41. Hitunglah luas KLM, jika diketahui panjang sisi KL = 8 cm,
KM = 14 cm dan LM = 10 cm!
Pembahasan :
Keliling KLM (2s) = KL + KM + LM
= 8 cm + 14 cm + 10 cm
= 32 cm
s = 16 cm
Luas KLM = ඥ ( − ) ( − ) ( − )
= ඥ16 (16 − 8) (16 − 14) (16 − 10)
= ξ16 . 8 . 2 . 6
= ξ16 . 4 . 2 . 2 . 6
= 4 . 2 . 2 ξ6
= 16 ξ6 cm2
Jadi Luas KLM = 16 ξ6 cm2.
94
42. Hitunglah luas ABC, jika diketahui A = 75o dan B = 15o
sedangkan panjang sisi c = 8 cm!
Pembahasan :
Jumlah sudut dalam segitiga = 180o, sehingga :
C = 180o – (75o + 15o)
= 180o – 90o
= 90o
Dengan rumus luas ABC = 1 . c2 . sin sin diperoleh,
2 sin
luas ABC = 1 . c2 . sin sin
2 sin
= 1 . 82 . sin 75 sin 15
2 sin 90
= 1 . 64 . 1 {1 + 1 ξ3}
2 2 2
1
= 1 . 64 . 1 {1 + 1 ξ3}
2 2 2
= 16 . {1 + 1 ξ3}
2
= 8 (2 + ξ3) cm2
sin A sin B dicari menggunakan rumus perkalian.
sin A sin B = 1 {sin (A + B) + sin (A – B)}
2
= 1 {sin (75o + 15o) + sin (75o – 15o)}
2
= 1 {sin 90o + sin 60o}
2
= 1 {1 + 1 ξ3}
2 2
Jadi diperoleh luas ABC = 16 + 8 ξ3 cm2.
95
43. Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 8 cm, AC = 6 cm
dan BC = 4 cm. Hitunglah nilai dari sin A!
Pembahasan :
Dikeahui panjang sisi a = 4 cm, b = 6 cm dan c = 8 cm
Sedangkan keliling ABC (2s) = (4 + 6 + 8) cm
= 18 cm
s = 9 cm
Berdasarkan rumus sin 1 A = √( − ) ( − ) , sehingga diperoleh :
2
.
sin 1 A = √( − ) ( − )
2
.
= √(9−6) (9−8)
6. 8
= √3 . 1
48
= √3
48
= √1
16
= 1
4
96
Dari rumus cos A = 1 – 2 sin2 1 A didapat,
2
cos A = 1 – 2 . (41)2
= 1 – 2 . 1
16
= 1 – 1
8
= 8 – 1
8 8
= 7
8
Sehingga dengan rumus sin A = ± ξ1 − 2 didapat nilai
sin A sebagai berikut :
sin A = ± √1 − (7)2
8
= ± √1 − 49
64
= ± √64 − 49
64
= ± √15
64
= + 1 ξ15 ( karena A sudut lancip maka nilai sin A
8
bernilai positif)
Jadi nilai sin A yang memenuhi adalah 1 ξ15.
8
97
44. Dari soal no 43 carilah nilai dari cos B!
Pembahasan :
Berdasarkan rumus cos 1 B = √ ( − ) sehingga diperoleh :
2 .
cos 1 B = √ ( − )
2 .
= √9 (9−6)
4. 8
= √9 . 3
8
4.
= √27
32
Dari rumus cos B = 2 cos2 1 B – 1 didapat nilai:
2
cos B = 2 cos2 1 B – 1
2
= 2 . (√27)2 – 1
32
= 2 . 27 – 1
32
= 27 – 16
16 16
= 11
16
Karena nilai cos B positif maka sudut B lancip atau < 90o.
98
45. Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm
dan CAB = 60o. CD merupakan tinggi ABC. Tentukan
panjang CD!
Pembahasan : C
4 cm
AD B
CD adalah tinggi ABC
Luas ABC = 1 . alas . tinggi = 1 . AB . CD
2 2
Lihat aturan sinus dan cosinus
Luas ABC = 1 . AB . sin γ
2
= 1 . AC . sin β
2
= 1 . BC . sin α
2
Diketahui :
AC = 4 cm
AB = 3 cm
α = 60o
99
Maka :
1 . AB . CD = 1 . AB . AC. sin α
2 2
Luas ABC = 1 . AB . AC . sin α
2
= 1 . 3 . 4 . sin 60o
2
= 6 . 1 ξ3
2
1 . AB . CD = 3ξ3
2
CD = 3ξ3
1 .AB
2
= 3ξ3
1 .3
2
= 2 ξ3 cm
Jadi panjang tinggi CD adalah 2 ξ3 cm.
100
46. Diketahui ABC dengan panjang sisi masing – masing, a = 4
cm, b = 6 cm dan c = 8 cm. Tentukan panjang garis tinggi CD!
Pembahasan :
Buatlah terlebih dahulu gambar yang dimaksud
C
E
F
A D B
Berdasarkan rumus luas ABC
L = ඥ ( − )( − )( − ), Dimana :
2s = + +
S = + +
2
= 4+6+8
2
= 18
2
=9
L = ඥ9(9 − 4)(9 − 6)(9 − 8)
= ξ9 . 5 . 3 . 1
= 3 ξ15 cm2
101
Selanjutnya berdasarkan rumus luas ABC (L) yang lain, yaitu
L = 1 alas x tinggi, maka panjang garis tinggi CD, maka :
2
L = 1 alas x tinggi
2
= 1 . AB . CD
2
3ξ15 = 1 . 8 . CD
2
3ξ15 = 4 . CD
CD = 3ξ15
4
Jadi panjang garis tinggi CD = 3ξ15 cm.
4
102
47. Dari soal no 46 carilah panjang garis bagi BE!
Pembahasan :
Untuk menentukan panjang garis bagi BE, tentukan terlebih
dahulu nilai cos 1 B.
2
Kemudian gunakan rumus panjang garis bagi sudut dalam
BE = 2 . . .cos21 .
+
Berdasarkan rumus cos B = 2+ 2− 2 sehingga didapat :
2 . .
cos B = 2+ 2− 2
2 . .
= 42+82−62
2.4.8
= 16+64−36
64
= 44
64
= 11
16
Selanjutnya gunakan rumus sudut pertengahan cos 1 B = ±
2
√1+cos , sehingga:
2
cos 1 B = ± √1+1161
22
= ± √(1 + 11) (1)
16 2
103
= ± √(11 + 11) (1)
16 16 2
= ± √(22) (1)
16 2
= ± √11
16
= + 1 ξ11 (B sudut lancip sehingga bernilai positif)
4
Panjang garis bagi sudut dalam BE adalah :
BE = 2 . . .cos21
+
= 2 .4.8.41ξ11
4+6
= 2 .4.8.41ξ11
4+6
= 16ξ11
10
= 8ξ11
5
Jadi panjang garis bagi BE adalah 8ξ11 cm.
5
104
48. Dari soal no 46 carilah panjang garis berat AF!
Pembahasan :
Rumus panjang garis berat AF
AF = 1 ξ 2 + 2 + 2 . cos
2
Selanjutnya nilai cos A diperoleh dari rumus cos A = 2+ 2− 2
2. .
, sehingga :
cos A = 2+ 2− 2
2. .
= 62+ 82− 42
2.6.8
= 36+ 64− 16
96
= 84
96
= 7
8
Didapat panjang garis berat AF sebagai berikut :
AF = 1 √62 + 82 + 2.6.8 . 7
2
8
= 1 ξ36 + 64 + 84
2
= 1 ξ184
2
= 1 .8 ξ23
2
= 4 ξ23
Jadi panjang garis berat AF = 4 ξ23 cm.
105
49. Perhatikan gambar berikut!
D
45o 30o
AB
12 cm C
Dari titik C puncak menara D mempunyai sudut elevasi 30o dan
dari titik B sudut elevasinya 45o. Sedangkan jarak BC = 12 cm.
Carilah panjang CD.
Pembahasan :
Karena diketahui B pada ABD = 45o sehingga pada CBD
didapat B = 180o – 45o = 135o dan D = 180o – (135o + 30o)
= 15o.
Sehingga panjang CD dapat dicari menggunakan aturan sinus
sebagai berikut :
Terlebih dahulu cari sin 135o dan sin 15o.
sin 135o = sin (180o – 45o)
= sin 45o
= 1 ξ2 (+ karena di kwadran II sin bernilai positif)
2
106
sin 15o = sin (45o – 30o)
= sin 45o.cos 30o + cos 45o.sin 30o
= 1 ξ2 . 1 ξ3 + 1 ξ2 . 1
2 2 2 2
= 1 ξ6 + 1 ξ2
4 4
= 1 (ξ6 + ξ2)
4
=
sin sin
= 12
sin 135 sin 15
= 12
(ξ6 +
1 ξ2 1 ξ2)
2 4
CD = 1 12 ξ2) . 1 ξ2
4 (ξ6 + 2
= 12 . 1 ξ2 . 4
2 1
ξ6 + ξ2
= 24 ξ2 . ξ6 − ξ2
ξ6 + ξ2 ξ6 − ξ2
= 24 ξ12−24 . 2
6−2
= 24 .2 ξ3−24 . 2
4
= 12 ξ3 – 12
= 12 (ξ3 – 1)
Jadi panjang CD = 12 (ξ3 – 1) cm.
107
50. Dari soal no 49 carilah panjang AB!
Pembahasan :
Untuk mencari panjang AB kita menggunakan rumus sinus,
= =
sin sin sin
Sehingga kalau diaplikasikan pada ABD didapat rumus,
= =
sin sin sin
Panjang sisi BD dicari terlebih dahulu menggunakan rumus
sinus pada CBD = = sehingga didapat :
sin sin
=
sin sin
= 12 (ξ3 – 1)
sin 30 sin 135
= 12 (ξ3 – 1)
1 1 ξ2
2
2
BD = 12 (ξ3 – 1) . 1
2
1 ξ2
2
= 12 (ξ3 – 1) . ξ2
ξ2 ξ2
= 12(ξ6 –ξ2)
2
= 6(ξ6 – ξ2) cm
108
Sehingga didapat panjang AB sebagai berikut :
=
sin sin
6(ξ6 –ξ2) =
sin 90 sin 45
6(ξ6 –ξ2) =
1
1 ξ2
AB 2
= 6(ξ6 – ξ2) . 1 ξ2
2
= 3(ξ12 – 2)
= 3(2ξ3 – 2)
= 3 . 2 (ξ3 – 1)
= 6 (ξ3 – 1) cm
Jadi didapat panjang AB = 6 (ξ3 – 1) cm
109
Perubahan Bentuk
51. Nyatakan bentuk cos + sin dengan bentuk k cos ( - a)
dimana k adalah konstanta dan a dalam radian!
Pembahasan :
Misalkan : cos + sin = k cos ( - a) maka
cos + sin = k cos cos a – k sin sin a
atau k cos a = 1
k sin a = 1
k = ξ1 + 1
= ξ2
a pada kwadran 1 ( karena a = 1 dan b = 1),
Sehingga tan a = 1 dan tan a =
4
Jadi cos + sin = ξ2 cos ( - 4 ).
110
Persamaan dan Pertidaksamaan
52. Untuk –180o ≤ x ≤ 180o, tentukan nilai x yang memenuhi
sin x = 12!
Pembahasan :
sin x = 1
2
sin x = sin 30o
Berdasarkan rumus jika sin x = sin a dan a diketahui maka :
1 = a ± k . 360o
2 = (180 – a) ± k. 360o
Jadi, jika sin x = sin 30o, maka :
1 = a ± k . 360o
untuk k = - 1 → x = 30o – 360o = - 330o (tidak memenuhi)
untuk k = 0 → x = 30o ± 0o = 30o (memenuhi)
untuk k = 1 → x = 30o + 360o = 390o (tidak memenuhi)
2 = (180 – a) ± k. 360o
untuk k = - 1 → x = 150o – 360o =-210o(tidak memenuhi)
untuk k = 0 → x = 150o ± 0o = 150o (memenuhi)
untuk k = 1 → x = 150o + 360o = 510o (tidak memenuhi)
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = 1 dalam interval
2
– 180o ≤ x ≤ 180o adalah {30o, 150o}.
111
53. Untuk – 2π ≤ x ≤ 2π, Tentukanlah nilai x yang memenuhi
persamaan 2 cos x = 1!
Pembahasan :
2 cos x = 1
cos x =1
cos x
2
= cos
3
Berdasarkan rumus jika cos x = cos a dan a diketahui maka :
1 = a ± 2kπ
2 = (2π – a) ± 2kπ
Sederhanakan menjadi : 1 2 = ± a ± 2kπ
Jadi, jika cos x = cos 3 , maka :
1 2 = ± ± 2kπ
3
untuk k = - 1 → x = + - 2π = - 5 (memenuhi)
3 3
dan x = - - 2π = - 7 ( tidak memenuhi)
3 3
untuk k = 0 → x = ± 0o = (memenuhi)
33
dan x = - ± 0o = - (memenuhi)
33
untuk k = 1 → x = + 2π = 7 (tidak memenuhi)
3 3
dan x = - + 2π = 5 (memenuhi)
3 3
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos x = 1 dalam interval
– 2π ≤ x ≤ 2π adalah {- 5 , - 3 , 3 , 5 }.
3 3
112
54. Hitunglah himpunan Penyelesaian Persamaan cos2 x - ξ3 sin x
+ 2 sin2 x – 2 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos2 x - ξ3 sin x + 2 sin2 x – 2 = 0
cos2 x - ξ3 sin x + 2 cos2 x = 0
- cos2 x - ξ3 sin x cos x =0
cos x ( - cos x - ξ3 sin x ) = 0
Maka penyelesaian dari persamaan tersebut haruslah
memenuhi:
❖ cos x = 0,
himpunan penyelesaian pada 0o ≤ x ≤ 360o adalah {90 o, 270 o }.
❖ - cos x - ξ3 sin x = 0
- ξ3 sin x cos x = cos2 x
- ξ3 sin x = cos x
= - 1
ξ3
tan x = - 1 ξ3
3
Himpunan penyelesaian tan x = - 1 ξ3 pada 0o ≤ x ≤ 360o adalah
3
{150o, 330o} Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan
tersebut adalah {90 o, 150 o, 270 o, 330 o}.
113
55. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x + 1 = 0
untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos 2x + cos x + 1 =0
(2 cos2 x – 1) + cos x +1 = 0
2 cos2 x + cos x =0
cos x (2 cos x + 1) =0
cos x = 0 atau 2 cos x + 1 = 0
cos x = 0 atau cos x = - 1
2
Sehingga kita dapat himpunan penyelesaianya sebagai berikut :
cos x = 0 maka x = 90 o, 270 o
cos x = - 1 maka x = 120o, 240 o
2
Jadi himpunan penyelesainya adalah{90o, 120o, 240o, 270o}.
114
56. Hitunglah himpunan penyelesaian dari persamaan
cos 2x + 3sin x + 1 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos 2x + 3 sin x + 1 = 0
1 – 2 sin2 x + 3 sin x + 1 = 0
– 2 sin2 x + 3 sin x + 2 = 0
2 sin2 x - 3 sin x - 2 = 0
(2 sin x + 1) (sin x – 2) = 0
Pembuat nol
2 sin x + 1 = 0 atau sin x – 2 = 0
sin x = - 1 (memenuhi)
2
sin x = 2 (tidak memenuhi)
Jadi nilai sin x yang memenuhi persamaan sin x = - 1
2
Nilai sin negatif berada di kwadran III dan IV, sehingga
himpunan penyelesaian nya adalah :
❖ Kwadran III
sin x = sin (180o + 30o)
= sin 210o
❖ Kwadran IV
sin x = sin (360o – 30o)
= sin 330o
Jadi himpunan penyelesaian nya adalah {210o, 330o).
115
57. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan
cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
cos 2x + 3 cos x + 2 = 0
(2 cos2x – 1) + 3 cos x + 2 = 0
2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0
(2 cos x + 1) (cos x + 1) = 0
Pembuat nol
2 cos x + 1 = 0 atau cos x + 1 = 0
2 cos x + 1 = 0
cos x =-1
2
cos x + 1 = 0
cos x = -1
Jadi nilai x memenuhi persamaan :
cos x = - 1 ❖ Kwadran III
2
❖ Kwadran II
cos x = cos (180 – 60)o cos x = cos (180 + 60)o
= cos 120 o = cos 240 o
❖ cos x = - 1
= cos 180 o
Jadi himpunan penyelesaian adalah {120 o, 180 o, 240 o }.
116
58. Hitunglah himpunan penyelesaian persamaan
4 sin x = 1 + 2 cos 2x, 0o ≤ x ≤ 360o!
Pembahasan :
4 sin x = 1 + 2 cos 2x
- 2 cos 2x + 4 sin x – 1 =0
-2 (1 – 2 sin2 x) + 4 sin x – 1 = 0
4 sin2 x + 4 sin x – 3 =0
(2 sin x + 3) (2 sin x – 1) = 0
Pembuat nol
2 sin x + 3 = 0 atau 2 sin x -1 = 0
2 sin x + 3 = 0
sin x = - 3 (tidak memenuhi)
2
2 sin x – 1 = 0
sin x = 1 (memenuhi)
2
Jadi nilai sin x yang memenuhi persamaan adalah 12. Sehingga :
❖ Tidak memenuhi ❖ Kwadran I
karena |sin | ≤ 1 sin x = sin 30o
sin x = 1 ❖ Kwadran II
2 sin x = sin (180 – 30)o
= sin 150o
= sin 30o
Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{30o, 150o}.
117
59. Tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi
trigonometri y = - 5 . cos x – 7!
Pembahasan :
Menggunakan rumus -1 ≤ cos x ≤ 1, sehingga :
-1 ≤ cos x ≤ 1 semua ruas dikali (-5)
5 ≤ -5 cos x ≤ -5 semua ruas dikurang 7
5 – 7 ≤ -5 cos x -7 ≤ -5 -7
-2 ≤ -5 cos x -7 ≤ -12
Jadi, nilai maksimum fungsi y = - 5 . cos x – 7 adalah -2 dan
nilai minimumnya adalah -12.
60. Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri
y = - 2sin x – 22!
Pembahasan :
Menggunakan rumus -1 ≤ sin x ≤ 1, sehingga :
-1 ≤ sin x ≤ 1 semua ruas dikali (-2)
2 ≤ -2 . sin x ≤ -2 semua ruas dikurang 22
2 – 22 ≤ -2 . sin x – 22 ≤ -2 – 22
-20 ≤ -2 . sin x – 22 ≤ -24
Jadi, nilai maksimum fungsi y = - 2sin x – 22 adalah -20
dan nilai minimumnya adalah -24.
118
DAFTAR PUSTAKA
Larson, Ron, and David C. Falvo. Algebra and Trigonometry. 8th
ed. Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011.
OpenStax College. 2015. Algebra and Trigonometry. Texas : Rice
University.
Sinaga, bornok, dkk. 2014. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas
X Semester 2. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan.
Sinaga, bornok, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas
X. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Stewart, james. Redlin, lothan, and waston, saleem. 2010.
Precalculus Mathematics for Calculus. 8th ed. Belmonth, CA:
Brook/Cole, Cengege Learning.
Zen, fathurin. 2012. Trigonometri, Bandung : ALFABETA.
119
GLOSARIUM
Absis : Suatu titik yang berada di garis
horizontal atau sumbu-x pada sistem
Daerah Asal/Domain koordinat kartesius.
: Himpunan tidak kosong dimana
sebuah relasi didefinisikan.
Daerah Hasil/Range : Suatu himpunan bagian dari daerah
kawan yang anggotanya adalah
pasangan anggota domain yang
memenuhi fungsi yang ditentukan.
Daerah kawan/Kodomain: Himpunan tidak kosong dimana
anggota domain memiliki pasangan
sesuai dengan fungsi yang
didefinisikan.
Garis Berat : Suatu garis yang dibentuk dari
suatu sudut segitiga sembarang dan
memotong sisi di depannya
menjadi dua bagian yang sama
panjang.
Garis Tinggi : Suatu gais yang dibentuk dari suatu
sudut segitiga sembarang dan
berpotongan tegak lurus dengan
sisi di hadapannya.
120
Ordinat : Suatu titik yang berada di garis
vertikal atau sumbu-y pada sistem
koordinat kartesius.
Persamaan : Kalimat terbuka yang
Pertidaksamaan
menggunakan relasi sama dengan.
Rotasi αo
: Kalimat terbuka yang
menggunakan relasi tidak sama
dengan.
: Perputaran terhadap titik pusat
sejauh αo.
Sistem Koordinat Polar : Sistem Koordinat 2-dimensi yang
(Sistem koordinat kutub) setiap titik pada bidang ditentukan
dengan jarak dari suatu titik yang
telah ditetapkan dan suatu sudut dari
Tak Terdefinisi suatu arah yang telah ditetapkan.
: Tidak terdapat suatu bilangan real
yang merupakan hasil.
121
Penerbit ISBN 978-623-93416-3-3
9 786239 341633