases, se obtendrá una matriz de
transformación diferente. Vea el teore- Observación 2. La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT
ma 7.3.3 de la página 505. como la matriz cuyas columnas son los vectores Tei.

D Definición 7.3.1

Matriz de transformación

La matriz AT en el teorema 7.3.1 se denomina matriz de transformación correspondiente
a T o representación matricial de T.

En la sección 7.2 se definieron la imagen, el rango, el núcleo y la nulidad de una transformación
lineal. En la sección 5.7 se definieron la imagen, el rango, el espacio nulo y la nulidad de una
matriz. La prueba del siguiente teorema es consecuencia del teorema 7.3.1 y se deja como ejer-
cicio (vea el problema 44 de esta sección).

T Teorema 7.3.2

Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. En-
tonces

iii) im T 5 im A 5 CAT
iii) r(T ) 5 r(AT)
iii) nu T 5 NAT
iv) n(T ) 5 n(AT)

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 503

EJEMPLO 7.3.1 Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un vector en R3
sobre el plano xy.

© x¹ © x¹ © 1¹ © 1¹ © 0¹ © 0¹ © 0¹ © 0¹
ª yz ººº» ª 0yº»ºº
Solución Aquí T ªª« 5 «ªª . En particular, T ª 0 º 5 ª 00º»º , T ª 01»ºº 5 ª 01º»º y T ª 0 º 5 ª 0ºº .
ª 0 º ª ª ª ª º ª
« » « « « « 1» « 1»

© 1 0 0¹ ©x¹ © 1 0 0¹ © x¹ © x¹
ª 00º»º . ª zy »ººº ª º ª yz ºº»º ª 0y »ººº
Así, AT 5 ª 0 1 Observe que AT ª«ª 5 ª 0 1 0 º ªª« 5 «ªª .
0 « 0 0 0 »
«0

EJEMPLO 7.3.2 Representación matricial de una transformación de R3 en R4

© x¹ © x2y ¹
ª zy »ººº ª º
Defina T : R3 en R4 por T «ªª 5 ª y1z º

ª 2x 2 y 2 z º
ª º
ǻ2x 1 y 1 2zȼ

Encuentre AT, nu T, im T, n(T ) y r(T ).

© 1¹ © 1¹ © 0¹ © 21¹ © 0¹ © 0¹
ª 00»ºº ª 0ºº ª 01ºº» ª 1ºº ª 01»ºº ª 1ºº
Solución T ª 5 ª 221ººº» , T ª 5 ª , y T ª 5 ª 221º»ºº .
« ª « ª 21º « ª
«ªª «ª 1»º ªª«

© 1 21 0¹
ª 1ºº
ª 0 1 21ºº
Así, AT 5 ª 2 21

ª
ǻ 21 1 2ȼ
© 1 21 0¹ © x2y ¹
ª 1ºº © x¹ ª º
ª 0 1 21ºº ª zy º»ºº ª y1z º
Observe (a manera de verificación) que ª 2 21 ª«ª 5 ª 2x 2 y 2 z º
2 »º ª 2x 1 y 1 2z º
ª 1 ª« »º
ǻ 21

Ahora se calculan el núcleo y la imagen de A. La forma escalonada por renglones de

© 1 21 0¹ © 1 21 0¹
ª 1ºº ª 1ºº
ª 0 1 21ºº ª 0 1 1º
21 0
ª 2 2 »º es ª0 . Esta forma tiene tres pivotes, de manera que
ª 1
«ª 21 ª«ª 0 0 0ºº»
ya que r(A ) 1 n(A ) 5 3

r(A ) 5 3 y n(A ) 5 3 2 3 5 0

¯© 1¹ © 21¹ © 0¹¿
²²²²±°«ªªªªª º ª 2211ºººº»º ²À²Á²² ,
Esto significa que nu T 5 {0}, im T 5 gen 0 º , ª 1ºº , ª n(T ) 5 0 y r(T ) 5 3.
ª ª
221º»ºº ª 21º ªª«
ǻ 1ȼ

504 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

EJEMPLO 7.3.3 Representación matricial de una transformación de R3 en R3

© x¹ © 2x 2 y 13z¹
ª zy ººº»
Defina T: R3 S R3 por T ª«ª 5 ª 4x 2 2y 1 6z º . Encuentre AT , nu T, im T, n(T ) y r(T ).
ª º
ǻ 26x 1 3y 2 9z ȼ

© 1¹ © 2¹ © 0¹ © 21¹ © 0¹ © 3¹
ª 4ºº , 5 «ªªª223ººº» ª 01º»º ª 6ºº
Solución Como T ª 00»ºº 5 ª T ª 1 º y T ª 5 ª se tiene
ª ª 0 º «
« ª« 26»º « » ª« 29»º

© 2 21 3¹
ª 6ºº
AT 5 ª 4 22

ǻ26 3 29ȼ

teorema 7.3.2 ii) ¯© 2¹¿

Del ejemplo 5.7.4 de la página 388, se ve que r(A ) 5 r(T ) 5 1 e im T 5 gen ±²²°ªª«ª 246 ººº» ²À²Á.
Entonces n(T ) 5 2.

teorema 7.3.2 iii)

Para encontrar NA 5 nu T, se reduce por renglones para resolver el sistema Ax 5 0:

© 2 21 3 | 0 ¹ ©2 21 3 | 00¹ºº
ª 6 | 0 º ª 0 0 |
ª 4 22 º q ª 0

«ª26 3 29 | 0 º» «ª 0 0 0 | 0º»

© x¹
ª yz º»ºº
Esto significa que ª«ª P NA si 2x 2 y 1 3z 5 0, o sea, y 5 2x 1 3z. Estableciendo primero

x 5 1, z 5 0 y después x 5 0, z 5 1, se obtiene una base para NA:

nu T 5 NA 5 gen ¯© 1¹ , © 013 ¹»ºº ¿²À²Á
±²°²ªª« 20º»º ª
ª
«

EJEMPLO 7.3.4 Representación matricial de una transformación cero

Es fácil verificar que si T es la transformación cero de Rn S Rm, entonces AT es la matriz cero
de m 3 n. De igual manera, si T es la transformación identidad de Rn S Rn, entonces AT 5 In.

EJEMPLO 7.3.5 Representación matricial de una transformación cero

Se vio en el ejemplo 7.1.8 de la página 483, que si T es la función que rota a todo vector en R2
© cos u 2sen u¹

un ángulo u, entonces AT 5 ªª« sen u cos uºº» .
Ahora se generalizará el concepto de representación matricial a espacios arbitrarios de

dimensión finita.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 505

T Teorema 7.3.3

Sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y T:
V S W una transformación lineal. Sea B1 5 {v1, v2, . . . , vn} una base para V y sea B2 5
{w1, w2, . . . , wn} una base para W. Entonces existe una matriz única AT de m 3 n tal que

(Tx)B2 5 AT (x)B1 (7.3.2)

Observación 1. La notación (7.3.2) es la notación de la sección 5.6 (vea la página 362).

© c1 ¹ © c1 ¹
c2 º ª c2 º
ª º ª º
x P V 5 c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn, entonces (x)B1 ª º ª º
Si 5 ª . Si c 5 , entonces AT c es un

ª cn º ª cn º
« » « »

© d1 ¹
d2 º
ª º
ª º
vector de dimensión m que se denotará por d 5 ª . La ecuación (7.3.2) dice que

© d1 ¹ ªª« dmº»º
ª d2 º
(T x)B2 5 ª º , es decir,
ª º
«ªª dmºº»
Tx 5 d1w1 1 d2w2 1 . . . 1 dmwm.

Observación 2. Como en el teorema 7.3.1, la unicidad de AT es relativa a las bases B1 y
B2. Si se cambian las bases, AT cambia (vea los ejemplos 7.3.8 y 7.3.9, y el teorema 7.3.5).
Si se usan las bases estándar, entonces esta AT es la AT de la definición 7.3.1.

Demostración

Sean T v1 5 y1, T v2 5 y2, T vn 5 yn. Como y1 P W, se tiene que para i 5 1, 2, . . . , n
y1 5 a1iw1 1 a2iw2 1 . . . 1 amiwm,

Para algún conjunto (único) de escalares a1i, a2i, . . . , ami y se escribe

© a11 ¹ © a12 ¹ © a1n ¹
ª º ª º ª º
ª a21 º ª a22 º ª a2 º
(y1 )B2 5 ª º , ( y2 )B2 5 ª º , . . . , (y n )B2 5 ª n

ª º
ª am1º» ª º « º
« « am 2 » amn »

Esto significa, por ejemplo, que y1 5 a11w1 1 a21w2 1 . . . 1 am1wm. Ahora se define

© a11 a12 a1n ¹
a21 a22 a2 n º
ª º
ª am2
AT 5 ª º

ª am1 amn º
« »

Como

© 1¹ © 0¹ © 0¹
ª 1ºº
ª 0 º ª ª 0 º
(v1 )B1 5 ª º , (v2 )B1 5 ª 0º , . . . , ( v )B1 5 ª º
ª º n ª º

ª« 0º» ªº «ª 1»º
ª« 0»º

506 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

se tiene, como en la prueba del teorema 7.3.1, i-ésima
posición

© a11 a12 a1n ¹ © 0¹
ª a21 a22 a2 n º ª 0ºº
ª º ª © a1i ¹
ai 2 ª º
ª º ª º ª a2i º
AT (v1 )B1 5ª am2 º ª 1º 5 ª ami º 5 ( yi )B2
ª ai1 ain º ª 0ºº ª º
ª « »
ª º ª º
ª º
« am1 amn » ª« 0»º

Si x está en V, entonces © c1 ¹
y ª º
( x )B1 5 ª c2 º
ª º
ª º
« cn »

© a11 a12 a1n ¹ © c1 ¹ © a11c1 1 a12c2 1 1 a1ncn ¹
ª a22 a2n º ª º ª a21c1 1 a22c2 1 º
ª a21 º ª c2 º ª 1 a2 ncn º
AT ( x ) B1 5 ª am2 ª 5 ª
º º º
ª º
ª am1 amn º ª cn º ª« am1c1 1 am2c2 1 1 amncnº»
« » « »

© a11 ¹ © a12 ¹ © a1n ¹
ª º ª º ª º
5 c1 ª a21 º 5 c2 ª a22 º 1 1 cn ª a2 n º
ª ª º ª º
ª º ª º
« am1º» ª º « »
« am2 » amn

5 c1(y1 )B2 1 c2 (y2 )B2 1 1 cn (y n )B2

De manera similar, T x 5 T (c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn) 5 c1T v1 1 c2T v2 1 . . . 1 cnT vn 5
. . . 1 cnvyn, de manera que T (x)B2 5 (c1y1 1 c2y2 1 . . . 1
c1y1 1 c2y2 1 . . 1 cn(yn)B2 5 AT (x)B1. Así, T (x)B2 5 AT (x)B1. La prueba cnvyn)B2 5 c1(y)B2
1 c2(y2)B2 1 . de la unicidad es

exactamente igual que la prueba de unicidad en el teorema 7.3.1.

El siguiente resultado es consecuencia del teorema 5.7.7 de la página 391, y generaliza el teore-
ma 7.3.2. Su demostración se deja como ejercicio (vea el problema 45 de esta sección).

T Teorema 7.3.4

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V 5 n. Sea T: V S W una

transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1
en V y B2 en W. Entonces

i) r(T) 5 r(AT) ii) n(A) 5 n(AT) iii) n(A) 1 r(T) 5 n

Nota. i) y ii) implican que r(AT) y n(AT) son independientes de las bases B1 y B2.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 507

EJEMPLO 7.3.6 Representación matricial de una transformación
de P2 en P3

Defina T : P2 S P3 por (T p)(x) 5 xp (x). Encuentre AT y úsela para determinar el núcleo y la
imagen de T.

Solución Utilizando las bases estándar B1 5 {1, x, x2} en P2 y B2 5 {1, x, x2, x3} en

© 0¹ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
ª 01ººº ⎜ 0⎟⎟
P3, se tiene (T (1))B2 5 (x)B2 5 ª , (T (x))B2 5 (x2 )B2 5 ⎜ y (T (x 2 ))B2 5 (x3 )B2 5 ⎜ 0 ⎟ .
ª ⎜ ⎟
⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟
© 0 0 0¹ «ª 0»º ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 1⎠⎟
ª 0ºº .
Así, AT 5ª 1 0 0º
0 1
ª
ª« 0 0 1»º
¯© 0¹ © 0¹ © 0¹¿
²°²ªª 1ºº ª 0ºº ª 001 ºººº» À²²²²Á .
Es evidente que r(A) 5 3 y que una base para RA es ²±²ª«ª 0º , ª , ª Por lo tanto, im T 5
0»º ª 1º ª
«ª 0»º ª«

gen {x, x2, x3}. Como n(A) 5 3 2 r(A) 5 0, se ve que nu T 5 {0}.

EJEMPLO 7.3.7 Representación matricial de una transformación
de P3 en P2

Defina T: P3 S P2 por T (a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 a1 1 a2x2. Calcule AT y utilícela para en-
contrar el núcleo y la imagen de T.

Solución Utilizando las bases estándar B1 5 {1, x, x2, x3} en P3 y B2 5 {1, x, x2} en P3,

© 0¹ © 1¹ © 0¹ © 0¹
ª 0ºº ª 0ºº ª 0ºº ª 0ºº
de inmediato se ve que (T (1))B2 5 ª , (T (x))B2 5 ª , (T (x2 ))B2 5 ª y (T (x 3 ))B2 5 ª ,

« 0» « 0» « 1» « 0»

©0 1 0 0¹ ¯© 1¹ © 0¹ ¿
ª 0 0 º °²±²«ªª º ª º ²À ,
por lo que AT 5 ª 0 0 1 0 º . Es obvio que r(A) 52 y una base para RA es 0 º , ª 0 º ² de
0 » « Á
«0 0» 1»

manera que im T 5 gen {1, x2}. Entonces, n(A) 5 4 22 5 2, y si AT © a0 ¹ 5 © 0¹ , entonces
a1 5 0 y a2 5 0. ¯© 1¹ © 0¹¿ ª a1 º ª 0ºº
ª a2 º ª 0»
ª a3 º «
ªª« º»º

Por lo tanto, a0 y a3 son arbitrarios y °²²ªª 0ºº , ª 0 º ²² es una base para NA, de manera que {1, x3} es
una base para nu T. ±²²ªª« 0º ª 0 º À
0º» ª 1 º ²
«ª º» Á²

En todos los ejemplos de esta sección se ha obtenido la matriz AT utilizando la base están-
dar en cada espacio vectorial. Sin embargo, el teorema 7.3.3 se cumple para cualesquiera bases

en V y W. El siguiente ejemplo ilustra esto.

508 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

EJEMPLO 7.3.8 Representación matricial relativa a dos bases no estándar en R2

Sea la transformación lineal T: R2 S R2 definida ©x ¹ © x1 y¹ Calcule AT con respecto
de las bases B1 5 B2 5 ²±²°¯ª«©211º¹» , © 23¹ ²À¿. Además, por T «ª y »º 5 ªª« x 2 yº»º . respecto a la
«ª 2º» Á² encuentre la imagen de © 24¹ con
ª« 7º»

base estándar y las bases B1 y B2.

Solución Primero encontramos las imágenes de los vectores que forman la base B1 y

los expresamos en términos de la base B2, esto es,

T © 1¹ 5 © 0 ¹ 5 26 © 1¹ 2 2 © 23¹ 5 © 26¹
«ª 21»º ª« 2 º» ª« 21º» «ª 2»º «ª 22º»
B 2

T © 23¹ 5 © 21¹ 517 © 1¹ 1 6 © 23¹ 5 © 17 ¹
ª« 2º» ª« 25»º «ª 21»º ª 2»º «ª 6 º»
« B2

por lo tanto, la representación matricial de la transformación T con respecto a las bases B1 y B2

es AT 5 © 26 1d67e»º¹ª«©. Para encontrar la imagen con respecto a las diferentes bases obtenemos la
ǻ 22 a B1, que en este caso es
24¹
representación 7»º con respecto

© 24 ¹ 5 213 © 1¹ 2 3 © 23¹ 5 © 213¹
ª« 7 º» «ª 21»º ª« 2»º ª« 23»º

B1

La imagen en las diferentes bases podemos calcularla como

T © 24¹ 5 © 24 1 7¹ 5 © 3¹
ª« 7»º «ªª 24 2 7ºº» «ª 211º»

T © 213¹ 5 AT © 213¹ © 27¹
ª« 23º» ª« 23»º 5 «ª 8 »º
B1 B1 B2

Observe que 27 © 1¹ 1 © 23¹ 5 © 3¹ , por lo que podemos concluir que ambos resultados
«ª 21º» 8 ª« 2»º ª« 211»º

son equivalentes, independientemente de la base utilizada.

Para evitar confusión, a menos que se establezca de forma explícita algo distinto, siempre se

calculará la matriz AT respecto a la base canónica.† Si T: V S V es una transformación lineal y
se utiliza alguna otra base B, entonces se hará referencia a AT como la matriz de transformación

© 26 17¹
de T respecto a la base B. Así, en el último ejemplo, AT 5 ª«22 6º» , es la matriz de transforma-
ción
de T respecto a la base ¯²© 1¹ , © 223º¹» Á²²¿À.
±²°«ª 21»º ª
«

Antes de terminar esta sección, debe responderse una pregunta obvia: ¿para qué moles-

tarse en utilizar otra base que no sea la estándar cuando los cálculos son, como en el ejemplo

7.3.8, bastante más complicados? La respuesta es que con frecuencia es posible encontrar una

† Esto es, en cualquier espacio en el que se haya definido la base estándar.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 509

base B* en Rn para la que la matriz de transformación respecto a B* es una matriz diagonal. Es
muy sencillo trabajar con matrices diagonales, como se verá en el capítulo 8, y existen muchas
ventajas al escribir una matriz en forma diagonal.

EJEMPLO 7.3.9 La representación matricial de una transformación lineal respecto
a dos bases no estándar en R2 puede ser diagonal

Sea la transformación lineal T : R2 S R2 definida por T © x¹ © 12x 110y¹ . Calcule AT con
respecto a las bases B1 5 B2 5 ª« yº» 5 ªª«215x 213yº»º
²¯© 1¹ © 2¹ À¿².
±²°ª« 21»º , ª« 23º» ²Á

Solución Utilizando el procedimiento del problema anterior, encontramos la imagen

de la base B1 bajo T y la expresamos en términos de la base B2 para construir la representación
matricial AT con respecto a las bases B1 y B2.

T ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 2 ⎞ 5 2 ⎛ 1⎞ 1 0 ⎛ 2⎞ 5 ⎛ 2 ⎞
⎜ 21⎟⎠ ⎜ 22 ⎟ ⎜ 21⎟⎠ ⎜ 23⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎠⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ B2

T ⎛ 23⎞ 5 ⎛ 26⎞ 5 0 ⎛ 1⎞ 2 3 ⎛ 23⎞ 5 ⎛ 0⎞
⎜ 2⎟⎠ ⎜ 9⎠⎟ ⎜ 21⎟⎠ ⎜ 2⎠⎟ ⎜ 23⎟⎠
⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ B2

5 © 2 0¹
Por lo tanto, AT ª 23»º .
« 0

Una forma alternativa de resolver este problema consiste en encontrar la representación de T

con respecto de la base estándar S 5 ¯²© 1¹ © 0 ¹ ²¿ y encontrar las matrices de transición de B1 y
²±°ª« 0º» ,«ª º» À
1 Á²

B2 a S. Esquemáticamente se puede ver en la figura 7.5 que, partiendo de la base B1 y utilizando
la matriz de transición A, se llega a la prepresentación de la base S, se aplica la transformación

lineal utilizando C y, finalmente, en este caso como B1 5 B2, la matriz de transición de S a B2
es A21. Es decir, AT 5 A21CA.

Encontrando las matrices involucradas (A se calcula con el procedimiento de la sección

5.6, página 362)

A 5 ⎛ 1 2⎞ , A21 5 ⎛ 3 2⎞ , C 5 ⎛ 12 10 ⎞
⎜ 21 23⎠⎟ ⎝⎜ 21 21⎠⎟ ⎜ 215 213⎠⎟
⎝ ⎝

AT 5 A21 CA 5 ⎛3 2⎞ ⎛ 12 10⎞ ⎛ 1 2⎞
⎜ 21⎠⎟ , ⎜⎝215 213⎟⎠ ⎜ 23⎟⎠
⎝ 21 ⎝ 21

⎛ 2 0⎞
AT 5⎜ 23⎟⎠
⎝ 0

C

S S
A A21

B1 B2 Figura 7.5
AT
Esquema de procedimiento alternativo para
encontrar la representación matricial de la
transformación T con respecto a las bases
B1 y B2 del ejemplo 7.3.9.

510 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

T Teorema 7.3.5

Sea T: Rn S Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transfor-
mación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1
la matriz de transición de B1 a la base Sn en Rn y sea A2 la matriz de transición de B2
a la base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases
B1 y B2, entonces

AT 5 A221CA1 (7.3.3)

En el ejemplo 7.3.9 se observa que la transformación lineal T respecto a la nueva base, la

matriz de transformación AT, resulta ser una matriz diagonal. Se regresará a este procedimiento
de “diagonalización” en la sección 8.3. Se observará que dada una transformación de Rn en Rn,
con frecuencia es posible encontrar una base B tal que la matriz de transformación de T respecto

a B es diagonal.

Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2

Sea T : R2 S R2 una transformación lineal con representación matricial AT. Ahora se demostra-
rá que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más trans-
formaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Expansión a lo Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada
largo del eje x
© x¹ © cx ¹
x de un vector en R2 por una constante c . 1. Esto es T «ª yº» 5 «ª y »º .

Entonces T © 1¹ 5 © c¹ y T © 0¹ 5 © 0¹ , de manera que si AT 5 © c 0¹ , se tiene
ª« 0»º «ª 0»º ª« 1»º «ª 1»º ª« 0 1º»

T © x¹ 5 © x¹ 5 © c 0¹ © x¹ 5 © cx ¹ .
«ª y»º AT ª« yº» «ª 0 1º» ª« yº» «ª y º»

En la figura 7.6 se ilustran dos expansiones.

yy y

(0, 8) (3, 8)

(0, 2) (3, 2) (0, 2) (6, 2)

0 (3, 0) x x 0 (3, 0) x
0
(6, 0)

a) b) c)

Figura 7.6

Dos expansiones: a) Se comienza con este rectángulo. b) Expansión en la dirección de x con c 5 2.
c) Expansión en la dirección de y con c 5 4.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 511

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multi- Expansión a lo
largo del eje y
plica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante c . 1. Como antes, si T © x ¹ 5 © cx ¹ ,
ª« y »º ª« y º» Compresión

entonces la representación matricial de T es AT 5 ©1 0¹ , de manera que © 1 0¹ © x ¹ 5 © x¹ .
«ª 0 c º» ª« 0 c º» ª« y »º ª« cy»º

Compresión a lo largo de los ejes x o y

Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica a la coor-
denada x o y de un vector en R2 por una constante positiva c , 1. La representación matricial
de una compresión es la misma que para una expansión, excepto para la compresión 0 , c , 1,
mientras que para la expansión c , 1. En la figura 7.7 se ilustran dos compresiones.

yyy

(0, 3) (4, 3) (0, 3) ( 4 , 3)

3

(0, 3 ) (4, 3 )
2 2

0 (4, 0) x 0 ( 4 , 0) x
0
(4, 0)
3 c)

a) b)

Figura 7.7

Dos compresiones: a) Se comienza con este rectángulo. b) Compresión a lo largo del eje x con c 5 1 .
3
c) Compresión a lo largo del eje x con c 5 1 .
2

Reflexiones

Existen tres tipos de reflexiones que serán de interés. En el ejemplo 7.1.1 de la página 480 se vio

que la transformación

T © x¹ 5 © x ¹
«ª y»º ª 2y º
« »

refleja al vector en R2 respecto al eje x (vea la figura 7.1). En el ejemplo 7.1.6 de la página 483,
se vio que la transformación

T © x¹ 5 © 2x ¹
«ª yº» ª y»º
«

refleja al vector en R2 respecto al eje y (vea la figura 7.2). Ahora

©1 0¹ © x¹ 5 © x¹ y © 21 0¹ © x¹ 5 © 2x ¹
21»º ª« y»º ª º 1º» ª« y»º «ª y»º
ª 0 « 2y » ª 0
« «

©1 0¹ es la representación matricial de la reflexión respecto al eje x y © 21 0¹ Reflexión
de manera que ª« 0 21»º «ª 0 1º» respecto al eje x

es la representación matricial de la reflexión respecto al eje y. Por último, el mapeo T © x¹ 5 © y¹ Reflexión
ǻ yȼ ǻ xȼ respecto al eje y

que intercambia x y y tiene el efecto de reflejar un vector en R2 respecto a la recta x 5 y (vea la Reflexión respecto
a la recta x 5 y
figura 7.8).

512 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

y
y5x

y y5x (24, 1)
(2, 5)
(5, 2)
Figura 7.8 0 x 0x
a) (1, 24)
Reflexión de un vector en R2 respecto
a la recta x 5 y: a) (2, 5) se obtiene b)
reflejando (5, 2) respecto a la recta
y 5 x. b) (1, 24) se obtiene reflejan-
do (24, 1) respecto a la recta y 5 x.

Si T © x¹ 5 © y¹ , entonces T © 1¹ 5 © 0¹ y T © 0¹ 5 © 1¹ , de manera que la representación matricial
ª« yº» ª« x»º «ª 0º» «ª 1º» ª« 1»º «ª 0º»
© 1¹
de la transformación lineal que refleja a un vector en R2 respecto a la recta x 5 y es A 5 ª« 0 0º» .
1

Cortes

Corte a lo largo Un corte a lo largo del eje x es donde una transformación que toma al vector © x¹ y lo convierte
del eje x © x 1 cy¹ ª« yº»

en un nuevo vector ª y º, donde c es una constante diferente de cero. En la figura 7.9 se ilus-
« » eje x. Sea T un corte a lo largo del
del © 1¹ © 1¹
tran dos cortes a lo largo eje x. Entonces T «ª 0º» 5 ª« 0»º y

T © 0¹ 5 © c¹ , de manera que la representación matricial de T es AT © 1 c¹ . Por ejemplo, en la
«ª 1º» «ª 1»º «ª 0 1»º

figura 7.9b), c 5 2, así AT 5 ©1 2¹ , y
ǻ 0 1ȼ

AT © 3¹ 5 © 3¹ , AT © 3¹ 5 © 7¹ , AT © 0¹ 5 © 4¹ .
«ª 0º» ª« 0»º ª« 2º» «ª 2º» ª« 2 º» «ª 2»º

© 1 22¹
En la figura 7.9c), c 5 22. Así, AT 5 «ª 0 1º» ,

AT © 3¹ 5 © 3¹ , AT © 3¹ 5 © 21¹ , AT © 0¹ 5 © 24¹ .
ª« 0º» «ª 0»º ª« 2»º «ª 2»º ª« 2 º» «ª 2º»

Observe que un corte a lo largo del eje x deja sin cambio a los vectores sobre el eje x (coorde-
nada y 5 0).

yy y

(0, 2) (4, 2) (21, 2)
(3, 2) (7, 2)

0 (3, 0) (24, 2)

x 0 (3, 0) x 0 (3, 0) x

a) b) c)

Figura 7.9

Dos cortes a lo largo del eje x: a) Comenzamos con este rectángulo. b) Corte a lo largo del eje x con c 5 2.
c ) Corte a lo largo del eje x con c 5 22.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 513

y

yy

(1, 7) (0, 4)

(0, 4) (1, 4) (0, 4) (1, 1) x
0
(1, 3)

0 (1, 0) x0 x (1, 23)

a) b) c)

Figura 7.10

Dos cortes a lo largo del eje y: a) Se comienza con este rectángulo. b) Corte a lo largo del eje y con c 5 3.

c ) Corte a lo largo del eje y con c 5 23.

Un corte a lo largo del eje y es donde una transformación que toma el vector © x¹ y lo convierte
© x ¹ «ª y»º

en un nuevo vector ª y 1 cx»º , donde c es una constante diferente de cero. En la figura 7.10 se
« largo del eje y. Sea T un corte a lo largo del eje
© 1¹ © 1¹
ilustran dos cortes a lo y. Entonces T «ª 0º» 5 «ª c »º

y T © 0¹ 5 © 0¹ , de manera que la representación matricial de T es AT ©1 0¹ . Por ejemplo, en
ª« 1º» «ª 1»º «ª c 1º»
© 1 0¹
la figura 7.10b), c 5 3. Así, AT 5 ª« 3 1º» , y

AT © 1¹ 5 © 1¹ , AT © 1¹ 5 © 1¹ , AT © 0¹ 5 © 0¹
ª« 0»º ª« 3º» ª« 4»º ª« 7º» ª« 4»º ª« 4»º

© 1 0¹
En la figura 7.10c), c 5 23. Así, AT 5 «ª 23 1»º

AT © 1¹ 5 © 1¹ , AT © 1¹ 5 © 1¹ , AT © 0¹ © 0¹
ª« 0º» «ª 23»º «ª 4»º ª« 1»º ª« 4º» 5 «ª 4»º

Observe que un corte a lo largo del eje y deja sin cambio a los vectores sobre el eje y (coorde-
nada x 5 0).

En la tabla 7.1 se resumen estos tipos de transformaciones lineales.

Tabla 7.1 Transformaciones lineales especiales de R2 en R2

Transformación Representación matricial de la transformación AT
Expansión a lo largo del eje x
Expansión a lo largo del eje y ©F ¹ F .
Compresión a lo largo del eje x ª« »º
Compresión a lo largo del eje y
© ¹ F .
«ª Fº»

©F ¹ , F ,
ª« º»

© ¹ , F ,
«ª Fº»

(continúa)

514 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Tabla 7.1 Transformaciones lineales especiales de R2 en R2 (continuación)

Transformación Representación matricial de la transformación AT
Reflexión respecto a la recta y 5 x © ¹
Reflexión respecto al eje x «ª º»
© ¹
ª« 2 »º

Reflexión respecto al eje y © 2 ¹
ª« »º

Corte a lo largo del eje x © F¹
ǻ ȼ

Corte a lo largo del eje y © ¹
ª« F »º

En la sección 2.6 se estudiaron las matrices elementales. La multiplicación por la izquierda

de una matriz elemental por alguna matriz tiene el efecto de realizar una operación elemental
por renglones en esa matriz. La tabla 7.2 enumera las matrices elementales en R2.

Tabla 7.2 Matrices elementales en R2

Operación elemental Matriz Ilustración
con renglones elemental
©F ¹ © [ \¹ 5 © F[ F\¹
R1 : cR1 © F ¹ «ª »º «ª ] Z»º «ª ] Z º»
ª« º»

R2 : cR2 © ¹ © ¹ © [ \¹ 5 © [ \¹
ª« Fº» «ª F»º «ª ] Z»º ª« F] FZº»

R1 : R1 1 cR2 © F¹ © F¹ © [ \¹ 5 © [ 1 F] \ 1 FZ¹
«ª º» «ª º» «ª ] Zº» «ª ] Z º»

R2 : R2 1 cR1 © ¹ © ¹ © [ \¹ 5 © ] [ F[ \¹
«ª F º» ª« F »º «ª ] Zº» «ª 1 Z 1 F\º»

R1 N R2 © ¹ © ¹ © [ \¹ 5 © ] Z¹
ª« »º ª« »º «ª ] Z»º ª« [ \ »º

T Teorema 7.3.6

Toda matriz elemental E de 2 3 2 es uno de los siguientes:

iii) La representación matricial de una expansión a lo largo del eje x o y
iii) La representación matricial de una compresión a lo largo del eje x o y
iii) La representación matricial de una reflexión respecto a la recta y 5 x
iv) La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y
iv) La representación matricial de una reflexión respecto del eje x o y
vi) El producto de la representación matricial de una reflexión respecto al eje x o y y la

representación matricial de una expansión o compresión.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 515

Demostración

Se hará referencia a las tablas 7.1 y 7.2

⎛ c 0⎞ Ésta es la representación matricial de una expan-
Caso 1: E 5 ⎝⎜ 0 1⎟⎠ , c . 0 sión a lo largo del eje x si c . 1 o una compresión a
lo largo del eje x si 0 , c , 1.

⎛ c 0⎞
Caso 2: E 5 ⎝⎜ 0 1⎟⎠ , c , 0

Caso 2a: c 5 21 Entonces E 5 ⎛ 21 0⎞
⎝⎜ 0 1⎟⎠ , que es la representación

matricial de una reflexión respecto al eje y.

Caso 2b: c , 0, c Z 21 Entonces 2c . 0 y

⎛ c 0⎞ ⎛21 0⎞ ⎛2c 0⎞
E 5 ⎝⎜ 0 1⎟⎠ 5 ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎠⎟
que es el producto de la representación matricial de
una reflexión respecto al eje y y la representación
matricial de una expansión (si 2c . 1) a lo largo
del eje x.

Caso 3: E 5 ⎛ 1 0⎞ c.0 Lo mismo que el caso 1 con el eje y en lugar del eje x.
⎝⎜ 0 c⎠⎟ ,

Caso 4: E 5 ⎛ 1 0⎞ c,0 Lo mismo que el caso 2 con los ejes intercambiados.
⎜⎝ 0 c⎟⎠ ,

Caso 5: E 5 ⎛ 1 c⎞ Ésta es la representación matricial de un corte a lo
⎝⎜ 0 1⎠⎟ largo del eje x.

Caso 6: E 5 ⎛ 1 0⎞ Ésta es la representación matricial de un corte a lo
⎝⎜ c 1⎠⎟ largo del eje y.

Caso 7: E 5 ⎛ 0 1⎞ Ésta es la representación matricial de una reflexión
⎜⎝ 1 0⎠⎟ respecto a la recta y 5 x.

En el teorema 2.6.3 de la página 137 se demostró que toda matriz invertible se puede ex-
presar como el producto de matrices elementales. En el teorema 7.3.6 se demostró que toda
matriz elemental en R2 se puede expresar como el producto de representaciones matriciales de
expansiones, compresiones, cortes y reflexiones. Por esto se tiene el siguiente resultado:

T Teorema 7.3.7

Sea T: R2 S R2 una transformación lineal tal que su representación matricial es inver-
tible. Entonces T se puede obtener como una sucesión de expansiones, compresiones,
cortes y reflexiones.

516 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Nota. De acuerdo con el teorema de resumen de la página 395, AT es invertible si y sólo si

r(AT) 5 2. Pero según el teorema 7.3.4, r(AT) 5 r(A). Esto significa que AT es invertible respec-
to a todas las bases en R2 o es invertible respecto a ninguna.

EJEMPLO 7.3.10 Descomposición de una transformación lineal en R2 en una
sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones

Considere la transformación T: R2 S R2 con representación matricial AT 5 © 1 2¹ . Usando
«ª 3 4º»

la técnica de la sección 2.6 (vea el ejemplo 2.6.3 de la página 137), AT se puede escribir como el
producto de tres matrices elementales:

©1 2¹ 5 © 1 0¹ © 1 0¹ © 1 2¹ (7.3.4)
«ª 3 4»º «ª 3 1º» ª 22º» «ª 0 1»º
« 0

Ahora

©1 0¹ representa un corte a lo largo del eje y (con c 5 3)
ǻ 3 1ȼ

© 1 2¹ representa un corte a lo largo del eje x (con c 5 2)
«ª 0 1º»

©1 0¹ 5 © 1 0¹ © 1 0¹ representa una expansión a lo largo del eje y (con c 5 2)
«ª 0 22»º ª« 0 21º» ª« 0 2 »º seguida de una reflexión respecto al eje x.

Así, para aplicar T a un vector en R2, se tiene que

iii) Cortar a lo largo del eje x con c 5 2. ii) Expandir a lo largo del eje y con c 5 2.

iii) Reflejar respecto al eje x. iv) Cortar a lo largo del eje y con c 5 3.

Observe que estas operaciones se realizan en el orden inverso en que se escriben las matrices
en (7.3.4).

Para ilustrar esto, suponga que Y 5 © 3¹ .
ª« 22»º

Entonces

TY 5 AT Y 5 © 1 2¹ © 3¹ 5 © 21¹
«ª 3 4»º «ª 22»º ª« 1»º

Usando las operaciones i) a iv) se tiene que

© 3¹ Corte ©1 2¹ © 3¹ 5 © 21¹ Expansión ©1 0¹ © 21¹ 5 © 21¹
«ª 22 º» «ª 0 1»º «ª22»º «ª 22»º «ª 0 2 »º «ª 22º» ª« 24»º

Reflexión ©1 0¹ © 21¹ 5 © 21¹ Corte ©1 0¹ © 21¹ 5 © 21¹
ª« 0 21»º ª« 24º» ª« 4»º ª« 3 1»º «ª 4»º «ª 1º»

En la figura 7.11 se bosquejan estos pasos.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 517

y y y Figura 7.11

Descomposición de la
transformación lineal

T © 3¹ 5 ©1 2¹ © 3¹
5 ª« 2»º «ª 3 4º» «ª 2º»
0x 0x 0 x en una sucesión de cortes,
(3, 22)
expansiones y reflexiones:

(21, 22) a) Se comienza con ese
vector.
(21, 24)

a) b) c) b) Vector obtenido por el
y corte a lo largo del eje x
(21, 4)
y con c 5 2.
0
x (21, 1) x c) Vector obtenido al
0 expandir a lo largo del
eje y con c 5 2.

d) Vector obtenido al refle-
jar respecto al eje x.

e) Vector obtenido por el
corte a lo largo del eje y
con c 5 3.

d) e)

R Resumen 7.3 (p. 501)
(p. 502)
• Matriz de transformación
Sea T: Rn S Rn una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m 3 n, AT, tal que (p. 505)
Tx 5 ATx para toda x P Rn (p. 506)

La matriz AT se llama matriz de transformación de T.

• Sea AT la matriz de transformación correspondiente a una transformación lineal T. Entonces
i) im T 5 im A 5 CAT
ii) r(T ) 5 r(AT)

iii) nu T 5 NA
iv) n(T ) 5 n(AT)

• Representación matricial de una transformación lineal

Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, W un espacio vectorial real de dimensión m
y T: V S W una transformación lineal. Sean B1 5 {v1, v2, . . . , vn} una base para V y B2 {w1,
w2, . . . , wn} una base para W. Entonces existe una matriz única AT de m 3 n, tal que

(Tx)B2 5 AT(x)B1
AT se denomina representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2.

• Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita con dim V 5 n. Sea T: V S W una
transformación lineal y sea AT una representación matricial de T. Entonces
i) r(T ) 5 r(AT)
ii) n(T ) 5 n(AT)
iii) n(T ) 1 r(T ) 5 n

518 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

A AUTOEVALUACIÓN 7.3

© [¹ © ]¹

III) Si T: R3 S R3 es la transformación lineal 7 ª \ º 5 ª 2[ º entonces AT 5
ª º ª º
«ª ] º» ª« \º»

© 2 ¹ © ¹ © ¹ © ¹

a) ª ººº» b) ª 2 ºº»º c) ª 2 ºº»º d) ª ºº»º
ª«ª ªª« ª«ª «ªª 2

III) _______ representa(n) una expansión a lo largo del eje y.

© ¹ © º¹ © ¹ © ¹
a) «ª º» »º c) ª« º»
b) ª d) ª º
«ª ª« º»

III) ______ representa(n) una expansión a lo largo del eje x.

© 2 ¹ © ¹ © ¹
a) «ª »º b) ª« 2 º» c) ª« »º

© ¹ © ¹ © ¹
ª º»º e) ª« »º
d) ª« f) ª º
«ª º»

Respuestas a la autoevaluación

I) b) II) c) III) c), d)

Problemas 7.3

De los problemas 1 al 39 encuentre la representación matricial AT de la transformación lineal T,
nu T, im T, n(T ) y r(T ). A menos que se especifique otra cosa, suponga que B1 y B2 son bases
canónicas.

1. T: R2 S R; T ⎛ x ⎞ 5 3x 2 2y 2. T: R2 S R2; T © x ¹ 5 © x 22 y ¹
⎜⎝ y ⎟⎠ ª« y º» «ªª 2x 1 y ºº»

3. T: R2 S R3; T © x¹ 5 © x 1 y ¹ 4. T: R2 S R2; T © x¹ 5 © y¹
ª« yº» ª x 2 y º ª« y»º ª« x º»
ª 2x 1 3y º
«ª º»

5. T: R3 S R2; T © x¹ 5 © x 2y 1 z ¹ 6. T: R2 S R2; T © x¹ 5 © ax 1 by¹
ª yz ººº» ªª« 22x 12y 2 2z º»º ª« yº» ª«ª cx 1 dyºº»
«ªª

© x¹ © x1y ¹ © x ¹ © x 2 y 12z ¹
ª« yº» ª 2 y ºº ª y º ª 3x 1 y 1 4z º
7. T: R2 S R3; T 5 ª 3x 2 x º» 8. T: R3 S R3; T ª«ª z º»º 5 ª 5x 2 y 18z º
ª« y 2 «ª »º

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 519

© x¹ © 2x 1 2y 1 z¹ © x¹
ª º © ¹
9. T: R3 S R3; T ª yz ºº»º 5 ª 2x 2 4y 2 2z º 10. T: R4 S R2; T ª y º 5 «ªª x 1 z »ºº
«ªª ª 23x 1 6y 1 3z º ª º 5w 2 4y
ª« »º ª« z »º
w

© x ¹ © x2 y 12z 1 w¹ © w¹
ª y º ª 2x 1z 1 2wºº ª º © 1 bx ¹
11. T: R4 S R4; T ª º 5 ª 15z 1 4w ºº 12. T: R4 S R2; T ª x º 5 ªª« aw 1 dz ºº»
ª z º ª x 22y 1z 2 w º» ª y º cy
«ª w º» ª 2x 2 y «ª z º»
ª«

13. T: R2 S R2; T ⎛ x⎞ 5 ⎛ 3x 1 2y⎞ ; B1 5 B2 5 ⎪⎧⎛ 3⎞ , ⎛ 21⎞ ⎫⎪
⎜⎝ y⎠⎟ ⎝⎜⎜ 25x 2 4 y ⎟⎠⎟ ⎩⎪⎨⎜⎝ 22⎠⎟ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎬
⎪⎭

14. T: R2 S R2; T © x ¹ 5 © 4x 2y ¹ ; B1 5 B2 5 ¯²© 21¹ , © 4¹²¿
ª« y »º ªª« 3x 12y º»º ²±°«ª 1º» «ª 3º» À
²Á

© x ¹ © 2x 1y 1z ¹ ¯© 1¹ © 1¹ © 111º¹º» ¿²²ÀÁ ; ²¯© 1¹ © 2¹²¿
ª y º ªª« y 2 3z »ºº °±²²ª«ª º ª 01ºº» ª °±²ª« 21»º «ª 3»º²ÀÁ
15. T: R3 S R2; T ª«ª z »ºº 5 ; B1 5 0 º , ª , ª B2 5 ,
1 » « «

⎛ 2x 13y⎞ ¯© 1¹ © 0¹ © 0¹ © 0¹¿
⎜ ⎟
16. T: R2 S R4; T ⎛ x ⎞ 5 ⎜ 25x 2 4 y ⎟ ; B1 5 ²¯© 3¹ , © 21¹ ¿² ; B2 5 °²²ªª 1 º ? ª 1 º ? ª 0 º ? ª 0 º ²²
⎜⎝ y ⎟⎠ ⎜ 26x 2 9 y ⎟ ²°±«ª 22»º ª« 1º» À ²²±ªª« 0 º ª 1 º ª 1 º ª 0 º À
⎜ ⎟ Á² 0 ºº» «ªª 0 »ºº ª«ª 1 ºº» ª 1 º ²
⎝⎜ x 1 y ⎠⎟ ª« »º ²Á

17. T: P2 S P3; T(a0 1 a1x 1 a2x2) 5 a1 2 a1x 1 a0x3
18. T: R S P3; T(a) 5 a 1 ax 1 ax2 1 ax3

19. T: P2 S R2; T(a0 1 a1x 1 a2x2) 5 © a1 a0 1 a1 ¹
«ªª 1 a2 1 a3»ºº

20. T: P3 S P1; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 (a1 1 a3)x 2 a2

21. T: P4 S P4; P(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3 1 a4x4) 5 a4x4 1 a2x2 1 a0

22. T: P3 S P2; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 (a0 2 a1 1 2a2 1 3a3) 1
(a1 1 4a2 1 3a3)x 1 (a0 1 6a2 1 5a3)x2

23. T: M22 S M22; T © a b ¹ 5 © a 2b 1 2c 1 d 2a 1 2c 1 2d ¹
ª« c d º» ªª« a 2 2b 1 5c 1 4d 2a 2 b 1 c 2 d º»º

24. T: P4 S P3; P(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3 1 a4x4) 5 a3x3 1 a1x

25. T: M23 S R3; T © a b c ¹ 5 © a1e ¹
ª« d e f »º ª b1 f º
ª c1d º
«ª º»

26. T: P2 S P3; T [ p (x)] 5 xp(x); B1 5 {1, x, x2}; B2 5 {1, (1 1 x), (1 1 x)2, (1 1 x)3} Cálculo

27. T: P2 S P3; Tp (x) 5 xp(x) 1 p(x); B1 5 {1, x, x2}; B2 5 {1, (x 2 1),
(x 2 1)(x 2 2), (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)}

520 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Cálculo 28. D: P4 S P3; Dp (x) 5 p9(x)
Cálculo 29. T: P4 S P4; Tp (x) 5 xp9(x) 2 p(x) Cálculo
Cálculo 30. D: Pn S Pn 2 1; Dp (x) 5 p9(x)
Cálculo 31. D: P2 S P2; Dp (x) 5 x2p0(x)
Cálculo 32. D: P2 S P2; Dp (x) 5 p0(x) 1 2p9(x) 1 p(x)
33. T: P4 S P4; Tp (x) 5 p0(x) 1 xp9(x) 1 2p(x) Cálculo
Cálculo 34. D: Pn S Pn 2 k; Dp (x) 5 p(k)(x)
Cálculo 35. T: Pn S Pn; Tp (x) 5 xnp(n) (x) 1 xn21p(n21)(x) 1 . . . 1 xp9(x) 1 p(x)

µ36. 1
J: Pn S R; Jp 5 p( x ) dx

0

µ37. 1 )]2
J: Pn S R; Jp 5 p( x dx
[
0

© a¹
ª º
38. T: R3 S P2; T ª b º 5 a 1 bx 1 cx2

«c»

39. T: P3 S R3; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 © a3 2 a2 ¹
ª a1 1 a3 º
ª º
ª« a2 2 a1º»

40. Defina T: Mmn S Mnm por TA 5 A^. Encuentre AT respecto a las bases canónicas en Mmn

y Mnm.

*41. Defina T: C2 S C2 por T © x ¹ 5 © x 1iy ¹ . Encuentre AT .
ª« y »º ªª« (11i )y 2 x º»º

42. Sea V 5 gen {1, sen x, cos x}. Encuentre AD, donde D: V S V está definida por Df (x) 5
f 9(x). Encuentre imagen D y nu D.

43. Conteste las preguntas del problema 42 dado V 5 gen {ex, xex, x2ex}.

44. Defina T: C2 S C2 por T © x¹ 5 © (11 i x 1iy 4i ¹ . Encuentre AT.
«ª yº» ª«ª )y 2(31 )x »ºº

45. Demuestre el teorema 7.3.2.

46. Demuestre el teorema 7.3.4.

De los problemas 47 al 54 describa en palabras las transformaciones lineales T: R2 S R2 que
tienen la representación matricial AT.

©4 0¹ ©1 0¹ © 1 0¹ ©1 2¹
«ª 0 1»º ª º ª« 0 1º»
47. AT 5 48. AT 5 ª 0 1 º 49. AT 5 ª 0 21»º 50. AT 5
«
« 4»

©1 23¹ ©1 0¹ © 1 0¹ © 0 1¹
1º» ª º 53. AT 5 ª« 5 1º» ª« 1 0º»
51. AT 5 ª 0 52. AT 5 ª 1 54. AT 5
« 1º
«2 »

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 521

En los problemas 55 al 64 escriba la representación matricial de 2 3 2 de la transformación
lineal dada y bosqueje la región obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo dado.

y

55. Expansión a lo largo del eje y con c 5 2 (0, 2) (5, 2)
0 x

(5, 0)

y

(23, 4) (0, 4)

56. Compresión a lo largo del eje x con c 5 1
4

(23, 0) 0 x

y

(22, 2) (3, 2)

57. Corte a lo largo del eje x con c 5 22 x
(3, 21)
(22, 21) 0

(22, 1) y

58. Corte a lo largo del eje y con c 5 3 (1, 1)
x

0

(22, 24) (1, 24)
y
59. Corte a lo largo del eje y con c 52 1 (26, 2)
2 (2, 2)
(26, 21) x
60. Corte a lo largo del eje y con c 5 1
5 y 0 (2, 21)

(21, 3) (5, 3)

0 x
(21, 22) (5, 22)
y
61. Reflexión respecto al eje x (27, 3)
(27, 21) (4, 3)

x
0 (4, 21)

522 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales y (5, 3)
62. Reflexión respecto al eje y (2, 3)
63. Reflexión respecto a la recta y 5 x
0 x
64. Reflexión respecto a la recta y 5 x (5, 22)
(2, 22)
y

(22, 2) (2, 2)
(22, 22) 0x

(2, 22)
y

(24, 1) (21, 1)
0
x

(24, 25)
(21, 25)

De los problemas 65 al 72 exprese cada transformación lineal con matriz de transformación
dada AT, como una sección de expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

65. AT 5 ©2 21¹ © 3 2¹ 67. AT 5 ©0 22¹ 68. AT 5 ©3 6¹
ª« 5 0º» 66. AT 5 «ª 21 4»º «ª 3 25º» «ª 4 2º»

© 0 3¹ 70. AT 5 ©0 22¹ © 3 7¹ 72. AT 5 © 21 10¹
69. AT 5 «ª 1 22»º ª 7 º» 71. AT 5 «ª24 28º» ª« 6 2»º
« 5

EJERCICIOS CON MATLAB 7.3

M En los problemas de esta sección se hace referencia al archivo grafics/grafics1 de
MATLAB; en la suposición de que trabajó los problemas de MATLAB 7.1.

1. Considere el rectángulo en la figura 7.9a). Desarrolle una matriz de puntos y líneas para
éste.

a) Sea T la transformación que expande a lo largo de eje y por un factor de 3 y comprime
a lo largo del eje x por un factor de 1 . Encuentre su representación matricial y, sobre
2
los mismos ejes, grafique el rectángulo original y su imagen transformada usando el
archivo grafics/grafics1.

b) Utilizando las representaciones adecuadas y el archivo grafics/grafics1, repro-
duzca las imágenes de las transformaciones de corte en las figuras 7.9b) y 7.9c).

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 523

c) Con la representación matricial correcta y el archivo grafics/grafics1, en los mi-
mos ejes coordenados, grafique el rectángulo original y la imagen después de aplicar
una transformación de corte a lo largo del eje y con c 5 22.

2. La representación matricial de una composición de transformaciones lineales es el pro-

ducto de las representaciones matriciales de las transformaciones individuales en el orden
adecuado. Si T: R2 S R2 con representación matricial A y S: R2 S R2 con representación
matricial B, entonces T(S(x)) 5 ABx.

a) (Lápiz y papel ) Encuentre la matriz R que representa la rotación positiva (sentido

contrario a las manecillas del reloj) alrededor del origen, un ángulo p y la matriz E que
2
representa la expansión a lo largo del eje x por un factor de 2.

b) Introduzca las matrices de puntos y líneas para la figura dada en el problema 1a) de

MATLAB 7.1. Haciendo uso del archivo grafics/grafics1, en los mismos ejes

grafique la figura, la imagen de la figura después de rotar primero y luego expandir, y la

imagen de la figura después de expandir primero y luego rotar. Utilice un color diferente

y (símbolo para el punto) para cada gráfica. Necesitará la instrucción hold on después

de cada llamada a grafics/grafics1. Tendrá que ajustar el parámetro M al llamar

grafics hasta que las tres figuras se ajusten correctamente en la pantalla. No guarde

esta gráfica. Lo que importa es encontrar la M adecuada (si utiliza la función grafics1

no es necesario el procedimiento para ajustar el valor de M, la función selecciona un valor

de M adecuado).

Con esa M encontrada, en el mismo conjunto de ejes, grafique la figura y la ima-

gen de la rotación primero y después la expansión. Etiquete esta gráfica, asegurándo-

se de decir qué imágenes se graficaron [utilice la ayuda para explorar los comandos

title(título), xlabel(etiqueta x) y ylabel(etiqueta y)]. Repita para

la figura y la imagen con la expansión primero y la rotación después.

Describa la comparación entre las dos gráficas. Explique cuando menos una

característica de la geometría de las gráficas que permita conocer qué tipo de transfor-

mación se realizó primero.

3. Proyecciones
Sea v un vector en Rn con longitud 1. Sea T: Rn S Rn dada por

T(x) 5 proyv x 5 (v ? x)v

a) (Lápiz y papel) Demuestre que T es lineal. Demuestre que la representación matricial,
P, de T (respecto a la base canónica), está dada por

P 5 (n1v n2v . . . nnv)

Aquí ni se refiere a la componente i de v. Recuerde que se ha supuesto que v tiene
longitud 1.

b) Suponga que v es un vector de longitud 1 en R2 dado por v 5 (1 0)^.

i) Utilice el archivo grafics/grafics1 para encontrar la matriz P que representa
la proyección sobre v. Introduzca las matrices de puntos y líneas del problema la) de
MATLAB 7.1. Sobre el mismo conjunto de ejes, grafique la figura original y la ima-
gen de la figura después de aplicar la transformación P. Use colores y/o símbolos
distintos. Para cada punto clave en la figura original, identifique el punto de su ima-
gen después de aplicar la transformación. Haga lo mismo para dos de los segmentos
de recta de la figura original.

524 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

ii) (Lápiz y papel) Utilice P para encontrar una base para el núcleo y la imagen de la
transformación. Describa la forma en que la geometría de la proyección sobre v
explica estos resultados.

c) Repita las instrucciones del inciso b) para el vector v de longitud 1 en la dirección de
w 5 (1 1)^ (para encontrar v, divida w entre su longitud).

d) Repita las instrucciones del inciso b) para el vector v de longitud 1 en la dirección de
w 5 (21 1)^.

e) Repita los incisos b) a d) para una figura creada por usted.

4. Reflexiones

Sea v un vector en R2 de longitud 1. La transformación que refleja un vector dado x en R2
a través de la recta determinada por v es una transformación lineal. Por lo tanto, tiene una
representación matricial. Se llamará F a esta representación.

a) (Lápiz y papel ) Explique por qué 2proyv x 5 x 1 Fx, utilizando el siguiente diagrama.
Con esto, dé un razonamiento de por qué F 5 2P 2 I, donde P es la representación

matricial de la proyección sobre v e I es la matriz identidad de 2 3 2.

recta determinada
por v

PROBLEMA PROYECTO x

Fx

b) Encuentre la matriz F, como en el análisis anterior, representando la transformación de
la reflexión al otro lado del eje x. Aquí v 5 (1 0)^.
Utilice la matriz de puntos y líneas del problema 1a) de MATLAB 7.1 y el archivo
grafics/grafics1 para dibujar, en los mismos ejes, la figura original y su imagen
después de aplicar la reflexión dada. Para cada punto clave en la figura original, identi-
fique su imagen bajo la transformación. Haga lo mismo para dos segmentos de recta de
la figura original. Verifique que las imágenes son las reflexiones dadas de los segmentos
originales.

c) Repita las instrucciones del inciso b) para la reflexión respecto a la recta y 5 2x. Aquí
el vector v es el vector de longitud 1 en la dirección de w 5 (21 1)^.

d ) Repita los incisos b) y c) para una figura creada por usted.

5. Cree un diseño o una figura usando una o dos figuras originales y aplicándoles varias
transformaciones. Utilice grafics/grafics1 y la instrucción hold on (necesitará dar
el comando hold on después de cada llamado a grafics/grafics1).
Si grafica una figura transformada que decide desechar, la puede “borrar” volviendo
a graficarla usando la opción de color ‘w’, que es el color del fondo de la figura, al llamar
grafics/grafics1. Sin embargo, un problema es que puede borrar partes de las líneas
de otras figuras que sí quiera conservar. De ser así, simplemente vuelva a graficar las que
quiera conservar que fueron afectadas.
Si desea trasladar una figura a unidades en la dirección x y b unidades en la dirección y
y tiene n puntos, utilice la matriz de puntos dada por newpts 5 pts 1 [a*ones(1,n);
b*ones(1,n)], donde pts es la matriz de puntos original para la figura.

7.3 Representación matricial de una transformación lineal 525

6. Sea T: R4 S R4 una transformación lineal definida por

© 1¹ © 3¹ © 2¹ © 2¹
ª º ª 21ºº ª 21ºº ª º
T ª 0 º 5 ª 7º , T ª 4º 5 ª 0 º
ª ª 2ºº» ª 3ºº» ª 6 º
«ªª 231»ººº ª«ª «ªª ªª« 22 ºº»

© 3¹ © 1¹ © 4¹ © 5¹
ª º ª 21ºº ª 211»ºººº ª 1 ºº
T ª 2 º 5 ª 1º , T ª 5 ª 21170ºº»º
ª 0 º ª 4ºº» ªª« ª
«ªª 22 »ºº ª«ª ªª«

a) Verifique que el siguiente conjunto {v1, v2, v3, v4} es una base para R4 y por lo tanto T
está bien definida.

¯© 1¹ © 2¹ © 3¹ © 4¹ ¿
±²²°²²ªªªª«ª 0ºº ª 21ºº ª 2 ºº ª 211º»ººº ²
231ºº»º , ª , ª 202»ººº , ª ²
ª 4º ª ªª« À
«ªª 3ºº» «ªª ²
Á²

b) Encuentre la representación matricial, C, de T respecto a las bases canónicas. Recuerde

que necesita encontrar T(ei) para i 5 1, . . . , 4 y que T(ei) es una combinación lineal de
{T(v1), . . . , T(v4)}, donde los coeficientes de las combinaciones lineales son las coorde-
nadas de ei respecto a la base {v1, v2, v3, v4}.
c) Sea A la matriz ( v1 v2 v3 v4) y sea B la matriz cuyas columnas son los lados derechos
de las igualdades en la definición de T; es decir,

© 3 2 1 5¹
ª º
B 5 ª 21 0 21 1 º .
ª 7 61 17 º
ª º
«ª 2 22 4 210º»

Verifique que la representación matricial, C, de la transformación T satisface C 5 BA21.
Explique por qué esto es cierto usando los conceptos de coordenadas y matrices de tran-
sición.
d) Usando C, encuentre una base para el núcleo y la imagen de T.

7. Sea T: R2 S R2 una transformación definida por una rotación negativa de p respecto al

4

origen, después una expansión a lo largo del eje x por un factor de 2 y una expansión a lo
largo del eje y por un factor de 3, seguidas de una rotación positiva de p respecto al origen.

4

a) Encuentre la representación matricial de T respecto a la base canónica.
b) Encuentre la representación matricial de T respecto a la base.

B 5 °²¯²±©«ª 1¹ , ª«© 211»¹º ¿²²ÀÁ
1ȼ

c) Explique la manera en la cual se puede describir la geometría de T únicamente en tér-
minos de expansiones en ciertas direcciones.

526 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

7.4 Isomorfismos

En esta sección se introduce una terminología importante y después se demuestra un teorema
que muestra que todos los espacios vectoriales de n dimensiones son “en esencia” el mismo.

D Definición 7.4.1

Transformación uno a uno
Sea T: V S W una transformación lineal; entonces T es uno a uno (escrito 1-1) si

Tv1 5 Tv2 implica que v1 5 v2 (7.4.1)

N Nota Es decir, T es 1-1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de
exactamente un vector de V.
Una transformación 1-1 se llama tam-
bién inyectiva.

T Teorema 7.4.1

Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces T es 1-1 si y sólo si nu T 5 {0}.

Demostración

Suponga que nu T 5 {0} y Tv1 5 Tv2. Entonces Tv1 2 Tv2 5 T(v1 2 v2) 5 0, lo que sig-
nifica que (v1 2 v2) P nu T 5 {0}. Así, v1 2 v2 5 0; por lo tanto, v1 5 v2, lo que muestra
que T es 1-1. Ahora se probará que si T es 1-1, entonces nu T 5 {0}. Suponga que T es
1-1 y v P nu T. Entonces Tv 5 0. Pero también T 0 5 0. Así, como T es 1-1, v 5 0. Esto
completa la prueba.

EJEMPLO 7.4.1 Una transformación 1-1 de R2 en R2

Defina T : R2 S R2 por T © x¹ © x2 y¹ . Es sencillo encontrar AT © 1 21¹ y r(AT) 5 2; así,
«ª y»º 5 «ªª 2x 2 y º»º 5 ª« 2 1º»

n(AT) 5 0 y NAT 5 nu T 5 {0}. Por lo tanto, T es 1-1.

EJEMPLO 7.4.2 Una transformación de R2 en R2 que no es 1-1

Defina T: R2 S R2 por T © x¹ © x 2 y¹ . Entonces AT © 1 21¹ , r(AT) 5 1 y n(AT) 5 1; por
«ª y»º 5 «ªª 2x 1 2y»ºº 5 «ª 2 22º»

lo tanto, n(T ) 5 1 y T no es 1-1. Observe, por ejemplo, que T © 1¹ 50 5T © 0¹ .
«ª 1º» «ª 0»º

D Definición 7.4.2

N Nota Transformación sobre

Una transformación sobre se denomina Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces se dice que T es sobre W o
también suprayectiva. simplemente sobre si para todo w P W existe cuando menos una v P V tal que
Tv 5 w. Es decir, T es sobre W si y sólo si im T 5 W.