Soal-soal Trigonometri

Pada  ABD, diketahui AB = 46 m,  A = 45 + 15 = 60 dan B
merupakan sudut siku – siku.

Dengan menggunakan rumus tangen juga, diperoleh :

tan 2 =


BD = AB . tan 2

= 46 . tan 60o

= 46 . ξ3

= 46ξ3 meter

Dengan demikian jarak antara puncak monumen dengan
pesawat ufo didapat:
CD = BD – BC

= 46ξ3 – 46
= 46 (ξ3 – 1) meter

Jadi jarak puncak monumen dengan pesawat ufo adalah
46 (ξ3 – 1) meter.

44

9. Pejalan kaki dengan tinggi 164 cm mengamati puncak pemancar
dengan sudut elevasi 45o. Kemudian ia melanjutkan perjalanan
nya yang kebetulan searah dengan pemancar tersebut sejauh 36
m. Kemudian pejalan kaki tersebut berhenti dan mengamati
kembali puncak pemancar tersebut dengan sudut elevasi 60o.
Tentukan tinggi menara tersebut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

C

60o 45o
B D 36 meter A

Selanjutnya, misalkan BD = x, pada  ABC diketahui
AB = x + AD dan  A = 45o.
Dengan menggunakan rumus tangen, diperoleh :
tan A =



BC = AB . tan A
= (x + AD) . tan 45o

45

= (x + 36) . 1

= x + 36

BC = x + 36

x = BC - 36
Pada  DBC, diketahui  D = 60o dan DB = x.

Dengan menggunakan rumus tangen, diperoleh :

tan 60o =


BC = DB . tan 60o

= x . ξ3

BC = ξ3x

Dengan demikian didapat :

BC = ξ3x

= ξ3 . (BC - 36)

= ξ3BC - 36ξ3

ξ3BC - BC = 36ξ3

(ξ3 – 1) BC = 36ξ3

BC = 36ξ3 . ξ3+ 1
ξ3 – 1 ξ3+ 1

= 36 . 3+ 36ξ3
3−1

= 108+36ξ3
2

= 54 + 18ξ3

Jadi tinggi pemancar diperoleh dari jumlah tinggi pejalan kaki

ditambah tinggi BC = 164 + 54 + 18ξ3 = 218 + 18ξ3 meter.

46

10. Pekerja konstruksi berada di atas sebuah gedung pada
ketinggian tertentu. Pekerja tersebut mengamati sebuah
container dengan sudut depresi α. Ketika nilai tan α = 1, terlihat
bahwa container bergerak mendekat kedasar gedung. 12 menit
kemudian, sudut depresi dari container berubah menjadi β,
dengan nilai tan β = 4. Jika container bergerak dengan kecepatan
tetap, tentukan waktu container sampai kedasar gedung!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

C
bentuk gambar.

αβ B
SelanjuAtnya misalkan BCD= x.

Jarak container terhadap gedung saat sudut depresinya α adalah

AB. Karena tan α = 1, sehingga berlaku :

tan α =


1 =


AB = x

47

Jarak container terhadap gedung saat depresinya β adalah BD.

Karena tan β = 4, maka berlaku :

tan β =


4 =


BD = 1 x

4

Dengan demikian, setelah 12 menit container telah bergerak

sepanjang AD, yaitu :

AD = AB – BD

= x - 1 x
4

= 3 x
4

Kecepatan container saat berjalan 12 menit itu yaitu :

v =


= 3
4

12

= 1
16

Sehingga waktu yang diperlukan oleh container untuk

menempuh sisa jarak terhadap menara, yaitu :

waktu =


= 1
4
1
16

= 4 menit

Jadi waktu yang ditempuh container untuk sampai ke dasar

gedung adalah 4 menit.

48

11. Di atas sebuah mercusuar dengan tinggi 24ξ3 m terdapat
seseorang sedang memantau sebuah objek yang berada di
bawahnya dengan jarak sejauh 72 m. Tentukan sudut depresi
yang terbentuk!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

bentuk gambar. C


24ඥ3 meter

αo B
A 72 meter

Selanjutnya diketahui  ABC sama dengan sudut αo karena

berseberangan.

Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh :

tan αo = 24ξ3

72

= 1 ඥ3
3

tan αo = 30o

Jadi sudut depresi yang terbentuk adalah 30o.

49

12. Sebuah bus berjalan dari terminal A ke terminal B sejauh 40 km
dengan arah 25o. Dari terminal B, bus itu berjalan sejauh 50 km
menuju terminal C dengan arah 145o. Tentukan jarak antara
terminal A ke terminal C!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

C

20o 40o B
40o

20o
A
Selanjutnya panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan
aturan cosinus.
AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . BC . cos 60o
= (40)2 + (50)2 – 2 . 40 . 50 . 1

2

= 1600 + 2500 – 2000
= 2100
AC = ξ2100
=10ξ21
Jadi, jarak antara terminal A ke terminal C adalah 10ξ21 km.

50

13. Sebuah rel kereta menghubungkan titik timur dan titik barat
dengan jarak 8 km. Dari suatu titik tidak jauh dari rel, suatu
bangunan memiliki arah 30o ke barat dan 60o ke arah timur.
Tentukan jarak terpendek dari bangunan ke rel!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

Utara C
30o 60o

Barat Timur

AD B
Selatan 8 km

Selanjutnya diketahui panjang AB adalah 8 km dan CD

merupakan jarak terpendek antara bangunan dengan rel.

Menggunakan rumus tangen pada  ADC, diperoleh :
tan 30o =



51

Menggunakan rumus yang sama pada  BCD, diperoleh:

tan 60o =


Selanjutnya, menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

tan 30o + tan 60o = +


= +



CD = tan + 60
30 +tan

= 1
3 ξ3 +ξ3

= 4 8
3 ξ3

= 8 . 3 . ξ3
4ξ3 ξ3

= 2 ξ3 km

Jadi jarak terdekat antara bangunan dengan rel adalah 2 ξ3 km.

52

14. Di sebuah bukit barisan terdapat kelompok A dan B yang sedang
berkemah dengan jarak keduanya adalah 4 km. Kelompok A
memberitahukan kelompok B melalui ponsel bahwa mereka
sedang berdiri menghadap perkemahan kelompok B dan
menghidupkan laser yang ditembakan ke arah awan yang berada
diantara keduanya dengan sudut elevasi 45o sehingga mengenai
awan. Kelompok B mengamati lacer menggunakan klinometer
sehingga didapat sudut 30o. Tentukan tinggi awan tersebut!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

bentuk gambar.

C

45o D 75o
A 4 km B

53

Selanjutnya tinjau  ADC, misalkan CD = t.

Menggunakan konsep tangen, diperoleh :

tan A =



tan 45o =


1 =


AD = CD

AD = t

Kemudian tinjau  BDC.

Menggunakan rumus yang sama, diperoleh :

tan 75o =
4−

tan (45o + 30) =
4−

tan 45 +tan 30 =
1− tan 45 . tan 30 4−

1+ 1 ξ3 =
3 4−
1
1− 1 . 3 ξ3

3 + ξ3 =
3 − ξ3 4−

(3 + ξ3)(4 – t) = (3 − ξ3) t

12 – 3t + 4ξ3 – ξ3t = 3t – ξ3t

6t = 12 + 4ξ3

t = 4(3+ ξ3)
6

t = 2 (3 + ξ3)

3

Jadi tinggi awan ersebut adalah 2 (3 + ξ3) km.
3

54

15. Arsitek sebuah bangunan ingin mengukur tinggi dari bangunan
tersebut menggunakan klinometer. Arsitektur tersebut berdiri
dengan jarak tertentu lalu melihat kepuncak gedung dengan
menggunakan klinometer didapat sudut 45o. Kemudian dia
mencari sudut yang lain dengan cara mendekat ke arah gedung
sejauh 24 m sehingga didapat sudut pada klinometer sebesar
60o. Tentukan tinggi gedung tersebut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

C

45o 60o B
A 24 m D

Selanjutnya misalkan panjang BC = y dan AB = x.

Maka pada  ABC berlaku :

tan 45o =


1 =


x =y

55

Pada  BDC, berlaku :

tan 60o =
ξ3
ξ3
=
−24

=
−24

ξ3 ( − 24) = x

ξ3x − 24ξ3 = x

(ξ3 – 1) = 24ξ3

x = 24ξ3 . ξ3+ 1

ξ3 – 1 ξ3+ 1

= 24 .3+ 24ξ3
3–1

= 24 .3+ 24ξ3
2

= 36 +12ξ3

= 12(ξ3 + 3) meter

Jadi didapatkan tinggi gedung tersebut adalah 12(ξ3 + 3) meter.

56

16. Disebuah lapangan terdapat perlombaan layang – layang. Salah
seorang peserta dengan tinggi 1,8 m sedang menaikan layang –
layang miliknya dengan benang sepanjang 300 m. Sudut yang
terbentuk antara benang dengan garis horizontal adalah 45o.
Tentukan ketinggian layang – layang tersebut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.

45o

1,8 m

Selanjutnya, misalkan tinggi layang – layang adalah T, dan

tinggi orang adalah to, sehingga T = t + to. Maka :

sin 45o =

300

t = 300 . sin 45

= 300 . 1 ξ2
2

= 150 ξ2

t = t + to

= (150 ξ2 + 1,8) m

Jadi tinggi layang – layang tersebut adalah (150 ξ2 + 1,8) m.

57

17. Tukang bangunan ingin menaiki atap rumah menggunakan
tangga yang panjangnya 14 m dan disandarkan pada tembok
rumah tersebut. Jika tangga tersebut membentuk sudut 30o
dengan tanah. Tentukan tinggi tembok tersebut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

C

30o
AB

Misalkan tinggi tembok adalah t, AC = 14 m dan  A = 30o.

Karena yang diketahui besar sudut A dan sisi mirik maka

perbandingan yang berlaku adalah perbandingan sinus.

sin A =
14

sin 30o =
14

t = 14 . sin 30o

= 14 . 1
2

=7m

Jadi tinggi tembok rumah adalah 7 meter.

58

18. Seorang pemain skateboard sedang menjalani latihan
rutinitasnya. Pada latihan kali ini ia latihan pada lintasan yang
mempunya ketinggian 4 m dengan sudut kemiringan 30o.
Tentukan panjang lintasan dan panjang sisi miring!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

30o

Selanjutnya diketahui  ABC dimana b = 4 m dan  B = 30o.

Tinggi lintasan yang diketahui maka ada beberapa perbandingan

yang berlaku yaitu perbandingan sinus dan tangen.

sin 30o =



c =
sin 30

= 4

1

2

c = 8 meter

59

Untuk mencari panjang lintasan atau sisi a bisa menggunakan

beberapa cara, diantaranya menggunakan perbandingan tangen.

tan 30o =


a =

tan 30o

= 4

1 ξ3
3

a = 4 . 3 . ξ3
ξ3 ξ3

= 4 . 3 . ξ3
3

a = 4 ξ3 meter

Dikarenakan panjang sisi miring sudah diketahui sehingga
panjang sisi a juga dapat dicari menggunakan rumus pytagoras,
sehingga :

a = ξ82 − 42
= ξ64 − 16
= ξ48

a = 4 ξ3 meter

Jadi panjang lintasan skateboard dan panjang sisi miringnya
berturut – turut adalah 4 ξ3 meter dan 8 meter.

60

19. Perhatikan gambar di bawah ini!

2m
4m

Terlihat seorang anak terjun dari ketinggian tertentu namun
tidak sampai menyentuh air sungai yang sedang mengalir.
Tentukan berapa jauh anak tersebut terjun dan berapa ketinggian
dari air sungai ke ujung tali.
Pembahasan :
Misalkan dibuat sebuah  ABC dimana  A = 30o dan O
merupakan titik penghubung pada AB. Sehingga panjang dari
titik A ke B dapat dicari menggunakan perbandingan tangen.
Sehingga :

61

tan A =


tan 30o = 4
+2

1 ξ3 = 4
3 +2

AO + 2 = 4
31ξ3

AO + 2 = 4 . 3 . ξ3
ξ3 ξ3

AO + 2 = 4 ξ3 (jarak antara air sungai dengan ujung tali)

AO = 4ξ3 – 2

= 2(2ξ3 – 1) meter

Jadi jarak anak tersebut terjun dan jarak dari air sungai ke ujung
tali berturut – turut adalah 2(2ξ3 – 1) meter dan 4 ξ3 meter.

62

20. Disebuah halaman sekolah terdapat dua orang siswa nakal yang
sedang dihukum untuk berdiri dan memandani puncak tiang
bendera. Kebetulan kedua siswa tersebut memiliki tinggi yang
sama yaitu 160 m. Siswa pertama berada tepat 6 meter didepan
siswa kedua. Jika sudut elevasi keduanya berturut – turut adalah
45o dan 60o. Tentukan tinggi tiang bendera tersebut!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

C

60o 45o
A DB

160 cm

6m
Selanjutnya diketahui 2 sudut elevasi berturut – turut adalah 45o
dan 60o, tinggi kedua siswa adalah 160 m dan jarak antara murid
pertama dan kedua yang merupakan sebuah sisi samping sudut
elevasi, didapatkan perbandingan yang dapat digunakan yaitu
perbandingan tangen.

63

pada  ABC didapat :

tan 45o =


1 =

+6

+ 6 = AC

= AC – 6

Pada  ACD didapat :

tan 60o =
tan 60o


=
−9

AC = ( − 6) . tan 60o

= ( − 6) . ξ3

= ξ3AC – 6ξ3

ξ3AC – AC = 6ξ3

AC(ξ3 – 1) = 6ξ3

AC = 6ξ3 . ξ3+ 1
ξ3 – 1 ξ3+ 1

= 6 .3 + 6ξ3
3−1

AC = 9 + 3ξ3

Tiang bendera = AC + tinggi siswa

= 9 + 3ξ3 + 1,6

= 10,6 + 3ξ3 meter

Jadi tinggi tiang bendera tersebut adalah 10,6 + 3ξ3 meter.

64

21. Dua buah pemancar yang berjarak 20 km sedang memancarkan
gelombangnya membentuk sudut elevasi berturut – turut 30o dan
45o. Disaat bersamaan yang berlalu begitu cepat sebuah pesawat
melintas sehingga kedua gelombang tersebut tepat mengenai
pesawat sehingga membetuk sebuah segitiga. Tentukan tinggi
pesawat tersebut!

Pembahasan :

Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam

bentuk gambar.

C

a
h

30o 45o
B DA

20 km
Selanjutnya dikarenakan jumlah sudut dalah  = 180o sehingga
 C = 180o – (30 + 45)o

= 180o – 75o
 C = 105o

65

Untuk mencari nilai  C = 105o gunakan rumus jumlah sinus,

sin (45 + 60)o = sin 45o . cos 60o + cos 45o . sin 60o

= 1 ξ2 . 1 + 1 ξ2 . 1 ξ3
2 2 2 2

= 1 ξ2 + 1 ξ6
4 4

= 1 (ξ2 + ξ6)
4

Gunakan aturan sinus dalam segitiga, sehingga :

=
sin sin

= 20
sin 45 sin 105

= 20 ξ2)
12ξ2 41(ξ6 +

a = 20 . ξ6 4 ξ2 . ξ6 − ξ2 . 1 ξ2
+ ξ6 − ξ2 2

= 400 . ξ6 − ξ2
6−2

= 100 (ξ6 − ξ2)

Sehingga untuk mencari tinggi pesawat berlaku rumus

perbandingan sinus.

sin B =


sin 30o = ℎ



h = a . sin 30o

= 100 (ξ6 − ξ2) . 1
2

= 50 (ξ6 − ξ2)

Jadi tinggi pesawat tersebut adalah 50 (ξ6 − ξ2) km.

66

22. Disebuah perkampungan tradisi anak – anak apabila terdengar
suara pesawat mereka langsung keluar rumah dan melihat
kearah pesawat tersebut. Diketahui tinggi pesawat tersebut 140
km shingga membentuk sudut elevasi 30o. Tentukan jarak anak
terhadap pesawat!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

140 km

30o

Selanjutnya dari pernyataan dan gambar di atas sehingga jarak

anak terhadap pesawat dapan dicari menggunakan perbandingan

sinus, sehingga :

sin 30o =



r = x . sin 30o

= 140 . 1
2

= 70 km

Jadi jarak anak terhadap pesawat adalah 70 km.

67

23. Seorang pemuda joging di sebuah komplek perumahan dengan
titik awal adalah rumahnya. Pemuda tersebut memulai joging
kearah barat dengan sudut elevasi 30o lalu dilanjutkan kearah
tenggara dengan sudut elevasi 45o dan selanjutnya pemuda
tersebut kembali ke rumah nya dimana jarak terhadap rumahnya
adalah 200 m. Tentukan seberapa jauh pemuda tersebut joging!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan
di atas ke dalam bentuk gambar.

A
30o

B 200 m
45o

C
Selanjutnya dari gambar di atas diketahui  A = 30o,

 B =  C = 45o dan jarak AC = b = 200 m.

68

Dikarenakan yang diketahui adalah satu sisi dan dua sudut

sehingga panjang yang lainya dapat dicari menggunakan rumus

Aturan Sinus sebagai berikut :

=
sin sin

Dikarenakan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o sehingga:

 B = 180o – (30 + 45)o

= 180o – 75o

= 105o

sin 105o dapat dicari menggunakan rumus jumlah sehingga :

sin (45 + 60)o = sin 45o . cos 60o + cos 45o . sin 60o

= 1 ξ2 . 1 + 1 ξ2 . 1 ξ3
2 2 2 2

= 1 ξ2 + 1 ξ6
4 4

= 1 (ξ2 + ξ6)
4

Jadi,

=
sin sin

= 200
sin 30 sin 105

a = 200 . sin 30
sin 105

= 200 . 1
14(ξ6 + ξ2) 2

= 200 . 1 . 4 . ξ6 − ξ2

2 ξ6 + ξ2 ξ6 − ξ2

= 400 . ξ6 – ξ2
6 – 2

= 100 (ξ6 − ξ2) m

69

=
sin sin

200 =
sin 105 sin 45

200 =
14(ξ6 + ξ2) 21ξ2

c = 200 . 1 ξ2
41(ξ6 + ξ2) 2

= 200 . 1 ξ2 . ξ6 4 ξ2 . ξ6 − ξ2
2 + ξ6 − ξ2

= 400ξ2 . ξ6 – ξ2
6 – 2

= 100ξ2 . (ξ6 – ξ2)

= 100 . (ξ12 – 2)

= 100 . (2ξ3 – 2)

= 200(ξ3 – 1) meter

Jarak yang ditempuh sama dengan keliling segitiga.

Keliling  = a + b + c

= 100 (ξ6 − ξ2) + 200 + 200(ξ3 – 1)

= 200 (21 ξ6 + ξ3 - 1 ξ2 - 1) meter
2

Jadi panjang lintasan joging pemuda tersebut adalah
200 (1 ξ6 + ξ3 - 1 ξ2 - 1) meter.

22

70

24. Dua buah sungai a dan b berpotongan di kelurahan C. Dinas PU
perairan kota berencana akan menghubungkan sungai yang
berada dikeluraha A dan B dengan memotong kedua sungai
yang ada dan membangun sungai c. Jika diketahui jarak sungai
antara kelurahan A dan C adalah 5 km. Sudut yang dibentuk
oleh sunga a dan b adalah 60o dan sudut yang dibentuk sungai
a dan c adalah 30o. Tentukan jarak sungai antara kelurahan A
dengan kelurahan B!

Pembahasan :
Langkah pertama ilustrasikan pernyataan di atas ke dalam
bentuk gambar.

C
60o

B

A

71

Selanjutnya dari gambar di atas dapat diketahui bahwa terdapat

dua sudut dan satu sisi yang berhadapan dengan sudut sehingga

untuk mencari panjang sungai c berlaku Aturan Sinus sebagai

berikut :

=
sin sin

5 =
sin 30 sin 60

= 5 . sin 60
sin 30

= 5 . 1 ξ3
2
1

2

= 5ξ3 km

Jadi panjang sungai c adalah 5ξ3 km.

72

25. Perhatikan gambar di bawah ini!
C

30o D
A B
Tentukan tinggi pohon tersebut!

Pembahasan :

Terlebih dahulu cari panjang AB pada  ABD menggunakan

perbandingan cosinus.

cos 1 =
1

AB = 1 . cos 1
= 10 . cos 30o

= 10 . 1 ξ3
2

= 5ξ3

 A =  1+  2
= 30o + 30o
= 60o

73

Untuk mencari panjang BC perbandingan yang memenuhi
adalah perbandingan tangen. Sehingga :

tan A =


BC = AB . tan 60o

= 5ξ3 . ξ3

= 15

Tinggi pohon didapat dari BC dikurang BD. Dikarenakan BD

belum diketahui sehingga untuk mencari panjang BD berlaku

perbandingan sinus.

sin 1 =



BD = AD . sin 1

= 10 . sin 30o

= 10 . 1

2

=5

Sehingga didapat tinggi pohon tersebut adalah :
Tpohon = BC – BD

= 15 – 5

= 10 m

Jadi tinggi pohon tersebut adalah 10 meter.

74

26. Tentukan jarak kedua layang – layang berikut!

Pembahasan :
Dari gambar di atas diketahui satu sudut yang diapit oleh 2 sisi
sehingga rumus yang berlaku adalah Aturan Cosinus.

Misalkan dibuat sebuah  ABC dimana  A = 60o, AB = 100 m

dan AC = 200 m. Sehingga :

BC2 = AC2 + AB2 – 2 . AC . AB . cos A

= 2002 + 1002 – 2 . 200 . 100 . cos 60o

= 40000 + 10000 – 40000 . 1
2

= 50000 – 20000

BC2 = 30000

BC = ξ30000

= 100ξ3 m

Jadi jarak kedua layang – layang tersebut adalah 100ξ3 m.

75

27. Tentukan tinggi tiang yang berada di atas gedung berikut!
C

D

60o 2m B

A

Pembahasan :

Pertama – tama cari sisi miring segitiga kecil menggunakan

perbandingan cosinus, sehingga :

cos 60o =
r

=
cos 60

= 2

1

2

=4m

Diketahui  ACD,  A = 15o,  D = 180o – 30o = 150o,  C =

15o dan panjang AD = 4 km sehingga untuk mencari tinggi tiang

atau panjang CD berlaku aturan sinus, sebagai berikut :

=
sin sin

= 4
sin 15 sin 15

a = 4 . sin 15
sin 15

a =4m

Jadi tinggi tiang tersebut adalah 4 meter.

76

Fungsi Trogonometri
28. Tentukan nilai perbandingan sinus dan cosinus dari sudut α dan

β pada segitiga di bawah ini!

β
2ඥ3

Pembahasan : α
4ඥ2

Panjang sisi miring segitiga di atas dicari menggunakan rumus

pytagoras.

β r = 2ඥ11
a = 2ඥ3

α

b = 4ඥ2

r = ξ 2 + 2

= √(2ඥ3)2 + (4ඥ2)2

= ξ4 . 3 + 16 . 2
= ξ12 + 32
= ξ44
= 2ξ11

77

Sehingga,

sin = sin β =


= 2ξ3 = 4ξ2
2ξ11
2ξ11

= 2ξ3 . ξ11 = 2 . 2 ξ2 . ξ11
2ξ11 ξ11 2ξ11 ξ11

= 2ξ33 = 2. 2 ξ22
2 . 11 2. 11

= ξ33 = 2 ξ22
11
11

= 1 ඥ33 = 2 ඥ22
11 11

cos = cos β =


= 4ξ2 = 2ξ3
2ξ11
2ξ11

= 2 . 2 ξ2 . ξ11 = 2ξ3 . ξ11
2ξ11 ξ11 2ξ11 ξ11

= 2 . 2 ξ22 = 2ξ33
2 . 11
2 . 11

= 2 ξ22 ξ33
11 11
=

= 2 ඥ22 = 1 ඥ33
11 11

Jadi perbandingan sin : cos dan sin : cos β berturut – turut
adalah ඥ33 : 2ඥ22 dan 2ඥ22 : ඥ33.

78

29. Buktikan identitas trigonometri dari tan x + cot x = sec x . csc x.

Pembahasan : definisi tan x dan cot x
penjumlahan pecahan
Ruas kiri rumus identitas
definisi sec x dan csc x
tan x + cot x
sin + cos

cos sin
2 + 2

sin .cos
1

sin .cos

sec . csc x

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka terbukti bahwa,
tan x + cot x = sec x . csc x

30. Buktikan identitas trigonometri :
(1 – cos x) (csc x + cot x) = sin x

Pembahasan :

Ruas kiri

(1 – cos x) (csc x + cot x)

csc x + cot x – cos x . csc x – cos x . cot x

1 + cos – cos x . 1 – cos x . cos
sin sin sin sin

1+cos −cos − 2

sin

79

1− 2
sin

2
sin

sin

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka terbukti bahwa,
(1 – cos x) (csc x + cot x) = sin x

Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut

31. Jika α + β = dan cos α cos β = 2, tentukan nilai cos (α – β)!
3
3

Pembahasan :

α+β = kedua ruas sama-sama dijadikan cos
cos (α + β) 3

cos (α + β) = cos
3

= 1
2

= cos α cos β – sin α sin β

1 = 2 - sin α sin β
2 3

sin α sin β = 2 . 1
3 2

= 1
6

80

Sehingga didapat nilai :

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

= 2 + 1
3 6

= 5
6

Jadi nilai cos (α – β) adalah 65.

32. Diketahui sin α= 5 dan cos β= 3, sudut α dan β merupakan

13 5

sudut lancip. Tentukan nilai dari sin (α + β)!

Pembahasan :
Cara I
Gunakan dua buah segitiga bantu untuk menentukan nilai fungsi
trigonometri yang lain.

CC

13 5
5

αo βo
B AB A

3

81

Dengan rumus pytagoras AC-2 = AB2 + BC2
AB2 = AC2 – BC2
AB = ξ 2 − 2

= ξ132 − 52
= ξ169 − 25
= ξ144
= 12
BC2 = AC2 – AB2
BC = ξ 2 − 2
= ξ52 − 32
= ξ25 − 9
= ξ16
=4

Cara II
Gunakan rumus identitas 2 α + 2 α = 1 atau sin α = ±
ξ1 − 2 α atau cos α = ± ξ1 − 2 α

jika sin α = 5, maka cos α = ± √1 − ( 5 )2

13 13

= + √1 − 25 (α sudut lancip)
169

= + √169 − 25
169
169

82

= + √144

169

= + 12
13

Jika cos β = 3 , maka sin α = ± √1 − (3)2

55

= + √1 − 9 (a sudut lancip)
25

= + √25 − 9
25
25

= + √16

25

= + 4
5

sin (α + β) = sin α . cos β + cos α . sin β

= 5 . 3 + 12 . 4
13 5 13 5

= 15 + 48
65 65

= 63
65

Jadi nilai sin (α + β) adalah 6635.

83

33. Tanpa menggunakan daftar atau kalkulator, Hitunglah tan 15o!

Pembahasan :

Bentuk tan 15o diubah terlebih dahulu kebentuk tan (45o – 30o),

kemudian gunakan rumus tan (α – β), sehingga :

tan 15o = tan (45o – 30o)

= tan −tan
1+tan .tan

= tan 30−tan 30
1+tan 30 .tan 30

= tan 45−tan 30
1+tan 45 .tan 30

= 1 −31 ξ3
1
1+1 . 3 ξ3

= 1− 1 ξ3 . 1− 1 ξ3
1+ 3 ξ3 1− 3 ξ3
1 1
3 3

= 1− 2 ξ3+ 1
3 3
1
1− 3

= 4 − 2 ξ3
3 3
2

3

= 2 - ξ3

Jadi nilai tan 15o adalah 2 - ξ3.

84

Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan

34. Diketahui sin α = 3 dan α adalah sudut lancip. Hitunglah nilai

5

dari tan 1 α!
2

Pembahasan :

Berdasarkan rumus cos α = ± ξ1 − 2 diperoleh :

cos α = ± ξ1 − 2

= ± √1 − (3)2

5

= ± √1 − 9
25

= ± √16

25

= ± 4
5

Karena α sudut lancip, maka cos α = 4

5

tan 1α = sin
1+cos
2

3

= 5

1+54

3

= 5
9

5

= 1
3

Jadi nilai tan 1 α adalah 13.
2

85

35. Diketahui cos2 1 = 1 untuk < < . Tentukan nilai tan !
2 3 2

Pembahasan :

cos2 1 = 1
2 3

sin2 1 = 1 - cos2 1 = 2
2 2 3

Dari kedua persamaan tersebut sehingga didapat nilai sebagai

berikut :

tan2 1 = 2 21 = 2 = 2
2 2 12 3
1
3

tan 1 = ξ2
2

tan = 2 2 21
1 − 2 21

= 2ξ2
1−2

= - 2 ξ2

Dikarenakan < < berada di kwadran 2 sehingga tangen
2

bernilai negatif.

86

Sudut Lipat dan Pangkat
36. Diketahui sin α = 0,6 dengan 0o < α < 90o. Tentukan nilai dari

cos 4α!

Pembahasan :
Dengan menggunakan rumus cos α = ± ξ1 − 2 diperoleh,:
cos α = ± ξ1 − 2

= ± ඥ1 − 0,62
= ± ξ1 − 0,36
= ± ξ0,64
= ± 0,8

Karena α sudut lancip, maka cos α = 0,8
cos 4α = 8 4 – 8 2α + 1

= 8 . 0,84 – 8 . 0,82 + 1
= 8 . 0,4096 – 8 . 0,64 + 1
= 3,2768 – 5,12 + 1
= - 0,8432

Jadi nilai cos 4α adalah - 0,8432.

87

37. Diketahui cos α = 3 dengan 0o < α < 90o. Tentukan nilai sin4 α!
5

Pembahasan :

Dengan menggunakan rumus sin α = ± ξ1 − 2 diperoleh :

sin α = ± ξ1 − 2

= ± √1 − (3)2

5

= ± √1 − 9
25

= ± √16

25

= ± 4
5

Karena α sudut lancip, maka yang memenuhi sin α = 4
5

sin4 α = 3 - 1 . cos 2α + 1 . cos 4α
8 2 8

Menggunakan rumus penjumlahan,

cos 2α = cos (α + α)

= cos α . cos α – sin α . sin α

= cos2 - sin2α

= (53)2- (4)2

5

= 9 - 16

25 25

= - 7
25

88

Dengan cara yang sama didapat :

cos 4α = 8 . cos4 – 8 . cos2 + 1

= 8 . (53)4- 8 . (3)2 + 1

5

= 8 . 81 – 8 . 9 + 1
625 25

= 648 - 72 + 1

625 25

= 648−1800+625
625

= - 527

625

sin4 α = 3 - 1 . cos 2α + 1 . cos 4α
8 2 8

= 3 - 1 . cos 2α + 1 . cos 4α
8 2 8

= 3 – 1 . (- 7) + 1 . (- 562257)
8 2 8
25

= 3 + 7 - 527
8 50 5000

= 3 . 625 +7 . 100 − 527
5000

= 1875 +700 − 527
5000

= 2048
5000

= 8 . 256
8 . 625

= 256

625

Jadi nilai sin4 α adalah 265256.

89

Aturan Segitiga dalam Trigonometri
38. Diketahui  ABC dengan  A = 60o,  B = 45o, dan sisi a = 8

cm. Tentukan kedua sisi yang lain!

Pembahasan :
Ilustasikan ke dalam bentuk gambar.

C

8

60o 45o

AB

Berdasarkan aturan sinus = diperoleh,
sin sin

=
sin sin

8 =
sin 60 sin 45

8 =
12ξ3 21ξ2

b = 8 . 1 ξ2
12ξ3 2

= 8 ξ2 . ξ3
ξ3 ξ3

= 8 ξ6 cm
3

 C = 180o – (60o + 45o)
= 75o

90

sin C = sin 75o

= sin (45 + 30)o

= sin 45o . cos 30o + cos 45o . sin 30o

= 1 ξ2 . 1 ξ3 + 1 ξ2 . 1
2 2 2 2

= 1 ξ6 + 1 ξ2
4 4

= 1 (ξ6 + ξ2)
4

=
sin sin

8 =
sin 45 sin 75

8 = ξ2)
12ξ2 14(ξ6 +

c = 8 . 1 (ξ6 + ξ2)
12ξ2 4

1 8. 1 (ξ6 + ξ2)
2
= 2 .
1 ξ2

2

= 4 (ξ6 + ξ2) . ξ2

ξ2 ξ2

= 4 (ξ12 + ξ4)
2

= 4 (2ξ3 + 2)
2

= 4 ξ3 + 4

= 4 (ξ3 + 1) cm

Jadi nilai sisi b dan c berturut adalah 8 ξ6 cm dan 4 (ξ3 + 1) cm.
3

91

39. Dalam sebuah  ABC diketahui panjang sisi a = 6 cm, sisi b =

4 cm dan  C = 60o. Tentukan panjang sisi c dan kedua

sudut lainya!

Pembahasan :

Berdasarkan rumus aturan cosinus c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C

c2 = 62 + 42 – 2 . 6 . 4 . cos 60o C

= 36 + 16 – 48 . 1 60o 6
2

= 52 – 24 4

= 28 A B
c = ξ28

= 2ξ7 cm

Untuk mencari  A digunakan rumus cos A = 2+ 2− 2,

2 . .

sehingga :

cos A = 2+ 2− 2

2 . .

= 42+ (2ξ7)2− 62
2 . 4 . 2ξ7

= 16 + 28 − 36
16 ξ7

=8

16 ξ7

= 2 1 . ξ7
ξ7 ξ7

= ξ7
2. 7

92

= ξ7
14

cos A = 1 ξ7
14

 A  79,1o

Jadi, panjang sisi c = 2ξ7 cm,  A  79,1o dan  B  180 – (60
+ 79,1)o  40,9o.

40. Diketahui luas  PQR adalah 20 cm2. Jika PQ = 8 cm dan PR =
10 cm, Hitunglah besar sudut P!

Pembahasan :

Luas  PQR = 1 . PQ . PR . sin  P
2

20 = 1 . 8 . 10 . sin  P

2

20 = 40 . sin  p

sin  p = 20
40

= 1
2

 p = 30o

Jadi besar sudut P = 30o.

93