Soal-soal Trigonometri

KUMPULAN
60 SOAL & PEMBAHASAN
TRIGONOMETRI

ISBN 978-623-93416-3-3

PENULIS:

Imam Khoirudin
Rizki Wahyu Yunian Putra, M.Pd

CETAKAN PERTAMA, MEI 2020
Diterbitkan oleh :
CV. Madani Jaya

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
All ringh reserved

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahi robbil ‘alamin. Segala puji bagi Allah SWT
yang telah menganugrahkan begitu banyak nikmat kepada
hambanya. Sehingga sejak dari awal buku ini ditulis Allah SWT
masih memberikan nikmat yang luar biasa bagi penulis sampai
terbentuknya buku ini yang mudah – mudahan dapat memberi
banyak manfaat bagi para pembaca dan calon – calon generasi
penerus bangsa.

Matematika merupakan ilmu pengetahuan murni yang terdiri
atas puluhan cabang ilmu. Menurut ahli matematika Morris Klein
sebagaimana dikutip Dali S. Naga (1980), Tidak kurang dari delapan
puluhan cabang besar matematika seperti : berhitung, aljabar,
geometri, stereometri, analisis, vektor, probabilitas, teori tepologi,
statistika, kalkulus dan trigonometri. Cabang matematika terakhir ini
berkaitan erat dengan beberapa ilmu terapan seperti Astronomi dan
navigasi serta ilmu ukur pada umumnya (Geometri dan Stereometri),
kalkulus, fisika, teknik dan komputer.

Buku ini dihimpun dan diurai sesuai dengan pengalaman penulis
selama menempuh pendidikan formal maupun non formal. Buku ini
juga disusun dengan tujuan agar dapat mempermudah pemahaman
bagi para pembaca terutama pada materi trigonometri. dimana
menurut pengalaman penulis pribadi, trigonometri merupakan salah
satu materi matematika yang paling susah untuk difahami baik

ii

ditingkat sekolah menengah bahkan dalam lungkungan perkuliahan
sekalipun.

Tentu saja penulis mengakui disana – sini masih banyak
kekurangan dan kesalahan pada penulisan buku ini, baik dari sisi
materi, cara penyajian maupun penulisannya. Oleh karena itu,
sudilah kiranya bagi para pembaca, terutama kepada guru penulis
pribadi untuk memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan
buku ini.

Penutup, penulis pribadi sangat bersyukur kepada Allah SWT
yang telah memberikan kekuatan dan kesempatan bagi penulis untuk
menyelesaikan buku ini. Terutama ucapan terimakasih yang sebesar
– besarnya kepada kedua orangtua penulis, yakni ibunda Siti
Maisaroh dan ayahanda Sudarwo yang selalu memberikan
dukunganya setiap waktu dan setiap saat. Dan juga kepada ketiga
saudara kandung penulis, M Nur Saifan, Syifaul ‘Asyiqoh.alm dan
Latifah Qothrunnada. Begitu juga kepada guru – guru dan rekan –
rekan sekalian saya ucapkan terimakasih. Mudah – mudahan buku
ini dapat memberikan manfaat bagi siapapun yang membacanya.

Lampung, 18 Mei 2020
Hormat Penulis

Imam Khoirudin

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR............................................................. ii
DAFTAR ISI............................................................................ iv

1 FUNGSI TRIGONOMERI

1.1 Fungsi Sinus dan Cosinus........................................... 1
1.2 Fungsi Tangen ............................................................ 4
1.3 Fungsi Trigonometri Kebalikan.................................. 5
1.4 Nilai Fungsi Trigonometri di Berbagai Kwadran ...... 7
1.5 Nilai Fungsi Trigonometri untuk Sudut Istimewa....... 9
1.6 Identitas Trigonometri ................................................ 10

2 FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT –
SUDUT YANG SALING BERELASI

2.1 Nilai Sudut Negatif untuk Fungsi Trigonometri ......... 11
2.2 Fungsi Trigonometri untuk Sudut αo dan (90 – α)o ... 12
2.3 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (90 + α)o dan
13
(180 – α)o....................................................................
2.4 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (180 + α)o dan 14

(270 – α)o ................................................................... 15
2.5 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (270 + α)o dan 15

(360 – α)o....................................................................
2.6 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (k.360 + α)o..........

3 RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

3.1 Sistem Koordinat Kutub.............................................. 16
3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut ........................ 17

iv

4 RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT
PERTENGAHAN

4.1 Rumus Sudut Rangkap ................................................ 18
4.2 Rumus Sudut Pertengahan.......................................... 18

5 RUMUS SUDUT LIPAT DAN RUMUS PANGKAT

5.1 Rumus Sudut Lipat ...................................................... 19
5.2 Rumus Pangkat Sinus dan Cosinus............................. 20

6 RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN

6.1 Rumus Penjumlahan ................................................... 21
6.2 Rumus Perkalian......................................................... 21

7 ATURAN SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

7.1 Aturan Sinus................................................................ 22
7.2 Aturan Cosinus ........................................................... 22
7.3 Luas Segitiga............................................................... 22
7.4 Rumus Gauss............................................................... 23
7.5 Garis – garis Istimewa dan Lingkaran dalam Segitiga 24

8 PERSAMAAN TRIGONOMETRI

8.1 Persamaan untuk Sinus............................................... 28
8.2 Persamaan untuk cosinus ........................................... 28
8.3 Persamaan untuk Tangent .......................................... 29
8.4 Persamaan Bentuk a cos x + b sin x = c .................... 29

Kumpulan Soal dan Pembahasan ............................................. 30
Daftar Pustaka .......................................................................... 119
Glosarium.................................................................................. 120

v



FUNGSI TRIGONOMERI

1.1 Fungsi Sinus dan Cosinus
Fungsi pada aljabar didefinisikan sebagai relasi khusus yang

setiap anggota himpunan A memetakan tepat satu anggota himpunan
B. Anggota himpunan A disebut daerah asal fungsi (domain),
anggota himpunan B disebut himpunan kawan (ko-domain) dan
anggota himpunan A yang dihubungkan dengan anggota himpunan
B disebut daerah hasil (range). Perhatikan gambar di bawah ini
untuk memahami perbedaan antara fungsi dan bukan fungsi!

AB Fungsi AB
** AB **
** **
** ** **
**
AB ** AB
** **
** Bukan Fungsi **
** AB **
**
**
**

Gambar 1.1

1

Perhatikan gambar di bawah ini!
Y

. Q (6,8)

. P (3,4)

 Q1 X
O P1

Gambar 1.2

Jika titik P dan Q terletak pada ruas garis ̅O̅̅Q̅ maka OP = r1 = 5

dan OQ = r2 = 10. Untuk  POP1 =  QOQ1 = , maka nilai

perbandingan pada  POP1 dan  QOQ1 sama, yaitu 4 dan 180.
5

Begitu juga pada . Maka dengan kata lain untuk nilai  yang sama

akan menghasilkan perbandingan yang sama begitu juga sebaliknya.

2

Perhatikan diagram di bawah ini! A g B
Af B 1 b1
1 a1 2 b2
2 a2 3 b3
3 a3  b
a

Gambar 1.3

Dari diagram panah di atas terlihat bahwa fungsi f memetakan

 ke a didefinisikan fungsi g. Fungsi f yang menyatakan nilai

perbandingan untuk  disebut Fungsi Sinus atau ditulis sin  = ,


sedangkan fungsi g yang menyatakan nilai perbandingan untuk 



disebut Fungsi Cosinus atau ditulis cos  = .

Maka dapat didefinsikan sinus dan cosinus sebagai berikut :

Sinus sudut  =


Cosinus sudut  =


3

1.2 Fungsi Tangen

Perbandingan dan ditentukan oleh , maka perbandingan


juga ditentukan oleh nilai . Untuk nilai  yang berbeda maka nilai

perbandingan juga berbeda.


Perhatikan diagram di bawah ini.

AhB

1 c1
2 c2
3 c3
c

Gambar 1.5

Diagram panah di atas terlihat bahwa fungsi h memetakan  ke
c sehingga dikatakan bahwa fungsi h yang menyatakan nilai
perbandingan untuk  disebut Fungsi Tangen atau ditulis



tan  = .

4

1.3 Fungsi Trigonometri Kebalikan

Selain ketiga fungsi di atas, kita juga mengenal fungsi

trigonometri lain yaitu: Secant (sec), Cosecant (csc) dan Cotangent

(cot). Ketiga fungsi ini disebut sebagai fungsi kebalikan sebagai

berikut : =
sec 
csc 
cot  =


=


Sehingga dari keenam definisi fungsi trigonometri dapat kita

lihat bahwa terdapat hubungan antara satu dan lainya yang sering

disebut dengan rumus kebalikan. Sebagai berikut :

sin  = 1 
csc

cos  = 1 
sec

tan  = 1 
cot

Ataupun dapat juga berupa :

csc  = 1 
ses  sin
cot 
= 1 
cos

= 1 
tan

5

Sehingga didapatkan rumus perbandingan nya adalah :

tan  = sin 
cos 

cot  = cos 
sin 

Dari semua persamaan di atas dapat diturunkan identitas –
identitas berikut:1

sin2  + cos2  = 1
sec2  + tan2  = 1
csc2  + cot2  = 1

1 Sinaga, bornok, dk. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Semester 2
(Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014). h. 66.

6

1.4 Nilai Fungsi Trigonometri di Berbagai Kwadran
Perhatikan gambar di bawah ini :

P(x,y) P(-x,y)

ao ao
O ao di kwadran I
ao di kwadran II O
ao ao

OO

P(-x,-y) P(x,-y)
ao di kwadran III ao di kwadran IV

Gambar 1.6
Melihat gambar di atas kita dapat menentukan tanda fungsi
dengan menggunakan rumus perbandingan terhadap  yang sudah
dibahas sebelumnya untuk setiap kwadran nya.

7

Jika αo di kwadran I atau x positif dan y positif, maka :

sin αo = (positif) csc αo = (positif)


cos αo = (positif) sec αo = (positif)


tan αo = (positif) cot αo = (positif)


Begitu juga untuk kwadran II, kwadran III dan kwadran IV.

Dengan demikian, maka tanda fungsi trigonometri dapat

diringkas dalam tabel berikut :2

αo sin αo cos αo tan αo

di kwadran csc αo sec αo cot αo

I Positif Positif Positif

II Positif Negatif Negatif

III Negatif Negatif Positif

IV Negatif Positif Negatif

2 Stewart, james. Redlin, lothan, and waston, saleem. 2010. Precalculus
Mathematics for Calculus. 8th ed. Belmonth, CA: Brook/Cole, Cengege Learning.
h. 380.

8

1.5 Nilai Fungsi Trigonometri untuk Sudut Istimewa
Sudut – sudut istimewa 30o, 45o dan 60o nilai fungsi

trigonometri dapat dicari pada segitiga berikut :
a. Sudut istimewa 30o

sin 30o = 1 csc 30o =2
2 sec 30o
1 cot 30o 2
2 1 cos 30o = 2 ඥ3 = ξ3

30o tan 30o = 1 = ඥ3
ඥ3 ξ3

b. Sudut istimewa 60o

sin 60o = 1 ඥ3 csc 60o = 2
2 ξ3
2 ඥ3
cos 60o =1 sec 60o = 2
60o
1 2
tan 60o = ඥ3 cot 60o = 1
c. Sudut istimewa 45o ξ3

sin 45o = 1 ඥ2 csc 45o = ඥ2
2
ඥ2 1 cos 45o = 1 ඥ2 sec 45o = ඥ2
45o
2

tan 45o = 1 cot 45o = 1

1

9

Selanjutnya sudut 0o dan 90o. Untuk sudut 0o berarti r berimpit

dengan sumbu X atau r = x, sedangkan y = 0, sehingga :

sin 0o = 0 csc 0o =
0

= 0 = tidak tedefinisi

cos 0o = sec 0o =


=1 =1

tan 0o = 0 cot 0o =
0

= 0 = tidak tedefinisi

Untuk sudut 90o berarti r berimpit dengan sumbu Y atau r = y,

sedangkan x = 0, sehingga :

sin 90o = csc 90o =



=1 =1
cos 90o= 0 sec 90o =

0

=0 = tidak terdefinisi
tan 90o = csc 90o = 0

0

= tidak terdefinisi =0

1.6 Identitas Trigonometri

Identitas dalam trigonometri merupakan bentuk kesamaan

antara ruas kiri dengan ruas kanan. Pembuktian kesamaan ini
merupakan kemantapan rumus – rumus yang sudah dijelaskan pada

materi sebelumnya. Pembuktian dilakukan dengan menjabarkan atau

menguraikan bentuk ruas kiri ataupun ruas kanan hingga keduanya

ekuivalen.

10

FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT – SUDUT
YANG SALING BERELASI

2.1 Nilai Sudut Negatif untuk Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar di bawah ini :

- αo
r

P (x, -y) k
Gambar 2.1

Dari gambar di atas dapat dientukan :

sin (-α)o = − csc (-α)o =
−

= - sin αo = - csc αo

cos (-a)o = sec (-a)o =



= cos αo = sec αo

tan (-α)o = − cot (-α)o =

−

= - tan αo = - cot αo

11

2.2 Fungsi Trigonometri untuk Sudut αo dan (90 – α)o

Perhatikan gambar di bawah ini! C

r
y

αo xB
A

sin αo = csc αo =
sec αo
cot αo
cos αo = =


tan αo = =


Selanjutnya kita perhatikan  C atau sudut (90 – α)o. Dari sudut

ini nilai fungsi trigonometri dapat ditentukan sebagai berikut :

sin (90 – α)o = csc (90 – α)o =



cos (90 – α)o = sec (90 – α)o =



tan (90 – α)o = cot (90 – α)o =



Dengan demikian dapat kita hubungkan sudut – sudut yang

berelasi sebagai berikut : csc (90 – α)o = sec αo
sin (90 – α)o = cos αo sec (90 – α)o = csc αo
cos (90 – α)o = sin αo cot (90 – α)o = tan αo
tan (90 – α)o = cot αo

12

2.3 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (90 + α)o dan (180 – α)o
Sudut (90 + α)o dan (180 – α)o merupakan sudut – sudut yang

berelasi di kwadran II. Pada rumus 2.1 dan 2.2 gunakan rumus sudut
negatif dengan mengganti + αo menjadi – (– α)o sehingga diperoleh:

sin (90 + α)o = sin [90 – (– α)]o csc (90 + α)o = csc [90 – (– α)]o

= cos (– α)o = sec (– α)o

= cos αo = sec αo

cos (90 + α)o = cos [90 – (– α)]o sec (90 + α)o = sec [90 – (– α)]o

= sin (– α)o = csc (– α)o

= – sin αo = – csc αo

tan (90 + α)o = tan [90 – (– α)]o cot (90 + α)o = cot [90 – (– α)]o

= cot (– α)o = tan (– α)o

= – cot αo = – tan αo

Selanjutnya untuk mencari sin (180 – α)o lakukan cara yang
sama ubahlah ke bentuk sin [90 + (90 – α)]o, sehingga dieroleh :

sin (180 – α)o = sin [90 + (90 – α)]o
= cos (90 – α)o
= sin αo

Begitu juga seterusnya untuk fungsi trigonometri yang lainya.

13

2.4 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (180 + α)o dan (270 – α)o
Sudut (180 + α)o dan (270 – α)o merupakan sudut – sudut yang

berelasi di kwadran III. Dengan mengubah bentuk (180 + α)o
menjadi [180 – (– α)]o dan menggunakan rumus di atas sehingga

diperoleh sebagai berikut : csc (180 + α)o = – csc αo
sin (180 + α)o = – sin αo sec (180 + α)o = – sec αo
cos (180 + α)o = – cos αo cot (180 + α)o = cot αo
tan (180 + α)o = tan αo

Sedangkan untuk (270 – α)o diubah menjadi [180 – (90 – α)]o.

Sehingga diperoleh : csc (270 – α)o = – sec αo
sin (270 – α)o = – cos αo sec (270 – α)o = – csc αo
cos (270 – α)o = – sin αo

tan (270 – α)o = cot αo cot (270 – α)o = tan αo

14

2.5 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (270 + α)o dan (360 – α)o
Sudut (270 + α)o dan (360 – α)o merupakan sudut – sudut yang

berelasi di kwadran IV. Dengan mengubah bentuk (270 + α)o
menjadi [270 – (– α)]o dan menggunakan rumus di atas sehingga

diperoleh sebagai berikut : csc (270 + α)o = – sec αo
sin (270 + α)o = – cos αo sec (270 + α)o = csc αo
cos (270 + α)o = sin αo cot (270 + α)o = – tan αo
tan (270 + α)o = – cot αo

Sedangkan untuk (360 – α)o diubah menjadi [270 – (90 – α)]o.

Sehingga diperoleh : csc (360 – α)o = – csc αo
sin (360 – α)o = – sin αo sec (360 – α)o = sec αo
cos (360 – α)o = cos αo

tan (360 – α)o = – tan αo cot (360 – α)o = – cot αo

2.6 Fungsi Trigonometri untuk Sudut (k.360 + α)o
Untuk sudut yang lebih dari 360o, dapat ditulis dalam bentuk

(k.360 + α)o. Sehingga didapat rumus sebagai berikut :
sin (k.360 + α)o = sin αo csc (k.360 + α)o = csc αo
cos (k.360 + α)o = cos αo sec (k.360 + α)o = sec αo
tan (k.360 + α)o = tan αo cot (k.360 + α)o = cot αo

k  bilangan bulat3

3 Zen, Fathurin. Trigonometri (Bandung : ALFABETA, 2012), h. 34.

15

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

3.1 Sistem Koordinat Kutub
Dalam materi bidang datar telah diajarkan bahwa letak suatu

titik dapat ditentukan dalam sistem koordinat kartesius (Rectangular
Coordinate), yaitu dengan menghitung arah absis (sumbu X) dan
berapa panjangnya, serta arah ordinat (sumbu Y) dan berapa
panjangnya. Selain itu, letak suatu titik dapat ditentukan dalam
system koordinat kutub (Polar Coordinate).

Perhatikan gambar berikut :

P(x, y)

r

α Q
O

Dengan demikian titik P (x, y) dapat dinyatakan dalam koordinat
kutub atau koordinat polar sebagai P(r . cos α, r . sin α) atau P(r, α).

Didapat perubahan kedua sistem koordinat sebagai berikut :

Perubahan Koordinat

koordinat kutub (r, α) menjadi Koordinat kartesius (x, y)

koordinat kartesius (x, y) menjadi koordinat kutub (r, α)

x = r . cos α r = ඥ 2 + 2
y = r . sin α
tan α = (α sesuai kwadran)


16

3.2 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus cos (α ± β)

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Rumus sin (α ± β)

cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Rumus tan (α ± β)

tan (α + β) = tan +
1 − tan .

tan (α – β) = 1 tan −
+ tan .

Rumus cot (α ± β)

cot (α + β) = cot −1
tan +

cot (α – β) = . +1
tan −

17

RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT PERTENGAHAN

4.1 Rumus Sudut Rangkap4

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos2 α – sin2 α

= 1 – 2 sin2 α

= 2 cos2 α – 1

tan 2α = 2 tan
cot 2α 1− 2

= 2 −1

2 cot

4.2 Rumus Sudut Pertengahan

• sin 1 α = ±√1−c2os
2

• cos 1 α = ±√1+c2os
2

• tan 1 α = sin tan 1 α = 1−cos
2 1+cos 2 sin

tan 1 α = csc α – cot α tan 1 α = ±√11−+ccooss
2 2

• cot 1 α = 1+cos cot 1 α = sin
2 sin 2 1−cos

cot 1 α = csc α + cot α cot 1 α = ±√1+cos

2 2 1−cos

4 OpenStax College. Algebra and Trigonometry (Texas : Rice University.
2015). h. 1008.

18

RUMUS SUDUT LIPAT DAN RUMUS PANGKAT

5.1 Rumus Sudut Lipat

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α

cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α

tan 3α = 3 tan − 3
1−3 2

cot 3α = 3 −3 cot
3 2 −1

Secara umum rumus sudut lipat untuk na dapat ditulis sebagai
berikut :

sin nα = sin α {(2 cos ) −1 − ( − 2) (2 cos ) −3 + ( − 3) (2 cos ) −5− ...}
1 1

cos nα = 1 {(2 cos ) − (2 cos ) −2 + ( − 3) (2 cos ) −4 − ( − 4) (2 cos ) −6+ . . . }
1 2 1 3 2
2

Dimana bentuk ( ) merupakan simbol kombinasi dengan
rumus = !( −! )!.

19

5.2 Rumus Pangkat Sinus dan Cosinus

sin2 α = 1 − 1 cos 2α
2 2

cos2 α = 1 + 1 cos 2α
2 2

Secara umum rumus pangkat sinus dan cosinus adalah :

2 −1 =(−221 ) − −21 {sin(2 − 1) − (2 1− 1) sin(2 − 3) +. … (−1) −1 (2 −−11) sin }

2 −1 =212 (2 ) + (−1) {cos 2 − (21 ) cos(2 − 2) +. … (−1) −1 ( 2− 1) cos 2 }
22 −1

2 −1 =221 −2 {cos(2 − 1) + (2 1− 1) cos(2 − 3) +. … + (2 −−11) cos }

2 =212 (2 ) + 1 {cos 2 + (21 ) cos(2 − 2) +. … + ( 2− 1) cos 2 }
22 −1

Dimana bentuk ( ) merupakan simbol kombinasi dengan
rumus = !( −! )!.

20

RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN

6.1 Rumus Penjumlahan

sin α + sin β = 2 sin 1 (α + β) cos 1 (α − β)
sin α − sin β 2 2
cos α + cos β
cos α − cos β = 2 cos 1 (α + β) sin 1 (α − β)
2 2

= 2 cos 1 (α + β) cos 1 (α − β)
2 2

= 2 sin 1 (α + β) sin 1 (α − β)
2 2

6.2 Rumus Perkalian5

sin α cos β = 1 {sin( + ) + sin ( − )}
sin α sin β 2
cos α sin β
cos α cos β = 1 {cos( + ) − ( − )}
2

= 1 {sin( + ) − ( − )}

2

= 1 {cos( + ) + ( − )}
2

5 Ron Larson and David C. Falvo, Algebra and Trigonometry, 8th ed
(Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011). h. 569.

21

ATURAN SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

7.1 Aturan Sinus

= = = 2R


7.2 Aturan Cosinus6
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos α
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos β
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos γ

cos α = 2+ 2− 2
cos β 2. .
cos γ
= 2+ 2− 2

2. .

= 2+ 2− 2

2. .

7.3 Luas Segitiga

Menentukan luas  jika diketahui besar sudut dan panjang dua

sisi yang mengapit sudut tersebut.

Luas  ABC = 1 . b . c . sin α
2

Luas  ABC = 1 . a . c . sin β
Luas  ABC 2

= 1 . a . b . sin γ

2

6 Sinaga, bornok, dkk. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Jakarta :
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017). h. 183.

22

Menentukan luas  jika diketahui panjang ketiga sisi nya.

Luas  ABC = ඥ ( − )( − )( − )

dimana s = + +
2

Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan

panjang sisi yang terletak diantara kedua sudut.

Luas  ABC = 1 2 sin . sin
Luas  ABC 2 sin
Luas  ABC
= 1 2 sin . sin
2 sin

= 1 2 sin .sin
2 sin

7.4 Rumus Gauss

sin 1 α = √( − )( − )
2
.

sin 1 β = √( − )( − )
2
.

sin 1 γ = √( − )( − )
2
.

cos 1 α = √ ( − )
2
.

cos 1 β = √ ( − )

2 .

cos 1 γ = √ ( − )
2
.

23

tan 1 α = √( − ( )−( −) )
2

tan 1 β = √( − ( )−( −) )
2

tan 1 γ = √( − ( ) −( −) )
2

7.5 Garis – garis Istimewa dan Lingkaran dalam Segitiga

7.5.1 Garis – garis Istimewa dalam Segitiga

a. Garis Tinggi C

ta = 2R . sin β . sin γ tc
tb = 2R . sin α . sin γ
tc = 2R . sin α . sin β t tb

ta B
A

Dari rumus panjang garis tinggi di atas, dapat diturunkan

rumus luas  ABC.
L = 2R2 . sin α . sin β . sin γ

24

b. Garis Bagi C E
B
Dalil Stewart 2
AD2 a = 1 2+ 2 2 − 1 2
1 D
2

Dalil Garis Bagi Sudut Dalam 2 1
1
AD2 = bc − 1 2
AD = ඥ − 1 2 A cB
F

C

Dalil Garis Bagi Sudut Luar ba E
CB2 = 1 2 - ab
CB = ඥ 1 2 − cD 1

A

c. Garis Berat 2

C

1 b 1 a
2 2

1 F E 1 a
2 2
b

A 1 D 1 B
2 2
c c

G

CD = 1 ඥ 2 + 2 + 2 . cos

2

AE = 1 ξ 2 + 2 + 2 . cos

2

BF = 1 ඥ 2 + 2 + 2 . cos
2

25

7.5.2 Hubungan Lingkaran dan Segitiga
a. Lingkaran – Dalam

Jari jari lingkaran – dalam (Rd)  ABC yang panjang sisinya

a, b dan c ditentukan oleh :

Rd = √( − )( − )( − )



dimana s = + +
2

b. Lingkaran – Luar

Jari – jari lingkaran luar (Rl)  ABC yang panjang sisinya

a, b dan c ditentukan oleh :

Rl =
4ඥ( − )( − )( − )

dimana s = + +
2

sedangkan panjang jari – jari lingkaran – luar (Rl) ABC

dimana hanya diketahui satu sisi dan sudut yang berbeda

dihadapanya adalah :

Rl =
2 sin

Rl =
2 sin

Rl =
2 sin

26

c. Lingkaran – Singgung
Rs = √ ( −( −) ( ) − )
Rs = √ ( −( −)( ) − )
Rs = √ ( −( −)( ) − )

dimana s = + +
2

27

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

8.1 Persamaan untuk Sinus
Jika sin x = sin α (α diketahui), maka :
1 = α + k.360o
2 = (180 – α) + k.360o
Dengan k bilangan bulat

8.2 Persamaan untuk Cosinus
Jika cos x = cos α (α diketahui), maka :
1 = α + k.360o
2 = (360 – α) + k.360o
Atau,
Jika cos x = cos α ( α diketahui), maka :
1 2 = ± α ± k.360o
Dengan k bilangan bulat.

28

8.3 Persamaan untuk Tangen
Jika tan x = tan α (α diketahui), maka :
x = α ± k.180o

Dengan k bilangan bulat.

8.4 Persamaan Bentuk a cos x + b sin x = c

cos (x – α) =


dengan k = ξ 2 + 2 dan tan α =


(α disesuaikan kwadran nya dengan tanda a dan b)

29

Kumpulan Soal dan
Pembahasan

30

Aplikasi Kehidupan Nyata
1. Seekor ikan yang berada di dalam air dengan kedalaman 3 m

dari permukaan laut dan seekor burung yang sedang terbang
dengan sudut 30o. Jika jarak antara ikan dengan burung adalah
18 m. Tentukan jarak burung dari permukaan laut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

30o

3 Meter

Untuk mencari jarak burung dari permukaan laut dapat kita

gunakan rumus sinus, dimana :

sin 2 = 2
2

sin 30 = 1 = 2

2 2

31

Didapatkan 2 = 1 dan 2 = 2. Karena jarak r sebenarnya belum
diketahui maka terlebih dahulu kita cari jarak sisi miring ikan

terhadap permukaan laut menggunakan rumus yang sama.

sin 1 = 1
1

sin 30 = 1 = 1
2 1

Didapatkan 1 = 1 dan 1 = 2. Dikarenakan jarak 1 sebenarnya

3 meter jadi perbandingannya adalah 1 : 3 sehingga :

1 = 1 . 3
1 2 3

1 = 3
1 6

2 = r - 1

= 18 – 6

= 12 meter

Karena jarak 2 sebenarnya 12 meter jadi perbandingannya

adalah 1 : 6 sehingga:

2 = 1 . 6

2 2 6

= 6
12

Jadi jarak antara burung dengan permukaan laut adalah 6 meter.

32

2. Penebang liar ingin mengukur tinggi pohon yang berjarak 6ξ3
m dari tempat dia berdiri. Antara mata dengan puncak pohon
membentuk sudut elevasi sebesar 30o. Jika tinggi penebang liar
tersebut dihitung sampai mata adalah 1,5 m maka tentukan
tinggi pohon tersebut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

t

30

6ඥ3 Meter 1,5
Meter

Misalkan t adalah jarak dari mata penebang liar sampai puncak
pohon.

33

Dengan menggunakan rumus tangen didapat :

tan  = =


tan 30o =
6ξ3

1 ඥ3 =
6ξ3
3

t = 1 ඥ3 . 6ඥ3
3

=2.3

= 6 Meter

Jadi tinggi pohon didapat dari t ditambah tinggi penebang liar
tersebut dihitung sampai mata,
Tinggi pohon = 6 + 1,5

= 7,5 Meter

Jadi tinggi pohon tersebut adalah 7,5 meter.

34

3. Murid sekolah dasar dengan tinggi 120 cm berjalan mendekati
tiang mendera. Diketahui jarak murid tersebut terhadap tiang
bendera adalah 10 m dan terbentuk sudut elevasi dari ujung
kepalanya ke puncak tiang bendera sebesar 60o. Tentukan tinggi
tiang bendera tersebut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.

60o

1,2 Meter

10 Meter
Dengan menggunakan rumus tangen diperoleh :
tan 60o =



y = tan 60o . x
= ξ3 . 10
= 10 ξ3

Tinggi tiang adalah y ditambah dengan tinggi siswa sehingga :

Tinggi tiang = 10 ξ3 + 1,2
= 10 ξ3 + 1,2 meter

Jadi tinggi tiang bendera tersebut adalah 10 ξ3 + 1,2 meter.

35

4. Sebuah pesawat akan mendarat dari ketinggian 3000 m dari
menara pengawas. Dalam 30 detik sudut elevasi pesawat
berubah dari 30o menjadi 45o dilihat dari puncak menara
pengawas. Carilah kecepatan pesawat tersebut dalam satuan
m/s.

Pembahasan : C
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.

E

30o D B
A

Pada  ABC, panjang AB dapat ditentukan menggunakan

rumus tangen,

tan 30o = =



AB =
tan 30

= 3000

1 ξ3
3

= 3000 . 3 . ξ3
ξ3 ξ3

= 3000 . 3 ξ3
3

= 3000 ξ3 meter

36

Pada  ADE, panjang AD juga dapat ditentukan menggunakan

rumus tangen,

tan 45o = =


AD =
tan 45

= 3000
1

= 3000 meter

Dengan demikian,
BD = AB – AD

= 3000 ξ3 – 3000
= 3000 (ξ3 – 1) meter

Kecepatan pesawat tersebut adalah :

v = = 3000 (ξ3 – 1)
30

= 100 (ξ3 – 1) m/s

Jadi kecepatan pesawat tersebut adalah 100 (ξ3 – 1) m/s.

37

5. Dua buah kapal A dan B meninggalkan pelabuhan C pada waktu
yang bersamaan. Keduanya berlayar pada jalus yang lurus dan
membentuk sudut 60o satu sama lain. Jika kecepatan kapal A 25
km/jam dan kecepatan kapal B 15 km/jam. Tentukan jarak
antara kapal A dan B setelah berlayar selama 1 jam!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

bentuk gambar. A

C 60o 15 km/jam B

Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa antara kapal A dan
kapal B atau panjang AB dapat menggunakan rumus panjang
garis berat sebagai berikut:

38

AB = 1 ξ 2 + 2 + 2 . . . cos

2

= 1 ξ252 + 152 + 2 . 25 . 15 . cos 60
2

= 1 √625 + 225 + 2 . 375 . 1
2 2

= 1 ξ625 + 225 + 375
2

= 1 ξ1225
2

= 1 35
2

= 35
2

= 17,5 km

Jadi jarak kedua kapal setelah berlayar selama 1 jam adalah 17,5 km.

39

6. Seorang pendaki berada di puncak sebuah gunung, terlihat
ujung – ujung landasan pacu sebuah bandara yang berbentuk
horizontal dengan sudut depresi 45o dan 30o. Jarak ujung
landasan yang terdekat terhadap lereng gunung adalah 1200 m.
Tentukan panjang landasan pacu tersebut!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

bentuk gambar. C

AD B

Selanjutnya pada  ADC, panjang AC dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus tangen, yaitu :
tan 60o =



AC = AD . tan 60o
= 1200 . ξ3
= 1200 ξ3 meter

40

Pada  ABC, panjang AB dapat ditentukan dengan rumus

tangen, yaitu :

tan 30o =
AB


=
tan 30

= 1200 ξ3

1 ξ3
3

= 1200 ξ3 . 3
ξ3

= 3600 meter

Dengan demikian panjang landasan pacu,
DB = AB – AD

= 3600 – 1200

= 2400 meter

Jadi panjang landasan pacu tersebut adalah 2400 m atau 2,4 km.

41

7. Seorang anak bersepeda dari tempat A sejauh 24 m dengan arah
15o, kemudian berbelok sejauh 16 m ketempat B dengan arah
135o. Tentukan jarak A dan B!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

bentuk gambar. C

16 m

45o B
15o

24 m

A

diketahui AB = 24 m, BC = 16 m dan ABC = 60o.

Dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh :
AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . BC . cos 60o

= (24)2 + (16)2 – 2 . 24 . 16 . 1

2

= 576 + 256 – 24 . 16
= 576 + 256 – 384
= 448

AC = ξ448

= 8ξ7

Jadi, jarak A ke B adalah 8ξ7 meter.

42

8. Pedagang kaki lima yang berada pada jarak 46 meter dari kaki
sebuah monumen mengamati sebuah kejadian langka
melintasnya sebuah pesawat ufo yang berada di atas sebuah
monumen dengan sudut elevasi masing masing 45o dan 60o.
Hitunglah jarak pesawat ufo tersebut terhadap puncak
monumen!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

D
bentuk gambar.

C

45o B
A 46 meter

Selanjutnya, Pada  ABC, diketahui AB = 46 m,  A = 45o dan

 B merupakan sudut siku – siku.

Dengan menggunakan rumus tangen, yaitu :

tan 1 =


BC = AB . tan A

= 46 . tan 45o

= 46 . 1

= 46 meter

43