algebra_lineal_-_7ma_edicion_-_stanley_l-_grossman

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 427

Demostración

Elija vectores uk11, uk12, . . . , un tales que B1 5 {u1, u2, . . . , uk, uk11, . . . , un} sea una base or-
tonormal para Rn (esto se puede hacer igual que en la prueba del teorema 6.1.2).† Después
B2 5 {w1, w2, . . . , wk, uk11, uk12, . . . , un} es también una base ortonormal para Rn. Para
ver esto, observe primero que ninguno de los vectores uk11, uk12, . . . , un puede expresarse
como una combinación lineal de w1, w2, . . . , wk porque ninguno de estos vectores está en
H y {w1, w2, . . . , wk} es una base para H. Así, B2 es una base para Rn porque contiene n
vectores linealmente independientes. La oportunidad de los vectores en B2 se deduce de
la manera en que se escogieron (uk1j es ortogonal a todo vector en H para j 5 1, 2, . . . ,
n 2 k). Sea v un vector en Rn. Entonces del teorema 6.1.4 [ecuación (6.1.20)]

v 5 (v ? u1) u1 1 (v ? u2) u2 1 . . . 1 (v ? uk) uk 1 (v ? uk11) uk11 1 . . . 1 (v ? un) un
5 (v ? w1) w1 1 (v ? w2) w2 1 . . . 1 (v ? wk) wk 1 (v ? uk11) uk11 1 . . . 1 (v ? un) un
(6.1.22)

La ecuación (6.1.21) se deduce de la ecuación (6.1.22).

D Definición 6.1.5

Complemento ortogonal
Sea H un subespacio de Rn. El complemento ortogonal de H denotado por H', está dado
por

H' 5 {x P Rn: x ? h 5 0 para toda h P H}

T Teorema 6.1.6

Si H es un subespacio de Rn, entonces
iii) H' es un subespacio de Rn.
iii) H y H' 5 {0}.
iii) dim H' 5 n 2 dim H.

Demostración

iii) Si x y y están en H' y si h P H, entonces (x 1 y) ? h 5 x ? h 1 y ? h 5 0 1 0 5 0 y
(ax ? h) 5 a(x ? h) 5 0, de manera que H' es un subespacio.

iii) Si x P H y H', entonces x ? x 5 0, de manera que x 5 0, lo que muestra que
H y H' 5 {0}.

iii) Sea {u1, u2, . . . , uk} una base ortonormal para H. Por el resultado del problema 5.5.32
de la página 359, esto puede expandirse a una base B para Rn: B 5 {u1, u2, . . . , uk,
vk11, . . . , vn}. Utilizando el proceso de Gram-Schmidt, se puede convertir a B en
una base ortonormal para Rn. Igual que en la prueba del teorema 6.1.2, la base que
ya es ortonormal u1, u2, . . . , uk no cambia en el proceso y se obtiene la base orto-

† Primero debemos encontrar vectores vk11, vk12, … , vn tales que {u1, … , uk, vk11, … , vn} sea una base para R2. Esto
se puede hacer como en la prueba del teorema 5.5.4, página 354; vea también el problema 5.5.32.

428 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

normal B1 5 {u1, u2, . . . , uk, uk11, . . . , un}. Para completar la prueba es necesario
demostrar, únicamente, que {uk11, . . . , un} es una base para H'. Como los vectores
ui son independientes, debe demostrarse que generan a H'. Sea x P H'; entonces
por el teorema 6.1.4

x 5 (x ? u1) u1 1 (x ? u2) u2 1 . . . 1 (x ? uk) uk
1 (x ? uk11) uk11 1 . . . 1 (x ? un) un

Sin embargo, (x ? ui) 5 0 para i 5 1, 2, . . . , k, ya que x P H' y ui P H. Por lo tanto,
x 5 (x ? uk11)uk11 1 . . . 1 (x ? un)un. Esto muestra que {uk11, . . . , un} es una base para
H', lo que significa que dim H' 5 n 2 k.

Los espacios H y H' permiten “descomponer” cualquier vector en Rn.

T Teore ma 6.1.7 Teorema de proyección

Sea H un subespacio de Rn y sea v P Rn. Entonces existe un par único de vectores h y
p tales que h P H, p P H' y v 5 h 1 p. En particular, h 5 proyH v y p 5 proyH' v, de
manera que

v 5 h 1 p 5 proyH v 1 proyH' v (6.1.23)

Demostración

Sea h 5 proyH v y sea p 5 v 2 h. Por la definición 6.1.4 se tiene h P H. Ahora se mostrará
que p P H'. Sea {u1, u2, . . . , uk} una base ortonormal para H. Entonces

h 5 (v ? u1) u1 5 (v ? u2) u2 1 . . . 1 (v ? uk)uk

Sea x un vector en H. Existen constantes a1, a2, . . . , ak, tales que

x 5 a1u1 1 a2u2 1 . . . 1 akuk

Entonces

p ? x 5 (v 2 h) ? x 5 [v 2 (v ? u1) u1 2 (v ? u2) u2 1 . . . 1 (v ? uk)uk] (6.1.24)
[a1u1 1 a2u2 1 . . . 1 akuk]

Como ui ? uj 5 ²°¯ 0, iZ j
por ±² 1, , es sencillo verificar que el producto escalar (6.1.24) está dado

i5 j

kk

¨ ¨p ? x 5 ai (v ? ui ) 2 ai (v ? ui ) 5 0
i51 i51

Así, p ? x 5 0 para todo x P H, lo que significa que p P H'. Para demostrar que

p 5 proyH' v, se amplía {u1, u2, . . . , uk} a una base ortonormal en Rn: {u1, u2, . . . , uk,
vk11, . . . , un}. Entonces {vk11, . . . , un} es una base para H', y por el teorema 6.1.4,

v 5 (v ? u1) u1 1 (v ? u2) u2 1 . . . 1 (v ? uk) uk 1 (v ? uk11) uk11 1 . . . 1 (v ? un) un
5 proyH v 1 proyH' v

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 429

Esto prueba la ecuación (6.1.23). Para probar la unicidad, suponga que v 5 h1 2 p1 5
h2 – p2, donde h1, h2 P H y p1, p2 P H'. Entonces h1 2 h2 5 p1 2 p2. Pero h1 2 h2 P H y
p1 2 p2 P H', de manera que h1 2 h2 P H y H' 5 {0}. Así, h1 2 h2 5 0 y p1 2 p2 5 0,
lo que completa la prueba.

EJEMPLO 6.1.9 Descomposición de un vector en R3

«¥ x´ º ⎛ 3⎞
­®¬®¦§¦¦ yz µ¶µµ : 2x
y 3z 0»®.
En R3, sea p 5 ® Exprese el vector ⎜ − 42⎟⎟⎠⎟ en términos de h 1 p, donde
¼ ⎜⎝⎜

h P p y p P p'.

¯ © 26 ¹¿
²© 1¹ ª º²
²ª º ª 70 º²
²°²ªª 5 º ª
Solución Una base ortonormal para p es B1 5 ²ª 2 º , ª 3 º ²² , y del ejemplo 6.1.7,
²²ªª« 70 ºÀ
© 1¹ ²± 5 º ª º²
ª 7ºº º»º ª 5 º²
ª 0 ª 70 »º²²Á
«

h 5 proyp v 5 ªª2 4º P p. Entonces
ª 7ºº
«ªª2 2º
7º» © 1¹ © 20¹
ª 7ºº ª º
⎛ 3⎞ ª ª 7 º

p5v2h5 ⎜ − 42⎟⎟⎠⎟ 2 ªª2 4º 5 ªªª2170ººº P p'.
⎜⎝⎜ ª 7ºº
ª«ª2 2º ª 30º
7ȼ ǻ 7 ȼ

Observe que p ? h 5 0.
El siguiente teorema es muy útil en estadística y otras áreas de aplicación. Se dará una

aplicación de este teorema en la siguiente sección y se aplicará una versión amplificada de este
resultado en la sección 6.3.

T Teor e ma 6.1.8 Teorema de aproximación de la norma

Sea H un subespacio de Rn y sea v un vector en Rn. Entonces proyH v es la mejor aproxi-
mación para v en H en el siguiente sentido: si h es cualquier otro vector en H, entonces

|v 2 proyH v|,|v 2 h| (6.1.25)

Demostración

Del teorema 6.1.7, v 2 proyH v P H'. Se escribe
v 2 h 5 (v 2 proyH v) 1 (proyH v 2 h)

El primer término de la derecha está en H', mientras que el segundo está en H; así,

(v 2 proyH v) ? (proyH v 2 h) 5 0 (6.1.26)

430 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

Ahora

|v 2 h|2 5 (v 2 h) ? (v 2 h)
5 [(v 2 proyH v) 1 (proyH v 2 h)] ? [(v 2 proyH v) 1 (proyH v 2 h)]
5 |v 2 proyH v|2 1 2(v 2 proyH v) ? (proyH v 2 h) 1 |proyH v 2 h|2
5 |v 2 proyH v|2 1 |proyH v 2 h|2

Pero |proyH v 2 h|2 . 0 porque h Z proyH v. Por lo tanto,

|v 2 h|2 . |v 2 proyH v|2

es decir

|v 2 h| . |v 2 proyH v|

Bases ortogonales en R3 con coeficientes enteros
y normas enteras

En ocasiones es útil construir una base ortogonal de vectores donde las coordenadas y la nor-
ma de cada vector son enteros. Por ejemplo,

⎧⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ − 1⎞ ⎫
⎨⎪⎪⎩⎜⎜⎜⎝ ⎪
21⎟⎠⎟⎟ , ⎜ − 21⎟⎟⎟⎠ , ⎜ 22⎟⎟⎠⎟ ⎬
⎝⎜⎜ ⎜⎝⎜ ⎪
− ⎭

constituye una base ortogonal en R3 donde cada vector tiene norma 3. Otro ejemplo es

⎧⎛ 12⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ − 25⎞ ⎫
⎪⎪⎩⎨⎜⎜⎜⎝ ⎪
34⎟⎟⎟⎠ , ⎜ 43⎟⎟⎟⎠ , ⎜ 48 ⎟ ⎬
⎝⎜⎜ ⎝⎜⎜ 36 ⎟⎠⎟ ⎪
− − ⎭

que constituye una base ortogonal en R3 cuyos vectores tienen normas 13, 5 y 65, respectiva-
mente. Resulta que encontrar una base como ésta en R3 no es tan difícil como parece. Anthony
Osborne y Hans Liebeck abordan este tema en su interesante artículo “Orthogonal Bases of R3
with Integer Coordinates and Integer Lenghts” en The American Mathematical Monthly, vol.

96, núm. 1, enero de 1989, pp. 49-53.

Esta sección se cierra con un teorema importante.

T Teor e m a 6.1.9 Desigualdad de Cauchy-Schwarz en Rn (6.1.27)

Sean u y v dos vectores en Rn. Entonces

iii) |u ? v| # |u||v|.
iii) |u ? v| 5 |u||v| sólo si u 5 0 o v 5 lu para algún número real l.

Demostración

iii) Si u 5 0 o v 5 0 (o ambos), entonces (6.1.27) se cumple (ambos lados son iguales
a 0). Si se supone que u Z 0 y v Z 0, entonces

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 431

u v 2 ©u v¹ © u v¹ u?u 2u ?v v?v
|u| |v| «ª |u| |v|»º ª« |u| |v|º» |u|2 |u| |v| |v|2
0 # 2 5 2 ? 2 5 2 1

5 |u|2 2 2u ?v 1 |v|2 52 2 2u ?v
|u|2 |u| |v| |v|2 |u| |v|

Así, 2u ? v # 2, de manera que u ? v #1 y u ? v # |u||v|. En forma similar, comenzando
|u| |v| |u| |v|

con 0 # u1v 2 u?v $ 21, o sea, u ? v $ 2|u||v|. Con estas dos desigual-

|u| |v| , se llega a |u| |v|

dades se obtiene

2|u||v| # u ? v # |u||v| o |u ? v| # |u||v|

iii) Si u 5 lv, entonces |u ? v| 5 |lv ? v| 5 |l||v|2 y |u||v| 5 |lv||v| 5 |l||v||v| 5 |l||v|2 5 |u ? v|.
Inversamente, suponga que |u ? v| 5 |u||v| con u Z 0 y v Z 0. Entonces

u ? v 51, de manera que u ? v 561.
|u| |v| |u| |v|

Caso 1: u ? v 51. Entonces como en i)
|u| |v|

u v 2 © u v¹ © u v¹ 2u ?v
|u| |v| ª« |u| |v|»º «ª |u| |v|º» |u| |v|
2 5 2 ? 2 5 2 2 5 2 2 2 5 0 .

Así,

u 5 v o u 5 u v 5 lv
|u| |v| |u|

Caso 2: u ? v 521. Entonces
|u| |v|

u 2 v 2521 2u ?v 522250
|u| |v| |u| |v|

de manera que

u 52 v y u 52 u v 5 lv
|u| |v| |v|

R Resumen 6.1 (p. 418)
(p. 418)
• Los vectores u1, u2, . . . , uk en Rn forman un conjunto ortogonal si ui ? uj 5 0 para i Z j. Si además
ui ? ui 5 1 para i 5 1, 2, . . . , k, se dice que el conjunto es ortonormal. (p. 419)
(p. 423)
• |v| 5 |v ? v|–12 se llama longitud o norma de v.
• Todo subespacio de Rn tiene una base ortonormal. El proceso de ortonormalización de Gram-

Schmidt se puede utilizar para construir tal base.

• Una matriz ortogonal es una matriz Q invertible de n 3 n tal que Q21 5 Q^.

432 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno (p. 423)
(p. 425)
• Una matriz de n 3 n es ortogonal si y sólo si sus columnas forman una base ortonormal para Rn. (p. 427)
• Sea H un subespacio de Rn con una base ortonormal {u1, u2, . . . , uk}. Si v P Rn, entonces la
(p. 428)
proyección ortogonal de v sobre H, denotada por proyH v, está dada por
proyH v 5 (v ? u1) u1 1 (v ? u2)u2 1 . . . 1 (v ? uk)uk (p. 429)

• Sea H un subespacio de Rn. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H', está dado
por
H' 5 {x P Rn: x ? h 5 0 para todo h P H}

• Teorema de proyección

Sea H un subespacio de Rn y sea v P Rn. Entonces existe un par único de vectores h y p tales que
h P H, p P H' y

v 5 h 1 p 5 proyH v 1 proyH' v
• Teorema de aproximación de la norma

Sea H un subespacio de Rn y sea v P Rn. Entonces, en H, proyH v es la mejor aproximación a v en
el siguiente sentido: si h es cualquier otro vector en H, entonces

|v 2 proyH v| , |v 2 h|

A AUTOEVALUACIÓN 6.1

Indique si las siguientes aseveraciones son falsas o verdaderas
III) El conjunto {(1, 1), (1, 21)} es un conjunto ortonormal en R2.

III) El conjunto ¯°±«ª© 1, 1 ¹ , © 1, 1 º¹» ÀÁ¿ es un conjunto ortonormal en R2.
2 º» «ª 2
2 2

III) Toda base en Rn se puede convertir en una base ortonormal utilizando el proceso
de ortonormalización de Gram-Schmidt.

¥1 1´
IV) La matriz ¦§1
1¶µ es ortogonal.

©1 1¹
ª º
IV) 2 2 º es ortogonal.
La matriz ª
ª1 21º
ª« 2 2 »º

Elija el inciso que responda la siguiente pregunta
VI) ¿Para cuáles de las siguientes matrices Q21 es igual a Q^?

©1 6¹
ª º
a) b) ª 10 40 º

ª3 2º
ǻ 10 40 ȼ

©1 6¹
ª º
c) ª 10 40 º d)
ª 3
ª 22 º
« 40 »º
10

Respuestas a la autoevaluación
I) F II) V III) V IV) F V) V VI) c)

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 433

MANEJO DE LA CALCULADORA 6.1

En la página 240 se indicó la manera de encontrar la longitud o norma de un vector en
R2 con la calculadora HP 50g. En la página 254 se mostró cómo encontrar el producto
punto de dos vectores en R2. Los mismos procedimientos se pueden emplear para Rn.

Por ejemplo, la secuencia de teclas

W¢ 4 6
QQ78I6

© 3¹
ª 28ºº
da como resultado ª 5 102 < 10.0995. La imitación del procedimiento de la pá-
ª 2º
ª«ª 5»ºº

gina 262 dará a ? b, donde a, b P Rn para cualquier n $ 2.

Problemas 6.1

De los problemas 1 al 18 construya una base ortonormal para el espacio o subespacio vectorial
dado.

1. © 1¹ , © 3¹ .
«ª 23»º ª« 0»º

2. En R2, comenzando con los vectores básicos ¥1´ ¥
1´
§¦1¶µ , ¦§ 1µ¶ .

3. H 5 {(x, y) P R2: x 1 y 5 0}. 5. H 5 {(x, y) P R2: ax 1 by 5 0}.
4. H 5 {(x, y) P R2: 2x 1 y 5 0}.

6. En R2, comenzando con ¥ a´ ¥ c´
§¦ b¶µ , §¦ dµ¶ , donde ad 2 bc Z 0.

7. p 5 {(x, y, z): 2x 2 y 2 z 5 0} 8. H 5 {(x, y, z) P R3: 2x 1 y 5 0}

9. p 5 {(x, y, z) P R3: x 1 2y 1 3z 5 0} ` b10. L 5 (x, y, z): x 5 yb 5 z
ac

11. H 5 {(x, y, z) P R3: x 5 3t, y 5 4t, z 5 0; t P R}

12. L 5 {(x, y, z) P R3: x 5 t, y 5 2t, z 5 22t; t P R}

13. H 5 {(x, y, z, w) P R4: 3x 1 4y 1 2z 1 5w 5 0}

14. p 5 {(x, y, z): ax 1 by 1 cz 5 0}, donde abc Z 0

` b15. L 5 (x, y, z): x 5 yb 5 z , donde abc Z 0
ac

16. H 5 {(x1, x2, x3, x4, x5) P R5: 2x1 2 3x2 1 x3 1 4x4 2 x5 5 0}
17. H 5 {(x1, x2, x3, x4, x5) P R5: x1 1 2x2 2 2x3 2 x4 2 x5 5 0}

434 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

18. H es el espacio de soluciones de

[2 \1 ]5
2 [ 1 \ 2 ] 5

[ 2 \ 1 ] 5

19. Encuentre una base ortonormal en R2 que incluya al vector v 5 © 5¹ .
ª« 2»º

© 23¹
ª 221º»ºº
20. Encuentre una base ortonormal en R3 que incluya al vector v 5 «ªª .

*21. Encuentre una base ortonormal en R4 que incluya los vectores

© 1¹ ©ªª2 21¹ºº

ª 2 º ª 1º
ª º
ª 0º ª 2ºº
u1 5 ª y u 5 ª 1º
1 º 2 ª
º
ª 2º ªªªª«2 221ºº»ºº
ª
«ª 0 º»

[Sugerencia: Primero encuentre dos vectores v3 y v4 para completar la base.]

© 2 1 2¹
ª 3ºº
ª 3 3

22. Demuestre que Q 5 ª 1 2 223ººº es una matriz ortogonal.
ª 3 3
ª
ªª«2 1 2 1º
3 3 3ȼ

23. Demuestre que si P y Q son matrices ortogonales de n 3 n, entonces PQ es ortogonal.
24. Verifique el resultado del problema 23 con

©1 21¹ © 1 2 8 ¹
3 º
ª 2 2 º ª 8 3º
1 º ª 3
P 5 ª 1º y Q 5 ª º
ª 1 »ºº
«ª 2 2 º» ªª« 3

25. Demuestre que si Q es una matriz ortogonal simétrica, entonces Q2 5 I.

26. Demuestre que si Q es ortogonal, entonces det Q 5 ± 1.

27. Demuestre que para cualquier número real t, la matriz A ¥ sen t cos t´ es ortogonal.
¦§ cos t
sen t ¶µ

28. Sea {v1, v2, . . . , vk} un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn. Pruebe que
vi Z 0 para i 5 1, 2, . . . , k. [Sugerencia: Si vi 5 0, entonces es sencillo encontrar constantes
c1, c2, . . . , ck con ci Z 0 tales que c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 ckvk 5 0.]

De los problemas 29 al 37 se dan un subespacio H y un vector v.

a) Calcule proyH v;
b) encuentre una base ortonormal para H';

c) escriba v como h 1 p donde h P H y p P H'.

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 435
30. R2:
29. R2:
31. R2:

32. R2: vZ0

© 1¹
ª 11»ºº
33. H 5 {(x, y, z) P R3: 3x 1 y 2 z 5 0}, v 5 ª
«

34. R3: x 5 y 5 z 35. R3:
234

© 21¹
ª 2 ºº
36. H 5 {(x, y, z, w) P R4: x 5 3t, y 5 22t, z 5 t, w 5 2t, t P R}, v 5 ª
ª 0º
ª« 21»º

37. R4:

38. Sean u1 y u2 dos vectores ortonormales en Rn. Demuestre que |u1 2 u2| 5 2.
39. Si u1, u2, . . . , un son ortonormales, demuestre que

|u1 1 u2 1 . . . 1 un|2 5 |u1|2 1 |u2|2 1 . . . 1 |un|2 5 n

40. Encuentre una condición sobre los números a y b tales que «®¥ a´ , ¥ b´ º® y «®¥ a´ , ¥
b´ º®
forman una base ortonormal en R2. ­®¬§¦ bµ¶ ¦§ a ¶µ » ­®¬¦§ b¶µ §¦ a¶µ »

®¼ ¼®

41. Demuestre que cualquier base ortonormal en R2 es de una de las formas dadas en el proble-
ma 40.

42. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pruebe que si |u 1 v| 5 |u| 1 |v|, entonces u y v
son linealmente dependientes.

43. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pruebe la desigualdad del triángulo: Desigualdad
del triángulo
|u 1 v| # |u| 1 |v|

[Sugerencia: Obtenga la expansión de |u 1 v|2 .]

44. Suponga que x1, x2, . . . , xk son vectores en Rn (no todos cero) y que
|x1 1 x2 1 . . . 1 xk| 5 |x1| 1 |x2| 1 . . . 1 |xk|

Demuestre que dim gen {x1 1 x2 1 . . . 1 xn} 5 1. [Sugerencia: Utilice los resultados de
los problemas 42 y 43.]

436 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

Identidad de 45. Sea {u1, u2, . . . , un} una base ortonormal en Rn y sea v un vector en Rn. Pruebe que
Parseval |v|2 5 |v ? u1|2 1 |v ? u2|2 1 . . . 1 |v ? un|2. Esta igualdad se conoce como identidad de
Parseval en Rn.
Teorema
generalizado 46. Demuestre que para cualquier subespacio H de Rn, (H')' 5 H.
de Pitágoras
47. Sean H1 y H2 dos subespacios de Rn y suponga que H'1 5 H'2. Demuestre que H1 5 H2.
48. Sean H1 y H2 dos subespacios de Rn; demuestre que si H1 ( H2, entonces H'2 ( H'1.

49. Demuestre el teorema generalizado de Pitágoras: sean u y v dos vectores en Rn con u ' v.
Entonces
|u 1 v|2 5 |u|2 1 |v|2

EJERCICIOS CON MATLAB 6.1

Recordatorio de MATLAB

u ? v se calcula con u'*v o v' *u. |v| se calcula con sqrt(v'*v) o norm(v). proyv u se
calcula con ((u'*v)/(v'*v))*v (el vector proyección de u sobre v).

1. Encuentre bases ortonormales para el espacio generado por cada conjunto de vectores
dado usando el proceso de Gram-Schmidt. Verifique sus respuestas probando que el con-
junto de vectores obtenido es ortonormal y que cada vector en el conjunto original es una
combinación lineal del conjunto de vectores obtenido.

⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎫
⎪⎜ ⎪
⎧⎛ −1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎫ ⎨⎪⎪⎜⎜ −2 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎪⎪
⎪⎪⎩⎨⎜⎜⎝⎜ ⎪ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎬
a) 2 ⎟ , ⎜ 04⎟⎟⎠⎟ ⎬ b) −3 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜
1 ⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ 1⎟⎟
⎭ ⎪⎪⎩⎜⎜⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟⎠
− −3 ⎜⎝ 0 ⎜⎝ ⎪
⎪
1 ⎟⎠ 5 ⎟⎠ ⎪⎭

⎧⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎫
c) ⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎝⎜⎜⎜⎜ ⎪
2 ⎟ , ⎜ − 1 ⎟ , ⎜ − 2⎟⎟ , ⎜ 2⎟⎟ ⎪ d ) Genere cuatro vectores aleatorios en R6
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1⎟ ⎬
0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ − 4⎟⎠ ⎪
1 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝ ⎪⎭

2. Encuentre una base ortonormal para

«¥ x ´ º
®­®®®¬¦¦§¦¦ ®
H y µ x
y 3z w 0®»
µ
zµ ®
w¶µ ®¼

[Sugerencia: Primero encuentre una base para H hallando una base para las soluciones de
Ax 5 0, donde A 5 (1, 21, 3, 1), y después aplique el proceso de Gram-Schmidt.]

3. a) (Lápiz y papel) Suponga que ¥ a´ ¥
b´ que v1 5 v y v2 5 z.
v = §¦ b¶µ y z = §¦ aµ¶ . Suponga |v|
|z|

Demuestre que {v1, v2} forma una base ortonormal en símbolo R2 siempre que a y b no
sean ambas cero.

b) Para ¥ 1´ forme v1 y v2 como en el inciso a). Sea w = ⎛ −3⎞ Calcule p1, el vector
v = ¦§ 2¶µ , ⎜⎝ 4 ⎟⎠ .

proyección de w sobre v1, y p2, el vector proyección de w sobre v2. Recuerde la geometría

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 437

de una proyección usando el archivo prjtn.m. Utilice los comandos prjtn(w,v1) y M
prjtn(w,v2); el archivo se encuentra en la sección MATLAB 4.2 (en la pantalla de
gráficos, w tendrá etiqueta U y v1 o v2 etiqueta V ).
c) Verifique que w 5 p1 1 p2 5 (w ? v1)v1 1 (w ? v2)v2. Dé el comando lincomb
(v1,v2,w).
(El archivo lincomb.m se encuentra en la sección MATLAB 4.1.)

Describa de qué manera se refleja la geometría de la proyección y de la combinación
lineal en la gráfica que se presenta.

Precaución. La impresión directa de la pantalla NO conserva longitudes ni ángulos rectos.

Para verificar que los números desplegados en la pantalla de gráficas son w ? v1 y
w ? v2, dé los comandos

format rat

w'*v1
w'*v2

¥ 1´ ¥ 4´
d) Repita los incisos b) y c) para v = §¦ 2¶µ y w = §¦ 2µ¶ .

e) Repita los incisos b) y c) para v y w de su elección.
f ) (Lápiz y papel ) Explique de qué forma ilustra este problema el teorema 6.1.7 de esta

sección, donde H es gen {v}.

¥ 2´
4. a) Sea v un vector longitud 1 en la dirección de §¦ 1¶µ (divida el vector entre su longitud).

¥ 3´
Sea w 5 §¦ 5µ¶ , encuentre p, el vector proyección de w sobre v y calcule |w – p|.

b) Elija cualquier valor escalar para c; haga z 5 cv y verifique que |w – z| $ |w – p|. Repita

para otros tres valores de c. Explique la relación entre esto y el teorema 6.1.8, donde H

es gen {v}.

c) Repita los incisos a) y b) con ⎛ − 3⎞
w = ⎝⎜ 2⎠⎟

d ) Repita los incisos a) y b) para vectores v y w arbitrarios.
e) (Lápiz y papel ) En el siguiente diagrama esquemático etiquete con p al vector proyec-

ción de w sobre v, y localice w – p y w – z. Explique la manera en que estos diagramas
ilustran la geometría del teorema 6.1.8, donde H es el subespacio gen {v}.

w

v w
z
v
z

5. Proyección sobre un plano en R3.

¥
1´ ¥ 0´

a) Sea v1 ¦ 23µµµ¶ y v2 ¦ 12¶µµµ .
§¦¦ ¦¦§

438 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

Encuentre una base ortonormal {z1, z2} para el plano dado por el gen {v1, v2}, usando el
proceso de Gram-Schmidt.

¥
1´

b) (Lápiz y papel) Verifique que z = ¦
12µµµ¶ es perpendicular tanto a v1 como a v2 y, por lo
§¦¦
z.
tanto, es perpendicular a H 5 gen {v1, v2}. Sea n 5 |z| Explique por qué n es una base
ortonormal para H'.

c) La definición 6.1.4 dice que la proyección de un vector w sobre H está dada por proyH w
5 (w ? z1)z1 1 (w ? z2) z2. El teorema 6.1.7 dice que w 5 proyH w 1 proyH' w, que puede
reexpresarse como proyH w 5 w 2 proyH' w.
Para cuatro vectores w de 3 3 1 arbitrarios, calcule proyH w de las dos maneras y
compare los resultados. (Nota. Como H' es de dimensión uno, proyH' w es igual al

vector proyección de w sobre n.)

d ) (Lápiz y papel ) El siguiente diagrama ilustra la geometría de proyH w 5 w 2 proyH' w.
En el diagrama, localice h 5 proyH' w, bosqueje w – h y verifique que es paralela a p, la
proyección de w sobre el plano.

w
n

p

6. Para los vectores v1, . . . , vk, si se forma la matriz A 5 [v1 . . . vk], entonces el comando de
MATLAB B 5 orth(A) producirá una matriz B cuyas columnas forman una base orto-
normal para el subespacio H 5 imagen de A 5 gen {v1, . . . , vk}.

a) Sea {v1, v2, v3} el conjunto de vectores en el problema 1 b) de esta sección de MATLAB.
Encuentre A y B según se describió. Verifique que las columnas de B son ortonormales.

b) Sea x un vector aleatorio de 3 3 1; encuentre Ax. Explique por qué Ax está en H.
El teorema 6.1.4 dice que si w está en H, entonces w 5 (w ? u1)u1 1 . . . 1 (w ? uk)uk,

donde {u1, . . . , uk} es una base ortonormal para H. Verifique esto para w 5 Ax usando
el hecho de que ui es la i-ésima columna de B.
c) Repita las instrucciones de los incisos a) y b) para {v1, v2, v3, v4}, donde cada vi es un
vector aleatorio de 6 3 1 y x es un vector aleatorio de 4 3 l.

7. Genere cuatro vectores aleatorios en R6, v1, v2, v3, v4. Sea H 5 gen {v1, v2, v3, v4}. Sea
A 5 [v1 v2 v3 v4] y B 5 orth(A). Sea ui la i-ésima columna de B.

a) Sea w un vector aleatorio de 6 3 l. Encuentre la proyección de w sobre H, p 5 proyH w
usando la definición 6.1.4.

Calcule Verifique que z 5 B^w y p 5 BB^w. Repita para otro vector w.

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 439

b) Sea x un vector aleatorio 4 3 1 y forme h 5 Ax. Entonces h está en H. Compare |w – p|
y |w – h|. Repita para otros tres vectores x. Escriba una interpretación de sus observa-
ciones.

c) Sea z 5 2v12 3v3 1 v4. Entonces H 5 gen {v1, v2, v3, z} (aquí H es el subespacio descri-
to en los incisos anteriores de este problema). ¿Por qué? Sea C 5 [v1 v2 v3 z] y D 5
orth(C). Entonces las columnas de D serán otra base ortonormal para H.
Sea w un vector aleatorio de 6 3 l. Calcule la proyección de w sobre H utilizando B
y la proyección de w sobre H usando D. Compare los resultados. Repita para otros dos
o más vectores w. Escriba la interpretación de sus observaciones.

d) (Lápiz y papel ) Si {u1, . . . , uk} es una base ortonormal para un subespacio H y B es la
matriz [u1, . . ., uk], pruebe que la proyección de w sobre H es igual a BB^w.

8. a) (Lápiz y papel) Si A es una matriz real, explique por qué el espacio nulo de A^ es
perpendicular a la imagen de A; es decir, si H 5 Im(A), entonces el espacio nulo
(A^) 5 H '.

b) Sea A una matriz aleatoria real de 7 3 4. Sea B 5 orth(A) y sea C 5 null(A') (en-
tonces las columnas de B forman una base ortonormal para H 5 Im(A) y las columnas
de C forman una base ortonormal para H'). Verifique que las columnas de C son orto-
normales.

c) Sea w un vector aleatorio de 7 3 1. Encuentre h, la proyección de w sobre H y p, la pro-
yección de w sobre H' (vea el problema 7 de esta sección de MATLAB). Verifique que
w 5 p 1 h. Repita para otros tres vectores w.

d ) Verifique que BB^ 1 CC^ 5 I, donde I es la matriz identidad.
e) (Lápiz y papel) Pruebe la relación en el inciso d).

9. a) (Lápiz y papel) Suponga que {u1, . . . , un} es una base ortonormal para Rn y B es la ma-
triz [u1 . . . un]. Sea v un vector en Rn. Haciendo uso del teorema 6.1.4, explique por qué
se pueden encontrar las coordenadas de v respecto a la base {u1, . . . , un} mediante B^v.

b) (Lápiz y papel ) Recuerde que si u es el ángulo entre u y w, entonces cos (u) 5 u ? w . Su-

| u || w |

ponga que |w| 5 1. Usando el teorema 6.1.4, pruebe que las coordenadas de w respecto

a una base ortonormal se pueden interpretar como los cosenos de los ángulos que forma

w con cada uno de los vectores de la base; es decir, la coordenada de w que corresponde

al coeficiente del i-ésimo vector de la base es igual al coseno del ángulo entre w y ese

vector.

c) Verifique esta interpretación encontrando los ángulos entre el vector dado w y la base
ortonormal {v1, v2} para R2. Primero, haga un bosquejo a mano para decidir qué án-
gulos espera (utilice el comando acos de MATLAB. Con doc acos se obtiene una

180
descripción. Para cambiar el ángulo de radianes a grados, multiplique por p ).

¥1´
ii i) w 5 vector de longitud 1 en la dirección de ¦§1¶µ

¥ 1´ ¥ 0´
v1 ¦§ 0µ¶ v2 ¦§ 1µ¶

¥
1´
iii) w = ¦§ 0µ¶

¥ 1´
v1 5 vector de longitud 1 en la dirección de §¦1¶µ

¥
1´
v2 5 vector de longitud 1 en la dirección de ¦§ 1µ¶

440 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

¯© 2¹ © 2¹ © 13º¹º ²¿²
²ª 3ºº ª 3ºº ª2
²ª ª ª ⎛1⎞

d) Verifique que ²ª 2º , ªªª2 13ººº , ª 2º² es una base ortonormal para R3. Sea s = ⎜⎜⎜⎝11⎟⎟⎠⎟ .
°ª 3ºº ª 3ºº ²À
²ª ª
²²±ª«ª2 1º ª 2º ª 2º²
3»º «ª 3»º «ª 3»º Á²

Encuentre los ángulos entre s y cada vector de la base. Primero construya w 5 s . Los
|s|

ángulos entre w y los vectores de la base serán iguales a los ángulos entre s y estos vec-

tores. Repita para otro vector s.

10. Verifique que las siguientes matrices son ortogonales.

1 ¹ ⎛1 1⎞ ⎛ −4 − 6 12 ⎞
2»º ⎝⎜1 − 1⎟⎠
a) © = B b) ª«©114¹º» ⎜ 6 1 ⎟ = B1
«ª ⎜⎝⎜ 12 4 ⎟
6 ⎠⎟

⎛ −13 14 −34 ⎞

c) «©ª 319º¹» ⎜ −26 −29 −2 ⎟ = B2 d ) orth(rand(3)) 5 B3
⎜⎜⎝ −26 22 19 ⎟⎟⎠

e) [u1 u2 u3] 5 B4, donde {u1, u2, u3} es la base obtenida al aplicar el proceso de Gram-

⎧⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎫
Schmidt a ⎪⎨⎩⎪⎜⎝⎜⎜ ⎪
2 ⎟ , ⎜ 11⎟⎟⎠⎟ , ⎜ 2 ⎟ ⎬ .
3 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ ⎜⎜⎝ 4 ⎠⎟⎟ ⎪
⎭

11. a) Verifique que cada una de las siguientes matrices es ortogonal. B1B2, B1B3, B2B4 y B3B4,
donde B1, B2, B3 y B4 son las matrices del problema 10 anterior.

b) (Lápiz y papel) Trabaje el problema 16 de esta sección de MATLAB.

12. a) Encuentre la inversa de cada matriz en el problema 10 anterior y verifique que las inver-
sas son ortogonales.

b) (Lápiz y papel) Pruebe que la inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.

13. a) Encuentre el determinante de cada matriz en el problema 10. Formule una conclusión
sobre el determinante de una matriz ortogonal.

b) (Lápiz y papel) Pruebe su conclusión.
c) Revise (o resuelva) el problema 2 de MATLAB 4.4. Suponga que u, v y w son vectores

en R3 que forman un paralelepípedo. Si Q es una matriz ortogonal de 3 3 3, explique
por qué Qu, Qv y Qw forman un paralelepípedo con el mismo volumen que el forma-
do por u, v y w.

14. Matrices ortogonales: longitud y ángulo Recuerde que si u es el ángulo entre u y w, enton-
ces cos (u) 5 u ? w .

| u || w |

a) Sea Q la matriz ortogonal B1 en el problema 10 anterior. Elija dos vectores aleatorios u y
w. Calcule y compare la longitud de v y la longitud de Qv. Calcule y compare el coseno

del ángulo entre v y w y el coseno del ángulo entre Qv y Qw. Repita para un total de tres

pares de vectores elegidos v y w.

b) Repita el inciso a) para otra matriz ortogonal del problema 10. Repita el inciso a) para

Q 5 orth(2*rand(5)–1) (verifique primero que esta Q es ortogonal). Escriba una
interpretación de sus observaciones de los incisos a) y b).

c) Sea Q 5 orth(2*rand(6)–1). Verifique que Q es una matriz ortogonal y por ende
que las columnas de Q forman una base ortonormal para R6.

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 441

Sean x y z dos vectores aleatorios de 6 3 l. Encuentre xx, las coordenadas de x res-
pecto a la base dada por las columnas de Q. Encuentre zz, las coordenadas de z respecto
a esta misma base.

Compare |x – z| con |xx – zz|. Repita para otro par de vectores x y z y describa sus
observaciones.
d) El inciso c) tiene algunas ramificaciones importantes. En cualquier cálculo o medición
se introducen errores. Un aspecto importante al diseñar algortimos numéricos hace refe-
rencia a los errores compuestos o acumulados. Se puede interpretar |x – z| como un error;
por ejemplo, x puede representar los valores teóricos y z una aproximación. Explique
cómo puede verse en las observaciones del inciso c) que el cambio del proceso a las coor-
denadas de una base ortonormal no acumula (incrementa) un error que ya está presente.
¿Por qué el cambio de regreso a coordenadas estándar tampoco aumenta el error?
e) (Lápiz y papel) Si Q es una matriz ortogonal y v y w son vectores, pruebe que Qv ? Qw
5 v ? w. Utilice esta demostración para probar que |Qv| 5 |v| y que el coseno del ángulo
entre Qv y Qw es igual al coseno del ángulo entre v y w.
f ) (Lápiz y papel) Pruebe sus observaciones en el inciso c) (explique primero por qué al
encontrar las coordenadas de un vector x respecto a las columnas de Q se obtiene lo
mismo que al multiplicar x por una matriz ortogonal).

15. Matrices de rotación Será necesario haber completado los problemas 9 y 10 de MATLAB
5.6. Si sólo ha terminado el problema 9 se pueden resolver los incisos a) y b) para R2.

a) Considere la matriz de rotación V en el problema 9 b) y las matrices de rotación P, Y y
R del problema 10 a) de MATLAB 5.6. Elija un valor para el ángulo de rotación, por
ejemplo, p y verifique (usando el ángulo que eligió) que cada matriz V, P, Y y R es
4
ortogonal. Repita para otros dos ángulos.

b) (Lápiz y papel) Como una matriz de rotación de n 3 n es ortogonal, las columnas de
la matriz forman una base ortonormal para Rn. ¿Por qué? ¿Por qué puede esperarse este
tipo de geometría?

c) (Lápiz y papel ) Recuerde que en el problema 10 de MATLAB 5.6, la posición de la
nave se encuentra haciendo las maniobras de inclinación, desviación y giro en algún
orden. Esto lleva a una matriz de posición que se forma con el producto de algunas de
las matrices de rotación P, Y y R. Explique por qué la matriz de posición es una matriz
ortogonal.

d) Suponga que la orientación original de un satélite está dada por las maniobras de incli-
nación, desviación y giro de manera que su matriz de posición es ortogonal. El centro
de control (orientado a lo largo de las coordenadas estándar) verifica periódicamente la
posición del satélite pidiéndole las lecturas (en coordenadas del satélite) de objetos con
localización conocida en el centro de control.
Cierto satélite envía las siguientes lecturas (que se ajustan para tomar en cuenta las
distintas localizaciones del centro de control y del satélite):

© 20.7017 ¹ ¥ 1´

v1 5 ª 20.7017ºº para un objeto en ¦ 00µµ¶µ (coordenadas estándar)
ª §¦¦
«20 »

© 0.2130¹ ¥ 0´

v2 5 ª 0.2130ºº para un objeto en ¦ 10¶µµµ (coordenadas estándar)
ª ¦¦§
« 0.9093»

442 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

© 20.1025¹ ¥ 0´

v3 5 ª 20.4125ºº para un objeto en ¦ 01µµµ¶ (coordenadas estándar)
ª ¦¦§
« 20.0726»

Explique por qué el centro de control está al corriente de que algo no funciona con
el satélite. [Sugerencia: Explique primero por qué la matriz [v1 v2 v3] debe ser igual a A21I,

¥ 1 0 0´

donde I ¦ 0 1 10µµ¶µ y A es la matriz de posición del satélite. Recuerde que las lecturas
§¦¦ 0 0 ¥ 1´ ¥ 0´ ¥ 0´

son las coordenadas de ¦ 00µµ¶µ , ¦ 01¶µµµ y ¦ 10µ¶µµ respecto al sistema de coordenadas del satélite
¦§¦ §¦¦ ¦§¦

dadas por A, la matriz de posición. ¿Qué tipo de matrices deben ser A y A21?]

e) Suponga que la nave se orienta con una maniobra de inclinación, un ángulo de p , se-
4
guida de una desviación con un ángulo de 2p , y después un giro con un ángulo de p.

Encuentre la matriz de posición. 3 6

Encuentre los ángulos entre cada uno de los ejes coordenados de la nave y el eje x

estándar, es decir, los ángulos entre las columnas de la matriz de posición y el vector

¥ 1´

¦ 00¶µµµ . Encuentre los ángulos entre los ejes coordenados de la nave y el eje y estándar, y
¦§¦

los ángulos entre cada eje coordenado de la nave y el eje z estándar (vea el problema 9
de esta sección de MATLAB). Explique su procedimiento.

16. a) Sea x un vector aleatorio de 3 3 1. Sea v 5 x . Encuentre la matriz H 5 I 2 2vv^, donde
|x|

I es la matriz identidad de 3 3 3. Verifique que H es ortogonal. Repita para otros dos
vectores x (recuerde que el comando eye crea una matriz identidad).
b) Repita el inciso a) para x, un vector aleatorio de n 3 1 con dos valores diferentes de n
(aquí I será la matriz identidad de n 3 n).
c) (Lápiz y papel ) Si v es un vector de longitud 1 en Rn, pruebe que H 5 I 2 2vv^ es una
matriz ortogonal.
d) Geometría Las matrices que se acaban de construir se denominan reflectores elementa-
les. Sea v un vector unitario en R2 y construya H como antes. Sea x cualquier vector en
R2. Entonces Hx es la reflexión de x a través de la recta perpendicular a v.

El siguiente programa de MATLAB ilustra esta geometría. El vector z calculado
es x 2 proyv x; por lo tanto, será un vector perpendicular a v. Así, z representa la recta
perpendicular a v. Esta recta está dibujada con una línea punteada en color magenta.
La recta determinada por v se representa con una línea azul discontinua. El vector x
original está trazado en negro y el vector reflejado h está dibujado en rojo. Los renglones
del programa que preceden a la instrucción de graficar se necesitan para establecer la
perspectiva de los ejes de manera adecuada para que las longitudes iguales se vean igua-
les y los ángulos rectos se vean como tales. Cuando termine esta parte, borre la ventana
de gráficos con el comando clf.

Introduzca los vectores vv y x de 2 3 1:

v=vv/norm(vv); % Vector unitario con la dirección de vv
z=x-(x'*v)*v; % Proyección perpendicular de x
% con respecto a vv
H=eye(2)-2*v*v'; % Operador de reflexión

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 443

h=H*x; % Imagen del vector x a través de la reflexión
aa=[x',z',h',-z',v',-v’];
m=min(aa);M=max(aa);
plot([0 z(1)],[0,z(2)],'m:',[0,-z(1)],[0,-z(2)],'m:',...

[0 v(1)],[0,v(2)],'b--',[0,-v(1)],[0,-v(2)],'b--',...
[0 x(1)],[0,x(2)],'k--',[0,h(1)],[0,h(2)],'r')
axis([m M m M]);
axis('square');
grid
title('Magenta z, Azul v, Negra x, Roja h')

Los vectores sugeridos son

vv =[0;1] x =[3;3]
vv =[1;1] x =[–1;2]
vv =[1;1] x =[4;2]

e) Observando la geometría, dé una conclusión de la relación entre H y H21. Pruebe su
conclusión para cuatro matrices H generadas igual que en los incisos a) y b).

17. Trabaje los problemas 9 y 10 de MATLAB 5.8 y el problema 15 de esta sección (de PROBLEMA PROYECTO
MATLAB).

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados y

En múltiples problemas de las ciencias biológicas, físicas y sociales resulta útil describir la 0x
relación entre las variables de los mismos por medio de una expresión matemática. Así, por a) Recta
ejemplo, se puede describir la relación entre el costo, el ingreso y la ganancia con la fórmula
sencilla y

P5R2C 0x
b) Cuadrática
En un contexto distinto, se puede representar la relación entre la aceleración debida a la
gravedad, el tiempo que un objeto ha caído y la altura a la que estaba mediante la ley física y

s 5 s0 2 v0t 2 1 gt 2 0x
2

donde s0 es la altura inicial del objeto y v0 es la velocidad inicial.
Por desgracia, no es fácil obtener fórmulas como las anteriores. Muy a menudo los cien-

tíficos o los economistas tienen que trabajar con grandes cantidades de datos para encontrar
relaciones entre las variables de un problema. Una manera común de hacer esto es ajustar
una curva entre los distintos puntos de datos. Esta curva puede ser recta o cuadrática o cú-
bica, y así sucesivamente. El objetivo es encontrar la curva del tipo específico que se ajuste
“mejor” a los datos dados. En esta sección se muestra cómo lograr esto cuando se tienen dos
variables en el problema. En cada caso se supone que existen n puntos de datos (x1, y1),
(x2, y2), . . . , (xn, yn).

En la figura 6.3 se indican tres de las curvas que se pueden utilizar para ajustar datos.

Aproximación por una recta c) Cúbica

Antes de continuar, debe aclararse qué quiere decir “mejor ajuste”. Suponga que se busca la Figura 6.3
recta de la forma y 5 b 1 mx que mejor represente a los n datos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn).
Tres curvas en el plano xy.
La figura 6.4 ilustra lo que ocurre (utilizando tres datos). En esta figura se ve que si se supo-
ne que las variables x y y están relacionadas por la fórmula y 5 b 1 mx, entonces, por ejemplo,
para x 5 x1 el valor correspondiente de y es b 1 mx1. Esto es diferente del valor “real”, y 5 y1.

444 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

y
(x3, y3)

(x3, b 1 mx3)

(x1, y1) (x2, b 1 mx2)
(x2, y2)

(x1, b 1 mx1)

0 x

y 5 mx 1 b

Figura 6.4

Los puntos sobre la recta tienen coordenadas (x, b 1 mx).

En R2 la distancia entre los puntos (a1, b1) y (a2, b2) está dada por d 5 (a1 2 a2 )2 1 (b1 2 b2 )2 .
Por lo tanto, al determinar la manera de elegir la recta y 5 b 1 mx que mejor se aproxima a los
datos dados, es razonable usar el criterio de seleccionar aquella que minimiza la suma de los cua-

drados de las diferencias entre los valores y de los puntos y el valor y correspondiente a la recta.
Observe que como la distancia entre (x1, y1) y (x1, b 1 mx1) es y1 2(b 1 mx1), el problema (para
los n datos) puede establecerse como sigue:

Problema de mínimos cuadrados en el caso de una recta

Encuentre números m y b tales que la suma

[y1 2 (b 1 mx1)]2 1 [y2 2 (b 1 mx2)]2 1 . . . 1 [yn 2 (b 1 mxn)]2 (6.2.1)

sea mínima. Para estos valores de m y b, la recta y 5 b 1 mx se llama aproximación por
la recta de mínimos cuadrados a los datos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn).

Una vez definido el problema se busca un método para encontrar la aproximación de míni-

mos cuadrados. Lo más sencillo es escribir todo en forma matricial. Si los puntos (x1, y1), (x2, y2),
. . . , (xn, yn) están todos sobre la recta y 5 b 1 mx (es decir, si son colineales), entonces se tiene

y1 5 b 1 mx1

y2 5 b 1 mx2
%% %
yn 5 b 1 mxn

o y 5 Au (6.2.2)
donde

© y1 ¹ ©1 x1 ¹
ª y2 º ª x2 º
y 5 ª º , A 5 ª 1 º y u 5 © b¹ (6.2.3)
ª %º ª % %º «ª m»º
ª º ª xnº»
« yn » « 1

Si los puntos no son colineales, entonces y 2 Au Z 0 y el problema se convierte en

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 445

Forma vectorial del problema de mínimos cuadrados
Encuentre un vector u tal que la forma euclideana

|y 2 Au| (6.2.4)

sea mínima.

Observe que en R2, |(x, y)| 5 x2 1 y2 , en R3, |(x, y, z)| 5 x2 1 y2 1 z2 , etc. Entonces,
minimizar (6.2.4) es equivalente a minimizar la suma de cuadrados en (6.2.1).

Encontrar el vector u que minimiza no es tan difícil como parece. Como A es una matriz de
n 3 2 y u es una matriz de 2 3 1, el vector Au es un vector en Rn que pertenece a la imagen de A.
La imagen de A es un subespacio de Rn cuya dimensión es a lo más dos (ya que cuando mucho
dos columnas de A son linealmente independientes). Así, por el teorema de aproximación de la
norma en Rn (teorema 6.1.8, página 429), (6.2.4) es un mínimo cuadrado

Au 5 proyH y

donde H es la imagen de A. Se ilustrará esto con una gráfica para el caso de n 5 3.
En R3 la imagen de A será un plano o una recta que pasa por el origen (ya que éstos son los

únicos subespacios de R3 de dimensión uno o dos). Vea la figura 6.5. El vector que minimiza
se denota por u. De la figura (y del teorema de Pitágoras) se deduce que |y 2 Au| es mínima
cuando y 2 Au es ortogonal a la imagen de A.

Es decir, si X es el vector que minimiza, entonces para todo vector u P R2

Au ' (y 2 AX ) (6.2.5)

Usando la definición de producto escalar en Rn, se encuentra que (6.2.5) se vuelve

Au ? (y 2 AX ) 5 0

(Au)^(y 2 AX ) 5 0 fórmula (2.5.6), página 129

(u^A^)(y 2 AX ) 5 0 teorema 2.5.1 ii), página 128

o

u^(A^y 2 A^AX ) 5 0 (6.2.6)

La ecuación (6.2.6) se cumple para todo u P R2 sólo si

A^y 2 A^AX 5 0 (6.2.7)

Al despejar X de (6.2.7) se obtiene
z

y

Imagen de A y 2 Au
0 y

Au

x
Figura 6.5
y 2 Au es ortogonal a Au.

446 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

Solución al problema de mínimos cuadrados para un ajuste por línea recta

Si A y y son como se definieron en (6.2.3), entonces la recta y 5 mx 1 b da el mejor ajuste
(en el sentido de mínimos cuadrados) para los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) cuando

© b¹ 5 u– 5 (A^A)21 A^y y 5 © yy21ºº¹ (6.2.8)
ª« mº» ª y%nººº»
ª
ª
ªª«

Aquí se ha supuesto que A^A es invertible. Éste siempre es el caso si los n datos no son
colineales. La demostración de este hecho se deja para el final de esta sección.

EJEMPLO 6.2.1 La recta que mejor se ajusta para cuatro datos

Encuentre la recta que da el mejor ajuste para los datos (1, 4), (22, 5), (3, 21) y (4, 1).

Solución En este caso

©1 1¹ © 4¹
2ºº ,
ª 1 © 1 1 1 1¹ ª 5ºº
A 5 ªª 1 3º A^5 «ª 1 2 3 4 »º ª 1º
4»º y y 5 ª

ª« 1 ª« 1»º

Entonces

A^A " © 4 6¹ ( A^A) 1 " 1 © 30 6¹ y
ª« 6 30»º , 84 ª« 6 4º»

© 4¹

u " ( A^A) 1 A^y " 1 © 30 6¹ © 1 1 1 1 ¹ ª 5 º
84 «ª 6 4º» «ª 1 2 3 4 »º ª º
ª 1 º
«ª 1º»

1 ¥ 30
6´ ¥ 9´ 1 ¥ 300´ z ¥ 3.57´
84 §¦
6 4µ¶ §¦
5¶µ 84 §¦
74µ¶ ¦§
0.88µ¶

Por lo tanto, la recta que mejor se ajusta está dada por
y 5 3.57 2 0.88x

Esta recta y los cuatros datos se bosquejan en la figura 6.6.

Aproximación cuadrática

Ahora se desea ajustar una curva cuadrática a los n datos. Recuerde que una curva cuadrática
en x es cualquier expresión de la forma

y 5 a 1 bx 1 cx2 (6.2.9)

La ecuación (6.2.9) es la ecuación de una parábola en el plano. Si los n datos estuvieran sobre
la parábola, se tendría

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 447

2 [

Figura 6.6

La recta que mejor se ajusta a los cuatro puntos es y 5 3.57 2 0.88x.

y1 5 a 1 bx1 1 cx12 (6.2.10)

y2 5 a 1 bx2 1 cx22
%% % %
yn 5 a 1 bxn 1 cxn2

El sistema (6.2.10) se puede volver a escribir como

y 5 Au
Con

© y1 ¹ ©1 x1 x12 ¹ © a¹
ª º ª º
ª y2 º ª 1 x2 x22 º
y 5 ª % º , A 5 ª % % º y u 5 ª b º (6.2.11)
ª xn % º ª º
ª º « c»
« yn » «ª 1 xn2 »º

al igual que antes. Si todos los datos no se encuentran sobre la misma parábola, entonces
y 2 Au Z 0 para cualquier vector u, y de nuevo el problema es

Encontrar un vector u en R3 tal que | y 2 Au | sea mínima.

Utilizando un razonamiento similar al anterior, se puede demostrar que si cuando menos tres
de las xi son diferentes, entonces A^A es invertible y el vector que minimiza al vector X está
dado por

u 5 (A^A)21A^y (6.2.12)

EJEMPLO 6.2.2 El mejor ajuste cuadrático para cuatro puntos

Encuentre el mejor ajuste cuadrático para los datos del ejemplo 6.2.1.

Solución Aquí

©1 1 1¹ ©1 1 1 1¹ © 4¹
ª 4ºº
A 5 ª 1 22 9º , A^ 5 ª 1 22 3 4ºº y \ 5 ª 5ºº
ª 1 3 ª ª
ª21º
«ªª1 4 16ºº» ª«1 4 9 16º» «ª 1º»

448 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno
Entonces

A^A 5 (A^A)21 5
y

X 5 (A^A)21 A^y 5

Así, el mejor ajuste cuadrático para los datos está dado por la parábola

y 5 3.75 2 0.81x 20.04x2

La figura 6.7 presenta una gráfica de la parábola y los cuatro puntos.

Nota. Si n es grande, entonces el cálculo de (A^A)21 puede llevar a una gran cantidad de erro-
res numéricos. En este caso es mucho más eficiente encontrar X resolviendo el sistema (A^AX

) 5 A^y por descomposición LU. De hecho, resolver A^AX 5 A^y por este método es casi
siempre más eficiente que calcular (A^A)21 cuando n . 3.

EJEMPLO 6.2.3 El mejor ajuste cuadrático para cinco puntos puede proporcionar
una estimación para g

El método de ajuste de curvas se puede utilizar para medir las constantes físicas. Suponga, por
ejemplo, que se deja caer un objeto desde una altura de 200 metros. Se toman las siguientes
mediciones:

Tiempo transcurrido Altura (en metros)

0 200

1 195

2 180

4 120

6 25

y

(22, 5) (1, 4)

(4, 1)

0 x
(3, 21)

Figura 6.7 y 5 3.75 2 0.81x 2 0.04x2

La ecuación cuadrática y 5 3.75 2 0.81x 2 0.04x2 es
el mejor ajuste cuadrático para los cuatro puntos.

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 449

Si un objeto en la altura inicial, en reposo, se deja caer, entonces su altura después de t segundos
está dada por

s 5 200 2 1 gt2

2

Para estimar g se puede encontrar un ajuste cuadrático para los cinco puntos dados. Los co-
eficientes del término t2 serán, si las mediciones son buenas, una aproximación razonable al

número 2 1 g. Utilizando la notación anterior, se tiene

2

⎛1 0 0⎞ ⎛ 200⎞

⎜⎜1 1 1 ⎟ ⎛1 1 ⎞ ⎜ 195⎟⎟
⎟ ⎜
A 5 ⎜1 2 4⎟ , A^ 5 ⎜ 0 1 ⎟ y y = ⎜ 180⎟
⎜⎜1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 120⎟⎟
⎟ ⎝⎜ 0 1 4 16 36⎟⎠ ⎜
4 16

⎜⎝1 6 36⎟⎠ ⎝⎜ 25⎠⎟

Entonces

A^A 5 (A^A)21 5

y

© 200¹

1 © 5 912 3 924 508¹ © 1 1 1 1 1¹ ª 195ºº
7 504 1 2 4 366º»ºº ª
u " ª 3 924 4 596 171064º»ºº ª 0 1 4 16 ª 180º
ªª« 508 704 «ªª 0 ª º
ª 120 º

ª« 25 »º

1 © 5 912 3 924 508¹ © 720¹ 1 ©1 504 080¹ © 200.44¹
7 504 7 504
" ª 3 924 4 596 171064ºº»º ª 1 713855º»ºº " ª 8 426200ººº» ~ ª 41..9163»ººº
ªª« 508 704 ªª« 3 «ªª 35 ªª«

Los datos se ajustaron con la ecuación cuadrática

y se tiene que 1 g ≈ 4.69, o sea, s(t) 5 200.44 21.13t 24.69t2
g ≈ 2(4.69) 5 9.38 m/seg2
2

Esto es razonablemente cercano al valor correcto de 9.81 m/seg2. Para obtener una aproxima-
ción más exacta de g sería necesario obtener observaciones más precisas. Observe que el térmi-
no 21.13t representa una velocidad inicial (hacia abajo) de 1.13 m/seg.

Se observa aquí que las aproximaciones de polinomios de grado más alto se obtienen de
manera idéntica. Vea algunos detalles en los problemas 6.2.7 y 6.2.9.

Concluiremos esta sección demostrando el resultado que garantiza que la ecuación (6.2.8)
será siempre válida, excepto cuando los puntos estén en una misma recta vertical.

T Teorema 6.2.1

Sea (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), n puntos en R2, y suponga que no todas las xi son iguales.
Entonces si A está dada como en (6.2.3), la matriz A^A es una matriz invertible de 2 3 2.

450 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

Nota. Si x1 5 x2 5 x3 5 . . . 5 xn, entonces todos los datos están sobre la recta vertical
x 5 x1, y la mejor aproximación lineal es, por supuesto, dicha recta.

Demostración

Se tiene

©1 x1 ¹
ª x2 º
A 5 ª 1 º
ª
ª º
« º
1 xn »

Como no todas las xi son iguales, las columnas de A son linealmente independientes.
Ahora bien

©1 x1 ¹ © n¹
x2 º ª ¨ xi º
© 1 1 1¹ ª 1 º ª n i51 º
A^A 5 ª« x1 x2 xn º» ª 1 º 5 ª nº
ª n
ª ª
« ¨xn º ª« xi ¨i51 xi2 º
» »º
i51

Si A^A no es invertible, entonces det A^A 5 0. Esto significa que

n ©n ¹ 2
ǻ i51 xiȼ
¨ ¨©1¹ n xi2 5 (6.2.13)

© x1¹ i51

Sea u 5 ª 1ºº y x 5 ª x2 º . Entonces
ª ª º
«ªª 1º»º ª º
ª º
« xn »

nn

¨ ¨|u|2 5 u ? u 5 n, |x|2 5 xi2 y u ? x 5 xi
i51 i51

de manera que la ecuación (6.2.13) se puede establecer como
|u||x|2 5 |u ? x|2

y sacando raíz cuadrada se obtiene

|u ? x| 5 |u||x|

Ahora, la desigualdad de Cauchy-Schwarz (página 430) dice que |u ? x| # |u||x| en
donde la igualdad se cumple si y sólo si x es una constante múltiplo de u. Pero u y x son,
por hipótesis, las columnas de A que son linealmente independientes. Esta contradic-
ción prueba el teorema.

R Resumen 6.2 (p. 444)

• Sea (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) un conjunto de datos. Si se quiere representar estos datos por la
recta y 5 mx 1 b, entonces el problema de mínimos cuadrados es encontrar los valores de m y b
que minimizan la suma de los cuadrados

[ y1 2 (b 1 mx1 )]2 1[ y2 2 (b 1 mx2 )]2 1. . . 1[ yn 2 (b 1 mxn )]2

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 451
(p. 446)
La solución a este problema es establecer

© b¹ 5 u 5 ( A^A)21 A1y
ª« mº»

donde

© y1 ¹ ©1 x1 ¹
ª y2 º ª x2 º
y 5 ª º y A 5 ª 1 º
ª ª
ª º º
« º ª º
yn » « 1 xn »

Resultados similares se aplican cuando se quiere representar los datos usando un polinomio de
grado . 1.

A AUTOEVALUACIÓN 6.2

I) La recta de mínimos cuadrados para los datos (2, 1), (21, 2) y (3, 25) minimizará
a) [2 2 (b 1 m)]2 1 [21 2 (b 1 2m)]2 1 [3 2 (b 2 5m)]2
b) [1 2 (b 1 2m)]2 1 [2 2 (b 1 m)]2 1 [25 2 (b 1 3m)]2
c) [1 2 (b 1 2m)]2 1 |2 2 (b 1 m)| 1 |25 2 (b 1 3m)|
d) [1 2 (b 1 2)]2 1 [2 2 (b 2 1)]2 1 [25 2 (b 1 3)]2

Respuesta a la autoevaluación
I) b)

MANEJO DE LA CALCULADORA 6.2

En estadística, un problema importante es encontrar la recta de mínimos cuadrados. En
el contexto de estadística, el procedimiento para hacerlo se denomina regresión lineal.
Encontrar el mejor ajuste cuadrático se conoce como regresión cuadrática. La regresión
lineal es una herramienta de uso común y prácticamente todas las calculadoras que gra-
fican pueden calcular los valores de m y b una vez que se introducen los datos.

Todos los cálculos estadísticos se realizan oprimiendo las teclas X§

eligiendo el tipo de trabajo que se desea realizar. Por ejemplo, seleccionando la opción
1 se trabaja con estadísticas donde sólo se tiene una variable, la opción 3 proporciona
herramientas para hacer ajustes de curvas a datos presentados como colecciones de
puntos. Se volverá a calcular la recta de regresión para los datos del ejemplo 1: (1, 4),
(22, 5), (3, 21) y (4, 1).

452 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno
Presione X§ 6. Aparece la siguiente pantalla con el campo SDAT:

marcado, que es donde se guarda el conjunto de puntos con los cuales se va a calcular
el ajuste.

Oprimiendo la tecla marcada como EDIT se obtiene la siguiente pantalla que es donde
se escriben los datos; utilizaremos la primera columna para los valores de x y la segunda
columna para los valores de y.

Para introducir el primer punto oprimimos la secuencia de teclas Y 6,
con lo que se obtiene la siguiente pantalla.

A continuación oprimimos hjj para dejar el cursor al inicio del segundo ren-
glón como se muestra a continuación.

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 453
Introducimos el segundo punto, 4Y 6.

En esta ocasión ya no hay que regresar el cursor al inicio del tercer renglón. Introduci-
mos el tercer punto Y 46, y el cuarto punto Y 6. Para
terminar oprimimos 6, lo que nos lleva a la siguiente pantalla.

En el segundo renglón se puede especificar cuál columna utilizar para los valores de x
y de y; en este caso, no hay necesidad de cambiar nada. Seleccionamos el modelo que
habrá de ajustarse, y que en este caso es una recta, por lo que debemos escoger el mo-
delo de Linear Fit y oprimir la tecla OK. Aparecen los resultados de este ajuste en los
renglones del 1 al 3.

En el tercer renglón aparece la ecuación de la recta que se ajusta, en el sentido de mí-
nimos cuadrados, a los puntos proporcionados. Para poder leer completamente el ren-
glón, con las teclas del cursor seleccionamos el renglón 3, ggg

454 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno
y oprimimos la tecla VIEW

Finalmente, oprimimos la tecla TEXT, y ahora ya podemos leer la ecuación de la recta.

Siguiendo un procedimiento similar, podemos leer el valor del coeficiente de correlación

y el valor de la covarianza.

Es posible hacer ajustes a polinomios de cualquier grado. En el Manual del Usuario de
la calculadora aparece un programa para lograr este objetivo (capítulo 18).

Problemas 6.2

De los problemas 1 al 4 encuentre la recta que se ajusta mejor a los puntos dados.
1. (5, 23), (2, 24), (23, 6)
2. (1, 3), (22, 4), (7, 0)

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 455

3. (21, 10), (22, 6), (26, 6), (2, 22)
4. (1, 3), (4, 6), (22, 5), (3, 21)

De los problemas 5 al 7 encuentre el mejor ajuste cuadrático para los puntos dados.
5. (2, 25), (3, 0), (1, 1), (4, 22)
6. Encuentre la mejor aproximación cúbica para los puntos (21, 2), (22, 21), (23, 5), (1, 21),

(23, 2)
7. (1, 21), (3, 26), (5, 2), (23, 1), (7, 4)
8. La ecuación cúbica general está dada por

a 1 bx 1 cx2 1 dx3
Demuestre que la mejor aproximación cúbica a n puntos está dada por

© a¹
ª º
u 5 ª b º 5 ( A^A)21 A^y

ª cº
ª« d º»

donde y es como se definió y

©1 x1 x12 xx1233º¹º
ª x2 x22 º
ª 1
A 5 ª

ªº
«ª 1 xn xn2 xn3º»

9. (3, 2), (5, 22), (5, 2), (22, 1) y (1, 23)
10. El polinomio general de grado k está dado por

a0 1 a1x 1 a2x2 1 . . . 1 akxk
Demuestre que el polinomio de grado k que mejor se ajusta a los n puntos está dado por

© a0¹
ª º
ª a1 º
u 5 ª 5 (A^A)21 A^y
º
ª º
« ak »

donde

©1 x1 x12 x1k ¹
ª x2 x22 º
ª 1 x2k º
A 5 ª xn xn2
º
ª º
«ª 1 xnk º»

11. Los puntos (1, 5.52), (21, 15.52), (3, 11.28) y (22, 26.43) están todos en una parábola.

a) Encuentre la parábola.
b) Demuestre que |y 2 AX | 5 0.

456 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

12. Un fabricante compra grandes cantidades de refacciones para cierta máquina. Él encuen-
tra que este costo depende del número de cajas compradas al mismo tiempo y que el costo
por unidad disminuye conforme el número de cajas aumenta. Supone que el costo es una
función cuadrática del volumen y de las facturas anteriores obtiene la siguiente tabla:

Número de cajas Costo total
compradas (dólares)
10 150
30 260
50 325
100 500
175 670

Encuentre su función de costo total.

13. Una persona lanza una pelota al aire en dirección hacia abajo. La altura que alcanza está

dada por s(t) 5 s0 1 v0t 1 1 gt2. Se toman las siguientes mediciones:
2

Tiempo transcurrido Altura
(segundos) (pies)
1
1.5 57
2.5 67
4 68
9.5

Usando los datos, estime:

a) La altura a la que se dejó caer la pelota.
b) La velocidad inicial.
c) g (en pies/seg2).

De los problemas 14 al 17 encuentre, con ocho cifras decimales, la recta de regresión para los
datos dados.

14. (57, 84); (43, 91); (71, 36); (83, 24); (108, 15); (141, 8)

15. (1.227, 20.0009); (1.1959, 21.2070); (0.5101, 20.7743);
(20.2431, 0.2521); (20.8299, 1.0249)

16. (461, 982); (511, 603); (846, 429); (599, 1 722); (806, 2 415); (1 508, 3 295); (2 409, 5 002)

17. (20.0162, 20.0315); (20.0515, 20.0813); (0.0216, 20.0339); (0.0628, 20.0616);
(0.0855, 20.0919); (0.1163, 20.2105); (0.1316, 20.3002); (20.4416, 20.8519)

En los problemas 18 al 21 encuentre la curva de regresión cuadrática para los datos que se
proporcionan.

18. Los datos del problema 14. 19. Los datos del problema 15.

20. Los datos del problema 16. 21. Los datos del problema 17.

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 457

EJERCICIOS CON MATLAB 6.2

1. Considere el conjunto de datos (1, 2), (2, 0.5), (21, 4), (3.5, 21), (2.2, 0.4) y (4, 22). Sea
x un vector de 6 3 1 que contiene las coordenadas x y sea y un vector de 6 3 1 con las
coordenadas y.

a) Dé A 5 [ones(6,1),x] y explique por qué A es la matriz utilizada para encontrar
el ajuste a estos datos con la recta de mínimos cuadrados.

b) Encuentre la solución de mínimos cuadrados u 5 (A^A)21A^y. Encuentre v 5 A\y y
compare con u (el comando diagonal invertida “\” en MATLAB encuentra la solución
de mínimos cuadrados para un sistema de rango completo sobredeterminado).

c) Encuentre |y 2 Au|. Elija w 5 u 1 [0.1;- 0.5], encuentre |y 2 Aw| y compare con
|y 2 Au|. Repita para otros dos vectores w. Explique qué parte de la teoría de aproxima-
ción por mínimos cuadrados ilustra esto.

d) La teoría de aproximación por mínimos cuadrados asegura que Au 5 proyH y, donde H
es la imagen de A y u es la solución de mínimos cuadrados. Encuentre proyH y usando
B 5 orth(A) como en el problema 7 a) de MATLAB 6.1. Verifique que Au 5 proyH y.

e) La visualización de los datos y del ajuste con la recta de mínimos cuadrados puede ser
de utilidad. El siguiente programa de MATLAB encuentra los coeficientes para el ajuste
con la recta, genera varios valores de la coordenada x (el vector s), evalúa la ecuación
de la recta para estos valores, grafica el conjunto de datos originales con signos de * en
blanco, y grafica la recta de mínimos cuadrados.

Nota. Por supuesto, para graficar una recta no se requiere evaluar la ecuación para varios
valores, por lo que en realidad no es necesario encontrar el vector s. Sin embargo, para grafi-
car ajustes con polinomios de grado más alto (o exponenciales) se necesita evaluar la función
para varios valores de x. La generación de s se incluye aquí para proporcionar el modelo de
MATLAB que necesitará sólo pequeñas modificaciones para otro tipo de ajustes.

u 5 A\y
s 5 min(x):(max(x)–min(x))/100:max(x);
fit 5 u(1)+u(2)*s
plot(x,y',w*',s,fit)
u 5 A\y; % Resuelve el problema de mínimos cuadrados
s 5 linspace(min(x)–0.5,máx(x) 1 0.5,100); % puntos a graficar
ajuste_a_recta 5 u(1) 1 u(2)*s; % evaluación de la recta
clf % borrar la ventana de gráficas
plot(s,ajuste_a_recta,'r','LineWidth',2); % graficar la
% recta ajustada
hold on % Mantener fija la gráfica
plot(x,y,'bx','MarkerSize',10,'LineWidth',2); % graficar
% los datos originales
grid % desplegar cuadrícula
legend('Recta de ajuste','Datos') % deplegar rótulo
Title(['Recta: ',num2str(u(2)),'x 1 ',num2str(u(1))])
%deplegar
%título

¿Parece un ajuste razonable la recta de mínimos cuadrados para estos datos?

f ) Utilice la ecuación de mínimos cuadrados para aproximar un valor de y para x 5 2.9.

2. Considere los datos en el problema 11 de esta sección. Sea x un vector de 5 3 1 que con-
tiene los valores del número de cajas compradas. Sea y el vector de 5 3 1 con los valores
correspondientes del costo total.

458 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

Puntos dispersos a) El problema pide un ajuste cuadrático. Dé A 5 [ones(5,1) x x. ^2] y explique
por qué esta matriz es la usada para ese ajuste.

Nota. El punto (.) antes del símbolo “^” es importante. Le dice a MATLAB que eleve al
cuadrado cada componente del vector x.

b) Siga las mismas instrucciones de los incisos b) al e) del problema 1 anterior, excepto para
el inciso b), seleccione w como un vector de 3 3 1, por ejemplo w 5 u 1 [0.1;-0.2;-
0.05]; para el inciso e) use fit 5 u(1)1u(2)*s1u(3)*s.^2;.

c) Usando la ecuación cuadrática de mínimos cuadrados, estime el costo total para 75
cajas y estime el costo total para 200 cajas.

3. Trabaje el problema 12 de esta sección.

4. Es importante observar las gráficas de los datos y la solución de mínimos cuadrados. Una
solución de mínimos cuadrados puede verse bastante afectada por uno o dos puntos. Algu-
nos datos pueden ser muy distintos al resto de ellos. Éstos se denominan puntos dispersos.
Los puntos dispersos pueden indicar errores en los datos o un comportamiento poco usual
que puede investigarse más a fondo.

a) Sean x y y dos vectores que representan los datos del problema 1 de esta sección. Se
agregará el punto (1.5, 23.8) al conjunto de datos. Sea r 5 1.5 y t 5 23.8. Forme xx 5
[x;r] y yy 5 [y;t].

i) Dé el comando plot(xx,yy,'m*'), localice el dato adicional y explique por qué
se puede considerar un punto disperso.

ii) Se graficará la recta de ajuste de mínimos cuadrados para los datos originales y el
mismo ajuste para los datos aumentados en la misma gráfica para que se puedan
comparar.

Encuentre u, la recta de solución de mínimos cuadrados para los datos en x y y.
Encuentre uu, la recta de solución de mínimos cuadrados para los datos en xx y
yy. Forme s igual que en el problema 1 e) anterior usando xx en lugar de x. En-
cuentre fit igual que en el problema 1 e) usando u y encuentre fit1 usando uu.
Dé el comando

plot(x,y,'bx',r,t,'mo',s,fit,'r',s,fit1,'g')

Este comando graficará los datos originales con una x azul (bx en el comando) y
el punto disperso con una vocal o magenta (mo). La recta de ajuste para los datos
originales quedará en rojo (r) y la de los datos aumentados en verde (g).

iii) Describa el efecto del punto disperso sobre la recta de ajuste de mínimos cuadrados.
¿Qué recta piensa usted que representa mejor los datos?

b) Repita el inciso a) para r 5 4.9 y t 5 4.5.

5. a) Para los datos en el problema de calculadora 16:

Encuentre la matriz A para la recta de ajuste de mínimos cuadrados y después en-
cuentre u, la solución de mínimos cuadrados.

Encuentre B, la matriz para un ajuste cuadrático de mínimos cuadrados y después
encuentre v, la solución de mínimos cuadrados.

Encuentre |y 2 Au| y |y 2 Bv|.
Grafique los datos y ambas curvas de mínimos cuadrados en la misma gráfica: ge-
nere s y fit igual que en el problema 1 e) anterior y genere fitq 5 v(1) 1 v(2)*s
1 v(3)*s. ˆ2;. Después, dé plot(x,y,'bx',s,fit,'r',s,fitq,'b').

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 459

Analice cuál de los dos (recta o cuadrático) es un mejor ajuste. Justifique su conclu-
sión con el trabajo realizado.

b) Repita el inciso a) para el problema de calculadora 14.

6. Se tomaron, del World Almanac, los siguientes datos sobre eficiencia de combustible en
mi/gal (millas por galón, mpg) para automóviles de pasajeros en Estados Unidos.

Año Promedio de mpg para automóviles
de pasajeros en Estados Unidos
1980 15.2
1981 15.9
1982 16.7
1983 17.1
1984 17.8
1985 18.2
1986 18.3
1987 19.2
1988 20.0

a) Encuentre una recta de ajuste por mínimos cuadrados y grafíquela. (x 5 0 representa
1980, x 5 8 representa 1988, etc.) Analice si la recta parece un ajuste razonable para los
datos.

b) Suponiendo que la tendencia continúa, utilice la ecuación de la recta para predecir el
año en que el promedio de mpg será de 25.

7. Una diseñadora industrial contrata sus servicios profesionales para consultarle sobre un
experimento que lleva a cabo. Ella está interesada en saber qué efecto tiene la temperatura
sobre la resistencia de su producto. Como los costos involucrados son altos, la diseñadora
tiene un límite en la cantidad de datos que puede obtener:

Temperatura Nivel de resistencia
600 40
600 44
700 48
700 46
700 50
900 48
950 46
950 45

Encuentre una recta de mínimos cuadrados que se ajuste y una curva cuadrática de
mínimos cuadrados que también se ajuste. Grafique ambas. A partir de este análisis argu-
mente si cree que hay evidencia de que la temperatura tiene algún efecto sobre la resistencia

460 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

y, de ser así, diga qué temperatura recomendaría para fabricar el producto más fuerte (va-
lores mayores de nivel de resistencia indican un producto más fuerte).

8. Crecimiento de población Con frecuencia se dice que el crecimiento de la población es
exponencial. De cualquier manera, la recta de ajuste de mínimos cuadrados puede ser va-
liosa si se utiliza junto con una reexpresión de los valores de los datos. Si x y p tienen una
relación exponencial, significa que p 5 Ae kx para algunas constantes A y k. Utilizando las
propiedades de los logaritmos, se encuentra que ln(p) 5 ln(A) 1 kx. Observe que x y ln(p)
tienen una relación lineal.
Así, si se espera una relación exponencial, se vuelven a expresar los datos (x, p) en
términos de los datos (x, ln(p)) y se encuentra una solución de mínimos cuadrados para
reexpresar los mismos. Esto conduce a ln(p) 5 mx 1 b y, por lo tanto, p 5 emx1b es el ajuste
exponencial.

a) En seguida se dan los datos de población para Estados Unidos para cada década entre
1800 y 1900.

Año Población
(en millones)
1800
1810 5.3
1820 7.2
1830 9.6
1840 12.9
1850 17.1
1860 23.2
1870 31.4
1880 38.6
1890 50.2
1900 62.9
76.2

Dé x 5 [0:10]' (los valores x son tales que x 5 0 representa 1800 y x 5 10 represen-
ta 1900). Sea p el vector de los valores de población correspondientes. Dé y 5 log(p);

ii i) Encuentre la recta de ajuste de mínimos cuadrados para los datos en x y y.
Encuentre s y fit igual que en el problema l e) anterior. Dé

fite 5 exp(fit);
plot(x,p,'xb',s,fite)

Aquí exp(fit) encontrará la exponencial efit. ¿Se parece a una exponencial el
crecimiento de la población?

iii) Suponiendo que la población sigue creciendo a la misma tasa, utilice la solución
de mínimos cuadrados para predecir la población en 1950 (encuentre el valor y
utilizando la solución de la recta de mínimos cuadrados y después encuentre la
población p usando p 5 ey).

b) En la tabla siguiente se encuentran los datos de población para Estados Unidos de 1910
a 1980.

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 461

Año Población
(en millones)
1910
1920 92.2
1930 106.0
1940 123.2
1950 132.2
1960 151.3
1970 179.3
1980 203.3
226.5

i i) Con estos datos y con su proyección de población en 1950 del inciso a), explique por
qué parece que la tasa de crecimiento disminuyó en el segundo siglo.

ii) Encuentre el ajuste exponencial de mínimos cuadrados siguiendo los pasos del in-
ciso a). Asegúrese de utilizar los logaritmos de los valores de la población para y.
¿Sigue siendo exponencial el crecimiento de la población?

iii) Explique de qué forma, los coeficientes en la solución de mínimos cuadrados del
inciso a) y el inciso b) ii) muestran que la tasa de crecimiento ha disminuido.

iv) Suponiendo que el crecimiento de la población continúa como en años recientes,
prediga la población para el año 2000 haciendo uso del ajuste exponencial del inci-
so b) ii).

9. Geología minera Los geólogos estudian la composición de rocas y minerales en las for-
maciones para reunir información sobre las mismas. Estudiando las rocas metamórficas y
determinando aspectos como la temperatura y la presión a la que se formaron se obtendrá
información útil sobre las condiciones presentes en el momento de su formación. Un mi-
neral común es el granate. Se sabe que el coeficiente de distribución de Fe-Mg del granate
es altamente dependiente de la temperatura a la que éste se formó [aquí, el coeficiente de
distribución Fe-Mg se relaciona con las proporciones de fierro (Fe) y magnesio (Mg) en el
granate]. Sin embargo, la cantidad de calcio (Ca) en el granate también afecta el coeficiente
de distribución Fe-Mg. Se pueden hacer correcciones a las estimaciones de temperatura si
la relación entre la cantidad de calcio presente y el coeficiente Fe-Mg del granate se pueden
determinar. Se reunieron los siguientes datos de las muestras de granate tomadas en las
montañas de Esplanade en British Columbia.

Fracción molecular Coeficiente de distribución
de Ca Fe-Mg
0.1164 0.12128
0.0121 0.17185
0.0562 0.13365
0.0931 0.14850
0.0664 0.12637
0.1728 0.10406
0.1793 0.10703
0.1443 0.11890
0.1824 0.09952

462 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

PROBLEMA PROYECTO Encuentre la recta de mínimos cuadrados y grafíquela. Utilice la fracción molecular
de Ca para las coordenadas x y el coeficiente de distribución Fe-Mg para las coordenadas
y. ¿Tienen los datos, en apariencia, una relación lineal? Escriba la ecuación de la recta de
mínimos cuadrados.

10. Geología petrolera Las formaciones rocosas se encuentran formando capas. Los pliegues
en las rocas pueden estar causados por deformaciones de compresión. En pliegues simples,
denominados deformaciones anticlinales, cuando se comprimen las capas inferiores, ocu-
rren fracturas que empujan a la roca más arriba de su nivel de formación original (denomi-
nado nivel de datos referencia). El diagrama esquemático siguiente representa una sección
transversal.
El petróleo y el gas pueden quedar atrapados en la parte del pliegue donde ocurre la
fractura. Existe un nivel más abajo del cual no ha ocurrido compresión, por lo que no hay
fractura y por lo tanto no hay petróleo ni gas. Este nivel se denomina nivel de desprendimien-
to. Es de interés estimar la profundidad del nivel de desprendimiento, ya que una compañía
petrolera puede concluir razonablemente si sería o no económico hacer una perforación
más profunda para encontrar petróleo.

S D compresión a lo
h largo del nivel de
desprendimiento

Si se supone que un pliegue tiene una sección transversal uniforme, la conservación del
volumen de la roca implica que el área de la roca arriba del nivel de referencia (etiquetado
con S en el diagrama) debe ser igual al área de la roca comprimida (representada por el área
sombreada en el diagrama). Así S 5 Dh, donde h es la profundidad del nivel de despren-
dimiento y D se denomina desplazamiento. Observe que S tiene una relación lineal con h.

Usando imágenes sísmicas de las secciones transversales, los geólogos pueden apro-
ximar el área de exceso (S) arriba del nivel de referencia en varios puntos del pliegue. Un
método reciente, propuesto para estimar tanto la profundidad del desprendimiento como
el desplazamiento, utiliza mínimos cuadrados. El proceso incluye la medición de las áreas
de exceso (coordenadas y) y la medición de la profundidad de algún nivel de referencia fijo
arbitrario (coordenadas x). La relación entre el área de exceso y la profundidad del nivel
de referencia será lineal y, de hecho, será sólo una traslación de la recta que relaciona el
área de exceso con la profundidad del desprendimiento. De esta forma, la pendiente de la
recta será aproximadamente D, el desplazamiento. La profundidad del desprendimiento
corresponderá a la coordenada x del punto sobre la recta para el cual el área de exceso es 0
(cero) ya que no hay compresión justo abajo de este nivel y, por lo tanto, ninguna roca fue
empujada hacia arriba.

a) Los siguientes datos se obtuvieron con las mediciones hechas en varios niveles de refe-
rencia y distintas localizaciones en el campo Tip Top, un campo petrolero en produc-
ción frente al cinturón central de Wyoming.

Distancia al nivel de Área de exceso Distancia al nivel de Área de exceso
referencia (km) (km2) referencia (km) (km2)
3.13 2.19 1.37 1.39
2.68 1.88 1.02
2.50 1.73 0.79 1.12
2.08 1.56 0.53
1.69 1.53 0.96

0.69

6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados 463

iii) Encuentre la recta de ajuste de mínimos cuadrados y su gráfica. ¿Parece razonable
la relación lineal; es decir, parece razonable que este pliegue pueda ser una deforma-
ción anticlinal?

iii) Encuentre la aproximación al desplazamiento y a la profundidad del desprendi-
miento. Basado en este análisis, escriba un informe resumiendo el consejo que daría
a la compañía petrolera.

S

*** *
*
*
*

h

b) Existen otros tipos de pliegues; uno muy común es el pliegue de falla inclinada. En este
caso existen dos niveles de interés, los niveles de desprendimiento superior e inferior.
Entre estos dos niveles, el exceso de rocas es empujado hacia arriba. Arriba del ni-
vel superior, parte del exceso de rocas es empujado hacia arriba y parte es desplazado
(horizontalmente). Esta estructura diferente tiene otras implicaciones para el potencial
de petróleo atrapado. Un examen cuidadoso de los datos y un proceso de mínimos cua-
drados diferente pueden indicar la presencia de este tipo de pliegue.
Para dicho pliegue de falla inclinada, la relación entre la profundidad del despren-
dimiento y el área de exceso consiste en dos rectas, en donde la recta de arriba tiene una
pendiente menor. Esto se reflejaría en los datos del área de exceso contra la profundidad
del nivel de referencia si se observa que los puntos se pueden clasificar en dos subcon-
juntos naturales. Cada subconjunto tendría un ajuste de recta de mínimos cuadrados.
Esto se denomina ajuste por partes. Estas rectas serían traslaciones de la relación entre
el área de exceso y la profundidad del desprendimiento.
El nivel de desprendimiento inferior sería el punto en el que la recta inferior interse-
ca al eje h. La coordenada h del punto de intersección de las dos rectas sería la elevación
del nivel de desprendimiento superior por encima del nivel de referencia. La diferencia
entre las pendientes de las dos rectas representa el desplazamiento horizontal de la roca
a lo largo del nivel de desprendimiento superior.
Para los datos anteriores del campo Tip-Top se quiere investigar si sería razonable
interpretar el pliegue como un pliegue de falla inclinada.

iii) Primero, encuentre la recta de mínimos cuadrados para todo el conjunto de datos
y encuentre |y 2 Au|2, donde A es la matriz utilizada en el ajuste de mínimos cua-
drados y u es la solución de mínimos cuadrados. Recuerde que |y 2 Au|2 mide la
suma de los cuadrados de las distancias entre cada valor y de los datos y el valor y
correspondiente a la recta de mínimos cuadrados.

iii) Después, grafique los datos y determine cuál podría ser el agrupamiento natural en
dos segmentos de recta. Determine qué valores de los datos pertenecen a cada gru-
po. Ajuste una recta de mínimos cuadrados a cada grupo y determine |y 2 Au|2 para
cada uno. Sume estas longitudes para obtener el número que representa la suma
de los cuadrados de las distancias de cada valor y de los datos al valor y del ajuste
por partes. Compare esto con el número obtenido en el subinciso i). ¿Es mejor este
ajuste por partes?

464 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

iii) Continúe el experimento con diferentes agrupaciones de datos. ¿Hay alguno para el
que el ajuste por partes sea mejor?

iv) Para el mejor ajuste por partes, determine la información que se proporciona sobre
los niveles de desprendimiento y el desplazamiento horizontal [vea el subinciso i)].

c) Escriba un informe para la compañía petrolera resumiendo su conclusión y sus reco-
mendaciones.

Nota. El método descrito viene de un artículo titulado “Excess Area and Depth to Deta-
chment” de Jean-Luc Epard y Richard Groshong, Jr., publicado en el American Associa-
tion of Petroleum Geologists Bulletin, agosto de 1993 (el artículo estudia también la manera
en que un ajuste cuadrático, para los datos del área de exceso contra la profundidad del
nivel de referencia, indicaría una compresión).

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones

Esta sección utiliza los conocimientos sobre las propiedades elementales de los números com-
plejos (resumidas en el apéndice B) y requiere alguna familiaridad con el material del primer
año de cálculo.

En la sección 2.2 se vio cómo se podían multiplicar dos vectores en Rn para obtener un
escalar. Este producto escalar se denomina también producto interno. Otros espacios vectoriales
tienen productos internos definidos de formas diversas. Antes de ofrecer una definición general,
se observa que en Rn el producto interno de dos vectores es un escalar real. En otros espacios
(vea el ejemplo 6.3.2 siguiente) el resultado del producto interno es un escalar complejo. Por lo
tanto, para incluir todos los casos, en la siguiente definición se supone que el producto interno
es un número complejo.

D Definición 6.3.1

N Nota Espacio con producto interno

Si a P C tal que a 5 s 1 iv, Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno
entonces a– 5 s 1 iv. si para cada par ordenado de vectores u y v en V existe un número complejo
único ku, vl, denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en
V y a P C, entonces

iii) kv, vl $ 0

iii) kv, vl 5 0 si y sólo si v 5 0

iii) ku, v 1 wl 5 ku, vl 1 ku, wl

iiv) ku 1 v, wl 5 ku, wl 1 kv, wl

iiv) ku, vl 5 kv, ul

ivi) kau, vl 5 aku, vl
vii) ku, avl 5 a–ku, vl

La barra en las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si ku, vl es real, entonces ku, vl 5 ku, vl y se puede eliminar la barra en v).

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones 465

EJEMPLO 6.3.1 Un producto interno en Rn

Rn es un espacio con producto interno con (u, v) 5 u ? v. Las condiciones iii)-vii) están conte-
nidas en el teorema 2.2.1 de la página 64. Las condiciones i) y ii) están incluidas en la ecuación
6.1.9, página 418.

EJEMPLO 6.3.2 Un producto interno en Cn

Se definió un espacio vectorial en Cn en el ejemplo 5.1.12 de la página 300. Sean x 5 (x1, x2, . . . ,
xn) y y 5 (y1, y2, . . . , yn) en Cn (recuerde que esto significa que los elementos xi y yi son números

complejos). Entonces se define

kx, yl 5 x1 _ 1 x2 _ 1 . . . 1 xn _ (6.3.1)
y1 y2 yn

Para demostrar que la ecuación (6.3.1) define un producto interno se necesitan algunos hechos

sobre los números complejos. Si el lector no está familiarizado, consulte el apéndice B. Para i),

kx, xl 5 _ 1 _ 1 . . . 1 xn _ 5 |x1|2 1 |x2|2 1 . . . 1 |xn|2
x1x1 x2 x2 xn

Así, i) y ii) satisfacen ya que |xi| es un número real. Las condiciones iii) y iv) se deducen del hecho

de que z1(z2 1 z3) 5 z1z2 1 z–z11z–z32p5ar–za1–zcu2 ayle––zs1q5uize1radenúmmanereorsa complejos z1, z2 y z3. La condición v)
se deduce del hecho de que que x1 \1 5 x–1y1. La condición vi) es

obvia. Para vii) ku, avl 5 kav, ul 5 kav, X l 5 ak Y, X l 5 aku, vl. Aquí se usaron vi) y v).

EJEMPLO 6.3.3 Producto interno de dos vectores en C3

En R3 sean x 5 (1 1 i, 23, 4 23i) y y 5 (2 2i, 2i, 2 1 i). Entonces

kx, yl " (1 i) (2 i ) ( 3) ( i) (4 3i) (2 i)
" (1 i) (2 i) ( 3) (i) (4 3 i) (2 i)
" (1 3i) 3i (5 10i) " 6 10i

EJEMPLO 6.3.4 Un producto interno en C [a, b]

Suponga que a , b; sea V 5 C [a, b] el espacio de las funciones de valores reales continuas en † Cálculo
el intervalo [a, b] y defina

b (6.3.2)

kf, gl 5 µa f (t) g (t) dt

Se verá que esto también es un producto interno. N Nota

µi) ( f, f ) 5 b 2 (t) dt $ 0. Es un teorema básico del cálculo que si q P Ésta no es la única manera de definir
un producto interno sobre C [a, b], pero
f es la más común.
a

b

C [a, b], q $ 0 sobre [a, b] y µa q (t) dt 5 0, entonces q 5 0 sobre [a, b]. Esto prueba

i) y ii), iii)-vii) se deducen de los hechos básicos sobre integrales definidas.

Nota. En C[a, b] se supone que los escalares son números reales y que las funciones son de va-
lores reales, de manera que no nos preocupamos por los complejos conjugados; sin embargo, si
las funciones son de valores complejos, entonces de todas maneras se puede definir un producto
interno. Vea más detalles en el problema 6.3.27.

† El símbolo Cálculo indica que se necesita el cálculo para resolver el problema.

466 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

Cálculo EJEMPLO 6.3.5 El producto interno de dos funciones en C [0, 1]
Sea f (t) 5 t2 P C [0, 1] y g (t) 5 (4 2t) P C [0, 1]. Entonces

µ µk f, gl 512(42t ) dt 5 1 ( 4t 2 2 t 3 ) dt 5 © 4t 2 2 t4 ¹ 1 5 13
«ª 3 4 º» 0 12
t 0
0

D Definición 6.3.2

N Nota Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. Enton-
ces
Aquí se usa la doble barra en lugar de
una sola para evitar confusión con el ii) u y v son ortogonales si ku, vl 5 0.
valor absoluto. En el ejemplo 6.3.7,
||sen t || denota la norma de sen t como ii) La norma de u, denotada por ||u||, está dada por
un “vector” en C [0, 2 p] mientras que
|sen t| denota el valor absoluto de la ||u|| 5 ku, ul (6.3.3)
función sen t.

N Nota EJEMPLO 6.3.6 Dos vectores ortogonales en C2
En C2 los vectores (3, 2i) y (2, 6i) son ortogonales porque
La ecuación (6.3.3) tiene sentido ya
que (u, u) $ 0.

k(3, 2i), (2, 6i)l 5 3 ⋅ 2 + (−i) (6i) = 6 + (−i) (−6i) = 6 − 6 = 0

además || (3, 2i) || 5 3 ? 3 1 (2i)(i ) 5 10.

EJEMPLO 6.3.7 Dos funciones ortogonales en C [0, 2p]
En C [0, 2p] las funciones sen t y cos t son ortogonales, ya que

µ µksen t, cos tl 5 2p sen t cos t dt 5 1 2p sen 2t dt 52 cos 2t 2p 5 0

0 20 4 0

Además,

||sen t|| 5 ksen t, sen tl

1

µ5 ¬ 2p sen2 t dt½¾¼ 2
­®
0

1

µ5 ¬1 2 p (1 2 cos 2t ) dt¼½¾ 2
­®2 0

1

5 ¬1 «ª©t 2 sen 2t¹ 2p¼ 2
­®2 2 »º 0 ¾½

5p

Si se observan las demostraciones de los teoremas 6.1.1 y 6.1.2 de la página 419, se ve que no se
utilizó el hecho de que V 5 Rn. Los mismos teoremas se cumplen en cualquier espacio con pro-
ducto interno V. A continuación se enumeran, por conveniencia, después de dar una definición.

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones 467

D Definición 6.3.3 (6.3.4)
(6.3.5)
Conjunto ortonormal
El conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto ortonormal en V si

kvi, vjl 5 0 para i Z j
y

||vi|| 5 kv, vl 5 1

Si sólo (6.3.4) se cumple, se dice que el conjunto es ortogonal.

T Teorema 6.3.1

Cualquier conjunto finito de vectores ortogonales diferentes de cero en un espacio con
producto interno es linealmente independiente.

T Teorema 6.3.2

Cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno
se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt.
En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

EJEMPLO 6.3.8 Una base ortonormal P2[0, 1]

Construya una base ortonormal para P2[0,1]. Cálculo

Solución Se comienza con la base estándar {1, x, x2}. Como P2[0, 1] es un subespacio

µde C[0, 1], se puede usar el producto interno del ejemplo 6.3.4. Como 112 dx 5 1, se hace u1 5 1.

0

µDespués v92 5 v2 2 kv2, u1lu1. En este caso, kv2, u1l 5 1 ?1) dx 5 1. Así, ve2 5 x2 1 . 15 x 21.
2 2 2
(x

0

Luego se calcula

µ µx 2 1 ¬ 1 ©ª«x 2 21»¹º 2 ¼ 12– ¬ 01©ª«x2 2 x 1 41»¹º 2 ¼ 2–1 151
­ 0 dx½ ­ dx½ 12 2 3
2 5 5 5
¾ ¾
® ®

Entonces u2 5 2 3 x215 3 (2x 21). Así
2

v93 5 v3 2 kv3, u1lu1 2 kv3, u2lu2

µSe tiene kv3, u1l 5 1x2 dx 5 1 y
03

3 1x2 (2x 21) dx 5 1 3 x2 3
µ µkv3, u2l 5 3 2 ) dx 5
(2x
0 06

Así,

ve3 5 x2 2 1 2 3 ¬® 3 (2 x 2 1)¾¼ 5 x 2 2 x 1 1
3 6 6

468 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

y

µ¬ 01©«ªx2 2 x 1 61º»¹ 2 ¼ 2–1
dx½
||ve3|| 5 ­
® ¾

µ5 ¬ 01 ©«ª x 4 2 2x3 1 4 x2 1 x 1 316»º¹ dx½¾¼ 21–
­® 3 3

5 ¬© x5 2 x4 1 4x3 2 x2 1 x¹ 1¼ –12
­®ª« 5 2 9 6 36º» ½
0¾

5 1 51
180 6 5

Entonces u3 5 6 5 «©ªx2 2 x 1 61»¹º 5 5 (6x2 2 6x 1 1). Por último, una base ortonormal es
{1, 3(2x 2 1), 5 (6x2 2 6x 1 1)}.

EJEMPLO 6.3.9 Un conjunto ortonormal infinito C [0, 2p]

Cálculo En C [0, 2p], el conjunto infinito

S 5 ¯ 1, 1 sen x, 1 cos x, 1 sen 2x, 1 sen 2x, . . . , 1 sen nx, 1 cos nx, . . .À¿
° 2p p p p p p p Á
±

es un conjunto ortonormal. Esto es cierto, ya que si m Z n, entonces

2p 2p 2p

µ0 sen mx cos nx dx 5 µ0 sen mx sen nx dx 5 µ0 cos mx cos nx dx 5 0

Para probar una de estas igualdades se observa que

µ µ2p sen mx cos nx dx 5 1 2p
0 20
[sen (m 1 n)x 1 sen (m 2 n)x] dx

521 ¬cos (m 1 n)x 1 cos (m 2 n)x¼ 2p
2 ­ m1n ½ 0
® m2n ¾

50

ya que cos x es periódica con periodo 2p. Se vio que ||sen x|| 5 p . Así, || © 1¹ sen x|| 5 1.
ª« p »º

Las otras igualdades se deducen de forma similar. Este ejemplo proporciona una situación en la

que tenemos un conjunto ortonormal infinito. De hecho, aunque esto está más allá del alcance

elemental de este libro, es cierto que algunas funciones en C[0, 2p] se pueden expresar como

combinaciones lineales de las funciones en S. Suponga que f P C[0, 2p]. Después, si se escribe

f como una combinación lineal infinita de los vectores en S, se obtiene lo que se denomina la

Representación representación por series de Fourier de f.
por series de
Fourier

D Definición 6.3.4

Proyección ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con una base ortonormal
{u1, u2, . . . , uk}. Si v P V, entonces la proyección ortogonal de v sobre H denotada por
proyH v está dada por

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones 469

proyH v 5 kv, u1lu1 1 kv, u2lu2 1 . . . 1 kv, ukluk (6.3.6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn de-
mostrados en la sección 6.1.

T Teorema 6.3.3

Sea H un subespacio de espacio de dimensión finita con producto interno V. Suponga que
H tiene dos bases ortonormales {u1, u2, . . . , uk} y {w1, w2, . . . , wk}. Sea v P V. Entonces

kv, u1lu1 1 kv, u2lu2 1 . . . 1 kv, ukluk 5 kv, w1lw1 1 kv, w2lw2 1 . . . 1 kv, wklwk

D Definición 6.3.5

Complemento ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento
ortogonal de H, denotado por H', está dado por

H' 5 {x P V: (x, h) 5 0 para toda h P H} (6.3.7)

T Teorema 6.3.4

Si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces
iii) H' es un subespacio de V.
iii) H y H' 5 {0}.
iii) dim H' 5 n 2 dim H si dim V 5 n , q.

T Teore ma 6. 3.5 Teorema de proyección

Sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga
que v P V. Entonces existe un par único de vectores h y p tales que h P H, p P H', y

v5h1p (6.3.8)

donde h 5 proyH v.
Si V tiene dimensión finita, entonces p 5 proyH' v.

Observación. Si se estudia la prueba del teorema 6.1.7, se verá que (6.3.8) se cumple incluso si

V tiene dimensión infinita. La única diferencia es que si la dimensión de V es infinita, entonces
H' tiene dimensión infinita (porque H es de dimensión finita); por consiguiente, proyH' v no
está definida.

470 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

T Teore m a 6. 3.6 Teorema de aproximación de la norma

Sea H un subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial V con producto in-
terno, y sea v un vector en V. Entonces, proyH v es la mejor aproximación de v por un
elemento en H en el sentido siguiente: si h es cualquier otro elemento de H, entonces

||v 2 proyHv|| , ||v 2 h|| (6.3.9)

Cálculo EJEMPLO 6.3.10 Cálculo de una proyección sobre P2[0, 1]

Como P2[0, 1] es un subespacio de dimensión finita de C [0, 1], se puede hablar de proyP2[0, 1] f si
f P C [0, 1]. Si f (x) 5 ex, por ejemplo, se calcula proyP2[0, 1]ex. Como {u1, u2, . . . , un} 5 {1, 3
(2x 21), por el ejemplo 6.3.8, 5 /(6x2 26x 1 1)} es una base ortonormal en P2[0, 1], y se tiene

proyP2[0, 1] ex 5 kex, 1l 1 1 kex, 3 (2x 2 1)l 3 (2x 2 1)
1 kex, 5 (6x2 2 6x 1 1)l 5 (6x2 2 6x 1 1)

µ µPero pueden ahorrarse los cálculos. Usando el hecho de que 1ex dx 5 e 2 1, 1xex dx 5 1 y
00

µ 1x2ex dx 5 e 2 2, se obtiene kex, 1l 5 e 2 1, kex, 3 (2x 2 1)l 5 3 (3 2 e), y kex, 5 (6x2 2
0

6x 1 1)l 5 5 (7e 2 19). Por último

proyP2[0, 1] ex 5 (e 2 1) 1 3 (3 2 e) 3 (2x 2 1)
1 5 (7e 2 19) ( 5 ) (6x2 2 6x 1 1)

5 (e 2 1) 1 (9 2 3e) (2x 2 1)
1 5(7e 2 19) (6x2 2 6x 1 1)

< 1.01 1 0.85x 1 0.84x2

Se concluye la presente sección con una aplicación del teorema de aproximación de la
norma.

Aproximación por mínimos cuadrados a una función
continua

Sea f P C[a, b]. Se quiere aproximar f por un polinomio de grado n. ¿Cuál es el polinomio que
hace esto con el menor error?

Con el fin de responder a esta pregunta, debe definirse el error. Existen muchas maneras
diferentes de definir el error. A continuación se dan tres:

Error máximo 5 máx | f (x) 2 g (x) | para x P[a, b] (6.3.10)
(6.3.11)
b (6.3.12)

Error de área 5 µa | f (x) 2 g(x) | dx

µError cuadrático medio 5 b f (x) 2 g (x) |2 dx

|
a

EJEMPLO 6.3.11 Cálculo de errores
Sean f (x) 5 x2 y g(x) 5 x3 sobre [0, 1]. En x2 $ x3, de manera que |x2 2 x3| 5 x2 2 x3. Entonces

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones 471

y 5 x2 y
y 5 x3 y 5 x2

(1, 1)
Error de área

0x

y 5 x3

Figura 6.8

Ilustración del error de área.

iii) Error máximo 5 máx(x2 2 x3). Para calcular esto, se calcula d (x2 2 x3) 5 2x 23x2 Cálculo
dx
5 x(2 23x) 5 0 cuando x 5 0yx5 2 . El error máximo ocurre cuando x 5 2 y está

33

­®¬©ª« 23¹»º 2 «ª© 23»¹º 3 ¼ 4 8 4
½ 9 27 27
dado por 2 ¾ 5 2 5 < 0.148 .

µiii) 1(x2 2 x3 5 © x3 2 x4 ¹ 1 5 1 2 1 5 1 < 0.083. La figura 6.8 ilus-
Error de área 5 ) dx «ª 3 4 »º 0 3 4 12
tra esto. 0

1(x2 2 x3 )2 dx 5 1 4 2 2x5 1 x6 © x5 x6 x7 ¹
ª« 5 3 7 »º
0 (
µ µiii) Error cuadrático medio 5 0 x ) dx 5 2 1

1 2 1 2 1 1 1 5 1 < 0.00952.
0 5 3 7 105

Las medidas de error son útiles. El error cuadrático medio se utiliza en estadística y en
otras aplicaciones. Se puede usar el teorema de aproximación de la norma para encontrar el
polinomio único de grado n que se aproxima a una función continua dada con el error cuadrá-
tico medio más pequeño.

Del ejemplo 6.3.4, C[a, b] es un espacio con producto interno con

µb (6.3.13)

k f , gl 5 f (t)g (t) dt
a

Para todo entero positivo, n, Pn[a, b], el espacio de polinomios de grado n definidos sobre [a, b],
es un subespacio de dimensión finita de C [a, b]. Se puede calcular, para f P C [a, b] y pn P Pn,

µ|| f 2 pn ||2 5 k f 2 pn, f 2 pnl 5 b

a [k f (t) 2 pn(t) ( f (t) 2 pn(t)l] dt

µ5 b f (t) 2 pn(t) |2 dt 5 error cuadrático medio

|

a

Así, por el teorema 6.3.6,

El polinomio de grado n que se aproxima a una función continua con el error cuadrá-
tico medio más pequeño está dado por

pn 5 proyPnf (6.3.14)

472 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

EJEMPLO 6.3.12 La mejor aproximación cuadrática media a ex
Del ejemplo 6.3.10, el polinomio de segundo grado que mejor se aproxima a ex sobre [0, 1], en
el sentido del error cuadrático medio, está dado por

p2(x) ≈ 1.01 1 0.85x 1 0.84x2

R Resumen 6.3 (p. 464)

• Espacio con producto interno (p. 464)
(p. 465)
El espacio vectorial complejo V se llama un espacio con producto interno si para cada par de vec- (p. 466)
tores u y v en V existe un número complejo único (u, v) denominado el producto interno de u y v,
tal que si u, v y w están en V y a P C, entonces (p. 468)
iii) (v, v) $ 0 (p. 469)
iii) (v, v) = 0 si y sólo si v 5 0
iii) (u, v + w) = (u, v) + (u, w)

iv) (u + v, w) " (u, w) (v, w)
iiv) (u, v) " (v, u)
vi) (F u, v) " F(u, v)
vii) (u, Fv) " F(u, v)
• Producto interno en Cn

(x, y) 5 x1 \ 1 1 x2 \ 2 1 . . . 1 xn \ n
• Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. Entonces

u y v son ortogonales si ku, vl 5 0
• La norma de u, denotada por ||u||, está dada por

|u|| 5 (u, u)

• Conjunto ortonormal

El conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto ortonormal en V si
(vi, vj) 5 0 para i Z j

y
||vi|| 5 (vi , vi ) 5 1

Si sólo se cumple la primera condición, entonces se dice que el conjunto es ortogonal.

• Proyección ortogonal

Sea H un subespacio vectorial con producto interno V con una base ortonormal {u1, u2, . . . , uk}.
Si v P V, entonces la proyección ortogonal de v sobre H, denotada por proyH v, está dada por

proyH v 5 kv, u1lu1 1 kv, u2lu2 1 . . . 1 kv, ukluk
• Complemento ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal de
H, denotado por H', está dado por

H' 5 {x P V: (x, h) 5 0 para toda h P H}

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones 473
(p. 469)
• Si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces
iii) H' es un subespacio de V. (p. 469)
iii) H y H' 5 {0}.
iii) dim H' 5 n 2 dim H si dim V 5 n , q. (p. 469)

• Teorema de proyección

Sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que
v P V. Entonces existe un par único de vectores h y p tales que h P H, p P H', y

v5h1p
donde h 5 proyH v.

Si V tiene dimensión finita, entonces p 5 proyH' v.

• Teorema de aproximación en norma

Sea H un subespacio de dimensión finita de un espacio con producto interno V y sea v un vector
en V. Entonces, en H, proyH v es la mejor aproximación a v en el sentido siguiente: si h es cual-
quier otro vector en H, entonces

|v 2 proyH v| , |v 2 h|

A AUTOEVALUACIÓN 6.3

Complete las siguientes afirmaciones con el inciso correcto.
III) En C [0, 1], (x, x3) 5 ________.

a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1
2 3 45 6

III) En C [0, 1], ||x2||2 5 ________. e) 1
6
a) 1 b) 1 c) 1 d) 1
2 3 45 e)

III) En C2, k(1 1 i, 2 23i), (2 2i, 21 1 2i)l 5 ________.

a) b) c) d)

IV) En C2, ||(1 1 i, 2 23i)|| 5 ________.

a) b) 15 c) d) 7 e)

Indique si los enunciados siguientes son falsos o verdaderos.

IV) Si H es un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y si
v P V, entonces existen vectores h P H y p P H' tales que v 5 h 1 p.

VI) En el problema V, h 5 proyH v y p 5 proyH' v.

Respuestas a la autoevaluación

I) d) II) d) III) a) IV) c) V) V
VI) F (verdadero sólo si dim V es finita)

474 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

MANEJO DE LA CALCULADORA 6.3
Muchos de los cálculos de esta sección pueden realizarse con la calculadora HP 50g. En
particular, esta calculadora puede realizar aritmética compleja y aproximar integrales
definidas.
Para calcular una integral definida es necesario tener en la pila la siguiente informa-
ción: el límite inferior (renglón 4), el límite superior (renglón 3), el integrando (renglón
2) y la variable de integración (renglón 1). Una vez que se tienen todos los datos en la
pila, se oprime el botón de la función de integrar que es X. Por ejemplo, si que-
remos resolver

µ 1(x4 2 2x5 1 x6 ) dx
0

la secuencia de teclas que deben oprimirse es la siguiente:
6 6 QN* QN*

QN* 6QN6

con lo que se obtiene

Para evaluar la integral oprimimos X, con lo que se obtiene el resultado.

Problemas 6.3

1. Sea Dn el conjunto de las matrices diagonales de n 3 n con componentes reales bajo las
operaciones usuales de matrices. Si A y B están en Dn, defina
(A, B) 5 a11b11 1 a22b22 1 . . . 1 annbnn
Pruebe que Dn es un espacio con producto interno.

2. Si A P Dn, demuestre que ||A|| 5 1 si y sólo si a121 1 a222 1 . . . 1 an2n 5 1.
3. Encuentre una base ortonormal para Dn.

6.3 Espacios con producto interno y proyecciones 475

4. Encuentre una base ortonormal para D2 comenzando con ¥2 0´ y B ¥
3 0´
A ¦§ 0 1¶µ ¦§ 0 4¶µ .

5. En C2 encuentre una base ortonormal comenzando con la base (1, i), (2 2i, 3 1 2i).

6. Encuentre una base ortonormal para P3[0, 1]. Cálculo
Polinomios
7. Encuentre una base ortonormal para P2[21, 1]. Los polinomios que se obtienen se deno-
minan polinomios normalizados de Legendre. normalizados
de Legendre
8. Encuentre una base ortogonal para P2[21, 1] si el producto interno está definido como
Cálculo
kUn, Uml µ1 U n (x )U m (x ) 12 x2 dx Polinomios de
Tchebyshev
21
de segunda clase
con Un(x) y Um(x) elementos de P2[21, 1]. Los polinomios que se obtienen se denominan Traza de
polinomios de Tchebyshev de segunda clase.
una matriz
9. Encuentre una base ortonormal de polinomios para P2[a, b], a , b, con el producto interno
definido en la ecuación (6.3.2). Cálculo
Desigualdad de
10. Si A 5 (aij) es una matriz real de n 3 n, la traza de A, que se escribe tr A, es la suma de las Cauchy-Schwarz
componentes de la diagonal de A: tr A 5 a11 1 a22 1 . . . 1 ann. En Mnn defina kA, Bl 5 Desigualdad
tr (AB^). Demuestre que con este producto interno Mnn es un espacio con producto in- del triángulo
terno.

11. Si A P Mnn, demuestre que ||A||2 5 tr(AA^) es la suma de los cuadrados de los elementos
de la diagonal principal de A. [Nota. Aquí ||A|| 5 kA, Al , utilice la notación del proble-
ma 10.]

12. Encuentre una base ortonormal para M22.

13. Se puede pensar en el plano complejo como en un espacio vectorial sobre los reales con
vectores básicos 1, i. Si z 5 a 1 ib y w 5 c 1 id, defina kz, wl 5 ac 1 bd. Demuestre que
éste es un producto interno y que ||z|| es la longitud usual de un número complejo.

14. Sean a, b y c tres números reales distintos. Sean p y q elementos de P2 y defina kp, ql 5 p(a)
q(a) 1 p(b)q(b) 1 p(c)q(c).

15. En R2, si x 5 © x1 ¹ y y 5 © y1 ¹ , sea (x, y)* 5 x1y1 1 3x2 y2. Demuestre que (x, y) es un pro-
ª x2 º ª y2 º
« » « »

ducto interno en R2.

16. Con el producto interno del problema 14, calcule © 2¹ *
«ª23º» .

17. Considere R2, si Q P R232 tal que Q 5 Q^. Ecuentre condiciones sobre los elementos de Q
para que kx, yl* 5 x^Q y sea un producto interno en R2.

18. En R sea (x, y) 5 x1y1 2 x2y2. ¿Es éste un producto interno? Si no lo es ¿por qué?

19. Sea V un espacio con producto interno. Demuestre que |ku, vl| 5 ||u|| ||v||. Ésto se denomina
desigualdad de Cauchy-Schwarz. [Sugerencia: Vea el teorema 6.1.9 de la sección 6.1.]

20. Utilizando el resultado del problema 19, demuestre que ||u 1 v|| # ||u|| 1 ||v||. Ésta se deno-
mina desigualdad del triángulo.

21. En P3[0, 1] sea H el subespacio generado por {1, x2}. Encuentre H'.

476 CAPÍTULO 6 Espacios vectoriales con producto interno

22. En C [21, 1] sea H el subespacio generado por las funciones pares. Demuestre que H'
consiste en las funciones impares. [Sugerencia: f es impar si f (2x) 5 2f (x) y es par si
f (2x) 5 f (x).]

23. H 5 P2[0, 1] es un subespacio de P3[0, 1]. Escriba el polinomio 1 1 2x 1 3x2 2x3 como
h(x) 1 p(x), donde h(x) P H y p(x) P H'.

*24. Encuentre un polinomio de segundo grado que mejor se aproxime a sen p en el intervalo
[0, 1] en el sentido del error cuadrático medio. [

25. Resuelva el problema 24 para la función cos «©ª p xº»¹ .
2

Matriz 26. Sea A una matriz de m 3 n con elementos complejos. Entonces la transpuesta conjugada
transpuesta de A, denotada por A*, está definida por (A*)ij 5 —aij. Calcule A* si

conjugada

A 5 © 3 1 i 2 28i ¹
ǻ 3 28i ȼ

Cálculo 27. Sea A una matriz invertible de n 3 n con elementos complejos. A se denomina unitaria si
Matriz unitaria A21 5 A*. Demuestre que la siguiente matriz es unitaria:

⎛1 − 1 + i⎞
2
⎜ 2 2 ⎟
A=⎜ ⎟
⎜1 1 i ⎟
⎝⎜ 2 2 − 2 ⎠⎟

Cálculo 28. Se dice que una función f es de valor complejo sobre el intervalo (real) [a, b] si f (x) se
Valor complejo puede expresar como

Función de f (x) 5 f1(x) 1 if2(x), x P [a, b]
valor complejo
donde f1 y f2 son funciones de valores reales. La función de valor complejo f es continua si
continua f1 y f2 son continuas. Sea CV[a, b] el conjunto de funciones de valores complejos que son
continuas en [a, b]. Para f y g en CV[a, b], defina
Cálculo
µk f, gl 5 b (6.3.15)

f (x)g(x) dx
a

Demuestre que (6.3.15) define un producto interno en CV [a, b].

29. Demuestre que f (x) 5 sen x 1 i cos x y g(x) 5 sen x 2 i cos x son ortogonales en CV[0, p].

Funciones de EJERCICIOS CON MATLAB 6.3
valor complejo
En MATLAB, si la matriz A tiene elementos complejos, A' produce la transpuesta conjugada
ortogonales compleja. Así, si u y v son vectores en Cn, se pueden representar por matrices de n 3 1 con ele-
mentos complejos y ku, vl se calcula con v'*u y |u| se calcula con norm(u) o sqrt(u'*u).

En MATLAB se construye la variable i para representar el número imaginario 21.
MATLAB reconoce i como tal siempre que no se haya usado para otro propósito.

Para n dada, si se quiere generar un vector aleatorio en Cn, dé

v 5 2*rand(n,1)-1 1 i*(2*rand(n,1)–1)

1. Genere cuatro vectores aleatorios en C4. Encuentre la base ortonormal para el espacio
generado por estos vectores utilizando el proceso de Gram-Schmidt. Verifique que el con-